DOSSIER ANNEXE - Typepad

Stage ingénieur Maître de stage : D. GARCÍA MASIÁ.C Stagiaire : M. CERESA.P

DDOOSSSSII EERR AANNNNEEXXEE

Projet d’étude :

«« EEttuuddee cciinnéémmaatt iiqquuee eett ddyynnaammiiqquuee dd’’ uunn aaxxee ddee tt rr aannssmmiissssiioonn dd’’ eennggrr eennaaggee ccyyll iinnddrr iiqquuee àà ddeennttuurr ee ddrr ooii ttee »»

Université Polytechnique de Cartagena Année 2004 - 2005

Elève Ingénieur Productique 3ème année

Université de Savoie

Laboratoire d’Ingénierie Mécanique ANNEXES (Stage ingénieur)

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I. CONTENU THEORIQUE DE L’ETUDE 3

A. SOLIDE INDEFORMABLE 3 a) Axe de transmission (Modélisation, Montage) 3 b) Roulements (Modélisation, Montage) 4 c) Engrenage (Modélisation, Montage) 7 d) Engrenage (Etude cinématique) 11 e) Engrenage (Etude dynamique) 15 B. SOLIDE DEFORMABLE 18 1. ETUDE STATIQUE 18 a) Arbre de transmission (étude des contraintes) 18 b) Arbre de transmission (étude des déformations) 26 2. ETUDE DYNAMIQUE 30 a) Arbre de transmission 30 3. ETUDE VIBRATOIRE 32 a) Arbre de transmission (analyse modale) 32 b) Arbre de transmission (analyse harmonique) 33

II. ETUDE DETAILLEE 34

A. SOLIDE INDEFORMABLE 35 a) Engrenage (dimensionnement) 35 b) Engrenage (étude dynamique) 36 c) Roulements (dimensionnement) 37 B. SOLIDE DEFORMABLE 38 1. ETUDE STATIQUE 38 a) Arbre de transmission (étude des contraintes) 38 b) Arbre de transmission (étude des déformations) 50 2. ETUDE DYNAMIQUE 59 a) Arbre de transmission 59 b) Choix des roulements 62

III. CONCENTRATION DE CONTRAINTES 63

IV. COEFFICIENT DE SENSIBILITE « Q » 71

V. GRAPHIQUES DE L’ANALYSE HARMONIQUE 72

VI. TUTORIAL (EX. POUR « SOLIDWORKS ») 75

VII. ARTICLE 76

VIII. REFERENCES 77


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II.. CCoonntteennuu tthhééoorr iiqquuee ddee ll ’’ééttuuddee

AA.. SSooll iiddee iinnddééffoorrmmaabbllee

aa)) AAxxee ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((MMooddééll iissaattiioonn,, MMoonnttaaggee))

Axe ou arbre ?

- un axe est un élément de machine qui sert à supporter d’autres éléments de

machine qui seront soumis à un mouvement de rotation, telles que les poulies. Les

axes peuvent être immobiles vis-à-vis des éléments qu’ils supportent ou alors être

solidaire de ces derniers et tourner avec eux, mais jamais ne transmettent de

puissance due à un couple de torsion.

- Un arbre est également un élément de machine qui tourne solidairement avec les

éléments de machine qu’il supporte (les engrenages par exemple), mais à la

différence des axes, il transmet de la puissance.

Dans notre cas d’étude, il s’agit donc d’un arbre de transmission. Parmi les arbres, nous

pouvons distinguer trois grands groupes, dont celui des arbres droits, le quel va retenir notre

attention. Les arbres droits présentent une symétrie axiale (propre axe de rotation) et

constituent le type d’arbre le plus utilisé.

Utilisant un arbre droit pour réaliser notre transmission d’engrenage, il nous faut maintenant

définir la solution envisageable pour transmettre la puissance (liaison roue/arbre).

Dans certain cas, les éléments rotatifs sont intégrés directement sur l’arbre (par exemple, les

roues dentées de faible diamètre qui directement usinée sur le corps de l’arbre), cependant, de

manière générale, ces éléments rapportés sont fabriqués séparément et sont ensuite montés sur

les arbres. L’union entre l’élément rotatif et l’arbre peut être classifié selon eux groupes

fondamentaux :

- Union par frottement

- Union par « forme » (ou par obstacle)


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Nous allons nous concentrer sur l’union par « forme ». Dans ce cas, la transmission du couple

est assurée à l’aide d’une pièce spéciale, telle que la clavette, ou pour la forme des sections

des pièces à unir (par exemple les cannelures). Ce dernier cas est utilisé lorsque la valeur du

moment de torsion à transmettre est élevée.

Les unions les plus courants, dus à leur simplicité et sécurité de construction, facilité de

montage et démontage de l’ensemble, coûts très faibles sont ceux réalisés au moyen de

clavettes. Dans cette catégorie d’élément, il existe différents types de clavettes (de section

carrée, de section rectangulaire, de disque, …) répondant à différentes nécessités de

conception.

Dans notre cas, nous utiliserons une des plus fréquemment utilisée, celle de section

rectangulaire avec les extrémités arrondies.

Le problème de la transmission étant résolu, il faut penser a l’union entre les arbres, c'est-à-

dire entre l’arbre de transmission (porteur du pignon) et l’arbre moteur. On parle alors

d’accouplement, et dans ce cas, d’ « accouplement permanent ». Parmi ces accouplements

permanents, deux groupes se distinguent :

- Accouplements rigides

- Accouplements flexibles

L’application des accouplements rigides est limitée à des cas peu courants, où les arbres sont

colinéaires avec un très bon alignement. Dans le cas d’un défaut d’alignement ou de

colinéarité, ce type l’accouplement génère au niveau de la liaison, des arbres et de leurs

appuis des efforts supplémentaires qui peuvent entraîner la rupture prématurée du système.

Les problèmes générés par un faible désalignement entre les arbres peuvent s’éliminer (ou

mieux dit « corrigés ») en utilisant un accouplement flexible. Ce type d’accouplement permet

également de réduire les efforts négatifs de variation brusque des couples de torsion (et

vibration) qui pourraient être transférés entres les arbres accouplés. Pour notre étude, le choix

va se faire pour un accouplement flexible.

bb)) RRoouulleemmeennttss ((MMooddééll iissaattiioonn,, MMoonnttaaggee))

Dans notre cas, il n’est pas de notre ressort de faire une étude cinématique ou quelques autres

études que ce soit concernant les roulements.


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Nous sommes dans le cas de réaliser un montage ayant des caractéristiques précises

auxquelles nous devons satisfaire, ainsi nous allons définir la méthode ou expliquer comment

choisir le type de roulement nécessaire à notre étude.

A chaque type de roulement correspondent des propriétés et caractéristiques qui en font un

type adéquat ou non pour l’application donnée. Néanmoins, il n’est pas possible d’établir une

règle fixe pour le choix du type de roulement.

Dans de nombreux cas, les dimensions principales du roulement, notamment celle du

diamètre intérieur, sont déterminées par les caractéristiques de conception de la machine ou

du montage pour lequel il est destiné.

Par exemple, normalement nous utiliserons des roulements à billes pour axes de petits

diamètres, alors que pour des plus gros diamètres nous préfèrerons des roulements à aiguilles.

La détermination d’un type de roulement se fait surtout en fonction de l’application que l’on

va en faire, c'est-à-dire en fonction des charges qu’il devra supporter, ainsi que des conditions

de durées de vie et de fiabilité espérées (ou plus généralement imposées par le cahier des

charges). Ce qui, dans notre cas, est défini de façon implicite.

En effet, nous parlons d’une transmission d’engrenage, ainsi, prenant comme référence

l’expérience du fabriquant de roulement « SKF » [réf.1], nous pouvons observer que nous

nécessitons un roulement ayant une durée de vie appartenant à l’intervalle défini ci-après :

[10000 - 25000] en heures

Photo.1


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Dans un second temps, de relativement petites dimensions et soumis à des charges de faibles

intensités, notre montage nous incite à choisir des roulements à une rangée de billes.

Caractéristiques des roulements à une rangée de billes :

Ils peuvent supporter des charges axiales et radiales, de plus ils sont très appropriés dans le

cas d’un nombre de révolutions élevé. Pour ces raisons et du à son prix économique, les

roulements à billes sont les plus utilisés de tous les roulements.

C’est donc sur un roulement à une rangée de billes et ayant une durée de vie comprise dans

l’intervalle [10000 – 25000 [heures]] que notre choix s’est fait. Utilisant la formule de calcul

de durée de vie du roulement (étudiée ultérieurement) et après avoir réalisé l’étude structurale

de l’arbre de transmission, nous pourrons définir les dimensions du roulement choisi.

Tableau.1


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cc)) EEnnggrreennaaggee ((MMooddééll iissaattiioonn,, MMoonnttaaggee))

Taillage des roues cylindriques [réf.2] : Il existe deux méthodes de taillage des roues cylindriques :

- Taillage par fraise de forme

- Taillage par génération (de loin, le plus répandu)

Tableau.2


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Taillage par fraise de forme Ces fraises sont à profil constant dans tous les plans d’affûtage passant par l’axe. Dans le cas

d’une denture droite, ce profil est identique à celui de l’entre dents de la roue taillée. Les

fraises disques ne sont utilisées actuellement que sous la forme d’outils à très grande

productivité, avec lames en carbure (Photo.2), avec performance sans commune mesure

comparée aux anciennes fraises en acier rapide. Ainsi, elles permettent, par exemple, le

taillage ébauche des roues de grand diamètre et gros module, dans un temps très intéressant, le

taillage finition par fraise mère ou outil crémaillère introduisant la qualité de denture

suffisante. Les machines à tailler sont évidemment très simple.

Taillage par génération Nous distinguerons trois principaux procédés :

- taillage par outil crémaillère

- taillage par fraise mère

- taillage par outil pignon

Taillage par outil crémaillère Les outils crémaillères se présentent sous la forme d’une partie de crémaillère à dents

détalonnées, les arêtes tranchantes étant aménagées par un affûtage variant suivant le type et

le module de l’outil.

Durant le mouvement de coupe, il y a un mortaisage dirigé parallèlement à l’axe ou

obliquement par rapport à cet axe, selon que la denture taillée est droite ou hélicoïdale

(Photo.3), les arêtes tranchantes enveloppe la crémaillère équivalente de l’outil.

Le mouvement de génération consiste à faire rouler sans glisser le cylindre primitif de

génération de la roue taillée sur le plan primitif correspondant de la crémaillère équivalente

(Photo.4).

denture droite 0.mzd = eq. I.1

Photo.2


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Taillage par fraise mère Elle apparaît sous l’aspect d’une vis sans fin entaillée suivant un certain nombre de gorges

longitudinales de façon à aménager des arêtes tranchantes (Photo.5).

Nous appellerons « vis équivalente à la fraise » la vis qui contient toutes les arêtes tranchantes

(au cours des différents affûtages, cette vis équivalente diminue en diamètre). Cette vis forme

avec la roue taillée, un engrenage gauche hélicoïdal.

Relation normale entre la vitesse angulaire :

0

0

z

z

w

w = eq. I.2

Photo.3

Photo.4

Photo.5


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tailléeroueladedentsdenombrez

fraiseladefiletsdenombrez

droitedentureàroueunedangulairevitessew

fraiseulairedelavitesseangw

====

0

0

'

Avec (Photo.6) Taillage par outil pignon L’outil pignon se présente sous l’aspect d’une roue dentée cylindrique. Comme pour les

autres types d’outils, une opération de détalonnage est nécessaire pour obtenir des conditions

de coupe normales.

Les arêtes actives sont les intersections de la surface de détalonnage avec la surface

d’affûtage. Le mouvement de coupe est un simple mortaisage. Les arêtes actives enveloppent

la roue équivalente à l’outil. Celle-ci est une roue à denture droite comme l’illustre la Photo.7,

dans le cas d’un mortaisage rectiligne.

Photo.6

Photo.7


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dd)) EEnnggrreennaaggee ((EEttuuddee cciinnéémmaattiiqquuee))

Génération de l’engrenage Dans la partie qui suit vont être développés les fondamentaux théoriques nécessaires à la

génération des superficies des dents d’un engrenage cylindrique à denture droite.

L’action conjuguée entre les superficies en contact linéaire et la génération de celles-ci au

moyen de la superficie d’un outil (crémaillère, disque, fraise, etc.) est basée sur le concept de

développante d’une famille de superficie.

Nous nommerons la superficie générée (2Σ ) et génératrice (1Σ ).

1ère étape :

La détermination de la superficie 2Σ à partir de la superficie 1Σ requière l’utilisation des

systèmes de coordonnées fSSS ,, 21 (fig.1) solidement connectés à1Σ , 2Σ et à la carcasse de

la transmission où sont montés respectivement les axes de rotation de 1Σ et 2Σ .

Avec I, centre instantané de rotation (CIR) Concernant les trois systèmes de coordonnées, nous pouvons définir 1S comme étant le repère

fixe de la crémaillère (par exemple), 2S celui de la roue dentée (pignon ou roue) et enfin fS

celui du point de rencontre entre les deux systèmes précédents.

Le profil de la crémaillère peut-être représenté de la façon suivante (fig.2)

x1

x2

xf

y1

y2

yf

r

φrS=

φ

2,OO f

1O I

fig.1


-12/77-

Avec les équations suivantes :

αα

cos

sin

1

1

×=×=

uy

ux

Dans ce cas, nous avons alors « α » qui représente l’angle de pression, « u » est un paramètre

variable qui détermine la localisation instantanée du point situé sur le profil de la crémaillère

(avec u>0 pour le point M et u<0 pour le point M’).

Le déplacement « S » de la crémaillère et l’angle de rotation « φ » de l’engrenage sont mis

en relation par l’équation suivante :

φrS= Le problème, ou mieux dit, l’objectif va être de dériver l’équation d’engrènement :

( ) 0, =φuf En utilisant deux approches, considérant que :

- La normale au profil de la génératrice (crémaillère) au niveau du point de contact

doit passer par le centre instantané de rotation « I ».

- Le point instantané de contact est déterminé par l’équation :

( ) 01211 =⋅vN

Dans laquelle 1N est la normale au profil de la génératrice et ( )121v le glisseur (vecteur

vitesse). Les deux vecteurs sont représentés dans1S .

1ère approche :

Nous considérons les équations :

011

1111 =−

−−

yx N

yY

N

xX

où φrX =1 et 01 =Y et sont les coordonnées de I (CIR) représenté dans1S .

M

M’

x1

y1

1O

α

fig.2

eq. I.3

eq. I.4

eq. I.5

eq. I.6

eq. I.7


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[ ]TkTN 0sincos111 αα −=×=

où 1T et 1N sont la tangente et la normale au profil de la génératrice et 1k est le vecteur

unitaire de l’axe 1z .

De ces trois dernières équations, nous obtenons l’expression suivante pour l’équation

d’engrènement :

( ) 0sin, =−= αφφ ruuf 2ème approche :

Le vecteur glissant ( )121v est représenté par l’équation :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

−−

⋅

−⋅

−=×+×−−=−=

00

sin

cos

0

0111112

11

112

1 φαα

wr

wr

wu

wurw

wRrwrwivvv

( ) ( )

+−=0

sin

cos12

1 φαα

ruw

wu

v avec [ ]01 rrR −= φ qui représente le point 2O définit

dans 1S D’après les équations eq.4, eq.7 et eq.9 nous obtenons la même expression que précédemment

pour définir l’équation d’engrènement, soit l’équation :

( ) 0sin, =−= αφφ ruuf

2ème étape :

Avec les conditions de la première étape, nous dérivons les équations de ligne d’action dans

l’engrènement de la crémaillère et de l’engrenage généré.

Cette ligne d’action est représentée par les équations suivantes :

11rMr ff ×= avec

1fM la matrice de passage de 1S à fS

( ) 0sin, =−= αφφ ruuf

Nous obtenons alors :

0sin

cos

sin

=−

+=

−=

αφα

φα

ru

ruy

rux

f

f

et après modification nous nous retrouvons avec les deux équations suivantes :

eq. I.8

eq. I.9

eq. I.10

eq. I.11

eq. I.13 eq. I.12

eq. I.14


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ααφαφ

cossin

cos2

rry

rx

f

f

+=

−=

La ligne d’action LK (fig.3) est une ligne passant par I (CIR) et qui forme un angle « απ − »

avec l’axe « fx ». Les points appartenant au segment [IK] correspondent à l’inéquation 0≥φ

et ceux appartenant à [IL] à l’inéquation 0≤φ .

3ème étape :

Toujours avec les même conditions initiales vues dans la première étape, nous dérivons les

équations du profil de dent de l’engrenage généré. Le profil de dent de l’engrenage généré est

alors représenté par les équations suivantes :

( ) 0sin,1121212

=−=

××=×=

αφφ ruuf

rMMrMr ff

avec

( )( )

+−+−

=100

cossincossin

sincossincos

21 φφφφφφφφφφ

r

r

M

fy

απ −

α

r

I

K

L

fx fO

fig.3

eq. I.15

eq. I.16

eq. I.17


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La matrice de passage de 1S à 2S (combinaison d’une rotation et d’une translation) est donc

définie par la matrice vue ci-dessus.

Utilisant cette matrice ainsi que les deux premières équations, nous obtenons les expressions

suivantes :

( ) ( )( ) ( )

0sin

sincoscos

cossinsin

2

2

=−+++=

−++=

αφφφφαφφφφαφ

ru

ruy

rux

Ces équations représentent le profil généré (plan bombé). Cependant dans ce cas particulier,

comme l’équation d’engrènement est linéaire (en relation avec le paramètre « u »), il est

possible d’éliminer ce paramètre des équations et ainsi de ne représenter le profil généré

qu’au moyen d’équations à un seul paramètre de la forme suivante :

( )( )αφαφφ

αφαφφ++=+−=

sincoscos

coscossin

2

2

rry

rrx

Ces deux expressions représentent le profil des dents de l’engrenage généré.

ee)) EEnnggrreennaaggee ((EEttuuddee ddyynnaammiiqquuee))

Cette étude va nous permettre de déterminer les efforts générés dans le cas d’une transmission

d’engrenage cylindrique à denture droite.

Dans tout engrenage, il se traite de transmettre une puissance 1W , qui est générée par un

couple 1M sur l’arbre qui tourne avec une vitesse de rotation 1w , à un autre arbre ayant, quant

à lui, une vitesse de rotation 2w . Le couple 2M obtenu sur cet arbre grâce à la transmission

(par engrenage), générera la puissance en fonction de la relation suivante :

222 wMW ×=

11

22

1

2

wM

wM

W

W

××

==η

où l’équation « eq.21 » représente le rendement de l’engrenage. Considérant un engrenage

cylindrique à denture droite, supposons la roue 1 conductrice et la roue 2 menée, assurant le

contact au point A.

eq. I.18

eq. I.19

eq. I.20

eq. I.21


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L’effort exercé par la roue 1 sur la roue 2 est composé d’un effort normal N et d’un effort

tangentiel N⋅µ opposé au glissement. En conséquence, il s’agit d’un effort global « P » qui

forme un angle ϕ avec la ligne de pression (ligne d’action).

D’après la figure (Photo.8), le couple moteur 1M sera naturellement :

ATNNM 111 ⋅−= µρ Sachant également : αρ cos11 ×= R λα −=−= sin111 RABBTAT En intégrant ces deux dernières équations (eq.23 & eq.24) dans l’équation « eq.22 », nous

obtenons l’écriture suivante :

( )λαµα −−⋅= sincos 111 RNRNM Le couple résistant 2M reprend l’écriture trouvée pour 1M (avec un changement de signe):

222 ATNNM ⋅−= µρ λα

αρ+=

=sin

cos

22

22

RAT

R

De la même façon que précédemment, nous obtenons une nouvelle écriture pour 2M

correspondant à celle de1M , qui est la suivante :

eq. I.22

eq. I.23 eq. I.24

eq .I.25

eq. I.26 eq. I.27

Photo.8


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( )λαµα +−= sincos 222 RNNRM

Les puissances respectives peuvent alors s’exprimer :

( )[ ]( ) 111111

111111

sincos

sincos

wNwNRwMW

wRNNRwMW

λµαµαλαµα

+−=×=⋅−−=×=

et ( ) 222222 sincos wNwNRwMW λµαµα −−=×= Ainsi si nous reprenons l’équation définissant le rendement de l’engrenage, nous obtiendrons :

( )( ) 111

222

1

2

sincos

sincos

wNwNR

wNwNR

W

W

λµαµαλµαµαη

−−−−

==

D’après l’étude cinématique, nous savons que 1122 RwRw = , donc si nous reprenons l’écriture

précédente, nous obtenons :

( )

( )

( )

( )1

2

1

2

sincos

sincos

sincos

sincos

R

R

R

Rλϕϕα

λϕϕα

λµαµα

λµαµαη

×++

×−+=

+−

−−=

( )

( )1

2

cos

cos

R

Rλµϕα

λµϕαη

++

−+≈ prenant en compte que µϕϕ == tgsin

A mesure que l’engrènement va en s’approchant du point B, λ diminue et le rendement « η »

augmente. Quand le contact est au point B, nous obtenons les conditions suivantes :

0=λ et 1=η .

A partir de B et jusqu’au point E ; le rendement recommence à diminuer jusqu’à atteindre un

minimum au dernier point d’engrènement, ce qui nous indique le besoin d’atteindre des

valeurs excessivement importantes pourλ .

Le rendement est donc variable durant l’engrènement, pour cela, dans la pratique, nous

adoptons des valeurs moyennes. Le rendement total oscille entre 0,95 et 0,98 et, quelquefois,

peut atteindre la valeur de 0,99 dans le cas de superficies parfaitement rectifiées et lubrifiées.

eq. I.28

eq. I.29

eq. I.30

eq. I.31

eq. I.32


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Etant donnée la très faible ampleur des pertes, on considère pour l’étude de la transmission

des efforts, que l’effort d’une roue sur l’autre se réduit à la composante normaleN , réagissant

sur la ligne de pression (ligne d’action). Ce qui revient à supposer :

21 WW = et 2211 wMwM ×=× d’où nous déduisons la valeur deN :

αρ cos111 NRNM == On peut alors reprendre la forceN et la décomposée selon deux directions, la première,

tangente au cercle primitif :

1

1cosR

MNT == α

la seconde, radiale, de valeur :

αα tgR

MNR

1

1sin ==

BB.. SSooll iiddee ddééffoorrmmaabbllee

11.. EEttuuddee ssttaattiiqquuee

aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ccoonnttrraaiinntteess))

Dans la partie de l’étude du solide indéformable, dans le cas de l’étude dynamique, nous

avons défini la nature et la valeur des efforts générés au niveau du contact des dents de la

transmission d’engrenage. Ainsi, à partir de ces résultats, nous pouvons commencer notre

étude d’analyse de contraintes sur l’arbre de transmission.

Exemple d’arbre de transmission :

eq. I.33

eq. I.34

eq. I.35

d D


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Nous allons réaliser l’étude statique de cet arbre et calculer les efforts au niveau des appuis,

en prenant en compte les efforts « T » et « R », conséquence de la transmission d’engrenage,

et exprimés par les équations « eq. I.34 » et « eq. I.35 ». Nous prendrons également en compte

la présence du couple de torsion transmis par le moteur à l’arbre de transmission « xC »

NB : Les dimensions d’arbre de transmission et de roues d’engrenages peuvent varier d’un

montage à l’autre. Dans ce cas, il faudrait réaliser cette analyse autant de fois qu’il y a de

diamètres distincts formant l’engrenage. Ceci parce que le diamètre changeant et connaissant

la relation 2211 wMwM ⋅=⋅ , la valeur du couple transmis sera différente d’un arbre à

l’autre.

Ayant représenté les forces présentent sur le montage, avec d’une part les différents appuis

générant des efforts de réaction et d’autre part connaissant les dimensions du système, nous

pouvons effectuer le calculs des efforts. Nous allons nous appuyer sur le principe fondamental

de la dynamique (PFD), dont nous obtenons les équations suivantes :

∑∑

Ι=

Γ=

θ&&EXTF

EXT

M

mF

y

x

x

z

r

a a

A

A

O

O B

B Ay

Ax XC

By

Bx

Bx Ax

Az Bz

T

R

eq. I.36


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Dans le cas de l’étude statique, nous nous trouvons dans le cas particulier où les accélérations

sont nulles, ce qui revient à utiliser les équations suivantes :

∑∑

=

=

0

0

EXTF

EXT

M

F

Dans le cas de l’exemple traité (transmission d’engrenages cylindriques à denture droite),

l’équilibre nous donne les équations suivantes :

∑ EXTF :

=++=++

=+

0:'

0:'

0:'

TzzZaxelsur

RyyYaxelsur

xxXaxelsur

BA

BA

BA

∑ EXTFM :

=×+×=×−×−

=×−

02:)('

02:)('

0:)('

ayaRAenZaxeldeautour

azaTAenYaxeldeautour

rTCOenXaxeldeautour

B

B

X

De ces expressions, nous obtenons les résultats suivants :

0== BA xx 2

Ryy BA −==

2

Tzz BA −==

Connaissant les efforts présents sur l’arbre de transmission, nous réalisons les diagrammes des

efforts et des moments :

eq. I.37

A B

tM

[ ]mmN.

XC

y

x

Moment de torsion selon l’axe x


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Connaissant les efforts présents sur l’arbre de transmission (avec leur valeur respective), les

moments fléchissant et le moment de torsion, nous pouvons commencer à réaliser le calcul

des contraintes, dans le but de réaliser un prédimensionnement de l’arbre.

Ce calcul va se faire en fonction des caractéristiques géométriques de notre arbre de

transmission et des solutions mécaniques choisies pour effectuer le montage (ex : dans notre

cas, nous étudierons un arbre ayant deux changements de section, ainsi que la présence d’une

cavité sur la partie centrale de l’arbre qui servira de logement à une clavette, afin d’assurer la

transmission du mouvement entre l’arbre et la roue dentée montée sur ce dernier).

L’étude peut alors être réalisée suivant l’exemple suivant :

2

R

2

R−

B

B

B

B

A

A

A

A

2

Ra×

2

T

2

T−

2

Ta×−

[ ]N

[ ]N

[ ]mmN.

[ ]mmN.

x

x

y

z

fzM

fyM

Moments fléchissant selon les axes z et y, respectivement


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Cette étude va se diviser en deux étapes principales, avec la première qui permettra de

dimensionner le diamètre minimum de la partie de l’arbre supportant la roue dentée et la

seconde qui dimensionnera le diamètre des parties extrêmes de l’arbre sur lesquelles

viendront se positionner les roulements (par exemple).

Nous procédons au calcul des contraintes (pour le diamètre « D » de l’arbre)

Il existe deux méthodes de résolution (l’une plus rapide que l’autre et tout aussi performante

au niveau de la pertinence des résultats).

Méthode 1

v

I

M

Z

MaxifMaxi

)(=σ

avec 2

)(2

)()( MaxitMaxifrMaxif MMM +=

soit, avec l’étude précédente

( )[ ] 2222

)( 4 XMaxif CRTa

M ++−=

et 32

3D

v

I Z π=

Méthode 2 Nous utilisons la matrice des tenseurs

suivante :

000

00

0

: XY

XYXX

ττσ

σ

avec XXσ et XYτ qui représentent respectivement les contraintes de traction/compression dues à la flexion et celles de cisaillement dues à la torsion. Leur écriture est la suivante :

v

I

M

Z

MaxifrXX

)(=σ avec

( )

32

2

3

22

2)(

2)()(

D

v

I

et

RTa

MMM

Z

MaxifzMaxifyMaxifr

π=

+−=

+=

b

a a

h h

i

D d

fig.4

eq. I.38

eq. I.39

eq. I.40

eq. I.41

eq. I.42


-23/77-

v

I

M MaxitXY

0

)(=τ avec

16

30

)(

D

v

I

et

CM XMaxit

π=

=

Nous calculons alors les contraintes principales Iσ , IIσ et IIIσ grâce aux formules suivantes :

0

42

1

2

42

1

2

22

22

=

+−=

++=

III

XYXXXX

II

XYXXXX

I

σ

τσσσ

τσσσ

Ainsi nous obtenons

III

II

I

σσ

σ

00

00

00

Ayant les contraintes principales, nous pouvons calculer les contraintes équivalentes selon Tresca ou Von Mises. Tresca :

( )IIIIIIIIIIIISup σσσσσσ −−− ;;

Von Mises :

( ) ( ) ( )2

222IIIIIIIIIIII σσσσσσ −+−+−

Dans le cas où nous calculons les deux contraintes équivalentes, mieux vaut se mettre dans le cas apportant le plus de sécurité, c'est-à-dire dans le cas où nous obtiendrons le plus grand diamètre.

eq. I.43

eq. I.44

eq. I.45

eq. I.46

eq. I.47


-24/77-

NB : Lors d’essais numériques, j’ai pu me rendre compte que la contrainte équivalente de

Tresca (méthode 2) donne le même résultat que le calcul de la contrainte maximale dans la

méthode 1 (à deux décimale près). Mais ce point sera traité lors de l’application à mon étude.

Ayant alors la valeur de la contrainte maximale, avec comme seule inconnue, le diamètre

« D » de l’arbre, il nous faut résoudre l’inéquation suivante :

eTrescaeq R≤.σ avec eR , la limite élastique du matériel utilisé pour fabriquer l’arbre

de transmission. De cette inéquation, nous obtenons un diamètre minimum pour le diamètre « D » de l’arbre.

Ce prédimensionnement étant réalisé, nous devons à présent prendre en compte le logement

de la clavette. En effet, la conséquence de la présence de cette cavité sur l’arbre va être de

générer des concentrations de contrainte et ainsi fragiliser l’arbre de transmission.

Pour cela, nous devons utiliser des coefficients pour majorer les contraintes et ainsi augmenter

la valeur du diamètre « D ». Nous utiliserons, au cours de notre étude, les abaques tirée de la

seconde édition de « Peterson’s stress concentration factors » [réf.3].

Ainsi, dans le cas du logement d’une clavette, nous obtenons un coefficient de contrainte TK

(pour la flexion) et TSK (pour la torsion).

NB : Dans le cas de la combinaison des deux sollicitations, flexion et torsion, il existe une

table spécifique. Il ne faut donc pas prendre séparément la table de flexion et celle de torsion,

auquel cas les valeurs des coefficients seraient différentes et fausseraient les résultats.

Une fois que nous avons les coefficients, il faut reprendre le calcul des contraintes en

modifiant l’écriture des moments de flexion et de torsion, soit :

)(MaxifrM devient )(MaxifrT MK × et )(MaxitM devient )(MaxitT MK ×

Ensuite la méthode reste inchangée, il suffit de réitérer le calcul.

Nous passons alors à la deuxième étape et procédons au calcul des contraintes (pour le

diamètre « d » de l’arbre)

La méthode calcul des contraintes est la même que celle employée précédemment, nous

reprenons donc les formules citées.

eq. I.48


-25/77-

Cependant, dans ce cas, la valeur des moments fléchissant va être modifiée. En effet, cette

fois-ci nous allons calculer le diamètre minimum « d » pour lequel, tout comme le diamètre

« D » avait la particularité d’avoir la présence du logement de la clavette, il y a une

caractéristique géométrique qui celle du changement de section. Soit le passage du diamètre

« D » au diamètre « d ». Par conséquent, le calcul des moments fléchissant doit être effectué

au niveau des épaulements, ce qui explique le changement de valeur de ces derniers.

Ainsi nous avons les relations suivantes : Torsion : XMaxit CM =)( (le moment de torsion reste constant)

Flexion : ( )22

)(

2)(

2)()(

2TR

hM

MMM

Maxifr

MaxifzMaxifyMaxifr

−+=

+=

Ensuite, la méthode est inchangée et nous permet d’obtenir une première valeur minimum

pour le diamètre « d » de l’arbre. Mais comme pour le diamètre « D », la particularité

géométrique (changement de section) produit un effet de concentration de contrainte. Ainsi,

toujours d’après la secondes édition de « Peterson’s stress concentration factors », nous

obtenons des coefficients TK et TSK (tables distinctes pour la flexion et la torsion, dans le cas

de changement de section il n’existe pas de table réalisant la combinaison des deux

sollicitations).

Comme pour la première étape, nous avons les relations suivantes :

)(MaxifrM devient )(MaxifrT MK ×

)(MaxitM devient )(MaxitT MK ×

Nous réitérons le calcul. Seulement cette fois-ci, la détermination des coefficients se fait grâce

à la valeur du diamètre « d » que nous avons initialement calculé. Cela veut dire qu’en

utilisant ces coefficients, le nouveau diamètre minimum obtenu devra être identique au

premier.

Dans le cas contraire, il faudra redéfinir les coefficients avec ce nouveau diamètre et réitérer

le calcul jusqu’à ce que la valeur du diamètre initial soit identique à celle calculée. Cette

condition validée, nous avons terminé le prédimensionnement de l’arbre de transmission.


-26/77-

La méthode que nous avons traitée est bien sur valable quelque soient les dimensions de

l’arbre de transmission. En ce qui concerne la partie dédiée aux concentrations de contrainte,

il faut bien être conscient que dans notre cas, nous avons utilisé une solution particulière et

donc les tables de Peterson correspondantes. Mais il existait une très grande diversité de

montages différents. Il faut donc que l’utilisation de ces tables soit faite en fonction de la

solution choisie.

bb)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ddééffoorrmmaattiioonnss))

Dans le cas de la transmission d’engrenage cylindrique à denture droite, deux types de

déformation sont à prendre en compte. Ceci est du aux deux sollicitations auxquelles est

soumis l’arbre de transmission. Soit une déformation due à la flexion et une autre due à la

torsion. Dans un premier temps nous allons étudier le cas de la flexion.

Différentes méthodes peuvent être utilisée, la méthode du théorème de Castigliano en est une

par exemple. Cette méthode offre un procédé d’analyse de déformation hors du commun et

relativement simple d’utilisation. Ce théorème dit que quand des forces agissent sur le

système élastique étudié et que ce dernier est soumis à de petits déplacements, le déplacement

correspondant à une des forces, colinéaire à celle-ci, est égale à la dérivée partielle de

l’énergie de déformation totale (vis-à-vis de cette même force). Ce pendant, cette méthode

reste incomplète, puisqu’elle ne permet pas de calculer le déplacement en tout point du

système. Ainsi, il nous faut utiliser une autre méthode. Dans notre cas, nous allons utiliser la

méthode des moments.

Nous savons qu’à partir du diagramme des charges soumises à un système, nous pouvons

déduire le diagramme des moments de flexion. Nous savons également que ce diagramme

peut-être obtenu à partir de diagramme des charges en effectuant une double intégration. Mais

le diagramme des déformations peut également être s’obtenir à partir de diagramme des

moments, en faisant une double intégration. En conséquence, il est possible de déduire le

diagramme de déformation à partir de celui des moments, au moyen de l’application des

principes de la statique. Pour expliquer cette méthode, nous allons traiter un exemple :


-27/77-

Reprenons les données de l’exemple vu lors de l’étude des contraintes.

Etude des déformations dues à la flexion

Plan XY (vertical) Méthode de calcul de déformation : Pour calculer la distance verticale entre un point appartenant à la courbe de flexion et un

autre point appartenant, quant à lui, à la tangente à la courbe de flexion, il suffit d’utiliser la

formule suivante :

« M » point de la courbe de flexion et « M’ » point de la tangente, la distance MM’ se calcule

en faisant la sommes des aires du diagramme des moments (diagramme des moments par

partie), multipliée par leur bras de levier respectif (bras de levier : distance horizontale du

centre de gravité de l’aire au point dont on veut calculer la déflexion). Chaque terme doit

ensuite être divisé par le produit « EI », avec « E » le module de Young et « I » le moment

quadratique de la section correspondant à l’aire du moment étudié.

O P B A

2

aR

2

hR

2

R

2

R

''P

'P

''O

'O

'B

R

h a

1 2

3

2’

4

5

y

x 1 2 3 4

D d


-28/77-

Revenons à notre exemple, nous allons calculer la distance BB’ : Si nous prenons le diagramme des moments, nous pouvons distinguer 5 parties distinctes, 4

triangles (1, 3, 4, 5) et 1 rectangle (composé de 2 et 2’). Maintenant si nous revenons à l’arbre

de transmission étudié, nous constatons que nous avons 3 sections :

Section 12 ; Section 23 ; Section 34, avec 64

4

3412

dII

π== et 64

4

23

DI

π=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )342323

2312

3/22/2/22/3/2

2/2/

3/2

2/2/3/22

2

2/

'

EI

hhhR

EI

ahahR

EI

haahahRaR

EI

haahahRaR

EI

hahhR

BB

××+×−×+−−×−×−

+

−+×−×−

+−××

=

Ensuite, sachant BB’ avec B appartenant à la courbe de déflexion (où cette même déflexion a

la particularité d’être nulle) et B’ appartenant à la tangente de cette courbe de déflexion. Nous

pouvons donc connaître la pente de cette tangente qui esta

BB

2

', sachant cela, nous pouvons

calculer OO’ et PP’ avec la relation suivante :

a

BB

a

OO

h

PP

2

''' ==

a

hBBPP

BBOO

2''

2

''

=

=

Maintenant nous allons reprendre la méthode vue précédemment pour calculer les distances

P’P’’ et O’O’’ :

Calculons la distance P’P’’ ( )

12

3/2/2/'''

EI

hhhRPP

××= , ainsi la déflexion au niveau du

point P (ou de la section 2) est égale à '"'" PPPPPP −=

De la même façon, nous trouverons que la déflexion au niveau du point O sera égale à

"''" OOOOOO −= (après avoir calculé O’O’’).

Par symétrie, la déflexion au niveau de la section 2 sera égale à celle rencontrée au niveau de

la section 3. Voilà pour ce qui est de l’étude de déformation due à la flexion, dans le plan

vertical XY. Il faudrait réitérer le calcul dans le plan horizontal XZ, pour connaître les

déformations dues à la flexion dans ce même plan.

Les études faites, nous aurons alors les déformations horizontales et verticales suivantes :


-29/77-

vh OOetOO "" vh PPetPP ""

De ces résultats, nous pouvons calculer la déformation résultante qui sera égale à la somme

vectorielle des déformations obtenues dans le plan horizontal et vertical, soit :

2222 """""" vhvh PPPPPPetOOOOOO +=+=

Etude des déformations dues à la torsion Reprenons l’arbre de transmission étudié précédemment Pour calculer la déformation angulaire subie par l’arbre, nous utilisons la formule suivante :

GI

LT

.

.

0

=Ω avec G le module d’élasticité transversale et 0I le moment quadratique

qui, dans ce cas vaut : 32

4

0

DI

π= , d’où nous obtenons GD

LT

.

..324π

=Ω

Dans le cas de notre exemple :

( )

−+×=Ω44.

.32

D

ha

d

h

G

T

π

Ainsi nous avons la déformation angulaire, qui vient s’ajouter à la déformation horizontale et

verticale calculée précédemment. Toutes deux résultats de la combinaison des deux

sollicitations précédentes sur l’arbre de transmission, que sont la flexion et la torsion.

h a

y

x 1 2 3 4

D d

eq. I.49

eq. I.50


-30/77-

22.. EEttuuddee ddyynnaammiiqquuee

aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn

L’étude dynamique va nous permettre de vérifier le dimensionnement des arbres de

transmission, en incluant la caractéristique de fatigue, des arbres de transmission, en incluant

la caractéristique de fatigue. Dans un premier temps, il nous faut reprendre l’étude réalisée

précédemment « Etude statique Calcule de tensions ».

Si nous reprenons le calcul du diamètre de l’arbre réalisant la portée des roulements, nous

avions vu qu’il était nécessaire de prendre en compte des coefficients de concentration de

contraintes, ceci en conséquence de la présence du changement de section (passage du

diamètre « D » au diamètre « d »).

Seulement dans le cas de l’étude dynamique, un nouveau facteur doit être pris en compte, le

facteur « q », qui correspond à la sensibilité du congé de raccordement entre les deux sections.

De la même façon qu’il fallait un coefficient distinct pour chacune des sollicitations, soit un

pour la flexion et un autre pour la torsion, il nous faudra utiliser deux tables pour déterminer

le facteur « q » ( flexion) et le facteur « sq » ( torsion).

Pour cela, nous nous servons des tables proposées par le livre « Diseño en Ingenieria

Mecánica » de Joseph Edward Shigley et Charles R. Mischke [réf.4].

Ayant déterminé ces deux facteurs, nous pouvons alors déterminer deux nouveaux

coefficients de sécurité, à partir des expressions suivantes :

( )

( )11

11

−+=

−+=

Tssfs

Tf

KqK

KqK Coefficients de concentration de contrainte à la fatigue pour un

corps soumis respectivement à la flexion ou/et à la torsion. Maintenant que ces coefficients sont calculés, il suffit de reprendre la démonstration vue dans

l’étude statique, soit :

)(MaxifrM devient )(Maxifrf MK × et )(MaxitM devient )(Maxitfs MK ×

Ce changement de coefficient va permettre de vérifier la fiabilité de l’arbre et de son

dimensionnement (valeur du diamètre « d ») ou alors de le modifier.

Cette première étude faite, nous devrons dans un second temps réévaluer la valeur limite

élastique du matériel utilisé pour réaliser l’arbre de transmission.


-31/77-

La formule à utiliser est la suivante :

'..... eedcbae SKKKKKS =

Avec aK le facteur de superficie et MPaRsiRS eee 1400504,0' ≤×=

bK le facteur de taille MPaRsiMPaS ee 1400700' >=

cK le facteur de charge

dK le facteur de température

eK le facteur d’effets divers

Par expérience, nous fixons généralement dK et eK égaux à 1. Concernant cK (facteur de

charge), il devrait être pris en compte, mais dans notre exemple, nous avons déjà majoré les

contraintes en utilisant les coefficients de concentration de contrainte, par conséquent, ce

facteur sera également fixé à 1.

Il nous reste alors à déterminer aK et bK :

bma RaK = avec a et b qui sont déterminés à partir d’une table tirée du livre « Diseño en

Ingenieria Mecánica » et qui dépendent de l’état de surface de l’élément étudié.

1133,0

62,7

−

= dKb [ ]mmd 5179,2 ≤≤ , pour des diamètres supérieurs, [ ]75.0;6.0∈bK

Les facteurs définis, le calcul de eS peut être fait. Nous pouvons constater que bK dépend du

diamètre, par conséquent nous aurons deux valeurs distinctes pour eS , que l’on soit sur le

diamètre « d » ou « D » de l’arbre de transmission.

Il suffit ensuite de reprendre l’étude statique et de remplacer la valeur limite de résistance

élastique « eR », par celle calculée ci-dessus « eS ».

Ainsi nous obtenons confirmation de la résistance et donc du bon dimensionnement de l’arbre

de transmission ou nous modifions les valeurs de ses diamètres pour répondre aux critères de

résistance.

eq. I.51


-32/77-

33.. EEttuuddee vviibbrraattooiirree

aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((aannaallyyssee mmooddaallee))

L’analyse dynamique de fréquence permet de connaître les fréquences naturelles (ou propres)

de la structure étudiée, ainsi que ses modes de vibration associés et déterminer les problèmes

de résonances dus à la vitesse de rotation de l’arbre.

En conséquence, cela revient à déterminer la vitesse critique de rotation de l’arbre en

observant le mode de déformation qui coïncide avec le mode de rotation de l’arbre.

Que le système soit soumis à de la flexion ou à de la torsion, certes les formules se

distinguent, mais elles prennent une même et unique expression comme référence.

Nous prenons le cas d’un système à un seul degré de liberté. Comme cela est expliqué ci-

dessus, un modèle de référence est utilisé pour établir l’expression qui permettra le calcul de

la fréquence propre du système étudié.

Ce système référence est celui de la masse/ressort (sans amortissement)

Dans notre cas, pour calculer la fréquence propre du système, nous négligeons

l’amortissement. Ainsi, dans le cas de la flexion et de la torsion, nous respectons la forme de

l’expression donnée par le système référence, soit :

m

kwn = avec xw (pulsation propre du système)

k (rigidité du système étudié) m (masse du système étudié) nf (fréquence propre ou naturelle)

m

kwf n

n ππ 2

1

2==

K

C

m

fig.5 : Oscillateur élémentaire linéaire de la mécanique

eq. I.52

eq. I.53


-33/77-

Système soumis à de la flexion :

Fréquence propre m

kwn = avec 3

48)(

l

EIrigiditék =

Avec « E » le module de Young (en GPa) et « I » caractéristique de la section que l’on appelle moment quadratique (en mm4) et « l » la longueur de la poutre, nous obtenons alors

l’expression modifiée : ml

EIwn 3

48=

Système soumis à de la torsion :

Fréquence propre I

kw t

n = avec L

dG

L

IGtorsionenrigiditékt .32

..)(

40 π==

Avec G le module de cisaillement (en GPa), 0I le moment quadratique polaire (torsion, en

mm4) et L la longueur de la poutre.

Nous pouvons observer que l’écriture reprend la forme du système référence, mais en

changeant la nature des termes. Comme nous sommes en torsion, ce n’est plus « m » (masse

du système) que l’on observe dans la formule, mais « I », le moment d’inertie.

bb)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((aannaallyyssee hhaarrmmoonniiqquuee))

L’analyse harmonique représente la réponse du système soumis à une force d’excitation. De

plus, l’amplitude du mouvement dépend des valeurs de la fréquence de la force d’excitation,

ainsi que des caractéristiques du système, de la masse et de la rigidité.

Si nous reprenons notre exemple de l’arbre de transmission, notre système est soumis aux

deux sollicitations (flexion et torsion). Dans ce cas, l’étude doit être faite de façon distincte

pour chacune de ces deux sollicitations.

Dans le cas de la flexion, la formule utilisée est la suivante :

220

20

11

/

−

=

−

=−

=

n

e

s

n

ee

w

w

X

w

w

kF

mwk

FX

Le passage d’une égalité à l’autre se fait grâce à la formule vue précédemment (eq.53).

eq. I.54

eq.I.55


-34/77-

Avec nw la pulsation naturelle (ou propre)

0F la force statique

k la rigidité du système m la masse du système ew la pulsation de la force d’excitation

sX la déformation élastique statique

Dans le cas de la torsion, la formule est :

220

20

11

/

−

=

−

=−

=

n

e

s

n

e

t

et

w

w

w

w

kT

Iwk

T θθ

Le passage d’une égalité à l’autre se fait grâce à la formule vue précédemment (eq.I.54). Avec nw la pulsation naturelle (ou propre)

0T le couple de torsion

tk la rigidité du système

I l’inertie du système ew la pulsation de la force d’excitation

sθ la déformation élastique statique

IIII.. EEttuuddee ddééttaaii ll llééee Données de l’étude : Dimensions de la boîte de réduction 360 x 360 x 160 Type de transmission Engrenage cylindrique à denture droite Module m = 5

Relation de transmission R = 2 soit 21

2

2

1 ==Z

Z

w

w

Nombre de dents du pignon dentsZ 201 = Puissance du moteur 4ch (2942 W) Vitesse de rotation 1800 tr/min (188,5 rad/sec)

eq.I.56


-35/77-

Caractéristiques d’un engrenage cylindrique à denture droite : Diamètre primitif zmd .= Pas π.mp=

Saillie mha=

Creux mhf .25,1=

Hauteur de dent mhfhah .25,2=+=

Diamètre de tête mdhadda .2.2 +=+=

Diamètre de pied mdhfddf .5,2.2 −=−=

AA.. SSooll iiddee iinnddééffoorrmmaabbllee

aa)) EEnnggrreennaaggee ((ddiimmeennssiioonnnneemmeenntt))

Nous connaissons le nombre de dents du pignon (201 =Z ), ainsi que la relation de

transmission (rapport de réduction égal à 2). Dans ce cas nous pouvons déduire que la roue

conduite par le pignon aura un nombre de dents 402 12 =×= ZZ .

Si nous reprenons les caractéristiques de cette transmission, nous obtenons alors les valeurs

suivantes :

Nombre de dents (Z) Module (m) Diamètre primitif ( zmd .= )

Pignon 20 5 100 [mm]

Roue 40 5 200 [mm]

Ayant ces données dimensionnelles de la roue et du pignon, formant la transmission

d’engrenage cylindrique à denture droite, il me reste à définir la largeur des deux éléments,

désignée par la lettre « b ». Pour cela je dois respecter deux points, le premier qui permettra

de fixer une valeur pour « b », puis le second qui validera ou non la valeur proposée.

1ère étape :

La relation suivante nous permet de fixer la valeur de « b » ψ=d

b avec dans

notre cas une valeur de ψ égale 0,9 (cette valeur dépend du matériel et de son traitement).

Ayant ce rapport fixé, nous pouvons déduire la valeur de « b » (diamètre du pignon), soit

[ ]mmdb 909,01 =×=

eq.II.1


-36/77-

2ème étape :

Nous allons maintenant vérifier que cette largeur « b » est vérifiée par la valeur minimale

calculée grâce à la formule suivante :

( )u

u

K

C

db i

112

1

min

+××= avec C la valeur du couple transmis par le pignon

K facteur d’application (dépend du matériel)

[ ][ ]sec/5,188

2942

rad

W

w

PC == u rapport

1

2

Z

Z

Nous obtenons alors (avec [ ]mmNC .15296= , [ ]MPaK 25,0= et 2=u ) une valeur minimale

pour « b » de 9,17 [mm]. Ce qui est très nettement inférieur à notre valeur de 90 [mm].

Cependant le diamètre 1d étant fixé, je peux simplement constater que les dimensions sont

très nettement suffisante (pour ne pas dire excessive). Ceci est également du au module qui a

été fixé et non choisi lors du dimensionnement. En effet, le module « m » égal à 5 est

important. Une valeur de 2 ou 2,5 serait plus appropriée. Mais continuons avec les données de

l’étude. Si nous faisons un bilan dimensionnel de la transmission d’engrenage, nous avons les

valeurs suivantes :

Nombre de dents Module Diamètre primitif Largeur de denture

Pignon Z1 = 20 m = 5 d1 = 100 [mm] b = 90 [mm]

Roue Z2 = 40 m = 5 d2 = 200 [mm] b = 90 [mm]

bb)) EEnnggrreennaaggee ((ééttuuddee ddyynnaammiiqquuee))

Si nous reprenons les formules vues dans la partie théorique (eq.I.34, eq.I.35 et eq.I.36) et

connaissant le couple transmis par le moteur, nous obtenons les relations suivantes :

[ ][ ][ ]NNT

NNR

Nd

CN

16,312cos

62,113sin

19,332cos

12

=×==×=

=××=

αα

α

De plus connaissant le rapport de transmission « 2=u » et sachant que le couple transmis par

le pignon est [ ]mmNC .152961 = , nous avons le couple transmis par la roue [ ]mmNC .305922 =

eq.II.2

eq.II.3


-37/77-

cc)) RRoouulleemmeennttss ((ddiimmeennssiioonnnneemmeenntt))

Nous avons pu constater dans la partie théorique, que des roulements à une rangée de billes

correspondaient à notre montage.

Nous allons réaliser un calcul préliminaire de déterminer un intervalle dans lequel nous

pourrons trouver le roulement adéquat à notre étude.

Tout d’abord, le montage des roulements sur chacun des arbres de la transmission se fera de

façon symétrique de part et d’autre de la roue et du pignon (fig.6).

Si nous calculons les réactions au niveau de chacun des roulements, nous obtenons la relation

suivante : [ ]NRRRR BBAA 095,1662121

====

De plus nous savons également que, suivant notre étude, la durée de vie nécessaire aux

roulements est comprise dans l’intervalle [ ]2500010000− heures. Utilisant une fiabilité de

90% (F90), j’utilise la formule de durée de vie : n

P

CL

=10 avec 3=n (roulements à

billes)

Roulement 1

Roulements 2

a a

fig.6

1A

2A

1B

2B

eq.II.4


-38/77-

Maintenant, nous renversons la formule, de manière à calculer la charge dynamique maximale

que peut supporter le roulement : PLC n ×=1

10 , en sachant également que P = FR,

soit P = 166,05 [N] et nous prenons une durée de vie de 20000 heures.

NB : 10L s’exprime en millions de révolution

Dans notre cas, [ ] [ ] [ ]toursdemillionstrhL 2160min/1800602000010 =××=

Nous en déduisons la charge dynamique maximale : [ ]kNC 147,2=

Si nous reprenons le tableau de caractéristiques des roulements à une rangée de billes, nous

obtenons un intervalle de diamètre intérieur « d » pour le roulement, qui est le suivant :

[ ]205− [mm], ce qui veut dire que le diamètre de l’arbre sur lequel viendra se monter les

roulements sera compris dans cet intervalle. Dans les cas où je devrais utiliser un diamètre

supérieur, j’aurai une durée de vie plus importante pour les roulements (dont je n’ai pas

besoin, mais qui présenterait une sécurité).

BB.. SSooll iiddee ddééffoorrmmaabbllee

11.. EEttuuddee ssttaattiiqquuee

aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ccoonnttrraaiinntteess))

Pour réaliser cette étude, je vais reprendre point par point, les différentes étapes traitées dans

la partie théorique, je ne vais donc pas répéter les équations nécessaire, sinon les citées. De

plus, j’avais réalisé une première étude, négligeant le poids de chacun des éléments de la

transmission (la roue et le pignon), mais en réalisant la modélisation avec Solidworks, je me

suis aperçu, qu’en plus de ne pas être négligeable, le poids de ces deux éléments était du

même ordre de grandeur, voire supérieur, aux forces de contact, conséquence de la

transmission. Par conséquent, je ne vais pas traiter cette première étude (qui serait fausse) et

passer directement à la seconde, prenant en compte la masse du pignon et de la roue.

Concernant les dimensions de l’arbre (non son diamètre, mais sa longueur), elle est fixée par

la grandeur de la boîte d’engrenage qui est de 360 [mm]. C’est donc cette valeur limite que

j’ai utilisé pour définir la longueur de l’arbre. Ensuite, ayant calculé une largeur de dent de 90

[mm], je laisse une portée de 100 [mm] sur l’arbre pour positionner le pignon.

eq.II.5


-39/77-

Ainsi, les dimensions de l’arbre sont les suivantes (valables pour l’arbre 1 et 2) :

Les 360 [mm] correspondent à la longueur de la boîte d’engrenage. Ensuite, j’ai fixé

arbitrairement la longueur de la portée du pignon (ou de la roue) à 100 [mm], sachant que la

largeur de dent est de 90 [mm] (valeur calculée dans la partie antérieure de l’étude).

La suite de l’étude va permettre de dimensionner totalement l’arbre de transmission et ainsi

obtenir les valeurs des diamètres « d » et « D ».

Arbre 1 (support du pignon) :

Nous reprenons l’équilibre réalisé lors de l’étude théorique.

y

x

x

z

r

[ ]mm180 [ ]mm180

A

A

O

O B

B Ay

Ax XC

By

Bx

Bx Ax

Az Bz

[ ]NT 312=

[ ]NR 113= [ ]NMg 50=

100 130 130

360

Ø D Ø d


-40/77-

Dans le cas de prendre en compte la masse, je me mets dans le cas le plus défavorable et

l’ajoute à la force normale « R ».

L’équilibre réalisé, j’obtiens les efforts suivant au niveau des appuis :

[ ]Nxx BA 0== [ ]Nyy BA 5,812

163 −=−== [ ]Nzz BA 1562

312 −=−==

Je peux alors réaliser les diagrammes des moments :

A B

tM

[ ]mmN.

15296

y

x


5,81

5,81−

B

B

B

B

A

A

A

A

14670

156

156−

28080−

[ ]N

[ ]N

[ ]mmN.

[ ]mmN.

x

x

y

z

fzM

fyM



-41/77-

Nous passons à la seconde étape, qui est celle de définir les relations de contrainte pour

ensuite fixer la valeur des différents diamètres de l’arbre de transmission. Nous savons,

d’après l’étude théorique, que deux méthodes peuvent être utilisée.

De plus, comme cela avait été dit dans cette étude théorique, les deux études permettent

d’obtenir des résultats identiques, par conséquent, les deux méthodes vont être

traitées dans le cas de l’arbre du pignon, de façon à montrer la similitude des résultats

numérique. En revanche pour l’arbre de la roue, seule la méthode la plus rapide, soit la

première, sera traitée.

De la même façon que vue dans la partie théorique, nous allons déterminer le diamètre « D »

de l’arbre du pignon, dans un premier temps, puis nous passerons au diamètre « d ».

Méthode 1 D’après l’équation (eq.I.38),

31

31

92,3583443243,35180

DDMaxi =

××=

πσ

avec [ ]mmNM Maxif .43,35180)( =

Méthode 2 D’après le tenseur (eq.I.40), nous calculons les équations (eq.I.41) et (eq.I.42), respectivement contrainte de traction/compression et contrainte de cisaillement :

31

31

54,3227013215,31681

DDXX =

××=

πσ avec

[ ]mmNM Maxifr .15,31681)( =

31

31

89,779011615296

DDXY =

××=

πτ avec

[ ]mmNM Maxit .15296)( =

Nous calculons alors les contraintes principales Iσ , IIσ et IIIσ grâce à l’équation (eq.I.45):

0

70,17821

24,340523

31

31

=

−=

=

III

II

I

D

D

σ

σ

σ


-42/77-

Ayant les contraintes principales, nous pouvons calculer les contraintes équivalentes selon Tresca ou Von Mises, d’après (eq.I.46) et (eq.I.47) :

Tresca : 31

92,358344

DeqT =σ

Von Mises :

31

.

77,349774

DMeqV =σ

Maintenant que nous avons les écritures des contraintes selon deux méthodes distinctes, nous

prenons les cas le plus sécurisant, de manière à obtenir un diamètre correct. Nous constatons

alors qu’il s’agit de la contrainte équivalente selon Tresca que nous devons retenir. Or,

comparant les deux méthodes, nous apercevons que les deux contraintes sont identiques

jusqu’à deux décimales. Par conséquent, lors des prochains calculs de contraintes, nous

utiliserons la méthode 1 (beaucoup plus efficace en terme de pertinence du résultat et de

rapidité).

Mais revenons aux contraintes calculées précédemment, nous retenons l’écriture suivante :

31

92,358344

D=σ

Le matériel utilisé est un acier F-114 (norme UNE) ou XC45 (norme Afnor) ayant une limite

élastique MPaRe 400= et une limite à la rupture MPaRm 700= .

Nous devons respecter l’inéquation suivante pour déterminer la valeur du diamètre « 1D » :

[ ]mmDRenom 64,9400

92,3583443

1 =≥→≤σ nous fixons alors 1D = 10 [mm]

Le diamètre 1D correspond au diamètre sur lequel va être montée la clavette, ainsi que ce

diamètre a une cavité (logement de la clavette). Comme nous l’avons vu dans la partie

théorique, cela va générer des concentrations de contrainte. Dans un premier temps nous

devons dimensionner le logement de la clavette :


-43/77-

4

1

1

=D

b [ ]mmb 5,2=

8

1

1

=D

t [ ]mmt 25,1=

48

1

1

=D

r [ ]mmr 208,0=

Maintenant, nous allons quantifier les concentrations de contrainte. Pour cela nous utilisons

les diagrammes tirés de la seconde édition de « Peterson’s Stress Concentration Factors ».

Dans la table permettant de définir le coefficient de contrainte dans le cas du logement de la

clavette, il faut déterminer le rapport T

Mou

M

T (l’un ou l’autre, mais en ayant un rapport

inférieur ou égal à 1 et avec T correspondant moment de torsion et M au moment de flexion.

Dans notre cas, 48,0=M

T à partir du diagramme nous obtenons

4,1

3,2

==

TS

T

K

K

Nous modifions la valeur des moments de flexion et de torsion en les majorants par ces

coefficients.

Ainsi, en utilisant la méthode 1 (eq.I.38), nous obtenons la contrainte suivante :

1

7,773601

DMaxi =σ , nous reprenons l’inéquation (eq.I.48) et pouvons déterminer le nouveau

diamètre 1D . [ ]mmD 46,12400

7,7736013

1 =≥ soit 1D = 14 [mm].

Les coefficients de concentration de contrainte ne dépendant pas du diamètre de l’arbre, dans

le cas du logement de la clavette, ainsi ces coefficients restent inchangés. Le diamètre « 1D »

final est donc de 14 [mm].

En revanche il faut redimensionner le logement de la clavette :

4

1

1

=D

b [ ]mmb 5,3=

8

1

1

=D

t [ ]mmt 75,1=

48

1

1

=D

r [ ]mmr 29,0=


-44/77-

Le diamètre « D » étant déterminé, il nous reste à définir le diamètre « d ». Pour cela, nous

allons étudier la valeur des contraintes au niveau des épaulements de l’arbre (lieu particulier

de l’arbre où nous rencontrons un changement de section et donc une concentration de

contrainte).

Il faut donc calculer les moments de flexion et de torsion au niveau de l’épaulement :

- dans le cas de la torsion, le moment reste inchangé [ ]mmNM t .15296=

- flexion [ ]mmNM fy .20280−= et [ ]mmNM fz .10595=

Toujours selon la méthode 1 (eq.I.38), nous obtenons la contrainte suivante3

1

11,280344

dMaxi =σ .

[ ]mmd 88,8400

11,2803443

1 =≥ , soit 1d = 9 [mm]

Dans ce cas, nous avons donc 1D = 14 [mm] et 1d = 9 [mm]. Maintenant, comme pour le

logement de la clavette, l’épaulement génère une concentration de contrainte. Tirée du même

ouvrage, nous allons utiliser une table pour définir les coefficients de contrainte.

Pour cela, il nous faut calculer les relations suivantes :

5,22

11 =−= dDr ; 556,1

1

1 =d

D ; 278,0

1

=d

r

De ces différents rapports, nous pouvons déterminer les coefficients de concentration de

contrainte (un pour la flexion et un pour la torsion comme précédemment, mais en utilisant

une table pour chacune des deux sollicitations) 17,1

4,1

==

TS

T

K

K

Je poursuis en définissant le coefficient de la sensibilité du rayon de raccordement « q » :

- à la torsion 825,0=q ( ) 33,111 =−+= Tf KqK

- à la flexion 975,0=sq ( ) 17,111 =−+= TSsfs KqK

Ayant déterminé les coefficients de concentration de contrainte, je majore les moments de

flexion et de torsion, pour obtenir (au moyen de la méthode 1, eq.I.38) la contrainte suivante :

31

05,359601

dMaxi =σ [ ]mmd 65,9

400

05,3596013

1 =≥ , soit 1d = 10 [mm]


-45/77-

Contrairement au cas du logement de la clavette, la définition des coefficients de

concentration de contrainte pour le cas de l’épaulement dépend du diamètre « 1d », par

conséquent, il faut redéfinir ces coefficients et réitérer le calcul pour définir le diamètre « 1d »

de l’arbre. Nouveaux coefficients : 225,1

42,1

==

TS

T

K

K

Coefficient de la sensibilité du rayon de raccordement « q » :

- à la torsion 8,0=q ( ) 34,111 =−+= Tf KqK

- à la flexion 975,0=sq ( ) 22,111 =−+= TSsfs KqK

Une nouvelle fois nous majorons les moments de flexion et de torsion par ces nouveaux

coefficients et je calcule à nouveau la contrainte maximale :

31

94,365600

dMaxi =σ [ ]mmd 7,9

400

94,3656003

1 =≥ , soit 1d = 10 [mm]

Nous observons que malgré le changement des coefficients de concentration de contrainte, le

diamètre reste inchangé, par conséquent le dimensionnement de l’arbre est le suivant :

1D = 14 [mm] et 1d = 10 [mm]

Arbre 2 (support de la roue) :

Nous reprenons l’équilibre réalisé lors de l’étude théorique.

y

x

x

z

r

[ ]mm180 [ ]mm180

A

A

O

O B

B Ay

Ax XC

By

Bx

Bx Ax

Az Bz

[ ]NT 312=

[ ]NR 113=

[ ]NMg 227=


-46/77-

Après avoir réaliser l’équilibre statique, nous obtenons les efforts suivants :

[ ]Nxx BA 0== [ ]Nyy BA 1702

340=== [ ]Nzz BA 1562

312=−==

Nous pouvons construire les diagrammes des moments :

170

170−

B

B

B

B

A

A

A

A

30600−

156−

156

28080

[ ]N

[ ]N

[ ]mmN.

[ ]mmN.

x

x

y

z

fzM

fyM


A B

tM

[ ]mmN.

30592−

y

x



-47/77-

Ayant les diagrammes des moments, nous pouvons commencer le dimensionnement de

l’arbre en calculant les contraintes. Comme pour l’arbre du pignon, nous allons tout d’abord

définir le diamètre central « 2D », sur lequel vient se loger la clavette, puis nous

dimensionnerons le diamètre « 2d ».

Nous utilisons la méthode 1 (eq.I.38) et obtenons la contrainte maximale suivante :

32

)( 33,525411

Dv

I

M

Z

MaxifMaxi ==σ , ainsi pour satisfaire l’inéquation (eq.I.48), nous obtenons le

diamètre « 2D » [ ]mmD 95,10400

33,5254113

2 =≥ , soit 2D = 11 [mm]

A partir de cette première définition du diamètre2D , je peux dimensionner le logement de la

clavette.

4

1

1

=D

b [ ]mmb 75,2=

8

1

1

=D

t [ ]mmt 375,1=

48

1

1

=D

r [ ]mmr 23,0=

Comme sur l’arbre du pignon, le logement de la clavette entraîne des concentrations de

contrainte que nous allons quantifier en calculant les coefficients à partir des tables déjà

utilisées précédemment.

D’après le rapport 74,0=M

T et en lisant le diagramme j’obtiens les coefficients 35,2=TK et

65,1=TSK , respectivement pour la flexion et la torsion.

Il faut donc majorer les moments et recalculer la contrainte maximale pour définir un nouveau

diamètre 2D : [ ]mmDD

Maxi 09,14400

23,111921723,11192173

232

=≥→=σ , soit 2D = 16 [mm]

Maintenant, comme nous l’avons vu dans l’étape précédente, le diamètre n’intervient pas dans

la détermination des coefficients, par conséquent le diamètre 2D final est de 16 [mm].


-48/77-

Je redimensionne le logement de la clavette :

4

1

1

=D

b [ ]mmb 4=

8

1

1

=D

t [ ]mmt 2=

48

1

1

=D

r [ ]mmr 33,0=

Maintenant que le diamètre 2D est défini, nous passons au diamètre2d , tout comme pour le

premier arbre, en calculant les contraintes au niveau de l’épaulement :

Nous obtenons, dans un premier temps, les moments de flexion et de torsion suivant :

- flexion [ ] [ ]mmNMetmmNM fyfz .20280.22100 =−=

- torsion [ ]mmNM t .30592−=

Je calcule alors la contrainte maximale (toujours selon la méthode 1, eq.I.38) :

32

52,436399

dMaxi =σ (d’après l’inéquation eq.I.48) [ ]mmd 29,10

400

52,4363993

2 =≥ , soit un

diamètre « 2d » de 11 [mm].

Connaissant le diamètre 2D (16 [mm]), ainsi que 2d (11 [mm]), je peux déterminer les

coefficients de concentration me permettant de majorer la valeur de la contrainte maximale au

niveau de l’épaulement.

En utilisant les mêmes tables que citées dans l’étape précédente, j’obtiens les coefficients

suivants :

Grâce aux relations [ ] 23,0;45,1;5,22 22

222 ===−

=d

r

d

Dmm

dDr

Nous obtenons les coefficients17,1

42,1

==

TS

T

K

K, respectivement à la flexion et à la torsion.

La détermination du coefficient de la sensibilité au rayon de raccordement « q » nous donne :

- à la torsion 825,0=Sq ( ) 17,111 =++= TSSfS KqK

- à la flexion 975,0=q ( ) 35,111 =++= Tf KqK

Je majore les moments de flexion et de torsion, puis recalcule la contrainte maximale :


-49/77-

32

55,550491


400

55,5504913

2 =≥ , soit un


Il faut donc déterminer, à nouveau, les coefficients de concentration de contrainte et réitérer le

calcul de la contrainte maximale :

Grâce aux relations [ ] 17,0;33,1;22 22

222 ===−

=d

r

d

Dmm

dDr

Nous obtenons les coefficients23,1

52,1

==

TS

T

K

K, respectivement à la flexion et à la torsion.

La détermination du coefficient de la sensibilité au rayon de raccordement « q » nous donne :

- à la torsion 975,0=Sq ( ) 22,111 =++= TSSfS KqK

- à la flexion 8,0=q ( ) 416,111 =++= Tf KqK

Je majore les moments de flexion et de torsion, puis recalcule la contrainte maximale :

32

05,575921


400

05,5759213

2 =≥ , soit un


Malgré le changement des valeurs des coefficients, nous observons que le diamètre 2d reste

inchangé, nous pouvons donc conserver cette valeur. Le dimensionnement de l’arbre de la

roue est donc le suivant : 2D = 16 [mm] et 2d = 12 [mm]

Le dimensionnement des deux arbres est donc terminé et nous donne les caractéristiques

suivantes :

Arbre 1 (support du pignon) :

100 130 130

360

Ø 14 Ø 10


-50/77-

Moments de flexion Maxiσ

[MPa] fyM [N.mm] fzM [N.mm] Moment de torsion

[N.mm]

Diamètre 1d (épaulement)

365,6 - 20280 10595 15296

Diamètre 1D (logement de la clavette)

281,92 - 28080 14670 15296

Arbre 2 (support de la roue) :

Moments de flexion Maxiσ

[MPa] fyM [N.mm] fzM [N.mm] Moment de torsion

[N.mm]

Diamètre 1d (épaulement)

333,29 20280 - 22100 - 30592

Diamètre 1D (logement de la clavette)

273,25 28080 - 30600 - 30592

bb)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn ((ééttuuddee ddeess ddééffoorrmmaattiioonnss))

Comme je l’ai présenté dans l’étude théorique, c’est la méthode des moments que j’utilise

pour déterminer les différentes valeurs de la déformation de l’arbre de transmission soumis

aux deux sollicitations de flexion et de torsion.

Dans un premier temps, je vais calculer les déformations dues à la flexion, puis je passerai à

celles due à la torsion et ceci sur les deux arbres de la transmission d’engrenage, 1 et 2

respectivement.

100 130 130

360

Ø 16 Ø 12


-51/77-

Flexion dans le plan vertical XY (arbre 1):

Distance BBv’ :

Section 12 ; Section 23 ; Section 34

[ ]44

3412 87,49064

mmd

II === π et [ ]4

4

23 74,188564

mmD

I == π

De plus le matériel utilisé nous donne les caractéristiques suivantes :

- E (module d’élasticité longitudinale ou de Young) = 210 GPa

- G (module d’élasticité transversale) = 80 GPa

Pour réaliser les calculs qui suivent, je reprends les équations de la partie théorique.

vO vP vB vA

[ ]mmN.14670 [ ]mmN.10595

[ ]N5,81 [ ]N5,81

''vP

'vP

''vO

'vO

'vB

[ ]N163

[ ]mm130 [ ]mm180

1 2

3

2’

4

5

y

x 1 2 3 4 [ ]mm14 [ ]mm10

vQ

''vQ

'vQ


-52/77-

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ]mm

BBv

98,287,490210000

3/13022

13010595

74,1885210000

180130180210595

74,1885210000

3/1301801802

1301801059514670

74,1885210000

3/1301801802

1301801059514670

87,490210000

3/130218022

13010595

'

=×

×××

+

××−×+

×

−−×−×−

+

×

−+×−×−

+×

×−×××

=

Je calcule à présent la pente de la tangente à la courbe de déflexion :

0083,0360

'=vBB

360

'

180

'

130

' vvv BBOOPP==

[ ]

[ ]mmBBPP

mmBB

OO

vv

vv

08,1360

130''

49,12

''

==

==


P’Pv’’ et O’Ov’’ :

P’Pv’’ ( ) [ ]mmPP v 29,0

87,490210000

3/1302/13010595''' =

×××= , ainsi la déflexion au niveau du point P

(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP vvv 79,029,008,1'"'" =−=−=

O’Ov’’

La déflexion au niveau du point O est alors égale à

[ ]mmOOOOOO vvv 83,066,049,1"''" =−=−=


la section 3. Cependant, pour le premier arbre, nous allons réaliser le calcul pour vérifier la

justesse de la méthode, chose que nous ne réitérerons pas lors de l’étude du second arbre.

Nous avons donc la relation suivante 360

'

230

' vv BBQQ= [ ]mmBBQQ vv 9,1

360

230'' ==

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]mm

OO v

66,074,1885210000

3

)130180(

2

1301801059514670

74,18852100002

13018013018010595

87,490210000

1301803/1302

)13010595(

'''

=×

−×−×−

+

×

−×−×+

×

−+××

=


-53/77-

Q’Qv’’

La déflexion au niveau du point Q est donc égale à

[ ]mmQQQQQQ vvv 79,011,19,1"''" =−=−= , on peut donc bien constater que la symétrie est

respectée avec [ ]mmQQPP vv 79,0"" == .

Flexion dans le plan horizontal XZ (arbre 1):

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]mm

QQ v

11,174,1885210000

3

2130180

2

1301801059514670

74,18852100002

13018013018010595

74,1885210000

1301803

)130180(

2

1301801059514670

74,1885210000

1301802

13018013018010595

87,490210000

13018023/1302

)13010595(

'''

=×

×−×−×−

+

×

−×−×+

×

−+−×−×−

+

×

−+−×−×+

×

−×+××

=

hO hP hB hA

[ ]mmN.28080 [ ]mmN.20280

[ ]N156 [ ]N156

''hP

'hP

''hO

'hO

'hB

[ ]N312

[ ]mm130 [ ]mm180

1 2

3

2’

4

5

y

x 1 2 3 4 [ ]mm14 [ ]mm10

hQ

''hQ

'hQ


-54/77-

Distance BBh’ :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ]mm

BBh

7,587,490210000

3/13022

13020280

74,1885210000

180130180220280

74,1885210000

3/1301801802

1301802028028080

74,1885210000

3/1301801802

1301802028028080

87,490210000

3/130218022

13020280

'

=×

×××

+

××−×+

×

−−×−×−

+

×

−+×−×−

+×

×−×××

=


0158,0360

'=hBB

360

'

180

'

130

' hhh BBOOPP==

[ ]

[ ]mmBBPP

mmBB

OO

hh

hh

06,2360

130''

85,22

''

==

==

P’Ph’’ ( ) [ ]mmPP h 55,0

87,490210000

3/1302/13020280''' =


(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP hhh 51,155,006,2'"'" =−=−=

O’Oh’’


[ ]mmOOOOOO hhh 58,127,185,2"''" =−=−=

Par symétrie, la distance QQh’’= 1,51 [mm]

Nous pouvons calculer la déformation globale : 22vhTOTALE DéfDéfDéf +=

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]mmQQPPPPPP

mmOOOOOO

vh

vh

70,151,179,0""""

78,158,183,0"""

2222

2222

=+==+=

=+=+=

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]mm

OO h

27,174,1885210000

3

)130180(

2

1301802028028080

74,18852100002

13018013018020280

87,490210000

1301803/1302

)13020280(

'''

=×

−×−×−

+

×

−×−×+

×

−+××

=


-55/77-

Torsion (arbre 1):

Je reprends l’équation (eq.I.50) pour déterminer la déformation angulaire et obtenir l’écriture

suivante : ( ) [ ]deg028,0

14

130180

10

130

80000.

15296.3244

=

−+×=Ωπ

Ainsi nous avons la déformation angulaire, qui vient s’ajouter aux déformations horizontale et

verticale calculées précédemment.

Il faut cette fois-ci réitérer le calcul pour l’arbre 2 (support de la roue)

Flexion dans le plan vertical XY (arbre 2):

130 180

y

x 1 2 3 4

14 10

vO vP vB vA

[ ]mmN.30600 [ ]mmN.22100

[ ]N170 [ ]N170

''vP

'vP

''vO

'vO

'vB

[ ]N340

[ ]mm130 [ ]mm180

1 2

3

2’

4

5

y

x 1 2 3 4 [ ]mm16 [ ]mm12

vQ

''vQ

'vQ


-56/77-

Distance BBv’ :

Section 12 ; Section 23 ; Section 34

[ ]44

3412 88,101764

mmd

II === π et [ ]4

4

23 99,321664

mmD

I == π

Pour réaliser les calculs qui suivent, je reprends les équations de la partie théorique.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ]mm

BBv

12,388,1017210000

3/13022

13022100

99,3216210000

180130180222100

99,3216210000

3/1301801802

1301802210030600

99,3216210000

3/1301801802

1301802210030600

88,1017210000

3/130218022

13022100

'

=×

×××

+

××−×+

×

−−×−×−

+

×

−+×−×−

+×

×−×××

=


0087,0360

'=vBB

360

'

180

'

130

' vvv BBOOPP==

[ ]

[ ]mmBBPP

mmBB

OO

vv

vv

13,1360

130''

56,12

''

==

==


P’Pv’’ et O’Ov’’ :

P’Pv’’ ( ) [ ]mmPP v 29,0

88,1017210000

3/1302/13022100''' =


(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP vvv 84,029,013,1'"'" =−=−=

O’Ov’’


[ ]mmOOOOOO vvv 89,067,056,1"''" =−=−=

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]mm

OO v

67,099,3216210000

3

)130180(

2

1301802210030600

99,32162100002

13018013018022100

88,1017210000

1301803/1302

)13022100(

'''

=×

−×−×−

+

×

−×−×+

×

−+××

=


-57/77-


la section 3. La déflexion au niveau du point Q est donc égale à [ ]mmQQPP vv 84,0"" == .

Flexion dans le plan horizontal XZ (arbre 2):

Distance BBh’ :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ]mm

BBh

86,288,1017210000

3/13022

13020280

99,3216210000

180130180220280

99,3216210000

3/1301801802

1301802028028080

99,3216210000

3/1301801802

1301802028028080

88,1017210000

3/130218022

13020280

'

=×

×××

+

××−×+

×

−−×−×−

+

×

−+×−×−

+×

×−×××

=

hO hP hB hA

[ ]mmN.28080 [ ]mmN.20280

[ ]N156 [ ]N156

''hP

'hP

''hO

'hO

'hB

[ ]N312

[ ]mm130 [ ]mm180

1 2

3

2’

4

5

y

x 1 2 3 4

[ ]mm16 [ ]mm12

hQ

''hQ

'hQ


-58/77-


008,0360

'=hBB

360

'

180

'

130

' hhh BBOOPP==

[ ]

[ ]mmBBPP

mmBB

OO

hh

hh

03,1360

130''

43,12

''

==

==

P’Ph’’ ( ) [ ]mmPP h 27,0

88,1017210000

3/1302/13020280''' =


(ou de la section 2) est égale à [ ]mmPPPPPP hhh 78,026,004,1'"'" =−=−=

O’Oh’’


[ ]mmOOOOOO hhh 81,062,043,1"''" =−=−=

Concernant le point Q, toujours par symétrie, la distance QQh’’= 0,78 [mm]

Nous pouvons calculer la déformation globale : 22vhTOTALE DéfDéfDéf +=

( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]mmQQPPPPPP

mmOOOOOO

vh

vh

15,178,084,0""""

2,181,089,0"""

2222

2222

=+==+=

=+=+=

Torsion (arbre 2):

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]mm

OO h

62,099,3216210000

3

)130180(

2

1301802028028080

99,32162100002

13018013018020280

88,1017210000

1301803/1302

)13020280(

'''

=×

−×−×−

+

×

−×−×+

×

−+××

=

130 180

y

x 1 2 3 4

16 12


-59/77-

Je reprends l’équation (eq.I.50) pour déterminer la déformation angulaire et obtenir l’écriture

suivante : ( ) [ ]deg027,0

16

130180

12

130

80000.

30592.3244

=

−+×=Ωπ

Voilà donc l’étude des déformations terminée.

Flexion [mm]

en O en P Torsion [°]

Arbre 1 1,78 1,7 0,028

Arbre 2 1,2 1,15 0,027

22.. EEttuuddee DDyynnaammiiqquuee

aa)) AArrbbrree ddee ttrraannssmmiissssiioonn

Cette étude permet de vérifier la résistance de l’arbre de transmission à la fatigue et ainsi de

valider les dimensions actuelles ou de les modifier.

Pour cela, il faut utiliser l’équation vue dans la partie théorique (eq.I.51), dont les paramètres

sont les suivants :

Avec aK le facteur de superficie et MPaRsiRS eee 1400504,0' ≤×=

bK le facteur de taille MPaRsiMPaS ee 1400700' >=

cK le facteur de charge

dK le facteur de température

eK le facteur d’effets divers

Je rappelle que dans notre cas, les facteursdK , eK sont fixés à 1 et le facteur de chargecK est

également fixé à 1, puisque nous avons pris en compte les coefficients de concentration de

contrainte dans le calcul statique, incluant le facteur de fatigue.

Par conséquent, il ne reste que les deux facteursaK et bK que je calcule d’après les équations

bma RaK = et

1133,0

62,7

−

= dKb .


-60/77-

Dans ce cas, nous pouvons constater que de l’arbre 1 à 2, le facteur aK restera inchangé,

puisque ne dépendant que du matériel « Rm » utilisé et de son traitement, en revanche le

facteur bK lui sera différent d’un arbre à l’autre et même d’une section à l’autre, puisque la

valeur du diamètre intervient dans sa détermination.

De la même manière que pour le facteuraK , la valeur de eS' sera fixe pour chacun des deux

arbres, dépendant elle aussi uniquement du matériel « Rm ».

Ainsi, nous aurons pour commencer, les valeurs suivantes :

aK bK eS' [MPa] eS [MPa]

Arbre 1 (d) 0,97 272,06

Arbre 1 (D) 0,93 260,84

Arbre 2 (d) 0,95 266,45

Arbre 2 (D)

0,795

0,92

352,8

258,04

Il suffit alors de reprendre les calculs effectués lors de l’étude statique et de remplacer la

valeur de « Re » par celle de « eS »calculée ci-dessus. Ayant déjà présenté la méthode et

défini les différentes étapes nécessaires à l’obtention du résultat, je ne donnerai que les

résultats.

Arbre 1

Nous obtenons les diamètres suivants : [ ]mmd 101 = devient [ ]mmd 121 =

[ ]mmD 141 = devient [ ]mmd 161 =

Arbre 2

Nous obtenons les diamètres suivants : [ ]mmd 121 = devient [ ]mmd 151 =

[ ]mmD 161 = devient [ ]mmd 181 =

Ayant ces nouveaux diamètres, je calcule les contraintes réelles obtenues sur chacun des

arbres au niveau de l’épaulement et du logement de la clavette pour les comparer à leur valeur

limite respective « eS ».


-61/77-

Maxiσ [MPa]

Epaulement Logement clavette

Arbre 1 220,39 188,87

Arbre 2 186,54 191,91

Maintenant le tableau définissant les valeurs de nous donne :

aK bK eS' [MPa] eS [MPa]

Arbre 1 (d) 0,95 266,45

Arbre 1 (D) 0,92 258,04

Arbre 2 (d) 0,926 259,72

Arbre 2 (D)

0,795

0,907

352,8

254,39

Ainsi nous pouvons constater que les limites sont bien respectées :

Arbre 1 04,25887,188

45,26639,220

<<

Arbre 2 39,25491,191

72,25954,186

<<

Après avoir réalisé cette étude dynamique, les dimensions de chacun des deux arbres ont été

modifiées, par conséquent les valeurs des contraintes maximales diffèrent de l’étude réalisée

précédemment, c’est pourquoi les nouvelles valeurs ont été calculées et reportées dans le

tableau ci-dessus. Cependant, ce changement de dimensions des arbres génère également un

changement au niveau de l’amplitude des déformations calculée précédemment. Je ne vais pas

répéter l’étude faite, mais donner les nouvelles valeurs des déformations dans le tableau qui

suit :

Flexion [mm]

en O en P Torsion [°]

Arbre 1 0,917 (1,78) 0,868 (1,7) 0,014 (0,028)

Arbre 2 0,581 (1,2) 0,538 (1,15) 0,012 (0,27)

(en rouge, les anciennes valeurs)


-62/77-

bb)) CChhooiixx ddeess rroouulleemmeennttss

D’après l’étude réalisée dans la partie II.A.c) et connaissant les diamètres de chacun des deux

arbres, je peux déterminer les roulements que je vais utiliser pour réaliser le montage.

Arbre 1

Désignation : Roulement SKF 61801

Arbre 1

Désignation : Roulement SKF 61802

Le calcul de dimensionnement est réalisé, je peux ainsi passer à l’étape suivante qui va être de

modéliser la transmission d’engrenage pour faire une nouvelle étude par la méthode des

éléments finis.

Cette étude est traitée dans la partie principale du rapport. L’annexe avait pour but de montrer

les détails du calcul de dimensionnement, ainsi que de définir toute la théorie contenue dans

mon étude.


-63/77-

IIIIII.. CCoonncceennttrraatt iioonn ddee ccoonnttrraaiinntteess

Lors du calcul de contrainte sur des éléments ayant une géométrie particulière tels qu’un

changement section, une cavité ou tout autre type d’usinage, il en résulte qu’au niveau de ces

particularités, l’amplitude des contraintes augmente considérablement. De ce fait, le calcul

théorique s’éloigne de la réalité, mais dans le mauvais sens, puisque la théorie minore les

contraintes réellement présentes sur l’élément mécanique.

C’est pour cela qu’il existe ce que l’on appelle des coefficients de concentration de contrainte,

qui permettent de majorer les contraintes et ainsi être plus proche de la réalité.

Pour mon étude, je me suis basé sur la seconde édition du livre « Peterson’s stress

concentration factors » (référence). Dans les pages suivantes se trouvent les abaques que j’ai

utilisés au cours de mon étude. En effet, il existe un nombre important d’abaques et donc de

méthodes d’obtention des coefficients de concentration de contrainte, ceci en fonction de la

géométrie de l’élément, mais également de la sollicitation (traction/compression, flexion,

torsion ou encore combinaison de ces sollicitations).


-64/77-

Fig.III-1 : facteur de concentration de contrainte KT pour la flexion, dans le cas du

changement de section (pour des sections circulaires) et ayant un rayon de raccordement

(basé sur le test de photoélasticité de Leven et Hartman 1951 ; Wilson et White 1973)


-65/77-

Fig.III-2 : facteur de concentration de contrainte KT pour la flexion, dans le cas du


(basé sur le test de photoélasticité de Leven et Hartman, 1951 ; Wilson et White, 1973)


-66/77-

Fig.III-3 : facteur de concentration de contrainte KTS pour la torsion, dans le cas du


(données de Matthews et Hooke, 1971)


-67/77-

Fig.III-4 : facteur de concentration de contrainte KTS pour la torsion, dans le cas du


(données de Matthews et Hooke, 1971)


-68/77-

Fig.III-5 : facteur de concentration de contrainte KT pour la flexion, dans le cas du logement

de clavette (pour des sections circulaires) (basé sur les données de Fessler et al., 1969)


-69/77-

Fig.III-6 : facteur de concentration de contrainte KT et KTS pour la torsion, dans le cas du

logement de clavette (pour des sections circulaires) (Leven, 1949 ; Okubo et al., 1968)


-70/77-

Fig.III-7 : facteur de concentration de contrainte KT et KTS pour la combinaison flexion/torsion,

dans le cas du logement de clavette (pour des sections circulaires), avec b/d = 1/4, t/d =1/8, r/d

= 1/48 (valeurs approximatives basées sur la méthode de Fessler et al., 1969)


-71/77-

IIVV.. CCooeeff ff iicc iieenntt ddee sseennssiibbii ll ii ttéé «« qq »»

fig.IV-2 : Diagramme de sensibilité au niveau du rayon de raccordement, pour matériel soumis à de la torsion

fig.IV-1 : Diagramme de sensibilité au niveau du rayon de raccordement, pour les aciers et alliages d’aluminium forgé UNS A92024-T, soumis à de la flexion (basé sur les données de George Sines et J.L. Waisman, Métal Fatigue, McGraw-Hill, New-York, 1959)


-72/77-

VV.. GGrraapphhiiqquueess ddee ll ’’aannaallyyssee hhaarrmmoonniiqquuee

Dans le rapport principal, je parle de l’analyse harmonique. Cette étude, je l’ai réalisée grâce

au logiciel « Designspace ». Je rappelle que dans mon cas, l’arbre de transmission est soumis

à deux sollicitations que sont la flexion et la torsion. Cependant, la combinaison ne peut être

étudiée lors de l’analyse harmonique. Dans un premier temps, j’ai réalisé une première

analyse harmonique de l’arbre soumis à de la flexion pure, puis, dans un second temps,

soumis uniquement à de la torsion. Les valeurs reprises dans le rapport principal

correspondent à la fréquence de rotation du moteur qui est de 30 Hz. Les graphiques à partir

desquels j’ai pu obtenir ces valeurs sont les suivants :

Arbre 1

Axe X

Flexion

Axe Y


-73/77-

Flexion Axe Z

Torsion Axe X

Arbre 2

Flexion Axe X

°


-74/77-

Axe

Y

Flexion

Axe

Z

Torsion Axe

X

°


-75/77-

VVII.. TTuuttoorr iiaall ((eexx.. ppoouurr «« SSooll iiddwwoorrkkss »»))


-76/77-

VVIIII.. AArr tt iicc llee


-77/77-

VVIIIIII.. RRééfféérreenncceess

Livres

[réf.1] SKF - Catalogue général

Copyright © SKF - 1982

[réf.2] George Henriet « Engrenages »

Conception – Fabrication – Mise ne œuvre, 7ème édition

Copyright © DUNOD, Paris 1999

[réf.3] Walter D. Pilkey « Peterson’s Stress Concentration Factors », seconde édition

Copyright © 1997 by John Wiley & Sons, Inc.

[réf.4] Joseph Edgard Shigley, Charles R. Mischke « Diseño en Ingeniería

Mecánica », quinta edición

Traduit de l’édition anglaise « Mechanical Engineering »

Copyright © MCMLXXXIX, by Mc Graw-Hill, Inc., USA

Sites Internet

[C] http://www.engdyn.com/torsional/torsanal_SSscf.htm

[C] : Concentration de contraintes

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