逢 甲 大 學

自動控制工程學系專題製作

專 題 論 文

小民航機飛行姿態 在動感平台上之模擬與驗證

Simulation and Validation of Flight Attitude for Small Commercial Aircraft in Motion Cueing Platform

指導教授：黃榮興

林俊良

學 生：林泰瑋

古書瑋

張 毅

中 華 民 國 九 十 二 年 十 一 月

感謝

首先要特別感謝黃榮興老師以及林俊良老師兩位指導教授，在這半年多的

日子裡細心指導，遇到不懂的問題，兩位老師都願意耐心的講解，直到懂了

為止。讓我們不只是在專題研究上能夠更加順利，對於學習態度以及知識方

面更是獲益良多，在論文的架構上，由於老師提供了許多建議，讓這個專題

的完成能夠更加趨於完善。

另外，在專題過程中所培養出來的研究精神與方法，我相信將來在研究

所，在專題研究上能更加得心應手。同時也要感謝陳杏園老師以及詹弘雍、

廖晅晢、鞏建忠三位學長的熱心指導，由於他們的協助，使專題能夠順利的

完成。

ii

中文摘要

本專題目的在於，用三桿六自由度平台姿態來模擬小民航機的飛行姿態，並

使用陀螺儀量測作驗證，實驗時對單軸 Y 送入一個 sin 波，使平台以θ角做擺動，

再經由陀螺儀測量到平台 Y 軸的角速率，經由低通濾波器以及四元素法等過程

後所計算得到的角度，利用 Matlab 畫出角速率及角度的圖形，並與平台擺動的θ

角做比較，看看是否能用陀螺儀準確量測到平台所擺動的角度，當單軸確定可準

確量測到後，再加入其他軸，希望能夠真實的模擬出小民航機的飛航姿態。

此專題可用範圍廣泛，例如：可用來模擬飛機飛行姿態之外，讓飛行員不用

操縱真的飛機，就可以感受到真實飛行情況，如再搭配3D/VR的虛擬實境，在平

台上操縱虛擬飛機的感覺，就跟真實的一樣，並可提早發現出飛行員在飛行時所

會遇到的問題，比如說”空間迷向”，如果再配合GPS導航系統，不論是在軍事、

民生甚至於將來的太空時代，都是很好的應用。

iii

Abstract

The purpose of this special essay is to simulate the flight attitude of the small

commercial airplane in the 3-leg 6-DOF platform system and validate it by gyroscope.

In this experiment, we drive the platform with a sine wave signal at y axis and

measure the angular rate by gyroscope, the measured signal has been filtered by

low-pass filter and integrated by using quaternion algorithm. We compared the

experimental result with other method.

iv

目錄

感謝 …………………………………………………………………………………iii

中文摘要……………………………………………………………………………iv

英文摘要 ……………………………………………………………………………v

目錄…………………………………………………………………………………vi

圖目錄………………………………………………………………………………viii

表目錄 ………………………………………………………………………………x

第一章 緒論 …………………………………………………………………………1

1.1 簡介……………………………………………………………………………1

1.2 研究目的與動機………………………………………………………………1

1.3 內容摘要………………………………………………………………………2

第二章 研究材料與基本原理 ………………………………………………………3

2.1 陀螺儀與加速儀 ……………………………………………………………3

2.2 三桿六自由度平台簡…………………………………………………………8

2.3 PCI-8136M 簡介………………………………………………………………9

第三章 理論探討……………………………………………………………………10

3.1 尤拉角轉換 …………………………………………………………………10

3.2 四元素法 ……………………………………………………………………13

3.3 逆向運動學之理論推導 ……………………………………………………16

3.4 順向運動學之理論推導 ……………………………………………………20

第四章 網路監控系統 ……………………………………………………………24

4.1 簡介TCP/IP …………………………………………………………………24

4.2 TCP與UDP …………………………………………………………………25

4.2.1 TCP 的概念 …………………………………………………………25

4.2.2 UDP的概念 …………………………………………………………26

v

4.3 伺服端監控 …………………………………………………………………26

4.3.1 程式介紹 …………………………………………………………… 26

4.3.2 軟體流程 …………………………………………………………… 27

4.4 客戶端監控 ………………………………………………………………… 27

4.4.1 程式介紹 …………………………………………………………… 27

4.4.2 軟體流程 …………………………………………………………… 28

第五章 模擬結果與驗證……………………………………………………………30

5.1 三桿六自由度平台程式動作流程簡介 ……………………………………30

5.2 陀螺儀量測與四元素法計算之模擬驗證 …………………………………36

第六章 結論和未來展望……………………………………………………………41

參考文獻 ……………………………………………………………………………42

vi

圖目錄

圖 2.1 壓電晶體震動式陀螺儀結構圖………………………………………………3

圖 2.2 陀螺儀輸出電壓與角速度之關係圖…………………………………………4

圖 2.3 基本陀螺的示意圖……………………………………………………………5

圖 2.4 陀螺儀…………………………………………………………………………7

圖 2.5 三桿六自由度平台……………………………………………………………8

圖 2.6 PCI-8136M 架構圖……………………………………………………………9

圖 3.1 尤拉旋轉座標圖 ……………………………………………………………10

圖 3.2 四元素法的程式流程圖 ……………………………………………………15

圖 3.3 上下平板與桿子之座標關係圖 ……………………………………………18

圖 3.4 三桿平台上平板之座標 ……………………………………………………18

圖 3.5 三桿平台下平板滑軌之座標 ………………………………………………19

圖 3.6 Cartesian Space 與 Joint Space 關係圖 ……………………….……………20

圖 3.7 順向和逆向運動之位置向量示意圖 ………………………………………21

圖 4.1 伺服端監控程式方塊圖 ……………………………………………………26

圖 4.2 客戶端程式流程圖 …………………………………………………………28

圖 4.3 伺服器外觀 …………………………………………………………………29

圖 5.1 三桿六自由度平台程式動作流程簡介… ………………..……...…………31

圖 5.2 伺服馬達定位流程圖 ………………………………….…………………32

圖 5.3 線性馬達定位流程圖 ………………………………….…………………33

圖 5.4 馬達移動到工作點的動作流程圖 …………………….…………………34

圖 5.5 網路監控程式面板 …………………………………….…………………35

圖 5.6 濾波過程說明流程圖 …………………………………….………………36

圖 5.7 未濾波 X 軸角速率 …………………………………………………………37

圖 5.8 未濾波 Y 軸角速率 …………………………………………………………37

vii

圖 5.9 未濾波 Z 軸角速率 …………………………………………………………37

圖 5.10 濾波後 X 軸角速率…………………………………………………………38

圖 5.11 濾波後 Y 軸角速率…………………………………………………………38

圖 5.12 濾波後 Z 軸角速率…………………………………………………………38

圖 5.13 四元素法轉換後 X 軸角度…………………………………………………39

圖 5.14 四元素法轉換後 Y 軸角度…………………………………………………39

圖 5.15 四元素法轉換後 Z 軸角度…………………………………………………39

圖 5.16 改良濾波器濾波後所量測到的角速率……………………………………40

圖 5.17 改良濾波器濾波後所量測到的角度………………………………………40

viii

表目錄

表 2.1 陀螺儀接腳配置表…………………………………………………………… 4

ix

第一章 緒論

1.1 簡介

慣性導航系統(Inertial Navigation System，簡稱 INS)是種自主性系統，利用

慣性感測器如陀螺儀、加速儀等，取得載具的角速度與加速度等資料，再經由動

態方程式計算出載具相對於慣性座標的位置、姿態與速度，進而進行定位。系統

不會受到地形、氣候等外觀環境因素所影響，但由於慣性感測器本身有飄移現象

產生，而飄移現象讓導航系統造成誤差。此誤差再經由積分長時間累積下，而使

慣性導航系統依工作時間增長而發散，因此再長時間使用下，需要靠其他輔助導

航系統做校正。

全球定位系統(Global Positioning System，簡稱 GPS)在今日科技發展下日新

月異，而通訊技術不斷進步。由於 GPS 具有可信度高、定位快在長時間定位較

穩定等優點，因此可應用在如汽車導航、船隻定位、飛航定位以及軍事上等用途

之廣。缺點是，受氣候、環境等影響，因此無法完全仰賴 GPS 提供導航訊息。

由於 GPS 具有長時間定位穩定的特性，可對 INS 在長時間工作下因飄移現

象所產生的積分誤差進行修正；另方面因 INS 具有完整性以及自主性的特點，

可彌補 GPS 因環境造成訊號間斷的情況。所以 GPS 與 INS 具有互補的特性，因

此現今導航定位系統設計的趨勢，是將 GPS 與 INS 兩套導航系統做整合，進而

達到不因氣候或本身因素等影響，可進行全天候定位。

1.2 研究目的與動機

慣性導航系統，具有獨立自主的優點。但是在長時間的工作下，誤差會隨時

間增加而發散是其最大的缺點，因此要如何解決這個問題，以增加陀螺儀的精確

度呢？

實驗中我們主要是利用三桿六自由度平台來模擬小民航機飛航的姿態，實驗

開始時，是先對單軸送入一個 sin 波，使用陀螺儀去量測上平台目前的角速度，

1

再透過低通濾波器將雜訊濾掉，我們再將已經處理過的訊號，經過程式內部的四

元素法轉成角度即可以得到目前平台的正確姿態以及相關訊息，並將數據存起

來，使用 MATLAB 畫出三軸的角度圖形和角速率圖形。

因陀螺儀有兩種誤差需要解決，第一點，陀螺儀靈敏度高很容易受到雜訊的

干擾。第二點，陀螺儀本身具有飄移誤差。

我們將陀螺儀所測得的角速度經由四元素法的計算獲得角度後，由角度可得

知目前平台所做的動作姿態。但是在長時間工作下，因雜訊干擾產生了誤差累

積。因此我們對誤差隨時間而發散所解決的辦法是先使用低通濾波器，將不必要

的雜訊干擾消除，再經由動態補償，消除因為陀螺儀本身因量測時所產生的飄移

誤差。

1.3 內容摘要

專題一共分為六章，內容概要分述如下：

第一章：緒論。

第二章：簡介慣性儀系統架構與基本原理、PCI-8136M 與三桿六自由度平台動作。

第三章：專題中所使用到的理論推導。

第四章：模擬結果與驗證。

第五章：簡介網路監控系統。

第六章：結論與未來展望。

2

第二章 研究材料與基本原理

2.1 陀螺儀與加速儀

(1)工作原理[1]

陀螺儀是用來量測飛行載具的角速度。當載具運動時，只有在轉彎的動作發

生，才會有角速度輸出。對固定取樣速率而言，我們只要知道陀螺儀所量測到的

載具角速度，經過積分以後即可得到載具的姿態角。實驗系統中我們使用了壓電

晶體震動式陀螺儀(Piezo-electric Vibrating Gyroscope)，其結構如（圖 2.1）所示。

圖 2.1 壓電晶體震動式陀螺儀結構圖

它是一個以彈性材料作成的等邊三角形稜柱為基座，每個面上各置一片壓電

陶瓷，其中一片為振動源，另外兩片為震動感測器。當載具沒有旋轉動作時，如

垂直上下及左右、前後運動等，陀螺儀因直線運動而偵測不到角度變化。但當載

具有旋轉運動時，在陀螺儀內部，由於三角柱產生彎曲(bending)，兩片壓電陶瓷

感測器所偵測到的值相減，得到一差分信號，經過放大之後，產生一電壓輸出。

將各軸上陀螺儀的電壓輸出以公式轉換後，就可以得到載具在俯仰(Pitching)、滾

動(Rolling)及偏航(Yawing)三個方向的角速度變化了。

3

(2)陀螺儀之規格[2]

專題實驗採用 Murata ENT-05A 及 ENV-05H-02 陀螺儀，其接腳配置表如（表

2.1）。陀螺儀實體之接腳型號共分兩種，腳位如下所示：

表 2.1 陀螺儀接腳配置表

接腳 ENT-05A(Gyro X ,Y) ENV-05H-02(Gyro Z)

Pin1 Power Supply(+8~13.5V)(Input) Power Supply(5V)

Pin2 Sensor Output Ground(GND)

Pin3 Reference Voltage(2.5V)(Output) Sensor Output

Pin4 Reference Voltage(5.0V)(Output)

Pin5 Ground(GND)

圖 2.2 陀螺儀輸出電壓與角速度之關係圖

4

由於陀螺儀為精密電壓輸出，其輸出電壓與角速度之關係如（圖 2.2）所示，角

速度之計算，可由以下公式求得：

( ) GrefG SFVV /−=ω (2.1)

其中 ：比例因子(Scale Factor)(22.2mV/deg/sec) GSF

：陀螺儀輸出參考電壓(正常為 2.5V) refV

ω：角速度(deg/sec)

：陀螺儀輸出電壓(Volt) GV

(3)陀螺儀理論

如（圖 2.3）所示，陀螺儀有三個運動方向，分別是 X 軸、Y 軸和 Z 軸。

圖 2.3 基本陀螺的示意圖

陀螺儀以高速繞對稱軸 作等速度運動稱為自轉運動。另一方面繞Wx與

軸作較慢速度的旋轉稱為進動運動。這種運動類似陀螺，陀螺的運動是一種

剛體運動，繞固定支點 旋轉運動。當陀螺靜止時因重力作用，斜立於 點，

zO

Wy

zO zO

5

在重心處受到一作用與反作用力，此時合力為零，但是陀螺本身合力矩不等於

零，因而使陀螺以 為支點倒下。當陀螺有一自旋角速度zO W ，而W 方向有角動

量 L ，且 Ld 垂直於 L ，在 時間下產生dt Ld 的動量變化讓 L 依時間改變方向且

大小不變。由上往下看可看見 L 向量終點以 Z 軸為中心作旋轉稱為進動角速度，

方程式為：[3]

dtL

dL

dtdW

θθ sin== (2.2)

而描述陀螺基本運動的向量方程式如下：

HWM ×= (2.3)

其中 =M 為外加力矩

陀螺進動角速度 =W

=H 轉子對 軸的角動量矩 zO

由此可知，當地面對陀螺施加力矩則陀螺會產生進動運動，其大小與方向由

決定。所以對 INS（慣性導航系統）中的陀螺儀來說,，當平台的角速度發

生變化時，將會產生反作用力矩。倘若可量測此一反作用力矩的大小，將可以得

知角速度變化、平台姿態以及位置等計算。

HW ×

加速儀的概念，如同將一單擺懸掛於車內。當靜止不動時，單擺垂直於地面，

此時感測軸與重力重合，在加速儀上量測到感測軸上輸出 1g 的重力加速度。當

車往前移動時，單擺向後擺θ角，此時與地面平行的分量，即為車子目前的加速

度狀況。因此加速儀可顯示載具目前受到的加速度狀況，其與重力加速度間的關

係為：

gaa ff += (2.4)

其中： 載具對慣性座標體的加速度 =ia

加速儀量測出來的加速度 =fa

6

=g 為重力加速度

加速儀是量測載具運動時的比力，計算後求出載具在北、東、下三方向所受

到的加速度狀況，再經由座標轉換與積分，即可進一步求出載具目前的速度與位

置。假如我們在慣性座標系統上，考慮地球自轉，載具運動與柯氏力效應下，比

力和載具運動間關係如下：

( ) DieENN LVlVAf sin2ω++=

( ) DieENN LVlVAf sin2ω++= (2.5)

( ) DieENN LVlVAf sin2ω++=

其中： 為比力 =Nf

為速度變化 =NA

=ieω 為地球自轉角速度

為載具的經度 =l

=L 為載具的緯度

圖 2.4 陀螺儀

7

2.2 三桿六自由度平台簡介

三桿自由度平台的構造有上平台、下平台、三顆線性馬達、三顆感應 AC 伺

服馬達、伺服器、導螺桿、光學尺、PCI 8136M 控制卡、極限開關感測器。平台

的構型是利用可伸縮性桿長之三桿滑動於基座三根線性滑軌上，且桿子在任何時

候都垂直於滑軌，此平台之桿子具伸縮性且其支點可滑動，其中可伸縮之三桿是

由 AC 感應伺服馬達驅動導螺桿而得，而支點由同步伺服線性馬達驅動，如此一

來，三根桿件伸縮與桿子支點滑動使得上平台得到姿態與位置變化[4]。

圖 2.5 三桿六自由度平台

8

2.3 PCI-8136M 簡介

PCI-8136M 是一個 PCI 介面的六軸運動控制卡，它支援兩種馬達的驅動，

Pulse type 和 Voltage type，它可以產生 Pulse train 或是 Voltage commands 給步進

馬達，PCI-8136M 是由 6 個運動控制元所構成，每一個控制元擁有自己的 pulse

generator、encoder counter、analog output、dedicated I/O 以及 analog input。如下

圖[5]：

圖 2.6 PCI-8136M 架構圖

CN1 PIN ASSIGNMENTS：MAIN CONNECTOR

CN2 PIN ASSIGNMENTS：EXTERNAL POWER INPUT

CN3 PIN ASSIGNMENTS：DB25 CONNECTOR

CN4 PIN ASSIGNMENTS：DB9 CONNECTOR

9

第三章 理論探討

3.1 尤拉角轉換

(1)尤拉角的概念

尤拉角的概念是假設一慣性座標 I、 、 ，以及載具座標 、 、 ，

將載具的 軸固定不動轉動一

X IY IZ BX BY BZ

BX α 角，在固定 軸轉動一BY β 角，在固定 軸轉

動一

BZ

γ 角，最後可使得載具座標轉換至與慣性座標重合，反之亦可。

(2)座標旋轉

如（圖 3.1）所示，設慣性座標( 、 、 )，與載具座標( 、 、 )，

以及新座標系統( 、 、 )，根據尤拉定理可得知，必存在一旋轉軸可使得

( 、 、 )與( 、 、 )繞此軸旋轉後能夠重合。

IX IY IZ BX BY BZ

RX RY RZ

IX IY IZ BX BY BZ

圖 3.1 尤拉旋轉座標圖

10

若旋轉軸與 、 與 的夾角各為IX IY IZ α、β 與γ，相同的此旋轉軸與 、

與 的夾角亦為

BX BY

BZ α 、 β 與γ 。

今假設新座標系統( 、 、 )，其 與旋轉軸重合， 在RX RY RZ RX RY YX − 平面

上。即：

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

R

R

R

ZYX

= (3.1) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

I

I

I

ZYX

A

相同的，我們也可以定義另一座標系統( r、 、 )使得 與旋轉軸重合， 在x ry rz rx ry

YX − 平面上。即可得到下面關係式：

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

r

r

r

zyx

= (3.2) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

B

B

B

ZYX

A

我們令：

=BW ( 、Y 、 ) (3.3) B B BX Z

IW =( 、 、 ) (3.4) I I IX Y Z

=rQ ( 、 、 ) (3.5) rx ry rz

=RQ ( 、 、 ) (3.6) RX RY RZ

由式子(3.1)至(3.6)可得知：

IR

Br

WAQ

WAQ

=

= (3.7)

由於 與 重合，因此可得知： RX rx

=rQ RQR (3.8)

11

其中：

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001

R (3.9) ψψ

sincos0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

ψψ

cossin0

ψ 為 RQ 與 rQ 的旋轉角度差，由(3.7)式帶入(3.8)式，可得：

IRAAB

IRAWAQ Br1−=

== (3.10)

由上式可得知，當求得 A 矩陣後，由慣性座標轉移到載具座標之座標轉移矩陣

即可求出。因為 與旋轉軸重合， 垂直 Z 軸因此 A 矩陣可表示為： RX RY

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

31

21

cos

KKA

α

32

22

cos

KK

β

⎥⎥⎥

⎦

⎤

33

0cos

K

γ (3.11)

又因為 A 必須是正交矩陣，因此 A 可能為：

⎢⎢⎢

⎣

⎡

±±=

γαγβ

α

coscoscsccos

cosA

γβγα

β

cotcoscsccos

cos

±±

⎥⎥⎥

⎦

⎤

± γ

γ

sin0cos

(3.12)

因為在幾何意義考量上，設 0=α ，2πγβ == 則可推得：

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

γαγβ

α

coscoscsccos

cosA

γβγα

β

cotcoscsccos

cos

− ⎥⎥⎥

⎦

⎤

γ

γ

sin0cos

(3.13)

再將…式帶入上式，可得慣性座標對載具座標之座標轉換如下式：

( )( )⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−−=−

0231

0321

20

23

22

21

1

22

eeeeeeee

eeeeRAA

( )

( )0132

20

23

22

21

0321

2

2

eeeeeeee

eeee

−+−+−

+

( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

++−−

+−

20

23

22

21

0132

0231

22

eeee

eeeeeeee

(3.14)

12

0e 、 、 與 稱為尤拉參數，個別定義如下： 1e 2e 3e

23

22

21

20

sincos

sincos

sincos

cos

ψ

ψ

ψ

ψ

γ

β

α

=

=

=

=

e

e

e

e

(3.15)

四個尤拉參數關係為 。尤拉轉換公式推導。 12322

21

20 =+++ eeee

3.2 四元素法

四元素法為採用四個變量而得到較簡化之姿態修正方程式、運用於導航座標

的轉換。若於 i-座標系統上定義一旋轉軸並進行旋轉一特定角度，則可得到另一

座標系統。假設 α，β與分別文此一旋轉軸 ， 及 之夾角，同時假設旋轉之角

度為 µ，則可定義四元素為[6]：

1i 2i 3i

kqjqiqqqvvv

3210 +++≡ (3.16)

其中

γµ

βµ

αµ

µ

cos2

sin

cos2

sin

cos2

sin

2cos

3

2

1

0

=

=

=

=

q

q

q

q

(3.17)

0q ， ， 及 四元素可以描述姿態變換，採用四元素表示之轉換矩陣為： 1q 2q 3.q

13

biC ＝ ( )

( )⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−−+

2031

3021

23

22

21

20

22

qqqqqqqq

qqqq ( )

( )1032

23

22

21

20

3021

2

2

qqqqqqqq

qqqq

−−+−

+

( )(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

+−−

+−

23

22

21

20

1032

2031

22

qqqq

qqqqqqqq) (3.18)

四元素 ， ， 及 並不具四自由度因為他們需滿足下列限制： 0q 1q 2q 3.q

12322

21

20 =+++ qqqq (3.19)

若已知尤拉角亦可以推算四元素，其公式如下：

2222223

2222222

2222221

2222220

coscossinsinsincos

sincossincossincos

cossinsinsincoscos

sinsinsincoscoscos

ΦΘΦΘΨ

ΦΘΦΘΨ

ΦΘΦΘΨ

ΦΘΦΘΨ

+−=

+=

−=

+=

ψ

ψ

ψ

ψ

q

q

q

q

(3.20)

其中標準尤拉角Ψ、Θ、Φ為：

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+=Ψ −

122

tan 21

20

30211

qqqqqq

(3.21)

( )( )20311 2sin qqqq −−=Θ − (3.22)

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+=Φ −

122

tan 23

20

10321

qqqqqq

(3.23)

而Ψ為載具之翻滾角、Θ為載具之俯仰角、Φ為載具之偏航角。

至於二座標系統具有相對轉動時期姿態之微分方程式，若以四元素法表之，

則為：

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

0

21

ωωω

dtqd

2

3

1

0

ωω

ω

−

−

1

3

2

0ω

ωω

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤−−

01

2

3

ωωω

q (3.24)

其中：

14

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

0

qqqq

q (3.25)

此一方程式為一線性方程式，較易計算。

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

RQP

qqqq 0

21

3

2

1

0

QR

P

−

0

P

RQ

0−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

−0

PQR

( )( )⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+−

−−+=

2031

3021

23

22

21

20

22

qqqqqqqq

qqqqB

( )

( )2032

23

22

21

20

3021

2

2

qqqqqqqq

qqqq

+−+−

+

( )( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

+−−

+−

23

22

21

20

1032

2031

22

qqqq

qqqqqqqq

( )3323 ,2 bbATAN=φ

( )131sin b−−=θ

( )1112 ,2 bbATAN=ϕ

圖 3.2 四元素法的程式流程圖

15

3.3 逆向運動學之理論推導

逆向運動學(Inverse Kinematics)乃從 Cartesian Space 映射到 Joint Space，可

表示為[7]

[ x y z φ θ ψ ] T [→1

S2

S3

S12

B22

B32

B ] T

已知上平台中心位置與姿態方位，可得知上平台三桿端點，表示在基座座標

之向量 為 { }B iP

, i=1,2,3 (3.26) ip

vi PRTP +=

其中 為上平台座標原點相對於基座座標原點之平移量： =[ ] ;矩陣 R

為平台座標、{ 轉換至基座座標、

vT vT x y zT

}P { }B 之姿態轉換矩陣; 代表在座標系 中

點之位置向量，所以已知平台之姿態方位，即可求得三桿上端點表示在基座座標

之向量。

iP P { }P iP

{ }B

由於桿子向量為：

iii BPS −= , i=1,2,3 (3.27)

其中 為上式所算出， ， ，式中 與 皆

為未知，共有五個未知數，因此我們必須列出五個受限聯立方程式（Constraint

Equation），顯然地，除了上述三個方程式外，尚須列出額外兩個方程式來共同

解出桿子與動子之位置向量。因為滑軌之方程式可表示如下：

iPT

iziyixi ]SSS[S =T

iyixi ]0BB[=B iS iB

x1ix3i

y1iy3i

x1iix

y1iiy

BBBB

BBBB

−

−=

−

− , i=1,2,3

16

另外之受限方程式可由桿子與滑軌相互垂直而求出如下：

其中 與 為滑軌起點及終點之座標。 1iB 3iB

0SB i2i =⋅ , i=1,2,3

即為：

0S)BB( i1i3i =⋅− , i=1,2,3

由以上五個聯立方程式即可解出 與 兩向量之值。 iS iB

由式

)()()()( y1iy3ix1iixx1ix3iy1iiy BBBBBBBB −⋅−=−⋅− , i=1,2,3

y3ix1iy1iy3iixx3iy1iiyx1ix3i BBBBBBBBBB ⋅−−⋅+⋅=⋅− )()( , i=1,2,3

即

x1ix3i

x1iy3iy1ix3iix

x1ix3i

y1iy3iiy BB

BBBBB

BBBB

B−

⋅−⋅+⋅

−

−= , i=1,2,3 (3.28)

由

iii BPS −= , i=1,2,3

0SB i2i =⋅ , i=1,2,3

0)BP(B ii2i =−⋅⇒ , i=1,2,3

0)BP,BP()B,B( iyiyixixy2ix2i =−−⋅

0))CBA(P(BPBBB ixiyy2iixix2x2iix =+⋅−+⋅+⋅−⇒

其中：

x1ix3i

y1iy3i

BBBB

A−

−=

)( ,

x1ix3i

x1iy3iy1ix3i

BBBBBB

C−

⋅−⋅=

)( , i=1,2

0B)CP(PBB)ABB( y2iiyixx2iixy2ix2i =⋅−++⋅+−⇒

)BAB(B)CP(PB

By2ix2i

y2iiyixx2iix ⋅+

⋅−+= , i=1,2 (3.29)

17

同時亦可解得 。 iyB

注意到上式的 i 值只有 1、2，因為根據座標之設定取向第三根滑軌之位置計

算較為單純，不須經此一繁瑣之計算，由於第三個滑軌與 X 軸平行因此第三根

滑軌之 X 座標為固定值3lengthBase _

− ，其中 Base_length 為下平板中垂線長度;

而第三根滑軌之 Y 座摽，由於桿子與滑軌永遠保持垂直，因此第三根滑軌之 Y

座標等於第三根桿子向量投影於基座座標{ }B 之 Y 分量值（ ）。 iyP

1P2P

3P

P

B

圖 3.3 上下平板與桿子之座標關係圖

首先，我們先來定義線性馬達平台上下平板之座標點，如下所示:

= ( P *1P P 3

1 , P * 32 * , 0 ) o60Sin

= ( P *2P P 3

1 , -P * 32 * , 0 ) o60Sin

=( -P *3P P 3

2 , 0 , 0 )

18

X

Y

Z

圖 3.4 三桿平台上平板之座標

其中：

P = 230* o60Sin mm

=( B*1BB 32 , 0 ,0 )

=( -B *2BB 31 , -B * 3

2 * , 0 ) °30Cos

=( -B *3BB 31 , B * 3

2 * , 0 ) °30Cos

其中：

B = 1050* o60Sin mm

X

Y

Z

19

圖 3.5 三桿平台下平板滑軌之座標

3.4

位置變化之機構，我們定義兩個運動空間[8]:

Cartesian Space

順向運動學之理論推導

三桿六自由度平台是由三根桿件伸縮與桿子支點滑動而使上平台得到姿態

與

[ x y z φ θ ψ ] T

Joint Space [1

S2

S3

S12

B22

B32

B ] T

其中：

[ 為上平台的位置。

x y z ] T

[φ θ ψ ] T 為上平台姿態變角度。

關係如下圖所示: Cartesian Space 與 Joint Space 的

Inverse Kinematics

Forward Kinematics

Joint Cartesianp ce

xy

Space S a

zφθψ

2d

3

1

2l3l

1d

dl

20

圖 3.6 Cartesian Space 與 Joint Space 關係圖

[1

S2

S3

S ] T 為桿長，[12

B22

B32

B ] T 為動子與起點的距離，如下圖所示：

iS iP vT

BO

1iBiB

2iB

3iB

pOi

p P

圖 3.7 順向和逆向運動之位置向量示意圖

順向運動學為在三桿六自由度平台系統中，給定三根桿件支點在線性馬達滑

軌之位置，並求得上平台之姿態方位，我們採用 Newton-difference 疊代數值法，

在 Newton-difference 疊代運算中需要用到 Jacobian 矩陣，此矩陣為受限方

程對姿態方位變數之微分矩陣，如受限方程為動子位置之逼近函數，則不易求

得，所以我們採用牛頓差分法(Numerical Linearization Newton-difference Method)

來求 Jacobian 斜率矩陣；同時因動子位置為由光學尺量得，故亦可間接由桿長逼

近法求得對應之平台姿態方位，以下我們針對兩種方法進一步地探討：

桿長逼近法

由平台機構找出受限方程，再以疊代運算求其解。

21

此法即為給定桿子長度，求得上平台之姿態與中心位置，且為了達到求解

速度上的要求，我們引進 Newton-difference 數值方法，來求解前向運動的問題。

首先由平台機構找出受限方程式，再以 Newton-difference 疊代運算方式來求解。

機構的受限方程式：

(3.30)

0)()( 21 =−−−= iiiT

iii lBPBPφ

0)(2 =⋅−= iiii dBPφ (3.31)

其中： id 為線性馬達單位向量，i=1,2,3

對受限方程式微分，可得：

T

0=+=∂

qXi && φφ∂t qxφ

(3.32)

其中：

[ ] [ ]ψϑϕ &&&&&&&&& zyxqpX T == ，

[ ]llldddq 321321 &&&&&&& = T

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (3.36) 6,5,4

(3.35) 3,2,1 , 222

(3.34) 6,5,4

(3.33) 1,2,3 22

2

1

=×=×=

×=×==⋅−

=∂

=×=×==∂

==∂

⋅∂

∂

==−+=∂

iumum

dmdPRdPRqdP

q

iSmSPRSPRqq

ipdpp

dBp

ipSpBmTpp

TT

Tiii

Ti

pi

TpiT

iivi

Tiii

Ti

pii

ii

Ti

Ti

Tiiv

i

ωω

ωω

ωω

φ

∂φ

2 −+=mT

p ivi

1∂ Tpiφ

∂∂ qq i+ BRT pφ

iiii

&&

&

&&

&&&

由此可得到

&

&

ip

i PRm = 其中 ω為平台之角速度，且

Xφ 矩陣：

22

( ) ( ){⎢⎡ −+ Tv BmT 112 }( ) ( ){ }( ) ( ){ }

( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣ ×××

−+×−+−+×−+−+×

=

TT

TT

TT

Tv

Tv

Tv

Tv

Tv

X

dmddmddmd

BmTmBmTBmTmBmTBmTm

333

222

111

22233

22222

111

22222

φ (3.37)

將上式以泰勒級數展開，可得：

( ) 0=+∆∂∂

+ LXX

X φφ (3.38)

將展開式的高階項忽略，可得：

( )φφ 1−−=∆X X (3.39) 上式為應用 Newton-Difference 數值方法之疊代運算所求得。

23

第四章 網路監控系統

4.1 簡介 TCP/IP

1960 年代，美國國防部(Department of Defense ：DOD)為了使不同的作業系

統或檔案格式等能夠互相通訊，以便能共享資源，於是成立了美國國防部高等計

畫研究局(Advanced Research Project Agency ：ARPA)，ARPA 架設了一個研究性

網路，稱為 ARPANET。

到了 1980 年代，DOD 為了推廣 TCP/IP 通訊協定，利用低價方式提供社會

各界使用，配合加州柏克萊大學成功將 TCP/IP 植入 BSD(「柏克萊標準版」)UNIX

的 4.2 版中，通訊協定獲得了廣泛使用者的好評。此版的 UNIX 廣泛應用於教育

與研究機構，並可做數種商業 UNIX 使用基礎，例如 Sun 的 SunOS 及 Digital 的

Ultrix。因為 BSD UNIX P 及 的關係，所以現在大部

分 UNIX 都會加入 TCP/IP，至此 TCP/IP 走上實用階段。

的特點

上的 通訊協定，並沒有因為協定早已存在，或因為委託軍方

單位管理 此一前所

未有的需求，然而 正好擁有這些重要特點符合需求。這些特點是[9]：

開放的協定標準、免費不受任何硬體或作業系統限制且支援廣泛。

建立 TCP/I UNIX 作業系統間

TCP/IP 與 Socket

Internet TCP/IP

，而廣受歡迎。而是在適當時機剛好遇到「世界性數據通訊」

TCP/IP

1.

24

2. 不受特定網路硬體限制。讓 TCP/IP 能把眾多不同種類網路整合在一起。

3. 通用的位址設計，使每個 TCP/IP 裝置都可以透過讀一無二的位址，找到

整個網路中的其它裝置。

4. 各種標準化的高階協定，提供使用者廣泛且持續的服務。

Socket 第一次出現於 Berkeley Unix 中，作為 TCP/IP 網路設計的橋樑，為一

經由它發展網路應用程式也變得容易許多。使用 Socket

開發

n 出

一套

式。

因此以 ix 程式，可以輕易的移植到 Windows 上，只

需要 的網路程式

便是

電腦資訊的傳遞大致上可區分為兩個類別 ，如 ，

。另一個是快速的資料傳遞 如電子郵件。而 TCP(Transmission Control

與 e 就分別

用來因應這兩種需求的。

最主要的目的就是達到無錯誤的大量傳輸資料，並且能夠偵測錯誤。當

傳送資料前，會先建立兩主機間的連線，而保證資料的正確性，專題最後所

個簡單的程式介面(API)，

應用程式的人越來越多，因為 Unix 越來越流行了。而 Unix 之所以流行的原

因是因為其標準的網路功能均使用 Berkeley Socket 為基礎發展出來的。連帶的使

Socket 變成最通用的網路設計介面[10]。

Wi dows Socket 簡稱 WinSock 以 BSD UNIX 中的 Socket 介面為基準，定

可讓網路開發人員在 Microsoft Windows 環境下開發標準的 TCP/IP 網路程

包含了 Berkeley Socket 提供的呼叫函式，以及針對 Windows 的擴充函式。

BSD Socket 介面所寫的 Un

小部分修改即可，對以往來說，已經變得很容易的了。而實驗中

由 WinSock 應用介面(API)所撰寫。

4.2 TCP 與 UDP

：一是資料的大量傳遞 FTP

網頁瀏覽等 ，

Protocol 傳輸控制協定) UDP(Us r Datagram Protocol 使用者資料協定)

4.2.1 TCP 的概念

TCP

TCP

25

使用的就是此種傳送協定。

傳送方式：先將資料分割成許多小封包，並在封包上都加上檢查碼，排序資

訊後將封包經由 Internet 送到目的地，對方主機接收後

誤時，TCP 便會要求來

源主機再傳送一次資料，因此可以確保資料傳送的正確性，但是缺點是速度較慢。

4.2.2 UDP 的概念

UDP 主要是用來傳送少量資料，並且只做單向傳送，傳送前並不會在兩主

機間做連線，直接將封包送到目標主機。

傳送方式：UDP 將封包植激傳送到目的地，並使用簡單的檢查碼，一旦發

現所傳送的資料有 並不會要求來源主機再次傳送，並直接將封包丟棄，也

不保證傳送到目的地的封包排序是正確的。

.3 伺服端監控

.3.1 程式介紹

程式，平台動作經由逆向運動方程式，以 3D/VR 顯示於平

台的

程式，可得知線性馬達移動距離，

及伺服馬達導螺桿伸縮距離，再由 8136M 卡下命令給伺服馬達與線性馬達，

方位姿態的目的。

，會藉由檢查碼以及排序

資訊來檢查傳送過來的資料是否正確，假如傳送中出現錯

誤時，

4

4

伺服端為一監控

動作狀態。在配合網路功能，傳送六個自由度的資料，在遠端的客戶端可監

控平台運動狀態[11]。

監控程式以 VISUAL C++ MFC 所撰寫，在 WINDOWS 作業平台下開發出來

的視窗程式，顯示功能則由 OpenGL 應用介面(API)來構圖，程式運算上平台的

方位姿態，程式為橢圓運動軌跡，經逆向運動方

以

以達到控制上平台

26

圖 4.1 伺服端監控程式方塊圖

網路程式方面，便是由 WinSock 應用介面(API)所撰寫，並使用 TCP/IP 網路

通訊協定，利用 TCP 可偵錯 排序資訊及復原的優點傳送大量資料，以補 IP 不

足之缺點。

採用非 A 因其為 s 下撰 t 程

的最好方案，因為一個程式可同時執行數網路工作，不會浪費 CPU 資源去輪

流詢問網路狀態。也就是說非同步擴充 Windows API 可以同時執行接收和傳送資

料。

流程

位姿態給客戶端。

程式介紹

，可經由逆向運動方程式運算，

3D/VR 顯示遠端伺服端平台實際方位姿態，同時客戶端也可以下達指令給

、

監控程式 同步擴充 Windows PI， Window 寫 Socke

式

4.3.2 軟體

伺服端開啟一個 Socket 等待客戶端連接，客戶端與伺服端連上後，即等待

客戶端下達命令。當客戶端下達命令要伺服端開始運算運動軌跡時，伺服端同時

傳送平台的方

4.4 客戶端監控

4.4.1

客戶端接收伺服端傳送過來的平台方位姿態

再用

伺服端以控制平台的動作或停止。

橢圓軌跡 逆向運動方程式

3D/VR

比較 8136M 卡

線性馬達

伺服馬達

編碼器

光學尺

27

圖 4.2 客戶端程式流程圖

4.4.2 軟體

客戶端開啟一個 Socket 與伺服端連線，並可傳達命令透過伺服端使平台動

，並將伺服端傳來的平台方位姿態透過逆向運動方程式計算得到線性馬達移動

距離與伺服馬達導螺桿伸長距離，利用 3D/VR 顯示。

逆向方程式運算

與伺服端連接

接收伺服端

傳送的資料 下命令給

伺服端

關閉 Socket

開啟 Socket 與伺服端

連接

3D/VR 顯示

程式開始

流程

作

28

圖 4.3 伺服器外觀

29

第五章 模擬結果與驗證

三桿六自由度平台程式動作流程簡介

一開始，程式會判定馬達定為旗標是否為零，如果是的話，才可以執行

ation-motion 的函式，orientation-motion 的函式主要目的是控制三個伺服馬

達和三個線性馬達的動作。

5.1

orient

否

否

是

是

是

否

是

判斷馬達定位

旗標是否為零

執行馬達

orientation-motion

判斷馬達是

否定位

馬達移動指標

＝True

判斷是否執

行 up 動作

馬達定位失敗 程式結束

線性馬達向左移動到底

開始

馬達 點 移動到工作

30

31

否

是

否

程式動作流程圖

判斷 m_b Run

Path 是否為真 程式結束

平台執行 sinw

ave

判斷 th

case 1

m_Pa

是否為

是

用平台繪圖

執行 _()

執

執行 Pat unt ++ hCircle cue_co

Pout

行 Render show()

圖 5.1 三桿六自由度平台

orientation_mot tion 5 的函式是控

制伺服馬達的向上或是向下移動。

1 0 2

圖 5.2 伺服馬達定位流程圖

ion 1、orientation_motion 3 和 orientation_mo

讀取 SENSOR 的值

判斷

motion point _

回傳馬達定位旗標的結果

伺服馬達向上移動 伺服馬達向下移動 伺服馬達歸位完成並

將相關數值設定成 1

32

orientation_motion 2、orientation_motion 4 和 orientation_motion 6 的函式是控

制線性馬達的向左或是向右移

0 1 2

動。

讀取 SENSOR 的值

判斷

motion_point

回傳馬達定位旗標的結果

線性馬達向左移動 線性馬達向右移動 線性馬達歸位完成並

將相關數值設定成 1

圖 5.3 線性馬達定位流程圖

33

當伺服馬達與線性馬 斷馬達是否定位。當定位

成功後，程式就會設定馬達移動旗標為 True，若定位失敗，程式就會結束。

0 1 2

否

是 是

圖 5.4 馬達移動到工作點的動作流程圖

馬達定位之後，我們就可以在程式面板上(圖 5.5) 執行 Reset 按鈕，三顆線

會向左移動，到達原點，三顆線性馬達再根據程式所傳送的 pulse 數，

使三顆線性馬達向右移動到工作點，

面 上(圖 5.5)，執行 Up 按

鈕，在按下 Up 按鈕後，三顆伺服馬達就會向上移動到工作點，此時，我們就可

達均抵達工作點後，程式會判

34

否

將線性馬達移到中間

判斷馬達移

動旗標的值

線性馬達是

否移到中間

伺服馬達是

否移到工作

清除計數器

線性馬達移到中間(左右移動)

馬達不動 馬達不動

伺服馬達移到工作點(上下移動)

性馬達皆

決定工作點，我們大約送 125000 個 pulse，

在三顆線性馬達到達工作點之後，我們就可以在程式 板

以由程式透過 PCI-8136M 六軸運動控制卡送入任何我們想要的訊號，我們在此

驗開始，是先對單軸送入一個 sin 波，在三桿自由度平台上的陀螺儀就會紀錄

到上平台三軸的角速率，然後透過低通濾波器將雜訊濾掉，我們將已經處理過的

訊號，透過程式內部的四元素法轉成角度。

實

圖 5.5 網路監控程式面板

35

5.2 陀螺儀量測與四元素

我們將透過程式內部的四元素法轉成角度的數據存起來之後，透過

MATLAB 畫出三軸的角度圖形和角速率圖形，如（圖 5.7）到(圖 5.15)，在程式

執行一陣子後，我們可以在程式面板上按下 STOP 使動作停止。

我們將陀螺儀測得的三軸角速率，從濾波至角度產生的過程說明如下所示：

P、Q、R 角速率

圖 5.6 濾波過程說明流程圖

法計算之模擬驗證

陀螺儀 LowPass Filter 四元素法 得到三個角度

一開始啟動平台，使用陀螺儀量測數據，符號使用分別為：X 軸代表滾動

(Roll)，Y 軸代表俯仰(Pitch)，Z 軸代表偏航(Yaw)。角度個別為(φ、θ、ψ )。由

於陀

擾。第二點，陀螺儀本身具有飄移誤差。對於誤差的解決，依序敘述如下:

Matlab

螺儀有兩種誤差需要解決，第一點，陀螺儀靈敏度高很容易受到雜訊的干

實驗一開始，先用陀螺儀測量出平台動作姿態的原始數據，利用 繪

出三軸 X、Y、Z 的原始角速率圖形如下頁所示：

36

圖 5.7 未濾波 X 軸角速率

圖 5.8 未濾波 Y 軸角速率

圖 5.9 未濾波 Z 軸角速率

我們再將原始角速率數據，經由低通濾波器程式，將陀螺儀因受到干擾的雜

訊濾除。我們設定每個 Sin 波取 300 點，取樣頻率為為每秒 100 點，因此每一個

Sin 波週期為 3 秒，所以頻率為 31 。故低通濾波器所使用的 πω 32=p 。所得到的

37

數據用 Matlab 畫出圖形，如下所示：

圖 5.10 濾波後 X 軸角速率

圖 5.11 濾波後 Y 軸角速率

圖 5.12 濾波後 Z 軸角速率

經由低通濾波器所濾的數據，在經由四元素法轉換出我們所要的角度(φ、

θ、ψ )在使用 Matlab 畫出圖形並與當初要求平台所動的姿態作比較。所得到的

38

圖形如下所示：

圖 5.13 X 軸角度 四元素法轉換後

圖 5.14 四元素法轉換後 Y 軸角度

圖 5.15 四元素法轉換後 Z 軸角度

以上的圖未能盡善盡美，後來，我們又修改了濾波器，並利用 runge-kuta 法

修正圖形，得下圖：

39

圖 5.16 改良濾波器濾波後所量測到的角速率

圖 改良濾波器濾波後所量測到的角度

5.17

40

第六章 結論和未來展望

在這個專題中，在硬體部分，也就是整個三桿六自由度平台的動作流程，我

們已經將它完全架構出來，但在雜訊濾波部份，我們也大致上將雜訊濾到可以接

受的程度，而至於陀螺儀會有那麼多雜訊，我們覺得這與三桿六自由度平台的干

擾有關，因為三桿六自由度平台為由三個線性馬達和三個伺服馬達所構成，六顆

馬達造成的震動，還有一些電磁干擾，以及由於線路雜亂所造成的偏差，都會影

響到陀螺儀的準確度。由於陀螺儀的靈敏度太高，我們在多次量測數據時，早上

量的數據和下午量測到的數據會有些許的差別，但影響不會很大，後來經過我們

討論的結果，認為可能與地球磁場有些關係。另外，當初在架設陀螺儀時，理論

上，在陀螺儀的 X 軸、Y 軸、Z 軸的中心應該對準在三桿六自由度平台的上平台

中心，但實際上並沒有 我們測了許久，並將陀螺儀的位置換的好幾個方向，

找出一個最佳點，才完成陀螺儀的架設，在實際運用上，由於飛機的質心很大，

所以陀螺儀的架設位置，不需要很精準的放在飛機內的某一特定點上，但三桿六

自由度平台的質心很小，所以放的位置需要做很精準的校正。

，後來

在未來展望方面，這個專題可應用地方很廣，可用來模擬飛機飛行姿態之

外，讓飛行員不用操縱真的飛機，就可以感受到真實飛行情況，如再搭配 3D/VR

的虛擬實境，在平台上操縱虛擬飛機的感覺，就跟真實的一樣，並可提早發現出

飛行員在飛行時所會遇到的問題，比如說“空間迷向”等，以節省人員訓練的成

本，甚至可以模擬蘇愷戰機的“眼鏡蛇”動作，讓一般飛行員，能夠體驗操縱真實

戰機的感覺，我們更可以利用本專題所用到的知識，可以用程式控制任何會動的

東西，比如說“智慧型機器人”。

41

參考文獻

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