Eigenschappen van vierhoeken - mathima.be · 3 hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn...

119

Inhoud

M35 Eigenschappen van vierhoeken p. 120M36 Classificatie van vierhoeken p. 124M37 Bewijs: de eigenschap van de som van

de hoeken in een vierhoek p. 128M38 Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken

en diagonalen in een vierhoek p. 130

Dit heb je nodig• leerwerkboek p. 119 - 134• oefenboek nr. 968 - 1035• geodriehoek• kleurpotloden• een groene en rode pen

Dit kun je al1 de verschillende benamingen van de vierhoeken 2 de congruentiekenmerken van driehoeken verwoorden3 hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen4 de eigenschap van de middelloodlijn verwoorden

Eigenschappen van vierhoeken6

Test jezelfElke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum.

A B C Verder oefenen?

1 In welke vierhoek is een dia-gonaal getekend?

ad

2 Uit welke drie gegevens kun je geen congruentie afleiden?

HZH ZZZ HHH oef. nr. 795

3 In welke tekening zijn de verwisselende binnenhoeken aangeduid? a

b

a // b

a

b

a // b

a

b

a // b

oef. nr. 731

4 In welke tekening ligt het punt A op de middelloodlijn van het lijnstuk XY?

A

YX

A

YX

A

YX

oef. nr. 834

HHH

a

b

a // ba // b

A

YX

M35

120 Eigenschappen van vierhoeken

Op verkenning

Eigenschappen van vierhoeken

a De som van de hoeken in een vierhoek• Teken in elke vierhoek één diagonaal.

– Uit hoeveel driehoeken bestaat je vierhoek? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– De som van de hoeken van de twee driehoeken is gelijk aan . . . . . . . . . .

– Elke vierhoek bestaat uit . . . . . . . . . . . . . . driehoeken.

– De som van de hoeken van een vierhoek is dus gelijk aan . . . . . . . . . . . . . . . .

Eigenschap – de som van de hoeken in een vierhoek

De som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360°.

ABCD is een vierhoek.

�

| A | + | B | + | C | + | D | = 360°

A B

CD

125°

118°

60°

57°

| A | + | B | + | C | + | D | = 360°

b Diagonalen, zijden en hoeken• Gebruik de tekeningen in de tabel om de eigenschappen van vierhoeken te onderzoeken.• Zet een kruisje op de juiste plaats in de tabel.

minstens één paar evenwijdige zijden

twee paar evenwijdige zijden

de overstaande zij-den zijn even lang

de overstaande hoe-ken zijn even groot

de vier zijden zijn even lang

alle hoeken zijn rechte hoeken

de diagonalen snijden elkaar middendoor

de diagonalen zijn even lang

de diagonalen staan loodrecht op elkaar

Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M37.

2180°

360°twee

360°

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

121

Wiskundetaal – definitie

Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden.

A B

CD[AB] // [DC]

Wiskundetaal – definitie en eigenschappen

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

In een parallellogram:• zijn de overstaande zijden even

lang;• zijn de overstaande hoeken even

groot;• delen de diagonalen elkaar

middendoor.

ABCD is een parallellogram.

�

[AB] // [DC] en [AD] // [BC]

ABCD is een parallellogram.�

| AB | = | CD | en | AD | = | BC |

| A | = | C | en | B | = | D |

| AM | = | MC | en | BM | = | MD |

A B

CD

M


Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

In een ruit:• zijn de overstaande zijden

evenwijdig;• zijn de overstaande hoeken even

groot;• delen de diagonalen elkaar

middendoor;• staan de diagonalen loodrecht

op elkaar.

ABCD is een ruit.

�

| AB | = | BC | = | CD | = | DA |

ABCD is een ruit.

�AB // DC en AD // BC

| A | = | C | en | B | = | D |

| AM | = | MC | en | BM | = | MD |

[AC] � [BD]M is het snijpunt van de diagonalen.

A

B

C

D

M


Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.

In een rechthoek:• zijn de overstaande zijden

evenwijdig;• zijn de overstaande zijden even

lang;• zijn de diagonalen even lang;• delen de diagonalen elkaar

middendoor.

ABCD is een rechthoek.

�

| A | = | B | = | C | = | D | = 90°

ABCD is een rechthoek.

�AB // CD en AD // BC

| AB | = | CD | en | AD | = | BC |

| AC | = | BD | | AM | = | MC | = | BM | = | MD |

M is het snijpunt van de diagonalen.

A B

CD

M

DEFINITIE

DEFINITIE

EIGENSCHAP

DEFINITIE

EIGENSCHAP

DEFINITIE

EIGENSCHAP

M35


Eigenschappen van vierhoeken (vervolg)


Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

In een vierkant:• zijn de overstaande zijden

evenwijdig;• zijn de diagonalen even lang;• delen de diagonalen elkaar

middendoor;• staan de diagonalen loodrecht

op elkaar.

ABCD is een vierkant.

�

| A | = | B | = | C | = | D | = 90°

en | AB | = | BC | = | CD | = | DA |

ABCD is een vierkant.

�AB // DC en AD // BC

| AC | = | BD | | AM | = | MC | en | BM | = | MD |

[AC] � [BD]

A B

CD

M

De bewijzen van de eigenschappen vind je in les M38 en in het oefenboek: oef 1014 - 1027.

DEFINITIE

EIGENSCHAP

Oefeningen

1 Van een vierhoek zijn drie hoekgrootten gegeven. Bereken de grootte van de vierde hoek.

| A | | B | | C | | D |

20° 100° 120°

90° 90° 50°

82° 102° 76°

WEER? 968 - 970

2 Bereken de hoekgrootten. Toon je berekening.

a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 971

MEER? 972

3 Bereken de onbekende hoekgrootten in …a vierhoek ABCD met AB//CD en AD//BC en |Â|=100°.

Maak eerst een schets.

| B | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| C | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| D | = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 973974

MEER? 975976

120°

40°

50°?A B

C

D

51°?

E

G

F

H

130°

100°

120°

| A | = 360° – 120° – 50°– 40° = 360° – 210° = 150°

| G | = 180° – 51° = 129° In een parallellogram zijn de over-staande hoeken even groot en de som van twee aanliggende hoeken (bin-nenhoeken aan dezelfde kant) is 180°. 80°

100° 80° In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot.

A B

D C

100°

80°

80°

100°

70°

A B

CD

100°

123

Wat moet je kunnen?

� de eigenschappen van de vierhoeken verwoorden � de eigenschappen van de vierhoeken gebruiken

b vierhoek KLMN met | M | = 60° en | K | = | L | = | N | .

| K | = . . . . . . . . . . . . . . . .

| L | = . . . . . . . . . . . . . . . . .

| N | = . . . . . . . . . . . . . . . .

c vierhoek XYZQ met | X | = 25° en | Y | = 2 | X | en | Z | = 3 | Y | .

| Y | = . . . . . . . . . . . . . .

| Z | = . . . . . . . . . . . . . .

| Q | = . . . . . . . . . . . . .

4 Onderzoek de regelmaat bij de som van de hoeken in een veelhoek.a Teken alle diagonalen die vertrekken vanuit het hoekpunt A.b Vul de tabel verder aan.

BA

ED

CB

A

E

F

DC

B

A

EF

D

C

G

H

Aantal hoekpunten

Aantal driehoeken

Som van de hoeken

c Vul de tabel aan.

aantal hoek-punten

aantal driehoeken waarin de veelhoek kan worden verdeeld som van de hoeken grootte van elke hoek in een

regelmatige veelhoek

3

4

5

6

10

15

n

WEER? 977

MEER? 978

In een regelmatige veelhoek zijn alle hoe-ken even groot en alle zijden even lang.

Weetj

e

5 Bereken de ontbrekende hoekgrootten in het trapezium. Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 979 - 981

MEER? 982

(360° – 60°) : 3 = 300° : 3 = 100°100° 100°

25° · 2 = 50° 50° · 3 = 150° 360° – 150° – 50° – 25° = 135°

5

3 4 6

6 8

3 · 180° 4 · 180° 6 · 180°

1 1 · 180° = 180° 180° : 3 = 60°

8 8 · 180° = 1440° 1440° : 10 = 144°

3 3 · 180° = 540° 540° : 5 = 108°

n – 2 (n – 2) · 180° (n – 2) · 180° �� n

2 2 · 180° = 360° 360° : 4 = 90°

13 13 · 180° = 2340° 2340° : 15 = 156°

4 4 · 180° = 720° 720° : 6 = 120°

De hoeken tussen de evenwijdige zijden zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn en zijn dus supplementair. | A | = 180° – 70° = 110° | C | = 180° – 100° = 80° of | C | = 360° – 100° – 70° – 110° = 80°

M36

1

2

3

4

7

6

5

V

Ru

Re

P

T

Vi


Op verkenning

Classificatie van vierhoeken

Elke mus is een vogel maar niet elke vogel is een mus!• Geef de meest nauwkeurige benaming van de vierhoeken.

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Noteer de cijfers van:

– alle trapeziums: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– alle rechthoeken: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– alle ruiten: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– alle vliegers: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– alle vierhoeken met loodrecht op elkaar staande diagonalen:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– alle vierhoeken met even lange diagonalen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Wat is de betekenis van de pijlen tussen de vierhoeken?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Waarvoor staat de pijl tussen figuur 3 en figuur 6?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Waarom staat er geen pijl tussen figuur 5 en figuur 3?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Tussen welke twee figuren is de pijl getekend die staat voor de eigenschap vier rechte hoeken?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Zet de cijfers van de vierhoeken in de juiste verzameling. V = de verzameling van alle vierhoeken. T = de verzameling van alle trapeziums. P = de verzameling van alle parallellogrammen. Ru = de verzameling van alle ruiten. Re = de verzameling van alle rechthoeken. Vi = de verzameling van alle vierkanten.

Een vierhoek waarvan

twee paar aanliggende

zijden even lang zijn, is

een vlieger.

Weetj

e

VierhoekTrapeziumParallellogramRechthoek

VliegerRuitVierkant

2, 3, 4, 6 en 7 4 en 7 6 en 7 5, 6 en 7

5, 6 en 7 4 en 7

Er komt telkens een extra kenmerk bij.

De eigenschap even lange zijden komt bij de figuur.

Figuur 5 heeft geen evenwijdige zijden, figuur 3 wel.

Tussen figuur 3 en 4 en tussen figuur 6 en 7.

1

5

2

3

476

125

Volgend schema leidt je naar de meest passende naam van een vierhoek.

Is er een paar evenwijdige zijden?

Zijn er twee paar evenwijdige zijden?

Zijn alle zijden even lang?

Zijn er vier rechte hoeken?

Zijn er vier rechte hoeken?

Twee paar aanliggende zijden even lang? vierhoek

vlieger

NEEN NEEN

NEEN

NEEN NEEN

NEEN

JA

JA

JA

JA

JA

JA

rechthoek

parallel-logram

ruit

vierkant

trapezium

M36

1 2

3

4

5

6


Classificatie van vierhoeken (vervolg)

de vierhoek waarop je moet drukken is … naam vierhoek waarom?

zeker geen …

misschien een …

zeker een …

7 Wanneer heeft een tovenaar zijn toverkracht nodig? Geef steeds een ver-klaring. De tovenaar heeft toverkracht nodig als hij …a alle vierkanten omzet naar rechthoeken.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b alle rechthoeken omzet naar vierkanten.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c alle ruiten omzet naar vierkanten.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d alle vierkanten omzet naar ruiten.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 985

MEER? 986987

Oefeningen

6 Om de deur van de schatkamer te openen moet je op de juiste vierhoek drukken. Je hebt echter maar een stukje van de figuur meegekregen. Vul de onderstaande tabel in en maak dan je keuze.

WEER? 983

MEER? 984

vierkantGeen 4 rechte hoeken

Geen 4 even lange zijden

Geen 4 rechte hoeken

Geen even lange zijden

Diagonalen kunnen niet loodrecht op elkaar staan.

Onderste zijde kan evenwijdig zijn met de bovenste zijde.

Onderste zijde kan even lang zijn als de bovenste zijde.

Onderste zijde kan loodrecht staan.

De vierhoek heeft een paar evenwijdige zijden.

rechthoek

ruit

vlieger

parallellogram

gelijkbenig trapezium

rechthoekig trapezium

trapezium

Geen toverkracht nodig, want elk vierkant is al een rechthoek.

Wel toverkracht nodig, want niet elke rechthoek is een vierkant.

Wel toverkracht nodig, want niet elke ruit is een vierkant.

Geen toverkracht nodig, want elk vierkant is reeds een ruit.

127

Wat moet je kunnen?

� vierhoeken classificeren op basis van eigenschappen van hoeken en zijden � vierhoeken classificeren op basis van de eigenschappen van hun diagonalen � vierhoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen

8 Geef de meest correcte benaming.

a Een parallellogram met een rechte hoek is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Een parallellogram met vier even lange zijden is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Een vierhoek met de eigenschappen van een ruit en van een rechthoek is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d Een parallellogram met even lange diagonalen is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e Een ruit waarin twee opeenvolgende hoeken even groot zijn, is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f Een parallellogram waarvan twee opeenvolgende zijden even lang zijn, is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 988

MEER? 989 - 994

9 Symmetrische vierhoeken.a Teken alle symmetrieassen in de symmetrische vierhoeken.

WEER? 995 - 1003

MEER? 1004 - 1012

b Vul in met één, twee, drie of vier.

– Elk vierkant heeft . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).

– Elke rechthoek heeft ten minste . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).

– Elke ruit heeft ten minste . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).

– Elke vlieger heeft ten minste . . . . . . . . . . . . . symmetrieas(sen).

C Waarom wordt 'ten minste' vermeld in bovenstaande uitdrukkingen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

rechthoek ruit vierkant rechthoek vierkant ruit

viertwee

tweeéén

Sommige rechthoeken en ruiten zijn vierkanten. Deze figuren hebben meer symmetrieassen. Sommige vliegers zijn ruiten of vierkanten.

M37


Op verkenning

Bewijs: de eigenschap van de som van de hoeken

in een vierhoek

eigenschap De som van de hoeken in een vierhoek is gelijk aan 360°

Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Noteer de eigenschap in symbolen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken

vraag antwoord verklaring

Wat is gegeven?

Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen.

Welke eigenschap (van driehoeken) kun je gebruiken om deze eigenschap te bewijzen?• Noteer deze eigenschap in symbolen.

• Teken diagonaal AC. Hoeveel driehoeken ontstaan er? De diagonaal verdeelt A in A1 en A2 en C in C1 en C2 .

• Noteer in symbolen de som van de hoeken voor de twee driehoeken.

Hoe groot is de som van de hoeken van de twee driehoeken?

• Noteer dit in symbolen.

Mag je de grootte van de twee delen van hoek A en van hoek C bij elkaar optellen? Welke eigenschappen van de optelling heb je gebruikt?


STAP 1

STAP 2

A B

CD

Een vierhoek. De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.

| Â | + | B | + | C | + | D | = 360°

Vierhoek ABCD

Twee driehoeken

| Â | + | B | + | C | + | D | = 360°

| Â | + | B | + | C | = 180°

360°Beide leden van de

gelijkheden optellen.

Het optellen is commuta-

tief en associatief in Q.

Ja, in een optelling mag je de termen van plaats verwisselen

en haakjes toevoegen.

| Â1 | + | B | + | C1 | = 180° | Â2 | + | C2 | + | D | = 180°

| Â1 | + | B | + | C1 | + | A2 | + | C2 | + | D | = 180° + 180°

| Â1 | + | B | + | C1 | + | A2 | + | C2 | + | D | = 360°

| Â1 | + | Â2 | + | B | + | C1 | + | C2 | + | D | = 360°

( | Â1 | + | Â2 | ) + | B | + ( | C1 | + | C2 | ) + | D | = 360°

ABCD is een vierhoek

12

21

�

129

Reken uit. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten?

Bewijs

Eigenschap – de som van de hoeken in een vierhoek is 360°

Gegeven: ABCD is een vierhoek.

Te bewijzen: | A | + | B | + | C | + | D | = 360°

Bewijs: � Teken de diagonaal AC.

� Noem de hoeken die gevormd worden A1 , A2 en C1 en C2 .

� In ΔABC geldt: | A1 | + | B | + | C1 | = 180° (eig. som van de hoeken in een driehoek)

� In ΔACD geldt: | A2 | + | C2 | + | D | = 180° (eig. som van de hoeken in een driehoek)

�� + �

| A1 | + | B | + | C1 | + | A2 | + | C2 | + | D | = 180° + 180°

�

| A1 | + | B | + | C1 | + | A2 | + | C2 | + | D | = 360°

��Eig. het optellen is commutatief in q

| A1 | + | A2 | + | B | + | C1 | + | C2 | + | D | = 360°

��Eig. het optellen is associatief in q

( | A1 | + | A2 | ) + | B | + ( | C1 | + | C2 | ) + | D | = 360°

�� | A1 | + | A2 | = | A | en | C1 | + | C2 | = | C |

| A | + | B | + | C | + | D | = 360°

STAP 3

Oefeningen

10 Bewijs dat de som van de hoeken in een vijfhoek gelijk is aan 540°. WEER? 1013

Wat moet je kunnen?

� de eigenschap van de som van de hoeken in een vierhoek bewijzen

A

B

C

D

12

12

A

B

CD

E

| Â | + | B | + | C | + | D | = 360°Ja

12 2

1

1

Je kunt een vijfhoek verdelen in een vierhoek en een driehoek.ΔABE | A | + | B1 | + | E1 | = 180° (Eig. som v.d. hoeken in een driehoek.)

EBCD | E2 | + | B2 | + | C | + | D | = 360° (Eig. som van de hoeken in een vierhoek)� � beide leden optellen | A | + | B1 | + | E1 | + | E2 | + | B2 | + | C | + | D | = 180° + 360° = 540°� � het optellen is commutatief in q | A | + | B1 | + | B2 | + | C | + | D | + | E1 | + | E2 | = 540°� � het optellen is associatief in q | A | + [ | B1 | + | B2 | ] + | C | + | D | + [ | E1 | + | E2 | ] = 540°� � | B1 | + | B2 | = | B | | E1 | + | E2 | = | E | | A | + | B | + | C | + | D | = 540°

M38

A B

CD


Op verkenning

Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen

in een vierhoek

eigenschap Vierhoek ABCD is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn

Verkennen• Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Maak een schets en duid de informatie aan.

• Vul aan.

In de eigenschap zie je de notatie ‘als en slechts als’. Dit betekent dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deel 1: Als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deel 2: Als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Je bewijst eerst deel 1 (in het leerwerkboek) en dan deel 2 (in het oefenboek).

eigenschap Als vierhoek ABCD een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang



Wat is gegeven?

Wat moet je bewijzen?• Noteer dit in symbolen.• Duid wat bewezen moet worden in

het rood aan op de tekening.

Hoe kun je bewijzen dat lijnstukken even lang zijn?

Hoe kun je twee congruentedriehoeken bekomen?• Teken dit.

STAP 1

DEEL 1

STAP 2

oor?

Vierhoek ABCD is een parallellogram. De overstaande zijden zijn even lang.

de eigenschap uit twee delen bestaat.vierhoek ABCD een parallellogram iszijn de overstaande zijden even lang.in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijnis de vierhoek een parallellogram.

1

1

2

2

Vierhoek ABCD is een parallellogram. AB // DC en AD // BC

|AB| = |CD| en |AC| =|BD|

Via congruente driehoeken

Door een diagonaal te tekenen.

A

D

B

C

1

1

2

2

131

• Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur.

Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken?• Noteer de gelijkheden.

Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je dan nog zetten?

Bewijs

Eigenschap – als vierhoek ABCD een parallellogram is dan zijn de overstaande zijden even lang

Gegeven: ABCD is een parallellogram.

Te bewijzen: | AB | = | CD | en | AD | = | BC |

Bewijs: � Teken de diagonaal AC.

� Noem de hoeken die gevormd worden A1 , A2 en C1 , C2 .

� Voor ΔABC en ΔCDA geldt:

H | A1 | = | C2 | (eig. verwisselende binnenhoeken van AB // CD met snijlijn AC) Z | AC | = | AC | (gemeenschappelijke zijde) H | C1 | = | A2 | (eig. verwisselende binnenhoeken van AD // BC met snijlijn AC)

��HZH

ΔABC � ΔCDA

��Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken

| AB | = | CD | en | BC | = | AD |

STAP 3

Het bewijs van deel 2 vind je in je oefenboek: oef. 1014.

A B

CD

12

21

Δ ABC en Δ CDA

Verwisselende binnenhoeken:

AB // CD met snijlijn AC

Gemeensch. zijde

Verwisselende binnenhoeken: AD // BC met snijlijn AC

Neen, maar hieruit volgt:|AB| = |CD| en

|AC| = |BD|.

Overeenkomstige zijden in congruente driehoeken

HZHH | Â1 | = | C2 | Z | AC | = | AC | H | Â2 | = | C1 |

M38

A

B

C

D


Bewijs: de eigenschappen van de zijden, hoeken en diagonalen

in een vierhoek (vervolg)

eigenschap Als vierhoek ABCD een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar

Verkennen• Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Formuleer de omgekeerde bewering. Als in een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan, dan is deze

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Is deze bewering een eigenschap?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Wat is gegeven?Wat leer je uit de definitie van een ruit? • Noteer dit in symbolen.• Duid het gegeven in het groen aan op

de tekening.

Wat moet je bewijzen?• Noteer dit in symbolen.• Duid wat bewezen moet worden in

het rood aan op de tekening.

Hoe liggen de punten A en C ten opzichte van de punten B en D?

Op welke rechte liggen de punten A en C?

Hoeveel rechten kun je tekenen door twee verschillende punten?

STAP 1

STAP 2

Vierhoek ABCD is een ruit. De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

vierhoek een ruit.

Geen eigenschap: bij een vlieger staan de diagonalen ook loodrecht op elkaar.

Vierhoek ABCD is een ruit. |AB| = |BC| = |CD| = |AD|

De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

[ AC ] [ BD ] De punten A en C liggen

op gelijke afstand van de punten B en D.

|AB| = |AD| (Def. ruit) en |BC| = |CD| (Def. ruit)

De punten A en C liggen op de middel-

loodlijn van [BD].

Eigenschap middelloodlijn: als een punt op gelijke afstand ligt van de

grenspunten van een lijnstuk, dan behoort dat punt tot de middel-

loodlijn van dat lijnstuk.

Juist éénEen rechte wordt

bepaald door twee verschillende punten.

A B

CD

1

1

2

2

133

Wat is de onderlinge ligging van [AC] en [BD]?


Bewijs

Bewijs – in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar

Gegeven: ABCD is een ruit.

Te bewijzen: [AC] � [BD]

Bewijs: Voor de ruit ABCD geldt: | AB | = | AD | (def. ruit) en | BC | = | CD | (def. ruit)

��(eig. van de middelloodlijn) � (eig . van de middelloodlijn)

A ligt op de middelloodlijn [BD] en C ligt op middelloodlijn van [BD]

��Een rechte wordt bepaald door twee verschillende punten.

AC is de middelloodlijn van [BD]

��Def. middelloodlijn

[AC] � [BD]

STAP 3

Je kunt deze eigenschap ook met congruentie bewijzen.

Oefeningen

11 Bewijs dat in een parallellogram de overstaande hoeken even groot zijn.Er zijn verschillende mogelijkheden.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 1014

MEER? 1015 - 1035

Wat moet je kunnen?

� de eigenschappen van vierhoeken bewijzen

A

B

C

D

Loodrecht Def. middelloodlijn

[AC] [BD]

134 problemsolving

Problemsolving

1 In de figuur hiernaast is de oppervlakte van de ruit gelijk aan 6 cm2. Hoe groot is de oppervlakte van de rechthoek?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 De twee regelmatige zeshoeken zijn even groot. Welk deel van het parallellogram is lichtgekleurd?

A 1 ��6 B 1 ��5 C 1 ��4 D 1 ��3 E 1 ��2

3 Van een gelijkzijdige driehoek kun je een trapezium maken door er een hoekje af te snijden. Vervolgens maak je nog zo’n even groot trapezium en je legt dit omgekeerd tegen het eerste trapezium aan zodat je een parallellogram bekomt. De omtrek van dit parallellogram is 10 cm meer dan de omtrek van de eerste gelijkzijdige driehoek waar je mee begon. Wat is de omtrek van die gelijkzijdige driehoek?

A 10 B 30 C 40 D 60 E Kun je niet weten.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 De driehoeken ABC en ADE zijn even groot. | AB | en | AD | zijn 1, | AC | en | AE | zijn 4. De oppervlakte van vier-hoek ADFB is ... keer zo groot als de oppervlakte van driehoek ABC.

A 1 ��5 B 1 ��4 C 2 ��5 D 1 ��2 E 1 ��3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Een gelijkzijdige driehoek is verdeeld in een ruit, een kleine gelijkzijdige drie-hoek en twee trapeziums. De ruit heeft oppervlakte 18, de kleine gelijkzijdige driehoek heeft oppervlakte 1. Wat is de oppervlakte van een van de trapeziums?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A 10 B 12,5 C 15 D 16 E 18

C

FE

A B

D

24 cm2. Elke driehoek is een halve ruit. In het totaal heb je dus de oppervlakte van 4 ruiten.

k deel van helk he

C 1�44

De driehoeken AFD en AFC hebben dezelfde hoogte en basis AC is 4 keer basis AD.Dus is de oppervlakte van AFC 4 keer de oppervlakte van AFD. Hetzelfde geldt voor AEF en ABF. ABF en ADF hebben dezelfde oppervlakte, beiden 1 ��4 deel van driehoek AFC dus 1 ��5 deel van driehoek ABC.Vierhoek ADFB is 2 ��5 van driehoek ABC.

Je kunt de ruit opdelen in twee gelijkzijdige driehoeken, beide met oppervlakte 9. De zijde van de bovenste driehoek is dan 3 keer zo groot als de zijde van de kleine drie-hoek vermits de oppervlakte 9 keer zo groot is. De hoogte van de grote driehoek is ook 3 keer zo groot. De hoogte van de gehele driehoek is dan 3 + 3 + 1 = 7 keer zo groot. Dit betekent dat de oppervlakte van de grote driehoek 49 keer zo groot is als de opper-vlakte van het kleine driehoekje. De oppervlakte van de grote driehoek – de oppervlakte van het kleine driehoekje en de oppervlakte van de ruit is 49 – 1 – 9 – 9 = 30. De oppervlakte van één trapezium is dan 30 : 2 = 15.

Driehoek ABC met zijde zOmtrek driehoek ABC = 3zDriehoek DEF met zijde x.

Omtek dubbel trapezium: 2(z + x + z – x) = 2 · 2z = 4z

Omtrek dubbel trapezium – Omtrek driehoek = 4z - 3z = z

Omtrek driehoek is 3z = 3 · 10 cm = 30 cm

A

E

C

D F

B G

x

xz

z – xz

135

Thema 1Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren? p. 136

Thema 2Erfenissen, waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde p. 144

Thema's

136 Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?

Een heel bijzondere verhouding in de meetkunde

Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend: is het toveren?

1 Over een vierkant, een driehoek, een cirkel en… een heel bijzondere verhoudingIn het vierkant zie je een gelijkbenige driehoek en daarin de ingeschreven cirkel.

2 Over een knoop, een ster en… een heel bijzondere verhouding• Maak een gewone knoop in een reep papier, trek hem voorzichtig aan ter-

wijl je hem plat drukt, en er verschijnt een pentagon. Wat is een synoniem voor het woord pentagon?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Maak op de figuur het pentagon zichtbaar.

• In elk pentagon kun je een vijfpuntige ster tekenen (een pentagram).

• Meet en bereken de verhouding:

| AS | �� | SC |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bepaal op het lijnstuk EB een punt dat het lijnstuk in dezelfde verhouding verdeelt.

EKG

E'

G'

K'

• Meet en bereken in de eerste figuur de verhouding.

| GK | �� | KE |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Meet en bereken in de tweede figuur | G'K' | �� | K'E' |

.Wat is het resultaat?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A

B

C

S

D

E

Euclides was een Griekse wiskundige (ca 325 v.C. – 265 v.C). Van zijn leven is

niet veel meer bekend dan dat hij onderwees in Alexandrië. Toen de koning

hem vroeg of er geen eenvoudige behandeling van de meetkunde mogelijk was,

antwoordde Euclides: “Sire, er is geen koninklijken weg naar de meetkunde”.

Zijn boek ‘De Elementen’ behoort tot de mooiste en meest invloedrijke weten-

schappelijke werken. De schoonheid ervan ligt in de logische opbouw van de

meetkunde en enkele andere takken van de wiskunde. Het voldoet ook aan de

door de grote filosoof Plato gestelde eis “Wiskundige kennis wordt alleen door denken verkregen

en dient losgemaakt te worden van het materiële”. Het boek bestaat uit 13 delen en begint met een

aantal definities zoals “Een punt is datgene wat geen delen heeft” en “Een lijn is een lengte zonder

breedte”. Veel van de meetkunde uit zijn boeken gebruiken we nu nog altijd.

Weetj

e

2,9 cm

��1,8 cm

= 1,611...

| G'K' | �� | K'E' |

= 1,5 cm

��0,9 cm

= 1,66... (opnieuw ongeveer 1,6)

Regelmatige vijfhoek

2 cm ��1,2 cm

= 1,66...

Je kunt kiezen, de twee getekende punten zijn allebei goed.

137

We keren terug in de tijd…

1 “Vertaal” dit probleem in wiskundetaal.

• Euclides zoekt een punt S op het lijnstuk AB zodat: �� = ��

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Controleer op [AB] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0,1 cm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A S B

• Controleer opnieuw op [AB] of het punt S op de juiste plaats staat (op 0,1 cm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A S B

• Bereken� | AS | �� | SB |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | AB | �� | AS |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Hoe vind je op het lijnstuk AB de juiste plaats voor dit speciale punt S?In de rechthoekige driehoek ABC: | BC | = 1 ��2 | AB | .Maak in de driehoek de volgende constructie.

C

AB

• Teken een cirkelboog met middelpunt C en straal | CB | . D is het snijpunt van deze boog met de zijde AC.

• Teken een cirkelboog met middelpunt A en straal | AD | . S is het snijpunt van deze boog met de zijde AB.

Rond 300 voor Christus worstelt de Griekse wiskundige Euclides met een meetkundig probleem. “Hoe kun je een lijnstuk in twee delen verdelen zodat de verhouding van het grootste deel tot het kleinste deel gelijk is aan de verhouding van de som van de delen tot het grootste deel? Hoe lang moeten die twee delen dan zijn?” (Euclides zelf sprak over: “een lijn in uiterste en middelste reden verdelen”)

D

CB

A3 Over een driehoek, een driehoek en… een heel bijzondere verhoudingIn de gelijkbenige driehoek ABC: | A | = 36°. BD is de bissectrice van B .

• Meet en bereken de verhouding:

| AD | �� | DC |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Waar zit in de vijfhoek een driehoek verborgen die dezelfde eigenschappen bezit als driehoek ABC?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2,2 cm

��1,4 cm

= 1,57

Vb driehoek ACD

[AS] is het grootste deel [SB] is het kleinste deel.

Neen

Ja

6,2 cm

��3,8 cm

= 1,6 10 cm ��6,2 cm

= 1,6

D

S

| AS | | AB | | SB | | AS |

138

Thema 1 - Wiskunde, boeiend en fascinerend:

is het toveren? (vervolg)

1 Phi duikt op de meest onverwachte plaatsen op. Het lijkt wel of het magische eigenschappen bezit…• Tal van toepassingen vind je in de architectuur.

Vb het Parthenon in Athene

• Ook in de schilderkunst vind je Φ vaak terug. Een mooi voorbeeld zie je bij ‘De man van Vitruvius‘ van Leonardo Da Vinci.

• Het pentagram, de vijfpuntige ster, is één van de oudste heilige symbo-len ter wereld. In de magische wetenschappen van de Middeleeuwen was het pentagram ook een symbool dat bescherming bood tegen hek-sen en boze geesten.

• Spiegeltje, spiegeltje aan de wand…

Phi is overal ... !?

De Gulden Verhouding ontstaat als je een lijnstuk in twee delen verdeelt zodat de verhouding van het grootste deel (Major) tot het kleinste deel (minor) gelijk is aan de verhouding van de som van de delen (de lengte van het gehele lijnstuk) tot het grootste deel.

A S Bmajor minor

S verdeelt [AB] in de Gulden Verhouding � | AS | �� | SB |

= | AB | �� | AS |

Het symbool voor de Gulden Verhouding is Φ.

Φ = 1,618034Een meer nauwkeurige waarde voor de Gulden Verhouding is 1,618034. Dit getal noemt men Phi (uitgesproken als ‘fie’ en een letter uit het Grieks alfabet). Het symbool voor Phi is Φ, ter nagedachtenis van de Griekse bouwheer Phidias.

Weetj

e

3 Bereken in de constructie de volgende verhoudingen. – De verhouding tussen de lengten van de volgende lijnstukken

| AS | �� | SB |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| AB | �� | AS |

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wat stel je vast? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Omschrijf in woorden wat je net berekend en getekend hebt.

» De lengte van het lijnstuk AB is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan de lengte van het lijnstuk AS.

» De lengte van het lijnstuk AS is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan de lengte van het lijnstuk SB.

Je maakte zonet een heel belangrijke meetkundige constructie! Het punt S verdeelt het lijnstuk AB in de Gulden Verhouding of Gulden Snede. Naar dit punt S was Euclides en waren wij op zoek.

Thema 1 - Wiskunde boeiend en fasinerend: is het toveren?

3,4 cm

��2,1 cm

= 1,6 5,4 cm

��3,4 cm

= 1,6De verhoudingen zijn ongeveer 1,6!

1,6 maal groter1,6 maal groter

139

De verhoudingen van de lichaamsmaten van mijn klasgenoten:

Het gemiddelde van deze verhoudingen is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De gulden rechthoek

Een rechthoek waarvan de zijden de Gulden Verhouding hebben, noemt men een gulden rechthoek. Sommige kunstenaars noemen de gulden rechthoeken opnieuw de mooiste rechthoeken die er bestaan.

1 Teken een gulden rechthoek.• Neem voor de langste zijde een lengte van 8 cm. Bereken de lengte van de kortste

zijde van deze gulden rechthoek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken heel nauwkeurig de gulden rechthoek.

2 Waar is Φ?• Bereken in de bovenstaande afbeeldingen telkens de verhouding tussen de lengten van het grootste en het

kleinste lijnstuk.

Parthenon Man van Vitruvius vijfhoek vrouw

Lengte van het grootste lijnstuk

Lengte van het kortste lijnstuk

Verhouding van de lengten

• Wat valt je op in je berekeningen? De verhouding benadert telkens het getal: . . . . . . . . .Toeval of niet?

Leonardo da Vinci en andere kunstenaars zijn gefascineerd door wiskunde en door Phi. Zij zijn overtuigd dat het begrip “schoonheid” veel samenhang vertoont met de Gulden Snede. Als we iets mooi vinden, zou de Gulden Snede erin terug te vinden zijn…

Eens controleren in de klas? Meet en bereken de verhouding van je totale lengte tot de afstand van je navel tot de grond. Vergelijk je resultaat met dat van je klasgenoten. Benaderen jullie lichaamsmaten de Gulden Verhouding?

Mijn totale lengte = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Afstand van mijn navel tot mijn voeten = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Verhouding = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3,7 cm 4,3 cm 4,4 cm 1 cm2,3 cm 2,7 cm 2,8 cm 0,5 cm

1,6 1,6 1,6 2,0

1,6

eigen antwoord leerling eigen antwoord

leerlingberekening

8 cm �� 1,6

= 5 cm

(Behalve de laatste verhouding. Niemand is perfect!)

5 cm

5 cm8 cm

2 cm

3 cm

3 cm

140



2 Gulden rechthoeken, vierkanten en een bijzonde-re rij van getallen Kijk naar de figuur:

De figuur ontstaat door telkens specifieke vierkanten aan elkaar te rijgen.

Je begint bij vierkant 1, de zijde heeft een maatgetal 1. Dan wordt vierkant 2 getekend, vervolgens vierkant 3, vervolgens vierkant 4, vervolgens de vierkanten 5 en 6.

• Vervolledig de figuur met vierkant 7.

• Je vervolledigde de figuur met een vierkant 7 en het eindresultaat is een rechthoek. Deze recht-hoek benadert een gulden rechthoek! Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Vervolledig de tabel en verklaar hoe je de twee laatste cijfers berekende.

Nr. van het vierkant 1 2 3 4 5 6 7 (door jou getekend)

8 (niet getekend)

9 (niet getekend)

Maatgetal van een zijde 1 1 2 3 5 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Een gulden rechthoek is heel speciaal, hij lijkt wel een toverrechthoek… Neem van de gulden rechthoek een zo groot mogelijk vierkant af en arceer dit vierkant. Is de overgebleven rechthoek ook een gulden rechthoek? Reken dit na.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Doe dit nog eens opnieuw. Wat kun je zeggen van de rechthoek die nu overblijft?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Als je deze stappen met steeds kleiner wordende rechthoeken blijft herhalen, merk je dat er een spiraalvormig patroon kan ontdekt worden. Deze gulden spiraal lijkt misschien wel sterk op de nautilusschelp…


2

13

4

5

6

lengte langste zijde = 5 cmlengte kortste zijde = 3 cmverhouding = 1,6

De rechthoek is opnieuw een gulden rechthoek.

De afmetingen van de rechthoek verhouden zich als 21 ��

13 = 1,6

13 21 34

21 = 13 + 8 en 34 = 21 + 13

141

Een héél bijzondere getallenrij

1 Vervolledig de rij van de maatgetallen van de zijden van de vierkanten uit de vorige opgave.

1 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Vul de rij aan met de drie volgende getallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Hoe ontstaan de getallen in deze rij?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Deze bijzondere rij blijkt ook op te duiken bij de studie van een bijzondere konijnenpopulatie.

Een paartje jonge konijntjes wordt vruchtbaar na 2 maanden en daarna produceert zo’n paartje elke maand een nieuw paartje jonge konijntjes. Stel dat we met 1 paartje jonge konijntjes beginnen, hoeveel konijnenpaartjes zijn er dan na 1, 2, 3, 4… maanden? In dit verhaal gaan de konijntjes niet dood. De 1ste 2 maanden heb je alleen maar 1 paartje. Daarna krijg je steeds de konijntjes die je al had (dat is het vorige aantal) plus de nieuwe babykonijntjes die geboren worden.

1 koppel

1 koppel

2 koppels

5 koppels

3 koppels

Vervolledig de tabel:

Aantal maanden 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Aantal konijnenpaartjes 1 1

Noteer de getallenrij van het aantal konijnenpaartjes:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je ontdekte zonet een merkwaardige rij van getallen.

(afhankelijk van het probleem kan deze rij in toepassingen beginnen met de getallen 1,1,2,3,… of 0,1,1,2,3,…)

De rij van Fibonacci is een getallenrij waarin elk getal (behalve de eerste twee) gelijk is aan de som van de twee voorgaande getallen.

De beroemde rij van Fibonacci werd ongeveer 800 jaar geleden ontdekt door Leonardo Fibonacci uit Pisa in Italië.

Weetj

e

5 8 13 21 34

55 89 144

Elk getal in de rij (behalve de twee eerste getallen) is gelijk aan de som van de 2 voorgaande getallen.

2 3 5 8 13 21 34 55

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ....

Kijk alvast op www.kulak.ac.be/vwo/

Een wedstrijd in samenwerking met de Katholieke Universiteit Leuven, de Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk, het Limburgs Universitair Centrum,de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Vrije Universiteit Brussel, de Vlaamse Vereniging Wiskunde Leraars, het Belgisch Wiskundig Genootschap,

Uitgeverij De Sikkel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Rhombus.

Wiskunde. Van verwondering tot logisch inzicht. Beleef het mee!

z.w

., Et

ienn

e S

abbe

laan

53

, 85

00

Kor

trijk

.

Vlaamse Wiskunde Olympiade

...vormen zonnebloempitten 21 bochten in de ene richting

en 34 in de andere?

Waarom...

bron: www.vwo.be

142



3 De Fibonacci-rij zit vol met eigenaardigheden… Elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de rij is deelbaar door elf. Probeer dit maar eens uit!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fibonacci is overal

Fibonacci duikt op heel wat plaatsen op. Toeval of niet?

• Bekijk aandachtig de foto van een piano. Vul de ontbrekende getal-len in de tekst aan.

• Een octaaf op een piano bestaat uit . . . . . . . toetsen: . . . . . . . witte toetsen

en . . . . . . . zwarte toetsen. De zwarte toetsen worden opgesplitst in

groepjes van . . . . . . . en . . . . . . . . Allemaal Fibonacci-getallen!

• Bekijk de affiche van de Vlaamse Wiskunde Olym piade van 2000. Wat zie je op de foto?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geef een ander woord voor ‘bochten’.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Waarom gebruikt de Vlaamse Wiskunde Olympiade deze affiche denk je?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De verhouding van twee opeenvolgende getallen, ver genoeg in de rij van Fibonacci is gelijk aan Phi of de Gulden Verhouding.

2 Een merkwaardig verband• Bereken ver genoeg in de rij de verhouding van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci:

34 ��12

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ��34

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 ��55

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Herhaal deze berekening nog 2 keer. Neem telkens de verhouding van 2 opeenvolgende getallen in de rij. Wat stel je vast?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Een merkwaardig verband!


1,619 1,618 1,618

144 ��89

= 1,618 233 ��144

= 1,618

De resultaten benaderen meer en meer de waarde 1,618.

Tel de eerste tien getallen uit de reeks op. 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 154

Deel door 11. 154 : 11 = 14

Tel het tweede t.e.m. 11de getal op. 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 = 242

Deel door 11. 242 : 11 = 22

13 85

2 3

een zonnebloem

spiralen

21 en 34 zijn Fibonacci-getallen

• Bekijk de volgende foto.

Wat zie je op de foto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hoeveel groene spiralen tel je? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hoeveel gele spiralen tel je? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wat valt je op? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Een kritische noot. Je hoeft het helemaal niet eens te zijn met de theorie dat de Gulden Verhouding en Fibonacci overal aanwezig zijn. Onder meer in het boek “De ontstelling van Pythagoras, over de geschiedenis van de goddelijke proportie” van Albert van der Schoot heeft de auteur toch wel een andere kijk op het verhaal.

Blijkbaar bestaat er ook een Fibonacci-gedicht! Dit type gedichten is een beetje vergelijkbaar met de Japanse haiku‘s. De lettergreepverdeling in een haiku is gebaseerd op priemgetallen 5-7-5 en heeft 17 lettergrepen. In het Fibonacci-gedicht is de lettergreepverdeling gelijk aan de rij van Fibonacci. Dit betekent meestal zes regels met telkens 1, 1, 2, 3 enz. lettergrepen.

Schrijf jouw Fibonacci-gedicht!

143

een dennenappel8

138 en 13 zijn Fibonacci-getallen!

weg Kaliro - Namwendwa

A B

CD

144 Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde

Thema 2 - Erfenissen, waterputten, gorilla's,

een benefietconcert en... meetkunde

Een erfenisprobleem

Tomas en Teo, twee Belgische kinderen zijn helemaal niet zeker of ze later van hun ouders een stuk grond zullen krijgen om een huis op te bouwen. In Uganda, hoewel het land niet zo rijk is als België, doen ouders daar heel hard hun best voor. Jozeph en Amina uit Namwendwa, een dorpje in Uganda, hebben 3 kinderen, twee zonen en een dochter: Anthony, Jonas en Mebra. Een vierde kind, Martha, is zeer jong gestorven (ongeveer 89 kinderen per 1000 sterven voor ze 5 jaar zijn). Anthony is tot 15 jaar naar school geweest, zijn broer Jonas helemaal niet. Een jaar school lopen kost ongeveer 60 euro. Te veel geld voor deze familie! Mebra, hun grote zus, is al getrouwd en “behoort nu tot een andere familie” (lees: zij krijgt geen grond).Jozeph en Amina willen heel graag hun twee zonen een stuk grond geven bij hun huwelijk. Na hard werken en sparen kopen zij een stuk grond dat de vorm heeft van een rechthoekig trapezium ABCD: | AB | = 50 m | DC | = 80 m | AD | = 40 m.De figuur is een afbeelding van de grond op schaal 1 ��

1000 .

1 Kun jij de oppervlakte van de grond berekenen? Noteer eerst de formule.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Jozeph wil de grond eerlijk verdelen tussen zijn twee zonen en stelt hen voor de scheidingslijn te trekken evenwijdig aan de grenslijnen [AB] en [DC] en halfweg de punten A en D.a Krijgen Jonas en Anthony nu elk een even groot deel?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Bereken het verschil en arceer dit op de figuur.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


A B

CD

S = (B + b) · h

��2

= ( | AB | + | DC | ) · | AD | ��

2 =

( 50m + 80m ) · 40 m ��2

= 2600 m2

Neen

I GF

E Hmethode 1Zoon 1 krijgt: opp rechthoek ABFI + opp Δ BGFZoon 2 krijgt: opp rechthoek IFED + opp trapezium FGCE = opp rechthoek IFED + (opp Δ GCH + opp rechthoek FGHE).Δ BGF en Δ GCH hebben dezelfde opp. (Δ BGF ~= Δ GCH (HHZ))Het verschil is de oppervlakte van de gearceerde rechthoek FGHE.

opp. rechthoek FGHE = | FE | · | EH | = ( 1 ��2

| AD | ) · 1 ��2

( | DC | – | AB | ) = 1 ��4

(40 m · 30 m) = 300 m2

ofmethode 2Zoon 1 krijgt: opp rechthoek ABFI + opp Δ BGFZoon 2 krijgt: opp rechthoek IFED + opp trapezium FGCE = opp rechthoek IFED + opp Δ FGE + opp Δ EGCHet verschil is de oppervlakte van de gearceerde driehoek EGC

Opp Δ EGC = | EC | · | FE | ��2

= ( | DC | – | AB | ) · | FE | ��2

= (30 m) · (20 m) ��

2 = 300 m²


A B

CD

145

3 Omdat beide zonen hun grond moeten kunnen bereiken vanaf de weg besluiten ze de scheidingslijn lood-recht op de twee evenwijdige zijden [AB] en [DC] te trekken en zo de oppervlakte in twee gelijke delen te ver-delen. Vader Jozeph stelt ditmaal voor om de afstand AB te verdelen in 2 gelijke delen.


A B

CD

a Construeer de middelloodlijn van [AB]. Noem T het snijpunt van de middelloodlijn met [AB] en U het snijpunt van de middelloodlijn met [DC]

b Arceer het deel van zoon 1 (////) en van zoon 2 (\\\\) op de figuur hierbovenc • Kleur het verschil tussen de twee oppervlaktes.

• Noem het verschil S en bereken S.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 “De helft van het verschil moet ik bij de ene weghalen, de helft van het verschil moet er bij de andere bijko-men “ redeneert Jozeph.

Is dit een juiste redenering? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a Over welke afstand moet lijnstuk TU evenwijdig (naar rechts) verschoven worden om de oppervlaktes gelijk te maken? Probeer dit ook op de tekening. Denk na wat er gebeurt als TU opschuift.• Wat gebeurt er met het oppervlak voor zoon 1 (///)?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Wat gebeurt er intussen met het oppervlak van zoon 2 (\\\)?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Bereken waar de juiste scheidingslijn moet komen en teken op de figuur de juiste verdeling van de grond. Het rechthoekje dat erbij moet komen noem je TURP.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T

Zoon 1 : opp. ATUDZoon 2 : opp. TBEU + opp. Δ BCEhet verschil is opp. Δ BCE = S.

S = opp BCE = 1 ��2

|BE| · |EC| = 1 ��2

|AD| · (|DC| – |AB|) = 1 ��2

40 m · 30 m = 600 m²

Ja

Het oppervlak wordt groter.

Het oppervlak wordt kleiner. De rechte TU moet opschuiven naar rechts zodat er bij rechthoek ATUD een rechthoekje bijkomt die een oppervlakte heeft gelijk aan de helft van de oppervlakte van het driehoekige deel BCE

opp. TPRU = 1 ��2

opp. Δ BCE|TP| · |TU| = 1 ��

4 · (|BE| · (|DC| – |AB|))

� � | TU | = | AD | | TP | = 1 ��

4 · ( | DC | – | AB | ) = 7,5 m

Merk op: de afstand waarover je moet verschuiven is 1 ��

4 van het

verschil van de grote en de kleine basis van het trapezium.

T P

U R E

S S ��2

U E

146


een benefietconcert en... meetkunde (vervolg)

c Bereken de oppervlakte van de delen van beide zonen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d Hoe zou je in de praktijk (d.w.z. op het stuk land) de scheidingslijn construeren? Je hebt enkel een stuk touw en een stok om de klus te klaren.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Jonas twijfelt en zegt dat de vorm wel een trapezium is, maar dat de hoek in D misschien geen rechte hoek is. Hij stelt een controle voor: vanuit de hoekpunten A en D pas je een gelijke afstand af op de evenwijdige grens-lijnen [AB] en [DC] en noem je de punten respectievelijk N en L. Dan controleer je of de diagonalen van de ontstane vierhoek even lang zijn. a Gebruikt Jonas een juiste methode om te controleren of de hoek in D een rechte hoek is? Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Teken de handelingen die ze uitvoeren.


A B

CD

6 De ouders hakken de knoop door en beslissen dat ze de grond zullen verdelen zoals in oplossing 4. Ze zuch-ten: het waren zuur verdiende centen waarmee ze de grond kochten. Zuur verdiend? Lees de volgende pro-bleemstelling.Probleemstelling: is België rijker dan Uganda of is Uganda rijker dan België? Vergelijk.a De grondprijzen

In Uganda kost de grond ongeveer € 100 per hectare. In België is dat € 100 per m².• Hoeveel betaal je in België per hectare?

1 ha is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m2.

In België betaal je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . per hectare, in Uganda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . per hectare.

In België is de grond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . maal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan in Uganda!

Uganda scoort beter/slechter dan België? Omcirkel je antwoord.

Thema 2 - Erfenissen , waterputten, gorilla's, een benefietconcert en ... meetkunde

Zoon 1 krijgt: opp. APRD = (25 m + 7,5 m) · 40 m = 1300 m²

zoon 2 krijgt: opp. PBER + opp. Δ BCE

= (25 m – 7,5 m) · 40 m + 40 m · 30 m ��2

= 700 m² + 600 m² = 1300 m²

Meerdere antwoorden mogelijk: in het punt P (of R) een evenwijdige construeren aan ��AD � of in het punt P (of R) de loodlijn construeren op ��AB � (of ��DC � ).

Ja,

• |AN| = |DL| (constructie) en AN is evenwijdig aan DL (de fig is een trapezium). Dus is ANLD een parallellogram.

• Als de diagonalen in een parallellogram even lang zijn, dan is het parallellogram een rechthoek.

Jonas meet de diagonalen, ze zijn even lang en dus is ANLD een rechthoek en is D = 90° (def. rechthoek).

Zijn de diagonalen niet even lang dan is de vierhoek ANLD geen rechthoek en is D ≠ 90°.

N

L

104

€ 106 € 10²10 000 duurder

147

Mag je hieruit besluiten welk land het rijkst is? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Waarmee moet je nog rekening houden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Het inkomen van een gezinIn Uganda verdien je gemiddeld € 300 per jaar. In België verdien je (bruto) ongeveer € 30 000 per jaar. Bereken voor beide landen de verhouding van de grondprijs t.o.v. je inkomen. Hoeveel ha kan een gezin in Uganda kopen van 1 jaarinkomen? En een gezin in België? Wat kun je besluiten?

In Uganda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In België: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Uganda scoort beter/slechter dan België. Omcirkel je antwoord.

c De schoolkostenOm een jaar naar school te gaan betaalt een gezin in Uganda € 60 per kind. Maar in Uganda heeft men geen mooie schoolgebouwen, niet voldoende of geen computers…. In België betaalt een gezin (via de belastingen) ongeveer € 5000 per jaar per kind. Vergelijk opnieuw het gemiddelde inkomen met de jaarlijkse schoolkosten in beide landen. Wat kun je besluiten?

In Uganda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In België: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Hier liggen de verhoudingen ongeveer gelijk, maar een schoolgebouw, de didactische uitrusting… zijn in België veel beter. In Uganda kunnen leerlingen misschien wel spelen op grote voetbalvelden en in tuinen met ananasplanten en passievruchten, maar hun scholen zijn enkel heel elementair uitgerust. Een bibliotheek, labo's en computerlokalen zijn er meestal niet.

d De benzinekostenBenzine voor auto’s kost in Uganda even veel als in België. Auto’s, fietsen en alle andere niet inheemse goederen zijn in Uganda meestal duurder dan in België. Dikwijls zijn goederen er ook niet te verkrijgen (denk aan water, elektriciteit, gezondheidszorg, wegen, computers…)

BesluitNu je dit allemaal weet, waar lijkt het voor jou het leukste om te wonen? Voor welk land zou jij kiezen? Bespreek dit met klasgenoten.

Een waterput boren

In Uganda heeft slechts 50 % van de bevolking toegang tot drinkbaar water. De school ‘Kidiki Parents Secundary School’ heeft een waterput nodig. Gelukkig worden de mogelijke plaatsen waar je een waterput kunt boren opgespoord en doorgegeven. Een landmeter duidt de juiste plaats voor het boren van een put aan door een steen in de grond te verankeren.Helaas spoelt in het regenseizoen de steen van Kidiki weg en moet de werkman Tamali de plaats opnieuw zoeken. Hij telefoneert de landmeter. Die geeft hem de plaatsbepaling zoals landmeters dat doen. Tamali noteert alles snel op een stukje papier, maar helaas vergeet hij de eerste hoek te noteren die de landmeter opgeeft.

De plaatsbepaling van de landmeter luidt als volgt.• Vertrek aan het gemeentehuis (punt G) op de weg Kamuli-Namwendwa en kijk naar het oosten.• Maak met deze richting een hoek van …° in tegenwijzerzin (deze hoek vergeet Tamali te noteren).

Ga in die richting 300 m verder. Je bent nu in punt P. • Vanaf punt P ga je verder onder een hoek van 160°, gemeten in tegenwijzerzin met het lijnstuk PG. Leg 450 m af. • Je staat nu in het punt W waar je de waterput kunt boren. Tamali kan de landmeter niet meer bereiken (elektriciteitspanne) om de eerste hoek opnieuw te vragen. Het schooljaar gaat beginnen. De tijd dringt. Help Tamali om de plek te zoeken waar de waterput moet komen.

Neen.Met het inkomen van een gezin

€ 100 ��€ 300

= 1 ��3

€ 1 000 000 ��

€ 30 000 = 100 ��

3

€ 300 ��€ 60

= 30 ��6

= 5 € 30 000 ��€ 5 000

= 30 ��5

= 6

Vrije keuze

N

OW

Z

148




G

GSM mast

Boom

100m

1 Tamali noteerde de eerste hoek niet. Er zijn dus meerdere mogelijkheden. Volg de aanduidingen van de land-meter en test die uit door 3 mogelijke hoeken te tekenen.

• Laat de grootte van de eerste hoek 30° zijn en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt (W1). • Neem voor de grootte van de eerste hoek 45° en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W2.• Kies voor de grootte van de eerste hoek 60° en teken de plaats die erbij hoort. Noem het punt W3.• Kijk goed naar de verschillen en de overeenkomsten tussen de mogelijkheden die je probeerde.

Als je al die mogelijke punten W bekijkt, kun je dan iets zeggen over hun ligging? Kun je zeggen waar overal kan geboord worden?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Tamali herinnert zich wel nog dat de steen op de verbindingslijn tussen de grote boom met de reigers en de gsm-zendmast ligt. Teken de verbindingslijn tussen de gsm-mast en de boom.

3 Lokaliseer de plaats waar Tamali moet boren.

Wilde dieren lokaliseren

Een toeristisch hoogtepunt in Uganda is een bezoek aan de berggorilla’s. De zoektocht naar de dieren door het (“ondoordringbaar”) oerwoud is één groot avontuur.

Een van de zilverruggen, Georges, (200 kg wegend mannetje) draagt een zendertje. Baby Nana ook. De gids bepaalt met een antenne de richting (*) waarin de dieren zich bevinden, hij weet niet op welke afstand ze zitten.

In 2006 kon de gids zeggen: “in die richting (*) moeten we zoeken”.

Na een paar jaren keert toerist Karel terug en nu weet de gids bovendien te zeggen: “de gorilla zit op een afstand van ongeveer 1 km”.

Karel denkt na, maar begrijpt niet hoe de gids nu niet alleen de richting (*) kan bepalen, maar ook de afstand.

Tot er een tweede groep toeristen met een tweede gids opdaagt. Karel ziet hoe beide gidsen met elkaar in verbinding staan via hun gsm. Het wordt hem stilaan duidelijk. Karel neemt een plan van de omgeving en zet zich aan het denken.

Volg zijn denkpatroon mee.


oom

De mogelijke punten liggen op het deel van de cirkel (met middelpunt G en straal | GW | ) dat binnen het schoolterrein valt.

W1

W2

W3

1 cm

w

P3

P2

P1

160°

N

OW

Z

Drinkplaats dieren

Gids1Gids2

1Gids1Gids2

Z

kplaats dieren

Drinkp

O

N

W

D

1

kpl

DN

149

1 Beide gidsen bepalen met hun antenne in welke richting zij gorilla Georges moeten zoeken.• Volgens gids 1 zit de gorilla op 30° in tegenwijzerzin ten opzichte

van het noorden. Teken op bovenstaande figuur de lijn die van-uit de plaats van gids 1 deze richting (*) aangeeft.

• Weet gids 1 waar de gorilla exact zit?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Gids 2 meet dat de gorilla zich op 20° in wijzerzin ten opzichte van het noorden bevindt. Teken de lijn waarop de gorilla te vin-den is voor gids 2.

• Waar bevindt zich de gorilla? Teken op de figuur.

2 Vertrek nu vanuit een andere positie voor gids 1.• Stel dat gids 1 zich op de kaart 2 cm meer naar het noorden bevindt. Teken op de kaart in welke richting (*)

gids 1 nu de gorilla opspoort. • Kan een gids de juiste positie van de gorilla’s bepalen als hij alleen is (dit betekent: als hij de plaats van een ande-

re gids niet kent en ook niet de richting waarin de andere gids de gorilla meet)?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Welke informatie moeten de gidsen via gsm aan mekaar doorgeven om de exacte plaats van de groep gorilla’s te bepalen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(*) Zou een professor in de wiskunde hier ook telkens spreken over “in die richting”?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Neen

Neen.

De gidsen moeten elkaars plaats kennen en moeten de richting (*) weten waarin ze elk met hun antenne de gorilla detecteren. Pas dan kunnen ze zoals op de figuur het snijpunt bepalen.

Neen, voor een wiskundige moet naast de richting ook de zin aangeduid worden.

Op het snijpunt van beide rechten.

2 cm30°

20°

150



Een benefietconcert voor Kidiki

Je school organiseert een benefietconcert voor Kidiki Secundary School. De geluidsinstallatie van de school bestaat uit 1 enorme grote luidspreker (woofer W) die de lage tonen uitstuurt binnen een hoek α (zie figuur). Hogere tonen worden door twee kleinere luidsprekers S1 en S2 uitgezonden.Om het geluid optimaal te horen:

a sta je best op gelijke afstand van de benen van de hoek waaronder de woofer W geluid uitzendt;

b (voor de hogere tonen) sta je best op gelijke afstand van de twee kleinere luidsprekers S1 en S2.

Construeer op de figuur op welk plaatsje P de organisatoren voor jou zouden moeten reserveren. Welke strategie gebruik je om dit punt P te construeren?

1 Strategie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Verklaring

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Constructie

Woofer Wα

S1

S2


Construeer de bissectrice van de hoek α.

Construeer de middelloodlijn van het lijnstuk dat de twee kleinere luidsprekers verbindt.

Het snijpunt P van beide rechten geeft het beste plaatsje.

Eigenschap van een bissectrice: alle punten op de bissectrice van een hoek liggen op gelijke afstand van de benen van de hoek.

Eigenschap van de middelloodlijn: alle punten op de middelloodlijn van een lijnstuk liggen op gelijke afstand van de grenspunten van dat lijnstuk.

Het snijpunt P ligt op beide rechten

P

151

leerwerkboek pagina

leerwerkboek pagina

register

A aanliggende hoeken 46aanzicht 8

B basishoeken 100bissectrice van een hoek construeren 88binnenhoeken 51binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 51, 56bol 14buitenhoek driehoek 104buitenhoeken 51buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 51, 56bewijs van de driehoeksongelijkheid 117bewijs van de eigenschap van de basishoeken

in een gelijkbenige driehoek 111, 113bewijs van de eigenschap van de bissectrice

van een hoek 95, 97bewijs van de eigenschap van de diagonalen

in een ruit 133bewijs van de eigenschap van de middelloodlijn

van een lijnstuk 91, 93bewijs van de eigenschap van de overstaande

zijden in een parallellogram 131bewijs van de eigenschap van de som van de

hoeken in een driehoek 71bewijs van de eigenschap van de som van de

hoeken in een vierhoek 129bewijs van de eigenschap van een buitenhoek

van een driehoek 115bewijs van de eigenschap van overstaande hoeken 64bewijs van de eigenschappen van hoeken gevormd

door evenwijdige rechten en een snijlijn 67, 69bewijs van het verband tussen de hoeken en zijden

in een driehoek 116

C cavalièreperspectief 9centrum van een draaiing 36classificatie driehoeken 107classificatie vierhoeken 124complementaire hoeken 44congruente driehoeken 76congruente figuren 74congruente veelhoeken 75

D driehoeken construeren 106draaibeeld 36draaihoek 36draaiing 37driehoeksongelijkheid 109

E eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige

driehoek 100eigenschap van de bissectrice van een hoek 88eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk 86eigenschap van de som van de hoeken in

een driehoek 58eigenschap van de som van de hoeken in

een vierhoek 120eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 105eigenschap van overstaande hoeken 47eigenschappen parallellogram 121eigenschappen rechthoek 121eigenschappen ruit 121eigenschappen van hoeken gevormd door

evenwijdige rechten en een snijlijn 55, 56eigenschappen vierkant 122

F formule volume bol 18formule volume kegel 17formule volume piramide 16

G grensvlak 8

I isometrisch perspectief 9

K kegel 13

M middelloodlijn van een lijnstuk construeren 87

N natuurlijk perspectief 10nevenhoeken 46

O overeenkomstige hoeken 51, 75overeenkomstige zijden 75overstaande hoeken 47, 121overstaande zijden 121

P parallellogram 121piramide 12puntspiegeling 40

Register

152

Wiskunde wandeling

REGISTER

leerwerkboek pagina

R rechthoek 121rotatie 37ruit 121

S schuifbeeld 31som van de hoeken in een driehoek 58som van de hoeken in een vierhoek 120spiegelas 22spiegelbeeld 22spiegeling 22spiegelpunt 40supplementaire hoeken 44symmetrieas 28, 107symmetriemiddelpunt 41symmetrische figuren 28

T trapezium 121

V vector 30verband tussen de hoeken en zijden

in een driehoek 108verdwijnlijn 9verdwijnpunt 10verschuiving 31verwisselende binnenhoeken 51, 56verwisselende buitenhoeken 51, 56vierkant 121vluchtlijn 9vluchtpunt 10

Eigenschappen van vierhoeken - mathima.be · 3 hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn...

Documents

Transcript of Eigenschappen van vierhoeken - mathima.be · 3 hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn...