ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIA  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

ÁLGEBRA  LINEAL  ●  MATG1003    

METODOLOGÍA  DE  APRENDIZAJE  ACTIVO  

TRABAJO  AUTÓNOMO  11    

TÉRMINO  I  2017  –  2018  

Cura y edición: Isaac Mancero Mosquera, 2017. 1

Fecha:     Paralelo:    

Matrícula:   1   9   9   6   0   4   4   6   3    

Lista:    

Nombres:     Apellidos:    

0.- Daniel decide comprar tres regalos, para Nathalia, Denisse y Dayanna. Daniel pagó en total 110 euros por los tres regalos tras haber obtenido un descuento del 10% sobre el precio total. Además, el precio del regalo de Dayanna es el doble que el del regalo de Nathalia; y el regalo de Dayanna es 20 euros más caro que el regalo de Denisse. ¿Cuánto era el precio de cada regalo antes de descuento obtenido?

PRODUCTO INTERNO

OBJETIVOS: Tareas básicas que un alumno debe dominar: • Determinar si una función dada es un producto interno o no • Conocer la definición de norma de un vector y sus propiedades, saber calcularla. Calcular

la distancia entre dos vectores. Calcular vectores unitarios. • Conocer la definición de ángulo entre dos vectores, saber calcularlo. Conocer cuándo el

ángulo es 90° o π/2, es decir, cuando hay ortogonalidad o perpendicularidad. • Reconocer la diferencia entre proyección escalar y proyección vectorial, y saber calcularlas. • Hallar el complemento ortogonal de un subespacio, y conocer sus propiedades. • Conocer la proyección ortogonal (“vector sobre subespacio”) y saber calcularla. • Conocer y aplicar el Teorema de la Aproximación de la Norma. • Dominar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Si alguna de estas tareas se le dificulta, por favor recurra al profesor, técnico o ayudante más cercano.

PRODUCTO INTERNO

1.- Sea el espacio vectorial 2P , y sea la función 2 2:f P P R× → tal que 2,p q P∀ ∈

( , ) , (1) (1) ( 1) ( 1)f p q p q p q p q= = + − − a) Explique por qué f no cumple los requerimientos necesarios para ser considerado un

producto interno en 2P . b) Explique por qué, si modificamos f con la siguiente regla de correspondencia:

2,p q P∀ ∈ ( , ) , (1) (1) ( 1) ( 1) (0) (0)f p q p q p q p q p q= = + − − +

entonces sí puede ser considerado un producto interno en 2P . c) Determine si la siguiente función f es producto interno, 2 2: Rf P P× → , tal que:

[ ]1

1 2 1 20

( ( ), p ( )) ( ) ( )f p x x p x p x dx= +∫

ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIA  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

ÁLGEBRA  LINEAL  ●  MATG1003    

METODOLOGÍA  DE  APRENDIZAJE  ACTIVO  

TRABAJO  AUTÓNOMO  11    

TÉRMINO  I  2017  –  2018  

Cura y edición: Isaac Mancero Mosquera, 2017. 2

2.- Muestre que el producto interno estándar en R4 puede expresarse como una multiplicación matricial: ∀v1,v2 ∈R

4 v1,v2 = (v1)T v2 .

Donde los vectores v se representan como matrices columnas 4x1. ¿Se cumple la misma identidad para Rn?

NORMA Y DISTANCIA

3.- Calcule la norma de los siguientes polinomios de P2: p(x) = 2 − x + 2x2 y q(x) = 1− 3x2 . a) Usando el producto interno convencional de P2 b) Usando el producto interno dado en el literal b) del problema 1.

4.- Sea el espacio vectorial funcional [ , ]V C π π−= , donde se ha definido el producto interno:

( ), ( ) ( ) ( )f x g x f x g x dxπ

π−

= ∫ . Calcule la norma de los siguientes vectores (funciones):

función : • f (x) = Cos(x) • f (x) = Cos(2x) • f (x) = Sen(3x) • f (x) = 1 • f (x) = Sen(x)norma :

SUGERENCIA: Con excepción de f(x)=1, se puede resolver para una función general Cos(nx), o Sen(mx), donde n y m son números enteros.

5.- Califique como verdadero o falso el siguiente enunciado. Si es verdadero, demuéstrelo; si es falso dé un contraejemplo: «Sea V un espacio euclidiano, y sea v un vector de V. Si v es unitario con el producto interno estándar de V, entonces v es unitario con cualquier otro producto interno en V»

6.- ¿Cómo convertiría los vectores dados en el problema 4 en vectores unitarios? vector : • f (x) = Cos(x) • f (x) = Cos(2x) • f (x) = Sen(3x) • f (x) = 1 • f (x) = Sen(x)

vector unitario :

7.- Usando el producto interno convencional: a) En el espacio M2X4, calcule la distancia entre las matrices A y B, donde

A = 1 2 3 −40 −2 1 −2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y B = 1 0 −1 32 2 0 −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b) En el espacio P2, calcule la distancia entre los polinomios p y q, donde: p(x) = 2 − x + 2x2 y q(x) = 1− 3x2 .

ÁNGULO Y ORTOGONALIDAD

8.- Usando el producto interno convencional: a) En el espacio M2X4, calcule el ángulo entre las dos matrices dadas en el problema 7-a. b) En el espacio P2, calcule el ángulo entre los dos polinomios dados en el problema 7-b.

9.- Sean el espacio vectorial funcional [ , ]V C π π−= , donde se ha definido el producto interno:

( ), ( ) ( ) ( )f x g x f x g x dxπ

π−

= ∫ ,

a) Muestre que los conjuntos { }1, ( ), (2 )H Cos x Cos x= y { }1, ( ), (2 )W Sen x Sen x= son ortogonales.

ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIA  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

ÁLGEBRA  LINEAL  ●  MATG1003    

METODOLOGÍA  DE  APRENDIZAJE  ACTIVO  

TRABAJO  AUTÓNOMO  11    

TÉRMINO  I  2017  –  2018  

Cura y edición: Isaac Mancero Mosquera, 2017. 3

b) Muestre que, en general, un conjunto de la forma: { }1, ( ), (2 ),... ( ),... ( ), (2 ),... ( )Cos x Cos x Cos mx Sen x Sen x Sen nx

cumple con las condiciones para ser considerado ortogonal.

10.- Determine si el ángulo entre los siguientes vectores de R5 es 90 grados: v1 = (1, 2, 4, –3, 1/7) y v2 = (–4, –2, –1, 1, 7)

11.- Demuestre la Ley del Coseno generalizada: « Sea V un espacio vectorial euclidiano, y sean

1 2,v v V∈ , entonces 2 2 21 2 1 2 1 22 . ( )v v v v v v Cos θ− = + − ; donde θ es el ángulo entre los vectores

1v y 2v ».

PROYECCIÓN ESCALAR Y PROYECCIÓN VECTORIAL

12.- Usando el producto interno convencional: a) En el espacio M2X4, calcule la proyecciones escalares ProyBA y ProyAB , con las dos

matrices dadas en el problema 7-a. b) En el espacio P2, calcule la proyecciones escalares Proyq p y Proypq , con los dos

polinomios dados en el problema 7-b.

c) Calcule también las proyecciones vectoriales Proy→

B A y Proy→

p q .

13.- Sea el espacio 2 2S × y sea 2 2 2 2: RS Sϕ × ×× → un producto interno tal que:

1 1 2 21 2 1 2 1 2

1 1 2 2

, 2 2a b a b

a a bb c cb c b c

ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Hallar un vector unitario con la misma dirección y sentido de v1= 1 2

2 −1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.

b) Hallar la proyección escalar y la proyección vectorial de v2 = 0 1

1 1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ sobre 1v .

c) Encuentre el ángulo y la distancia entre 22v y 1v− .

COMPLEMENTO ORTOGONAL Y PROYECCIÓN ORTOGONAL

14.- Sea el espacio vectorial real 2 2MV ×= , con el producto interno real A,B V∀ ∈

, ( )TA B traza AB= . Sea el subespacio 2 2

0/

2 0a b a b c

H Mc d d a×

⎧ + + = ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ∧ − =⎝ ⎠⎩ ⎭

.

a) Encuentre una base y la dimensión de H ⊥ .

b) Si

2 2

1 20 1

v M ×⎛ ⎞

= ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠, entonces halle un vector

1h H∈ y un vector 2h H ⊥∈ , tal que

1 2v h h= ⊕ .

15.- Sea

W =xyz

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟∈R3/ 3x − 2y + 6z = 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

, utilizando el producto interno estándar en R3,

a) Determinar W ⊥ . b) Si ( 3,1,4)v = − , determinar la proyección de v sobre W. c) Si ( 3,1,4)v = − , determinar el vector en W ⊥ que más se aproxima a v. (Nota: Aplicar el

teorema de la “Aproximación de la norma”)

ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIA  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

ÁLGEBRA  LINEAL  ●  MATG1003    

METODOLOGÍA  DE  APRENDIZAJE  ACTIVO  

TRABAJO  AUTÓNOMO  11    

TÉRMINO  I  2017  –  2018  

Cura y edición: Isaac Mancero Mosquera, 2017. 4

16.- Sea el espacio vectorial 2P con el producto interno , definido por:

2 p(x),q(x) P∀ ∈ 1

0

( ), ( ) ( ) ( )p x q x p x q x dx= ∫

Sea el subespacio H de V definido por { }2( ) / '(1) 0H p x P p= ∈ = , a) Hallar una base de H b) Determine el conjunto complemento ortogonal H ⊥ c) Exprese el vector 16v x= como la suma de un elemento de H y uno de H ⊥ .

ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT

17.- Encuentre una base ortonormal de los siguientes espacios vectoriales: a) H = p∈P3 / p(1) = 0 ∧ p '(−1) = 0{ }

b) W = a bc d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈M2×2 / a − 2b + c − 2d

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

18.- Sea V = R4 y sea el siguiente subespacio H = a, b, c, d( )∈R3 / a + b + c − 3d = 0

∧ b + 2c − d = 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

a) Halle una base ortonormal de H b) Halle una base ortonormal de H⊥ c) De ser posible, halle una base ortonormal de R4 que contenga una base de H y una base

de H⊥ .

TEMAS CONCEPTUALES

19.- Califique como Verdadero o Falso (Justifique su respuesta) a) Sea V un espacio vectorial euclidiano, v V∀ ∈ , si v ≠ Vn entonces el ángulo entre v y su

inverso aditivo *v es π radianes. b) Sean 1v y 2v dos vectores de un espacio vectorial euclidiano V, entonces los vectores

Proy→

v2 v1 y v1 − Proy→

v2 v1 son ortogonales. c) Si A es una matriz ortogonal, entonces det(A) = –1.

d) Si 1 : Cf V V× → y

2 : Cf V V× → son dos productos internos de V, entonces la función

3 : Cf V V× → definida como 3 1 2 1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , )f v v f v v f v v= + es también un producto interno

en V.

e) Si 1 : Rf V V× → es un producto interno de V, entonces la función

2 : Rf V V× → definida como

2 1 2 1 1 2( , ) k ( , )f v v f v v= es también un producto interno, para alguna constante k>0.

f) Sean H y H⊥ dos subespacios de V, entonces { }vH H ⊥∩ = n .

g) Sea A =

Cos(x) −Sen(x)Sen(x) Cos(x)

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , entonces para todo x real A es una matriz ortogonal

��]��