Het toetsen van denkstrategieen in heuristisch ... · De gestelde kwesties zullen in dit artikel...

Het toetsen van denkstrategieen in heuristisch wiskundeonderwijs. Kan dat? Hoe? L. Streefland Freudenthal instituut, RU Utrecht

1 Overzicht en voorschot

De vragen in de titel werpen nieuwe op. Terwijl 'toetsen' naar onderwijs verwijst, schijnen 'denkstrategidn' tot de voorrechten van de leerlingen te behoren. Hoe hangen deze twee samen? Met deze vraag roepen we de complexe problematiek van de evaluatie van het (wiskunde-)onderwijs over ons af. Het denken daarover is in beweging.1 Wat de gestelde kwestie aangaat is het niet voldoende dat we in staat zijn om denkstrategieen vast te stellen; wanneer ze het waard zijn onderwezen te worden zullen ze door de algemene doelen moeten worden gerechtvaardigd. Bovendien zullen er gereedschappen moeten worden ontwikkeld om ze op de een of andere manier vast te stellen en te meten.

Welke algemene doelen en welke denkstrategidn? Glo- baa1 geformuleerde algemene doelen bieden een beeld in vogelvlucht van het wiskundeonderwijs dat men be- oogt, maar dat is nog niet voldoende; meer concreetheid lijkt geboden. . De gestelde kwesties zullen in dit artikel nader worden beschouwd en (provisorisch) beantwoord. De innige relatie van onderwijs en leren is daarbij een vanzelfsprekend uitgangspunt.

Om enig idee te geven van wat we bedoelen met denkstrategien zullen we eerst twee voorbeelden geven en analyseren. Vervolgens werpen we een blik op algemene doelen, in het bijzonder wat de ontwikkeling in Ne- derland aangaat (Proeve van een nationaal programma). Terloops vergelijken we deze met die in andere landen: de 'Standards' (Verenigde Staten) en het 'National Cur- riculum' (Verenigd Koninkrijk). In deze documenten kan men onmiskenbaar een omslag waarnemen van reproduktief naar (re)constructief leren met toenemende nadruk op dergelijke grote werktuigen als denkstrategidn. Denkstrategien zullen nader beschouwd worden in paragraaf 2, gevolgd door een beschrijving van heuristisch wiskundeonderwijs, onderwijs waarvan men mag ver- wachten dat het een klimaat schept waarin de leerlingen zelf de beoogde, grote strategidn ontwikkelen.

In paragraaf 3 wordt een aantal voorbeelden geanaly- seerd om te laten zien dat strategidn voor probleemoplossen ook dienstbaar gemaakt kunnen worden aan het ontwerp van heuristisch wiskundeonderwijs. Dergelijk wiskundeonderwijs heet ook realistisch en het wordt ge- schraagd door een vijftal grondregels van onderwijzen en leren. Daarna wordt ingegaan op het toetsen van realistisch wiskundeonderwijs, zij het dat hier met de nodige beper- kingen rekening moet worden gehouden. Immers, de algemene doelen die worden nagesrreefd en die het hele wiskundeonderwijs voortdurend moeten doortrekken, kunnen niet toereikend verantwoord worden met behulp van ge'isoleerde topjes van de toetsberg. In paragraaf 3 wordt gepoogd ook 'onder de oppervlakte' te kijken. Implicaties voor (toekomstig) onderzoek zullen worden gevolgd door enkele slotoprnerkingen.

Voorschot Welke denkstrategidn, welk wiskundeonderwijs?

Een eerste voorbeeld Een twee-en-een-half-jaar durend ontwikkelingsonderzoek naar realistisch breukenonderwijs werd afgerond met een vergelijkende toets.2 Deze had een tweeledig doel, namelijk: - de leereffecten van de nieuwe leergang (het prototy-

pe) vergelijken met die van bestaande leergangen; - het kritisoh (her)overwegen van het prototype en dit

zonodig herzien. E6n van de vragen in de toets was de volgende? 3 zuurstokken worden eerlijk verdeeld over een groep van 4 kinderen. 7 zuurstokken worden eerlijk verdeeld over een groep van 10 kinderen. Vergelijk in welk groepje een kind meer krijgt, in het groepje van vier of in het groepje van tien. Hoeveel meer?

15 procent van de leerlingen in de controlegroep (van ongeveer 200) deelden 4 door 3 en 10 door 7. Dit leidde tot uitkomsten in termen van 'zoveel derden, zevenden of &n-en-twintigsten'; en tot staartdelingen (fig. 1).

jaargang 10 nummer I

figuur 1: algoritmische ontsporing4

Wat is hier mis? De wiskundige context van het probleem werd niet be- grepen zo deze al gevat werd. Onze diagnose? Een blind-algoritmische instelling. Dit verschijnsel is het re- sultaat van individuele en gei'soleerde ervaringen met lange reeksen van sommen, mechanistische oefeningen, het trainen van standaardalgoritmen, kenmerkend voor mec hanistisch rekenonderwijs.5

De relaties waar het op aankomt liggen nogal voor de hand. Toch worden ze verkeerd gemathematiseerd en daarmee komt een defecte kijk op de bewerking delen aan het l i ~ h t . ~ Bovendien past de toegepaste staartdeling absoluut niet als gereedschap. Is dit vraagstuk om die reden ongeschikt voor het toetsen van denkstrategidn? Inderdaad waren de kinderen van wie we verslag deden met schijnoplossingen bezig. Maar een antwoord op de gestelde vraag geeft dit niet. Dit hoeft ook niet, want het onderwijs dat vooraf ging weerspiegelt zich in de vergaarde oplossingen. Ze getuigen van een rigide attitude gericht op handelen volgens recept en het navolgen van regels. Langs indirecte weg is hiermee een belangrijk kenmerk (en voorwaarde) van het wiskundig bezig zijn achter- haald, namelijk het kumen identificeren van de wiskundige context in een probleem(ve1d).

Dat het ook anders kan blijkt uit de volgende oplossingen van twee kinderen uit de experimentele groep (fig. 2).

figuur 2: toegepaste verhoudingen7

Beide kinderen identificeerden 'verhouding' als wiskundige context van de kwestie en pasten de verhou- dingstabel als geschikt werktuig toe. ECn van hen be-

paalde zelfs het relatieve verschil op 6 . Zulke uiteenlopende reacties op eenzelfde probleem roepen twijfel op over toetsen als geschikt middel om de denkstrategieen aan het licht te brengen en te beoordelen. Wat bewijst deze ervaring in feite? In ieder geval dat het wiskundeonderwijs oogst wat gezaaid is8 - een simpele vaststelling vergeleken met de complexe relatie die eerst tussen onderwijzen en leren verondersteld werd. Of is het verband zelf evident, maar het achterhalen en een- duidig aan het licht brengen ervan alleen maar lastig? Wat in ieder geval duidelijk wordt is dat het toetsen van denkstrategieen in het wiskundeonderwijs zRlf ontwikkeld zal moeten worden.

Een tweede voorbeeld 'Graankorrels op het schaakbord'g is een overbekend verhaal. De uitvinder van het spel zou een vorstelijke beloning krijgen. De hoeveelheid graan die hij vroeg was: 1 korrel op het eerste veld, 2 op het tweede, 4 op het derde, 8 op het vierde, zo voortgaand met verdubbelen tot en met het 64ste veld. Een bagatel, zo dacht de koning, hooguit een zak gram. 'Had de koning gelijk?', zo werd de leerlingen gevraagd.

Leerlingen (groep acht), aan dit probleem werkend, ont- wikkelden door gezamenlijke inspanning de volgende tabel:

Toen gaf een leerling dit schot voor de boeg: 'Je kunt bij het 32ste veld stoppen en dan verdubbelen'. De leraar legt dit voorstel aan de hele groep voor. Een storm van pro's dreigt de contra's te overstemmen. E6n afwijzing werd tot boventoon: 'Ik denk niet dat het goed is; kijk bijvoorbeeld naar het vierde veld, daar liggen acht korrels, de helft van vier is twee, maar op het tweede veld liggen geen vier korrels.' Deze redenering overtuigde eenieder.1° Gelet op de toegepaste wiskundige middelen gebeurt er weinig verras- sends. De leerling maakt simpelweg gebmik van de ta- be1 op het bord. Des te opmerkelijker is echter de manier van redeneren, namelijk: - er vindt een omkering plaats, een temgredenering op

grond van de gegevens; - er is sprake van een sterke vereenvoudiging; - de gemaakte fout wordt als juist overgenomen, er

wordt op doorgeredeneerd om tot een tegenspraak met de feiten te komen.

Daarmee wordt de oorspronkelijke redenering ont- kracht. Samen met het 'identificeren van de rekenkundi- ge context' vormen de genoemde kenmerken van de o p lossing van de graankwestie een eerste aanwijzing naar welke denkstrategieen we op zoek zijn.

tijdschrift wor nascholing en ondenoek van het reken-wiskundeondetwijs

veld

graankorrels ... 1 128 ... 2 4 8 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

32 64

Dergelijke denkstrategiebn, dat wil zeggen hun uitingen, zullen globaal beschouwd worden vanuit het gezichts- punt van algemene doelstellingen voor wiskundeonderwijs. De voorbeelden weerspiegelen ook dat het om realistisch wiskundeonderwijs gaat. Er wordt een beroep gedaan op de leerlingen tot produktieve inbreng via eigen constructies. Om hen daartoe in staat te stellen zullen ze moeten beschikken over de nodige wiskundige werktuigen. Bovendien gaat het om interactief onderwijs waarin duidelijke samenhangen worden nagestreefd met het oog op de structurering van de wiskunde die wordt voortgebracht, zoals bijvoorbeeld het verstrengelen van verhoudingen en breuken.ll

2 Algemene doelen van wiskundeonderwijs en denkstrategieen

Algemene doelen Het wiskundeonderwijs is in beweging, zeker in de wes- terse industrielanden. Het heeft weinig zin voor de zo- veelste keer te gaan herhalen dat 'mathematics counts', dat het gaat om 'kies exact' en dater dus een 'agenda for action' moet zijn. Inmiddels is de ontwikkeling al weer een stap verder. De 'Standards', het 'National Curricu- lum' en in zekere zin ook de 'Proeve van een nationaal programma' belichamen reeds de diverse 'agenda's'.lZ Deze documenten getuigen zonder uitzondering van de zorg waaruit ze zijn ontstaan, namelijk dat het op reproduktie ingestelde, traditionele reken-wiskundeonderwijs niet meer voldoet. Algemene doelen zijn opnieuw geformuleerd. Er is een pleidooi voor uiteenlopende bekwaamheden en attituden. De 'Proeve ...' noemt in dit verband: - het kunnen verbinden van vraagstukken in de realiteit

met het vaksysteem; - het opsporen van verbanden, regels en patronen; - het gebruiken en verwoorden van onderzoeks- en re-

deneerstrategien, bijvoorbeeld het belang leren inzien van proberen, experimenteren, simplificeren, observeren, overdrijven, schatten, veralgemenen.13

Ook noemt de 'Proeve ...' allerlei attitudekenmerken, zoals: - het ontwikkelen van een goed wiskundig aanpakge-

drag; - het toepassen van allerlei strategidn en methoden; - het interpreteren van wiskundige uitkomsten in de

oorspronkelijke reEle context; - het (actief) ontwikkelen van een wiskundetaal; - het (leren) reflecteren op de eigen wiskundige activi-

teit (en die van anderen).14 De geciteerde publikaties hechten hetzelfde belang aan basisvaardigheden en schatten, maar verschillen ten aanzien van het leren van de cijferalgoritmen.15 In alle gevallen geldt dat de te verwerven basisvaardigheden op den duur tot reproduceerbare kennis (kunnen)

worden, vergelijkbaar met de effecten van het traditionele onderwijs, zij het dat nu een sterk accent op de toe- pasbaarheid ervan is komen te liggen. Toetsen gericht op reproduktie zullen wat dit vaardigheidsaspect aangaat hun bruikbaarheid (dus) we1 blijven behouden. Op grond van de genoemde algemene doelen ontstaat er echter behoefte aan toetsen die boven het stimulus-res- pons niveau uitstijgen. Het toetsen van hogere niveaus is echter moeilijk. Dit is een gevolg van de omslag van reproduktief naar (re)consmctief leren. 'Kunnen verbinden', 'opsporen', 'gebruiken en verwoorden', 'proberen', 'experimenteren', enzovoort vragen om meer open problemen en die zijn eenvoudigweg moeilijker te beoordelen. De voorwaarden voor het verleggen van de prioriteit van de produkt- naar de procesdoelen zullen in het wiskundeonderwijs vervuld moeten worden. Het zal zich gaan bewegen tussen twee uitersten, te w e ten het verwerven van vaardigheden, routines en parate kennis enerzijds en het ontwikkelen en van denkstrategi&n en andere algemene bekwaamheden anderzijds. Een dergelijk breed spectrum zal dus door het wiskundeonderwijs bestreken moeten worden wil het echt zin hebben toetsen te maken om denkstrategien aan het licht te brengen of een (groeiende) wiskundige grondhouding in het algemeen, met alle uitingsvormen van dien. Nogmaals, het gaat om kenmerken van de wiskundige activiteit van de leerlingen van blijvend karakter en toenemende intensiteit. Een en ander houdt in dat allerlei organiserende en structurerende activiteiten, zoals vermeld in de algemene doelen en kenmerkend voor het mathematiseren, aan de leerlingen worden overgelaten (zie ook paragraaf 3). De beoogde algemene doelen dienen permanent te worden nagestreefd. De manier waarop dit zou moeten gebeuren kan met voorbeelden gesitueerd in hun didactische context worden geillustreerd.16 Twee voorbeelden gaven we al in paragraaf 1. Over ver- schijningsvormen waarmee denkstrategidn naar buiten treden gaat de volgende paragraaf.

Denkstrategieen

Verkenning Sommige denkstrategidn laten zich als truc onderwijzen en zo gebeurde het ook. Bijvoorbeeld een vraagstuk algebrai'sch oplossen door de onbekende(n) x (en y) te noemen en hun verbanden te bepalen. Is de truc eenmaal doorzien dan wordt het een algoritme. Maar in plaats van de truc te vertellen kan men ook de heuristische weg bewandelen in het onderwijs, dat is de leerling begeleiden bij de (re)constructie van deze methode. Men richt er iich dan op dat de leerlingen een instelling verwerven van zelf zoeken, ontwikkelen en construeren, kortom op de ontwikkeling van een heuristische houding. In de Amerikaanse literatuur spreekt men van 'higher order thinking skills'. Dit klinkt nogal taxonomisch net als 'analyse', 'synthese' en 'evaluatie' in de classificatie van Bloom.17 Soms spreekt men ook we1 van het opdoen

jaargang 10 nummer 1

van 'mathematical power' of van het verwerven van 'a mathematical point of view'.18 Voor ons doe1 is een dergelijke gewaardeerde classificatie echter nog te prematuur. In de eerste plaats zullen proceskenmerken van wiskundige activiteiten achter- haald moeten worden. Daarin kan dan later eventueel een indeling naa. typen of klassen worden aangebracht.

Denkst.ategi&n komen voort uit wiskundige activiteiten: het handelen krijgt in het denken een vervolg, wordt mentaal handelen. Als term is '(denk)strategie' wat du- bieus. Iemands wiskundige bekwaamheid kan zich namelijk ook op een onbewuste manier manifesteren. Hadatnard heeft dit op overtuigende wijze beschreven.19 Dergelijke denkstrategieEn, eerst onwillekeurig gebruikt, worden tot tactiek wanneer ze bewust worden toegepasL20

Door leren worden denkstrategieen verworven. In het algemeen blijft dit niet beperkt tot het verwerven of het verdiepen van inzicht. Het omvat ook het veranderen van iemands grondhouding tegenover nieuwe problemen. Hoe kan dergelijk leren bevorderd worden door het onderwijs? Opleggen aan de leerlingen wat geleerd moet worden alsof het om het programmeren van computers zou gaan functioneert niet. De leerlingen zBlf hebben dan immers part noch deel aan de produktie van de strategi&n? Wij kiezen voor (her)uitvinding onder (bege)leiding van de leraar. Voorbeelden: - het leren vermenigvuldigen onder elkaar of staartde-

len volgens strategi&n van schatten en handig reke nen, op den duur 'stollend' tot (persoonlijke) algoritmen;"

- het handig leren vergelijken, ordenen en samenstel- len van equivalente verdeelsituaties met de bijbeho- rende uitkomsten, allengs de gedaante aannemend van het bepalen van het relatieve verschil van (twee) verhoudingen en het aftrekken en optellen van ongelijknamige breuken volgens de (kortste) methode van kgv-be~aling~~, of, meer algemeen:

- het doen van (lokale) ontdekkingen die later uitkris- talliseren tot standaardregels of mcs;

- het ontwikkelen van (onbewuste) denkstrategidn tot (bewuste) tactieken.

Dit gaat vergezeld van niveauverhoging, zeker wat de voortgang binnen de wiskunde aangaat. Zodra het handelen op een nieuw niveau vertrouwd ge- worden is kan er met nog hogere niveaus op worden voortgebouwd. Voor de leerling betekent dit een herwaardering van het vorige niveau.

Laten we dit illustreren - in vogelvlucht - met een voorbeeld uit een breukenleergang. '4 kinderen verdelen 3 repen. Hoeveel krijgt elk?' Er kan op verschillende manieren verdeeld worden: eerst twee repen, voor elk een halve reep, en dan de derde met voor ide r nog een kwart reep; of reep na reep,

ieder krijgt een k a r t reep, drie keer op rij; enzovoort. Het materiaal waarop geopereerd wordt zijn de (denk- beeldige) repen of hun parten (verdelen en toewijzen). Van breuken kan ondanks de toegepaste omschrijvingen nog niet gesproken worden (eerste niveau). Dit veran- dert zodra het verdelen zelf en de onderlinge relaties tussen de voortgebrachte en beschreven parten onderwerp van beschouwing worden. Modellen en beschrijvings- middelen kunnen worden toegepast om hieraan uitdruk- king te geven (tweede niveau). Op nog hoger niveau wordt op de betrekkingen zelf geopereerd, zoals ze uit het verdelen tevoorschijn zijn gekomen (derde niveau). Dit kan gebeuren in opdrachten tot vrije produktie, bijvoorbeeld 'her verhaal van ' (fig. 3).

1 2 = l - 2 1 - - ; etc.

8

3 figuur 3: het verhaal van - 4

Met de methoden waarmee (delen van) dergelijke mo- nografietjes worden voortgebracht (equivalentie, com- mutativiteit, enzovoort) worden de breuken van be- schrijvingssysteem voor het verdelen als het ware tot een algebrdisch systeem van breuken (positieve ratio- nale getallen)." Wat belangrijker is: de leerlingen voeren dit zelf uit:

'... the operational matter of the lower level becomes a sub- ject matter on the next level.'%

Pas wanneer het kind in staat is tot reflectie op het eigen handelen wordt het hogere niveau toegankelijk, met als gevolg de mogelijkheid tot herwaardering van het verla- ten niveau. De breukenmonografietjes bijvoorbeeld worden een concrete bron voor de algebra (dus opnieuw het eerste niveau).

Laten we na deze uitstap op onze schreden terugkeren. In paragraaf 1 werden vier opmerkelijke kenmerken van oplossingsprocessen gesignaleerd, namelijk het probleem omkeren, vereenvoudigen, onjuiste redeneringen aan- vaarden en de wiskundige context identificeren. De voorlopige term voor dergelijke kenmerken is strufegieEn. Belangrijker dan een term zijn echter de omstandighe- den of voorwaarden waaronder ze zich voordoen of die tot hun toepassing aanleiding geven. Probleemoplossen is &n van de brede gebieden gedomi- need door denkstrategieen, ook we1 heuristieken genoemd. Polya was de eerste die ze op grote schaal systematisch bestudeerde. Hij kwam met talloze voorbeelden. Laten we hem op de voet volgen.

Polya In een aantal boeken onderwijst deze vemaarde wiskundige zijn lezers in het probleemoplossen.

tijdschriit voor nascholing en onderzoek van her reken-wiskundeondenv~s

Hij neemt hen als het ware bij de hand om hen te helpen zijn denkirant te begrijpen als middel tot het doen van ontdekkingen en uitvindingen. Hij geeft allerlei specifieke suggesties a l ~ : ~ - bekijk een speciaal geval van het probleem; - zoek een geschikt, verwant probleem; - werk in omgekeerde volgorde, door aan te nemen dat

er a1 een oplossing is; - maak een tekening. Zowel vorm als inhoud van de benadering (bijvoorbeeld omkeren tegenover tekenen) dragen bij aan de rijke va- ribteit aan manieren om problemen op te lossen: strategien, vuistregels, know-how, en wat verder onder heuristieken kan worden verstaan. Hiervoor keek hij naar zichzelf als probleemoplosser en naar de geschiedenis van de wiskunde. In de door Euclides gesystematiseerde, deductieve meetkunde bijvoorbeeld, vindt de argumentatie steeds in dezelfde richting plaats: gegeven - te construeren - constructie, veronderstelling - te bewijzen - bewijs. Het is een markant voorbeeld van systeemdwang, waartegen Polya bezwaar aantekent. Deze volgorde, zo beargu- menteert hij, is precies tegenovergesteld aan de natuurlijke volgorde van het uitvinden. Het verhaal van hoe het gevonden werd is dus een ander dan Euclides vertelt. In dit verband noemt Polya Pappus, die eeuwen na Eu- clides wees op een heuristiek die analyse genoemd werd. Daarbij wordt ervan uitgegaan dat het gezochte a1 gevonden is en het te bewijzen al bewezen. Behalve dit van achter naar voren oplossen of regressief redeneren beschouwt Pappus ook het omgekeerde, de synthese of het 'constructief oplossen' of 'progressief redeneren'. Voor meetkundige constructies beveelt Pappus naar Grieks landmeetkundig gebruik aan de weg van de analyse te volgen: 'Veronderstel hetgeen gedaan moet worden als reeds gedaan' en 'Maak een hypothetische figuur waarin ervan uitgegaan wordt dat aan alle in het probleem gestelde voorwaarden voldaan is.'Z6 In leerboeken van lang v66r Polya werden meetkundige constructieproblemen al op deze rnanier benaderd door te starten met een analysefiguur in de betekenis van Pap- pus' hypothetische figuur. Stellingen en bewijzen werden echter niet op een dergelijke, heuristische manier benaderd.

Blikwisseling of standpuntverandering Krutetskii spreekt van 'the ability to switch rapidly from a direct to a reverse train of thought'." Freudenthal noemt het 'change of sight' of 'change of perspective' en onderscheidt verschillende vormen van '~hifting'.2~

'Change of sight, a complex field of strategies with the common feature that the position of data and unknowns in a problem or field of knowledge is -partially - interchan- ged; including the recognition of wrong changes of ~ i g h t . ' ~

In de meetkunde bijvoorbeeld behoren tot een dergelijk 'field of strategies': - lijfelijk van standpunt veranderen (bij ruimtelijk

oribnteren; zie paragraaf 3);

- gegevens tegen wat gevraagd wordt uitwisselen; - de volgorde van de stappen in een constructie omke-

ren; - enzovoort. Freudenthal noemt ook nog een viertal andere grow strategien, namelijk: - de onfwikkeling (niet afdwingen of opleggen!) van

wiskundetaal op het niveau van conventionele symbolen en functionele beschrijving, uitstijgend boven de niveaus van demonstratieve en (lingu'istisch) relatieve tad;

- de graad van precisie vauen, die past bij een probleem (bijvoorbeeld in het ene geval schatten en in het andere precies berekenen);

- de wiskundige context van een ( r e l ) probleem identificeren, en tensloue

- de eigen wiskundige activiteit tot onderwerp van beschouwing maken met het oog op het realiseren van niveauverhoging.

Proces versus produkt Hoe mooi en baanbrekend het werk van Polya ook geweest moge zijn, het geeft geen antwoord op ons probleem. Het voornaamste bezwaar, genoemd door Freudenthal, maar een boekenschrijver niet aan te rekenen, betreft de interactie tussen schrijver en lezers." Het meedenken van de auteur met zijn lezers heeft namelijk de voorkeur boven het omgekeerde, maar is heel moeilijk te realiseren. Wat het wiskundeonderwijs en het toetsen van hogere bekwaamheden aangaat is dat waar het op aankomt: meedenken met de leerlingen. Het zou a1 veel helpen meer te weten over oorsprong en ontwikkeling van strategiebn. Echter, in water uitziet als een schriftelijke neerslag van het historische leerproces is veel 'gladgestreken' en 'op z'n kop gezet' door reorganiseren, vereenvoudigen, her- structureren, herdefinibren, abstraheren, generaliseren, unificeren, enzovoort. Merk op dat a1 deze werkwoorden verwijzen naar strategieen die in het historische leerproces de (vooruit)gang erin gehouden hebben. Polya onderkende het bezwaar van het leren van 'gladgestreken' wiskunde. De oor- spronkelijkheid van de historische ontwikkeling is er dan uit weggewist. Deze voltrok zich namelijk:

'...heuristically. by searching, at random and intentionally, by finding by serendipity or systematically. This then, is heuristics: the scribblings, as opposed to the clean copy as it is printed.'31

Dit is waarnaar we op zoek zijn. Want in de 'scrib- bling~', zoals Freudenthal het zo mooi uitdrukte, weerspiegelt zich de aard van de wiskundige activiteit van de probleemoplosser. Daar komen de kenmerken en symp tomen ervan aan de 0ppe~lak te .~~ Deze zullen moeten worden ge'interpreteerd in relatie tot de gebruikte wiskundige werktuigen binnen de individuele leerproces- ~en.3~

jaargang .10 nummer 1

Lijsten met heuristieken hebben bezwaren. Vraagt zo'n lijst bijvoorbeeld niet om het van buiten leren ervan? Of om bij zeker onderwerp in de computer te worden inge- voerd om ze vervolgens in de leerling in te voeren? Is dit de manier om probleemoplossers te vormen? Overzichten van strategi&n, opgesteld naar Polya's werk, zijn niet bedoeld om te memoriseren." Schoenfeld, bijvoorbeeld, prefereerde:

'... to create a microcosm of mathematical culture. Mathe- matics was the medium of exchange. We talked about mathematics. explained it to each other, shared the false starts, enjoyed the interaction of personalities. In short, we beca- me mathematical people'.

met het oog op het opdoen van 'mathematical power' en een 'mathematical point of view'?$ Op grond van het voorgaande voegen we daaraan toe dat essentieeI is: - de kladblaadjes tegenover het schoonschrift, de men-

tale kladblaadjes inbegrepen, want die maken het mogelijk

- met de leerlingen mee te denken, en dus ook - hen van de toegepaste strategieen in hun wiskundige

activiteit bewust te maker^.^^ Geleidelijk aan is de aandacht verlegd van leren naar onderwijzen, van denkstrategi&n naar de uitingen ervan zoals ze in leerprocessen kunnen worden geobserveerd en bijgevolg naar heuristieken, niet om ze in een lijst op te nemen voor het leren van wiskunde maar met het oog op heuristisch wiskundeonderwijs.

Heuristisch wiskundeondetwgs Hoewel summier, weerspiegelde de beschrijving van 'Graankorrels op het schaakbord' dergelijk onderwijs. Voor de leraar was de kern van het verhaal een wiskundig idee dat door de leerlingen gevat zou moeten worden. Zij zouden de beslissingen moeten nemen en keu- Zen gaan maken, niet op voorhand a1 vastgelegd en be- slist, doch veeleer nog in de loop der dingen besloten. Het is aan de leraar om soepel in te spelen op de inbreng van de leerlingen. Dit kan betekenen dat de aandacht van het tellen verplaatst wordt naar een andere grootheid die bij het tellen kan bemiddelen, zoals bijvoorbeeld: Teltijd: 1 korrel per seconde, dat is voor het 7de veld 64 seconden of ongeveer 1 minuut, voor het 13de veld 64 minuten of ongeveer 1 uur, ... enzovoort. Wie zich belast met het tellen van de hoeveelheid voor het 64ste veld zou op deze manier zo'n 250 miljard jaar nodig hebben! Of: Inhoud: op het 1 lde veld 1024 korrels; deze wegen zo'n 30 gram, in een maatglas zo'n 50 kubieke cm. Op deze manier zou de totale hoeveelheid graan een kubus met een ribbe van 8 kilometer als opslagruimte vergen!" De gang van zaken komt dus neer op het realiseren van een gedachtenexperiment in de Mas dat mikt op het vatten van een bij het probleem passende mate van precisie, een attitude die we eerder noemden.

'In his mind the teacher has prepared a clean copy, which

he expects the learner to produce, and even a somewhat va- gue series of scribblings leading to the clean copy -a plan, which in the actual experiment must be modified according to the student's cooperation. This is what from olden times they called heuristic instruction, quite unlike the 'modem problem solving', which can mean anything from letting the student muddle up to having h i tied to leading strings.'%

De leraar schept dus ruimte om met zijn leerlingen mee te denken. Op deze manier is de wiskunde dus heel wat meer dan een 'objective body of knowledge and techni- ques', zoals zij in sommige publikaties nog we1 wordt ~ p g e v a t . ~ ~

We zijn nu ver genoeg gevorderd om de vraag te stellen en te beantwoorden hoe algemene doelen getoetst kunnen worden, met welke problemen en hoe men zulke problemen kan vinden.

3 Problemen om algemene doelen te toetsen

Voorbeelden als lnstap

Eerste voorbeeld: autobussen Het in- en uitstappen van passagiers bij de bushalte is een geschikte informele toegang gebleken voor het o p tellen en aftrekken. In de jongste generaties leerboeken (in Nederland) wordt deze context hiervoor benut (fig. 4). De aandacht richt zich op wat bij de halte gebeurt.

figuur 4: de bus komt met 3 passagiers bij de halte, em........

Het uitwisselen van halte-gegeven en uitkomst levert een aardige variant op (fig. 5).

figuur 5: wat gebeurde er bij de halte?

Merk op dat de verandering bij de halte met getallenparen beschreven kan worden (een informele ingang voor negatieve getallen?). Een nog opener variant krijgt men door ook nog het aantal passagiers in de bus v66r de halte in het midden te laten.

Tweede voorbeeld: wisselgeld In het onderwijs-vergelijkend ondenoek van het MORE-project (MethodenOndenoek REkenonderwijs) worden de door Van den Heuvel-Panhuizen en Grave- meijer gemaakte toetsen als instrument gebruikt.

tijdschrrift voor nascholing en ondenoek van het reken-wiskundeondenvJs

Een voorbeeld van een item is (fig. 6): 15 gulden in de beurs, drie dingen van 6,2 en 7 gulden. Iets kopen en het wisselgeld aankruisen. Variant: Laat &n van de passende wisselgeldbedragen weg, of de kostprijs van de koop warn*

figuur 6: kopen en wisselen

Derde voorbeeld: verdeelsituatie Verdeelsituaties zijn produktief gebleken als instap tot de breuken, zowel historisch als didacti~ch.~l Bijvoor- beeld '4 kinderen verdelen 1 reep chocolade, ieder krijgt

reep'. Na enkele van dergelijke activiteiten kan men de kwestie ook omkeren: bij het eerlijk verdelen van repen krijgt Jan reep. Hoeveel repen en kinderen kunnen er geweest zijn? Het hoeft niet bij '1 reep met z'n vieren' te blijven, want '2 met z'n achten' is ook mogelijk, enzo- VooR

Bij '3 repen met z'n vieren' bijvoorbeeld zou met ook de herkomst van 'ieder $ + 4 reep' kunnen laten reconstrueren (zie paragraaf 2).

Vierde voorbeeld: delen met rest Wat komt er uit de deling 6394 : 12 = ? Men kan echter ook de deling met uitkomst geven: Uit de deIing komt 532; 533; 532 rest 10; 532,84 rest 4; 532,833333; ongeveer 530, en hieraan de kwestie verbinden: bedenk voor elk van de uitkomsten een passend verhaaltje bij de deling.

Vijfde voorbeeld: schaal Wanneer het schaalbegrip eenmaal onderwezen is volgen de toepassingen (fig.7). De afstanden tot de plaatsen op de wegwijzers worden bepaald (a) en ingevuld. Men kan echter ook de wegwijzer van zijn plaats nemen en de ontbrekende afstanden aan de wegwijzer toevoegen (b) en (c). Het vraagstuk wordt dm: op welk kruispunt hoort de wegwijzer?

Zesde voorbeeld: inhoudsexperiment In een gedachten- en gedaan experiment worden bussen, vaten en flessen van uiteenlopende inhoud gevuld, eenheid na eenheid en doorlopend." Dit kan op nogal wat wiskunde uitdraaien. Er worden eerst voorspellingen gedaan (schatten en kwalitatieve @eken maken) (fig. 8.) De aandacht wordt gericht op de toename van de hoogte van het water dat gelijkmatig in het vat komt. Wie let op de hoogteverandering in het vat (dus in zekere zin op de snelheid waarmee het volloopt) gaat ook letten op de verandering in doorsnede. Bijgevolg worden alle drie dimensies in het oog gevat. Merk op hoe de vraag naar de verandering van de hoogte op zichzelf a1 een standpuntverandering tot gevolg heeft van hoogte naar doorsnede. En ook, hoe door dit experiment prille noties van het functiebegrip kunnen postvatten of verscherpt worden.

figuur 7: schaal, rechtstreeks en omgekeerd


Tenslotte nog dit: de methode die de Italiaanse wiskundige Cavalieri (1598-1647) toepaste om inhouden te vergelijken berusue op 'glijdende' doorsneden. Stel dat het om de inhoud van de bol in figuur 8 gaat. Een kwalitatief (sne1heids)verhaal van een leerling kan dan bijvoorbeeld zijn: 'In het begin zal het water telkens een beetje minder (snel) stijgen, want de bol wordt a1 maar wijder. Dit gaat zo door totdat het water voorbij het midden is. Daarna gebeurt het net andersom, omdat de bol dan steeds nauwer wordt. In de hals stijgt het steeds hetzelfde omdat die overal even wijd is.' Uit een grafiekje valt dit verhaal nog af te lezen, zonder enige fran- je. Na enkele van dergelijke gedachtenexperimenten en werkelijk uitgevoerde, wordt de kwestie omgekeerd (fig. 8).

wisseling gevat wordt en dat op grond daarvan de oplossing tot stand komt, waarbij het verschil van 5 passagiers eventueel systematisch in getallenparen kan worden uitgedrukt. Vraagstukken waarin twee situaties of toestanden met elkaar vergeleken moeten worden dwingen hoe dan ook tot nadenken. Er zijn essentiEle verschillen met stipsommen doordat de mentale handelingen hun betekenis ont- lenen aan de context; er valt wat te vergelijken en er zijn meerdere uitkomsten mogelijk.

Wisselgeld Wie zich niet van de wijs laat brengen voegt alsnog tien gulden als wisselgeld toe om de aankoop van een voor- werp van 5 gulden mogelijk te maken (fig. 9).

-s figuur 8: vat en grafiek

Een grafiekje wordt gegeven met de vraag: Welk verhaal vertelt deze grafiek? en: Hoe ziet het vat emit dat erbij hoort? Men kan ook meerdere grafieken geven met een verhaal en vragen uit de grafieken een keuze te doen.

De voorbeelden nader beschouwd

Overeenkomst De gegeven voorbeelden hebben gemeen dat alle recht- toe-recht-aan kwesties in tweede instantie een omkering ondergaan. En allemaal naar het beginsel uit Freudenthal's definitie (paragraaf 2). Op zichzelf is dit niets nieuws. Ook het uaditionele rekenonderwijs kent dergelijke voorbeelden, zoals het splitsen van hoeveelheden als tegenhanger van het optellen en de zogenaamde stipsommen 7 +. = 12 tegenover de directe opgaven en dergelijke gevallen ook voor de andere hoofdbewerkingen. Daarbij blijft het dan veelal een beperkt en weinig para- digmatisch repertoire volgens Fre~denthal.~~ Laten we de voorbeelden nog eens langs gaan.

Autobussen De gegeven varianten van de rechtstreekse opgave kunnen natuurlijk door proberen worden opgelost. Het is echter evenzeer denkbaar dat de uitdaging van de blik-

figuur 9: het wisselgeld completeren

Het niet uit de weg gaan voor obstakels is door diverse auteurs genoemd als strategic." Bij het weglaten van de prijzen van de artikelen ontstaat er opnieuw een situatie van vergelijken die tot bezinning dwingt. Datgene waarop de bezinning zich dient te richten is nu heel goed voorstelbaar, anders dan bij de klassieke stipsommen.

Verdeelsituatie De vraag naar de reconstructie van de oorspronkelijke verdeelsituatie bij gegeven portie verwijst terug naar de broncontext. Tegelijkertijd echter wordt met de op- brengst '1 reep voor 4 kinderen', '2 repen voor 8 kinderen', enzovoort vooruitgegrepen op wat nog komen moet, namelijk gelijkwaardigheid van verhoudingen en breuken. Voor de samengestelde portie anticipeert de reconstructie op het optellen van (ongelijknamige) breuken.45 Hierin weerspiegelt zich de iteratieve functie die reflectie in een langlopend leerproces kan hebben, omdat er zowel sprake is van terugblikken als van vooruit- grijpen in dezelfde activiteit.46

tijdschrift voor nascholing en ondenoek van her reken-wiskundeonderwijs

Delen met rest Deze bewerking is pas echt toepasbaar wanneer uiteenlopende uitkomsten samen met de opgave van een passende context kunnen worden voorzien. Dat zoiets geleerd moet worden blijkt uit onderzoekgegevens die uit- wijzen dat leerlingen zelfs in geval van rechtstreekse contextopgaven met de rest geen raad ~et.en.4~

Schaal Rechtstreekse plaatsing van de wegwijzer kan als hypo- thesetoetsing worden opgevat mits de geschikt veron- derstelde plek volgens plan getoetst wordt. Een redenering vanuit de aangewezen plaatsen wijst op het toepassen van de omkeersuategie. Overigens zal in beide gevallen uit obsewatie of uit de oplossing op papier zoiets moeten blijken.

lnhoud Door de recht-toe-recht-aan experimenten, gedacht en gedaan, zijn de drie dimensies waarvan de inhoud afhan- kelijk is in het oog gevat. Door de speciale aandacht voor de variabele hoogte richt het observeren zich op de glijdende doorsneden. Het grafische beeld van het ver- loop van de hoogte verwerft betekenis in beide soorten experimenten. Omgekeerd kunnen de leerlingen daarna een gegeven grafiek in verband brengen met een verhaal van verandering en zich hierbij een vat of fles realiseren die dit teweeg brengt.

Het ontwerpen van (heuristische) problemen

Standpuntverandering De gemeenschappelijke trekken in voorgaande rij van problemen kan nauwelijks toevallig zijn: waarom kregen ze allemaal dezelfde vorm? Achteraf verraadt dit feit een gemeenschappelijke strategie bij het ontwerpen, hoewel dit niet hoeft te betekenen dat de ontwerpen zich dit vooraf bewust ~ a r e n . ~ ~ Wat is de betekenis van deze strategie? Ten opzichte van 'blikwisseling' als grote strategie voor het oplossen van wiskundige vraagstukken is nogmaals een standpuntverandering voltrokken, namelijk deze: een strategie is vanuit de wiskunde naar het niveau van het didactiseren ervan getild om vervolgens produktief te worden toegepast voor het ontwerpen van problemen en kwesties die het toepassen van dergelijke strategietin kunnen uitlokken. Men kan zelfs stellen: standpuntverandering als mathematisch-didactische strategie ontpopt zich als element van een theoretisch raamwerk voor het ontwerpen van (heuristisch) wiskundeonderwijs. In wezen betekent dit dat activiteiten als het ontwerpen van wiskundeonderwijs (lessen, leergangen, programma's), het ontwikkelen van toetsen voor het afvragen van algemene doelen en ontwikkelingsonderzoek opgevat kunnen worden als heuristische processen waarin standpuntveranderingen als strategi&n worden toegepast (zie ook verderop in paragraaf 3). Hun succesvolle toepassing weerspiegelt een didactische attitude die niet spontaan ontstaat, maar zich ont-

wikkelt in de loop van dergelijke ontwerpactiviteiten als genoemd. Het observeren van langlopende, individuele leerprocessen, bijvoorbeeld, vormt een van de kernen van ontwikkelingsonder~oek.~~ Het is daar waar men volledig zicht kan krijgen op het verschijnsel blikwisseling, dat wil zeggen door zowel ontwikkelingsonderzoe- ker en leraar als leerling. Freudenthal stelt in dit verband:

'Learning processes are marked by a succession of changes of perspective, which should be provoked and reinforced by those who are expected to guide them.'50

In zekere zin weerspiegelde de (gedeeltelijke) breukenleergang (paragraaf 2) een dergelijke opeenvolging van standpuntveranderingen. De vraag is of er nog meer strategidn beschikbaar zijn met hetzelfde belang als 'blikwisseling', dat wil zeggen van mathematische herkomst maar met didactische allure als ontwerpstrategie. Ik denk van wel. ECn ervan betreft het niveau van de te bezigen taal in het wiskundeonderwijs. In ander verband hoop ik uitvoeriger de 'kwestie van het didactiseren' te behandelen.

Taalniveau Hierbij gaat het om een strategie die a1 eerder genoemd werd (paragraaf 2):

'...developing mathematical language above the ostensive and linguistically relative level, in particular at the level of conventional variables and functional des~ription.'~~

Eerste voorbeeld: eerlijk verdelen Een gedachtenexperiment: In een restaurant bestellen 24 kinderen 18 pannekoeken (het verdeelprobleem kan voor kinderen uit groep zes of zeven als volgt gesteld worden: verdeel deze pannekoeken onder die kinderen; 'the ostensive level' uit het citaat). Vervolgens: An tekende de kinderen eerst aan &n tafel (fig. 10). maar a1 gauw maakte zij er twee tafels van. Toen bedacht An: het hadden nog we1 mCCr tafels kunnen zijn. Van het tekenen krijgt zij echter genoeg!

figuur 10: tafelschikking

- Help An eens. Bedenk een klein plaatje, een tekenin- getje (een symbool) dat Iaat zien dat er 24 kinderen aan Wn tafel zitten om 18 dingen erap te verdelen.


- Bedenk ook een tekening (of schema) dat laat zien dat er ook we1 twee en zelfs nog meer tafels mogelijk zijn.

Zie hier, hoe de kinderen in hoge mate betrokken kunnen worden bij het bedenken van symbolen en schema's waarmee zij de(ze) werkelijkheid leren mathematiseren. Dit houdt ook het bewustmaken ervan in.

Tweede voorbeeld: inhoudsexperiment Onder de flessen en vaten van de (gedachte en echte) in- houdsproeven kunnen ook cilinders voorkomen. De ge- bezigde taal kan zich ontwikkelen van 'met dit maatje erbij komt het water zo hoog' tot beschrijving van het (deci)litersgewijs vullen door middel van decimale breuken en georganiseerd in een tabel:

A1 doende krijgt het opereren met deze getallen een in- zichtelijke basis. Proefondervindelijk blijkt bijvoorbeeld dat 1,7 + 1,7 # 2,14, een fout die met regels afge- richte leerlingen nogal eens maken. Het ontwikkelen van noties voor deze getallen en hoe zij zich gedragen bij het bewerken gaan op deze manier hand in hand. Voortbouwend op dergelijke veelzijdige ervaringen kunnen de leerlingen zelf algoritmen voor de bewerkingen ontwikkelen volgens de beginselen van het progressief schematiseren?Z

aantal deciliters

waterhoogte in cm

figuur 11: grafische oplossing

Een grafiek bij de tabel (fig. 11) grijpt vooruit op een blikwisseling, namelijk van het herhaald optellen (of vermenigvuldigen) van de stijging per maateenheid naar het delen van de hoogte van de cilinder daardoor. De hoogte uitgedrukt in eenheden van 1,7 cm komt overeen met de inhoud van de cilinder in deciliters. Dit inzicht kan vervolgens worden verwoord en uitgedrukt in een algebrai'sche formule. Dit zou het voorlopige sluitstuk van dergelijke activiteiten voor de leerlingen kunnen zijn.

1

1.7

Zie daar, hoe het ontwerpen van vraagstukken (en delen van leergangen) met het oog op het aan het licht brengen van door de leerlingen toegepaste denkstrategidn, mede door dergelijke strategidn bij het probleemoplossen richting gegeven kan worden. Tevens blijkt dat standpuntverandering niet de enige is met die mogelijkheid. In feite geldt dit voor het ontwerpen van realistisch (heuristisch) wiskundeonderwijs in het algemeen. Voordat hierop nader wordt ingegaan volgt nu eerst een overzichtje.

Tussenstand

2

3,4

De uiterlijke tekenen van een goede wiskundige grondhouding zijn vele. Er komt van alles bij te pas, zoals: - creativiteit; - organisatie en structurering van gegevens en ver-

schijnselen in een probleemveld; - het zien en benutten van verbanden, analogieen

(overeenkomsten in verhalen, contexten) en isomor- fie& (overeenkomsten in wiskundige sbuctuur);

- modelvorming, dus abstractie, generalisatie en trans- fer;

- het wijzigen van aanpak, het wisselen van invals- hoek, het varieren van denkniveau;"

- het vormen en toetsen van hypothesen; - het slechten of omzeilen van obstakels (bijvoorbeeld

in de vorm van het toevoegen van ontbrekende infor- matie);

- het zich losmaken van gegevens en buiten de gegeven kaders treden;"

- het aankunnen van nieuwe problemen en nieuwe situaties;

- het op eigen en andermans denken en handelen kunnen reflecteren.

Het is ondoenlijk om bimen het kader van &n enkel artikel aan te geven hoe dit alles in passende toetsen gevat en nagegaan kan worden. Alleen binnen het onderwijs zelf is dit mogelijk, dat is duidelijk, of anders gezegd, het nagaan of de algemene doelen gerealiseerd worden dient voortdurend in het ondenvijs zelfplaats te vinden. Toetsende buitenstaanders weten immers niet op wek niveau de leerlingen zich bevinden?

3

5,l

Reallstisch wiskundeonderwljs D& grote strategic om het onderwijzen en leren van wiskunde zoveel mogelijk op elkaar af te stemmen of in verband met elkaar te leren zien en begrijpen is het gedurig veranderen van standpunt, zowel in het onderwijs zelf als in'ontwikkelings- en evaluatieonderzoek. Het zich stellen op het standpunt van de leerlingen zo hebben we laten zien, betekent: - proberen hun denken naar buiten te brengen, open-

baar te maken, zodat - er met hen meegedacht kan worden, en - zij hun strategieh, hun manieren van doen en denken

kunnen uiten en hiervan bewust gemaakt kunnen worden.

4

...

Hoe bereikt men zoiets en wat betekent dit voor het onderwijs? We stelden het a1 eerder, namelijk dat het eva- lueren, toetsen, vaststellen van effecten of hoe men dit ook noemen wil, binnen het onderwijsleerpmces zelf zal moeten plaatsvinden." We gaan in verband hiermee in op de kenmerken van realistisch wiskundeonderwij~.~

tijdschrift voor nascholing en onderzoek van her reken-wiskundeondemijs

Construeren door concretiseren Eerder raakten we aan de kwestie van het omgaan met de rest bij het staartdelen. Daar werd gesteld dat zoiets geleerd moet worden. Welnu, in het project 'Nieuwe media' is een beeldplaat met courseware voor de nascholing van leraren basisonderwijs gemaakt." Hierop staat een les model, waarin kinderen van acht A negen jaar oplossingen construeren voor twee vraagstukken over delen, terwijl zij nog geen procedure voor deze bewerking beschikbaar hebben. Het gaat om & volgende vraagstukken: 1 Op een ouderavond verwacht de juf 81 bezoekers.

Hoeveel tafels van 6 personen moet zij klaar zetten? 2 Zij maakt tevoren kannen met koffie gereed. Uit CCn

kan gaan 7 kopjes. Hoeveel kannen moet de juf klaar- maken?

Op uiteenlopende afstand tot deze werkelijkheid construeren de kinderen a1 schematiserend hun oplossingen. Deze bevatten de bouwstenen voor een methode voor het delen op de lange termijn. Aldoende leren zij meteen betekenis te geven aan de rest binnen deze context: voor de overblijvende ouders is nog een tafel nodig (fig. 12). Voor het koffieschenken hebben de kinderen soortgelij- ke overwegingen. Net als in het geval van 'De ouderavond' krijgen de leerlingen in realistisch wiskundeonderwijs voortdurend de gelegenheid zelf hun wiskunde voort te brengen door eigen constructies: - zelf de gebeurtenissen bij de bushalte ondenoeken; - zelf wisselgeld en prijzen bepalen; - zelf verdelingen in verdeelsituaties voltrekken, uit-

komsten beschrijven, situaties vergelijken, situaties bedenken bij parten;

- zelf methoden voor bewerkingen als delen leren ontwikkelen en aldoende leren rekenen met resten, zelf uitkomsten leren voorzien van passende verhalen;

- zelf het proces van afstand nemen en verschralen bij het schaalbegrip leren volmkken, enzovoort.

De voorwaarde waaraan het onderwijs moet voldoen wil aan dit constructiebeginsel recht worden gedaan is duidelijk. De activiteiten van de leerlingen zijn zonder uitzondering ingebed in concrete situaties in con te~ ten .~~ Dit gebeurt niet zo maar. De geschetste activiteiten verwijzen naar het optellen en aftrekken met natuurlijke getallen, naar equivalente breuken en verhoudingen, het vergelijken ervan en hun bewerkingen, enzovoort. Van- uit r&le situaties worden verbindingen gelegd met de wiskunde; de wiskunde komt eruit voort. Bij het delen met rest en de grafieken van de inhoudsex- perimenten gebeurde ook het omgekeerde. En zo hoort het ook. Want bij het mathematiseren van r&le situaties past ook het (zich) realiseren van gemathematiseerde situaties, dat is het interpreteren en verklaren binnen een passende context. Zo moest de wegwijzer geplaatst worden in een deels gemathematiseerde werkelijkheid (de kaart). Hieraan dient vooraf te gaan de bewustwording van het afstand nemen en verschralen en vooral van de omkering van werkelijkheid naar (kaart)model. Kortom, het gaat niet zo maar om construeren. Er worden narnelijk werkelijk- heden gekozen die bron zijn voor wiskundige begrip- pen, operaties en structuren. Begint dergelijk wiskundig materiaal eenmaal mentaal handen en voeten te krijgen dan nog wordt de realiteit niet de rug toegekeerd. Deze kan immers als toepassingsgebied blijvende diensten bewijzen.

Wiskundig gereedschap ontwikkelen voor de over- gang van concreet naar abstract De afstand van r&le problemen tot de wiskunde die er- mee in verband gebracht kan worden is voor de leerlingen meestal (te) groot. Voor het overbruggen van deze afstand is wiskundig gereedschap nodig. Wat ligt er meer voor de hand dan dergelijk gereedschap te ontwikkelen in het mathematiseringsproces dlf, waarin het abstracte uit het concrete wordt voortgebracht.


figuur 12: 14 tafels voor 81 ouders

Bijvoorbeeld: - de leerlingen zelf methoden van voortgaand schema-

tiseren laten ontwikkelen voor de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en later decimale breuken;

- de leerlingen zelf een schema voor het tafelschikken laten ontwikkelen om grote verdeel- en andere situaties tot meer beheersbare proporties terug te brengen; zelf hierin verkortingen laten ontwikkelen bij het progressief schematiseren;

- leerlingen veelvuldig gelegenheid geven om zelf ver- houdingssituaties te leren vergelijken, ordenen en hun relatieve verschillen bepalen; daarbij de verhou- dingstabel als schema inzetten en al schematiserend het proces van vergelijken geleidelijk aan verkorten tot standaardmethode.

Vanzelfsprekend richt de aandacht zich niet op schema- tiseringsmiddelen alleen. Het betreft alle gereedschappen en werktuigen: symbolen, schema's, (visuele) modellen, notatievormen, enzovoort. Bij het tafelschikken gaat het om de constructie van een symbool, dat verwijst naar de verdelers om de tafel en de eetwaar erop (fig. 13).

Op de achtergrond van het schematiseren functioneert het verhaal van het tafelschikken. Deze contextsituatie modelleert het schematiseren met het apart gecrekrde symbool zo krachtig dat van modelsituatie gesproken kan worden, sterker nog, de context zelf functioneert hier als model, als ~ituatiemodel.~9 Ondanks deze summiere beschouwing is duidelijk dat het gaat om niveauverhoging van concreet naar abstract. Hieraan ligt een andere fundering van niveaus ten grondslag dan de klassieke Bruneriaanse drieslag. In plaats van handelen met concreet materiaal, aan plaat- jes en op mentaal niveau, betekent niveaus hier de afstand (of nabijheid) tot de &le situatie. Via eigen, informele aanpakken en strategidn bewegen de leerlingen zich (onder leiding van de leraar!) naar de formele procedures en inzichten van de vaksystematiek. De te ontwikkelen hulpmiddelen en gereedschappen zijn vooral bedoeld om 10s te komen van het concrete en om het tus- semiveau te stofferen. Daar ondergaat het aan de context ontleende materiaal allerlei bewerkingen (verkorten, stroomlijnen, omzetten in regels en formules, enzovoort). Op die manier worden de nagestreefde abstracties voorbereid en uiteindelijk gerealiseerd. Naarmate het leerproces vordert vindt een herwaardering van bereikte niveaus plaats. Wat bijvoorbeeld eerst abstracte kennis van natuurlijke getallen is wordt later concrete bron voor de algebra.60

Het maken van vrije produkties om te reflecteren Een beziming op het eigen leerproces kan worden uitgelokt door het geven van vrije produktie-opdrachten. Dit gebeurt niet zomaar als doe1 in zichzelf, maar met een speciaal oogmerk. Bijvoorbeeld: - het maken van een rekenboek voor de volgende groep

kinderen met gemakkelijke, gemiddelde en moeilijke opgavenpl of

- het bedenken van een proefwerk bij een bepaald onderwerp of thema.

Dergelijke produktie-opdrachten brengen niet alleen de stand van zaken in individuele leerprocessen naar buiten maar weerspiegelen ook het gegeven onderwijs. Ze kunnen in sterke mate niveauverhogend werken, zoals ont- wikkelingsonde~zoek uitwijst. Dat wil zeggen, er kan een anticiperende werking van uitgaan. Dat hier goede mogelijkheden liggen om de hogere doelen te realiseren en dus ook om de effecten ervan na te gaan is duidelijk.

lnteractief ondewijs voor het leren als sociale activiteit De open, realistische benadering maakt nogal wat 10s bij de leerlingen. De realiteit als bron en toepassingsgebied maakt de problemen concreet, voorstelbaar. Iedereen kan erin stappen. Velerlei reacties van uiteenlopende kwaliteit en niveau zijn er het gevolg van. Door het ge- zamenlijk ontwikkelen van een wiskundig instrumenta- rium kunnen de leerlingen op e n lijn komen. Het aantal vrijheidsgraden is dan echter nog legio door de constructie- en produktieruimte die er overblijft en door de verschillende niveaus van schematiseren die er zijn. Er kan in ieder geval ruimte voldoende zijn voor persoonlijke inbreng in de les door alle leerlingen. Het gevolg is dat oplossingen worden vergeleken, i d d n uit- gewisseld, aanpakken op verschillend niveau van schematisering beschouwd en vergeleken, redeneringen gekritiseerd, weerlegd en verbeterd of ondersteund en dat er wordt onderhandeld over de beste manier om het leerproces te vemolgen. Dit alles vormt de bron van keuzemomenten voor de leraar waarmee hij zijn voorbereide onderwijs als gedachtenexperiment tot werkelijkheid kan maken. Kortom, het gaat dan om interactief onderwijs in optima forma. Dit vergt van de leerling dat hij voortdurend van zijn eigen ervaring en standpunt zal moeten overstappen naar wat anderen in dit opzicht inbrengen om te kunnen vergelijken, beoordelen, conclusies trekken en kiezen voor een efficientere aanpak. Op deze manier worden de in- teractieve delen van de les dus in hogere mate reflectief en kunnen zij als zodanig bijdragen aan niveauverhogin- gen, zowel in individuele leerprocessen als in dat van de gehele groep. Het is de enige manier om tot werkelijk gelndividualiseerd onderwijs te komen. Het korte lesmoment in 'Graankorrels' was in dit verband illustratief. De redenering van de enkeling had voldoende bewijskracht om velen de onjuistheid van hun zienswijze te doen inzien.

tijdschrift voor nascholing en ondenoek van her reken-wiskundeondemijs

Op deze manier ontstaat door interactie een werkelijk sociale leeromgeving waarin de id&n van kinderen en hun informele strategien en procedures niet alleen worden geaccepteerd, maar zelfs aangemoedigd en gex- ploiteerd in dienst van het voortgaand mathematiseren van elk en van de gehele groep.

Leerlijnen verstrengelen om het wiskundig materiaal te (kunnen) structureren Bij deze grondstelling gaan we weer exemplarisch te werk. Het eerlijk verdelen is zo oud als de breuken zelf. In het traditionele onderwijs echter worden de breuken gegrondvest op een verschraalde vorm van het eerlijl verdelen (verdelen binnen de eenheid). Met dit materiaal koerst men daarna zo snel mogelijk op de rekenre- gels voor breuken af. De overstap op verdeelsituaties met meer objecten (en verdelers) verrijkt de instap a1 aanzienlijk. In plaats van de aandacht direct op het verdelen te richten kan men ook het gezelschap van verdelers in het oog vatten en tot handzamer omvang terug- brengen. Tijdens het verdelen en het tafelschikken construeren & leerlingen voortdurend de relaties tussen porties, parten en verdelers die uiteindelijk de mentale objecten breuk en verhouding teweegbrengen. Door deze omslag van objecten naar verdelers worden verhoudingen en breuken vervlochten. Zo kunnen verdeelsituaties bij het vergelijken geordend worden op grond van redeneringen met verhoudingen: '6 repen met 8 kinderen' is hetzelfde als '3 met 4', dus ieder krijgt hetzelfde. Het schema voor het tafelschikken is een instrument voor het voortbrengen van gelijkwaardige tafeltjes (verhouding als equivalentieklasse). Een ander voorbeeld is het tellen van grote hoeveelheden (a) vanaf het begin verstrengeld met oppervlakte

a Op welke koek zijn de meeste stukjes gembefl (fig. 14).

b Van welke koek zitten op een hap de meeste stukjes gember?

Door oppervlakte en het tellen van grote hoeveelheden met elkaar te verstrengelen raken de leerlingen a1 vroeg vertrouwd met dichtheid. De leerlingen zien twee met elkaar strijdende aspecten onder ogen: absolute aantallen en dichtheid. De leraar zal hen van dit dilemma bewust moeten maken.

figuur 14: gember-dichtheid

Op deze manier werpen allerlei natuurlijke verbanden hun schaduw vooruit op de wiskundige samenhangen die uiteindelijk worden nagestreefd. De structurering van de beoogde wiskundige kennis ligt dus vanaf het begin in de contexten en wiskundige activiteiten voorgete- kend. Het verstrengelen van werkelijkheid en wiskunde vergroot de toepassingsmogelijkheden.

De lezer realisere zich dat het hier gaat om een bepaalde invulling van realistisch wiskundeonderwijs. Het accent ligt op het mathematiseren in een proces van geleide zelfontdekking. Zoiets geeft over de mate van vrijheid voor de leerlingen nog geen uitsluitsel en kan nogal va- ri&ren ten aanzien van zowel de horizontale als de verti- cale component. In de ene variant van de realistische richting zal men een bepaalde categorie van leerlingen meer begeleiden dan een andere. Men kan bijvoorbeeld sterk op algoritmen ingestelde leerlingen met alle be- schikbare middelen dwingen om steeds weer verbindingen tussen de realiteit en de wiskunde te leggen (hori- zontaal mathematiseren) en anderzijds leerlingen die voor algoritmen niet of minder begaafd zijn zelf leren verticaal te mathematiseren.

Het toetsen van realistlsch wiskundeondemijs De algemene doelen, de ontvouwde fundamenten van realistisch wiskundeonderwijs en het toepassen van heuristieken als didactische strategic bevatten aanwijzingen voor het ontwerpen van betere toetsen dan de bestaande. In het MORE-project is nagedacht over toetsen die verder reiken clan het afvragen van reproduceerbare kennis.'j3 Aan dergelijke toetsen werden de volgende eisen gesteld. De toetsen moeten - een bijdrage leveren aan het leren; - gelegenheid geven aan de leerlingen te laten zien wat

zij weten en kunnen (dus ook oplossingsprocessen en strategien);

- dekkend zijn ten aanzien van het programma (dit betekent dat niet de objectieve scoorbaarheid een eerste vereiste is, maar de inhoud!);

- gemakkelijk uitvoerbaar zijn in de klas. Het is mogelijk gebleken schriftelijkz toetsen te ontwikkelen die voldoen aan deze eisen, zelfs voor jonge kinderen die nog maar net met het reken-wiskundeonderwijs begonnen zijn. Naar verwacht mocht worden hebben de gestelde eisen ook geleid tot vraagstukken die de hogere bekwaamheden aan het licht (kunnen) brengen. Dat deze in de geest zijn van wat in het voorgaande ge- analyseerd werd zal niemand verbazen. We geven een aantal voorbeelden uit het MORE-project (fig. 15): - een 'kladje' geven bij een vraagstuk (a);

Tim en Mieke speelden samen een spel en schreven hun punten op. Wat is de eindstand? Reken dit uit. Schrijf je antwoord in de lege hokjes. Wanneer je dit wilt mag je het kladblaadje gebruiken om uit te rekenen hoeveel punten zij hebben gehaald.


- constructieopdrachten, bijvoorbeeld het verdelen van repen voordat met de breukenleergang is begonnen (b): In het algemeen betreft het opdrachten die sterk uit- nodigen tot organiserende en structurerende activiteiten die een beroep doen op het ontwikkelen van stra- tegiegn. Bijvoorbeeld het tellen van (ongeordende) grote hoeveelheden vraagt om groepjes maken dat dan als vanzelf het herhaald optellen met zich mee- sleept en dus vooruitgrijpt op het vermenigvuldigen en de tafels daarvoor. Men kan dit zelfs verheffen tot algemeen principe. (Denk)strategi&n brengt men aan het licht door anticiperende activiteiten. Ook meetkundig kan dit. Bijvoorbeeld bij de verkenning van de kubus de vraag stellen hoeveel ribben in een keer gezien kunnen worden. Dit dwingt een structurering af.

- vrije produktie-opdrachten, bijvoorbeeld maak zoveel mogelijk sommen waar 24 uitkomt (c);

- verhalen waarbij de vraagstelling nog bedacht moet worden, bijvoorbeeld: Een automobilist reed van Amsterdam naar Parijs. Nadat hij ongeveer tweederde deel van de afstand had afgelegd zag hij dat zijn brandstoftank nog voor een h a r t gevuld was.

- vraagstukken die het aanvullen met ontbrekende in- formatie uitlokken, bijvoorbeeld: Volgens de radio staat er bij de Velzertunnel een file van 5 kilometer. Hoeveel auto's denk je dater in deze file zullen staan?

- kwesties die een cognitief conflict (kunnen) bevatten, bijvoorbeeld: Bij deze afstand-tijd grafiek over een hardloopwed- strijd de volgende vragen stellen (fig. 16): 1 Kwamen de lopers met elkaar in botsing? (Een

vraag die verwijst naar de neiging van een deel der

leerlingen om aanvankelijk weg-duur gratieken met de werkelijke weg te vereenzelvigen).

2 Na welke afstandltijd haalden de lopers elkaar in? (Deze vraag staat mede in dienst van het beantwoorden van de vorige).

50

tijd in secada

figuur 16: botsende lopers?

Omdat de kwestie van de misinterpretatie van dergelijke grafieken later bij snelheid-tijd grafieken nog kan nawerken, kan daar opnieuw op deze kwestie worden ingegaan (fig. 17).

- - - - - - - - type A type B

afstand in meters

figuur 17: opnieuw botsende lopers?

Standpuntveranderingen alom. Vooral met (informele)

figuur 15: MORE-items

tijdschrift voor nascholing en onderzoek van bet reken-wiskun&on&tw)s

meetkundige activiteiten kan dit worden uitgelokt door middel van kwesties waarbij de leerling letterlijk ge- dwongen wordt buiten zichzelf te treden, bijvoorbeeld: Kunnen dit foto's zijn van dezelfde situatie? (fig. 18).

figuur 18: dezelfde situatie?

Zo kan men ook denken aan: - vraagstellingen waarbij de leerlingen een bepaald

verschijnsel moeten uitleggen, bijvoorbeeld: Jan denkt &t $ + 4 = 3. Wat vind jij? Heeft hij gelijk of niet? Waarom? Kun je uitleggen hoe Jan gedacht heeft?

- multiple-choice vragen waarbij de juiste uitkomst ontbreekt, zonder dat dit als alternatief vermeld staac

- het zelf bedenken van multiple-choice vragen met de nodige plausibele alternatieven voor de uitkomst;

- het doen van schattingen in combinatie met handig rekenen;

- opdrachten waarbij leerlingen informatiebronnen moeten raadplegen;

- adventure-achtige opdrachten.

In veel gevallen betreft het opdrachten en vraagstukken die voor de leerlingen nieuw kumen zijn. Zulke vraagstukken kunnen ook ontworpen worden door bepaalde activiteiten uit het voorafgaande onderwijs te combine- ren. Een voorbeeld van zo'n combinatievraagstuk is het volgende (fig. 19).

figuur 19: hoeveel wegen van A naar B?

In de figuur zie je een plattegrond van paden rondom een kruisvormige vijver. Een route van A naar B moet zo kort mogelijk zijn en mag niet buiten de paden leiden. Bereken het aantal verschillende routes van A naar B. Een dergelijk vraagstuk kan bij de leerlingen een beroep doen op zowel hun ervaringen met roosters en de drie- hoek van Pascal als met het wegenmodel. In deze com- binatievorm is het dan toch nog een (betrekkelijk) nieuw vraagstuk.64 In het algemeen zijn opdrachten waarin van de leerlingen gevraagd wordt twee zaken met elkaar te vergelijken, heel geschikt. Dit kan ook zijn het vergelijken van hun eigen kennis en zienswijzen met een gegeven situatie. Een geschikte vorm hiervoor is bijvoorbeeld die van de denkverhaaltjes met rekengrappen zoals: Op een boot hangt een touwladder overboard. Deze raakt net het water. Wanneer het vloed wordt stijgt het water 20 cm per uur. De sporten van de touwladder zitten 30 cm van elkaar. Hoeveel sporten van de ladder zullen na 5 uur onder zijn? (Een idee van Van den Heuvel- Panhuizen).

Een laatste belangrijke categorie tenslotte zijn de vraagstukken die bewust ontworpen zijn om oplossingen op verschillend niveau toe te laten. Een voorbeeld van MORE (fig. 20).

. . . . . . . . . . . .., . . . . . . . . . . .

..,

..,

..,

...

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

korte rit

lange rit

figuur 20: MORE-item

In het pretpark loopt een treintje. De korte rit duurt 10 minuten. Hoe lang, denk je, duurt de lange rit?

Voor het overige verwijzen we naar alle voorbeelden die tot dusverre gegeven zijn en naar de strategidn om ze te ontwerpen. Behalve aan schriftelijke toetsen kan men nog aan ande re evaluatievormen denken. De Lange heeft onderzoek verricht naar het gebruik van tweetrapstoet~en.~ Hij liet op een klassiek proefwerk op tijd - na correctie met kant-


tekeningen en teruggave - een nieuwe opgave volgen, namelijk: maak er nu t h i s eens 'iets moois' van. De leerlingen kregen daarvoor drie weken. Het ingeleverde werk na de 'tweede trap' vemed dat de leerlingen de wiskundige modellen die in het gewone pmefwerk aan de orde waren geweest nu kritisch beschouwd en geana- lyseerd hadden. De reductie die zo'n model op het realistische problem aanbracht, werd - in geval dit te grof bevonden werd - opgeheven door het model (het ging om Leslie-matrices) aan te passen. Meestal veroonaakte de tweede trap - als in dit geval - niveauverhoging door reflectie.

Tenslotte noemen we nog als mogelijkheden het laten bijhouden van een logboek door de leerlingen, zoals overigens ook in de 'Standards' geadviseerd wordt, en het geven van een essay-opdracht bij een onderwerp of thema.

4 Adviezen voor toekomstig on- derzoe k

Over deze kwestie kunnen we kort zijn. De kunsunatige scheiding tussen ontwikkeling en onderzoek dient te worden opgeheven. De aandacht zal verlegd moeten worden naar ontwikkelingsonderzoek. Zulk onderzoek richt zich op: - de ontwikkeling van prototypen van leergangen, en - theorievorming aangaande het onderwijzen en leren

van de inhoud van de prototypen. De methoden die daarbij worden toegepast zijn: - het onderwijsexperiment (over lange termijn) en - verschillende vormen van het (Winische) interview.66 Deze werkzaamheden worden verricht met het oog op het observeren van de leerprocessen van leerlingen, leerkrachten en ontwikkelingsonderzoekers. De provi- sorische leergang die men gebruikt vormt het uitgangspunt voor het gedachte onderwijsexperiment 'volgens het boekje' in het ~ntwikkelin~sonderzoek. Het observeren van de leerprocessen van de leerlingen moet het material opleveren voor de keuzen die onderweg kunnen worden gedaan. De leerprocessen van leerkrachten en ontwikkelingson&rzoekers vormen de bronnen voor de theorievorming en voor de aanpassing van het prototype. Nieuwe leerkrachten en nieuwe groepen leerlingen kunnen later met van het prototype afgeleide en gei'mple- menteerde leergangen het beoogde onderwijs(experiment) re~onstrueren.6~ Hoe op deze manier maximale inbreng van de leerlingen gewaarborgd kan worden hebben we laten zien in de ontvouwde grondstellingen voor realistisch wiskundeonderwijs.

Op de door IOWO en OW&OC ingeslagen weg voort- gaan betekent doorgaan met het bewust voltrekken van

een aantal standpuntveranderingen, namelijk het accent verleggen - van onderwijzen naar leren; - van reproduceren naar reconstrueren; - van het opleggen van de structuur van & wiskunde

naar het mathematisch-didactisch analyseren van rea- liteiten met het oog op het voortbrengen van wiskunde;"

- van evaluatieonderzoek naar ontwikkelingsonderzoek;

- van de objectieve scoorbaarheid van toetsen naar de inhoud;

- van een niveautheorie volgens Bruner naar een niveautheorie volgens Van Hiele;

- enzovoort.

5 Besluit

Wie hogere bekwaamheden wil oogsten als effecten van wiskundeonderwijs zal ze e r s t moeten zaaien en onder- houden. Aan iets dergelijks stelt het wiskundeonderwijs specifieke voorwaarden, zoals in het voorgaande is aan- getoond. Het moet realistisch zijn en in overeenstem- ming met het historische leerproces van de mensheid; niet naar de letter maar naar de geest; een 'rationele reconstructie' ervan zoals Lakatos het noemde. Vele anderen hebben hiervoor eveneens gepleit.69 Om dergelijke reconstructies in zijn leerlingen te doen plaatsvinden dient de leraar zijn onderwijs te construeren op basis van de inbreng van diezelfde leerlingen, van hun constructies en produkties. Op deze manier wordt onderwijzen heuristisch, wordt het zelf een leerproces. En is dat niet de essentie van 'mathematics education', namelijk het realiseren van '...learning and teaching as a pr~cess'?~O

Noten

1. Mislevy. R.J. (sept. 1989). Foundations of a New Test Theory, paper. To appear in: N. Frederiksen. R. Mislevy and I. Bejar (eds.). Test Theory for a New Generation of Tests. Lawrence Erlbaum and Associates.

2. Streefland, L. (1 991). Fractions in Realistic Mathematics Education. A Paradigm for Developmental Research. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. (vertaling van: Realistisch breukenonderwijs. Utrecht: OW&OC.)

3. O.C. 288. 4. O.C. 391. 5. Lohrnan, D.L. (1987). Two Implications of Cognitive Psy-

chology for Educational Measurement, paper. Utrecht. Address to the Division of Learning and Instruction Insti- tute for Educational Research in The Netherlands. Lohman spreekt in dit verband over 'achievement' en 'crystallized ability'. Schoenfeld, A.H. (1989). Teaching Mathematical Thin- king and Problem Solving. In: L. Resnick (ed.), Toward the Thinking Curriculum: Current cognitive research. ASCD Yearbook, ch. 5.83-103. Schoenfeld spreekt van 'endless stream of disconnected

tijdschrift wor nascholing en ondenoek van her reken-wiskundeonde~w#s

learning' (ox. 100). Zie voor een beschouwing over richtingen in het wiskun- deondenvijs: Treffers, A. (1987). Three Dimensions. A model of goal and theory description in Mathematics Instruction - The Wiskobas Project. Dordrecht: Reidel.

6. Zie in verband hiermee bijvoorbeeld: Bell, A. e.a. (1981). Choice of operation in verbal pro- blems with decimal numbers. Educational Studies in Ma- thematics, 12,399-421; Hart, K.M. (ed.) (1981). Children's Understanding of Ma- thematics: l l - 16. London.

7. Streefland. L. (1991). O.C. 384. 8. Lohman (1989). O.C. 9: '....you get out of a program what

you put into it'. 9. Zie Treffers (1987).

10. Streefland. L. (1980). Makro-strukturele Verhnningen voor het Wiskundeonderwijs. Utrecht: IOWO, ch. 2.

11. Zie Streefland, L. (1984). Dichtheden in leerprocessen. Tijdschr8 voor Didactiek der Natuunvetenschappen, 2 (2), 72-87; Treffers (1987) en Streefland, L. (1990). Rea- listic Mathematics Education. What does it mean? In. K. Gravemeijer e.a., Contas , Free productions, Tests and Geometry in Realistic Mathematics Education Utrecht: OW&OC, 1-10. Voor een nadere typering van de interactie in de geest van realistisch wiskundeonderwijs zie bijvoorbeeld Cobb, P., T. Wood and E. Yackel (1988). Coping with the com- plexity of Classroom Life, paper. West Lafayette, Indiana: Purdue University, and Cobb, P., e.a. (1989). Assessment of a Problem-Centered Second Grade Mathematics Pro- ject. id. 6-7.

12. 'Standards' (USA). 'National Curriculum' (UK) and 'Proeve ...' ( Nederland).

13. Treffers. A. e.a. (1989). P r m e van een nationaal pro- g r a m voor het rehn-wiskundeonderwijs op de basis- school. Dee1 I: Ovenicht einddoelen. Tilburg: Zwijsen, 32 e.v.

14. O.C. 35-37. Overeenkornstige doelen zijn ook geformuleerd voor En- geland en & V.S. Zie in verband hiermee bijvoorbeeld: National Curriculum Council (1989). Non-Statutory Gui- dance. Bradford, B8,9 e.v. id. (1989). Mathematics in the National Curriculum. Lon- don 4.5 e.v. Commission on Standards For School Mathematics of the NCTM (October 1988). Curriculum and Evaluation Stan- dm& For School Mathematics, 19-31.

15. Van afschaffen (UK) via bezuinigen (USA) tot handhaven (in Nederland), mits ontwikkeld in mathematiseringspro- cessen van progressieve schematisering.

16. Voor het beschouwen van de didactische context als di- mensie in de doelformulering zie Treffers (1987). Streef- land (1991) geeft een impressie van de didactische context van een onderwijsleerproces van ruim twee jaar voor breuken en verhoudingen.

17. Bloom. B.S., e.a (1956). Taxonomy of Educational Objec- tives. The Classijiiation of Educational Goals. Handbook I : Cognitive Domain. New York, many editions. Voor een kritische beschouwing zie Freudenthal, H. (1973). Weeding and Sowing. Preface to a Science of Ma- thematical Education. Dordrecht, Holland; Boston, USA: Reidel, ch. 3.

18. Zie in dit verband bijvoorbeeld Kaplan, R.G.. T. Yamamo- to and H.G. Ginsberg (1989). Teaching Mathematics Con- cepts. In: L. Resnick (ed.), ch. 4; 59-81 and Schoenfeld (1989).

19. Hadamard, J. (1945). The psychology of invention in the mathematicalfield. Dover Publ. Inc. Deze publikatie han- delt voornamelijk over de rol van het onbewuste bij grote

wiskundige ontdekkingen in het historische leeqmces volgens de fasering: preparatie-incubatie-illuminatie.

20. Zie in dit verband Freudenthal. H. (1983). Is heuristics a singular or a plural. In: R. Hershkowitz (ed.), Proceedings ofthe seventh international conference for the Psychology of Mathematics Education. Rehovot Israel. 38-50.

21. Zie in dit verband Treffers. A. (1987*). Integrated Column Arithmetic According to Progressive Schematisation. Educational Studies in Mathematics 18.125-145.

22. Streefland, (1991). 23. Zie Streefland, L. (1987). Free production of fraction mo-

nographs. In: J.C. Bergeron e.a (eds.). Psychology of Ma- thematics Education, PME-XI. vol.1, Montrhl, 405-410.

24. Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an Educational Task. Dordrecht Reidel. 125.

25. Polya, G. (1945). How to solve if. Princeton: Princeton University Press, en andere publikaties van deze auteur over wiskundige ontdekkingen en plausibel redeneren.

26. O.C. 131.158 en 163. 27. Krutetskii. V.A. (1976). Psychology of Mathematical Abi-

lities in Schoolchildren. University of Chicago Press. Ver- der observeerde Krutetskii aanpakken als generaliseren, verkorten, flexibiliteit in de uitvoering van mentale processen enzovoort.

28. Freudenthal, H. (1978), Freudenthal, H. (1979). How does reflective thinking develop? Proceedings of the third international conference for the psychology of mathematics education. Warwick; and Freudenthal. H. (1991). RevLi- ting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Acade- mic Publishers.

29. Freudenthal. H. (1978*). What is a mathematical attitude? paper, O.C. 7 and Freudenthal(l978).

30. Freudenthal(l983). O.C. 41. 3 1. O.C. 40. 32. Streefland (1980). hfdst. 2. 33. Deze persoonlijke leergeschiedenis wordt in & rapportage

van onderzoek nogal eens genegeerd. Meestal werkt dergelijke hyperobjectiviteit dan als een boomerang waar het gaat om de onderwijskundige w a d e van zulk ondermek.

34. Davis. P.J. en R. Hersh (1983). The Mathematical Ekpe- r i m e . Pelican Books. 286.

35. Schoenfsld, A.H. (1987). Cognitive Science and Mathe- matics Education. London, O.C. 213 and Schoenfeld. (1989). O.C. 87.

36. Freudenthal(l991). 37. Zie hiervoor een uitvoerige beschouwing van 'Graankor-

rels'. Treffers, A. (1987). 38. Freudenthal, H. (1983). O.C. 41. 39. Zie iq dit verband bijvoorbeeld Resnick, L.B. (ed.) (1989). 40. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (1990). Realistic Arithrne-

ticlMathematics Instruction and Tests. In: Gravemeijer e.a. (1990). Van den Heuvel-Panhuizen, M. en K. Grave- meijer (1990). Toetsen zijn zo slecht nog niet. Didaktief 20 (lo), 13-15.

41. Streefland (1991). 42. Over deze experimenten werd eerder gepubliceerd in

IOWO-Team, Five Years IOWO. (1976). Educational Studies in Mathematics. 7 (3). 285-289.

43. Freudenthal, H. (1978). O.C. 8. 44. Polya, G. (1945); Streefland. L. (1991) and Lesh. R. Com-

puter-Based Assessment of Higher-Order Understandings and Processes in Elementary Mathematics, paper to be pu- blished in J. Kulm (ed.), Assessing Higher-Order Thin- king. Washington D.C.: American Association for the Ad- vancement of Science.

45. Zie Streefland (1991). 46. Zie in dit verband Kilpatrick, J. (1985). Reflection and re-

cursion. Educational Studies in Mathematics 16. 1-27. 47. Zie in dit verband bijvoorbeeld Carpenter, T.P., M.M.

Lindquist. W. Matthews and E.A. Silver (dec.1983). Re-


sults of the Third NAEP Mathematics Assessment: Secon- dary School. Mathematics Teacher 76, 652-659. Voor commentaar hierop zie Schoenfeld (1989), 100.

48. Voor een uitvoerig overzicht van het Wiskobasproject van het IOWO zie Treffers (1987).

49. Zie voor een paradigma van ontwikkelingsonderzoek Streefland (1991).

50. Freudenthal. H. (1991). O.C. 107. 51. Freudenthal, H. (1978). O.C. 2. 52. Zie voor een beschouwing over het algoritrniseren van de

bewerkingen met natuurlijke getallen volgens het principe van de progressieve schematisering Treffers (1987*).

53. Skemp W r d e het varieren van het denkniveau met 'to vary focal view'. Skemp, R.R. (1979). Goals of learning and qualities of understanding. Mathematics Teaching, 44- 49.

54. Het historisch leerproces van de wiskunde en de natuurwe- tenschappen geeft legio voorbeelden van dit buiten de gegeven kaders treden met belangrijke ontdekkingen als g e volg.

55. Deze opvatting over 'assessment' als onlosmakelijk on- derdeel van het onderwijsleerproces komt men de laatste tijd steeds vaker in publikaties tegen. Zie in dit verband bijvoorbeeld de 'Standards'. Carpenter. T.P. and E. Fen- nema (1989). Building on the knowledge of students and teachers, paper. Madison Wisconsin; en ook Cobb e.a. (1989).

56. Voor een uitvoerige beschouwing hiervan zie 0.a. Streef- land (1984). Treffers (1987) en bijvoorbeeld Gravemeijer, K., M. van den Heuvel and L. Streefland (1990). Contexts Free Productions Tests and Geometry in Realistic Mathe- matics Education. Utrecht: OW&OC.

57. Galen, F. van en E. Feijs (1990). Een reken-wiskundeles op de beeldplaat (1). Tijdschrift voor narcholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 9 (1). 19-29.

58. Zie Gravemeijer e.a (1990). 59. Zie Treffers (1987) en Streefland (1991). 60. Zie Streefland (1987). 61. Zie Brink. F.J. van den (1985). Class Arithmetic Books.

In: Proceedings of P W A VII, 282-286. 62. Zie Streefland (1984) en Streefland. L. (1985). Search for

the Roots of Ratio: Some Thoughts on the Long Term Lea- rning Process (Towards .... a Theory) Part Ik The Outline of the Long Term Learning Process. Educational Studies in Mathematics 16.75-94.

63. Zie Van den Heuvel-Panhuizen (1990) en Van den Heu- vel-Panhuizen en Gravemeijer (1990).

64. Kooij, H., van der (1989). Het eerste HAWEX-amen. Nieuwe Wisbant 9 (I), 5-14.

65. Lange Jzn., J. de (1987). Mathematics Insight and Meaning. Utrecht: OW&OC.

66. In ontwikkelingsonderszoek kan het (klinische) interview dienstbaar gemaakt worden aan zowel ontwerp (van het leergang-prototype in ontwikkeling) als aan onderzoek van individuele leerprocessen. In principe kunnen er vier vormen onderscheiden worden. Zie (de vertaling van) Streefland (1988). Voor de participatie van de ge'inter- viewde in zogenoemde wederzijdse observaties zie Brink, F.J. van den (1989). Realistisch rekenondenvijs am jonge kinderen. Utrecht: OW&OC (dissertatie).

67. Zie in dit verband Streefland, L. (1988). Reconstructive Learning. In: A. Borbas (ed.), Proceedings of the Twelfrh Annual Meeting of the InrernationulGroup for the Psycho- logy of Mathematics Educaion. Veszprbm, Hongarije, 75- 92.

68. Zie Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel.

69. In 1962 keerden 75 vooraanstaande wiskundigen in de VS en Canada in een memorandum in 'The Mathematics Teacher' zich tegen de nog maar kort daarvoor in gang ge-

zette ontwikkelling van de 'New Math'. Zij - onder wie Courant, Coxeter, Kline. Polya and Sawyer - formuleer- den hun bezwaren aldus: 'The best way to guide the mental development of the individual is to let him retrace the mental development of the race - retrace its great lines, of course, and not the thousand errors of detail'. The Mathe- matics Teacher, March 1962, O.C. 192.

70. Freudenthal, H. (1983). O.C. 48.

tijdschrift voor nascholing en onderzoek van he1 reken-wiskundeondemijs

Het toetsen van denkstrategieen in heuristisch ... · De gestelde kwesties zullen in dit artikel...

Documents

Transcript of Het toetsen van denkstrategieen in heuristisch ... · De gestelde kwesties zullen in dit artikel...