15

Hoofdstuk 2 Algemene ontwerpmethodes voor warmtewisselaars 2.1 Inleiding In dit hoofdstuk worden de principes uitgewerkt voor het thermisch ontwerp en de dimensionering van een recuperator. Er wordt enkel ingegaan op de gevallen van zuivere convectieve warmteoverdracht. Faseverandering wordt in een later hoofdstuk besproken. Bij het thermisch ontwerp van een warmtewisselaar worden het vermogen dat wordt overgedragen tussen de fluïda en de uitgangstemperaturen van de fluïda, die met een zeker debiet doorheen de warmtewisselaar stromen, bepaald. Ten tweede kan ook het ladingsverlies dat ontstaat doorheen de warmtewisselaar berekend worden. De afmetingen van de warmtewisselaar zijn hier dus een gegeven. Bij het dimensioneren van een warmtewisselaar worden de afmetingen van de warmtewisselaar begroot, zodat de opgegeven in- en uitgangstemperaturen en ladingsverliezen van de fluïda bereikt worden. 2.2 Relatieve stromingsrichting van de fluïda Zoals besproken in hoofdstuk 1, kunnen recuperatoren opgedeeld worden naargelang de relatieve zin waarmee de fluïda doorheen de warmtewisselaar stromen. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen meestroom, tegenstroom en dwarsstroom. De stromingsrichting van de fluïda heeft een belangrijke invloed op de prestaties van de warmtewisselaar. 2.3 Basisvergelijkingen Hierna worden de basisvergelijkingen afgeleid voor de thermische analyse van een warmtewisselaar (recuperator). Hierbij worden de beide fluïda gescheiden door een vast oppervlak, waardoor warmteoverdracht plaatsvindt door conductie. Voor het volledige ontwerp van een warmtewisselaar is ook nog een sterkteberekening nodig en komen economische aspecten eveneens tussen. Het doel van de thermische analyse is het bepalen van de oppervlakte van de warmtewisselaar (dimensionering). Prestatieanalyse is nodig als de warmtewisselaar gekend is maar de uitgangstemperaturen, het vermogen en de ladingsverliezen moeten worden bepaald. Hiertoe wordt een controlevolume gedefinieerd (figuur 2.1).

16

De temperatuurverandering van een fluïdum-fluïdum-warmteoverdrachtsproces, afhankelijk van de stromingszin, is voorgesteld in figuur 2.2. Langsheen de abscis is de oppervlakte van de warmtewisselaar voorgesteld, terwijl de ordinaat de temperatuur van de fluïda voorstelt.

Figuur 2.1. Eerste hoofdwet voor een stationair stroomproces in een controlevolume Figuur 2.2(b) geeft de gelijkstroom opstelling, figuur 2.2(a) de tegenstroom opstelling. In figuren 2.2(c) en 2.2(d) worden de gevallen met respectievelijk constante koude (verdamping) en warme stroom (condensatie). De vorm van de curven hangt eveneens af van de debieten en de warmtecapaciteit van de fluïda. Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica voor een open systeem met een constant stroomproces, in stationaire toestand en met verwaarlozing van veranderingen in kinetische en potentiële energie (zie figuur 2.1) geldt dat

ii iW Q m dhδ + δ =∑& & (2.1)

waarbij

Wδ infinitesimaal overgedragen arbeid [Watt] Qδ & infinitesimale overgedragen warmte [Watt]

im& massadebiet van component i [kg/s] dh infinitesimale enthalpieverandering van component i [J/kg] Vergelijking (2.1) toepassen op het controlevolume dat de volledige warmtewisselaar omsluit, geeft, in de veronderstelling dat er geen warmte (adiabaat proces) en geen arbeid over de wanden van de warmtewisselaar gaan: c c h h0 m dh m dh= +& & (2.2) De warme stroom wordt aangeduid met index h (hot), de koude stroom met index c (cold). Integratie tussen ingang en uitgang van de warmtewisselaar, geeft h hi hu c cu cim (h h ) m (h h )− = −& & (2.3)

17

De fluïdumeigenschappen bij ingang van de warmtewisselaar worden aangeduid met index i en bij uitgang met index u. Dit toont aan dat alle energie die van de warme stroom wordt afgegeven, ten goede komt aan de koude stroom. Integratie van (2.1) kan eveneens voor de koude als voor de warme stroom gebeuren (het controle volume wordt dan beperkt tot de koude en de warme stroom). Hierbij is er wel een transport van warmte over de wand, tussen beide fluïda. Dit geeft: c cu ciQ m (h h )= −& & (2.4) h hi huQ m (h h )= −& & (2.5) Aangezien dh = cpdT en mits cp de gemiddelde specifieke warmtecapaciteit in het integratie-interval [T1,T2] voorstelt, geldt dat c p,c cu ciQ m c (T T )= −& & (2.6) h p,h hi huQ m c (T T )= −& & (2.7) In bovenstaande vergelijkingen werd de warmtewisselaar beschouwd als een 'black box', waarbij niets gezegd wordt over de bouw en de aanwezige oppervlakte in de warmtewisselaar. Voor de bepaling van de warmtewisselende oppervlakte zal een derde vergelijking nodig zijn. Deze kan op verschillende wijzen worden afgeleid. 2.3.1 Het gemiddeld logaritmisch temperatuurverschil Algemeen lijkt het interessant een uitdrukking van de vorm mQ kA T= ∆& (2.8) te gebruiken, waarbij A de totale warmtewisselende oppervlakte is, k de gemiddelde warmtedoorgangscoëfficiënt en ∆Tm een gemiddelde temperatuurval is afgeleid uit Th1, Th2, Tc1, Tc2. De bepaling gemiddelde warmtedoorgangscoëfficiënt wordt beschreven in het volgende hoofdstuk. Voor ∆Tm wordt eerst een vergelijking opgesteld. De gelijkstroom warmtewisselaar Voor een gelijkstroomwarmtewisselaar wordt het temperatuursverloop doorheen de warmtewisselaar voorgesteld in figuur 2.2(b). Over een infinitesimaal deel dA van de warmtewisselende oppervlakte in de warmtewisselaar is de temperatuursverandering van het warme en het koude fluïdum respectievelijk: dTh en dTc. De infinitesimale warmteflux doorheen dA is dan

h p,h h

c p,c c

Q m c dT

m c dT

δ = −

=

& &

&

(2.9)(2.10)

De warmteflux doorheen de wand dA waarover een temperatuursverschil Th – Tc staat, kan ook worden uitgedrukt door

18

h cQ k(T T )dAδ = −& (2.11) waarbij k de warmtedoorgangscoëfficiënt is ter hoogte van dA.

Figuur 2.2. Temperatuurverloop in (a) tegenstroom, (b) gelijkstroom, (c) verdamper (d) condensor Uit vergelijkingen (2.9) en (2.10) volgt dat

h ch c

1 1d(T T ) Q( )C C

− = −δ +& (2.12)

waarbij h h p,hC m c= & en c c p,cC m c= & . Hierbij wordt pC mc= & het thermisch capacitief debiet (E: Capacity rate) genoemd.

19

Samen met vergelijking (2.11) volgt hieruit dat

h c

h c h c

d(T T ) 1 1k( )dA(T T ) C C

−= − +

− (2.13)

Door integratie van vergelijking (2.13) tussen het begin en het einde van de warmtewisselaar (tussen 1 en 2), mits k constant doorheen de warmtewisselaar, bekomt men

h2 c2

h1 c1 h c

T T 1 1ln kA( )T T C C

⎡ ⎤−= − +⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.14)

Substitutie van vergelijkingen (2.7) en (2.6), na integratie, onder de vorm

hh1 h2

QCT T

=−

& (2.15)

cc2 c1

QCT T

=−

& (2.16)

levert

h2 c2 h1 c1h2 c2

h1 c1

(T T ) (T T )Q kA T Tln( )T T

− − −=

−−

& (2.17)

Met 1 h1 c1 2 h2 c2T T T en T T T∆ = − ∆ = − wordt dit

1 21

2

T TQ kA Tln( )T

∆ −∆=

∆∆

& (2.18)

Deze laatste uitdrukking (2.18) geeft het gezochte gemiddelde temperatuurverschil ∆Tm uit (2.8). Dit temperatuurverschil wordt het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil (∆Tlm) genoemd:

1 2lm

1

2

T TT Tln( )T

∆ −∆∆ =

∆∆

(2.19)

De tegenstroom warmtewisselaar Voor een tegenstroom warmtewisselaar (zie figuur 2.2(b)) worden vergelijkingen (2.9) en (2.10) respectievelijk

c p,h h

h p,c c

Q m c dT

m c dT

δ = −

= −

& &

&

(2.20)(2.21)

20

Hierdoor wordt vergelijking (2.14):

h2 c2

h1 c1 h c

T T 1 1ln kA( )T T C C

⎡ ⎤−= − +⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.22)

Substitutie van vergelijkingen (2.7) en (2.6) onder de vorm

hh1 h2

QCT T

=−

& (2.23)

cc1 c2

QCT T

=−

& (2.24)

geeft terug vergelijking (2.17). In het speciale geval dat 1 2T T∆ = ∆ heeft de definitie van ∆Tlm geen betekenis. Teller en noemer zijn dan immers beiden nul. Dit geval kan enkel optreden bij tegenstroom warmtewisselaars. Indien met de regel van de L'Hopital de limiet wordt bepaald waarbij ∆T2 nadert naar ∆T1, dan bekomt men dat: 1 2 lmT T T∆ = ∆ = ∆ . Merk ten slotte op dat voor dezelfde inlaat- en uitlaattemperaturen, het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil bij een tegenstroomopstelling steeds groter is dan voor een gelijkstroomopstelling. Dit wil ook zeggen dat het logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil het maximaal temperatuurpotentieel voor warmteoverdracht voorstelt, wat alleen kan worden bekomen met een tegenstroom opstelling. Bijgevolg zal de oppervlakte nodig om een gegeven vermogen Q& over te dragen kleiner zijn in tegenstroom dan in gelijkstroom, bij een zelfde waarde van k. Merk tevens op dat Tc2 groter kan worden dan Th2 in een tegenstroom opstelling, maar niet in een gelijkstroomopstelling. 2.3.2 De warmtedoorgangscoëfficiënt De warmtedoorgangscoëfficiënt wordt bepaald uit de serie schakeling van de verschillende warmteweerstanden in de warmtewisselaar. Zoals aangetoond in de cursus Warmteoverdracht 1, gebeurt de warmteoverdracht over een vlakke plaat waarlangs twee fluïda stromen door: 1. convectie aan de ene zijde van het eerste fluïdum naar de wand 2. conductie doorheen de wand 3. convectie aan de andere zijde van de wand naar het fluïdum. De totale warmtedoorgangscoëfficiënt wordt gegeven door

i w u

1 1 t 1k h h= + +

λ (2.25)

waarbij hi en hu respectievelijk de convectiecoëfficiënten zijn aan de ene en de andere zijde, t de dikte van de plaat en λw de warmtegeleidbaarheid van het materiaal van de plaat.

21

Op analoge wijze kan een correlatie worden afgeleid voor een buis met inwendige diameter di en uitwendige diameter du. Hierbij dient een onderscheid gemaakt te worden tussen de warmtedoorganscoëfficiënt betrokken op de buitenzijde en betrokken op de binnenzijde, omdat de oppervlakte van de buitenzijde groter is dan deze aan de binnenzijde. Dit geeft respectievelijk:

ui

i i

i i w u u

dA ln( )d A1 1 1

k h 2 L A h= + +

πλ (2.26)

uu

u i

u i i w u

dA ln( )A d1 1 1

k A h 2 L h= + +

πλ (2.27)

Hierin is L de lengte van de buis en zijn Ai = πdiL de inwendige oppervlakte en Au = πduL de uitwendige oppervlakte. In een volgend hoofdstuk worden de belangrijkste vergelijkingen voor de bepaling van convectiecoëfficiënten herhaald. 2.3.3 Een niet-constante warmtedoorgangscoëfficiënt Bovenstaande vergelijkingen werden afgeleid met de beperking dat de warmtedoorgangscoëfficiënt constant is. In realiteit hangt de waarde van deze warmtedoorgangscoëfficiënt in sterke mate af van het Reynoldsgetal van de stroming, de geometrie van het warmtewisselend oppervlak, en de fluïdumeigenschappen. Deze laatste kunnen sterk variëren met de temperatuur.

Figuur 2.3. Typische gevallen van warmtewisselaars met veranderende k

22

Figuur 2.3 toont een aantal typische situaties waarbij de variatie van k in de warmtewisselaar relatief groot kan zijn. Het geval waarbij beide fluïda van fase veranderen is voorgesteld in 2.3(a). De temperatuur blijft hier constant, het stromingsbeeld verandert aanzienlijk doorheen de warmtewisselaar . De condensor voorgesteld in 2.3(b) komt echter meer voor. Het condenserende fluïdum komt binnen op een temperatuur hoger dan de saturatietemperatuur. Vervolgens condenseert het, waarna het verder wordt onderkoeld in het laatste deel van de warmtewisselaar. Een analoge situatie voor een verdamper wordt getoond in figuur 2.3(c). Ten slotte kan ook fluïdum gebruikt worden met een condenseerbare en niet-condenseerbare component. Het temperatuursverloop doorheen de warmtewisselaar wordt dan complex en wordt op een algemene wijze voorgesteld in figuur 2.3(d). Het belangrijkste probleem bij al deze gevallen is dat k varieert. Indien voor ieder deel van figuur 2.3(b) en (c), k constant zou zijn, dan kunnen de verschillende delen behandeld worden als een aparte warmtewisselaar. Voor een willekeurige variatie van k, zal de warmtewisselaar worden opgesplitst in eindige lengtes, waarbij een verschillende maar constante waarde van k per segment wordt gebruikt. Hierbij zal men beroep doen op numerieke methoden, bijvoorbeeld de eindige elementen methode. Voor een gelijkstroomwarmtewisselaar gaat men als volgt te werk. De warmtewisselaar wordt opgedeeld in een eindig aantal segmenten met oppervlakte ∆Ai, waar de temperaturen Th,i en Tc,i heersen. Men neemt aan dat de warmtedoorgangscoëfficiënt kan uitgedrukt worden als functie van deze twee temperaturen: i i h,i c,ik k (T ,T )= (2.28) De warmte die wordt overgedragen in segment i is dan i p h,i h,i 1 h,i p c,i c,i 1 c,iQ (mc ) (T T ) (mc ) (T T )+ +∆ = − − = −& & & (2.29) en ook i i i h,i c,iQ k A (T T )∆ = ∆ −& (2.30) Naar analogie met vergelijking (2.13) wordt dit:

h c i 1 h c ii i

h c i h,i c,i

(T T ) (T T ) 1 1k ( ) A(T T ) C C

+− − −= − + ∆

− (2.31)

waaruit

h c i 1i i

h c i

(T T ) 1 K A(T T )

+−= − ∆

− (2.32)

met i ih,i c,i

1 1K k ( )C C

= +

23

De numerieke oplossing van dit probleem gebeurt als volgt: 1. kies een passende waarde voor ∆Ai

2. bereken de k-waarde voor de inlaatvoorwaarden en in het eerste increment ∆A 3. bereken de waarde van ∆Qi met vergelijking (2.30) 4. bepaal Th –Tc evenals Th en Tc met vergelijkingen (2.32) en (2.29) 5. herhaal deze bewerkingen voor de volgende segmenten. Het totale vermogen van de warmtewisselaar kan worden bepaald uit:

ntot ii 1Q Q== ∆∑& &

2.3.4 De temperatuurwetten In figuren 2.2(a) en 2.2(b) werd het temperatuurverloop van de koude en de warme stroom voorgesteld in functie van de oppervlakte van de warmtewisselaar. Op basis van vergelijkingen (2.9), (2.10) en (2.11), kunnen de vergelijkingen voor dit temperatuurverloop worden afgeleid. Voor een tegenstroomwarmtewisselaar geldt dat h c c c h hQ k(T T )dA C dT C dTδ = − = − = −& (2.34) Hieruit volgt dat

h

h c h

dT k dAT T C

= −−

(2.35)

c

h c c

dT k dAT T C

= −−

(2.36)

en dat

h c

h c h c

d(T T ) 1 1k( )dA k dAT T C C

−= − − = − Γ

− (2.37)

h c

1 1( )C C

Γ = − (2.38)

Integratie van A = 0 naar A = A, waarbij A een willekeurige positie is tussen begin en einde van de warmtewisselaar en index 1 het begin van de warmtewisselaar aanduidt (waar A = 0), geeft:

h c

h1 c1

T Tln( ) k AT T

−= − Γ

− (2.39)

of

k Ah c h1 c1T T (T T )e− Γ− = − (2.40)

24

Th en Tc zijn de temperaturen die optreden bij A = A. Na substitutie van (2.40) in (2.35) bekomt men:

k Ah h1 c1

h

kdT (T T )e dAC

− Γ= − − (2.41)

Wederom integreren tussen A = 0 en A = A resulteert in

k A

h h1 h1 c1h

k e 1T T (T T )C k

− Γ −− = −

Γ (2.42)

of

k Ac1 h1 c1h1

h c hh

T (T T )T eC C CT

− Γ−− +

=Γ

(2.43)

Op analoge wijze wordt Tc berekend als

k Ac1 h1 c1h1

h c cc

T (T T )T eC C CT

− Γ−− +

=Γ

(2.44)

In vergelijkingen (2.43) en (2.44) komt de uittredetemperatuur Tc1 voor. Deze is veelal onbekend. Men kan deze verwijderen door de totale oppervlakte Atot in te voeren. In Atot is Th = Th2. Verder geldt dat h h1 h2 c c1 c2C (T T ) C (T T )− = − (2.45) Tc1 elimineren uit (2.43) met vergelijking (2.44) en de vergelijking voor Th2 die men bekomt na invullen van Atot in (2.43), geeft:

tot

k Ah1 h h1 c2 k Ah

c

1 eT T (T T ) C1 eC

− Γ

− Γ

−− = −

− (2.46)

tot

tot

k(A A)k Ah

cc c2 h1 c2 k Ah

c

C e (1 e )CT T (T T ) C1 e

C

− −− Γ

− Γ

−− = −

− (2.47)

Voor gelijkstroomwarmtewisselaars bekomt men op analoge wijze vergelijkingen voor Tc en Th (figuur 2.2(b)). Merk op dat hier zowel Tc1 als Th1 gekend zijn als ingangstemperaturen van de warmtewisselaar.

25

k A

h1 c1h1 h

h

c

(T T )(1 e )T T C1C

− Γ− −− =

+ (2.48)

k A

h1 c1c c1

c

h

(T T )(1 e )T T C1C

− Γ− −− =

+ (2.49)

waarbij

k Ah c h1 c1T T (T T )e− Γ− = − (2.50)

h c

1 1C C

Γ = + (2.51)

2.4 Dwarsstroomwarmtewisselaars en warmtewisselaars met

meerdere doorgangen De afleiding die in vorige secties werd gedaan voor de tegenstroom- en gelijkstroomwarmtewisselaars, kan niet zonder meer worden toegepast voor dwarsstroomwarmtewisselaars of voor warmtewisselaars met verschillende doorgangen in tegen-, gelijk- of dwarsstroom. Integratie van vergelijking (2.11) voor deze schikkingen resulteert in een vergelijking voor ∆Tm waarvoor geldt dat mQ kA T= ∆ waarbij ∆Tm het werkelijk (of effectief) gemiddeld temperatuurverschil is. ∆Tm is dan een complexe functie van Th1, Th2, Tc1 en Tc2. Algemeen kan deze vergelijking afgeleid worden als uitdrukking van volgende grootheden:

h2 c1 h1 c2lm,ts

h2 c1

h1 c2

(T T ) (T T )T T Tln( )T T

− − −∆ =

−−

(2.52)

c2 c1 c

h1 c1 max

T T TPT T T

− ∆= =

− ∆ (2.53)

en c h1 h2

h c2 c1

C T TRC T T

−= =

− (2.54)

Merk op dat index 1 slaat op de ingaande stromen en 2 op de uitgaande stromen. Dit is anders dan de conventie in de vorige paragraaf, waar 1 sloeg op de ene zijde en 2 op de andere zijde van de warmtewisselaar. Voor de berekening wordt ervan uitgegaan dat de warmtewisselaar wordt doorstroomd alsof het een tegenstroomwarmtewisselaar is. ∆Tm stelt dan ook het logaritmisch gemiddeld

26

temperatuurverschil voor het geval van een tegenstroomwarmtewisselaar met dezelfde ingangs- en uitgangstemperaturen als de dwarsstroomwarmtewisselaar. P is een maat voor verhouding van de warmte die werkelijk wordt overgedragen tot warmteoverdracht die zou plaatshebben als het koude fluïdum zou worden opgewarmd tot inlaattemperatuur van het warme fluïdum. P wordt ook de temperatuur effectiviteit betrokken op de koude zijde van de warmtewisselaar genoemd. R is de verhouding van pmc& van het koude en het warme fluïdum en wordt bijgevolg de capaciteitsverhouding (E: heat capacity ratio) genoemd. In een meer pragmatisch aanpak die voor ontwerpsdoeleinden wordt toegepast wordt aan de vergelijking (2.8) met een correctiefactor F toegevoegd. Men gaat er wederom vanuit dat gewerkt kan worden volgens het tegenstroomprincipe zodat: lm,tsQ kAF T= ∆ (2.55) F is dimensieloos en is afhankelijk van de temperatuureffectiviteit P, de capaciteitsverhouding R en de stromingsschikking van de warmtewisselaar. F = f (P, R, stromingsschikking) (2.56) Het verloop van F kan worden afgelezen uit curven zoals die werden afgeleid door Bowman et al. [1], voor verschillende veel voorkomende gevallen van dwarsstroomwarmtewisselaars en trommel-en-pijp-warmtewisselaars. F is steeds kleiner dan 1 voor dwarstroomwarmtewisselaars en is 1 voor tegenstroomwarmtewisselaars. Deze correctiefactor is met andere woorden een maat voor de afwijking van de tegenstroomschikking. In figuren 2.4 tot 2.10 worden de F-factoren gegeven voor veel voorkomende warmtewisselaars.

Figuur 2.4. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met 1 trommeldoorgang en 2 of een veelvoud van twee pijpdoorgangen

27

Figuur 2.5. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met 2 trommeldoorgangen en 4 of een veelvoud van vier pijpdoorgangen

Figuur 2.6. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met 3 trommeldoorgangen en 6 of veelvoud van zes pijpdoorgangen

28

Figuur 2.7. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met verdeelde stroming en een even aantal pijpdoorgangen

Figuur 2.8. F-factor voor trommel-en-pijp-warmtewisselaar met gesplitste stroming en 2 pijpdoorgangen

29

Figuur 2.9. F-factor voor dwarsstroomwarmtewisselaar beide fluïda ongemengd

Figuur 2.10. F-factor voor dwarsstroomwarmtewisselaar 1 fluïdum ongemengd en 1 fluïdum gemengd

30

2.5 Doelmatigheid Het begrip doelmatigheid van een warmtewisselaar (E: heat exchanger effectiveness) werd voor het eerst gedefinieerd door Nusselt in 1930 en de E-NTU methode werd door London en Seban [2] in 1942 geïntroduceerd. De doelmatigheid wordt gedefinieerd als de verhouding van de werkelijk overgedragen warmte Q& tot de thermodynamisch maximum mogelijke overdraagbare warmte MAXQ& in de warmtewisselaar, indien de oppervlakte A oneindig groot zou zijn.

MAX

QEQ

=&

& (2.57)

Uit vergelijkingen (2.9) en (2.10) volgt dat h h c cC dT C dT± = . De temperatuurverandering van de fluïda is afhankelijk van het thermisch capacitief debiet C. Het fluïdum met de kleinste C zal de grootste dT ondergaan. Indien A naar oneindig gaat zullen voor een gelijkstroomwarmtewisselaar de uitgangstemperaturen van beide fluïda aan elkaar gelijk worden (figuur 2.2), namelijk de temperatuur die zou bereikt worden bij menging. Voor een tegenstroomwarmtewisselaar zal de uitgangstemperatuur van het fluïdum met de kleinste C tot de ingangstemperatuur van het fluïdum met de grootste C naderen. De grootste temperatuurverandering zal met andere woorden worden ondergaan door het fluïdum met de kleinste C. Deze C zullen we Cmin noemen. De maximale temperatuurverandering die kan worden gerealiseerd in een warmtewisselaar is deze waarbij of het koude fluïdum opwarmt tot de ingangstemperatuur van het warme fluïdum of deze waarbij het warme fluïdum afkoelt tot de ingangstemperatuuur van het koude fluïdum. In beide gevallen wordt de maximale temperatuurverandering gegeven door

h,in c,inT T− . Uit voorgaande twee vaststellingen volgt dat de maximale overdraagbare warmte gegeven wordt door MAX min h,in c,inQ C (T T )= −& (2.58) De overgedragen warmte wordt voor een gelijkstroomwarmtewisselaar gegeven door h h1 h2 c c2 c1Q C (T T ) C (T T )= − = −& (2.59) en voor een tegenstroomwarmtewisselaar h h1 h2 c c1 c2Q C (T T ) C (T T )= − = −& (2.60) De doelmatigheid kan dan worden uitgedrukt als

h h1 h2

min h1 c2

c c1 c2

min h1 c2

C (T T )EC (T T )

C (T T )C (T T )

−=

−

−=

−

(2.61)

(2.62)

31

voor een tegenstroomwarmtewisselaar en als

h h1 h2

min h1 c1

c c2 c1

min h1 c1

C (T T )EC (T T )C (T T )

C (T T )

−=

−

−=

−

(2.63)

(2.64)

voor een gelijkstroomwarmtewisselaar. In bovenstaande vergelijkingen zal ofwel Ch = Cmin ofwel Cc = Cmin waardoor de doelmatigheid kan worden uitgedrukt als

mintemperatuurverandering van het fluïdum met CEde max imale temperatuurverandering in de warmtewisselaar

=

2.5.1 De NTU-methode Het begrip NTU staat voor Number of Transfer Units en wordt gedefinieerd als:

Amin min

Ak 1NTU kdAC C

= = ∫ (2.65)

De NTU geeft een aanduiding van de 'thermische' grootte van een warmtewisselaar. De term geeft de verhouding tussen het warmteoverdrachtspotentieel van de warmtewisselaar (kA) tot het minimum capacitief debiet. Dit is echter geen eigenschap van de warmtewisselaar zelf, maar van de bedrijfsvoorwaarden waarin de warmtewisselaar wordt gebruikt. Als k niet constant is moet de tweede vergelijking uit (2.65) worden toegepast. Het is nu mogelijk om de doelmatigheid E uit te drukken als functie van de NTU. Bijvoorbeeld voor een tegenstroomwarmtewisselaar waarbij Cc > Ch, zodat Ch = Cmin en Cc = CMAX, volgt uit vergelijking (2.22) dat

min

MAX

CNTU(1 )C

h2 c2 h1 c1T T (T T )e− −

− = − (2.66) Met vergelijking (2.61) kan hieruit de vergelijking voor E worden berekend als:

min

MAX

min

MAX

CNTU(1 )C

CNTU(1 )Cmin

MAX

1 eEC1 ( )e

C

− −

− −

−=

−

(2.67)

Merk op dat voor het geval dat Ch > Cc dezelfde uitdrukking bekomen wordt.

32

Voor het geval van een gelijkstroomwarmtewisselaar kan via een gelijkaardige analyse volgende uitdrukking worden bekomen:

min

MAX

CNTU(1 )C

min

MAX

1 eE C1 ( )C

− +−

=+

(2.68)

Twee limietgevallen zijn van bijzonder belang: Cmin/CMAX = 1 en Cmin/CMAX = 0. Voor Cmin/CMAX = 1 wordt vergelijking (2.67) onbepaald. Toepassen van de regel van de L'Hospital op (2.67) levert echter in de limiet:

NTUE

1 NTU=

+ (2.69)

Voor een gelijkstroomwarmtewisselaar geeft vergelijking (2.68)

2NTU1E (1 e )2

−= − (2.70)

Voor het geval dat Cmin/CMAX = 0, zoals in boilers of in condensors geldt voor zowel tegen- als gelijkstroom dat

NTUE 1 e−= − (2.71) Algemeen kan gesteld worden dat E = f (NTU, Cmin/CMAX, stromingsschikking) Er werden voor verschillende schikkingen vergelijkingen afgeleid voor dwarsstroom en andere configuraties. Deze vergelijkingen werden samengevat in tabel 2.1, met C* = Cmin/CMAX.

Tabel 2.1. E-NTU uitdrukkingen

33

Enige van deze E-NTU vergelijkingen worden voorgesteld in figuren 2.11 tot 2.13. De volgende vaststellingen kunnen worden gemaakt: 1. de doelmatigheid E neemt toe met toenemende waarden van NTU bij constante

Cmin/CMAX 2. de doelmatigheid E neemt toe met afnemende waarden van Cmin/CMAX bij constante NTU 3. voor E< 40 % heeft de verhouding Cmin/CMAX geen significante invloed op E. Wegens het asymptotisch karakter van de E-NTU curves, is een grote toename van de NTU (en dus van de afmetingen van de warmtewisselaar) nodig om een kleine toename van de doelmatigheid E te bekomen. De tegenstroomwarmtewisselaar heeft de grootste doelmatigheid E voor gegeven waarden van NTU en Cmin/CMAX, in vergelijking met alle andere stromingsschikkingen. M.a.w. wordt voor een gegeven NTU en Cmin/CMAX een maximale prestatie bereikt in tegenstroom.

34

Figuur 2.11. Doelmatigheid in functie van NTU voor verschillende warmtewisselaars

35

Figuur 2.12. Doelmatigheid in functie van NTU voor verschillende warmtewisselaars

36

Figuur 2.13. Doelmatigheid in functie van NTU voor verschillende warmtewisselaars 2.6 Ontwerpsberekeningen voor warmtewisselaars 2.6.1 Gebruik van de berekeningsmethodes In de voorgaande paragrafen werden twee methodes bediscussieerd om de thermische analyse van een warmtewisselaar te maken. De bepaling van de afmeting en de prestatie van warmtewisselaars komen vaak voor in de thermische analyse van warmtewisselaars. Als bijvoorbeeld de inlaattemperaturen en één van de uitlaattemperaturen gekend zijn samen met de massadebieten, kan via de warmtebalansen en de LMTD-methode de afmetingen van de warmtewisselaar bepaald worden in volgende stappen: 1. bereken Q& en de onbekende uitlaattemperatuur met vergelijkingen (2.6) en (2.7) 2. bereken ∆Tm met vergelijking (2.19) en bepaal de correctiefactor F indien nodig 3. bereken de warmtedoorgangscoëfficiënt k 4. bepaal A uit (2.55). De LMTD-methode kan ook gebruikt worden om de prestaties van een gekende warmtewisselaar te bepalen. De berekeningen worden dan echter vrij omslachtig. De E-NTU-methode leent zich tot eenvoudiger berekeningen. Bijvoorbeeld: 1. bepaal de capaciteitsverhouding en de NTU 2. bepaal E met de correcte curve 3. bepaal uit E met (2.57) en (2.58) het vermogen Q 4. bepaal de uitlaattemperaturen uit vergelijkingen (2.6) en (2.7).

37

Analoog kan op omgekeerde wijze de NTU-methode gebruikt worden om de oppervlakte A te bepalen: 1. bepaal E uit de temperaturen 2. bepaal de capaciteitsverhouding 3. bepaal k 4. bepaal NTU uit E en de capaciteitsverhouding en de stromingsschikking 5. uit de NTU en k bepaal A. Traditioneel wordt de LMTD-methode het meest toegepast.