filmpjes in een wiskundeles

Michel Roelens Gilberte Verbeeck Filmpjes in een wiskundeles 1

FILMPJES IN EEN WISKUNDELES

SYLLABUS

DAG VAN DE WISKUNDE 19 NOVEMBER 2011

MICHEL ROELENS EN GILBERTE VERBEECK

ABSTRACT

Onze leerlingen groeien op in een multimediale wereld Op het internet nemen filmpjes allerhande een prominente

plaats in Deze workshop wil een aanzet geven om dit medium in de wiskundeles te gebruiken als smaakmaker als

inleiding tot een probleem of om een toepassing te tonen

In een eerste deel belichten we nieuwsfragmenten animatiefilmpjes en bestaande didactische films Hoe kun je een

nieuwsuitzending zinvol gebruiken in een wiskundeles Af en toe betrappen we nieuwslezers op fouten tegen de

wiskunde Dit biedt dan de gelegenheid om in te spelen op de actualiteit wat men misschien niet direct verwacht van

de wiskundeleraar The story of one beschikbaar op internet geeft een mooie introductie op de irrationaliteit van

wortel 2 Verder levert YouTube heel wat bruikbaar didactisch materiaal

In een tweede deel zoomen we in op het zelf produceren van een filmpje Met de redactie van Uitwiskeling zijn we

zonder enige ervaring aan de slag gegaan maakten we zeven korte filmpjes en gaven ze aan onze lezers cadeau We

tonen enerzijds hoe je met deze filmpjes in de les kunt werken en anderzijds hoe je zelf een filmpje kunt maken

1 KORTE FILMFRAGMENTEN VAN HET INTERNET

11 GISTEREN IN HET TV-JOURNAAL

Het gebeurt wel eens dat in het televisienieuws of in een ander actualiteitsprogramma een mooie wiskundige

toepassing ter sprake komt of een wiskundige fout wordt gemaakt Als alerte wiskundige merk je dit op Je kunt dit de

volgende dag in de les ter sprake brengen Omdat niet alle leerlingen de uitzending hebben gezien is het een goed idee

om even het wiskundig-relevante fragment in de klas te tonen Vaak staat dit fragment op het internet bv op

wwwderedactiebe Voor klassen waar geen internet voorhanden is kun je het fragment downloaden in13 leggen we

uit hoe

We geven hier als voorbeeld enkele fragmenten die we zelf in de derde graad hebben getoond Ze sluiten aan bij de

onderwerpen exponentieumlle groei logaritmische schaal en steekproeven Voor wie deze fragmenten wil gebruiken

vermelden we de vindplaatsen op het internet Maar het is natuurlijk nog beter om zelf alert te zijn voor bruikbare

lsquoversersquo nieuwsfragmenten


OPDRACHT

Bekijk twee fragmenten uit het nieuws van eind februari vorig jaar Twee specialisten ter zake geven commentaar

op de aardbevingen in Chili (27 februari 2010) en Haiumlti (12 januari 2010) De fragmenten duren 2rsquo48 en 3rsquo30 Het

eerste fragment Verbeeck_energie_aardbevingen vind je op

httpwwwderedactiebecmvrtnieuwsmediatheekprogrammasjournaal29347293481726153

Het tweede fragment Sintubin_energie_aardbevingen is intussen helaas niet meer online beschikbaar

Denk even na over de uitspraken Welke fouten maken beide experten

OPLOSSING

In Haiumlti was de schok 70 op de schaal van Richter in Chili 88 In het VRT-nieuws legt een seismoloog de schaal van

Richter uit Elke toename met 1 op de schaal van Richter is maal 10 Dus van 70 naar 88 is maal 18 De aardbeving

in Chili is dus 18 keer sterker dan die in Haiumlti Een dag later komt een geoloog aan het woord op het VTM nieuws

ldquoElke stap in de Richterschaal betekent dat er 32 meer energie vrijkomt Dus een aardbeving van 8 daar komt 32 keer

meer energie vrij dan een van 7 een van 9 is bijna 1000 keer sterkerrdquo De journalist is bij de pinken en herhaalt ldquo88

is tegenover 7 is 32 32 keer krachtiger dan die van Haiumlti dus bijna 1000 keer meer energie die vrijkomtrdquo

Beiden maken een fout tegen wat we noemen de lineariteitsillusie

De schaal van Richter is een logaritmische schaal 7 op de schaal van Richter betekent in wezen 710 8 betekent

810

Een toename met 1 op de schaal van Richter betekent dus inderdaad in werkelijkheid lsquomaal 10rsquo De aardbeving in

Chili tekende echter 18 meer op de schaal van Richter wat een toename betekent met 6310 81 Ze was dus niet 18

keer krachtiger maar 63 keer Wat is bovendien een goede maat voor de lsquosterktersquo van een aardbeving Het grondtal 10

waar de schaal van Richter mee werkt is een getal dat verwijst naar een amplitude op een seismograaf Voor de

energie die vrijkomt zou het grondtal 5110 zijn Een stijging met 18 zou dan betekenen dat er 728151 1010 meer

energie vrijkomt Dit is ruim 500 De 32 waar de geoloog naar verwijst is een benadering voor 5110 het grondtal bij

de maat voor de energie die vrijkomt Hij maakt echter opnieuw een fout tegen de lineariteitsillusie een stijging met

18 betekent geen stijging met ongeveer 3232 maar een stijging met ongeveer 51216323232 80 toch wel ver

van 1000 verwijderd Maar wie zegt dat de vrijgekomen energie een goede maat is voor de sterkte van een

aardbeving

DIDACTISCHE BESPREKING

Leerlingen vinden het boeiend om fouten van nieuwslezers of lsquoexpertsrsquo te corrigeren Ze lsquovoelen zich slimrsquo als ze iets

beter begrepen hebben dan een expert op tv Wat ze op school leren kan van hen lsquokritische burgersrsquo maken die niet

alles hoeven te slikken wat op televisie wordt beweerd

Het kan nuttig zijn om vooraf de nodige kennis even op te frissen In het zesde jaar behoort bv de logaritmische

schaal ndash als ze al behandeld is in het vijfde ndash vaak niet meer tot de parate kennis

Voor dergelijke oefeningen is een netwerk van wiskundeleerkrachten handig Je kunt geschikte fragmenten aan

collegarsquos signaleren en er bv via e-mail in groep over van gedachten wisselen In het geval van de aardbeving

stuurden we ook een vriendelijke bericht naar de seismoloog (ldquoVolgens mij maakt u een rekenfoutrdquo) en kregen we

meteen een antwoord Dit mailverkeer met de lsquoexpertrsquo (zie bijlage 1) lieten we ook aan de leerlingen zien


OPDRACHT

Bekijk het fragment Laundry day toename aantal bezoekers vrt (5 september 2009 1rsquo30) en zoek de fout Je vindt

het op httpwwwderedactiebecmvrtnieuwsmediatheekprogrammasjournaal26987269881592741

OPLOSSING

Als het aantal bezoekers echt twaalf keer was verdubbeld waren er na twaalf jaar 500 212

= 2 048 000 bezoekers In

feite ging het over de twaalfde editie niet twaalf jaar maar elf jaar na de eerste keer Dit geeft met een jaarlijkse

verdubbeling toch nog 500 211

= 1 024 000 bezoekers Het leuke is dat sommige leerlingen kritiek geven op dit

model als iedereen zijn beste vriend meebrengt dan zijn er ook gemeenschappelijke vrienden bij en krijg je geen

verdubbeling

OPDRACHT

Bekijk de nieuwsuitzending N-VA wordt de grootste in de peilingen (4 juni 2010 1rsquo32) Je vindt het op

httpwwwderedactiebecmvrtnieuwsmediatheeknieuwsbuitenland11152865

Je kunt ook op deredactiebe lsquouitgebreid zoekenrsquo tussen de data 3 en 5 juni 2010 met als zoekterm lsquopeilingenrsquo

Op de site van Febelmar vind je informatie over deze peiling We hebben dit document als bijlage aan deze

syllabus toegevoegd (bijlage 2) Neem het door en ga na of het voldoende informatie geeft om met je leerlingen in

de klas kritisch naar deze peiling te kijken


Daar waar vroeger opiniepeilingen eerder met mondjesmaat de publieke opinie voedden en vooral het terrein waren

van gereputeerde onderzoeksbureaus krijgt de kiezer nu quasi elke dag de resultaten van alweer een nieuwe peiling

voorgeschoteld

Via internet in kranten en magazines worden mensen om hun mening gevraagd over tal van onderwerpen Vele van

deze onderzoeken die claimen lsquode Vlamingrsquo in kaart te brengen kunnen de toets van de wetenschappelijke kritiek

echter niet doorstaan Dat is vaak ook niet het doel van degene die ze initieumlren Als hun ondervragingen opmerkelijke

of verbazende resultaten opleveren ndash wat al eens sneller het geval is bij onbetrouwbare methoden ndash is airplay of

voldoende media-aandacht gegarandeerd ook in de ernstige media Het onderscheid tussen ernstige en minder

ernstige tot ronduit manipulatieve opiniepeilingen is zo soms moeilijk te maken Mensen krijgen verschillende

boodschappen ndash die vaak tegenstrijdig zijn ndash en kunnen dus het bos door de bomen niet meer zien Dit draagt

natuurlijk niet bij tot de reputatie van opiniepeilingen laat staan van het politiek onderzoek

Een nieuwsbericht over een peiling kan een aanleiding zijn om de leerlingen te laten opzoeken hoe de peiling precies

is gebeurd Op wwwFebelmarbe vindt men vaak informatie over de peiling Een mailtje naar de redactie van de

nieuwsdienst levert gewoonlijk de juiste link naar het onderzoeksbureau dat in hun opdracht werkte Op deze manier

kun je met realistisch materiaal werken om je leerlingen tot kritische burgers op te voeden

Als oefening ndash ontstaan uit het terug opzoeken naar de links voor bovenstaande fragment - hebben we een recenter

fragment opgezocht Hieronder beschrijven we de hele zoektocht

We vertrekken van een fragment op de videozone van httpwwwderedactiebecmvrtnieuws en dus op

httpwwwderedactiebecmvrtnieuwsmediatheek Als je de naam van het fragment kent en de datum waarop het

gebruikt werd is de zoektocht eenvoudiger Zo vonden we dat zoeken op lsquoN-VA wordt de grootste in de peilingenrsquo op

de exacte dag (linker schermafdruk) niet het gewenste resultaat opleverde maar zoeken met een bredere tijdsmarge

(rechter schermafdruk) wel


Tijdens deze zoektocht vonden we het fragment lsquoVolgens peiling wordt N-VA de grootste partij in Antwerpenrsquo uit een

nieuwsuitzending van de VRT van 14 Oktober 2011 Een fragment van 2rsquo19

Door te googelen vinden we enkele artikels

GvA-peiling voorspelt overwinning voor N-VA in Antwerpen

httpwwwknackbebelga-politiekgva-peiling-voorspelt-overwinning-voor-n-va-in-antwerpenarticle-1195117920113htm

N-VA grootste partij in Antwerpen httpwwwnieuwsbladbearticledetailaspxarticleid=DMF20111014_141

Turnhout Nieuwsbladpoll was poeha

httpwwwgazetvanturnhoutbeopinievrije-tribune10093-turnhout-nieuwsbladpoll-was-poeha

We gaan op zoek op de site van Febelmar maar vinden niets Uiteraardhellip Febelmar voerde de peiling niet uit We

slaan terug aan het googelen Hieronder vind je het relaas We vermelden telkens de zoekterm met de bruikbare

resultaten van Google

Zoekterm lsquopeiling GvA 14 oktober 2011 Belga inforsquo

Zoekterm lsquopeiling GvA 14 oktober 2011 Dedicated researchrsquo


Op deze laatste site vinden we twee videorsquos die we niet kunnen openen De audio van Patrick Janssens halen we

binnen en we horen de burgemeester van Antwerpen zeggen ldquoVoor elke peiling waar je goed uitkomt is er eacuteeacuten waar

je slechter uitkomtrdquo Misschien is dit ook wel bruikbaar in eacuteeacuten of andere les

Ondertussen wisten we dat niet Febelmar maar lsquoDedicated Researchrsquo de peiling uitvoerde Op hun site

wwwdedicatedbe vinden we echter geen extra informatie Uiteraard moesten we bij de Gazet zelf zijn voor iets meer

info Na het nodige geklik en gezoek ndash echt niet altijd eenvoudig ndash vinden we het artikel lsquoExclusieve peiling

Janssens en De Wever in nek-aan-nekracersquo Je kunt het nalezen op httpwwwgvabeantwerpenexclusieve-peiling-

janssens-en-de-wever-in-nek-aan-nekraceaspx Onderaan het artikel vinden we de volgende bruikbare informatie voor

een oefening over deze peiling Hoe kwam deze peiling tot stand

De opiniepeiling werd tussen 7 en 12 oktober afgenomen onder 1002 Antwerpenaars met stemgerechtigde leeftijd Zij

werden willekeurig geselecteerd uit de telefoongids van Antwerpen De bevraging gebeurde telefonisch ook via gsm

Daarbij werd rekening gehouden met een spreiding over de districten De bevraging is representatief naar leeftijd

geslacht beroepsactiviteit en afkomst De maximale foutmarge bedraagt 31 procent voor de steekproef De opiniepeiling

is uitgevoerd door Dedicated Research

De laatste actie die we ondernamen was een mail naar infodedicatedbe met de vraag naar meer informatie Bij het

ter perse gaan van deze syllabus kregen we nog geen antwoord

12 YOUTUBE FILMPJES

Op YouTube vind je heel wat bruikbare filmpjes die leerlingen extra oefenmateriaal kunnen geven of een visuele

voorstelling

Enkele voorbeelden

Oefeningen op de inhoud van omwentelingslichamen

httpwwwYouTubecomwatchv=Y4tHgy0XiUM (1)

httpwwwYouTubecomwatchv=E5OOMbz5jZkampfeature=channel (2)

Uitleg over oppervlakte en de bepaalde integraal

httpwwwYouTubecomwatchv=LkdodHMcBucampfeature=fvwrel (3)

De oplossingen van een vierkantsvergelijking algemeen afleiden

httpwwwYouTubecomwatchv=WJrxr_MdkdIampfeature=related (4)

Inhoud van een piramide

httpwwwYouTubecomwatchv=3ScWAYiCKjY (5)

Inhoud van een kegel

httpwwwYouTubecomwatchv=QnVr_x7c79w (6)

Over snakes and graphs op

httpwwwyoutubecomwatchv=heKK95DAKms (7)

Circle theorem

httpwwwyoutubecomwatchv=kSEZReRYPZ8 (8)


De bovenstaande links verwijzen allemaal naar YouTube Door op de internetnaam te klikken bovenaan het filmpje

kom je op de eigen YouTube-ruimtes van de gebruikers midnighttutor (1) PatrickJMT (2) en (3) JoPiDo (4)

thomderi (5) papafaridah (6) Vihart (7) en missionastar (8)

De midnighttutor stelt een oefening voor en legt ze helemaal uit Hij doet zelfs een oproep om nieuwe problemen te

sturen naar solvemidnighttutorcom We stuurden een mail en kregen binnen het uur het volgende antwoord We have received your problem Depending on whether we happen to be in front of a computer you may get a reply with some hints

very shortly or it may take a little whileafter all it is FREE

If you have not sent in any work you have done to solve the problem please do so now We will not respond to naked problem

statementsNor to requests to solve more than one problem at a timeWHOA NELLIE We need to see what you are thinking in

order to help you

We also observe that there are very few new calculus problems in the world so we invite you to check out the substantial number of

solved problems and videos on our website wwwmidnighttutorcom It is highly likely that your problem or one virtually like it is

already there

Also if you find our site and help useful please consider making a small donation to help us expand the content

Warm regards

The Midnight Tutor

Patrick heeft een site httpwwwjustmathtutoringcom en maakt filmpjes die beschikbaar staan op

wwwPatrickJMTcom of op YouTube Via de volgende link kom je rechtsreeks bij Patricks lsquospacersquo

httpwwwyoutubecomuserpatrickJMTfeature=mhee

JoPiDo legt op httpwwwyoutubecomuserJoPiDo oa ook het optellen van breuken uit Papafaridah heeft nog

meer visuele voorstellingen van inhouden Vihart legt verrassende linken tussen wiskundelessen waarin je op een

wiskundige manier lsquowegdroomt in Math Doodlingrsquo en Missionastar toont een basketbalspeler van Liverpool Ryan

Babel die het lsquocircle theoremrsquo (de omtrekshoek op een halve cirkel is recht) uitlegt eindigend met een lsquoraprsquo

13 MEESTER ER IS GEEN INTERNET

Leerkrachten spelen graag zeker Het filmpje dat je wilt bespreken vooraf downloaden is geen overbodige luxe

Bovendien kan een filmpje enkele jaren interessant zijnhellip en blijft het zolang beschikbaar op de site De wereld van

het gratis downloaden evolueert snel De methode die we hier beschrijven werkt op dit moment Vroeger werkten we

met lsquowebcraftrsquo Toen we dit voor deze nascholing terug uit wilden testen opende een scherm met de volgende

informatie die ons gelukkig verder op weg zette

Video en audio downloaden van deredactiebe en sporzabe Deze downloadtool is niet meer in werking

Sinds de lancering van de nieuwe site van De Redactie op 9 februari 2011 is het niet meer mogelijk om rechtstreeks video- en

audiofragmenten van deredactiebe en sporzabe te downloaden via deze website Bedankt aan iedereen om mijn hulpmiddel te

gebruiken en aan iedereen die een enthousiast berichtje achterliet

Wat nu

Gelukkig bestaan er een aantal alternatieven waarmee het in de meeste gevallen toch moet lukken om filmpjes te

downloaden van deze en andere sites (eenbe canvasbe cobrabe en een hele reeks andere videowebsites)

Het gaat hier wel altijd over programmas die je moet downloaden en installeren op je computer Deze drie heb ik met

succes getest

StreamTransport - Windows - gratis

FoxReal YouTube FLV Downloader - Windows - gratis

Moyea FLV Downloader - Windows - gratis

Rtube - Windows + Mac + Linux - niet gratis (euro 099 7 dagen demoaccount voor 1 dag is gratis)


Ken je er nog andere Laat het gerust even weten dan pas ik de lijst aan (Dank aan de mensen die me op

bovenstaande programmas wezen)

We probeerden FoxReal en haalden het programma van hun site httpwwwfoxrealcomYouTube-downloader

Na de installatie werkt FoxReal redelijk eenvoudig Telkens je het opent komt er een stappenplan dat je moet volgen

Je krijgt een scherm zoals links hieronder als je het adres van de videozone van de vrt invoert (of een ander

internetadres van een filmpje dat je wilt downloaden) Op dit scherm begint meteen het fragment te lopen zodat je

kunt verifieumlren of het over het juiste fragment gaat Via de balk rechts in het scherm kun je scrollen zodat je naar een

ander fragment kunt gaan Je ziet zorsquon ander fragment op de schermafdruk rechts hieronder

Je merkt dat onder het scherm van het videofragment urlrsquos verschijnen Eens je het goede fragment hebt gekozen klik

je op de groene pijl rechts en je krijgt het scherm hieronder links waarop je kunt kiezen in welke map je het

gedownloade fragment in je computer wilt opslaan Eens je op OK drukt start het downloaden dat je kunt volgen op

een scherm zoals rechts hieronder


Je bestand krijgt in je map een naam bv videozone (fragment VRT) Denk eraan dat je deze naam wijzigt zodat je

nadien nog weet waarover het fragment handelde Een tweede reden is dat elke nieuw fragment dezelfde naam krijgt

met een nummer Videozone (0) (1) enzhellip zegt niets over de inhoud van je fragment Een goed idee voor

nieuwsfragmenten is om de naam en de datum in je documentsnaam te verwerken Dit heb je immers nodig als je het

ooit terug moet opzoeken

Een filmpje van YouTube downloaden gaat nog eenvoudiger Je opent FOX real en klikt vervolgens op YouTube

Je kunt nu in het scherm de zoekmachine gebruiken Je klikt het filmpje dat je wil downloaden aan en verder ga je te

werk zoals hierboven beschreven is

2 BESTAANDE DIDACTISCHE FILMS

Naast didactische films zijn er ook bioscoopfilms die naar wiskunde verwijzen Dit is misschien een interessant

onderwerp voor een andere nascholing maar hier beperken we ons tot didactische films over wiskunde

Het idee om in een wiskundeles een filmpje aan de leerlingen te tonen is niet nieuw De BBC gaf al in de jaren 1970

Open University-uitzendingen met lekker ouderwets ogende Britse docenten en mooie visualisaties (kegelsneden

complexe getallen niet-euclidische meetkunde de hoofdstelling van de integraalrekening de regel van de

lrsquoHospital) Deze filmpjes zijn nog steeds bruikbaar maar moeilijk te vinden tenzij je iemand kent die ze toen op

videocassettes heeft opgenomen en bewaard

Een prima aanvulling bij lessen over perspectief is Geometry and perspective waarin de beroemde wiskundige

Christopher Zeeman uitlegt wat perspectieftekenen is bewijst dat evenwijdige rechten in perspectief naar eacuteeacuten zelfde

vluchtpunt gaan en het perspectiefexperiment van Brunelleschi (15de eeuw) overdoet Het filmpje kan nog besteld

worden bij de BBC Open University Production Unit amp Department of Education and Science en bovendien staat een

oudere versie online die je na registratie en inloggen kunt bekijken

(wwwrigborgcontentControlaction=displayEventampid=585)


Ook enkele mooie recente films zijn beschikbaar op het internet The

story of 1 de geschiedenis van het getal 1 (en hiermee van een goed

deel van de wiskunde) luchtig gepresenteerd door Terry Jones

bekend van Monty Python Het fragment over Pythagoras past goed

bij de lessen over de stelling van Pythagoras in het derde jaar Wij

waren vooral geboeid door het moment waarop Pythagoras een

dramatische ontdekking doet het lukt niet om een gelijkbenige

rechthoekige driehoek te maken met gelijke (eenheids)stokjes (zie

foto) Dit komt neer op de irrationaliteit van het getal radic

Je kunt deze film bekijken op httpvideogooglenlvideoplaydocid=-1957179570191443503

De film Dimensions bevat een paar mooie fragmenten die aansluiten bij het hoofdstuk over complexe getallen Je kunt

hem per hoofdstuk bekijken op wwwdimensions-mathorgDim_NLhtm Op deze site vind je bovendien informatie

bij de inhoud van de verschillende hoofdstukken

En dan is er Flatland the movie de animatieverfilming van de beroemde roman van Abbott (1884) over meetkundige

wezens die in een plat vlak leven en ontdekken dat er een derde dimensie kan bestaan De film kan besteld worden via

wwwflatlandthemoviecom

Schooltv in Nederland maakt filmpjes die een antwoord trachten te bieden op vragen als lsquoWat kun je met wiskunde

In welke beroepen is wiskunde belangrijk Welke rol speelt wiskunde in de samenlevingrdquo Je kunt filmpjes bekijken

en bestellen via httpwwwschooltvnlbeeldbankvo en httpwwwschooltvnleigenwijzer2157379wiskunde

3 ZELFGEMAAKTE FILMPJES

Zelf filmpjes opnemen en monteren is niet zo moeilijk De redactie van Uitwiskeling heeft zonder enige regie- of

montage-ervaring zelf een aantal filmpjes gemaakt Een cd met een deze filmpjes vind je in Uitwiskeling 262

Nieuwe abonnees ontvangen als welkomstgeschenk dit nummer met de cd zolang de voorraad strekt

Misschien heb je creatieve leerlingen die ook een filmpje kunnen maken over een wiskundig probleem Of ga je graag

zelf aan de slag om een filmpje te maken dat bruikbaar is in je lessen In 36 vertellen we iets over het monteren

31 WELKE FILMPJES

Bij de start van ons filmproject stelden we meteen een lijstje op van de soorten filmpjes die we wilden maken De

eerste drie soorten zijn filmpjes om tijdens de les aan de leerlingen te tonen de laatste soort wordt niet in de klas

getoond maar is bedoeld om de leerkrachten te inspireren of op ideeeumln te brengen

probleemfilmpjes om een probleem in te leiden dat leerlingen daarna kunnen oplossen eventueel met een

tweede fragment waarin een mogelijke oplossing wordt getoond

aanbrengfilmpjes om een bepaal begrip of een bepaalde eigenschap mee aan te brengen

toepassingfilmpjes om een toepassing die je niet zomaar naar de klas kunt meebrengen aan de leerlingen te

tonen zonder er een schooluitstap voor te moeten organiseren

inspiratiefilmpjes om aan leerkrachten te laten zien hoe ze een bepaalde les kunnen organiseren of hoe ze een

stuk didactisch materiaal kunnen vervaardigen


Hier vind je de lsquoinhoudstafelrsquo van de filmpjes-cd

Probleemfilmpje lsquoKoffie en melkrsquo

(duur 418 grootte 64 MB)

Een koppeltje neemt een kop melk en een kop koffie Hij doet een koffielepeltje

koffie in haar melk en vervolgens neemt zij een koffielepel van het mengsel uit

haar tas en doet het in zijn koffie Een prangende vraag wordt wiskundig opgelost

Probleemfilmpje lsquoHet lijk is nog lauwrsquo


Een jong meisje is het slachtoffer van een gruwelijke moord Op basis van de

lichaamstemperatuur van het gevonden lichaam proberen politie en wetsdokter het

tijdstip van overlijden te achterhalen

Probleemfilmpje lsquoHet campusreglementrsquo


Op deze camping mag iedereen vrij kiezen waar hij zijn tent plaatst maar het

gebied waarover iedereen beschikt wordt beperkt door een stuk lint Twee jonge

kampeerders vinden enkele originele oplossingen om de beperkingen te

omzeilen

Probleemfilmpje lsquoHoeveel keer klinken


Op een receptie willen 7 wiskundigen klinken met een glas champagne Daar

komen vragen van

Probleemfilmpje lsquoDe oberrsquo


Een ober van goede wil maar beperkt geheugen verdeelt de drankjes niet helemaal

zoals het moet


Aanbrengfilmpje lsquoSinus plus sinusrsquo


De formule voor de som van twee sinussen kun je horen Met twee stemvorken

een digitale oscilloscoop dynamische meetkunde en een wiskundige redenering

wordt de formule verder opgesteld en gecontroleerd

Toepassingsfilmpje lsquoGetijden gemetenrsquo


Dit filmpje toont je hoe de getijden worden opgemeten en zowel analoog als

digitaal worden voorgesteld

Inspiratiefilmpje lsquoEen radioactieve les om van te snoepenrsquo


Leerlingen worden met plezier actief betrokken bij deze les rond radioactiviteit

We bespreken nu in details eacuteeacuten filmpje van elke soort

32 EEN PROBLEEMFILMPJE lsquoHET LIJK IS NOG LAUWrsquo

SITUERING

We zitten in het zesde jaar in een richting met zes uur wiskunde meer bepaald in het hoofdstuk over de afgeleiden en

het verloop van exponentieumlle en logaritmische functies Omdat de afgeleide van een exponentieumlle functie evenredig is

met de functie zelf is dit hoofdstuk geschikt om exemplarisch iets te zeggen over differentiaalvergelijkingen los van

het eventuele keuzepakket differentiaalvergelijkingen (dat meestal niet gegeven wordt aan leerlingen die zes uur

wiskunde volgen zonder extra uren) Een mooie toepassing hierop die in veel handboeken aan bod komt is de

afkoelingswet van Newton We veronderstellen dat deze wet al voacuteoacuter het filmpje aan bod is gekomen bv aan de hand

van een kop koffie die je in de les laat afkoelen Het filmpje stelt het probleem We probeerden hiermee enigszins een

thrillersfeer te creeumlren Tijdens de film noteren de leerlingen de gegevens die nodig zijn voor de oplossing De

oplossing wordt in de film niet uitgelegd

VOORAF DE AFKOELINGSWET VAN NEWTON

We overlopen zonder veel franjes wat de leerlingen de vorige les hebben gezien Uiteraard is dit niet even droogweg

aan bod gekomen maar aan de hand van een ander voorbeeld

Door de kettingregel is y = b ekx

oplossing van de differentiaalvergelijking y = k y


Bovendien zijn alle oplossingen van deze differentiaalvergelijking van die vorm Het bewijs hiervan is in veel

handboeken terug te vinden bv in Delta 6 Analyse deel 1

De afkoelingswet van Newton luidt ldquoWanneer een voorwerp in een omgeving wordt geplaatst waar de temperatuur

hoger of lager is dan die van het voorwerp dan zal de temperatuur van het voorwerp zich aanpassen aan de

omgevingstemperatuur De snelheid waarmee dit gebeurt is evenredig met het temperatuurverschilrdquo

Noem T de temperatuur (in functie van de tijd t) van het voorwerp en Tomg de omgevingstemperatuur dan zegt de

afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T

waarbij k een constant getal is Om in te zien dat deze differentiaalvergelijking van het type y = ky is kunnen we ze

als volgt herschrijven aangezien Tomg constant is

)()(d

domgomg TTkTT

t

De oplossing is dus van de vorm

ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg

De betekenis van de constante b wordt meteen duidelijk als je t = 0 invult b = T0 Tomg het verschil tussen de

begintemperatuur van het voorwerp en de omgevingstemperatuur De formule wordt

kteTTTT )( omgomg

SCENARIO

Een meisje komt luid krijsend naar buiten gestormd neemt haar gsm en belt de politie op

Meisje Er is iets gebeurd Jullie moeten komen Ze is dood

Een politiecommissaris en een wetsdokter stappen uit een wagen en volgen het meisje naar binnen Ze zien het lijk

liggen De wetsdokter voelt aan het lijk en stelt vast dat het nog lauw is Hij steekt een thermometer in de mond van

het lijk Hij kijkt naar de tijd op de klok het is 15 uur Na enkele seconden neemt de wetsdokter thermometer uit de

mond van het lijk en leest de temperatuur af

Wetsdokter 323 degC

De wetsdokter loopt naar de muur waar een thermometer hangt en leest de temperatuur van het lokaal af

Wetsdokter 12 degC

De wetsdokter bekijkt het lijk verder Ondertussen zie je in de achtergrond de commissaris allerlei objecten oprapen

en in een zakje steken

Twee uur later om 17u meet de wetsdokter opnieuw de temperatuur van het lijk

Wetsdokter 307 graden Celsius

De volgende scene is het avondnieuws op tv

Nieuwslezer In het Oost-Vlaamse Wachtebeke is een moord gepleegd De hele plaatselijke gemeenschap is diep

geschokt door dit drama We schakelen nu rechtstreeks over naar onze reporter ter plaatse


Reporter Hier in Wachtebeke is een gruwelijke moord gepleegd Rond drie uur deze namiddag deed een vriendin

van het slachtoffer de vreselijke ontdekking Zij belde de hulpdiensten op maar die konden alleen maar de dood

van het slachtoffer vaststellen Volgens de wetsdokter is het meisje omstreeks 10 uur deze voormiddag overleden

Meer details wil de politie nog niet vrijgeven Wij volgen deze zaak op de voet en brengen u meer informatie in

eacuteeacuten van onze volgende bulletins

De opdracht voor de leerlingen is na te rekenen hoe de wetsdokter het moment van het overlijden (10 uur rsquos morgens)

kon bepalen

OPLOSSING

Dit zijn de relevante gegevens die de leerlingen uit het filmpje gehaald zouden moeten hebben de

omgevingstemperatuur was 12deg om 15 uur was de temperatuur van het lijk 323deg om 17 uur was de temperatuur van

het lijk 307deg Verder weten de leerlingen dat de temperatuur van een levend mens zonder koorts ongeveer 37deg is

Verschillende oplossingsmethoden zijn mogelijk afhankelijk van de keuze van het moment t = 0

Leerlingen die t = 0 stellen op het moment van de dood van het slachtoffer vinden

T = 12 + (37 12) ekt (T in degC en t in uur)

Noem h de kloktijd is op het moment van het overlijden Invullen geeft

)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e

Dit stelsel kan als volgt herschreven worden

25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk

De oplossing voor h is 99266 Het lijk is dus al een lijk sinds ongeveer 10 uur die ochtend

De berekeningen zijn iets eenvoudiger voor wie t = 0 kiest op het moment van de eerste temperatuurmeting maw

om 15 uur Een lsquobekendrsquo nulpunt is immers handiger dan een lsquoonbekend nulpuntrsquo zoals in de vorige oplossing De

formule is

T = 12 + (323 12) ekt

Hierin invullen geeft

kt

k

e

e

3201237

32012730 2

waarbij de waarde van t in de tweede vergelijking negatief zal zijn Omvormen geeft

320

25ln

320

718ln2

kt

k

De oplossing voor t is 50734 dus (iets meer dan) vijf uur voacuteoacuter 15 uur dat is dus (iets voacuteoacuter) 10 uur

Misschien zijn er ook leerlingen die het probleem grafisch proberen op te lossen De rekenmachine kan een

exponentieumlle regressie uitvoeren de lsquobestersquo exponentieumlle functie zoeken die aansluit bij een tabel met functiewaarden

Hiertoe moet eerst de term 12 afgetrokken worden want de rekenmachine zoekt een exponentieumlle functie en niet een


exponentieumlle functie lsquoplus een constantersquo Als de puntenwolk zoals hier uit slechts twee punten bestaat gaat de

regressiefunctie niet ongeveer maar exact door deze punten

Bij het model van de laatste oplossing met t = 0 op het moment van de eerste meting gaat dit als volgt In de kolom

L1 wordt de tijd ingevuld (met t = 0 om 15 uur) in L2 het temperatuurverschil T 12 Om de grafiek van de

temperatuur te tekenen wordt de term 12 weer bijgeteld Als je die grafiek dan snijdt met de rechte T = 37 dan vind je

het moment waarop de temperatuur nog 37 bedroeg De oplossing verschijnt onderaan het scherm t = 50734

Ook andere modellen zijn mogelijk bv t = 0 om middernacht zodat de waarde van t meteen de kloktijd is (tijdens die

dag) Bij dit model valt het nulpunt van de tijd buiten het realistische domein (het afkoelen was nog niet begonnenhellip)

OPMERKINGEN EN NUANCERINGEN

De naam lsquoafkoelingswetrsquo verwijst naar het geval waarbij de omgevingstemperatuur lager is in het ander geval is het

eigenlijk opwarming (bv wanneer je een bevroren fazant uit de diepvries haalt)

Bemerk dat dit maar een benaderende wet is Vooreerst wordt de omgevingstemperatuur constant verondersteld

Daarenboven geldt deze wet eigenlijk alleen voor kleine niet-organische objecten Bij een lsquokleine omgevingrsquo en een

lsquogroot voorwerprsquo zal in werkelijkheid ook de omgevingstemperatuur zich voor een stuk aan de temperatuur van het

voorwerp aanpassen (denk maar aan een zweethut een tentje waarin je hete stenen plaatst om de lucht binnen de tent

op te warmen of aan een frigobox met koelelementen) Dit aspect is niet opgenomen in het model van de

afkoelingswet van Newton De constante k hangt af van het voorwerp een dik lijk in een skipak zal trager afkoelen

dan een mager naakt lijk Bovendien hangt k ook af van het medium een lijk dat in de zee terechtkomt koelt sneller af

dan in lucht van dezelfde temperatuur Ten slotte bij de afkoelingswet van Newton wordt gedaan alsof de temperatuur

in het lijk overal gelijk is in werkelijkheid koelt de buitenkant eerst af

Dit is typisch voor het werken met een wiskundig model ook al klopt het niet helemaal toch spreekt men af om in een

bepaald model te werken Een eerste model is dus de afkoelingswet van Newton In de praktijk werkt men echter met

betere modellen

33 EEN AANBRENGFILMPJE lsquoSINUS PLUS SINUSrsquo

SITUERING

In dit filmpje wordt de formule voor de som van twee sinussen aangebracht en muzikaal geiumlnterpreteerd Het is dus

een aanbrengfilmpje

De som van twee sinussen is eacuteeacuten van de vier formules van Simpson die aan bod komen bij de goniometrische functies

in de derde graad meestal in het vijfde jaar in aso-richtingen met minstens 4 uur wiskunde per week en in sommige

tso-richtingen Als eacuteeacuten formule van Simpson bekend is bv sin + sin = 2 sin2

cos

2

dan zijn de andere

drie voor sin sin cos + cos en cos cos hieruit af te leiden aan de hand van verwante hoeken (door sin

te schrijven als sin() cos als sin(90deg) enz) In de film wordt enkel de eerste formule aangebracht

Er zijn verschillende manieren om de formule voor de som van twee sinussen te bewijzen Vaak wordt gesteund op de

som- en verschilformules (de formules voor sin( + ) enz) Het bewijs dat in dit filmpje wordt getoond steunt hier


niet op maar is gebaseerd op de goniometrische cirkel en driehoeksmeting Het bewijs wordt voorafgegaan door een

muzikaal experiment

Er wordt gebruik gemaakt van het volgende materiaal

twee stemvorken

het computerprogramma Visual Analyser (gratis downloadbaar van httpwwwsillanumsoftorg) te beschouwen

als de digitale versie van de vroegere oscilloscoop

een micro (om het geluid van de stemvorken in Visual Analyser in te geven)

dynamische meetkunde (bv GeoGebra)

bord en krijt

Je zou in plaats van het filmpje aan de leerlingen te laten zien dit filmpje ook kunnen gebruiken als inspiratie om zelf

in de klas op een gelijkaardige manier de som van twee sinussen aan te brengen In dit geval fungeert het filmpje als

een inspiratiefilmpje Onze categorieeumln van filmpjes lopen soms wat in elkaar overhellip

SCENARIO

Het probleem wordt gesteld wat is sin x + sin y Dat het niet eenvoudigweg sin(x + y) kan zijn is gemakkelijk met

een voorbeeld aan te tonen bv sin3

+ sin

4

is groter dan 1 en kan dus geen sinus zijn Om de som van twee

sinusfuncties te onderzoeken willen we het muzikaal aanpakken Geluidsgolven kunnen gevisualiseerd worden met

een oscilloscoop of met computersoftware zoals Visual Analyser Het geluid van een stemvork geeft bij benadering

een sinusgrafiek op het scherm (als we abstractie maken van het feit dat het geluid uitdooft) De amplitude van de

sinusgrafiek geeft aan hoe luid het klinkt De frequentie (het aantal periodes per tijdseenheid) komt overeen met de

toonhoogte Die toonhoogte kunnen we aanpassen met een klem op de stemvork zonder klem hebben we een zuivere

la met een klem klinkt de stemvork hoger en is de frequentie dus groter (en de periode kleiner) Andere instrumenten

dan stemvorken geven andere periodieke grafieken op het scherm Kenners kunnen aan de vorm van de grafiek

herkennen of het bv het geluid van een trompet of een viool is

We luisteren naar de klank en kijken naar de grafiek wanneer gelijktijdig twee stemvorken met een lichtjes

verschillende toonhoogte worden aangeslagen (eentje zonder klem en eentje met een klem) We horen een lsquozwevingrsquo

een geluid met een vaste toonhoogte dat periodiek stiller en luider klinkt De grafiek is een soort sinusgrafiek waarbij

de amplitude achtereenvolgens groot wordt en weer nul wordt

Hetzelfde fenomeen wordt met GeoGebra gedemonstreerd De grafieken y = sin 10x en y = sin bx met b tussen 8 en

10 worden opgeteld Met verticale verschuivingen kunnen we ervoor zorgen dat de grafieken niet op elkaar getekend

worden Hieronder zie je de situatie voor b = 9 De zweving die eronder verschijnt heeft grotere lsquobuikenrsquo naarmate b

dichter bij 10 komt Bij b = 10 heb je natuurlijk geen buiken dan is het de oorspronkelijke functie met dubbele

amplitude


Als we de laatste grafiek iets nauwkeuriger trachten te beschrijven kunnen we zeggen dat die op en neer gaat tussen

een grotere sinusoiumlde (of eerder cosinusoiumlde gezien het maximum bij x = 0) en zijn spiegelbeeld tov de

evenwichtsstand Je kunt de grafiek bekijken als een soort sinusgrafiek maar met een variabele amplitude die zelf een

cosinusfunctie is (met een veel grotere periode) In plaats van y = a sin (hellip) bij een vaste amplitude a zou het

voorschrift een product kunnen zijn van de vorm y = k cos (hellip) sin (hellip)

Om dit te preciseren en te bewijzen gaan we naar de goniometrische cirkel De hoeken en en hun sinussen |AA|

en |BB| worden in de goniometrische cirkel voorgesteld

Aan de hand van het midden M van A en B is ook

|MM| = sinsin2

1

op de tekening te zien In de rechthoekige driehoek OMM geldt

|MM| = |OM| sin 2

en in de rechthoekige driehoek OMB

|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2

Bijgevolg vinden we de formule

sin + sin = 2 sin2

cos

2

Deze formule geldt ook wanneer de hoeken en niet in het eerste kwadrant liggen Het is de eerste van de vier

lsquoformules van Simpsonrsquo

Ten slotte wordt met GeoGebra getoond dat y = 2 cos2

910 xx (= 2 cos 05x) inderdaad de lsquovariabele amplitudersquo

bepaalt van de grafiek y = sin 10x + sin 9x


34 EEN TOEPASSINGSFILMPJE lsquoGETIJDEN GEMETENrsquo

In J Roels ea Wiskunde vanuit toepassingen (1990) komt de getijdenbeweging aan bod als toepassing van de

algemene sinusfunctie De maximale diepgang die een schip mag hebben om veilig de haven van Antwerpen binnen te

varen is eacuteeacuten van de toepassingen die je in veel handboeken terugvindt Daarnaast beschrijft het boek een ruimere

toepassing over het boorplatform lsquoYatzyrsquo dat op 11 januari 1989 een tocht maakte op de Schelde richting Rotterdam

Eeacuten van de hindernissen die het op deze tocht tegenkomt is een hoogspanningskabel Via een wiskundig model

berekent men hoeveel tijd het boorplatform heeft om onder de hoogspanningkabel door te varen

Toeval wil dat een aantal van de huidige redactieleden meewerkten aan het tot stand komen van dit boek

Herinneringen werden opgehaald over het verzamelen van de informatie en over het bezoek aan de meetpost op de

Schelde lsquoZou de waterstand nog altijd geregistreerd worden met een pen op een blad papier dat bevestigd is op een

ronddraaiende rolrsquo Dit gesprek vormde de aanzet tot een zoektocht naar nieuwe informatie

We komen terecht bij het Hydrologisch InformatieCentrum in Berchem het HIC Bij een eerste contact met onze

gespreks- en denkpartners Leen Boeckx en George Schramkowski krijgen we een rondleiding in het centrum We

zijn in de wolken interessant en een reeumlle toepassing van wiskunde We ontmoeten er ook een afgestudeerde

wiskundige die computermodellen klaarmaakt voor simulatieprogrammarsquos De loodsen kapiteins die aan boord gaan

als een schip voor de haven ligt om het door de haven te loodsen komen in het HIC trainen Via computerschermen

krijgen zij het gevoel om effectief op de Schelde te varen We kunnen gerust stellen dat het de moeite waard is om een

studie-uitstap naar dit centrum te organiseren

Op de vraag naar de lsquorollen met getijkrommenrsquo is het antwoord positief We plannen een nieuwe uitstap naar de getij-

meetpost Liefkenshoek Hier organiseren we een eerste lsquodraaidagrsquo Erwin De Backer geeft een deskundige uitleg over

de werking van de meetpost De waterstand wordt continu opgemeten op drie manieren Er is een meetstok in de

Schelde die het peil aangeeft In de tijhut vinden we onze rol terug Een pen staat via een kabel in verbinding met het

water en geeft nauwgezet de hoogte aan op de rol die ronddraait Daarnaast is er een meting die gebeurt via een

radartoestel dat signalen uitzendt naar het wateroppervlak Die signalen worden weerkaatst en op basis van de tijd die

tussen het uitzenden en terugkeren van de signalen verstrijkt berekent het toestel de waterhoogte In het filmpje geven

we dit weer een mooie toepassing van de algemene sinusfunctie

De dataverwerking gebeurt in het laboratorium waar de informatie binnenkomt Dit is de informatie door de radar

geleverd Spijtig maar onze oude rol speelt hier even niet mee Men kijkt eerst na of er geen fouten in de informatie

geslopen zijn en digitaliseert vervolgens de gegevens Eens gedigitaliseerd kunnen verschillende data samen bekeken

worden en kan men zich aan voorspellingen wagen voor de lsquogemiddeldersquo toestand op lange termijn Data van

verschillende meetposten kunnen andere patronen geven Zo heeft de afstand van de meetpost tot de monding van de

Schelde een invloed op het peilverschil tussen hoog- en laagwater Op de Schelde worden de grootste verschillen in de

buurt van Antwerpen geregistreerd

Om het getij bij normale weersomstandigheden te beschrijven blijkt dat een som van heel wat sinussen nodig is Dit

aantal kan oplopen tot meer dan 100 Je begrijpt dat dit voor een wiskundeles in het secundair onderwijs

ontoegankelijk is maar toch kun je het als motiverend element vermelden En met een knipoog lsquoWe hebben

wiskundigen in onze maatschappij nodigrsquo

Deze wiskundige modellen voorspellen het lsquogemiddeldrsquo getij in de (verre) toekomst Jammer genoeg is het weer niet

altijd lsquogemiddeldrsquo te noemen In het voorspellingscentrum wordt ook met een wiskundig model gewerkt voor de

invloed van reeumlle weersomstandigheden op het waterpeil van de volgende 48 uur Een team is constant bezig met het

interpreteren van deze modelresultaten om de te verwachten waterstanden langsheen de Schelde zo goed mogelijk in

te schatten


Als toepassing vind je nog enkele beelden van de waterkeringmuur in Antwerpen die gesloten wordt bij gevaarlijk

stormtij Het Waterbouwkundig Laboratorium adviseert de beheerder van de Schelde over het al dan niet sluiten van

de waterkeringsmuur in Antwerpen Het gaat om een beslissing in crisissituaties De laatste keer dat men bijna besliste

om de muur te sluiten was in februari 2009 De telefoons stonden roodgloeiend

LESIDEE

Reeumlle gegevens kun je vinden op wwwmummacbeNLModelsOperationalTidesindexphp

wwwlinvlaanderenbeawzwaterstandenhydrawelkomhtm en wwwgetijnl De figuur hieronder geeft een

voorbeeld van op de eerste site

Deze gegevens kun je gebruiken in je lessen ter illustratie De onderstaande werktekst geeft een oefening die ndash we

geven het toe ndash niet realistisch is gezien we soms meer dan 100 sinussen moeten optellen om een goed wiskundig

model te vinden voor de getijwerking Toch lijkt het ons een zinnige toepassing waaruit de leerlingen kunnen leren

modelleren

OPDRACHT TOEPASSING VAN DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE GETIJDENWERKING

Eb en vloed hoogwater en laagwater wisselen elkaar regelmatig af De grafiek van de getijdenbewegingen gemeten

in een plaats langs de kust is dan ook bij benadering periodiek

Op de internetsite wwwgetijnl kun je grafieken van de getijdenbeweging in een aantal Nederlandse plaatsen vinden

De gegevens worden elk uur bijgewerkt

Klik op lsquoGetijvoorspellingenrsquo Je kunt nu uit een lijst van plaatsnamen kiezen Klik bijvoorbeeld op Vlissingen en je

krijgt de grafiek die het getij van de laatste 24 uur in Vlissingen weergeeft De waterhoogte wordt gemeten ten

opzichte van het Normaal Amsterdams Peil (NAP) Dit verschil wordt weergegeven op de grafieken in functie van het

tijdstip waarop er gemeten werd Je merkt dat de grafieken in sommige plaatsen behoorlijk aansluiten bij een

algemene sinusfunctie Andere grafieken zijn grilliger Het weer bepaalt immers mee de echte waterstand hierdoor

kun je die grilliger grafieken verklaren

Je lost de onderstaande opdrachten per twee op en maakt een digitaal verslag waarin je de grafieken die je bespreekt

opneemt Schrijf een doorlopende tekst waarbij je redeneringen helder uitlegt gegevens overzichtelijk weergeeft en de

nodige formules maakt met de vergelijkingseditor


1 Kies een kustplaatsje waarvan de getijdengrafiek tamelijk regelmatig is Maak voor van deze plaats een overzicht

van de tijdstippen waarop het hoog en laag water is Noteer voor deze tijdstippen ook telkens de meting van het

waterpeil

Het is niet eenvoudig om de getijdengrafieken precies met eacuteeacuten sinusfunctie te beschrijven je kunt ze wel zo goed

mogelijk proberen te benaderen Je maakt dan een ndash zo goed mogelijk ndash model van de situatie

2 Maak voor jouw kustplaats een sinusfunctie die zo goed mogelijk past bij de grafiek van de waterstanden Leg de

oorspong gelijk met 000 u Bespreek eerst met zijn tweeeumln hoe je dit gaat aanpakken Controleer achteraf ook of

de functie die je krijgt wel juist is door het tijdstip van enkele gekende waarden terug in te vullen Maak ook een

schets

3 De sinusfunctie die je in opdracht 2 hebt gevonden is een model van de getijdenbeweging De grafiek van de

functie benadert de getijdengrafiek zo goed mogelijk Noteer in welke opzichten je vindt dat de door jullie

gevonden sinusfunctie de getijdenbeweging goed benadert en in welke opzichten je vindt dat het wat minder goed

klopt Hoe zou dit komen

4 Met het model dat je voor een kustplaats gemaakt hebt (de sinusfunctie uit opdracht 2) kun je waterhoogten

voorspellen Je kunt bijvoorbeeld een vraag beantwoorden van de vorm ldquohoe hoog staat het water morgen om

1200 uurrdquo Bereken dit eens voor jouw kustplaats

Controleer morgen hoe juist je voorspelling in 4 was Neem deze controle op in je verslag

Op wwwmummacbeNLModelsOperationalTidesindexphp vind je waterstanden van plaatsen in Belgieuml

Kies een kustplaats uit en zoek de getijkromme van deze kustplaats Analyseer de krommen die op je scherm

verschijnen Beschrijf in je verslag het verschil met de gegevens die je via getijnl krijgt

35 EEN INSPIRATIEFILMPJES EEN RADIOACTIEVE LES OM VAN TE SNOEPEN

Eerst en vooral een belangrijke waarschuwing dit filmpje is niet gemaakt om in de klas te vertonen Het is een filmpje

dat de leerkracht thuis zelf kan bekijken om inspiratie op te doen

In deze les wordt met behulp van regressie een functie gezocht die een bepaald proces beschrijft Wiskundig gezien

gaat het over exponentieumlle afname geplaatst in de context van radioactief verval De les past in het vijfde jaar waar het

verloop van exponentieumlle functies bekeken wordt Omdat we natuurlijk niet echt met radioactief materiaal kunnen

experimenteren doen we een plaatsvervangend experiment met mampmrsquos Deze kleine snoepjes hebben

allemaal aan eacuteeacuten zijde een letter lsquomrsquo als opdruk (zie afbeelding) Let er bij het winkelen op dat je de

bruine zakjes koopt Dit zijn de met chocolade gevulde snoepjes Met de met nootjes gevulde snoepjes kun je niets

aanvangen (tenzij gewoon opeten natuurlijk)

Elke leerling krijgt een zakje mampmrsquos en een bekertje Verder hebben ze een blad en schrijfgerief bij de hand om de

resultaten van hun experiment te noteren Na het experiment hebben ze ook nog hun grafisch rekentoestel nodig voor

de verwerking

HET EXPERIMENT

De mampmrsquos stellen het radioactief materiaal voor De eerste stap is bepalen hoe groot de

(begin)massa van het radioactief materiaal is De leerlingen tellen hoeveel snoepjes er

in hun zakje zitten en noteren deze beginhoeveelheid in een tabel zoals hiernaast

Daarna gaan alle snoepjes in de beker Na een bepaalde tijd is een deel van het

radioactief materiaal vervallen We kunnen dit nagaan door de deeltjes uit te gieten De

tijdstip hoeveelheid nog

actief materiaal

0 hellip


snoepjes die met hun lsquomrsquo naar boven liggen stralen nog steeds en zijn dus gevaarlijk Die deeltjes tellen we en doen

we terug in het bekertje Het aantal wordt weer genoteerd in de tabel De deeltjes die met de lsquomrsquo naar onder liggen

zijn uitgestraald en mogen verder vernietigd worden (lees opgegeten worden) We herbeginnen nu het proces van

uitgieten sorteren en tellen We doen dit tot alle snoepjes op zijn

Na het experiment heeft elke leerling zijn eigen tabel Een eerste stap in de verwerking van de gegevens is een

voorstelling maken (zie schermafdrukjes hieronder) Merk op dat we de laatste lijn waarbij in de tweede kolom een 0

staat hebben weggelaten Die 0 zou bij de verwerking een fout geven omdat een echte exponentieumlle functie nooit nul

wordt en slechts asymptotisch naar de x-as gaat

Na het plotten van de punten lijken ze wel op een exponentieel dalende functie te liggen De rekenmachine beschikt

over een procedure om bij dergelijke gegevens de meest passende exponentieumlle functie te zoeken Dit heet

exponentieumlle regressie De schermpjes hieronder laten zien hoe deze functie gevonden kan worden

Als we deze functie in hetzelfde scherm als de statistische plot tekenen kunnen we zien hoe goed deze functie past bij

de data

De precieze waarde van de groeifactor zal bij alle leerlingen verschillend zijn maar deze waarden liggen allemaal in

de buurt van 05 Dit is niet verwonderlijk een mampmrsquos-je opgooien is in feite hetzelfde als een muntstuk opgooien Je

hebt dus bij elke worp ongeveer de helft van de snoepjes die met de lsquomrsquo naar boven liggen De tijd tussen twee worpen

komt overeen met de halveringstijd voor het radioactieve materiaal De halveringstijd van uranium-235 is ongeveer

700 miljoen jaar die van plutonium-239 is ongeveer 24 000 jaar Er zijn ook korte halveringstijden voor jodium-123

is het 13 uur en vrije neutronen een kwartier

Het hoeft wellicht geen betoog dat deze les altijd een succes is Ideaal voor een vrijdagnamiddag net voor een

vakantiehellip

36 MONTEREN

We beschrijven in het kort hoe je een zelf opgenomen filmpje kunt monteren We doen dit met een concreet

bescheiden voorbeeld

Op een congres van wiskundeleraars in Franstalig Belgieuml gaf ik (MR) deze zomer een lezing over hetzelfde

onderwerp ldquoDes petits films dans nos cours de mathsrdquo Net als in Kortrijk wou ik op het einde het monteren even

demonstreren Met mijn digitaal fototoestel had ik twee filmfragmenten opgenomen terwijl de deelnemers film keken

en werkten


Voor sommige Uitwiskeling-filmpjes hadden we een betere digitale filmcamera geleend (een Sony Handycam met

een externe microfoon die het geluid opneemt en draadloos met de camera communiceert) maar je kunt al een

aanvaardbaar filmpje maken met eenvoudig materiaal

IMPORTEREN

Het geheugenkaartje van mijn fototoestel stop ik in de gleuf van mijn laptop De twee filmbestanden P1160590 en

P1160591 kopieer ik naar mijn laptop Ik open het programma Windows Live Moviemaker dat standaard voorzien is

bij Windows Bij oudere versies van Windows heette het programma gewoon Moviemaker Er zijn zeker andere gratis

of betalende programmarsquos om filmpjes te monteren Kino AVS Video Editor Pinnacle Studio

Ik klik op lsquovideo of foto toevoegenrsquo en selecteer de twee bestanden P1160590 en P1160591

Rechts op de lsquotijdsbalkrsquo verschijnen ze achter elkaar links is er een venster om de film te bekijken

BEWERKEN

Nu wil ik een stuk van het eerste fragment en een stuk van het tweede fragment overhouden (en begin en einde

wegknippen) Ik ga naar het nieuwe startpunt en ik klik op het tabblad lsquobewerkenrsquo en de knop lsquostartpunt instellenrsquo

(Alles wijst zichzelf uit zonder deze tekst had je dit ook wel gevonden)


Analoog stel ik een eindpunt in en een start- en eindpunt voor het tweede fragment Met lsquosplitsenrsquo kun je de

fragmenten ook in kleinere stukken opsplitsen bv om een stuk in het midden weg te laten

Ik vind het tweede stuk te traag ik wil het dubbel zo snel maken Bij lsquosnelheidrsquo bovenaan selecteer ik lsquo2rsquo Bij de

filmpjes van Uitwiskeling hebben we bv versneld om een auto sneller te laten rijden of wanneer de leraar (traag) op

het bord aan het schrijven was

Tussen de twee stukken wil ik een lsquoovergangrsquo plaatsen Ik klik op het tabblad lsquoanimatiesrsquo ik ga op het tweede

fragment staan en ik klik op de overgang die ik wil (Overdrijf niet met deze toeters en bellen)


Ik maak een titel Daarvoor klik ik op lsquotitel toevoegenrsquo binnen het tabblad lsquostartrsquo Ik kan de titel bewerken en er

eventueel effecten aan koppelen Hier kun je kunt ook ondertitels (een vertaling) en een aftiteling op het einde maken

Ik wil er nog achtergrondmuziek aan toevoegen Dit kan met lsquostartrsquo lsquomuziek toevoegenrsquo Je kunt een geluidsbestand

invoegen dat je op je computer hebt Ik heb hier gewoon gebruik gemaakt van eacuteeacuten van de meegeleverde

voorbeeldmuziekjes Nadien zie ik dat de muziek toegevoegd is aan de tijdsbalk rechts Uiteraard kan de muziek

bewerkt worden (bv stiller maken wanneer gesproken wordt)

OPSLAAN

Als ik tevreden bent over de film (of ik vind het al welletjes) sla ik de film op als een videobestand Dit gebeurt met de

klop lsquofilm opslaanrsquo Hier kies je kiest de kwaliteit van het filmpje (als je lsquohigh definitionrsquo kiest zal het filmpje veel

geheugenplaats innemen) en de map waarin het filmpje moet komen Bij het afsluiten van MovieMaker kun je ook

het lsquoprojectrsquo opslaan voor het geval je later nog verder wilt monteren of wijzigingen aanbrengen

4 TOT SLOT

Filmpjes kunnen leuk zijn als afwisseling in de les maar het is niet meer dan een hulpmiddel en dus op zichzelf even

onbelangrijk als andere hulpmiddelen (bijvoorbeeld computers) De wiskundige inhoud van de les en de keuze van de

opgaven vinden we belangrijker dan de gebruikte media Afwisseling is de beste saus denk dus niet dat we ervoor

pleiten om dagelijks of wekelijks filmpjes te tonen


BIJLAGE 1 MAILVERKEER OVER AARDBEVING Geachte heer Roelens

U hebt absoluut gelijk dat ik fout zat met die 18 maal

Het grondtal 10 is inderdaad toepasbaar voor de amplitude van de uitwijking van de seismometer Bij grotere magnitude neemt ook de tijdsduur van de trillingen toe (en hun frequentie neemt af) en wordt het grondtal ongeveer 32 32^18=512 maal meer energie De toegebrachte schade staat eerder in relatie tot de amplitude (eerder de piekrondversnelling) hoewel ook de duur van de trilling of het aantal cycli een rol speelt Heel belangrijk voor schade is ook de frequentie en hoe die nog door de lokale sedimentpaketten kan versterkt of gedempt worden

Voor de effecten op mens en gebouwen spreken we niet over magnitude maar over intensiteit De breuk komt in Chili onder de oceaan aan de oppervlakte en het epicentrum lag op bijna 100 km van de kust af (30 km diep) Hierdoor is de maximale intensiteit aan land maar VIII = zware schade en gemiddeld tot zware schade aan resistente gebouwen zoals in Chili maar dit wel over een zeer uitgestrekt gebied Concepcion ligt net aan de rand van het gebied met intensiteit VIII op de overgang naar intensiteit VII

In tegenstelling hiermee loopt in Chili de breuk dwars door het vasteland en vlak langs de hoofdstad Hierdoor was ondanks de lagere magnitude de intensiteit hier 2 eenheden hoger nl X = violent of totale destructie zeker van niet aangepaste gebouwen zoals in Haiumlti De maximale intensiteit besloeg hier een beperkt gebied maar wel onder de hoofdstad

Wiskundigfysisch gezien is de energie en magnitude een goede maat voor seismologen en die staan in relatie tot de dimensies van het breukvlak maar voor bevolking en gebouwen telt eerder de intensiteit en het type gebouwen De investeringen van Chili in stevige gebouwen hebben zich nu terugbetaald en toch is de schade nog enorm 15 van BBP las ik vanmorgen

Bedankt voor de rechtzetting en fijne dag verder

Koen Verbeeck

From Michel Roelens [mailtoMichelRoelenslerkhlimbe] Sent Saturday February 27 2010 212 PM To koenverbeeckomabe Subject 18 keer sterker dan in Haiumlti

Geachte heer Verbeeck Op lsquoderedactiebersquo hoorde ik u uitleggen dat de aardbeving in Chili 18 keer sterker is dan in Haiumlti Volgens mij maakt u een rekenfout Als toename met 1 op de schaal van Richter ldquomaal 10rdquo betekent dan gaat een toename van 18 al in de richting van een toename van 2 wat twee keer na elkaar maal 10 betekent (maal 100 dus) Nauwkeuriger 10^18 = ongeveer 63 Dus eerder 63 keer sterker dan 18 keer sterker (Bovendien heb ik ergens gelezen dat het grondtal 10 verwijst naar de amplitude op een of andere seismograaf voor de energie die vrijkomt zou het grondtal 10^15 en (10^15)^18 = 10^27 is al ruim 500 Niet 18 maar 500 keer sterker dus Wat ik niet weet is of ldquovrijgekomen energierdquo een goede maat is om de ldquosterkterdquo van een aardbeving mee te meten Ik wou alleen maar de rekenfout signaleren) Vriendelijke groeten Michel Roelens wiskunde geiumlntegreerde lerarenopleiding secundair onderwijs Katholieke Hogeschool Limburg Diepenbeek Maria Boodschaplyceum Brussel tijdschrift UITWISKELING


BIJLAGE 2 INFORMATIE BIJ PEILING VERKIEZINGEN JUNI 2010 Technisch rapport kiesintentiemetingen

Dit rapport omvat een geheel van technische specificaties die moeten toelaten om de kwaliteit van de kiesintentie peiling in te

schatten en aldus de resultaten ervan op correcte wijze te interpreteren

Om redenen van praktische aard wordt dit rapport opgebouwd rond een aantal vragen en antwoordmogelijkheden De toelichting

staat cursief vermeld

1 WIE HEEFT DE PEILING UITGEVOERD

(De naam van het onderzoeksbureau dient te worden vermeld met aanduiding van de contactpersoon voor meer

informatie)

TNS Media

Contactpersoon Jan Drijvers (jandrijverstns-mediacom)

2 WIE IS (ZIJN) DE OPDRACHTGEVER(S) VAN DE PEILING

(De naam van de opdrachtgever(s) dient te worden vermeld met aanduiding van de contactpersoon voor meacuteeacuter

informatie)

Twee opdrachtgevers met name

VRT contactpersoon is Ivan De Vadder

De Standaard contactpersoon is Bart Sturtewagen

3 WELK TYPE VAN PEILING BETREFT HET

Betreft het hellip

Een peiling of een exit poll

Een onderzoek met voorspellend karakter of zonder voorspellend karakter

Een ad hoc moment opname (= een geiumlsoleerde meting) of een moment opname die deel uitmaakt van een reeks

(in dat geval dient te worden aangeduid over hoeveel metingen de reeks bestaat)

(Gelieve het type te omschrijven met 3 elementen uit voorgaande lijst)

Het betreft een peiling zonder voorspellend karakter golf 18

4 BIJ WELKE POPULATIE amp STEEKPROEF WERD DE PEILING UITGEVOERD

41 HOE KAN DE ONDERZOEKSPOPULATIE WORDEN OMSCHREVEN

(gelieve hierbij speciale aandacht te besteden aan de beperkingen dw aan de categorieeumln die niet ndash of

ondervertegenwoordigd zijn inbegrepen de geografische omschrijving)

Nederlandstalige stemgerechtigden woonachtig in Vlaanderen (exclusief Brussel) en bereikbaar via telefoon (vast toestel of

GSM)

42 OP WELKE WIJZE WERD DE STEEKPROEF GETROKKEN SAMENGESTELD

In het geval van een quota steekproef gelieve de quota te specificeren

In het geval van een face-to-face bevraging gelieve het aantal steekproefpunten + het aantal interviews per

steekproefpunt te vermelden (Er wordt aanbevolen om het aantal steekproefpunten te maximaliseren en het

aantal interviews per steekproef-punt te minimaliseren Er wordt aanbevolen om minder dan 20 interviews per

steekproefpunt te realiseren

In het geval van een toevalsteekproef gelieve de methode te omschrijven

1 Voor personen met een vast toestel (875)

Een random steekproef die wordt samengesteld in twee fasen

selectie van het gezin via random digit dialing (dus inclusief priveacute-nummers)

selectie van de respondent binnen het gezin = de laatst verjaarde persoon

(opmerking bij afwezigheid wordt geen vervanger voorzien om een vertekening naar gemakkelijk beschikbare doelgroepen te

vermijden)

2 Voor exclusieve GSM-bezitters (125)

Een toevalsteekproef uit het TNS-bestand van exclusieve GSM-bezitters

43 HOE GROOT IS DE STEEKPROEF

De grootte van de bruto contact steekproef Het betreft het aantal geselecteerde contactpersonen Indien niet

bekend gelieve aan te duiden dat de brutosteekproef onbekend is In het geval de brutosteekproefgrootte

onbekend is kan de antwoordbereidheid van de steekproef niet worden beoordeeld

De grootte van de netto steekproef Het betreft het aantal respondenten die de vragenlijst hebben beantwoord

en die weerhouden werden in de gepubliceerde resultaten


Het aantal weigeringen Het betreft het aantal gecontacteerde respondenten die gecontacteerd werden maar

geweigerd hebben om aan de peiling deel te nemen Indien de Bruto steekproef niet bekend is dan kan ook het

aantal weigeringen niet worden berekend

Bruto Voor deelname aan de omnibus waarin de politieke enquecircte werd opgenomen werden 5494 Vlamingen gecontacteerd

van 15 jaar en ouder

Hiervan vielen 4464 personen weg omdat ze niet bereikbaar waren door weigering tot deelname aan de omnibus of door het

feit dat ze buiten het universum van de studie vielen (niet-stemgerechtigden)

De netto-steekproef bedraagt uiteindelijk 1030 respondenten

44 OP WELKE SOCIO-DEMOGRAFISCHE CRITERIA WERD DE STEEKPROEF HERWOGEN

(gelieve een lijst van de socio-demografische kenmerken te geven)

geslacht leeftijd provincie onderwijsniveau beroep

5 OP WELKE WIJZE WERDEN DE ANTWOORDEN VERZAMELD

Door middel van lsquoself-completionrsquo vragenlijsten of door middel van een interviewer

Door middel van persoonlijke (face-to-face) interviews telefonische interviews of andere (specificeer)

(peilingen gerealiseerd door middel van SMS Internet televoting enzhellip worden momenteel afgeraden omwille

van een gebrek aan representativiteit voor het grote publiek de kiesgerechtigde p opulatie)

In het kader van een vragenlijst over verschillende onderwerpen (= omnibus) of van een vragenlijst exclusief

over dit onderwerp (zie ook vragenlijst)

(Gelieve te omschrijven met 3 elementen uit voorgaande lijst)

De antwoorden werden verzameld via random telefonische interviews (CATI) door een combinatie van ad-hoc- en omnibus-

enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST

(Gelieve een overzicht te geven van de themarsquos uit de vragenlijst die in aanmerking komen voor publicatie Voor

wat de vragen naar kiesintentie stemgedrag partijvoorkeur en populariteit betreft gelden bijkomende vereisten met

name

letterlijke weergave van de vraagformulering

wijze van ondervraging te kiezen uit

spontaan

geholpen door het 1 voor 1 voorlezen van de antwoordmogelijkheden ndash meerdere antwoorden mogelijk

geholpen door het voorlezen van alle antwoordmogelijkheden ndash 1 enkel antwoord mogelijk

geholpen aan de hand van een toonkaart

Voor de vraag naar lsquokiesintentie voor partijenrsquo en lsquopartijvoorkeurrsquo moet tevens de lijst van de

antwoordmogelijkheden integraal worden weergegeven)

Gebruikte informatiebronnen Kunt u me aangeven welke van volgende informatiebronnen een reeumlle rol hebben gespeeld of

nog spelen in het bepalen van uw stem voor deze verkiezingen geholpen door het eacuteeacuten voor eacuteeacuten voorlezen van de

antwoordmogelijkheden ndash meerdere antwoorden mogelijk

Potentieel politieke partijen ldquoVan welke van volgende politieke partijen of lijsten kan u zich voorstellen dat u er ooit voor zou

stemmen bij nationale verkiezingenrdquo geholpen door het 1 voor 1 voorlezen van de antwoordmogelijkheden ndash meerdere

antwoorden mogelijk Groen ndash CDampV-N-VA ndash SPA-Spirit ndash Vlaams Belang vroeger Vlaams Blok ndash Open VLD vroeger VLD-

Vivant ndash De lijst Dedecker de nieuwe partij van Jean-Marie Dedecker (ndash geen van deze ndash weet niet)

Partijvoorkeur ldquoIndien er vandaag verkiezingen zouden zijn voor de Kamer van Volksvertegenwoordigers welke partij of lijst

geniet dan uw voorkeurrdquo spontaanndash 1 antwoord mogelijk

Zekerheid kiesintentie Kunt u me zeggen welke van volgende uitspraken het beste op u van toepassing is geholpen door het

1 voor 1 voorlezen van de antwoordmogelijkheden ndash eacuteeacuten enkel antwoord mogelijk ik ben nog niet zeker op welke partij ik bij de

volgende verkiezingen ga stemmen ik heb nog helemaal geen voorkeur ndash ik ben nog niet zeker op welke partij ik bij de volgende

verkiezingen ga stemmen maar ik heb wel een lichte voorkeur voor een partij of politicus ndash ik ben al vrij zeker op welke partij ik

bij de volgende verkiezingen ga stemmen ik heb een redelijk uitgesproken voorkeur voor een partij of politicus (ndash weet niet)

Kiesgedrag 2004 ldquoVoor welke partij heeft u in juni 2004 gestemd bij de laatste verkiezing voor het Vlaams parlementrdquo

spontaan ndash 1 antwoord mogelijk

Tevredenheid beleid Hoe tevreden bent u over het beleid dat de laatste 4 jaar gevoerd werd door de zogenaamde paarse

Belgische regering een coalitie van liberalen en socialisten ndash Score tussen 0 (zeer ontevreden) en 10 (helemaal tevreden)

Nieuwe Eerste Minister Gesteld dat de keuze zich zou beperken tot de volgende drie Vlaamse politici wie van hen verkiest u

dan als eerste minister van de nieuwe Belgische regering geholpen door het voorlezen van alle antwoordmogelijkheden ndash eacuteeacuten

enkel antwoord mogelijk Guy Verhofstadt Yves Leterme Johan Vande Lanotte (geen van deze weet niet)

Regeling verkiezingen Wat geniet uw voorkeur Aparte verkiezingen voor het Vlaamse en het Belgische Parlement of

Gezamelijke verkiezingen voor het Vlaamse en voor het Belgische Parlement ndash 1 enkel antwoord mogelijk


Stelling belastingen In welke mate gaat u akkoord met volgende stelling Ik heb persoonlijk het effect van de

belastingverlaging reeds gemerkt ndash Vijfpuntenschaal akkoord-niet akkoord

7 OP WELKE WIJZE WERDEN DE RESULTATEN INZAKE KIESINTENTIE KIESGEDRAG PARTIJ- VOORKEUR EN

POPULARITEIT VAN DE POLITICI GEANALYSEERD

71 OP WELKE BASIS WERDEN DE PERCENTAGES VOOR DEZE VRAGEN BEREKEND GELIEVE DE BASIS TE OMSCHRIJVEN

EN BOVENDIEN TELKENS HET ABSOLUUT AANTAL RESPONDENTEN (N) AAN TE DUIDEN

Partijvoorkeur op de basissen allen (n=1030) uitgebrachte stemmen (n=975) geldige stemmen (n=948)

Vorig kiesgedrag op basis allen (n=1030)

Potentieel partijen op basis allen (n=1030)

Populariteit politici op basis allen (n=1030)

72 HOE GROOT IS HET BETROUWBAARHEIDSINTERVAL OP SIGNIFICANTIENIVEAU VAN 95

(Het betrouwbaarheidsinterval is afhankelijk van de geobserveerde waarde alsook van de grootte van de steekproe f

Het is onmogelijk om in dit rapport voor alle mogelijke percentages het betrouwbaarheidsinterval weer te geven

We beperken ons tot een aantal relevante richtlijnen Opgelet een betrouwbaarheidsinterval geeft in geen geval

een indicatie over de voorspellende waarde van het gemeten percentage Het duidt in essentie aan dat indien het

onderzoek 100 keer zou worden herhaald de geobserveerde waarde 95 keer binnen dit interval zou liggen Dit geldt

in principe onder de voorwaarde van een volledige toevalsst eekproef en normale distributie van de antwoorden)

Bij een steekproef van 1000 personen geldt een betrouwbaarheidsinterval van minimum 06 en maximum 31

74 WELKE AANPASSINGEN WERDEN OP DE RESULTATEN VAN DE VRAGEN NAAR DE KIESINTENTIES KIESGEDRAG

PARTIJVOORKEUR OP POPULARITEIT VAN POLITICI AANGEBRACHT MAAK UW KEUZE UIT VOLGENDE

MOGELIJKHEDEN ndash MEERDERE COMBINATIES MOGELIJK

niet gewogen

gewogen op basis van gedragsvariabelen (bvb vorig stemgedrag hellip)

gewogen op basis van attitudeopinievariabelen (bvb attitude tav vreemdelingen milieuproblematiek)

multifactorieumlle modellisatie

(Het is in bepaalde gevallen aangewezen om de resultaten aan te passen op basis van vroeger stemgedrag

of op variabelen die sterk correleren met het stemgedrag In het kader van een trendanalyse kunnen

resultaten ook worden aangepast op basis van tijdreeksen Elk instituut dient een summiere beschrijving te

geven van de bedoeling van deze aanpassingen Zo kunnen specifieke kennis en details van het gebruikte

algoritme beschermd worden tegen plagiaat

De resultaten naar het vorig stemgedrag werden herwogen naar de uitslag van de Vlaamse verkiezingen van juni 2004 voor de

onderzochte regio De resultaten op de andere vragen werden dus onrechtstreeks mee gewogen op basis van het vorig stemgedrag

8 WANNEER WERD DE PEILING UITGEVOERD

(In het geval de interviews sterk onregelmatig werden gespreid in de onderzoeksperiode is het aangewezen de ganse

onderzoeksperiode op te splitsen in homogene deelperiodes en voor elke deelperiode het aantal gerealiseerde

interviews te vermelden

Deze peiling werd uitgevoerd in de periode van 30 mei tot 6 juni 2007

9 TE PUBLICEREN TECHNISCHE FICHE

Deze opiniepeiling zonder voorspellend karakter naar de houding tav politieke partijen politici en themarsquos inclusief kiesintentie

op moment van ondervraging werd uitgevoerd in opdracht van VRTDe Standaard bij een toevalsteekproef van n=1005

Nederlandstalige stemgerechtigden woonachtig in Vlaanderen (inclusief Halle-Vilvoorde maar exclusief Brussel) en bereikbaar

via een vast toestel of GSM De respondenten werden telefonisch ondervraagd met behulp van CATI in de periode van 26 mei tem

3 juni 2009 Het volledige technische rapport werd gepubliceerd op wwwFebelmarbe

10 DATUM NAAM VAN DE VERANTWOORDELIJKE VAN DEZE PUBLICATIE VAN DEZE TECHNISCHE FICHE

8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters


OPDRACHT

Bekijk twee fragmenten uit het nieuws van eind februari vorig jaar Twee specialisten ter zake geven commentaar

op de aardbevingen in Chili (27 februari 2010) en Haiumlti (12 januari 2010) De fragmenten duren 2rsquo48 en 3rsquo30 Het

eerste fragment Verbeeck_energie_aardbevingen vind je op

httpwwwderedactiebecmvrtnieuwsmediatheekprogrammasjournaal29347293481726153

Het tweede fragment Sintubin_energie_aardbevingen is intussen helaas niet meer online beschikbaar

Denk even na over de uitspraken Welke fouten maken beide experten

OPLOSSING

In Haiumlti was de schok 70 op de schaal van Richter in Chili 88 In het VRT-nieuws legt een seismoloog de schaal van

Richter uit Elke toename met 1 op de schaal van Richter is maal 10 Dus van 70 naar 88 is maal 18 De aardbeving

in Chili is dus 18 keer sterker dan die in Haiumlti Een dag later komt een geoloog aan het woord op het VTM nieuws

ldquoElke stap in de Richterschaal betekent dat er 32 meer energie vrijkomt Dus een aardbeving van 8 daar komt 32 keer

meer energie vrij dan een van 7 een van 9 is bijna 1000 keer sterkerrdquo De journalist is bij de pinken en herhaalt ldquo88

is tegenover 7 is 32 32 keer krachtiger dan die van Haiumlti dus bijna 1000 keer meer energie die vrijkomtrdquo

Beiden maken een fout tegen wat we noemen de lineariteitsillusie

De schaal van Richter is een logaritmische schaal 7 op de schaal van Richter betekent in wezen 710 8 betekent

810

Een toename met 1 op de schaal van Richter betekent dus inderdaad in werkelijkheid lsquomaal 10rsquo De aardbeving in

Chili tekende echter 18 meer op de schaal van Richter wat een toename betekent met 6310 81 Ze was dus niet 18

keer krachtiger maar 63 keer Wat is bovendien een goede maat voor de lsquosterktersquo van een aardbeving Het grondtal 10

waar de schaal van Richter mee werkt is een getal dat verwijst naar een amplitude op een seismograaf Voor de

energie die vrijkomt zou het grondtal 5110 zijn Een stijging met 18 zou dan betekenen dat er 728151 1010 meer

energie vrijkomt Dit is ruim 500 De 32 waar de geoloog naar verwijst is een benadering voor 5110 het grondtal bij

de maat voor de energie die vrijkomt Hij maakt echter opnieuw een fout tegen de lineariteitsillusie een stijging met

18 betekent geen stijging met ongeveer 3232 maar een stijging met ongeveer 51216323232 80 toch wel ver

van 1000 verwijderd Maar wie zegt dat de vrijgekomen energie een goede maat is voor de sterkte van een

aardbeving


Leerlingen vinden het boeiend om fouten van nieuwslezers of lsquoexpertsrsquo te corrigeren Ze lsquovoelen zich slimrsquo als ze iets

beter begrepen hebben dan een expert op tv Wat ze op school leren kan van hen lsquokritische burgersrsquo maken die niet

alles hoeven te slikken wat op televisie wordt beweerd

Het kan nuttig zijn om vooraf de nodige kennis even op te frissen In het zesde jaar behoort bv de logaritmische

schaal ndash als ze al behandeld is in het vijfde ndash vaak niet meer tot de parate kennis

Voor dergelijke oefeningen is een netwerk van wiskundeleerkrachten handig Je kunt geschikte fragmenten aan

collegarsquos signaleren en er bv via e-mail in groep over van gedachten wisselen In het geval van de aardbeving

stuurden we ook een vriendelijke bericht naar de seismoloog (ldquoVolgens mij maakt u een rekenfoutrdquo) en kregen we

meteen een antwoord Dit mailverkeer met de lsquoexpertrsquo (zie bijlage 1) lieten we ook aan de leerlingen zien


OPDRACHT



OPLOSSING







verdubbeling

OPDRACHT










voorgeschoteld



















































12 YOUTUBE FILMPJES


voorstelling

Enkele voorbeelden














Circle theorem











order to help you



already there


Warm regards

The Midnight Tutor


















Wat nu




succes getest



































































31 WELKE FILMPJES




























omzeilen




komen vragen van




zoals het moet
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters


OPDRACHT



OPLOSSING







verdubbeling

OPDRACHT










voorgeschoteld



















































12 YOUTUBE FILMPJES


voorstelling

Enkele voorbeelden














Circle theorem











order to help you



already there


Warm regards

The Midnight Tutor


















Wat nu




succes getest



































































31 WELKE FILMPJES




























omzeilen




komen vragen van




zoals het moet
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters
































12 YOUTUBE FILMPJES


voorstelling

Enkele voorbeelden














Circle theorem











order to help you



already there


Warm regards

The Midnight Tutor


















Wat nu




succes getest



































































31 WELKE FILMPJES




























omzeilen




komen vragen van




zoals het moet
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters










order to help you



already there


Warm regards

The Midnight Tutor


















Wat nu




succes getest



































































31 WELKE FILMPJES




























omzeilen




komen vragen van




zoals het moet
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters































































31 WELKE FILMPJES




























omzeilen




komen vragen van




zoals het moet
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters


















omzeilen




komen vragen van




zoals het moet
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters
















SITUERING






















afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters








afkoelingswet dat

)(d

domgTTk

t

T



)()(d

domgomg TTkTT

t


ktbeTT omg

of nog

ktbeTT omg



kteTTTT )( omgomg

SCENARIO







Wetsdokter 323 degC


Wetsdokter 12 degC















kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters








kon bepalen

OPLOSSING








)17(

)15(

2512730

2512332hk

hk

e

e


25

718ln)17(

25

320ln)15(

hk

hk




formule is

T = 12 + (323 12) ekt


kt

k

e

e

3201237

32012730 2


320

25ln

320

718ln2

kt

k




























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters
























betere modellen


SITUERING


een aanbrengfilmpje




cos

2

dan zijn de andere







muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters



muzikaal experiment


twee stemvorken





bord en krijt




SCENARIO



+ sin

4


















amplitude










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters










|MM| = sinsin2

1


|MM| = |OM| sin 2


|OM| = cos 2

Invullen geeft

|MM| = sin 2

cos

2


sin + sin = 2 sin2

cos

2
















































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters











































te schatten






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters






LESIDEE







modelleren


















waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters




waterpeil






schets
























de verwerking

HET EXPERIMENT







actief materiaal

0 hellip














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters














de data








vakantiehellip

36 MONTEREN






en werkten





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters





IMPORTEREN







BEWERKEN



















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters
















OPSLAAN





4 TOT SLOT













Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters









Koen Verbeeck











informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters









informatie)

TNS Media




informatie)





Betreft het hellip












GSM)













vermijden)






























enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters






















enquecirctes

6 DE VRAGENLIJST



name



spontaan



















































niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters























niet gewogen























8 juni 2007

TNS Media

Saskia Peeters

filmpjes in een wiskundeles

Documents

Transcript of filmpjes in een wiskundeles