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FPP and its related topics

中島　秀太 (Nagoya University)

水戸数学情報数理研究会 2019　「連結の数理」

中島　秀太 (Nagoya University) FPP and its related topics

Introduction

Figure: 最適経路問題界面成長の実験　 (with NOBA)


Setting (FPP)

Ed = {{x , y}| x , y ∈ Zd , |x − y |1 = 1|}.τ = {τe}e∈Ed : I.I.D. non-negative random variables.

Γ(x , y): the set of all paths from x to y .

First Passage time (x , y ∈ Zd)

T(x , y) := inf

{∑e∈γ

τe | γ ∈ Γ(x , y)

}=: inf

γ∈Γ(x ,y)T(γ).

optimal paths

O(x , y) := {γ ∈ Γ(x , y)| T(γ) = T(x , y)} .


FPPの歴史と特色

FPPの歴史

1965年, HammersleyとWelshにより導入される.

1980年中盤まで Percolation modelとの関係性が研究される.

1986年のKardar-Parisi-Zhangらの研究を境に, FPPが持つ単独の性質にも注目が集まる.

2013年, FPPの最も重要な予想の一つ “Scaling Relation”が未証明な条件下で解決 (S.Chatterjee: Annals of Math).

FPPの特色

　界面の時間発展を定める.

　 KPZ方程式導入の時 (1986年) に数値計算されたモデル.

　ランダム距離空間を定める.


ランダム距離空間

Proposition 1 (劣加法性)

T(x , z) ≤ T(x , y) + T(y , z) for any x , y , z ∈ Zd

Proof.

LHS = infγ∈Γ(x ,z)

T(γ) ≤ infγ∈Γ(x ,y ,z)

T(Γ) = RHS,

ここで Γ(x , y , z)は y を通る x から z への路の集合.

T : Zd × Zd → R+は擬距離.

P(τe = 0) = 0である時, Tは確率 1で距離.


T(x , y)に関する “大数の法則”

x, y ∈ Rd について, T(x, y) := T(⌊x⌋, ⌊y⌋), ここで ⌊·⌋は床関数.

Proposition 2 (Kingman ’68)

Suppose Eτe < ∞. For any x ∈ Rd ,

limn→∞

1

nT(0, nx) = g(x) a.s.,

where g(x) := lim infn∈N

1

nE[T(0, nx)] (time constant).

Proof.

Apply Kingman’s sub-additive ergodic theorem.

Q.どのくらいの速さで収束するか? (収束レート問題)


浸透領域B(t)に関する “大数の法則”

B(t) = {x ∈ Rd | T(0, x) ≤ t}の t についての増大をみていく.

pc(d)をパーコレーションモデルの臨界確率とする.

Bd := {x ∈ Rd | g(x) ≤ 1}.

Proposition 3 (Cox-Durrett AOP ’81)

Suppose P(τe = 0) < pc(d) and Eτe < ∞. Then, for any ϵ > 0,

P((1− ϵ)tBd ⊂ B(t) ⊂ (1 + ϵ)tBd) → 1,

where sB := {s · x| x ∈ B} for s ≥ 0.

別の言い方をすると

“t−1B(t)は Bd に収束する”


B(t)に関する “大数の法則”

pc(d)をパーコレーションモデルの臨界確率とする.

Bd := {x ∈ Rd | g(x) ≤ 1}.

Proposition 4 (Cox-Durrett AOP ’81)

Suppose P(τe = 0) < pc(d) and Eτe < ∞. Then, for any ϵ > 0,

P((1− ϵ)tBd ⊂ B(t) ⊂ (1 + ϵ)tBd) → 1,

where sB := {s · x| x ∈ B} for s ≥ 0.

Sketch of the proof

x ∈ B(t) ⇔ T(0, x) ≤ t

“ ⇔ ”tg(x/t) ≤ t (∵ T(0, x) ∼ tg(x/t))

⇔ x/t ∈ Bd ⇔ x ∈ tBd .


B(t)の増大に関するアニメーション

P(τe = 0) = 1/4, P(τe = 1) = 3/4.


Fluctuation exponent

Conjectures

ある χ(d) ≥ 0が存在して任意の x ∈ Rd\{0}について,

T(0, nx)− g(nx) is the order of nχ(d) as n → ∞.

この χ(d)を fluctuation exponentと呼ぶ.

χ(2) = 1/3.

limd→∞

χ(d) = 0.

Controversial Issue

十分大きな次元 d について, χ(d) = 0?


Random and non-random fluctuation

Kestenは収束レートを評価するために次の分解を考えた:

T(0, x)− g(x) = T(0, x)− ET(0, x)︸︷︷︸random

+ET(0, x)− g(x)︸︷︷︸non-random

.

Kestenと Alexanderらの研究により, “random fluctuation”と“non-random fluctuation”の密接な関係が明らかになる.

この講演では, “non-random fluctuation”のみ扱う.


Previous Researches on Upper Bound

このスライドでは次を仮定する:

P(τe = 0) < pc(d),

∃α > 1 + 1/d such that Eταe < ∞.

Theorem 5 (Alexander AOP ’97, Damron–Kubota SPA ’16)

For any x ∈ Rd , there exists C > 0 such that

−C ≤ ET(0, nx)− g(nx) ≤ Cn1/2(log n)4.


Previous Researches on Lower Bound

このスライドでは次を仮定する:

the distribution of τe is non-degenerate, P(τe = 0) < pc(d),

∃α > 0 such that Eταe < ∞.

Theorem 6 (Kesten ’93)

For any x ∈ Zd\{0} and ϵ > 0, there exists c > 0 such that

ET(0, nx)− g(nx) ≥ cn−1−ϵ, ∀n ∈ N.

Theorem 7 (Auffinger-Damron-Hanson ’15)

For any x ∈ Zd\{0} and ϵ > 0, there are infinitely many n ∈ N s.t.

ET(0, nx)− g(nx) ≥ n−12−ϵ.


Main result I

Theorem 8 (N)

Suppose the distribution is non-degenerate and Eτe < ∞. Thereexists c > 0 such that

infx∈Zd\{0}

(ET(0, x)− g(x)) ≥ c.

前と同様に, 次を満たす χ′(d)の存在が予想される:

ET(0, nx)− g(nx) is the order of nχ′(d).

上の結果は χ′(d)が存在すれば χ′(d) ≥ 0である事を示している.


Useful distributions

τ−を τe の分布の supportの下限とする.

Definition 1

τ is usefuldef⇔ the following hold:

there exists α > 0 such that Eτ2+αe < ∞,

P(τe = τ−) <

{pc(d) if τ− = 0,

p⃗c(d) otherwise,

where pc(d) and p⃗c(d) are the critical probabilities of d-dimpercolation and oriented percolation model, resp.

Conjecture

Useful ⇔ Bd = {x ∈ Rd | g(x) ≤ 1} is compact & strictly convex.


Optimal Path

Definition 1 (Optimal Path)

O(x , y) := {γ ∈ Γ(x , y)| T(γ) = T(x , y)} .

存在性

もし P(τe = 0) < pc(d)ならば、任意の x , y ∈ Zd について、

P(♯O(x , y) ≥ 1) = 1.

中心課題

|x − y | >> 1の時の γ ∈ O(x , y)の幾何的性質.

簡単のため以降On := O(0, ne1)のみ考える.


Onの解析

Definition 2 (Deviation for an optimal path)

L := {ke1| k ∈ N}として optimal pathの Deviationを次で定義:

Dn := max{d(x ,L)| x ∈ γ, γ ∈ On}.

0 ne1

Dn

γ ∈ On


Wondering Exponent

Definition 3 (Wondering Exponent )

ξ := sup

{α ≥ 0

∣∣∣∣ lim supn→∞

P(Dn ≤ nα) < 1

}.

Conjecture

任意の δ > 0について、P(nξ−δ ≤ Dn ≤ nξ+δ) → 1.

d = 2の時、ξ = 2/3.

Known result　 (Licea-Newman-Piza PTRF ’96)

Suppose d ≥ 2 and τ is useful. Then,

1

d + 1≤ ξ ≤ 1.


Scaling relation

T(0, nx)− g(nx) ∼ nχ, Dn ∼ nξ を思い出す.

次が予想されている.

Scaling Relation

上の χ, ξの存在を仮定する. この時、次の関係が成り立つ.

χ = 2ξ − 1.

Remark

Chatterjeeは 2013年に未証明な条件下で Scaling relationを証明した. (条件: existence of χ, ξ independent of direction x)


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