Grafeen: tunneling door een barri`ere en het Kronig-Penney …Grafeen is een 2D hexagonaal rooster...

UNIVERSITEIT ANTWERPEN

Faculteit Wetenschappen

Departement Fysica

Grafeen: tunneling door een barriereen het Kronig-Penney model

Proefschrift voorgelegd tot het behalen van de graad vanlicentiaat in de Fysica

aan de Universiteit Antwerpen te verdedigen door

Michael Barbier

Promotor: Prof. dr. F. M. PeetersCo-promotor: Dr. M. J. Pereira Antwerpen, 2007

Dankwoord

Eerst en vooral zou ik Prof. Dr. Francois Peeters willen danken, om degelegenheid te bieden van deze thesis te maken rond het nieuw en interessantonderzoeksgebied dat grafeen vormt voor de interessante wetenschappelijkediscussies, en tevens voor zijn strikte en nauwkeurige verbeteringen. Verderwil ik nog Dr. Milton Pereira bedanken voor zijn tijd en geduld met de vragendie ik had. Ook wil ik An Slachmulders bedanken om haar tijd op te offerentoen mijn computer het een paar weken voor de deadline begaf en zij mijwederom hielp met het installeren van een andere computer. Yosip Sidormoet ik bedanken voor zijn hulp met Mathematica. En mijn vriendin Birgiten mijn klasgenoten voor de morele steun die ze mij gegeven hebben.

i

Inhoudsopgave

1 Inleiding 11.1 Grafeen 21.2 Fabricatie van grafeen 3

1.2.1 Chemisch splitsen 41.2.2 Micromechanische klieving 41.2.3 Grafeenlaag groeien op siliciumcarbide 5

1.3 Dispersie-relatie 51.4 Experimenten 9

1.4.1 Minimale conductiviteit 91.4.2 Quantum Hall Effect 111.4.3 Klein paradox 13

2 Tunneling door een potentiaalbarriere 152.1 Niet-relativistisch 162.2 Relativistisch 19

2.2.1 Relativistische bosonen 192.2.2 Relativistische elektronen 22

3 Mini-bandenstructuur van een superrooster 29

iii

iv INHOUDSOPGAVE

3.1 Inleiding 293.2 Kronig-Penney model 293.3 1D ’gewone’ superroosters 31

3.3.1 Kronig-Penney limiet: lima→0 333.3.2 Beweging in 2D 34

3.4 Dirac-Kronig-Penney model 353.5 1D Superroosters in grafeen 38

3.5.1 Beweging in 1D 44

4 Besluit 49

Appendix A Golfvergelijkingen & notaties 51A.1 Schrodinger vergelijking 52A.2 Klein-Gordon vergelijking 52A.3 Dirac vergelijking 52

Referenties 55

1Inleiding

Grafeen een twee-dimensiaal kristal gevormd door een laag van grafiet. Hetfabriceren en detecteren van grafeen is recent (2004) gelukt. De uitzonderlijkeeigenschappen van dit materiaal stimuleren het onderzoek naar deze.

De uitgebreidheid van het onderzoeksgebied dat grafeen binnen de vastestoffys-ica vormt is een gevolg van de vele toepassingsmogelijkheden die grafeen biedt.In de elektronica worden deze gestimuleerd door de interessante elektronis-che eigenschappen van grafeen: ballistisch transport over een afstand van0.3µm[12], een mobiliteit van 20.000 cm2V−1s−1 en stroomdichtheden tot 108

A/cm2[30] zijn reeds bereikt, zeer hoge concentraties (1013cm−2[12]) aan lad-ingsdragers zijn mogelijk. Deze eigenschappen van grafeen zijn een gevolgvan de bijzondere elektronische structuur. Deze thesis heeft als doel om eenindruk te geven van de gevolgen van de elektronische structuur van grafeen.Hiertoe wordt er eerst geargumenteerd waarom de ladingsdragers in grafeenkunnen beschreven worden als quasi-deeltjes die zich gedragen als massalozerelativistische elektronen op een twee-dimensionaal (2D) vlak. Experimentenzoals het Quantum Hall effect en de minimum conductiviteits metingen dietot deze inzichten hebben geleid worden kort uitgelegd. Grafeen is voor deindustrie, maar eveneens fundamenteel interessant doordat de quasi-deeltjesin grafeen zich gedragen als gas van massaloze fermionen met een lading. Ditlaatste maakt dat Quantum ElektroDynamische (QED) fenomenen zoals deKlein paradox in grafeen experimenteel waar te nemen zouden zijn, in dezethesis zal de Klein paradox eveneens kort besproken worden.

Daarna wordt de transmissie in een eendimensionale (1D) potentiaalbarrierebepaald voor de quasi-deeltjes in grafeen, wat eveneens een illustratie is vande Klein paradox. Om de invloed van de chiraliteit van de quasi-deeltjes op

1

2 INLEIDING

de transmissie beter te kunnen begrijpen wordt eveneens de transmissie vanbosonen bepaald (dewelke geen chiraliteit bezitten), zodanig dat deze tweetransmissies vergeleken kunnen worden.

Als laatste wordt de dispersie-relatie van een superrooster in grafeen bekeken,hiertoe bekijken we het Dirac-Kronig-Penney model en breiden we dit uit naarbewegingen in twee dimensies.

1.1 GRAFEEN

Grafeen is een 2D hexagonaal rooster van koolstof-atomen, net als een laagvan grafiet. Tot korte tijd geleden was grafeen enkel bestudeerd als basisbouwsteen voor de verschillende allotropen van koolstof: grafiet, koolstof-nanobuizen en fullerenen (zie figuur 1.1).

Figuur 1.1 Verschillende allotropen van koolstof. Van links naar rechts: diamant,grafiet, grafeen, koolstof nanobuizen en fullerenen. [Overgenomen van Ref.[13]]

Het was aangenomen dat grafeen op zichzelf niet kon bestaan, net als andere2D-kristallen onmogelijk zouden zijn door thermodynamische beschouwin-gen. De lange golflengte-fononen zouden de trillingen in het rooster doendivergeren en het grafeen doen smelten. Dit was eerst aangetoond doorPeierls[4] en Landau[5] en daarna door Mermin[3] meer rigoureus bewezen. Destrenge condities die nodig zijn om het bewijs van Mermin te laten gelden zijnechter mogelijk niet volledig voldaan door grafeen[2], een kleine anisotropiein het kristal zou bijvoorbeeld reeds leiden tot stabiele macroscopisch grotegrafeenkristallen. In 2004 wordt het bestaan van grafeen experimenteel voorhet eerst bevestigd door Novolesov et al.[1].

In deze thesis wordt de conventie aangenomen dat er met ’grafeenmoleculen’gerefereerd wordt naar de tweedimensionale stukken grafeen die een enkelelaag vormen, de meerlagige delen zullen steeds als grafietlagen vernoemd wor-den.

De algemeen aangenomen verklaring dat grafeen toch kan bestaan bij omgev-ingstemperatuur is dat grafeen niet perfect vlak is, maar rimpelingen in zijnstructuur vertoont, zie figuur (1.2). Deze rimpelingen verkleinen de vrijeweglengte van de fononen aanwezig in het grafeen, zodanig dat de langegolflengte-fononen die een 2D kristal onmogelijk maken[3] niet meer kunnenbestaan. De aanwezigheid van de rimpelingen zelf is nog niet sluitend verk-laard. Een theorie hiervoor is dat het grafeen elastisch vervormd wordt: dit

FABRICATIE VAN GRAFEEN 3

zorgt voor een verlaging van de entropie van het grafeen, men wint dus aanentropie en verliest aan elastische energie. Een minimum aan energie zal zichinstellen en deze toestand bevat meer rimpelingen naarmate de temperatuurstijgt. Een andere theorie is dat er door, bijvoorbeeld het mechanisch kliev-ingsproces, defecten van de vorm van pentagons en heptagons geıntroduceerdworden, dewelke de rimpelingen kunnen verklaren.

Figuur 1.2 Links: Schematische voorstelling van rimpelingen op een grafeenvlak.Rechts: Voorstelling van het bijbehorende reciproke rooster, dit zijn nu geen rechtennormaal in het vlak als in vlak grafeen maar deze maken nu een kleine hoek met denormaal. [Overgenomen van Ref.[7]]

Het bestaan van deze rimpelingen is met elektronendiffractie-experimentenbevestigd[7]. Hiervoor heeft men vrij zwevende (opgehangen aan een goud(AU)-rooster) grafeenmoleculen geconstrueerd, zie figuur (1.3). Dit is gedaan dooreerst een grafeenmolecule op een oppervlak te identificeren, hierop wordt eenrooster gelegd en daarna lost men het oppervlak waarop de grafeen moleculegemaakt was op, zodat het grafeen enkel nog aan het rooster bevestigd is.Op het grafeen wordt dan een elektronenbundel gericht en uit het diffrac-tiepatroon kan men de gemiddelde hoek vinden waaronder het grafeen staat,dit is 5, de grootte van een rimpeling is 5 tot 10nm en de hoogte 0.5nm.De rimpelingen zijn statisch. Deze rimpelingen zijn eveneens in het elas-ticiteitsmodel (geen heptagons of pentagons) door computersimulatie (MonteCarlo) van grafeen bevestigd[8], de typische grootte van de rimpelingen was hi-erbij 7nm, wat in goede overeenkomst is met de elektronendiffractie-experimentenvan Meyer, et al.[7].

1.2 FABRICATIE VAN GRAFEEN

Een beperkt aantal processen werd reeds ontwikkeld voor de fabricatie vangrafeen. Het groeien van macroscopisch grote 2D kristallen uit gesmoltenbulk materiaal is niet mogelijk. Door de hoge temperatuur zullen er te veeldislocaties in de kristalstructuur optreden. Andere methoden zijn gericht ophet oogste van grafeen uit bulk grafiet, een aantal van deze processen zullenhier kort besproken worden.

4 INLEIDING

Figuur 1.3 Links: Donkerveld TEM beeld van een vrij opgehangen grafeenmolecule.De streep rechtsonder stelt 500 nm voor, de pijlen wijzen naar delen van enkel-lagig grafeen (bepaald door elektronen-diffractie metingen), de gekleurde stippellij-nen stellen schematisch de doorsneden voor die bij de grafiek rechts horen. Rechts:Plot van de intensiteit van de drie doorsneden in de figuur links, de intesiteit is rechtevenredig met het aantal lagen, men kan zien dat inderdaad in de andere lagen de inten-siteit overeenkomt met veelvouden van de enkele laag grafeen (rode lijn).[Overgenomenvan Ref.[6]]

1.2.1 Chemisch splitsen

Het chemisch splitsen van het bulk-kristal in eenlagige kristallen wordt gedaandoor eerst grote moleculen tussen de verschillende lagen van grafiet te voegen.Daarna worden deze moleculen door chemische reactie verwijderd. Hetgeenoverblijft is een samenraapsel van opgerolde structuren van grafeen, tot nutoe heeft men hiertussen nog geen enkellagige grafeenmoleculen gevonden.

1.2.2 Micromechanische klieving

Bij dit proces wordt een oppervlak van grafiet tegen een oppervlak van eenander materiaal geschuurd, te vergelijken met het strijken van een krijtje opeen bord. Bij de lagen grafiet die achterblijven op het oppervlak van hetandere materiaal worden enkellagige grafeenmoleculen gevonden. Dit pro-ces heeft ook reeds met andere materialen (voorbeeld: BN, MoS2, NbSe2 enBi2Sr2CaCu2Ox) dan grafiet tot 2D kristallen geleid[11]. Om de grafeenkristallente onderscheiden van meerlagige grafietlagen wordt AFM gebruikt, dit is deenigste microscopie die momenteel (hoewel er nu sprake is van andere tech-nieken zoals Raman-spectroscopie[32][31]) grafeen ondubbelzinnig kan iden-tificeren (SEM en TEM geven geen duidelijke indicaties voor enkellagig ofmeerlagig). Dit wordt gedaan door de dikte van de gescande laag te vergeli-jken met de afstand tussen twee lagen in bulk grafiet, zie linkse figuur (1.4).

AFM is echter niet geschikt om grote oppervlakken af te scannen, wat menzou moeten doen om grafeenmoleculen te vinden. Omwille van dit feit wordteerst gezocht naar potentiele grafeenmoleculen waarna deze dan onderzocht

DISPERSIE-RELATIE 5

Figuur 1.4 Links: AFM-beeld van een grafeenmolecule. De witte streep rechtson-der stelt 1 µm voor. Uit de dikte van de laag identificeert men de grafeenmolecule.[Overgenomen van Ref.[11]]. Rechts: Beeld door een optische microscoop van eengrafeenmolecule op een laag SiO2. De witte streep stelt 1 µm voor. [Overgenomenvan Ref.[11]].

worden met AFM. Om de potentiele grafeenmoleculen te herkennen wordthet grafeen op een laag van SiO2 gelegd (deze moet een dikte van 300nmhebben). De reflectie op enkellagig grafeen geeft reeds genoeg contrast metdeze van het SiO2-materiaal zonder grafeen, zodanig dat grafeen met eenoptische microscoop geıdentificeerd kan worden, zie rechtse figuur (1.4).

1.2.3 Grafeenlaag groeien op siliciumcarbide

De grafeenlaag wordt gevormd door het verdampen van de bovenste Si-laagvan het SiC-kristal door verhitting. Om een zeer vlak oppervlak op het SiC-kristal te verkrijgen wordt, nadat het SiC-kristal vlak gepolijst is, de ruwhedenweggehaald door bij hoge temperatuur het SiC-kristal te laten reageren metwaterstof, zie figuur (1.5).

Dit proces zou eens op punt gesteld, een potentiele kandidaat zijn voor desystematische fabricatie van grafeenmoleculen. Een ander interessant aspectvan deze methode is dat de orientatie van de grafeenmolecule bepaald is doordeze van het SiC-kristal. Dit is een gevolg van de superstructuur (39×39) dieontstaat in het rooster van de koolstof-atomen van het SiC samen met dezevan de grafeenmolecule[15]. Deze laatste superstructuur zorgt echter ook voorhet ontstaan van een kleine bandkloof in de lineaire dispersie-relatie[15].

1.3 DISPERSIE-RELATIE

De kristalstructuur van grafeen is deze van een hexagonaal rooster van kool-stofatomen (zie links figuur (1.6)). Er zijn twee atomen (A en B) per eenheids-

6 INLEIDING

voor na

Figuur 1.5 AFM-beelden van gepolijst SiC-kristaloppervlak, links: Voor de bewerk-ing met waterstof en rechts: Na de bewerking met waterstof, men krijgt terrasvorm-ing, de stapgrootte is deze van een enkele laag

cel, deze vormen twee driehoekige subroosters A en B. De translatievectorenvan het rooster A zijn:

~a1 = a(√

32,12), ~a2 = a(

√3

2,−1

2). (1.1)

Waarbij de roosterafstand van het subrooster a =√

3a0 met a0 = 1.42 A denaaste-nabuur-afstand van het rooster. De reciproke translatievectoren vansubrooster A zijn:

~b1 =2πa

(

√13, 1), ~b2 =

2πa

(

√13,−1). (1.2)

De naaste naburen van een A-atoom zijn B-atomen verbonden door translaties~r1, ~r2 en ~r3:

~r1 = a(1

2√

3,12), ~r2 = a(

12√

3,−1

2), ~r3 = a(− 1√

3, 0). (1.3)

De Brillouinzone is een hexagon als rechts in figuur (1.6). Er zijn in deBrillouinzone twee onafhankelijke punten K en K’, net als het rooster tweeonafhankelijke koolstof-atomen A en B in zijn basis heeft. De koolstofatomenin grafeen zijn sp2 gehybridiseerd en elk met drie andere atomen gebonden, elkkoolstofatoom heeft nog een vrij elektron in het 2pz-orbitaal (π-orbitaal). Deelektronische structuur van grafeen wordt vooral bepaald door de elektronenvan dit 2pz-orbitaal.

De bandenstructuur van de vrije elektronen kan bepaald worden met behulpvan de tight-binding methode. Uit de tight-binding berekeningen voor de π-orbitalen volgt dat de conductie -en de valentie-band elkaar raken in de zeshoekpunten van de Brillouinzone[20]. Deze tight-binding berekeningen zijn inovereenkomst met wat men uit ARPES-metingen vindt[19], zie figuur (1.7).

DISPERSIE-RELATIE 7

A B

a1

a2

r1

r

r2

3

K

K

K

K’

K’

K’

Figuur 1.6 Links: Schematische weergave van de eenheidscel in de kristalstructuurvan grafeen. Rechts: Voorstelling van de Brillouinzone, ook in de reciproke ruimtekunnen twee driehoekige subroosters K en K’ gekozen worden.

En

erg

ie

(in

eV

)

Figuur 1.7 Links: Plot van de bandenstructuur van de Π-orbitalen van grafeenlangs de MΓKM richting, berekend met de tight-binding methode. [Overgenomenvan Ref.[20]]. Rechts: Plot van de foto-emissie spectra van ARPES-metingengedaan dichtbij het K-punt, een band is onderdrukt om nauwkeurigere resultaten tehebben. De stippel-lijnen stellen de banden voor berekend met behulp van de tight-binding methode (met de parameters consistent aangepast aan de ARPES-metingen).[Overgenomen van Ref.[19]].

J. C. Sloncenczewski en P. R. Weiss hebben uit de symmetrien van grafeen,voor de naaste nabuur tight-binding hamiltoniaan verder aangetoond dat dezelineair is in ~k voor kleine ~k-afwijking t.o.v. K-punt[18]. In de lage energie-gebieden dicht bij de hoekpunten (K, K’) is de disperie-relatie dan lineair tebeschouwen en wordt deze gevormd door twee snijdende energie-banden[18],schematisch voorgesteld in linkse figuur (1.9):

E1 = −c~~k, E2 = c~~k. (1.4)

Het gedrag van de elektronen kan beschreven worden als dit van quasi-deeltjes met een constante snelheid, net als fotonen, maar de Fermi-snelheid

8 INLEIDING

ΜΓ

Κ

Κ’

Figuur 1.8 Links: Bandenstructuur van de conductie en de valentieband van de π-orbitalen berekend met de tight-binding methode. Rechts: Bandenstructuur vangrafeen langs de MΓKM richting.

EF

A

B

k-k

-

A

B

Figuur 1.9 Links: Schematische voorstelling van de dispersie, de rode (groene) lijnis energie E1 (E2) stelt de quasi-deeltjes op het A (B) rooster voor, met positieve(negatieve) pseudospin. Te zien is dat chiraliteit van de elektronen +1 is en dezevan de elektrongaten -1. Rechts: Schematische voorstelling van het grafeenroosteropgedeeld in A en B atomen

neemt hier de rol van de lichtsnelheid: c.= vF ≈ 106m/s. Semenoff toont

verder aan dat er twee onafhankelijke quasi-deeltjes bestaan door de hamilto-niaan in volgende vorm te brengen[17]:

H =∫

d2k

(2π)2[ψ1(~k)(~γ · ~k +m)ψ1(~k) + ψ2(~k)(~γ · ~k −m)ψ2(~k)], (1.5)

waarbij ~γ =(iσx iσy

)en ψ1 (ψ1) en ψ2 (ψ2) de rol van creatie (annihilatie)

operatoren spelen. Dit leidt tot twee onafhankelijke quasi-deeltjes (roosters)en de eigenschap dat een quasi-deeltje het ene of het andere rooster toebehoortkan beschouwd worden als een pseudo-spin. De quasi-deeltjes in grafeen zijnmassaloos (m = 0) en de golffunctie voor deze quasi-deeltjes voldoet hiermeeaan de 2D Dirac-vergelijking:

c (~σ · p) Ψ = (E − V )Ψ. (1.6)

EXPERIMENTEN 9

Waarbij ~σ =(σx σy

)de Pauli-matrices zijn en de invloed van een elek-

trische potentiaal V is meegenomen. Door het massaloos zijn van de quasi-deeltjes wordt de chiraliteit van de deeltjes behouden, quasi-elektronen hebbenchiraliteit ~σ · ~pp = 1 en quasi-positronen (afwezigheid van een quasi-deeltje)

~σ · ~pp = −1. Door spin-baan koppeling van de elektronen of invloed van hetsubstraat[15][22] op het grafeen kan er een kleine bandkloof en hierdoor effec-tieve massa m 6= 0 gevonden worden, in het eerste geval is deze bandkloof vande orde van 10−3meV[33]. Deze massa introduceren in de Dirac-vergelijkingleidt tot:

(c(~σ · p) +mc2σz

)Ψ = (E − V )Ψ. (1.7)

Er werd aangetoond dat de quasi-deeltjes in grafeen zich gedragen als (mas-saloze) elektronen die een constante snelheid c

.= vF ≈ 106 bezitten diedriehonderdmaal kleiner is dan de lichtsnelheid. Dat de quasi-deeltjes als zemassaloos zijn hun chiraliteit behouden en dat er kan gesproken worden vantwee soorten quasi-deeltjes. Omdat de quasi-deeltjes voldoen aan de Diracvergelijking voor (massaloze) relativistische elektronen zullen we de notatielicht misbruiken en de quasi-deeltjes verder eveneens elektronen en positronennoemen, in de appendix worden als overzicht de verschillende golfvergelijkin-gen weergegeven.

1.4 EXPERIMENTEN

1.4.1 Minimale conductiviteit

Om de transport-eigenschappen van de quasi-deeltjes in grafeen te bekijkenheeft de groep van A. Geim (een zelfde onderzoek werd praktisch simul-taan door de groep van Philip Kim uitgevoerd) een FET gemaakt uit eengrafeenkristal. Dit is gedaan door eerst een grafeenkristal te identificeren opeen SiO2-laag, dan contacten uit goud hierop aan te brengen en daarna hetoverige grafeenkristal te verwijderen zodanig men het design krijgt dat menwil, in dit geval een Hall-bar configuratie zoals in figuur (1.10).

Hiermee kon men de resistiviteit ρ van grafeen meten bij verschillendeconcentraties van ladingsdragers, de concentratie aan ladingsdragers n wordtbepaald door de Fermi-energie en deze kan veranderd worden door de poten-tiaal op de ’gate’ Vg te veranderen: n = αVg met α = 7.2 · 1010cm−1V−1[12].De conductiviteit σ = ρ−1 hieruit bepaald is geplot in figuur (1.11), de lin-eaire delen van de grafiek voor de conductiviteit geven aan dat iedere ladings-drager daar evenveel bijdraagt aan de conductiviteit. Dit is ook wat verwachtwordt voor ballistisch transport ladingsdragers met constante snelheid. Alsde Fermi-energie de Dirac-energie benaderd gaat de conductiviteit echter nietnaar nul, hoewel er volgens de theorie geen ladingsdragers aanwezig zijn.

10 INLEIDING

Figuur 1.10 Links: Beeld van een optische microscoop van de Hall-barconfiguratievan de FET van de groep van Geim om de transport-eigenschappen in grafeen waarte kunnen nemen. Rechts: Schematisch hetzelfde design van de Hall-barconfiguratieweergegeven.[Overgenomen van Ref.[14]]

Figuur 1.11 Links: Resistiviteit als functie van de potentiaal Vg, de afgebeelde Dirac-kegels geven schematisch weer hoe de Fermi-energie veranderd als functie van de po-tentiaal Vg. [Overgenomen van Ref.[12]]. Rechts: De conductiviteit σ bepaalt uitde resistiviteit ρ, te zien is dat dicht bij de Dirac-energie de conductiviteit niet nulwordt en dat deze verder een lineaire functie van Vg en dus ook van de concentratieaan ladingsdragers is.[Overgenomen van Ref.[14]]

Het minimum in conductiviteit in grafeen is voor verschillende FET’s geme-ten, deze resultaten worden uitgezet als functie van de mobiliteit in figuur(1.12). men kan zien dat dit minimum in conductiviteit onafhankelijk is vande mobiliteit (op een spreiding na) en dat er kan gesproken worden van deminimum-conductiviteit van grafeen, deze bedraagt σmin = 4e2/h.

De theoretische verklaring voor deze minimum-conductiviteit is nog nietsluitend, de meeste theorien voorspellen een waarde die π maal kleiner is dandeze uit het experiment. Een recente paper voorspelt een theoretische waardedie overeenkomt met het experiment, maar enkel voor grafeenkristallen meteen hoge concentratie aan onzuiverheden, voor zuiver grafeen zou de waardetweemaal zo hoog moeten liggen[27].

EXPERIMENTEN 11

Figuur 1.12 De conductiviteit σ voor verschillende FET’s. De conductiviteit ligt voorde verschillende FET’s gespreid rond wat de minimum-conductiviteit van grafeen moetvoorstellen: σmin = 4e2/h. [Overgenomen van Ref.[12]]

1.4.2 Quantum Hall Effect

1.4.2.1 Het Hall effect Als er door een geleider langs de x-as een stroomjx wordt aangelegd en loodrecht hierop langs de z-as een B-veld is aangelegddan veroorzaakt dit een elektrisch veld loodrecht op beide gericht langs y-asEy, zie figuur (1.13), dit effect wordt het Hall effect genoemd. De elektrischevelden in de x-en y-richting zijn gerelateerd door de resistiviteit ρ met destroom: (

ExEy

)=(ρxx ρxyρyx ρyy

)(jxjy

). (1.8)

Klassiek stijgt de Hall-resistiviteit ρxy lineair met het B-veld.

e-

B

x

yz

jx

Figuur 1.13 Schematische voorstelling van het Hall effect. Het magnetische veld Bbuigt de elektronen.

1.4.2.2 Quantum Hall effect Het Quantum Hall effect (QHE) in een niet-relativistisch 2D elektrongas vertoont anders dan het klassieke Hall effectdiscrete stappen in de Hall-conductiviteit σxy. Deze onstaan omdat de toes-tandsdichtheid nu gequantiseerd is bij discrete energien, de Landau-niveau’sEn = ~ωc(n+ 1/2), waarbij de cyclotronfrequentie ωc = ExB/(mc) is, waar-bij Ex het aangelegd elektrisch veld is, zie figuur (1.14). Er zijn geen vrije

12 INLEIDING

toestanden voor elektronen in de energien buiten deze Landau-niveau’s En.Als de Fermi-energie niet bij een Landau-niveau ligt zijn er geen toestandenvrij, zodanig kunnen de elektronen van de stroom jx niet verstrooid worden,de Hall-weerstand ρxx moet dan nul zijn, zie de rode curve in figuur (1.15).Elk Landau-niveau zorgt voor een extra Hall-conductiviteit van ge2/h, waar-bij g de ontaarding van het Landau-niveau is. Door het magneetveld B tevergroten schuiven de Landau-niveau’s verder uit elkaar, telkens als de Fermi-niveau door een Landau-niveau passeert verspringt de Hall-conductiviteit σxymet ge2/h.

Figuur 1.14 Schematische voorstelling van de Landau-niveau’s, links: als de elektro-nen voldoen aan de Schrodingervergelijking, rechts: voor de quasideeltjes in grafeendie voldoen aan de Dirac-vergelijking. [Overgenomen van Ref.[13]]

Figuur 1.15 Metingen van de Hall-weerstand ρxx (blauwe lijn) en de Hall-conductiviteit σxy (rode curve), de Hall-plateaus zijn 1/2 tov het gewone QHE ver-schoven. [Overgenomen van Ref.[12]].

EXPERIMENTEN 13

1.4.2.3 QHE in grafeen In grafeen voldoen de quasi-deeltjes aan de Dirac-vergelijking, de lineaire dispersie-relatie van deze laatste leidt tot Landau-niveau’s die niet gelijkmatig gespacieert zijn maar volgens de vierkantswortelvan het magneetveld B: En = ±

√2|e|B~c2(n+ 1/2± 1/2), waarbij de laatste

term uit de chiraliteit volgt en ± .= + voor elektronen en ± .= − voor positro-nen. Er is een Landau-niveau bij energie nul en deze is slechts tweemaal (hetelectron heeft twee mogelijkheden voor de ’echte’ spin) in plaats van viermaal(twee subroosters plus twee mogelijkheden voor de ’echte’ spin) ontaard zoalsde andere Landau-niveau’s.

Doordat de Hall-plateaus zich manifesteren als nh/(geB) = n/nφ = geheelgetal, maw als de toestandsdichtheid een veelvoud wordt van de fluxdichtheidvan het magnetisch veld zullen de Hall-plateaus nog steeds lineair gespacieerdzijn en kan de afhankelijk van de vierkantswortel van B niet gezien wor-den in de Hall-metingen. Deze heeft men experimenteel waargenomen doorinfra-rood-spectroscopie, door de overgangen tussen de verschillende Landau-niveau’s heeft men de relatie met het B-veld gemeten[28].

1.4.3 Klein paradox

De term Klein paradox verwijst naar het vreemde fenomeen dat onstaat bijtunneling van relativische elektronen, door een potentiaalbarriere. Als depotentiaalbarriere groter wordt dan tweemaal de rustmassa mc2, van eeninkomende golf, deze in staat is van door de barriere te tunnelen en als debarriere zeer groot wordt ten aanzien van de rustmassa er perfecte transmissieoptreedt. Dit kan worden verklaard doordat er in de barriere toestandenmet negatieve energie, positron-toestanden, aanwezig zijn. Via deze positron-toestanden kan de inkomende golf door de barriere tunnelen. In grafeen wordtde massa van de quasi-deeltjes gelijk aan nul gesteld, waardoor de Klein para-dox voor iedere potentiaalbarriere mogelijk is, zie figuur (1.16).

Dit geeft de mogelijkheid om de paradox, dewelke theoretisch enkel in zeerexotische fenomenen voorspeld is, experimenteel waar te nemen. Door hetmassaloos zijn van de quasi-deeltjes wordt eveneens zoals reeds vermeld inhoofdstuk A.3, de chiraliteit behouden, waardoor de reflectie van de quasi-deeltjes niet mogelijk is. In 1D leidt het behoud van stroom er dan toe datde deeltjes moeten tunnelen en de transmissie perfect moet zijn.

Om de Klein paradox experimenteel waar te nemen zijn er verschillendevoorstellen gedaan, een mogelijkheid is om de potentiaalbarriere te creerendoor een extra ’gate’ bovenaan een FET-design te plaatsen[23]. Dit soort de-sign is ontwikkeld[24], zie figuur (1.17), maar de experimentele waarnemingenleiden tot de conclusie dat er geen volledig ballistisch transport was doorheende potentiaalbarriere. Dit laatste geeft geen goede hoop om de Klein paradoxwaar te nemen met deze experimentele opstelling.

14 INLEIDING

Figuur 1.16 Schematische voorstelling van de tunneling van een quasi-deeltje ingrafeen door een potentiaalbarriere, net als hiervoor afgeleid uit de tight-binding meth-ode is de rode (groene) lijn de energie E1 (E2) en stelt de quasi-deeltjes op het A (B)rooster voor, met positieve (negatieve) pseudospin. Het is te zien dat de chiraliteitbehouden is. [Overgenomen van Ref.[23]]

Figuur 1.17 Schematisch het design van het experiment dat gebruikt is om de tun-neling van de quasi-deeltjes in grafeen doorheen een potentiaalbarriere te bekijken.[Overgenomen van Ref.[24]]

2Tunneling door een

potentiaalbarriere

Het fenomeen van een elektron dat door een potentiaalbarriere tunnelt wordtnu bekeken, met name de transmissie T . Eerst voor het niet-relativistischegeval, daarna wordt eerst gezien hoe relativistische bosonen zich gedragen(Klein-Gordon vergelijking) om dan relativistische elektronen te bekijken (Dirac-vergelijking). Schematisch ziet de potentiaalbarriere met breedte W en hoogteV er als in figuur (2.1) uit, de x-as wordt door de potentiaal verdeeld in driegebieden: (I) links van de barriere, (II) in de barriere en (III) rechts van debarriere.

0

V(x)

V

W

I II III

Figuur 2.1 Potentiaal V(x) van de potentiaalbarriere, de pijl stelt schematisch eentunnelend deeltje voor.

15

16 TUNNELING DOOR EEN POTENTIAALBARRIERE

2.1 NIET-RELATIVISTISCH

Niet-relativistisch voldoet een deeltje aan de stationaire Schrodinger-vergelijking:

∂2ψ(x, y)∂x2 +

∂2ψ(x, y)∂y2 = −2m

~2(E − V (x))ψ(x, y). (2.1)

In de schrodinger-vergelijking Hψ(x, y) = Eψ(x, y) commuteert de Hamil-toniaan H = ~p2

2m + V (x) met py. py is een constante van beweging. Deoplossingen kunnen hierdoor geschreven worden als ψ(x, y) = ψ(x)eikyy. De1D Schrodingervergelijking Hψ(x) = Exψ(x) in de drie gebieden x < 0,0 < x < W en x > W is:

∂2ψ(x)∂x2 = −2mEx

~2ψ(x), x < 0, (2.2)

∂2ψ(x)∂x2 = −2m(Ex − V )

~2ψ(x), 0 < x < W, (2.3)

∂2ψ(x)∂x2 = −2mEx

~2ψ(x), x > W. (2.4)

In het geval dat Ex > V zijn de oplossingen in de drie gebieden superpositiesvan vlakke golven:

ψ(x) = Aeikx +Be−ikx, x < 0, (2.5)

ψ(x) = CeiKx +De−iKx, 0 < x < W, (2.6)

ψ(x) = Feikx, x > W. (2.7)

Waarbij de golfgetallen k en K gedefinieerd zijn als:

k =

√2mEx

~2, (2.8)

K =

√2m(Ex − V )

~2, (2.9)

die verbonden zijn door de relatie:

k2 −K2 =2m~2

V. (2.10)

De oplossing moet aan de randvoorwaarden voldoen dat ψ(x) en ∂ψ(x)∂x

continu zijn in x = 0 en x = W , dit uitdrukken geeft ons vergelijkingen in decoefficienten A, B, C, D, F, G. Met behulp van de transfer matrix methodeworden deze als volgt geschreven:

NIET-RELATIVISTISCH 17

(AB

)= W−1

k (0)WK(0)(CD

), (2.11)

(CD

)= W−1

K (W )Wk(W )(

FG = 0

). (2.12)

Waarbij de matrix Wk(x) wordt gedefinieerd als:

Wk(x) =(

1 1ik −ik

)eikxσz , met eikxσz =

(eikx 0e−ikx 0

)(2.13)

waarbij met σz de pauli-matrix bedoeld wordt. Dit geeft volgende relatietussen de coefficienten voor en na de barriere:(

AB

)= T

(F0

). (2.14)

Waarbij de tranfermatrix T wordt gedefinieerd als:

T = W−1k (0)WK(0)W−1

K (W )Wk(W ). (2.15)

De transmissie T1D = |F |2|A|2 is te bepalen uit het matrix-element T11:

T1D =|F |2

|A|2=

1|T11|2

. (2.16)

De transmissie T1D is dan:

T1D =1

1 +(k2−K2

2kK

)2sin2(KW )

. (2.17)

Als nu Ex < V dan kan dezelfde formule gebruikt worden als K ′ = |K| =√2m(V−Ex)

~2 (K ′ heeft hier niets te maken met het K’-punt in de Brillouinzone)gebruikt wordt:

T1D =1

1 +(k2+K′2

2kK′

)2sinh2(K ′W )

(2.18)

en de relatie tussen k en K ′ wordt:

k2 +K ′2 =2m~2

V. (2.19)

In figuur (2.2) wordt de transmissie T1D door een barriere als functie vande energie E afgebeeld, met V = 100meV, m = 0.067me met me de massavan een elektron in bulk GaAs, voor breedtes W = 10nm en W = 15nm. Detransmissie voor beweging in 1D is perfect als:


KW = nπ, met n ∈ N (2.20)

⇒ E =(n~π)2

2mW 2+ V. (2.21)

Figuur 2.2 Niet-relativistisch. Plot van de transmissie T1D door een enkele potenti-aalbarriere, als functie van de energie E, voor verschillende breedtes van de barriere,met V = 100meV, massa m = 0.067me met me de massa van een elektron in bulkGaAs.

De transmissie is onafhankelijk van de y-component ky van de golf. Omhet effect van de y-component ky van de inkomende golf te bekijken, bemerk

dat Ex = E − ~2k2y

2m , waaruit volgt voor de transmissie in 2D T2D:

T2D(E) = T1D(E −~2k2

y

2m). (2.22)

Of als functie van de invalshoek α van het deeltje:

T2D(E) = T1D(E cos(α)). (2.23)

De transmissie voor verschillende invalshoeken α wordt geplot in figuur(2.3). De transmissie voor beweging in 2d is perfect als:

⇒ E =(n~π)2

2mW 2+ V +

~2k2y

2m.met n ∈ N (2.24)

RELATIVISTISCH 19

Figuur 2.3 Niet-relativistisch. Plot van de transmissie T2D als functie van de energieE, voor verschillende invalshoeken α. De potentiaalbarriere wordt op V = 100meVgehouden, de massa m = 0.067me.

2.2 RELATIVISTISCH

2.2.1 Relativistische bosonen

Met behulp van de Klein-Gordon vergelijking kan een relativistisch bosonbeschreven worden door volgende vergelijking:

∂2ψ(x, y)∂x2 +

∂2ψ(x, y)∂y2 = − 1

~2c2((E − V (x))2 −m2c4

)ψ(x, y). (2.25)

Net als in het niet-relativistische geval commuteert de Hamiltoniaan H metpy. py is een constante van beweging. De oplossing kan hierdoor geschrevenworden als ψ(x, y) = ψ(x)eikyy. Deze oplossing invullen in de Klein-Gordonvergelijking geeft:

∂2ψ(x)∂x2 = − 1

~2c2((E − V (x))2 −m2c4 − ~2k2

yc2)ψ(x). (2.26)

Substitutie E′2 = E2 −m2c4 − ~2k2yc

2 toepassen leidt tot:

∂2ψ(x)∂x2 = − 1

~2c2

(E′2 − 2V (x)

√E′2 +m2c4 + ~2k2

yc2 + V (x)2

)ψ(x).

(2.27)


De vergelijking verkrijgt dezelfde vorm als deze van de Schrodinger-vergelijkingindien de golfgetallen nu gedefinieerd worden als:

k =E′

~c, (2.28)

K =1~c

√E′2 − 2V

√E′2 + ~2k2

yc2 +m2c4 + V 2. (2.29)

De term K is nu afhankelijk van kx.= k en ky van de inkomende golf en

de transmissie T is dan eveneens van beide componenten afhankelijk:

T (kx, ky) =1

1 +(k2

x−K2

2kxK

)2

sin2(KW ). (2.30)

Indien K negatief is, wordt deze net als bij het niet-relativistische gevalvervangen door K ′ = |K| en wordt de transmissie:

T (kx, ky) =1

1 +(k2

x+K′2

2kxK′

)2

sinh2(K ′W ). (2.31)

kx (in nm−1)

ky

(in

nm−

1)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figuur 2.4 Relativistische bosonen. Transmissie T door een enkele potentiaalbarriereals functie van kx en ky, m = 0, V = 50meV, c = 106m/s, W = 50nm.

RELATIVISTISCH 21

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

kx (in nm−1)

T

ky = 0 nm−1

ky = 0.025 nm−1

ky = 0.051 nm−1

ky = 0.076 nm−1

Figuur 2.5 Relativistische bosonen. Contourplot van de transmissie T door een enkelepotentiaalbarriere als functie van kx voor verschillende waarden van ky, m = 0, V =50meV, c = 106m/s, W = 50nm.

In figuur (2.4) is de transmissie T als functie van kx en ky van de inkomendegolf geplot, de massa van de bosonen m = 0 en om daarna te kunnen vergeli-jken met elektronen in grafeen is c = 106m/s, de snelheid van de quasi-deeltjesin grafeen, gesteld, de potentiaalbarriere heeft hoogte V = 50meV en breedteW = 50nm. In figuur (2.5) worden bij verschillende waarden van ky een aantaldoorsnedes van figuur (2.4) afgebeeld. Uit deze laatste plot is te zien dat bijquasi-loodrechte inval de potentiaalbarriere ook bij kleinere energien perfectetransmissie vertoont, in tegenstelling met het niet-relativistische geval. Dezeperfecte transmissie voor beweging in 2D wordt bereikt als:

E = ±√

(πn~c)2W 2

+m2c4 + ~2k2yc

2 + V, met n ∈ N (2.32)

Anders dan in het niet-relativistische geval kan er ook perfecte transmissieoptreden bij energien lager dan de potentiaal V.

2.2.1.1 Niet-relativistische limiet Schrijf de energie als E = ε +mc2 (ε stelthier het nu kleine kinetische deel van de energie voor) en stel |ε− V | mc2

om de niet-relativistische limiet te nemen. Deze invullen in de vergelijking (inde term K) voor ψ(x) (2.26) leidt terug tot de Schrodinger-vergelijking:


K2 =1

~2c2

(((ε+mc2)2 − V

)2 −m2c4), (2.33)

≈ 2m~2

(ε− V )− k2y, (2.34)

⇒ ∂2ψ(x)∂x2 − k2

y = −2m~2

(ε− V ). (2.35)

Dit is dezelfde vergelijking als voor een deeltje dat door een barriere tunneltin het niet-relativistische geval. De formule voor de transmissie is eveneenshetzelfde als in het niet-relativistische geval en dezelfde transmissie wordtverkregen.

2.2.2 Relativistische elektronen

De elektronen voldoen aan de Dirac-vergelijking:(c(~σ · p) +mc2σz

)Ψ = (E − V )Ψ. (2.36)

De Dirac-hamiltoniaan voor een 1D-barriere V (x) commuteert met py endeze laatste is wederom een constante van beweging. De oplossing voor deDirac-vergelijking kan geschreven worden als ψ(x, y) = ψ(x)eikyy, deze in-vullen in de Dirac-vergelijking leidt tot:

∂ψl(x)∂x

+ kyψu(x) =i

~c(E′ −mc2)ψu(x),

∂ψu(x)∂x

− kyψl(x) =i

~c(E′ +mc2)ψl(x).

(2.37)

Waarbij E′ = E − V (x) gesteld is. Invullen van de vlakke golf-oplossingenψ(x) =

(uuul

)eikx leidt tot:(

E′ −mc2 −k−~c−k+~c E′ +mc2

)(uuul

)= 0, (2.38)

waarbij k± en K± gedefinieerd zijn als:

k± = k ± iky, (2.39)K± = K ± iky.

Om een niet triviale oplossing voor(uuul

)te bekomen moet de determinant

van de matrix nul zijn, dit leidt enerzijds tot:

(E − V (x))2 = ~2c2k2 + ~2c2k2y +m2c4. (2.40)

en anderzijds tot een relatie tussen uu en ul:

RELATIVISTISCH 23

ul =

k+~cE′ +mc2

uu voor E − V > 0,

uu =−k−~c

|E′|+mc2ul voor E − V < 0.

(2.41)

Op normering na leggen deze relaties de vlakke golf-oplossingen vast. Erzijn twee onafhankelijke oplossingen φa(x)en φb(x). In het gebied buiten debarriere geldt:

Ωk(x).=(φa(x) φb(x)

)=(

1 1Λ+ −Λ−

)Nke

ikxσz . (2.42)

Waarbij Nk de normering voorstelt en λ± en Λ± gedefinieerd zijn als:

λ± =k±~c

E′ +mc2, Λ± =

K±~c|E′|+mc2

. (2.43)

In de barriere moeten we onderscheid maken tussen de gevallen E > V enE < V :

ΩK(x) .=

(φa φb

)=(

1 1Λ+ −Λ−

)NKe

iKxσz als E > V,

ΩK(x) .=(

φa φb)

=(

−Λ− Λ+

1 1

)NKe

iKxσz als E < V.

(2.44)De oplossingen kunnen in de drie gebieden uitgedrukt worden als lineairecombinaties van φa en φb:

ψ(x) = Ωk(x)(AB

)voor de barriere,

ψ(x) = ΩK(x)(CD

)in de barriere,

ψ(x) = Ωk(x)(

FG=0

)na de barriere.

(2.45)

De golffunctie is continu, dit uitdrukken in x = 0 en x = W levert:(AB

)= Ω−1

k (0)ΩK(0)(CD

), (2.46)

(CD

)= Ω−1

K (W )Ωk(W )(

FG = 0

). (2.47)

Druk net zoals in het niet-relativistische geval de betrekking tussen de coefficientenA, B en F uit: (

AB

)= T

(F0

), (2.48)

waarbij de tranfermatrix T ook analoog wordt gedefinieerd als:


T = Ω−1k (0)ΩK(0)Ω−1

K (W )Ωk(W ). (2.49)

Uit de definitie voor de stroom in de Dirac-vergelijking wordt afgeleid datde transmissie T eveneens als in het niet-relativistische geval voldoet aanT = |F |2

|A|2 :

jx = ecψ†σxψ = ec(ψ∗l ψu + ψlψ∗u) = 2ec<ψ∗uψl. (2.50)

De vlakke golf-oplossingen uit (2.42) voor ψ invullen in de gebieden voor en nade potentiaalbarriere bepaalt de stroom jx in deze gebieden. Voor de barrierewordt:

ψ∗uψl = |A|2λ+ +B∗Aλ+e2ikx −BA∗λ−e

−2ikx − |B|2λ−, (2.51)

en analoog na de barriere met:(AB

)→(

FG=0

). Dit geeft:

⇒

jx = 2ecN2

kλ(|A|2 − |B|2) voor de barriere,

jx = 2ecN2kλ|F |2 na de barriere.

(2.52)

De transmissie is dan:

T =|F |2

|A|2. (2.53)

Dit leidt tot een uitdrukking voor de transmissie T2D:

T2D =|F |2

|A|2=

1|T11|2

. (2.54)

Expliciet geeft dit voor de transmissie voor zowel E > V als E < V (in hetlaatste geval zal T11 wel tegengesteld zijn):

T2D =

[cos2(KW ) +

14k2K2

(k2D

d+K2 d

D+ k2

y(d

D+D

d− 2)

)2

sin2(KW )

]−1

,

(2.55)waarbij d en D gedefinieerd zijn als:

d =E +mc2

~c, (2.56)

D =|E − V |+mc2

~c. (2.57)

Indien (E − V )2 < m2c4 + ~2k2yc

2 dan wordt K imaginair, stel dan K ′ = |K|en vervang K door iK ′, de formule voor de transmissie blijft reeel:

RELATIVISTISCH 25

T2D =

[cosh2(K ′W ) +

14k2K ′2

(k2D

d−K ′2 d

D+ k2

y(d

D+D

d− 2)

)2

sinh2(K ′W )

]−1

.

(2.58)De transmissie T2D langs een barriere is geplot in figuur (2.6), de massa

van de elektronen is gelijk aan nul gesteld (in grafeen kan deze veelal verwaar-loosd worden), er is perfecte transmissie als het deeltje geen impuls langs dey-as heeft, dit is in tegenstelling met de tunneling van bosonen waar er enkelperfecte transmissie voor bepaalde waarden van de energie was. Dit laatstekan eveneens gezien worden in figuur (2.7), in deze figuur worden doorsnedesvan de transmissie bij constante ky = 0; 0.051nm−1 voor bosonen en elek-tronen afgebeeld. Deze perfecte transmissie in 1D, als ky = 0, is wat ookgezien wordt in het fenomeen van de Klein paradox, zie hoofdstuk 1.4.3. Ditis ook in overeenkomst met wat uit het behoud van chiraliteit voor massalozeDirac-deeltjes volgt. Deze transmissie is reeds berekend door J. M. Pereira,et al.[26], daar vindt men een plot die anders geschaald is als dewelke hierbekomen, omdat uit het volgende blijkt dat de overeenkomst met de plotvoor bosonen goed, voor ky voldoende groot, is, concluderen we deze schal-ingsfaktor irrelevant is voor de juistheid van de formules en de besprekingendie volgen.

kx (in nm−1)

ky

(in

nm−

1)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figuur 2.6 Relativistische elektronen. Contourplot van de transmissie T2D door eenenkele potentiaalbarriere, m = 0, V = 50meV, c = 106m/s, W = 50nm.


0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

kx (in nm−1)

T

ky = 0 nm−1

ky = 0.051 nm−1

ky = 0 nm−1

ky = 0.051 nm−1

Figuur 2.7 Plot van doorsnede van de transmissie voor bosonen (licht-groene/donkergroene curves) en elektronen (roze/paarse curves) bij constante ky =0; 0.051nm−1.

Om te kunnen vergelijken met de transmissie door bosonen is dezelfde po-tentiaalbarriere genomen als figuur 2.4. Het is te zien in figuur (2.8) datrelativistische bosonen een vergelijkbare transmissie door de barriere als elek-tronen hebben, zolang de impuls langs de y-as ky groot genoeg is. De massa-loze bosonen en elektronen hier beschreven hebben beide eenzelfde dispersie-relatie, het enige waarin ze fundamenteel van elkaar verschillen is dat demassaloze elektronen chirale deeltjes zijn en de bosonen niet. De invloedvan het behoud van de chiraliteit is hier echter verstrekkend en belanger-ijk. In een paper van Katsnelson wordt eenzelfde vergelijking gemaakt maarin plaats van met bosonen vergelijkt men met de chirale quasi-deeltjes in’bilayer’-grafeen[23], deze deeltjes zijn wel chiraal maar hebben echter geenlineaire dispersie-relatie. Met de vergelijking tussen bosonen en elektronente maken wordt hier getracht een complementair deel aan de redenering, diedeze paper[23] maakt, toe te voegen.

2.2.2.1 Niet-relativistische limiet Schrijf de energie als E = ε + mc2 met εnu de kleine kinetische fractie van de energie E. Deze invullen geeft:

d ≈ D ≈ 2mc

~, (2.59)

k ≈√

2m~2

(ε−~2k2

y

2m), (2.60)

K ≈√

2m~2

((ε−~2k2

y

2m)− V ). (2.61)

RELATIVISTISCH 27

kx (in nm−1)

ky

(in

nm−

1)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figuur 2.8 Contourplot van het verschil in transmissie T2D tussen relativistischeelektronen en bosonen door een enkele potentiaalbarriere, m = 0, V = 50meV,c = 106m/s, W = 50nm.

En deze waarden worden dan ingevuld in de formules voor de transmissie(2.55):

T =[cos2(KW ) +

14k2K2

(k2 +K2

)2sin2(KW )

]−1

. (2.62)

Deze formule is equivalent met de formule voor de transmissie die bekomenis voor het niet-relativistische geval:

T2D =1

1 +(k2−K2

2kK

)2sin2(KW )

. (2.63)

3Mini-bandenstructuurvan een superrooster

3.1 INLEIDING

De elektronische structuur van het superrooster wordt gegeven door de dispersie-relatie. Voor het superrooster worden dezelfde termen als in de vaste-stoffysicavan kristallen gebruikt. Uit de periodische potentiaal van het superrooster kanmen de overeenkomsten met een kristal afleiden. Superroosters hebben hetvoordeel dat de parameters van deze potentiaal veranderd kunnen worden omde dispersie-relatie te beınvloeden. De dispersie-relatie bepaalt het gedrag vande conductantie doorheen het superrooster. In dit hoofdstuk zal de dispersie-relatie van een superrooster in grafeen bepaald worden. Om te kunnen vergeli-jken met de meer gekende superroosters in ’gewone’ materialen worden ookdeze voor ’gewone’ 1D superroosters bepaald. Als model gebruiken we hetKronig-Penney model, dit wordt dan uitgebreid naar het Dirac-Kronig-Pennymodel waarin de redenering van McKellar[29] gevolgd wordt. Dit laat toe omde dispersie-relatie van een 1D superrooster voor beweging in 1D in grafeen tebepalen. Deze dispersie-relatie zullen we dan uitbreiden naar beweging in 2Dom 1D superroosters in grafeen te beschrijven. In volgende paragraaf wordthet Kronig-Penney model kort toegelicht.

3.2 KRONIG-PENNEY MODEL

Om de dispersie-relatie te bepalen in een superrooster in de ’gewone’ materi-alen, waarin de Schrodinger-vergelijking geldt voor de golffunctie ψ(x), wordt

29

30 MINI-BANDENSTRUCTUUR VAN EEN SUPERROOSTER

Figuur 3.1 Potentiaal V(x) van een superrooster

gebruik gemaakt van het Kronig-Penney model in 1D. De potentiaal in ditmodel is weergegeven in figuur (3.1). Een deeltje wordt dan beschreven dooreen golffunctie die voldoet aan de Schrodinger-vergelijking:

∂2ψ(x)∂x2 = −2m

~2(E − V (x))ψ(x). (3.1)

Analoog als in een kristal wordt de potentiaal in eenheidscellen opgedeeld,deze hebben lengte l. In eenheidscel n is het mogelijk om de golffuctie teschrijven als een som van twee onafhankelijke oplossingen φa(x) en φb(x):

ψ(x+ (n− 1)l) = anφa(x) + bnφb(x). (3.2)

Periodische randvoorwaarden opleggen, met N eenheidscellen: L = Nl, leidttot periodiciteit in de golffunctie ψ(x):

ψ(x+ L) = ψ(x). (3.3)

Uitdrukken dat ψ(x) en haar afgeleide ∂ψ(x)∂x continu zijn leidt tot een relatie

tussen de verschillende coefficienten an en bn:an+1φa(0) + bn+1φb(0) = anφa(l) + bnφb(l),an+1φ

′a(0) + bn+1φ

′b(0) = anφ

′a(l) + bnφ

′b(l).

(3.4)

In matrixvorm geschreven wordt dit uitdrukking:(φa(0) φb(0)φ′a(0) φ′b(0)

)(an+1

bn+1

)=(φa(l) φb(l)φ′a(l) φ′b(l)

)(anbn

). (3.5)

De matrices hebben de vorm van een Wronskiaan-matrix:

W (x) .=(φa(x) φb(x)φ′a(x) φ′b(x)

), (3.6)

⇒(an+1

bn+1

)= W (0)−1W (l)

(anbn

), (3.7)

⇒(an+1

bn+1

)= T

(anbn

). (3.8)

1D ’GEWONE’ SUPERROOSTERS 31

De transfermatrix T = W (0)−1W (l) kan verder gespecifieerd worden door deperiodische randvoorwaarden ψ(x+ L) = ψ(x) op te leggen:

ψ(x+ L) = ψ(x) ⇒(aN+n

bN+n

)=(anbn

). (3.9)

Gebruikmakend van T vinden we anderzijds:(aN+n

bN+n

)= TN

(anbn

). (3.10)

en aldus TN = 1.

Hieruit volgt dat de eigenwaarden van T van de vorm ei2πm

N moeten zijn.Aangezien de determinant van T gelijk aan 1 is, dit volgt uit T = W (0)−1W (l)en het feit dat det[W ] een constante is, en det[T ] ook gelijk moet zijn aan hetproduct van de eigenwaarden van T, volgt dat de eigenwaarden van de vorme±i

2πmN zijn. Definieer κ = 2πm

L dan kunnen de eigenwaarden geschrevenworden als e±iκl. Het spoor van T (Tr(T )) uitdrukken, als som van de eigen-waarden van T, levert een voorwaarde voor κ als functie van de tranfermatrixop:

2 cos(κl) = Tr(T ). (3.11)

3.3 1D ’GEWONE’ SUPERROOSTERS

De transfermatrix T kan uitgedrukt worden als we de potentiaal kennen, ditis de potentiaal van figuur (3.1). Kies de massa’s in en buiten de potentiaal-barriere gelijk en de eenheidscel rondom de barriere. De golffuncties φa(x) enφb(x) kunnen gekozen worden als lineaire combinaties van vlakke golven e±ikx

buiten de barriere en e±iKx in de barriere. k en K worden gegeven door:

k =

√2m~2

E, (3.12)

K =

√2m~2

(E − V ). (3.13)

De oplossingen φc(x) = φa(x) of φb(x) kunnen we op volgende maniervoorstellen:

φc(x) = Aceikx +Bce

−ikx voor de barriere,

φc(x) = CceiKx +Dce

−iKx in de barriere,

φc(x) = Fceikx +Gce

−ikx na de barriere.

(3.14)


Om de berekeningen te vereenvoudigen stel dat het begin van de barrierein de eenheidscel x = 0 benaderd zoals in figuur (3.2). Hiervoor wordt εgeıntroduceerd die zeer klein gekozen wordt, zodoende dat deze nul gesteldkan worden in verdere berekeningen maar nog steeds geldt dat V (0) = 0.

Figuur 3.2 Potentiaal binnen de eenheidscel, ε ≈ 0

Definieer Wk(x) buiten de barriere en de coefficienten-matrix F0 voor debarriere als:

Wk(x) =(

1 1ik −ik

)eikxσz , (3.15)

F0 =(Aa AbBa Bb

). (3.16)

Dan kan W (x) in x = 0 geschreven worden als:

W (0) = Wk(0)F0. (3.17)

En analoog voor x = l:

W (l) = Wk(l)Fl. (3.18)

Waarbij Fl de coefficienten-matrix na de barriere voorstelt. De continuıteituitdrukken van ψ(x) en ∂ψ(x)

∂x in x = 0 en x = a leidt tot:

Wk(0)F0 = WK(0)FK , (3.19)WK(a)FK = Wk(a)Fl. (3.20)

Waar FK de coefficienten-matrix in het gebied in de barriere voorstelt. Ditleidt tot een relatie tussen de coefficienten-matrices F0 en Fl:

Fl = Wk(a)−1WK(a)FK (3.21)

= Wk(a)−1WK(a)WK(0)−1Wk(0)F0. (3.22)

1D ’GEWONE’ SUPERROOSTERS 33

Introduceer M = Wk(a)−1WK(a)WK(0)−1Wk(0) dan:

Fl = MF0. (3.23)

Deze relatie gebruiken in de definitie van T:

T = W (0)−1W (l) (3.24)

= F−10 Wk(0)−1Wk(l)Fl (3.25)

= F−10 Wk(0)−1Wk(l)MF0. (3.26)

Als T in vergelijking (3.11) ingevuld wordt zullen F0 en Wk(0) wegvallen inde vergelijking omdat het spoor invariant is onder cyclische permutaties. Ditleidt tot:

2 cos(κl) = Tr[Wk(l)Wk(a)−1WK(a)WK(0)−1]. (3.27)

De gereduceerde transfermatrix in het rechterlid waarvan het spoor wordtgenomen noemen we verder T’. De vergelijking invullen, m.b.v. uitdrukking(3.15), leidt tot een relatie tussen de energie E en de golfvector κ, de dispersie-relatie, voor het 1D superrooster:

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)− K2 + k2

kKsin(Ka) sin(kb). (3.28)

Indien E < V dan wordt K imaginair, stel K ′ = |K| en wordt de formulevoor de dispersie-relatie:

2 cos(κl) = 2 cosh(K ′a) cos(kb) +K ′2 − k2

kK ′ sinh(K ′a) sin(kb). (3.29)

Waarbij K ′ gegeven wordt door:

K ′ =

√2m~2

(V − E). (3.30)

De oplossingen (κ,E) van de dispersie-relatie worden numeriek gevondenm.b.v. de Newton-Raphson-methode. De oplossingen zullen energie-banden(mini-banden genoemd) vormen, de typische vorm voor de dispersie-relatie inGaAs wordt geplot in figuur (3.3). De resultaten corresponderen met deze uithet boek van P. Harrison[16]

De minima’s van de even banden worden gevonden bij κ-waarden waar demaxima’s van de oneven banden zijn en vice versa.

3.3.1 Kronig-Penney limiet: lima→0

Indien de barrieres van het superrooster als delta-pieken worden gekozen, alsin uitdrukking (3.31), kan dit benaderd worden door in de dispersie-formules


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.510

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

E(in

meV

)

k (in πl )

Egap

W2

W1

Figuur 3.3 Plot van de eerste 2 mini-banden van de dispersie-relatie in een 1D GaAssuperrooster, a = b = 10nm, m = 0.067me waarbij me de massa van een vrij elektronis.

(3.28) en (3.29), de limieten a→ 0 en V →∞ te nemen terwijl de oppervlakteonder de potentiaalbarriere contant wordt gehouden, maw S

.= aV = cte. Nahet nemen van deze limieten wordt de potentiaal:

V (x) =∞∑

n=−∞Sδ(x− nl). (3.31)

Voor E < V gebruiken we formule (3.29) voor de dispersie-relatie, die nuvereenvoudigd wordt tot:

2 cos(κl) = 2 cos(kl) +

√2m~2E

S sin(kl) met k =

√2m~2

E. (3.32)

De dispersie-relatie wordt is in de Kronig-Penney limiet onafhankelijk vanV.

3.3.2 Beweging in 2D

Om uit te breiden naar beweging in 2D kunnen we dezelfde potentiaal langsde x-richting leggen zodanig dat V (x, y) = V (x). Dan kan gezien worden dat[H, py] = 0 met H = (~p)2

2m + V (x) de hamiltoniaan, zodanig dat py = ~kyeen constante van beweging is. De ky component kan dus als onafhankelijkbeschouwd worden. De oplossingen kunnen geschreven worden als ψ(x, y) =

DIRAC-KRONIG-PENNEY MODEL 35

ψ(x)eikyy. Dezelfde vergelijkingen (3.28) en (3.29) zullen nog steeds gelden en

de energie wordt nu E = En(kx) + ~2k2y

2m met En(kx) de energie van de mini-banden in het 1D-superrooster. Met andere woorden, langs de ky-richtinghebben we nog steeds een parabolische dispersie-relatie, dit wordt geıllustreerddoor figuur (3.4), de eerste 2 mini-banden zijn geplot voor een 1D GaAssuperrooster.

Figuur 3.4 Niet-relativistisch. De eerste 2 mini-banden van een 2D GaAs super-rooster, V = 100meV, a = b = 10nm, m = 0.067m0 waarbij me de massa van eenvrij elektron is.

3.4 DIRAC-KRONIG-PENNEY MODEL

In grafeen voldoen elektronen aan de Dirac-vergelijking zoals eerder vermeld.Om de dispersie-relatie voor een superrooster in grafeen te bepalen zal hetKronig-Penney model uitgebreid moeten worden naar de Dirac-vergelijking,dit is gedaan door Mckellar[29] voor beweging in 1D. De stationaire Dirac-vergelijking in 1D kan geschreven worden als:(

cσxpx +mc2σz)Ψ(x) = (E − V (x))Ψ(x). (3.33)

Hierbij is c ≈ 106m/s de Fermi-snelheid vF in grafeen, σx en σz zijn depauli-matrices en ψ(x) is een 2-component enveloppe-functie:


ψ(x) =(ψu(x)ψl(x)

). (3.34)

Het stelsel van twee eerste-graadsvergelijkingen heeft twee onafhankelijkeoplossingen φa(x) en φb(x) in elke eenheidscel. De oplossing in eenheidscel n,ψn(x) = ψ(x+ (n− 1)l) is een lineaire combinatie van deze twee:

ψn(x) = an

(φa,u(x)φa,l(x)

)+ bn

(φb,u(x)φb,l(x)

)met x ∈ [0, l]. (3.35)

Definieer de matrix:

Ω(x) =(φa,u(x) φb,u(x)φa,l(x) φb,l(x)

). (3.36)

De matrix Ω(x) heeft nu dezelfde functie als de Wronskiaan-matrix W (x) inhet niet-relativistische Kronig-Penney model. De manier om tot de dispersie-vergelijking te komen is volledig analoog als bij het Kronig-Penney model.Continu zijn van de golffunctie leidt tot een relatie tussen de coefficienten vande verschillende eenheidscellen:

Ω(0)(an+1

bn+1

)= Ω(l)

(anbn

)(3.37)

⇒(an+1

bn+1

)= T

(anbn

). (3.38)

Met de transfermatrix T = Ω(0)−1Ω(l)

Om te bewijzen dat det[T ] = 1, net zoals in het niet-relativistische geval,is nu een kleine omweg nodig. Schrijf eerst de Dirac-vergelijking, een 1e-orde vektor-vergelijking als ∂ψ(x)

∂x = Gψ(x) en bewijs dan dat ∂ det[Ω(x)]∂x =

Tr[G] det[Ω(x)]. G is van de vorm:

G =∂ψ(x)∂x

ψ(x)−1. (3.39)

De golffunctie ψ(x) is ook een superpositie van 2 onafhankelijke oplossingen,stel ψ(x) = Aψa(x) + Bψb(x), waarbij ψa(x) = anφa(x) en ψb(x) = bnφb(x)in de ne cel. Definieer matrix Ψ als:

Ψ .=(ψa ψb

)=(ψa,u(x) ψb,u(x)ψa,l(x) ψb,l(x)

).=(a bc d

). (3.40)

DIRAC-KRONIG-PENNEY MODEL 37

⇒ G =(a′ b′

c′ d′

)(AB

) ((a bc d

)(AB

))−1 (3.41)

=(a′ b′

c′ d′

)(AB

)(AB

)−1( a bc d

)−1 (3.42)

=(a′ b′

c′ d′

) 1ad− bc

(d −b−c a

)(3.43)

⇒ Tr[G] =a′d− b′c− cb′ + ad′

ad− bc(3.44)

=(ad− bc)′

ad− bc(3.45)

=∂ det[Ω(x)]

∂x

det[Ω(x)]. (3.46)

Wat bewijst dat ∂ det[Ω(x)]∂x = Tr[G] det[Ω(x)].

De uitdrukking voor G volgt uit de Dirac-vergelijking. Het spoor van G isgelijk aan nul:

G =i

~cσx(E − V )− 1

~cσymc

2. (3.47)

⇒ Tr[G] = 0. (3.48)

Hieruit volgt dan dat de determinant van de matrix Ω(x) een constante moetzijn.

∂ det[Ω(x)]∂x

= Tr[G] det[Ω(x)] = 0 (3.49)

⇒det[Ω(x)] = cte. (3.50)

En de definitie van de transfermatrix T zegt dat de determinant van T dan 1moet zijn:

T = Ω(0)−1Ω(l) (3.51)⇒det[T ] = 1. (3.52)

De tranfermatrix T kan verder gespecifieerd worden door de periodischerandvoorwaarden (3.3) op te leggen.

ψ(x+ L) = ψ(x) (3.53)

⇒(aN+n

bN+n

)=(anbn

). (3.54)

Gebruikmakend van T komt er:


(aN+n

bN+n

)= TN

(anbn

)(3.55)

⇒ TN = 1. (3.56)

Hieruit volgt wederom dat de eigenwaarden van T van de vorm ei2πm

N

moeten zijn. Aangezien de determinant van T gelijk aan 1 is, en deze ookgelijk moet zijn het product van de eigenwaarden van T , zijn de eigenwaardenvan de vorm e±i

2πmN = e±iκl zijn. Met κ = 2πm

L , met m ∈ Z. Het spoorvan T uitdrukken levert dezelfde voorwaarde op als bij het niet-relativistischeKronig-Penney model:

2 cos(κl) = Tr(T ). (3.57)

3.5 1D SUPERROOSTERS IN GRAFEEN

De vierkante potentiaal van figuur (3.2) zal net als bij de ’gewone’ superroost-ers toelaten om de transfermatrix T nader te specifieren. De oplossingen inde barriere worden gedefinieerd door de matrix ΩK en buiten de barriere doorΩk. Na een identieke afleiding als bij de ’gewone’ 1D superroosters krijgt dedispersie-relatie dezelfde vorm als bij deze ’gewone’ superroosters, de rol vande matrices Wk(x) en WK(x) wordt nu gespeeld door de matrices Ωk en ΩK :

2 cos(κl) = Tr[Ωk(l)Ωk(a)−1ΩK(a)ΩK(0)−1]. (3.58)

Definieer de matrix T’ als de matrix in het rechterlid waarvan het spoorgenomen wordt:

T ′.= Ωk(l)Ωk(a)−1ΩK(a)ΩK(0)−1. (3.59)

De Dirac-vergelijking laat echter meerdere mogelijkheden toe om door debarrieres te propageren (indien de potentiaal groot is tov mc2 dan kunnen denegatieve golf-oplossingen, positronen, in de barriere propageren, zie rode golfin figuur (3.5)). Dit zal verschillende mogelijkheden voor de matrices Ωk(x)en ΩK(x) geven die afhangen van de energie E, zie figuur (3.5).

De matrices Ωk(x) en ΩK(x) zullen nu verder gespecifieerd worden. Deelektronen voldoen aan de Dirac-vergelijking:(

c(~σ · p) +mc2σz)Ψ = (E − V )Ψ. (3.60)

De situatie in een eenheidscel is exact dezelfde als deze van een elektrondat tunnelt door een potentiaalbarriere. De Dirac-hamiltoniaan voor een 1D-barriere V (x) commuteert met py en deze laatste is wederom een constantevan beweging. De oplossing voor de Dirac-vergelijking kan geschreven worden

1D SUPERROOSTERS IN GRAFEEN 39

V(x)

X

Figuur 3.5 Schematische weergave van de tunneling van verschillende golven door hetsuperrooster, de rode golf stelt een positron-golf voor, de blauwe golven elektrongolven.

als ψ(x, y) = ψ(x)eikyy. Net als bij de tunneling van elektronen door een po-tentiaalbarriere kunnen 2 onafhankelijke oplossingen φa(x) en φb(x) bepaaldworden, deze zijn van de vorm φc(x) =

(uuul

)eikx en gegeven door:

φa(x) = N~k

(1

(k−iky)~cE+mc2

)eikx, φb(x) = N~k

(1

(−k−iky)~cE+mc2

)e−ikx. (3.61)

Waarbij N~k de normering voorstelt. Definieer eveneens analoog k±, K±, λ±,Λ±, d en D als:

k± = k ± iky, (3.62)K± = K ± iky,

λ± =k±~c

E +mc2, Λ± =

K±~c|E′|+mc2

, (3.63)

d =E +mc2

~c, D =

|E − V |+mc2

~c. (3.64)

En definieer de matrix Ωk(x) buiten de barriere:

Ωk(x).=(φa(x) φb(x)

)=(

1 1Λ+ −Λ−

)N~ke

ikxσz . (3.65)

In de barriere moeten we onderscheid maken tussen de gevallen E > V enE < V :


ΩK(x) .=

(φa φb

)=(

1 1Λ+ −Λ−

)N ~Ke

iKxσz als E > V,

ΩK(x) .=(

φa φb)

=(

−Λ− Λ+

1 1

)N ~Ke

iKxσz als E < V.

(3.66)De oplossingen kunnen in de drie gebieden van de eenheidscel (dezelfde een-

heidscel als in het niet-relativistische superrooster wordt genomen, zie figuur(3.6)) uitgedrukt worden als lineaire combinaties van φa en φb:

ψ(x) = Ωk(x)(AB

)voor de barriere,

ψ(x) = ΩK(x)(CD

)in de barriere,

ψ(x) = Ωk(x)(FG

)na de barriere.

(3.67)

Waarbij in tegenstelling tot het probleem van de enkele potentiaalbarriere nude coefficient G niet gelijk aan nul kan gesteld worden.

Figuur 3.6 Potentiaal binnen de eenheidscel, ε ≈ 0

Deze matrices worden dan ingevuld in T’ in uitdrukking (3.59), rekeninghoudend met l = a+ b:

T ′ = Ωk(l)Ωk(a)−1ΩK(a)ΩK(0)−1. (3.68)

Expliciet voor het geval E − V > 0 wordt T’:

T ′ =(

1 1λ −λ

)eikbσz

(1 1λ −λ

)−1(1 1Λ −Λ

)eiKaσz

(1 1Λ −Λ

)−1

. (3.69)

Deze T’ invullen in de formule voor de dispersie-relatie geeft:

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)−

(Kd

kD+kD

Kd+ (

d

D+D

d− 2)

k2y

kK

)sin(Ka) sin(kb).

(3.70)


Indien nu (E − V )2 < m2c4 + ~2k2yc

2 (maar nog steeds E − V > 0) danwordt K imaginair, stel dan K ′ = |K| en vervang K door iK ′. De formulevoor de dispersie-relatie kan dan geschreven worden als:

2 cos(κl) = 2 cosh(K ′a) cos(kb)−

(−K

′d

kD+kD

K ′d+ (

d

D+D

d− 2)

k2y

kK ′

)sinh(K ′a) sin(kb).

(3.71)Waarbij opgemerkt dient te worden dat deze formule voor de dispersie-

relatie een reeele energie oplevert. k kan ook imaginair worden als E2 <m2c4 + ~2k2

yc2, stel dan analoog als met K, k′ = |k| en vervang k door ik′.

Op dezelfde wijze als hierboven wordt deze relatie voor de andere mogelijkeenergien bepaald, de energien zijn telkens reeel. We resumeren de formulesvoor de dispersie-relatie:

1. Geval (E − V ) >√

~2k2yc

2 +m2c4

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)−

(Kd

kD+kD

Kd+ (

d

D+D

d− 2)

k2y

kK

)sin(Ka) sin(kb),

(3.72)

2. Geval (E − V ) > 0

2 cos(κl) = 2 cosh(K ′a) cos(kb)−

(−K

′d

kD+kD

K ′d+ (

d

D+D

d− 2)

k2y

kK ′

)sinh(K ′a) sin(kb),

(3.73)

3. Geval (E − V ) > −√

~2k2yc

2 +m2c4

2 cos(κl) = 2 cosh(K ′a) cos(kb)+

(2k2y

kK ′ +dD

K ′k−

(K ′2 − k2y)(k

2 + k2y)

K ′kdD

)sinh(K ′a) sin(kb),

(3.74)

4. Geval (E − V ) < −√

~2k2yc

2 +m2c4 en E >√

~2k2yc

2 +m2c4

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)+

(2k2y

kK+dD

Kk+

(K2 + k2y)(k

2 + k2y)

KkdD

)sin(Ka) sin(kb),

(3.75)

5. Geval (E − V ) < −√

~2k2yc

2 +m2c4 en E <√

~2k2yc

2 +m2c4

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cosh(k′b)+

(2k2y

k′K+

dD

Kk′−

(K2 + k2y)(k

′2 − k2y)

Kk′dD

)sin(Ka) sinh(k′b),

(3.76)


6. Geval (E − V ) > −√

~2k2yc

2 +m2c4 en E <√

~2k2yc

2 +m2c4

2 cos(κl) = 2 cosh(K ′a) cosh(k′b)+

(2k2y

k′K ′ +dD

K ′k′−

(K ′2 − k2y)(k

′2 + k2y)

K ′k′dD

)sinh(K ′a) sinh(k′b).

(3.77)

De eerste twee mini-banden van de dispersie-relatie voor een 2D super-rooster in grafeen zijn geplot in figuur (3.7). Er kan gezien worden dat devorm van de dispersie-relatie in de y-component ky, in tegenstelling tot hetniet-relativistische geval, wel afhangt van de x-component kx

.= κ en niet deenergie is van een vrij deeltje, men kan de energie van de mini-banden nietmeer opsplitsen als: En = En(x) + c~ky. Indien de y-component ky groot ge-noeg wordt gaat deze afhankelijkheid weg en wordt terug de lineaire dispersiebekomen in de ky-component onafhankelijk van de kx-component.

In figuur (3.8) worden 3 doorsnedes van de dispersie-relatie in figuur (3.7)afgebeeld, de doorsnedes zijn bij constante ky = 0; 0.066; 0.132 nm−1 (rood;groen; blauw) genomen. Te zien is dat de ky-component eveneens een band-kloof genereert.

In figuur (3.9) worden drie plots van de doorsnedes bij constante kx.= κ =

0;π/2l;π/l weergegeven. Te zien is dat voor kx.= κ = 0 de lineaire dispersie-

relatie als functie van ky tevoorschijn komt voor de eerste conductie-band.Eveneens kan gezien worden voor kx

.= κ = 0;π/l dat er een bandkloof wordtgegenereerd door het vergroten van ky.

Figuur 3.7 Plot van de dispersie-relatie in een 1D grafeen superrooster, E > 0genomen, de eerste 2 mini-banden zijn geplot, a = b = 10nm,V = 100meV, m = 0.


κ (in π/l = π/20 nm−1)

E (

in m

eV)

0.5 1

50

100

150

200

250

300k

y = 0

ky = 0.066

ky = 0.132

Figuur 3.8 Plot van doorsnedes van de dispersie-relatie in een 1D grafeen superroosterin figuur (3.7) met constante ky = 0; 0.066; 0.132 nm−1 (rood; groen; blauw), a = b =10nm,V = 100meV, m = 0.

3.5.0.1 Niet-relativistische limiet In de niet-relativistische limiet voor een 1Dsuperrooster zijn enkel geval (E−V ) >

√~2k2

yc2 +m2c4 en geval

√~2k2

yc2 +m2c4 >

(E−V ) > 0 mogelijk. De golfgetallen k, ky en K komen in deze limiet overeenmet de klassieke k, ky en K, dit is te zien als de energie geschreven wordtals E = ε + mc2 met ε de klassieke energie. De d en D parameters wordeneveneens herschreven.

k ≈√

2m~2

(ε−~2k2

y

2m), K ≈

√2m~2

(ε−~2k2

y

2m− V ), (3.78)

d =~c

ε+ 2mc2≈ ~c

2mc2, D =

~cε− V + 2mc2

≈ ~c2mc2

. (3.79)

Deze laatste vergelijkingen voor d en D maken dat dD + D

d − 2 = 0, wat deexpliciete afhankelijkheid van ky in de formules laat verdwijnen.

Het is duidelijk dat als ε→ ε− ~2k2y

2m , de klassieke energie verschoven over~2k2

y

2m , deze nieuwe energie dezelfde rol speelt als de klassieke energie in het 1D’gewone’ superrooster voor 1D beweging, dit is ook wat verwacht wordt.

Geval (E − V ) >√

~2k2yc

2 +m2c4

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)−(K

k+

k

K

)sin(Ka) sin(kb), (3.80)


Figuur 3.9 Plots van doorsnedes van de dispersie-relatie in een 1D grafeen super-rooster in figuur (3.7),kx

.= κ is constant gehouden: kx

.= κ = 0; π/2l; π/l, de rode,

groene en blauwe verticale lijn stellen voor waar de doorsnedes in de figuur (3.8) zijngenomen, a = b = 10nm,V = 100meV, m = 0.

Geval√

~2k2yc

2 +m2c4 > E − V > 0

2 cos(κl) = 2 cosh(Ka) cos(kb) +(K

k− k

K

)sinh(Ka) sin(kb). (3.81)

Met de verschoven energien corresponderen de formules voor de dispersie-relatie met deze van het ’gewone’ 1D superrooster in 1D beweging.

3.5.1 Beweging in 1D

Als de y-component ky van de golf nul gesteld wordt verkrijgen we het 1Dsuperrooster, definieer λ .= λ+ = λ− en Λ .= Λ+ = Λ− dan krijgen de for-mules voor de dispersie-relatie in 1D de vorm die door McKellar et al wasbekomen[29]:


1. Geval (E − V ) > mc2

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)− (Λλ

+λ

Λ) sin(Ka) sin(kb), (3.82)

2. Geval mc2 > (E − V ) > 0

2 cos(κl) = 2 cosh(Ka) cos(kb) + (Λλ− λ

Λ) sinh(Ka) sin(kb), (3.83)

3. Geval 0 > (E − V ) > −mc2

2 cos(κl) = 2 cosh(Ka) cos(kb) + (1

Λλ− λΛ) sinh(Ka) sin(kb), (3.84)

4. Geval (E − V ) < −mc2 en E > mc2

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb) + (1

Λλ+ λΛ) sin(Ka) sin(kb), (3.85)

5. Geval (E − V ) < −mc2 en E < mc2

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cosh(kb) + (1

Λλ− λΛ) sin(Ka) sinh(kb). (3.86)

De dispersie-relatie voor een superrooster in 1D grafeen is geplot voor m= 0, 21.6 en 43.2 meV/c2 = 0, 3.8·10−3me, 7.6·10−3me in figuur (3.10). Alsde massa nul wordt gesteld dan raken de energie-banden elkaar in het X enΓ punt, De band-kloof is hier nul. De band-kloof wordt groter naarmate demassa groter is.

3.5.1.1 De Kronig-Penney limiet De limieten a → 0 en V → ∞ wordengenomen terwijl de oppervlakte onder de potentiaalbarriere contant wordtgehouden, S .= aV = cte. Deze limieten nemen zal de dispersie-relatie vereen-voudigen. Eerst wordt gezien naar het effect van deze limiet op k, K, λ en Λ,merk eveneens op dat nu b ≈ l:

k =1~c√E2 −m2c4, K =

1~c√

(E − V )2 −m2c4 ≈ V

~c, (3.87)

λ =k~c

E +mc2, Λ =

K~c|E′|+mc2

≈ V

V≈ 1. (3.88)

Aangezien V → ∞ treden enkel de gevallen met positrongolven in debarriere op, de dispersie-relatie wordt:

1. Geval (E − V ) < −mc2 en E > mc2

2 cos(κl) = 2 cos(S

~c) cos(kl) + (

1λ

+ λ) sin(S

~c) sin(kl), (3.89)


Figuur 3.10 De energie-banden van de dispersie-relatie in een 1D grafeen superrooster,voor verschillende waarden van de massa m = 0; 3.8 ·10−3; 7.6 ·10−3me, V = 100meV,a = b = 10nm, de halve brillouin-zone is geplot

2. Geval (E − V ) < −mc2 en E < mc2

2 cos(κl) = 2 cos(S

~c) cosh(kl) + (

1λ− λ) sin(

S

~c) sinh(kl). (3.90)

3.5.1.2 Geval m = 0 Stel nu m = 0 en eveneens aV = S = cte, danworden de vergelijkingen eenvoudig oplosbaar. Begin met vereenvoudigen vande parameters van de dispersie-relatie, de golfgetallen k, K en grootheden λen Λ:

k =E

~c, K =

|E − V |~c

, (3.91)

λ =k~cE

= 1, Λ =K~c|E′|

= 1. (3.92)

Gezien dat nu voor alle energien E de golf gewoon door de barriere kanpropageren moet enkel geval (E > V ) en geval (E < V ) bekeken worden, ziefiguur (3.11).

Geval E > V :

2 cos(κl) = 2 cos(Ka) cos(kb)− (Λλ

+λ

Λ) sin(Ka) sin(kb) (3.93)


Figuur 3.11 Schematische voorstelling van de mogelijkheden om door een potentiaal-barriere te tunnelen indien m = 0, de rode golf stelt een positron-golf voor.

⇒ cos(κl) = cos(E − V

~ca) cos(

E

~cb)− sin(

E − V

~ca) sin(

E

~cb) (3.94)

⇒ cos(κl) = cos(E(a+ b)− V a

~c) (3.95)

⇒ κl =E(a+ b)− V a

~c+ 2πN (3.96)

⇒ E =~cl

(κl +

S

~c+ 2πN

). (3.97)

Geval E < V leidt op analoge manier tot dezelfde uitdrukking (3.98) als ingeval E > V . Dit geeft dus een eenvoudige relatie (3.98) tussen E en κ, alsm = 0:

E =~cl

(κl +

S

~c+ 2πN

). (3.98)

Ook is te zien dat de Kronig-Penney limiet: lima→0 waarbij S = aV = cteniets meer vereenvoudigt aan de uitdrukking (3.98). Deze uitdrukking komtovereen met de rode lijn, die de dispersie-relatie voor de beweging in 1Dvoorstelt, in figuur (3.10).

4Besluit

Eerst is geargumenteerd waarom de elektronen in grafeen beschreven kunnenworden als quasi-deeltjes die zich gedragen als (massaloze) elektronen die eenconstante snelheid c

.= vF ≈ 106 bezitten die 300 maal kleiner is dan delichtsnelheid. Dat deze quasi-deeltjes door de Dirac-vergelijking beschrevenkunnen worden. In het licht van de Klein paradox hebben we de tunnelingdoor een potentiaalbarriere bekeken, voor zowel bosonen als elektronen. Doorte argumenteren dat deze laatste twee deeltjes enkel fundamenteel verschillenin chiraliteit, de massaloze elektronen zijn chirale deeltjes en de massalozebosonen niet, zien we dat de chiraliteit een belangerijke faktor is voor deperfecte transmissie in de Klein paradox. Voor beide relativistische deeltjeskon gezien worden dat ze ook tunnelden bij lage energie via positrontoestandenin de potentiaalbarriere in tegenstelling tot in het niet-relativistisch geval.Daarna hebben we in deze thesis de dispersie-relatie in een 1D superroosterin grafeen uitgebreid naar bewegingen in 2D. In zoverre ik heb kunnen nagaanwerd deze uitbreiding nog niet gepubliceerd in de wetenschappelijke literatuur.Hier kon gezien worden dat de vorm van de dispersie-relatie in de y-componentky, in tegenstelling tot het niet-relativistische geval, wel afhangt van de x-component kx en niet de energie is van een vrij deeltje, men kan de energievan de mini-banden niet meer opsplitsen als: En = En(x) + c~ky. Indien dey-component ky groot genoeg wordt zien we dat deze afhankelijkheid weggaaten we terug de lineaire dispersie zien in de ky-component.

49

Appendix AGolfvergelijkingen &

notaties

In deze thesis wordt frequent gebruikt gemaakt van verschillende quantum-mechanische golfvergelijkingen. De golfvergelijkingen en hun notaties wordenhier kort behandeld. De Dirac vergelijking zal meer uitgebreid behandeldworden omdat enerzijds deze vergelijking het best de elektronische structuurin grafeen beschrijft en anderzijds er een aantal belangrijke verschillen zijntussen de meer gekende Dirac vergelijking in de 3D-ruimte en deze op een2D-vlak die hier van toepassing is.

De klassieke begrippen van energie E en impuls ~p worden vervangen doorde operator-vorm:

E → i~∂

∂t,

~p→ −i~∇.(A.1)

51

52 GOLFVERGELIJKINGEN & NOTATIES

A.1 SCHRODINGER VERGELIJKING

Niet-relativistisch is de energie van een vrij deeltje: E = p2

2m en de impulsen de energie vervangen door hun operator-vorm leidt tot de Schrodingervergelijking:

i~∂ψ

∂t= − ~2

2m∇2ψ. (A.2)

A.2 KLEIN-GORDON VERGELIJKING

Relativistisch is de energie E2 = p2c2 +m2c4, omgezet in operator-vorm leidtdit tot de Klein-Gordon vergelijking:

−~2 ∂2ψ

∂t2= −c2~2∇2ψ +m2c4ψ. (A.3)

A.3 DIRAC VERGELIJKING

De Klein-Gordon vergelijking lineair in ∂ψ∂t maken leidt tot de Diracvergelijk-

ing:

i~∂ψ

∂t=(c(~α · ~p) +mc2β

)ψ. (A.4)

Waarbij ψ nu een d-dimensionale spinor is en α en β matrices. Deze matri-ces kunnen verder worden gespecifieerd door E2 = p2c2+m2c4 uit te drukken:

(c(~α · ~p) +mc2β

)2= c2(

∑i

αipi +mcβ)(∑i

αjpj +mcβ)

=∑i

α2i p

2i c

2 +∑i>j

(αiαj + αjαi)pipjc2

+∑i

(αiβ + βαi)pimc2 + β2m2c4

= p2c2 +m2c4.

(A.5)

Hieruit volgen de anti-commutatieregels voor αi en β:

α2i = 1,

β2 = 1,αi, αj = 2δij ,αi, β = 0.

(A.6)

Verder geldt voor αi en β:

DIRAC VERGELIJKING 53

α†i = αi, β† = β. (A.7)

Het spoor van αi en β moet gelijk zijn aan nul en de eigenwaarden van dematrices zijn ±1. Hieruit volgt dat de dimensie d even moet zijn:

i 6= j : det[αiαj ] = det[−αjαi] = (−1)d det[αjαi]. (A.8)

In (2+1)-dimensies (ruimte+tijd) zijn 3 anti-commuterende matrices αx,αy en β voldoende1. Deze worden in de Pauli-Dirac representatie voorgestelddoor de Pauli-matrices:

αx = σx =(

0 11 0

), αy = σy =

(0 −ii 0

), β = σz =

(1 00 −1

). (A.10)

Wat leidt tot een stationaire Diracvergelijking van de volgende vorm:(c(~σ · ~p) +mc2σz

)ψ = (E − V )ψ. (A.11)

De stroom is gedefinieerd als:

~j = ecψ†~σψ (A.12)

Indien m = 0 wordt in deze vergelijking is er behoud van chiraliteit van deelektronen, deze kan dan twee waarden aannemen:

~σ · ~pp

= ±1. (A.13)

Er zijn dan twee soorten onafhankelijke deeltjes, elektronen hebben chiraliteit1 en positronen (gaten) chiraliteit -1.

1In de veelgebruikte (3+1)-dimensies zijn er 4 anti-commuterende matrices nodig en hier-voor zal de dimensie van de spinoren d minstens 4 gesteld moeten worden, wat aanleidinggeeft tot de gekende 4x4 matrices

αk=1,2,3 =

(0 σk

σk 0

), β =

(1 00 −1

)(A.9)

REFERENTIES

1. K. S. Novolesov, Science 306, 666 (2004).

2. N. Garcia, (cond-mat/0703515) (2007).

3. N. D. Mermin, Phys. Rev. 176, 250-254 (1968).

4. R. E. Peirls, Helv. Phys. Acta 7, 81-83 (1923).

5. L. D. Landau, Fiz. Z. Sowjet 11, 26 (1937).

6. J. C. Meyer, A. K. Geim, M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, D. Obergfell,S. Roth, C. Girit en A. Zettl, (cond-mat/0703033) (2007).

7. J. C. Meyer, A. K. Geim, M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, T. J. Boothen S. Roth, Nature 446, 60-63 (2007).

8. A. Fasolino, J. H. Los en M. I. Katsnelson, (cond-mat/0704.1793) (2007).

9. S. Stankovich, D. A. Dikin, G. H. B. Dommett, K. M. Kohlhaas, E. J.Zimney, E. A. Stach, R. D. Piner, S. T. Nguyen en R. S. Ruoff, Nature442, 282-286 (2007).

10. X. Lu, M. Yu, H. Huang and R. S. Ruoff, Nanotechnology 10, 269-272(1999).

11. K. S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin, T. J. Booth, V. V. Khotkevich, S.V. Morozov en A. K. Geim, PNAS 102, 10451-10453 (2005).

55

56 REFERENTIES

12. A. K. Geim en K. S. Novolesov, Nature Mater. 6, 183-191 (2007).

13. M. I. Katsnelson, Mater. Today 10, 20-27 (2007).

14. A. K. Geim, Slides van voordracht gegeven bij KITP Graphene Workshopop 01-09-07 (2007).

15. A. Lanzare, Voordracht gegeven in het Lorentzcenter in Leiden (2007).

16. P. Harrison, Quantum wells, Wires and Dots (John Whiley & Sons, NY,2001).

17. G. W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 53, 26 (1984).

18. J.C Sloncenczewski en P.R. Weiss, Phys. Rev. 109, 2 (1957).

19. T. Ohta,1, A. Bostwick, J. L. McChesney, T. Seyller, K. Horn en E.Rotenberg, (cond-mat/0612173) (2006)

20. B. Partoens en F. M. Peeters, Phys. Rev. B 74, 075404 (2006).

21. S.Y. Zhou, G. H. Gweon, J. Graf, A. V. Fedorov, C. D. Spataru, R.D. Diehl, Y. Kopelevich, D. H. Lee, S. G. Louie, en A. Lanzara, (cond-mat/0608069) (2006).

22. E. Rollings, G. H. Gweon, S. Y. Zhou, B. S. Mun, J. L. McChesney, B.S. Hussain, A. V. Fedorov, P. N. First, W. A. de Heer en A. Lanzara,(cond-mat/0512226) (2006).

23. M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov en A. K. Geim, Nature 2, 620-625(2006).

24. B. Huard, J.A. Sulpizio, N. Stander, K. Todd, B. Yang, en D. Goldhaber-Gordon, (cond-mat/0704.2626) (2007).

25. J. M. Pereira Jr., V. Mlinear, F. M. Peeters en P. Vasipoulos, Phys. Rev.B 74, 041403 (2006).

26. J. M. Pereira Jr., P. Vasipoulos en F. M. Peeters, APL 90, 132122 (2007).

27. S. Adam, E. H. Hwang, V. M. Galitski en S. Das Sarma, (cond-mat/0705.1540) (2007).

28. Z. Jiang, E. A. Henriksen, L. C. Tung, Y. J. Wang, M. E. Schwartz, M.Y. Han, P. Kim en H. L. Stormer, (cond-mat/0703822) (2007).

29. B. H. J. McKellar en G. J. Stephenson Jr., Phys. Rev. C 35, 2262-2271(1987).

30. M. Wilson, Physics Today, 21-23 (2006).

REFERENTIES 57

31. D. Graf, F. Molitor, K. Ensslin, C. Stampfer, A. Jungen, C. Hierold, L.Wirtz, (cond-mat/0607562) (2006).

32. A. C. Ferrari,. J. C. Meyer, V. Scardaci, C. Casiraghi, M. Lazzeri, F.Mauri, S. Piscanec, Da Jiang, K. S. Novoselov, S. Roth en A. K. Geim,(cond-mat/0606284) (2006).

33. Y. Yao, F. Ye, X.-L. Qi, S.-C. Zhang and Z. Fang, (cond-mat/0606350)(2007)

Grafeen: tunneling door een barri`ere en het Kronig-Penney …Grafeen is een 2D hexagonaal rooster...

Documents

Transcript of Grafeen: tunneling door een barri`ere en het Kronig-Penney …Grafeen is een 2D hexagonaal rooster...