⁄178© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

Blok 6B - Vaardigheden

Extra oefening - Basis

B-1a Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. b A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de

vierhoek geen rechthoek. Denk bijvoorbeeld aan een vlieger waarbij de diagonalen even lang zijn.

B: Bij een ruit delen de diagonalen ook elkaar middendoor, en een ruit is geen rechthoek.

D: Bij een parallellogram zijn de tegenover elkaar liggende zijden ook even lang, maar een parallellogram is geen rechthoek.

B-2a Noem het snijpunt van de diagonalen M. Omdat de driehoeken gelijkzijdig zijn geldt AM = BM = AB en MB = CM = BC enzovoorts. Omdat de zeshoek regelmatig is geldt ook AB = BC = CD enzovoorts. Dus geldt MA = MB = MC = MD = ME = MF. De zes hoekpunten liggen op gelijke afstanden van M dus op een cirkel met straal AM.

b ∠MAF = 60° (want AMF is gelijkzijdig). ∠CAM = 30° (want ∠BAM = 60° en lijn AC is een diagonaal in de ruit ABCM en deelt daarom de hoek BAM middendoor). Dus ∠CAF = 90°. Zo zijn ook de hoeken ∠AFD, ∠FDC en ∠DCA gelijk aan 90°. Dus is vierhoek ACDF een rechthoek.

B-3a ∠BCD = 180° – γ en α + β+ γ = 180° oftewel α + β = 180° – γ, dus ∠BCD = α + β ∠ = ∠ = +C C1 2

12 ( )α β

b Als de getekende deellijn evenwijdig is aan AB, dan is ∠C1 = ∠A en ∠C2 = ∠B. Omdat echter ook geldt ∠C1 = ∠C2, is ∠A = ∠B oftewel α β= .

B-4a ∠B = 180° – 20° – 70° = 90°, dus er gaat een cirkel met middellijn AC door de punten A, B en C (Stelling van Thales). ∠D = 180° – 50° – 40° = 90°, dus de cirkel met middellijn AC gaat ook door de punten A, D en C. Er gaat dus een cirkel door alle vier de punten.

b De straal van die cirkel is de helft van middellijn AC en dat is 3 cm.

B-5a Boog AF = 512 deel van de cirkel dus ∠ = × = °AMF 5

12 360 150 . b Driehoek AMF is gelijkbenig, dus ∠ = − = °MAF 1

2 180 150 15( ) . c Boog FJ = 4

12 deel, ∠ = × = °FMJ 412 360 120

FMJ is gelijkbenig, ∠ = − = °MFJ 12 180 120 30( ) .

Boog AJ = 312 deel; ∠ = × = °AMJ 3

12 360 90 . AMJ is gelijkbenig, ∠ = − = °MAJ 1

2 180 90 45( ) .

B-6a 4 67

⋅ − =x

−247x

d 2

95

2

pp−

⋅ = 109

1092

pp p−

=−

b 25

37

⋅ = 635

e 27

6152x

x⋅ = 12105

4352

xx x

=

c 34

25

y y⋅ − = − = −6

20310

2 2y y f 5

26

2aa⋅ = 30

215

2a

a a=

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 178 01-04-2009 16:42:01

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄179© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

B-7a f x x( ) =−5

2 of f x x( ) = − 5

2 of f x x( ) = −2 1

2 als x ≠ 0

b g pp p

p( )

( )( )= − −−

1 31

of g p p( ) = − 3 als p ≠ 1

c k x xx x

( )( )

=−

78 4

2

of k x xx

( ) =−7

8 4 als x ≠ 0

B-8a f xx

( ) = ++

1 24

schrijf je als f x xx x

( ) = ++

++

44

24

dus als f x xx

( ) = ++

64

b g xx

( ) = +−

5 72 1

schrijf je als g xx

x x( )

( )= −−

+−

5 2 12 1

72 1

ofwel

g x xx

( ) = − +−

10 5 72 1

dus als g x xx

( ) = +−

10 22 1

c h xx

( ) = − ++

2 37 4

schrijf je als h xx

x x( )

( )= − ++

++

2 7 47 4

37 4

ofwel

h x xx

( ) = − − ++

14 8 37 4

dus als h x xx

( ) = − −+

14 57 4

B-9a De grafiek heeft een verticale asymptoot als x + =1

2 0 dus de vergelijking van de verticale asymptoot is x = − 1

2 .

b f ( )1000 31000

212

= −+

− ≈ –2,003

c De uitkomst van de breuk −+3

12x

is nooit gelijk aan 0, dus de functiewaarde van f is nooit gelijk aan –2.

d/e

2 4 51–1 3

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

x

y

O

8

10

–2–3–4–5

B-10a De lijn y = 2 is de horizontale asymptoot van de grafiek van f.

b 2 101

8+−

=x

101

6x −

=

10 = 6(x – 1) 10 = 6x – 6 16 = 6x x = =2 24

623

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 179 01-04-2009 16:42:05

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄180© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

c 2 101

2 1+−

= −x

x

101

2 3x

x−

= −

10 2 3 1= − −( )( )x x

10 2 5 32= − +x x

2 5 7 02x x− − =

D = − − × × − =( )5 4 2 7 812

x = +⋅

=5 812 2

3 12 of x = −

⋅= −5 81

2 21

Invullen geeft f ( )3 2 2 612

103 1

1021

212

= + = + =−

en g( )3 2 3 1 612

12= × − = of

f ( )− = + = + = −− − −1 2 2 3101 1

102 en g( )− = × − − = −1 2 1 1 3 .

De coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g zijn ( , )3 612 en (–1, –3).

Extra oefening - Gemengd

G-1a In figuur 1 is ∠M = 360° : 5 = 72°. In figuur 2 is ∠M = 360° : 6 = 60°. In figuur 3 is ∠M = 360° : 7 ≈ 51,4°.

b De hoek bij punt A is telkens de helft van de hoek bij punt M, dus in figuur 1 is ∠A = 36°, in figuur 2 is ∠A = 30° en in figuur 3 is ∠A ≈ 25,7°.

G-2a/b Zie de tekening hiernaast. c Omdat ACE gelijkbenig is, zijn de hoeken

∠ACD en ∠AED gelijk. Verder is ∠ACD = 1

2 × ∠C. d ∠AED = ∠DCB en ∠ADE = ∠BDC

Dan is ook ∠DAE = ∠DBC (de derde hoek in een driehoek). Omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, zijn de twee driehoeken gelijkvormig.

e ADE AD AE DE

BDC BD BC DC

ADBD

AEBC

= , en omdat AE = AC is dus ADBD

ACBC

=

G-3a ∠KMQ = 2 × 30° = 60° b ∠LMQ = 2 × 40° = 80° c ∠KML = 2 × ∠KPL

d ∠KML = 2 2α β+

G-4a m qq q

q( )

( )= −2

2

15

dus m qq

( ) = − 15

ofwel m q q( ) ( )= −15 1 als q ≠ 0

b d x x( ) ( )= +12 6 4 ofwel d x x( ) = +3 2

c t vv v v

v v( )

( )= − +− +

2 2

2

5 45 4

ofwel t v v( ) = 2 als v2 – 5v + 4 ≠ 0 , dus als (v – 1)(v – 4) ≠ 0 ,

dus als v ≠ 1 en v ≠ 4

d p x xx x

( )( )

= −−

181

2

2 dus p x

x( ) = −

−18

1 als x2 0≠ dus als x ≠ 0

A D B

C

E

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 180 01-04-2009 16:42:10

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄181© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

G-5a − = +2 4 12xx

d 20 1 7 5x

x+ = +

− − =2 4 12xx

20 7 4x

x= +

x x( )− − =2 4 12 20 7 4= +x x( )

− − − =2 4 12 02x x 7 4 20 02x x+ − =

D D= − − ⋅ − ⋅ − = − <( ) ;4 4 2 12 80 02

D = − ⋅ ⋅ − =4 4 7 20 5762

geen oplossingen x = − −4 57614

of x = − +4 57614

b 1 1 1x

x− = − + x = –2 of x = 1 37

1 2x

x= − + e 111

11x

x+

= +

1 2= − +x x( ) 11 1 11= + +( )( )x x

x x2 2 1 0− + = x x2 12 0+ =

( )( )x x− − =1 1 0 x x( )+ =12 0

x − =1 0 x x= + =0 12 0of

x = 1 x x= = −0 12of

c −+

+ =32 4

5 12x

x f 7 2 7 2x

x+ = +

−+

= −32 4

512x

x 7 7x

x=

− = + −3 2 4 512( )( )x x 7 7 2= x

− = − + −3 10 2 202x x x x2 1=

x x2 8 17 0− − = x x= − =1 1of

D = − − ⋅ ⋅ − =( )8 4 1 17 1322

x = −8 1322

of x = +8 1322

x ≈ −1 74, of x ≈ 9 74,

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 181 01-04-2009 16:42:15

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄182© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

G-6a g xx

( ) =− +

−72 3

2

g xx

xx

( )( )=

− +− − +

− +7

2 32 2 3

2 3

g xx

x( )

( )= − − +− +

7 2 2 32 3

g x xx

( ) = + −− +

7 4 62 3

g x xx

( ) = +− +4 12 3

dus f en g zijn hetzelfde.

b De grafiek heeft een horizontale asymptoot als –2x + 3 = 0. De vergelijking van de asymptoot is x = 1 1

2 .

c 4 12 3

0xx+

− += als 4x + 1 = 0

4x = –1

x = − 14

Het snijpunt met de x-as is ( − 14 , 0).

G-7a De oppervlakte van het zwembad is lengte keer breedte. De breedte is x en de lengte is y.

b De breedte van het terras plus zwembad is x + 10 De lengte van het terras plus zwembad is y + 20. De formule voor de oppervlakte A wordt dus A x y= + +( )( )10 20 .

c A x y x y= ⋅ + + +20 10 200

x y yx

⋅ = =1800 1800; invullen geeft A xx

xx

= ⋅ + + ⋅ +1800 20 10 1800 200

A xx

= + + +1800 2018 000

200 herleid je tot A xx

= + +20 18000 2000

d x 10 15 20 25 30 35 40

A 4000 3500 3300 3220 3200 3214 3250

e

1000

2000

3000

4000

5000

6000

5 0 0

10 20 25 30 35 40 15

oppe

rvla

kte

x

f Bij x = 30 is de oppervlakte het kleinst. Het zwembad is dan 30 meter breed en 1800 : 30 = 60 meter lang.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 182 01-04-2009 16:42:18

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄183© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

Complexe opdrachten

C-1 AD = BD dus ∠DAB = ∠ABD ∠ADB = 180° – ∠DAB – ∠ABD = 180° – 2 × ∠B ∠ADC = 180° – (180° – 2 × ∠B) = 2 × ∠B AC = AD dus ∠ACD = ∠ADC = 2 × ∠B AB = BC dus ∠BAC = ∠ACD = 2 × ∠B dus ∠ADC = ∠BAC

Voor de hoeken van driehoek ABC samen geldt ∠A + ∠B + ∠C = 2 × ∠B + ∠B + 2× ∠B = 5 × ∠B 5 × ∠B = 180°, dus ∠B = 36°

C-2 aantal stukjes s 2 3 4 5

aantal driehoekjes d 6 8 10 12

aantal vierhoekjes v 3 8 15 24

Voor het aantal driehoekjes d in de figuur met s stukjes geldt de formule d = 2s + 2. De vier lijnen bij s = 2 zorgen voor 1 vierhoekje middenin de figuur dat niet tegen de rand van de rechthoek ligt. Bij s = 3 zijn dat er 4, bij s = 4 zijn er dat er 9, bij s = 5 zijn dat er 16, enzovoort. In de figuur met s stukjes liggen er ( )s − 1 2 vierhoekjes niet tegen de rand van de rechthoek. Tegen de linker zijkant van de liggen s – 1 vierhoekjes. Hetzelfde geldt voor de rechter zijkant. Samen zijn dat 2 1( )s − vierhoekjes die tegen de rand van de rechthoek liggen. Formule: v s s= − + −( ) ( )1 2 12 v s s s= − + + −2 2 1 2 2 ; v s= −2 1 t = d + v; d = 2s + 2 t = 2s + 2 + s2 – 1 t = s2 + 2s + 1

C-3 ∠AMB = α, dus ∠ =ACB 12 α

Omdat AC = BC is de figuur symmetrisch en geldt ∠ = ∠ = ∠ = × =ACM BCM ACB1

212

12

14α α.

C-4 75 7510

1 5v v

++

= ,

75 7510

1 5++

=vv

v,

75 10 75 1 5 10( ) , ( )v v v v+ + = +

75 750 75 1 5 152v v v v+ + = +,

− + + =1 5 135 750 02, v v

v v2 90 500 0− − =

D = − − ⋅ ⋅ − =( )90 4 1 500 101002

v v=+

≈ =−

≈ −90 10100

295

90 101002

5 25of ,

Dus ongeveer 95 km/uur.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 183 01-04-2009 16:42:20

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄184© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

C-5 Stel BC x=

4 44x

x= +

4 4 44

4xx

x x⋅ = + ⋅

16 4 2= +x x

x x2 4 16 0+ − =

D = − ⋅ ⋅ − =4 4 1 16 802

x x= − + ≈ = − − ≈ −4 802

2 47 4 802

6 47, ,of

BC ≈ 2,47

C-6 2 6 23

2x xx

x− +−

=

2 6 2 32x x x x− + = −( )

2 6 2 32 2x x x x− + = − x x2 3 2 0− + =

( )( )x x− − =1 2 0 x – 1 = 0 of x – 2 = 0 x = 1 of x = 2 y = g(1) = 1 en y = g(2) = 2 De snijpunten zijn (1, 1) en (2, 2). 2 6 2

32

2x xx

x− +−

=

2 6 2 2 32x x x x− + = −( )

2 6 2 2 62 2x x x x− + = − 2 0= geen oplossingen De grafieken van f en h hebben geen snijpunten.

C-7 Bij een windsnelheid van v km per uur is de benodigde tijd gelijk aan

550300

550300−

++v v

uur.

550300

550300

4−

++

=v v

Eerst vermenigvuldigen met 300 – v en dan met 300 + v geeft de volgende vergelijking. 550 300 550 300 4 300 300( ) ( ) ( )( )+ + − = + −v v v v 165 000 550 165 000 550 4 90 000 2+ + − = −v v v( ) 330 000 = 360 000 – 4v2 4v2 = 30 000 v2= 7500 v ≈ 86,6 Bij windsnelheden van maximaal 86,6 km per uur is een veilige tocht mogelijk.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 184 01-04-2009 16:42:23

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄185© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

Technische vaardigheden

T-1a − − =16 8 10s d 2(w + 1) = 9

− =16 18s w + 1 = 4 1

2

s = –108 w = 3 12

b 8p + 10 = 3p + 3 e 7x + 19 = 2x – 33

5p + 10 = 3 5x + 19 = –33

5p = –7 5x = –52

p = − = −75

251 x = − = −52

52510

c –8r = –7r – 6 f 2,7v + 85 = 0,3v – 20

–r = –6 2,4v + 85 = –20

r = 6 2,4v = –105

v = –43,75

T-2a sin ,47 4 2° =KM

dus KM =°

≈4 247

5 7,sin

,

b tan ∠ = =T 418

29

dus ∠T = tan–1( 29 ) ≈ 13°

c M is het midden van DE. Trek lijnstuk FM.

cos 68 5° =DF

dus DF EF= =°

≈568

13 3cos

,

d tan 43° = PQ7

dus PQ = ⋅ ° ≈7 43 6 53tan ,

∠PTR = 43° + 15° = 58°

tan 58° = PR7

dus PR = ⋅ ° ≈7 58 11 20tan ,

QR ≈ 11,20 – 6,53 ≈ 4,7

T-3a 100% + 7% = 107% e 100% + 0,3% = 100,3% groeifactor = 107 : 100 = 1,07 groeifactor = 100,3 : 100 = 1,003

b 100% + 0,013% = 100,013% f 100% – 0,22% = 99,78% groeifactor = 100,013 : 100 = 1,00013 groeifactor = 99,78 : 100 = 0,9978

c 100% – 31% = 69% g 100% – 75% = 25% groeifactor = 69 : 100 = 0,69 groeifactor = 25 : 100 = 0,25

d 100% + 150% = 250% h 100% – 90,5% = 9,5% groeifactor = 250 : 100 = 2,5 groeifactor = 9,5 : 100 = 0,095

T-4a x + ≥4 0 dus domein is x ≥ −4 b 36 02− ≥x ofwel x2 ≤ 36 dus domein is − ≤ ≤6 6x c x ≠ 3 dus domein is x < 3 en x > 3 d x ≠ 0 dus domein is x < 0 en x > 0 e 5 2 0− ≥x dus domein is x ≤ 2 1

2

f x2 + 1 > 0 voor elke waarde van x, dus het domein is alle getallen

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 185 01-04-2009 16:42:27

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄186© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

T-5a x2 + 2x = 2x + 9 x2 = 9 x = –3 of x = 3 y = g(–3) = 3 en y = g(3) = 15 De snijpunten zijn (–3, 3) en (3, 15).

b x2 – 7x + 10 = x – 2 x2 – 8x + 12 = 0 (x – 6)(x – 2) = 0 x – 6 = 0 of x – 2 = 0 x = 6 of x = 2 y = g(6) = 4 en y = g(2) = 0 De snijpunten zijn (6, 4) en (2, 0).

T-6a f p( ) ( )− = ⋅ − − ⋅ − + =3 3 4 3 1012

2 dus 4 12 101

2 + + =p p = −6 1

2

b 12

2 4 0x x p− + = D p= − − ⋅ ⋅( )4 42 1

2 D = 0 geeft 16 2 0− =p –2p = –16 dus p = 8

T-7a 5 : 200 × 100% = 2,5% e 135 : 1000 × 100% = 13,5% b 13 : 78 × 100% = 16 2

3 % f 7,48 : 187 × 100% = 4% c 120 : 2500 × 100% = 4,8% g 137,75 : 145 × 100% = 95% d 0,1 : 5 × 100% = 2% h 1 : 400 × 100% = 0,25%

T-8a 0 5, e 0 200, ] b [–4, → f 5 7,

c [–9, 0 g [ 0 01 0 4, ; , ]

d ← , 2 ] h − →3,

T-9a 2x2 – 2x = 1 – 2x(x – 3 12 ) d 3000w2 – 6000w + 9001 = 1

2 2 1 2 72 2x x x x− = − + 3000w2 – 6000w + 9000 = 0 4 9 1 02x x− − = w w2 2 3 0− + = D = − − ⋅ ⋅ − =( )9 4 4 1 972 D = − − ⋅ ⋅ = −( )2 4 1 3 82

x = +9 978

of x = −9 978

geen oplossingen

x ≈ 2 36, of x ≈ –0,11 e 13

2 9 0v + =

b d 2 – 5d – 2d 3 = 0 13

2 9v = − d d d( )− + − =2 5 02 v2 27= − d = 0 of − + − =2 5 02d d geen oplossingen D = − ⋅ − ⋅ − = −1 4 2 5 392 d = 0 is de enige oplossing.

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 186 01-04-2009 16:42:32

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄187© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

c (p + 3)(p + 4) = (p + 5)(1 – p) f (3n – 1)(n + 2) = 3n2 – (2n + 2) p p p p2 27 12 4 5+ + = − − + 3 5 2 3 2 22 2n n n n+ − = − − 2 11 7 02p p+ + = 7 0n = D = − ⋅ ⋅ =11 4 2 7 652 n = 0

p = − +11 654

of p = − −11 654

p ≈ −0 73, of p ≈ −4 77,

T-10a x + =15

2 c 2 610

12

35

x + =

x + = × =1 5 2 10 2x2 + 6 = 10 1 1635× =

x + 1 = 102 = 100 2x2 = 10

x = 99 x2 = 5

x = − 5 of x = 5

b 2 110

1 12

x + = d 302

3x +

=

2x + 1 = 10 1 12× = 15 x + =2 10

2x = 14 x = 8 x = 7 x = 64

T-11a y x x= − +3 123

b p a a= −48 563 4

c h t t t= + −4 3 28 3 d m r r r r= − + +10 20 30 542 2

m r r= +64 102

e w = d(15d2 + 24d – 5d – 8) w d d d d= + − −15 24 5 83 2 2 w d d d= + −15 19 83 2

f b x x x= − + −6 24 12 485 3 2

T-12a I G h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ≈13

13

210 12 400( 1256,64π π) b T ’ is het punt op middellijn AB, recht onder T.

tan ' ''

∠ = =BTT BTTT

1012

∠BTT’ = tan–1( 1012 ) dus ∠ ≈ °BTT ' ,39 8

∠ = × ∠ ≈ °BTA BTT2 79 6' ,

∠BTA ≈ 80°

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 187 01-04-2009 16:42:36

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄188© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

Door elkaar

D-1a x x x2 23 8 1+ + = + 3 7x = − dus x = −2 1

3

b x x p x2 23 8 1+ + = ⋅ + x p x x2 2 3 7 0− ⋅ + + = ( )1 3 7 02− + + =p x x D p= − ⋅ − ⋅3 4 1 72 ( ) D < 0 geeft 9 4 1 7 0− ⋅ − ⋅ <( )p 9 28 28 0− + <p 28 19p < dus p < 19

28

D-2a De oppervlakte is gelijk aan 12 0 75 1 5 2 1 5 3 56× × + × ≈, , , , m2.

b Splits de tent in een piramide T.BCD en een prisma TBD.UAE.

De inhoud is gelijk aan: 13 1 5 0 75 2 1 5 1 5 1 5 2 2 2 53× × × + × × ≈( , , : ) , ( , , : ) , m3.

c zijde kwadraat

BT’ = 0,75

TT’ = 1,5

TB = …

0,5625

2,25 +

2,8125

TB TC= = ≈2 8125 1 68, , m d

zijde kwadraat

CT’ = 0,75

BT’ = 0,75

BC = …

0,5625

0,5625 +

1,125

BC = ≈1 125 1 06, , m. Neem M op het midden van BC, dan is

zijde kwadraat

BM = 0,53

TM = …

BT = 2 8125,

0,2809

2,5316 +

2,8125

TM = 2 5316 1 59, ,≈ m De oppervlakte van driehoek BCT is 1 06 1 59 2 0 84, , : ,× ≈ m2.

e zijde kwadraat

UA = 2 8125,

AP = 2

UP = …

2,8125

4 +

6,8125

UP = ≈6 8125 2 61, , m

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 188 01-04-2009 16:42:39

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄189© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

D-3a x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

f (x) 18 12 12 8 4 1

2 2 12 0 1

2 2 4 12 8

g (x) – 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

2 91 3 4 5 6 7 8

–2

–1–2–3–4 Ox

y

1

–1

2

3

4

5

6

7

f

g

b x + 2 ≥ 0, dus domein van g is x ≥ −2 .

c h x x( ) ( )= ⋅ − −4 3 512

2

h x x( ) ( )= − −2 3 52

k x x( ) = + −4 2 5

d m x x( ) ( ( ) )= − − ⋅12

23 5 4

m x x( ) ( )= − −2 3 202

n x x( ) ( )= + − ⋅2 5 4

n x x( ) = + −4 2 20

D-4a Teken vanuit punt C een lijn loodrecht op AB. Het snijpunt van deze lijn en AB noem je P.

Dan geldt tan 72 4 = =CPBP BP

BP = ≈472

1 3tan

,

CD AP AB BP= = − = − =7 1 3 5 7, ,

b De oppervlakte is 5 7 4 1 3 4 25 412, , ,⋅ + ⋅ ⋅ = .

D-5a De omtrek van de grondcirkel is de helft van de omtrek van een cirkel met straal 14. De omtrek van de grondcirkel is 1

2 2 14 7 2⋅ ⋅ = ⋅π π De straal van de grondcirkel is dus 7.

b Noem de hoogte TT ’.zijde kwadraat

7

TT’ = …

14

49

147 +

196

De hoogte is TT ’ = 147 12 12≈ , cm c De inhoud is 1

327 12 12 621 91⋅ ⋅ ⋅ ≈( , ,π) cm3

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 189 01-04-2009 16:42:42

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄190© Noordhoff Uitgevers bv

Blok 6B - Vaardigheden

d De straal van de grondcirkel is 5 keer zo groot. De inhoud is dus 53 keer zo groot. De inhoud is 5 621 91 77 7393 × ≈, cm3.

D-6a Zie de grafieken hiernaast. b Voor x = 2 1

2 geldt f p( )2 0 012 = ⋅ =

Elke grafiek gaat door ( , )2 012 .

c p x x( )− = −2 212

12

2 px p x− = −2 21

212

2 12

2 122 2 0x px p+ − − =

D p p= − ⋅ ⋅ − −2 12

124 2 2( )

D p p= + +2 5 4 d De grafieken raken elkaar als D = 0 .

p p2 5 4 0+ + = ( )( )p p+ + =4 1 0 p + 4 = 0 of p + 1 = 0 p = –4 of p = –1

D-7 Als n > 1 dan geldt n n2 21 1+ > − en n n2 1 2+ > De langste zijde is dus AC, hoek B is de rechte hoek. Als de driehoek rechthoekig is moet gelden AC AB BC2 2 2= + ( ) ( ) ( )n n n2 2 2 2 21 1 2+ = − + ( )n n n2 2 4 21 2 1+ = + + ( )n n n2 2 4 21 2 1− = − + ( )2 42 2n n= n n n n n4 2 4 2 22 1 2 1 4+ + = − + + Dit klopt, de driehoek is rechthoekig.

D-8 zijde kwadraat

PQ = 16

QR = 8

PR = …

256

64 +

320

PR = 320

P T

V R

M

In de ruit PTRV staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor. De driehoeken PMT en PQR zijn gelijkvormig, want ze hebben dezelfde hoek bij punt P en een hoek van 90°. Hieruit volgt

PMPT

PQPR

= dus 12 320 16

320PT=

12 320 320 16

160 16

⋅ ⋅ = ⋅=

PT

PT

PT = 10 , de zijden van de ruit zijn dus 10 cm lang.

2 1 3 4 5 6 7

–5

–1 –2 O x

y

1

–1

–2

–3

–4

2

3

4

5

p = –1 p = 1

p = 2

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 190 01-04-2009 16:42:46

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv