Wiskunde Leerjaar 2 - periode 2 Rekenen met letters

Hoofdstuk 1 - Eigenschappen

De commutatieve eigenschap

1. Teldevolgendegetallenbijelkaarop:

a) �

b) �

c) �

d) Maakthetuitinwelkevolgordejetweegetallenbijelkaaroptelt?…………………

e) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

2. Trekdevolgendegetallenvanelkaaraf:

a) �

b) �

c) �

d) MaakthetuitinwelkevolgordejetweegetallenvanelkaaraCrekt?…………………

e) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

3. Vermenigvuldigdevolgendegetallenmetelkaar:

a) �

b) �

c) �

d) Maakthetuitinwelkevolgordejetweegetallenmetelkaarvermenigvuldigt?…………………

e) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

4. Deeldevolgendegetallendoorelkaar:

a) �

b) �

c) �

d) Maakthetuitinwelkevolgordejetweegetallendoorelkaardeelt?…………………

e) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

5. AlsdevolgordevandegetallenindebewerkingNIETuitmaakt,danisdebewerkingcommutaOef.Geefhieronderaanofdebewerkingenwel/nietcommutaOefzijn.

a) Debewerkingoptelleniswel/nietcommutaOef.

b) DebewerkingaCrekkeniswel/nietcommutaOef.

c) Debewerkingvermenigvuldigeniswel/nietcommutaOef.

d) Debewerkingdeleniswel/nietcommutaOef.

2+ 3= ..........3+ 2 = ..........⎧⎨⎩

6+8 = ..........8+ 6 = ..........⎧⎨⎩

15+ 20 = ..........20+15= ..........

⎧⎨⎩

a + b = b+ a

2− 3= ..........3− 2 = ..........⎧⎨⎩

6−8 = ..........8− 6 = ..........⎧⎨⎩

15− 20 = ..........20−15= ..........

⎧⎨⎩

a − b = b− a

2× 3= ..........3× 2 = ..........⎧⎨⎩

6×8 = ..........8× 6 = ..........⎧⎨⎩

10× 20 = ..........20×10 = ..........

⎧⎨⎩

a × b = b× a

10 ÷ 2 = ..........2 ÷10 = ..........

⎧⎨⎩

12 ÷ 4 = ..........4 ÷12 = ..........

⎧⎨⎩

100 ÷ 20 = ..........20 ÷100 = ..........

⎧⎨⎩

a ÷ b = b÷ a

© 2018 H.J. Riksen

a × b = b× aa + b = b+ a

Decommuta*eveeigenschap

De associatieve eigenschap

6. Rekendezeopgavenuit:

a) �

b) �

c) Maakthetuitwaarjedehaakjesplaatstineenoptellingvandriegetallen?…………………

d) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

7. Rekendezeopgavenuit:

a) �

b) �

c) MaakthetuitwaarjedehaakjesplaatstineenaCreksomvandriegetallen?…………………

d) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

8. Rekendezeopgavenuit:

a) �

b) �

c) Maakthetuitwaarjedehaakjesplaatstineenvermenigvuldigingvandriegetallen?…………………

d) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

9. Rekendezeopgavenuit:

a) �

b) �

c) Maakthetuitwaarjedehaakjesplaatstineendeelsomvandriegetallen?…………………

d) Kunjenuzeggendatinhetalgemeengeldt:� ?…………………

10. AlshetNIETuitmaaktwaardehaakjesstaanineenbewerkingvanmeerderegetallen,danisdebewerkingassociaOef.Geefhieronderaanofdebewerkingenwel/nietcommutaOefzijn.

a) Debewerkingoptelleniswel/nietassociaOef.

b) DebewerkingaCrekkeniswel/nietassociaOef.

c) Debewerkingvermenigvuldigeniswel/nietassociaOef.

d) Debewerkingdeleniswel/nietassociaOef.

2+ 3( )+ 4 = ..........2+ 3+ 4( ) = ..........

⎧⎨⎪

⎩⎪

6+8( )+ 9 = ..........6+ 8+ 9( ) = ..........⎧⎨⎪

⎩⎪

a + b( )+ c = a + b+ c( )

12− 6( )− 4 = ..........12− 6− 4( ) = ..........⎧⎨⎪

⎩⎪

16−5( )− 3= ..........16− 5− 3( ) = ..........⎧⎨⎪

⎩⎪

a − b( )− c = a − b− c( )

2× 3( )× 4 = ..........2× 3× 4( ) = ..........

⎧⎨⎪

⎩⎪

6×8( )× 9 = ..........6× 8× 9( ) = ..........⎧⎨⎪

⎩⎪

a × b( )× c = a × b× c( )

12 ÷ 6( )÷ 2 = ..........12 ÷ 6 ÷ 2( ) = ..........⎧⎨⎪

⎩⎪

100 ÷10( )÷5= ..........100 ÷ 10 ÷5( ) = ..........⎧⎨⎪

⎩⎪

a ÷ b( )÷ c = a ÷ b÷ c( )

© 2018 H.J. Riksen

a × b( )× c = a × b× c( )a + b( )+ c = a + b+ c( )

Deassocia*eveeigenschap

De distributieve eigenschap

11. Rekendezeopgavenuit:

a) �

b) �

c) �

Alsjeeengetalvermenigvuldigtmeteenoptellingtussenhaakjes,krijgjedezelfdeuitkomstalswanneerjedatgetalvermenigvuldigtmetdeafzonderlijkegetallenindieoptelling.Inhetalgemeenkunjestellen:

�

DitnoemenwededistribuOeveeigenschap.DeeigenschapisookvantoepassingalséénofmeergetallennegaOefzijn.

12. Schrijfdevolgendeopgaveneerstzonderhaakjesenrekendaarnauit.Voorbeeld:

� �

a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

13. Schrijfdevolgendeopgaveneerstmethaakjesenrekendaarnauit.Voorbeeld:

� �

a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

2× (3+ 4) = ..........2× 3+ 2× 4 = ..........

⎧⎨⎩

5× (2+ 7) = ..........5× 2+5× 7 = ..........⎧⎨⎩

10× (4+ 3) = ..........10× 4+10× 3= ..........⎧⎨⎩

a × (b+ c) = a × b+ a × c

4× 3+5( ) = 4× 3+ 4×5= 12+ 20 = 326× 2+8( ) = ..........7 × 4+ 6( ) = ..........2× 1

2 + 14( ) = ..........

5× 10− 2( ) = ..........3× 7 − 1

5( ) = ..........4× −5+ 4( ) = ..........8× −1− 4( ) = ..........

6× 2 + 6× 4 = 6× 2+ 4( ) = 6× 6 = 365× 3 + 5×1=1×14 + 1× 6 =7 × 2 + 7 ×5=4× 6 + 4×8 =10×13 + 10× 4 =8× 2 + 8× 9 =2×11 + 2×5=

© 2018 H.J. Riksen

Dedistribu*eveeigenschap

a × (b+ c) = a × b+ a × c

Hoofdstuk 2 - Letters

Schrijfwijze

I. Als � , � en � getallen voorstellen, wordt bij vermenigvuldiging het vermenigvuldigingsteken � meestal weggelaten.

Voorbeelden: � wordt geschreven als � en � wordt geschreven als � .

II. Het is gebruikelijk de letters in alfabetische volgorde te zetten, met de getallen daarvoor. Getal 1 wordt als factor weggelaten.

Voorbeelden: � wordt geschreven als � � wordt geschreven als � � wordt geschreven als �

III. Een optelling van termen met letters kun je korter schrijven als de letters, of de lettergroepjes, gelijk zijn.

Voorbeelden: � � � �

1. Schrijfkorter/werkuit:

a) �

b) � c) � d) � e) �

f) �

g) � h) � i) �

2. Schrijfkorter/werkuit:a) � b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

3. Schrijfkorter/werkuit.Denkdaarbijgoedomdevolgorde;eersthaakjes,dankwadraten/wortels,dandanvermenigvuldigen/delen,danoptellen/aCrekken:

a) � b) �

c) �

d) �

TIP:kijkopwww.wiskundeacademie.nlvoorfilmpjesmetuitleg.h8ps://wiskundeacademie.nl/onderwerpen/le8errekenen-de-basis

a b c×

2× a × b× c 2abc 5× a + b( ) 5 a + b( )

1× a a1× b× a ab−1× b× a −ab

7x + 4x = 11x2ab+5ab = 7ab8x +5y − 2x = 6x +5y2ab−5ab+ 7ac +16ab = 13ab+ 7ac

2a × 3c ×5b =−2a × −3c × −5b =2× −3÷ 6× a =2× −3c ÷ 6c =5× −7x × 4y =y × 3x × 4 =

2a × −c × 3b =3a × 4a =−xy × 2yz =

2a +5a =3xy − 4xy =

2a + 3ab− 3a − 4ab =5a − 2b+ 7c −5a =5a + 3a − b−8a + b =

10x + 2y − y −8x + z =x + x − y +5x =

2ab− 3ab+5ab− 7ab =

4× 2a +5× a =−3× x + 10× −2x =2x × −3y + y × 2x +5y × −2z − 3z × −8y =−3p × 4q + − 6q × − p =

© 2018 H.J. Riksen

Hoofdstuk 3 - Haakjes wegwerken � Regel 1 �

Vermenigvuldig term K één voor één met de termen a en b die tussen haakjes staan. Cijfers vóór de letters plaatsen en letters altijd op alfabetische volgorde.

Voorbeeld 1 �

Voorbeeld 2 � Voorbeeld 3 �

Voorbeeld 4 �

1. Werkdehaakjesweg:a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

Letnuophetmin-teken

�

2. Werkdehaakjesweg:a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

K a + b( ) = Ka + Kb

2 3+ 4( ) = 2× 7 = 142 3+ 4( ) = 2× 3 + 2× 4 = 6+8 = 14

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 a + 4( ) = 2× a + 2× 4 = 2a +8

2 a + b( ) = 2× a + 2× b = 2a + 2b

2a a + b( ) = 2a × a + 2a × b = 2a2 + 2ab

2b a + b( ) =a 3b+ a( ) =b 4+ 2b( ) =3a a + 2b( ) =

x 6+ 3y( ) =xy x + y( ) =2y 3xy +5y( ) =12 p 4p + 6q( ) =

a × b = ab want 2× 3= 6( )−a × b = −ab want− 2× 3= −6( )a × −b = −ab want 2× −3= −6( )−a × −b = ab want− 2× −3= 6( )

2b a − b( ) =a −3b+ a( ) =−b 4+ 2b( ) =3a −a − 2b( ) =

−x −6+ 3y( ) =xy x − y( ) =−2y 3xy +5y( ) =12 p 4p − 6q( ) =

© 2018 H.J. Riksen

Nogeenstapjeverder3. Werkdehaakjesweg:

a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

�

Regel 2 �

Vermenigvuldig eerst a met c en d. Vermenigvuldig dan b met c en d. Je krijgt dus 4 vermenigvuldigingen. Cijfers weer vóór de letters plaatsen en letters altijd op alfabetische volgorde.

Voorbeeld 1 �

Voorbeeld 2 �

Voorbeeld 3 �

Voorbeeld 4 �

4. Werkdehaakjesweg:a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

−3ab+ a 3b+ a( ) =−2x + y2 x + y( ) =2x2 − x 2x + x2( ) =2p −6− 2q( )+ pq =

−x y + 4z( )+ 4xz + xy =a2 x − y( )+ ax + a2 y =8a + b+ 2a −4+ b( ) =12 x

2 2+ y( )− 12 x

2 y =

a + b( ) c + d( ) = ac + ad + bc + bd

2+ 3( ) 4+5( ) = 5× 9 = 452+ 3( ) 4+5( ) = 2× 4 + 2×5 + 3× 4 + 3×5 = 8+10+12+15 = 45

⎧⎨⎪

⎩⎪

a + 3( ) b+5( ) = a × b + a ×5 + 3× b + 3×5

= ab + 5a + 3b + 15

a − 3( ) a +5( ) = a × a + a ×5 − 3× a − 3×5

= a2 + 5a − 3a − 15= a2 + 2a −15

x + y( ) x − y( ) = x × x − x × y + x × y − y × y

= x2 − xy + xy − y2

= x2 − y2

a + 7( ) b+5( ) =x − 2y( ) x + y( ) =x − 2y( ) 2x + y( ) =x − y( ) y − x( ) =

x − 3y( ) x + y( ) =y2 + y − 2x( ) x − 2y( ) =−3p + 7( ) −2q +5( ) =−2a − 2b( ) −3a − 3b( ) =

© 2018 H.J. Riksen

� Regel 3 Merkwaardige producten

ErzijndriecombinaOesmeteenvasteuitkomst,diewemerkwaardigeproductennoemen.

Merkwaardigproduct1

� � en� vallentegenelkaarweg.

Merkwaardigproduct2

� � en� wordt� .

Merkwaardigproduct3

� � en� wordt� .

5. Werkdehaakjesweg:a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

� Extra oefeningen

Let nu goed op de volgorde: Eerst � , dan � en dan� . Voeg gelijksoortige termen samen.

6. Werkuit:a) �

b) �

c) �

d) �

e) �

f) �

g) �

h) �

x + y( ) x − y( ) = x2 − y2 −xy +xy

x + y( )2 = x + y( ) x + y( ) = x2 + 2xy + y2 +xy +xy +2xy

x − y( )2 = x − y( ) x − y( ) = x2 − 2xy + y2 −xy −xy −2xy

2x − y( ) 2x + y( ) =−12xy + 3x + 2y( )2 =x − 2y( )2 =10x + 6( )2 =

x −1( ) x +1( ) x2 +1( ) =x2 + 2( ) x2 − 2( ) =2x + 3( )2 =3x +1( ) 3x +1( ) =

( ) × +

3x + 4x ×5x =

3x2 + 4x ×5x =

3x + 4x( )×5x =4x2 4x − x( )− 4x3 =

ab+ a × b =a × b+ a × b =

a × b( )+ a × b( ) =a + b( )× a + b( ) =

© 2018 H.J. Riksen