Hoofdstuk 6

1

Hoofdstuk 6

Gegevensvoorstellingen berekeningen

2

Inhoud

Talstelsels Getallen in een Computer Natuurlijke getallen Gehele getallen Gebroken getallen

Vaste komma getallen Bewegende komma getallen

Andere gegevens (letters, …)

3

r-tallig talstelsel

r = grondtal (= vast) Elk cijfer: gewicht in functie van de positie

Zij ci { 0, 1, …, r-1 }

cn-1 rn-1 + cn-2 rn-2 + … + c1 r1 + c0 r0

Voorstelling = cn-1 cn-2 … c1 c0

gewicht

4

Voorbeelden

Decimaal r = 10, c {0, 1, …, 9}1235

Binair r = 2, c {0, 1}10011010011

Octaal r = 8, c {0, 1, …, 7}2323

Hexadecimaal r = 16, c {0, ..., 9, A, …, F}4D3

MO: voorstellingen, zelfde getal!

5

Getallen in een Computer

Eindig aantal cijfers: Ligt vast Soms # verschillende formaten

(bijv. 16-bit en 32-bit getallen) Gevolgen:

Niet alle getallen kunnen voorgesteld worden Eigenschappen uit getallenleer gelden soms niet

Gesloten t.o.v. +, -, × Associativiteit, distributiviteit gelden soms niet

6

Getallen in de Computer

Bijv. stel 3 decimale cijfers (alleen pos.) Alleen getallen uit {0, 1, …, 999 } Niet gesloten t.o.v. som / vermenigvuldiging

590 + 530 1120 (= 4 cijfers! OVERLOOP) Associativiteit?

400 + (800 300) (400 + 800) 300 Distributiviteit?

005 × (300 200) (005 × 300) (005 × 200)

7

Natuurlijke getallenNatuurlijke getallen

8

Natuurlijke getallen

Omzetting Binair Decimaal Omzetting Binair Octaal/Hexadecimaal BCD voorstelling Binair rekenen

optelling aftrekking (zie ook gehele getallen) vermenigvuldiging deling

9

Omzetting Decimaal Binair

746 0

373 1

186 0

93 1

46 0

23 1

11 1

5 1

2 0

1 1

1 0 1 1 1 0 1 0 1 0

10

Omzetting Binair Decimaal

1 0 1 1 1 0 1 0 1 0

2 4 10 22 46 92 186 372 746

1 2 5 11 23 46 93 186 373 746

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

× 2

+ + + + + + + + +

11

Omzetting van/naar Octaal/Hexadecimaal

1 0 1 1 1 0 1 0 1 0

1 3 5 2 (oct.)

1 0 1 1 1 0 1 0 1 0

2 E A (hex.)

12

Binary Coded Decimal (BCD)

= decimale voorstelling, cijfers binair

4 bits per cijfer

vb. 11558866 00010001 01010101 10001000 01100110

Complexe rekenregels ...

13

Aantal Cijfers

n decimale cijfers b bits

10n-1 x < 10n en 2b-1 x < 2b

dus 10n 2b

bijgevolg b log2 10n = n log2 10 = 3,3 n n dec. cijfers 3,3 n bits

1,11 n oct. 0,83 n hex. bijv. 300 dec. cijfers 1000 bits

14

Optellen van binaire getallen

0 1 1 1 0 1 1 1 0

1 0 0 1 1 0 1 0 1 1

+ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

OPT HOPT

15

Optelschakeling (parallel)

OPT HOPTOPTOPTOPT

Xn -1 Xn -2 X2 X1 X0

Yn -1 Yn -2 Y2 Y1 Y0

Sn-1 Sn -2 S2 S1 S0

Overloop!

16

Verschilschakeling (parallel)

AFT HAFTAFTAFTAFT

Xn -1 Xn -2 X2 X1 X0

Yn -1 Yn -2 Y2 Y1 Y0

Vn-1 Vn -2 V2 V1 V0

Fout!

17

Vermenigvuldigen

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1 .

11011 (X) 27

× 01101 (Y) 13

11011 81

00000 27

11011 351

11011

00000

101011111 (XY)

X of 0!

18

Algoritme

An-1 A0... Qn-1 Q0...

Xn-1 X0...

T

N bit optellerQ0 = 1

= verschuif naar rechts

T 0, A 00…0, Q YN keer: (a) Q0 = 1: (T,A) A + X (b) verschuif T, A, Q

X Y

19

Gehele GetallenGehele Getallen

20

Gehele Binaire Getallen

n bit-getallen 0000…000 t.e.m. 1111…111

n bits n bits

Natuurlijke getallen: [0, 2n 1]

Gehele getallen: ½ stellen positievepositieve getallen voor ½ stellen negatievenegatieve getallen voor

21

Gehele Binaire Getallen

Verschillende wijzen van opdelen: Voorteken 1-complement 2-complement Plus 2n-1 notatie (verhoogde notatie)

22

Voorteken

Bijv. n = 8

00001101 (= +13)

10001101 (= 13)

01111111 (= +127)

11111111 (= 127)

00000000 (= +0)

10000000 (=0)

23

Voorteken

Getallenbereik:

[2n-11) ... 1, 0, +0, +1, … +(2n-11)] Symmetrisch bereik 0 =?= +0 Rekenregels Complex (+, )

X = Xn-1 Xn-2 … X1 X met Xn-1 = tekenbit

Gevraagd: Z := X + Y

24

Voorteken: Optelling

{ Z = X + Y }

if ( Xn-1 == Yn-1 ) /* Xn-1, Yn-1 = tekenbit */

{ Zn-1 = Xn-1; Zn-2..0 = Xn-2..0 + Yn-2..0 }

else {

if (Xn-2..0 > Yn-2..0 )

{ Zn-1 = Xn-1; Zn-2..0 = Xn-2..0 Yn-2..0 }

else { Zn-1 = Yn-1; Zn-2..0 = Yn-2..0 Xn-2..0 }

}

25

2-Complement

Positief: 1e bit = 0, overige zie natuurlijke getallen

Negatief: 2n | X |

1 2n 1 = 111…111

2 2n 2 = 111…110

2n-1 2n 2n-1 = 2n-1 = 100…000

26

2-Complement

Bijv. n = 8

00000000 (= +0)

00000001 (= +1)

…

00001101 (= +13)

…

01111111 (= +127)

10000000 (= 128)

10000001 (= 127)

…

10001101 (= 115)

…

11111111 (= 1)

27

2-Complement

Getallenbereik

[2n-1, (2n-11) ... 1, +0, +1, … +(2n-11)] Asymmetrisch bereik! 0 heeft slechts 1 voorstelling Rekenregels eenvoudig!

Omrekenformule:

X = Xn-1 (2n-1) + Xn-2 2n-2 + … + X0

28

Bewerkingen met 2-complement Inverteren Som Verschil

X Y = X + (Y) Product Aanpassing van woordlengte

29

Optelling

OPT HOPTOPT

Xn Xn -1 X2 X1 X0

Yn Yn -1 Y2 Y1 Y0

Sn Sn -1 S2 S1 S0

OPT OPT

Overloop (indien 1)

EOF

30

1-Complement

Positief: 1e bit = 0, overige zie natuurlijke getallen

Negatief: 2n 1 | X | Getallenbereik

[2n-11) ... 1, 0, +0, +1, … +(2n-11)]

Verouderd (niet meer gebruikt)

31

Plus 2n-1 Notatie

000…000

000…001

000…010

000…011

…

011…110

011…111

100…000

100…001

100…010

100…011

…

111…110

111…111

0

1

2

3

2n-1 - 2

2n-1 - 1

- 2n-1

- 2n-1 + 1

- 2n-1 + 2

- 2n-1 + 3

- 2

- 1

32

Plus 2n-1

Getallenbereik

[2n-1, (2n-11) ... 1, +0, +1, … +(2n-11)] Asymmetrisch bereik! 0 heeft slechts 1 voorstelling = 2-complement met omgekeerde tekenbit Voordeel: positief getal > negatief getal

33

Gebroken GetallenGebroken Getallen

34

Gebroken getallenGebroken getallen

Gewichten met negatieve exponent

c-1 r-1 + c-2 r-2 + … +c-m r-m

Voorstelling = ck … c1 c0 . c-1 c-2 … c-m

ck rk + … + c1 r1 + c0 r0 +

35

Gebroken Getallen

Omzetting Decimaal Binair Omzetting Binair Decimaal Gebroken getallen in de computer

Vaste Komma Voorstelling Bewegende Komma Voorstelling

36

Vaste komma voorstelling

Komma op vaste plaats “verondersteld” Bijvoorbeeld :

01101110

“.” na 5de bit 01101.110 (13.75)

“.” na 3de bit 011.01110 (3.4375)

37


n-bit voorstelling: 2n mogelijke getallen per bit extra na “.”:

bereik gehalveerd nauwkeurigheid verdubbeld

... ...... ...

0

bereik... ...

38


Bewerkingen Som/Verschil “.” aligneren Product/Quotiënt

39


Alleen als bereik van getallen gekend Anders, snel overloop! Vandaar: bewegende komma voorstelling

40

Bewegende komma voorstelling

41


Het Principe Bewegende komma voorstelling Bewerkingen

Optelling Vermenigvuldiging

42


Zeer kleine getallen zeer grote getallen Gebaseerd op “wetenschappelijke” notatie X = ± m × 10e

m = mantisse (fractie)e = exponent

Voorbeelden:3.14 = 3.14 × 100 = 0.314 × 101

0.00001 = 1.0 × 10-5 = 0.1 × 10-4

1999 = 1.999 × 103 = 0.1999 × 104

43

Reële getallen

-10100 -10-100 0 +10100+10-100

NegatieveNegatieveoverloopoverloop

PositievePositieveoverloopoverloopOnderloop Onderloop 0 0

Voorstelbare Voorstelbare getallengetallen


Grote negatieve getallen < -0.999 × 1099 Negatieve getallen tussen -0.999 × 1099 en -0.100 × 10-99Negatieve getallen tussen -0.999 × 1099 en -0.100 × 10-99 Kleine negatieve getallen tussen -0.100 × 10-99 en 0Kleine negatieve getallen tussen -0.100 × 10-99 en 0 Nul (0) Kleine positieve getallen tussen 0 en +0.100 × 10-99Kleine positieve getallen tussen 0 en +0.100 × 10-99 Positieve getallen tussen +0.100 × 10-99 en +0.999 × 1099Positieve getallen tussen +0.100 × 10-99 en +0.999 × 1099 Grote positieve getallen > +0.999 × 1099

44

Reële getallen

-10100 -10-100 0 +10100+10-100

NegatieveNegatieveoverloopoverloop

PositievePositieveoverloopoverloopOnderloop Onderloop 0 0

......

Niet alle getallen!

0.001 × 10990.001 × 10-99



Relatieve afstand constant

45


Algemeen

X = ± m bbe

±m = mantisse

bb = basis (= vast) = 2 (2, 4, 8, 16, …)

e = exponent

Bewegende komma voorstelling:

(±, m, e)

46

IEEE Voorstel

Enkelvoudige nauwkeurigheid

Dubbele nauwkeurigheid

t exp (8 bits) mantisse (23 bits)

t exp (11 bits) mantisse (52 bits)

Basis = 2, + 127 notatie

Basis = 2, + 1023 notatie

47

Bewerkingen met BKV

Niet rechtstreeks met voorstelling rekenen Vooraf opsplitsen, na bewerking: samenvoegen

Bewerkingen: in SW door Processor of Co-Processor

Voorbeelden in decimaal talstelsel (DRAMA)

Som Product Verschil Quotiënt

48

Alfanumerieke Informatie

49

Alfanumerieke Informatie

Symbolen (letters, tekens, …) Voorstellen d.m.v. een code

n bit code max. 2n symbolen Gestandardiseerde codes:

ASCII EBCDIC UNICODE

50

ASCII

American Standard Code for Information Interchange 7-bit code Speciale tekens, hoofdletters, kleine letters, leestekens,

enkele wiskundige tekens

Hex Teken Hex Teken Hex Teken

30 0 40 @ 60 .31 1 41 A 61 a32 2 42 B 62 b...

51

EBCDIC

Extended Binary Coded Decimal Interchange Code Op IBM-mainframes 8-bit code (veel lege plaatsen) Hoofdletters, kleine letters, leestekens, enkele

wiskundige tekens

Hex Teken Hex Teken Hex Teken

F0 0 80 --- C0 ---F1 1 81 a C1 AF2 2 82 b C2 B...

52

UNICODE

ASCII: ok voor Engels Latin-1: 8-bit uitbreiding voor vreemde letters

(á, à, ä, é, …) IS 8859-x (code page: 256 letters voor taal) UNICODE (16 bit code)

consortium van computer firma’s ondersteund door Java, Windows NT, ... max. 65.536 symbolen, ± helft reeds toegekend

Hoofdstuk 6

Documents

Transcript of Hoofdstuk 6