Inhoudsopgave 1 Hoofdstuk 1: Algemene begrippen...

Inhoudsopgave 1

Theorie mechanica 2018-2019 Universiteit Gent

Hoofdstuk 1: Algemene begrippen __________________________________________ 4

1.1 Inleiding ________________________________________________________________________________ 4

1.2 Mechanica ______________________________________________________________________________ 4

1.3 Belangrijke begrippen _________________________________________________________________ 5

1.4 Fundamentele wetten en concepten __________________________________________________ 5

1.5 Scalaire grootheden en vectorgrootheden ___________________________________________ 7

1.6 Orthogonaal assenstelsel ______________________________________________________________ 8

1.7 Afkortingen _____________________________________________________________________________ 9

Hoofdstuk 2: Krachtvectoren ______________________________________________ 11

2.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 11

2.2 Werken met krachtvectoren in twee dimensies ___________________________________ 12

2.3 Evenwicht van een puntmassa in twee dimensies ________________________________ 15

2.4 Werken met krachtvectoren in drie dimensies ____________________________________ 17

2.5 Evenwicht van een puntmassa in drie dimensies _________________________________ 20

2.6 Kennis- en conceptvragen ___________________________________________________________ 21

2.7 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 22

Hoofdstuk 3: Krachtmoment en koppelmoment ______________________________ 23

3.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 23

3.2 Scalair product _______________________________________________________________________ 23

3.3 Vectorproduct ________________________________________________________________________ 25

3.4 Moment van een kracht t.o.v. een punt _____________________________________________ 26

3.5 Moment van een koppel _____________________________________________________________ 28

3.6 Krachtmoment en koppelmoment in twee dimensies ____________________________ 29

3.7 Vereenvoudigen van belastingen ___________________________________________________ 30


3.9 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 33

Hoofdstuk 4: Evenwicht van een voorwerp ___________________________________ 34

4.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 34

4.2 Evenwichtsvoorwaarde _____________________________________________________________ 35

4.3 Evenwicht in twee dimensies _______________________________________________________ 35

4.4 Samengestelde structuren ___________________________________________________________ 39

4.5 Evenwicht in drie dimensies ________________________________________________________ 43


4.7 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 46

Hoofdstuk 5: Droge wrijving _______________________________________________ 47

5.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 47

5.2 Droge wrijving ________________________________________________________________________ 48

Inhoudsopgave 2


5.3 Basisprincipe _________________________________________________________________________ 48

5.4 Model van Coulomb - basisprincipes _______________________________________________ 49

5.5 De wrijvingshoek _____________________________________________________________________ 50

5.6 Soorten vraagstukken _______________________________________________________________ 51

5.7 Kantelen ______________________________________________________________________________ 53

5.8 Afgeleide toepassingen ______________________________________________________________ 54


5.10 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 58

Hoofdstuk 6: Zwaartepunten ______________________________________________ 59

6.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 59

6.2 Zwaartepunt van een voorwerp ____________________________________________________ 60

6.3 Draadstructuren en platen __________________________________________________________ 62

6.4 Samengestelde voorwerpen _________________________________________________________ 63

6.5 Afgeleide toepassingen ______________________________________________________________ 64


6.7 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 67

Hoofdstuk 7: Kinematica van een puntmassa _________________________________ 68

7.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 68

7.2 Basisdefinities: positie, snelheid en versnelling ___________________________________ 69

7.3 Cartesische coördinaten _____________________________________________________________ 70

7.4 Kromlijnige coördinaten _____________________________________________________________ 76

7.5 Gekoppelde en relatieve beweging _________________________________________________ 82


7.7 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 86

Hoofdstuk 8: Kinematica van een voorwerp __________________________________ 87

8.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 87

8.2 Soorten beweging in het vlak _______________________________________________________ 88

8.3 Translatie _____________________________________________________________________________ 88

8.4 Rotatie om een vaste as ______________________________________________________________ 88

8.5 Algemene beweging: gelijktijdige translatie en rotatie ___________________________ 92

8.6 Bewegingsanalyse met één parameter _____________________________________________ 95


8.8 Vraagstukken _________________________________________________________________________ 97

Hoofdstuk 9: Kinetica van een puntmassa ___________________________________ 98

9.1 Inleiding ______________________________________________________________________________ 98

9.2 De bewegingsvergelijking ___________________________________________________________ 99

9.3 Arbeid van een kracht ______________________________________________________________ 102

9.4 Arbeid en energie ___________________________________________________________________ 104

Inhoudsopgave 3


9.5 Vermogen ____________________________________________________________________________ 106

9.6 Conservatieve krachten - potentiële energie _____________________________________ 107

9.7 Behoud van energie _________________________________________________________________ 108

9.8 Impuls ________________________________________________________________________________ 109

9.9 Impulsmoment ______________________________________________________________________ 114

9.10 Kennis- en conceptvragen __________________________________________________________ 115

9.11 Vraagstukken ________________________________________________________________________ 117

Hoofdstuk 10: Kinetica van een voorwerp____________________________________ 118

10.1 Inleiding _____________________________________________________________________________ 118

10.2 Massatraagheidsmoment ___________________________________________________________ 119

10.3 Bewegingsvergelijkingen in het vlak ______________________________________________ 121

10.4 Arbeid en energie ___________________________________________________________________ 126

10.5 Kennis- en conceptvragen __________________________________________________________ 130

10.6 Vraagstukken ________________________________________________________________________ 130

Algemene begrippen 4


Hoofdstuk 1: Algemene begrippen

DOELSTELLINGEN:

• De lezer laten kennismaken met een aantal fundamentele begrippen uit de theoretische

mechanica, die noodzakelijk zijn om de resterende hoofdstukken te verstaan;

• Verschil tussen scalaire grootheden en vectorgrootheden benadrukken.

VERWIJZING NAAR HANDBOEK STATICA (RC Hibbeler, 13de editie):

• Hoofdstuk 1

1.1 Inleiding

Het eerste hoofdstuk beperkt zich tot het definiëren van een aantal kernbegrippen uit de

klassieke mechanica en de vectorrekening. Daarnaast wordt ook het verschil duidelijk

gemaakt tussen scalaire grootheden en vectorgrootheden. Doorheen de hele cursus zal

het de lezer duidelijk worden dat dit verschil van groot belang is.

1.2 Mechanica

Mechanica is een onderwerp uit de natuurkunde, en wordt vaak onderverdeeld in:

• Mechanica van puntmassa’s en onvervormbare voorwerpen (mechanica, 1ste bach)

• Mechanica van fluïda (toegepaste stromings- en energieleer, 2de bach)

• Mechanica van vervormbare voorwerpen of ‘continuümmechanica’ (niet in de opleiding

industrieel ingenieur)



De mechanica van puntmassa’s en onvervormbare voorwerpen vormt het onderwerp van

deze cursus.

1.3 Belangrijke begrippen

1.3.1 Puntmassa en (star) voorwerp

Een puntmassa (of partikel) is te beschouwen als een voorwerp zonder afmetingen,

waaraan een massa wordt toegekend. Voorbeeld: een knikker in een grote ruimte is te

beschouwen als een puntmassa. Elk punt van de knikker krijgt dan dezelfde coördinaten

in de beschouwde ruimte.

Een (star) voorwerp is een geheel van een groot aantal puntmassa’s die allemaal op

eenzelfde plaats blijven ten opzichte van elkaar. Star betekent dat het voorwerp niet

vervormbaar is; er wordt dus verondersteld dat zijn vorm en maten behouden blijven bij

de inwerking van krachten. Weliswaar vervormt in werkelijkheid elk voorwerp onder

elke belasting (elastische eigenschappen van de materie, Sterkteleer 2de bachelor), maar

deze vervormingen zijn zo miniem dat zij een verwaarloosbaar effect hebben bij de studie

van het evenwicht of de beweging van het voorwerp.

1.3.2 Kracht

Een kracht is een inwerking op een puntmassa of voorwerp met als bedoeling de toestand

van rust of beweging te wijzigen. Men kan spreken over contactkrachten (bv.

reactiekracht) of afstandskrachten1 (bv. zwaartekracht).

1.4 Fundamentele wetten en concepten

De theoretische mechanica steunt op een aantal fundamentele wetten:

1.4.1 Parallellogramregel voor de optelling van vectoren

Volgens dit principe mogen twee krachten die inwerken op een puntmassa vervangen

worden door één kracht (d.i. de resultante). Deze resultante is de diagonaal van een

parallellogram waarvan de zijden gelijk zijn aan de twee krachten.

1.4.2 Overdraagbaarheid van een kracht

Dit principe stelt dat de evenwichtsvoorwaarde van een voorwerp behouden blijft

wanneer een kracht die inwerkt op een zekere plaats op het voorwerp vervangen zou

1 Of veldkracht



worden door een kracht die even groot is en dezelfde zin heeft, maar die inwerkt op een

andere plaats op het voorwerp, zolang deze kracht eenzelfde werklijn heeft als de eerste

kracht. Dit principe geldt echter niet voor de spanningen en vervormingen in het

materiaal. Deze laatste zijn ten slotte wèl afhankelijk van de plaats waar de kracht

aangrijpt.

Figuur 1-1: Principe van overdraagbaarheid van een kracht.

1.4.3 Wetten van Newton

Deze wetten zijn wellicht goed gekend, maar worden hier nog even geformuleerd:

EERSTE WET. Een puntmassa die bij aanvang in rust is of in een rechte lijn en met constante

snelheid beweegt, zal in deze toestand blijven, indien er geen krachten worden op

uitgeoefend, of wanneer de krachten die erop worden uitgeoefend in evenwicht zijn met

elkaar.

TWEEDE WET. Een puntmassa waarop een kracht inwerkt, krijgt een versnelling die in grootte

evenredig is met die kracht en in dezelfde richting ligt.

DERDE WET. Oefent een puntmassa een kracht uit op een tweede puntmassa, dan oefent deze

laatste een even grote kracht uit op het eerste, met dezelfde richting, maar tegengesteld

van zin.

De eerste en derde wet vormen de basis van de statica. De tweede en derde wet vormen

de basis van het deel dynamica.

1.4.4 Gravitatiewet

Twee puntmassa’s met massa M en m worden tot elkaar aangetrokken met gelijke en

tegengestelde krachten �� en -��, met grootte

𝐹 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟2 1-1

met r de afstand tussen beide massa’s m en M. G is de universele gravitatieconstante.



1.4.5 Gewicht

In het bijzonder geval van een puntmassa met massa m die aangetrokken wordt tot de

aarde met massa MA, is deze aantrekkingskracht gelijk aan het gewicht W

𝑊 = 𝑚𝑔 1-2

waarin

𝑔 =(𝐺𝑀𝐴)

𝑟2≈ 9,81𝑚/𝑠2 1-3

In deze (nederlandstalige) cursus wordt het gewicht echter steeds aangeduid met symbool

G in plaats van W (weight).

Bovenstaande 6 principes zijn experimenteel aangetoond. Buiten de overdraagbaarheid

van een kracht2 en de eerste wet van Newton3, zijn ze allemaal onafhankelijk van elkaar.

Dit wil zeggen dat ze niet op een mathematische wijze van elkaar kunnen afgeleid worden.

1.5 Scalaire grootheden en vectorgrootheden

De fysische grootheden die we kennen, zijn in te delen in scalaire en vectorgrootheden:

1.5.1 Scalaire grootheden

Een scalaire grootheid wordt volledig bepaald door haar grootte (een reëel getal).

Voorbeelden zijn massa, tijd, volume, arbeid, vermogen, ... Bewerkingen op scalairen

gebeuren volgens de algebra.

1.5.2 Vectoriële grootheden

Een vectoriële grootheid is een grootheid die niet alleen een grootte heeft, maar ook een

richting. Klassieke voorbeelden zijn een kracht en een snelheid. Om aan te duiden dat met

vectoren wordt gewerkt, plaatst men boven het symbool een pijltje, bv. �� .

De richting wordt bepaald door de werklijn van de vector, die op zijn beurt bepaald wordt

door de eenheidsvector 𝑒𝑎𝑠 volgens de werklijn. In het vlak (d.w.z. in een

tweedimensionaal systeem) kan de richting aangegeven worden door:

• Een hoek tussen 0° en 360° ten opzichte van een referentierichting (vaak de x-as) OF

• Een combinatie van een hoek tussen 0° en 180° en een zin

2 De overdraagbaarheid van een kracht kan worden aangetoond m.b.v. theorie uit de dynamica. 3 De eerste wet van Newton wordt soms beschouwd als een bijzonder geval van de tweede wet van Newton.



Om de grootte (of norm of maatgetal) van de vector aan te geven maakt men steeds

gebruik van de grootte van de eenheidsvector als referentie: |𝑒𝑎𝑠|=1.

TIP: Vraag je steeds af: werk ik met een scalaire of een vectoriële grootheid? Gaat het om een

vectoriële grootheid, dan moet dat zichtbaar gemaakt worden met het pijlteken4, zoniet

wordt de vectoriële grootheid geïnterpreteerd als een scalair, waardoor men zwaar in de

fout gaat.

Tijdens de theorielessen wordt voornamelijk aandacht geschonken aan het werken met

vectoren, terwijl in de oefeningenlessen zowel met vectoren als met scalairen gewerkt wordt.

Studenten worden evenwel aangeraden om (wanneer mogelijk) oefeningen op te lossen,

zowel met de vectoriële methode als aan de hand van scalairen.

1.5.3 Vaste, glijdende en vrije vectoren

Men spreekt van een vaste vector als hij vast verbonden is met een punt. Bijvoorbeeld: de

snelheid van een punt op een baan is voor te stellen door een vector rakend aan de baan

ter plaatse van dat punt.

Men spreekt van een glijdende vector wanneer deze over zijn werklijn mag glijden, zonder

dat dit enig effect heeft op zijn uitwerking. Bijvoorbeeld: het effect van een kracht

verandert niet als die kracht een ander aangrijpingspunt krijgt op zijn werklijn (zie ook

paragraaf 1.4.2.)

Een vrije vector mag overal aangrijpen zonder dat zijn effect verandert. Bijvoorbeeld: twee

gelijke en tegengestelde krachten met evenwijdige werklijnen vormen een koppelvector,

wat een vectoriële grootheid is (zie ook paragraaf 3.5). Deze koppelvector is niet

gebonden aan enig aangrijpingspunt en is dus een vrije vector.

1.6 Orthogonaal assenstelsel

Een assenstelsel is het referentiekader waarbinnen rust en beweging bestudeerd worden.

Een orthogonale basis van éénheidsvectoren ontstaat door het tekenen van drie onderling

loodrechte eenheidsvectoren met dezelfde oorsprong O. We noemen die

eenheidsvectoren 𝑒𝑥, 𝑒𝑦 en 𝑒𝑧. Samen met O vormen de eenheidsvectoren een zogenaamd

orthogonaal ssenstelsel. De dragers van de eenheidsvectoren, nl. de x-, y- en z-as, zijn de

coördinaatassen van het assenstelsel. De onderlinge richting en zin van de assen worden

zo gekozen dat een rechts orthogonaal assenstelsel ontstaat. ‘Rechts’ betekent dat de zin

van de assen voldoet aan

4 Of door het symbool te onderlijnen (F), of in het vet te zetten (F). Deze laatste notatie wordt zeer vaak in handboeken gebruikt en ook op een aantal figuren in de begeleidende Powerpoint-slides.



• de regel van de rechterhand: Breng duim, wijs- en middelvinger van de rechterhand in

loodrechte positie. Oriënteer de duim volgens de x-as. De wijsvinger geeft de richting en

zin aan van de y-as. De middelvinger doet hetzelfde met de z-as; of

• de regel van de kurkentrekker (of schroevendraaier): Draai van de x-as naar de y-as via

de kleinste hoek (90°). Kijk naar de draaizin van de beweging en associeer dit met de

beweging van een kurkentrekker). De zin van de beweging stemt overeen met de

positieve z-as.

Figuur 1-2: Principe van de rechterhandregel.

1.7 Afkortingen

Hieronder vind je een lijst met veel gebruikte symbolen en afkortingen in de syllabus.

Symbool Verklaring Eenheid

F (of P) willekeurige puntkracht [N]

R reactiekracht [N]

N normaalkracht [N]

G gewicht [N]

M moment [Nm]

FS statische wrijvingskracht [N]

Fk kinematische wrijvingskracht [N]

FW wrijvingskracht [N]



t tijd [s]

s positie [m]

v snelheid [m/s]

a versnelling (acceleratie) [m/s²]

m massa [kg]

ω hoeksnelheid [rad/s]

α hoekversnelling [rad/s²]

Ekin kinetische energie [J]

Epot potentiële energie [J]

W arbeid [J]

P vermogen [W]

I massatraagheidsmoment [kgm²]

k traagheidsstraal [m]

Krachtvectoren 11


Hoofdstuk 2: Krachtvectoren

DOELSTELLINGEN:

• Verschillende grafische en algebraïsche methoden voorstellen om twee of meer

krachtvectoren op te tellen, zowel in twee als in drie dimensies;

• Uitleggen hoe krachtvectoren kunnen ontbonden worden in componenten;

• Voorstellen van krachtvectoren m.b.v. de cartesische notatie;

• Functie van plaatsvectoren verklaren;

• Evenwichtsvoorwaarde opstellen voor puntmassa’s.


• Hoofdstuk 2 paragrafen 2.1-2.8

• Hoofdstuk 3

2.1 Inleiding

Werken met krachtvectoren is een belangrijke competentie van het opleidingsonderdeel

mechanica. Dit hoofdstuk behandelt het effect van twee of meer krachten op een

zogenaamde puntmassa, zowel in twee als in drie dimensies. Er wordt aangetoond hoe je

het resulterend effect van deze krachten (de krachtresultante of kortweg resultante) kan

begroot worden. In twee dimensies kan dit algebraïsch of grafisch gebeuren, in drie

dimensies bij voorkeur enkel algebraïsch.

De methoden beschreven in dit hoofdstuk beperken zich niet tot puntmassa’s. Ook andere

praktische problemen die oplosbaar zijn door enkel het krachtenevenwicht uit te

drukken, worden bekeken.

Het berekenen van momenten en het uitdrukken van momentevenwicht van voorwerpen

komen pas vanaf een volgend hoofdstuk aan bod.

Krachtvectoren 12


2.2 Werken met krachtvectoren in twee dimensies

2.2.1 Optellen van samenlopende vectoren

Optellen van twee samenlopende5 vectoren in het vlak kan door gebruik te maken van de

parallellogrammethode en de daaruit volgende driehoeksmethode. De werkwijze is als

volgt:

Figuur 2-1: Parallellogram- en driehoeksmethode.

PARALLELLOGRAMMETHODE. Teken de vectoren met hetzelfde beginpunt. Construeer de

parallellogram waarbij �� en �� de aanliggende zijden zijn. De som is de vector die ontstaat

als de diagonaal van het parellellogram tussen de aanliggende zijden �� en ��.

DRIEHOEKSMETHODE. Teken het beginpunt van vector �� in het eindpunt van ��.

Bij de parallellogrammethode en de driehoeksmethode wordt aanvullend gebruik

gemaakt van de sinusregel en de cosinusregel, die van toepassing zijn in elke driehoek.

Figuur 2-2: Willekeurige driehoek.

Volgens de sinusregel geldt:

𝑠𝑖𝑛 𝛼

𝑎=

𝑠𝑖𝑛 𝛽

𝑏=

𝑠𝑖𝑛 𝛾

𝑐 2-1

En uit de driehoeksmeetkunde herinneren we ons eveneens de cosinusregel:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝛼

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝛽

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛾

2-2

5 Vectoren worden samenlopend genoemd indien hun werklijnen snijden in een gemeenschappelijk punt.

a

c

b

βα

γ

Krachtvectoren 13


Wanneer meer dan twee vectoren (grafisch) opgeteld moeten worden, wordt bij voorkeur

de kop-staartmethode gebruikt.

Typevoorbeeld 2-1

Bepaal de grootte en de richting van de resultante van beide krachten. [FR = 74,95 N en α = -7,11°]

2.2.2 Ontbinden van een kracht in componenten

Soms wordt gevraagd om een gegeven vector te ontbinden (d.w.z. uit te splitsen) in twee

componenten (die niet noodzakelijk loodrecht staan op elkaar!). Ontbinden in loodrechte

componenten komt pas aan bod in paragraaf 2.2.3. In praktijk doen volgende situaties

zich voor:

• Kracht �� dient te worden ontbonden in twee componenten waarvan er één gekend is,

zowel qua grootte als qua richting;

• Kracht �� dient te worden ontbonden in twee componenten met gekende werklijnen.

Beide problemen kunnen eveneens grafisch en met driehoeksmeetkunde opgelost

worden. Dit wordt geïllustreerd in onderstaand voorbeeld.

Typevoorbeeld 2-2

Een kracht van 5000 N is nodig om een ponton voort te trekken. (a) Bepaal de trekkracht in de kabels

van beide sleepboten indien α = 45°. (b) Voor welke waarde van α is de trekkracht in kabel 2 minimaal?

[Antwoord: (a) TAC = 3660 N en TBC = 2590 N (b) α = 60°]

60 N

40 N

y

25°

60°

30°

α

1

2

A

B

C

Krachtvectoren 14


2.2.3 De cartesische notatie

Figuur 2-3: Cartesische notatie van een vector in twee dimensies.

In tal van toepassingen is het aangewezen om een krachtvector voor te stellen d.m.v. zijn

cartesische (of rechthoeks-) componenten, die onderling loodrecht op elkaar staan:

�� = ��𝑥 + ��𝑦 = 𝐹𝑥𝑒𝑥 + 𝐹𝑦𝑒𝑦 2-3

De grootte wordt dan gedefinieerd als:

‖��‖ = 𝐹 = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦

2 2-4

De richting van een cartesische krachtvector wordt bepaald door zijn richtingshoeken α

en β, gemeten tussen de staart van de vector en de positieve x- en y-as ter plaatse van de

staart van ��. Er geldt:

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =𝐹𝑥

𝐹 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝛼 =

𝐹𝑦

𝐹 2-5

Anderzijds geldt uiteraard dat:

𝑡𝑎𝑛 𝛼 =𝐹𝑦

𝐹𝑥

2-6

Deze laatste formule laat toe om de richting van de werklijn te berekenen wanneer de x-

en y-componenten van een kracht gegeven zijn.

De eenheidsvector met dezelfde richting (werklijn) als �� kan geschreven worden als:

𝑒𝐹 =��

𝐹=

𝐹𝑥

𝐹𝑒𝑥 +

𝐹𝑦

𝐹𝑒𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑒𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑒𝑦 2-7

Indien men in 2-7 de grootte van de linker- en rechterleden bepaalt, vindt men snel:

‖𝑒𝐹‖ = 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 2-8

Krachtvectoren 15


2.2.4 Optellen van krachtvectoren met de cartesische notatie

Een alternatieve methode om twee of meer samenlopende vectoren op te tellen in twee

dimensies is door de vectoren eerst in hun cartesische componenten te schrijven. De som

(resultante) is gelijk aan:

��𝑅 = ∑ �� = ∑ 𝐹𝑥𝑒𝑥 + ∑ 𝐹𝑦𝑒𝑦 = 𝐹𝑅,𝑥𝑒𝑥 + 𝐹𝑅,𝑦𝑒𝑦 2-9

De grootte en richting van de resultante worden gegeven door:

𝐹𝑅 = √𝐹𝑅,𝑥2 + 𝐹𝑅,𝑦

2 2-10

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐹𝑅,𝑦

𝐹𝑅,𝑥)

2-11

Typevoorbeeld 2-3

Bepaal de grootte en richting van de resulterende kracht op de haak. [Antwoord: FR = 199,6 N en α =

4,1°]

2.3 Evenwicht van een puntmassa in twee dimensies

2.3.1.1 Principe

Vaak kunnen praktische problemen worden opgelost door het uitdrukken van het

evenwicht van een puntmassa6. Volgens de eerste wet van Newton is een puntmassa in

(statisch) evenwicht indien:

∑ �� = 0 2-12

of, in componenten uitgedrukt:

6 Het begrip puntmassa (of partikel) dient niet steeds letterlijk te worden opgevat. In hoofdstuk 4 zal blijken dat deze evenwichtsvergelijkingen even zeer geldig zijn voor voorwerpen (met eindige afmetingen) die belast worden met krachten die allemaal door eenzelfde punt gaan (d.i. samenlopend zijn), en waar de momentenvergelijking geen onafhankelijke vergelijking meer vormt.

150 N

100 N

80 N

20°

30°

15°

110 N

Krachtvectoren 16


∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝐹𝑦 = 0 2-13

In een vrijlichaamschets (eng: free body diagram) wordt de ‘puntmassa’, d.i. een deel van

de constructie, vrij (geïsoleerd) van zijn omgeving voorgesteld. Alle bekende en

onbekende contactkrachten en lichaamskrachten worden hierbij in rekening gebracht.

Het oplossen van evenwichtsvergelijking 2-12 gebeurt algebraïsch (d.m.v. cartesische

componenten) of grafisch (d.m.v. parallellogram- of driehoeksmethode).

Kabels, touwen, veren en katrollen zijn soorten verbindingen die vaak voorkomen in dit

type evenwichtsvraagstukken.

2.3.1.2 Kabels, touwen, kettingen en katrollen

Meestal worden kabels, touwen en kettingen verondersteld een verwaarloosbaar kleine

massa te hebben (tenzij anders expliciet vermeld) en niet rekbaar te zijn. De trekkracht

werkt dan altijd in de richting van de kabel.

Een wrijvingsloze katrol7 zorgt ervoor dat de kabel over de hele lengte onderhevig is aan

eenzelfde trekkracht.

Typevoorbeeld 2-4

Een last van 160 kg wordt in evenwicht gehouden door één kabel gespannen rond katrollen A en B.

Bepaal, indien β = 20°, de grootte en de richting van de kracht met grootte P om dit evenwicht te

garanderen. [Antwoord: P = 602 N en α = 46,8° OF P = 1365 N en α = -46,8°]

7 Deze situatie mag niet verward worden met een riem die gespannen wordt over een ruwe cilindervormige buis (zie hoofdstuk 5), en waar wrijvingskrachten kunnen ontstaan.

160 kg

A

P

B

β

α

Krachtvectoren 17


2.3.1.3 Veren

Een lineaire veer ondergaat een lengteverandering die evenredig is met de kracht die er

op inwerkt. De veer wordt gekenmerkt door zijn veerconstante k:

𝐹 = 𝑘 ∙ ∆𝑠 2-14

met ∆s de verlenging (bij trek) of verkorting (bij druk), d.i. het verschil tussen de belaste

en de onbelaste lengte.

Typevoorbeeld 2-5

Bepaal de lengte van kabel AB, wetende dat de lengte van BC in onbelaste toestand 0,4 m bedraagt.

[Antwoord: lAB = 1,32 m]

2.4 Werken met krachtvectoren in drie dimensies

2.4.1 Cartesische notatie

Onderstaande theorie vertoont een duidelijke analogie met de theorie in twee dimensies.

In drie dimensies kan een krachtvector worden voorgesteld als:

�� = ��𝑥 + ��𝑦 + ��𝑧 = 𝐹𝑥𝑒𝑥 + 𝐹𝑦𝑒𝑦 + 𝐹𝑧𝑒𝑧 2-15

Zijn grootte wordt gedefinieerd als:

𝐹 = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦

2 + 𝐹𝑧2

2-16

De drie richtingshoeken α, β en γ worden nu gegeven door hun richtingscosinussen:

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =𝐹𝑥

𝐹, 𝑐𝑜𝑠 𝛽 =

𝐹𝑦

𝐹 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝛾 =

𝐹𝑧

𝐹 2-17

De eenheidsvector met dezelfde richting als �� kan geschreven worden als:

8 kg

A

60°

300 N/m

C

B

2m

Krachtvectoren 18


𝑒𝐹 =𝐹𝑥

𝐹𝑒𝑥 +

𝐹𝑦

𝐹𝑒𝑦 +

𝐹𝑧

𝐹𝑒𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑒𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑒𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝑒𝑧 2-18

Hieruit volgt dat:

‖𝑒𝐹‖ = 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛾 = 1 2-19

Merk op dat bij praktische toepassingen de oriëntatie van een krachtvector in de ruimte

meestal niet gedefinieerd wordt a.d.h.v. zijn richtingshoeken. De cartesische componenten

worden dan op volgende twee manieren bepaald.

2.4.2 Werken met dubbele projectie

Onderstaand voorbeeld toont hoe de oriëntatie weergegeven wordt m.b.v. hoeken

gemeten tussen de krachtvector en een vlak (bv. het xy-vlak of het yz-vlak), in plaats van

tussen de krachtvector en een as. De cartesische componenten worden dan gevonden

door twee maal na elkaar te projecteren.

Figuur 2-4: Illustratie van principe van dubbele projectie.

De cartesische componenten vindt men voor bovenstaande situatie via:

𝐹𝑥 = 𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜑 2-20

𝐹𝑦 = 𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜑 2-21

𝐹𝑧 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2-22

2.4.3 Werken met de plaatsvector

Bij het definiëren van een krachtvector gelegen tussen twee punten in de ruimte (met

gekende coördinaten), wordt gebruik gemaakt van het begrip plaatsvector of

positievector. Zo’n plaatsvector legt de positie van een punt A met coördinaten xA, yA en zA

in de ruimte ten opzichte van de oorsprong O.

𝑟𝐴 = 𝑥𝐴𝑒𝑥 + 𝑦𝐴𝑒𝑦 + 𝑧𝐴𝑒𝑧 2-23

Krachtvectoren 19


Het begrip plaatsvector wordt even goed gebruikt om de positie te beschrijven van een

punt B in de ruimte t.o.v. een ander punt A, verschillend van de oorsprong. Dit is dus de

relatieve positie van B t.o.v A:

𝑟𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝑒𝑥 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝑒𝑦 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)𝑒𝑧 2-24

Een krachtvector met gekende grootte en georiënteerd van punt A naar punt B, wordt

geschreven als:

�� = 𝐹𝑒𝐴𝐵 = 𝐹 (𝑟𝐴𝐵

𝑟𝐴𝐵)

= 𝐹(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝑒𝑥 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝑒𝑦 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)𝑒𝑧

√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)2

2-25

met 𝑟𝐴𝐵 de plaatsvector tussen beide punten. 𝑒𝐴𝐵 is hier de corresponderende

eenheidsvector van de werklijn die A met B verbindt.

Figuur 5: Werken met een plaatsvector.

Deze methode is dus de derde manier om een kracht in de ruimte voor te stellen. Vanuit

praktisch oogpunt is deze laatste methode vaak de interessantste.

Typevoorbeeld 2-6

A

F

B

80 m 40 m

30 m

Krachtvectoren 20


Een kracht van 2500 N is nodig om een toren verticaal in evenwicht te houden. Stel de kracht bij punt A

via zijn cartesische notatie, en bepaal zijn richting(shoeken). [Antwoord: ��𝑅 = 795 𝑒𝑥 − 1060 𝑒𝑦 +

2120 𝑒𝑧 en α = 71,5° en β = 32° en γ = 115,1°]

2.4.4 Optellen van krachtvectoren met de cartesische notatie

In het bijzonder bij driedimensionale situaties waarbij men twee of meer krachten moet

optellen dient men gebruik te maken van de cartesische notatie:

��𝑅 = ∑ �� = ∑ 𝐹𝑥𝑒𝑥 + ∑ 𝐹𝑦𝑒𝑦 + ∑ 𝐹𝑧𝑒𝑧

= 𝐹𝑅,𝑥𝑒𝑥 + 𝐹𝑅,𝑦𝑒𝑦 + 𝐹𝑅,𝑧𝑒𝑧 2-26

met grootte:

𝐹𝑅 = √𝐹𝑅,𝑥2 + 𝐹𝑅,𝑦

2 + 𝐹𝑅,𝑧2 2-27

Typevoorbeeld 2-7

Bepaal de drie componenten van de resultante van beide krachten. [Antwoord: FX = 538,8 N, FY = 259,9

N en FZ = 1430 N]

2.5 Evenwicht van een puntmassa in drie dimensies

Volgens de eerste wet van Newton is een puntmassa in evenwicht indien:

∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝐹𝑦 = 0 en ∑ 𝐹𝑧 = 0 2-28

Om dit evenwicht neer te schrijven dienen we dus eerste alle relevante krachtvectoren op

te splitsen in hun cartesische componenten. Grafische oplossingsmethoden zijn hier niet

meer haalbaar.

Krachtvectoren 21


Typevoorbeeld 2-8

Bepaal de grootte van kracht P en de trekkracht in elk van beide kabels. Kracht P staat loodrecht op de

verticale wand. [Antwoord: P = 235 N, TAB = 1402 N en TAC = 1238 N]

2.6 Kennis- en conceptvragen

• Waarvoor dient de kop-staartmethode? Leg uit hoe de kop-staart methode werkt.

• Wat is het verschil en/of het verband tussen de driehoeksmethode en de

parallellogrammethode?

• In welke situaties kies je beter voor een grafische methode (in combinatie met

driehoeksmeetkunde) en wanneer beter voor een algebraïsche methode (met

cartesische componenten).

• Wat is de betekenis van een component?

• Waarom ontbindt men een krachtvector soms in loodrechte componenten en andere

keren niet?

• Wat is het voordeel van werken met loodrechte componenten (in vergelijking met niet-

loodrechte)?

• Hoe definieer je een richtingshoek en een richtingscosinus?

• Wat wordt bedoeld met statisch evenwicht?

• Waarom moet een vrijlichaamschets getekend worden bij het oplossen van een

evenwichtsvraagstuk?

• Welke informatie moet er allemaal op een vrijlichaamschets aangeduid worden?

• Leg in woorden de drie manieren uit die er bestaan om cartesische notatie van een

krachtvector in 3D te schrijven.

• Wat is een plaatsvector, en waarom wordt deze gebruikt in de statica?

• Wat is een veerconstante?

• Heeft de keuze van het assenstelsel invloed op de grootte van een kracht?

• Heeft de keuze van het assenstelsel invloed op de cartesische notatie van een kracht?

• In een kabel, touw of ketting wordt in een vrijlichaamschets normaal de kracht getekend

in de as van de kabel of het touw. Is dit in werkelijkheid ook zo? Wanneer niet/wel?

Krachtvectoren 22


2.7 Vraagstukken

Zie werkcolleges 1 en 2.

Krachtmoment en koppelmoment 23


Hoofdstuk 3: Krachtmoment en koppelmoment

DOELSTELLINGEN:

• Introduceren van de begrippen scalair product en vectorproduct;

• Verschillende methoden voorstellen om een moment van een kracht ten opzichte van

een punt te berekenen;

• Definiëren van een koppel(vector);

• Methoden voorstellen om stelsels van krachten en koppels te vereenvoudigen.



3.1 Inleiding

Als inleiding tot hoofdstuk 4 wordt in dit hoofdstuk uitvoerig het begrip krachtmoment

ten opzichte van een punt behandeld. Het berekenen van krachtmomenten is essentieel

voor het bestuderen van statisch (en dynamisch) evenwicht van tweedimensionale en

driedimensionale voorwerpen. Tevens komen de begrippen koppel en koppelmoment aan

bod, twee begrippen die direct verband houden met een krachtmoment.

Met de theorie leer je tevens hoe je de resultante berekent van een krachtenstelsel

bestaande uit meerdere krachten en krachtenkoppels die al dan niet tegelijkertijd

inwerken op een voorwerp.

3.2 Scalair product

Het scalair (of inwendig) product wordt voornamelijk gebruikt in drie dimensies om de

hoek te bepalen tussen twee vectoren of de componenten te bepalen van een kracht



parallel en loodrecht op een vector. In tweedimensionale gevallen kunnen deze

problemen vaak grafisch worden opgelost m.b.v. driehoeksmeetkunde.

Het scalair product is per definitie een reëel getal, verkregen door het product van de

normen van beide vectoren te vermenigvuldigen met de cosinus van de ingesloten hoek.

�� ∙ �� = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝜃 met 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° 3-1

Figuur 3-1: Illustratie scalair product.

Het scalair product van twee loodrechte vectoren is gelijk aan nul. De volgende

eigenschappen zijn van toepassing:

• Commutativiteit: �� ∙ �� = �� ∙ ��

• Associativiteit: 𝑚 ∙ (�� ∙ ��) = �� ∙ (𝑚��) = 𝑚�� ∙ (��) = (�� ∙ ��) ∙ 𝑚

• Distributiviteit: �� ∙ (�� + 𝑐) = �� ∙ �� + �� ∙ 𝑐

Indien de cartesische componenten van de vectoren gekend zijn, kan het scalair product

als volgt geschreven worden:

�� ∙ �� = (𝑎𝑥𝑒𝑥 + 𝑎𝑦𝑒𝑦 + 𝑎𝑧𝑒𝑧) ∙ (𝑏𝑥𝑒𝑥 + 𝑏𝑦𝑒𝑦 + 𝑏𝑧𝑒𝑧)

= 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧 3-2

Frequent voorkomende toepassingen zijn:

• De hoek tussen twee vectoren bepalen:

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (�� ∙ ��

𝑎𝑏) 3-3

• De grootte van een vector berekenen:

𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2

3-4

• De projectie van een vector �� op een as u bepalen: Het scalair product van de vector

met deze eenheidsvector van deze as geeft:

�� ∙ 𝑒𝑢 = 𝑎 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3-5



Indien θ > 90° is het resultaat negatief. De component loodrecht op de as kan men

vervolgens bepalen d.m.v. de stelling van Pythagoras.

Figuur 3-2: Projectie van een vector op een as.

3.3 Vectorproduct

3.3.1 Definitie

Het vectorproduct (of uitwendig product) van twee vectoren is eveneens een vector:

𝑐 = �� × �� 3-6

Deze vector voldoet aan de volgende eigenschappen:

• De werklijn ligt loodrecht op het vlak gevormd door vectoren �� en ��;

• De grootte of norm is 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝜃. De oppervlakte van de parallellogram gevormd

door beide vectoren is een maat voor deze norm;

• De zin wordt bepaald a.d.h.v. de rechterhandregel.

Figuur 3-3: Vectorproduct - grafische voorstelling.

3.3.2 Eigenschappen

• Als �� = 0 of �� = 0 of �� ∥ �� geldt: �� × �� = 0

• Het vectorproduct is asymmetrisch: −(�� × ��) = (−��) × �� = �� × (−��)

• Scalair doorschuiven: (𝑚��) × �� = �� × (𝑚��) = 𝑚(�� × ��)

• Het vectorproduct is bilineair: 𝑐 × (𝑚�� + 𝑛��) = 𝑚(𝑐 × ��) + 𝑛(𝑐 × ��)

θ

a

b

c

c



3.3.3 Vectorproduct in componenten

Het rechtstreeks toepassen van de definitie van het vectorieel product is dikwijls

ongeschikt om berekeningen uit te voeren. Zoals bij het scalair product al werd

aangegeven, zijn de vectoren �� en �� vaak gegeven met hun componenten. Het

vectorproduct is dan:

�� × �� = (𝑎𝑥𝑒𝑥 + 𝑎𝑦𝑒𝑦 + 𝑎𝑧𝑒𝑧) × (𝑏𝑥𝑒𝑥 + 𝑏𝑦𝑒𝑦 + 𝑏𝑧𝑒𝑧)

= (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)𝑒𝑥 + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)𝑒𝑦 + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)𝑒𝑧 3-7

Een alternatieve en zeer handige schrijfwijze verkrijgt men door voorgaand resultaat

onder determinantenvorm te schrijven:

�� × �� = |

𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧

| 3-8

3.4 Moment van een kracht t.o.v. een punt

3.4.1 Definitie

Het moment van een kracht �� t.o.v. een punt O wordt algemeen gedefinieerd als:

��𝑂 = 𝑟 × �� = |

𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧

𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧

𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

| 3-9

met 𝑟 de plaatsvector van een willekeurig punt gekozen op de werklijn t.o.v. het punt

waarrond het moment berekend wordt. De grootte van dit moment is volgens de definitie

uit 3.3.1:

𝑀𝑂 = 𝑟𝐹 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝐹𝑑 3-10

Hierin stelt d de loodrechte afstand8 voor tussen de werklijn van de kracht en het punt ten

opzichte waarvan het moment berekend wordt. Dit getal, een scalair, geeft de intensiteit

weer waarmee een kracht F een voorwerp wil laten roteren/buigen. De eenheid is Nm.

8 In een driedimensionaal probleem is deze afstand echter niet gemakkelijk te bepalen, waardoor het praktisch gebruik van deze formule enigszins beperkt wordt.



Figuur 3-4: Moment van een kracht ten opzichte van een punt.

De drie componenten van de momentvector vindt men direct na uitrekenen van

determinant 3-9:

��𝑂 = 𝑀𝑥𝑒𝑥 + 𝑀𝑦𝑒𝑦 + 𝑀𝑧𝑒𝑧 3-11

Men concludeert hieruit dat:

𝑀𝑥 = 𝑦𝐹𝑧 − 𝑧𝐹𝑦 3-12

𝑀𝑦 = 𝑧𝐹𝑥 − 𝑥𝐹𝑧 3-13

𝑀𝑧 = 𝑥𝐹𝑦 − 𝑦𝐹𝑥 3-14

Typevoorbeeld 3-1

Bepaal de momentvector van de kracht van 200 N ten opzichte van punt A. [Antwoord: ��𝐴 = 7,5 𝑒𝑥 −

6 𝑒𝑦 − 10,39 𝑒𝑧]

B

A

x

y

z50 mm

60 mm

25 mm

200 N

30°

60°

C



3.4.2 Momentenstelling - Stelling van Varignon

Deze stelling zegt dat de som van de momenten van een stelsel samenlopende krachten

t.o.v. een punt is gelijk aan het moment van hun resultante t.o.v. dat punt. Ze kan zeer snel

worden bewezen als volgt:

∑ ��𝑖 = ��1 + ��2 + ��3 + ⋯ + ��𝑛

= 𝑜𝑎 × ��1 + 𝑜𝑎 × ��2 + 𝑜𝑎 × ��3 + ⋯ + 𝑜𝑎 × ��𝑛

= 𝑜𝑎 × (��1 + ��2 + ��3 + ⋯ + ��𝑛)

= 𝑜𝑎 × ��𝑅

3.5 Moment van een koppel

3.5.1 Koppelvector

Twee gelijke krachten met evenwijdige werklijnen en tegengestelde zin vormen per

definitie een krachtenkoppel of kortweg koppel. Ze zijn niet te vervangen door hun

resultante (die trouwens nul is). De som van de momenten is echter verschillend van nul!

Het koppel wil dus enkel een rotatie van het voorwerp veroorzaken.

Beschouw in Figuur 3-5 twee gelijke en tegengestelde krachten. De som van de momenten

van beide krachten t.o.v. een willekeurig punt O wordt:

�� = ∑ ��𝑂 = 𝑂𝐴 × �� + 𝑂𝐵 × (−��) = 𝐵𝐴 × �� 3-15

Merkwaardig genoeg blijkt dit resultaat onafhankelijk van O. Net daarom wordt de

koppelvector �� een vrije vector genoemd.

Figuur 3-5: Betekenis van een koppelvector.



De grootte van de koppelvector �� wordt het moment van het koppel genoemd9, en is gelijk

aan:

𝑀 = 𝐹𝑑 3-16

met d de loodrechte afstand tussen de werklijnen van beide krachten. Koppelvectoren

kunnen, net zoals andere (kracht)vectoren, opgeteld worden. De grootte van de

koppelvector wordt uitgedrukt in Nm.

3.5.2 Gelijkwaardige koppels

Twee koppels met dezelfde koppelvectoren worden gelijkwaardig (of equivalent)

genoemd, en hebben bijgevolg hetzelfde effect op een voorwerp.

3.6 Krachtmoment en koppelmoment in twee dimensies

Hoewel bovenstaande formules en stellingen eveneens kunnen worden toegepast in

tweedimensionale problemen, is het in praktijk de gewoonte een licht afwijkende notatie

te gebruiken. Dit wordt toegelicht in deze aparte paragraaf.

In tweedimensionale problemen in een xy-vlak bezit de momentvector maar één

component, een z-component loodrecht op het xy-vlak:

��𝑂 = (𝑥𝐹𝑦 − 𝑦𝐹𝑥)𝑒𝑧 3-17

In dat geval is de grootte ervan gelijk aan:

𝑀𝑂 = 𝑥𝐹𝑦 − 𝑦𝐹𝑥 3-18

Het spreekt voor zich dat het resultaat gelijk moet zijn aan het resultaat van formule 3-10.

Merk ook op dat bij tweedimensionale problemen (in een vlak) de momentvector altijd

loodrecht op dit vlak ligt. Daarom heeft men de gewoonte om:

• de grootte van het moment weer te geven (met scalairen i.p.v. vectoren), voorafgegaan

door een teken. ‘+’ duidt op een krachtmoment in tegenwijzerzin, OF

• de grootte van het moment weer te geven, aangevuld met een gekromde pijl die grafisch

de draaizin van het moment aangeeft: ↺ (positief) of ↻ (negatief).

9 Het moment van een koppel wordt op zich ook vaak gewoon het koppel genoemd.



Figuur 3-6: Teken van een krachtmoment in twee dimensies: MO = Fd (links) en MO = -Fd (rechts).

Typevoorbeeld 3-2

Bepaal het moment van de kracht aangrijpend in A ten opzichte van punt B. [Antwoord: MB = 203 Nm

↻]

3.7 Vereenvoudigen van belastingen

3.7.1 Vereenvoudigen naar een kracht en een koppel

In sommige gevallen wordt gevraagd om een bestaande belasting, bestaande uit één of

meerdere krachten en/of koppels, te vereenvoudigen tot een gelijkwaardige belasting,

bestaande uit één enkele kracht (resultante ��𝑅) die aangrijpt op een arbitrair punt, en een

krachtenkoppel ��𝑅,0 . Men concludeert dat:

��𝑅 = ∑ �� 3-19

en

��𝑅,0 = ∑ ��0 + ∑ �� = ∑ 𝑟 × �� + ∑ �� 3-20

In deze laatste uitdrukking zijn ∑ �� de koppels die deel uitmaken van de oorspronkelijke

belasting, terwijl ∑ ��0 het gevolg is van het verplaatsen van alle krachten ��, en dus gelijk

is aan de som van de momenten van alle krachten ten opzichte van O.

F

d

OMO M

O

F

d

O

160 mm

A

B

800 N

200 mm

60°



Op deze manier vervangen we de oorspronkelijke belasting door een gelijkwaardige

belasting. Van deze gelijkwaardige belasting weten we dat ze dezelfde steunpuntsreacties

zal veroorzaken10.

Typevoorbeeld 3-3

Herleid deze krachten naar één kracht en één koppel aan punt O. [Antwoord: FR = 461 N met α = -49,4°

en M = 438 Nm ↻]

3.7.2 Verder vereenvoudigen naar één kracht: de krachtresultante

Wanneer ��𝑅 en ��𝑅,0 loodrecht op elkaar staan, kan een belasting nog verder

vereenvoudigd worden tot één enkele kracht, de krachtresultante ��𝑅 . Vanzelfsprekend is

deze kracht is nog steeds gelijkwaardig met de originele belasting.

Het bepalen van de ligging van de werklijn van ��𝑅 wordt hieronder uitgelegd voor een

aantal verschillende gevallen:

• Samenlopende krachten: De equivalente belasting kan voorgesteld worden door een

resultante ��𝑅 = ∑ ��. Dit geval werd in detail behandeld in hoofdstuk 2.

• Coplanaire krachten: De werklijnen van de krachten liggen in eenzelfde vlak, maar zijn

niet per se samenlopend. De resultante ��𝑅 wordt verplaatst over een afstand d, zodat

��𝑅 eenzelfde moment ��𝑅,0 rond punt O veroorzaakt, met 𝑑 = (𝑀𝑅,0)/𝐹𝑅.

• Parallelle krachten: De werklijn van de resultante kan men vinden door gebruik te maken

van de momentenstelling, dit maal toegepast op parallelle krachten: De som van de

momenten van een stelsel evenwijdige krachten t.o.v. een punt is gelijk aan het moment

van hun resultante t.o.v. dat punt.

Indien er maar twee parallelle krachten zijn, kan men zelfs gebruik maken van een

grafische methode, zoals hieronder gedemonstreerd:

10 De inwendige krachtenverdeling zal bij de gelijkwaardige belasting evenwel anders zijn. Voor het bepalen van de inwendige krachten (bv. normaalkracht en dwarskracht) en buigmomenten wordt verwezen naar de cursus sterkteleer (2de bachelor).

500 N

200 N

3

45

200 N

1,25 m 1,25 m

1 m

750 N

O



Figuur 3-7: Bepalen van resultante van parallelle krachten.

��1 + ��2 = 𝑜𝑎 × ��1 + 𝑜𝑏 × ��2

= 𝑜𝑎 × ��1 + 𝑜𝑎 × �� + 𝑜𝑏 × ��2 + 𝑜𝑏 × (−��)

= 𝑜𝑎 × ��𝑅,1 + 𝑜𝑏 × ��𝑅,2

= 𝑜𝑠 × ��𝑅,1 + 𝑜𝑠 × ��𝑅,2

= 𝑜𝑠 × (��𝑅,1 + ��𝑅,2)

= 𝑜𝑠 × ��𝑅

= ��

Typevoorbeeld 3-4

Herleid de krachten op deze ligger naar (a) een gelijkwaardige kracht en koppel bij A, (b) een

gelijkwaardige kracht en koppel bij B, en (c) één resulterende kracht. [Antwoord: (a) FR = 600 N en M =

1880 Nm (b) FR = 600 N en M = 1000 Nm en (c) FR = 600 N en x = 3,13 m]


• Hoe definieer je een vectorproduct?

• Noem enkele essentiële verschillen tussen een vectorproduct en een scalair product.

• Wat is de fysische betekenis van een krachtmoment?

• Wat is de definitie van de plaatsvector in de formule van een krachtmoment?

• Welke tekenconventie wordt gebruikt bij het berekenen van een krachtmoment in twee

dimensies?

• Hoe bewijs je de stelling van Varignon? Hoe pas je deze stelling toe voor het berekenen

van een krachtmoment?

• Wat is een koppel?

150 N 600 N 100 N 250 N

A B

1.6 m 1.2 m 2 m



• Wat is een koppelmoment?

• Wat is het moment van een koppel?

• Wat wordt bedoeld met twee gelijkwaardige koppels?

• Wat wordt er eigenlijk bedoeld met een herleiden of reduceren van een krachtenstelsel?

• Wat versta je onder de resultante van een krachtenstelsel?

• Heeft elk krachtenstelsel een krachtresultante?

• Waarom wordt het begrip krachtmoment eigenlijk gedefinieerd als een vectorproduct?

3.9 Vraagstukken

Zie werkcollege 3.

Evenwicht van een voorwerp 34


Hoofdstuk 4: Evenwicht van een voorwerp

DOELSTELLINGEN:

• Evenwichtsvoorwaarde van een voorwerp introduceren;

• Bestaan van steunpuntsreacties verklaren;

• Leren tekenen van een vrijlichaamschets, en oplossen van de bijhorende krachten- en

momentenevenwichtsvergelijkingen;

• Kenmerken van vakwerken illustreren aan de hand van voorbeelden;

• Methoden voorstellen om de krachten in vakwerkstaven te berekenen;

• Methoden voorstellen om de krachten in andere samengestelde constructies te

berekenen;

• Introduceren van statisch onderbepaalde en overbepaalde constructies.


• Hoofdstuk 5

• Hoofdstuk 6 paragrafen 6.1-6.4, 6.6

4.1 Inleiding

Binnen het deel statica is hoofdstuk 4 het belangrijkste hoofdstuk. Hier wordt de basis

gelegd voor het bestuderen van evenwicht van reële voorwerpen in twee en in drie

dimensies.

Eerst wordt het evenwicht bestudeerd van enkelvoudige voorwerpen door uitdrukken

van krachtenevenwicht en momentenevenwicht. Doorheen dit hoofdstuk wordt veel

belang gehecht aan het tekenen van een vrijlichaamschets, en de verschillende soorten



optredende reactiekrachten en reactiemomenten. Deze komen voor aan de steunpunten,

waar het voorwerp contact maakt met zijn omgeving.

Vervolgens wordt naast de eerste wet van Newton ook gebruik gemaakt van de derde wet

van Newton (principe van actie en reactie) om het evenwicht te bestuderen van

samengestelde voorwerpen, die opgebouwd zijn uit meerdere eenvoudige onderdelen.

Voorbeelden van dit type samengestelde constructies zijn vakwerken, draagconstructies

en werktuigen.

4.2 Evenwichtsvoorwaarde

In de statica moet steeds voldaan zijn aan krachtenevenwicht om versnelling van het

(massamiddelpunt van het) voorwerp tegen te gaan, terwijl momentenevenwicht nodig is

om rotatie van een voorwerp tegen te gaan. Statisch evenwicht van een voorwerp is dus

pas gegarandeerd indien de resultante van alle inwerkende krachten en momenten gelijk

is aan nul, d.w.z.:

∑ �� = 0 𝑒𝑛 ∑ ��𝑂 = 0 4-1

4.3 Evenwicht in twee dimensies

4.3.1 Evenwichtsvoorwaarde

In tweedimensionale krachtenstelsels vereenvoudigen we bovenvermelde twee

vectorvergelijkingen tot drie scalaire vergelijkingen:

∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝑀0 = 0 4-2

4.3.2 Vrijlichaamschets

Een vrijlichaamschets11 (VLS) is een vereenvoudigde voorstelling van het voorwerp

waarvan men het evenwicht wil bestuderen. Hieronder wordt een stappenplan

voorgesteld voor het opmaken van een vrijlichaamschets:

• Het ‘vrije lichaam’ wordt volledig zelf –maar doordacht- gekozen. Vrijmaken betekent

dat alle verbindingen met de omgeving (virtueel) worden doorgeknipt. Het voorwerp

wordt dus losgemaakt van de steunpunten en gescheiden van alle andere voorwerpen

waar het contact mee maakte.

11 Dit wordt ook soms een vrijlichaamschema of vrijlichaamdiagram (VLD) genoemd.



• Alle uitwendige krachten moeten aangeduid worden op de VLS. Dit zijn o.a. de krachten

die uitgeoefend worden door(!) de ondergrond en door(!) alle voorwerpen die geen deel

uitmaken van het VLS, op(!) het voorwerp dat vrijgemaakt wordt. Daar waar het

voorwerp contact maakt met de grond moeten reactiekrachten en/of reactiemomenten

(steunpuntsreacties, zie 4.3.3) worden ingevoerd. Waar het voorwerp werd losgemaakt

van andere voorwerpen dienen ook contactkrachten worden aangebracht.

• Andere uitwendige krachten (bv. een persoon die rechtstreeks een drukkracht of

trekkracht uitoefent op voorwerp) kunnen onmiddellijk getekend worden indien de

grootte en oriëntatie gekend zijn.

• Het eigengewicht is een voorbeeld van een afstandskracht en zal altijd aangrijpen in het

massamiddelpunt van het voorwerp.

• Inwendige krachten mogen niet worden getoond op een VLS, gezien hun resultante toch

gelijk aan nul is.

• Verder bevat een VLS alle relevante dimensies (afmetingen en hoeken) die nodig zijn om

de evenwichtsvergelijkingen (in het bijzonder de momentenvergelijkingen) op te stellen

en uit te rekenen.

• Andere details worden niet getekend op de VLS.

4.3.3 Steunpuntsreacties

Als een steunpunt translatie in een bepaalde richting verhindert, oefent die een

reactiekracht uit in die richting. Als rotatie wordt verhinderd, wordt een reactiemoment

uitgeoefend.

De roloplegging, het vaste scharnier en de inklemming zijn in deze cursus de meest

voorkomende verbindingen12.

12 In hoofdstuk 5 wordt duidelijk gemaakt dat een glad oppervlak zich gedraagt zoals een roloplegging, en dat een ruw oppervlak waar geen glijding optreedt te vergelijken is met een scharnier.

roloplegging glad oppervlak verticale reactie

scharnier ruw oppervlak schuine reactie

OF



Figuur 4-1: Vaak voorkomende verbindingen in 2D problemen met bijhorende reactiecomponenten.

Typevoorbeeld 4-1

Bepaal in bovenstaande structuur de trekkracht in de kabel AD en de reactiekracht bij C. [Antwoord: TAD

= 400 N en RC,x = 300 N en RC,y = 346 N]

4.3.4 Bijzondere situaties

4.3.4.1 Voorwerpen belast met exact twee of exact drie krachten

Bij een voorwerp belast met exact twee krachten moeten de krachten in elkaars verlengde

liggen, even groot en tegengesteld zijn. Dit principe is van belang bij het oplossen van

vakwerken (4.4.1) en andere samengestelde constructies (4.4.2).

Wanneer een voorwerp belast wordt met exact drie krachten13, moeten de werklijnen

ervan door hetzelfde punt gaan (d.w.z. de krachten zijn samenlopend of concurrent) of

parallel zijn.

13 of, meer algemeen, door een aantal krachten die inwerken op drie punten van het voorwerp.

OF

inklemming verticale reactie en moment

B

D

30

500 N

C

200 mm

250 mm

250 mm

A



Typevoorbeeld 4-2

Een man trekt met een touw een paal met massa 10 kg op. Bepaal de kracht in het touw en de

reactiekracht in het steunpunt A. [Antwoord: T = 82 N en RA,x = 77 N en RA,y = 126 N]

Hoewel vraagstukken met driekrachtenlichamen steeds kunnen opgelost worden met de

algemene methoden beschreven in voorgaande paragrafen, kunnen ze vaak ook snel

grafisch opgelost worden, al dan niet in combinatie met driehoeksmeetkunde.

4.3.4.2 Statisch onderbepaalde en overbepaalde constructies

In voorgaande paragrafen werden steeds situaties besproken waarin een voorwerp

ondersteund werd op zo een manier dat het niet kon bewegen bij de gegeven belasting.

Met spreekt in dat geval van statisch evenwicht.

Het is echter mogelijk dat voorwerpen meer ondersteund worden dan nodig is om

stabiliteit te garanderen. Anderzijds kan het zijn dat de voldoende steunpunten op zo een

manier zijn aangebracht dat het voorwerp toch kan bewegen.

• Bij statisch overbepaalde constructies zijn er meer onbekende reacties aanwezig dan dat

er evenwichtsvergelijkingen aanwezig zijn. Extra vergelijkingen zijn nodig om de

reactiekrachten te bepalen. Ze kunnen bijvoorbeeld worden verkregen uit

vervormingsvoorwaarden, bv. ter hoogte van de steunpunten.

• Instabiele constructies komen voor wanneer ze onvoldoende ondersteund zijn

(onderbepaalde constructie), wanneer de werklijnen van de reactiekrachten door

hetzelfde punt lopen, of wanneer ze parallel zijn.

Typevoorbeeld 4-3

Bestudeer het evenwicht van deze constructies. [Antwoord: links: statisch overbepaald, rechts: instabiel,

te wijten aan slecht geplaatste steunpunten]

25°

45°

4 m

aa

a

AA B

C

P

B

C45°

P1 P2 P3



4.4 Samengestelde structuren

4.4.1 Vakwerken

De constructies met balken, stangen en buizen die men in bruggen, kranen, daken en

steigers aantreft, dragen de gemeenschappelijke naam vakwerk. De slanke constructie-

elementen noemt men staven. Zij lopen samen in knooppunten. Voor een eerste

benadering van de krachten (staafkrachten) die in de staven optreden veronderstelt men

dat:

• de staven scharnierend verbonden zijn;

• het vakwerk alleen in de knooppunten belast wordt;

• het gewicht van de staven mag verwaarloosd worden t.o.v. de uitwendige krachten;

• het vakwerk (quasi altijd) opgebouwd is uit driehoeken;

• de constructie vormvast is.

Als gevolg van deze eigenschappen zijn alle staven in een vakwerk

tweekrachtenvoorwerpen (zie 4.3.4.1).

Een eenvoudig driehoeksvakwerk14 wordt als volgt opgebouwd:

• In twee dimensies: men begint met een driehoek, en elk nieuw knooppunt wordt met 2

staven vastgemaakt. Zo verkrijgt men 3 punten → 3 staven. Wanneer men twee staven

toevoegt, krijg je 1 extra knooppunt. Algemeen: n knooppunten resulteert in m = 3+(n-

3).2 = (2n-3) staven.

• In drie dimensies: men begint met een viervlak, en elk nieuw knooppunt wordt met 3

staven vastgemaakt. Zo verkrijgt men: 4 punten → 6 staven, of , algemeen: n punten →

6 + (n-4).3 = (3n-6) staven.

Figuur 4-2: Voorbeeld van een eenvoudig tweedimensionaal vakwerk

Beschouwen we een staaf AB uit een vakwerk. A en B zijn tevens de knooppunten. AB is

een staaf tussen twee scharnierpunten, waarop, behalve in de scharnierpunten, geen

andere krachten optreden. Wil de staaf AB in evenwicht zijn, dan weten we intussen dat

de krachten in A en in B gelijk in grootte en richting, maar tegengesteld van zin moeten

14 In het engels krijgt dit type een specifieke naam: simple truss



zijn. Elke staaf ondergaat dus uitsluitend krachten die gericht zijn volgens de as van de

staaf, dus druk- of trekkrachten.

Veronderstellen we dat de staaf AB onderworpen wordt aan een trekkracht (Figuur 4-3

links). Maken we de staaf vrij dan tekenen we in A en B twee krachten met een zin van

elkaar weg: dit zijn de krachten die via de knooppunten worden uitgeoefend op de staven.

Figuur 4-3: Werking van trek- en drukkracht op een staaf van een vakwerk.

Maken we één knooppunt vrij, bijvoorbeeld B, dan is de kracht die de staaf AB op het

knooppunt uitoefent gelijk en tegengesteld aan deze die het knooppunt op de staaf

uitoefent. Deze kracht gaat dus van het knooppunt weg. Besluit: Treedt in een staaf een

trekkracht op, dan uit zich dit op het knooppunt door een kracht volgens de staaf van het

knooppunt weg. Treedt in de staaf een drukkracht op, dan uit zich dit op het knooppunt

door een kracht volgens de staaf naar knooppunt toe.

Voor de berekening van de staafkrachten beschikken we over twee praktische methodes:

de knooppuntmethode en de snedemethode. We verklaren deze methodes voor een

tweedimensionaal vakwerk. Bij een driedimensionaal vakwerk is de methode analoog.

4.4.1.1 Knooppuntmethode

Hierbij wordt elk knooppunt vrijgemaakt en kunnen we uit ∑ 𝐹𝑥 = 0 en ∑ 𝐹𝑦 = 0 slechts

twee staafkrachten halen. ∑ 𝑀𝑂 = 0 volgt bij samenlopende krachten uit ∑ 𝐹𝑥 = 0 en ∑ 𝐹𝑦 = 0 en is dus geen onafhankelijke vergelijking. De methode zal eerst worden

toegepast in een steunpunt of in een punt waar slechts twee staven samenkomen en dan

verder van knooppunt tot knooppunt. We veronderstellen steeds dat de onbekende

krachten die op een knoop werken aan trek onderhevig zijn. Na de berekening levert dit

positieve scalairen op voor trekstaven en negatieve scalairen voor drukstaven.

Typevoorbeeld 4-4

trek druk

A

B

A

B

10 kN

6 m

6 m3 m 3 m

6 m

4 m

A B C

D E

5 kN



Bepaal, aan de hand van de knooppuntmethode, de krachten in elk van de staven en geef aan om het of

druk- of trekkrachten gaat. [Antwoord: FAB = 7,5 kN (trek), FAD = 12,5 kN (druk), FDB = 12,5 kN (trek), FDE

= 15 kN (druk), FBE = 18,75 kN (druk), FBC = 26,25 kN (trek) en FEC = 43,75 kN (druk)]

OPMERKING: Sommige staven in een vakwerk zijn nulstaven (d.w.z. dat ze niet belast worden

in de gegeven belastingssituatie). Ze zijn daarom echter niet nutteloos: ze dienen om de

stabiliteit van het vakwerk tijdens de montage te vergroten, om een op druk belaste staaf

slanker te kunnen uitvoeren (omwille van knikgevaar), of om de vormvastheid te kunnen

garanderen.

4.4.1.2 Snedemethode (of methode van Ritter)

Deze methode is gebaseerd op het feit dat wanneer een constructie in statisch evenwicht

is, elk deel van deze constructie ook in evenwicht is. De snedemethode is efficiënter dan

de voorgaande methode wanneer maar één of een heel beperkt aantal krachten in de

staven dient gezocht te worden. Men maakt een deel van het vakwerk vrij door (meestal)

drie niet-samenlopende staven fictief door te knippen. De drie staafkrachten volgen uit de

drie evenwichtsvergelijkingen: ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0 en ∑ 𝑀𝑂 = 0.

Figuur 4-4: Illustratie van de snedemethode.

Typevoorbeeld 4-5

Bepaal aan de hand van de snedemethode de grootte van de krachten in staven EF en GI. Geef aan of

het om trek- of drukkrachten gaat. [Antwoord: FEF = 25 kN (druk) en FGI = 52 kN (druk)]

A

140 kN 140 kN

80 kN

4 m

5 m

4 m 4 m 4 m 4 m

D F HJB

C E G I K



4.4.2 Andere samengestelde constructies

Deze types constructies worden vaak samengesteld uit scharnierend verbonden

elementen, waarbij minstens één van de elementen belast wordt met een koppel of met

een kracht die niet op het scharnier terecht komt. Daardoor kan er naast trek/druk nog

buiging van de onderdelen optreden, waardoor ze dus niet tot de categorie ‘vakwerken’

behoren15. De knooppuntmethode en snedemethode mogen hier dus niet toegepast

worden.

Vaak kunnen de krachten in de constructieonderdelen berekend worden door deze vrij te

maken en telkens de evenwichtsvergelijkingen er op toe te passen. Telkens moet er op

toegezien worden dat het totaal aantal vergelijkingen gelijk is aan het totaal aantal

onbekenden in het probleem.

Figuur 4-5: Voorbeeld van een draagconstructie (links) en werktuig (rechts).

Binnen deze samengestelde constructies wordt soms nog onderscheid gemaakt in

draagconstructies en werktuigen. Het eerste type betreft constructies die in rust zijn en

gebruikt worden om lasten te dragen. Werktuigen daarentegen bevatten bewegende

delen en zijn ontworpen om het effect van krachten over te dragen en te veranderen. De

werkwijze die gehanteerd wordt om beide types op lossen is evenwel dezelfde.

Typevoorbeeld 4-6

15 Ook al lijkt de constructie op een vakwerk.

2400 N

6 m

B

E

CD

A

8 m

4,5 m

4,5 m

H



Bepaal de componenten van de krachten die inwerken op elk van de staven in deze draagconstructie.

[Antwoord: RH = 1800 N, Ax = 0, Ay = 1800 N, Bx = 0, By = 1200 N, Cx = 0, Cy = 3600 N, Ex = 0 en Ey = 600

N].

4.4.3 Kabels met puntlasten

Wanneer een massaloze kabel met een aantal puntkrachten wordt belast, neemt de kabel

de vorm aan van een aantal rechte lijnsegmenten, die allemaal onderhevig zijn aan een

trekkracht die constant is binnen het segment en gelegen is volgens dat segment. Een kabel

die opgehangen wordt op twee punten en die belast wordt met n puntlasten heeft in totaal

vier onbekende reactiekrachten en n+1 onbekende trekkrachten in de kabelsegmenten.

Om tot een oplossing te komen kunnen we gebruik maken van 2n

evenwichtsvergelijkingen ter hoogte van de puntlast. De laatste, noodzakelijke

vergelijking kan met verkrijgen indien men de lengte van de kabel kent, of wanneer de

zakking ter hoogte van één van de puntlasten gegeven is.

Typevoorbeeld 4-7

Bepaal de reactiekrachten in A en E. [Antwoord: RA,x = -800 N, RA,y = 251 N, RE,x = 800 N en RE,y = 550 N]

4.5 Evenwicht in drie dimensies

4.5.1 Voorwaarde

De twee vectorvergelijkingen 4-1 herleiden zich nu tot 6 scalaire vergelijkingen:

∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝐹𝑧 = 0 4-3

en

∑ 𝑀𝑥 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝑀𝑦 = 0 𝑒𝑛 ∑ 𝑀𝑧 = 0 4-4

4.5.2 Reactiekrachten

Vaak voorkomende verbindingen worden hieronder weergegeven.

2 m

A

BC

D

E

300 N200 N

300 N

1,5 m2 m

2 m 2 m 2 m



Figuur 4-6: Vaak voorkomende verbindingen met bijhorende reactiecomponenten.



Typevoorbeeld 4-8

Een massaloze ladder in de bibliotheek wordt ondersteund door twee wielen A en C. Een man van 100

kg leunt aan de rechterkant van de ladder. Het steunpunt bij B is een gewone roloplegging. Bepaal de

reacties in punten A, B en C. Opm: de z-as werd loodrecht op het blad gekozen. [Antwoord: RA,x = 0 N, RA,y

= 245 N, RA,z = -98,1 N, RB,x = 0 N, RB,y = 736 N, RB,z = -98,1 N, RC,x = 0 N, RC,y = 0 N, RC,z = 196,2 N]


• Wat zijn in de statica de basisevenwichtsvoorwaarden van een voorwerp? Wat is de

fysische betekenis van deze evenwichtsvoorwaarden?

• Wanneer schrijft men de basisevenwichtsvoorwaarden in vectorvorm? Wanneer in

scalaire vorm?

• Wat wordt bedoeld met een vrijlichaamschets (VLS) of vrijlichaamdiagram? Welke

informatie moet er minstens op een VLS staan?

• Waarom moet er steeds een VLS getekend worden?

• Wat is een steunpuntsreactie, een reactiekracht en een reactiemoment?

• Som een viertal vaak voorkomende types steunpunten op in twee dimensies en in drie

dimensies.

• Welke reactiekrachten en reactiemomenten veroorzaken deze steunpunten en

waarom?

• In welke richting teken je een reactiekracht wanneer deze op voorhand niet gekend is?

• Teken een voorbeeld van een hyperstatische constructie.

• Teken een voorbeeld van een isostatische constructie.

• Teken een voorbeeld van een instabiele isostatische constructie.

• Teken een voorbeeld van een hypostatische constructie.

• Wat zijn de essentiële kenmerken van een vakwerk?

• Leg in woorden uit hoe de knooppuntmethode en de snedemethode werken. Wanneer

gebruik je best welke methode?

• Wat is een essentieel verschil tussen een vakwerk en de andere samengestelde

constructies?



4.7 Vraagstukken


Droge wrijving 47


Hoofdstuk 5: Droge wrijving

DOELSTELLINGEN:

• Beschrijven van het evenwicht van puntmassa’s en voorwerpen die contact maken met

ruwe oppervlakken;

• Onderscheid maken tussen statische en kinetische wrijving;

• Mogelijkheden tot wrijving en/of kantelen analyseren;

• Praktische toepassingen behandelen die gebaseerd zijn op het principe van statische of

kinetisch wrijving;


• Hoofdstuk 8 paragrafen 8.1-8.3, 8.5, 8.8

5.1 Inleiding

Hoofdstuk 5 behandelt voornamelijk statische problemen met betrekking tot droge

wrijving, d.w.z. wanneer twee materialen met een zekere ruwheid in contact komen met

elkaar. Snel wordt duidelijk dat een ruw oppervlak een gedrag vertoont tussen een glad

oppervlak (of een roloplegging) en een oneindig ruw oppervlak (dat tot op zeker hoogte

te vergelijken is met een scharnierende oplegging). Voor een voorwerp met eindige

afmetingen wordt verder aangetoond hoe je kan bepalen wanneer glijden en/of kantelen

optreedt.

Afgeleide toepassingen worden in het tweede deel behandeld. Daaronder vallen onder

andere de wrijving ten gevolge van een vlakke riem over een cilindervormig voorwerp.

Als laatste wordt nog een andere vorm van weerstand behandeld, m.n. het effect van

rolweerstand bij een wiel.

Droge wrijving 48


5.2 Droge wrijving

Wrijving treedt op bij langs elkaar heen bewegende stroeve oppervlakken. Behalve

normaalkrachten treden dan ook tangentieel gerichte krachten op: de wrijvingskrachten.

Deze zijn altijd tegengesteld aan de mogelijke (relatieve) bewegingsrichting.

Vaak dient de wrijvingskracht te worden geminimaliseerd: bij lagers, tandwielen,

stroomlijning in verband met lucht- of vloeistofweerstand,... Anderzijds maken wij juist

gebruik van wrijving bij bijvoorbeeld remmen, koppelingen, aandrijfriemen,… kortom bij

alles wat rijdt en loopt en door wrijving op zijn plaats wordt gehouden. In ieder geval zijn

wrijvingskrachten dissiperende krachten. Dit wil zeggen dat zij gepaard gaan met

energieverlies in de vorm van warmte en/of geluid. In deze cursus beschouwen we van de

verschillende wrijvingstypen alleen de droge wrijving, de zogenaamde Coulombse

wrijving16.

5.3 Basisprincipe

Figuur 5-1: Basisprincipe van krachtwerking bij een ruw contactoppervlak17.

Beschouw een voorwerp dat steunt op een horizontaal vlak. Er wordt initieel geen

horizontale kracht op uitgeoefend (links). Er is evenwicht, d.w.z. dat naast het gewicht een

reactiekracht naar boven werkt, waarbij geldt:

�� + �� = 0 5-1

Brengen we nu een variabele kracht P aan, die we langzaam in grootte laten toenemen

(rechts) Het voorwerp komt aanvankelijk niet in beweging, wat erop wijst dat er een

tegenwerkende wrijvingskracht Fw moet optreden, waarvoor geldt:

��𝑤 + �� = 0 5-2

Bij verdere toename van P wordt op een bepaald moment het evenwicht van het

voorwerp verstoord: het dreigt te glijden. De tegenwerkende kracht Fw heeft evenwel een

16 Wrijving tussen verschillende fluïda komt pas aan bod in de cursus toegepaste stromings- en energieleer (2de bach) 17 Ter info: De grond oefent vanzelfsprekend maar één kracht uit op het blok, die men gewoon een reactiekracht R noemt, en desgewenst kan opdelen in een x- en y-component Rx en Ry. Bij wrijvingsproblemen is het echter de gewoonte om te werken met een loodrechte component (de normaalkracht N) en een component in het contactvlak (de wrijvingskracht Fw). Men doet dit omdat deze wrijvingskracht een bijzonder gedrag vertoont.

P

G

N

Fw

G

N

Droge wrijving 49


maximale grootte; men noemt dit de statische wrijvingskracht Fs. Experimenteel is

vastgesteld dat er een (quasi) evenredigheid bestaat tussen de maximale kracht Fs en N:

𝐹𝑠 = 𝜇𝑠𝑁 5-3

De evenredigheidsconstante µs is de statische wrijvingscoëfficiënt. Zolang het voorwerp in

rust is spreken we van statische wrijving. Wanneer het voorwerp effectief beweegt (d.w.z.

glijdt) over een oppervlak, spreken we van dynamische wrijving18.

Stellen we het verloop van P en Fw vereenvoudigd voor in onderstaand diagram, dan

merken we dat P en Fw gelijk blijven zolang er statisch evenwicht is. Wordt P nog groter,

dan blijft Fw nagenoeg constant op zijn maximale waarde Fs (streeplijn).

Figuur 5-2: Verband tussen wrijvingskracht en aangelegde kracht.

Aangezien er dan onevenwicht ontstaat in de horizontale richting, zal het voorwerp

glijden met een versnelling die kan berekend worden via de tweede wet van Newton (zie

dynamica, hoofdstuk 9):

∑ �� = �� − ��𝑘 = 𝑚�� 5-4

De werkelijkheid ziet er bij glijden zelfs nog iets complexer uit dan zonet voorgesteld.

Iedereen die ooit een massa heeft vooruitgeduwd op een ruw oppervlak weet dat, eens de

massa in beweging is, de nodige duwkracht iets kleiner wordt (zie volle lijn op Figuur

5-2). Dit komt omdat de kinematische wrijvingscoëfficiënt µk kleiner is dan de statische

wrijvingscoëfficiënt µs. Bij beweging geldt:

𝐹𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 5-5

5.4 Model van Coulomb - basisprincipes

Volgende principes zijn van toepassing voor voorwerpen die onderhevig zijn aan droge

wrijving:

• De wrijvingskracht is steeds tegengesteld aan de (relatieve) beweging, of aan de

nakende beweging van het ene vlak ten opzichte van het andere;

18 Het begrip ‘kinematische wrijving’ wordt ook soms gebruikt.

Droge wrijving 50


• De waarde van Fs is quasi onafhankelijk van de grootte van het contactoppervlak;

• Wanneer één van de voorwerpen dreigt te glijden ten opzichte van het andere, is de

maximale wrijvingskracht recht evenredig met de normaalkracht, zodat 𝐹𝑠 = 𝜇𝑠𝑁;

• Wanneer één van de voorwerpen glijdt ten opzichte van het andere, is de maximale

wrijvingskracht recht evenredig met de normaalkracht, zodat 𝐹𝑘 = 𝜇𝑘𝑁;

• µs en µk zijn afhankelijk van de aard en de toestand van de rakende oppervlakken;

• De kinetische wrijvingscoëfficiënt is gemiddeld ongeveer 25% kleiner19 dan de statische

wrijvingscoëfficiënt (behalve bij zeer lage snelheden). Enkele waarden van µs zijn:

Hout op hout: 0,25-0,50

Metaal op hout: 0,25-0,60

Metaal op metaal: 0,15-0,30

Metaal op leder: 0,30-0,60

Metaal op steen: 0,30-0,70

Rubber op beton: 0,75-0,90

Hout op steen: ong. 0,4

Staal op ijs: ong. 0,02

5.5 De wrijvingshoek

5.5.1 Statische wrijvingshoek

Wanneer maar een beperkt aantal krachten in het probleemvraagstuk voorkomen, kan

het handig zijn om niet te werken met de wrijvingskracht FW en de normaalkracht N

afzonderlijk, maar wel met resulterende kracht R en de bijhorende wrijvingshoek φ. Op het

moment dat een voorwerp dreigt te bewegen (d.i. de uiterste evenwichtsstand) vormen

de normaalkracht en de resultante een hoek φs, de statische wrijvingshoek. Hierbij geldt:

𝜑𝑠 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐹𝑠

𝑁) = 𝑡𝑎𝑛−1 (

𝜇𝑠𝑁

𝑁) = 𝑡𝑎𝑛−1 𝜇𝑠 5-6

Gebruik makend van de definitie van de wrijvingshoek kan met een manier bedenken om

de wrijvingscoëfficiënt experimenteel te bepalen.

VERBAND TUSSEN WRIJVINGSHOEK EN WRIJVINGSCOEFFICIENT. Plaats een voorwerp met gewicht G op een hellend

vlak met hellingshoek α. Zolang 𝐹𝑤 ≤ 𝐹𝑠 = 𝜇𝑠𝑁 zal het voorwerp niet glijden. Beschouw nu

het evenwicht:

−𝐺 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝐹𝑤 = 0 5-7

−𝐺 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑁 = 0 5-8

19 De waarden uit de literatuur fluctueren sterk.

Droge wrijving 51


waaruit 𝐹𝑤 = 𝑁 tan 𝛼. Ook geldt 𝐹𝑤 ≤ 𝐹𝑠 = 𝑁 tan 𝜑𝑠. Daaruit volgt:

𝛼 ≤ 𝜑𝑠 5-9

Om glijden te voorkomen moet α dus kleiner zijn dan (of gelijk zijn aan) de wrijvingshoek

φs. Op de grens van het evenwicht zal

𝛼 = 𝜑𝑠 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝜇𝑠

Figuur 5-3: Krachtenevenwicht bij een voorwerp op een ruwe helling.

5.5.2 Kinetische wrijvingshoek

Indien er beweging gaande is, geldt (naar analogie met voorgaande) voor de kinetische

wrijvingshoek:

𝜑𝑘 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐹𝑘

𝑁) = 𝑡𝑎𝑛−1 (

𝜇𝑘𝑁

𝑁) = 𝑡𝑎𝑛−1 𝜇𝑘 5-10

5.6 Soorten vraagstukken

Wanneer een voorwerp belast wordt met één of meerdere krachten, moet voldaan

worden aan de evenwichtsvergelijkingen en, indien nodig, de vergelijkingen m.b.t. wrijving.

Voorlopig behandelen we enkel vraagstukken waarin het voorwerp een translatie

(glijden) zou kunnen ondergaan. Uitdrukken van krachtenevenwicht (volgens methode in

2.3) zal volstaan om deze problemen op te lossen.

Wanneer de kans op roteren (kantelen) van een voorwerp in rekening moet gebracht

worden (paragraaf 5.7), hebben we bijkomend een momentenevenwicht nodig (volgens de

methode in 4.3)

Droge wrijving 52


De meeste vraagstukken over wrijving vallen onder één van deze categorieën20:

5.6.1 Er is geen glijding aan de contactoppervlakken (type Ia)

Op geen enkele van de contactpunten dreigt er glijding te ontstaan. Dit type wordt

opgelost enkel en alleen m.b.v. evenwichtsvergelijkingen. Men dient achteraf na te gaan

dat overal 𝐹𝑤 ≤ 𝜇𝑠𝑁. Indien niet aan deze voorwaarde voldaan is, heeft men geen statisch

evenwicht.

5.6.2 Er dreigt glijding aan de contactoppervlakken (type IIa en IIIa)

5.6.2.1 De contactoppervlakken waar glijding dreigt zijn gekend (type IIa)

De wrijvingsvoorwaarden mogen worden toegepast aan alle contactoppervlakken waar

glijding dreigt: 𝐹𝑤 = 𝐹𝑠 = 𝜇𝑠𝑁. Samen met de evenwichtsvergelijkingen levert de

wrijvingsvoorwaarde de oplossing voor alle onbekenden.

5.6.2.2 De contactoppervlakken waar glijding dreigt zijn niet gekend (type IIIa)

Soms weet men vooraf niet aan welk contactoppervlak de beweging van een

(samengesteld) voorwerp als eerste dreigt te ontstaan. Men zal dan verschillende

bewegingsmogelijkheden vooropstellen, waarbij telkens de corresponderende

evenwichtssituatie moet worden bestudeerd. Dit laatste gebeurt zoals bij type II. Kies

vervolgens de juiste oplossing (en de daaraan gekoppelde juiste bewegingsmogelijkheid)

door nauwgezet de verschillende oplossingen te inspecteren.

Deze drie categorieën worden geïllustreerd aan de hand van volgende voorbeelden.

Typevoorbeeld 5-1

Bestudeer het evenwicht van bovenstaande wrijvingsproblemen: (a en c) Bepaal de krachten in beide

staven, (b) bepaal de kleinste helling van de staaf vooraleer deze zal wegglijden. [Antwoord: links: op te

lossen volgens hoofdstuk 4, samengestelde constructies, midden: oplossen met 3

20 Het opdelen van vraagstukken in ‘soorten’ of ‘categorieën’, zoals gebeurt in verschillende handboeken over mechanica, is enigszins kunstmatig. De essentie is dat de lezer zeer goed het onderscheid moet kunnen maken tussen de betekenis van Fs en FW, en hoe deze dienen gecombineerd te worden met de evenwichtsvergelijkingen.

P

P

A

A

B

μA = 0,3 μB = 0,3

μA = 0,4

μC = 0,5 μA = 0,3 μC = 0,5

C

B

A C

B

Droge wrijving 53


evenwichtsvergelijkingen en twee wrijvingsvergelijkingen bij A en B, rechts: oplossen met twee

verschillende veronderstellingen, gezien de aard van de beweging niet op voorhand gekend is]

5.7 Kantelen

5.7.1 Voorwaarde voor kantelen

Figuur 5-4: Krachtwerking op een voorwerp op de grens van kantelen.

In een realistische situatie is glijden niet de enige bewegingsmogelijkheid. Een voorwerp

uit evenwicht brengen kan ook via kantelen. Dit wordt geïllustreerd in bovenstaande

figuur. Hoe groter de kracht P, hoe meer N naar rechts komt te liggen om

momentenevenwicht te garanderen. De uiterste positie van N is evenwel het

rechtersteunpunt. Bij verdere toename van P zal dus op een bepaald moment gelden21:

|𝑃𝑎| = |𝑁𝑐|. Op dat moment dreigt het voorwerp te kantelen rond het rechtersteunpunt.

Indien |𝑃𝑎| > |𝑁𝑐|, zal het voorwerp effectief kantelen (d.w.z. roteren) om het

rechtersteunpunt.

5.7.2 Kantelevenwicht op een hellend vlak

Kantelen van een voorwerp op een hellend vlak kan voorkomen wanneer de

normaalkracht zich voorbij het uiterste punt zou moeten verplaatsen22 om evenwicht te

kunnen maken. Gezien N nooit links kan liggen van O (zie Figuur 5-3), zal kantelen

optreden (vooraleer er glijding optreedt).

OPMERKING: Bij vraagstukken die wrijving als onderwerp hebben is het interessant en

aangewezen de coördinaatassen te kiezen volgens de wrijvingskracht en loodrecht erop.

Zo’n keuze levert meteen twee krachten (Fw en N) op volgens de coördinaatassen, wat de

berekeningen eenvoudiger maakt.

21 De vermelde voorwaarde is alleen van toepassingen voor Figuur 5-4. Bij andere situaties moeten andere, maar analoge denkwijzen worden gevolgd. 22 Dit is een hypothetische situatie.

PG

NFw

Droge wrijving 54


5.7.3 Soorten vraagstukken: glijden of kantelen

Wanneer kantelen ook tot de mogelijkheden behoort, dient de typering (zie 5.6) licht

anders geformuleerd te worden. De oplossingsstrategie is evenwel analoog.

• Type Ib: Er is geen beweging (glijding of kanteling) aan de contactoppervlakken;

• Type IIb: Er dreigt beweging aan de contactoppervlakken, en de aard van beweging

(glijden of kantelen) is gekend;

• Type IIIb: Er dreigt beweging aan de contactoppervlakken, en de aard van beweging

(glijden of kantelen) is niet gekend. Waar eventueel glijding optreedt, is evenmin

gekend.

5.8 Afgeleide toepassingen

5.8.1 Wrijving bij wiggen

Een wig is een eenvoudig werktuig dat vaak wordt gebruikt om een uitgeoefende kracht

om te zetten in veel grotere krachten, die ongeveer loodrecht op de uitgeoefende kracht

werken. Ze worden ook gebruikt bij het verplaatsen of verstellen van zeer zware lasten.

Typevoorbeeld 5-2

Een wig (10°) wordt onder het eindpunt van een ronde staaf AB van 5 kg geduwd. De statische

wrijvingscoëfficiënt tussen de wig en de staaf bedraagt 0,4 en die tussen de wig en de grond 0,2. Bepaal

de minimale kracht P nodig om punt B op te tillen. [Antwoord: P = 67,4 N]

5.8.2 Wrijving bij touwen en riemen rond een cilinder

Bij het ontwerp van riemaandrijvingen of bandremmen, moeten de wrijvingskrachten

bepaald worden die optreden tussen de riem en het contactvlak. In deze paragraaf

analyseren we de wrijvingskrachten die op een vlakke riem worden uitgeoefend. We

behandelen een riem die over een vast, gekromd oppervlak loopt, zodanig dat de hoek (in

PB

A

0,3 m

Droge wrijving 55


radialen) waarover de riem contact maakt met het oppervlak, gelijk is aan β en de

wrijvingscoëfficiënt gelijk is aan µs.23

Figuur 5-5: Krachtenevenwicht bij een riem over een cilindervormig voorwerp.

We bepalen de trekkracht T2 in de riem die nodig is om de riem tegen de wijzers van de

klok in over het gekromde oppervlak te trekken en daarbij zowel de bekende trekkracht

T1 als de wrijvingskrachten op het contactvlak te overwinnen. Uiteraard dient hier T2 >

T1.

Beschouwen we een differentiaalelement van de riem met lengte ds en bekijken we de

krachten die erop werken: T+dT, T, dN en µs.dN. Onderzoeken we het evenwicht, dan

komen we tot de volgende vergelijkingen:

∑ 𝐹𝑥 = 𝑇 𝑐𝑜𝑠𝑑𝜃

2+ 𝜇𝑠𝑑𝑁 − (𝑇 + 𝑑𝑇) 𝑐𝑜𝑠

𝑑𝜃

2= 0 5-11

∑ 𝐹𝑦 = 𝑑𝑁 − (𝑇 + 𝑑𝑇) 𝑠𝑖𝑛𝑑𝜃

2− 𝑇 𝑠𝑖𝑛

𝑑𝜃

2= 0 5-12

Aangezien dθ oneindig klein is, kunnen sin(dθ/2) en cos(dθ/2) vervangen worden door

respectievelijk dθ/2 en 1. Ook het product van dT en dθ/2 kan verwaarloosd worden

(klein van de tweede orde). Zo worden de bovenstaande vergelijkingen teruggebracht tot:

𝜇𝑠 ∙ 𝑑𝑁 = 𝑑𝑇 en 𝑑𝑁 = 𝑇 ∙ 𝑑𝜃 5-13

Elimineren we hieruit dN , dan verkrijgen we:

𝑑𝑇

𝑇= 𝜇𝑠 ∙ 𝑑𝜃 5-14

23 Wanneer de riem een relatieve beweging ondergaat ten opzichte van de cilinder, dient met vanzelfsprekend te rekenen met de kinetische wrijvingscoëfficiënt µk.

Droge wrijving 56


Integreren we deze vergelijking voor alle contactpunten tussen de riem en het gekromde

oppervlak, dan levert dit:

∫𝑑𝑇

𝑇

𝑇2

𝑇1

= 𝜇𝑠 ∫ 𝑑𝜃

𝛽

0

⇔ 𝑙𝑛𝑇2

𝑇1= 𝜇𝑠 ∙ 𝛽 5-15

waaruit:

𝑇2 = 𝑇1 ∙ 𝑒𝜇𝑠∙𝛽 5-16

OPMERKINGEN:

• Deze vergelijking is onafhankelijk van de straal van het gekromde oppervlak, maar wel

afhankelijk van de contacthoek.

• Er is vanuit gegaan dat de riem op het punt staat te bewegen (= slippen) t.o.v. het

contactvlak. Enkel dan geldt immers dat de wrijvingskracht gelijk is aan 𝜇𝑠 ∙ 𝑁. Wanneer

de riem beweegt, dient μk in rekening gebracht te worden.

• De formule kan ook gebruikt worden wanneer de riem stil blijft staan en de cilinder

beweegt (of dreigt te bewegen).

Typevoorbeeld 5-3

Een riem wordt gebruikt om de snelheid van een vliegwiel te regelen. De wrijvingscoëfficiënten zijn µs =

0,3 en µk = 0,25. Bepaal de grootte van het moment dat wordt toegepast op het vliegwiel als P = 45 N en

het vliegwiel in tegenwijzerzin draait met een constante snelheid. [Antwoord: M = 44,9 Nm]

5.8.3 Rolweerstand

Een kracht P is nodig om een (stijve) cilinder met gewicht G en straal r te laten rollen.

Experimenteel werd aangetoond dat de kracht R die uitgeoefend wordt door de grond op

360 mm120 mm

A

360 mm

B

P

D

C

Droge wrijving 57


een wiel, aangrijpt op een punt dat zich niet onder, maar net ernaast (in de

bewegingsrichting) bevindt24.

Figuur 5-6: Rolweerstand.

Na uitdrukken van momentevenwicht rond dit aangrijpingspunt B vindt men

onmiddellijk:

𝑃 ≈𝐺𝑎

𝑟 5-17

De afstand a wordt de rolweerstandscoëfficiënt genoemd. Op dit moment is het nog niet

duidelijk welke parameters in de praktijk deze rolweerstandscoëfficiënt beïnvloeden.

OPMERKING: de wrijvingsweerstand tussen het wiel en de as wordt in deze redenering buiten

beschouwing gelaten.

Typevoorbeeld 5-4

Een stalen wiel van 10 kg met straal 100 mm rust op een zachthouten plank. Wanneer de helling

gewijzigd wordt naar 1,2° rolt het wiel naar beneden met een constante snelheid. Bepaal de

rolweerstandscoëfficiënt. [Antwoord: a = 2,09 mm]

24 De wetenschap achter het bepalen van rolweerstand is uiterst complex. Het hieronder vermelde 'model’ van rolweerstand is een sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid.

Droge wrijving 58



• Wat wordt bedoeld met droge of Coulombse wrijving? Ken je nog andere soorten

wrijving?

• In welke situatie is het bestaan van Coulombse wrijving een gunstig iets, en wanneer is

het een ongunstig fenomeen? Som telkens een drietal voorbeelden op.

• Beschrijf het evenwicht van een blokje dat op een horizontale ondergrond rust en belast

wordt met een horizontale kracht waarvan de grootte stelselmatig toeneemt. Gebruik

daarbij o.m. de begrippen wrijvingskracht, statische wrijvingskracht en kinetische

wrijvingskracht. Wat is het verband tussen deze laatste drie begrippen?

• Is er een direct verband tussen de wrijvingskracht en de normaalkracht? Zo ja, hoe luidt

dit verband?

• Zoek een eenvoudige manier om de wrijvingscoëfficiënt tussen twee materialen te

meten met een dynamometer.

• Zoek een eenvoudige manier om de wrijvingscoëfficiënt tussen twee materialen te

meten zonder een dynamometer.

• Waarvoor dient een wig? Wat is een zelfklemmende wig?

• Toon aan hoe je aan de formule komt van wrijving op een vlakke riem. Geef duidelijk de

betekenis aan van de twee trekkrachten die er in voorkomen.

• Beschrijf het evenwicht van een rollende cilinder en leg uit wat het begrip

rolweerstandscoëfficiënt voorstelt. In welke eenheid wordt de rolweerstandscoëfficiënt

uitgedrukt?

• In welke situaties dien je de mogelijkheid van kantelen in rekening brengen, en wanneer

niet?

5.10 Vraagstukken

Zie werkcolleges 6.

Zwaartepunten 59


Hoofdstuk 6: Zwaartepunten

DOELSTELLINGEN:

• Berekenen van het positie van het zwaartepunt van (samengestelde) twee- en

driedimensionale voorwerpen;

• Stelling van Pappus en Guldinus introduceren om de oppervlakte en het volume van

omwentelingslichamen te berekenen;

• Verdeelde belastingen vervangen door één gelijkwaardige puntbelasting.


• Hoofdstuk 4 paragraaf 4.9


6.1 Inleiding

Kennis van de ligging van het zwaartepunt van een voorwerp is van belang om te weten

waar het eigengewicht (wat in principe een verdeelde belasting is) van een voorwerp

exact aangrijpt.

Het zwaartepunt van een lineaire structuur, zoals een balk, is welgekend. In dit hoofdstuk

wordt aangeleerd waar het zwaartepunt ligt van structuren met een complexere vorm,

bijvoorbeeld driehoekige structuren. Ook voorwerpen waarvan de vorm beschreven

wordt aan de hand van een functievoorschrift komen aan bod. De theorie zal je tevens

toelaten om het zwaartepunt te bepalen van voorwerpen die samengesteld zijn uit

meerdere (eenvoudige) vormen, of van voorwerpen die uit verschillende materialen (met

verschillende massadichtheden) bestaan, zoals metaal en hout.

Zwaartepunten 60


Op het einde van dit hoofdstuk worden twee andere nauw verwante onderwerpen

behandeld. Er wordt geïllustreerd hoe je het manteloppervlak en het volume van

omwentelingslichamen kan berekenen, en hoe je efficiënt moet omgaan met een

zogenaamde verdeelde belasting.

6.2 Zwaartepunt van een voorwerp

6.2.1 Gewichtszwaartepunt

Beschouw een voorwerp met een willekeurige vorm, waarvan we het

gewichtszwaartepunt (eng: center of gravity) met coördinaten (��, ��, 𝑧) willen kennen. De

zwaartekracht grijpt aan in dit gewichtszwaartepunt. We gaan er van uit dat de vorm

(d.w.z. de rand) van het voorwerp kan beschreven worden aan de hand van een

functievoorschrift.

Daartoe dienen we de momentenstelling toe te passen op de parallelle eigengewichten van

de oneindig veel kleine deeltjes dm, elk met een gewicht dG. Ten opzichte van de y-as

resulteert dit bijvoorbeeld in:

��𝐺 = ∫ 𝑥𝑑𝐺 6-1

Dit drukt uit dat de som van de momenten gelijk is aan het moment van de som (d.i. het

moment van het totale gewicht van het voorwerp).

Verder weten we dat het totale gewicht de som is van alle kleine deelgewichten:

𝐺 = ∫ 𝑑𝐺 6-2

De coördinaten van het gewichtszwaartepunt zijn dus:

�� =∫ 𝑥𝑑𝐺

∫ 𝑑𝐺 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝑑𝐺

∫ 𝑑𝐺 𝑒𝑛 𝑧 =

∫ 𝑧𝑑𝐺

∫ 𝑑𝐺 6-3

6.2.2 Massazwaartepunt (of massamiddelpunt)

Wetende dat 𝑑𝐺 = 𝑔𝑑𝑚 vinden wij daaruit:

�� =∫ 𝑥𝑑𝑚

𝑚 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝑑𝑚

𝑚𝑒𝑛 𝑧 =

∫ 𝑧𝑑𝑚

𝑚 6-4

met m de massa van het voorwerp. De coördinaten zijn onafhankelijk van

zwaartekrachteffecten25, gezien g niet meer voorkomt in de uitdrukkingen. Daarom

25 Indien we aannemen dat het zwaartekrachtveld uniform en parallel is, zijn de coördinaten van het massamiddelpunt en het gewichtszwaartepunt identiek aan elkaar. Beide termen worden in de mechanica dan ook vaak door elkaar gebruikt.

Zwaartepunten 61


spreekt men ook van het massamiddelpunt (eng: center of mass), een begrip dat eerder

gebruikt wordt in de dynamica. Wetende dat 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉, kan dit nog geschreven worden

als:

�� =∫ 𝑥𝜌𝑑𝑉

∫ 𝜌𝑑𝑉 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝜌𝑑𝑉

∫ 𝜌𝑑𝑉 𝑒𝑛 𝑧 =

∫ 𝑧𝜌𝑑𝑉

∫ 𝜌𝑑𝑉 6-5

Met deze integralen kan het massamiddelpunt gevonden worden van elk voorwerp.

Typevoorbeeld 6-1

Bepaal de ligging van het zwaartepunt van deze niet-homogene cilinder. De dichtheid varieert in

hoogterichting, zo dat ρ(z) = 200z. [Antwoord: 𝑧 = 0,667 m]

6.2.3 Geometrisch zwaartepunt (centroïde)

In een aantal ingenieursdisciplines (bv. sterkteleer of fluïdostatica) wordt in theoretische

afleidingen en formules gebruik gemaakt van het verwante begrip geometrisch

zwaartepunt of centroïde (eng: centroid). Dit is een zuiver geometrische eigenschap van

een welbepaald volume. De coördinaten van deze centroïde worden gegeven26 door:

�� =∫ 𝑥𝑑𝑉

𝑉 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝑑𝑉

𝑉 𝑒𝑛 𝑧 =

∫ 𝑧𝑑𝑉

𝑉 6-6

Men ziet snel in dat de formules identiek blijken aan de voorgaande formules 6-5 in de

veronderstelling dat de massadichtheid ρ constant is over het voorwerp27. Fysisch hebben

beide begrippen echter weinig met elkaar te maken:

26 Een afleiding is hier (nog) niet relevant, gezien dit afhankelijk is van de verschillende disciplines 27 Men spreekt dan van een homogeen voorwerp.

z

1 m

1 m

Zwaartepunten 62


6.3 Draadstructuren en platen

Indien het voorwerp kan aanzien worden als een tweedimensionaal object, zoals een

dunne draadstructuur of een dunne plaat, kunnen de eerder vermelde volume-integralen

vereenvoudigd worden tot oppervlakte-integralen en lijnintegralen. Deze structuren

worden voorgesteld als een (kromme) lijn, resp. een oppervlak.

DRAADSTRUCTUREN. Als een draadstructuur een constante doorsnede A heeft, dan geldt: 𝑑𝑚 =

𝜌𝐴𝑑𝐿, waardoor de formules 6-5 zich herleiden tot

�� =∫ 𝑥𝜌𝑑𝐿

𝐿 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝜌𝑑𝐿

𝐿 6-7

met L de lengte van de draadstructuur. Merk op dat dit zwaartepunt niet per se op de

draadstructuur hoeft te liggen.

PLATEN. Een plaat heeft een constante dikte t. Dan geldt 𝑑𝑚 = 𝜌𝑡𝑑𝐴. In dit geval:

�� =∫ 𝑥𝜌𝑑𝐴

𝐴 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝜌𝑑𝐴

𝐴 6-8

met A de oppervlakte van de plaat.

OPMERKING: Het bepalen van de ligging van het zwaartepunt, zoals beschreven in voorgaande

paragrafen, vereist het werken met volume-integralen, lijnintegralen (bij

draadstructuren) of oppervlakte-integralen (bij platen). Het principe komt in detail aan

bod in de opleidingsonderdelen wiskunde, maar wordt hieronder al eens geïllustreerd

voor een draadstructuur.

Typevoorbeeld 6-2

Een dunne staaf in de vorm van een halve cirkel met gewicht G is bevestigd aan een vaste gladde wand.

Bepaal de reacties in A en B. [Antwoord: RA = 1,049G onder een hoek α = 107,7° en RB = 0,318G]

OPMERKING: Het geometrisch zwaartepunt van een tweedimensionale figuur, wordt

teruggevonden op volgende coördinaten:

A

r

B

O

Zwaartepunten 63


�� =∫ 𝑥𝑑𝐴

∫ 𝑑𝐴 𝑒𝑛 �� =

∫ 𝑦𝑑𝐴

∫ 𝑑𝐴 6-9

De tellers in deze uitdrukkingen worden ook wel eens de statische momenten28 van het

oppervlak genoemd tegenover de y- of x-as.

𝑆𝑥 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 𝑒𝑛 𝑆𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝐴 6-10

6.4 Samengestelde voorwerpen

Soms kan men complexere, samengestelde voorwerpen opdelen in afzonderlijke

elementen waarvan de zwaartepunten (��, ��, 𝑧) gekend of gemakkelijk te bepalen zijn. Zo

kan een voorwerp bijvoorbeeld gemodelleerd worden als een volume, eventueel in

combinatie met een plaat of een draad.

6.4.1 Samengestelde driedimensionale voorwerpen

Het zwaartepunt van het samengesteld voorwerp heeft volgende coördinaten:

�� =∑ 𝑚��

∑ 𝑚 𝑒𝑛 �� =

∑ 𝑚��

∑ 𝑚 𝑒𝑛 �� =

∑ 𝑚𝑧

∑ 𝑚 6-11

met m de massa’s van de afzonderlijke elementen.

Typevoorbeeld 6-3

Bepaal het geometrisch zwaartepunt van bovenstaand omwentelingslichaam, samengesteld uit een

halve bol en een cilinder, waaruit een kegel uitgehold is. [Antwoord: �� = 15 mm]

6.4.2 Samengestelde tweedimensionale voorwerpen

Naar analogie geldt:

28 Op deze begrippen wordt dieper ingegaan in de cursus sterkteleer (2de bach).

Zwaartepunten 64


�� =∑ 𝑚��

∑ 𝑚 𝑒𝑛 �� =

∑ 𝑚��

∑ 𝑚 6-12

Typevoorbeeld 6-4

Bepaal de ligging van het massamiddelpunt van deze homogene plaat. [Antwoord: �� = 7,22 cm en �� =

9,56 cm, ten opzichte van een oorsprong gekozen links onder van de plaat]

6.5 Afgeleide toepassingen

In deze paragraaf worden twee toepassingen behandeld waaruit het nut van het

geometrisch zwaartepunt (centroïde) blijkt.

6.5.1 Stellingen van Pappus en Guldinus

De stellingen van Pappus en Guldinus bieden een relatief eenvoudige methode om de

oppervlakte van omwentelingsoppervlakken en het volume van omwentelingslichamen

te berekenen.

Figuur 6-1: Stelling van Pappus en Guldinus.

r = 4 cm

8 cm

12 cm

8 cm6 cm

Zwaartepunten 65


STELLING 1. De oppervlakte van een omwentelingsoppervlak verkregen door de kromme met

lengte L te draaien rond de x-as is gelijk aan

𝐴 = 2𝜋��𝐿 6-13

met �� de afstand van het zwaartepunt tot de rotatie-as.

Typevoorbeeld 6-5

Bereken de oppervlakte van een halve bol met straal R, gebruik makend van de eerste stelling van Pappus

en Guldinus. [Antwoord: 2πR²]

STELLING 2. Het volume van een omwentelingslichaam is gelijk aan:

𝑉 = 2𝜋��𝐴 6-14

Met A de oppervlakte, en �� de afstand van het zwaartepunt tot de rotatie-as.

Typevoorbeeld 6-6

Bereken het volume van een bol met straal R, gebruik makend van de tweede stelling van Pappus en

Guldinus. [Antwoord: 4πR³/3]

6.5.2 Verdeelde belasting

Windbelasting, eigengewicht of een hydrostatische belasting zijn allemaal voorbeelden

van verdeelde belastingen. Het meest eenvoudige type verdeelde belasting is een

ééndimensionale lijnbelasting w(x). Hieronder wordt aan de hand van Figuur 6-2 bondig

vermeld hoe een lijnbelasting kan herleid tot één enkele puntkracht.

Figuur 6-2: Vervangen van een verdeelde belasting door één puntkracht.

De grootte van de kracht is:

𝐹𝑅 = ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥𝐿

0

= ∫ 𝑑𝐴𝐿

0

6-15

De ligging van de werklijn van deze kracht wordt gevonden door het uitdrukken van het

momentenevenwicht, en wordt gegeven door:

w(x)

O

w

dxx

L

B x

w(x)

O B x

L

FR = A

FR

Cx

w(x)dx

Zwaartepunten 66


𝑥 =∫ 𝑥𝑤(𝑥)𝑑𝑥

𝐿

0

∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥𝐿

0

=∫ 𝑥𝑑𝐴

𝐴

∫ 𝑑𝐴𝐴

6-16

Merk op dat het vervangen van een verdeelde belasting door een gelijkwaardige puntlast

enkel zinvol is om de steunpuntsreacties te vinden. Inwendige krachten en momenten, met

bijhorende spanningen en vervormingen van de structuur moeten berekend worden met

de oorspronkelijke, verdeelde belasting29.

Typevoorbeeld 6-7

Bepaal de reacties in A en B. [Antwoord: RA = 1300 N en RB = 1850 N]


• Wat versta je onder het begrip massadichtheid van een materiaal? Welke eenheid wordt

vaak gebruikt voor massadichtheid?

• Wat versta je onder een homogeen voorwerp?

• Leg uit waarom het nodig is om de ligging van het zwaartepunt te kennen.

• Wat is het verband tussen de begrippen massamiddelpunt, gewichtszwaartepunt en

geometrisch zwaartepunt? Onder welke omstandigheden zijn deze begrippen gelijk aan

elkaar?

• Wat wordt bedoeld met een samengesteld voorwerp? Leg in woorden uit hoe je het

zwaartepunt van een samengesteld voorwerp berekent.

• Op welk(e) principe(s) uit de mechanica steunt het bepalen van de ligging van het

zwaartepunt: (1) krachtenevenwicht, (2) momentevenwicht (3) of beide?

• Wat kan je doen met de stellingen van Pappus en Guldinus?

• Wat versta je onder een verdeelde belasting? Met welke eenheid wordt een verdeelde

belasting aangeduid?

• Som minstens drie praktische voorbeelden op van een verdeelde belasting.

• Op welke principes uit de mechanica steun je om de grootte en ligging te kennen van de

resultante van een verdeelde belasting?

• Moet je altijd de integraalmethode gebruiken bij het berekenen van het zwaartepunt?

Wanneer (niet)?

29 Zie sterkteleer (2de bach)

900 N/m

A B

3 m1 m

Zwaartepunten 67


• Wat heeft het herleiden van een verdeelde belasting naar één kracht te maken met het

vinden van een zwaartepunt van een voorwerp. Toon dit aan. Maak gebruik van

duidelijke figuren.

• Mag je bij het bepalen van het zwaartepunt het assenstelsel kiezen? Heeft de keuze van

het assenstelsel invloed op het resultaat? Ga dit zelf na met een eenvoudige figuur.

• Wat kan je doen wanneer je van de verdeelde belasting w(x) geen functievoorschrift

krijgt, maar enkel een grafische voorstelling. Hoe kan je dan (benaderend) te werk gaan?

• Waarom is het eigenlijk nuttig om een verdeelde belasting te reduceren naar één

resultante?

• Hoe ga je te werk wanneer je het zwaartepunt moet zoeken van een staaf waarvan de

dwarsdoorsnede varieert (bv. omdat de staaf niet overal even dik is)? Waar teken je met

andere woorden het zwaartepunt?

6.7 Vraagstukken

Zie werkcollege via zelfstudie

Kinematica van een puntmassa 68


Hoofdstuk 7: Kinematica van een puntmassa

DOELSTELLINGEN:

• De basisbegrippen positie, verplaatsing, snelheid en versnelling introduceren;

• Beschrijven van de beweging van een puntmassa langsheen een rechte lijn;

• Beschrijven van de beweging van een puntmassa langsheen een kromlijnige baan

m.b.v. verschillende coördinaatsystemen;

• Bespreken van gekoppelde beweging van twee puntmassa’s;

• Behandelen van de relatieve beweging van twee verschillende puntmassa’s met

translerende assenstelsels.

VERWIJZING NAAR HANDBOEK DYNAMICA (RC Hibbeler, 13de editie):

• Hoofdstuk 1

7.1 Inleiding

Kinematica is de studie en het beschrijven van de beweging van puntmassa’s en

voorwerpen. Met de invloed van krachten of koppels op beweging wordt pas rekening

gehouden in de kinetica.

Het hoofdstuk start met de algemene begrippen positie, snelheid en versnelling en

formuleert deze met behulp van cartesische en kromlijnige coördinaten.

Het laatste onderwerp gaat over de studie van de relatieve beweging, die tegelijk de basis

vormt voor de studie van de kinematica van voorwerpen (zie hoofdstuk 8).



7.2 Basisdefinities: positie, snelheid en versnelling

7.2.1 Positie

Beschouw een puntmassa die beweegt op een willekeurige (twee- of driedimensionale)

kromme baan.

Figuur 3: Kinematische grootheden bij een puntmassa op een kromme baan.

Op de baan kiest men een zin, waardoor de beweging in de ene of de andere zin kan

worden vastgelegd. De positie van de puntmassa op tijd t wordt aangeduid met zijn

plaatsvector 𝑟(𝑡). In een tijdsinterval Δt heeft de puntmassa een verplaatsing 𝛥𝑟

ondergaan:

𝛥𝑟 = 𝑟(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑟(𝑡) 7-1

Anderzijds kan de plaats van een puntmassa ook bepaald worden door gebruik te maken

van een baancoördinaat s(t), dat correspondeert met de lengte van de baan tussen een

vast referentiepunt E en de puntmassa. De verandering van lengte, gemeten langsheen de

kromme baan, is gelijk aan:

𝛥𝑠 = 𝑠(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑠(𝑡) 7-2

7.2.2 Snelheid

Per definitie is de verandering van de plaatsvector met de tijd de ogenblikkelijke snelheid:

��(𝑡) ≝ 𝑙𝑖𝑚𝛥𝑡→0

𝛥𝑟

𝛥𝑡=

𝑑𝑟(𝑡)

𝑑𝑡 7-3

We merken dat 𝛥𝑟 rakend komt te liggen aan de baan van zodra Δt → 0. De snelheidsvector

is dus rakend aan de baan.

∆rA

E B

∆ss(t)

s(t + ∆t) r(t + ∆t)

O

kromme baan

r(t)



7.2.3 Versnelling

De snelheidsvectoren bij A en B zijn getoond in onderstaande figuur.

Figuur 4: Snelheidsvectoren van een puntmassa op een kromme baan.

Het verschil tussen beide vectoren wordt gegeven door:

𝛥�� = ��(𝑡 + 𝛥𝑡) − ��(𝑡) 7-4

De ogenblikkelijke versnelling wordt gegeven door:

��(𝑡) ≝ 𝑙𝑖𝑚𝛥𝑡→0

𝛥��

𝛥𝑡=

𝑑��(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑2𝑟(𝑡)

𝑑𝑡2 7-5

Het is best mogelijk dat ook de versnelling nog functie van de tijd is, zodat nog verdere

afgeleiden bestaan. Bij de studie van o.a. nokkenmechanismen zal men ook gebruik maken

van 𝑗𝐴(𝑡), de ruk genoemd (eng: jerk). In deze cursus beperken we ons evenwel tot de

afgeleiden snelheid en versnelling.

Bij het definiëren van de begrippen positie, snelheid en versnelling in deze paragraaf werd

tot nog toe geen melding gemaakt van een assenstelsel. Om beweging te beschrijven

hebben we echter nood aan zo’n assenstelsel. Zowat alle vraagstukken kunnen worden

opgelost aan de hand van cartesische coördinaten (bv. beweging op een rechte baan, of de

beweging van een projectiel) of kromlijnige coördinaten. Cartesische coördinaten kunnen

in principe bij elke oefeningen gebruikt worden. Later zal blijken dat de kromlijnige

coördinaten de analyses in veel gevallen eenvoudiger maakt.

7.3 Cartesische coördinaten

Figuur 7-5 toont de baan die puntmassa P volgt in een cartesisch assenstelsel. De positie

van P is tijdsafhankelijk en wordt gegeven door een vectoriële bewegingsvergelijking:

𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑦(𝑡)𝑒𝑦 + 𝑧(𝑡)𝑒𝑧 7-6

Met x, y en z, de tijdsafhankelijke coördinaten van deze puntmassa. De snelheidsvector en

versnellingsvector worden berekend via de kettingregel en zijn gegeven door

respectievelijk:

��(𝑡) = 𝑣𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑣𝑦(𝑡)𝑒𝑦 + 𝑣𝑧(𝑡)𝑒𝑧 7-7

kromme baan

v(t)

v(t + ∆ t)

A

B

v(t)

∆vv(t +t)∆



��(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑎𝑦(𝑡)𝑒𝑦 + 𝑎𝑧(𝑡)𝑒𝑧 7-8

Hierbij geldt dat:

𝑣𝑥 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡 𝑒𝑛 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 𝑒𝑛 𝑣𝑧 =

𝑑𝑧(𝑡)

𝑑𝑡 7-9

𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 𝑒𝑛 𝑎𝑦 =

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 𝑒𝑛 𝑎𝑧 =

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡 7-10

De grootte van deze snelheidsvector en versnellingsvector kan gemakkelijk gevonden

worden, gezien de drie componenten per definitie loodrecht op elkaar staan.

Figuur 7-5: Snelheid en versnelling in cartesische componenten.

7.3.1 Beweging in het vlak

In het geval dat een puntmassa zich voortbeweegt in het xy-vlak, stellen we z=0, waardoor

voorgaande vergelijkingen vereenvoudigen. De positie, snelheid en versnelling van P

worden dan gegeven door:

𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑦(𝑡)𝑒𝑦 7-11

��(𝑡) = 𝑣𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑣𝑦(𝑡)𝑒𝑦

��(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑎𝑦(𝑡)𝑒𝑦

Hierbij geldt dat:

𝑣𝑥 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡 𝑒𝑛 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 7-12



𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 𝑒𝑛 𝑎𝑦 =

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 7-13

De hoek θ, die de helling aangeeft van de snelheidsvector, wordt bepaald via:

𝑡𝑎𝑛(𝜃) =𝑣𝑦

𝑣𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑥

7-14

De snelheidsvector ligt dus, zoals eerder aangetoond, rakend aan de baan.

7.3.2 Rechtlijnige beweging

Wanneer een puntmassa een rechte lijn volgt, kan de kinematica nog korter 30 beschreven

worden via:

𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑒𝑥 7-15

��(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑒𝑥

��(𝑡) = 𝑎(𝑡)𝑒𝑥

Hierbij geldt dat:

𝑣 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡 7-16

𝑎 =𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡 7-17

Merk op dat het subscript x hier niet meer gebruikt wordt bij de uitdrukkingen voor

snelheid en versnelling, omdat de beweging nu ééndimensioneel is.

Figuur 7-6: Kruk-drijfstangmechanisme: punt P volgt een rechte baan.

OPMERKING: In sommige toepassingen is het handiger om de versnelling uit te drukken in

functie van snelheid en positie, in plaats van in functie van snelheid en tijd. Dit kan via:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑥∙

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑥∙ 𝑣 7-18

Waaruit volgt

30 Het spreekt voor zich dat de rechtlijnige beweging ook kan gebeuren volgens de y-as of volgens de z-as. In het bijzonder bij de valbeweging is het de gewoonte om de hoogte aan te geven via de coördinaat y(t).



𝑎 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑑𝑣 7-19

Deze differentiaalvergelijking dient vervolgens opgelost te worden.

Twee bijzondere types van rechtlijnige bewegingen worden hieronder vermeld.

7.3.2.1 Eénparig rechtlijnige beweging

Bij een éénparige beweging is de snelheid constant, waaruit volgt a = 0. Na één

tijdsintegratie volgt hieruit:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 + ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡

𝑡0

= 𝑥0 + 𝑣𝑡 7-20

7.3.2.2 Eénparig veranderlijke rechtlijnige beweging

Bij een éénparig veranderlijke beweging is de versnelling constant, waaruit volgt a = ac.

Beschouw een punt dat zich op het tijdstip t = 0 in xo bevindt en een snelheid vo heeft. De

versnelling bedraagt ac. Via integratie vinden we drie in de praktijk zeer bruikbare

vergelijkingen 7-21 t.e.m. 7-23:

Snelheid als een functie van tijd:

𝑣(𝑡) = 𝑣0 + ∫ 𝑎𝑐𝑑𝑡𝑡

0

= 𝑣0 + 𝑎𝑡 7-21

Plaats als een functie van tijd:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

= 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑐𝑡² 7-22

Anderzijds, door integratie van vdv = acdx vinden we de snelheid v als functie van de positie

x:

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0) 7-23

Een klassiek voorbeeld van een eenparig veranderlijke beweging is de vrije val, waarbij

een puntmassa een verticale beweging maakt, en daarbij permanent onderhevig is aan de

neerwaarts gerichte zwaartekrachtversnelling g.



Typevoorbeeld 7-1

Een bal wordt verticaal omhoog gegooid vanuit een raam op 20 m hoogte. Bepaal (a) de snelheid en

hoogte van de bal op elk tijdstip t, (b) de maximale hoogte die de bal zal behalen, alsook het tijdstip

waarop, en (c) het tijdstip waarop de bal de grond zal raken, en de snelheid die hij op dat moment bezit.

Teken ook de grafieken van v(t) en y(t). [Antwoord: (a) v(t) = 10 - 9,81t en y(t) = 20 + 10t - 4,905t² (b) ymax

= 25,1 m op t = 1,019 s (c) t = 3,28 s met v = 22,2 m/s]

Merk op dat zeker niet alle rechtlijnige bewegingen gekenmerkt zijn door een constante

versnelling. In deze situaties (bv. het kruk-drijfstangmechanisme) mogen de formules van

de eenparig veranderlijke beweging uiteraard niet worden gebruikt.

7.3.3 Superpositie van rechtlijnige bewegingen

Een bijzondere categorie van bewegingen wordt gevormd wanneer de beweging

analytisch kan opgevat worden als een superpositie van (twee of drie) rechtlijnige

bewegingen die onderling onafhankelijk zijn van elkaar.

Dit is het geval wanneer de componenten van de versnelling kunnen geschreven worden

onder de vorm van:

𝑎𝑥 = 𝑓𝑥(𝑣𝑥, 𝑥, 𝑡) 7-24

𝑎𝑦 = 𝑓𝑦(𝑣𝑦, 𝑦, 𝑡)

𝑎𝑧 = 𝑓𝑧(𝑣𝑧 , 𝑧, 𝑡)

Soms zegt men dat de bewegingsvergelijkingen in x, y en z-richting dan ontkoppeld 31 zijn

van elkaar, waardoor de integratietechnieken die in voorgaande paragraaf werden

gebruikt op elk van de drie richtingen afzonderlijk kunnen worden toegepast. De beweging

van een projectiel kan op die manier behandeld worden.

31 Indien de drie vergelijkingen uit 7-6 toch gekoppeld zijn, is een analytische oplossing zeer moeilijk of niet te berekenen. Ze kunnen indien nodig wel opgelost worden met numerieke technieken (via software).

v0 = +10 m/s

a = -9,81 m/s²

y0 = +20 m

y

O



BEWEGING VAN EEN PROJECTIEL. Beschouw een projectiel dat gelanceerd wordt met een

beginsnelheid v0 onder een hoek α. De baan van de projectiel wordt als volgt bepaald. We

kiezen in het vlak een assenstelsel Oxy. Neem aan dat het projectiel wordt afgevuurd

vanuit een punt met coördinaat (x0, y0).

Projectie van de vectorvergelijking (bewegingsvergelijking32) op de x-as en y-as levert:

𝑎𝑥(𝑡) = 0

𝑎𝑦(𝑡) = −𝑔 7-25

Een eerste tijdsintegratie van 7-25 levert de snelheidscomponenten in x- en y-richting:

𝑣𝑥(𝑡) = 𝑣0 cos 𝛼

𝑣𝑦(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼 7-26

Een tweede tijdsintegratie levert de x- en y-coördinaat (d.w.z. de plaats) van het projectiel

op als functie van de tijd:

𝑥(𝑡) = 𝑣0(cos 𝛼)𝑡 + 𝑥0

𝑦(𝑡) = −𝑔𝑡2

2+ 𝑣0(sin 𝛼)𝑡 + 𝑦0 7-27

Wanneer het projectiel afgevuurd wordt vanuit de oorsprong (x0 = 0 en y0 = 0) van het

assenstelsel, vindt men door eliminatie van t uit bovenstaande vergelijkingen een

bijkomende (maar niet onafhankelijke) uitdrukking:

𝑦(𝑥) = −𝑔

2𝑣02𝑐𝑜𝑠2𝛼

𝑥2 + (𝑡𝑎𝑛 𝛼)𝑥 7-28

In dat specifieke geval is de baan van het projectiel een parabool met symmetrie-as

evenwijdig aan de y-as.

Typevoorbeeld 7-2

Een projectiel wordt afgevuurd met een beginsnelheid van 180 m/s vanop een hoogte van 150 m onder

een hoek van 30°. Bepaal (a) de horizontale afstand x en (b) de maximale hoogte bereikt door het

32 Dit is de tweede wet van Newton.

x

30°

180 m/s

150 m



projectiel. De luchtweerstand mag verwaarloosd worden. [Antwoord: (a) x = 3100 m en (b) hmax = 563 m

boven de grond]

7.3.4 Grafische methoden bij een rechtlijnige beweging

In sommige situaties kunnen de positie, snelheid en versnelling op een rechte baan niet

worden beschreven met analytische functies, maar zijn ze het resultaat van bijvoorbeeld

meetdata. In dat geval wordt meestal gebruik gemaakt van grafische methoden (integratie

en afleiding) om het verband te kennen tussen positie, snelheid en versnelling en

eventuele verdere afgeleide grootheden.

Grafische oplossingen worden gebruikt wanneer data onder de vorm van x(t), v(t) of a(t)

beschikbaar zijn. Belangrijk om weten is dat op elk ogenblik t geldt:

• v(t) = helling van de x(t) curve

• a(t) = helling van de v(t) curve

Figuur 7-7: Grafisch verband tussen plaats, snelheid en versnelling bij een rechtlijnige beweging.

Anderzijds, gedurende een tijdsinterval t1 tot t2 kan men gebruik maken van volgende

principes:

• De toename in snelheid in een bepaald tijdsinterval is gelijk aan de oppervlakte onder

de a(t) curve tijdens dit tijdsinterval;

• De toename in de plaatscoördinaat in een bepaald tijdsinterval is gelijk aan de

oppervlakte onder de v(t) curve tijdens dit tijdsinterval.

7.4 Kromlijnige coördinaten

Bij heel wat toepassingen van beweging op een kromme baan blijkt het eenvoudiger om

te werken met zogenaamde kromlijnige coördinaten in plaats van cartesische

coördinaten. In deze paragraaf worden twee types behandeld, (i) met baancoördinaten

en (ii) met poolcoördinaten.



7.4.1 Baancoördinaten (of normale en tangentiële coördinaten)

Deze methode wordt courant toegepast wanneer de baan die een puntmassa volgt op

voorhand gekend is (bv. een wagen die op de weg rijdt).

7.4.1.1 Geometrische beschrijving

Beschouw een puntmassa die beweegt op een kromme baan en waarvan de positie steeds

bepaald wordt door een coördinaat s. Als de puntmassa beweegt van A naar B tijdens een

infinitesimaal interval dt, beschrijft het een boog met kromtestraal ρ en lengte ds.

Figuur 8: Links: geometrische beschrijving, Rechts: eenheidsvectoren

KROMTESTRAAL. Men noemt het kromtemiddelpunt K van een vlakke kromme de limietstand van

het snijpunt van de normalen aan de kromme in twee naburige punten A en B. Dit punt

ligt veelal in het eindige (bv. bij een cirkel). De kromtestraal van de kromme in het

beschouwde punt is dan de afstand van deze samenvallende punten tot de kromme. Het

kromtemiddelpunt is het middelpunt van de cirkel die plaatselijk het best de kromme

benadert.

In de wiskunde toont men aan dat voor een baan beschreven door y(x), de kromtestraal ρ

in een punt op deze baan gegeven wordt door:

𝜌 =[1 + (𝑑𝑦/𝑑𝑥)2]3/2

𝑑2𝑦/𝑑𝑥2=

(1 + (𝑦′)2)3/2

𝑦′′ 7-29

of

𝜌 =[1 + (𝑑𝑥/𝑑𝑦)2]3/2

𝑑2𝑥/𝑑𝑦2=

(1 + (𝑥′)2)3/2

𝑥′′ 7-30

als de baan beschreven wordt via een functie x(y).



7.4.1.2 Snelheid en versnelling

De snelheid wordt gedefinieerd als:

��(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0

∆𝑟(𝑡)

∆𝑡= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑠∙∆𝑠

∆𝑡 7-31

Waarbij Δs een stukje van de afgelegde weg van de puntmassa voorstelt. ∆𝑟 wordt ook de

koorde genoemd. Men kan grafisch aantonen dat:

𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑠= 1 ∙ 𝑒𝑡 7-32

Deze eenheidsvector ligt rakend aan de baan in de als positief gekozen zin. We bekomen

dus:

��(𝑡) =𝑑𝑠

𝑑𝑡𝑒𝑡 = 𝑣𝑒𝑡 7-33

De snelheidsvector heeft als grootte de verandering van de afgelegde weg met de tijd en

is gelegen volgens de raaklijn aan de baan beschreven door de puntmassa. De grootte van

de snelheid is:

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 7-34

VERSNELLING. De versnelling wordt gegeven door:

��(𝑡) =𝑑��

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑣𝑒𝑡) 7-35

Zowel de grootte als de richting van deze vector zijn tijdsafhankelijk, waardoor:

��(𝑡) =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑒𝑡 + 𝑣

𝑑𝑒𝑡

𝑑𝑡

7-36

Merk hierbij op dat 𝑒𝑡 ook varieert in functie van de tijd, waardoor zijn tijdsafgeleide

verschilt van nul en gelijk is aan33:

𝑑𝑒𝑡

𝑑𝑡≝ 𝑙𝑖𝑚

∆𝑡→0

𝑒𝑡 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑒𝑡 (𝑡)

∆𝑡= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑡→0

∆𝑠

𝜌∆𝑡𝑒𝑛 =

𝑒𝑛

𝜌𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡=

𝑣

𝜌𝑒𝑛

7-37

33 Dit kan grafisch aangetoond worden. Zie powerpointslides.



Figuur 7-9: Tijdsafgeleide van de tangentiële eenheidsvector verschilt van nul.

Men concludeert uiteindelijk dat:

��(𝑡) =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑒𝑡 +

𝑣2

𝜌𝑒𝑛

7-38

Vergelijking 7-38 toont dat de versnelling van een punt dat een vlakke kromme doorloopt,

steeds kan worden ontbonden in twee componenten, met grootte:

• 𝑎𝑡 = 𝑑𝑣/𝑑𝑡 gelegen volgens de raaklijn, tegen of met de bewegingsrichting;

• 𝑎𝑛 = 𝑣2/𝜌 gelegen volgens de positieve normale, d.w.z. naar het kromtemiddelpunt

toe.

Deze twee componenten geven de verandering van grootte, respectievelijk de

richtingsverandering van de snelheidsvector weer.

OPMERKING: Soms is het voordelig om de tijd te elimineren uit de uitdrukking voor at. Dit

gebeurt als volgt:

𝑎𝑡 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑠∙

𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑠∙ 𝑣 7-39

Waaruit volgt

𝑎𝑡 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑑𝑣 7-40

Deze differentiaalvergelijking dient vervolgens opgelost te worden. Dit principe is

volledig analoog aan wat werd gezien bij de rechtlijnige beweging. Merk wel op dat in

7-40 gebruik gemaakt wordt van de tangentiële component van de versnelling.

SPECIALE GEVALLEN:

• Wanneer een punt eenparig een kromme doorloopt, verandert de grootte van de

snelheid niet, wel haar richting. Eenparig wil zeggen: v = constant, dus 𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ = 𝑎𝑡 = 0.

Er is wel een constante normale versnellingscomponent met grootte 𝑎𝑛 = 𝑣2/𝜌

• Wanneer een punt een rechte baan doorloopt, heeft de versnelling geen normale

component, gezien de kromtestraal oneindig groot is.



• Wanneer het punt een cirkel met straal R doorloopt, is de normale component naar het

middelpunt M34 van de cirkel gericht en gelijk aan 𝑎𝑛 = 𝑣2/𝑅. De versnellingsvector

wordt dan:

��(𝑡) =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑒𝑡 +

𝑣2

𝑅𝑒𝑛 7-41

Figuur 7-10: Normale en tangentiële component op een cirkelbaan.

Typevoorbeeld 7-3

Een wagen rolt van een helling. Wanneer het punt A passeert, heeft het een snelheid van 15 m/s, terwijl

zijn snelheid toeneemt met 2 m/s². Bepaal de grootte en de ligging van de snelheid en de versnelling.

7.4.2 Poolcoördinaten (of radiale en transversale coördinaten)

Poolcoördinaten zijn nuttig wanneer de beweging kan gespecifieerd worden met behulp

van een afstand r en de poolhoek θ. De methode wordt bv. toegepast bij de beweging van

34 Dit punt M is in dat geval ook gelijk aan het kromtemiddelpunt K.

A

80 m

40°

O



een satelliet, omdat de zwaartekracht die hierop inwerkt afhangt van de afstand R tot het

centrum van de aarde.

Via deze methode worden de snelheid en versnelling gegeven in radiale en transversale

componenten.

Figuur 11: eenheidsvectoren in geval van poolcoördinaten

POSITIE. In poolcoördinaten kan de plaatsvector geschreven worden als:

𝑟(𝑡) = 𝑟𝑒𝑟 7-42

SNELHEID. De snelheid wordt:

��(𝑡) =𝑑𝑟

𝑑𝑡𝑒𝑟 + 𝑟

𝑑𝑒𝑟

𝑑𝑡= ��𝑒𝑟 + 𝑟��𝑒𝜃 7-43

De ‘puntnotatie’ wordt hier gebruikt om de tijdsafgeleide aan te duiden: �� =𝑑𝑟

𝑑𝑡

Hoewel de snelheidsvector hier gedefinieerd wordt aan de hand van zijn radiale (volgens

𝑒𝑟) en transversale component (volgens 𝑒𝜃), is de richting van deze vector nog steeds

rakend aan de baan.

VERSNELLING. De versnelling wordt:

��(𝑡) =𝑑2𝑟

𝑑𝑡2𝑒𝑟 +

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑𝑒𝑟

𝑑𝑡+

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑒𝜃 + 𝑟

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2𝑒𝜃 + 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑑𝑒𝜃

𝑑𝑡

= (�� − 𝑟��2)𝑒𝑟 + (2�� + 𝑟��)𝑒𝜃 7-44

Zoals eerder aangegeven is de versnelling niet (per se) rakend aan de baan.

P

O

er

eθ

r = rer

θx

y



In het speciale geval dat de puntmassa een cirkelbaan met straal R volgt, is de polaire

coördinaat r gelijk aan de straal R van de cirkel. De snelheids- en versnellingsvector

worden daardoor respectievelijk:

��(𝑡) = 𝑅��𝑒𝜃

��(𝑡) = 𝑅��2𝑒𝑟 + 𝑅��𝑒𝜃 7-45

Deze vergelijkingen leveren zoals verwacht dezelfde informatie op als de methode met

tangentiële en normale coördinaten.

Typevoorbeeld 7-4

Een 0,9 m lange staaf draait rond punt O waarbij θ = 0,15t². Ring B glijdt over de staaf zodat r = 0,9 –

0,12t². Bepaal, nadat OA over 30° gedraaid is, (a) de snelheid en de versnelling van de ring, evenals (b)

de relatieve versnelling van de ring ten opzichte van de staaf. [Antwoord: (a) v = 0,524 m/s en a = 0,531

m/s² (b) 0,240 m/s²]

7.5 Gekoppelde en relatieve beweging

7.5.1 Relatieve beweging van twee puntmassa’s

7.5.1.1 Relatieve beweging

In voorgaande paragrafen hebben we de beweging van een punt beschouwd t.o.v. een vast

(absoluut) assenstelsel, en op basis daarvan absolute snelheden en versnellingen

gedefinieerd. Het zijn ook net deze absolute grootheden die later in deze cursus gebruikt

zullen worden in de 2de wet van Newton, en de energiemethoden beschreven in hoofdstuk

9.

Figuur 7-12 toont twee puntmassa’s A en B die elk een baan volgen. 𝑟𝐴 is de plaatsvector

van A in het absoluut assenstelsel Oxyz. 𝑟𝐵 is de plaatsvector van B in het absoluut

assenstelsel. De positie van B t.o.v. A wordt aangegeven met de plaatsvector rB/A. De

positie van het punt B in het absolute stelsel kan bijgevolg geschreven worden als:

𝑟𝐵 = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵 𝐴⁄ 7-46



Eén maal afleiden naar de tijd levert:

��𝐵 = ��𝐴 + ��𝐵 𝐴⁄ 7-47

Waarbij de relatieve snelheid gegeven wordt door volgende notatie:

��𝐵 𝐴⁄ =𝑑𝑟𝐵 𝐴⁄

𝑑𝑡 7-48

Nogmaals afleiden levert:

��𝐵 = ��𝐴 + ��𝐵 𝐴⁄ 7-49

Met de relatieve versnelling genoteerd als:

��𝐵 𝐴⁄ =𝑑��𝐵 𝐴⁄

𝑑𝑡 7-50

7.5.1.2 Translerend assenstelsel

Soms is het evenwel aangewezen om relatieve beweging te beschrijven vanuit een

assenstelsel dat beweegt met een andere puntmassa. In wat volgt beschrijft het bewegend

assenstelsel Ax’y’z’ een translatie t.o.v. het absoluut assenstelsel 0xyz.

Figuur 7-12: Relatieve beweging van B ten opzichte van A.

In dit translerende assenstelsel zijn de coördinaten van B gelijk aan x’, y’ en z’. De relatieve

plaatsvector rB/A is dan:

𝑟𝐵 𝐴⁄ = 𝑥′𝑒𝑥 + 𝑦′𝑒𝑦 + 𝑧′𝑒𝑧 7-51

De relatieve snelheid en relatieve versnelling van B worden verkregen door afleiden naar

de tijd:

��𝐵 𝐴⁄ =𝑑𝑥′

𝑑𝑡𝑒𝑥 +

𝑑𝑦′

𝑑𝑡𝑒𝑦 +

𝑑𝑧′

𝑑𝑡𝑒𝑧

��𝐵 𝐴⁄ =𝑑²𝑥′

𝑑𝑡²𝑒𝑥 +

𝑑²𝑦′

𝑑𝑡²𝑒𝑦 +

𝑑²𝑧′

𝑑𝑡²𝑒𝑧

7-52

rA

rB rB/A

x

y

z

y’

z’

B

A



We concluderen dat de twee vergelijkingen uit 7-52 de snelheid en versnelling weergeven

van B zoals die ervaren wordt door een (niet-roterende) waarnemer die meebeweegt met

puntmassa A.

Typevoorbeeld 7-5

De snelheid van vliegtuig A neemt toe met 8 m/s². Vliegtuig B vliegt op dezelfde hoogte als A, in een cirkel

met straal 250 m. Zijn snelheid neemt af met 3 m/s². Bepaal de snelheid en de versnelling van B ten

opzichte van A [Antwoord: vB/A = 501 km/u en aB/A = 82,2 m/s²].

7.5.2 Gekoppelde beweging

In sommige situaties hangt de beweging van een puntmassa rechtstreeks af van de

beweging van een andere puntmassa. Deze situatie komt bijvoorbeeld voor wanneer twee

puntmassa’s fysiek verbonden zijn met elkaar door middel van een (niet rekbare) kabel,

die eventueel over één of meerdere wrijvingsloze katrollen wordt gehangen.

In dat geval dienen lineaire vergelijkingen gevonden worden tussen de coördinaten van

de twee puntmassa’s, waaruit het verband tussen de beide snelheden en versnellingen

kan worden gehaald. Deze methode wordt geïllustreerd aan de hand van onderstaand

voorbeeld.

Typevoorbeeld 7-6

B 6 m/s

A



Bepaal de snelheid van blok A indien B een opwaarts gerichte snelheid heeft van 6 m/s.


• Hoe definieer je de begrippen plaatsvector, snelheidsvector en versnellingsvector? Wat

is het verband tussen deze drie begrippen?

• Wat is een rechtlijnige beweging?

• Wat is een éénparige en een eenparig veranderlijke beweging?

• Welke soort beweging is een valbeweging zonder luchtweerstand? Leid een formule af

die de plaats (hoogte) in functie van de tijd weergeeft.

• Teken een kruk-drijfstangmechanisme. Welke soort beweging maakt de zuiger?

• Wanneer gebruik je bij een beweging op een kromme baan bij voorkeur (a) cartesische

coördinaten (b) normale en tangentiële coördinaten (c) radiale en transversale

coördinaten?

• Wat betekent ‘tangentieel’ en ‘normaal’? Geef telkens een synoniem.

• Wat is een kromtecirkel, kromtemiddelpunt en een kromtestraal? Hoe bereken je deze

laatste? Wat is de fysische betekenis ervan? Waarom hebben we deze waarde soms

nodig in de kinematica?

• Wat wordt er verstaan onder een gekoppelde beweging?

• Indien de versnelling van een puntmassa op een rechte baan negatief blijkt te zijn, wil

dit altijd zeggen dat de puntmassa aan het vertragen is? Leg uit.

• Waarom is het nuttig om een snelheidsvector te kennen en niet enkel de grootte van de

snelheid?

• Waarom is het nuttig om een versnellingsvector te kennen en niet enkel de grootte van

de versnelling?

• Geef een analytische uitdrukking voor de verticale valbeweging met luchtweerstand.

Wat is het begrip terminale snelheid?

• Van welke vectorvergelijking start men om de beweging van een projectiel zonder

luchtweerstand te beschrijven?

• Als persoon A een tennisbal 2 maal verder kan werpen dan persoon B, betekent dit dat

hij dan ook twee maal zo hard kan werpen? Leg uit.

• De beweging van een projectiel (zonder luchtweerstand) blijkt onafhankelijk te zijn van

de massa. Waarom is het dan zoveel gemakkelijker om een tennisbal van 57 gram 20

meter ver te gooien dan een loden bal van 5 kg met hetzelfde formaat (ook al hebben

beide hetzelfde formaat).

• In veel toepassingen wordt het effect van luchtweerstand verwaarloosd. Is dit altijd

gerechtvaardigd. Wanneer zal luchtweerstand in realiteit wel een belangrijke impact

hebben? Geef een aantal praktische voorbeelden.

• Hoe bepaal je de positie van het kromtemiddelpunt (wanneer de baan gekend is)?

• Toon volledig aan dat een versnellingsvector van een punt dat beweegt op een kromme

baan de vectorsom is van een tangentiële component en een normale component.



• Waar wordt bij een normale werpbeweging de grootste en kleinste snelheid en

versnelling bereikt (zonder luchtweerstand)?

• Hoe ziet de beweging van een projectiel er uit met luchtweerstand. Bestaan er

analytische oplossingen voor?

• Is het vanuit fysisch oogpunt ook zinvol om de versnelling af te leiden naar de tijd? Zo

ja, bestaat er een naam voor dit begrip? Ken je toepassingen?

7.7 Vraagstukken

Zie werkcollege 7

Kinematica van een voorwerp 87


Hoofdstuk 8: Kinematica van een voorwerp

DOELSTELLINGEN:

• Illustreren van de verschillende soorten bewegingen in het vlak;

• Bestuderen van translatie en van rotatie rond een vaste as;

• Bestuderen van beweging in het vlak met behulp van absolute bewegingsanalyse;

• Verband opstellen van snelheid en versnelling tussen twee punten, gebruik makend van

de theorie van de relatieve beweging, met translerende assenstelsels;

• Aantonen hoe de ogenblikkelijke snelheidspool kan gevonden worden en hoe men dit

punt kan gebruiken om de snelheid van een willekeurig punt van het voorwerp te

kennen;

• Verband opstellen van snelheid en versnelling tussen twee punten, gebruik makend van

de theorie van de relatieve beweging met translerende assenstelsels.


• Hoofdstuk 5

8.1 Inleiding

Beweging van voorwerpen in het vlak vormt het onderwerp van hoofdstuk 8. Men spreekt

van een beweging in een plat vlak wanneer alle punten van het voorwerp zich te allen

tijde op dezelfde afstand van een plat vlak bevinden. Eens de kinematica voldoende

duidelijk is, kunnen de bewegingsvergelijkingen toegepast worden om het verband te

begrijpen tussen de krachten die inwerken op voorwerpen en de beweging van het

voorwerp (zie hoofdstuk 10).



Verschillende methoden worden aangereikt om het kinematisch verband te bestuderen

tussen de twee punten gelegen op hetzelfde voorwerp. In parallel hiermee worden

nieuwe kernbegrippen hoeksnelheid en hoekversnelling geïntroduceerd, twee begrippen

die kenmerkend zijn voor een voorwerp in beweging.

8.2 Soorten beweging in het vlak

Er bestaan drie soorten beweging in het vlak. Deze zijn, in volgorde van complexiteit:

• Translatie volgens een rechte of een kromme baan

• Rotatie om een as loodrecht op dat vlak

• Algemene beweging: combinatie van translatie en rotatie (gelijktijdig)

Merk op dat een kromlijnige translatie fundamenteel verschilt van een rotatie.

8.3 Translatie

Alle punten van een vast voorwerp dat een translatie ondergaat (op een rechte of een

kromme) bewegen met dezelfde snelheid en versnelling. Voor twee punten A en B

willekeurig gekozen op het voorwerp geldt:

��𝐵 = ��𝐴 8-1

��𝐵 = ��𝐴 8-2

In principe kunnen dus de formules uit de kinematica voor een puntmassa worden

gebruikt.

8.4 Rotatie om een vaste as

8.4.1 Hoekbeweging

Eerst wordt de hoekbeweging rond een as bekeken van het voorwerp in zijn totaliteit. In

principe is de rotatie van een voorwerp volledig gekend wanneer de hoekstand θ gegeven

is in functie van de tijd: θ(t)

HOEKSNELHEID. Voor de hoeksnelheid geldt per definitie:

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡 8-3

met de hoekstand.

HOEKVERSNELLING. De hoekversnelling geeft de verandering van de hoeksnelheid ω aan. De

grootte wordt gegeven door:



𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡 8-4

Noot: merk de zeer duidelijke analogie op tussen deze uitdrukkingen en de uitdrukkingen

in paragraaf 7.3.2.2 over de kinematica van een puntmassa.

In geval van een constante hoekversnelling αc gelden dus de formules van de éénparig

veranderlijke rotatie:

𝜔(𝑡) = 𝜔0 + 𝛼𝑐𝑡 8-5

𝜃(𝑡) = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +1

2𝛼𝑐𝑡2 8-6

𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼𝑐(𝜃 − 𝜃0) 8-7

Typevoorbeeld 8-1

Het wiel versnelt vanuit rust op t = 0 met een constante versnelling van 2,4 rad/s² (wijzerzin). Bepaal op

t = 4 s de snelheid en de zakking of stijging van (a) last A en (b) last B. [Antwoord: vA = 1,152 m/s en yA =

2,30 m opwaarts, (b) vB = 1,728 m/s en yB = 3,46 m neerwaarts]

8.4.2 Beweging van een punt op een draaiend voorwerp

Beschouw een voorwerp dat roteert rond een vaste as AA’. Logischerwijs maakt elk punt

P op het voorwerp dat een zuivere rotatie ondergaat, een cirkelbeweging. De snelheid en

de versnelling waarmee een punt P de cirkelbeweging ondergaat hangt af van de

hoekbeweging van dit voorwerp rond zijn rotatie-as.

De scalaire vorm van de snelheid van P wordt gegeven door:

𝑣 = 𝜔𝑟 8-8

In de rest van dit hoofdstuk zal de voorkeur gegeven worden aan het gebruik van vectoren

i.p.v. aan scalairen. Voordelen en nadelen van beide methoden worden duidelijk gemaakt

via toepassingen.

B

D

A

180 mm120 mmC



Figuur 8-1: Rotatie van een voorwerp rond een vaste as AA'.

Gebruik makend van de vectornotatie, wordt de snelheid van P gegeven door:

�� = �� × 𝑟𝑃 = �� × 𝑟 8-9

Men kan verifiëren dat de snelheidsvector ��, zoals verwacht, rakend is aan de cirkelbaan.

�� is een vector gelegen volgens de rotatieas, en heet de hoeksnelheidsvector.

De versnelling van P kan in vectorvorm berekend worden via:

�� = �� × 𝑟𝑃 + �� × (�� × 𝑟𝑃) 8-10

Deze hoekversnelling is ook gelegen volgens de rotatieas. Men gaat snel na dat �� × 𝑟𝑃

rakend ligt aan de cirkelbaan, en dat �� × (�� × 𝑟𝑃) loodrecht ligt op de cirkelbaan.



Typevoorbeeld 8-2

Een geplooide stang roteert met een hoeksnelheid van 9 rad/s (in wijzerzin bekeken vanuit E) rond een

as die E met A verbindt. Bereken de snelheid en de versnelling van hoekpunt C. [Antwoord: vC = 1,97 m/s

en aC = 17,76 m/s²]

In een aantal toepassingen is het veel eenvoudiger om de rotatie van een voorwerp voor

te stellen in een xy-vlak, zodat de plaats de positie van P gegeven wordt door plaatsvector

𝑟. In dat geval reduceert bovenstaande vergelijking zich tot:

�� = �� × 𝑟 − 𝜔2𝑟 = ��𝑡 + ��𝑛 8-11

Figuur 8-2: Rotatie van een plaat in het xy-vlak. Deze voorstelling correspondeert met de cirkelbeweging op Figuur 8-1.

200 mm

250 mm

150 mm

150 mm

400 mm

x

z

y

A

B

C

D

E

x

y

O

P

x

y

O

P

ω = ωez

ω = ωez

r

v = ω×r at = α×r

an = -ω²r

α = αez



Zoals verwacht houdt deze formule 8-11 direct verband met wat gezien is bij de

cirkelbeweging van een puntmassa in hoofdstuk 7. De eerste term ��𝑡 geeft de

tijdsafgeleide weer van de grootte van de snelheid, de tweede term ��𝑛 geeft de

tijdsafgeleide weer van de richting van de snelheid. Gezien beide componenten loodrecht

op elkaar staan, vindt men de grootte van de totale versnelling m.b.v. Pythagoras.

Figuur 8-3: Vectorvoorstelling van de hoeksnelheid van een voorwerp (gelegen volgens de rotatieas).

Figuur 8-4: Vectorvoorstelling van de hoekversnelling van een voorwerp (gelegen volgens de rotatieas).

8.5 Algemene beweging: gelijktijdige translatie en rotatie

Een algemene beweging is noch een translatie, noch een rotatie, maar de superpositie van

beide. In de volgende methode wordt de beweging van een voorwerp behandeld door

afzonderlijk de translatie en rotatie te bekijken. Er wordt gebruik gemaakt van twee

assenstelsels: één vast en één dat meebeweegt (transleert) met het voorwerp.

POSITIE. De posities van twee willekeurige punten A en B gelegen op eenzelfde voorwerp zijn

als volgt met elkaar verbonden:



𝑟𝐵 = 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵 𝐴⁄ 8-12

SNELHEID. Afleiden naar de tijd geeft het verband tussen de twee snelheden:

��𝐵 = ��𝐴 + ��𝐵 𝐴⁄ = ��𝐴 + �� × 𝑟𝐵 𝐴⁄ 8-13

De term ��𝐵 𝐴⁄ stelt de relatieve snelheid voor van B ten opzichte van A. Deze term is het

gevolg van een schijnbare rotatie rond de z-as van B ten opzichte van A met een

ogenblikkelijke hoeksnelheid ��. De plaatsvector van A naar B wordt voorgesteld door

𝑟𝐵 𝐴⁄ .

Figuur 8-5: Samengestelde beweging als som van een translatie en een rotatie - snelheid.

De manier waarop formule 8-13 gebruikt wordt, hangt sterk af van het type vraagstuk. Ze

kan bijvoorbeeld gebruikt worden om de beweging van voorwerpen te bestuderen die

onderling scharnierend verbonden zijn. Punten A en B worden dan vaak gekozen in de

scharnieren. Een ander voorbeeld zijn tandwielen die in elkaar draaien. Men kan dan

gebruik maken van het feit dat het punt waar de twee tandwielen contact maken met

elkaar eenzelfde snelheid hebben.

Vraagstukken over algemene beweging kunnen zowel met vectoren (zowel grafisch als

met de componenten) als met scalairen worden opgelost. In deze paragraaf wordt de

voorkeur gegeven aan de vectormethode.

Typevoorbeeld 8-3

Als A met een constante snelheid van 1,5 m/s naar rechts beweegt, bepaal (a) de hoeksnelheid van de

staaf AB, en (b) de snelheid van uiteinde B. [Antwoord: (a) 2,26 rad/s (b) 1,84 m/s]

B

x’

y’

ω

B B

A

vA

vB

vB/A

AA

= +

vA

vA

rB/A

A

750 mm

60°

20°

B



OGENBLIKKELIJKE SNELHEIDSPOOL. Als alternatief voor bovenstaande vectorgebaseerde methode kan

ook gekozen worden om te werken met het principe van de ogenblikkelijke snelheidspool.

Het is zo dat op elk ogenblik de snelheden van alle punten op een voorwerp dezelfde zijn

als wanneer het voorwerp een zuivere rotatie zou maken rond een zekere as. Die

specifieke as bepaalt de ligging van de ogenblikkelijke snelheidspool35. Veronderstel dat

de pool ligt bij A, dan ��𝐴 = 0. Op dat ogenblik zal een ander punt B een cirkelvormige

beweging uitvoeren ten opzichte van punt A, met snelheidsgrootte gelijk aan vB = ωrB/A,

waarbij ω de hoeksnelheid van het voorwerp voorstelt.

Er bestaat een aantal verschillende manieren om de ligging van zo een ogenblikkelijke

snelheidspool (momentaan rotatiecentrum) te weten te komen:

• De snelheid van een punt op het voorwerp en de hoeksnelheid van het voorwerp zijn

gegeven;

• De werklijnen van twee niet-parallelle snelheden zijn gegeven (zonder de grootte te

kennen);

• De grootte en richting van twee parallelle snelheden zijn gegeven.

Opm: Alle andere punten op het voorwerp roteren ogenblikkelijk rond deze snelheidspool

eveneens in een cirkelvormige baan.

Typevoorbeeld 8-4

AB heeft een constante hoeksnelheid van 2000 rotaties per minuut (wijzerzin). Bepaal de hoeksnelheid

van staaf BD en de snelheid van piston D op het getekende ogenblik. Los op met (a) de vectorformule en

(b) de methode van de ogenblikkelijke pool. [Antwoord: vD = 52,34 m/s en ωBD = 62 rad/s]

VERSNELLING. Het verband tussen de versnellingen van twee willekeurig gekozen punten A en

B op hetzelfde voorwerp wordt gehaald uit de tijdsafgeleide van voorgaande formule

8-13:

��𝐵 = ��𝐴 + (��𝐵/𝐴)𝑡

+ (��𝐵/𝐴)𝑛

= ��𝐴 + �� × 𝑟𝐵/𝐴 − 𝜔2𝑟𝐵/𝐴 8-14

35 De versnelling van deze snelheidspool is niet per se gelijk aan nul.



De laatste twee termen stellen de tangentiële, respectievelijk normale component van de

versnelling voor van de rotatiebeweging van B ten opzichte van A.

Figuur 8-6: Samengestelde beweging als som van een translatie en een rotatie - versnelling.

Typevoorbeeld 8-5

Een staaf AB beweegt tussen twee schuine (45°) vlakken. Bepaal de hoekversnelling van de staaf op het

getekende ogenblik [Antwoord: aB = 1,87 m/s² en α = 0,344 rad/s²].

8.6 Bewegingsanalyse met één parameter

In sommige mechanismen is het mogelijk om de coördinaten x en y van alle punten van

dit mechanisme uit te drukken in functie van één enkele parameter, bijvoorbeeld een hoek

θ. De snelheid en versnelling kunnen dan gevonden worden door die functie één,

respectievelijk twee maal af te leiden naar de tijd door gebruik te maken van de

kettingregel.

Deze methode, waarin nog een alternatief wordt geboden voor de methode beschreven in

voorgaande paragraaf, wordt geïllustreerd aan de hand van onderstaand typevoorbeeld.

10 m

vA = 2 m/s

A B

aA = 3 m/s²



Typevoorbeeld 8-6

Vind een analytische uitdrukking voor de snelheid en de versnelling van A en B. [vB = lωcosθ en vA = -

lωsinθ)

Deze methode kan bijvoorbeeld ook gebruikt worden om de beweging te beschrijven van

een cilinder die rolt zonder te slippen, door een verband te vinden tussen de rechtlijnige

beweging xG(t) van het zwaartepunt G van de cilinder en anderzijds de hoekbeweging θ(t)

van een lijn die ook deel uitmaakt van de cilinder. Indien, op basis van de geometrische

kenmerken van de cilinder het verband xG = f(θ) gevonden is, kan de snelheid en

versnelling van het zwaartepunt bepaald worden in functie van ω en α, en de straal r van

de cilinder.

𝑣𝐺 = 𝜔𝑟 en 𝑎𝐺 = 𝛼𝑟 8-15

Deze twee wetmatigheden kon men ook terugvinden door toepassingen van de techniek

beschreven in voorgaande paragraaf 8.5.


• Wat versta je onder translatie, rotatie om een vaste as, en een samengestelde

beweging? Geef telkens een voorbeeld in de praktijk.

• Hoe definieer je bij een rotatie hoekstand, hoeksnelheid en hoekversnelling?

• Hoe definieer je hoeksnelheid en hoekversnelling bij een voorwerp dat een

samengestelde beweging ondergaat? Maak een duidelijke figuur.

• Wat is het begrip ogenblikkelijke snelheidspool? Wat kan je er mee doen en leg uit hoe

je te werk gaat bij deze methode. Is dit een vast punt in het vlak?

• Is het zinvol om te spreken over een omwentelingssnelheid ten opzichte van een zeker

punt. Wanneer niet/wel?

• Waarom is het bij samengestelde voorwerpen noodzakelijk om bij α en ω telkens aan te

geven bij welk voorwerp deze grootheden horen?



• Toon het verband aan tussen de theorie uit hoofdstuk 7 omtrent de cirkelbeweging en

de theorie uit hoofdstuk 8 omtrent de beweging van een punt dat op een draaiend

voorwerp ligt.

• Bestaat er ook een ogenblikkelijke versnellingspool? Zo ja, is dit hetzelfde punt als de

ogenblikkelijke snelheidspool?

• Waarom zijn de woorden 'zonder glijden' zo belangrijk bij de studie van de kinematica

van 'een cilinder die rolt zonder glijden'?

• Wanneer verkies je de methode met de ogenblikkelijke snelheidspool, en wanneer de

methode op basis van de relatieve kinematica?

• Beschrijf de beweging van wegschuivende ladder. Teken de poolkromme. Probeer een

functievoorschrift te vinden van de poolkromme.

8.8 Vraagstukken


Kinetica van een puntmassa 98


Hoofdstuk 9: Kinetica van een puntmassa

DOELSTELLINGEN:

• Tweede wet van Newton uitleggen en toepassen voor puntmassa’s in verschillende

coördinaatstelsels;

• Principe van arbeid en energie uitwerken om problemen op te lossen m.b.t. kracht,

snelheid en verplaatsing;

• Het begrip conservatieve kracht uitleggen en daaruit de wet van behoud van energie

afleiden;

• Begrippen vermogen en rendement introduceren;

• Principe van lineaire impuls en stoot bij puntmassa’s verklaren en toepassen a.d.h.v.

vraagstukken over kracht, snelheid en tijd;

• Stelling van behoud van impuls bewijzen en beschrijven van elastische en plastische

botsing.



• Hoofdstuk 3


9.1 Inleiding

Hoofdstuk 9 gaat over de kinetica van puntmassa’s, met als basis de tweede wet van

Newton, ook de bewegingsvergelijking genoemd. Deze vectorvergelijking toont het

verband tussen de krachten die inwerken op een puntmassa en de versnelling die het

ondergaat.



Voor sommige praktische problemen blijkt de tweede wet van Newton niet de meest

efficiënte oplossingsmethode. Bijgevolg wordt een tweetal alternatieve methoden

voorgesteld: het principe van kinetische energie en arbeid (wat verder kan herleid

worden naar de wet van behoud van mechanische energie), en het principe van stoot en

impuls. Dat laatste principe zal tevens als basis dienen om de mechanica van plastische

en elastische botsingen te beschrijven.

Om maximaal voordeel te halen uit de drie methoden, dient de lezer in staat te zijn om de

beste en snelste methode uit te kiezen. In sommige gevallen kan het zelfs aangewezen zijn

om de verschillende delen van één vraagstuk op te lossen met verschillende procedures.

9.2 De bewegingsvergelijking

Voor de beweging van een puntmassa geldt de tweede wet van Newton:

∑ �� = 𝑚�� 9-1

Deze wet legt het verband tussen de versnelling van een puntmassa, zijn (constante)

massa en de (gelijktijdig) optredende krachten36. De massa is dus een weerstand

(traagheid) van een puntmassa tegen een verandering van snelheid.

Merk op: In een bijzonder geval zal de som van de inwerkende krachten gelijk 0 zijn, wat

de noodzakelijke voorwaarde is voor statisch evenwicht.

Figuur 9-1: Tweede wet van Newton.

We kunnen twee soorten problemen onderscheiden:

• De krachten die op een puntmassa werken zijn gekend. Welke beweging (baan, snelheid

en versnelling) volgt hieruit?

• De beweging is gekend. Welke krachten (uitwendige reacties) zijn er nodig opdat deze

beweging kan plaatsgrijpen?

Een alternatieve schrijfwijze voor Newtons tweede wet krijgt men door hem neer te

schrijven onder de vorm van dynamisch evenwicht:

36 De wetmatigheid is enkel geldig wanneer de versnelling gemeten wordt in een zogenaamd inertiaalstelsel of Newtoniaans assenstelsel, dat ofwel onbeweeglijk is, ofwel verschuift met een constante snelheid.

F = ma

a

m



∑ �� − 𝑚�� = 0 9-2

De term 𝑚�� stelt dan een virtuele traagheidskracht voor. In deze cursus wordt echter niet

verder gewerkt met deze methode, maar verkiest men vergelijking 9-1.

OPMERKING: Wanneer we te maken hebben met een stelsel van puntmassa’s (ook een ‘systeem’

genoemd), luidt de bewegingsvergelijking:

∑ �� = 𝑚��𝐺 9-3

met ��𝐺 de versnelling van het zwaartepunt van dat stelsel.

De manier waarop we de bewegingsvergelijking in een praktisch meer bruikbare vorm

schrijven, hangt af van het coördinatenstelsel waarin we werken. De vectorvergelijking

dient daarvoor geprojecteerd te worden op 2 (of 3) orthogonale assen.

9.2.1 Cartesische coördinaten

In cartesische coördinaten luiden de bewegingsvergelijkingen:

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 9-4

∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 9-5

∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 9-6

De krachten die voorkomen in deze vergelijkingen kunnen afkomstig zijn van

bijvoorbeeld de zwaartekracht, veerkracht, luchtweerstandskracht, wrijvingskracht, … In

dit laatste geval moet men rekening te houden met de kinetische wrijvingscoëfficiënt (zie

hoofdstuk 5) om het verband te kennen tussen de normaalkracht en de wrijvingskracht.

LUCHTWEERSTAND. Bij het analyseren van een ééndimensionale valbeweging of een

tweedimensionale worp met luchtweerstand wordt een luchtweerstandskracht FD in

rekening gebracht. De grootte van de luchtweerstandskracht is afhankelijk van de grootte

van de relatieve snelheid v van het voorwerp (ten opzichte van de lucht) en werkt tegen

de relatieve beweging in. De mate waarin de luchtweerstand afhangt van snelheid is een

complex gegeven, en onder meer afhankelijk van de vorm en de ruwheid van het

voorwerp37.

Bestaande modellen zijn:

𝐹𝐷 = 𝑏𝑣 9-7

37 Dit wordt uitvoeriger behandeld in het vak toegepaste stromings-en energieleer (2de bach)



waarbij de kracht recht evenredig is met de snelheid. Deze vergelijking is bijvoorbeeld

van toepassing bij een bal die traag door een vloeistof beweegt38.

Voor voorwerpen die door lucht bewegen met een hogere snelheid (zoals vliegtuigen,

auto’s, tennisballen), geldt dat de luchtweerstand min of meer evenredig is met het

kwadraat van de snelheid v, waardoor de formule volgende vorm krijgt:

𝐹𝐷 = (1

2𝐶𝑑𝜌𝐴) 𝑣² 9-8

waarin

Cd een dimensieloze weerstandscoëfficiënt voorstelt. A stelt het frontale oppervlak voor

en de massadichtheid van lucht (ongeveer 1,29 kg/m³ in normale omstandigheden).

Typevoorbeeld 9-1

Een blok van 80 kg rust op een horizontale ondergrond. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen het blok

en de ondergrond is 0,25. Bepaal de grootte van kracht P nodig om het blok een versnelling van 2,5 m/s²

te geven. [Antwoord: P = 535 N]

9.2.2 Normale en tangentiële coördinaten

Wanneer een puntmassa beweegt op een (gekende) kromme in het vlak, wordt de

bewegingsvergelijking:

∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡 9-9

∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑚𝑣2

𝜌 9-10

∑ 𝐹𝑏 = 0 9-11

Bemerk dat er geen versnelling is in de binormaalrichting. De krachtterm uit de tweede

vergelijking wordt ook soms de centripetaalkracht genoemd, omdat deze gericht is naar

het krommingsmiddelpunt.

38 Bijvoorbeeld bij een kogelvalviscometer



Typevoorbeeld 9-2

Een slinger39 met massa m beweegt in het vlak. Indien de spankracht in het touw 2,5 keer het gewicht

van de massa bedraagt, bepaal dan de snelheid en de versnelling van massa m. [Antwoord: v = 5,66 m/s,

at = 4,90 m/s² en an = 16,03 m/s²]

9.2.3 Radiale en transversale component

De bewegingsvergelijkingen in het r-θ vlak worden:

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 9-12

∑ 𝐹𝜃 = 𝑚𝑎𝜃 9-13

Typevoorbeeld 9-3

Een gladde ring (m = 0,5 kg) glijdt over een cirkelvormige baan. Indien de arm draait met ω = 3 rad/s,

bepaal de kracht die de arm uitoefent op de ring op het moment θ = 45°. De beweging gebeurt in het

horizontale vlak. [Antwoord: F = 0 N]

9.3 Arbeid van een kracht

DEFINITIE. Men stelt per definitie de elementaire arbeid, verricht door een kracht:

39 Het type slinger zoals hier afgebeeld heet een mathematische slinger. Deze slinger bestaat uit een puntmassa aan het uiteinde van een massaloos touw.

0,4 m

r=0,8cosθ

O

C

A



𝑑𝑊 ≝ �� ∙ 𝑑𝑟 = 𝐹𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐹𝑡𝑑𝑠 9-14

met 𝑑𝑟 de infinitesimale positieverandering van het punt40, en ds de elementaire

verplaatsing langsheen de baan. De arbeid is dus een scalaire grootheid, bekomen uit twee

vectoriële grootheden. Daarbij speelt niet alleen de grootte van de kracht een rol, maar

ook haar oriëntatie ten opzichte van de beweging. Dit is logisch: hoe beter een kracht

gericht is volgens de beweging, hoe groter haar nuttig effect. Deze arbeid kan positief of

negatief zijn. Staat de kracht loodrecht op de verplaatsing, dan is de arbeid gelijk aan nul.

Figuur 2: Definitie van elementaire arbeid.

Indien een puntmassa tijdens zijn verplaatsing van 𝑟1 naar 𝑟2 onderhevig is aan een

(variabele) kracht ��, is de totale arbeid:

𝑊12 ≝ ∫ �� ∙ 𝑑𝑟𝑟2

𝑟1

= ∫ 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝑠𝑠2

𝑠1

9-15

UITWENDIGE CONSTANTE KRACHT. Als de puntmassa beweegt op een rechte baan en de inwerkende

kracht constant is, vereenvoudigt dit tot:

𝑊12 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑠2 − 𝑠1) 9-16

GEWICHT. Arbeid ten gevolge van een eigengewicht hangt enkel af van de verticale

verplaatsing, en niet van het afgelegde pad. Hierdoor geldt:

𝑊12 = ∫ −𝐺𝑒𝑦 ∙ 𝑑𝑟𝑟2

𝑟1

= −𝐺∆𝑦 9-17

De arbeid is bijgevolg negatief wanneer de puntmassa zich naar boven verplaatst.

VEERKRACHT. Als een veer uitgerekt wordt over een afstand ds, dan is de arbeid uitgeoefend

door de veer gelijk aan 𝑑𝑊 = −𝑘𝑠𝑑𝑠. Als de puntmassa zich verplaatst van s1 naar s2, dan

is de arbeid gelijk aan:

40 Correcter is om de plaatsvector te koppelen aan het aangrijpingspunt van de kracht. In het geval van puntmassa’s is het aangrijpingspunt echter hetzelfde als de puntmassa zelf.



𝑊12 = ∫ −𝑘𝑠𝑑𝑠𝑠2

𝑠1

= − (1

2𝑘𝑠2

2 −1

2𝑘𝑠1

2) 9-18

Figuur 9-3: Arbeid van het eigengewicht en van de kracht uitgeoefend door een veer.

9.4 Arbeid en energie

Ruimtelijke integratie van de tangentiële bewegingsvergelijking ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 (vergelijking

9-9) tussen een begintoestand 1 en een eindtoestand 2 levert:

∑ ∫ 𝐹𝑡𝑑𝑠 =𝑠2

𝑠1

∫ 𝑚𝑣𝑑𝑣 =𝑣2

𝑣1

𝑚𝑣22 − 𝑚𝑣1

2

2= 𝐸𝑘𝑖𝑛,2 − 𝐸𝑘𝑖𝑛,1

9-19

Wetende dat het linker lid ook gelijk is aan ∑ 𝑊12, kan bovenstaande uitdrukking worden

geformuleerd als:

𝐸𝑘𝑖𝑛,1 + ∑ 𝑊12 = 𝐸𝑘𝑖𝑛,2 9-20

waarbij

𝐸𝑘𝑖𝑛 =𝑚𝑣2

2 9-21

de kinetische energie van een puntmassa voorstelt.

Uitdrukking 9-20, dat het verband aangeeft tussen arbeid en kinetische energie van een

puntmassa, mag gebruikt worden ter vervanging van ∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡. Ze bewijst haar nut in

het bijzonder wanneer vraagstukken dienen opgelost te worden waarin de grootheden

kracht, snelheid en verplaatsing van tel zijn.



Figuur 9-4: Afleiding verband tussen arbeid en kinetische energie.

Wanneer glijden zich voordoet, dient bovenstaande vergelijking 9-20 met enige

omzichtigheid te worden toegepast41. Stel dat een blok belast wordt met een uitwendige

kracht P die er voor zorgt dat het met een constante snelheid v over een afstand s over

een ruw oppervlak glijdt, dan geldt volgens het principe van arbeid en energie:

1

2𝑚𝑣2 + 𝑃𝑠 − 𝜇𝑘𝑁𝑠 =

1

2𝑚𝑣2 9-22

Merk op dat de werkelijk geleverde arbeid door de wrijvingskracht berekend wordt met

een gereduceerde afstand s’, die kleiner is dan de werkelijke afstand s. Deze is dus gelijk

aan 𝜇𝑘𝑁𝑠′. Het overblijvende deel 𝜇𝑘𝑁(𝑠 − 𝑠′) vertegenwoordigt dan het energieverlies

(d.w.z. omzetting naar inwendige energie) t.g.v. de wrijvingskrachten.

Typevoorbeeld 9-4

Blok A en B zijn met elkaar verbonden met een kabel, en worden losgelaten vanuit rust. Bepaal de

snelheid van blok A wanneer hij 2 m naar rechts geschoven is. Neem aan dat µk = 0,25 en dat de katrol

massaloos en wrijvingsloos is. [Antwoord: v = 4,43 m/s]

41 De reden is dat we bij vraagstukken over wrijving eerder te maken hebben met een thermodynamisch probleem dan met een zuiver mechanisch probleem. De algemene energiewet, die behandeld wordt in de thermodynamica, kan overweg met het omzetten van arbeid in warmte en inwendige energie. Dit is niet het geval voor de behoudswetten in de mechanica.

300 kg

200 kg

A

B



9.5 Vermogen

De term vermogen is nuttig om te bepalen welk type motor of machine nodig is om een

bepaalde hoeveelheid arbeid in een gegeven tijd te verrichten.

VERMOGEN. Vermogen, steeds uitgedrukt als een scalair, is de arbeid die per tijdseenheid

geleverd wordt:

𝑃 ≝𝑑𝑊

𝑑𝑡 9-23

Voor een kracht F die tijdens het interval dt als constant kan worden beschouwd, is het

vermogen dus:

𝑃 =�� ∙ 𝑑𝑟

𝑑𝑡= �� ∙ �� 9-24

RENDEMENT. Rendement (of efficiëntie) wordt gedefinieerd als de verhouding van nuttig

vermogen en vermogen geleverd aan de machine:

𝜀 =nuttig vermogen

toegevoegd vermogen=

geleverde energie

benodigde energie

9-25

De laatste gelijkheid is enkel geldig in het geval van een stationair werkende machine.

Het rendement van een machine is steeds kleiner dan 1 (of 100%) omdat er een extra

hoeveelheid energie nodig is om inwendige wrijving te overwinnen.

Typevoorbeeld 9-5

Een man verplaatst een 50 kg zware kist met een kracht van 600 N. Bepaal het benodigde vermogen op

t = 4 s. De kinetische wrijvingscoëfficiënt µk = 0,2.

3

4

5

600 N



9.6 Conservatieve krachten - potentiële energie

9.6.1 Conservatieve krachten

Een kracht wordt conservatief genoemd wanneer de arbeid enkel afhangt van begin- en

eindpositie van de kracht op het pad, en dus onafhankelijk is van de baan. Voorbeelden

zijn gewichtskrachten en de kracht ontwikkeld door een veer. Anderzijds is de

wrijvingskracht een voorbeeld van een niet-conservatieve kracht. In dit geval wordt arbeid

omgezet in warmte.

Figuur 9-5: Conservatieve kracht: de arbeid is onafhankelijk van het gevolgde pad.

Voor een conservatieve kracht geldt dat:

𝑊12,𝑐𝑜𝑛𝑠 = 𝐸𝑝𝑜𝑡,1 − 𝐸𝑝𝑜𝑡,2 9-26

Dit wil zeggen dat de arbeid kan geformuleerd worden als een verschil tussen twee

potentiële energietermen. Voor een conservatieve kracht geldt in wiskundige termen ook

dat:

∮ �� ∙ 𝑑𝑟 = 0 9-27

zoals geïllustreerd in Figuur 9-5.

Energie wordt gedefinieerd als de capaciteit om arbeid te verrichten. Uit het verband

tussen arbeid en energie volgt, voor een puntmassa in rust: ∑ 𝑊12 = 𝐸𝑘𝑖𝑛,2. De kinetische

energie, een grootheid die verband houdt met de beweging van een puntmassa, is dus

gelijk aan de arbeid die nodig is de puntmassa een snelheid v mee te geven. Indien energie

afkomstig is van de positie van een puntmassa, wordt van potentiële energie gesproken.

Potentiële energie is bijgevolg de hoeveelheid arbeid die een conservatieve kracht

verricht wanneer de massa zich verplaatst van één positie naar een andere.



9.6.2 Eigengewicht

Een puntmassa die zich een afstand y boven een (arbitrair gekozen) referentiehoogte

bevindt, bezit een potentiële energie:

𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚𝑔𝑦 9-28

9.6.3 Veerkracht

Wanneer een lineair elastische veer ingedrukt of uitgerekt wordt over een afstand s ten

opzichte van zijn rustlengte, wordt er een potentiële energie opgeslagen in de veer:

𝐸𝑝𝑜𝑡 =1

2𝑘𝑠2 9-29

OPMERKING: Uiteraard kan het voorkomen dat een puntmassa zowel aan eigengewicht als aan

veerkracht onderworpen is.

9.7 Behoud van energie

Voorgaande paragraaf illustreerde dat voor een conservatieve kracht geldt (zie 9-26):

(∑ 𝑊12)𝑐𝑜𝑛𝑠

= 𝐸𝑝𝑜𝑡,1 − 𝐸𝑝𝑜𝑡,2 9-30

Indien zowel conservatieve als niet-conservatieve krachten inwerken op een puntmassa,

kan het verband tussen arbeid en energie (paragraaf 9.4) worden herschreven als:

𝐸𝑘𝑖𝑛,1 + 𝐸𝑝𝑜𝑡,1 + (∑ 𝑊12)𝑛𝑖𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠

= 𝐸𝑘𝑖𝑛,2 + 𝐸𝑝𝑜𝑡,2 9-31

Dit is de wet van behoud van energie.

Wanneer er enkel conservatieve42 krachten bij betrokken zijn, kent men deze uitdrukking

als de wet van behoud van mechanische energie:

𝐸𝑘𝑖𝑛,1 + 𝐸𝑝𝑜𝑡,1 = 𝐸𝑘𝑖𝑛,2 + 𝐸𝑝𝑜𝑡,2 9-32

42 Bij vraagstukken is dit typisch het geval wanneer de contacten wrijvingsloos mogen verondersteld worden, en wanneer luchtweerstand e.d. niet in rekening hoeven gebracht te worden. Het is duidelijk dat dit dus altijd een vereenvoudiging van de werkelijkheid betreft.



Typevoorbeeld 9-6

Een 5 kg zware ring wordt losgelaten uit punt A. Bepaal de snelheid van de ring wanneer deze ter hoogte

van C is. De veer heeft een onbelaste lengte van 300 mm. Het contact tussen de ring en de verticale staaf

gebeurt wrijvingsloos. [Antwoord: vC = 2,09 m/s]

9.8 Impuls

9.8.1 Stoot en impuls

Het principe van stoot en impuls is een derde techniek om vraagstukken over dynamica

van puntmassa’s op te lossen.

Tijdsintegratie van de bewegingsvergelijking in vectorvorm tussen een begintoestand 1

en een eindtoestand 2 levert:

∑ ∫ ��𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝑚 ∫ 𝑑��2

��1

= 𝑚��2 − 𝑚��1 9-33

Dit principe van krachtstoot (∫ ��𝑑𝑡) en impuls (𝑚��)43 laat toe om de eindsnelheid van een

puntmassa te bepalen wanneer de inwerkende krachten gegeven zijn. De kracht kan

constant zijn of variëren in functie van de tijd.

Bovenstaande uitdrukking wordt vaak herschreven als:

𝑚��1 + ∑ ∫ ��𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝑚��2 9-34

43 Het Engelse woord impulse heeft dezelfde betekenis als stoot, niet als impuls. Het Engelse woord voor impuls is momentum, niet te verwarren met het woord moment, dat in het Engels torque heet (en daarmee lijkt op het woord torsie, dat het gevolg kan zijn van een moment). Impuls wordt verder ook soms hoeveelheid van beweging genoemd.

AB

C

k = 250 N/m

0,4 m

0,3 m



Figuur 9-6: Principe van stoot en impuls.

Na projectie levert deze vectorvergelijking drie praktisch bruikbare scalaire

vergelijkingen:

𝑚(𝑣𝑥)1 + ∑ ∫ 𝐹𝑥𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= 𝑚(𝑣𝑥)2 9-35

𝑚(𝑣𝑦)1

+ ∑ ∫ 𝐹𝑦𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= 𝑚(𝑣𝑦)2

9-36

𝑚(𝑣𝑧)1 + ∑ ∫ 𝐹𝑧𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= 𝑚(𝑣𝑧)2 9-37

Typevoorbeeld 9-7

Een massa van 50 kg wordt op de grond vanuit rust voorgetrokken door een kracht van 600 N. Bepaal,

wanneer die kracht gedurende 10 s wordt aangelegd, de eindsnelheid en de normaalkracht die de grond

uitoefent op de steen.

9.8.2 Stoot bij meerdere puntmassa’s

Gebruik makend van de bewegingswet toegepast op alle puntmassa’s, wordt de

impulsstelling geschreven als:

∑ 𝑚𝑖(��𝑖)1 + ∑ ∫ ��𝑖𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= ∑ 𝑚𝑖(��𝑖)2 9-38

mv1

mv2

Fdt

3

4

5

600 N



Deze stelling zegt dat de initiële impuls van het geheel van puntmassa’s, vermeerderd met

de stoot van de uitwendige krachten die werken van t1 tot t2, gelijk is aan de finale impuls

van het geheel van puntmassa’s. Gebruik makend van hoofdstuk 6 weten we ook dat:

𝑚(��𝐺)1 + ∑ ∫ ��𝑖𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝑚(��𝐺)2 9-39

met 𝑚��𝐺 de impuls van een fictieve puntmassa met massa m die beweegt met een

snelheid van het massamiddelpunt G van de verzameling puntmassa’s.

9.8.3 Wet van behoud van impuls

Wanneer geen uitwendige krachten op de puntmassa’s werken, geldt de wet van behoud

van impuls:

∑ 𝑚𝑖(��𝑖)1 = ∑ 𝑚𝑖(��𝑖)2 𝑜𝑓 (��𝐺)1 = (��𝐺)2 9-40

De totale impuls van de verschillende puntmassa’s wordt dus behouden. Alternatief kan

men stellen dat de snelheid van het massamiddelpunt niet verandert wanneer geen

uitwendige stoten werken op het systeem. Deze wet is bijvoorbeeld van toepassing bij

interactie (botsing) van puntmassa’s.

Typevoorbeeld 9-8

Twee wagons A (15 ton) en B (12 ton) naderen elkaar met een snelheid van respectievelijk 1,5 m/s en

0,75 m/s. Bepaal de snelheid van beide wagons net na het koppelen, en de (gemiddelde) kracht tussen

beide wagons indien de koppeling 0,8 s duurt. [Antwoord: v = 0,5 m/s en Fgem = 18,8 kN]

9.8.4 Botsing

Een botsing komt voor wanneer twee puntmassa’s gedurende een zeer kort tijdsinterval

met elkaar interageren. Men spreekt van een rechte botsing wanneer de baan van de

massamiddelpunten gelegen is op de rechte die beide massamiddelpunten met elkaar

verbindt. Indien de baan van één van beide puntmassa’s een hoek vormt met deze lijn,

spreekt men van schuine botsing.

1 m/s2 m/s

A B



Figuur 9-7: Rechte en schuine botsing.

9.8.4.1 Rechte botsing

Bij rechte botsing van twee puntmassa’s A en B worden volgende (mechanische) stappen

doorlopen:

Figuur 9-8: Centrale botsing bij twee puntmassa's.

• Beide puntmassa’s hebben een zekere impuls. Indien (𝑣𝐴)1 > (𝑣𝐵)1, is een botsing

onvermijdelijk;

• Tijdens de botsing worden de puntmassa’s vervormbaar verondersteld. Tijdens deze

vervorming oefenen zij een vervormingsstoot ∫ ��𝑑𝑡 uit op elkaar;

• Op het ogenblik van maximale vervorming zullen beide puntmassa’s voortbewegen met

dezelfde snelheid (relatieve snelheid gelijk aan nul);

• Nadien is er een periode van herstel (restitutie), waarin de puntmassa’s terug naar hun

originele vorm teruggaan (elastische botsing) of permanent vervormd blijven (plastische

botsing). De restitutiestoot ∫ ��𝑑𝑡 duwt beide puntmassa’s uit elkaar;

• Net na de scheiding hebben beide puntmassa’s hun finale impuls bereikt, waarbij

(𝑣𝐵)2 > (𝑣𝐴)2.

Toepassing van wet van behoud van impuls levert een eerste verband tussen (𝑣𝐴)2 en

(𝑣𝐵)2. Gezien de baan van beide puntmassa’s gekend en rechtlijnig is, wordt dit verband

uitgedrukt in scalairen44.

𝑚𝐴(𝑣𝐴)1 + 𝑚𝐵(𝑣𝐵)1 = 𝑚𝐴(𝑣𝐴)2 + 𝑚𝐵(𝑣𝐵)2 9-41

44 Vergeet niet om in deze vergelijkingen steeds een teken toe te kennen aan de snelheden.



Een tweede verband tussen beide snelheden haalt men uit de definitie van de

restitutiecoëfficiënt, gegeven door:

𝑒 ≝∫ 𝑅𝑑𝑡

∫ 𝑃𝑑𝑡=

(𝑣𝐵)2 − (𝑣𝐴)2

(𝑣𝐴)1 − (𝑣𝐵)1

9-42

Experimenten hebben uitgewezen dat de waarde afhankelijk is van de impactsnelheid en

van de grootte en de vorm van de puntmassa’s, maar ze ligt steeds tussen 0 en 1. Bij een

perfect elastische botsing is e = 1, bij een perfect plastische vervorming daarentegen is e =

0.

Gebruik van bovenstaande twee vergelijkingen 9-41 en 9-42 laat toe om vraagstukken over

botsingen op te lossen.

OPMERKING: bij een perfect elastische botsing geldt niet enkel het principe van impulsbehoud;

ook de totale kinetische energie blijft behouden45. Bij andere botsingen gaat steeds een

hoeveelheid kinetische energie verloren, hoofdzakelijk onder de vorm van warmte,

permanente plastische vervorming en mindere mate geluid.

Typevoorbeeld 9-9

Een 25 kg zware reistas A wordt vanuit rust losgelaten op een gladde helling, en raakt een andere

stilstaande reistas B (15 kg). De restitutiecoëfficiënt bedraagt 0,3 en de kinetische wrijvingscoëfficiënt

tussen beide reistassen en de (horizontale) grond bedraagt 0,4. Bepaal (a) de snelheid van A net voor de

botsing, (b) de snelheden van A en B net na de botsing, en (c) de afstand waarover B verder schuift tot

wanneer deze opnieuw stil staat.

9.8.4.2 Schuine botsing

Het principe van schuine botsing wordt geïllustreerd aan de hand van een voorbeeld.

Essentieel bij een schuine botsing is om in te zien dat de formule van de

restitutiecoëfficiënt enkel mag gebruikt wordt in de richting van de botsingslijn. De wet

van behoud van impuls blijft sowieso gelden.

45 Dit wil zeggen dat de som van de kinetische energieën van beide partikels voor en na de botsing onveranderd is gebleven.

B

CA

2 m



Typevoorbeeld 9-10

Bepaal de x- en y-componenten van de finale snelheden van schijf A (5 kg) en schijf B (2 kg). De

restitutiecoëfficiënt e = 0,75.

9.9 Impulsmoment

9.9.1 Definitie

Naar analogie met het begrip krachtmoment wordt impulsmoment46 gedefinieerd als het

‘moment’ van de impuls rond een punt O. In vectorvorm wordt dit:

��𝑂 = 𝑟 × 𝑚�� = |𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧

𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧

𝑚𝑣𝑥 𝑚𝑣𝑦 𝑚𝑣𝑧

| 9-43

In tweedimensionale problemen, waarbij een puntmassa volgens een baan in het x-y vlak

beweegt, zal eerder de scalaire notatie worden gebruikt:

𝐻𝑂 = 𝑑(𝑚𝑣) 9-44

waarbij d de loodrechte afstand voorstelt tussen de werklijn van 𝑚�� en het punt O.

9.9.2 Verband tussen krachtmoment en impulsmoment

Uit de tweede wet van Newton leiden we snel af dat:

��𝑂 = ∑ ��𝑂

9-45

Dit betekent dat de resultante van alle krachtmomenten t.o.v. een punt O gelijk is aan de

tijdsafgeleide van het impulsmoment t.o.v. een punt O.

46 Het impulsmoment wordt ook het ‘moment van hoeveelheid van beweging’ genoemd.

4

3

5

10 m/s

8 m/s

A

B

y

x



9.9.3 Verband tussen stootmoment en impulsmoment

Analoog met het principe van stoot en impuls schrijft men:

𝐻𝑂

1+ ∑ ∫ 𝑀𝑂

𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝐻𝑂

2

9-46

Als de puntmassa volgens een baan in het x-y vlak beweegt, levert de scalaire notatie:

(𝐻𝑂)1 + ∑ ∫ 𝑀𝑂𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= (𝐻𝑂)2 9-47

Typevoorbeeld 9-11

Twee bollen, elk met een massa van 3 kg, zijn verbonden d.m.v. een staaf met verwaarloosbare massa.

Bereken hoe lang het koppel M = (8t) Nm, met tijd t in seconden, moet uitgeoefend worden tot wanneer

elke bol een snelheid 3 m/s bereikt (vanuit rust).


• Hoe luidt de tweede wet van Newton in vectorvorm? Stel deze grafisch voor.

• Als je een voorwerp met een constante snelheid over een tafeloppervlak wil schuiven,

moet je blijvend een kracht uitoefenen. Is dit in tegenstrijd met de tweede wet van

Newton?

• Hoe wordt arbeid van een kracht gedefinieerd? Is dit een vectoriële grootheid of een

scalaire grootheid?

• Leid op basis van de tweede wet van Newton het verband tussen kinetische energie en

arbeid af. Illustreer dit principe met een eenvoudig praktisch voorbeeld.

• Hoe wordt kinetische energie van een puntmassa gedefinieerd? Is dit een vectoriële

grootheid of een scalaire grootheid?

• Wat is een conservatieve kracht? Geef enkele voorbeelden van conservatieve krachten.

• Geef enkele voorbeelden van niet-conservatieve krachten.

• Vanwaar komt het woord 'conservatief'?

0,4 m

0,4 m

M



• Wat is potentiële energie? Is dit een vectoriële grootheid of een scalaire grootheid?

• Leid op basis van het verband tussen kinetische energie en arbeid de wet van

mechanisch energiebehoud af.

• Wat is het verschil tussen de energiebehoudswet en de wet van behoud van

mechanische energie? Geef enkele realistische voorbeelden waarbij het principe van

behoud van mechanische energie kan toegepast worden.

• Wat is impuls? Is dit een vectoriële grootheid of een scalaire grootheid?

• Wat is krachtstoot? Is dit een vectoriële grootheid of een scalaire grootheid?

• Toon op basis van de tweede wet van Newton het verband tussen krachtstoot en impuls

aan.

• Toon de wet van impulsbehoud aan. Wanneer is deze geldig?

• Beschrijf in een aantal (mechanische) stappen hoe een botsing verloopt tussen twee

puntmassa's. Maak bij de uitleg steeds gebruikt van de optredende krachtstoten.

• Leid een uitdrukking af voor de restitutiecoëfficiënt e. Waarvoor wordt deze grootheid

gebruikt?

• Wat is het verschil tussen een rechte en een schuine botsing?

• Hoe bepaal je of je beter met een x,y assenstelsel werkt of met een t,n assenstelsel?

• Wanneer mag/moet je kiezen voor (i) de tweede wet van Newton (ii) een

energiegebaseerde methode (iii) het principe van krachtstoot en impuls bij het oplossen

van vraagstukken?

• Stel dat je kiest voor een energiegebaseerde methode. Wanneer gebruik je het principe

van (i) kinetische energie en arbeid, (ii) behoud van energie (iii) behoud van

mechanische energie?

• Hoe kan je in de praktijk op een relatief eenvoudige manier de restitutiecoëfficiënt

bepalen? Op welke principes uit de mechanica berust dit alles? Wat is het verschil tussen

een elastische en een plastische botsing? Geef van beide een voorbeeld.

• Waarom wordt het eigengewicht soms verwaarloosd bij het bestuderen van

vraagstukken met het principe van krachtstoot en impuls?

• Hoe komt het dat de wet van behoud van mechanische energie wiskundig kan bewezen

worden? Is het niet zo dat de energiebehoudswet een empirische wet was (en waarvoor

dus geen bewijs bestaat)?

• Als men praat over 'energieverlies' bij botsing tussen twee puntmassa’s, waar gaat deze

energie dan heen?

• Bij een botsing heb je steeds behoud van impuls, maar niet per se behoud van energie.

Is deze stelling juist? Hoe komt dit eigenlijk? Waarom lijkt de wet van behoud van impuls

voorrang te hebben op de wet van behoud van energie?

• Wat is het begrip traagheidskracht?

• Wat heeft het begrip conservatief te maken met het begrip kringintegraal uit de

wiskundige analyse?

• Wat is een inertiaalreferentiestelsel? Illustreer waarom de tweede wet van Newton niet

van toepassing is in een niet-inertiaalreferentiestelsel.



• Kan je de wet van behoud van energie in verband brengen met deze dit behandeld wordt

in de lessen thermodynamica?

• Hoe werkt 'Newtons cradle'? Zoek naar een filmpje en probeer uit te leggen op welke

principes uit de mechanica dit berust.

9.11 Vraagstukken


Kinetica van een voorwerp 118


Hoofdstuk 10: Kinetica van een voorwerp

DOELSTELLINGEN:

• Massatraagheidsmoment introduceren en berekenen van massatraagheidsmomenten

van (samengestelde) voorwerpen;

• Beweging beschrijven van een voorwerp tijdens translatie en/of rotatie in het vlak;

• Kinetische energie bepalen van een voorwerp tijdens translatie en/of rotatie in het vlak;

• Energiemethoden opstellen en gebruiken bij voorwerpen.


• Hoofdstuk 6

• Hoofdstuk 7

10.1 Inleiding

In dit afsluitende hoofdstuk komen - niet onverwacht - tal van onderwerpen samen aan

bod die in de voorgaande hoofdstukken reeds behandeld werden. Er wordt bekeken wat

het effect is van krachten en/of koppels die inwerken op voorwerpen met eindige

afmetingen. Dit gebeurt aan de hand van twee dynamische evenwichtsvergelijkingen, een

translatie- en een rotatie-evenwichtsvergelijking. Bij de rotatie-evenwichtsvergelijking

zal het begrip massatraagheidsmoment een belangrijke rol spelen.

Net zoals in voorgaand hoofdstuk wordt ook een alternatieve methode behandeld,

steunend op het principe van het behoud van mechanische energie.



10.2 Massatraagheidsmoment

10.2.1 Definitie

Het massatraagheidsmoment I is een eigenschap van een voorwerp dat wordt

gedefinieerd als:

𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚𝑚

= ∫ 𝑟2𝜌𝑑𝑉𝑚

10-1

De krachtarm r is de loodrechte afstand van de as waarrond het traagheidsmoment

berekend wordt tot het oneindig kleine elementje met massa dm. De grootte van I is dus

steeds afhankelijk van de as waarrond het traagheidsmoment dient bepaald te worden.

Vaak wordt deze as gekozen door het massamiddelpunt G van het voorwerp, loodrecht op

het bewegingsvlak; het massatraagheidsmoment wordt dan aangegeven met IG.

Verder (paragraaf 10.3.1) zal blijken dat de grootheid I een weerstand tegen

hoekversnelling weergeeft. Het begrip is dus enigszins te vergelijken met massa, dat een

weerstand tegen versnelling is.

Figuur 10-1: Principe van een massatraagheidsmoment berekend ten opzichte van de y-as.



Typevoorbeeld 10-1

Bereken het massatraagheidsmoment van deze staaf rond het (linker of rechter) uiteinde van de staaf.

[Antwoord: I = mL²/3]

10.2.2 Verschuivingsformule

Wanneer IG gekend of gegeven is, kan het traagheidsmoment rond een andere as, parallel

aan de eerste as en op een loodrechte afstand d gelegen, berekend worden met behulp

van de verschuivingsformule47:

𝐼𝐴𝐴′ = 𝐼𝐵𝐵′ + 𝑚𝑑2 10-2

Figuur 10-2: Verschuivingsformule voor het berekenen van massatraagheidsmomenten. De as BB’ gaat door het zwaartepunt G.

Deze formule wordt in de praktijk vaak gebruikt om het massatraagheidsmoment van

samengestelde voorwerpen te berekenen, bestaande uit schijven, balken en staven…

10.2.3 Traagheidsstraal

Als alternatief voor I gebruikt men soms het begrip traagheidsstraal k (of gyratiestraal of

gyrostraal) om het massatraagheidsmoment te bepalen. Het verband tussen beide

grootheden wordt gegeven door:

47 De verschuivingsformule wordt ook de stelling van Steiner of de evenwijdige-assenstelling genoemd.

x

y

zL

A’

B’

A

B

G

d



𝐼 = 𝑚𝑘2 met 𝑘 ≝ √𝐼

𝑚 10-3

10.2.4 Samengestelde voorwerpen

Het massatraagheidsmoment van een samengestelde constructie bepaalt men als

algebraïsche som van de afzonderlijke massatraagheidsmomenten. Om deze som te

bepalen dient men vrijwel altijd gebruik te maken van de verschuivingsformule

(paragraaf 10.2.2).

10.3 Bewegingsvergelijkingen in het vlak

10.3.1 Algemene vergelijkingen

Elke beweging van een voorwerp dient te voldoen aan de translatievergelijking en aan de

rotatievergelijking.

Figuur 10-3: Voorwerp belast met willekeurige krachten en koppels.

TRANSLATIEVERGELIJKING. Wanneer de bewegingsvergelijking op ieder deeltje van het voorwerp

wordt toegepast komt men tot volgende conclusie: De som van alle uitwendige krachten

die werken op een voorwerp is gelijk aan de massa van het voorwerp vermenigvuldigd

met de versnelling van het massamiddelpunt. Deze vergelijking is de translatievergelijking

voor het massamiddelpunt van een voorwerp.

∑ �� = 𝑚��𝐺 10-4

G

F2

F3 F4

F1

α

M2

M1

ωG



ROTATIEVERGELIJKING. We begroten daarvoor de effecten ten gevolge van de momenten van

uitwendige krachten rond een as door een willekeurig gekozen punt P van het voorwerp:

(��𝑃)𝑖

= 𝑟 × 𝑚𝑖��𝑖

= 𝑚𝑖𝑟 × (��𝑃 + �� × 𝑟 − 𝜔2𝑟)

= 𝑚𝑖(𝑟 × ��𝑃 + 𝑟 × (�� × 𝑟) − 𝜔2𝑟 × 𝑟)

= 𝑚𝑖(𝑟 × ��𝑃 + 𝑟 × (�� × 𝑟))

Na uitwerken en gelijk stellen van de z-component van beide leden wordt deze

vergelijking:

(𝑀𝑝)𝑖 = 𝑚𝑖[−𝑦(𝑎𝑃)𝑥 + 𝑥(𝑎𝑃)𝑦 + 𝛼𝑟2]

Na sommatie, respectievelijk integratie van deze uitdrukking over de hele massa m levert

dit:

∑ 𝑀𝑃 = − (∫ 𝑦𝑑𝑚𝑚

) (𝑎𝑃)𝑥 + (∫ 𝑥𝑑𝑚𝑚

) (𝑎𝑃)𝑦

+ (∫ 𝑟2𝑑𝑚𝑚

) 𝛼 = −��𝑚(𝑎𝑃)𝑥 + ��𝑚(𝑎𝑃)𝑦 + 𝐼𝑃𝛼 10-5

Merk op dat ∑ 𝑀𝑃 hier uitsluitend staat voor het effect van uitwendige krachten. In de

laatste term stelt IP het massatraagheidsmoment voor van het voorwerp ten opzichte van

een as door P.

Figuur 10-4: Illustratie rotatievergelijking bij een voorwerp.

Samenvattend stellen we dat de beweging van een voorwerp in het vlak volledig bepaald

wordt door translatie- en rotatievergelijkingen 10-4 en 10-5.

Vergelijking 10-5 kan theoretisch voor elke situatie gebruikt worden, maar in de praktijk

is het veelal eenvoudiger om het punt P te laten samenvallen met het massamiddelpunt G

van het voorwerp in kwestie. In dit geval wordt de vergelijking 10-5 ingekort tot:

∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺𝛼 10-6



De som van de momenten van alle uitwendige krachten rond G is gelijk aan het

massatraagheidsmoment berekend rond een as die door G gaat, vermenigvuldigd met de

hoekversnelling van het voorwerp.

Ter informatie wordt hieronder advies gegeven over hoe de translatie- en

rotatievergelijking gebruikt kan worden in geval van de drie welbekende bewegingen:

zuivere translatie, zuivere rotatie en de algemene beweging.

10.3.2 Zuivere translatie

De translatie(vector)vergelijking 10-4 wordt vaak geschreven in cartesische coördinaten

(voor een rechtlijnige translatie) of in normale/tangentiële coördinaten (voor een

kromlijnige translatie). De hoekversnelling α is steeds gelijk aan 0.

10.3.2.1 Rechtlijnige translatie

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑥 10-7

∑ 𝐹𝑦 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑦 10-8

∑ 𝑀𝐺 = 0 10-9

Typevoorbeeld 10-2

Een dragster heeft een m = 1500 kg en staat initieel stil. Ga na of het mogelijk is voor de piloot om de

voorwielen van de grond te krijgen terwijl de achterwielen doorslippen. Verwaarloos de massa van de

wielen en neem aan dat de voorwielen rollen. De kinetische wrijvingscoëfficiënt µk tussen de achterwielen

en de grond bedraagt 0,6. [Antwoord: Fs = 8829 N, dus niet mogelijk]

10.3.2.2 Kromlijnige translatie

∑ 𝐹𝑛 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑛 10-10

∑ 𝐹𝑡 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑡 10-11

∑ 𝑀𝐺 = 0 10-12

0,25 m

0,3 m

B2,5 m1 m

G

A



Typevoorbeeld 10-3

Een horizontale stang AB van 100 kg hangt aan twee kleinere stangen AC en BD (met verwaarloosbare

massa). Bepaal de kracht die in beide stangen ontstaat, als op het moment θ = 30° beide stangen met

een hoeksnelheid van 6 rad/s (wijzerzin) draaien. [Antwoord: TAC = TBD = 1,32 kN]

10.3.3 Zuivere rotatie om een vaste as

Zuivere rotatie van een voorwerp (met een zwaartepunt in G) rond een as door punt O,

wordt gekenmerkt door:

∑ 𝐹𝑛 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑛 = 𝑚𝜔2𝑟𝐺 10-13

∑ 𝐹𝑡 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑡 = 𝑚𝛼𝑟𝐺 10-14

∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺𝛼 10-15

Er kan aangetoond worden dat vergelijking 10-15 eveneens mag vervangen worden door:

∑ 𝑀𝑂 = 𝐼𝑂𝛼 10-16

Voor het berekenen van het traagheidsmoment IO kan gebruikt gemaakt worden van de

verschuivingsformule.

Typevoorbeeld 10-4

A

C D

B

0,3 m 0,8 m 0,3 m

30° 30°

0,5

m

20 kg



Een trommel (met straal 0,4 m) heeft een massa van 60 kg en een traagheidsstraal k0 = 0,25 m. Bepaal

de hoekversnelling van de trommel op het moment dat het blok vanuit stilstand wordt losgelaten.

[Antwoord: α = 11,3 rad/s²]

10.3.4 Gelijktijdige translatie en rotatie

Figuur 10-5: Effect van krachten op de beweging van een voorwerp.

De drie bewegingsvergelijking bij een samengestelde beweging zijn:

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑥 10-17

∑ 𝐹𝑦 = 𝑚(𝑎𝐺)𝑦 10-18

∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺𝛼 10-19

OPMERKING 1: Een bijzondere situatie krijgt men bij voorwerpen onderhevig aan wrijving.

Afhankelijk van de situatie zal men dan, naast de drie bovenstaande vergelijkingen,

gebruik maken van een vierde vergelijking: een wrijvingsvoorwaarde uit hoofdstuk 6

(statische of kinetisch wrijvingskracht).

OPMERKING 2: Vaak dient men ook nog gebruik te maken van additionele vergelijkingen uit de

kinematica (zie hoofdstuk 8).

OPMERKING 3: Zoals eerder vermeld, hoeft vergelijking 10-19 niet gebruikt te worden.

Desgewenst kan men terugvallen op de steeds geldende vergelijking 10-5.

G G

F2

F3

F4

F1

maG

IGα



Typevoorbeeld 10-5

Een koord wordt rond een haspel gewonden en horizontaal belast met een kracht van 200 N. De haspel

heeft een massa van 50 kg en een traagheidsstraal k0 = 70 mm. Wetende dat µs = 0,2 en µk = 0,15, bepaal

de versnelling van G en de hoekversnelling van de haspel. [Antwoord: aG = 2,53m/s² en α = 18,94 rad/s²

]

10.4 Arbeid en energie

10.4.1 Kinetische energie

We bepalen de kinetische energie van een voorwerp dat gelijktijdig een rotatie en een

translatie ondergaat. De kinetische energie van een willekeurige ide puntmassa van een

voorwerp is 𝐸𝑘𝑖𝑛,𝑖 = 1 2 𝑣𝑖2⁄ 𝑑𝑚. De kinetische energie van het volledige voorwerp is dan:

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2∫ 𝑣𝑖

2 𝑑𝑚𝑚

10-20

De snelheden ��𝑖 kan men ook uitdrukken ten opzichte van een willekeurig punt P op het

voorwerp:

��𝑖 = ��𝑃 + ��𝑖/𝑃

= [(𝑣𝑃)𝑥 − 𝜔𝑦]𝑒𝑥 + [(𝑣𝑃)𝑦 + 𝜔𝑥]𝑒𝑦

Het kwadraat van de grootte van de snelheid levert:

𝑣𝑖2 = 𝑣𝑃

2 − 2(𝑣𝑃)𝑥𝜔𝑦 + 2(𝑣𝑃)𝑦𝜔𝑥 + 𝜔2𝑟2

200 NG

100 mm 60 mm



Figuur 10-6: Kinetische energie van een voorwerp.

De totale kinetische energie is bijgevolg:

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2(∫ 𝑑𝑚

𝑚

) 𝑣𝑃2 − (𝑣𝑃)𝑥𝜔 (∫ 𝑦𝑑𝑚

𝑚

)

+(𝑣𝑃)𝑦𝜔 (∫ 𝑥𝑑𝑚𝑚

) +1

2𝜔2 (∫ 𝑟2𝑑𝑚

𝑚

)

=1

2𝑚𝑣𝑃

2 − (𝑣𝑃)𝑥𝜔��𝑚 + (𝑣𝑃)𝑦𝜔��𝑚 +1

2𝐼𝑃𝜔2

10-21

Wanneer we voor de eenvoud P laten samenvallen met het massamiddelpunt G, wordt

vergelijking 10-21 vereenvoudigd tot

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝑚𝑣𝐺

2 +1

2𝐼𝐺𝜔2 10-22

Dit is de som van kinetische energie van translatie en kinetische energie van rotatie rond

het massamiddelpunt. Beide termen in deze uitdrukking zijn altijd positief.

ZUIVERE TRANSLATIE. Bij een translatie is ω = 0, waardoor de kinetische energie geschreven wordt

als

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝑚𝑣𝐺

2 10-23

ZUIVERE ROTATIE. In het bijzondere geval van een rotatie rond een vaste as door een punt O, dat

verschillend is van G, zal vG = rGω. De kinetische energie kan dan eveneens geschreven

worden als

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝐼𝑂𝜔2 10-24

Deze laatste uitdrukking is uiteraard ook geldig voor een samengestelde beweging,

tenminste op het moment dat punt O de ogenblikkelijke snelheidspool is. Op dat ogenblik

voert het voorwerp ten slotte een (zuivere) rotatie uit ten opzichte van O.



Voor een systeem samengesteld uit meerdere voorwerpen is de totale kinetische energie

de algebraïsche som van de kinetische energie van elk voorwerp apart. De afzonderlijke

kinetische energieën voor de verschillende voorwerpen worden steeds met

bovenstaande formules bepaald.

Typevoorbeeld 10-6

Bereken de totale kinetische energie van dit systeem. De katrol weegt 25 kg en heeft een traagheidsstraal

k0 = 0,24 m. Veronderstel dat geen van beide kabels slipt over de katrol. [Antwoord: Ekin = 728 J]

10.4.2 Arbeid

KRACHT. Arbeid ten gevolge van een kracht werd al in paragraaf 9.3 behandeld.

KOPPEL. De arbeid ontwikkeld door een (variabel) koppel M op een voorwerp dat een rotatie

van θ1 naar θ2 ondergaat is

𝑊12 = ∫ 𝑀𝑑𝜃 = 𝑀(𝜃2 − 𝜃1)𝜃2

𝜃1

10-25

De laatste gelijkheid is enkel van toepassing wanneer de grootte van het koppel M

constant is tijdens de rotatie.

10.4.3 Arbeid en energie

Naar analogie met de theorie van puntmassa’s geldt:

𝐸𝑘𝑖𝑛,1 + ∑ 𝑊12 = 𝐸𝑘𝑖𝑛,2 10-26

waarin de kinetische energie zowel een rotatie-component als een translatie-component

kan hebben. De arbeid W12 is het gevolg van uitwendige krachten en/of koppels. Deze

AB 15 kg

10 kg

ω = 20 rad/s

0,2 m0,4 m



vergelijking geeft aan dat de oorspronkelijke kinetische translatie- en rotatie-energie, plus

de arbeid die verricht wordt door alle uitwendige krachten en koppels die op het

voorwerp inwerken wanneer dit van zijn begin naar zijn eindpositie beweegt, gelijk is aan

de uiteindelijke kinetische translatie- en rotatie-energie van het voorwerp.

Typevoorbeeld 10-7

Een 15 kg zware ladder wordt tegen een muur geplaatst onder een hoek θ = 45°. Indien de ladder

wegglijdt, bepaal dan de hoeksnelheid van de ladder net voor deze de grond raakt (θ = 0°). Verwaarloos

het effect van wrijving. [Antwoord: ω = 2,9 rad/s]

10.4.4 Wet van behoud van energie

Naar analogie met paragraaf 9.7 is de wet van behoud van energie eveneens geldig voor

voorwerpen, voor zover enkel conservatieve krachten voorkomen in het probleem:

𝐸𝑘𝑖𝑛,1 + 𝐸𝑝𝑜𝑡,1 = 𝐸𝑘𝑖𝑛,2 + 𝐸𝑝𝑜𝑡,2 10-27

Deze wet is eveneens geldig voor samengestelde voorwerpen. De krachten die optreden

in de contactpunten (scharnieren e.d.) mogen echter niet in rekening worden gebracht.

2,4 mѲ

A

B



Typevoorbeeld 10-8

Een schijf (10 kg) is verbonden met een staaf (2 kg). De mof bij C weegt 0,5 kg. Ze worden losgelaten

vanuit rust (θ = 45°). Bepaal de snelheid van C wanneer de stang horizontaal komt te liggen, d.w.z. bij θ

= 0°. Neem aan dat de schijf rolt zonder slippen. De wrijving ter hoogte van C mag verwaarloosd worden.

[Antwoord: vc = 4,01 m/s]


• Schrijf op hoe je systematisch te werk gaat om een vraagstuk over dynamica van een

voorwerp op te lossen. Welke stappen moet je doorlopen?

• Welke drie basisvergelijkingen heb je steeds ter beschikking om een probleem uit de

dynamica op te lossen.

• Wat is een massatraagheidsmoment en een traagheidsstraal? Wat heeft dit begrip met

rotatie te maken.

• Wat is de fysische betekenis van een traagheidsstraal? Biedt deze grootheid een

voordeel ten opzichte van werken met een traagheidsmoment?

• Wat is een slagcentrum of percussiecentrum?

• Bereken het massatraagheidsmoment van een aantal eenvoudige geometrieën, zoals

een staaf, een schijf, een halve schijf, een rechthoek.

• Veroorzaakt de wrijvingsweerstand bij rollen zonder glijden arbeid of niet?

• Hoe weet je met zekerheid of een willekeurig vraagstuk eigenlijk over statica of over

dynamica gaat?

10.6 Vraagstukken

Zie werkcollege 12

0,24 m

0,9 m

A

C

B

Ѳ

Inhoudsopgave 1 Hoofdstuk 1: Algemene begrippen...

Documents

Transcript of Inhoudsopgave 1 Hoofdstuk 1: Algemene begrippen...