Een methode voor de berekening van het dynamisch gedragvan konstrukties met veel vrijheidsgradenCitation for published version (APA):Veldpaus, F. E. (1970). Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag van konstrukties met veelvrijheidsgraden. (DCT rapporten; Vol. 1970.023). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1970

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 03. Mar. 2021

EEN EETKODE VOOR DE BEREKENING VP3 EET

DYJ’JF3ISCB GEDRAG VMJ KOASTRUKTIEC MET

VEEL V R I J H E I D SGRADEN

P.E. Veldpôus NE 70-23

Eindhoven, 31 oktober 1970

1. Inleiding

Bij de statische analyse van een gekompliceerde konstruktie kan gebruik wor- den genaakt van de eindige elementemethode om een stelsel lineaire, aige-

braïsche vergelijkingen af te leiden waarmee het gedrag van de konstruktie

voor statische problemen kan worden afgeleid. B i j de dynarilische analyse van

de konstruktie kan van dezelfde methode gebruik worden gemaakt voor het OPT

stellen van een stelsel tweede orde differentiaalvergelijkingen in de varia-

bele t. Een (eventueel) aanwezige demping kan in rekening worden gebracht. In dit rapportje zullen wij ons bezig houden net een (voorlopige?) opzet van

een computer-gerichte berekening van het dynamische gedrag. Het opstellen van

de betreffende differentiaalvergelijkingen zal hierbij - niet ter sprake komen.

Na een (voor ongedempte systemen algemene) inleiding in hoofdstuk 2 wordt

in hoofdstuk 3 een methode gegeven om de algemene oplossing te bepalen voor

ongedempte systemen. In hoofdstuk 4 wordt een aantal opmerkingen gemakt met betrekking tot de berekening van de partikuliere oplossing van gedempte systemen. Hierbij zullen wij ons beperken tot visceuze densing en materiaal-

demping (hysterese-demping).

2. Algemeen

Bij de toepassing van de eindige elem-entenpethode worden het dynamische en statische gedrag van een konstruktie bestudeerd aan de hand van een diskreet

model van die konstruktie. In de konstruktie worden hierbij een aantal pun- ten, knooppunten genaamd, aangewezen. De gegeneraliseerde verplaatsingen van

deze knooppunten (deze verplaatsingen kunnen zowel verdraalinpen ais echte verplaatsicgen zijn) worden gehuikt om het FroUleem te beschrijven. De

verplaatsingen van een willekeurig punt van de konstruktie worden uitgedrukt

in de verplaatsingen van de knooFpunten.

Wij zullen hier niet ingaan op details van de elementenmethode, maar gebruik

maken van de resultaten ervan. Door toepassing van de methode kan voor kon-

strukties zonder demping een stelsel lineaire, tweede-orde dif ferentiaalver- gelijkingen worden afgeleid waarmee het dynamische en statische gedrag van

het diskrete model kan worden beschreven. Hierbij is reeds verondersteld dat

fysische en geometrische niet-lineariteiten geen rol spelen. Het stelsel

vergelijkingen luidt dan: [:" II2]*[J + I" 1 Q12

2 22 012 022

3c

U '1 O = Lo

- 2 -

waarin gesteld is:.

u : verplaatsingsvektor die alle niet voorgeschreven verplaatsingen

van alle knooppunten bevat

u : verplaatsingsvektor die alle voorgeschreven verplaatsingen ongelijk O

aan nul van alle knooppunten bevat e f : vektor van de bekende belastingsgrootheden. De i.. komponent van f

O O e zal korresponderen met de i -komponent van u.

f : vektor van de onbekende krachtgrootheden die nodig zijn om de voor- geschreven verplaatsingen ongelijk aan nul te realiseren. De i -

komponent van f korrespondeert met de i -komponent van u . e

e O

: s t ij f heid smatr i ce s M PIl2, M22 : massamatrices 9 1 1 9 4129 Q22

Uit de in de elementenrrethode gevolgde werkwijze kan eenvoudig worden aange-

I I , o,,, M I I en 14 symmetrisch zijn bij de hierboven 22 toond dat de matrices Q

gegeven afspraken voor de vektoren u, u f en f. o’ o Wij zullen steeds veronderstellen dat minstens zoveel knooppuntsverplaatsiqgen een voorgeschreven waarde gelijk of ongelijk aan nul bezitten dat beweging als star lcchazm van de konstruktie (of een deel daarvan) is verhinderd. Een beweging als star lichaam wordt hierbij gedefinieerd als een beweging van de konstruktie of eerr deel van de konstruktie waarbij de in de konstruktie op-

gehoopte elastische energie niet verandere. Deze beperking is niet essentieel maar vereenvoudigt de analyse in Iiqge mate.

Indien aan deze beperking wordt voldaan kan op fysische gronden worden aan-

getoond dat de natrix Q positief is, d.w.z.: 1 1 t

u.cII.u O voor alle u + 0 - ‘;an deze eigenschap zal veelvuldig gebruik worden gemaakt. Uit (2.1) volgt een stelsel inhoEOgene, lineaire, tweede-orde differentiaal- vergelijkingen voor de onbekende verplaatsingsvector u:

- .. 12’u0 Q12*’0 N i i . Ü + QI1.U = f - M

O

terwijl de onbekende krachtgrootheden volgen uit: 1 1

(2.3)

.. 22 O U 0

f = QI2.u + MI2.u + 022.uo + M (2 4 )

3 . D e bepal ing van d e oplossing voor ongedempte systemen

D e t o t a l e oplossing van h e t s t e l se l (2.3) wordt gespLFtst i n een homogene

oploss ing en een p a r t i k u l i e r e oplossing, d i e géén d e e l v a n de hornogene op-

l o s s i n g b e v a t . W i j koncentreren ons eerst op d e bepal ing van d e homogene

oplossing, d i e "h. genoemd z a l worden. D e v e k t o r u v o l d o e t aan: h .. KI .Uh i- QII'% = 0 (3.1)

Zoals bekend mag worden veronders te ld kan een oplossing van d i t s t e l s e l

worden gevonden door voor' U t e s t e l l e n : ' - *

h - u#) = Uh.C0S(Ut) ( 3 2)

waardoor ( 3 . I ) kan worden overgevoerd in :

(-w2M1 + Q , ,).uh = O ( 3 . " > U i t de symmetrie van YI1 en Q

i s en $il1 semi-positief d e f i n i e t i s kan worden aangetoond d a t a l l e oplossinpen

u2, U$, . . . , ~2 reëel en p o s i t i e f z i j n . R i e r i n i s E h e t a a n t a l komponenten

en u i t h e t gegeven d a t Q p o s i t i e f d e f i n i e t I I 1 1 -

n - Uh en Uh' van d e vec toren u,

M a t a l l e oplossingen U? (i = i , 2 , ... n) g r o t e r dan nul z i j n h e e f t

h e t stelsel homogene v e r g e l i j k i n g e n (3.3)- t e s c h r i j v e n als: 1

D e oploss ing van d i t eigenwaarde-probleem kan op meerdere manieren

bepaald. I n het rapport WE TO- "TOELICHTING BIJ DE tII'E-PRQCEDURES

h e t z i n

worden

EZGEN-

F 7 b D E PKûBLEEE EN EIGENBD" wordt een - i n onze ogen - geschikte , d i r e k t e

methode gegeven w a a r b i j ten d e l e rekening kan worden gehouden m e t een even- _-. t u e l e bandstruktuur van de macrices '.FL

k o r t e s c h e t s van de gevolgde werkwijze. Voar nadere informat ie wordt verwe-

zen naar h e t genoerrde rapport .

Omdat C!

h e t produkt van een linksonderrriatrix L en de getransponeerde van d i e matrix,

zodat :

en Q I 1 11'' ki~eronckï voI@ eeii zeer

symnetrisch en p o s i t i e f d e f i n i e t i s kan Q worden geschreven a l s 1 1 1 1

I

= L.L Q l 1 ( 3 . 5 )

Omdat d e matrix Q , , n i e t s i n g u l i e r is, i s L u i t e r a a r d ook n i e t - s i n g u l i e r ,

zodat L-l b e s t a a t . Door voorvermenigvuldiging van ( 3 . 4 ) rr-et L - I v o l g t :

M e t de d e f i n i t i e van een v e c t o r door: h -

Vh = L.Uh ( 3 . 7 )

- 4 -

gaat (3.6) over in het klassieke eigenwaarde-probleem:

(A - xI).vh = O

waarin de

A

terwijl x

x

matrix A voldoet aan:

I -1 ' -1 = A = L .M .L

I ! I

wordt gegeven door:

1 = - w2

( 3 . 8 )

De berekende eigen(h0ek)frekwenties w.(i 1 = i , 2 , ... n) worden zodanig genum- merd dat geldt:

o 4 w1 d w2 < w3 B ..... 4 w (3.1 I ) n

De bij deze-e3genfrekwenties behorende eigenvectoren zijn vl, v2, ... vn. Deze kunnen steeds orthonormaal gekozen worden zodat:

I

v..vj = Lj (i,j = i92,3 *... n) ; 'ij : Kronecker-delta 1

- Door substitutie van het verband (3.7) tussen vh en %-volgt voor de eigen- tri 11 ingsvormen u ], U2' "'U n :

I I 1

u..L.Lu. u..Q.u = 1 J i j 'ij

waarin het verband tussen u. 1 en v. 1 uiteraard wordt gegeven door:

' -1 u. = L 'Vi 1

(3.13)

( 3 . 1 4 )

De vectoren ul, u2,...u n zijn de eigenvectoren behorende b i j het stelsel ( 3 . 4 ) .

Uit (3.4) volgc~ verder:

(3.15)

Ter wille van de overzichtelijkheid worden de eenheidsvectoren (kolomsgewij-

ze) opgeborgen in de matrix E:

( 3 . IS)

Uit (3.13) en (3.15) volgt dan direkt:

I

E.QI1.E = I : eenheids(diagonaa1)ntr ix

E.K .E = R '

1 1

(3. I ? )

(3.18)

Hierin is A (griekse hoofdletter lambda) een diagonaalmatrix van orde n*n, waarvan de komponenten gedefinieerd zijn door:

( 3 . 1 9 )

- 5 z

1' Van de berekende eigenfrekwenties wl, ..., ... u kan gebruik worden gemaakt OE het stelsel differentiaalvergelij - u2 n

kingen (2.3) in sterke mate te vereenvoudigen. Hiertoe wordt een transfor-

matie van variabelen toegepast door introduktie van de vector w(t):

en eigentrillingsvormen u n

w(t) = E-l.u(t) ; u(t) = E.w(t)

Deze definitie is zinvol omdat de matrix E zeker niet singulier is; er geldt

voor E-~: -1 ' E = E.Q,, (3.21)

Door voorvermenigvuldiging van (2.3) net E en substitutie van u(t) volgens

(3.20) volgt:

(3.22)

Het oorspronkelijke stelsel gekoppelde diff erentiaalvergelijkingen is door deze transformatie overgevoerd in n ongekoppelde differentiaalvergelijkingen

Voor de i -konponent van w, w[il, geldt: e

+ wcíl = Li {f - ql2.u0 - M ; i = 1 ,2 , ..., n (3.23) O

De bepalkg van de oplossing van deze vergelijking behoeft geen verdere toe- lichting, omdat alle oplossingstechnieken voor standaard-één-massa-veer-

systemen kunnen worden toegepast.

De oplossing van de verplaatsingsvector u wordt dan gegeven door:

u = E.w(t) (3.24)

e zodat de i -komponent van u, u[<] wordt bepaald door:

(3.25)

~

Bij de hiervoor gegeven berekeningen moeten wij ons wel realiseren dat de

berekeningen betrekking hebben op het diskrete model van d e werkelijke kon-

struktie. De verplaatsingen van een willekeurig punt van de konstruktie

worden uitgedrukt in de Verplaatsingen van een beperkt aantal knooppunten door min of neer arbitraire hypothesen te poneren over het verloop van de

verplaatsingen tussen de knooppunten. Dit alles impliceert dat de gegeven berekening slechts tot benaderingsoplossingen kan leiden. Nu blijkt dat

meestal een groot aantal (vuistregel: ongeveer -n tot In) eigenfrekwenties

voor praktische doeleinden voldoende nauwkeurig berekend. worden als de

hypothesen over het verplaatsingsveld voldoen aan een aantal eisen. Vij zullen

1 3

- 6 -

niet ingaan op deze eisen; zie hiervoor bijv. het kollegediktaat van Prof. J.F. Besselkng (T.H.D.) "Numeriek Spcrnnings- en Trillingsonderzoek" en de dissertatie van 8. Visser "Finite Elen-ent Nethod in Deformation

and Heat Conduction Problen?s"(T.H.D., 1968). De hiervoor gelanceerde bewering voor de berekende eigenfrekwenties zal

i.h.a. niet gelden voor de berekende eigentrillingsvormen. Het aantal vol-

doende nauwkeurig bepaalde eigentrillingsvormen zal waarschijnlijk kleiner

zijn dan -n. De laatste bewering is zo voorzichtig geformuleerd omdat niet

vaststaat op grond van welk kriterium of welke kriteria eer, uits-raak over

de nauwkeurigheid van de berekende eigentrillingsvormen kan worden gedaan.

Eet nadruk wijzen wij erop dat het voorgaande een fysische achtergrond heeft, nl. de hypothesen over het verloop van de verplaatsingen. Het zal

duidelijk zijn dat voor grote stelsels differentiaalvergelijkingen (n groot)

afrondingsfouten bij de berekening een grote rol kunnen gaan spelen. Ook

dan blijkt dat de laagste eigenfre

In het kader van deze opmerkingen kan men zich afvragen wat het nut is van de gepresenteerde berekeningen. Dit nut blijkt indien wij ons realiseren dat bij de dynmische analyse van een konstruktie i.h.a. slechts een vrij

beperkt aantal van de laagste eigenfrekwenties en bijbehorende eigentril-

lingsvormen van interesse zijn. Juist deze zullen echter voldoende nauw-

kemig worden berekend a l s n voldoende groot is.

1 3

ties het nauwkeurigste berekend worden

4 . Systemen net demping

Wij zullen ons in dit hoofdstuk beperken tot de analyse van de gedwongen beweging van konstrukties met harmonisch variërende belastingvector f

en/of harwonicch variërende vector van voorgeschreven verplaatsingen ongelijk

aan nul, u . Het stelsel differentiaalvergelijkingen (2.1) moet dan worden aangevuld met

een term die afhangt van de snelheidsvectoren U en U :

O

O

O LIl uO] + ["" t

12 'U R I 2 22

1 2 R

2 2 R

De matrices R R ez R zijn de dempingsmatrices. Tot nu toe hebben wij

nog geen uitspraak gedaan over de aard van de optredende demping. brij zullen 11' 12 22

ons beperken tot demping met een visceus karakter en tot materiaaldemping.

- 7 -

Voor elk der matrices R (i,j = 1 , 2 ) geldt dan: ij

I = p + -.I) Rij ij ij ( 4 . 2 )

waarin de matrices P P en P de visceuze demping karakteriseren ter-

wijl de matrices 4 -3 en -D volgens Snowdon de materiaaldenping 1 w1 22 122

w 11' w 12 u 22 l l y D I 2 , D22 zijn onafhankelijk van w. 11' P t 2 ' p22 en karakteriseren. P

Volgens Snowdon geldt bovendien:

Dij - - ".Qij (i,j = 1 , 2 ) ( 4 . 3 )

waarin a een materiaalkonstante i s .

De grootheid w is de hoekfrekwentie van de harmonisch variërende belasting- en verplaatsingsvector. Wij veronderstellen dat € en u geschreven zijn in

de vom: O o

iwt) f = R (3 .e e e o

iwt) ú = i: (U .e o e o

( 4 4 )

( 4 5 )

Het symbool A boven een grootheid geeft aan dat de betreffende grootheid kompiex kan zijn.

Uit ( 4 . 1 ) kan een stelsel differentiaalvergelijkingen worden afgeleid voor

de onbekende verplaatsingsvector u(t) :

.. s.

M I I * U + (PIi + -.Q ).& + QII.U = f O - Yl2.U0 - ( P r 2 +- 31z)lio - QI2'U0 w 1 1

( 4 * 6) terwijl de krachtvector f, na de berekening van u(t), kan worden berekend

uit: 1 1 .. a 1 B a + (P,, -t --Q ) + U + Q22.~o € = M12.ü + ( P I 2 +- + QI2.U + 3 22 w 22 o

( 4 . 7 ) De (partikuliere) oplossing van stelsel ( 4 . 6 ) , die geen delen van de homoge- ne (uitdenipende) oplossing bevat zal zijn van de vorm:

iu t) u = R (û.e e

Bij substitutie in ( 4 . 6 ) kan

+ (

( 4 . 8 )

voor U worden afgeleid:

( 4 . 9 )

Om dit nogal gekompliceerde stelsel te vereenvoudigen maken wij weer gebruik van de in het vorige hoofdstuk voor het engedempte systeem berekende eigen-

vectoren en eigenwaarden.

- 8 -

Door de d e f i n i t i e :

-1 A W = E .u ( 4 . io ) A ; u = E.% 1

en voorvermenigvuldiging van (4.9) m e t de matrix E v o l g t ( z i e ook hoofdstuk.

3 ) :

( 4 . 1 I ) A

Voeren w i j ter a f k o r t i n g de komplexe clatrix C in, g e d e f i n i e e r d door:

E) = A + i . ~ . n I c = (I - w 2 n ) + i(a1 + UEP

I 1 ( 4 . 1 2 )

dan kan d i t s t e l s e l worden overgevoerd in : n c.w = 2

waarbi j r̂ v o l d o e t aan:

? = E i f o - (Q12 - w2>f ).U - i(aQ12 + wPl2).Û0} 12 o ( 4 . 1 4 )

Wel l icht z i j n er rekenprocedures af t e l e i d e n waarmee h e t s t e l se l komplexe

v e r g e l i j k i n g e n ( 4 . 1 3 ) I s op t e lossen. Er i s op d i t moment b i j h e t rekencen-

trum

ons dat w i j n i e t h e t neest geschikt z i j n OE zo'n procedure te gaan o p s t e l l e n .

Wij z u l l e n ons daarom b i j de bepal ing van d e oploss ing van ( 4 . 1 3 ) ro_oeten

r i c h t e n op de op d i t moment beschikbare proce

s t e l s e l s v e r g e l i j k i n g e n waarbi j d e optredende grootheden alIeEaaì reëel z i j n .

v o o r C, w en F wordt geschreven:

van de T.F.E. i n ieder g e v a l n i e t zo'n procedure aanwezig. zet L i j k t

es voor h e t oplossen van g r o t e

n

C = A + i . B (A,K reëel)

V = x + i . y

2 F = r + i.r I

(x,y reeel)

(rl, r2 reëel)

Door s u b s t i t u t i e van ( 4 . 1 5 ) ... (4.17) i n ( 4 . 1 3 ) v o l g t dan:

zodat x

(A + iB) (x + i.y) 3 (Ax - E.y)+i(Bx + AY) = r 1 + 2.r 2

en y z i j n t e berekenen u i t :

-B -A

Door i n v u l l e n van de matrices A en E v o l g t u i t e i n d e l i j k :

I - U 2 R

[-@I - wE.P I 1 .E

1

-a1 - WE.PTI.E

-(I - w-24) ]I:] = [-Ij

( 4 . 1 3 )

( 4 . 1 5 )

( 4 . 16)

(4 . 17)

(4 . IS)

(4.19)

(4.20)

- 9 -

D e i n het l i n k e r l i d van d i t s t e l se l v e r g e l i j k i n g e n optred-ende matrix kan

s i n g u l i e r worden. Indien b i j v . de m e t de i -eigenfrekwentie-korresponderende

e igent r i l l ingsvorm ongedenpt i s (a=0 en a l l e komponenten van de i -rij en

ie-kolom van ;.€'

worden opgelos t a l s de f rekwent ie van de harmonische e x c i t a t i e , w , g e l i j k

i s aan d i e eigenfrekwentie . Op f y s i s c h e gronden i s d l t zonder meer verk laar -

baar , oIodat de gesche ts te s i t u a t i e Borrespondeert E e t d e s i t u a t i e d i e optreedt

b i j he t aanstoten i n d e eigenfrekwentie van een ongedenpt één-massa-veersgs-

teem. M e t de gekozen aanzet ( 4 . 8 ) voor een p a r t i k u l i e r e oploss ing van de

bewegingsvergelijkínngen ( I r . 6) kan dan geen oploss ing worden hepaald.

Indien d e hiervoor gesche ts te situatie n i e t op t reed t is, eveneens op £gsische

gronden, d u i d e l i j k d a t het s te lsel regie, lineaire v e r g e l i j k i n g e n t o t een

oploss ing kan worden gebracht . Eet i s verder d u i d e l i j k dat in s i t u a t i e s d i e

de g e s c h e t s t e s i t u a t i e "benaderen" deze oploss ing m e t g r o t e voorz i ch t ighe id

gehanteerd z a l moeten worden omdat h e t s te lse l v e r g e l i j k i n g e n dan "ill

conditioned'c z a l z i j n en afrondingsfouten d e r e s u l t a t e n e s s e n t i e e l kunnen

beznvloeden.

b r i j zu l l en h i e r n i e t ingaan op enkele - nogal voor de hand l iggende - ver-

f i j n i n g e n d i e kunnen worden Elangebracht i n de rekenprocedures m l g e n s Crout

( z i e RC-informaties) en d i e de hi jzondere struktuur van d e te inver te ren

rca t r i x i n rekening brengen.

Indien er a l l e e n maar materiaaldemphg op t reed t z a l P g e l i j k zijp- aan nul ,

Deze s i t u a t i e t r e e d t - E i j benadering - op in Bonstrukties, waarin d e elemen-

ten door l assen m e t e l k a a r z i j n uerEonden en waarin geer, andere, s p e c i a a l

daarvoor ingebomde cimqen&e elementen optreden. D e v e r g e l i j k i ï g e ï ì (4 .20 ;

. e

e

.E g e l i j k aan nul ) dan kan d i t s t e l s e l . v e r g e l i j k i n g e n n i e t 1 1

9 1

r . .

rmnen dan een vee l eenvoudiger vorm zan, nl . :

I - w 2 A -a1 * x -I-iiil] [J = [-::I (4 .21)

Omdat e l k d e r optredende matrices de vorm h e e f t van een diagonaalmatr ix i s

de oploss ing van d i t s te lse l eenvoudig t e bepalen. Er g e l d t :

* waarin D een

* D =

diagonaalmatrix i s d i e gedef inieerd i s door:

{(1+a2)I - w2A(2-w2A $1

(4 .22)

( 4 . 2 3 )

- 10 -

* zodat voor de komponenten van D kan worden geschreven:

1 . Sij .k

D[i,j] = (i+a2) - 2.(32 + ( 3 4

i 1

De dimensieloze frekwentie-grootheid v . is gedefinieerd door: 1

w v. = - 1 w . 1

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Uit (4.22) en (4.25) volgt dat de komponenten van x en y gelijk. zijn aan:

x[i] = 1 v.') 1 .r 1 [i] + a.r2[i] ] (1-v;2)2 + a 2

(4.27)

( 4 . 2 8 )

Bij harmonische excitatie en energiedissipatie door alléén materiaaldenping is uit (4.27) en (4.28) zeer eenvoudig de gedwongen beweging af te leiden. De berekening wordt niet essentieel moeilijker =aar wel véél bewerkelijker

indien ook visceuze demping optreedt. Indien het stelsel lineaire vergelij-

kingen (4.20) een oplossing heeft zal die oplossing van de volgende vorm zijn:

1x1 = I

LYJ

(4.29)

waarbij de matrices C en D volgen uit de matrices 4% en R uit vergelijking (4.19). Uit (4 .16) , (4.10) en ( 4 . 8 ) volgt dan uiteindelijk voor de totale verplaat-

singsvector u(t) van de konstruktie:

u ( t ) = E.x.cos(wt) - P.y.sin(wt) = E {x.cos(wt) - y.sin(wt)) ( 4 . 3 0 )

De ie-koqonent van u, u(; 1, kan dus worden gegeven door:

( 4 . 3 1 )

e waarin a[j] en @[i] de amplitude en fasehoek zijn van de j eigentrillings-

vorm. Er geldt:

(4.32)

( 4 . 3 3 )

- 1 1 -

B i j een a a n t a l beschouwingen i s d e oer per iode of een d e e l d e r per iode

ged iss ipeerde energ ie een i n t e r e s s a n t e grootheid . D e per p e r i o d e door v i sceuze

denping of materiaaldemping afgevoerde energ ie s t e l l e n w i j p e l i j k aan A Voor

A v o l g t u i t ( 4 . 1 ) : d '

d

R "1 [Io] d(wt)

R22

( 4 . . 3 4 )

Indien voor d e v e c t o r van voorgeschreven (harmonisch veranderende) ve rp laa t s ingen

wordt geschreven:

u = x .cos(wt) - O O

( 4 . 3 5 )

v o l g t na enig rekenwerk voor A d : t 1 I ? ? l ?

A = -.U xER E.x + 2x R EX + x .R . X + yER E + 2y R E + d 2 Tr i" 1 1 o 12 o 22 o 1 1 Y o 12 y

( 4 . 3 6 )

Indien w i j ons beperken t o t s i t u a t i e s waarin a l l e voorgeschreven verp laa t s ingen

n u l z i j n , zodat u = x - = O, dan g e l d t : O O - yo

1 1 1 T A = -.U Tr {x.ERl ]E .x + yERI lE.~] d 2

Door i n v u l l e n van d e r e s u l t a t e n u i t h e t begin van d i t hoofdstuk v o l g t :

zodat A g e l i j k i s aan: d

1 1 I 1

Ad = {a( ix + ;y) + w(x.EP 1 1 E.x + y.EP 1 1 E.y)}

( 4 . 3 7 )

( 4 . 3 8 )

( 4 . 3 9 )

T r l 2 r .

1 De term -.a(xx + yy) brengt d e t e n gevo lge van materiaaldemping gediss ipeerde

energ ie in rekening t e r w i j l &~rw(x.EP : ? . .

E.x + y.EP E.y) de door v i s c e u z e demping 1 1 1 1 a fgevoerde energ ie i n rekening brengt .

2 De per per iode a fgevoerde energ ie kan worden u i tgedrukt i n d e bekenden r

door d e op loss ing (4.29) voor x en y i n t e v u l l e n . Er v o l g t :

en r I

1

.F.r 1 + r5.L r2 ( 4 . 4 0 )

waar in d e matrix F i s gede f in ieerd door:

F = C.B.C + D.B.D ( 4 . 4 1 )

- 12 -

Indien a l l e e n materiaaldemping o p t r e e d t v o l g t voor F:

* F = a.D

* met D volgens (4 .23) . B i j u i t s c h r i j v e n v o l g t i n d i t g e v a l :

(4 .12)

(4 .43)

U i t d e formules ( 4 . 3 9 ) , (4.40) en (4 .41) kan d e per per iode g e d i s s i p e e r d e energie

worden bepaald.

Op f y s i s c h e gronden kan p l a u s i b e l worden gemaakt d a t de aard van d e optredende

demping n i e t e r g i n t e r e s s a n t z a l z i j n voor d e hiervoor gegeven berekening, m i t s

d i e demping zeer k l e i n i s (d.w.z. vee l k l e i n e r dan d e k r i t i s c h e demping). Een

eventueel aanwezige v isceuze demping nag dan voor d e berekening van de v e c t o r e n

x en y worden vervangen door materiaaldemping, m i t s d e per per iode

de energie g e l i j k is . H e t omgekeerde is u i t e r a a r d ook g e l d i g .

Van deze bewering z a l i n een a a n t a l s i t u a t i e s met voordee l gebruik kunnen worden

gemaakt, b i j v . b i j de analyse van h e t dynamische gedrag van gereedschapswerk-

tuigen.

gediss ipeer -