Societat Catalana de Matematiques

President: Sebastia Xambo DescampsVicepres.: Anna Pol MasjoanTresorer: Xavier Martınez-AlbenizSecretaria: Anna Rıo DovalVocals: Claudi Aguade Bruix

Carles CurrsJosep Grane Manlleu

Xavier MassanedaAgustı Reventos Tarrida

Frederic Utzet CivitPelegrı Viader Canals

Xavier Vilella MiroDelegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel. 932 701 620Fax 932 701 180A/e: scm@iec.es

Secretaria Nuria FusterHorari de 10 a 17 h

SCM/NotıciesJuliol 2008. Numero 15

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Agustı Reventos Tarrida

agusti@mat.uab.es

Comite de Redaccio:Sebastia Xambo Descamps

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Carles Casacuberta Verges

Disseny: Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

Pentagrama mıstic de Goma.Reproduıt sense permıs ni coneixementde l’autor.

Diposit Legal: B. 34401-2001

Index

Report de la Junta 1

In memoriam 2

Premis i concursos 3Premi Ferran Sunyer i Balaguer 3Premi Josep Teixidor 3Premi Evariste Galois de la SCM 3Beca Pere Menal de la UAB 3Cangur-2001 4XXXVII Olimpıada Matematica Espanyola 7

Matematiques i ensenyament 8IES Montserrat 8La Matefest de 2001 9

Noticiari 11Reciprocitat amb la RSME 11Pilar Bayer i Vicenc Navarro, academics 11Quarta Trobada Matematica 12Acord SCM–FEEMCAT 13Workshop on Applied Mathematics in Europe 14ICM2006 a Espanya 15

Reunio de Degans i Directors de Matematiques 15

Agenda 24Cursos i congressos 24

Llibres 25Ordinary differential equations with applications 25Geometry: Euclid and beyond 27Introduccio a la criptografia 28Geometria projectiva 29

Problemes 30Problemes proposats 30Solucions 30

Tesis 34

Report de la Junta

Novament ens trobem al final del curs academic

i hem de fer balanc de les activitats que s’han

dut a terme. Aquest cop no hi ha dubte que

hem de comencar destacant l’exit assolit pels

participants catalans en la fase espanyola de la

XXXVII Olimpıada Matematica, que han acon-

seguit tres medalles d’or, dues de plata i dues

de bronze. Desitgem molta sort als quatre que

pendran part a la fase internacional i agraım

els esforcos de tots els que han fet possibles

aquests bons resultats. Malgrat tot, encara pen-

sem que el nombre de participants a la fase

catalana hauria d’augmentar i estem oberts a

tots els suggeriments dirigits a encoratjar i pre-

parar els estudiants.

Pel que fa a les proves Cangur, continua

incrementant-se la participacio, que es situa ja

al voltant dels 7.500 estudiants catalans, als

quals cal sumar un miler de Mallorca i un cen-

tenar de Castello. Les proves es van celebrar

sense incidencies el dia 22 de marc i per pri-

mer cop hi va haver seus universitaries. L’acte

de lliurament de premis es va fer el dia 10 de

maig al Centre de Cultura Contemporania de

Barcelona, amb la presencia del Conseller d’U-

niversitats, Recerca i Societat de la Informacio.

D’altra banda, l’IEC va fer el dia 24 d’a-

bril la sessio de lliurament de premis. El pre-

mi Ferran Sunyer i Balaguer va ser atorgat

a Ian Stewart i Martin Golubitsky que van

presentar la memoria The symmetry perspec-

tive. El premi Josep Teixidor es va concedir a

la tesi doctoral de Montserrat Alsina titulada

Aritmetica d’ordres quaternionics i uniformit-

zacio hiperbolica de corbes de Shimura. Malhau-

radament enguany el premi Evariste Galois per

a estudiants ha quedat desert per manca de tre-

balls presentats. Des d’aquı volem fer una crida

per animar-vos a promoure candidats.

Per acabar aquest repas de les activitats del

semestre esmentarem que Vilanova i la Geltru

va acollir la quarta edicio de la Trobada Ma-

tematica el dia 20 d’abril i que entre el 5 de

maig i el 2 de juny s’ha tornat a impartir el

Curs d’introduccio a la matematica dels siste-

mes criptografics.

Notıcies institucionals

En la reunio de la Junta del dia 2 de maig

es va aprovar un acord de reciprocitat amb la

FEEMCAT segons el qual els socis d’ambdues

entitats rebran el mateix tracte quan es tracti

d’assistir a les activitats organitzades per una

de les dues entitats. Aquest acord ha de servir

tambe per impulsar activitats conjuntes.

D’altra banda, us comuniquem que s’han

produıt canvis en el Comite Editorial del But-

lletı, del qual s’ha fet carrec Frederic Utzet. Els

actuals editors associats son: Armengol Gasull,

Joaquim Ortega Cerda i Llorenc Valverde.

Finalment, us recordem que la Societat for-

ma part de l’associacio que promou la candida-

tura de Madrid per organitzar el Congres In-

ternacional de l’any 2006. Esta previst que les

primeres recomanacions de la IMU sobre la seu

a escollir es facin publiques ben aviat, tot i que

la decisio definitiva no es prendra fins a l’agost

de 2002.

Notıcies dels socis

Volem expressar aquı la cordial felicitacio de la

Junta als socis Pilar Bayer i Vicenc Navarro,

que han ingressat recentment a la Reial Acade-

mia de les Ciencies i les Arts de Barcelona.

Relacions amb l’EMS

El president de la European Mathematical So-

ciety, Rolf Jeltsch, ha estat convidat per la Soci-

etat a visitar Barcelona la propera tardor. Cre-

iem que es un bon moment per plantejar-se al-

gunes questions al voltant de la presencia de

la comunitat matematica catalana en els dife-

rents comites i projectes impulsats per l’EMS

o de com s’han d’articular les relacions. Espe-

rem, doncs, recollir les vostres aportacions per

tal de preparar la visita i organitzar els actes

pertinents per tal que aquesta resulti com mes

profitosa millor.

Un dels projectes que impulsa l’EMS trac-

ta d’establir nivells de referencia per a l’ense-

nyament de les matematiques a Europa (12-16

anys). L’informe final es va presentar i discu-

tir en una reunio celebrada a Luxemburg el dia

1

11 de maig. Considerem que la rellevancia del

tema mereix difondre aquest estudi i promoure

el debat a casa nostra, cosa que ens proposem

impulsar en el futur mes immediat.

Pero aixo sera ja el curs vinent. Us desitgem

un bon estiu i esperem retrobar-vos a la torna-

da amb moltes ganes de participar en totes les

activitats de la Societat.

Anna Rıo

Secretaria de la SCM

In memoriam

Apreciats amics, amb gran pesar us anunciemel traspas del professor Jacques-Louis Lionsel 17 de maig de 2001. Va ser el primer a tenirla idea, el 1992, de l’Any Mundial de les Ma-tematiques 2000, quan era president de la IMU.Despres d’aixo la seva contribucio al seu exit vaser considerable.

Per nosaltres te un significat especial, ja queva ser president del Comite de Premis de 3ecm.

Jacques-Louis Lions, durant el 3ecm

El diari frances Liberation va publicar la no-ta seguent (per Sylvestre Huet):

El matematic frances Jacques-Louis Lions,de 73 anys, va morir ahir a Parıs despres d’u-na llarga malaltia. ≪Ha estat una gran figu-ra de la ciencia francesa i tambe un dirigenti un estrateg cientıfic remarcable≫, va declararel ministre de Recerca, Roger-Gerard Schwart-zenberg. Sempre cortes, elegant, te la imatge

oposada d’Epinal dels matematics amb jersey isandalies; Jacques-Louis Lions, de renom inter-nacional, havia combinat amb rara bona sortla creativitat cientıfica personal i la implicacioen la ≪gran ciencia≫: coets, satel.lits i sistemesindustrials. Els seus treballs han portat a unabranca de les matematiques directament rela-cionada amb l’analisi i el control dels sistemes,el calcul cientıfic. Amb resultats aplicats a nom-brosos dominis, principalment l’aerospacial, l’e-nergia, la produccio, el medi ambient. A part dela seva produccio matematica, va ser professora les universitats de Nancy i Parıs, a l’EcolePolytechnique i al College de Franca. Una acti-vitat d’ensenyament que li ha permes influenci-ar tota una generacio de matematics francesos.Molt implicat a la vida dels organismes, va serpresident de l’Academie des Sciences, de l’Ins-titut National de Recherche en Informatique eten Automatique (INRIA) i del CNES (l’agenciaespacial francesa) de 1984 a 1992, perıode du-rant el qual va impulsar un gran creixement deles missions cientıfiques. Una de les seves gransalegries fou l’exit del seu fill, Pierre-Louis, queva obtenir la medalla Fields (el Nobel dels ma-tematics).

• En el moment de tancar aquest numero delNotıcies hem sabut la mala notıcia del tras-pas de la nostra companya Griselda PascualXufre. Lamentem tan gran perdua i esperempoder-vos-en donar mes informacio en el propernumero.

Nuria Vila i Agustı Reventos havien fixatdata per fer-li una entrevista amb motiu de laseva jubilacio, pero els seus problemes de salutvan anar posposant la nostra cita, que ja nos’ha pogut realitzar.

2

Premis i concursos

Premi Ferran Sunyer i Balaguer

La Fundacio Privada Ferran Sunyer i Balaguer—vinculada a l’Institut d’Estudis Catalans—concedeix per novena vegada el premi interna-cional Ferran Sunyer i Balaguer.

Els professors Martin Golubitsky, dela Universitat de Houston (EUA), i IanStewart, de la Universitat de Warwick (Reg-ne Unit), han estat els guanyadors del premide l’any 2001 per la seva obra The SymmetryPerspective.

L’acte de lliurament del premi va tenir llocel 24 d’abril, a la seu de l’Institut d’Estudis Ca-talans.

Convocatoria

La Fundacio Privada Ferran Sunyer i Balaguerconvoca per desena vegada el Premi Internacio-nal Ferran Sunyer i Balaguer.

El premi sera atorgat a una monografia ma-tematica de caracter expositiu que presenti elsdarrers desenvolupaments d’una area activa enrecerca, en la qual el concursant hagi contribuıtde manera important.

La monografia ha d’esser original, inedita ino sotmesa previament a cap compromıs d’edi-cio. Ha d’estar escrita en angles i ha de tenircom a mınim 150 pagines. En casos excepci-onals podran esser considerats manuscrits enaltres idiomes.

El premi, d’un import de 10.000 euros, esdotat per la Fundacio. La monografıa guanya-dora sera publicada dins la serie ≪Progress inMathematics≫ de Birkhauser Verlag.

El guanyador del premi sera proposat perun Comite Cientıfic format per H. Bass (Michi-gan), A. Cordoba (Madrid), W. Dicks (Barcelo-na), P. Malliavin (Paris) i A. Weinstein (Berke-ley).

Termini d’admissio dels originals: 1 dedesembre de 2001.

Mes informacio:http://www.crm.es/info/ffsb.htm

Premi Josep Teixidor

El premi Josep Teixidor de Matematiques haestat concedit a Montserrat Alsina i Au-bach per la tesi doctoral Aritmetica d’ordresquaternionics i uniformitzacio hiperbolica decorbes de Shimura.

Premi Evariste Galois de la SCM

El premi Evarist Galois per a estudiants ha que-dat desert per manca de treballs presentats.

Convocatoria

Aquest premi va ser instituıt l’any 1962. En-guany es convoca per trenta-novena vegada.Ofert a un treball d’investigacio, bibliografic od’assaig sobre matematiques.

La dotacio del premi es de 600 euros. Espoden concedir fins a dos accessits.

Termini d’admissio de candidatures: 14 dedesembre de 2001, a les 13 hores.

Beca Pere Menal de la UAB

La beca Pere Menal, que atorga la Seccio deMatematiques de la UAB, ha estat concedi-da a Alejandro Bayas Fernandez, alum-ne de primer curs de la llicenciatura de ma-tematiques.

Aixı mateix, s’ha concedit la renovacio dela beca a Gloria Vinolas Nicolau, de segon cursDaniel Blasi Babot, de tercer i Gerard AscensiSala, de quart.

La beca consisteix en la matrıcula gratuıtade totes les assignatures de la Llicenciatura deMatematiques a la UAB, a mes d’una quantitatanual de 30.000 pessetes en concepte d’adquisi-cio de llibres.

3

Cangur-2001

Presentacio i dades generals

El dia 22 de marc de 2001 gairebe set milalumnes van voler sentir el gust de fer ma-tematiques i es van animar a participar en laprova Cangur-2001 organitzada per la Socie-tat Catalana de Matematiques.

Aquests nois i aquestes nois pertanyen a 33comarques catalanes i 3 del Paıs Valencia i esvan reunir, per a la celebracio de la prova, en 98centres de Catalunya i la provıncia de Castello.

Per totes les notıcies que en tenim i per l’es-perit de festa de les matematiques que els mem-bres de la junta de la SCM vam poder viure endirecte a Girona, a l’Hospitalet, a Manresa, aReus, a la UPC, a la UAB i a Santa Eulalia deRoncana, creiem que globalment es pot valo-

rar molt favorablement el desenvolupament dela prova. Si algunes anomalies es van produirs’han d’imputar a la SCM i, en canvi, per totel que va anar be, la comissio Cangur-2000agraeix la col.laboracio de totes les persones quehan fet possible aquest exit i han encoratjat ipreparat els alumnes perque hi participessin.

L’any 2000 (Any Mundial de les Ma-tematiques) la participacio en el Cangur vaaugmentar considerablement; tot i aixo en-guany encara ha tingut un augment substan-cial pel que fa al nombre total d’alumnes (el16,5 %), pero, en canvi, el nombre de centresi el d’alumnes del darrer curs de la secundarias’han mantingut.

Any Nivell Alum. Centres

1r 2n 3r 4t1996 648 453 212 — 1.313 1061997 666 696 473 275 2.110 1261998 833 867 576 329 2.605 1671999 1.663 1.323 742 414 4.142 2442000 2.255 2.072 961 619 5.906 2992001 2.425 2.544 1.311 599 6.879 297

Les mencions especials del Cangur-2001

Cada any els alumnes i les alumnes que parti-cipen en el Cangur reben com a record de laseva participacio un pin. El color d’aquest pinindica el nivell: verd, primer nivell; blau, segonnivell; groc, tercer nivell; vermell, quart nivell.Ara be, la Societat Catalana de Matematiqueste establerta una distincio especial del Cangurque anomena el pin de plata. Aquest reconei-xement es fa, entre d’altres, a aquells alumneso aquelles alumnes que han obtingut premi entotes les seves participacions en el Cangur iaquest any han rebut el pin de plata: MartıPrats Soler, de l’IES Montserrat de Barce-lona, i Josep Planelles Bort, de l’IES Jau-me I de Borriana.

D’altra banda, en cada nivell del Cangurels classificats en un dels tres primers llocs te-nen com a premi un viatge a la Comunitat Va-lenciana, amb visites a Terra Mıtica i el nou

Museu de les Ciencies de Valencia (del 22 al25 de juny) per a l’alumne/a premiat/ada i unacompanyant (amb la possibilitat d’un segonacompanyant a preu reduıt). El segon grup depremis (≪de categoria B≫, alumnes classificatsen els llocs 4t, 5e i 6e) i el tercer grup (≪de ca-tegoria C≫, 7e, 8e i 9e) reben un val per a ma-terial de Pont Reyes, empresa col.laboradora enel Cangur, 50.000 i 30.000 mil pessetes respec-tivament. Tambe tenen premi (una calculadoragrafica Hewlett-Packard) els classificats en elsllocs del 10e al 14e i, a causa de l’elevada parti-cipacio d’alumnes de l’ESO, la taula de premises completa amb unes mencions per a alumnesd’aquests nivells i, en tots els casos, la distincios’acompanya d’alguns llibres de matematiqueso de caracter divulgatiu.

Tot seguit publiquem la relacio dels premismes destacats. Si alguna persona vol completar

4

la informacio i coneixer un estudi estadıstic, hipot accedir a traves de la web de la Societat,http://www.iec.es/scm/

Primer nivell

Primer premi, exaequo, amb encert total:

Carles Barneda Ciurana,

IES La Bisbal (Les Gavarres);

Guillem Escola Verge,

La Salle Bonanova (Barcelona);

Alba Millanes Romero,

Escola Solc (Barcelona);

Carles Ventura Royo,

Sant Pau Apostol (Tarragona), 150 punts.

Premi de categoria B:

Arnau Sarda Forcadell,

IES Francisco de Goya (Barcelona),

146,25 punts.

Segon nivell

Primer premi, amb encert total:

Daniel Rodrigo Lopez,

La Salle Montcada (Montcada i Reixac),

150 punts.

Segon premi:

Adria Colome Figueras,

IES d’Alella (Alella), 136,25 punts.

Tercer premi:

M. dels Angels Travesa Sucarrats,

Escola Pia de Nostra Senyora (Barcelona),

129,75 punts.

Premis de categoria B:

Raul Vinyes Raso,

Aula Escuela Europea (Barcelona), 128,75punts.

Joel Esteva Iglesias,

IES Montsacopa (Olot), 128,50 punts.

Roc Moline Vila,

Escola els Arcs (Barcelona), 127,50 punts.

Tercer nivell

Primer premi:

Sergio Millan Lopez,

IES Santa Eulalia (L’Hospitalet),

143,75 punts.

Segon premi:

Plamena Stoyanova Bojrova,

IES Marti i Franques (Tarragona),

116,25 punts

Tercer premi:

Xavier Pujol Algue,

IES Lluıs de Peguera (Manresa),

107,25 punts.

Premis de categoria B:

Eduardo Caro Huertas,

IES Marius Torres (Lleida), 106,25 punts.

Xavier Gil Molinero,

Col.legi Cultural (Badalona), 104,75 punts.

Arnau Clot Razquın,

Col.legi Claver (Lleida), 101,75 punts.

Quart nivell

Primer premi:

Marcal Garolera Huguet,

IES Menendez y Pelayo (Barcelona),

127,5 punts.

Segon premi:

Martı Prats Soler

(pin de plata),

IES Montserrat (Barcelona), 126,25 punts

Tercer premi:

David Ibanez Alonso,

Aula Escuela Europea (Barcelona),

120,00 punts.

Premis de categoria B:

Daniel Lazaro Iglesias,

IES Collserola (Barcelona), 110 punts.

Francesc Fite Naya,

Escola Joan Pelegrı (Barcelona),

108,5 punts.

Ramon Farreny Gaya,

IES Alfons Costafreda (Tarrega),

106,25 punts.

Per acabar aquest apartat, deixeu-nos es-mentar una dada que creiem que fa que el Can-gur es mereixi un premi ≪a la diversitat ge-ografica≫, i es el fet que van rebre premi o men-cio alumnes de 59 centres diferents (15 de Bar-celona ciutat, 25 de la provıncia de Barcelona,5 de la provıncia de Girona, 6 de la provınciade Tarragona, 6 de Lleida i 2 de Castello).

5

Concursos col.lectius de la SCM

En un altre ambit de treball, complementaridel Cangur, es interessant d’explicar que en lesreunions del professorat col.laborador va sorgirla idea de fer un concurs de resolucio de proble-mes amb tres fites:

• Que s’hagues de treballar de manera col.lec-tiva.

• Que s’allargues en el temps, com a tasca com-plementaria a la preparacio del Cangur.

• Que es fes us d’eines telematiques.

Aixı va neixer el concurs Relleus-2000, queels centres participants van valorar positiva-ment, i per aquesta rao amb el mateix plan-tejament se n’ha desenvolupat de novembre de2000 a maig de 2001 la segona edicio: Relleus-2001.

En cada centre participant s’organitzava unequip ≪internivells≫ que intentava resoldre elsquatre problemes que es van proposar en ca-dascuna de les sis jornades. La denominacio del’activitat ve del fet que la solucio de cada pro-blema feia falta per al seguent.

Els centres que han rebut les millors valora-cions han estat:

IES de la Bisbal (Les Gavarres),722 punts,IES Barres i Ones (Badalona) iIES Can Mas (Ripollet), 713 punts,

amb el benentes que per cada problema podiarebre una valoracio maxima de 30 punts i ques’han puntuat, per cada centre, les cinc millorsjornades mes 25 punts per jornada presentada.

Tambe l’any 2000 va comencar una altraactivitat col.lectiva: es va fer el dia anterior alrepartiment de premis del Cangur una provaen lınia de resolucio de reptes matematics perequips de centre. I com que van ser nombrosesles manifestacions del tipus ≪ens ho hem pas-sat molt be≫, doncs enguany, el dia 9 de maig,va tenir lloc la segona edicio de la prova on-line de la Societat Catalana de Matematiques,

que enguany ha rebut la denominacio de Pro-blemes a l’esprint. Podeu trobar-ne informa-cio (i jugar-hi, si en teniu ganes) a la webhttp://www.xtec.es/∼agoma.

El primer centre que enviava les respostescorrectes a 18 questions, penjades a Internet ales 14 hores, guanyava la prova. El centre gua-nyador va ser l’IES Alexandre Satorras, deMataro, que va enviar les 18 respostes correctesa les 15 hores i 1 minut.

Cloenda

El dia 10 de maig de 2001, al Centre de Cul-tura Contemporania de Barcelona, es va fer elrepartiment de premis del Cangur. La Comis-sio Cangur de la SCM constata les mostresde reconeixement a la tasca d’organitzacio d’a-questes activitats que es desenvolupen amb exitcreixent any rere any. Es cert que des de la SCMs’hi esmercen molts i molts esforcos pero no hoes menys que sense la col.laboracio del profes-sorat de tots els centres participants (molt enespecial dels que han estat centre-seu) no espodria avancar en el camı de fer que els alum-nes i les alumnes participants (ells i elles sonl’anim del Cangur) trobessin el gust per lesmatematiques.

A tots ells i totes elles, moltes gracies!!!Us esperem en el Cangur-2002 perque heu desaber que, cada vegada que ens dieu que hemajudat a motivar l’alumnat en el seu treball enel camp de les matematiques (i, sortosament,son moltes), aixo ens anima a continuar.

Acabare la cronica proposant un problemaque el conseller d’Universitats, Recerca i Soci-etat de la Informacio, ens va proposar al finaldel seu parlament en l’acte d’entrega de premis:

Es tracta d’obtenir el numero 21 com a re-sultat d’una operacio en que intervingui una iuna sola vegada cadascun dels numeros 1, 5,6 i 7. Es pot sumar, restar, multiplicar i divi-dir (i si ho heu d’escriure tambe necessitareuparentesis).

Antoni GomaComissio Cangur/Relleus

IES Joanot Martorell. Esplugues

6

XXXVII Olimpıada Matematica Espanyola, Murcia i Cartagena

Els passats dies 23, 24 i 25 de marc, es va cele-brar l’edicio 37 de l’Olimpıada Matematica Es-panyola, organitzada per la Real Sociedad Ma-tematica Espanola i les Universitats de Murciai Politecnica de Cartagena. Els participants esvan allotjar en una residencia a la vora del MarMenor, a Los Alcazares.

Hi van participar 118 estudiants de totes lescomunitats espanyoles, guanyadors de les res-pectives primeres fases. D’aquests estudiants,16 eren de 1r de batxillerat, 2 de 4rt d’ESO i laresta de 2n de batxillerat o COU.

Els participants totals a les proves de la pri-mera fase van ser 2.420 a tot Espanya, repartitsaixı per comunitats autonomes en ordre decrei-xent de participacio: Andalusia 527, Castellai Lleo 339, Arago 247, Comunitat Valenciana221, Asturies 133, Paıs Basc 112, la Rioja 109,Canaries 104, Extremadura 95, Galıcia 91, Ma-drid 90, Navarra 77, Catalunya 70, Cantabria62, Castella-la Mancha 62, Murcia 60, Balears19, Melilla 2.

Els participants catalans vans ser els gua-nyadors de la fase catalana de l’Olimpıada:Maria Saumell Mendiola (IES Lluıs de Reque-sens, Molins de Rei); Francesc Fite Naya (Col-legi Joan Pelegrı, Barcelona); Miquel Oliu Bar-ton (Aula Escola Europea, Barcelona); MartıPrats Soler (IES Montserrat, Barcelona); RocMaymo Camps (Institucio Cultural del CIC,Barcelona); Artur Latorre Musoll (IES Guillemde Bergueda, Berga); Sergio Millan Lopez (1rde batxillerat a l’IES Santa Eulalia, l’Hospi-talet de Llobregat); Joaquim Cevallos Morales(Aula Escola Europea, Barcelona); Pedro Va-lero Lanau (Lycee Francais, Barcelona). Els vaacompanyar Carles Romero Chesa, que tambeva participar a comissions tecniques a Murcia.

L’equip catala va assolir un exit sense pre-cedents: es van obtenir vuit medalles en total,de les quals tres van ser d’or, dues de plata i du-es de bronze. Els guanyadors de medalles d’orvan ser Martı Prats Soler (segon lloc), SergioMillan Lopez (quart lloc) i Miquel Oliu Barton(sise lloc); els de medalles de plata: JoaquimCevallos Morales i Francesc Fite Naya; i els demedalles de bronze: Roc Maymo Camps i MariaSaumell Mendiola. A mes, com que el primerclassificat, Javier Coppola Rodrıguez, de Ma-drid, no te nacionalitat espanyola, el sete classi-ficat i primera medalla de plata, Joaquim Ceva-llos, formara part de l’equip espanyol que par-ticipara a la 42nd International MathematicalOlympiad, que tindra lloc a Washington, DC(EUA), el propers dies 2 al 13 de juliol. Aquestequip estara format, doncs, pels quatre concur-sants catalans Martı Prats, Sergio Millan, Mi-quel Oliu i Joaquim Cevallos, juntament ambLuis Hernandez Corbato, de 4rt d’ESO (Ma-drid), i Ignacio Cascudo Pueyo (Oviedo).

La propera edicio de l’Olimpıada tindra lloca Logrono i l’organitzara la Universitat de LaRioja. Des d’aquı encoratgem tots els estudi-ants de 2n i 1r de batxillerat a participar-hi;tambe els d’ESO que s’hi vegin en cor, com LuisHernandez Corbato, de Madrid, que ha pogutobtenir un tercer lloc!

La Societat Catalana de Matematiques con-tinua i continuara fent sessions de preparacioobertes a tots els nois i noies que vulguin con-cursar, o simplement que els agradin les ma-tematiques. Nomes cal que ho diguin, i estarema la seva disposicio.

Enhorabona als guanyadors, gracies a totsels que han col.laborat i ajudat en les tasques depreparacio i organitzacio, i anim als que encaratenen l’oportunitat de participar-hi.

Josep GraneUPC

7

Matematiques i ensenyament

IES Montserrat

L’IES Montserrat va voler contribuir a la ce-lebracio de l’Any Mundial de les Ma-tematiques amb alguna activitat que des-cobrıs la presencia de les matematiques en totsels ambits del coneixement. Ho varem proposarals companys dels diferents departaments i laidea els va entuasiasmar.

El projecte es va convertir en una exposiciotitulada ≪La matematica, un llenguatge uni-versal≫. Cada departament va elaborar, amb lacol.laboracio dels professors i dels alumnes, unescartolines on s’exposava un aspecte rellevant deles matematiques, i que estigues relacionat ambla materia del departament, amb un tıtol, tex-tos i imatges relacionades.

Tot el conjunt va tenir una unitat esteticaque va dirigir el seminari de dibuix. El contin-gut va ser el seguent:

• Seminari de Filosofia: historia de la logica.

• Seminari de Matematiques: Fermat, Gauss iGalois, historia de la numeracio, els orıgensde la geometria, els grans matematics grecs:Euclides, Arquimedes i Apol.loni, la demos-

tracio del teorema de Pitagores.

• Seminari d’Historia: la matematica arab, l’es-cola de traductors de Toledo.

• Seminari de Frances: Descartes.

• Seminari de Religio: Gerbert d’Orlac.

• Seminari d’Italia: les matematiques a la Di-vina Comedia.

• Seminari de Llengua i Literatura Catalanes:caligrames, art lul.liana.

• Seminari de Llengua i Literatura Castellanes:matematiques i textos literaris.

• Seminari de Dibuix: mosaics matematics.

• Seminari de Fısica i Quımica: historia de l’u-nivers.

• Seminari de Tecnologia: historia de lesmaquines de calcular.

• Seminari de Ciencies Naturals: les formes ge-ometriques de la natura.

Aquesta exposicio es pot fer servir en un fu-tur com a material d’aula i pot ser model perrealitzar altres treballs amb l’alumnat.

Pilar AlconIES Montserrat

8

La Matefest de 2001

El dimecres 4 d’abril de 2001 va tenir lloc lasegona edicio de la Matefest, la festa de les ma-tematiques, al claustre de la Facultat de Ma-tematiques de la UB.

Es tracta d’una fira de caracter ludic i ex-perimental que preten fer confluir, durant unajornada i en un context matematic, aspectestan diferents com el pedagogic, l’academic, elrecreatiu, el festiu, etc. a partir de la partici-pacio interactiva d’alumnes, professors i publicassistent.

La Matefest fou ideada i engegada l’any passatper en Pep Puigvert, un estudiant de la nostraFacultat i del qual, aquest any, vam prendreel relleu en l’organitzacio cinc alumnes: DanielCuadras, Jordi Da Palma, Laura Sastre, Susa-na Velasco i Daniel Wuhl, i un recent llicenciat,Sergio Paton. Des de principis de marc, vamdedicar el nostre temps i esforc per arribar amobilitzar el capital huma i material necessariperque aquesta edicio fos tan reeixida com lapassada. I en aquesta tasca no vam estar sols,ja que vam rebre en tot moment el suport dela Facultat a traves del dega, Joan Elias, i elvice-dega, Jose Manuel Corcuera, a mes de lafeina de suport del personal d’administracio iserveis. Tambe cal destacar la contınua motiva-cio i l’assessorament del professor de Didacticade les Matematiques, Anton Aubanell, per talde renovar alguns dels continguts respecte al’edicio anterior. Des d’aquestes pagines volem

agrair molt sincerament la col.laboracio i dedi-cacio absolutament desinteressades dels nostrescompanys de la Facultat, veritables protagonis-tes de la Matefest, els quals, amb els diferentsi variats estands elaborats a partir de les sevesaficions i inquietuds envers les matematiques,donaven el veritable ambient festiu, i que ambles explicacions i atencions a tots els assistentsque, curiosos, voltaven pel pati de ciencies, cre-aven l’atmosfera de complicitat i participacioimprescindibles perque la Matefest fos un exit.

Com a esdeveniment que sorgeix dels alum-nes de la Facultat, les propostes d’entreteni-ment i d’interes vers les matematiques canvi-en i es renoven amb el temps d’aquesta maneraels nous estands que es van poder veure, i ques’afegien a alguns de l’edicio anterior, servirenper constatar, per una banda, la vitalitat i ori-ginalitat de les idees dels nostres col.laboradorsi, per l’altra, la gran quantitat de contingutsmatematics que estan esperant per poder serdesenvolupats en un context com el de la Ma-tefest.

• Grafs: d’una forma divertida i sorprenentens demostraven com alguns problemes quesorgeixen de forma popular, com el dels pontsde Konisberg o el problema dels grangers, te-nen una resolucio del tot descontextualitzadai abstracta gracies a la teoria de grafs.

• Jocs logics: poques vegades paradoxes fa-moses com la d’Aquil.les i la tortuga havienestat explicades amb tant d’entusiasme. Perola logica es encara mes extensa! Com molt bevan explicar-nos els nostres companys.

• Criptografia: els estudiants encarregatsd’aquest estand van treballar de valent perpresentar-nos un magnıfic joc d’espies. Elsvisitants podien enviar i rebre missatges en-criptats, pero el que no sospitaven es quees podien interceptar i tambe llegir, senseconeixer-ne-la clau!

• Geometria projectiva: els alumnes de l’as-signatura optativa de Complements de geo-metria projectiva ens mostraren la bellesa deles envolvents de les coniques del pla, on elvisitant aprenia a construir-les manualmentsobre uns grans taulells de fusta amb fils iclaus.

• Figures tridimensionals: a partir d’un fe-nomen optic curios que permet tenir la sen-

9

sacio d’estar veient figures en tres dimen-sions, els nostres companys amb l’ajuda del’ordinador ens deixaren embadalits amb lesmagnıfiques representacions que aconseguientraspassar, aparentment, el seu univers pla.

• Varietats: son o no son divertides les ma-tematiques? Son o no son divertits els ma-tematics? Els estudiants d’aquest estand nonomes ens van fer riure, sino que tambe ensvan deixar intrigats amb tot un seguit de jocsper pensar.

• Eines de calcul: no sempre hem tingut lasort de tenir ordinadors! Les eines de calculque els van precedir, com ara l’abac, el com-postil o les regles de Nepper, son del tot cu-rioses i enginyoses, i a pesar de la seva apa-rent senzillesa permeten realitzar les operaci-ons mes complexes.

• Serveixen o no serveixen les ma-tematiques? La resposta no la donaven aconeixer, pero sı que hi donaven molts argu-ments en contra i a favor. Les noies d’aquestestand proposaven alguns jocs que podien ar-ribar a ser un vertader mal de cap i altres quepodien salvar-nos la vida!

En aquest punt cal fer una especial mencio al’extraordinaria col.leccio de polıedres que elprofessor Josep Rey i Nadal va mostrar en undels estands habilitats a la tarda, i la nova par-ticipacio dels estudiants de la Facultat de Fısicade la UB amb el professor Josep Manel Parraal capdavant en el dedicat als cubs de Rubik.

Si voleu mes informacio podeu trobar-la a larenovada i extensa pagina web de la Matefest:http://www.mat.ub.es/matefest2001.

Aquest any la Matefest va comptar amb unnou element, l’escenari del pati, el qual va pos-sibilitar la realitzacio d’activitats globals dinsd’un context divulgatiu i d’entreteniment, quees succeıren al llarg de les cinc hores de la festa,que comencava amb l’acte d’inaguracio, als vol-tants de les 12.30, a carrec del dega de la Facul-tat de Matematiques, i la presencia del rectorde la UB, amb el preceptiu tall d’una senye-ra que adoptava, no cal dir-ho, la forma d’u-na banda de Mobius. Des de l’escenari, quatreprofessors de la Facultat, un per cada departa-ment: Josep Pla, Joaquim Ortega Cerda, CarlesCuadras i Artur Travesa, realitzaren quatre pe-tites xerrades titulades, respectivament, ≪Quete a veure. . . ?≫, ≪Analisi i arqueologia musi-cal≫, ≪Les dades estadıstiques del Titanic≫ i

≪Per que cau la poma? Un model per l’emma-gatzemament d’informacio≫, amb un to desim-bolt i distes que va captar rapidament l’atenciode tots els assistents en un pati convertit enuna magnıfica aula a l’aire lliure amb les se-ves cadires i la seva pissarra. Cap a les 13.15la Coral de Matematiques va oferir-nos un breupero magnıfic concert que fou la perfecta corti-na musical per refrescar el claustre quan el solescalfava mes.

A mes a mes vam comptar amb la inesti-mable presencia de dues persones convidades:en primer lloc, el professor de la UAB i anticalumne de la Facultat Jordi Deulofeu, que vapronunciar una entretinguda exposicio vers lamatematica recreativa i els problemes d’enginy,que tantes bones estones han fet passar a mol-ta gent i que sovint han esdevingut la guspiraper a la investigacio i l’aprofundiment de moltesbranques de les matematiques, i, en segon llocel professor de l’IES i mag professional JosepMiquel Ortega, Magic Kel, que amb la seva for-midable actuacio ≪Matemagiques≫, combinantmatematiques i magia amb grans dosis de sen-tit de l’humor, va encisar tots els presents finsa transportar-nos al tancament de la Matefest2001 al voltant de les 18.00.

No podem oblidar-nos del Ferran Carrasco-sa, el qual durant les cinc hores s’encarrega del’ambientacio musical amb una excel.lent selec-cio de temes i del control del so de les interven-cions des de l’escenari; ni de l’Astrid Hubner,

10

que va immortalitzar amb les seves fotografiesels millors moments de la Matefest, ni tampocde la Mari Carmen Vicens i la Begona Azcarate,que van passejar-se amb la camara de vıdeo,aconseguida en l’ultim sospir, recollint en imat-ge i so l’essencia que desprenia la Matefest de2001.

La Matefest, com a esdeveniment obert atothom, te com objectiu que la gent vingui ala Facultat per gaudir i participar activamentamb nosaltres de les matematiques; per aixo vo-lem donar les gracies a totes les persones que

van visitar-nos, des d’alumnes de secundaria aprofessors, public en general i mitjans de co-municacio, que amb la seva assistencia van col-laborar, d’una manera o altra, a fer que el dia4 d’abril de 2001 fos veritablement la festa deles matematiques, i perque la il.lusio i motivaciofacin que aquesta celebracio esdevingui una deles cites anuals on la societat s’apropa a la uni-versitat i a les matematiques i aixı arreli d’unamanera definitiva entre tots.

PER MOLTS ANYS MATEFEST!!!

La Comissio dela Matefest 2001

Noticiari

Reciprocitat amb la RSME

Benvolguts socis, us comuniquem que la quota de reciprocitat de la Real Sociedad MatematicaEspanola per l’any 2001 es de 20 euros.

Pilar Bayer i Vicenc Navarro, academics

Volem felicitar des d’aquı la professora PilarBayer i Isant i el professor Vicenc Navar-ro i Aznar, de la Universitat de Barcelona,per haver estat elegits academics per la RealAcademia de Ciencias y Artes de Barcelona, eldia 8 de marc de 2001.

La professora Pilar Bayer va llegir lamemoria titulada ≪Poincare i les funcions Fusc-hsianes≫ que va ser contestada per l’academicnumerari Excm. Sr. Dr. Martı Verges i Trias.

Resum presentat per Pilar Bayer:A principis de segle, l’il·lustre matematic Hen-ri Poincare fou convidat a donar una con-ferencia a l’Institut General Psychologique, deParıs. Poincare centra el seu discurs en lescircumstancies que envoltaren algunes de lesseves descobertes, per exemple, de les funci-ons fuchsianes, pero hi defugı tota explicaciotecnica, ates que, segons ens diu, el que esd’interes per als psicolegs no son els teoremes,sino les circumstancies. La conferencia de Poin-care, recollida en l’opuscle Science et Methode,

exercı una gran influencia en estudis posteri-ors sobre la psicologia dels processos creatiusen matematiques. El nostre proposit es pre-sentar una apreciacio actualitzada del text dePoincare des d’un punt de vista cientıfic, es adir, amb mes emfasi en els teoremes que enles circumstancies. Com veurem, la matematicaimplıcita en el discurs de Poincare mereix en-cara ser considerada.

El professor Vicenc Navarro va llegir lamemoria titulada ≪Sobre el concepto de si-metrıa en geometrıa≫ que va ser contestadaper l’academic numerari Excm. Sr. Dr. MartıVerges i Trias.

Resum presentat per Vicenc Navarro:El proposit d’aquest discurs es donar una breuexposicio d’un punt de vista dins de les ma-tematiques que, exemplificat en el Programad’Erlangen, es pot considerar que domina l’or-ganitzacio de la geometria, aixı com les sevesmes modernes aplicacions a la fısica, i que con-

11

sisteix en la utilitzacio de principis de simetriacom a eina fonamental per a la comprensio d’a-questes teories en els nivells mes basics.

La simetria s’ha pres com a principi logici cientıfic i successius models de la fısica, desd’Arquımedes fins al model estandard de la te-oria de partıcules elementals, passant natural-ment per la teoria de la relativitat, estan domi-nats per principis de simetria. La simetria s’haassociat amb la regularitat, l’ordre, l’harmonia,la bellesa, l’equilibri. . . , pero que es la simetriacom a concepte geometric?

La formalitzacio matematica del conceptede simetria ha anat evolucionant amb el tempsquasi de la mateixa manera que evolucionavenles matematiques i m’atreviria a dir que la for-ma concreta d’expressar la simetria reflecteixmolt clarament les idees generals que predomi-nen en les matematiques, i en part tambe en lafısica, de cada perıode.

L’aplicacio dels principis de simetria a lamateixa geometria era essencialment el con-tingut del programa d’Erlangen de Klein. Enaquest programa es proposava la unificacio deles diverses geometries que es coneixien aquellaepoca en termes de grups, considerant com asenyal caracterıstic de cada geometria el grupd’automorfismes.

Des d’aquest punt de vista, que podrıemclassificar de classic, s’ha identificat la simetriaamb el concepte de grup i en aquest contextla consideracio de simetries cada vegada messubtils te la seva traduccio en la consideraciode grups cada vegada mes complexos: grups fi-nits no abelians, grups infinits discrets, grups

de Lie. . . . En la segona seccio del discurs femun rapid repas d’alguns exemples notables d’a-questes simetries: solids platonics, sanefes, mo-saics, cristalls. . .

A les seccions seguents s’introdueixen les si-metries internes i les simetries quantiques, quesorgeixen de l’estudi de fibrats principals i lamecanica quantica, i fan apareixer els H-grups iels grups quantics. Aquests objectes, malgrat elseu nom, no son grups en el sentit usual del ter-me, i proven la insuficiencia del concepte classicde grup per expressar la idea de simetria en ge-neral.

A la seccio cinquena es presenta la teoriade categories com el marc adequat, actualment,per formular i entendre el concepte de simetria.En particular, s’introdueixen les categories mo-noidals i els objectes grup en una tal catego-ria, que tenen com a exemples els H-grups iels grups quantics anteriors, i aixı es pot re-plantejar el programa d’Erlangen en aquestscontextos a priori allunyats del que s’enteniaclassicament com a geometria.

A la seccio sisena introduım les categoriestannakianes com a expressio de la simetria atraves de les seves representacions, i s’exposabreument la conjectura que completaria la teo-ria de motius de Grothendieck i permetria ob-tenir el grup de simetries de les varietats al-gebraiques sobre un cos. Finalment es comen-ten els resultats recentment obtinguts sobre lescaracterıstiques d’Euler motıviques, en relacioamb l’anterior conjectura.

A tots dos la nostra mes sincera enhora-bona!!

Quarta Trobada Matematica

El divendres 20 d’abril es va celebrar la quar-ta edicio de la Trobada Matematica de laSCM. La Trobada, iniciada l’any 1998, convi-da, un cop a l’any i en nom de la SCM, elsinvestigadors en matematiques dels Paısos Ca-talans a l’intercanvi d’idees i inquietuds.

La Trobada d’enguany va tenir lloc a l’Es-cola Universitaria Politecnica de Vilanova i laGeltru, tot coincidint amb la celebracio del pri-mer centenari de l’Escola Politecnica. Cal agraira l’Escola, i en particular als membres del De-

partament de Matematica Aplicada IV, l’ex-cel.lent acollida que van proporcionar als par-ticipants. El nombre d’inscrits va arribar finsa cinquanta-cinc, tot i que la presencia de re-presentants de les Illes i el Paıs Valencia es vaveure reduıda respecte a anys anteriors, pro-bablement a causa que aquella setmana no eralectiva en aquestes contrades.

Les conferencies es van desenvolupar al’esplendida Aula Magna de l’Escola Po-litecnica. Als parlaments d’obertura van pren-

12

dre la paraula Sebastia Xambo, president dela SCM, Andreu Catala, director de l’EscolaPolitecnica de Vilanova i la Geltru, i CarlesCurras, en nom dels organitzadors. Tot seguitvan intervenir els conferenciants. Com en lesedicions anteriors de la Trobada, hi va haverun programa interessant i variat, format per lescinc conferencies seguents:

Joan Cerda (UB). Commutadors de l’analisii interpolacio.

Ignasi Mundet (UAM). Com comptar esferesmirant un mirall.

Angel Calsina (UAB i UdG). Sobre algunsmodels matematics d’evolucio biologica.

Enric Fossas (UPC). Control no lineal: siste-mes plans i sistemes d’estructura variable.

Jose Miguel Bernardo (UV). Teorıa de la de-cision, inferencia estadıstica y teorıa de lainformacion: una vision integrada.

Les conferencies van anar acompanyadesd’animades discussions i de la presentacio dediversos posters i preprints.

L’activitat cientıfica de la jornada es vacomplementar amb un dinar al restaurant CanGatell, en el qual, en un ambient cordial i distes,va quedar palesa la inequıvoca vessant social dela Trobada.

Seguint els costums iniciats l’any 1998, lesconferencies de la Trobada apareixeran publica-des al Butlletı de la SCM, de manera que els quino van poder assistir-hi personalment podran,tanmateix, tenir-hi acces.

Xavier MassanedaUB

Acord de reciprocitat entre la SCM i la FEEMCAT

1. Segons els acords de la SCM en la seva jun-ta de 2 de maig de 2001 i els acords de laFEEMCAT en la seva junta del 25 d’abril de2001, el president de la SCM i la presidentade la FEEMCAT firmen el present acord dereciprocitat.

2. Els associats i les associades de cadascuna deles associacions gaudiran dels drets i avantat-ges que es detallen seguidament:

2.1 Activitats organitzades per una de les as-sociacions: podran assitir-hi en les matei-

xes condicions que els associats de les en-titats organitzadores.

2.2 Publicacions: les persones interessades po-dran rebre les corresponents a l’altraassociacio mitjancant el pagament de1.500 pessetes anuals.

3. Ambdues associacions es comprometen a im-pulsar activitats conjuntes que responguin ales finalitats que hi ha als seus estatuts.

4. El present acord perdra la seva validesa sialguna de les dues societats aixı ho desitja.

Firmat a Barcelona el 2 de maig de 2001

Sebastia Xambo DescampsPresident de la SCM

Marta Berini Lopez-LaraPresidenta de la FEEMCAT

13

Workshop on Applied Mathematics in Europe,

Berlingen, Suıssa, 4-6 maig, 2001.

Resum del report presentat per Sebastia Xambo a la Newsletter de l’EMS.

Aquest workshop es pot considerar com la pri-mera gran iniciativa presa per la EuropeanMathematical Society (EMS) per tal de garan-tir que ≪els matematics aplicats sentin que laSocietat tambe es la seva casa≫. El resultatprincipal del workshop es la declaracio de Ber-lingen, que van aprovar i signar tots els parti-cipants. Consta dels nou punts seguents:

1. La presencia de la matematica aplicada en elsorgans de l’EMS amb capacitat de prendredecisions hauria d’incrementar-se significati-vament.

2. El comite de matematica aplicada ha de ser,en l’actualitat, un organ actiu. Els seus ob-jectius haurien d’adaptar-se al nou paper delcomite. El president hauria d’esser invitat ales reunions del Comite Executiu.

3. Les matematiques pures i aplicades hauriend’estar equitativament representades en lespublicacions de la EMS.

4. S’haurien de crear gradualment grups ambinteressos especials.

5. L’EMS hauria d’incrementar les seves acti-vitats col.laborant amb societats internacio-nals, nacionals i regionals en l’organitzacio dereunions.

6. L’EMS tambe hauria de desenvolupar el seuprograma de Summer Schools. Es constataamb satisfaccio que l’actual programa incloutemes tant de matematica pura com d’apli-cada.

7. L’EMS hauria de caminar cap als objectiusseguents: (a) els estudiants de matematiqueshaurien de coneixer aplicacions de les ma-tematiques a les ciencies o a altres arees; (b)els professors d’institut haurien de tenir unaformacio adequada en matematica aplicada imodelitzacio matematica.

8. L’EMS hauria de pronunciar-se respecte a ladeclaracio de Bolonia de 1999.

9. Es constata amb satisfaccio que l’EMS ha es-tablert un comite per incrementar el reconei-xement public de les matematiques. L’EMShauria de promoure iniciatives locals, enco-ratjar col.laboracions amb diverses organitza-cions i recollir i disseminar informacio sobre

iniciatives de les societats membres en aques-ta area.

Firmat per Abarbanel Saul, Alefeld Goetz, Bo-nilla Luis, Branner Bodil, Brezzi Franco, CapassoVincenzo, Cioranescu Doina, Cojocaru Svetlana,Dassios Georgios, Di Lorenzo Emilia, Engl Heinz,Engquist Bjorn, Frank Andras, Gaindric Constan-tin, Gyllenberg Mats, Jeltsch Rolf, Larsen Allan,Markovic Zoran, Martin-Deschamps Mireille, Ne-vanlinna Olavi, Norton Julia, Perman Mihael, Pi-card Colette, Piccinini Renzo, Pironneau Olivi-er, Rendl Franz, Sibillo Marilena, Simar Leopold,Somersalo Erkki, Stefani Silvana, Stuart Trevor,Teicher Mina, Teugels Jef, Vial Jean-Philippe,Xambo-Descamps Sebastia i Yagola Anatoly, aBerlingen, diumenge 6 de maig, 2001.

Segons l’opinio del reporter, la reunio es vadesenvolupar de manera positiva i constructivaper part de tots els participants i va ser global-ment un exit. Creu tambe que la declaracio deBerlingen sera un pas important en la historiade l’EMS. Com que es un document sintetic,elaborat sobre la base del consens, no pot reflec-tir les vives i intel.ligents discussions que l’hanprecedida.

N’esta prevista una continuacio durant elcongres EMS-SIAM a Berlın del 2 al 6 de se-tembre de 2001.

Llista de societats presents en el mıting.Cinc societats internacionals de matematicaaplicada: Bernoulli Society, European Commu-nity on Computational Methods in Applied Sci-ences (ECCOMAS), International Congress onIndustrial and Applied Mathematics (ICIAM),Institute of Mathematical Statistics, Mathe-matical Programming Society. Cinc societatsnacionals: Belgian Statistical Society, DanishOperations Research, Finnish Inverse ProblemsSociety, Italian Association of Mathematics Ap-plied to Economic and Social Sciencies, Societyof Industrial and Applied Mathematics in Italy(SIMAI). Quatre societats de matematica apli-cada membres de l’EMS: European Consorti-um on Mathematics in Industry (ECMI), Euro-pean Society on Mathematics and Theoretical

14

Biology (ESMTB), Gesellschaft fur Angewand-te Mathematik und Mechanik (GAMM), So-ciete de Mathematiques Apliquees et Industri-elles (SMAI). I altres societats membres Cata-lan Mathematical Society, Hellenic Mathemati-cal Society, Institute of Mathematics and Com-

puter Science of Moldavia, Janos Bolyai Mat-hematical Society, London Mathematical Soci-ety, Mathematical Institute SANU-Yugoslavia,Slovenian Mathematical, Physical and Astrono-mical Society, Societe Mathematique de France,Society of Romanian Mathematicians.

Sebastia XamboPresident de la SCM

ICM2006 a Espanya

El comite executiu de la Unio Matematica In-ternacional (IMU) en la seva reunio anual ce-lebrada a Princeton el passat mes de maigde 2001 ha acordat seleccionar la candidatu-ra d’Espanya per a la organitzacio del CongresMundial de Matematics de l’any 2006. Aixo sig-nifica que el Comite Executiu de l’IMU presen-tara com a seva la candidatura espanyola a laproxima Assemblea General de l’IMU que escelebrara a Shangai el cap de setmana previ alCongres de Pekın l’agost del 2002.

Cridem doncs a tots, a la col.laboracio i ala participacio activa a traves de les societatsque componen el comite de l’IMU, en el treballd’organitzacio d’aquest Congres.

Sociedad Espanola de Matematica Aplicada,

Sociedad de Estadıstica e Investigacion Opera-tiva,

Societat Catalana de Matematiques,

Real Sociedad Matematica Espanola.

2a Reunio de Degans i Directors de Matematiques

El mes de novembre de 2000 va tenir lloc,a la Facultat de Matematiques de la Uni-versitat de Barcelona, la segona Reunio deDegans i Directors de Matematiques.

Amb el permıs dels organitzadors, a quiagraım la seva col.llaboracio, us oferim unspetits resums de les contribucions alla pre-sentades.

Programa d’activitats

28 de novembre de 2000

12.00 h. ≪La investigacion matematica enEspanya: panoramica e impresiones,≫ perCarlos Andradas, Univ. Complutense deMadrid, president de la RSME, i Enrique

Zuazua, Dept. Matematica Aplicada, Univ.Complutense de Madrid.

16.00 h. Primera mesa

• ≪Situacion actual de la matrıcula,≫ perAngel Ferrandez, vicerector d’Innovacioi Desenvolupament, Univ. de Murcia.

• ≪Declaracion de Bolonia≫, per Gaspar

Rossello, director d’Afers Academics,Univ. de Barcelona.

18.00 h. Segona mesa

• ≪Problemas de la licenciatura en ma-tematicas,≫ per Jose Carrillo, dega dela Facultat de Matematiques, Univ. Com-plutense de Madrid.

29 de novembre de 2000

9.30 h. Tercera mesa: Perspectives de fu-tur I.

15

• ≪Licenciatura/Diplomatura en Ciencias≫,per Antonio Campillo, dega de la Fa-cultat de Ciencies, Univ. de Valladolid.

• ≪Tercer Ciclo≫, per Marta Sanz, vice-presidenta de la Divisio de Ciencies Expe-rimentals i Matematiques, Univ. de Bar-celona.

• ≪Titulaciones dobles≫, Miguel Angel

Goberna, Dept. d’Estadıstica i Investi-gacio Operativa, Univ. d’Alacant.

12.00 h. Quarta mesa: Perspectives de fu-tur II.

• ≪Ingenierıa Matematica≫, per Juan

Moran, president executiu de newk-nom, i Alberto Ibort, director Dept. deMatematiques Univ. Carlos III, de Ma-drid.

• ≪Otras orientaciones de la Licenciaturade matematicas,≫ per Tomas Ortega,Dept. d’Analisi Matematica i Didactica deles Matematiques, Univ. de Valladolid.

16.00 h. Conclusions: Estructura de la con-ferencia de degans. Comissions de treball.

La investigacion matematica en Espana: panoramica e impresiones

Carlos Andradas, Univ. Complutense de Madrid, president de la RSME, i Enrique Zu-

azua, Dept. de Matematica Aplicada, Univ. Complutense de Madrid.

En aquesta exposicio es presenta un es-tudi realitzat sobre l’activitat investigado-ra matematica a Espanya durant la decada1990–1999. S’han consultat les bases de da-des MathSci, Science Citation Index (SCI)i Social Sciences Citation Index (SSCI). Labase de dades MathSci esta elaborada sotala responsabilitat de l’American Mathema-tical Society (AMS), mentre que les basesSCI i SSCI estan elaborades per l’Institu-te for Scientific Information (ISI) de Fila-delfia (EUA). Aquestes bases de dades re-cullen una seleccio de les principals revistescientıfiques internacionals.

Com a indicador de visibilitat o difusiodels resultats de la investigacio s’ha utilitzatel factor d’impacte de les revistes de publica-cio, tal com apareixen en el Journal CitationReports dels anys corresponents al perıode1990–1999. El factor d’impacte d’una revis-ta representa el nombre mitja de cites rebu-des per article en un perıode de temps. Aixı,el factor d’impacte de 1998 de la revista Xes calcula dividint les cites que durant 1998han fet les revistes font del SCI, SSCI i A&HCI (Arts and Humanities Citation Index)als articles de la revista X dels anys 1996 i1997, pel total d’ıtems citables publicats perla revista X en aquests dos anys.

Informacio general sobre la produccio ma-tematica proporcionada per la base de dadesMathSci

Tant en la produccio matematica espanyolacom en la mundial, existeix un clar predomi-ni de l’article, que figura com a ≪journal≫ ala base de dades, com a tipus de documentmes utilitzat, que suposa el 80 % de la pro-duccio espanyola i el 76 % de la producciomundial. Segueixen els proceedings, que su-posen un 19 % de la produccio espanyola i un15 % de la produccio mundial. Les traducci-ons d’articles i els book-proceedings tenen unpes molt baix en la produccio, igual que elsllibres, que suposen un 3 % de la producciomundial i un 1 % en la produccio espanyola.La produccio matematica espanyola durantla decada dels noranta suposa el 2,3 % de laproduccio matematica mundial.

Comparacio entre la produccio matematicamundial i l’espanyola en el perıode 1990–1999corresponent a articles en la base de dadesMathSci

La taula seguent compara l’evolucio anualde la produccio matematica mundial amb laproduccio espanyola durant el perıode 1990-1999 en la base de dades MathSci.

16

La comparacio amb la base de dadesISI reafirma la conclusio obtinguda per labase de dades MathSci: la produccio ma-tematica espanyola ha crescut durant la dar-rera decada molt per sobre del que ho ha fetla produccio matematica mundial.

Espanya Mundial % relatiuAny Nre. doc. Nre. doc. Espanya-Mun.1990 669 39040 1,7 %1991 742 39478 1,9 %1992 875 40371 2,2%1993 925 41522 2,2 %1994 893 43468 2,1 %1995 1086 46695 2,3 %1996 1321 55893 2,4 %1997 1760 65196 2,7 %1998 1396 48908 2,9 %1999 1350 40132 3,4 %Total 11017 460703 2,4 %

L’aportacio espanyola en la base de da-des ISI ha passat de representar l’1,7 % dela produccio mundial el 1990 a representarel 3,4 % el 1999.

Distribucio de la produccio matematica a Es-panya per comunitats autonomes

L’analisi de la produccio matematica espa-

nyola per comunitats autonomes es recull ala taula seguent. S’observa la gran concen-tracio de la investigacio que existeix a Ma-drid i Catalunya, seguides a certa distanciaper Andalusia i Valencia. Aquestes qua-tre comunitats autonomes acaparen mes del65 % de la produccio matematica espanyola.(La UNED no es considera.)

Com. aut. Nre. doc. %

Madrid 1924 24,1 %Catalunya 1582 19,8 %Andalusia 1215 15,2 %Valencia 830 10,4 %Arago 561 7,0 %Castella-Lleo 513 6,4 %Galıcia 459 5,7 %Paıs Basc 358 4,5 %Canaries 256 3,2 %Cantabria 236 3,0 %Murcia 187 2,3 %Asturies 137 1,7 %Extremadura 113 1,4 %Navarra 94 1,2 %Balears 80 1,0 %La Rioja 27 0,3 %UNED 110 1,4 %

Total 7991

Distribucio de la produccio matematica a Espanya per universitats

Nre. % resp.Centre doc. totalUniv. Complut. de Madrid 916 11,5Univ. de Barcelona 653 8,2Univ. de Granada 630 7,9Univ. de Saragossa 561 7,0Univ. Politec. de Catalunya 510 6,4Univ. Auton. Barcelona 462 5,8Univ. de Valencia 455 5,7Univ. Auton. de Madrid 424 5,3Univ. de Santiago de Comp. 397 5,0Univ. de Valladolid 367 4,6Univ. de Sevilla 362 4,5Univ. del Paıs Basc 358 4,5Univ. Politec. de Madrid 310 3,9Univ. Politec. de Valencia 266 3,3Univ. de La Laguna 251 3,1Univ. de Cantabria 236 3,0Univ. de Murcia 187 2,3Univ. de Malaga 164 2,1Univ. de Salamanca 139 1,7Univ. d’Oviedo 137 1,7Univ. d’Extremadura 113 1,4

Nre. % resp.Centre doc. totalUniv. d’Alacant 112 1,4UNED 110 1,4Univ. Carlos III de Madrid 93 1,2Univ. Publica de Navarra 93 1,2Univ. de les Illes Balears 80 1,0Univ. de Vigo 67 0,8Univ. d’Almeria 47 0,6Univ. Jaume I 47 0,6Univ. de Cordoba 33 0,4Univ. de La Rioja 27 0,3Univ. de La Corunya 24 0,3Univ. d’Alcala de Henares 23 0,3Univ. de Cadis 22 0,3Univ. Pompeu Fabra 14 0,2Univ. de Burgos 12 0,2Univ. de Lleida 8 0,1Univ. de Jaen 7 0,1Univ. de Las Palmas 5 0,1Univ. de Navarra 1 0,0

Total 7734

17

Hacia una convergencia del sistema universitario europeo

Gaspar Rosello, director d’Afers Academics, Universitat de Barcelona.

La Declaracio de Bolonya, firmada el 1999per tots els ministres d’Educacio de la UE,recull alguns punts importants per arribara:

– Una Europa del coneixement, com a fac-tor irreemplacable per al creixement sociali la formacio dels ciutadans.

– Un increment en la competitivitat a escalainternacional.

– L’establiment d’un sistema educatiu dequalitat que es pugui exportar a tot elmon.

Les futures directrius per crear una aread’educacio superior europea tendiran a ge-neralitzar el sistema de credits i usar el su-plement al diploma, a harmonitzar la dura-cio de les titulacions i a adoptar un entramatcomu i flexible de qualificacions. El suple-ment al diploma es una informacio addicio-nal al tıtol que descriu la naturalesa, nivell,context i contingut de l’esmentat tıtol.

Passem a comentar diverses conclusionsde la reunio de rectors a Almagro.

Almagro

S’accepta el nou concepte de credit que in-clou tota la feina que comporta una as-signatura a l’estudiant: hores d’estudi, tu-tories, practiques etc. S’ha de distingir,pero, entre credit carrega/alumne i creditcarrega/professor usant si cal noms dife-rents per als uns i els altres. Cada credit hade ser diferent en funcio de titulacio, materiai curs.

Es proposa un treball anual al voltant dequaranta setmanes, incloent-hi examens.

S’haurien de revisar els actuals plansd’estudi tenint present el nou concepte decredit.

Es preveu la necessitat de canvis norma-tius (estatuts, plans d’estudi, etc.) i de can-vis d’habits docents i administratius. S’had’incentivar el canvi i posar atencio a la for-macio del professorat.

Definicio del perfil professional com a ele-ment clau per definir el pes de les materiesimplicades.

Hi ha acord per incorporar la notanumerica amb un decimal per a facilitar ladiscriminacio de l’expedient.

Titulacions

L’Area d’Educacio Superior Europea propo-sa l’adopcio d’un sistema basat essencial-ment en dues fases consecutives per obtenirel grau. L’acces a la segona fase requerirahaver completat de manera suficient la pri-mera fase, de duracio mınima de tres anys.

El grau atorgat per la primera fase hade ser rellevant en el mercat laboral euro-peu. La segona fase conduira al master i/oal grau de doctor.

Per tot aixo, Espanya ha de revisar lesseves titulacions, duracio i nous curricula, iimplantar-ne de noves, de cicle curt (3 cur-sos) o llarg (3+2 o 4+1) amb adquisiciode dos tıtols amb competencies professionalsdefinides. La mateixa estructura per a totesles universitats. Aixo pot comportar reuni-ficar carreres actualment existents.

Totes aquestes modificacions s’hauriende fer sense alterar la dedicacio del profes-sorat.

Licenciaturas y diplomaturas en facultades de ciencias

Antonio Campillo Lopez, Universidad de Valladolid.

Els punts principals de la intervencio son:

1. Principi professional: preservar la profes-sio de matematic.

2. Principi d’unitat: activitat matematicaunica, independentment de les sensibili-

tats i camps d’aplicacio.

3. Treball coordinat dels membres dels de-partaments de matematiques en tots elsaspectes relatius a una titulacio.

4. Tıtol classic de matematiques que pot co-

18

existir amb tıtols d’eventual impacte soci-al; exemples: matematiques tecnologiques,financeres, industrials, socials, de les tele-comunicacions, de les ciencies naturals, del’educacio.

5. Tıtol classic de llicenciat/diplomat en ma-tematiques: adaptat al caracter multidis-ciplinari de la ciencia i de la tecnologia.

Es convenient introduir en la titulacioclassica de matematic ensenyances d’al-tres ciencies i tecniques: fısica, quımica,biologia, electronica, informatica, tecno-logia, mecanica, economia, ecologia, de-mografia, geografia. . . Tambe alguna com-ponent d’humanitats: literatura, historia,art. . . amb la finalitat de contribuir aldesenvolupament de la capacitat d’expres-sio i comprensio.

6. L’activitat cientıfica i la innovacio curri-

cular. L’activitat cientıfica de cada ma-tematic ha de tenir almenys quatre com-ponents: aplicada, basica, competitiva (esa dir, practica o social) i divulgativa. Exis-teix tambe l’ensenyament.

Proposta aproximada de titulacio classicaadaptada, pensada per a cinc anys:120–135 credits troncals o obligatoris. Basede la carrera.90–75 credits d’altres disciplines ci-entıfiques, tecniques i materies d’humani-tats.30 credits optatius de cursos o laboratorisintegrats.30 credits de lliure eleccio.10–15 credits d’idiomes.10–15 credits d’un treball de fi de carrera.Alternativament, una estada convenient enuna empresa.

Reunio de degans i directors, novembre de 2000,

Universitat de Barcelona

19

Tercer ciclo

Marta Sanz Sole, vicepresidenta dela Divisio de Ciencies Experimentals i Matematiquesde la Univ. de Barcelona.

Tenint en compte la insercio professional delmatematic i la practica de la professio en elfutur, quins son els objectius formatius deltercer cicle? Es a dir, per que volem formar?;quins haurien de ser els continguts?

Prenent com a referents contraposats lafrase de G. H. Hardy: ≪La practica de lesMatematiques tant sols es pot justificar comuna forma d’art≫ i la de Phillip Griffiths:≪No podem restar impassibles davant lesnecessitats de la societat i continuar treba-llant en una torre de marfil≫, pensem quetot i que es lıcit que qualsevol matematicprioritzi el valor artıstic de la creativitatde la seva investigacio matematica, com aactivitat intel.lectual sense tentacles ni lli-gams que l’apropin a la realitat, la practicade les matematiques en el segle xxi no potjustificar-se en aquests termes. De fet, el ma-teix desenvolupament extraordinari de lesmatematiques durant el segle xx ha demos-trat la bondat d’actituds mes obertes a lainteraccio en camps molt variats, d’actitudsmes inclinades a la socialitzacio.

Som ciutadans d’un gran estat anomenatUnio Europea, en el qual s’estan discutintles bases per a la creacio de la denominadaEuropean Research Area.

Passo a transcriure algunes frases d’undocument del 4 d’octubre de 2000 presentaten el Parlament Europeu.

La creacio de l’ERA requereix, entre al-tres coses:

• Eliminar obstacles per a la lliure circula-cio d’investigadors en les diferents arees:carreres cientıfiques.

• Millorar l’eficiencia de la investigacio eu-ropea, establir xarxes entre centres iarees d’excel.lencia, desenvolupar projec-tes d’investigacio de gran escala.

• Enfortir els recursos humans cientıfics eu-ropeus, incrementar la mobilitat, desenvo-lupar carreres europees, fer que les profes-sions cientıfiques siguin mes atractives perals joves.

• Establir, a escala europea, un nou contrac-te entre ciencia i societat, que reforci els

vincles entre activitats i polıtiques d’in-vestigacio i les necessitats de la societat.

En un ambit local, les lınies de polıticacientıfica que es perfilen per al futur vanencaminades a posar en practica les ideesexposades anteriorment o a complementar-les. Actualment, a Catalunya, s’esta elabo-rant el III Pla d’investigacio marc, que fixarala polıtica cientıfica en els proxims quatreanys. D’un document provisional de treballhe extret els objectius seguents:

• Potenciar la formacio de joves investiga-dors.

• Promoure la internacionalitzacio de la in-vestigacio a traves de la contribucio aldesenvolupament de l’European ResearchArea.

• Estimular la implicacio de les empreses enles activitats d’investigacio, desenvolupa-ment i innovacio mitjancant la contracta-cio d’investigadors per les PIME.

• Incrementar la formacio de professionalscapacos de fer front als reptes que plante-ja la complexitat del mon actual.

• Promoure la investigacio interdisciplinariai multidisciplinaria, ja que els progressoscientıfics solen produir-se en les fronteresentre els diferents camps de la ciencia.

• Estimular la formacio de personal investi-gador d’excel.lencia i la seva integracio enel sistema R+D.

• Suport a la creacio i manteniment de pro-grames de doctorat d’excel.lencia.

Sembla que si volem mantenir la sintoniaamb el nostre entorn, i el meu missatge esque sı que hem de voler, haurem d’estructu-rar el tercer cicle com un proces de formacioacademica de nivell superior en el marc dela creacio d’una area d’educacio superior eu-ropea, en el qual es tendira a homogeneıtzarla duracio de les titulacions en un sistemade dos cicles (4+1 o 3+2).

Els objectius que haurem de consi-derar son la formacio d’investigadors enmatematiques o professionals d’alt nivell

20

capacos de: realitzar investigacio de quali-tat en ambients molt competitius, col.labo-rar en grans projectes cientıfics, treballar enequips cientıfics multidisciplinaris, treballaren els lımits entre ciencia i tecnologia, sentir-se atrets pels reptes cientıfics que planteja elmon actual, es a dir, ser sensibles a les ne-cessitats de la societat.

Es clar que podem preguntar-nos: son elspolıtics els qui han de tenir la clau del desen-volupament de la nostra activitat cientıfica?

La proposta que faig es la d’iniciar unadiscussio per a la creacio en una primera eta-pa d’estudis de tercer cicle en matematiques

interuniversitaris i, a curt termini, tambe es-tudis de tercer cicle interdisciplinaris.

L’actual decret de tercer cicle i les nor-matives propies d’algunes universitats noofereixen el marc legal adequat per al desen-volupament d’un tercer cicle que compleixiels objectius que he assenyalat anteriorment.

Potser un marc adequat que possibilita-ria la materialitzacio de les idees que propo-sem foren les escoles de doctorat en centresd’excel.lencia on hi hagues una oferta ampliaen les diverses arees de les matematiques i enaltres camps afins del coneixement cientıfic,adequada a una formacio d’alt nivell.

Titulaciones dobles

Miguel Angel Goberna Torrent, director del Departament d’Estadıstica i InvestigacioOperativa, Univ. d’Alacant.

Hi ha moltes raons (atendre una necessi-tat social, obertura del mercat de treball alsfuturs matematics, atraure nous estudiants,etc.) que aconsellen preparar els alumnes dela Llicenciatura en Matematiques per a laresolucio dels problemes reals que sorgeixenen els mes variats camps d’activitat, des deles ciencies de la naturalesa a les noves tec-nologies, sense oblidar les ciencies socials.

Aquesta preparacio inclou la formaciobasica, pero tambe la familiaritat dels es-tudiants amb els conceptes i metodes d’al-tres disciplines, i aixo es pot aconseguiroferint itineraris especialitzats o passarel.lesque faciliten l’acces dels estudiants de Ma-

tematiques que hagin superat el primer cicle,al segon cicle d’altres llicenciatures (o a car-reres de segon cicle, com ara la Llicenciaturaen Ciencies i Tecniques Estadıstiques).

Algunes universitats espanyoles han op-tat por oferir dobles titulacions. Per exem-ple, la Universitat Politecnica de Catalunyapermet cursar Matematiques i Telecomuni-cacions. La Universitat de les Illes Balearsofereix la doble titulacio en Matematiques iInformatica, mentre que la Universitat d’A-lacant facilita l’obtencio simultania de les lli-cenciatures en Matematiques i en Economia.Respecte a aquesta ultima podeu trobar in-formacio a http://www.eio.ua.es/licmat/index.htm

Otras orientaciones de la Licenciatura de Matematicas

Tomas Ortega del Rincon, Didactica de la Matematica. Facultat d’Educacio. Univ. deValladolid.

Es presenta una reflexio sobre la Llicencia-tura de Matematiques des de la Didacticade la Matematica suggerint la implanta-cio de dues noves orientacions professionalscom a possibles solucions a la davallada ge-neralitzada de la Llicenciatura. Es fa unbrevıssim apunt sobre les dificultats que te-nen els alumnes per superar les assignatu-res de matematiques, s’indiquen les causes

de l’alt percentatge d’abandonaments en elsestudis de matematiques i del descens dematrıcules noves, la qual cosa suggereix no-ves orientacions de la Llicenciatura de Ma-tematiques i, finalment, es fa una analisi delsnous perfils de l’alumnat i una petita revi-sio de les sortides professionals que per simateixes avalen les orientacions suggerides.

La ponencia tracta de reflectir el punt de

21

vista que la Sociedad Espanola de Investiga-cion en Educacion Matematica (SEIEM) tesobre la Llicenciatura de Matematiques. Noesta exempta, pero, d’una reflexio personalde l’autor.

Els punts essencials de la ponencia sonels seguents:

1. Matematiques es una de les assignaturesmes difıcils de superar en tots els nivellseducatius. Les matematiques tenen difi-cultats d’aprenentatge intrınseques, que lison propies, i aixo dona lloc a un conjuntd’obstacles, de vegades difıcils de salvar.Tots els curricula de matematiques (d’e-ducacio primaria, secundaria obligatoria ibatxillerat) haurien de tenir mes hores lec-tives. La matematica es una ciencia quenecessita cert repos perque pugui fluir persi mateixa.

2. La Llicenciatura de Matematiques es unade les que registra un ındex d’abandona-ments mes alt en el primer curs, perque hiha un problema de base formativa i unaorientacio incorrecta.

3. Orientacions de la Llicenciatura de Mate-matiques.

Es inquestionable que els plans d’estudipoden millorar-se i que s’haurien de mi-llorar per respondre a les demandes de lasocietat actual.

Aquesta situacio fa considerar almenystres planificacions curriculars molt dife-rents:

• Professor d’universitat. Aquests alum-nes, futurs professors, tan sols podenimitar els models pedagogics de les ac-tuacions dels seus professors. Hauri-en d’aprendre com ensenyar-los, face-ta que, en general, no esta atesa en elscurrıculums actuals.

• Especialista en models matematics apli-cats. Aquests alumnes han d’especia-litzar-se en l’aplicacio de models ma-

tematics (industrials, comercials, soci-als, etc.).

• Professor d’Ensenyament Secundari.Necessita una formacio radicalment di-ferent de la que apareix en els actualsplans d’estudi. Per diverses raons:

a. Aquests professors han d’impar-tir vuit cursos de matematiques obli-gatories i un taller de matematiquesoptatiu. Aixo conforma uns contingutsmolt densos, amb l’agreujant que laUniversitat no els n’ha instruıt en bonapart.

b. No han rebut cap formacio detipus didactic i, per tant, desconeixenmetodologies d’ensenyament.

c. No han estat instruıts ni enl’us de noves tecnologies com a einesdidactiques al servei de l’ensenyamentde les matematiques ni en el de materi-als didactics especıfics.

d. L’avaluacio es un mon totalmentdesconegut per a ells.

Aixı doncs, els alumnes que pretenenser professors d’ensenyament secunda-ri, a part de superar assignatures decontingut matematic d’universitat, hau-rien d’estar obligats a cursar altres as-signatures on es tractessin tots els con-ceptes dels currıculums d’ensenyamentsecundari, assignatures de didactica dela matematica, incloent-hi l’us de ma-terials didactics i noves tecnologies, i,almenys, una assignatura sobre avalua-cio.

4. Poques sortides professionals.

Es produeix aquı una paradoxa: hi ha po-ques sortides professionals, a part de ladocencia, pero gairebe no hi ha atur en-tre aquests llicenciats. No hi ha llocs detreball especıfics, pero aquests llicenciats,per estar habituats als processos cognitiusque son caracterıstics de la matematica,son apreciats en el mon empresarial.

22

Conclusions

I. Organitzacio.

1. Es decideix fixar el nom del futur organis-me i de la reunio en: Conferencia de Decanosy Directores de Matematicas de Espanya.2. Son membres de la conferencia: els respon-sables de les llicenciatures en matematiquesd’Espanya, i els degans o directors de depar-tament. Observadors: societats cientıfiques oprofessionals, directors de departament i elCSIC.3. Es constitueix una comissio gestora encar-regada de redactar uns estatuts de la con-ferencia, formada per J. Carrillo, A. Campi-llo, E. Casas, R. Echevarrıa, J. Elıas i E. Ma-cias. Presentaran el projecte en la proximareunio de la Conferencia de Degans.4. La proxima reunio de la Conferencia es-tara organitzada per A. Campillo, aproxi-madament cap a l’abril o maig de 2001.

II. Investigacio

Es constata la millora espectacular que haexperimentat la investigacio matematica aEspanya durant la decada 1990/1999, tantdesde el punt de vista qualitatiu com quan-titatiu. Tanmateix, aixo no es reflecteix su-ficientment en la presencia d’investigadorsespanyols en esdeveniments cientıfics, ni enaltres ambits com ara comites editorials,llocs directius de societats cientıfiques inter-nacionals. . .5. Es decideix emprendre la important feinade la definicio d’investigadors i professors enmatematiques, a partir de la base de dadesCINDOC:http://www.cindoc.csic.es/investigacion/matematicas-

intro.html

6. Potenciacio de la qualitat en els progra-mes de doctorat, aixı com un doctorat d’ex-cel.lencia.

III. Situacio de les facultats i plans d’es-tudi

Es detecten alguns fets basics:

• Descens generalitzat de la matrıcula desde 1997.

• Envelliment del professorat i del personalinvestigador.

• Necessitat de solucions no locals iexistencia d’un marc per a la discussio.

• Dificultat dels estudis, sense les contrapar-tides d’altres titulacions, i de duracio mit-jana excessivament llarga.

• Perspectiva de Bolonya/Praga: reformaradical i homogeneıtzacio europea.

Malgrat voler evitar un pronostic catas-trofista, argumentant que la tornada a ni-vells historics (el nombre d’alumnes de vintanys enrere) podria comportar una milloradels nivells de fracas academic, s’han d’ad-vertir alguns perills reals: possible desapari-cio de la titulacio en algunes universitats isaturacio de les plantilles docents.

Es proposa:

7. Aprofitar la disponibilitat de plantillaper a millorar la qualitat docent: desdoblargrups, incrementar l’atencio personalitzada,tutories.8. Conscienciar el professorat de les fa-cultats sobre la situacio, i implicanr-lo enles propostes de millora: potenciar els pro-grames d’intercanvi (erasmus/ısocrates,seneca), organitzacio i docencia de primerscursos, creacio de laboratoris.9. Potenciar la Xarxa Documat: firma, en laproxima reunio a celebrar a Valladolid, delnou acord amb la participacio de la RSME.10. Participacio activa de les facultats en elscomites de biblioteca.11. Estimular les practiques en empreses.12. Reduir la carrega lectiva i sobre tot lacarrega teorica.13. Us de noves tecnologies en la docenciano presencial, semipresencial, o la presenci-al. Importancia en vista de l’espai Europeud’ensenyament universitari.14. Diversificar l’oferta de titulacions.15. Augmentar el nombre de passarel.les atitulaciones de segon cicle.16. Necessitat de canvis rapids, en la lınia deconservar el nucli de la titulacio i completar-la amb formacio interdisciplinaria.17. Cal fer mes permeable la llicenciatura aaltres ambits proxims, com son la biologia,la fısica, la informatica. Considerar la possi-bilitat de titulacions dobles.

23

18. Fomentar els estudis de postgrau i la for-macio continuada.

IV. Perspectives de futur

19. Millorar el coneixement de la insercio la-boral dels llicenciats/llicenciades i dels re-queriments del mercat laboral.20. Intervencio en la formacio del professo-rat d’ensenyament secundari, ja que es trac-ta d’una quetio fonamental i d’incidencia di-recta sobre el bagatge de l’alumnat de nouingres.

21. Publicitat en dos fronts: ensenyament se-cundari i empreses. Captar alumnat.

22. Crear vocacions matematiques a travesde la divulgacio.

23. Creacio d’instituts universitaris d’inves-tigacio matematica. Coordinacio dels insti-tuts a escala espanyola i Europea.

24. La celebracio de l’ICM2006 a Espanya hade servir per a potenciar les matematiquesa Espanya.

Agenda

Cursos i congressos organitzats pel CRM

Barcelona 2001 EuroPhD TopologyConference

Del 3 al 7 de juliol de 2001 al CRM.

Comite Cientıfic:Antonio Viruel, Universidad de MalagaJerome Scherer, Universite de LausanneNatalia Castellana, University of Aberdeen

Conferenciants:O. Cornea, Universite de Lille 1N. P. Strickland, University of SheffieldP. Salvatore, Universita degli Studi diRomaD. J. Green, Universitat WuppertalS. Schwede, Universitat BielefeldS. Whitehouse, Universite d’ArtoisW. Chacholski, Yale UniversityP. Turner, Heriot-Watt UniversityMes informacio:

http://www.crm.es/b2001etc

Advanced Course on Symplectic Geo-metry of Integrable Hamiltonian Sys-

tems

Del 10 al 15 de juliol de 2001 al CRM.

Coordinadors: Carlos Curras-BoschEva Miranda

Conferenciants:Michele Audin, Institut de Recherche deMathematique Avancee, Estrasburg≪Lagrangian and special lagrangian subma-nifolds≫Ana Cannas da Silva, Instituto TecnicoSuperior de Lisboa≪Symplectic toric manifolds≫Eugene Lerman, University of Illinois atUrbana-Champaign≪Symmetries of symplectic and contact ma-nifolds≫Mes informacio: http://www.crm.es/sgihs

Advanced Course on Global Rieman-

nian geometry: curvature and topo-logy

Del 17 al 23 de juliol a la Universitat Jau-me I, Castello.

Coordinador: Vicent Palmer

Conferenciants:S. Markvorsen, Technical University ofDenmark≪Distance geometric analysis on Riemanni-an manifolds≫M. Min-Oo, McMaster University≪K-area, mass and assymptotic geometry≫

Mes informacio:

http://www.crm.es/geom2001

24

Advanced Course on Modular Forms

and p-adic Hodge Theory

Del 18 al 28 de juliol de 2001 al CRM.

Coordinadors: Adolfo QuirosXavier Xarles

Conferenciants:Christophe Breuil, Universite Paris-Sud≪p-adic Hodge theory, deformations and lo-cal Langlands≫Bas Edixhoven, Universite de Rennes 1≪Modular forms, Galois representations andlocal Langlands≫

Mes informacio: http://www.crm.es/tn2001

EuroConference on Combinatorics,Graph Theory and Applications

Del 12 al 15 de setembre de 2001 al CRM.

Comite Organitzador:Gabor Lugosi, UPFConrado Martınez, UPCMarc Noy, UPCJosep Rifa, UABOriol Serra, UPC

Conferenciants:Noga Alon, Tel Aviv UniversityPeter Cameron, Queen Mary and West-field College

David Eppstein, University of CaliforniaLevon Khachatrian, University of Biele-feldJiri Matousek, Charles UniversityKevin Phelps, Auburn UniversityVera T. Sos, Alfred Renyi Institute ofMathematicsCarsten Thomassen, Technical Univer-sity of DenmarkNick Wormald, The University of Mel-bourne

Mes informacio: http://www.crm.es/comb01

Euro Summer School on Proper groupactions

Del 18 al 22 de setembre de 2001 al CRM.

Coordinador: Carles Casacuberta

Conferenciants:Guido Mislin, ETH Zurich≪Equivariant K-homology of the classifyingspace for proper actions≫Alain Valette, Universite de Neuchatel≪Topological K-theory of group C∗-alge-bras≫

Mes informacio:http://www.crm.es/group-actions

Llibres

Ordinary differential equations with applications

Autor: Carmen ChiconeTexts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 1999.

Carmen Chicone es un matematic ame-rica, especialista en equacions diferencialsordinaries (EDO). El seu camp d’interesdins d’aquesta disciplina va des dels pro-blemes teorics fins a aplicacions de les ma-tematiques a diversos problemes de fısica,enginyeria i mecanica celest. La seva acti-vitat en recerca es notable. Per exemple,es editor dels Proceedings of the AmericanMathematical Society.

El llibre que ha escrit, Ordinary differen-tial equations with applications, es fruit delscursos de doctorat que ha estat impartint a

la Universitat de Missouri durant els ultimsvint anys. Els seus alumnes han estat tan lli-cenciats en matematiques, com llicenciats enfısica o enginyers. La frase seguent, extretadel sumari del llibre, pot ser representativade l’estil en que esta escrit: ≪El llibre no estaescrit en estil axiomatic. Molts resultats s’u-sen abans de donar les seves demostracions,algunes idees es discuteixen sense donar lesseves demostracions i alguns temes avancatsnomes son introduıts, sense ser desenvolu-pats mes tard. L’estil axiomatic prohibeixl’us d’aquests recursos en favor de l’ordre

25

logic. L’altre extrem seria un tractament queintentes transmetre totes les idees del temasense cap intent de donar proves detalladesdels resultats basics. Mentre que la narrati-va d’una aproximacio axiomatica pot ser du-ra i seca, l’excitacio d’una aproximacio ba-sada en idees s’ha de sospesar amb el fetque podria deixar la majoria dels estudiantsprincipiants incapacos d’apreciar la subtile-sa dels arguments necessaris per a justificarles matematiques. Jo he intentat guiar uncurs a mig camı entre ambdues opcions, enel qual es donen formulacions acurades i pro-ves completes dels teoremes basics i tambees discuteixen en profunditat les idees delstemes considerats aixı com el camı que portade les matematiques pures a l’univers fısic.≫

Tal com el mateix autor proposa, el llibreconte material com a mınim per a dos cursosde doctorat semestrals de sistemes dinamics.Un primer curs basat en els capıtols 1 i 2,amb algunes de les aplicacions del capıtol 3,i un segon curs extret de seleccions (a gustdel professor) dels altres cinc capıtols.

Com a descripcio breu del seu contingutdirem que el capıtol 1 conte una recopila-cio dels temes introductoris a l’estudi de lesEDO: existencia i unicitat de solucions, re-

trats de fase, varietats invariants, funcionsde Liapunov. . . , aixı com un repas del calculen espais de Banach.

El capıtol 2 esta dedicat a l’estudi delssistemes lineals i la seva estabilitat; conte enparticular, la Teoria de Floquet i un estudide l’equacio de Hill.

El capıtol 3 conte diverses aplicacionsa mecanica celest, les equacions de Euler-Lagrange, l’oscil.lador de Fermi-Ulam-Pasta,el pendol invertit, aixı com exemples d’al-guns problemes que apareixen a l’estudi d’e-quacions en derivades parcials i que podenser reduıts a l’estudi d’EDO: equacions deprimer ordre, ones viatgeres. . .

Una prova del Teorema de Hartman-Grobman —i, de fet, de resultats mes ge-nerals— basada en l’aplicacio del teoremade la funcio implıcita per espais de Banaches dona al capıtol 4.

En el capıtol 5 s’estudia amb detall elproblema de la continuacio de les orbites pe-riodiques per a pertorbacions no autonomesd’EDO al pla. El capıtol 6 esta dedicat ala teoria de pertorbacio de les orbites ho-moclıniques, al metode de Melnikov i a l’es-tudi de la transicio al caos. En particulars’estudien els fluxos ABC, que apareixenquan es consideren les equacions de Navier-Stokes per a modelar el moviment d’un fluid.

En el capıtol 7 s’estudia la teoria del ter-me mitja, mentre que l’ultim capıtol esta de-dicat a les bifurcacions locals, i es posa espe-cial emfasi en les bifurcacions de sella-nodei Poincare-Andronov-Hopf.

Per a poder llegir el llibre es preferiblehaver seguit ja algun curs previ d’equaci-ons diferencials. La seva consulta es acon-sellable per a qualsevol persona interessadaper les EDO, en particular, i pels sistemesdinamics, en general. Es un llibre util tantper al professor com per a l’alumne i creiemque arribara a ser a totes les biblioteques dematematiques, fısica o enginyeria.

L’autor mante una pagina web on es po-den consultar les errates que es van trobantal llibre i li son comunicades:http://math.missouri.edu/∼carmen/Book/book.html

Armengol GasullUAB

26

Geometry: Euclid and beyond

Autor: Robin Hartshorne.Editorial Springer, Col. UTM (Undergraduate Texts in Mathematics), 2000.A partir d’una versio: Companion to Euclid: A course of geometry, 1997.

Un llibre molt complet i ben escrit sobre ge-ometria classica des d’un punt de vista mo-dern, sense oblidar comentaris historics in-teressants. Es pot considerar com una posa-da al dia dels elements d’Euclides. A part dediscutir les questions teoriques i gairebe fi-losofiques que comporten els fonaments dela geometria, el llibre no oblida el costatpractic, i fa per exemple, forca construcci-ons amb regle i compas, observant en ca-da pas la relacio amb les extensions delcos Q. Quan estudia l’area dona disseccionsexplıcites de figures per veure’n la igualtat,com per exemple la disseccio en quatre pecesd’un triangle equilater en un quadrat.

S’introdueixen tambe les inversions, utilsper a la geometria hiperbolica, pero tambeen geometria euclidiana, i es dona com aexemple la solucio, usant inversions, del pro-blema d’Apoloni consistent a tracar una cir-cumferencia tangent a tres circumferenciesdonades.

Un llibre, doncs, molt interessant, ple decontinguts que qualsevol llicenciat en Ma-tematiques hauria de coneixer be.

Per tenir una idea mes precisa d’aquestllibre, comentem els continguts de cadacapıtol:

Capıtol 1. Geometria d’Euclides Introducciohistorica, on apareixen ja construccions ambregle i compas.

Capıtol 2. Axiomes de Hilbert Presenta elsclassics axiomes de Hilbert d’Incidencia, Or-dre i Congruencia. Per poder assegurar quedos cercles, un dels quals te punts interiors iexteriors de l’altre, es tallen, ho ha d’impo-sar com a axioma, ja que no introdueix elsaxiomes de continuıtat.

Capıtol 3. Geometria sobre cossos Comencantpel cas familiar del pla R2 explica com cons-truir geometries sobre cossos de manera quecompleixin els axiomes de Hilbert. Pels axio-mes d’incidencia i ordre necessita un cos or-denat; per la congruencia necessita una certa

propietat sobre l’existencia d’arrels quadra-des sobre el cos.

Capıtol 4. Aritmetica de segments Suma imultiplicacio de segments, i introduccio decoordenades. Emfasi que a partir dels axio-mes es pot introduir el cos.

Capıtol 5. Area Es rigoritza el concepted’area d’Euclides. Es remarca la dificultatde demostrar que ≪el tot es mes gran que lapart≫. Es comenta el problema de la quadra-tura del cercle. Es dona la solucio de Dehndel tercer problema de Hilbert, que figuressolides d’igual volum no son necessariamentequivalents per disseccio.

Capıtol 6. Problemes de construccio i exten-sio de cossos Es comenten els tres problemesclassics de la quadratura del cercle, dupli-cacio del cub i triseccio de l’angle. Es donala construccio de Gauss del polıgon de 17costats, i es relacionen aquests tipus de pro-blemes amb l’extensio de cossos.

Capıtol 7. Geometria no Euclidiana Breu in-troduccio axiomatica a la geometria hi-perbolica, i estudi d’aquesta geometria enel model de Poincare, on les isometries soninversions.

Capıtol 8. Polıedres Els cinc cossos platonics.Teoremes d’Euler (caracterıstica d’Euler) iCauchy (rigidesa). Grups de simetria delspolıedres.

Agustı ReventosUAB

27

Introduccio a la criptografia

Autor: David Juher.Editorial: Servei de Publicacions de la Universitat de Girona.Col.leccio: Publicacions Docents 15.

L’autor ens proposa una breu introduccio a lacriptografia. El llibre te caracter introductori il’exposicio es autocontinguda, es a dir, que esproveeix de tot el material de base: essencial-ment aritmetica entera i a Z/m. Tanmateix, caltenir certa familiaritat amb aquest material debase per seguir el discurs.

Malgrat que el llibre ressenyat preten cobrirpart dels contiguts de les assignatures de la car-rera d’Enginyeria Informatica de la UdG (Ma-tematica Discreta —que l’autor imparteix— iSeguretat i Proteccio de Dades), pot ser d’in-teres per a qualsevol lector que vulgui adquirirunes nocions basiques de criptografia.

Tret del capıtol 1, on s’introdueixen con-ceptes i mecanismes basics d’aritmetica (nom-bre primer, maxim comu divisor, mınim comumultiple, algorisme d’Euclides, els conjuntsZ/m. . . ), el llibre defuig l’esquema definicio-teorema. Aixı doncs, es presenta un discurscausal (≪el discurs es gairebe historic≫, diul’autor). Aquest no es un llibre de teoria denombres, pero el lector reconeix la matematica

discreta i la teoria de nombres com a modelsmatematics de la criptografia. Els resultats deteoria de nombres que s’usen en els diversoscriptosistemes son presentats en forma de te-orema, pero no es presenten les demostracions.

El capıtol 2 proveeix de les nocions basiquesde la criptografia: alfabet, transformacio xifra-dora i desxifradora, criptosistema, etc. D’al-tra banda es fa una exposicio de la criptogra-fia classica: xifrat de Juli Cesar, criptosistemesafins, xifrats de transposicio.

En el capıtol 3 s’analitzen els criptosistemesmoderns. S’explica que son els criptosistemesde clau publica i de clau privada. S’analitza elcriptosistema de clau privada Data EncryptionStandard (DES) i es descriu el funcionamentgeneral d’un criptosistema de clau publica.

El capıtol 4 es dedica a un dels siste-mes criptografics mes emprats actualment: elcriptosistema de clau publica RSA (Rivest-Shamir-Adleman). Es posa especial cura enmostrar quin es el paper de la teoria de nom-bres en aquest criptosistema. Tambe s’al.ludeiximplıcitament a la nocio de complexitat al-gorısmica (seccio 4.3). Al final del capıtol es fauna breu descripcio de la Pretty Good Privacy(PGP).

En el capıtol 5 es fa un repas d’alguns con-ceptes de la teoria de la informacio com ara laquantitat d’informacio o l’entropia.

Val a dir que cada capıtol va proveıt d’unallista d’exercicis, i el capıtol 6 conte problemesresolts. A mes te una bibliografia comentada,on hi ha adreces d’Internet relacionades amb lacriptografia.

David Juher es professor del Departament deMatematica Aplicada i Informatica de la Uni-versitat de Girona. Desenvolupa la seva recercaen sistemes dinamics discrets. Concretament esautor de treballs a on s’estudien les orbites pe-riodiques, l’entropia topologica i el caos a lesaplicacions contınues d’arbres i de grafs.

Vıctor ManosaUPC

28

Geometria projectiva

Autor: Agustı Reventos.Publicacions Universitat Autonoma de Barcelona.Col.leccio Materials

Publicar, ara i aquı, un text de geometria pro-jectiva es un acte de bel.ligerancia. I ho es per-que la geometria projectiva —malgrat la sevaimportancia matematica i el seu valor formatiudel pensament— s’ha anat convertint en la ven-tafocs dels nostres currıculums, fins a trobar-se,ara mateix, a un pas de la defuncio. En aquestasituacio, publicar un llibre de text com aquest—per a mes inri, un llibre de text excel.lent !—equival a posar el dit a la nafra —una de lesnafres— del nostre sistema educatiu universita-ri. Benvingut sigui, doncs, aquest magnıfic texti esperem que els nostres estudiants el puguinarribar a llegir, perque aixo voldra dir que lespropietats basiques de les rectes i les coniquesencara son objecte d’estudi a les nostres facul-tats!

Fem un repas del contingut del llibre i aixıveurem quin es el punt de vista que l’autoradopta. L’autor —tot i fer esment del puntde vista axiomatic de la geometria— defineixl’espai projectiu P (E) com el conjunt de lesrectes de l’espai vectorial E que passen per l’o-rigen, i les projectivitats P (E) → P (F ) comles aplicacions induıdes per aplicacions linealsinjectives E → F . El tercer capıtol introdu-eix l’espai afı i l’identifica al complementarid’un hiperpla en l’espai projectiu. El tracta-ment que es fa de l’espai afı em sembla d’unatransparencia poc comuna. Per posar un exem-ple, la definicio 3.1.1 ens diu que ≪un espai afıes una accio simplement transitiva del grup ad-ditiu d’un espai vectorial sobre un conjunt.≫

Un cop tenim ben fixades les definici-ons principals, el capıtol quatre comenca aproporcionar-nos els teoremes mes basics, comels de Desargues i Pappus, el teorema fona-mental de la geometria projectiva i el princi-pi de dualitat. En el capıtol seguent s’estudiala geometria projectiva de la recta, es a dir,els conceptes de rao doble, quaterna harmonica,perspectivitat, etc.

La part fonamental d’aquest llibre es la quecompren els capıtols del sis al nou, que es-

tan dedicats a un estudi en profunditat de lesquadriques. Hi trobem el millor tractamentde les quadriques que jo he vist mai: extra-ordinariament acurat pero, al mateix temps,diafan i entenedor. Mereix un esment especi-al el capıtol sobre la classificacio afı de lesquadriques, en que s’arriba a aquesta classifi-cacio sense caure en cap dels paranys, obscu-ritats i, fins i tot, errors que sovintegen en laliteratura dedicada a aquest tema.

El motto del llibre es la frase de Cayley≪la geometria projectiva es tota la geometria≫ ila lectura dels nou primers capıtols fara que ellector quedi convencut de l’encert de Cayley. Siencara li resta algun dubte, caldra que llegeixiel darrer capıtol, on d’una manera molt sim-ple es discuteixen els models projectius de lesgeometries el.lıptica i hiperbolica.

Aquest llibre conte 175 exercicis que aug-menten considerablement el valor d’un text que,per ell mateix, ja es totalment recomanable.

Jaume AguadeUAB

29

Problemes

Tornem a proposar dos problemes de l’EdgarGueto, de la UPC, i un tercer del Jose LuisDıaz, tambe de la UPC. Aquest ultim esta for-mulat en termes de nombres complexos, perotambe es pot resoldre pensant nomes en nom-bres reals.

El professor David Jimenez Jimenez, delDepartament d’Enginyeria Electronica (UAB),ens ha enviat un problema molt similar al delbillar que ocupa part de les solucions d’avui. Noel proposem perque modificant lleugerament lasolucio que publiquem mes avall, es pot resol-dre. Nogensmenys, aquest es l’enunciat que ensha enviat el David Jimenez:

Sigui una taula de billar de forma rectangularde costats a i b nombres enters [a 6= b]. Toquemuna bola des d’una cantonada qualsevol amb unangle de 45◦, i suposem que la bola no pren capefecte i que pot rodar indefinidament. A quinade les quatre cantonades del billar entrara labola?

Sobre aquest problema del billar, l’A41,hem rebut una solucio del professor ClaudioCosın de l’IES Francisco de Goya, de Barce-lona, que va mes enlla de resoldre estrictamentel problema. Pel seu interes i extensio, els edi-tors del Butlletı de la Societat estan estudiantla seva possible publicacio.

Com sempre, preguem als nostres lectors que si fan servir TEX o LATEX per escriure les sevessolucions, les enviın per correu electronic a l’adreca:

pelegri.viader@econ.upf.es

aixı com qualsevol proposta o suggeriment.

Problemes proposats

A47. (Proposat per Edgar Gueto, UPC.) Pro-

veu que, per qualssevol p, n ∈ N,

p2.5n

+ p5n

+ 1

p2 + p + 1∈ N .

A48. (Proposat per Edgar Gueto, UPC.) Con-sidereu la sequencia 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25,26, . . . Proveu que no hi ha quatre termes de laserie que siguin naturals consecutius.

B49. (Proposat per Jose Luıs Dıaz, UPC, Ter-rassa.) Donats els numeros complexos a, b, ctots diferents i no nuls, proveu que

2a + b + c

a(a − b)(a − c)+

a + 2b + c

b(b − a)(b − c)+

+a + b + 2c

c(c − a)(c − b)=

1

ab+

1

bc+

1

ca.

Solucions

Problemes proposats a SCM/Notıcies 12 i a SCM/Notıcies 14

A40. (Proposat per Edgar Gueto, UPC.) Con-

siderem la successio: an − an−1 = (an−1 − 1)2,

a1 = 2. Trobeu S =1

a1

+1

a2

+ · · ·

Solucio: (Antoni Goma , IES Joanot Martorell

de Barcelona.) Si anomenen Sk =1

s1

+ · · ·+1

sk,

suma parcial de la serie que ens cal sumar, espot demostrar per induccio (es un calcul sen-

zill) que Sn−1 =an − 2

an − 1. D’altra banda es pot

escriure an = an−1(an−1 − 1) + 1 i llavors, sian ≥ 2 (cosa que estableix l’enunciat), es veu

de seguida que la successio inicial es estricta-ment creixent.

D’aquests dos fets es dedueix que la succes-sio de sumes parcials Sn es una subsuccessio de

la successio de terme general bj =j

j + 1, que te

lımit 1. Per tant Sn tambe te lımit 1. La sumaS demanada es S = 1.

A41. (Proposat per Edgar Gueto, UPC.) SiguiT = {d1, d2, . . . , dk}, k ≥ 1, un conjunt finitde naturals d1 < d2 < · · · < dk. Proveu queexisteix n ∈ N tal que ∀a ∈ T , ∃b ∈ T tal que

30

ab = n si, i nomes si, ∀α ∈ R es compleix:(

d1 + · · · + dk

1/d1 + · · · + 1/dk

)α

=dα1 + · · · + dα

k

1/dα1 + · · · + 1/dα

k

.

Solucio: (Edgar Gueto, UPC.) a) Provaremprimer la implicacio facil, la qual ens donarauna idea de com abordar la segona. Suposem,doncs, que existeix un natural n de manera que,per qualsevol di ∈ T , tenim un dj ∈ T tal quedidj = n. L’observacio clau radica en el fet que∀a ∈ T , n

a tambe es de T , ja que estem supo-sant que existeix un b tal que ab = n. Llavorspodem considerar el producte seguent:

n

(

1

d1

+ · · · +1

dk

)

= di1 + · · · + dik ,

on {d1, . . . , dk} = {di1 , . . . , dik}. Pero com l’or-dre dels sumands no afecta el resultat, obtenim:

n

(

1

d1

+ · · · +1

dk

)

= d1 + · · · + dk . (I)

Igualment, per qualsevol α ∈ R, (n/di)α =

nα/dαi i n/di = dr per un cert r ∈ {1, 2, . . . , k}.

Llavors,

nα

(

1

dα1

+ · · · +1

dαk

)

= dα1 + · · · + dα

k , (II)

per qualsevol α ∈ R. De (I) obtenim que n =d1+···+dk

1/d1+···+1/dk

i de (II) que nα =dα

1+···+dα

k

1/dα

1+···+1/dα

k

,

∀α ∈ R, d’on resulta facilment la primera im-plicacio.

b) Tornem a tenir el conjunt T = {d1, . . . , dk},k ≥ 1, amb d1 < d2 < · · · < dk, i suposem queper qualsevol α ∈ R es compleix

(

d1+···+dk

1/d1+···+1/dk

)α=

dα

1+···+dα

k

1/dα

1+···+1/dα

k

. (III)

Sigui p = (d1 + · · · + dk)/(1/d1 + · · · + 1/dk) idefinim di = p/di, i = 1, . . . , k. Llavors

pα =(dα1 +· · ·+dα

k )/(1/dα1 +· · ·+1/dα

k ) , α ∈ R.

Passant el factor que divideix a la part esquerrade la igualtat obtenim

pα(1/dα1 + · · · + 1/dα

k ) = (p/d1)α + · · ·+

+ (p/dk)α = dα

1 + · · · + dαk ,

i aplicant la definicio de di, tenim

dα1 + · · · + dα

k = d1

α+ · · · + dk

α, (IV)

per qualsevol α ∈ R.

Ara ens agradaria veure que aixo nomes espot complir si els di formen el mateix conjuntde naturals que els di, encara que ni tan solssabem que els di son naturals. Donat que dk esel major dels di, dividim (IV) per dα

k :

(d1/dk)α + · · · + (dk−1/dk)

α + 1 =

= (d1/dk)α + · · · + (dk/dk)

α , (V)

per qualsevol α ∈ R.Ara be, quan α es fa arbitrariament gran,

el costat esquerra de (V) tendeix a 1, i pertant el costat dret tambe. Si prenem un mem-bre del costat dret, veiem que quan α → +∞,(di/dk)

α tendeix a 0 si di < dk, o be tendeixa 1 si di = dk, i tendeix a +∞ si di > dk, peri = 1, . . . , k. Llavors necessariament di ≤ dk,i = 1, . . . , k. Pero a mes ha d’haver-hi un unicdi igual a dk per tal que el costat dret tendei-xi a 1 quan α tendeixi a infinit. Per tant, tor-nant a (V), veiem que podem suprimir els ter-mes iguals de les dues bandes, amb la qual co-sa podem tornar a repetir el mateix argument,aquest cop sobre dk−1. Finalment arribem al fetque el conjunt dels di es el mateix que el dels di,i = 1, . . . , k. Per tant, donat un di ∈ T , di es talque di ∈ T i didi = p, per la mateixa definiciode di, i = 1, . . . , k, i donat que tant di com di

son naturals, tambe ho es p, amb la qual cosahem provat el que volıem.

Com a exemples. . . Donat un k ∈ N, k > 0,sabrıeu trobar un conjunt T de k elements ambles propietats anteriors?

Nomes cal trobar, per exemple, un nombrenatural amb exactament k divisors. Si k es 4,tenim que, per exemple, D6 = {1, 2, 3, 6} com-pleix les propietats exigides: donat l’1, tenimque 1 · 6 = 6; donat el 2, 2 · 3 = 6; donat el 3,3 · 2 = 6; i donat el 6, 6 · 1 = 6. Per tant s’ha decomplir que per qualsevol α ∈ R,

(

1 + · · · + 6

1/1 + · · · + 1/6

)α

=1α + · · · + 6α

1/1α + · · · + 1/6α,

la qual cosa es pot comprovar facilment. Siprenem el conjunt de tots els divisors de n,Dn, veiem que tambe T = Dn − {a, a} fun-ciona, on a ∈ Dn i a = n/a. Si voleu po-deu provar que, donades les condicions sobreT , (d1 · · · dk)

2 = pk. Deduıu que, si k es senar,llavors p es un quadrat perfecte, i que, per tant,existeix un di ∈ T tal que d1 · · · dk = dk

i .

31

Solucions als problemes proposats a SCM/Notıcies 13

Recordem que per error en el Notıcies 13 va sortir A40,

A41, A42 quan havia de ser A43, A44, A45.

A43. (Proposat per l’IES de La Bisbal.) ElPentadescomponible. Per quins valors de l’en-ter N es possible trobar un enter positiu mespetit que N i nomes un, que accepti ser descom-post de 5 maneres diferents com a suma d’entersconsecutius? (Del diccionari: Suma: agregat dedos o mes nombres.)

Solucio: (Victoria Oliu i Xavier Codola, IESde La Bisbal.) La resposta del problema es10 ≤ N ≤ 18. Vegem com s’hi arriba. Des-composem cada numero en suma d’enters con-secutius, comencant per M = 1, de totes lesmaneres possibles (el 0 es considerat un nom-bre enter com qualsevol altre):

M = 1 Una: 0 + 1M = 2 Una: (−1) + 0 + 1 + 2M = 3 Una:

(−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3M = 4 Una:

(−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1++2 + 3 + 4

M = 5 Una:(−4) + (−3) + (−2)++(−1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5

M = 6 Tres:(−5) + (−4) + (−3) + (−2)++(−1) + 0 + 1 + 2 + 3++4 + 5 + 6.0 + 1 + 2 + 3.1 + 2 + 3.

M = 7 Una:(−6) + (−5) + (−4) + (−3)++(−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3++4 + 5 + 6 + 7

M = 8 Una:(−7) + (−6) + (−5) + (−4)++(−3) + (−2) + (−1) + 0++1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

M = 9 Cinc:(−8) + (−7) + (−6) + (−5)++(−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 0++1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.2 + 3 + 4.(−1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4.(−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2++3 + 4 + 5.4 + 5.

La solucio del problema es N = 10 i tots elsenters consecutius fins a trobar el seguent enterque admeti 5 descomposicions.

Analitzant una mica el problema, hem estu-diat la manera sistematica d’escriure totes lespossibles descomposicions d’un nombre enterpositiu com a suma d’enters consecutius, perassegurar-nos que no ens deixem cap descom-posicio. Hem fet un programa d’ordinador queescriu totes les descomposicions d’un nombre.Pero el mes interessant ha estat que aquestaanalisi ens ha dut a una serie de conclusionssorprenents i ens ha inspirat nous problemesque poden ser plantejats, obvis (potser algunsno tant) un cop es te l’analisi feta. Per exemple:

a) Qualsevol nombre primer admet exactament3 descomposicions en suma d’enters consecu-tius.

b) El nombre de descomposicions que admet Nes igual al nombre de descomposicions queadmet 2N

c) N es potencia de 2 si i nomes si admet unaunica descomposicio en suma d’enters conse-cutius.

d) Quin nombre te el record de descomposicionsdiferents en suma d’enters consecutius, entreels nombres compresos entre A i B?

L’apartat b) ens assegura que el 18 tindratambe 5 descomposicions en suma d’enters con-secutius. Nomes cal comprovar que no hi ha capmes nombre entre 9 i 18 que es descomponguide 5 maneres diferents. Efectivament la respos-ta del problema es 10 ≤ N ≤ 18.

La conclusio de la nostra analisi constructi-va es que el nombre de descomposicions de Men suma d’enters consecutius es igual a 2k − 1,essent k el nombre de divisors imparells de M .

I, finalment, els pentadescomponibles sonels nombres de la forma 2n · p2, essent p unnombre primer diferent de 2.

A44. (Proposat per l’IES Francisco de Goya.)En un full de paper quadriculat simularem al-gunes jugades de billar. En aquest full dibui-xarem un rectangle ABCD de 10 quadradetsde llarg per 6 quadradets d’amplaria. Siga Iel punt mitja del costat AB. Sobre aquest puntcol.loquem una bola de billar i la colpegem ambel tac cap al costat AD. Quan la bola toca per

32

primera vegada el costat AD, haura descrit unsegment de recta de pendent n.

Proveu que, si a les nostres jugades n essempre un nombre natural i no existeix frega-ment de la bola amb la superfıcie de la taula,la bola sempre retorna a I, descrivint una tra-jectoria periodica.

���n

B

I

A

C

D

Al llarg del seu viatge a traves de la taula, labola nomes toca en un nombre finit de puntsdiferents a les bandes. Demostreu que la quan-titat de punts que ha tocat la bola la banda ABes la mateixa que la quantitat de punts tocatsper la bola a la banda DC i calculeu aquestnombre de punts en funcio del valor de n.

Solucio: (Anna Pol, IES Jaume Vicens Vivesde Girona.) Quan la bola colpeja un costat, re-bota seguint una trajectoria simetrica respectel’eix que passa pel punt de contacte i es per-pendicular al costat. Per tant, si considerem unrectangle simetric respecte d’aquest costat, lanova trajectoria quedara alineada amb l’anteri-or. Aixı, podem construir una xarxa de rectan-gles, on dos rectangles adjacents son simetricsrespecte al costat comu, i en aquesta xarxa latrajectoria de la bola sera una lınia recta. Pre-nent coordenades, amb origen el vertex B i ei-xos els que passen pels costats BC i BA tenimque sobre les rectes y = 2k·10, k ≥ 0 s’hi trobenels punts que es corresponen amb els vertexs Bi C. Sobre les rectes y = (2k + 1) · 10, k ≥ 0 s’-hi troben els punts que es corresponen amb elsvertexs A i D. Sobre les rectes x = 2k · 6, k ≥ 0els punts que es corresponen amb els vertexs B iA. I, finalment, sobre les rectes x = (2k +1) · 6,k ≥ 0, els punts que es corresponen amb elsvertex D i C.

Si la bola inicia el recorregut seguint un seg-ment de pendent n ∈ N, per esbrinar si la bolaretorna al punt inicial I = (0, 5) cal veure si elsistema y = nx + 5; x = 2k · 6 te per solucio unpunt amb ordenada y = a ·10+5 i trobar-la pelvalor mes petit de k.

Si n = b ·5, existeix una solucio quan k = 1,i en qualsevol altre cas, quan k = 5.

D’aixo es conclou que, per n ∈ N, la bolasempre retorna a I. Si el pendent del segment

inicial es multiple de 5, la bola nomes toca uncop CD i retorna a I; en qualsevol altre cas,la bola colpeja 5 cops el costat AB i 5 cops elcostat CD.

Per altra banda, calculant el valor de la ydel punt que es correspon amb l’inicial I, po-dem saber quantes vegades colpeja la bola enels altres costats AB i AD.

Si n = b·5 i, per tant, k = 1, y = 60·b+5, latrajectoria talla 6b vegades les rectes y = k·10 i,per tant, la bola colpeja 3b vegades cada costat.

Per qualsevol altre valor de n, k = 5 iy = 60 · n + 5, per tant, la bola colpeja 3nvegades cada costat.

A45. (Proposat per l’IES Joanot Martorell.) Sitirem quatre daus enlaire, quina es la probabili-tat que despres de tirar puguem triar dos dausde manera que la suma dels punts que mar-quen aquests dos daus sigui 7? I si en tirem nen comptes de 4?

Solucio: (Antoni Goma, IES Joanot Marto-rell de Barcelona.) Calcularem la probabilitatde l’esdeveniment contrari al que es demana.Observem que si es tiren n daus, n ≥ 4, sem-pre que surtin 4 nombres diferents en el con-junt dels daus, sera possible trobar-ne dos quesumin 7. Per tant bastara calcular les probabi-litats seguents:

a) que surti el mateix nombre en tots els n daus;si es aixı no podrem trobar dos daus que su-min 7.

b) que en el conjunt dels n daus surtin dos nom-bres diferents i nomes dos i que siguin dosnumeros que no sumin 7. Les possibles pare-lles son 12, a saber: 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 2,3; 2,4;2,6; 3,5; 3,6; 4,5; 4,6 i 5,6.

c) que en el conjunt dels n daus surtin exac-tament tres nombres diferents i que entreaquests nombres no hi hagi cap parella quesumi 7. Hi ha 8 possibles ternes: 1,2,3; 1,2,4;1,3,5; 1,4,5; 2,3,6; 2,4,6; 3,5,6 i 4,5,6.

Passem al calcul.

a) La probabilitat es 6 · 16n

b) Per cadascuna de les 12 parelles la probabi-litat s’obtindra calculant la probabilitat quesurti en tots els daus un dels dos numeros, esa dir,

(

26

)n, i restant-ne els casos (ja comp-

tats) en que en tots els daus surt el mateixnumero, un dels dos que interessen. En total,doncs, 12 ·

[(

26

)n− 2 ·

(

16

)n]

.

33

c) Per cadascuna de les 8 ternes calculem la pro-babilitat que surti en tots els daus un delstres numeros, es a dir,

(

36

)n. Caldra restar

en cada cas la probabilitat de les 3 situaci-ons (ja comptades) en que nomes surten dosdels numeros en joc, que sera 3 ·

(

26

)n. Pero

si ho fem aixı haurem restat dues vegadesla probabilitat que surtin tots els numerosiguals. Caldra tornar a sumar (per cada ter-na) aquesta probabilitat, 3

(

16

)n. La proba-

bilitat total d’aquest apartat sera, doncs:

8 ·(

36

)n− 24 ·

[(

26

)n+ 24 ·

(

16

)n]

.

Si sumem les tres probabilitats calculades tin-drem la probabilitat que, tirant n daus, no pu-gem trobar dos daus que sumin 7. Aquesta pro-babilitat es 8 ·

(

36

)n− 12 ·

[(

26

)n+ 6 ·

(

16

)n]

.

I la probabilitat que demanava l’enunciat es1 − 8 ·

(

36

)n+ 12 ·

[(

26

)n− 6 ·

(

16

)n]

, que es potcomprovar que tendeix molt rapidament cap a1 a mesura que augmenta la quantitat de dausque es tiren.

Pelegrı ViaderUPF

Tesis

• Joan Antoni Sellares Chiva va llegir la seva tesi, dirigida per Ferran Hurtado i XavierPueyo, titulada Structural and algorithmic aspects of geometric projections, el dia 5 de maig de2000. La tesi correspon al Departament de Llenguatges i Sistemes Informatics de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

Les projeccions perspectives ens permeten re-presentar objectes tridimensionals en una su-perfıcie plana bidimensional de manera que espot observar la seva profunditat a l’espai, talcom passa amb la visio humana. Les projeccionsperspectives s’utilitzen ampliament en diferentscamps relacionats amb la ciencia de la computa-cio. En consequencia, l’estudi dels aspectes es-tructurals i algorısmics de les projeccions, llunyd’estar acabats, han pres nova importancia enaquests camps.

L’objectiu principal de la tesi es estudiar iresoldre, fent servir algunes tecniques de geome-tria computacional, problemes geometrics i al-gorısmics relacionats amb les projeccions pers-pectives que proporcionen solucions utils alsgrafics per computador, al dibuix de grafs, ala visio per computador, a la tomografia ge-ometrica i a la geometria computacional.

Es mostra com obtenir ≪bones≫ projeccionsperspectives considerant diferents criteris espe-cialment rellevants en questions de visualitzacioen grafics per computador i dibuix de grafs. Esconsideren problemes que son importants ambrelacio als suposits de no-degeneracio i robus-tesa en els algorismes que s’estudien en geo-metria computacional. Tambe s’examinen pro-blemes de verificacio d’imatges i de verificaciode correspondencies entre imatges relacionatsamb la visio per computador i la tomografiageometrica. Finalment s’estudien propietats es-tructurals de les projeccions perspectives que espoden aplicar al modelat i visualitzacio basatsen imatges (IBM & R) per a millorar diferentsaspectes de la representacio i visualitzacio d’es-cenes en grafics per computador.

34

• Isaac Garcıa Rodrıguez va llegir la seva tesi, dirigida per Javier ChavarrigaSoriano, titulada Contribution to the qualitative study of planar vector fields,el dia 9 de juny de 2000. La tesi correspon al Departament de MatematicaAplicada de la Universitat Autonoma de Barcelona. El director i l’autor de latesi treballen al Departament de Matematiques de la Universitat de Lleida.

En primer lloc es dona una classificacio afı com-pleta de tots els sistemes quadratics que tenenuna corba algebraica cubica irreductible invari-ant. A continuacio, es mostra que no existeixensistemes d’aquest tipus amb cicles lımit excep-te en dos casos, per als quals es mostren exem-ples mitjancant bifurcacio de Hopf. Finalmentes presenten nous criteris per a l’estudi de l’e-xistencia i unicitat de cicles lımit en sistemesquadratics.

D’altra banda, es mostra la utilitat de la im-mersio d’una equacio diferencial en el pla com-plex projectiu mitjancant l’estudi de sistemespolinomials amb infinit degenerat. A mes, pera aquest tipus de sistemes es realitza un estudide la integrabilitat Darboux i es resol totalmentel problema del centre per a sistemes quarticsamb velocitat angular constant. Finalment s’a-pliquen les anteriors tecniques i s’aconsegueix

resoldre el model cosmologic de Bianchi V i do-nar una forma normal i alguns casos particularsnous d’integrabilitat en els models de Bianc-hi VI.

Usant tecniques de geometria algebraica,mostrem que tot sistema polinomial que admetuna integral primera polinomial (resp. racional)admet un generador infinitesimal d’una sime-tria de Lie polinomial (resp. racional). A meses posa de manifest la relacio entre simetriesde Lie, punts crıtics forts i invers de factor in-tegrant polinomial. Tambe es donen algorismesper a la construccio del generador infinitesimalen casos generics i es presenten aplicacions alproblema del centre.

Es conclou amb un estudi del problema de laisocronia en sistemes cubics reversibles, i s’ob-tenen linearitzacions i camps vectorials trans-versals que commuten en diversos casos.

• Miguel Angel Marmolejo va llegir la seva tesi, dirigida per Aureli Alabert, titulada Ecuacio-nes diferenciales estocasticas con condicion de frontera, el dia 17 de juliol 2000. La tesi corresponal Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

Abordem les questions d’existencia, unicitat,lleis i propietats markovianes de la solucio d’e-quacions diferencials estocastiques amb condi-cions de frontera sobre l’interval [0, 1], pertor-bades per un soroll de Wiener i per un soroll dePoisson.

En el cas de Wiener, on la integral es-tocastica es en el sentit de Stratonovich, la prin-cipal aportacio consisteix a establir una carac-teritzacio dels coeficients de l’equacio per alsquals el proces solucio es un camp de Markov(tambe anomenat proces recıproc). Aquests re-sultats es poden trobar a la revista Markov Pro-cesses and Related Fields, 5 (1999).

En el cas de Poisson, tractem primer el casadditiu. Aquı la integral estocastica es en un

sentit trajectorial. Els resultats obtinguts sobreexistencia, unicitat, lleis i propietats markovia-nes apareixeran a la revista Stochastic Proces-ses and their Applications.

Finalment considerem equacions amb so-roll multiplicatiu de Poisson, on la integral es-tocastica es interpretada en el sentit trajectori-al i en el sentit de Skorohod. En ambdos casostractem el problema de l’existencia i unicitatde solucio. En el cas trajectorial estudiem leslleis i les propietats markovianes de la solucio.Finalment fem la descomposicio en caos de lasolucio d’alguns problemes particulars. Un arti-cle sobre el contingut d’aquesta part final estaen preparacio.

35

• Sonia Perez i Mansilla va llegir la seva tesi, dirigida per Oriol Serra iAlbo, titulada Recubrimientos K-arco transitivos de deigrafos, el dia 18 degener de 2001. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada iTelematica de la Universitat Politecnica de Catalunya.

Un dıgraf o graf dirigit es diu que es k-arc tran-sitiu si te grup d’automorfismes que actua tran-sitivament en el conjunt de k-arcs. Per a unenter positiu k, un k-arc d’un dıgraf es unasequencia (x0, x1, . . . , xk) de k + 1 vertexs deldıgraf tal que per a cada i = 0, . . . , k, (xi, xi+1)es un arc del dıgraf. Aquests tipus de dıgrafstenen una alta simetria i per tant poden serutils com a models de transmissio i de difusiode la informacio. Un dels problemes de que ensocupem en aquesta tesi es la modelitzacio detopologies de xarxes d’interconnexio altamentsimetriques mitjancant dıgrafs k-arc transitius.Aixı, una de les principals contribucions de latesi es precisament la construccio de dıgrafsk-arc transitius.

En els primers capıtols incloem la notacio iterminologia basica de dıgrafs que utilitzaremal llarg de la tesi, aixı com un estat de l’artd’altres construccions de dıgrafs k-arc transi-tius conegudes fins ara.

En el capıtol 3 presentem la nostra cons-truccio de dıgrafs k-arc transitius, que es tambeuna tecnica de construccio de recobrimentsk-arc transitius de dıgrafs connexos regulars ar-bitraris per a cada enter positiu k. Com a tecni-ca de construccio de recobriments k-arc transi-

tius, generalitza els resultats de Babai de 1985per als casos k = 0, 1. La idea de la construccioconsisteix a escollir recobriments vertex tran-sitius ≪apropiats≫ del dıgraf lınia k-lınia iteratdel dıgraf de partida, de manera que aquests re-cobriments siguin tambe dıgrafs k-lınia iterats.

En el capıtol 4 introduım el concepte dequadrat llatı uniforme i donem una caracte-ritzacio de les 1-factoritzacions 1-uniformes dedıgrafs lınia en termes de quadrats llatıns uni-formes. Es demostra tambe que els quadrats lla-tins uniformes son isomorfs al quadrat llatı de lataula de composicio d’un grup del mateix ordre.En consequencia, calculem explıcitament elsquadrats llatıns uniformes d’ordre petit i obte-nim les 1-factoritzacions 1-uniformes de dıgrafslınia de grau petit d’algunes famılies de dıgrafs.

En el capıtol 5 estudiem el grup d’auto-morfismes dels recobriments k-arc transitiusque obtenim amb la nostra tecnica. Estudi-em tambe l’estructura del grup d’automorfis-mes dels dıgrafs k-arc transitius que son home-omorfs a un cicle i, en particular, veiem que undıgraf de Cayley es homeomorf a un cicle si inomes si existeix un subgrup normal del grupbase tal que els generadors estan continguts enuna de les classes laterals del subgrup.

• Josep A. Martın Fernandez va llegir la seva tesi, dirigida per Vera Pawlowsky Glahn i CarlesBarcelo i Vidal, titulada Medidas de diferencia y clasificacion automatica no parametrica de datoscomposicionales, el dia 23 marc 2001. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicadade la Universitat Politecnica de Catalunya.

Es molt frequent trobar dades de tipus com-posicional en disciplines tan diferents com son,entre altres, les ciencies de la terra, la medici-na i l’economia. Tambe es frequent en aquestsambits l’us de tecniques de classificacio no pa-rametrica per a la deteccio d’agrupacions na-turals en les dades. No obstant aixo, una re-cerca bibliografica bastant exhaustiva i la pre-sentacio de resultats preliminars sobre el tema

en congressos d’ambit internacional han permesconstatar la inexistencia d’un cos teoric i meto-dologic apropiat que permeti desenvolupar pau-tes i recomanacions a seguir en el moment derealitzar una classificacio no parametrica de da-des composicionals. Per aquests motius s’ha ele-git com a tema de tesi l’adaptacio i desenvolu-pament de metodes d’agrupacio adequats a da-des de naturalesa composicional, es a dir, dades

36

tals que el valor de cadascun dels seus compo-nents expressa una proporcio respecte d’un to-tal. El tıtol de la tesi recull no nomes aquestproposit, sino que l’expressio ≪medidas de dife-rencia≫ vol reflectir el pes especıfic importantque te l’estudi d’aquest tipus de mesura en eldesenvolupament del treball. L’expressio ≪noparametrica≫ es refereix al fet que no es con-sideraran tecniques de classificacio que pressu-posen l’existencia d’un model de distribucio deprobabilitat per a les observacions objecte del’agrupacio.

La memoria s’inicia amb un capıtol intro-ductori on es presenten els elements basics deles tecniques de classificacio automatica no pa-rametrica. Es posa especial emfasi en aquellselements susceptibles de ser adaptats per ala seva aplicacio en classificacions de dadescomposicionals. En el segon capıtol s’abordal’analisi dels conceptes mes importants ambrelacio a les dades composicionals. En aquestcapıtol, els esforcos s’han concentrat principal-ment a estudiar les mesures de diferencia entre

dades composicionals juntament amb les mesu-res de tendencia central i de dispersio. Aixı esdisposa de les eines necessaries per a procediral desenvolupament d’una metodologia apropi-ada per a la classificacio no parametrica de da-des composicionals, consistent a incorporar elselements anteriors a les tecniques habituals iadaptar-les en la mesura que son necessaries.El tercer capıtol es dedica exclusivament a pro-posar noves mesures de diferencia entre dadescomposicionals basades en les mesures de di-vergencia entre distribucions de probabilitat.En el quart capıtol s’incorporen les peculiari-tats de les dades composicionals a les tecniquesde classificacio i s’exposen les pautes a seguir enl’us practic d’aquestes tecniques. El capıtol escompleta amb l’aplicacio de la metodologia ex-posada a un cas practic. En el cinque capıtold’aquesta tesi s’aborda el denominat proble-ma dels zeros. S’analitzen els inconvenients delsmetodes usuals de substitucio i es proposa unanova formula de substitucio dels zeros per arro-doniment.

• David Marın Perez va llegir la seva tesi, dirigida per Marcel Nicolau Reig i Frank Loray,titulada Problemas de modulos para una clase de foliaciones holomorfas, el dia 30 de marcde 2001. La tesi correspon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma deBarcelona.

Donada una foliacio holomorfa F0 sobre unasuperfıcie complexa S, el problema que s’estu-dia es el d’identificar l’espai de moduls analıticsdins de la classe de foliacions topologicamentconjugades a F0. Dit d’una altra manera, espreten respondre a la pregunta de quantes clas-ses analıtiques diferents n’hi ha dins d’una ma-teixa classe topologica. Es defineix, doncs, l’es-pai de moduls de F0 com el conjunt de totesles foliacions sobre S que son topologicamentconjugades a F0, quocientat per la relacio d’e-quivalencia de ser analıticament conjugades.

S’han tractat dos contextos diferents: d’unabanda el cas local, en el qual F0 es un germende foliacio holomorfa a C2 amb una singularitataıllada en l’origen; i d’altra banda el cas global,en el qual F0 es una foliacio holomorfa singularsobre una superfıcie complexa compacta que esl’espai total d’un fibrat localment trivial sobreuna corba complexa no singular.

La principal aportacio d’aquesta memoriaes dona dins el context local. Existeixen algunsprecedents importants, entre els quals podemdestacar els treballs de D. Cerveau, X. Gomez-Mont, A. Lins Neto, F. Loray, J-F. Mattei,R. Moussu, M. Nicolau i P. Sad. La majoria,pero, d’aquests estudis tracten un problema demoduls feble, a causa de la utilitzacio de de-formacions topologicament trivials o desplega-ments.

En aquesta memoria s’obtenen resultatsanalegs i generalitzacions dels formulats pelsautors anteriors amb relacio al problema feble.Destaquem entre aquests la rigidesa generica deles foliacions definides per 1-formes que tenenordre d’anulacio dos a la singularitat, i l’estruc-tura de recobriment sobre C \ {0, 1} de l’espaide moduls en el cas que l’ordre d’anulacio siguitres, aixı com la interpretacio del seu grup fona-mental en termes de simetries de la seva repre-

37

sentacio d’holonomia projectiva. Les tecniquesutilitzades tambe permeten d’obtenir resultatsparal.lels pel cas de germens de foliacions qua-sihomogenies.

Respecte al context global, s’han obtingutresultats de rigidesa sobre superfıcies fibradesseguint la lınia del Teorema de Ilyashenko aCP2. Es particularitza aquest estudi al cas desuperfıcies reglades (en el qual la fibra es la rec-ta projectiva CP1), on s’estudien tambe els es-pais de moduls d’algunes foliacions no rıgides(foliacions de Riccati).

Destaquem tambe que les tecniques utilitza-des en ambdos contextos tenen un punt comu:l’existencia i l’estudi d’una representacio de l’-holonomia que regeix tota la dinamica de lafoliacio. Amb la idea de generalitzar aquestatecnica, a l’ultima part de la memoria es pro-posa una nocio d’holonomia generalitzada quepot jugar un paper similar pel cas de foliacionsa CP2 o CP1 × CP1 que no siguin de Riccati.Aquest treball finalitza amb un estudi detallatd’aquesta nocio en un exemple explıcit.

• Sılvia Moret Goni va llegir la seva tesi, dirigida per David Nualart Rodon, titulada Genera-litzacions de la formula de Ito i desigualtats exponencials per martingales, el dia 10 d’abril de2000. La tesi correspon al Departament d’Estadıstica de la Universitat de Barcelona.

La memoria de tesi consta de dues parts dife-renciades. A la primera part s’obtenen genera-litzacions de la formula d’Ito (tambe conegudacom formula del canvi de variable) per martin-gales brownianes regulars no degenerades. Pri-mer s’estudia el cas unidimensional, i s’obte unaformula d’Ito per F (Xt) on X es una martin-gala browniana unidimensional regular no de-generada i F es una funcio amb derivada local-ment de quadrat integrable. La demostracio delresultat es fa utilizant les tecniques del Calculde Malliavin, que ens permeten demostrar l’e-xistencia de la covariacio quadratica de F ′(X) iX. Tambe es demostra una extensio del resultata funcions dependents del temps.

Emprant les mateixes tecniques s’obte tam-

be una formula d’Ito per F (Xt) on X es unamartingala browniana d-dimensional (d > 1)regular no degenerada i F es una funcioque pertany localment a l’espai de SobolevW1,p amb p > d (funcions derivables en el sentitde les distribucions i amb derivada integrabled’ordre p).

A la segona part de la memoria es demos-tra una desigualtat exponencial per martingalesamb dos parametres, contınues, que s’anul.lenen els eixos i amb variacio quadratica fitada.Aquest tipus de desigualtats son utils per ob-tenir principis de grans desviacions per equaci-ons diferencials estocastiques conduıdes per unproces de Wiener biparametric.

38

ANALYSIS

Juhl, A., Universitet Uppsala, Sweden

Cohomological Theory ofDynamical Zeta Functions

2001. 710 pages. HardcoversFr. 198.– / DM 260.– / öS 1898.–*ISBN 3-7643-6405-XPM – Progress in Mathematics, Vol. 194

The book describes the present state ofthe research in a new field on the cuttingedge of global analysis, harmonicanalysis and dynamical systems. It shouldbe appealing not only to the specialistson zeta functions which will find theirobject of favorite interest connected innew ways with index theory, geometricquantization methods, foliation theoryand representation theory. There aremany unsolved problems and the bookhopefully promotes further progressalong the lines indicated here.

GEOMETRY

Faber, C., Royal Technical University,Stockholm / van der Geer, G., University ofAmsterdam / Oort, F., University of Utrecht

Moduli of AbelianVarieties

2001. 530 pages. HardcoversFr. 148.– / DM 196.– / öS 1431.–*ISBN 3-7643-6517-XPM – Progress in Mathematics, Vol. 195

Abelian varieties and their moduli are acentral topic of increasing importance intoday‘s mathematics. Applications rangefrom algebraic geometry and numbertheory to mathematical physics.The present collection of 17 refereedarticles originates from the third ”TexelConference” held in 1999. Leadingexperts discuss and study the structure ofthe moduli spaces of abelian varietiesand related spaces, giving an excellentview of the state of the art in this field.The book will appeal to puremathematicians, especially algebraicgeometers and number theorists, but willalso be relevant for researchers inmathematical physics.

GEOMETRY

Dehornoy, P., Université de Caen, France

Braids and Self-Distributivity2000. 648 pages. HardcoversFr. 148.– / DM 196.– / öS 1431.–*ISBN 3-7643-6343-6PM – Progress in Mathematics 192Due in July 2000

The aim of this book is to present recentlydiscovered connections between Artin’sbraid groups and left self-distributivesystems, which are sets equipped with abinary operation satisfying the identityx(yz) = (xy)(xz). Order properties arecrucial.The text proposes a first synthesis of thisarea of research. Three domains areconsidered here, namely braids, self-distributive systems, and set theory.Although not a comprehensive course onthese subjects, the exposition is self-contained, and a number of basic resultsare established. In particular, the firstchapters include a rather completealgebraic study of Artin’s braid groups.

All prices, dates and descriptions quoted are subject tochange without previous notice.* recommended retail price

http://www.birkhauser.chFor orders originating from all over theworld except USA and Canada:

Birkhäuser Verlag AGP.O Box 133CH-4010 Basel/SwitzerlandFax: +41/ 61/205 07 92e-mail: orders@birkhauser.ch

For orders originating in the USA andCanada:

Birkhäuser333 Meadowland ParkwayUSA-Secaucus, NJ 07094-2491Fax: +1 201 348 4033e-mail: orders@birkhauser.com

MA

THEM

ATI

CS

WIT

HB

IRK

HÄ

USE

R

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’INSTITUT D’ESTUDIS CATALANS

Carrer del Carme, 47, 08001 BarcelonaCorreu electronic: scm@iec.esAdreca d’Internet: http://www.iec.es/scm

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM / o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant(cal acreditacio)

Institucio

Desitjo fer-me soci de: SCM RSME EMS SCM-RSME-EMS

Nom i cognomso denominacio de la institucio

:

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio de la quota de soci de la SCM i/o de l’EMS

La persona sotasignada autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana

de Matematiques/Societat Matematica Europea a nom de

a la llibreta d’estalvi/el compte corrent/la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLa quota actual de la SCM es de 4.000 pta per a socis ordinaris, de 2.000 pta per a estudiants i de8.000 pta per a institucions. La quota de la RSME∗ es de 3.300 pta, i la de l’EMS∗ es de 2.500 pta.∗Per a ser soci d’aquestes dues societats cal ser-ho abans de la SCM.