E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1

E = m c2

… en hoe u het zelf had kunnen bedenken.

Dr. Harm van der Lek

vdlek@vdlek.nl

Natuurkunde hobbyist

Energie

Massa

(licht-)Snelheid

Wetenschappers en denkers

Galileo Galilei

Isaac Newton

James Clerk Maxwell

Hendrik Antoon Lorentz

Albert Einstein

1500 1600 1700 1800 1900 2000

1905

2

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 2

Programma 1

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

3

Optellen snelheden; wagon referentiekader

ut

u : snelheid van bal (b.v. 10 meter per seconde)t : tijd dat de bal rolt (b.v. 2 seconden)Dan:ut : afstand afgelegd (dus 10x2=20 meter)

4

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 3

Optellen snelheden; bewegende wagon

uWt vt

uW : snelheid van bal ten opzichte van wagon (bv 10 m/sec)v : snelheid van de wagon (bv 3 m/sec)t : tijd dat we het bekijken (b.v. 2 seconden)uP : snelheid ten opzichte van perron (willen we uitrekenen!)Dan:uWt+vt : afstand afgelegd ten opzicht van perron (dus 10x2 + 3x2 =26 meter)Dus: : snelheid bal ten opzichte van perron: (uWt+vt)/t = (uW+v)t/t = cW+v (dus 10+3=13 m/sec)

Conclusie: snelheden tellen op: uP = uW+v

Geldt ook als uW < 0:b.v. uW = -1, danuP = 2,Zelfs kan uW = -3 danuP = 0!

5

Oftewel: perron referentiekader

Dwarse beweging; wagon referentiekader

u : snelheid van balt : tijd dat de bal roltDan:ut : afstand afgelegd (=breedte van de wagon)

6

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 4

Dwarse beweging; rijdende wagon

uW : snelheid van bal op de wagon (dwars)t : tijd dat de bal roltv : snelheid wagonWe willen uitrekenen:uP : snelheid ten opzichte van het Perron referentie kader

uWt

vt

uPt

7

Oftewel: perron referentiekader

Programma 2

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

8

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 5

Potentiële energie

h

m

We vragen ons af hoeveel energie het kost omeen gewicht van m kilo een hoogte van h meteromhoog te brengen.

Stel dat de energie om 1 kilo 1 meter omhoogte brengen b is. Dan:

5 kilo 1 meter omhoog: b.5

5 kilo 3 meter omhoog: b.5.3

m kilo h meter omhoog: bmh

Potentiële energie: Epot(m, h) = bmh

We zouden b=1 zelfs kunnen kiezen!

Maar dat is niet verstandig.(op de volgende slide blijkt beter:b=a Zwaartekrachtsversnelling)

9

Kinetische energie

h h

Kogel met massa mligt op hoogte h.heeft dan potentiëleenergie van

Epot(m, h) = bmh (1)

De kogel valt van de tafel.Tijdens de val gaat depotentiële energie overin kinetische energie.

Snelheid neemt gestaagtoe van 0 naar v.

Alle voorwerpen vallen (ongeacht hun gewicht)Op dezelfde manier. Zwaartekrachtsversnelling:

��� 10 � � sec � ���

Dus als de tijdsduur t isDan is de snelheid aan Bij neerkomen:v = at (2)

Dus geldt:

h = �

��t

Combineren met (2):

h = �

��

�

�=

�

�

�

��2

Ekin(m, v) =

Handige keusVoor b is dus a!

Dan wordt (3):

Ekin(m, v) = �

���2

Gemiddelde snelheid?�

�� !!

10

B1

B2

bm�

�

�

��2 =

bmh =

�

�

�

���2 (3)

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 6

Gewicht meten in gewichtloosheid: botsingen

Weegschalen werken bijnaaltijd met behulp vande zwaartekracht.

11

Trage massa

10

26

Rode bal weegt 1 kilo. Hoeveel weegt de zwarte? Antwoord: 2,6 kilo!

Wet van behoud van impuls: impuls = massa x snelheid. mzwart.vzwart = mrood.vrood

Vertikaal geldt: mzwart x 10 = 1 x 26 → mzwart = 2,6

12

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 7

Programma 3

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

13

Wetten van Maxwell en zijn AHA erlebnis!

Wet van Gauss /CoulombElektrische lading veroorzaakten elektrisch veld

Maxwell-FaradayEen veranderend magnetisch veld veroorzaakt ook een elektrisch veld

Gauss voor magnetisme Er zijn geen magnetische monopolen

Wet van AmpèreEen stroom veroorzaakt een magnetisch velden een veranderend elektrisch veld veroorzaaktook een magnetisch veld

Bekijken we nu een lege ruimte dan vallen de termen en weg.

James Clerk Maxwell

Maxwell zag dat het nodig was om hier nog een term toe te voegen

Er blijkt dan een oplossing te zijn in in termen van elektromagnetische golven:

De snelheid van deze golven is dan: . En toen James dat uitrekende bleek dat praktischgelijk aan de (toen) bekende lichtsnelheid!!!

14

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 8

Einstein: relativiteit bij Maxwell ‘merkwaardig’

15

Magneet beweegt:veroorzaaktElektrisch veld:Faraday kracht

Geleider beweegt:lading beweegtdoor magnetisch veld:Lorentz kracht

B3

Zur Elektrodynamik bewegter Körper

Stroom en magnetische veld

+ ++

++

++

++

+++

++

--

--

- --

- - --

- --

-

+ ++

++

++

++

+++

++

--

--

- --

- - --

- --

-

16

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 9

Probleem met elektromagnetisme

+-

+-

+-

+ - + -+ -

+-

+-

+- +

-

Q

+-

+-

+ -+

- +-

+ -+

-+

-

+- +

-

Q

In stroomdraad evenveel negatieve deeltjesals positieve deeltjes per meter. Dus elektrischNeutraal en dus geen elektrische veld.Negatieve deeltjes bewegen naar rechts, duseen stroom en dus een magnetisch veld.Maar dit heeft geen effect op Q, want Q beweegt niet.Conclusie: Geen kracht op Q.

In stroomdraad (nog steeds) evenveel negatieve deeltjesals positieve deeltjes per meter. Dus elektrischNeutraal en dus geen elektrische veld.Positieve deeltjes bewegen naar links, duseen stroom en dus een magnetisch veld.Q beweegt nu wel! (naar links)Conclusie: Wel een kracht op Q!!

Bekijk de hele situatie nu vanuit een trein die naar rechts rijdt (evenhard als de negatieve deeltjes).

17

De lorentz contractie uit de specialerelativiteitstheorie lost dit op.

Programma 4

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

18

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 10

Einstein: Lichtsnelheid hetzelfde voor iedereen

Dus: Maxwell had ontdekt dat licht elektromagnetische golven waren,

die zich voorbewogen met een snelheid van � ��

���

�

.

Het zat Einstein (toen als enige!) dwars, dat die snelheid � alleenmaar gold in één x,y,z,t coördinaten systeem (referentie kader).

Andere tijdgenoten (o.a. Lorentz) zaten daar niet mee, want dat was“natuurlijk” het referentie kader waarin the “Aether” stilstond.Niet zo’n gekke gedachte want dat was met het geluid ook zo.

Michelson en Morley bedachten daarom een ingenieus experimentom de beweging van de Aarde ten opzichte van deze “Aether” te meten.

Experiment van Michelson en Morley (1887),Meten van de “Aetherwind”

Uitkomst: nul komma nada! “De beroemste mislukking”.

Hoe zou immers een lichtstraal gaan die dooreen bewegend laserkanon werd afgevuurd!

(maar dan was er dus wel een absoluut referentiekader!)

Allerlei ingewikkelde verklaringenwerden bedacht, maar Einstein dachtwaarschijnlijk “Zie je wel”*.

* Is historisch gezien niet helemaal duidelijk

19

Programma 5

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

20

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 11

Een lichtklok

We kunnen een “lichtklok” maken: we laten een lichtstraal heen en weer gaan tussen twee spiegels.

Als we naar zo’n klok kijken die ten opzichte van ons beweegt, dan loopt die langzamer!

Maar dan zullen alle (bewegende) klokken langzamer lopen.

Kortom: de tijd zelf is vertraagd.

21

Bewegende klokken vertragen (tijdsdilatie)

Situatie vanaf het perron gezien Situatie vanaf de wagon gezien

vt

ct (Er stond: cPt )

1. De wet: snelheid = afgelegde weg / tijd is voor beiden geldig2. Beide waarnemers meten hetzelfde tijdsinterval3. Beide waarnemers zien dezelfde breedte van de wagon

cτ

vt

ctcτ

Merk op τ < t,Dus als wij zeggen t = 1 secondeDan op de wagon b.v. τ = 0,9 seconde

Kan niet alle drie. Welke van de drie zullen we opgeven???

??

τ (tau) ipv t

Stel op de wagon tijdsduur: τ

Kortom: vanaf het perron gezienzien we het klokje op de wagon

langzamer lopen!

��������τ�� � �����

���� � ��τ� = ����

��τ� � ���� � ����

��τ� � ���� �����

τ� � �1 � ��

�� ���

τ � 1 � ��

� � ( < t )

c = ??

??

22

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 12

De factor γ

τ � 1 � ��

� � ( < t )

We hadden afgeleid:

� � "

"#��

�

τ ( > τ )

Dus ook:

γ ∶� "

"#��

�

( >1 )

De factor 1/ 1 � ��

��2 komt vaak voor,

Deze geven we dus een apart symbool:γ (gamma)* de z.g. Lorentzfactor:

(*) Einstein zelf gebruikte hiervoor het symbool β (béta), maar wij houden ons aan de meest voorkomende conventie.

� � ' τ ( > τ )

Lichtsnelheid: c = 299 792 458 meter per seconde !!!Dus ongeveer 300.000 kilometer per secondeDus ongeveer 300.000 keer 3600 = 1.080 miljoen kilometer per uur!Zeg maar 1 miljard kilometer per uur!

Snelheid (in km/uur) Factor γ

18 1,00000000000000013908...

100 1,00000000000000429263...

1.000 1,00000000000043...

107.200(1) 1,00000000493302...

1.073.856.584(2) 10,0125

(1) Snelheid van de aarde door de ruimte.

(2) De snelheid van de muonen is ongeveer 0.995 c.

Einstein1905:

23

Orde van grootte van de factor γ De factor γ = "

"#�

� is natuurlijk practisch 1, omdat ε ∶� �

�zo gruwelijk klein is (meestal).

Stel 1 � ε � 1 � δ

Dan 1 � ε � 1 � δ � � 1 � 2δ � δ� � 1 � 2δ

Dus ε � 2δ en dus δ � ½ε , dus

DUS 1 � ε � 1 � ½ε (1)

Nu �� 6 �

? ?

Stel �� 6 �

� 1 � δ

dan 1 � 1 � ε 1 � δ � 1 � ε � δ � εδ � 1 � ε � δ

dus 0 � � ε � δ , dus δ � ε

DUS "

" # 7� 1 � ε (2)

Combineren: γ = �

�6�

��

�

� 6 ½�

� � 1 � ½ �

�(1) (2)Conclusie: γ � 1 � ½��

�

≈ 0,9998 = 1 - 0,0002

≈ 1,0005 = 1 + 0,0005

1 � 0,0004 �

1

1 � 0,0005�

24

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 13

Programma 6

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

25

Gedachten experiment: biljart ballen

Dit is wat de (neutrale) waarnemer in de nok van het station ziet. Hij vindt de situatie symmetrisch

26

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 14

Gezien van onderste wagon

Dit is wat wij zien zittend op de wagon met de rode bal

27

Nog een beetje extremer …

Wij zitten op de wagon met de rode balMeneer Zwart zit op de wagon met de zwarte balDe waarnemer in de nok van het station vindt de situatie symmetrischDus als wij zeggen “het duurde 3 seconden” (dat onze bal heen en weer ging), dan zegt meneer Zwart dat ook! (over zijn bal)

MAAR…. !!!!

Wij zien het klokje van Meneer Zwart langzamer lopen, dus volgens onsis de zwarte bal slechts 2,9 (3/γ) seconde onderweg.Dus voor ons lijkt de zwarte bal zwaarder en wel met de factor γ.

Dus MassaZwarteBal = γ maal MassaRodeBalStel Massa Bal in rust = m0

En MassaZwarteBal (ogenschijnlijk) = mDan dus m = γm0

γ � 1 � ½��

�

Ekin = �

��0�2

Remember!

m = γm0 ≈ m0(1 � ½��

�) = m0�m0½��

� = m0� "

�

�

��0�2 = m0� "

�:;<=

28

� � "

"#��

�

�0Vat de heleMechanicasamen

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 15

Conclusie!

m ≈ m0� "

�:;<= = m0� Δ�

In woorden: Een bewegend object lijkt een (heel klein) beetje zwaarder te zijn geworden.En deze toename (Δ�) is ongeveer gelijk aan "

�:;<= .

Δ� ≈ "

�:;<=

Omgekeerd: De kinetische energie (:;<=) lijkt ongeveer gelijk aan de toename van gewicht (�� maal ��.

:;<=≈ Δ� . �� : � ���Dus!!!:

Het hier beschreven idee van de biljartballen komt uit:G. N. Lewis and R. C. Tolman, “The principle of relativity and non-

Newtonian mechanics,” Philos. Mag.18, 510–523 1909.

… en is niet zo bekend!

29

Samenvatting

Die toename van gewicht is "

� maal de kinetische energie

Bewegende klokken lopen langzamer , dus …

Lichtsnelheid is hetzelfde in alle refentiesystemen, dus …

Dus Kinetische Energie = c2 maal gewichtstoename, dus E=mc2 !

Bewegende voorwerpen worden zwaarder …

30

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 16

Programma Klaar

1. Tijd en ruimte. Relatieve snelheden

2. Energie en Massa

3. Wetten van Maxwell

4. Einstein: lichtsnelheid absoluut

5. Tijds vertraging

6. Gedachten experiment: biljart ballen

Kla

ssiek

Ein

stein

31

Bijlage 1: Gemiddelde snelheid

32

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 17

Bijlage 2: Eenparig versnellen

33

t v vgem h

0 0 0 0

0.5 5 2,5 1,25

1 10 5 5

2 20 10 20

3 30 15 45

4 40 20 80

Symbool Omschrijving Eenheid Formule

t Tijd dat voorwerp valt Seconde

v Snelheid aan het eind Meter per seconde v=at=10t

vgem Gemiddelde snelheid Meter per seconde �

��

h Hoogte gevallen meter vgemt

h

t=�

A

= vgemt = �

�v

�

A=

�

�

�

Av2

Bijlage 3: Vertaling

34

Het is bekend dat de theorie van Maxwell over de elektrodynamica, als deze – volgens de huidige opvatting – wordt toegepast op bewegende voorwerpen, een niet–symmetrische beschrijving van het fysisch gedrag oplevert, die niets te maken lijkt te hebben met het verschijnsel zelf. Denk bijvoorbeeld aan de elektrodynamische wisselwerking tussen een magneet en een geleider. Het verschijnsel dat kan worden waargenomen hangt in dit geval slechts af van de relatieve beweging van de geleider en de magneet ten opzichte van elkaar, terwijl volgens de gangbare opvatting de beide mogelijkheden, namelijk dat de geleider het bewegende voorwerp is of dat de magneet het is, streng uit elkaar moeten worden gehouden. Als namelijk de magneet beweegt en de geleider in rust is, zal er rondom de magneet een elektrisch veld met een bepaalde hoeveelheid energie ontstaan, dat op de plaatsen waar zich de geleider bevindt, een stroom opwekt. Als daarentegen de magneet in rust is en de geleider in beweging wordt gebracht, ontstaat er in de omgeving van de magneet géén elektrisch veld, maar er ontstaat volgens die opvatting in de geleider een elektromotorische kracht, wat niet hetzelfde is als een energie, die – er van uitgaande dat de beweging van de magneet en de geleider ten opzichte van elkaar in beide gevallen gelijk is – tot elektrische stromen leidt van dezelfde grootte en met eenzelfde verloop als in het eerste geval de elektrische kracht deed.

Vertaling: http://einsteingenootschap.nl Henk Dorrestijn (met toestemming)

Over de elektrodynamica van bewegende voorwerpen

E=mc2 HOVO

Hoe u het zelf had kunnen bedenken 18

Gelijktijdigheid

35