Grafeen en tabletop Quantum Elektrodynamica

Hans van Deurzen

Begeleider: Jean-Sebastien CauxInstituut voor Theoretische Fysica Amsterdam (ITFA)

Universiteit van Amsterdam

25 augustus 2008

Samenvatting

Elektronen in grafeen gedragen zich als relativistische massaloze deel-

tjes, zogeheten Dirac fermionen. In dit verslag wordt de Hamiltoniaan

berekend die voortkomt uit de hexagonale structuur van het 2D rooster

van grafeen. Deze Hamiltoniaan blijkt inderdaad overeen te komen met

die uit de Dirac-vergelijking.

Inhoudsopgave

1 Inleiding 3

2 Koolstof en Grafeen 4

2.1 Verschijningsvormen elementair koolstof . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Grafeen als missende dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Experimenteel bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Relativistische massaloze elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Toestandsvergelijkingen 7

3.1 Niet-relativistische Schrodinger vergelijking . . . . . . . . . . . . 73.2 Viervector-notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Klein-Gordon vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Dirac vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Covariante Dirac-vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5.1 Anti-commutatie relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Adjoint vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.6.1 Hermitische conjugatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6.2 Adjoint vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6.3 Stroomdichtheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7 Dirac vergelijking in (2+1)D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Hexagonaal rooster en hopping-Hamiltoniaan 16

4.1 Roosterstructuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Vaststellen hopping-Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Hamiltoniaan in de fase-ruimte 19

5.1 Fourier-transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Dispersierelatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3 Intersectiepunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Expansie Hamiltoniaan rond intersectiepunten 24

6.1 Benadering rond −~q1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.1.1 Afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.2 Andere inequivalente punt (+~q1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2.1 Afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.3 Dirac Hamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Klein Paradox 30

8 Conclusie 31

9 Dankwoord 31

1

10 Populaire samenvatting 32

10.1 Toelichting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.2 Grafeen, een stof met toekomst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11 Appendix A 33

12 Appendix B 35

2

1 Inleiding

Dat nanobuisjes en fullerenen hot topics zijn in de fysische en chemische we-reld zal niemand ontkennen. Vele artikelen zijn erover geschreven sinds hunontdekking, toch nog zo kort geleden, en de voorspellingen over toekomstigetoepassingen zijn even enthousiasmerend als overvloedig aanwezig.

Grafeen is een stof die ook in dit rijtje thuishoort. De stof is helaas nog niet zobekend als deze twee van zijn dimensionele tegenhangers, waarschijnlijk vanwe-ge het feit dat pas in 2004 het bestaan van grafeen daadwerkelijk experimenteelis bevestigd.

De fysica die voortkomt uit grafeen is evenwel opmerkelijk en veelbelovend enverdient dus zeker de aandacht die er de afgelopen vier jaar op is gevestigd. Dehexagonale tweedimensionale roosterstructuur van grafeen leidt er namelijk toedat de elektronen op dit rooster zich gaan gedragen als relativistische massalozedeeltjes, geheel volgens de Dirac vergelijking en de achterliggende theorie vanQuantum Elektrodynamica (QED). Op zich zijn relativistische elektronen geenwereldschokkend nieuws, maar het feit dat ze zich niet in een deeltjesversnel-ler bevinden of uit kosmische straling zijn voortgekomen, maar gewoon op eenvierkante centimeter tabletop kunnen worden gebruikt voor experimenten in hetgebied van de QED maakt een heel scala aan theorieen opeens experimenteelverifieerbaar, zoals de Klein Paradox en het anomalous Quantum Halleffect, enbrengt veel nieuwe fysica met zich mee. Het loont dus zeer zeker de moeite inde theorie achter grafeen te verdiepen.

In dit verslag zal ik proberen aan te tonen dat de elektronen in grafeen zichinderdaad als relativistische massaloze deeltjes gedragen.

3

2 Koolstof en Grafeen

In het periodiek systeem staan slechts enkele elementen die meer dan twee bin-dingen kunnen aangaan en dus ingewikkeldere moleculen kunnen vormen. Delichtste en dus meest abundante hiervan zijn stikstof en koolstof, die respectie-velijk drie en vier bindingen kunnen aangaan. Het is daarom niet verwonderlijkdat koolstof als een van de belangrijkste elementen wordt gezien: Koolstof isdoor zijn hoge aantal valentie-elektronen de bouwstof van het leven.

Koolstof zit in veel stoffen die men uit het dagelijks leven kent: We ademenkoolstofdioxide uit en in elk voedingsmiddel zitten koolhydraten (maar ook vet-ten en eiwitten hebben een koolstofskelet) en de energie die de wereld draaiendhoudt wordt ook voornamelijk geleverd door gas en olie: Koolstofhydraten.

2.1 Verschijningsvormen elementair koolstof

Vast elementair koolstof, C(s), komt voor in vier verschillende natuurlijke allo-tropen (stoffen van hetzelfde element met een andere kristalstructuur). Tweehiervan zijn zeer bekend: Diamant en grafiet. In diamant vormt elk koolstof-atoom een enkele binding naar vier naburige koolstofatomen, die zich op dehoekpunten bevinden van de tetraeder die het koolstofatoom omsluit als mid-delpunt. Het rooster strekt zich dus uit in 3D.Grafiet heeft ook een 3D-structuur, maar heeft een totaal andere opbouw. Gra-fiet bestaat uit lagen die onderling maar zwak gekoppeld zijn. Binnen de lagenhebben de koolstofatomen echter een sterke binding. Iedereen kent dit principeuit de praktijk van het schrijven met een potlood. De kern van een potloodis van grafiet en bij het schrijven worden de lagen die onderling geen stevigebinding hebben afgeschoven op het papier.

Lange tijd waren dit de enige verschijningvormen van vast elementair koolstofdie bekend waren. Dit veranderde voor het eerst in de jaren tachtig met deontdekking in 1985 van de zogehete fullerenen, of ook wel liefkozend buckyballs,naar Richard Buckminster Fuller, die de architect was van geodetische koepelsdie in ontwerp veel overeenkomsten hadden met de moleculen. Robert F. CurlJr., Sir Harold W. Kroto en Richard E. Smalley kregen in 1996 voor de synthesevan de eerste buckyballs de Nobelprijs voor de Chemie.Fullerenen bestaan in feite uit opgerolde enkele lagen grafiet (monolayers in hetengels), maar nu strekt het rooster zich in geen enkele richting uit. De bekendstevan de fullerenen is C60, waarvan het koolstofskelet de afwisselende vijf- en zes-vlakken van een voetbal heeft. Men zou het dus ook moleculaire stoffen kunnennoemen. In het kader van de hiervoor gebruikte terminologie houden we lieverde term 0D-structuur rooster aan.

Een nieuwe doorbraak kwam met de ontdekking van nanobuisjes. Nanobuis-

4

jes zijn kristallen van koolstof die zich slechts in een richting uitstrekken, het isin die zin een 1D-structuur. Ook nanobuisjes bestaan uit opgerolde vellen vanenkele lagen grafiet. Nanotechnologie bracht veel nieuwe fysica met zich mee enmogelijke toepassingen op het gebied van bijvoorbeeld elektronica, vanwege deuitstekende geleiding.

2.2 Grafeen als missende dimensie

Aan het eind van de twintigste eeuw was C(s) dus in drie dimensies bekend.Diamant buiten beschouwing latend was de overeenkomst tussen de drie datze waren opgebouwd uit monolayers van grafiet. Een dergelijke monolayer kanbeschouwd worden als koolstofatomen in een plat vlak, waarbij elk koolstof-atoom een enkele binding heeft naar drie naburige koolstofatomen die zich opde hoekpunten bevinden van de gelijkzijdige driehoek die het koolstof atoom alsmiddelpunt omsluit (de 2D-versie van de beschrijving van het driedimensionalediamant), een hexagonaal rooster met voor elk koolstofatoom een vrij elektron.De chemische beschrijving zou het accent net anders leggen en de laag beschrij-ven als een volledig geconjugeerd polycyclisch systeem (In dit model heeft elkkoolstofatoom twee enkele en een dubbele binding, die kan overspringen). Beidemodellen zijn juist: Ze verklaren in ieder geval allebei goed de uitstekende ge-leiding van de monolayer. De twee modellen verschillen alleen in bruikbaarheidafhankelijk van wat het doel van de berekening is. Voor het beschrijven vanreacties aan het π-systeem is de chemische benadering via de orbitalen onge-twijfeld het meest praktisch. In dit project is het voornaamste doel echter hetberekenen van de Hamiltoniaan die de interactie tussen naburige koolstofato-men beschrijft en wordt dus de fysische benadering gebruikt.

Het opmerkelijke was dat juist deze stof met een 2D-structuur, die aan de grond-slag leek te liggen voor de structuren van de overige dimensies, aan het eind vande twintigste eeuw nooit los was waargenomen of gemaakt. Er bestond dan ookeen theorie dat deze stof, die grafeen werd genoemd, thermodynamisch instabielzou zijn[6] (Mermin-Wagner theorema [11]) en niet kon bestaan. Deze theoriestelde dat de vibraties van de atomen in een 2D rooster in een 3D ruimte overgrotere afstanden zouden divergeren door quantumfluctuaties en trillingen alsgevolg van thermodynamica. Hierdoor zouden de bindingen breken en zou hetkristal dus smelten.

2.3 Experimenteel bewijs

Dit bleek in het geval van grafeen evenwel niet te kloppen. De oplossing is datgrafeen niet een perfect 2D oppervlak is, maar dat het oppervlak gekreukeld is.Dit geeft extra stabiliteit, net zoals een verkreukeld papier steviger is dan een

5

plat ongeschonden exemplaar.

In 2004 lukte het A.K. Geim en K.S. Novoselov van de University of Man-chester voor het eerst om daadwerkelijk grafeen te maken [12]. De methode diegebruikt werd was in essentie verbluffend simpel: De onderzoekers namen pot-loodstrepen (dunne laagjes grafiet) en gebruikten plakband om daarvan laagjesaf te trekken. Met een verbeterde zoektechniek vonden ze uiteindelijk stukjeswaarin het overgebleven grafiet nog maar uit een enkele laag bestond. Hiermeewas het experimenteel bewijs van het bestaan van grafeen een feit.

2.4 Relativistische massaloze elektronen

De roosterstructuur van grafeen is dermate speciaal dat al lang voor de experi-mentele waarneming van grafeen was aangetoond dat elektronen op zo’n roosterzich als massaloze relativistische deeltjes gaan gedragen. Dit zal uiteindelijk inhoofdstuk 5 worden aangetoond (Voor een goede introductie: zie de artikels vanKane[7], Katsnelson[8] of Geim en Novoselov [4]). Hiervoor is het echter vanbelang eerst meer te weten over de Dirac-vergelijking, dit is het onderwerp vanhet volgende hoofdstuk.

6

3 Toestandsvergelijkingen

In dit hoofdstuk zal worden getracht de Dirac vergelijking af te leiden. Hiervoorwordt grotendeels de redenatie gebruikt van het boek van F. Halzen en A.D.Martin[2].

3.1 Niet-relativistische Schrodinger vergelijking

De gebruikelijke manier om tot de Schrodinger vergelijking te komen is door Een p te substitueren door hun quantummechanische operatoren:

E → i~ ∂∂t , ~p→ −i~∇. (1)

Door substitutie van deze operatoren in de klassieke vergelijking voor energievan een vrij deeltje (slechts de kinetische term),

E =p2

2m,

verkrijgt men de Schrodinger vergelijking:

(−i~∇)2ψ = −~2∇2ψ

⇒ i~∂

∂tψ = − ~

2

2m∇2ψ.

Om de notatie te versimpelen, wordt vanaf hier de notatie gebruikt die in dedeeltjesfysica gebruikelijk is, d.w.z. waarin

~ = c = 1.

In deze notatie wordt de Schrodinger vergelijking:

i∂ψ

∂t+

1

2m∇2ψ = 0.

Defineren we nu de kansdichtheid als

ρ = |ψ|2,

dan levert een integraal over het volume via de stelling van Gauss simpelweg decontinuıteitsvergelijking:

−∂t

∫

V

ρdV =

∫

S

~J · d~S =

∫

V

(

∇ · ~J)

dV

⇒ ∂tρ+ ∇ · ~J = 0.

7

De Schrodinger vergelijking voor ψ∗ van links vermenigvuldigd met iψ geeft:

iψ

(

−i∂tψ∗ +

1

2m∇2ψ∗

)

= ψ∂tψ∗ +

i

2mψ∇2ψ∗ = 0.

Op dezelfde wijze verkrijgt men door het van links vermenigvuldigen van deSchrodinger vergelijking van ψ met −iψ∗

−ψ∗∂tψ +i

2mψ∗∇2ψ = 0.

Trekt men nu de tweede vergelijking van de eerste af, dan krijgt men

ψ∂tψ∗ + ψ∗∂tψ +

i

2mψ∇2ψ∗ − i

2mψ∗∇2ψ

∂t(ψψ∗) − i

2m

(

ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗)

∂tρ−i

2m

(

ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗) = 0. (2)

Als dit nu vergeleken wordt met de continuıteitsvergelijking, dan kan geconclu-deerd worden dat:

~J = − i

2m(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) .

3.2 Viervector-notatie

We introduceren nu de viervector-notatie, waarin een inproduct van vectorenAµ ≡ (A0, ~A) en Bµ ≡ (B0, ~B) gedefineerd is als:

A ·B = A0B0 − ~A · ~B,

oftewel:A · B = AµB

ν = gµνAµBν

met

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

In deze notatie geldt

∂µ = ( ∂∂t ,−∇) ∂µ = ( ∂

∂t ,∇)

8

en daaruit kan de invariante D’Alembertiaan operator worden gevormd:

2 ≡ ∂µ∂

µ.

De substituties die eerder genoemd werden kunnen worden samengevoegd toteen enkele substitutie:

pµ → i∂µ.

3.3 Klein-Gordon vergelijking

De Klein-Gordon vergelijking kan feitelijk de relativistische Schrodinger verge-lijking genoemd worden. Het is een herhaling van dezelfde stappen als in deeerste paragraaf, d.w.z. de substituties van (1), maar dan in de relativistischeformule voor de energie,

E2 = ~p2 +m2.

Dit geeft de Klein-Gordon vergelijking:

−∂2φ

∂t2+ ∇2φ = m2φ.

Door weer deze vergelijking met −iφ∗ en de complex geconjugeerde vergelijkingmet −iφ te vermenigvuldigen, analoog aan de procedure bij de Schrodinger ver-gelijking, en deze twee vergelijkingen wederom van elkaar af te trekken, verkrijgtmen de relativistische analoog van (2), de relativistische continuıteitsvergelijking:

∂

∂t

[

i

(

φ∗∂φ

∂t− φ

∂φ∗

∂t

)]

+ ∇ · [−i (φ∗∇φ − φ∇φ∗)] = 0.

De term tussen het eerste paar rechte haken is weer de kansdichtheid en tussenhet tweede paar de stroomdichtheid. In viervector-notatie kan dit eleganterworden geschreven als men de stroomdichtheid vier-vector defineert als:

Jµ = (ρ, ~J) = i(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗).

De Klein-Gordon vergelijking wordt nu

(

∂µ∂µ +m2

)

φ = 0

en de continuıteitsvergelijking wordt

∂µJµ = 0.

9

3.4 Dirac vergelijking

De Klein-Gordon vergelijking is goed genoeg om spinloze deeltjes te beschrijven,maar mist de structuur van twee componenten om fermionen, in ons geval elek-tronen, te beschrijven. Dirac was de eerste die ontdekte dat er andere manierenwaren om de Schrodinger vergelijking relativistisch te generaliseren. Hij wasoorspronkelijk op zoek naar een lineaire vergelijking.De Dirac vergelijking is:

Hψ =(

~α · ~P + βm)

ψ, (3)

onder de voorwaarde dat voor een vrij deeltje geldt dat:

H2ψ =(

~P 2 +m2)

ψ. (4)

Dit legt beperkingen op voor de te bepalen coefficienten β en αi:

H2ψ = (αiPi + βm) (αjPj + βm)ψ

=

∑

i

α2iP

2i +

∑

i>j

(αiαj + αjαi)PiPj +∑

i

(αiβ + βαi)Pim+ β2m2

ψ.

(De term αiPiαjPj wordt in feite in drie termen uiteengesplitst: De eerste isde term waarbij i = j, de tweede is de term waarbij i > j en voor de gevallenwaarin j > i worden de indices omgedraaid, zodat alsnog altijd geldt dat i > j).We zien dat om vergelijking (3) aan de voorwaarden te laten voldoen die horenbij vergelijking (4), voor de coefficienten ~α en β moet gelden dat:

αi, αj+ = αi, β+ = 0 en α2i = β2 = 1.

Het is hiermee uitgesloten dat αi en β scalars zijn, die zouden immers nietmet elkaar anti-commuteren. De laagste dimensie matrices die wel aan allevoorwaarden voldoen, zijn 4x4-matrices. Hoewel er meerdere mogelijkhedenzijn, is het gebruikelijk om voor ~α en β de volgende representatie te kiezen:

~α =

(

0 ~σ

~σ 0

)

, β =

(

I 00 −I

)

,

waarin ~σ de Pauli-matrices zijn:

σx =

(

0 11 0

)

, σy =

(

0 −ii 0

)

, σz =

(

1 00 −1

)

.

Deze notatie voldoet aan de eisen:

~α2 =

(

0 ~σ

~σ 0

)(

0 ~σ

~σ 0

)

=

(

~σ2 00 ~σ2

)

=

(

I 00 I

)

10

en

β2 =

(

I 00 −I

)(

I 00 −I

)

=

(

I 00 I

)

en verder

αi, αj+ =

(

0 σi

σi 0

)(

0 σj

σj 0

)

+

(

0 σj

σj 0

)(

0 σi

σi 0

)

=

( σi, σj+ 0

0 σi, σj+

)

= 0,

aangezien de Pauli-matrices met elkaar anti-commuteren, en

αi, β+ =

(

0 σi

σi 0

)(

I 00 −I

)

+

(

I 00 −I

)(

0 σi

σi 0

)

=

(

0 −σiI

σiI 0

)

+

(

0 Iσi

−Iσi 0

)

= 0,

aangezien I en ~σ vanzelfsprekend commuteren.

3.5 Covariante Dirac-vergelijking

Om tot de covariante notatie van de Dirac-vergelijking te komen, vermenigvul-digen we vergelijking (3) van links met β, in gedachten houdend dat ~P → −i∇:

iβ∂ψ

∂t= −iβ~α · ∇ψ +mψ

[

iβ

(

∂

∂t+ ~α · ∇

)

−m

]

ψ = 0.

Als we nu vier Dirac γ-matrices definieren als

γµ ≡ (β, β~α)

met µ = 0, 1, 2, 3, levert dat de covariante vorm van de Dirac-vergelijking:

(iγµ∂µ −m)ψ = 0. (5)

11

3.5.1 Anti-commutatie relaties

De anti-commutatie relaties kunnen nu in covariante notatie herschreven wor-den:

γµγν + γνγµ.

Eerst de diagonaal:

γ0γ0 + γ0γ0 = 2β2 = 2

(

I 00 I

)

enγiγi + γiγi = 2βαiβαi =

2

(

I 00 −I

)(

0 σi

σi 0

)(

I 00 −I

)(

0 σi

σi 0

)

=

2

(

0 σi

−σi 0

)(

0 σi

−σi 0

)

= 2

(

−I 00 −I

)

= −2

(

I 00 I

)

.

Nu de elementen die niet op de diagonaal liggen:

γiγj + γjγi = βαiβαj + βαjβαi =(

0 σi

−σi 0

)(

0 σj

−σj 0

)

+

(

0 σj

−σj 0

)(

0 σi

−σi 0

)

(

−σiσj − σjσi 00 −σiσj − σjσi

)

−1

( σi, σj+ 0

0 σi, σj+

)

= 0

en verderγ0γi + γiγ0 = ββαi + βαiβ =

(

I 00 I

)(

0 σi

σi 0

)

+

(

I 00 −I

)(

0 σi

σi 0

)(

I 00 −I

)

(

0 σi

σi 0

)

+

(

0 σi

−σi 0

)(

I 00 −I

)

(

0 σi

σi 0

)

+

(

0 −σi

−σi 0

)

= 0

en tenslotte:

γiγ0 + γ0γi = βαiβ + ββαi = ββαi + βαiβ = 0.

Het bovenstaande laat zich samenvatten in de anti-commutatie relatie van γµ:

γµγν + γνγµ = 2gµν.

12

3.6 Adjoint vergelijking

In een eerdere paragraaf is de Klein-Gordon vergelijking gebruikt om een cova-riante uitdrukking voor de stroomdichtheid en continuıteitsvergelijking te bepa-len. Om deze redenering te herhalen voor de Dirac vergelijking moet in acht wor-den genomen dat omdat we nu te maken hebben met een matrix-vergelijking wegebruik moeten maken van de hermitisch geconjugeerde vergelijking, in plaatsvan de complex-geconjugeerde vergelijking zoals eerder het geval was.

3.6.1 Hermitische conjugatie

Daarom beschouwen we nu eerst de hermitisch geconjugeerden en kwadratenvan de elementen uit de gamma-matrices:

γ0† = γ0,(

γ0)2

= I

en voor k = 1, 2, 3γk† =

(

βαk)†

= αkβ =(

0 σk

σk 0

)(

I 00 −I

)

=

(

0 −σk

σk 0

)

= −(

I 00 −I

)(

0 σk

σk 0

)

= −βαk

⇒ γk† = −γk

en zoals in de vorige paragraaf aangetoond:

(

γk)2

= −I.

Dit alles laat zich samenvatten in de volgende relatie:

㵆 = γ0γµγ0.

3.6.2 Adjoint vergelijking

Nu is het materiaal aanwezig om tot de adjoint vergelijking te komen. De Diracvergelijking is:

iγ0 ∂ψ

∂t+ iγk ∂ψ

∂xk−mψ = 0.

De hermitisch geconjugeerde vergelijking is dus:

−i∂ψ†

∂tγ0 − i

∂ψ†

∂xk

(

−γk)

−mψ† = 0.

Om de covariante vorm terug te krijgen vermenigvuldigen we van rechts met γ0:

i∂ψ†

∂tγ0γ0 + i

∂ψ†

∂xk

(

−γk)

γ0 +mψ†γ0 = 0

13

γ0γk = −γkγ0, dus

i∂ψ†

∂tγ0γ0 + i

∂ψ†

∂xkγ0γk +mψ†γ0 = 0.

Op dit punt introduceren we de adjoint spinor,

ψ ≡ ψ†γ0,

en verkrijgen zo de adjoint Dirac vergelijking:

i∂µψγµ +mψ = 0. (6)

3.6.3 Stroomdichtheid

Nu vermenigvuldigen we de covariante Dirac-vergelijking (5) van links met ψ ende zojuist verkregen adjoint Dirac vergelijking (6) van rechts met ψ. Optellengeeft:

iψγµ∂µψ − ψmψ + i(

∂µψ)

γµψ +mψψ = 0

ψγµ∂µψ +(

∂µψ)

γµψ = 0

∂µ

(

ψγµψ)

= 0.

Hieruit volgt dat:Jµ ∼ ψγµψ.

Omdat eerder al was geconcludeerd dat Jµ de stroomdichtheid voorstelt, moetvoor elektronen de coefficient gelijk zijn aan de elementairlading (−e):

Jµ = −eψγµψ.

3.7 Dirac vergelijking in (2+1)D

Al het voorgaande ging er van uit dat we ons in een (3+1)D ruimtetijd bevin-den. In grafeen echter zijn er slechts twee ruimteachtige dimensies waarin deelektronen impuls kunnen hebben. Het loont dus de moeite om te onderzoekenwat de Dirac vergelijking wordt in (2+1)D.

Vergelijking (3) wordt in (2+1)D:

Hψ =(

~α · ~k + βm)

ψ, (7)

14

als de laag grafeen in het (x, y)-vlak ligt, is k hierbij de tweedimensionale impuls:

~k =

(

kx

ky

)

.

De voorwaarde voor een vrij deeltje blijft ook bijna hetzelfde:

H2ψ =(

~k2 +m2)

ψ, (8)

en dus ook de anti-commutatierelatie:

γµ, γν+ = 2gµν

met nu µ = 0, 1, 2 en

gµν =

1 0 00 −1 00 0 −1

.

Bovenstaande relatie geldt al als voor γµ 2x2-matrices worden gekozen. Deconventie is als volgt:

γ0 = β = σz =

(

1 00 −1

)

,

γ1 = iσx = i

(

0 i

−i 0

)

=

(

0 −11 0

)

,

γ2 = iσy = i

(

0 11 0

)

=

(

0 i

i 0

)

.

Ter controle van de anti-commutatierelatie:

γ0γ0 + γ0γ0 = 2(γ0)2 = 2,

γiγi + γiγi = 2(γi)2 = 2i2σ2i = −2,

γiγj + γjγi = i2 σi, σj+ = 0

(in het geval dat γi of γj = γ0 dan is de voorfactor een i minder, maar de rede-natie is hetzelfde, omdat in alle gevallen het neerkomt op een anti-commutatievan veschillende Pauli-matrices).Dus geldt inderdaad de anti-commutatierelatie:

γµ, γν+ = 2gµν .

15

4 Hexagonaal rooster en hopping-Hamiltoniaan

Om aan te tonen dat de elektronen in grafeen zich als massaloze deeltjes gedra-gen moet aangetoond worden dat ze zich gedragen zoals gedicteerd wordt doorde Diracvergelijking uit hoofdstuk 3, d.w.z. dat ze een Hamiltoniaan hebbendie gelijk is aan (3).Om de uitdrukking voor de Hamiltoniaan van elektronen in grafeen te vinden,moeten we eerst dieper ingaan op een beschrijving van zijn roosterstructuur. Wekunnen vervolgens conclusies trekken over de Hamiltoniaan die hieruit volgt.

4.1 Roosterstructuur

Zoals eerder vermeld heeft grafeen een hexagonale roosterstructuur, met op elkhoekpunt een koolstofatoom. Om de afleiding zorgvuldig te doen zullen we erin eerste instantie echter van uit gaan dat de twee sites in de eenheidscel bezetworden door heterogene elementen, zoals bijvoorbeeld het geval is in boronitride.Beschouw dus het rooster uit figuur 1.

Figuur 1: Een hexagonaal rooster bestaat uit twee sublattices, hier aangegevenmet atomen A en B van de respectievelijke sublattices. Bron: Semenoff[13].

In dit rooster zijn de twee verschillende sites van de eenheidscel aangegeven metA en B. De basisvectoren zijn

~a1 = a

(√

32

− 12

)

, ~a2 = a

(

01

)

.

16

De roosterpunten A uit de eerste sublattice worden opgebouwd als lineaire com-binaties van deze vectoren:

~A(n1, n2) = n1 ~a1 + n2 ~a2.

De twee sublattices worden verbonden door de connectievectoren

~b1 = a

( 12√

312

)

, ~b2 = a

( 12√

3

− 12

)

, ~b2 = a

( − 1√3

0

)

.

De roosterpunten B worden gegenereerd door:

~B(m1,m2) = m1 ~a1 +m2 ~a2 + ~b1

(de laatste term kan vanzelfsprekend elke connectievector zijn, we kiezen hiervoor de eerste).

4.2 Vaststellen hopping-Hamiltoniaan

In deze paragraaf maken we gebruik van het begrip Second Quantization. Vooreen beknopte uitleg hierover wordt hierbij verwezen naar de syllabus van hetvak Quantumgassen[14].

De Hamiltoniaan voor de elektronen in dit rooster laat zich goed benaderendoor de hopping-Hamiltoniaan (Hhop), waarbij de benadering inhoudt dat ervan uitgegaan wordt dat alleen interactie tussen twee direct aangrenzende ato-men van invloed is op de Hamiltoniaan. We voeren nu vier operatoren in. Decreatie- en annihilatie-operatoren, respectievelijk U † en U , van elektronen opsites ~A en respectievelijk V † en V op sites ~B. Verder parametrizeren we hetpotentiaalverschil tussen de sublattices als β en voeren we een coefficient α ingerelateerd aan de waarschijnlijkheid voor een elektron om van een site naareen aangrenzende te springen.

De hopping-Hamiltoniaan wordt nu:

Hhop = α∑

~A,i

U †( ~A)V ( ~A+ ~bi) + V †( ~A+ ~bi)U( ~A)

+β∑

~A

U †( ~A)U( ~A) − V †( ~A+ ~b1)V ( ~A+ ~b1).

De eerste term hierin staat voor de annihilatie van een elektron op site ~A + ~bi(dus een site ~B) en de creatie van een elektron op site ~A. Het elektron springtdus van het ene sublattice naar het andere. De tweede term zorgt juist voor detegenovergestelde sprong van ~A naar ~B.De derde en vierde term zijn number-operators op respectievelijk sites ~A en ~B.

17

Door ze van elkaar af te trekken en te vermenigvuldigen met β wordt dus hetpotentiaalverschil vastgesteld.Door te sommeren over i = 1, 2, 3 worden alle connecties meegenomen en door

te sommeren over ~A wordt het hele rooster meegenomen. Sommatie is bij delaatste twee termen slechts nodig over ~A (en dus ook ~A + ~b1), omdat daarmeealle roosterpunten van de twee respectievelijke roosters zijn meegenomen.

18

5 Hamiltoniaan in de fase-ruimte

In dit hoofdstuk zal getracht worden de hopping-Hamiltoniaan uit het vorigehoofdstuk uit te drukken in operators werkend in de fase-ruimte. Daarna zal dedispersierelatie en haar minima bepaald worden.

5.1 Fourier-transformatie

De Hamiltoniaan uit het vorige hoofdstuk was (we laten vanaf hier de hopping-index weg):

H = α∑

~A,i

U †( ~A)V ( ~A+ ~bi) + V †( ~A+ ~bi)U( ~A)

+β∑

~A

U †( ~A)U( ~A) − V †( ~A+ ~b1)V ( ~A+ ~b1).

De eerste term van de Hamiltoniaan

H = α∑

~A,i

U †( ~A)V ( ~A+ ~bi) + ...

met de Fourier-transformatie,

U( ~A) =

∫

ΩB

d2k

(2π)2ei~k· ~AU(~k),

waarin ΩB de Brillouin-zone is zoals gedefineerd in Semenoffs artikel[13], geeft

α∑

~A,i

∫

ΩB

d2k1

(2π)2e−i ~k1· ~AU †( ~k1)

∫

ΩB

d2k2

(2π)2ei ~k2·( ~A+~bi)V ( ~k2)

= α

∫

ΩB

d2k1

(2π)2

∑

~A

e−i ~k1· ~AU †( ~k1)

∫

ΩB

d2k2

(2π)2

∑

~A

ei ~k2· ~A∑

i

ei ~k2·~biV ( ~k2)

= α

∫

ΩB

d2k1

(2π)2d2k2

(2π)2U †( ~k1)

∑

~A

ei( ~k2− ~k1)· ~A∑

i

ei ~k2·~biV ( ~k2).

Het bepalen van de sommatie gebeurt in appendix A, de uitkomst is:

∑

~A

ei( ~k2− ~k1)· ~A = (2π)2δ( ~k1 − ~k2).

De eerste term van de Hamiltoniaan wordt derhalve:

α

∫

ΩB

d2k1

(2π)2d2k2

(2π)2U †( ~k1)(2π)2δ( ~k1 − ~k2)

∑

i

ei ~k2·~biV ( ~k2)

19

= α

∫

ΩB

d2k

(2π)2U †(~k)

∑

i

ei~k·~biV (~k)

(de index van k1 is overbodig geworden, gewoon k volstaat).

Op eenzelfde wijze verkrijgt men uit de tweede term, V †( ~A + ~bi)U( ~A), een-zelfde soort uitdrukking, alleen nu met een minteken in de exponent, omdatde vector ~A+ ~bi nu in het argument van de hermitisch geconjugeerde operatorstaat:

α

∫

ΩB

d2k

(2π)2V †(~k)

∑

i

e−i~k·~biU(~k).

De uitdrukkingen volgend uit de derde en vierde term verkrijgt men op eensoortgelijke wijze. Hieronder de afleiding van de laatste term, de derde is nietwezenlijk anders (neem −β → β, V → U en b1 → 0).

...− β∑

~A

V †( ~A+ ~b1)V ( ~A+ ~b1)

= −β∑

~A

∫

ΩB

d2k1

(2π)2d2k2

(2π)2V †( ~k1)e

i( ~k2− ~k1)·( ~A+~b1)V ( ~k2)

= −β∫

ΩB

d2k1

(2π)2d2k2

(2π)2V †( ~k1)

∑

~A

ei( ~k2− ~k1)· ~Aei( ~k2− ~k1)·~b1V ( ~k2)

= −β∫

ΩB

d2k1

(2π)2d2k2

(2π)2V †( ~k1)(2π)2δ( ~k2 − ~k1)e

i( ~k2− ~k1)·~b1V ( ~k2)

= −β∫

ΩB

d2k

(2π)2V †(~k)V (~k)

Het resultaat van deze vier berekeningen laat zich eenvoudiger weergeven inmatrixvorm:

H =

∫

ΩB

d2k

(2π)2

(

U †(~k) V †(~k))

M(

U(~k)

V (~k)

)

(9)

M =

(

β α(ei~k·~b1 + ei~k·~b2 + ei~k·~b3)

α(e−i~k·~b1 + e−i~k·~b2 + e−i~k·~b3) −β

)

. (10)

20

5.2 Dispersierelatie

De energie-eigenwaarden laten zich hier makkelijk uit berekenen:

det

(

β − E α(ei~k·~b1 + ei~k·~b2 + ei~k·~b3)

α(e−i~k·~b1 + e−i~k·~b2 + e−i~k·~b3) −β − E

)

= 0

−(β2 − E2) − α2∣

∣

∣ei~k·~b1 + ei~k·~b2 + ei~k·~b3

∣

∣

∣

2

= 0

E(k) =

√

β2 + α2∣

∣

∣ei~k·~b1 + ei~k·~b2 + ei~k·~b3∣

∣

∣

2

. (11)

In figuur 2 staat deze dispersierelatie ter indicatie geplot, met a = 1, α = 1 enβ = 1

4 .

Figuur 2: Een plot van de dispersierelatie gegeven door vergelijking (11) meta = 1, α = 1 en β = 1

4

Merk op dat als β = 0, de valentieband en de geleidingsband elkaar raken openkele intersectiepunten, die berekend zullen worden in de volgende paragraaf.In dit geval is de dispersierelatie lineair in de buurt van deze intersectiepunten,een gegeven dat we verderop zullen gebruiken om de Hamiltoniaan te benade-ren. Deze dispersierelatie met a = 1, α = 1 en β = 0 staat geplot in figuur 3.

21

Figuur 3: Een plot van de dispersierelatie gegeven door vergelijking (11) meta = 1, α = 1 en β = 0

5.3 Intersectiepunten

De minima van de dispersierelatie komen overeen met de nulpunten van devergelijking:

∣

∣

∣ei~k·~b1 + ei~k·~b2 + ei~k·~b3∣

∣

∣ = 0.

In herinnering roepend dat de vectoren ~b1, ~b2 en ~b3 vastgesteld waren te zijn:

~b1 = a

( 12√

312

)

, ~b2 = a

( 12√

3

− 12

)

, ~b3 = a

( − 1√3

0

)

,

komt dit neer op:

eia[(1/2√

3)kx+( 1

2 )ky] + eia[(1/2√

3)kx+(− 1

2 )ky] + eia(−1/√

3)kx = 0.

Als deze drie vectoren in het complexe vlak tot nul moeten optellen, wil datzeggen dat ze symmetrisch in het complexe vlak liggen en dus een absoluuthoekverschil van 2π

3 en 4π3 hebben.

∣

∣

∣

∣

a

(

1

2√

3kx +

1

2ky

)

− a

(

1

2√

3kx − 1

2ky

)∣

∣

∣

∣

=2π

3⇒ ky = ±2π

3a

22

∣

∣

∣

∣

a

(

1

2√

3kx +

1

2ky

)

− a

(

− 1√3kx

)∣

∣

∣

∣

=4π

3⇒ 3a

2√

3kx ± π

3= ±4π

3

⇒ 3a

2√

3kx = ±π ⇒ kx = ± 2π

a√

3

We hebben nu dus twee oplossingen in de fase-ruimte die niet equivalent zijn:

~q1 = 2πa√

3

(

11√3

)

, ~q2 = −~q1

(daarnaast zijn alle equivalente punten, de hoeken van de Brillouin zone, ookoplossingen).

23

6 Expansie Hamiltoniaan rond intersectiepun-ten

Omdat er per eenheidscel in het rooster een elektron vrij is, zijn alle negatievetoestanden (de valentieband) gevuld en zijn alle positieve (de geleidingsband)leeg. Op de punten ~q1 en ~q2 is de bandgap tussen valentie- en geleidingsbandminimaal en in de buurt van deze punten is de dispersierelatie lineair als β = 0,zoals het geval is in grafeen. In de lage energie limiet speelt alle dynamica zichaf in de buurt van deze punten. We kunnen de Hamiltoniaan dus ontwikkelentot in eerste orde van ~k. We beschouwen eerst de benadering rond ~q2 = −~q1,daarna volgt de benadering rond ~q1.

6.1 Benadering rond −~q1

Aangezienfij(~k − ~q1) ≈ fij(−~q1) + ∇kfij |−~q1

·~k +O(k2)

geldt

α

3∑

j=1

e−i(~k−~q1)·~bj = α

3∑

j=1

[

ei ~q1·~bj + ∇k

(

e−i~k·~bj

)

|−~q1·~k +O(k2)

]

≈ α

3∑

j=1

[(

1 − i~bj · ~k)

ei ~q1·~bj

]

.

Omdat verder geldt dat

~q1 · ~bj =

2π

3, 0,−2π

3

is3∑

j=1

ei ~q1·~bj = 0

en kunnen we de Hamiltoniaan van (9) benaderen door

H1 ≃∫

|k|≪ 1

a

d2k

(2π)2

(

U †(~k − ~q1) V †(~k − ~q1))

M1

(

U(~k − ~q1)

V (~k − ~q1)

)

met voor M1:

M1 =

β α∑3

j=1

[(

i~bj · ~k)

e−i ~q1·~bj

]

α∑3

j=1

[(

−i~bj · ~k)

ei ~q1·~bj

]

−β

. (12)

24

Deze Hamiltoniaan kan worden herschreven als:

H1 =

∫

|k|≪ 1

a

d2k

(2π)2ψ1(~k)(~γ · ~k +m)ψ1(~k),

waarin1

ψ1(~k) = cei π6

σzσz

(

U(~k − ~q1)

V (~k − ~q1)

)

metc2 = αa

√3

2 en m = 2β

αa√

3⇒ c2m = β

en ψ is de adjoint-spinor uit hoofdstuk 3

ψ = ψ†γ0

Bovenstaande bewering wordt in de volgende paragraaf afgeleid.

6.1.1 Afleiding

In deze paragraaf wordt gebruik gemaakt van de vergelijking

eiπ6

σz =

(

ei π6 0

0 e−i π6

)

.

De afleiding van deze vergelijking staat in appendix B.

Eerst controleren we de simpele term:

ψ1(~k)mψ1(~k)

=

c

(

U(~k − ~q1)

V (~k − ~q1)

)†

σz

(

ei π6

σz)†(

1 00 −1

)

m

[

cei π6

σzσz

(

U(~k − ~q1)

V (~k − ~q1)

)]

.

Omdat σz commuteert met zichzelf en dus ook met de gegeven e-macht vallende twee sigma’s tegen elkaar weg en verkrijgen we:

(

U †(~k − ~q1) V †(~k − ~q1))

Mβ

(

U(~k − ~q1)

V (~k − ~q1)

)

1Deze identiteit wijkt op een aantal punten af van die van Semenoff[13]. De voorfactor isanders, de exponent is positief en er is een extra factor σz . Ik heb de definitie van Semenoffvoor de γµ-matrices aangehouden en kom desondanks op deze tegenstrijdigheid in zijn artikeluit. Met een andere definitie van de γµ-matrices kan wellicht Semenoffs’ afwijkende exponenten sigma-factor te verklaren zijn. Onweerlegbaar is echter dat de voorfactor in Semenoffsartikel echt fout is: De normalisatiefactor in de definitie van ψ1 moet evenredig met

√

α zijn,aangezien term linksonderin de oorspronkelijke matrix evenredig met α is.

25

met

Mβ = c2(

ei π6 0

0 e−i π6

)†(1 00 −1

)

m

(

ei π6 0

0 e−i π6

)

= c2m

(

e−i π6 0

0 ei π6

)(

ei π6 0

0 −e−i π6

)

= c2m

(

1 00 −1

)

=

(

β 00 −β

)

.

De andere term is iets gecompliceerder:

ψ1(~k)(~γ · ~k)ψ1(~k)

=(

U †(~k − ~q1) V †(~k − ~q1))

Mα

(

U(~k − ~q1)

V (~k − ~q1)

)

met

Mα = c2σz

(

ei π6 0

0 e−i π6

)†(1 00 −1

)

(~γ · ~k)(

ei π6 0

0 e−i π6

)

σz .

Voor de factor in tussen haakjes geldt:

(~γ · ~k) = γxkx + γyky = − (γxkx + γyky)

= −[(

0 i

i 0

)

kx +

(

0 1−1 0

)

ky

]

= −(

0 ikx + ky

ikx − ky 0

)

.

Aldus

−c2(

e−i π6 0

0 ei π6

)(

1 00 −1

)(

0 ikx + ky

ikx − ky 0

)(

ei π6 0

0 e−i π6

)

c2(

e−i π6 0

0 −ei π6

)(

0 e−i π6 (ikx + ky)

ei π6 (ikx − ky) 0

)

Mα = c2(

0 e−i π3 (ikx + ky)

−ei π3 (ikx − ky) 0

)

. (13)

De term linksonder in de oorspronkelijke Hamiltoniaan was:

α

3∑

j=1

[(

−i~bj · ~k)

ei ~q1·~bj

]

.

Uitgewerkt geeft dat:

−iαa[(

1

2√

3kx +

1

2ky

)

ei 2π3 +

(

1

2√

3kx − 1

2ky

)

+

(

1√3kx

)

ei−2π3

]

26

= −iαa[

− 1

4√

3+

1

4ikx − 1

4ky +

3

4√

3iky +

1

2√

3kx − 1

2ky +

1

2√

3kx +

1

2ikx

]

= −iαa[

3

4√

3kx − 3

4ky +

3

4ikx +

3

4√

3iky

]

= −iαa√

3

4

[

ikx

(√3 − i

)

− ky

(√3 − i

)]

= −αa√

3

2

(

1

2+ i

1

2

√3

)

[ikx − ky]

= −αa√

3

2ei π

3 (ikx − ky)

en dit is hetzelfde als de uitdrukking linksonderin (13).

De term rechtsbovenin is slechts de complex-geconjugeerde term van die links-onderin in beide gevallen.De twee matrices bij elkaar zijn:

Mα + Mβ =

(

β 00 −β

)

+

(

0 e−i π3 (ikx + ky)

−ei π3 (ikx − ky) 0

)

=

β α∑3

j=1

[(

i~bj · ~k)

e−i~q1·~bj

]

α∑3

j=1

[(

−i~bj · ~k)

ei ~q1·~bj

]

−β

en dit is gelijk aan (12), hetgeen is wat we wilden aantonen.

6.2 Andere inequivalente punt (+~q1)

Deze hele redenatie hiervoor beschouwde alleen het punt −~q1, maar natuurlijkwas er nog een ander inequivalent punt, namelijk ~q1.De benadering hierbij van de termen niet op de diagonaal verschilt slechts vandie in de vorige paragraaf met een minteken in de exponent:

α

3∑

j=1

[(

−i~bj · ~k)

e−i ~q1·~bj

]

.

De matrix wordt dus nu

M2 =

β α∑3

j=1

[(

i~bj · ~k)

ei ~q1·~bj

]

α∑3

j=1

[(

−i~bj · ~k)

e−i ~q1·~bj

]

−β

. (14)

De bijhorende Hamiltoniaan kan worden herschreven als:

H2 =

∫

|k|≪ 1

a

d2k

(2π)2ψ2(~k)(~γ · ~k −m)ψ2(~k) (15)

27

waarin2

ψ2(~k) = cei π6

σzσx

(

U(~k + ~q1)

V (~k + ~q1)

)

. (16)

Het bewijs kunnen we nu iets sneller doen dan in de vorige paragraaf.

6.2.1 Afleiding

De termen linksonder en rechtsboven in M2 verschillen slechts t.o.v. M1 in hetfeit dat er nu een minteken in de exponent staat. Voor de rest is de berekeningprecies hetzelfde als in de vorige paragraaf en dus geldt:

M2 =

(

β c2ei π3 (ikx + ky)

−c2e−i π3 (ikx − ky) −β

)

βσz + c2(

0 ei π3 (ikx + ky)

−e−i π3 (ikx − ky) 0

)

.

Voor de tweede term geldt nu:

c2(

0 ei π3 (ikx + ky)

−e−i π3 (ikx − ky) 0

)

= c2σzσx

(

0 e−i π3 (ikx + ky)

ei π3 (ikx − ky) 0

)

σx

= c2σzσxe−i π

6σz(iσxkx + iσyky)ei π

6σzσx

= −c2σxe−i π

6σzσz(γ

1kx + γ2ky)ei π6

σzσx

= c2(

ei π6

σzσx

)†γ0(γ1kx + γ2ky)ei π

6σzσx

= ψ2(~γ · ~k)ψ2,

als ψ2 gedefineerd wordt als in (16).Verder geldt:

σxσzσx = −σz.

Dus t.o.v. de uitdrukking voor H1 moet gecorrigeerd worden met een minteken.Aldus verkrijgen we de te bewijzen Hamiltoniaan van vergelijking (15):

H2 =

∫

|k|≪ 1

a

d2k

(2π)2ψ2(~k)(~γ · ~k −m)ψ2(~k).

2Ook deze identiteit is anders dan die in Semenoffs artikel, bijna analoog aan de voetnootin paragraaf 6.1, behalve dat de factor σx wel opduikt in Semenoffs artikel.

28

6.3 Dirac Hamiltoniaan

De totale vergelijking voor de Hamiltoniaan in de lineaire benadering is dus:

H = H1+H2 =

∫

|k|≪ 1

a

d2k

(2π)2

[

ψ1(~k)(~γ · ~k +m)ψ1(~k) + ψ2(~k)(~γ · ~k −m)ψ2(~k)]

.

Gebruikmakend van Second Quantization kan worden aangetoond dat deze uit-drukking de bewegingsvergelijking levert die overeenkomt met onze oorspronke-lijke definitie van de Dirac-Hamiltoniaan

H = (~γ · ~k +m).

De afleiding hiervan vergt echter een veel dieper inzicht in Second Quantization,waarvoor een cursus Quantumveldentheorie onontbeerlijk is.

Hiermee is aangetoond dat de elektronen die zich in grafeen bevinden zich ge-dragen als Dirac fermionen, d.w.z. als massaloze relativistische deeltjes.

29

7 Klein Paradox

Een van de eerste voorbeelden van quantummechanica behelst over het alge-meen het tunnellen van een elektron door een potentiaalbarriere. Het is eensimpele rekenoefening, waaruit als resultaat komt dat er een kleine kans is hetelektron voorbij de barriere te detecteren, zelfs al heeft het elektron een energiedie klassiek gezien te laag is om voorbij de potentiaalbarriere te gaan. Dezekansdichtheid loopt over de dikte van de barriere exponentieel af, waarbij deafname sterk afhankelijk is van de hoogte van de barriere.

Zijn de elektronen daarentegen relativistisch, dan treedt er een contra-intuıtiefproces op, bekend onder de naam Klein Paradox. De afname is slechts zeerzwak afhankelijk van de hoogte van de barriere.De kans dat een relativistisch elektron tunnelt is zelfs zeer hoog omdat volgensQuantum Elektrodynamica de positieve en negatieve toestanden (in dit gevaldus positronen en elektronen) gebonden zijn, een fenomeen dat bekend is onderde naam lading-conjugatie symmetrie en dat volgt uit de Dirac vergelijking.

Het feit dat deze vorm van tunneling bekend staat onder de kwalificatie pa-radox, ook al is het fenomeen ondertussen goed begrepen, komt waarschijnlijkomdat het nooit experimenteel is waargenomen. Dat is ook niet verwonder-lijk, daar het elektron een relativistische energie moet hebben voordat het effectmeetbaar is. De enige plek tot voorkort waar elektronen zo een hoge energiebezaten was in deeltjesversnellers, en aangezien de elektronen hierin met rela-tivistische snelheden bewegen is het moeilijk ze zonder neveneffecten te latentunnelen door een (stilstaande) potentiaalbarriere.

Grafeen biedt hiervoor een goed alternatief: De elektronen gedragen zich wel-iswaar als Dirac fermionen, maar de hele meetopstelling kan op een vierkantecentimeter opgesteld worden, een voordeel dat zich alleen in het engelse woordtabletop goed laat vangen. Voor vervolgliteratuur zie de artikelen van bijvoor-beeld A. Calogeracos [1] of Katsnelson [9]. Voor toepassingen in de hoek van dequantum informatie [3] zie bijvoorbeeld het artikel van Fal’ko en in de hoek vanhet anomalous Quantum Halleffect zie bijvoorbeeld het artikel van Haldane [5]of dat van Zhang [10].

30

8 Conclusie

We zijn in dit verslag uitgegaan van het hexagonale rooster van grafeen ennamen daarbij aan dat alle lange afstand-interacties tussen atomen verwaar-loosbaar zijn, in zoverre dat alleen interacties tussen buren van invloed zijn.Verder zijn we ervan uitgegaan dat de dynamica van de elektronen zich alleenafspeelt in gebieden rondom de intersectiepunten, waardoor we de Hamiltoni-aan verder benaderd kon worden door te ontwikkelen tot tweede orde in deimpuls. Dit zijn allemaal zeer schappelijke aannames. De conclusie die hieruitmag worden getrokken is dat de elektronen in grafeen inderdaad voldoen aande Dirac-vergelijking en dus inderdaad zich laten beschrijven als massaloze re-lativistische deeltjes.

Het was voor mij een interessant project om te doen en het is zeer belonendom te zien dat een zo opmerkelijke bewering zelfs in de korte tijdspan van eenbachelorproject te bewijzen en begrijpen valt. Het is verder erg leuk om eentegenstrijdigheid of zelfs een fout te vinden in een vierentwintig jaar oud artikel,van een gerespecteerde auteur, dat zo vaak geciteerd is.

9 Dankwoord

Graag wil ik mijn begeleider Jean-Sebastien Caux, verbonden aan het Instituutvoor Theoretische Fysica Amsterdam (ITFA) van de Universiteit van Amster-dam (UvA), bedanken voor de vele uren hulp en uitleg die hij mij heeft gebodengedurende het project.Ook wil ik de Facultaire Studentenraad van de Faculteit der Natuurwetenschap-pen, Wiskunde en Informatica (FSR FNWI) bedanken voor het beschikbaarstellen van werkruimte.

31

10 Populaire samenvatting

10.1 Toelichting

Een verplicht onderdeel van de scriptie ter afsluiting van het bachelorproject ishet schrijven van een populaire samenvatting. Het publiek hierbij bestaat nietuit natuurkundigen, maar is bijvoorbeeld de wetenschapsbijlage van een krant.Ik ga bij het schrijven dus niet uit van enige achtergrondkennis, behalve dat watvan een belezen publiek mag worden verwacht.

10.2 Grafeen, een stof met toekomst

Iedereen kent grafiet als het dunne staafje breekbaar materiaal dat in het bin-nenste van een potlood zit. Grafiet bestaat uit laagjes die slap aan elkaarvastzitten. Als je met een potlood schrijft schuif je die laagjes af op het papier.Ookal zijn potloodstrepen niet zichtbaar dik, een streep bestaat toch nog altijduit vele laagjes. Recentelijk zijn natuurkundig onderzoekers erin geslaagd enkelelaagjes, zogeheten monolayers, te isoleren. Een monolayer grafiet wordt grafeengenoemd.

Grafeen bestaat uit een hexagonaal rooster, d.w.z. een rooster dat eruit zietals een bijenraat. Op elk hoekpunt zit een koolstofatoom en per koolstofatoomis er een elektron over dat zich vrij door het rooster kan bewegen. Grafeen isdus een zeer goede geleider.Het is mogelijk om uitgaande van dit model voor grafeen te berekenen wat deelektronische eigenschappen zijn. Hieruit komt een opmerkelijke bewering naarvoren, namelijk dat de elektronen zich in grote mate gedragen alsof ze geenmassa hebben en met bijna de lichtsnelheid bewegen.Dit is zeer opmerkelijk, want tot voor de ontdekking van grafeen konden ditsoort elektronen alleen worden gemaakt in deeltjesversnellers. Het feit dat nuin een gewone laboratoriumopstelling (tabletop in het engels) experimenten kun-nen worden gedaan in deze hoek van de fysica, die Quantum Elektrodynamicawordt genoemd, maakt dat veel theorieen die tot nu toe niet verifieerbaar warensinds de experimentele ontdekking van grafeen in 2004 opeens relatief simpel ex-perimenteel te testen zijn.

In dit verslag heb ik berekend dat de bewering dat de elektronen in grafeenmassaloos en relativistisch zijn inderdaad correct is.

32

11 Appendix A

In deze appendix wordt aangetoond dat:

∑

~A

ei( ~k2− ~k1)· ~A = (2π)2δ( ~k1 − ~k2).

Als eerste beschouwen we apart de sommatie in 1 dimensie, beginnend met deeindige sommatie:

N∑

x

ei(km−kn)x,

waarbij

kn =2πn

N

metn = 0, 1, ..., N − 1 .

Alle gevallen kn 6= km vallen in complexe vlak weg tegen tegenovergesteldevector. De sommatie laat zich dus bepalen als:

N∑

x

ei(km−kn)x = Nδkn,km.

De opdracht is nu om te bekijken wat deze vergelijking wordt in de limiet N →∞. Gebruikmakend van de identiteit:

N−1∑

n=0

fknδkn,km

= fkm

(waarin δkn,kmde Kronecker-delta is), en van de definitie van de Dirac-delta

δ(k − k′):∫ 2π

0

dkf(k)δ(k − k′) = f(k′)

en daarbij bedenkend dat in deze notatie k′ de limiet is van km, ofwel:

f(k′) = limN→∞

[f(km)] ,

geeft een mogelijkheid om een verhouding tussen de Kronecker- en Dirac-deltate bepalen. Hierbij moet in gedachten worden gehouden dat kn nu een continuspectrum is, dat loopt van 0 tot

limN→∞

2πN − 1

N= 2π,

oftewel:kǫ[0, 2π[.

33

De grenzen van de sommatie gaan in de limiet van een integraal dus ook naardeze waarden.

limN→∞

[f(km)] = limN→∞

[

1

∆k

N−1∑

n

∆kfknδkn,km

]

=1

∆k

∫ 2π

0

dkf(k)δkn,km

1

∆k=N

2π⇒ 2πδ(k − k′) = lim

N→∞[Nδkn,km

]

Aldus kan geconcludeerd worden dat in de limiet N → ∞:

∞∑

x

ei(km−kn)x = 2πδ(kn − km),

met xǫR en kǫ[0, 2π[.Dus geldt in twee dimensies:

∑

~A

ei( ~k2− ~k1)· ~A = (2π)2δ( ~k1 − ~k2).

34

12 Appendix B

In deze appendix wordt aangetoond dat:

e−iπa

σz =

(

e−i πa 0

0 ei πa

)

.

De redenatie is als volgt:

e−iπa

σz =

∞∑

n=0

1

n!

(−iπa

)n

(σz)n

∞∑

l=0

1

2l!

(−iπa

)2l

(σz)2l

+

∞∑

l=0

1

(2l + 1)!

(−iπa

)2l+1

(σz)2l+1

,

want (σz)2

= (σz)2l

= 1 als lǫN. Dus

∞∑

l=0

(−1)l

2l!

(π

a

)2l

1− i

∞∑

l=0

(−1)l

(2l + 1)!

(π

a

)2l+1

(σz)

= cosπ

a1− i sin

π

aσz

=

(

cos πa − i sin π

a 00 cos π

a + i sin πa

)

⇒ e−iπa

σz =

(

e−i πa 0

0 ei πa

)

.

35

Referenties

[1] A. Calogeracos. Relativistic quantum mechanics: Paradox in a pencil.Nature Physics, 2:579–580, September 2006.

[2] A.D. Martin F. Halzen. Quarks and Leptons: An Introductory Course in

Mdern Particle Physics. John Wiley & Sons, 1984.

[3] V. Fal’Ko. Graphene: Quantum information on chicken wire. Nature Phy-

sics, 3:151–152, March 2007.

[4] A. K. Geim and K. S. Novoselov. The rise of graphene. Nat Mater, 6(3):183–191, March 2007.

[5] F. D. M. Haldane. Model for a quantum hall effect without landau levels:Condensed-matter realization of the ”parity anomaly”. Phys. Rev. Lett.,61(18):2015–2018, Oct 1988.

[6] P. C. Hohenberg. Existence of long-range order in one and two dimensions.Phys. Rev., 158(2):383–386, Jun 1967.

[7] C.L. Kane. Erasing electron mass. NATURE PHYS., 438:168–170, 2005.

[8] M. I. Katsnelson. Graphene: carbon in two dimensions. 2006.

[9] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, and A. K. Geim. Chiral tunneling andthe klein paradox in graphene. NATURE PHYS., 2:620, 2006.

[10] P. Kim. Experimental Observation of Quantum Hall Effect and Berry’sPhase in Graphene. APS Meeting Abstracts, pages D2001+, March 2006.

[11] N. D. Mermin and H. Wagner. Absence of ferromagnetism or antiferromag-netism in one- or two-dimensional isotropic heisenberg models. Phys. Rev.

Lett., 17(22):1133–1136, Nov 1966.

[12] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson,I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov. Two-dimensional gas ofmassless dirac fermions in graphene. Nature, 438:197, 2005.

[13] Gordon W. Semenoff. Condensed-matter simulation of a three-dimensionalanomaly. Phys. Rev. Lett., 53(26):2449–2452, Dec 1984.

[14] J.T.M. Walraven. Elements of Quantum Gases I: Thermodynamic and

Collisional Properties of Trapped Atomic Gases. Department of Physicsand Astronomy, University of Amsterdam, 2008.

36