Het brachistochroonprobleem van een magneet in

een niet-uniform magneetveld

Willem Elbers

25 april 2013

InleidingHet traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een ob-ject onder invloed van de zwaartekracht het snelst van punt A naar punt Bbrengt. Nadat het probleem in 1638 was geıntroduceerd door Galileo Galilei,werd het als eerste door Johann Bernoulli opgelost: het optimale pad heeft eencycloıdische vorm.

Het doel van dit artikel is om een variatie op het brachistochroonprobleemop te lossen. Dit maal betreft het geen object dat beweegt onder invloed vande zwaartekracht, maar een kleine magneet die beweegt onder invloed van hetniet-uniforme magnetische veld van een veel grotere magneet. Zie figuur 1. Deprecieze afleiding volgt hieronder.

PAKleine magneet

Mogelijke banen

Grote magneet

PB

Figuur 1: De opstelling voor het brachistochroonprobleem van een magneetin een niet-uniform magneetveld. De vraag is welke van alle mogelijke banen,waaronder de twee afgebeelde, in de kortste reistijd resulteert.

1

φ yy

z

x

m1

r’

dl’dl’

PA

I R

PB

m2

Figuur 2: De opstelling voor het brachistochroonprobleem van een magneet ineen niet-uniform magneetveld. Een kleine magneet met magnetisch momentm1 beweegt van punt PA naar PB , onder invloed van het magnetische veld vaneen grotere magneet met magnetisch moment m2. De grote magneet wordtvoorgesteld als een enkele stroomlus met straal R en stroomsterkte I. De af-standsvector tussen een infinitesimaal stukje dl′ van de stroomlus en de kleinemagneet is r′. Deze vector maakt een hoek φ met de y-as. De sterkte vanhet magnetische veld hangt af van de y-afstand tussen de middelpunten van demagneten.

2

1 Opzet

Het magnetische veld van de blokmagneetBeschouw een kleine, sferische magneet die beweegt onder invloed van het mag-netische veld van een veel grotere blokmagneet. Om de beweging te kunnenbeschrijven, moeten we eerst een uitdrukking vinden voor het magnetische veldB van de blokmagneet 1.

Het veld van de grote blokmagneet kan beschouwd worden als het gevolgvan een cirkelvormige stroomlus (straal R en stroomsterkte I) in het xz-vlak.De afstand tussen een infinitesimaal stukje dl′ van de lus en de kleine magneetis r′. Deze vector maakt een hoek φ met de y-as. Zie figuur 2. Volgens de wetvan Biot-Savart, veroorzaakt het stuk dl′ van de lus op het punt van de kleinemagneet een veld dB met grootte:

dB =µ0

4π

I(dl′ × r′)

r′2

De symmetrie van de cirkel in acht houdende, merken we op dat de compo-nenten van dB in de x- en z-richtingen worden opgeheven, terwijl de componentin de y-richting gelijk is aan:

B(y) =µ0

4πI

∫dl′

r′2cosφ

Waarin dl′ cosφ de projectie van dl′× r′ in de y-richting is. Aangezien cosφen r′2 constanten zijn, is

∫dl′ simpelweg de omtrek van de cirkel 2πR. Als

we bovendien opmerken dat R, r′ en de y-afstand tussen de kleine magneet enhet middelpunt van de lus een rechthoekige driehoek vormen, vinden we datcosφ = R

r′ . Hierdoor is het magneetveld te schrijven als:

B(y) =µ0

4π

(cosφ

r′2

)2πR =

µ0I

2

R2

(R2 + y2)32

Het definieren van het magnetische moment m2 van de blokmagneet alsm2 = IA = I(πR2) resulteert in de volgende uitdrukking voor het magnetischeveld:

B(y) =µ0m2

2π

1

(R2 + y2)32

Waarin m2 uitsluitend de y-component van m2 is.

De potentiele energie van de kleine magneetMet de hierboven gevonden uitdrukking voor de magnetische veldsterkte B, ishet mogelijk om de potentiele energie voor de kleine magneet te vinden:

1Afleiding van B naar Introduction to Electromagnetism, vierde uitgave, David J. Griffiths,pagina 227

3

U = −m1 ·B

Aangezien er alleen een magnetisch veld in de y-richting is, is het resultaatvan dit scalaire product:

U = −m1B(y) = −µ0m1m2

2π

1

(R2 + y2)32

µ0, m1 en m2 zijn constant, dus met de introductie van een constante K, isde energie ook te schrijven als:

U =K

(R2 + y2)32

De bewegingsenergie van de kleine magneetIn eerste instantie zal de kleine magneet zo gaan draaien dat zijn magnetischemoment m1 in dezelfde richting staat als het magnetische moment m2 vande blokmagneet. Na deze korte draai, zal de magneet alleen nog een translatie-beweging uitvoeren, waardoor de totale rotationele beweging te verwaarlozen is.

De potentiele energie wordt dus volledig omgezet in de translationele kineti-sche energie van de kleine magneet T = 1

2Mv2, met M de massa van de kleinemagneet. Door deze uitdrukking gelijk te stellen aan de hierboven gevondenuitdrukking voor de potentiele energie, vinden we dat: 2

v =ds

dt=

√2K

M

1

(R2 + y2)32

De belemmering, die de kleine magneet in zijn baan houdt is:

ds =√

(dx)2 + (dy)2 =

√1 +

(dy

dx

)2

dx

Na substitutie van deze vergelijking in de vorige vinden we dat:

dt =

√M(R2 + y2)

32

2K

√1 +

(dy

dx

)2

dx

T (y) =

∫ xB

xA

√M(R2 + y2)

32

2K

√1 +

(dy

dx

)2

dx

waarbij xA en xB de x-coordinaten van het begin- en eindpunt zijn.

2Afleiding van T (y) en inzet van de formule van Beltrami gebasseerd op: Weisstein, Eric W.Brachistochrone Problem. From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.

wolfram.com/BrachistochroneProblem.html

4

Voor de brachistochrooncurve zoeken we het pad waarin de tijd T geminima-liseerd wordt. Het minimum van de functionaal T is te vinden met behulp vande Euler-Lagrange vergelijking. Echter, constaterende dat T niet rechtstreeksafhangt van x, kan met behulp van de formule van Beltrami een versimpeldeEuler-Langrange vergelijking worden opgesteld:

h− y′ ∂h∂y′

= C

Waarin h de integrand is uit de formule voor T en C een constante. Subsi-tutie van de integrand h in de formule van Beltrami geeft:

C =

√M(R2 + y2)

32

2K

√1 + (y′)2 − (y′)

2√1 + (y′)

2

=

√M(R2 + y2)

32

2K(1 + (y′)2)

De oplossingen voor y′ worden na enige algebraische manipulatie gevonden:

dy

dx= ±

√−1 +

M

2KC2(R2 + y2)

32

= ±

√−1 +

MR3

2KC2

(1 +

y2

R2

) 32

2 Een numerieke benadering

Helaas is deze differentiaalvergelijking niet triviaal op de lossen. De vergelijkingwordt daarom numeriek benaderd. Dit gebeurt aan de hand van een voorbeeld.Neem aan dat de parameters van het probleem de volgende waarden hebben:

Parameter Beschrijving WaardeM Massa kleine magneet 0.001 kgR Straal stroomlus 0.02 mµ0 Magnetische veldconstante 12.56× 10−6 NA−2

m1 Magnetisch moment kleine magneet 2× 10−3 Am2

m2 Magnetisch moment grote magneet 4 Am2

C Integratieconstante 1xA Coordinaat beginpunt 0yA Coordinaat beginpunt 0.06 myB Coordinaat eindpunt 0.02 m

Na substitutie van bovenstaande waarden, wordt met behulp van de NDSolve-functie van het softwarepakket Wolfram Mathematica, het volgende systeem vanvergelijking numeriek opgelost:

5

dy

dx= ±

√−1 +

πMR3

µ0m1m2C2

(1 +

y2

R2

) 32

(1)

y(xA) = yA (2)

Merk op dat de integratieconstante C zo gekozen dient te worden dat hetsysteem tevens voldoet aan de randvoorwaarde y(xB) = yB . In dit geval is voorhet gemak C = 1 gekozen en wordt xB als afhankelijke variabele genomen.

Het gebruik van de NDSolve-functie resulteert in een verzameling datapun-ten, die weergegeven is figuur 3. De vorm van deze brachistochrone kromme isintuıtief goed te begrijpen. Naar mate de kleine magneet dichter bij de grotemagneet komt (bij kleinere y), wordt de magnetische kracht sterker. De baan infiguur 3 daalt in eerste instantie snel af en blijft vervolgens bijna constant. Eenmagneet ondervind langs deze baan dus de grootste versnelling over de langstmogelijke afstand. Hierdoor wordt de reistijd geminimaliseerd. Aan de anderekant is de baan ook niet helemaal kaasrecht, omdat dit voor een langere baan endus een langere reistijd zou zorgen. De getoonde baan is het optimum: het heeftvan alle mogelijke banen de kortste reistijd. Daarom is dit de brachistochronekromme. De baan is grafisch weergeven in figuur 4.

0.005 0.010 0.015 0.020

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Figuur 3: De optimale (brachistochrone) baan voor een magneet in een niet-uniform magnetisch veld.

We hebben nu een kwalitatief verband tussen de vorm van de kromme ende totale reistijd vastgesteld. Echter, om betere voorspellingen te kunnen doen,is het van belang om te bepalen wat voor functie y(x) precies is. In figuur 3is alleen het deel van de oplossingskromme in het eerste kwadrant weergeven,omdat negatieve y-coordinaten in de context van dit probleem geen betekenis

6

yz

x

m1

PA

PB

m2

Figuur 4: De optimale (brachistochrone) kromme, weergeven in de orginelesetting van het probleem.

hebben. Het plotten van de negatieve waarden kan ons echter wel een idee gevenvan de achterliggende functie. Zie figuur 5.

7

-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Figuur 5: De optimale (brachistochrone) baan voor een magneet in een niet-uniform magnetisch veld.

Na het plotten van de negatieve waarden, rijst het vermoeden dat de bra-chistochrone kromme een tangens-functie is. Om dit vermoeden te bevestigen,wordt een poging gewaagd het probleem analytisch op te lossen.

3 Een analytische benadering

Een eerste orde expansieWe hadden de volgende uitdrukking voor dy

dx gevonden:

dy

dx= ±

√−1 + p

(1 +

y2

R2

) 32

p =πMR3

µ0m1m2C2

Na substitutie van de waarden uit het voorbeeld, blijkt de term p(1 + y2

R2 )32

veel groter te zijn dan −1:

y = yA ⇒ p(1 +y2

R2)

32 ≈ 78.8

y = yB ⇒ p(1 +y2

R2)

32 ≈ 7.05

(3)

8

Deze waarden zijn dermate groot dat de −1 term te verwaarlozen is:

√78 ≈ 8.89 ≈ 8.94 ≈

√79√

6 ≈ 2.45 ≈ 2.65 ≈√

7

(4)

Daarom kan de volgende benadering worden gemaakt:

dy

dx= ±

√−1 + p

(1 +

y2

R2

) 32

≈ ±

√p

(1 +

y2

R2

) 32

≈ ±√p(

6

5+

1

2

y2

R2

)Waarin tijdens de tweede stap gebruik is gemaakt van een Taylor-expansie

rond het punt y2

R2 = 4 met versimpelde coefficienten. 3 De nauwkeurigheid vandeze benadering hangt af van de gekozen parameters en kan in het algemeenworden bepaald met onderstaande formule. De fout in de benaderingsfunctief(x)approx op een bepaald punt (x, f(x)) is:

α =|f(x)− f(x)approx|

f(x)

Een numerieke oplossing voor de parameterwaarden van dit probleem is:0.01 < α < 0.05 op het relevante interval. De nauwkeurigheid varieert dustussen de 1% en de 5%.

Het oplossen van de differentiaalvergelijkingWe hadden met een zekere nauwkeurigheid gevonden dat:

dy

dx= ±√p

(6

5+

1

2

y2

R2

)= ±6

5

√p

(1 +

5

12

y2

R2

)(5)

Deel de linkerkant door de rechterkant en integreer over x:

3Op het punt y2

R2 = 4 is het kwadraat van de afstand tussen de magneten twee keer zo grootals het kwadraat van de straal van de stroomlus. Dit is redelijk, gezien de parameterwaardenuit het voorbeeld. Uiteraard kan een ander punt gekozen worden. Dit verandert niets aan devorm van de uiteindelijke functie.

9

∫dy

dx(± 6

5

√p) (

1 + 5y2

12R2

)dx =

∫1dx

±5

6

√1

p

∫1

1 + 5y2

12R2

dy = x

±5

6

√12R2

5p

∫1

1 + u2du = x (6)

Waarin de variabele u is gedefinieerd als:

u =

√5y2

12R2

du =

√5

12R2dy

Aangezien∫

11+u2 du = tan−1 u, vinden we dat:

±5

6

√12R2

5ptan−1 u+ c = x

±5

6

√12R2

5ptan−1

(√5

12

y

R

)+ c = x

Waarin c de integratieconstante is. Lossen we dit op voor y, dan vinden weten slotte de brachistochrone kromme:

y =

√12R2

5tan

(±6

5

√5p

12R2(x− c)

)

=

√12R2

5tan

(±

√3πMR

5µ0m1m2C2(x− c)

)

Dimensioneel klopt deze vergelijking, want de wortelterm binnen de tangens-functie heeft dimensie L−1 (immers [C] = [h] = [T ] = T). Hierdoor is devolledige term binnen de tangens-functie dimensieloos. De wortelterm voor detangens-functie heeft dimensie L welke overeenkomt met de dimensie van y.

Na het invullen van de parameterwaarden uit het numerieke voorbeeld (ne-gatieve oplossing, integratieconstante c = 3.1), blijken beide uitkomsten goedovereen te komen. Met name op het relevante interval, blijkt bovenstaandefunctie de oplossing goed te beschrijven. Zie figuur 6.

10

4 Conclusie

De uitkomst van de analytische benadering bevestigt het vermoeden dat demagnetische brachistochrone kromme een tangensoıdische vorm heeft. Dezeuitkomst is verschillend van het traditionele (gravitationele) brachistochroon-probleem, waarbij een cycloıdische kromme in de kortste reistijd resulteert. Eenverschil in uitkomst was op voorhand te verwachten, aangezien de potentieleenergie van de magneet omgekeerd evenredig is met de derde macht van y, inplaats van evenredig met y, zoals de zwaarte-energie Ez = mgy.

-0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Figuur 6: De numerieke (doorgetrokken) en analytische (gestreepte) oplossingenvan het probleem komen goed overeen. De overeenkomst is het grootst op hetrelevante interval 0.02 < y < 0.06.

11