D.J.Struik - dbnl · 2016. 3. 7. · 8...

Geschiedenis van de wiskunde

DJ Struik

bronDJ Struik Geschiedenis van de wiskunde Uitgeverij Het Spectrum Utrecht 2001 (vierde druk)

Zie voor verantwoording httpwwwdbnlorgtekststru008gesc01_01colofonhtm

copy 2008 dbnl erven DJ Struik

6

Voor Ruth en Rebekka

DJ Struik Geschiedenis van de wiskunde

7

Voorwoord bij de Nederlandse heruitgave

Vrienden hebben mij verzocht eens mee te delen hoe deze beknopte geschiedenisvan de wiskunde is ontstaan Dat gaat al een zestig jaar terug Ofschoon ik in mijnLeidse studententijd wel eens op een college van JA Vollgraff ben geweest dateertmijn actieve belangstelling in die geschiedenis van de jaren 1924-25 toen ik opde historische bodem van Italieuml kennis maakte met Enea Bortolotti G Vacca FEnriques en Gino Loria Vooral Bortolotti fascineerde me door me te vertellen vanzijn studie der zestiende-eeuwse algebristen waarvan in Bologna nog heel watmanuscriptmateriaal bestaat Dat waren de lieden die de numerieke oplossing vande derde en vierdemachtsvergelijkingen vonden in de lsquoeacutepoque heacuteroiumlque desalgeacutebristes italiens du seiziegraveme siegraveclersquo zoals de Franse wiskundige Jean Dieudonneacutehet heeft uitgedruktIk ben toen ook begonnen met de Renaissance-wiskundigen te bestuderen in

incunabelen en andere oude boeken en heb dit tussen allerlei andere bezighedenvoortgezet ook toen ik na dec 1926 aan het Massachusetts Institute of Technologywas verbonden Af en toe heb ik ook wel iets gepubliceerd oa over Paulus vanMiddelburg en Kepler als wiskundigen en ik heb mijn belangstelling tot andereperioden van de geschiedenis der wiskunde uitgebreid Ik heb ook wel eens eenvoordracht gegeven zoals in 1935 toen ik in Haarlem voor GE-WI-NA (Genootschapvoor Geschiedenis der Genees- Wis- en Natuurkunde) over de Nederlandsewiskunde voacuteoacuter Descartes sprak Ik heb eveneens aan het MIT enige colleges overde geschiedenis van de natuurwetenschappen en de wiskunde gegeven maar daarwas weinig belangstelling voor Dat was voacuteoacuter de Tweede Wereldoorlog toen dehumaniora nog weinig toegang hadden tot technische instituten

Omstreeks 1946 kreeg ik van professor W Prager toentertijd aan de BrownUniversity in Providence verbonden het verzoek voor de toen pas opgerichte Doveruitgeversfirma in New York een korte geschiedenis der wiskunde te schrijven Ikhad al heel wat manuscriptmateriaal en ging op het aanbod in Mijn Concise Historyof Mathematics kwam in 1948 uit in twee kleine deeltjes Ik geloof dat het het enigeoorspronkelijke boek is dat Dover heeft uit-


8

gegeven de firma heeft zich geheel op de befaamde lsquoreprintsrsquo toegelegdHet boek werd goed ontvangen Er bestond eigenlijk niet veel in het Engels over

de geschiedenis der wiskunde Het boek van F Cajori was van 1919 herzien in1936 Chelsea herdruk 1985 wat lang en droog De twee boeken van DE Smithbeperkten zich voornamelijk tot elementaire wiskunde en waren van 1925 RArchibalds Outline uit 1932 had veel feitenmateriaal in voetnoten en een zeerbeknopte tekst (een zesde druk verscheen in 1949) Dan was er nog dat zeerleesbare maar verouderde boek van W Rouse Ball van 1888 (een zesde drukverscheen in 1915 en niet zo lang geleden kwam zelfs een Dover-herdruk uit) Ikkon gebruik maken van nieuwe onderzoekingen oa over de Babylonische wiskundeen voor de negentiende eeuw gaf Felix Kleins boek van 1926-27 uitstekende zijhet ook wat eenzijdige leiding Een Engelse uitgave van mijn boek kwam in 1954uit en in 1967 kon ik een derde druk bewerken nu in eacuteeacuten deel De eerste vertalingenkwamen uit in Japan en China in 1956 Daarna zijn er nog andere verschenen eenaantal ervan in socialistische landen als de USSR en de DDR waar men het ookwaardeerde omdat ik kans had gezien ondanks het korte bestek enige aandachtte wijden aan de betrekkingen tussen wiskunde en maatschappij Sommige vandeze vertalingen bevatten ook iets meer over het eigen land de Russische overČebyšev en Ljapoenov de Servische over Boscovich de Italiaanse over de gehelenegentiende eeuw (geschreven door prof Umberto Bottazzini) Sommige vertalingenhebben een eigen voorwoord en in de bibliografieeumln zijn enige titels in de taal vanhet land opgenomen De Nederlandse vertaling heb ik zelf bewerkt met een beetjemeer over Nederland

Dit brengt ons tot de wiskunde in Nederland Die kunnen we laten beginnen metbisschop Adalbold van Utrecht die onder invloed stond van de toen beste wiskundigevanWest-Europa Gerbert van 999 tot 1003 paus onder de naam Sylvester II Rond1050 vinden we ook Franco van Luik een geestelijke geiumlnteresseerd in decirkel-kwadratuur Het peil van hun wiskunde was niet hoog en ze hebben geenschool gemaakt Uit de zuidelijke Nederlanden kwam Willem van Moerbeke eendertiende-eeuwse Dominicaan die veel uit het Grieks en het Latijn vertaalde oaenige werken van ArchimedesEr zijn twee bloeiperioden in de Nederlandse wiskunde De eerste is die van de

Gouden Eeuw beginnend omstreeks 1580 met Stevin


9

en eindigend rond 1700 met Johann Bernoulli in Groningen Behalve Stevin enBernoulli ontmoeten we hier als belangrijke figuren Snellius Descartes VanSchooten Jan de Witt Hudde en Christiaan Huygens Hun werk is een belangrijkebijdrage tot de wetenschappelijke revolutie van die tijdAls we het tegenwoordige Belgieuml erbij betrekken begint deze eerste bloeiperiode

met Gemma Frisius in Leuven rond 1540 In de volgende eeuw vinden we inAntwerpenGreacutegoire de Saint Vincent en Andreacute Tacquet twee Jezuiumleten die bijdragenhebben geleverd tot de tegenwoordige integraalrekeningDe tweede bloeiperiode is het tegenwoordige tijdperk waarvan het begin

samenvalt met de hele opleving van het geestelijk leven die het intreden vanNederland in de moderne industrieumlle economie begeleidde In de wiskunde vindenwe hier de lsquomannen van 80rsquo DJ Korteweg JC Kluyver en PH Schoute diegetracht hebben de wiskunde in Nederland op internationaal peil te brengen Deontwikkeling die zij hebben ingeleid is doorgegaan We hoeven alleen maar aanLEJ Brouwer JA Schouten en JG van der Corput te denken om van de levendewiskundigen nog niet eens te spreken

Van deze geleerden heeft alleen Korteweg meacuteeacuter dan sporadisch aandacht besteedaan de geschiedenis van de wiskunde De beoefening van deze geschiedenis gaatterug op Gerardus Joannes Vossius de lsquohooghgeleerde Vosrsquo van Vondel die in zijnDe universae mathesius natura et constitutione (1650) een inderdaad hooggeleerdeen uitvoerige opsomming heeft gegeven van namen titels en soms inhoudsopgavenmet gelijksoortige vervelende compilaties van andere takken van wetenschapDaarna komt de Nederlandse vertaling van Etienne Montuclas Histoire des

matheacutematiques van 1758 even geestig als Vossius opsomming dor De vertalerwas AB Strabbe de stichter van het Wiskundig Genootschap (1778) Zijn Historieder Wiskunde kwam tussen 1782 en 1804 uit Strabbe had in de jaren 1773-1780al het populaire boek over sterrenkunde van Lalande (1764) vertaald Men kan dezewiskundige leren kennen in M van Haaftens geschiedenis van het WiskundigGenootschap (1923)Dan komt David Bierens de Haan hoogleraar in Leiden met zijn studies over

Nederlandse wiskundigen tussen 1874 en 1893 gedeeltelijk ook in boekvorm onderde titel Bouwstoffen uitgegeven Tussen 1898 en 1909 heeft ook de leraar NLWHGravelaar uit Deventer een aantal studies aan zestiende- en zeventiende-eeuwse


10

wiskundigen gewijd Door J Versluys is in 1902 een lsquoBeknopte Geschiedenis derWiskundersquo gepubliceerd voornamelijk gebaseerd op de Duitse boeken van MCantorIn de eerste zestig jaar van onze eeuw leefden drie historici die ook buiten

Nederland bekendheid hebben verworven JA Vollgraff C de Waard en EJDijksterhuis Vollgraff kreeg die bekendheid voornamelijk door zijn werk tussen 1910en 1950 aan de laatste zeven delen van de Oeuvres van Christiaan Huygens DeWaard door zijn editie van Isaac Beeckman en zijn bijdrage tot de edities vanMersenne en Paul Tannery en Dijksterhuis door De Mechanisering van hetWereldbeeld (1950) dat met zijn vertalingen in het Duits en Engels eacuteeacuten der bestezo niet het beste werk over dit onderwerp is We moeten ook pater H Bosmans uitBelgieuml niet vergeten die in het Frans over verscheidene Nederlandse wiskundigenheeft geschreven Ook nu bezit Nederland verdienstelijke historici der wiskunde

De volgende afkortingen voor vaak geciteerde bronnen zijn gebruikt

Historia MathematicaHM =Archive for History of Exact ScienceAHES =Dictionary of Scientific BiographyDSB =

Dirk J StruikBelmont Massachusettsdecember 1988


11

Woord vooraf bij de eerste druk

Het grote gedachtenavontuur dat wiskunde heet brengt ons in aanraking metgedachten en redeneringen die vaak het denken van eeuwen hebben beiumlnvloedHet is niet eenvoudig een overzicht te geven van de ontwikkeling van zulk eengebied een overzicht dat ook maar enigszins recht doet aan de rijkheid van ideeeumlndie het bezit en de invloed die ze hebben uitgeoefend Zulk een overzicht samente stellen wordt een oefening in zelfbeperking De schrijver heeft het nochtansaangedurfd nadat hij door de uitgever der Dover Boeken in New York daartoe werdaangemoedigd en zo is de eerste uitgave van de Concise History of Mathematicsin 1948 te New York verschenen Sedertdien is dit boek herhaaldelijk herdruktherzien en vertaald De tekst die we hier aanbieden is door de schrijver zelf vertaalden bewerktIn de eerste plaats moest grote aandacht worden besteed aan de keuze van de

stof Het was duidelijk dat alleen de ontwikkeling van de voornaamste ideeeumln konworden geschetst en vaak moest dan toch nog slechts terloops naar belangrijkegebeurtenissen worden verwezen Verscheidene figuren van betekenis zoalsRoberval Čebyčev of Schwartz moesten stilzwijgend worden voorbijgegaan en debibliografie moest tot de voornaamste geschriften worden beperktHet is te begrijpen dat we ook kort moesten zijn met het schetsen van de algemene

maatschappelijke en culturele atmosfeer waarin de wiskunde van een bepaaldeperiode tot verdere rijpheid - of verval - kwam De wiskunde is in de loop der eeuwenbeiumlnvloed door de handel en industrie door de scheepvaart de cartografie denatuur- en sterrenkunde het ingenieurswezen in oorlogen vredestijd dewijsbegeerte en de godsdienst en heeft ook op haar beurt andere gebiedenbeiumlnvloed We denken bijvoorbeeld aan de wederzijdse beiumlnvloeding vanhydrodynamica en functietheorie van elektrodynamica en differentiaalvergelijkingenvan het landmeten en de meetkunde van de invloed van het Cartesianisme of deScholastiek op de infinitesimaalrekening Zulke onderwerpen konden niet of slechtsin een paar woorden worden behandeld Toch kan men alleen een goed begrip vande loop en inhoud der wiskunde in een bepaald tijdvak verkrijgen zo


12

men deze factoren in rekening brengt Vaak moest ook in ons verhaal een verwijzingnaar de literatuur de plaats innemen van een geschiedkundige beschouwingOnze beschrijving gaat tot het einde van de negentiende eeuw Het is althans

voor schrijver dezes onmogelijk het grote terrein van de nieuwere wiskunde zoacute teoverzien dat het met voldoende zakenkennis en redelijkheid in zijn geheel kanworden omvat en besproken In plaats daarvan verwijzen we naar enigemonografieeumln waarin een overzicht over gedeelten van het wiskundig onderzoekder laatste vijftig jaren wordt aangeboden1Wij hopen dat wij ondanks al deze beperkingen toch in staat zijn geweest de

hoofdtrekken van het wiskundig onderzoek in de loop der eeuwen en ook die vanhaar maatschappelijke en culturele betrekkingen vrij redelijk te hebben weergegevenDe keuze kon ook met de beste wil van de wereld niet geheel objectief zijn ze moestwel door de persoonlijke smaak de kennis - of het gebrek aan kennis - van deschrijver worden beiumlnvloed Het gebrek aan kennis komt bij voorbeeld tot uiting inde omstandigheid dat het niet altijd mogelijk was de bronnen zelf te bestuderenzodat de informatie tweedehands was Wij raden daarom iedere lezer aan allebeweringen die hij in dit boek vindt zo nodig aan de bronnen te toetsen en dit geldtvoor al zulke geschiedenissen Er zijn verscheidene goede redenen voor een studievan de bronnen Het is verkeerd schrijvers als Euklides Diofantos DescartesLaplace Gauss of Riemann alleen maar tweedehands te bestuderen Er is in dezeauteurs een oorspronkelijkheid en kracht van stijl die op hun gebied niet onderdoenvoor die van Cervantes of Shakespeare en er zijn stukken van Archimedes FermatEuler Jacobi en vele andere wiskundigen die even mooi zijn als de verzen vanVondel of van Horatius

Hier volgen een aantal overwegingen waardoor de schrijver zich heeft laten leiden1 Nadruk is gelegd op de continuiumlteit en het gelijksoortige karakter van de

Oosterse wiskunde ondanks de noodzaak van het soms mechanischeopsplitsen in de culturen van Egypte Babylonieuml China India en de Islam

2 Getracht is een onderscheid te maken tussen vaststaand feit hypothese entraditie vooral in de wiskunde der Oudheid

1 Bv in de boeken van ET Bell (1945) en N Bourbaki (1960) aangevuld door die van F leLionnais zie inleiding Zie verder het eind van hoofdstuk VIII


13

3 De twee stromingen in de Renaissance-wiskunde de arithmetisch-algebraiumlscheen de lsquoinfinitesimalersquo zijn in betrekking gebracht met de commercieumlle eningenieursbehoeften van die periode

4 In de beschouwingen over de negentiende-eeuwse wiskunde hebben wij onsop personen en scholen gericht en ons in de eerste plaats laten leiden doorde geschiedenis van deze periode zoals Felix Klein die heeft geschreven Zomen een uiteenzetting naar onderwerpen verlangt dan kan men die vinden inde boeken van Cajori en Bell of met veel meer technische details in deEncyclopaedie der mathematischen Wissenschaften (Leipzig 1898-1935 24delen) of in korter bestek in Pascals Repertorium der houmlheren Mathematik(Leipzig 1910 - 29 5 delen)

De schrijver spreekt hier gaarne zijn dank uit aan dr O Neugebauer die zo vriendelijkis geweest het eerste hoofdstuk van dit boek te lezen hetgeen tot verschillendeverbeteringen heeft geleid aan dr AP Joesjkewitsj heeft hij verbeteringen in desecties over de Islam en aan dr Kurt R Biermann verscheidene bibliografischegegevens te danken Voor de hulp bij het opsporen van andere tekorten is hijaangenaam verplicht aan wijlen dr RC Archibald aan dr EJ Dijksterhuis de heerSA Joffe en aan andere lezers Bij de bewerking van deze Nederlandse uitgavezijn enige verbeteringen aangebracht en sommige details over de wiskunde inNederland verder uitgewerkt Ook zijn enige in het Nederlands geschreven publikatiesaangehaald

1948


15

I Het begin

1

Voor onze eerste voorstellingen van getal en vormmoeten wij tot ver in het verledenteruggaan tot in het Oudere Stenen Tijdperk het Paleolithicum Gedurende dehonderdduizenden jaren van dit tijdperk waarin de mensen vaak in holen leefdenwas er in vele opzichten weinig verschil tussen de levenswijze van de mensen endie van de hogere dieren - met eacuteeacuten belangrijke uitzondering zij hadden het vuurZe verschaften zich voedsel door jacht of visserij of door het plukken van wildegewassen Ze traden met elkaar in gemeenschap en zo begon de taal zich teontwikkelen In de loop der millennia werd hun scheppend vermogen vergroot enzo kunnen we nu nog hun kunstzinnige holschilderingen bewonderen Dieschilderingen van dieren en jagers die we in Spanje en Frankrijk vinden en dieongeveer 15000 jaar oud zijn hadden vermoedelijk rituele betekenis in elk gevalverraden ze een merkwaardige zin voor vormen Meer dan dat ze vertellen ons dater een uitstekend begrip was voor een tweedimensionale afbeelding vanruimtevormenDe ontwikkeling van het getalbegrip en van ruimtelijke begrippen maakte grote

vorderingen toen het uitsluitend vergaren van het voedsel begon plaats te makenvoor de produktie van voedingsmiddelen Dit betekent dat naast jacht en visserijook landbouw en veeteelt werden beoefend Dat was een wezenlijke veranderingin het menselijk bestaan een ware omwenteling waarin de mens van een passievetot een actieve verhouding ten aanzien van de natuur overging Dit nieuwe tijdvakwordt met de naam Neolithicum het Nieuwere Stenen Tijdperk aangegevenDeze grote omwenteling in de geschiedenis van demensheid begon waarschijnlijk

ongeveer 10000 tot 15000 jaar geleden toen het ijsdek dat gedeelten van Europaen Azieuml had bedekt zich had teruggetrokken en plaats had gemaakt voor vlaktenmoerassen en wouden Er waren nomadische volkeren die ophielden al zwervendnaar voedsel te zoeken en zich ontwikkelden tot aanvankelijk primitieve boerendie ook nog wel jaagden of visten maar die zich zo lang de bodem vruchtbaar bleefaan eacuteeacuten lokaliteit verbonden hadden Ze begonnen blijvende woningen te bouwenom zich tegen het weer of de aanvallen van rovers te beschermen Vele zul-


16

ke nederzettingen uit het Neolithicum zijn door opgravingen aan het licht gekomenen komen nog steeds aan het licht ook in Nederland Uit die opgravingen blijkt datzich in die nederzettingen langzamerhand eenvoudige vormen van handwerk zoalspottenbakkerij timmermanswerk en weverij ontwikkelden Er kwamen stapelplaatsenvan koren zodat het mogelijk was voorraden te verzamelen voor de winter of voorslechte tijden Men bakte brood men brouwde bier en in latere perioden van hetNeolithicum begon men koper en brons aan te wenden voor sieraden engebruiksartikelen Van de vele en belangrijke uitvindingen uit die tijden moeten wespeciaal het wagen- en het pottenbakkerswiel vermelden Zulke vernieuwingentraden gewoonlijk op binnen zekere gebieden van waar ze zich dan naar anderestreken verbreidden - of misschien ook niet Zo is de kennis van het wiel om eenvoorbeeld te noemen niet voacuteoacuter de komst der blanken tot de Amerikaanse bevolkinggekomen tenzij misschien als speelgoed Men kan met zekerheid verklaren dat hettempo van de uitvindingen vergeleken met dat van het Oudere Stenen Tijdperksnel aan het toenemen wasTussen de dorpen ontstond handel die heel omvangrijk kon worden Men kan

betrekkingen aantonen tussen gebieden die honderden kilometers van elkaar aflagen De ontdekking van het bewerken en smelten van ertsen en de daaruitvoortkomende metallurgie eerst van koper dan van brons en nog later van ijzerheeft die handelsbetrekkingen zeer in de hand gewerkt Dit bevorderde ook deontwikkeling van de taal Oorspronkelijk drukten de woorden zeer concrete dingenuit zodat er geen plaats was voor abstracties en slechts heel eenvoudige getallen-en vormrelaties konden worden aangegeven Men vond zulk een taalniveau bij veleAmerikaanse Afrikaanse en Australische stammen in de periode waarin zij met deblanken in aanraking kwamen Ook nu bestaan zulke relaties nog wel zodat hetmogelijk is een studie te maken van de wijze waarop zulke stammen in hun cultuurgetallenbetrekkingen uitdrukken

2

Aangezien - om met Adam Smith te spreken - getallen behoren tot de meestabstracte ideeeumln die demenselijke geest kan vormen kwamen speciale uitdrukkingenvoor getallen slechts langzaam in gebruik Aanvankelijk droegen die uitdrukkingeneerder een kwalitatief dan een kwantitatief karakter omdat men slechts onderscheidmaakte tussen eacuteeacuten (of eigenlijk eacuteeacuten man in plaats van een maacuten) twee en veel Menkan die oorsprong van de getallenvoor-


17

stellingen nog hier en daar terugvinden in de duale vervoegingen die men in sommigetalen bv in het Oud-Grieks of Keltisch vindt (bv Grieks anegraver man andre tweemannen) het getal twee is hier nog aan een onderwerp gekoppeld Wanneer dande behoefte ontstaat het getalbegrip uit te breiden worden grotere getallenaanvankelijk door optelling gevormd bv drie door twee en eacuteeacuten vier door twee entwee op te tellenHier volgt een voorbeeld ontleend aan sommige Australische stammen

Murray River 1 = enea 2 = petcheval 3 = petcheval-enea 4 =petcheval-petchevalKamilaroi 1 = mal 2 = bulan 3 = guliba 4 = bulan-bulan 5 = bulanguliba6 = guliba-guliba1

Door de ontwikkeling van het handwerk en de handel werd deze groei van hetgetalbegrip sterk bevorderd Getallen werden gerangschikt en gebundeld tot grotereeenheden en daarbij werd vaak van de vingers van een hand of van beide handengebruik gemaakt iets dat bij de handel heel natuurlijk is Zo kwam het getal vijf endaarmee ook tien als hogere eenheid in gebruik en door deze werden weer anderegetallen door optelling of aftrekking verkregen bv twaalf als tien plus twee of negenals tien minus eacuteeacuten We vinden ook wel 20 het aantal van vingers en tenen (of vande handen tweemaal) als basis in gebruik WC Eels die 307 getalsystemen vanAmerikaanse volkeren heeft onderzocht vond 146 systemen decimaal en 106 op5 10 of 20 of op combinaties daarvan berustend2 Het vigesimale stelsel (dus datstelsel dat op de basis 20 berust) komt in zijn meest karakteristieke vorm voor bijde Mayas in Mexico en bij de Kelten in EuropaEr bestonden verschillende manieren om numerieke resultaten voor te stellen

door bundelen door strepen te kerven op een stuk hout of been door knopen ineen touw te leggen door steentjes of schelpen in hoopjes van vijf opeen te stapelen- methoden die doen denken aan de kerfstok van een herbergier uit de oude tijdDit leidde weer tot de invoering van speciale symbolen voor 5 10 20 enz en wevinden inderdaad in de periode waarin de geschreven geschiedenis begint zulkesymbolen in gebruik

1 L Conant The Number Concept (New York 1896) blz 106-107 met verscheideneandere voorbeelden

2 WC Eels Number Systems of North American Indians Amer Mathem Monthly 20 (1913)blz 293


18

Een vroeg voorbeeld van zulk een kerfstok gaat terug tot het Oudere Stenen TijdperkIn 1937 werd bij Věstonice in Moravieuml de rib van een jonge wolf gevonden ongeveer20 cm lang waarin 55 diepe kerven waren gesneden de eerste 25 in groepen van5 Dan volgt een kerf die tweemaal zo lang is en waarmee de rij van kerven eindigtmet een andere kerf ook tweemaal zo lang als de eerste 25 kerven begint eennieuwe reeks die tot 30 loopt1Men ziet dus dat het niet geheel juist is om met Jacob Grimm en anderen te

zeggen dat tellen begonmet vingertellen Dit vingertellen dat wil dus zeggen rekenenin groepen van vijf en tien kwam eerst in gebruik nadat het tellen reeds een zekereontwikkeling had doorgemaakt Toen deze ontwikkeling ver genoeg was gevorderdkonden getallen worden uitgedrukt met behulp van een basis waarin dan weergrotere getallen konden worden uitgedrukt Zo ontstond een eenvoudigerekenkundige methode waarin bv 14 als 10 + 4 doch ook als 15 - 1 kon wordenuitgedrukt Vermenigvuldiging zien we daar optreden waar 20 niet als 10 + 10 dochals 2 times 10 wordt opgevat Zulke dyadische bewerkingen vindt men duizenden jarenlang als een soort middenweg tussen optelling en vermenigvuldiging in gebruikbv in oud Egypte en in de pre-Arische beschaving van Mohenjo-Daro aan de IndusDeling begon daar waar 10 werd uitgedrukt als de lsquohelft van een lichaamrsquo of in

soortgelijke gevallen doch bewuste breukenvorming kwam weinig voor BijNoordamerikaanse stammen bijvoorbeeld vinden wij slechts enkele uitdrukkingenvoor breuken en in bijna alle gevallen betreft dit frac12 al vindt men ook wel eensuitdrukkingen voor ⅓ of frac142 Ook vindt men heel vroeg een merkwaardige voorliefdevoor heel hoge getallen iets dat misschien samenhangt met een al-te-menselijkedrang om de grootte van kudden of van verslagen vijanden te overdrijven zonvoorliefde bespeuren we ook wel in de Bijbel en in andere heilige geschriften

3

Men kreeg ook behoefte aan het meten van de lengte en inhoud van voorwerpenDaarvoor moesten zekere eenheden worden ge-

1 Isis 28 (1938) bldz 462-463 ontleend aan Illustr London News van 2 Oct 19372 GA Miller heeft opgemerkt dat het woord helft (one-half semis moitieacute) niet in directe

betrekking staat tot het woord twee (two duo deux) in tegenstelling tot de woorden eacuteeacuten-derdeeacuteeacuten-vierde enz hetgeen er op schijnt te wijzen dat het begrip frac12 onafhankelijk van het begrip2 ontstond Nat Mathem Magazine 13 (1939) blz 272


19

kozen die nogal onnauwkeurig waren vaak delen van het menselijk lichaam zoalsvingers duimen of voeten Aan deze gewoonte worden we ook herinnerd als wewoorden als el span of vadem gebruiken1 Bij de bouw van huizen zoals bij delandbouwende Indieumlrs of de paalbewoners van Centraal Europa moesten regelsworden vastgelegd waarmee men langs rechte lijnen en volgens rechte hoeken konbouwen Het woord lsquorechtrsquo hangt samen met lsquorekkenrsquo het woord lsquolijnrsquo met lsquolinnenrsquohet Engelse woord lsquostraightrsquo (recht) met het werkwoord lsquostretchrsquo (strekken) al dezeuitdrukkingen wijzen op metingen met koorden of touwen2 Het woord lsquolinnenrsquo wijstop een verband met het spinnen en wevenDe neolithische mens had ook een levendig gevoel voor meetkundige patronen

Het bakken en kleuren van aardewerk het vlechten van bindwerk en manden hetweven van doeken en later het bewerken van metalen leidde allemaal tot eenversterking van het gevoel voor vlakke en ruimte-relaties We kunnen hier misschienook dansfiguren aan toevoegen Men treft in neolithische versieringen veelcongruentie symmetrie en gelijkvormigheid aan Getalverhoudingen komen ookvoor zoals in sommige voorhistorische figuren die driehoeksgetallen voorstellenof bij zgn heilige nummersInteressante meetkundige patronen op aardewerk op mandwerk en op geweven

stoffen vinden wij op neolithische potten in Bosnieuml en op kunstvoorwerpen van deUr-periode in Mesopotamieuml3 op Egyptisch aardewerk der voordynastische periode(4000-3500 v C)4 op voorwerpen gebruikt door paalhuis-bewoners bij Loebljanka(Joegoslavieuml) in de Hallstadt periode (Midden Europa 1000-500 v C)5 en op veleandere plaatsen Op urnen uitgegraven bij Sopron in Hongarije zien we rechthoekenwaarin driehoeken en driehoeken waarin cirkels Deze figuren vertonen een

1 El staat in verband met elleboog span is de breedte van de uitgestrekte hand (vgl het woordomspannen) vadem is de afstand tussen de handen van de uitgestrekte armen (vgl hetwoord omvademen)

2 In vele landen werden mensen die metingen verrichtten lsquotouwspannersrsquo genoemd bvlsquoharpedonaptairsquo (Grieks) lsquomassahrsquo (Arabisch) lsquomasihānu (Assyrisch) Zie S Gandz Quellenund Studien zur Geschichte der Mathematik I (1930) 255-277

3 W Lietzmann Geometrie und Praehistorie Isis 20 (1933) 436-4394 DE Smith History of Mathematics (New York 1923) Dover herdruk 1951-53 I 15 Dit boek

heeft ook een uitvoerige bibliografie5 M Hoernes Urgeschichte der bildenden Kunst in Europa (Wenen 1915)


20

neiging om tot driehoeksgetallen te komen getallen die later in de wiskunde derPythagoreeeumlrs een belangrijke rol zullen spelen1Zulke versieringen zijn ook in historische tijden populair gebleven en worden nog

heden met succes aangewend Men kan mooie voorbeelden vinden op de dipylonvazen uit de Minoiumlsche (Kreta) en archaiumlsch-Griekse tijd in Byzantijnse en Arabischemozaiumleken of op Perzische en Chinese tapijten Oorspronkelijk zullen sommigevan deze figuren wel een magisch-godsdienstige betekenis hebben gehad maarhet esthetisch element heeft op den duur wel de overhand behouden2De godsdiensten van het Stenen Tijdperk kunnen worden aangezien als pogingen

om met de natuurkrachten te kampen Godsdienstige ceremonies worden vaakbegeleid door andere ceremonies die men eerder magisch kan noemen en ditmagische element kan men weer terugvinden in bepaalde opvattingen omtrent getalen vorm in kunst en dagelijks leven Voorbeelden van magische getallen zijn 3 47 10 vanmagische figuren het pentagram en de swastika (links of rechtsgewonden)Sommige schrijvers hebben de godsdienstige zijde van de vroege wiskunde als hetbeslissende element van haar groei beschouwd3 maar al zijn ook demaatschappelijke wortels der wiskunde in moderne tijden vaak moeilijk te ontdekkenze zijn in de vroege periode van de menselijke geschiedenis toch wel duidelijk tezien De traditie van die getallenmystiek leeft nog voort in zo iets als de lsquomodernersquonumerologie en de vrees voor het getal dertien Er zijn hotels zonder lsquodertiendersquoetage

4

Zelfs bij volkeren met een maatschappelijke cultuur verwijderd van onze technischebeschouwing vinden we een soort tijdrekening dus een besef van de beweging vanzon maan en sterren Door de uitbreiding van landbouw en handel begint dezekennis een meer wetenschappelijk karakter te krijgen Zo ontstond eenmaankalender doordat de veranderingen in de groei der gewassen

1 Vgl ook F Boas General Anthropology (1930) blz 2732 Men denke hier ook aan het werk van de Nederlandse kunstenaar MC Escher Wie zich in

de wiskundige theorie van deze vakversieringen interesseert raadplege A Speiser Theorieder Gruppen von endlicher Ordnung (Leipzig 1925 herdruk New York 1945)

3 WJ Mc Gee Primitive numbers Nineteenth Annual Report Bureau Amer Ethnology 189798(1900) 825-851 Vgl A Seidenberg The ritual origin of geometry Archive f Hist Exact Sc1 (1962) 488-527 The ritual origin of counting ibid 2 (1962) 1-40


21

en andere periodiciteiten in de natuur in verband werden gebracht met de wisselingenvan de maanstanden Daarnaast ontwikkelde zich ook een zonnekalender maareen nauwkeurige omschrijving van het verband tussen beide kalenders wordt eerstin de historische periode gelegd in verschillende landen op verschillende manierBij lsquoprimitieversquo volkeren vinden we ook wel belangstelling voor zonnewendingen ofde opgang van de Plejaden in de ochtendschemering omdat deze dienst dedenals gids bij de scheepvaart Overigens placht men in historische tijden aan dievroegere prehistorische periode wel eens een overdreven astronomische kennistoe te schrijvenAlgemeen gesproken kan men zeggen dat uit deze prehistorische studie der

hemellichamen enige kennis van bol en cirkel werd verkregen Ook kwam er enigbesef van ruimtelijke richtingen

5

Uit deze voorbeelden blijkt wel dat de historische groei van een wetenschap nietnoodzakelijkerwijze dezelfde ontwikkeling moet doormaken als die waarop we haarin het huidige onderwijs doceren Sommige meetkundige vormen die eerst in detegenwoordige tijd wetenschappelijk zijn bestudeerd zoals knopen en patronenwaren al in vroege tijden bekend Anderzijds zijn sommige tamelijk elementairewiskundige gebieden van betrekkelijk jonge datum wij denken bv aan de grafischevoorstelling of aan de beginselen der statistiek De Zuumlricher professor A Speiserheeft het eens met een zekere ironie en een zekere overdrijving aldus uitgedruktlsquoAlreeds de uitgesproken neiging om vervelend te worden die voor de elementairewiskunde karakteristiek schijnt te zijn kan voor zijn late oorsprong pleiten daar descheppende wiskundige liever zijn aandacht besteedt aan belangwekkende enmooie vraagstukkenrsquo1

6

Hier is misschien een goede plaats om als overgang tot het volgende hoofdstuk ietste vermelden over de wiskunde van deMinoische-Myceense cultuur die der Mayasen die der Incas culturen die nu slechts herinneringen zijn door nagelatenvoorwerpen teksten en monumenten doch waarvan de invloed op het verdereverloop van de wiskunde op zijn best gering schijnt geweest te zijn Toch blijft dezewiskunde voor ons interessant en leerzaamIn de Minoiumlsche en Myceense ruiumlnes op Kreta en het Griekse vasteland zijn

wiskundige symbolen voor administratieve doelein-

1 A Speiser lc p 36


22

den gevonden Ze zijn in het zogenaamde Lineair A en B schrift en behoren tot deperiode van circa 1800 tot 1200 v C Evenals in Egypte worden getallen additiefgeschreven met symbolen voor 1 10 100 1000 die symbolen zijn geheel van diein Egypte verschillend Ook voor eenvoudige breuken bestaan symbolen doch erzijn (nog) geen eenheidsbreuken als bij de Egyptenaren gevonden De schrift isop kleitafeltjes als bij de Babylonieumlrs doch de klerken bakten ze niet zodat de enigetafeltjes die over zijn komen van de laatste brand die de paleizen heeft verwoest(als bv het zgn paleis van Nestor) Het is dus niet bekend hoever de wiskundigevaardigheid van deze klerken ging Wat we weten is dat de Homerische heldendienaars hadden die schriftelijk konden rekenenDeMayas in Midden Amerika speciaal in huidig Guatemala en Yucatan bezaten

een beschaving die meer dan duizend jaren heeft bestaan en haar hoogtepunt heeftbereikt in de zgn klassieke periode zo tussen 200 en 900 n C De arithmetica vandezeMayas is in hoofdzaak ontcijferd door de studie van hun gebeeldhouwde relieumlfsen van sommige codices en Spaanse kronieken Ze stond in direct verband met hetkalendersysteem en dit hing weer af van hun sterrenkunde Het systeem wasvigesimaal dus gebaseerd op 20 als eenheid We vinden hier stippen voor getallenvan 1 tot 4 horizontale streepjes voor de vijven tot 15 en voor grotere getallen eenpositiestelsel waarin machten van 20 worden voorgesteld door hetzelfde symboolals 20 Er kwamen variaties voor in verband met periode en kalenderstelsel Eenpositiesysteem eist een symbool voor de nul die werd aangegeven door een soortschelp of halfgeopend oog Deze soort arithmetica beiumlnvloedde die van anderevolkeren - een voorbeeld is de beroemde grote ronde kalendersteen der Aztekennu in het Archeologische Museum in Mexico Stad - de Azteken kwamen in Mexicotegen het einde van de twaalfde eeuw (n C)De Incas beheersten een uitgestrekt rijk in het Andes-gebied dat van het midden

der 13e eeuw tot de tijd der Spaanse verovering drie eeuwen later bestond methoofdstad Cuzco (nu in Peru) Zij waren bekwaam in administratie hand- enkunstwerk stedenbouw en ingenieurstechniek en dit alles zonder een schrift Voorhun bureaucratie gebruikten ze een rekenmethode en statistiek gebaseerd op dequipu De eenvoudigste quipu bestaat uit een hoofdkoord van gekleurd katoen ofwol waaraan andere koorden met knopen hangen Die knopen vormen groepjesvan eacuteeacuten knoop tot 9 knopen en een groep van 4 knopen gevolgd door een van 9en dan door een van 2 stelt het getal 492 voor Hier hebben we dus


23

een positiestelsel met de nul hier voorgesteld door een grotere afstand tussenknopengroepjes (zie hfdst II sectie 4) De kleuren van de koorden kunnen voedselkleding soldaten enz voorstellen Er kunnen weer koorden van de vorige koordenafhangen zodat men een tamelijk gecompliceerde statistiek kan bijhouden Met diequipus kan ook gerekend worden zelfs in tamelijk ingewikkelde processen in eentechniek die enigszins aan de Chinese lsquomatrixrsquo-methode doet denkenQuipus zijn gevonden met honderden koorden de meest gecompliceerde quipu

tot nu gevonden heeft 1800 koorden ze kan de samenstelling van een leger eenwerkkracht een opslagplaats hebben voorgesteld De Spanjaarden plachten dequipus als heidense instrumenten te vernielen De ongeveer 400 quipus die we nuhebben zijn in graven gevonden in woestijngebiedenDeze quipus leren ons dat een uitgebreide bureaucratisch georganiseerde

maatschappij kan bestaan zonder een schrift Dit doet allerlei vragen opkomenHadden bv de klerken (priesters druiden) die in het veronderstelde lsquoastronomischlaboratoriumrsquo Stonehenge (in Z Engeland) werkten ook een quipu-achtige manierom informatie te bewaren en te bewerken maar waarvan geen overblijfselenbestaan

7

In de laatste jaren wordt meer en meer aandacht geschonken aan de wiskundigeideeeumln die we aantreffen bij stammen of volksgroepen die nog geen of nauwelijkseen geschreven schrift kennen Door M en R Ascher is hiervoor de naamlsquoethnowiskundersquo (ethnomathematics) voorgesteld als de studie van de wiskundigebegrippen van niet-geletterde (non-literate) volken Volken waarvoor men vaak determ lsquoprimitiefrsquo gebruikt maar wier cultuur verre van lsquoprimitiefrsquo blijkt te zijn Zulk eenstudie houdt zich bezig met de meet- en rekenkundige begrippen die men daaraantreft de manier van weven netten maken of pottenbakken de versieringen vanweefsels potten of eigen lichaam en de bloedverwantschappen (kinship relations)die vaak een merkwaardig wiskundig schema kunnen onthullen Zulke volken kanmen vinden in Afrika in Poly- en Melanesieuml Australieuml doch het onderzoek kan zichuitstrekken tot geiumlsoleerde gebieden en gettos van industrieumlle landen Deze studiestaat in nauw verband vooral in de vroegere koloniale landen met de wijze waaropwiskunde moet worden gedoceerd aan leerlingen die uit hun traditionele cultuur inde moderne beschaving worden gebracht zij deze kapitalistisch of socialistischHet blijkt dan aanbevelenswaardig te zijn aan te knopen bij


24

zulke wiskundige begrippen als eigen zijn aan de traditionele cultuur bv zulkeontleend aan het bouwen van hutten of gemeenschapshuizen patronen bij textielof keramiek het maken en de vorm van knopen bij netten enz Geschiedenisantropologie en opvoeding gaan hier hand in hand

Literatuur

Behalve de reeds geciteerde boeken en artikelen van Conant Eels Smith Lietzmanen Speiser kunnen we nog noemen

K Menninger Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahlen Goumlttingen2e ed I Zahlreihen und Zahlsprache 1957 II Zahlschrift und Rechnen 1958Ook in Engelse vertalingDE Smith - v Ginsburg Numbers and Numerals NY Teachers College 1937V Gordon Childe What Happened in History (Pelican BookHarmondsworth-New York 1942) Ned vertaling Van Vuursteen tot Wereldrijk(Amsterdam 1952)DJ Struik Stone Age Mathematics Scientific American Dec 1948

Interessante ornamenten vindt men oa in het reeds geciteerde boek van Speiseren in de volgende artikelen beschreven

L Spier Plains Indian Parfleche Designs Univ Washington Publ inAnthropology 4 (1931) 293-322AB Deacon Geometrical Drawings from Malekula and other Islands of theNew Hebrides Journal Royal Anthropol Institute 64 (1934) 129-175M Popova La geacuteomeacutetrie dans la broderie bulgare Comptes Rendus PremierCongregraves des Matheacutematiciens des Pays Slaves (Warschau 1929) 367-369

De wiskunde van de Amerikaanse Indianen wordt ook behandeld inJES Thompson Maya Arithmetic Contributions to Amer Anthropology andHistory 36 Carnegie Inst of Washington Publ 528 (1941) 37-62EC Lounsbury Maya Numeration Computation and Calendrical AstronomyDSB 15 (1978) 759-818 met uitvoerige bibliografieM en D Ascher Code of the Quipus A study in Media Mathematics andCulture Ann Arbor Mich 1981 Zie ook AHES 8 (1972) 288-320 en VisibleLanguage Cleveland Ohio 1975 329-356DJ Struik Minoan and Mycenaean Numerals HM 9 (1982) 54-58


25

C Zaslavsky Africa Counts Boston 1973DW Crowe The Geometry of African Art Journal of Geometry 1 (1971)169-182 2 (1975) 253-271

Over lsquoethno-wiskundersquo raadplege menM en R Ascher Ethnomathematics History of Science 24 (1986) 125-144M Ascher Graphs in Culture A Study in Ethnomathematics HM 15(1988)201-227U DAmbrosio Mathematical Education in a cultural Setting Intern Journ fEduc Sci Techn 16 (1985) 469-477P Gerdes On possible Roots of traditional Angolan Sand Drawings in theMathematics Classroom Educational Studies in Mathematics 19 (1988) 13-22Zie ook Gerdes proefschrift Zum erwachenden geometrischen Denken(Dresden 1985 2 dln)

Over het verband tussen ritueel en wiskunde zie de artikelen van A SeidenbergAHES 1 (1960-61) 480-527 2 (1962) 1-40 18 (1970) 301-342Over de ontwikkeling van wiskundige begrippen bij kinderen vindt men

beschouwingen en literatuur inA Riess Number Readiness in Research (Chicago 1947)J Piaget La Genegravese du Nombre chez lenfant (Neuchacirctel 1941) en Ledeacuteveloppement des Quantiteacutes chez lenfant (ib 1941)LNH Bunt The Development of the Ideas of Numbers and Quantity accordingto Piaget (Groningen 1951)Over lsquomegalitischersquo sterrenkunde en wiskundeGS Hawkins Beyond Stonehenge Londen 1973DC Haggie Megalithic Science Londen 1981

Interessant is ookU Seibt lsquoZahlbegriffe und Zahlenverhaumlltnisse bei Tierenrsquo Zeitschrift fuumlrTierpsychologie 60 (1982) 325-341


27

II Het oude Oosten

1

Gedurende het vijfde vierde en derde millennium v C ontstonden nieuwe en meerontwikkelde maatschappijvormen uit neolithische gemeenschappen die zich reedseeuwen lang in subtropische of bijna subtropische gebieden langs de oevers vangrote rivieren in Afrika en Azieuml hadden gevestigd Deze rivieren waren de Nijl deTigris en de Eufraat de Indus en later de Ganges de Hoang-ho en de Yang-tseDe landerijen langs die rivieren konden overvloedige oogsten opleveren wanneer

de rivieren onder controle waren gebracht en moerassen waren drooggelegd Inscherpe tegenstelling tot de woestijnen en berggebieden die deze gebiedenomringden konden de rivierdalen in een paradijs van vruchtbaarheid wordenherschapen Dit werd in de loop der eeuwen volbracht door het bouwen van dijkenen dammen het graven van kanalen en het aanleggen van reservoirs De regelingvan de watertoevoer vereiste samenwerking tussen de verschillendegemeenschappen ook al lagen die naar toenmalige verhoudingen een heel eindvan elkaar verwijderd Dit bracht centrale administratie-organen in het leven dieniet meer in primitieve dorpen doch in steden moesten worden gelokaliseerd Dezesteden op kruispunten van handelswegen in of ook buiten de administratieve centrawerden tegelijkertijd plaatsen waar de produkten van landbouw en veeteelt ter marktkonden worden gebracht Er ontstond een tamelijk hoog overschot van zulkeprodukten dat niet alleen de algemene levensstandaard verhoogde doch ook eenstedelijke aristocratie met machtige opperhoofden schiep Er kwamen velegespecialiseerde beroepen handwerkers soldaten beambten priesters Het beheerder openbare werken werd in de handen van een blijvende bureaucratie geplaatsteen groep die verstand had van het gedrag der jaargetijden de bewegingen derhemellichamen de kunst van het landmeten het opstapelen van voedingsmiddelenof de heffing van belastingen Gaandeweg ontstond een schrift waarin de handelingenvan de bureaucratie en de daden der opperhoofden konden worden beschreven enbewaard Zulke handwerkers en bureaucraten verkregen langzamerhand heel watspeciale technische kennis waartoe ook kennis van de metaalbewerking en vande geneeskun-


28

de behoorde En zo begonnen ze ook de kunst van het rekenen en meten tebeheersenDe maatschappij ten tijde van deze opkomst der steden (men spreekt wel van

een revolutie the urban revolution) was ook langzamerhand in klassen gesplitstMen had opperhoofden vrije en pachtboeren handwerkers schrijvers en anderebeambten horigen en slaven Plaatselijke hoofden werden soms zo rijk en machtigdat ze van feodale heerschappen met beperkte autoriteit opklommen tot plaatselijkekoningenmet absolute macht Twisten en oorlogen tussen allerlei despootjes kondener wel toe leiden dat grote gebieden onder een enkele monarch verenigd werdenDeze althans in de centrale gebieden vaak op irrigatie berustendemaatschappijvormen met intensieve landbouw konden op deze manier tot eenlsquoOostersrsquo type van despotisme voeren Zulk despotisme kon eeuwen langgehandhaafd blijven en dan weer ineenstorten soms onder de aanvallen vanwoestijn- of bergstammen die aangetrokken werden door de rijkdommen derrivierdalen ook wel door de verwaarlozing van het uitgestrekte ingewikkelde enlevensbelangrijke systeem van irrigatie Onder zulke omstandigheden kon de machtvan het ene koningshuis naar het andere overgaan of het kon gebeuren dat hetstaatsverband opgebroken werd in kleinere feodale eenheden en dan kon hetproces van hereniging weer opnieuw beginnen soms op hogere technischegrondslag Maar ondanks al die dynastieke revoluties en overgangen van feodalismetot absolutisme en omgekeerd bleven de dorpseenheden die de basis vormdenvan die lsquoOostersersquo maatschappijvormen door de eeuwen wezenlijk onveranderden daarmee de wezenlijke economische en sociale structuur De Oostersemaatschappij beweegt zich vaak in cyclische perioden doch zelfs tot de huidigedag toe bestaan er nog vele gemeenschappen in Azieuml en Afrika (of Zuid-Amerika)waarin al eeuwen en eeuwen lang het leven op dezelfde wijze voortgaat Onderzulke omstandigheden blijft de vooruitgang langzaam en aan toevallighedenonderworpen perioden van culturele groei kunnen door eeuwen van stilstand enverval van elkaar gescheiden zijnDit statische karakter van het Oosten verleende een zekere heiligheid aan zijn

eeuwenoude instellingen en maakte de vereenzelviging van de godsdienst met destaatsinstellingen mogelijk De ambtenarij deelde vaak in dit godsdienstig karaktervan de staat en zo zien we in vele Oosterse landen de priesters als administrateursvan de domeinen En aangezien de beoefening van de wetenschap de taak wasvan de bureaucratie vinden we in vele - maar ze-


29

ker niet in alle - Oosterse landen priesters als de voornaamste dragers vanwetenschappelijke kennis

2

Oosterse wiskunde ontstond als een praktische wetenschap nuttig voor hetberekenen van de kalender het beheren van de oogsten de organisatie deropenbare werken en de inzameling van belastingen Oorspronkelijk werd uiteraardop praktisch rekenen en meten de nadruk gelegd Doch wanneer een wetenschapeeuwen lang beoefend wordt door een speciale groep van mensen wier taak hetis niet alleen die wetenschap toe te passen doch ook zijn geheimen aan leerlingendoor te geven dan ontwikkelen zich neigingen tot grotere abstractie en totwetenschap om der wille van de wetenschap zodat men haar als theorie gaatbestuderen Rekenen ging zodoende over in algebra niet alleen omdat het sommigepraktische berekeningen gemakkelijker maakte doch ook als de natuurlijkeontwikkeling van een wetenschap die in scholen van schriftgeleerden beoefend enontwikkeld werd Dit was ook de oorzaak dat het meten zich ontwikkelde tot eenbegin - maar ook niet veel meer dan een begin - van theoretische meetkundeOndanks alle handel en verkeer die in deze oudemaatschappijen bloeiden bleef

de landbouw verspreid over geiumlsoleerde en traditioneel voortlevende dorpen deeconomische basis van de maatschappij Daarom vindt men ondanks een zekeregelijkvormigheid in de economische grondslagen en het algemene niveau van dewiskundige kennis steeds verrassende verschillen tussen de diverse culturen Deafgeslotenheid van de Chinezen en de Egyptenaren was spreekwoordelijk al wasze bij de Chinezen slechts in zekere perioden van hun geschiedenis een feit Hetis gemakkelijk het verschil te zien tussen de kunstvormen en de schrift van deEgyptenaren de Mesopotamieumlrs de Chinezen en de Indieumlrs Men kan dus vanEgyptische Mesopotamische Chinese en Indische wiskunden spreken ofschoonzij in hun arithmetisch-algebraiumlsch karakter veel principieumlle overeenkomsten vertonenZelfs dan wanneer de wetenschap gedurende een bepaalde periode in eacuteeacuten landgrotere vooruitgang vertoont dan in een andere periode of een ander land blijft hetalgemene karakter en zelfs de symboliek voortbestaanHet is moeilijk nieuwe ontdekkingen in het Oosten precies te dateren Het statische

karakter van de economische structuur draagt er toe bij dat een wetenschappelijkleergebied eeuwen lang weinig veranderingen ondergaat Het komt voor datontdekkingen die in het isolement van eacuteeacuten stadsgebied worden gemaakt nooitverder


30

doordringen of zelfs weer verloren gaan Grote schatten in wetenschappelijke entechnische kennis kunnen door dynastieke veranderingen door oorlogen ofnatuurrampen verdwijnen Zo vertelt men dat in het jaar 221 vC toen China voorhet eerst onder de heerschappij van een absolute despoot Sheacute Hunag Di (ChhinShih Huang Teacute de eerste keizer van China) verenigd werd alle leerboeken metuitzondering van sommige (bv over de geneeskunst) op s keizers bevel werdenvernietigd Later zo zegt men werd heel wat van de verloren schatten uit het hoofdweer opgeschreven maar men begrijpt hoe moeilijk onder zulke omstandighedenhet dateren of zelfs het bewaren van ontdekkingen wordtEen andere moeilijkheid bij het dateren van ontdekkingen in de Oosterse

wetenschap komt voort uit het materiaal waarin de resultaten werden opgeschrevenDe Mesopotamieumlrs gebruikten kleitafeltjes die gebakken werden en praktischonverwoestbaar zijn zolang zij in de puinhopen der oude steden onder de grondliggen1 De Egyptenaren gebruikten papyrus en veel hiervan is in het droge klimaatbewaard gebleven De Chinezen en Indieumlrs gebruikten materiaal dat veel minderbestand was tegen de tand des tijds zoals schors of bamboe In het tweedemillennium vC begonnen de Chinezen papier te gebruiken doch er is weinigbehouden van wat voacuteoacuter 700 n C is beschreven Onze kennis van de Oostersewetenschap is dus uiterst gebrekkig en voor de eeuwen voacuteoacuter onze jaartelling zijnwe bijna uitsluitend op materiaal uit Egypte en Mesopotamieuml aangewezen Het isniet onmogelijk dat nieuwe ontdekkingen onze opinies over de verschillendeprestaties van de voacuteoacuter-Griekse wiskundigen aanmerkelijk kunnen wijzigen Er waseen tijd dat onze rijkste historische bronnen uit Egypte kwamen en dit was aan deontdekking in 1856 van de zgn Papyrus Rhind te danken2 Deze Papyrus isomstreeks 1650 vC geschreven doch bevat veel materiaal dat eeuwen ouder isIn de laatste vijftig jaren is door de merkwaardige ontdekkingen van F ThureauDangin enO Neugebauer onze kennis van deMesopotamische wiskunde aanzienlijkvermeerderd Deze geleerden hebben door de ontcij-

1 Heel wat van die tafeltjes hebben na de opgravingen in de musea geleden Bovendien is vaakde herkomst onzeker

2 Zo genoemd naar de Schotse bankier en antiquair A Henry Rhind (1833-63) die de papyrusin Luxor aan de Nijl verkreeg Ze bevindt zich in het Britse Museum en wordt ook wel deAhmes-papyrus genoemd naar de klerk die de kopie maakte Ahmes is de eerstepersoonsnaam die we in de wiskunde kennen


31

fering van vele kleitabletjes de superioriteit van de Mesopotamische wiskundeboven de Egyptische aangetoond Dit oordeel is waarschijnlijk wel van een blijvendkarakter aangezien in de Babylonische zowel als in de Egyptische teksten door deeeuwen heen een soort van wiskundige karaktervastheid bestaat Tot die superioriteitkan hebben bijgedragen dat de economische ontwikkeling van Mesopotamieuml in hetalgemeen hoger stond dan die van de andere landen in de zgn Vruchtbare HalveMaan (lsquoFertile Crescentrsquo) die zich uitstrekte van Mesopotamieuml tot EgypteMesopotamieuml lag op het kruispunt van een groot aantal karavaanwegen terwijlEgypte betrekkelijk geiumlsoleerd lag Bovendien eiste het in bedwang houden van deonberekenbare Tigris en Eufraat meer technische kennis en bestuursbekwaamheiddan het in bedwang houden van de Nijl de rivier die wel de lsquomost gentlemanly ofall riversrsquo de rivier met de beste manieren is genoemd (Sir William Willcocks)1 Wezouden in het geheel niet verbaasd zijn als bv verdere studie van de oudstewiskunde der Hindoesmerkwaardige resultaten zou opleveren al hebben wij daarvantot nu toe geen overtuigend bewijs gezien

3

Wij putten onze kennis van de oud-Egyptische wiskunde voornamelijk uit tweemathematische papyri allereerst uit de reeds vermelde Papyrus Rhind die 84opgaven bevat en ten tweede uit de zgn Moskouse Papyrus die misschien tweeeeuwen ouder is en 25 opgaven heeft Deze problemen waren al oude kost toendie papyri werden geschreven doch er zijn papyri gevonden die van veel later zelfsuit de tijd der Romeinen en Byzantijnen stammen en die dezelfde methodengebruiken Deze methoden zijn gebaseerd op een tientallig getallenstelsel waariniedere hoge eenheid 1 10 100 1000 enz door een apart symbool wordt aangeduidAan zon systeem zijn wij gewend door de Romeinse schrijfwijze want daar wordtbv 1878 uitgedrukt door MDCCCLXXVIII Deze notatie is in wezen additief omdatbv DC betekent dat men D = 500 bij C = 100 moet optellen en zo was ook deEgyptische rekenkunde sterk additief ingesteld Dit betekent in de eerste plaats datvermenigvuldiging tot herhaalde optelling werd teruggebracht Zo werd bijvoorbeeldeen getal met 13 vermenigvuldigd door het eerst te verdubbelen dan het resultaatnogmaals en dit nogmaals te verdubbelen en de som van de laatste twee uitkomstenbij het oorspronkelijke getal op te tellen

1 W Willcocks Irrigation of Mesopotamia 2e ed (Londen 1917) p XI


32

111Voorbeeld van deberekening 13 times 11

222444888

De met een streepje aangegeven nummers worden opgeteld hetgeen 11 + 44 +88 = 143 geeft Deling van 143 door 11 gaat analoog

Het merkwaardigste kenmerk van de Egyptische rekenkunde was de breukrekeningBreuken met (wat wij zouden noemen) teller 1 zgn stambreuken werdenaangegeven door het getal van de noemer met een tekentje erboven dat wij hierdoor een streepje aanduiden zodat wij 110 als 10 zullen schrijven Alleen voor frac12en ⅔ bestonden speciale tekens Alle breuken werden teruggebracht op sommenvan stambreuken en hiervoor werden speciale tafels voor de herleiding van breukenvan de vorm 2n tot stambreuken gebruikt Met het oog op de dyadische vorm vande vermenigvuldiging was dit voldoende om alle breuken tot stambreuken terug tevoeren De Papyrus Rhind bevat zulk een tafel die voor alle breuken met onevenn van 5 tot 101 een reductie tot stambreuken geeft Bijvoorbeeld

(dus ⅖ = ⅓ +115)

1535n =

284753123636597766795697

Het principe dat aan deze speciale herleiding tot stambreuken ten grondslag ligt(bv waarom voor n = 19 de herleiding 12 76 114 en niet 12 57 228) is nietgeheel duidelijk en men heeft hiervoor verscheidene theorieeumln ontwikkeld1 Deeerste breuk is echter altijd zo groot mogelijk zodat de ontbinding in stambreukentevens een soort benadering is De tafel is waarschijnlijk eerst in de loop der eeuwentot stand gekomen Maar het rekenen met stambreuken heeft ondanks hetgecompliceerde karakter dat het delen erdoor kreeg duizenden jaren geduurd wevinden het niet alleen terug bij de Grieken ook in de Europese middeleeuwen

1 O Neugebauer Arithmetik und Rechentechnik der Aumlgypter Quellen und Studien zurGeschichte der Mathematik B I (1931) pp 301-380 BL vd Waerden DieEntstehungsgeschichte der aumlgyptischen Bruchrechnung ib 4 (1938) pp 359-382 K VogelVorgriechische Mathematik (Hannover 1958) I p 34-45 Vgl ook EM Bruins Verh KonAkademie v Wetensch A 55 (1952)


33

Vele problemen waren heel eenvoudig en gingen niet verder dan elementairerekenkunde en een algebra bestaande uit eacuteeacuten lineaire vergelijking met eacuteeacutenonbekende

Een grootheid daarbij haar ⅔ haar frac12 en haar 17 samen opgeteld geeft 33 Watis deze grootheid

Het antwoord 14 2897 wordt in stambreuken geschreven14 4 97 56 679 776 194 388 hierbij vormen 56 679 776 juist 97 times 2

Voor de onbekende in een vergelijking werd een hieumlroglief ingevoerd dat lsquohooprsquoEg hau betekende Men spreekt dus wel van de Egyptische algebra als de lsquohaursquorekeningDe opgaven behandelen onderwerpen als de sterkte van brood en bier het

voederen van dieren en het bewaren van graan en laten duidelijk de praktijk zienwaaruit deze omslachtige en primitieve algebra is voortgekomen Soms vindt meneen vraagstuk van meer theoretische aard bv dat waarin gevraagd wordt 100broden onder 5 man zoacute te verdelen dat hun aandelen een rekenkundige reeksvormen en 17 van de som van de drie grootste aandelen gelijk is aan de som vande twee kleinste (eerst wordt de reeks 23 17frac12 12 6frac12 1 opgezet de som hiervanis 60 en wordt deze reeks met 10060 vermenigvuldigd) In eacuteeacuten vraagstuk vindenwe zelfs een meetkundige reeks hier hebben we te doen met 7 huizen in iederhuis zijn 7 katten iedere kat bespiedt 7 muizen enz1Enige vraagstukken waren meetkundig en ook gewoonlijk van praktische aard

Verscheidene behandelen het meten van oppervlakken We denken hier aan hetbekende verhaal van Herodotus dat de Egyptenaren de meetkunde haddenuitgevonden omdat ze gedwongen waren iedere keer na de overstromingen van deNijl de grenzen van de landerijen opnieuw uit te meten Het oppervlak

1 Men denkt hier aan het Engelse kinderrijmpjeAs I was going to Saint IvesI met a man with seven wivesEvery wife had seven sacksEvery sack hat seven catsEvery cat had seven kitsKits cats sacks and wivesHow many were there going to Saint Ives(vrij vertaald)Ik ging eens naar het eiland SchouwenEn zag een man met zeven vrouwenElke vrouw had zeven zakkenElke zak had zeven kattenElke kat had zeven poesjesPoesjes katten zakken vrouwenHoeveel gingen er naar SchouwenMen ziet hoe eenzelfde soort vraagstuk door de eeuwen heen bewaard kan blijven


34

van een (gelijkbenige) driehoek werd als het halve produkt van basis en hoogtebepaald Het oppervlak van de cirkel met middellijn d werd uit de formule (d - d9)2berekend hetgeen tot een waarde van π = 25681 = 31605 leidt Men vindt ookenige recepten voor de bepaling van inhouden zoals die van de kubus een bloken een rechte cilinder alle beschouwd als voorwerpen bv pakhuizen Het meestbelangwekkende resultaat van deze Egyptische inhoudsbepalingen was deuitdrukking voor het volume van een afgeknotte vierkante pyramide V = h3 (a2 +ab + b2) waar a en b de zijden zijn van de twee vierkanten en h de hoogte is Ditresultaat dat tot nu toe nog niet in andere antieke wiskundevormen is aangetroffenis daarom zo merkwaardig omdat er geen aanleiding is te geloven dat deEgyptenaren zelfs maar het theorema van Pythagoras hebben gekend - ondankshet onbevestigde verhaal dat Egyptische landmeters - zgn harpedonaptaitouwspanners -rechte hoeken afzetten met een touw waarin 3 + 4 + 5 knopen zaten1Maar we moeten niet vergeten dat de bouwers van de paleizen in Luxor en Karnakheel wat praktische meetkunde moeten hebben gekendWe moeten hier overigens wel even waarschuwen tegen allerlei overdrijvingen

over de hoge ouderdom en diepte van de wiskundige kennis der Egyptenaren Menheeft aan de bouwers van de piramiden die omstreeks 3000 vC geleefd hebbenallerlei hogere wetenschappelijke kennis toegeschreven en men treft nogal eenshet verhaal aan dat de Egyptenaren in het jaar 4212 v C de zgn Sothische periodevoor de kalenderberekening hebben aangenomen Zulk nauwkeurig wis- ensterrenkundig werk kan moeilijk aan een volk worden toegeschreven dat zichlangzaam uit neolithische verhoudingen ontwikkelt Vaak komen deze verhalen totons doordat de latere Grieken de een of andere Egyptische traditie hebbenovergeleverd Aan oude beschavingen is gemeen dat zij ervan houden aan degrondbeginselen van hun kennis een heel lang bestaan toe te kennen Wat we aanoorspronkelijke teksten werkelijk bezitten wijst op een Egyptische wiskunde vanbeperkte omvang doch binnen die omvang goed ontwikkeld Iets dergelijks kanmen ook zeggen van de sterrenkunde der Egyptenaren Doch nu ons respect voorde astronomische kennis van oude volken (zoals Stonehenge) aan het stijgen ismoeten we wel wat voorzichtig zijn met onze oordelen

1 Vgl S Gandz lc p 7


35

4

De wiskunde van Mesopotamieuml (of Irak zouden we nu moeten zeggen) staat opeen hoger peil dan de wiskunde van Egypte We kunnen hier zelfs in de loop dereeuwen vooruitgang ontdekken Reeds de oudste teksten die tot de laatsteSoemerische periode (de Derde Dynastie van Oer ca 2100 vC) behoren vertoneneen aanzienlijke bedrijvigheid in het rekenen Deze teksten bevatten tafels vanvermenigvuldiging waarin een goed ontwikkeld sexagesimaal (zestigtallig) stelselwas geeumlnt op een oorspronkelijk decimaal (tientallig) stelsel Slechts twee tekenswerden gebruikt het ene stond voor 1 het andere voor 10 en daarmee werden allegetallen gevormd De manier waarop dit gebeurde is het meest karakteristiekekenmerk van deze rekenwijze Waar de Egyptenaren iedere hogere eenheid dooreen speciaal symbool aanduidden gebruikten deze Soemerieumlrs hetzelfde symboolmaar lieten de waarde daarvan door de positie in het getal bepalen Zo kon hetsymbool voor 1 door zijn positie zowel 60 602 als 60-1 60-2 betekenen Als hetsymbool voor 1 naast een ander symbool voor 1 stond had het eerste symbool dewaarde zestig en 11 betekende wat wij door 61 uitdrukken Een 5 gevolgd door 6gevolgd door 3 (we zullen dit 5 6 3 schrijven) betekende 5 times 602 + 6 times 60 + 3 =18363 in onze manier van schrijven Dit sexagesimale positiestelsel dat dus inbeginsel niet verschilt van het stelsel dat wij gebruiken behalve dan dat wij niet alsbasis het getal 60 maar het getal 10 hebben (zodat voor ons 563 = 5 times 102 + 6 times10 + 3) maakt het rekenen veel gemakkelijker dan een stelsel als het Romeinseiets waarvan men zich licht kan overtuigen door eens in ieder stelsel eenvermenigvuldiging te beproeven Het positiestelsel maakt ook het rekenen metbreuken niet moeilijk zoals we dat weten uit onze praktijk van de decimale breukenDit handige sexagesimale stelsel schijnt gegroeid te zijn uit administratieve praktijkenWe bezitten althans duizenden teksten van diezelfde periode met verslagen overde aflevering van vee graan enz vergezeld van bijbehorende berekeningenZulk een schrijfwijze bracht dubbelzinnigheden mee aangezien de waarde van

ieder symbool niet altijd uit zijn positie duidelijk was Het getal (5 6 3) kan ook wel5 times 601 + 6 times 600 + 3 times 60-1 = 306 120 betekenen en 11 niet alleen ons 61 maarook 2 of 130 In zulke gevallen moest de waarde van het getal uit de verdere tekstworden afgeleid Een andere dubbelzinnigheid kon optreden als een open plaatseen nul moest voorstellen zodat (11 5) misschien 11 times 602 + 5 = 39605 konbetekenen In de loop der tijden werd op zon plaats een bijzonder symbool voornul geschreven


36

doch dit gebeurde niet voacuteoacuter de Perzische tijd De zgn lsquouitvinding van de nulrsquo is dushet logische resultaat van het werken met getallen in positiestelsel geschrevendoch deze uitvinding wordt eerst gedaan wanneer er reeds een aanzienlijkebedrevenheid in het rekenen is verkregenZowel het zestigtallig stelsel als het positiesysteem is blijvend bezit van de

mensheid gebleven Onze huidige indeling van een uur en een cirkelgraad in 60minuten en de minuut in 60 seconden komt via de Grieken en de Babylonieumlrs vande Soemerieumlrs Men gelooft wel dat de keuze van het getal 60 in plaats van 10 alseenheid samenhangt met het feit dat 60 vele delers heeft hetgeen in het stelsel vanmaten en gewichten een zekere eenheid kon brengen en bovendien het deleneenvoudiger maakt De vroege geschiedenis van het positiesysteem waarvan deblijvende betekenis wel met die van het alfabet is vergeleken1 - omdat bij beideuitvindingen een ingewikkeld stelsel van symbolen vervangen werd door een stelseldat gemakkelijk te begrijpen is - blijft nog steeds in tamelijk duister gehuld Wekunnen met vrij grote zekerheid vaststellen dat zowel de Hindoes als de Griekenermee in aanraking kwamen langs de karavaanwegen door Babylon We weten ookdat Mohammedaanse geleerden later het decimale positiestelsel als een Indischeuitvinding beschrevenWat demogelijke rol van China dat reeds vroeg een decimaalpositiestelsel bezat hierbij is geweest is nog niet duidelijk Het is niet onmogelijkdat de Chinese zowel als de Babylonische traditie de gehele verdere ontwikkelingvan het positiestelsel heeft beiumlnvloed

5

De volgende groep van spijkerschrift-teksten behoort tot de periode van de eersteBabylonische dynastie waartoe koning Hammurabi behoorde (1950 v C) enwaaronder een Semitisch volk de oorspronkelijke bewoners de Soemerieumlrs hadoverwonnen In deze teksten vinden we de rekenkunde voortgezet in een ontwikkeldealgebra Terwijl de Egyptenaren in deze periode slechts in staat waren eenvoudigelineaire vergelijkingen op te lossen waren de Babylonieumlrs uit de tijd van Hammurabiin het volle bezit van de oplossing van vierkantsvergelijkingen (natuurlijk alleen voorpositieve wortels) Ook losten zij lineaire en kwadratische vergelijkingen met tweeveranderlijken op en zelfs vraagstukken waarin derde- en vierdegraadsvergelijkingenoptraden Zij formuleerden zul-

1 O Neugebauer The History of Ancient Astronomy Journal of Near Eastern Studies 4 (1945)12


37

ke vraagstukken slechts met bepaalde getallenwaarden als coeumlfficieumlnten maar hunmethode laat geen twijfel bestaan dat ze een algemeen oplossingsschema haddenHet volgende voorbeeld vindt men op een kleitafeltje uit die tijd We geven het metde getallen (als in de oorspronkelijke tekst) sexagesimaal uitgedrukt

lsquoIk heb het oppervlak van twee vierkanten gesommeerd het is (16 40)De zijde van het ene is ⅔ van de zijde van het andere Ik heb 10 van dezijde van het kleine vierkant afgetrokken Wat zijn de zijden van hetvierkantrsquoDit leidt tot de vergelijkingen x2 + y2 = (16 40) y = ⅔x - 10 waarvan deoplossing kan worden teruggebracht tot die van de vierkantsvergelijking

waarvan de oplossing is x = 30 y = 10In onze notatie waarin (16 40) door 1000 wordt weergegeven wordtdeze vergelijking

Voor de oplossing zijn de leden der vergelijking met 5200 tevermenigvuldigen en links het kwadraat te complementeren Hierbij moetde wortel uit (22242640) worden getrokken dit is (3640) De oplossingin de tekst beperkt zich - zoals altijd in deze Oosterse teksten - eenvoudigtot de opsomming van de stappen die genomen moeten worden Neemhet vierkant van 10 geeft (140) trek (140) af van (1640) geeft (150)(10)2 = (100) 402 = (2640) enz

Het aritmetisch-algebraiumlsch karakter van deze Babylonische wiskunde blijkt ook uitde meetkunde Evenals in Egypte ontstond de meetkunde uit de behoeften van depraktijk doch de meetkundige vorm van het vraagstuk werd vaak slechts een manierom een algebraiumlsch praktisch of theoretisch vraagstuk te formuleren In ons vorigevoorbeeld zagen we hoe een vraagstuk omtrent het oppervlak van vierkanten toteen stelsel van twee vergelijkingen voerde en dat soort vraagstuk is typisch Uit deteksten blijkt dat de Babylonische meetkundigen van de Semitische periode hetoppervlak van eenvoudige rechtlijnige figuren en de inhoud van eenvoudigeruimtefiguren wisten te berekenen Voor de inhoud van de afgeknotte piramide isde Babylonische formule (nog) niet gevonden wel zijn benaderingen bekend Eenbenadering voor het oppervlak van een vierhoek met overstaande zijden ac bdwas


38

Het zgn theorema van Pythagoras was bekend in volle algemeenheid als eengetallenbetrekking tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en we hebbenzelfs Pythagoreiumlsche drietallen uit die tijd bv 120 119 169 (di (120)2 + (119)2 =(169)2) Het algemene karakter van deze meetkunde bleef steeds behouden ookin latere teksten in het bijzonder die van de derde periode waaruit er een grootaantal aan het licht zijn gekomen nl die van de Nieuw-Babylonische Perzische enSeleucidische rijken (van ca 600 v C-300 n C)De teksten van die latere periode tonen de invloed van de Babylonische

astronomie die in die jaren een veel strenger wetenschappelijk karakter verkreegdoor het tabelleren en analyseren van de loop van de maan en de planeten Derekentechniek verscherpte zich zodat algebraiumlsche vraagstukken werden opgelostdie zelfs nu nog heel wat numerieke vaardigheid vereisen Sommige berekeningenuit de Seleucidische tijd gaan tot zeventien sexagesimale plaatsen Zulk ingewikkeldrekenwerk had niet veel meer te maken met de oude vraagstukken over landmetingof over belastingen maar was beiumlnvloed door de sterrenkunde of eenvoudig doorhet feit dat men zulk werk leerzaam en plezierig vondAl dit rekenen was vaak op het gebruik van tabellen gebaseerd Men heeft tabletten

gevonden die eenvoudige tafels van vermenigvuldiging en andere die tweede- enderdegraadswortels bevatten Eeacuten tafel bevat een lijst van getallen van de vorm n3

+ n2 die blijkbaar is gebruikt om kubieke vergelijkingen van de vorm x3 + x2 = a opte lossen Als benaderingswaarden vinden we voor radic2 de waarde (125) = 1 512(radic2 = 14142 1 512 = 14167)1 en voor 1radic2 (= 07071) vindt men 1724 (=07083) Het schijnt dat vierkantswortels berekend werden volgens een formule diewe kunnen schrijven als

(voor A = 2 neme men a = 43)Wat de waarde van π betreft die wordt in de meeste teksten eenvoudig op 3

gezet de waarde die we ook in de Bijbel aantreffen (II Kron 42) Hier wordt dushet oppervlak van de cirkel gelijk

1 O Neugebauer Exact Science in Antiquity Univ of Pennsylvania Bicentennial ConferenceStudies in Civilization Philadelphia 1941 bldz 13-29


39

112 het kwadraat van de omtrek genomen Er zijn echter teksten die tot een waardeπ = 3⅛ voeren1

De vergelijking x3 + x2 = a wordt in een vraagstuk gevonden waarin de oplossinggezocht wordt van het systeem xyz + xy = 1 + ⅙ y = ⅔x z = 12x Dit leidt tot (12x)3

+ (12x)2 = 252 of (uit de tabel) 12x = 6

Er bestaan ook spijkerschriftteksten met vraagstukken over samengestelde interestZo wordt berekend hoe lang het zal duren totdat een zekere som geld zichverdubbeld heeft indien ze tegen 20 samengestelde interest uitstaat Dit voert totde vergelijking (1⅕) x = 2 die wordt opgelost door eerst vast te stellen dat x tussen3 en 4 ligt waarna het antwoord berekend wordt door lineaire interpolatie In moderneschrijfwijze

hetgeen voert tot x = 4 (jaar)minus (23330) maandenEen van de oorzaken van de ontwikkeling der algebra omstreeks 2000 v C is

naar het schijnt het gebruik van het oude Soemerische schrift door de nieuweSemitische heersers Het oude schrift was zoals de hieumlrogliefen een collectie vanideogrammen waarbij ieder teken een speciaal begrip aanduidde De Semietengebruikten ze om hun eigen taal fonetisch weer te geven en namen ook enige tekensin de oude betekenis over Deze tekens drukten nu begrippen uit doch werden nuanders uitgesproken Zulke tekens waren zeer geschikt voor een algebraiumlsch schriftevenals onze tekens + - enz die ook ideogrammen zijn In de administratiescholenvan Babylon was deze algebraiumlsche taal gedurende vele generaties in de leercursusopgenomen en ondanks alle veranderingen in de taal der heersers - KassietenAssyrieumlrs Meden Perzen - bleef deze traditie bestaanDie meer ingewikkelde vraagstukken behoren tot een periode - de Perzische en

Seleucidische - waarin Babylon niet langer een politiek centrum was doch nogsteeds het culturele centrum bleef van een groot gebied waar niet alleen Babylonieumlrswoonden doch ook Perzen Grieken Joden Hindoes en vele andere volkeren Indie spijkerschriftteksten kan men door alle eeuwen heen een conti-

1 EM Bruins-M Rutten Textes matheacutematiques de Suse (Parijs 1961) bldz 18


40

nuiumlteit van wetenschappelijke traditie waarnemen die er op schijnt te wijzen datalthans in het centrum nooit veel op cultureel gebied veranderde Men kan welaannemen dat deze plaatselijke ontwikkeling ook de invloed ondervond van anderebeschavingen en dat ook deze weer op hun beurt door de Babylonische wetenschapwerden beiumlnvloed Wij weten dat de Babylonische sterrenkunde van die periode desterrenkunde van de Grieken aan materiaal heeft geholpen en dat de Babylonischewiskunde op de rekentechniek van andere volken bevruchtend heeft gewerkt Griekseen Indische wetenschap hebben elkaar wel in de Babylonische geleerdenscholenontmoet Maar we weten nog heel weinig van de rol die Perzisch en SeleucidischMesopotamieuml in de verspreiding van de sterrenkunde hebben gespeeld maar watwe weten wijst er op dat die rol belangrijk was De Middeleeuwse Arabische enIndische wetenschap kregen vele hunner ideeeumln niet alleen uit Alexandrieuml dochook uit Babylon

6

Wij vinden nergens in de wiskunde van het Oosten iets dat op een bewijs lijkt Inplaats van gedocumenteerde redeneringen krijgen we alleen bepaalde voorschriftenlsquoDoe het nu zoacute dan weer zoacutersquo We weten niet hoe de theoremas en voorschriftenzijn gevonden Hoe bv zijn de Babylonieumlrs aan het theorema van Pythagorasgekomen Verscheidene pogingen zijn gedaan om aan te tonen hoe de Egyptenarenen Babylonieumlrs hun resultaten konden hebben verkregen maar zulke pogingenblijven hypothesen Dit schijnt aan ons die onze wiskunde anders hebben geleerden de school van Euclides meetkunde hebben doorlopen vreemd en hoogstonbevredigend toe We begrijpen het echter beter wanneer we bedenken dat heelwat van de wiskunde die we onze technici en ingenieurs doceren nog steedsvoornamelijk uit recepten bestaat zonder dat veel werk van strenge bewijzen wordtgemaakt In het middelbaar onderwijs wordt de algebra ook vaak niet als eendeductieve wetenschap doch als een stel voorschriften geleerd Oosterse wiskundeschijnt in de duizenden jaren van haar bestaan zich nooit hebben kunnen losmakenvan de invloed der technologische en administratieve problemen waaruit ze isvoortgekomen

7

In hoeverre hebben deGrieken Babylonieumlrs en Chinezen de oude Indische wiskundebeiumlnvloed We weten hier weinig van maar zeker is dat Indische geleerden vanlatere dagen nadruk hebben gelegd op de hoge ouderdom van hun wiskunde Menkent evenwel geen wiskundige teksten die met zekerheid in de tijd voacuteoacuter


41

de Christelijke jaartelling teruggaan De oudste teksten kan men misschien in deeerste eeuwen n C plaatsen Wij weten wel dat de Hindoes in de oude tijd decimalegetallenstelsels zonder positiewaarde gebruikten Zulk een systeem was bv datvan de zgn Bracirchmicirc-getallen waarin we speciale symbolen vinden voor de nummers1 2 3 9 10 20 30 40 100 200 300 1000 2000 enz Deze symbolengaan op zijn minst terug naar de tijd van Koning Accediloka (300 vC)Ook bezitten we de zgn Sūlvasūtras die gedeeltelijk tot 500 vC of nog vroeger

teruggaan en die wiskundige voorschriften bevatten die van oude inheemseoorsprong zijn Men vindt die voorschriften te midden van religieuze en ritualistischebeschouwingen waaronder er zich een aantal met de bouw van altaren bezighoudenHier vindt men recepten voor de constructie van vierkanten en rechthoekenuitdrukkingen voor de betrekking van diagonaal en zijde van het vierkant en voordie tussen cirkels en vierkanten In speciale gevallen is het theorema van Pythagorasbekend en we ontmoeten enige eigenaardige benaderingswaarden met behulp vanstambreuken zoals bv (in onze notatie)

Ook π = 18 (3 - 2radic2) (= 3088)

Het is merkwaardig dat deze resultaten niet meer in latere geschriften der Hindoesvoorkomen De continuiumlteit van de traditie die zo typisch is voor de Egyptische enBabylonische wiskunde schijnt in die oude Indische wiskunde te ontbreken en menkan dit misschien verklaren uit de uitgestrektheid van het Indische subcontinent Erkunnen op verscheidene ver uiteengelegen plaatsen verschillende mathematischescholen hebben bestaan Wij weten bijvoorbeeld dat het Jainisme dat ongeveereven oud is als het Boeddhisme (ca 500 v Chr) de studie der wiskundeaanmoedigde In heilige boeken van deze godsdienst vinden we bv de waarde π= radic101

1 B Datta The Jaina School of Mathematics Bulletin Calcutta Mathem Society 21 (1929)115-146


42

8

De studie van de oud-Chinese wiskunde wordt evenals die van het oude Indieumlbemoeilijkt door de schaarste van vertalingen zodat we op tweedehands informatieaangewezen zijn zolang we geen Chinees of Sanskriet kennen Gelukkig kunnenwe in de boeken van Mikami en Needham die in het Engels zijn geschreven eengoede orieumlntatie in de oud-Chinese wiskunde verkrijgen en er komen nu ookgeregeld artikelen over speciale Chinese teksten in vertalingen uit vooral in hetEngels en het Russisch Wij hebben bv een Russische en een Duitse vertalingvan de klassieke tekst Jiu zhang suan-shu (Chiu Chang Suan Ching) de lsquoNegenHoofdstukken over de kunst der wiskundersquo1 Dit boek is wel de oudst bewaardeChinese leercursus in de wiskunde en in de vorm waarin wij het thans hebbendateert het van de tijd der Han-dynastie (202 v C-220 n C) doch kan veel oudermateriaal bevatten Ditzelfde geldt voor een ander boek de Zhou bei (lsquoChou Peirsquo)doch dit is slechts gedeeltelijk wiskundig Die lsquoZhou Peirsquo is echter interessant omdathet het theorema van Pythagoras bespreekt De lsquoNegen Hoofdstukkenrsquo zijndaarentegen geheel wiskundig en ook daarom van belang omdat ze al reeds geheelhet karakter dragen dat de Chinese wiskunde door de eeuwen heen tot dezeventiende eeuw heeft behoudenZeer oud zijn ook zekere diagrammen uit boeken van de Han-periode zoals de

Yi-jing (I-ching Boek der Veranderingen) Hiertoe behoort het legendarischetoverkwadraat (Lo Shu)

294753618

De Chinezen hebben steeds decimaal gerekend en reeds in het tweedemillenniumv C vinden we getallen die door negen symbolen in positie werden uitgedruktDeze schrijfwijze moet in de Han-periode of reeds eerder ingeburgerd zijn geraaktDe negen symbolen werden door bamboestaafjes in verschillende orde aangegevenzo betekende perp ⊤⊤ = ⊤⊤⊤⊤ het getal 6729 en dit was ook de manier waarop hetgetal werd geschreven De elementaire rekenoperaties werden uitgevoerd oprekenborden waarbij lege plaatsen de nul aangaven (eerst in de 13e eeuw n Cvinden we een

1 We gebruiken hier de zgn Pinyin-romanisatie in 1956 ingevoerd en nu algemeen in gebruikzodat bijv Beijing nu staat voor het oude Peking De oudere spelling is tussen haakjesbijgehouden De Pinyin-transliteratie heb ik aan Dr Raymond Lam van de Harvard Bibliotheekte danken


43

eigen symbool voor nul 0 doch dit kan best veel ouder zijn)Bij de berekening van de kalender werd een soort sexagesimaalsysteem gebruikt

dat men vergelijken kan met een combinatie van twee met elkaar verbondentandraderen het ene met 12 het andere met 10 tanden Op die manier ontstond60 als een hogere eenheid een lsquocyclusrsquo (Men denke aan Tennysons lsquoLocksleyHallrsquo better fifty years of Europe than a cycle of Cathay)1De wiskundige inhoud van de lsquoNegen Hoofdstukkenrsquo bestaat voornamelijk uit

vraagstukken en algemene recepten voor de oplossing Deze vraagstukken hebbenhun oorsprong in de praktijk maar gaan er vaak bovenuit Vierkants- enderdemachtswortels worden berekend zo wordt bv 751frac12 als vierkantswortel uit564752frac14 gevonden In berekeningen met de cirkel werd π = 3 aangenomenHeel wat vraagstukken leiden naar algebraiumlsche vergelijkingen zoals die

worteltrekking die tot de vergelijkingen x2 - a = 0 x3 - b = 0 voert Interessant zijnde systemen van lineaire vergelijkingen bv

39=z+2y+3x34=z+3y+2x26=3z+2y+x

die geschreven werdenmet behulp van de lsquomatrixrsquo van de coeumlfficieumlnten De oplossingwerd aangegeven in een vorm die we thans een lsquomatrixtransformatiersquo zoudennoemen In zulke matrices komen ook negatieve getallen voor voor de eerste keerin de geschiedenis van de wiskundeBij de Chinese wiskunde doet zich het ongewone geval voor dat een wiskundige

traditie van de Oudheid tot bijna de huidige dag zonder onderbreking zich heeftgehandhaafd zodat men haar ontwikkeling en maatschappelijke rol beter kanbestuderen dan dit het geval is met de wiskunde van Egypte en Babylonieuml (of derMayas in Amerika) die tot ondergegane beschavingen behoren Zo weet men bvdat kandidaten voor staatsposities een nauwkeurige kennis van een aantal klassiekewerkenmoesten bezitten en bij het examen werd nadruk gelegd op geheugenwerkZo kon de traditionele theorie onveranderd van generatie tot generatie overgeleverdworden Zulk een praktijk werkt stagnerend en maakt

1 lsquoBeter vijftig jaren van Europa dan een cyclus van Cathayrsquo - Cathay is een literaire naam voorChina sinds Marco Polos tijd (13e eeuw) in gebruik


44

uitvindingen en ontdekkingen moeilijk ofschoon de traditie gehandhaafd blijft Grotehistorische catastrofen konden soms het doorwerken van de traditie verhinderen ofvertragen We hebben een dergelijke toestand ook in Indieuml aangetroffen waar wezelfs wiskundige teksten hebben die in stanzas zijn geschreven om het uit het hoofdleren te vergemakkelijken Misschien is de wiskundige praktijk van de oudeEgyptenaren en Babylonieumlrs niet veel anders geweestDe verstening van de wiskunde kon slechts voorkomen worden door het ontstaan

van een geheel nieuwe beschaving Die kwam dan ook werkelijk In de Grieksewereld met zijn geheel andere levenshouding werd de wiskunde op een nieuw enhoger wetenschappelijk standpunt verheven

Literatuur

The Rhind Mathematical Papyrus uitgeg door TE Peet (Londen 1923)The Rhind Mathematical Papyrus uitgeg door AB Chace L Bull HPManning en RC Archibald (2 dln Oberlin Ohio 1927-29)Dit boek heeft een uitgebreide bibliografie van de Egyptische en Babylonischewiskunde Een andere bibliografie voornamelijk over antieke astronomie inhet geciteerde boek van Neugebauer p 18Mathematischer Papyrus des staatlichen Museums der schoumlnen Kuumlnste inMoskou uitgeg door WW Struve en BA Turajeff (Berlijn 1930)O Neugebauer Vorlesungen uumlber Geschichte der antiken mathematischenWissenschaften I Vorgriechische Mathematik (Berlijn 1934)O Neugebauer Mathematische Keilschrift-Texte (3 dln Berlijn 1935-37)O Neugebauer The exact Sciences in Antiquity (Princeton 1952 2e uitg1957 Dover uitg 1969 zie ook EM Bruins Janus 17 (1958) 68-72O Neugebauer-A Sachs Mathematical Cuneiform Texts (New Haven 1945)EM Bruins-M Rutten Textes matheacutematiques de Suse (Paris 1961)F Thureau-Dangin Sketch of a History of the sexagesimal System Osiris 7(1939) 95-141F Thureau-Dangin Textes matheacutematiques babyloniens (Leiden 1938)


45

RJ Gillins Mathematics in the Time of the Pharaos (Cambridge Mass 1972Dover reprint 1982) Zie HM 4 (1977) 445-452Tussen de hierboven genoemde geleerden bestaan zekere meningsverschillenomtrent de zin van zekere babylonische teksten Zie daarbij ookS Gandz Conflicting interpretations of Babylonian Mathematics Isis 31 (1940)405-425Een overzicht over de voacuteoacuter-Griekse wiskunde vindt men ook in RC ArchibaldMathematics before the Greeks Science 71 (1930) 109-121 342 zie ook ib72 (1930) 36DE Smith Algebra of 4000 years ago Scripta mathematica 4 (1936) 111-125K Vogel VorgriechischeMathematik (2 dln Hannover Paderborn 1958 1959)Een uitstekende beschrijving door een vooraanstaande autoriteit Deverschillende delen van het Bulletin of the Calcutta Mathematical Societybevatten vele artikelen over de oude Indische wiskunde

Bovendien

B Datta-AN Singh History of Hindu Mathematics (2 dln Lahore 1935-38)Zie ook bespreking door O Neugebauer in Quellen und Studien 3 B (1936)263-271Lv Gurjar Ancient IndianMathematics (Poona 1947 zie ookMathem Reviews9 blz 73)GR Kaye Indian Mathematics Isis 2 (1919) 326-356A Seidenberg The ritual origin of geometry Archives for Hist Exact Sciences(1962) 408-527C Muumlller Die Mathematik der Sulvasūtra Abh mathem Sem Hamburg 7(1929) 173-207

Over de Chinees-Japanse wiskunde

Y Mikami The Development of Mathematics in China and Japan (Leipzig 1913herdruk New York 1961)Y Mikami On the Japanese theory of determinants Isis 2 (1914) 9-36 zie ookib 4 (1921-22) 70-77Y Mikami Mathematical papers from the far East Abh zur Gesch d mathemWiss 28 (Leipzig-Berlin 1910)J Needham (with the collaboration of Wang Ling) Science and civilization inChina III (Cambridge 1959)T Hayashi Brief History of Japanese Mathematics Nieuw Archief v Wiskunde2e ser 6 (1905) 296-361 7 (1907) 105-161 Zie ook ib 9 (1911) 370-372373-386 (Y Mikami)


46

L van Heacutee Le classique de lile maritime ouvrage chinois du III E siegravecle Quellenund Studien zur Geschichte der Mathematik B Studien 2 (1932) 255-280

In het Russisch

EI Berezkina De oudchinese verhandeling lsquoWiskunde in negen boekenrsquoIstor Matem Issled (Moskou) 10 (1957) 423-584Duitse vertaling Neun Buumlcher arithmetischer Technik uumlbersetzt und erlaumlutertvon K Vogel Ostwalds Klassiken Neue Folge 4 (Brunswijk 1968)

R Wilhelm lsquoI Gingrsquo [I Ching] Das Buch der Wandlungen 2 delen Jena 1924Engelse vertaling van CF Baynes New York 1950

Over de structuur van de Oosterse maatschappij

J Needham Science and Society in East and West Science and Society 28(1964) 385-408 Zie ookbldz 127-149 van The Science of Science ed M Goldsmith and A MackayLonden 1964KA Wittfogel Die Theorie der orientalischen Gesellschaft Zeitschrift fuumlrSozialforschung 7 (1938) 90-122 Ook Le mode de production asiatique LaPenseacutee 114 (1964) 3-78

Verder nog

BL van der Waerden Ontwakende wetenschap Groningen 1950 Vol XVsupplement I van DSB New York 1978 heeft op blz 531-818 lsquoTopical Essaysrsquoartikelen over wis- en sterrenkunde en wetenschap in t algemeen in IndieumlMesopotamieuml Egypte Japan en de MayasBL van derWaerden On Pre-Babylonian Mathematics AHES 23 (1980) 1-2627-46Zie ook A Seidenberg AHES 18 (1978) 301-342

Zie verder de literatuurlijst na Hoofdstuk IV


47

III Griekenland

Gedurende de laatste eeuwen van het tweede millennium vC hadden groteeconomische en politieke verschuivingen plaats in het gebied rondom deMiddellandse Zee In een woelige en ongetwijfeld vaak gewelddadige atmosfeerwerd het Bronzen Tijdvak naar het verleden geschoven en vervangen door hetIJzeren het tijdvak waarin we nog heden verondersteld worden te leven Over dezeperiode zijn maar weinig bijzonderheden bekend maar het is de tijd van sagas detijd der Homerische liederen de tijd van Mozes Tegen het einde van deze periodevan volksverhuizingen en oorlogen misschien omstreeks 900 vC blijken de rijkender Minoeumlrs (Kreta) der Myceners en der Hittieten (N Klein Azieuml) verdwenen ende macht van Egypte en Babylonieuml sterk verminderd te zijn Nieuwe volkerenverschijnen nu op het wereldtoneel op de plaats waar wij ze historisch kennenvolkeren als de Israeumllieten de Foenicieumlrs de Assyrieumlrs en de Hellenen of GriekenDeze vervanging van brons door ijzer voor werktuigen voor dagelijks gebruikveranderde niet alleen de kunst van het oorlog voeren doch ook het heleeconomische en politieke leven Het gebruik van werktuigen werd goedkopergemakkelijker en meer doeltreffend zodat het sociale surplus groter werd wat weerhandel en nijverheid bevorderde en de belangstelling van bredere kringen dan eeneng verbonden bureaucratie in politieke economische en ooktechnisch-wetenschappelijke vragen vergrootte Twee grote uitvindingen illustrerendeze veranderingen die van het alfabet en die van het geld Het alfabet verving deonhandige schrijfwijze die in de oudere periode gebruikelijk was wat het lezen enschrijven vergemakkelijkte ook voor niet-geleerden De invoering van het gemuntegeld bracht grote veranderingen in het oude ruilverkeer wat de handel en ook debelangstelling in het rekenen en in de aardrijkskunde bevorderde De tijd wasaangebroken waarin de beschaving niet zonder meer het uitsluitend bezit van eenbeambtendom kon blijvenAanvankelijk brachten de aanvallen van de lsquozeeroversrsquo zoals sommige dezer

trekkende volkeren in de Egyptische teksten worden genoemd meer cultureleverliezen dan winsten De Minoiumlsche beschaving op Kreta verdween de kunst vanEgypte ging achter-


48

uit Babylonische en Egyptische wetenschap stagneerden eeuwen lang Wij kennengeen wiskundige teksten uit deze overgangsperiode Toen na eeuwen het levender volkeren wat stabieler werd herstelden sommige rijken van het Oude Oostenzich weer min of meer in traditionele banen Maar nu was het toneel geopend vooreen geheel nieuwe vorm van beschaving die van de GriekenDe steden die langs de kust van Klein Azieuml van Zuid-Italieuml en in het eigenlijke

Griekenland ontstonden waren in hoofdzaak niet langer administratieve centra vaneen irrigatie-economie Zij waren in de eerste plaats handelscentra waarin defeodale heren van de oude stempel hadden te strijden met een onafhankelijkepolitiek zelfbewuste klasse van kooplieden een strijd die ze op den duur moestenverliezen Deze koopliedenklasse werd gedurende de zevende en zesde eeuw vC steeds machtiger maar had nu zelf te kampen met de kleinere handelaren enambachtslieden de demos Zo ontstond de Griekse polis de zichzelf besturendestadstaat een nieuwmaatschappelijk experiment verschillend niet alleen van stedenzoals Thebe of Babylon doch ook van vroegere stadstaten als we in Soemerieuml enandere Aziatische landen hebben aangetroffen Tot de meest belangrijke Grieksestadstaten behoorden Milete en andere steden in Ionieuml aan de Klein-Aziatische kustvan de Middellandse Zee wier handel zich uitstrekte tot de kusten van de geheleMiddellandse en Zwarte Zee tot Mesopotamieuml Egypte Scythieuml (het tegenwoordigeZ Rusland) en nog verder verwijderde landen Er waren ook steden aan anderekusten die in aanzien en rijkdom de Ionische evenaarden bv Corinthe en laterAthene in het eigenlijke Griekenland Croton en Taras (Tarente) in Zuid-ItalieumlSyracuse op SicilieumlDeze nieuwe maatschappelijke orde bracht een nieuw soort mensen voort De

koopman-vaarder en reiziger had zelden zo veel onafhankelijkheid gekend maarhij wist ook dat deze onafhankelijkheid alleen door constante en harde strijdverkregen en behouden kon worden In zijn gedachtenwereld was weinig ruimtevoor het statische het behoudende dat zoveel in het Oosten kenmerkt Hij leefdein een tijdperk van aardrijkskundige ontdekkingen dat enigszins doet denken aandat van het zestiende-eeuwse Europa hij erkende noch absolute monarchie nochenige andere macht geworteld in een statische Godheid Bovendien kon hij zich tijdgunnen voor verpozing en tot nadenken het gevolg van rijkdom en althansgedeeltelijk van slavernij Hij kon over die nieuwe wereld filosoferen wat in deafwezigheid van een diep gewortelde godsdienst vaak de bewoners van dezekuststeden tot de een of andere


49

vorm van mysticisme leidde doch anderzijds ook juist tot de tegenpool van zulkmysticisme een groeiend rationalisme en een wetenschappelijkewereldbeschouwing

2

In deze geestelijke atmosfeer van het Ionische rationalisme werd een nieuw soortwiskunde geboren een wiskunde die niet alleen de Oosterse vraag lsquohoersquo dochook de hogere wetenschappelijke vraag lsquowaaromrsquo stelde We zouden dit hetontstaan van de moderne wiskunde kunnen noemen De vader van deze nieuwedeze Griekse wiskunde is volgens de overlevering Thales van Milete een koopmanuit de eerste helft van de zesde eeuw die geld en wijsheid had verkregen in verrelanden zoals Babylon en Egypte Zelfs zo men zijn figuur meer legendarisch danhistorisch ziet behoudt ze betekenis omdat ze iets zeer reeumlels belichaamt Thalessymboliseert de omstandigheden waaronder niet alleen demoderne wiskunde dochook onze gehele moderne wetenschap en wijsbegeerte in het leven kwamenDe vroege Griekse studie der wiskunde had als voornaamste doel de plaats van

de mens in het heelal op redelijke wijze te begrijpen De wiskunde leende daarbijhaar hand door orde in de chaos te scheppen gedachten in logische ketenen teleggen en dus het vinden van grondbeginselen te vergemakkelijken Wiskunde isvan alle wetenschappen het meest op het redenerende verstand ingesteld enofschoon er weinig twijfel bestaat dat de Griekse kooplieden op hun handelswegenook de Oosterse wiskunde leerden kennen we kunnen ook begrijpen dat zijontdekten dat de rationalisatie van de wiskunde nog grotendeels ongedaan wasgebleven Waarom had de gelijkbenige driehoek twee gelijke hoekenWaarom washet oppervlak van een driehoek gelijk aan dat van de halve rechthoek met gelijkebasis en hoogte Zulke vragen kwamen op natuurlijke wijze op bij mannen envrouwen die gelijksoortige kwesties stelden in de kosmologie biologie natuurkundeen staatsbestuurEr bestaan geen bronnen waaruit we de vroege ontwikkeling der Griekse wiskunde

uit de eerste hand kunnen bestuderen en na kunnen gaan hoe beslissend het contactmet de oude beschavingen van Egypte en Babylonieuml is geweest De bestaandewiskundige codices dateren uit Christelijke en Araacutebische tijden en we hebben ookenige Egyptische papyri met fragmenten die wat ouder zijn Uit dit materiaal hebbengeleerden thuis in klassieke talen en in de wiskunde uitstekende teksten kunnenconstrueren De vroegste van deze teksten voor zover ze geen verspreideaanhalingen doch


50

volledige geschriften zijn gaan terug tot de vierde eeuw v C en niet verder Op diemanier bezitten we nu betrouwbare uitgaven van Euklides Archimedes Apolloniosen andere grote wiskundigen van de Oudheid Maar deze geschriftenvertegenwoordigen een reeds geheel volwassen wiskunde waarvan het moeilijk isde historische wortels uit te graven zelfs met behulp van wat latere commentatorenaan gegevens hebben nagelaten Om iets van de formatieve periode van de Grieksewiskunde te leren moeten we ons dus tot fragmenten beperken overgeleverd doorlatere schrijvers of op verspreide opmerkingen bij wijsgeren en andere niet striktwiskundige schrijvers Toch hebben scherpzinnige tekstcritici uit dit materiaal veleduistere punten kunnen ophelderen en ons zo een beeld kunnen geven van devroegste ontwikkeling van de Griekse wiskunde We denken hier aan het werk vanPaul Tannery TL Heath HG Zeuthen E Frank en anderen die het ons mogelijkhebben gemaakt een samenhangend zij het vaak hypothetisch beeld van dezeperiode te schetsen

3

Op de ruiumlnes van het Assyrische Rijk ontstond in de zesde eeuw v C een nieuwemacht het Perzische Rijk der Achaemenieden Het veroverde de Anatolische stedendoch de maatschappelijke structuur van het eigenlijke Griekenland was alreeds tehecht om ontworteld te worden De Perzische aanval werd afgeslagen in deberoemde slagen van Marathon Salamis en Plataeae (490-479) Een belangrijkresultaat van deze overwinningen was de uitbreiding en de hegemonie van demachtvan Athene Onder Perikles in de tweede helft van de vijfde eeuw kregen dedemocratische elementen steeds meer invloed Zij waren het die achter de militaireen economische expansie stonden die het Athene van ca 430 v C niet alleen totde leidende macht van een Grieks Rijk doch ook tot het middelpunt van een nieuween ondanks het bestaan van slavernij toch bewonderenswaardige beschavingmaakteHier temidden van het gewoel der maatschappelijke en politieke twisten bewogen

zich leraars en wijsgeren die hun theorieeumln verkondigden en met die theorieeumln ookde nieuwe wiskunde Voor het eerst in de geschiedenis hield zich een groep kritischingestelde mannen en vrouwen minder dan ooit voorheen door traditie belemmerdmet wiskundige vraagstukken bezig ter wille van het zuivere begrip en niet uit directeof indirecte nuttigheidsoverwegingen Men noemt die kritisch ingestelde leraarsvaak lsquosofistenrsquo een woord dat van lsquosofiarsquo wijsheid afkomstig is en dus oorspronkelijkniet lsquodrogredenaarsrsquo betekent al schenen zij die naam


51

wel eens door hun paradoxen te verdienen Van die discussies der sofisten die totaan de wortel van het exacte denken reikten is maar weinig bewaard al kunnenwij er in de dialogen van Plato wel een indruk van krijgen Wat de wiskunde betreftbezitten wij slechts eacuteeacuten samenhangend fragment uit deze tijd en dit is geschrevendoor de Ionische filosoof Hippokrates van Chios (ca 440) Dit fragment toont alreeds een grote beheersing van de wiskundige redeneerwijze en behandelt opkarakteristieke wijze een merkwaardig lsquoonpraktischrsquo doch theoretisch belangrijkonderwerp de zgn lsquolunulaersquo of maantjes begrensd door twee of drie cirkelbogenDit onderwerp - zekere oppervlakken begrensd door cirkelbogen te vinden die

rationaal kunnen worden uitgedrukt in hun middellijnen - hangt direct samen methet vraagstuk van de cirkelkwadratuur een kernkwestie in de Griekse wiskunde Inde bespreking van zijn maantjes1 toont Hippokrates dat de wiskundigen vanGriekenlands Gouden Eeuw reeds een stelselmatig geordende vlakke meetkundehadden waarin het beginsel door logische gevolgtrekkingen van de ene stellingtot de andere (lsquoapagogersquo) te komen volledig was geaccepteerd Men had al eensoort axiomatiek zoals men kan opmaken uit de naam van een boek dat op naamvan Hippokrates staat en dat Elementen (lsquoStoicheiarsquo) heet en dus de naam heeftvan alle Griekse axiomatische verhandelingen ook die van Euklides Hippokratesonderzocht de oppervlakken van vlakke figuren begrensd door lijnsegmenten ofcirkelbogen Hij leert dat de oppervlakken van gelijkvormige cirkelsegmenten zichverhouden als de kwadraten op hun koorden beschreven Hij kent het theoremavan Pythagoras en de corresponderende ongelijkheid voor niet-rechthoekigedriehoeken Het gehele fragment zouden we haast lsquoin de Euklidische traditiersquo willennoemen maar het is meer dan een eeuw ouder dan EuklidesHet vraagstuk van de cirkelkwadratuur is een van de zgn lsquodrie beroemde

wiskundige vraagstukken van deOudheidrsquo Deze begonnen in de tijd van Hippokrateseen onderwerp van studie te worden Deze vraagstukken waren

1 Een moderne onderzoeking van zulke maantjes door E Landau Uumlber quadrierbareKreisbogenzweiecke Berichte Berliner Mathem Gesellsch 2 (1903) 1-6 Zie ook T DantzigThe Bequest of the Greeks (New York 1955) Hoofdstuk 10 en DSB VI (1972) 411-416zowel als CJ Scriba Welche Kreismonde sind elementar quadrierbar Mitt Mathem GesHamburg 11 (1988) 517-539


52

1 De driedeling van de hoek dwz de vraag een gegeven hoek in drie gelijkedelen te verdelen

2 De verdubbeling van de kubus dwz een kubus te construeren waarvan deinhoud het dubbele is van de inhoud van een gegeven kubus

3 De kwadratuur van de cirkel dwz een vierkant te construeren waarvan hetoppervlak gelijk is aan dat van een gegeven cirkel

Het belang van deze vraagstukken ligt daarin dat ze niet meetkundig kunnen wordenopgelost door een eindig aantal rechte lijnen en cirkels te construeren behalve danbij benadering en daardoor dienden zij als een middel om nieuwe wiskundigegebieden aan te borenDe twee eerste problemen werden vaak teruggevoerd tot het vraagstuk twee

lijnsegmenten x en y te construeren zo dat voor gegeven lijnsegmenten a en b deverhouding bestaat a x = x y = y b (het vraagstuk een lijnsegment x te vindenzo dat a x = x b kan met passer en lineaal worden opgelost) Dit leidde weer totde studie van kegelsneden van sommige krommen van de derde en hogere graad(bv de cissoiumlde en de conchoiumlde) of van een transcendente kromme de kwadratrixDe anekdotische vorm waarin die vraagstukken soms zijn overgeleverd (Delphischeorakels enz) moet ons hun fundamentele betekenis niet doen vergeten Het gebeurtwel meer dat zulk een gewichtig probleem met een anekdote of een puzzel isverbonden - wij denken bv aan Cardanos gebroken belofte aan Keplers wijnvatenaan Newtons appel Wiskundigen van verschillende perioden ook hedendaagsewiskundigen hebben op het verband gewezen dat er bestaat tussen deze Grieksevraagstukken en de moderne leer der vergelijkingen der algebraische getallen ende groepentheorie1

4

Waarschijnlijk buiten de groep der sofisten die tot op zekere hoogte met dedemocratische beweging waren verbonden stond een andere groep van wiskundiggeiumlnteresseerde wijsgeren die meer tot de aristocratische richting werdenaangetrokken Zij zijn bekend als Pythagoreeeumlrs zo genaamd naar de min of meerlegendarische stichter van de school Pythagoras waarvan verhaald wordt dat hijeen mysticus een man van wetenschap en een aristocratische staatsman was Integenstelling tot de sofisten die de

1 Zie bv F Klein Vortraumlge uumlber ausgewaumlhlte Fragen der Elementargeometrie (Leipzig 1895)F Enriques Fragen der Elementarmathematik II (Leipzig 1907 Italiaanse tekst Bologne1906)


53

werkelijkheid van de verandering leerden - dit was althans het geval met deatomisten volgelingen van Leukippos en Demokritos - vindt men bij de Pythagoreeeumlrsde nadruk op het onveranderlijke in natuur en gemeenschap In hun streven deeeuwige wetten van het heelal te onderkennen kwamen zij met religieuze eerbiedtot de getallenleer niet als de Babylonieumlrs en Egyptenaren omdat ze behoeftehadden praktisch te rekenen maar omdat zij in het getal het wezen van het heelalzagen Dus ontwikkelden zij de theoretische getallenleer zowel als de (theoretische)meetkunde de astronomie en de muziekleer die tezamen het latere lsquoquadriviumrsquozouden uitmaken Hun meest bekende leider was Archytas van Taras (Tarente)die omstreeks 400 leefde en in wiens school zo we de hypothese van E Frankvolgen het voornaamste van de als lsquoPythagoreiumlschrsquo bekende wiskunde moet zijnontwikkeld De getallenleer was niet alleen theoretisch maar zelfs speculatief enhad weinig gemeen met de Babylonische rekentechniek van diezelfde tijd Getallenwerden in klassen verdeeld even oneven even maal even oneven maal onevenondeelbaar samengesteld volkomen ook waren er vriendschaps- driehoeks-vierkants- vijfhoeksgetallen enz In de driehoeksgetallen komt de verbinding tussenmeetkunde en rekenkunde zoals de Pythagoreeeumlrs die zagen duidelijk aan hetlicht

enzEvenzo hadden de Pythagoreeeumlrs vierkantsgetallen

enzdie wij nog zo noemen (Grieks tetragona Lat quadrati) en ook vijfhoeks- en

viervlaksgetallen De figuren zelf zijn vaak veel ouder en sommige ervan kunnenwij op aardewerk uit de Nieuwe Steentijd zien De Pythagoreeeumlrs bestudeerden deeigenschappen van zulke polygonale en piramidale getallen voegden er


54

hun soort getallenmystiek aan toe en gaven hun een wezenlijke rol in hun kosmischefilosofie waarin zij trachtten alle betrekkingen tot getallenbetrekkingen te herleiden(lsquoalles is getalrsquo) Een punt was lsquoeenheid in positiersquo Nadruk werd gelegd op deverhouding van getallen (lsquologosrsquo Lat lsquoratiorsquo) Zo kenden zij een rekenkundige (2b= a + c) een meetkundige (b2 = ac) en een harmonische (2b = 1a + 1c)verhouding die ze ook wijsgerig en maatschappelijk interpreteerdenDe Pythagoreeeumlrs kenden sommige eigenschappen van regelmatige veelhoeken

en veelvlakken Zij toonden aan hoe het vlak kan worden gevuld met mozaiumlekenvan regelmatige driehoeken of zeshoeken en de ruimte met kubussen waaraanAristoteles later ten onrechte de regelmatige viervlakken toevoegde1 DePythagoreeeumlrs hebben waarschijnlijk ook de andere regelmatige veelvlakken gekendDe kennis van het twaalfvlak kunnen zij verkregen hebben doordat pyriet inregelmatige twaalfvlakken kristalliseert Pyriet wordt in Italieuml aangetroffen en waseen voorwerp van belangstelling in een periode waarin het ijzer regelmatig verwerktbegon te worden We vinden reeds bij de Etrusken modellen van regelmatigedodekahedra als sieraden of misschien als magische symbolen2Wat het theorema van Pythagoras betreft de ontdekking hiervan werd door de

Pythagoreeeumlrs aan hunMeester zelve toegeschreven die volgens een (laat) verhaalin dankbaarheid aan de goden een honderdtal ossen (een lsquohekatombersquo) zou hebbengeofferd - een eigenaardige handeling voor een man die zijn school in striktvegetarisme moet hebben opgevoed Wij hebben gezien dat het theorema al reedsin Hammurabis Babylon bekend was als een getallenbetrekking doch Pythagorasof een zijner leerlingen kan best het eerste bewijs uit axiomas hebben gegevenVoor hen was het theorema een meetkundige betrekking tussen oppervlakkenEen der meest belangrijke ontdekkingen die aan de Pythagoreeeumlrs wordt

toegeschreven is die van de onderling onmeetbare Iijnsegmenten Deze ontdekkingvan het irrationale is wellicht het

1 DJ Struik Het Probleem lsquode impletione locirsquo Nieuw Archief v Wiskunde 15 (1925) 121-137Zie hiertoe M Senechal Which Tetrahedra fill Space Mathematics Magazine 54 (1981)227-243

2 F Lindemann Sitzungsber Bayer Akad Wiss Muumlnchen 26 (1897) 625-768 ook 1934265-275


55

resultaat geweest van hun studie van de meetkundige verhouding a b = b c dieook als een symbool van de aristocratie diende Wat nu was de meetkundigevenredige tussen 1 en 2 twee gewijde symbolen Deze vraag kwam ook op bijde vraag naar de verhouding van diagonaal en zijde van het vierkant DePythagoreeeumlrs ontdekten dat deze verhouding niet kon worden uitgedrukt in wat zijlsquogetallenrsquo (arithmoi) noemden dat is in wat wij met de naam rationale (dus geheleof gebroken) getallen aanduiden In andere woorden wat wij als radic2 schrijven kanniet als breuk worden uitgedruktDit kan men met Aristoteles als volgt inzien Veronderstel dat deze verhouding p

q was waarbij we de getallen p en q als onderling ondeelbaar kunnen aannemenDan moet p2 = 2q2 zijn dus p2 en daarom ook p moet even zijn bv p = 2r Danmoet q oneven zijn Maar q2 = 2r2 waaruit volgen zou dat q even is Dezetegenspraak werd niet zoals in het Oosten of in het Europa van de renaissanceopgelost door het getalbegrip te generaliseren doch door de getallentheorie voorzulke gevallen opzij te schuiven en een nieuwe synthese in de meetkunde te zoekenDeze ontdekking die de eenvoudige harmonie tussen de meetkunde en degetallenleer verstoorde werd vermoedelijk gedurende de laatste tientallen jarenvan de vijfde eeuw v C gemaakt Uit die tijd dateert nog een andere moeilijkheidvoortgekomen uit de debatten over de werkelijkheid van de verandering debattendie toen zowel als later de wijsgeren hebben beziggehouden De moeilijkheid inkwestie wordt toegeschreven aan Zeno van Elea (ca 450 v C) een leerling vanParmenides een conservatief filosoof die leerde dat de rede alleen het absolutewezen erkent en dat verandering slechts schijnbaar is Deze wijsgerige wijze vanargumenteren kreeg een wiskundige betekenis toen het bleek dat men oneindigeprocessen moest beschouwen zoals bv bij de bepaling van de inhoud van eenviervlak Zenos paradoxen kwamen hier in conflict met sommige oude en intuiumltievebegrippen omtrent het oneindig kleine en het oneindig grote en openden de discussieover het probleem der continuiumlteit Men had steeds zonder veel bedenkenaangenomen dat de som van een oneindig aantal grootheden zo groot kan wordengemaakt als men wil zelfs als iedere grootheid zeer klein is (infin times ε = infin) en ook datde som van een oneindig aantal grootheden van dimensie nul ook nul is (n times 0 = 0infin times 0 = 0) Hier nu zette Zenos kritiek in Met zijn vier paradoxen ondermijnde hijhet geloof in die opvattingen en van de steen die hij in de filosofische poel wierpkan men de rimpels nog heden ten dage waarne-


56

men Men kan Zenos argumenten bij Aristoteles vinden ze zijn bekend als deAchilles de Pijl de Dichotomie en het Stadium Ze waren zo gekozen dat detegenstrijdigheden in de begrippen van beweging en tijd scherp worden uitgebrachten geen poging werd gedaan (zover we weten) om die tegenstrijdigheden teverzoenenWij geven hier de Achilles en de Dichotomie waaruit we kunnen zien wat de geest

is die uit de lsquoparadoxenrsquo spreekt Wij geven ze weer in onze eigen woorden

Achilles Achilles en een schildpad bewegen zich op een rechte weg indezelfde richting Achilles is achter de schildpad en wil hem inhalen Hijloopt veel sneller dan de schildpad doch om het dier te bereiken moethij eerst het punt P passeren vanwaar de schildpad begon Als Achillesin P is aangekomen is de schildpad in het punt P1 gekomen Achilles kande schildpad niet bereiken voordat hij P1 passeert maar dan is deschildpad alweer iets vooruit in P2 gekomen Als Achilles in P2 is is deschildpad in P3 enz Daarom kan Achilles de schildpad nooit bereiken

Dichotomie Ik wil van A naar B langs een rechte lijn gaan Om B tebereiken moet ik eerst B1 halfweg tussen en A en B bereiken doch omB1 te bereiken moet ik eerst in B2 komen halfweg tussen A en B1 Dit kanmen oneindig vaak voortzetten zodat we zien dat de beweging zelfs nietkan beginnen

Uit Zenos argumenten bleek dat een eindig segment kan worden opgedeeld in eenoneindig aantal segmenten ieder van eindige lengte Ook bleek daaruit dat er eenmoeilijkheid was in de uitspraak dat een lijn uit punten is lsquosamengesteldrsquo want uitde samenvoeging van punten kan nooit meer dan een punt en nooit een stuk lijnworden gevormd Het is wel mogelijk dat Zeno zelf niet besefte hoezeer zijnredenering de gedachten der wiskundigen na hem zou verontrusten En niet alleende wiskundigen vraagstukken die verband houden met Zenos paradoxen zijn ookgeregeld in wijsgerige en theologische discussies opgekomen In zulke discussiesspreekt men wel van de tegenstelling tussen het potentieel en het actueel oneindigedwz tussen het oneindige beschouwd als een proces en het oneindige beschouwdals iets voltooids (iets lsquowordtrsquo oneindig en iets lsquoisrsquo oneindig) Paul Tannery de Fransehistoricus van de wiskunde geloofde dat het Zeno er vooral om te doen was hetPythagoreiumlsche begrip van de ruimte als de som van haar punten aan te tasten (lsquohetpunt is eenheid in positiersquo volgens de Pythagoreeeumlrs)1 Wat hiervan ook de

1 P Tannery La geacuteomeacutetrie grecque (Paris 1887)217-261 Een andere mening bij BL van derWaerden Mathem Annalen 117 (1940) 141-161 Zie ook EJ Dijksterhuis De Elementenvan Euclides (Groningen 1929) I 41-55 met een uitvoerige bespreking van de Grieksemeetkunde voacuteoacuter Euklides


57

waarheid moge zijn het is zeker dat Zenos redenering het mathematisch denkeneeuwenlang heeft beiumlnvloed Zijn paradoxen kunnen met die van George Berkeleyworden vergeleken toen deze achttiendeeeuwse bisschop aantoonde hoe de vageformulering van de grondbeginselen der differentiaalrekening tot logischeabsurditeiten leidt eveneens zonder zelf een betere formulering voor te stellen Ookin de tegenwoordige discussies omtrent de grondslagen der wiskunde spelen eenaantal paradoxen over oneindige verzamelingen een rol (paradox van Russell vanBurali Forti etc) En de discussies over de betekenis van de paradoxen van Zenogaan onverminderd voort1De paradoxen van Zeno kregen een diepere wiskundige betekenis ongeveer

terzelfder tijd dat het irrationale werd ontdekt Was het eigenlijk wel mogelijk dewiskunde als een exacte wetenschap te behandelen Tannery2 heeft als zijn meninggeuit dat we hier van een lsquowaarlijk logisch schandaalrsquo van een crisis in de Grieksewiskunde mogen spreken3 Zo dit het geval geweest is is deze crisis opgetredenin de latere jaren van de Peloponnesische oorlog die eindigdemet de val van Athene(404) Het is dan mogelijk een verband te ontdekken tussen de crisis in de wiskundeen demaatschappelijke crisis aangezien de val van Athene de nederlaag betekendevan de slavenhoudende democratie en een nieuw tijdperk inluidde waarin dearistocratie weer de overhand had De crisis in de wiskunde werd opgelost in degeest van het nieuwe tijdperk

5

Deze nieuwe periode in de Griekse geschiedenis zag de rijkdom der meer gegoedenvermeerderen en de lagere klassenmeer en meer in armoede vervallen De slavernijnam grotere afmetingen aan wat aan menige vermogende familie de gelegenheidgaf meer aandacht te wijden aan kunsten wetenschappen wijsbegeerte of eenpersoonlijke ethiek en daarbij tevens neer te zien op alle werk dat handwerkers ofslaven konden verrichten Wij zien deze geesteshouding bij Plato en bij Aristotelesen het is in Platos Repu-

1 Uitvoerige bespreking met literatuurlijst vindt men in het artikel van K von Fritz in DSB XIV(1976) 607-612

2 P Tannery ibid p 98 Op deze plaats houdt zich Tannery alleen bezig met het bankroet vande oude verhoudingsleer een gevolg van de ontdekking van onderling onmeetbarelijnsegmenten

3 Zie hierover H Freudenthal Y avait-il une crise des Fondaments des Matheacutematiques danslAntiquiteacute Bulletin Soc Mathem Belgique 18 (1966) 43-55


58

bliek (misschien omstreeks 360 v C geschreven) dat wij de helderste uitdrukkingvinden van de idealen van de slavenhoudende aristocratie De lsquowachtersrsquo van Platosrepubliek moeten het quadrivium bestuderen dus de arithmetica de meetkundede astronomie en de muziekleer teneinde de wetten van het heelal te begrijpen1In zijn Timaeus geeft Plato het voorbeeld van zulk een begrijpen de dialoog schetsteen kosmogonie waarin als bouwstenen van het heelal de elementen vuur aardelucht en water optreden ieder opgebouwd uit regelmatige veelvlakken waarbij hettwaalfvlak de rol van een soort ether vervult Zulk een Pythagoreiumlsche atmosfeerleidde althans in haar eerste periode tot de discussie van de meer theoretischekanten van de wiskunde dus naar onderwerpen die met de grondslagensamenhangenMinstens drie belangrijke wiskundigen waren met Platos Akademie verbonden

Archytas Theaitetos (die in 369 stierf) en Eudoxos (ca 408-355) Theaitetos naamis verbonden met het onderzoek van die irrationaliteiten die we nu met radic2 radic3 radic5radic17 aanduiden een onderzoek dat geheel meetkundig was misschien is van hemde theorie der irrationale lijnstukken afkomstig die we in het tiende boek van EuklidesElementen vinden Eudoxos heeft naar menmet vrij grote stelligheid kan aannemende theorie der verhoudingen ontdekt die we in het vijfde boek van deze Elementenvinden en ook de zgn lsquoexhaustiersquo-methode waarmede oppervlak eninhoudsberekeningen streng konden worden behandeld zonder dat demoeilijkhedendie lagen in de paradoxen van Zeno optradenDit betekent dat het Eudoxos is geweest die de zgn crisis in de Griekse wiskunde

heeft opgelost en wiens strenge formuleringen de koers van de Griekse axiomaticaen tot op zekere hoogte die van de gehele Griekse wiskunde hebben bepaaldEudoxos leer der verhoudingen was een breuk met die van de Pythagoreeeumlrs

die alleen voor onderlingmeetbare grootheden geldig was Ze was zuiver meetkundigen in haar strikt axiomatische vorm maakte ze elk onderscheid tussen meetbare enonmeetbare grootheden overbodigVoor die leer is Definitie 5 van Boek v van Euklides Elementen karakteristiek

1 Volgens late bronnen (oa Philoponos 6e eeuw n C) was er een opschrift boven de ingangvan Platos school de Akademia luidend lsquoLaat niemand hier binnentreden die geenmeetkundekentrsquo (lsquoageōmetrecirctosrsquo) Zie DH Fowler The Mathematics of Platos Academy (Oxford 1987)


59

lsquoMen zegt dat grootheden in dezelfde verhouding staan de eerste tot detweede en de derde tot de vierde wanneer willekeurige zelfde veelvoudenvan de eerste en de derde tegelijk groter zijn dan gelijk aan of kleinerdan willekeurige zelfde veelvouden van de tweede en de vierde inovereenkomstige volgorde genomenrsquo

Dit betekent in onze notatie dat a b = c d zo tegelijk met ma gt nb ook mc lt ndtegelijk met ma = nb ook mc = nd en tegelijk met ma lt nb ook mc lt nd waar m enn gehele getallen zijn Dat zo iets mogelijk is moest eerst door het zgn axioma vanArchimedes worden vastgelegd dat in Euklides als Definitie 4 aan de vorige definitievoorafgaat

lsquoMen zegt dat grootheden een verhouding tot elkaar hebben als zijvermenigvuldigd elkaar kunnen overtreffenrsquo

Deze definitie zou dus wel beter als het axioma van Eudoxos aangeduid kunnenworden De moderne theorie van de irrationale getallen door Dedekind enWeierstrass ontwikkeld vertoont grote overeenkomst met die van Eudoxos ondankshet feit dat de moderne theorie aritmetisch de klassieke theorie meetkundig is Dearitmetische opzet van de moderne theorie heeft echter wijdere perspectievengeopendDe lsquoexhaustiersquo-methode (deze naam komt eerst voor in 1647 bij Greacutegoire de Saint

Vincent) was het antwoord van de school van Plato op Zeno Ze ontdook destruikelblokken van het oneindig kleine door ze te vermijden door vraagstukken dietot infinitesimalen konden voeren terug te brengen op vraagstukken die alleenformele logica inhielden Wanneer om een voorbeeld te noemen men had tebewijzen dat de inhoud V van een viervlak gelijk is aan het derde deel van eenprisma P met dezelfde hoogte H en hetzelfde grondvlak dan werd bewezen dat deaannamen V gt ⅓P en V lt ⅓P allebei tot ongerijmdheden voeren zodat de enigeoverblijvende mogelijkheid V = ⅓P de waarheid bevat Om deze ongelijkheden tebewijzen moest weer een axioma worden ingevoerd equivalent aan dat vanArchimedes (of Eudoxos) Bij Archimedes luidt het als volgt lsquodat het verschilwaarmee het grootste van ongelijke oppervlakken het kleinste overtreft bij zichzelfgevoegd elk voorgeschreven begrensd oppervlak kan overtreffenrsquo waarbij dit bijzichzelf toevoegen willekeurig herhaald mag worden In ons geval van het viervlakwerd de hypothese V = A A gt ⅓P dan weerlegd door het viervlak in te sluiten ineen omgeschreven trappenpiramide van n prismas ieder van hoogte Hn en dante bewijzen dat n zo groot kan wor-


60

den gemaakt dat de inhoud der trappenpiramide amp A is Aangezien de inhoud dertrappenpiramide zeker gt V is komen we tot een tegenstrijdigheid Evenzo bewijstmen met een ingeschreven trappenpiramide dat ook V lt ⅓P tot een ongerijmdheidvoert Euklides bewijst oa op deze manier dat de oppervlakken van twee cirkelszich verhouden als de vierkanten op de diametersDeze indirecte behandeling van wat we nu met limietovergangen beredeneren

bleef de geaccepteerde vorm van bewijs in de wiskunde der Grieken en later in dievan de Renaissance Zulke bewijzen waren streng en kunnen zonder veel moeitein een vorm worden gebracht die de moderne analyse accepteert Maar ze haddenhet nadeel dat aan alle indirecte bewijsvoeringen kleeft menmoet eerst het antwoordweten voacuteoacuter men het bewijs kan geven Het antwoord zelf moet dus op een anderemeer heuristische en minder exacte methode worden gevondenEr bestaan duidelijke aanwijzingen dat zulk een meer tastende methode ook

werkelijk werd gebruikt Wij bezitten een brief door Archimedes omstreeks 250 vC aan zijn vriend Eratosthenes geschreven en die eerst in 1906 door JL Heibergis teruggevonden in een manuscript dat te Jeruzalem werd bewaard In deze briefbeschrijft Archimedes hoe hij het oppervlak van een segment van de parabool heeftberekend door het oppervlak als som van koorden te beschouwen dan die koordenop te tellen en deze met behulp van de wetten van de hefboom te wegen Zulk eenmethode is niet streng maar geeft in de handen van een goede wiskundigeresultaten die dan later met de lsquoexhaustiersquo-methode streng kunnen bewezen wordenDeze brief is uitgegeven en is bekend onder de naam lsquoMethodersquo (Ephodos)Er bestaat een theorie van S Luria waarin de gedachte wordt uitgesproken dat

de gehele gedachtengang van Eudoxos in een soort concurrentieverwantschapstond met die van een andere de Platonische traditie tegenoverstaande schoolverbondenmet de naamDemokritos met Leukippos de stichter van de atoomtheorieIn deze school zo zegt deze theorie van Luria werd voor wiskundige beschouwingenhet begrip lsquomeetkundig atoomrsquo ingevoerd Een lijnsegment een oppervlak eeninhoud bestond dan uit een groot doch eindig aantal ondeelbare (indivisibile)atomen Wilde men een inhoud berekenen dan moest men de som bepalen van deinhoud van al de atomen waaruit het betreffende lichaam bestaat Deze theorie doetwel wat vreemd aan totdat we beseffen dat verscheidene wiskundigen in de jarenvoacuteoacuter Newton in het bijzonder Kepler (en ook wel er na) zich eigenlijk van de-


61

zelfde gedachtenwijze bedienden als ze om een voorbeeld te noemen de omtrekvan een cirkel beschouwden als samengesteld uit een oneindig aantal kleinelijnsegmenten Er bestaan geen documenten die bewijzen dat men in de Oudheidooit een strenge methode op deze grondslag heeft ontwikkeld doch ons modernelimietbegrip heeft het mogelijk gemaakt deze lsquoatoomrsquo-theorie om te zetten in eentheorie die even streng is als die waarop Eudoxos exhaustiemethode berust Zelfsheden ten dage gebruiken we geregeld dit begrip van lsquoatomenrsquo als we een vraagstukuit de theorie der elasticiteit der natuur- of scheikunde of zelfs derdifferentiaalmeetkunde opstellen waarna we het strenge bewijs aan de specialistin de analyse overlaten1Het voordeel van de lsquoatoomrsquo-methode boven de lsquoexhaustiersquo-methode was dat men

er gemakkelijker resultaten mee bereikte De Oudheid had dus de keuze tusseneen strenge maar tamelijk steriele en een onvoldoend gebaseerde doch veelvruchtbaarder theorie Het is interessant te zien dat in bijna alle boeken die uit deOudheid tot ons zijn gekomen de strenge theorie wordt aangewend Dit heeft welte maken gehad met het feit dat de wiskunde een lievelingsbezigheid was gewordenvan mannen en vrouwen die tot een klasse behoorden wier bestaan gedeeltelijk opslavernij berustte geen belang had in uitvindingen doch wel in een beschouwendelevenswijze Men moet met zulk een generalisatie evenwel voorzichtig zijn -Archimedes was bv wel in uitvindingen geiumlnteresseerd - doch zij bevat toch eenhistorische waarheid Deze kan ook uitgedrukt worden door te zeggen dat hetPlatonische idealisme op het Demokritische materialisme althans op het gebied derwiskundige filosofie in de Oudheid de overwinning heeft behaald

6

In het jaar 334 begon Alexander de Grote zijn veldtocht tegen Perzieuml Toen hij in323 in Babylon stierf behoorde het gehele Nabije Oosten met Egypte en delen vanNoord-Indieuml tot zijn rijk Zijn generaals verdeelden het veroverde gebied en tenslotteontstonden drie grote koninkrijken Egypte onder Ptolemaios Meso-

1 Zie om een voorbeeld te noemen HB Phillips Differential Equations (New York 1922) bldz7 (een boek voor aanstaande ingenieurs) lsquoZo kan men zolang men zich tot eerstedifferentialen beperkt een klein deel van een kromme bij een punt als recht en een klein deelvan een oppervlak als vlak beschouwen voor korte tijdsperioden mag men aannemen dateen deeltje zich met constante snelheid beweegt en een willekeurig fysisch proces in eenconstant tempo verlooptrsquo


62

potamieuml en Syrieuml onder de Seleuciden en Macedonieuml onder Antigonos en zijnopvolgers Deze vorsten en hun hogere ambtenaren waren Grieken of warenvergriekst Zelfs in de vallei van de Indus heersten een tijd lang Griekse vorstenHet tijdperk van het Hellenisme was aangebrokenAls onmiddellijk gevolg van Alexanders veroveringstochten zien we een grote

versnelling in de uitbreiding van de Griekse beschaving over grote gebieden vanhet Oosten Egypte Mesopotamieuml en een deel van Indieuml werden gehelleniseerdDe Grieken overstroomden het Oosten als beambten handelaren koopliedendokters reizigers huursoldaten en avonturiers De steden waarvan verscheidenekenbaar aan hun Griekse namen eerst onder Alexander en zijn navolgers warengesticht stonden onder Griekse militaire en ambtelijke controle en hadden eenbevolking die een mengsel was van Grieken Aziaten en Afrikanen Het Hellenismewas in wezen een stedelijke beschaving het platteland bleef vrijwel onberoerd ofopstandig (men denke aan de Maccabeeeumln) In de steden kwam de oude Oostersebeschaving met de ingevoerde Griekse cultuur in aanraking en ofschoon er eengedeeltelijke versmelting van die levenswijzen plaatsvond een diepe kloof bleefbestaan De Hellenistische monarchen namen Oosterse gewoonten over haddenzich bezig te houden met Oosterse administratieproblemen zoals irrigatie dochmoedigden Griekse kunsten en wetenschappen aanDe Griekse wiskunde dus naar vreemde streken overgeplaatst behield vele

traditionele kenmerken doch ondervond ook de invloed van de vraagstukken inadministratie die het Oosten had op te lossen en die de belangstelling wakkerhielden in berekenende arithmetica en astronomie Dit nauwe verband tussenGriekse en Oosterse wetenschap heeft grote resultaten gehad vooral gedurendede eerste eeuwen voacuteoacuter de Romeinse overheersing begon Praktisch al die werkelijkscheppende wiskunde die we lsquoGrieksrsquo noemen is ontstaan in het betrekkelijk kortetijdperk van ca 400-ca 200 van Archytas en Eudoxos tot Apollonios en zelfs deresultaten van de eerste decennia van deze periode zijn ons vrijwel alleen bekenddoor hun interpretaties bij Euklides en de andere Alexandrijnse wiskundigen Enhet is ook merkwaardig dat de grootste bloei der Hellenistische wiskunde plaatsvondin Egypte onder de Ptolemeeeumln en niet in Mesopotamieuml ondanks het feit dat deoude Babylonische wiskunde veel verder ontwikkeld was dan de oude Egyptischealthans voor zover wij wetenMen kan de oorzaak van deze verschuiving zien in de verander-


63

de rol van Egypte dat in Hellenistische tijden een centrale positie in de gebiedenrondom de Middellandse Zee innam De nieuwe hoofdstad Alexandrieuml was aan dezeekust gesticht en werd het commercieumlle en intellectuele middelpunt van deHellenistische wereld Babylon bleef nog naleven als een centrum vankaravaanwegen op de grens van deze wereld maar verdween op den duur omplaats te maken voor Seleukia-Ktesiphon de nieuwe hoofdstad der SeleucidenMet Babylon voor zover we weten zijn nooit grote Griekse wiskundigen verbondengeweest maar Antiochieuml en Pergamum ook steden van het rijk der Seleucidendoch dichter bij de Middellandse Zee hadden belangrijke Griekse scholen Maaronder de Seleuciden bloeiden wel de oude Babylonische astronomie en wiskundedie zelfs hun hoogtepunt in dit tijdperk bereikten en deze ontwikkeling stimuleerdeook de Hellenistische astronomie Naast Alexandrieuml bestonden er nog enige andereHellenistische wiskundige centra in het bijzonder Athene en Syracuse Athene bleefeen middelpunt van opvoedkundig werk Syracuse bracht Archimedes voort degrootste Griekse wiskundige

7

In deze periode zien we de beroepsgeleerde optreden de man die zijn leven aande beoefening der wetenschap wijdt en er een salaris voor ontvangt Enige van deallerbeste vertegenwoordigers van deze groep woonden in Alexandrieuml waar dePtolemeeeumln in het zgn Museum (Mousaion) met haar beroemde bibliotheek eengroot wetenschappelijk centrum gesticht hadden Hier werd het grote Griekse erfgoedin wetenschap en letteren bewaard en met groot succes verder ontwikkeld En zovinden we onder de eerste geleerden die met dit Museum verbonden waren defiguur van Euklides een der meest invloedrijke wiskundigen van alle tijdenEuklides van wiens leven niets met zekerheid bekend is leefde vermoedelijk ten

tijde van de eerste Ptolemaios (306-283) tot wien hij moet gezegd hebben dat ervoor koningen geen speciale weg naar de meetkunde bestaat Zijn beroemdste enbelangrijkste werken zijn de dertien boeken van de Elementen (Stoicheia) maarhem worden nog verscheidene andere werken toegeschreven waarvan sommigeook bewaard zijn gebleven Onder deze bevinden zich de Data dat in zuiveremeetkundige vorm toepassingen van de algebra op de meetkunde geeft We wetenniet hoeveel van deze werken van Euklides door hemzelf zijn geschreven en hoeveleer compilaties zijn maar ze tonen op vele plaatsen een treffende diepzinnigheidDe werken zijn de eerste volledige wiskundige geschriften die ons uit de GriekseOudheid zijn overgeleverd


64

De Elementen is wel op de Bijbel na het boek geweest dat in de Westerse wereldhet meest is gereproduceerd en bestudeerd Sedert de uitvinding van deboekdrukkunst zijn er meer dan duizend uitgaven van verschenen en voacuteoacuter die tijdwaren er vele exemplaren in manuscript en in verschillende talen in omloop Hetgrootste deel van onze schoolmeetkunde is soms letterlijk aan negen van de dertienboeken ontleend en de Euklidische traditie weegt nog steeds zwaar op onsonderwijs Voor de beroepswiskundige hebben deze boeken steeds een grotebekoring gehad (al hebben ze aan zijn leerlingen menige zucht ontlokt) en als modelvan logische uiteenzetting hebben ze het wetenschappelijk denken door de eeuwenheen misschien meer beiumlnvloed dan enig ander boekEuklides uiteenzetting is gebaseerd op een aantal definities postulaten en

axiomas waaruit dan de verdere stellingen streng logisch worden afgeleid Deeerste vier boeken behandelen de vlakke meetkunde voor zover ze niet op de leerder verhoudingen berust en voeren van zeer elementaire stellingen en constructies(de eerste propositie van het eerste boek dus I 1 laat zien hoe men een gelijkzijdigedriehoek construeert als een zijde is gegeven) over stellingen omtrent lijnen enhoeken tot de congruentie van driehoeken de gelijkheid van oppervlakken de cirkelen de regelmatige veelhoeken De stelling van Pythagoras (I 47) en de guldensnede (II 11) worden ingevoerd als eigenschappen van oppervlakken In het vijfdeboek vinden wij de leer der verhoudingen van Eudoxos die zoals wij hebben geziengeen verschil kent tussen onderling meetbare en onmeetbare grootheden Dezeleer wordt dan in het zesde boek op de gelijkvormigheid van vlakke figurenaangewend hier vinden we het theorema van Pythagoras en de gulden snede terug(VI 31 30) als stellingen over verhoudingen In deze late invoering van de leer derverhoudingen verschilt de Euklidische behandeling van de vlakke meetkunde vande methode die tegenwoordig gebruikelijk is dit moet worden verklaard uit hetgewicht dat Euklides hechtte aan de in zijn tijd nieuwe leer der onmeetbaregrootheden In dit zesde boek (VI 27) vinden we ook het eerste maximumvraagstukdat ons heeft bereikt en dat algebraiumlsch uitgedrukt leert dat ax - λx2 voor x = a2λhaar grootste waarde bereikt zodat van alle rechthoeken met gelijke omtrek hetvierkant het grootste oppervlak heeft Het meetkundige vertoog wordt hervat in hettiende boek vaak als het moeilijkste deel der Elementen beschouwd (Stevin sprakvan lsquohet kruis der mathematicirsquo) waarin we een meetkundige classificering vindenvan de kwadratische irrationalen en hun vierkantswortels grootheden die we


65

Gedeelte van een bladzijde uit de Elementen van Euklides (uitgave van 1482)


66

nu met a plusmn radicb aangeven De laatste drie boeken XI-XIII bevatten destereometrie en brengen de lezer via ruimtehoeken de inhouden van blokkenprismas en piramiden tot de bol tot wat wel als de climax is beschouwd de leer vande regelmatige (Platonische) lichamen met het bewijs dat hun aantal vijf bedraagtDe boeken VII-IX zijn aan de getallentheorie gewijd - niet aan rekentechniek doch

aan zulke Pythagoreiumlsche onderwerpen als de deelbaarheid van getallen de bepalingvan volkomen getallen de sommatie van een meetkundige reeks en sommigeeigenschappen van priemgetallen Ook vindt men hier weer een leer derverhoudingen nu van (gehele) getallen De methode waarbij (VII 2) de GGD vaneen gegeven aantal getallen wordt bepaald wordt nog steeds de algoritme vanEuklides genoemd Vaak aangehaald is het bewijs (IX 20) dat het aantalpriemgetallen onbeperkt is

Gegeven de drie eerste priemgetallen α β γ Vorm het produkt αβγ entel er de eenheid bij op Dan is αβγ + 1 noch deelbaar door α noch doorβ noch door γ en is dus ogravef priem ogravef deelbaar door een priemgetal groterdan γ Euklides beperkt zich tot 3 getallen maar zijn bewijs geldtalgemeen

Van alle postulaten en axiomas in Boek I (het verschil tussen beide is niet zeerduidelijk) heeft het vijfde postulaat het meeste stof doen opwaaien Het is equivalentmet wat gewoonlijk het parallellenaxioma wordt genoemd en dat zegt dat er dooreen punt P buiten een lijn l eacuteeacuten en slechts eacuteeacuten lijn in het vlak door P en l kan wordengetrokken die l niet snijdt hoe ver ook verlengd Gedurende meer dan tweeduizendjaren heeft men getracht dit axioma tot een stelling te maken dus uit andere axiomasvan Euklides af te leiden In de negentiende eeuw heeft men tenslotte Euklideswijsheid beseft en begrepen dat geen bewijs van de gezochte aard mogelijk is Doorhet parallellenaxioma door een ander te vervangen is hieruit de niet-euklidischemeetkunde ontstaan (zie ons hoofdstuk over de Negentiende Eeuw) Verwerpingvan het axioma van Archimedes heeft later ook tot niet-archimedische meetkundengevoerdWe vinden geen algebra bij Euklides maar in zijn meetkundige redeneringen zit

veel dat wij nu liever algebraiumlsch uitdrukken Wat wij radicA schrijven wordt als de zijdevan het vierkant A uitgedrukt een produkt ab als het oppervlak van een rechthoekmet zijden a en b Lineaire en kwadratische vergelijkingen worden door meetkundigeconstructies opgelost met behulp van de zgn leer der lsquoaanpassing van oppervlakkenrsquoDeze uitdrukkingswijze was een


67

consequent gevolg van Eudoxos leer der verhoudingen waarin vermeden werd delengte van lijnsegmenten door getallen weer te gevenWat had Euklides eigenlijk voor met zijn Elementen Eeacuten antwoord is dat hij in

eacuteeacuten werk systematisch drie grote ontdekkingen van het recente verleden wildesamenvatten Eudoxos leer der verhoudingen Theaitetos leer der irrationaliteitenen de theorie der vijf regelmatige lichamen die zulk een belangrijke rol speelden inPlatos kosmogonie Deze drie ontdekkingen waren karakteristiek lsquoGrieksrsquo

8

De grootste wiskundige van het Hellenistische tijdvak - en van de gehele Oudheid- was Archimedes (287-212) die in Syracuse op Sicilieuml woonde als adviseur vanKoning Hieron Hij is een der weinige wetenschappelijke figuren van de Oudheiddie meer is dan een naam we weten iets van hem als persoon Zo weten we dathij gedood werd toen in 212 de Romeinen onder Marcellus Syracuse innamen naeen lang beleg waarin de bejaarde geleerde zijn grote technische bekwaamheid indienst der belegerden had gesteldZulk een ijver voor praktische toepassingen doet ons enigszins vreemd aan als

wij aan de minachting denken waarmee de school van Plato op zulk lsquomisbruikrsquo vande wetenschappen neerzag maar Plutarchus heeft in zijn lsquoMarcellusrsquo een soortverklaring gegeven

lsquoOfschoon deze uitvindingen hem de reputatie van bovenmenselijkewijsheid hadden verschaft heeft hij het beneden zijn waardigheid geachtenig geschrift over die onderwerpen na te laten - doch aangezien hij aldit construeren van werktuigen en andere kunsten die nut of winstafwerpen als onedel en minderwaardig verwierp plaatste hij zijn geheleeerzucht in die speculaties waarvan de schoonheid en de diepzinnigheidbuiten contact met de gewone noodzakelijkheden des levens blijvenrsquo

Dat was echter geschreven door een Platonist ongeveer drie eeuwen na Archimedesdood Schrijvers als Polybius en Vitruvius die nader tot Archimedes tijd stondenvermelden die gewetensbezwaren niet en zien in hem vooral de grotewerktuigkundigeDe belangrijkste bijdragen van Archimedes tot de wiskunde behoren tot het gebied

dat we nu de integraalrekening noemen de bepaling van het oppervlak van vlakkefiguren en de inhoud van lichamen In zijn Cirkelmeting berekende hijbenaderingswaarden van de cirkelomtrek met behulp van ingeschreven enomgeschreven regelmatige veelhoeken Hij berekende achtereenvolgens door eenverdubbelingsformule de zijde van de veelhoek met 6 12 24


68

48 en 96 zijden en vond (in onze notatie)

een resultaat dat gewoonlijk geresumeerd wordt door te zeggen dat Archimedeseen waarde van π vond die dicht bij 3 17 ligt1 In Archimedes boek Over de bol ende cilinder vinden we de uitdrukking voor het oppervlak van de bol in de vorm datdit oppervlak gelijk is aan het viervoud van het oppervlak van een grote cirkel enook een uitdrukking voor de inhoud van de bol als ⅔ van de inhoud van deomgeschreven cilinder Archimedes stelling dat het oppervlak van een parabolischsegment met de koorde k als basis gelijk is aan 43 maal het oppervlak van deingeschreven driehoek met basis k en top in dat punt van de parabool waar deraaklijn evenwijdig is aan k vindt men in de lsquoKwadratuur van de paraboolrsquo Het bewijshier is volgens de strikte methode van het indirecte bewijs doch wij hebben alreedsgezien dat Archimedes het op een meer directe wijze gevonden had (in delsquoMethodersquo) In het boek over lsquoSpiralenrsquo vinden we berekeningen omtrent de lsquospiraalvan Archimedesrsquo in het boek lsquoOver Konoiumlden en Spheroiumldenrsquo vinden we de inhoudenvan zekere kwadratische omwentelingsoppervlakken We herinneren ons nog weluit onze schooljaren het zgn theorema van Archimedes over ondergedompeldelichamen dit vinden we in zijn boek over de hydrostatica lsquoOver drijvende lichamenrsquoArchimedes kende ook de wet van de hefboom Deze natuurwetten behoren tot deeerste die ooit geformuleerd zijn en hebben als model gediend toen in de 17e eeuwhet begrip natuurwet in zijn moderne vorm werd ontwikkeldIn al deze werken verbond Archimedes een grote oorspronkelijkheid met een

meesterlijke hantering van de rekentechniek ener-

1 Ofschoon π een Griekse letter is hebben de Grieken daarmee nooit de verhouding van omtreken middellijn van de cirkel aangegeven Het symbool komt in enige geschriften van de 18eeeuw voor doch werd het eerst algemeen aanvaard nadat Euler het in zijn veel gelezenIntroductio van 1748 geregeld had gebruikt In decimale notatie betekent Archimedesbenadering31409 lt π lt 31429Het rekenkundig gemiddelde van beide waarden geeft π = 31419 Correct is π = 314159Archimedes gebruikte ook de letter π (of beter de hoofdletter Π) als een getal Maar dit getalbetekende toen wat wij met 80 aanduiden


69

zijds en de strenge bewijsvoering anderzijds Kenmerkend voor deze strengheidvan wiskundig denken is het reeds vermelde lsquoaxioma van Archimedesrsquo en zijn gebruikvan Eudoxos lsquoexhaustiersquo-methode In zijn hantering van de rekentechniek verschildeArchimedes van de meeste grote Griekse wiskundigen Zo kreeg zijn werk door endoor Grieks als het is toch een Oosters trekje Archimedes was nu eenmaal nietbang alle wiskunde die hij kende scheppend te gebruikenDit lsquoOostersersquo trekje vinden we ook in het vaak aan Archimedes toegeschreven

lsquoRunderprobleemrsquo een ingewikkeld vraagstuk in onbepaalde analyse dat men kaninterpreteren als een probleem dat leidt tot een zgn vergelijking van Pellt2 - Au2 = 1waarvan de oplossing moet worden gevonden in gehele getallen t en u In het

lsquoRunderprobleemrsquo is A = 4729494 en u is een veelvoud van 9304 het antwoordbestaat uit zeer grote getallen1

9

Met de derde grote Hellenistische wiskundige Apollonios van Perga (ca 260-ca170) zijn we weer geheel in de meetkundige traditie Apollonios die in Alexandrieumlen in Pergamum gedoceerd schijnt te hebben schreef acht boeken overkegelsneden de Konica Hiervan zijn zeven boeken bewaard gebleven de laatstedrie alleen in een Arabische vertaling Apollonios voert de kegelsneden in alssnijlijnen van vlakken met een rechte of scheve cirkelkegel en ofschoon zijnbehandeling zuiver meetkundig is kan men ze licht herleiden tot de studie van dehomogene vergelijkingen y2 = px (1 + ε xd) waar ε = - 1 de ellips ε = 0 de paraboolε = + 1 de hyperbool geeft (p en d zijn lijnen) Deze namen die wij aan Apolloniosontlenen vinden hun verklaring in

1 Zulke vergelijkingen van Pell ontmoet men ook in de Pythagoreiumlsche getallenleer waarspeculaties over de verhouding van diagonaal en zijde van een vierkant tot de studie van t2

- 2u2 = plusmn 1 hebben gevoerd Oplossingen zijn hier (32) (75) (1712) enz die de benaderdebreuken 32 75 1712 van de kettingbreukenontwikkeling voor radic2 geven Hierover ziemen bv EJ Dijksterhuis De Elementen van Euclides II (Groningen 1930) 20-25 B vdWaerden Ontwakende Wetenschap (Groningen 1950) 141 232Dat de vergelijking naar Pell is genoemd berust vermoedelijk op een misverstand van EulerJohn Pell (1611-1685) werd in 1643 professor aan de Amsterdamse Illustre Academie in1646 aan de pas geopende academie in Breda (waar de jonge Christiaan Huygens studeerde)Later keerde hij naar Engeland terug


70

de lsquoaanpassingstheoriersquo van oppervlakken die we in Euklides kunnen bestuderenε = - 1 is aanpassing met defect (lsquoelleipsisrsquo) ε = 0 (precieze) aanpassing (lsquoparabolecircrsquo)ε = + 1 aanpassing met exces (lsquohyperbolecircrsquo)Apollonios had onze cooumlrdinatenmethode niet omdat hij geen algebraiumlsche notatie

had die misschien onder invloed van Eudoxos bewust verwerpend Vele van zijnresultaten kunnen echter onmiddellijk in de taal van onze analytische meetkundevertaald worden ook zijn theorie van de evoluten der kegelsneden1Ook vele andere werken van Apollonios waarvan gedeelten tot ons zijn gekomen

bevatten wat wij algebraiumlsche meetkunde zouden noemen doch in meetkundigeen dus homogene vorm Tot die gedeelten behoort het zgn raakprobleem vanApollonios een cirkel te construeren die aan drie gegeven cirkels raakt de cirkelsmogen door punten of rechten vervangen worden2 Bij Apollonios vinden we de eisdat men in meetkundige constructies zich moet beperken tot passer en lineaalexpliciet geformuleerd (ofschoon ze impliciet al in de Elementen voorkomt) dezeeis was dus niet zo typisch Grieks als men soms wel gelooft

10

Het is moeilijk de wiskunde gedurende haar gehele verloop tot op betrekkelijkmoderne tijd van de sterrenkunde te scheiden In de Oosterse en Hellenistischewetenschap nam de sterrenkunde door haar belang voor de landbouw en speciaalde irrigatie een overwegende plaats in - om van de astrologie maar te zwijgenDaardoor had de ontwikkeling van de astronomie een sterke invloed op die derwiskunde vooral op de rekentechniek doch ook op de begripsinhoud van dewiskunde Anderzijds hing de voortgang der sterrenkunde weer van de beschikbaremathematische kennis af De bouw van het planetensysteem is zo dat betrekkelijkeenvoudige wiskundige methoden reeds machtige resultaten ople-

1 lsquoMijn stelling dan is dat het wezen der analytische meetkunde bestaat in de studie vanmeetkundige plaatsen met behulp van hun vergelijkingen en dat dit aan de Grieken bekenden de basis van hun studie der kegelsneden wasrsquo JL Coolidge A History of GeometricalMethods (Oxford 1940) bldz 119 Zie in dit verband onze opmerkingen over DescartesCoolidges lsquoStellingrsquo is onzes inziens onhistorisch het hele karakter van het wiskundig denkender Grieken verschilde van het onze

2 Dit probleem heeft door de eeuwen heen wiskundigen beziggehouden oa Viegravete Newtonen Steiner Het algemeen probleem heeft 8 oplossingen Zie bv P Molenbroek Leerboekder vlakke Meetkunde (10e druk Groningen 1948) 544-553


71

veren doch terzelfder tijd is ze ingewikkeld genoeg om de verbetering van diemethoden te stimuleren hetgeen dan weer de astronomische theorieeumln beiumlnvloedtHet Oosten had grote vooruitgang in de berekenende sterrenkunde geboekt in dieperiode die juist aan de Hellenistische voorafgaat in het bijzonder in Mesopotamieumlgedurende de laat-Assyrische en Perzische perioden Hier had de stelselmatigebestudering van waarnemingen over vele jaren tot een opmerkelijk begrip van veleverschijnselen gevoerd bv van de beweging van demaan die door haar schijnbaregrilligheid de wiskundige steeds weer tot nieuwe studie heeft aangespoord in deOudheid zowel als in meer moderne tijden Babylonische (lsquoChaldesersquo)sterrenkundigen hadden tabellen van zulke efemeriden opgesteld die als we zegrafisch voorstellen door trapfuncties kunnen worden voorgesteld Toen gedurendede periode der Seleuciden Griekse en Babylonische wetenschap elkaar ontmoettenleidde deze kennismaking tot vooruitgang niet alleen in de berekenende doch ookin de theoretische astronomie Doch terwijl de Babylonische wetenschap in haaroude kalendarische tradities bleef voortgaan behaalde de Griekse wetenschapnieuwe triomfen op theoretisch gebiedDe oudste Griekse bijdrage tot de theoretische sterrenkunde was de

planetentheorie van dezelfde Eudoxos die Euklides inspireerde Ze was een pogingom de beweging der planeten (rondom de vaststaande aarde) te verklaren door vierboven elkaar liggende draaiende concentrische bollen aan te nemen iederdraaiende om zijn eigen as waarvan de eindpunten vast zaten in de omgevendebol Dit was iets nieuws en typisch Grieks een kinematisch model van hetplanetenstelsel in plaats van de tabellen waarmee de Babylonieumlrs zich vergenoegdeneen meetkundige verklaring in plaats van een beschrijving Ondanks haar tamelijkeenvoudige vorm bevat deze theorie van Eudoxos het centrale denkbeeld dat aanalle planetaire theorieeumln tot de zeventiende eeuw ten grondslag heeft gelegen endat daarin bestaat dat de onregelmatigheden in de schijnbare banen van maan zonen planeten worden verklaard uit de superpositie van cirkelvormige bewegingenEenmoderne analogie is de techniek waarbij we functies in trigonometrische reeksenontwikkelenNa Eudoxos krijgen we Aristarchos van Samos (ca 280) de lsquoCopernicus van de

Oudheidrsquo waarvan we bij Archimedes lezen dat hij de hypothese opstelde dat nietde aarde maar de zon het middelpunt is van de planetenbanen Aristarchosverhandeling zelf is nooit teruggevonden wij bezitten van hem alleen een werk


72

over de bepaling van de afstand van maan en aarde Wat zijn heliocentrischehypothese betreft deze vond weinig bewonderaars in de Oudheid - waarschijnlijkom dezelfde reden waarom Copernicus leer in den beginne weinig aanhangershad de moeilijkheid om deze leer met die van Aristoteles in overeenstemming tebrengen In de Oudheid werden Aristarchos theorieeumln door die van Hipparchos inde schaduw gesteldHipparchos van Nicaea vaak als de grootste astronoom van de Oudheid

beschouwd verrichtte zijn observaties tussen 141 en 127 v C Directe kennis vanzijn werk hebben we niet wat we weten komt voornamelijk van Ptolemaios dieongeveer drie eeuwen later leefde Er is veel in Ptolemaios groot astronomischhandboek bekend als Almagest dat op rekening van Hipparchos komt speciaalhet gebruik van eccentrische cirkels en epicykels om de beweging van zon maanen planeten te beschrijven Ook wordt aan Hipparchos de ontdekking van deprecessie der nachteveningspunten toegeschreven Van hem is misschien ook hetdenkbeeld afkomstig plaatsen op aarde door lengte en breedte aan te geven endeze lsquocooumlrdinatenrsquo door astronomische metingen te bepalen doch men heeft nooitgedurende de Oudheid de wetenschappelijke organisatie gehad die zulk eengeografisch program op grote schaal mogelijk maakte Mannen van wetenschapwaren in de Oudheid nu eenmaal dun gezaaid zowel in tijd als in plaats Het werkvan Hipparchos stond in nauwe betrekking tot de Babylonische sterrenkunde diein zijn dagen een periode van bloei beleefde zodat we in dit werk een uiterstbelangrijk wetenschappelijk resultaat van het contact tussen de Griekse en deOosterse beschaving in het Hellenistische tijdvak kunnen zien1

11

De derde en laatste periode van de klassieke Oudheid is die van de Romeinseoverheersing Rome veroverde Syracuse in 212 Carthago in 146 Griekenland in146 Mesopotamieuml in 64 Egypte in 30 v C Het Oosten dat Rome had veroverdwerd een kolonie beheerd door Romeinse bestuurders en beambten Deze controlebeiumlnvloedde de economische structuur van de Oosterse landen maar weinig zolangde belastingen en andere tributen maar rustig konden worden geiumlnd Verder washet Romeinse Rijk nu op na-

1 O Neugebauer Exact Science in Antiquity Studies in Civilization Univ of PennsylvaniaBicentennial Conference (Philadelphia 1942) 22-31 en The exact Sciences in Antiquity(Princeton 1952 2e uitg 1957 Dover herdruk 1969)


73

tuurlijke wijze in twee delen verdeeld een Westelijk gedeelte met extensievelandbouw die op massale slavenarbeid berustte en een Oostelijk gedeelte metintensieve landbouw waarin de slavernij in het algemeen alleen voor openbarewerken en voor huisdiensten in aanmerking kwam Ondanks het bestaan van eenaantal steden en een handel die het hele Rijk omvatte en zelfs het Rijk met landenals China en Indieuml verbond vormde de landbouw de economische grondslag Deuitbreiding der slavernij in zulk een maatschappij ondermijnde steeds meer demogelijkheid van oorspronkelijk wetenschappelijk werk Slavenhouders zijn als eenklasse bitter weinig geiumlnteresseerd in technische verbeteringen zolang ze genoegslaven kunnen vinden om al het werk te doen en bovendien het is gevaarlijk omenig werktuig in de hand van een slaaf te geven dat helpen zal zijn kennis tevergroten Vele leden van de slavenhoudende klasse amuseerden zich met kunstenen wetenschappen doch zulk een bezigheid gaf meer aanleiding tot middelmatigdan tot scheppend denken En toen uiteindelijk de toevoer van slaven meer en meerbeperkt werd en de gehele Romeinse volkshuisvesting in verval raakte bleven erslechts weinig mensen over om zelfs de middelmatige wetenschap van de verganeeeuwen voort te zettenZolang als het Romeinse Rijk nog stabiliteit vertoonde bleef in het Oostelijk deel

de wetenschap bloeien in een merkwaardige vermenging van verschillendecultuurelementen Hellenistische zowel als Aziatische en Egyptische Het is waardat scheppingskracht en oorspronkelijkheid langzamerhand minder en minderwerden doch de pax Romana die verscheidene eeuwen het leven van velen voorgrote schokken vrijwaarde bevorderde wetenschappelijke en wijsgerige speculatiein grotendeels traditionele banen Naast de pax Romana genoot een ander deelvan de wereld een tijdlang de pax Sinensis in de gehele geschiedenis heeft hetEurazische continent nooit meer zulk een periode van ononderbroken vrede genotenals onder de Antonienen in Rome en de Han in China In dit tijdperk kon zichwetenschappelijke en technische kennis gemakkelijker dan voorheen van Westnaar Oost en van Oost naar West verspreiden Hellenistische wetenschap kwamnaar Indieuml en misschien ook naar China en werd zelf door intellectuele stromingenvan het Oosten beiumlnvloed Zekere trekken van de Babylonische sterrenkunde ende Griekse wiskunde kwamen naar Italieuml Spanje en Gallieuml zoals bv desexagesimale indeling van uur en hoek die zich over het gehele Romeinse Rijkverbreidde Er bestaat een theorie van de Orieumlntalist-wiskundige FW Woepcke(1863) waar-


74

in de verspreiding van de zogenaamde Hindoe-Arabische getallen over Europaalreeds in de latere jaren van het Romeinse Rijk wordt verzet een verspreidingwaarbij misschien neo-Pythagoreiumlsche invloeden een rol hebben gespeeld Dit kanwel waar zijn doch zo de verspreiding van die getallen over de Westerse wereldreeds zo vroeg plaatsvond is ze waarschijnlijk wel meer door de handel dan doorde filosofie beiumlnvloedAlexandrieuml bleef ook onder Rome het middelpunt van de wiskunde der klassieke

Oudheid Men bleef oorspronkelijk werk verrichten ofschoon compilatie en exegesehoe langer hoe meer de plaats van scheppend denken begonnen in te nemen Degeleerden van die dagen hebben ons menig wis- en sterrenkundig resultaatovergeleverd dat anders zou zijn verloren gegaan en het is niet altijd gemakkelijkom vast te stellen wat zij overgeschreven of wat zij zelf ontdekt hebben Als wetrachten de geleidelijke achteruitgang van de Griekse wiskunde te begrijpen moetenwe ook aan haar technische zijde denken haar vaak omslachtige meetkundigemanier van uitdrukken zonder de hulp van een algebraiumlsche schrijfwijze In de leerder krommen maakte dit elke systematische vooruitgang boven de kegelsnedenbijkans onmogelijk Algebra en rekentechniek werden aan de volkeren van hetOosten overgelaten waar een rechtgeaarde Griek op neer zag ook al was hunbeschaving met een Grieks vernisje overdekt Het is evenwel verkeerd te gelovendat de Alexandrijnse wiskunde zuiver lsquoGrieksrsquo was in de traditioneleEuklidisch-Platonische zin er bleef steeds naast de abstractemeetkundige denkwijzeeen Egyptisch-Babylonische algebraiumlsch-berekenende wiskunde bestaan Wehoeven slechts aan Heroon Ptolemaios en Diophantos te denken om dit in te zienAl die verschillende scholen hadden eacuteeacuten kenmerk gemeen ze gebruikten de Grieksetaal voor wetenschappelijke doeleinden

12

Een der vroegste Alexandrijnse wiskundigen van de Romeinse periode wasNikomachos van Gerasa (ca 100 n C) wiens Inleiding tot de Arithmetica de meestcomplete uiteenzetting van de rekenkunde der Pythagoreeeumlrs is Men vindt eralgemeen gesproken dezelfde onderwerpen die men in de arithmetische boekenvan Euklides Elementen vindt doch waar Euklides getallen door lijnsegmentenvoorstelt gebruikt Nikomachos een rekenkundige schrijfwijze waarbij hij de gewonetaal gebruikt als onbepaalde getallen moeten worden uitgedrukt Zijn behandelingvan polygonale en piramidale getallen heeft middeleeuwse rekenkunde in hetbijzonder het werk van Boeumltius beiumlnvloed


75

Een der belangrijkste documenten uit dit tweede Alexandrijnse tijdvak was het GroteSysteem (Megalegrave Syntaxis) van Klaudios Ptolemaios beter bekend onder degearabiseerde naam van Almagest (ca 150 n C) Deze Almagest is het groteastronomische meesterwerk van de Oudheid een werk dat zowel grote originaliteitals meesterlijke techniek tentoon spreidt ook al zijn vele van de leidende ideeeumlnafkomstig van Hipparchos of van Babylonische sterrenkundigen als Kidinnu (ofKidenas) die circa 450 vChr zijn observaties verrichte ongeveer terzelfder tijd alsde Ionische filosofen Voor ons is van belang dat de Almagest ook een goniometriebevat met een koordentafel voor verschillende hoeken die dus equivalent is meteen sinustafel volgens de formulekoorde α - 2R sin α2 met R = 60Ptolemaios hoeken gaan van 0deg tot 90deg met inter vallen van 30prime de straal van de

cirkel is 60 eenheden en de koorden worden in sexagesimale breuken uitgedruktToegevoegd is een tabel voor interpolatie naar minuten Als hij dus bv voor dekoorde van 1deg de waarde (1250) geeft betekent dit dat deze koorde160 + 2602 + 50603 = 00174537 van de straal isVoor π heeft de Almagest de waarde (3 8 30) = 3 17120 = 314166 We vinden

in dit boek de zgn lsquostelling van Ptolemaiosrsquo over de diagonalen en de zijden vaneen koordenvierhoek zowel in het vlak als op de bol en zo men in deze stellingvoor de vlakke koordenvierhoek eacuteeacuten zijde als middellijn kiest krijgt men eenmeetkundige betrekking equivalent met de tegenwoordige formules voor de sinusen cosinus van de som en het verschil van twee hoeken Deze stelling wordt danbij het berekenen der tafels gebruikt omdat ze het mogelijk maakt van de koordevan α tot die van α2 over te gaan Zo vindt Ptolemaios uit de koorde van 72deg en60deg die van 12deg 6deg 1deg30prime en 45prime welke waarden dan weer gebruikt worden om dekoorde van 1deg te benaderen door de ongelijkheid

zodat koorde 1deg lt 43 koorde 45prime en gt ⅔ koorde 1deg30prime


76

In Ptolemaios boek Planisphaericum vinden we de stereografische projectie ZijnGeographia heeft nog enige andere kaartprojecties en voert lengte en breedte opaarde in Dit zijn dus antieke voorbeelden van een cooumlrdinatenstelsel Met dezestereografische projectie is de constructie verbonden van het astrolabium reeds inde Oudheid bekend en later door de Arabische beschaving verder ontwikkeld enin de vorm van werkelijke kunstwerken uitgevoerd1Iets ouder dan Ptolemaios was Menelaos (ca 100 n C) wiens Sphaerica een

meetkunde van het boloppervlak bevat Hier vindt men een bespreking vanboldriehoeken iets wat bij Euklides ontbreekt waarbij gebruik wordt gemaakt vanlsquoMenelaos theoremarsquo over transversalen van een driehoek in dit geval eenboldriehoek Waar Ptolemaios sterrenkunde veel rekenwerk (in sexagesimalebreuken) bevat is de verhandeling van Menelaos meetkundig in de zuivereEuklidische traditieHet is zeer waarschijnlijk dat tot deze periode ook Heroon (of Hero) behoort wij

weten althans dat hij een maaneclips van 62 n C precies beschrijft2 Heroon waseen encyclopedisch schrijver hij schreef over meetkundige rekentechnische enmechanische onderwerpen In zijn Metrica vinden we de lsquoHeronischersquo formule voorhet oppervlak van een driehoek

in een meetkundige vorm een formule die ook wel aan Archimedes wordttoegeschreven Bij Heroon komen Griekse en Oosters-Egyptische elementen beidevoor zo vindt men in de Metrica typische Egyptische stambreuken als in debenadering voor radic63 door 7 + frac12 + frac14 + ⅛ + 116 Heroons formule voor de inhoudvan een afgeknotte vierzijdige piramide kan herleid worden tot die welke in de oudeMoskouse papyrus voorkomt Zijn uitdrukkingen voor de inhoud van de vijfregelmatige lichamen zijn daarentegen weer in de geest van Euklides

1 H Michel Traiteacute de lastrolabe (Parijs 1947) zie ook O Neugebauer in Isis 40 (1949) 240-256en PH van Cittert over astrolabia in het Utrechts Universiteitsmuseum (1954) AlgemeenEva GL Taylor The Haven-finding Art (1956)

2 O Neugebauer Uumlber eineMethode zur Distanzbestimmung Alexandria-Rom bei Heron Histfil Medd Danske Vid Sels 26 (1938) No 2 28 bldz


77

13

De invloed van het Oosten is nog veel sterker in de Arithmetica van Diofantos (ca250 n C) Van de oorspronkelijke boeken zijn er nog zes over hoeveel er totaalwaren weten we niet precies Uit de bekwame manier waarop bepaalde enonbepaalde vergelijkingen behandeld worden blijkt dat de aloude algebra vanBabylon of misschien ook van Indieuml onder het Griekse vernis niet alleen nogvoortleefde doch ook verbeterd werd Hoe en wanneer dit gebeurde weten we nietevenmin als we weten wie Diofantos was misschien wel een gehelleniseerdeBabylonieumlr Zijn Arithmetica is een der meest fascinerende verhandelingen die onsuit de Grieks-Romeinse oudheid zijn overgeleverdDiofantos verzameling van vraagstukken omvat vele gebieden en de behandeling

is vaak hoogst vernuftig lsquoDiofantische analysersquo bestaat in het vinden van oplossingenvan allerlei onbepaalde vergelijkingen zoals (in onze notatie)y2 = Ax2 + Bx + C of y3 = Ax3 + Bx2 + Cx + Dof stelsels van zulke vergelijkingenKarakteristiek was Diofantos verlangen positief rationale oplossingen te vinden

dus niet noodzakelijk oplossingen in gehele getallen Irrationale oplossingen warenlsquoonmogelijkrsquo en hij zorgde ervoor dat zijn coeumlfficieumlnten getallen waren die tot positieverationale oplossingen voerden Onder zijn vergelijkingen vinden we x2 + y2 = z2 (delsquoPythagoreiumlsche drietallenrsquo) en de vergelijkingen van Pell x2 - 26y2 = 1 x2 - 30y2 =1 Diofantos heeft ook verscheidene stellingen op het gebied der getallentheoriezoals het theorema (III 19) dat als elk van twee gehele getallen de som is van tweevierkanten hun produkt op twee manieren kan gesplitst worden in de som van tweevierkanten Hij heeft ook theoremas over de splitsing van een getal in de som vandrie en vier vierkantenIn Diofantos vinden we voor het eerst een stelselmatig gebruik van algebraiumlsche

symbolen Hij heeft een eigen teken voor de onbekende voor het minteken vooromgekeerden De symbolen hebben nog meer de natuur van afkortingen dan vanalgebraiumlsche symbolen in onze zin en zo spreekt men wel van Diofantoslsquogesyncopeerdersquo algebra in tegenstelling tot onze lsquosymbolischersquo Voor elke machtvan de onbekende had hij een eigen symbool Hier vinden we dus niet alleen zoalsin Babylon arithmetische kwesties van een duidelijk algebraiumlsch karakter doch ookeen goed ontwikkelde algebraiumlsche notatie die meehielp om vraagstukken op telossen die ingewikkelder waren dan die welke vroeger aan de orde


78

waren gesteld1 Toen in het laatst van de zestiende en het begin van de zeventiendeeeuw de studie van Diofantos weer werd opgevat door Stevin Viegravete en vooralFermat heeft de lsquoArithmeticarsquo er toe bijgedragen dat zowel algebra als getallenleereen nieuwe bloeiperiode tegemoet ging

14

De laatste grote Alexandrijnse wiskundige verhandeling was de Verzameling(Synagoge) van Pappos (eind 3e eeuw) Dit werk in acht boeken was een soortinleiding tot de studie van deGrieksemeetkundemet historische noten verbeteringenen veranderingen in bestaande theoremas en bewijsvoeringen Het behoordeeigenlijk met de oorspronkelijke werken tezamen gelezen te worden en nietonafhankelijk ervan Vele resultaten van antieke schrijvers zijn ons echter alleenbekend in de vorm waarin Pappos die aan ons heeft overgeleverd Voorbeeldenzijn vraagstukken die betrekking hebben op de driedeling van een hoek deverdubbeling van de kubus en de kwadratuur van de cirkel In een sectie overisoperimetrische figuren (dat een boek van Zenodorus misschien ca 180 voor Chrvolgt) vindt men de uitspraak dat de cirkel een groter oppervlak heeft dan elkeregelmatige veelhoek met dezelfde omtrek Hier vindt men ook een opmerking overhet feit dat de cellen in een honingraat een hexagonale vorm hebben omdat zulkeen figuur onder de gegeven voorwaarden van ruimtevulling een maximum aanhoning kan bevatten2 De dertien halfregelmatige lichamen van Archimedes (dievan de vijf regelmatige lichamen daarin verschillen dat zij niet door eacuteeacuten doch doortwee of drie stelsels van congruente regelmatige veelhoeken begrensd zijn) zijnook door Pappos bekend gemaakt Sommige eigenschappen die hij vermeldt behorentot wat we nu de projectieve meetkunde noemen maar ze zijn geiumlsoleerd en schijnener op te wijzen dat de Oudheid nooit aan een systematische projectieve meetkundeis

1 Papyrus 620 van de Universiteit vanMichigan in 1921 verkregen bevat sommige vraagstukkenin Griekse algebra die tot een periode voacuteoacuter Diofantos behoren misschien tot het begin vande tweede eeuw na Chr In dit manuscript vindt men al reeds sommige van Diofantossymbolen Zie FE Robbins Classical Philology 24 (1929) 321-329 K Vogel ibid 25 (1930)373-375 De indeling van de algebra in lsquoretorischersquo (geheel in woorden) lsquogesyncopeerdersquo(half en half) en lsquosymbolischersquo (algebra van heden) komt het eerst voor bij GHF NesselmanDie Algebra der Griechen (Berlijn 1842)

2 Een uitvoerige discussie van dit probleem vindt men in DArcy W Thompson Growth andForm (2e uitg Cambridge 1942)


79

toegekomen Maar met zijn verscheidenheid van problemen en juist door het feitdat hij zoveel vragen aanroert doch slechts ten dele oplost heeft Pappos met zijnVerzameling evenals Diofantos met zijn Arithmetica een boek achtergelaten datvele latere geesten tot verder werk heeft aangespoordMet het langzame verval van de antieke maatschappij verviel ook de Alexandrijnse

school Ze bleef globaal gezien een bolwerk van de heidense filosofie tegen hetopdringende Christendom en sommige wiskundigen van die school hebben zichook een plaats verworven in de geschiedenis der antieke wijsbegeerte Proklos(410-485) wiens commentaar tot het eerste boek van Euklides Elementen een vanonze voornaamste bronnen van de geschiedenis der Griekse wiskunde is was deleidende figuur van een Neo-Platonische school in Athene Een andere commentatorvan de Elementen was Theon van Alexandrieuml (ca 370) Zijn behandeling van deElementen is tot aan de negentiende eeuw toe voor de oorspronkelijke tekstaangezien Theons dochter Hypatia heeft ook commentaren op klassiekewiskundigen geschreven Ze werd in 415 door aanhangers van de heilige Cyrillusvermoord hetgeen Charles Kingsley tot het schrijven van de roman Hypatiainspireerde (1853)1 In deze filosofenscholen met hun commentatoren wisseldeneeuwen lang tijden van voorspoed af met tijden van achteruitgang De Akademiein Athene werd in 529 door Keizer Justinianus als lsquoheidensrsquo opgeheven dochomstreeks die tijd waren er al weer andere scholen bv in Constantinopel en in(Perzisch) Jundishapur Vele oude teksten weerstonden de eeuwen in boekerijenvan Constantinopel waar Grieks schrijvende commentatoren doorgingen tot de valin 1453 de herinnering aan de Griekse wetenschap en wijsbegeerte levend tehouden In het jaar 641 werd Alexandrieuml door de Arabieren veroverd die de Grieksebeschaving van de opperste lagen der maatschappij door een Arabische vervingenMen behoeft het verhaal dat de Arabieren de beroemde bibliotheek vernield hebbenniet te geloven het is best mogelijk dat er van die bibliotheek al niet veel meer overwas2 Aan het karakter van de wiskunde in Egypte hebben de Arabische veroveraarsweinig veranderd Er was een tijdelijke achteruitgang

1 Ook F Mauthner Hypatia Roman aus dem Altertum (1892) Zie verder DJE SchrekHypatia van Alexandrieuml Euclides 21 (1945-46) 164-173

2 A Parsons The Alexandrian Library Glory of the Hellenistic World (Amsterdam enz 1952)is anders van oordeel


80

maar als we weer van Egyptische wiskunde horen heeft ze nog steeds hetAlexandrijnse half Grieks half Oosterse karakter (bv Alhazen)

15

Wij eindigen dit hoofdstuk met enkele opmerkingen over Griekse arithmetica enlogistica De lsquoarithmeticarsquo was de leer der getallen (arithmoi) de lsquologisticarsquo was depraktische rekenkunst De term lsquoarithmosrsquo werd gebruikt voor wat wij een natuurlijk(dus positief geheel) getal noemen een getal dat een grootheid is lsquobestaande uiteenhedenrsquo (Euklides VII Def 2) eacuteeacuten werd dus niet als een getal beschouwd1Ons begrip reeumlel getal was onbekend en een lijnsegment had dus niet altijd een

lengte die in getallen kan worden uitgedrukt Waar wij reeumlle getallen gebruikengebruikte de Griekse wiskundige theoreticus meetkundige beschouwingen AlsEuklides wil uitdrukken dat het oppervlak van een driehoek gelijk is aan het halveprodukt van hoogte en grondlijn zegt hij dat dit oppervlak de helft is van dat van eenparallellogram met gelijke grondlijn dat tussen dezelfde evenwijdige lijnen ligt alsde driehoek (Euklides I 4) De stelling van Pythagoras was een betrekking tussende oppervlakken van drie vierkanten en niet tussen de lengten van drie zijdenVierkantsvergelijkingen komen in de Elementen voor doch als meetkundigeconstructies op de zgn lsquoaanpassingrsquo berustende De wortels zijn dan zekerelijnstukken en daarom altijd positief Deze opvatting over lijnen en getallen was eenwelbewuste daad die op de overwinning van het Platonische idealisme binnen deGriekse bezittende klasse (voor zover ze in de wiskunde belangstelling had) berustteen die een afkeer vertolkte tegenover de Oosterse opvattingen die in de betrekkingentussen meetkunde algebra en rekenkunde geen beperkingen aan het getalbegripoplegden Er bestaan voldoende redenen om aan te nemen dat deze opvattingenbv dat van het theorema van Pythagoras als een getallenbetrekking aan de Ionischewiskundigen bekend moeten zijn geweest en die opvattingen moeten dus laterbewust verworpen zijnToch is het gewone getallenrekenen de logistica gedurende alle perioden van

de Griekse geschiedenis steeds levend gebleven ook onder wiskundigen Euklidesmoge het verworpen hebben en het aan de marktplaats hebben overgelatenArchimedes en Heroon

1 Wij vinden nog bij Stevin in zijn Arithmeacutetique van 1585 een bijna hartstochtelijk betoog omlsquoeacuteeacutenrsquo als een getal te erkennen


81

gebruikten het met groot gemak en zonder gewetensbezwaren Dit rekenen wasgebaseerd op een notatie die met de tijd veranderde Oorspronkelijk hadden deGrieken een stelsel waaraan een additief decimaal beginsel ten grondslag lag alsbij de Egyptenaren en later de Romeinen In de Alexandrijnse periode en misschienwel vroeger kwam eenmethode in gebruik die anderhalf duizend jaar bestaan heeften niet alleen door mannen van wetenschap doch ook door kooplieden en beambtenwerd aangewend In dit stelsel gebruikte men de notatie van het Griekse alfabet omgetallen uit te drukken1 eerst 1 2 9 (dus 1 = α 2 = β enz) dan de tientallenvan 10 tot 90 (dus ι = 10 κ = 20 enz) en eindelijk de honderdtallen van 100 tot900 (dus ρ = 100 σ = 200 enz) Soms werd er een streepje boven gezet bv ᾶ =1 Drie verouderde letters werden aan de 24 letters van het Griekse alfabettoegevoegd om de nodige 27 symbolen te krijgen Zo kon men elk getal beneden1000 met ten hoogste 3 symbolen uitdrukken bv 14 als ιδ 257 als σνζ getallengroter dan 1000werden door een eenvoudige toevoeging van symbolen aangegevenbv α voor 1000 Breuken kon men er ook mee uitdrukken Men vindt dit stelselzowel in de bestaande manuscripten van Archimedes Heroon en andere klassiekeauteurs als in koopmanshandschriften Er bestaat archeologisch materiaal dat laatzien dat het ook op school werd onderwezenDit was een decimaal maar niet een positiestelsel ιδ en δι konden beide alleen

maar 14 betekenen Dit ontbreken van een plaatswaarde en het gebruik van nietminder dan 27 symbolen zijn vaak als bewijzen voor de inferioriteit van dit stelselaangevoerd Het gemak waarmee de antieke wiskundigen het gebruikten het feitdat Griekse kooplui het zelfs voor ingewikkelde berekeningen accepteerden delange tijd dat het gebruikt werd (in het Oost-Romeinse Rijk tot aan zijn ondergangin 1453) wijzen er op dat dit Griekse stelsel ook enige voordelen had Als men zicheen beetje oefent in het gebruik blijkt dat er weinig kunst voor nodig is om deelementaire operaties ermee te verrichten zodra de betekenis van de 27 symbolenis begrepen (een taak niet moeilijker dan de 26 letters van ons alfabet te leren)Breukenrekening was ook vrij eenvoudig maar hier waren de Grieken inconsequentomdat een algemeen aanvaard systeem ontbrak Ze gebruikten Egyptische

1 Eigenlijk werden hoofdletters gebruikt dus Α voor α Γ voor γ enz De letters α β γ enz zijneerst in de Middeleeuwen ingevoerd door Byzantijnse geleerden


82

stambreuken Babylonische sexagesimaalbreuken en ook breuken in een notatiedie enigszins aan de onze herinnert (Archimedes schrijft 1071 als ῖοα´ met eenaccent om de noemer aan te wijzen) Decimale breuken werden niet gebruikt dezeverschijnen eerst in Europa nadat het rekenapparaat ver was uitgegroeid boven datvan de antieke wereld en in vele schoolboekjes vindt men decimale breuken nietvoor de achttiende of zelfs negentiende eeuwMen heeft wel beweerd dat deze alfabetische manier van schrijven een slechte

invloed heeft gehad op de groei van de Griekse algebra omdat het gebruik vanletters voor bepaalde getallen hun gebruik voor getallen in het algemeen zoals wijhet in onze algebra doen verhinderde Wij kunnen zulk een formele verklaring voorde afwezigheid van een Griekse algebra voacuteoacuter Diofantos moeilijk aanvaarden ookal waarderen wij ten volle de betekenis van een goede notatie Indien de klassiekeschrijvers de behoefte hadden gevoeld aan een goede algebra hadden ze wel debijbehorende notatie gevonden zoals we dat dan ook bij Diofantos zien beginnenHet vraagstuk dat het bestaan en niet-bestaan van de Griekse algebra opwerpt kanalleen worden benaderd door verdere studies over het verband tussen Griekse enBabylonische wiskundigen en dit weer in de gehele samenhang van de betrekkingentussen de Griekse en de Aziatische wereld

Literatuur

De klassieke Griekse wiskundige auteurs zijn allen in moderne uitgaven te verkrijgenen van bijna allen bestaan vertalingen in het Engels het Duits of het Frans In deNederlandse taal bezitten wij

EJ Dijksterhuis De Elementen van Euclides (2 dln Groningen 1930)Dit boek bevat ook een kritisch overzicht van de literatuur voacuteoacuter EuclidesEJ Dijksterhuis Archimedes (eerste deel Groningen 1938 vervolgd inlsquoEuclidesrsquo 15-17 20 (1938-44) het geheel ook in het Engels Kopenhagen1956)BL van der Waerden Ontwakende wetenschap (Groningen 1950 ook in hetDuits en Engels)EM Bruins Fontes mateseos (Leiden 1953)Dit boek bevat een aantal Griekse teksten voor schoolgebruik met verklaringenin het Nederlands


83

Verder in andere talenTL Heath A History of Greek Mathematics (2 dln Cambridge 1912)TL Heath AManual of GreekMathematics (Oxford 1931 ook in Dover herdruk1963)TL Heath The Thirteen Books of Euclids Elements (3 dln Cambridge 1908ook in Dover herdruk 1955)

Al deze boeken van Heath (er bestaan nog andere oa over Aristoteles Diofantosen Archimedes) zijn standaardwerken1

P Ver Eecke Oeuvres complegravetes dArchimegravede (Brussel 1921 herdruk Parijs1961 heeft ook het commentaar van Eutocius)P Ver Eecke Pappus dAlexandrie La Collectionmatheacutematique (Parijs-Brugge1933)P Ver Eecke Proclus de Lycie Les Commentaires sur le Premier Livre desEleacutements dEuclide (Brugge 1948)I Schneider Archimedes (Darmstadt 1979)K Manitius Ptolemaumlus Handboek der Astronomie 2e uitg bewerkt door ONeugebauer 2 delen (Leipzig 1963) eerste uitgave 1912-13Engelse vertaling met commentaar van JGT Toomer (Springer New Yorkenz 1984)BL van der Waerden Die Pythagoreeumlr Religioumlse Bruderschaft und Schuleder Wissenschaft (Zuumlrich Muumlnchen 1979)G Loria Le Scienze esatte nellantica Grecia (2e ed Milaan 1914)GJ Allman Greek Geometry from Thales to Euclid (Dublin 1889)J Gow A Short History of Greek Mathematics (Cambridge 1884)T Dantzig The Bequest of the Greeks (New York 1955)W Blaschke Griechische und anschauliche Geometrie (Muumlnchen 1953)O Becker Das mathematische Denken der Antike (Goumlttingen 1957)G Hauser Geometrie der Griechen von Thales bis Euklid (Luzern 1955)K Reidemeister Die Arithmetik der Griechen Einzelschriften

1 Thomas Little Heath (1861-1940) was een hoge beambte in het Engelse ministerie vanfinancieumln (tot 1926) Hij was een Fellow van de Universiteit van Cambridge Zijn werken zijnklassieken op het gebied der Griekse wiskunde


84

Hamburger Mathem Seminar 26 (1939)K Reidemeister Das exakte Denken der Griechen (Hamburg 1959)H Wussing Mathematik in der Antike (Leipzig 1965) (behandelt ook devoor-Griekse wiskunde)AD Steele Uumlber die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischenMathematik Quellen und Studien A2 (1932) 61-89A Szaboacute The Beginnings of Greek Mathematics (Dordrecht enz 1978)WR Knorr Archimedes and the Pre-Euclidean Proportion Theory Arch internhist sc 28 (1978) 183-244

Vergelijkende Griekse Latijnse en Engelse teksten inJ Thomas Selections illustrating the History of Greek Mathematics (LondenCambridge Mass 1939)

Verdere tekstkritiek inP Tannery Pour lhistoire de la Science hellegravene (2e ed Parijs 1930)P Tannery Meacutemoires scientifiques (dln 1-4) (Toulouse Paris 1912-20)H Vogt Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und anderenQuellen des 4ten Jahrhunderts Bibliotheca mathematica (3e ser) 10 (1909-10)97-105E Sachs Die fuumlnf Platonischen Koumlrper (Berlin 1917)E Frank Plato und die sogenannten Pythagoreer (Halle 1923)S Luria Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten Quellen und Studienzur Gesch d Mathem B 2 (1932) 106-185 vgl hierbij het in het Russischgeschreven boek van dezelfde schrijver met dezelfde titel Verh Inst v Geschd Wetenschap en Techniek II 5 (Akademie der Wetenschappen USSR 1935)

Over de betrekking tussen Griekse en Oosterse astronomieO Neugebauer The History of Ancient Astronomy Problems and MethodsJourn Near Eastern Studies 4 (1945) 1-38Id A History of ancient mathematical Astronomy (3 dln Springer New Yorkenz 1975)

Vgl hierbijBL van derWaerden Die Anfaumlnge der Astronomie ErwachendeWissenschaftII (Groningen 1967)


85

Verdere literatuurW Lietzmann Der Pythagoreische Lehrsatz Mit einem Ausblick auf dasFermatsche Problem (Leipzig 1951)HA Naber Das Theorem des Pythagoras (Haarlem 1908)F Cajori The History of Zenos Arguments on Motion Amer Math Monthly22 (1915) Acht artikelen Zie ook Isis 3 (1920-21) 8-20MR Cohen-JE Drabkin A Source Book in Greek Science (New York 1948)TL Health Mathematics in Aristotle (Oxford 1949)HG Apostle Aristotles philosophy of mathematics (Chicago 1952)P Lorenzen Die Entstehung der exakten Wissenschaften (Berlin 1960)

In het RussischE Kolman Geschiedenis van de wiskunde in de Oudheid (Moskou 1961)IG Bashmakova Lessen over de geschiedenis van de Griekse wiskundeIstor-matem issledovaniye 11 (1958) 225-438De DSB heeft uitvoerige artikelen over Euklides Archimedes en andere Grieksewiskundigen In het Lexikon der antiken Welt (Stuttgart 1965) vindt men ookartikelen over die wiskundigen door K Vogel en anderen

Over Byzantijnse wiskunde zieK Vogel Der Anteil von Byzanz an Erhaltung und Weiterverbreitung dergriechischenMathematik in Miscellaneamediaevalae Ia Berlin 1962 112-128Zie ook Istor-matem Issled 10(1973) 249-263 (Russisch)


87

IV Het Oosten na het verval van de Griekse maatschappij

Ondanks alle hellenistische invloed was de oude beschaving van het Nabije Oostennooit verdwenen in de Alexandrijnse wetenschap zien we zowel Oosterse alsGriekse invloeden duidelijk aan het werk Oost enWest konden elkaar ook ontmoetenin zulke plaatsen als Constantinopel of in India In 395 stichtte Theodosius I hetByzantijnse Rijk met Constantinopel als hoofdstad dat ofschoon zelf Grieks tegelijkhet administratieve centrum was van grote gebieden waarvan de Grieken slechtseen gedeelte van de stedelijke bevolking uitmaakten Dit rijk streed duizend jaarlang tegen machten uit het Noorden Oosten en Westen en diende tevens als eenbolwerk van Griekse beschaving en als een brug tussen de Arabische en Latijnsewereld Alreeds in de tweede eeuw na Christus werd Mesopotamieuml onafhankelijkvan de Romeinen eerst onder de Parthische koningen na 266 onder de zuiverPerzische dynastie der Sassanieden In het Indusgebied treffen we enige eeuwenlang Griekse dynastieeumln aan die in de eerste eeuw na Christus verdwenen dochde volgende Indische heersers bleven culturele betrekkingenmet Iran en hetWestenonderhoudenMet de plotselinge opkomst van de Islam komt de politieke overheersing van het

Nabije Oosten door de Grieken bijna geheel tot een einde Na 622 het jaar van deHegira veroverden de Arabieren stormenderhand grote gedeelten van westelijkAzieuml en hadden voor het einde van de zevende eeuw niet alleen grote delen vanhet Oost-Romeinse doch ook van het oude West-Romeinse Rijk bezet landen alsSicilieuml Noord-Afrika en Spanje Waar zij kwamen poogden zij de Grieks-Romeinsecultuur door die van de Islam te vervangen De ambtstaal en wetenschappelijke taalwerd Arabisch in plaats van Latijn of Grieks maar ook al werden nu geleerde werkenin het Arabisch geschreven toch bleef onder de Arabische heerschappij decontinuiumlteit van de oude Griekse en Oosterse beschaving voor een groot deelbewaard De oude inheemse culturen hadden onder deze heerschappij zelf eenbetere kans om bewaard te blijven dan onder de Grieken wier cultuur altijd eenopgelegd karakter had gedragen Zo bleef bijvoorbeeld Perzieuml ondanks het Arabischebestuur toch in menig opzicht het oude land der Sassanieden De wedijver tussende verschillende


88

tradities leefde voort ook al nam hij nieuwe vormen aan Gedurende de geheleperiode van de heerschappij van de Islam bleef ook ononderbroken een Grieksetraditie bestaan een traditie die haar eigen karakter te midden van de inheemseculturen wist te handhaven

2

Wij hebben gezien dat gedurende het bloeitijdperk van het Romeinse Rijk de mooistewiskundige resultaten waren verkregen in Egypte waar Oosterse en Grieksebeschaving enige eeuwen lang vruchtbaar op elkaar konden inwerken Met deondergang van het Romeinse Rijk kwam het centrum der scheppende wiskundigebedrijvigheid langzamerhand in India te liggen en vandaar uit kwam het op denduur weer naar Mesopotamieuml toe (wij spreken hier niet van China dat zijn eigenweg ging dochmet India in culturele uitwisseling stond) De eerste Indische bijdragentot de exacte wetenschappen die tamelijk goed bewaard zijn gebleven zijn deSiddhāntās waarvan een gedeelte de Sūrya bewaard is in een vorm die misschiennog de oorspronkelijke is Ze dateert mogelijkerwijze uit de vierde eeuw na ChristusDeze boeken bevatten veel sterrenkundige bijdragen met de epicykeltheorie ensexagesimale breuken Dit wijst op Griekse invloed die misschien reeds teruggaattot de tijd voacuteoacuter de Almagest maar een direct verband met de Babylonischeastronomie is ook niet uitgesloten De Siddhāntās hebben overigens ook velekarakteristieke trekken De Sūrya Siddhāntā bevat tafels van sinussen en niet alsdie van Ptolemaios van koorden Die sinussen zijn halve koorden van de dubbelehoek bij een gegeven waarde van de straal R R sin α = frac12 koorde (2α) Eerst bijEuler (1748) wordt stelselmatig R = 1 gesteld en houdt de sinus op een lijn te zijnmaar is een getalDe resultaten van de Siddhāntās werden in de Indische scholen van wiskundigen

die men oa in Ujjain (Centraal-India) en in Mysore (Zuid-India) vond stelselmatigbestudeerd en verder uitgewerkt Nu beginnen wij enige namen van individuelewiskundigen en hun geschriften te verkrijgen enige dezer geschriften bestaan ineen vertaling in een moderne taalDe meest bekende dezer wiskundigen zijn Āryabhata (wel de lsquoEerstersquo genoemd

ca 500)1 en Brahmagupta (ca 625) Hoezeer zij door de Griekse Babylonische ofChinese wetenschap zijn beiumlnvloed is niet met zekerheid uit te maken doch heteigen karakter

1 Een Āryabhata II ook een wiskundige en astronoom leefde in de elfde eeuw n C


89

van hun werk is niet te ontkennen Dit werk heeft meer een arithmetisch-algebraiumlschkarakter en in zijn nadruk op onbepaalde vergelijkingen (vaak ontstaan uitkalenderberekeningen) vertoont het een zekere verwantschapmet dat van Diofantosenerzijds en dat van de Chinezen anderzijds Deze auteurs werden in de volgendeeeuwen door anderen gevolgd die in dezelfde geest werkzaam waren hun werkhad gedeeltelijk een astronomisch gedeeltelijk een arithmetisch-algebraiumlsch karakterzijdelings werden praktische meetkunde en trigonometrie behandeld Āryabhatahad voor π de waarde 31416 Een geliefkoosd onderwerp was het vinden vanrationale driehoeken en vierhoeken (hierbij moet het oppervlak geheel zijn als dezijden gehele getallen zijn) hierbij denken we in het bijzonder aan Mahāvirā die totde wiskundigen van Mysore behoort (ca 850) En in Ujjain waar Brahmagupta hadgewerkt vinden we omstreeks 1150 een andere uitstekende wiskundige Bhāskaragenaamd Bhāskara II1Voor de oplossing van onbepaalde vergelijkingen van de eerste graad ax + by =

c (a b c geheel) zoals we die oa bij Brahmagupta vinden werden gehele getallenvereist Het is daarom als men precies wil zijn niet juist om zulke vergelijkingenDiofantisch te noemen omdat Diofantos oplossingenmet breuken toeliet De Hindoeswaren de eersten die vasthielden aan de eis dat de oplossingen gehele getallenmoeten zijn Een ander verschil met Diofantos was dat in India ook negatieve wortelsvoor een vergelijking werden aanvaard al was dit misschien een oudere praktijkontleend aan de Chinese wiskunde of misschien aan de astronomie Hoe dit ookzijn moge wij weten dat Bhaskara aan de vergelijking x2 - 45x = 250 de wortels x= 50 en x = -5 toekende al was hij er niet geheel van overtuigd dat zulk eennegatieve wortel zin had Zijn Lilāvati (opgedragen aan een dame naar men zegtzijn dochter) was eeuwen lang een standaardwerk over rekenen meetkunde inIndia en ook daarbuiten Keizer Akbar liet het in het Perzisch vertalen (1587) In1892 werd het nog weer eens in Calcutta uitgegevenBij de Indische wiskundigen vinden we ook studies in de oplossing van

vergelijkingen van de gedaante x2 - Ay2 = 1 (A geheel) in gehele getallenvergelijkingen die we nu naar Pell noemen Ook vinden we alreeds bij Āryabhatarekenwijzen die als oplossingsmethoden van vergelijkingen met kettingbreukenkunnen worden opgevat Bij Brahmagupta vindt men de formule

1 Een Bhāskara I een astronoom beiumlnvloed door Āryabhata I leefde omstreeks 630 n C


90

voor het oppervlak van een koordenvierhoek met zijden a b c d1Overigens moeten we erop bedacht zijn dat het oude India nog wiskundige

schatten bezit die eerst nu weer langzaam aan het licht worden gebracht en uit deSanskrietteksten in moderne wiskundige taal worden vertaald Zo zijn we bv teweten gekomen dat de reeks voor π4 die we naar Gregory of Leibniz noemenreeds te vinden is bij Niumllakantha (ca 1500) natuurlijk in een terminologie die zeervan de onze verschilt2

3

Het meest bekende resultaat van de wiskunde der Hindoes is het decimalepositiestelsel Het decimale stelsel is zeer oud en het positiestelsel zijn we alreedsin het oude Mesopotamieuml tegengekomen doch de verbinding van die tweeontwikkelde zich naar het schijnt eerst in China en daarna in India Hier verkreeghet geleidelijk de overhand op oudere stelsels die niet op positie berustten In Indiawordt het decimale positiestelsel het eerst gevonden op een inscriptie van het jaar595 na Chr waar men de datum 346 aantreft met de drie tekens voor 3 4 6geschreven De Indieumlrs hadden reeds vele eeuwen lang een systeemwaarin getallenook zeer grote in woorden werden uitgedrukt volgens een positiebeginsel en erbestaan teksten uit vroege tijd met de term lsquosūnyarsquo dat nul betekent3

1 Brahmagupta schrijft ergens in zijn boek dat hij sommige vraagstukken alleen lsquovoor deaardigheidrsquo had opgenomen Dit bewijst nog eens ten overvloede dat deze wiskunde van hetOosten zijn zuiver utilitaristisch karakter had verloren - iets dat we reeds bij de oudeBabylonische wiskunde hadden opgemerkt Honderdvijftig jaren na Brahmagupta vinden wedit speelse karakter ook in de Vraagstukken voor het scherpen van de geest der jongeren(Propositiones ad acuendos iuvenes) vermoedelijk geschreven door Alcuin van York doorKarel de Grote met het oprichten van scholen belast (ca 800) Wiskunde in de vorm vanpuzzels heeft vaak tot nieuwe resultaten geleid en heeft zelfs nieuwe gebieden geopend bvde analysis situs Dit geldt ook heden nog en sommige puzzels wachten nog steeds op hunopname in de hoofdgebieden der wiskunde Eerst in onze dagen heeft men zich bv ernstigmet de wiskundige theorie der knopen beziggehouden

2 CT Rajagopal en TV Vedamurthi Aiyar Scripta mathematica 17 (1951) 65-74 vgl daarbijJE Hofmann Mathem physik Semesterberichte 3 (1953) 194-206

3 Men kan dit misschien vergelijken met het gebruik van het woord lsquokenosrsquo in het Grieks bvin Aristoteles Physica IV 8 215b dat lsquohet legersquo betekent Zie CB Boyer Zero the symbolthe concept the number National Mathematics Magazine 18 (1944) 323-330


91

Het zgn Bakshāli-manuscript dat uit zeventig bladen van berkenschors bestaaten dat van onzekere ouderdom is (schattingen varieumlren van de derde tot de twaalfdeeeuw na Chr) en traditioneel Indisch materiaal over benaderingen onbepaaldevergelijkingen en vierkantsvergelijkingen bevat heeft een punt om de nul uit tedrukken De eerste keer dat een teken voor nul in een opschrift verschijnt is denegende eeuw Dit is veel later dan het optreden van een teken voor nul inBabylonische tekstenHet teken voor nul dat wij hebben de 0 kan Griekse invloed verraden (lsquooudegravenrsquo

is het Griekse woord voor niets een woord dat met een omikron begint) Terwijl deBabylonische punt voor nul slechts tussen cijfers wordt geschreven komt de Indischenul ook aan het einde van een getal voor en dit maakt 0 1 2 9 tot gelijkwaardigesymbolen1Het decimale positiestelsel verspreidde zich geleidelijk langs de karavaanwegen

van India uit naar verschillende richtingen en veroverde zich een plaats te middenvan allerlei andere stelsels Details omtrent deze verspreiding kennen we eigenlijkalleen maar uit latere eeuwen doch we kunnen ons voorstellen dat het decimalepositiestelsel onder de Sassanieden (224-641) naar Perzieuml is gekomen er bestondtoen een vrij nauw contact tussen Mesopotamieuml India en Egypte Het is nietonmogelijk dat in deze periode de herinnering aan het oude Babylonischepositiestelsel nog leefde Ook tot Egypte is het decimale positiestelsel misschientoen al doorgedrongen De oudste duidelijke vermelding van het Indischepositiestelsel buiten India wordt gevonden in een uitlating van de Syrische bisschopSeverus Sēbōkht die van 662 dateert Dan begint met Al-Fāzarīs vertaling van deIndische Siddhāntās in het Arabisch (ca 773) de wereld van de Islam met hetIndische stelsel kennis te maken Dit stelsel begint zich nu over de Arabische werelden ook daarbuiten te verspreiden ofschoon ook het Griekse getallensysteem enook andere systemen in gebruik bleven zowel als het rekenen op het telbord(abacus) Bij die verspreiding van het decimale positiestelsel kunnen ookmaatschappelijke factoren een rol hebben gespeeld omdat het positiestelseltegenover het rekensysteem van de Grieken en dat van de Romeinen meer in deOosterse traditie lag Op den duur bleek het decimale positiestelsel ookIndisch-Arabisch stelsel genoemd van het standpunt van de rekentechniekaanzienlijke voordelen boven alle andere stelsels te

1 Vgl H Freudenthal 5000 jaren internationale wetenschap (Groningen 1946)


92

hebben en dit heeft het doen zegevierenDe symbolen die men voor het schrijven der tien cijfers gebruikte lopen nogal

uiteen Men kan evenwel twee hoofdtypen onderscheiden de symbolen waarmeemen in de Oost-Arabische wereld de cijfers aangaf en de zgn ġobacircr (of ghubaumlr)cijfers die in de West-Arabische wereld voorkwamen oa in Spanje Die Oostelijkevormen worden in de Arabische wereld nog steeds gebruikt doch uit diegobacircrgetallen schijnt zich het stelsel ontwikkeld te hebben dat wij gebruiken Erbestaat ook een (reeds vermelde) theorie van Woepcke volgens welke de gobacircrgetallen al in Spanje gebruikt werden voor de Arabieren daar aankwamenAlexandrijnse Neo-Pythagoreeeumlrs zouden dan reeds ca 450 na Chr die getallennaar het Westen hebben gebracht1De voornaamste overbrengers van de tien decimale getallen met hun rekenwijze

zullen echter wel kooplieden en andere praktisch ingestelde mensen zijn geweest2

Het woord ġobacircr betekent stof omdat het telbord (abacus) vaak bestonduit een bord met zand bestrooid waarin de tekens werden aangegevendus een stof-bord Ons woord cijfer komt van het Arabisch sifr dat lsquoleegnulrsquo betekent (vgl bladz 91) het woord voor nul werd overgebracht opalle negen andere symbolen

4

Mesopotamieuml dat onder haar Hellenistische en Romeinse heersers een grensgebiedvan het Grieks-Romeinse cultuurgebied was geworden herwon haar centrale positielangs de handelswegen onder de Sassanieden die als inheemse vorsten overPerzieuml en aangrenzende gebieden regeerden in de traditie van Cyrus en XerxesOver de stand der wetenschap onder de Sassanieden is niet veel bekend al wijstde legendarische geschiedenis zoals ze uit de Duizend-en-Een Nacht de verzenvan Firdawsi en Omar Khayyam te voorschijn treedt op een periode van culturelebloei Tussen Constantinopel Alexandrieuml India en China gelegen was het Perzieumlder Sassanieden een land waar verscheidene beschavingen elkaar

1 Vgl S Gandz The Origin of the Ghubar Numerals Isis 16 (1931) 393-424 Er bestaat ookeen theorie van N Bubnov waarin de ġobacircr vormen uit oude Grieks-Romeinse symbolendie op de abacus werden gebruikt worden afgeleid Zie ook de voetnoot op bldz 90 in FCajori History of Mathematics (New York 1938) en DE Smith-LC Karpinski TheHindu-arabic Numerals (Boston 1911) blz 71

2 Zie verder The Tjoe Tie De oorsprong van het tientallig positiestelsel Scientiarum HistoriaA (1962) 24-34


93

ontmoetten Babylon was verdwenen om plaats te maken voor Seleukia-Ktesiphontot dit na de Arabische verovering van 641 weer plaats moest maken voor BagdadAl werd nu Arabisch de officieumlle taal veel van het oude Perzieuml bleef onder de Islamonveranderd bestaan Zelfs de Islam werd slechts in een gewijzigde vorm aanvaard(het Sjiisme) Christenen Joden en aanhangers van Zoroaster bleven bijdragen tothet culturele leven onder het kalifaat van BagdadEvenals in Alexandrieuml en in India nemen we ook onder de Islam een vermenging

van allerlei stromingen in de wiskunde waar De grote tijd der lsquoArabischersquo wiskunde1

begint met de kaliefs uit het huis der Abbasieden Al-Mansor (754-775)Haroen-al-Rasjied (786-809) en Al-Mamoen (813-833) die ook de sterrenkunde enandere wetenschappen aanmoedigden Al-Mamoen richtte zelfs in Bagdad eenlsquoHuis der Wijsheidrsquo op met een bibliotheek en een sterrenwacht Ditwetenschappelijke werk dat aanving met Al-Fāzarīs reeds vermelde vertaling vande Siddhāntās leidde omstreeks 825 tot de activiteiten van Mohammed ibn MoesāAl-Chwārizmī een wiskundige geboortig uit Khiwa Van de boeken die Al-Chwārizmīheeft geschreven hebben er twee ook door een Latijnse vertaling aanzienlijkeinvloed uitgeoefend Vooreerst hebben we een elementaire rekenkunde bewaardgebleven in een Latijnse vertaling van de twaalfde eeuw die tot de verspreiding vanhet decimale positiestelsel in de Arabische en later in de Latijnse landen heeftbijgedragen De Latijnse vertaling met de aanhef lsquoAlgorismi de numero Indorumrsquoheeft het woord algoritme een latinisering van Al-Chwārizmī blijvend aan onzewiskundige taal toegevoegdIets dergelijks is ook geschied met Mohammeds tweede boek zijn algebra

waarvan de titel luidde Hisāb al-jabr wal-moeqābala hetgeen lsquowetenschap vanhergroeperen en tegenover-

1 Met dit woord lsquoArabischrsquo bedoelen we alleen dat de taal waarin de verhandelingen geschrevenwerden het Arabisch is Onder de geleerden die Arabisch schreven waren maar weinigArabieren Men vindt er Perzen Tadjuks Egyptenaren Joden Moren en anderen onder Opdezelfde manier kunnen we vele Europese schrijvers van Boeumlthius tot Gauss lsquoLatijnsegeleerdenrsquo noemen omdat ze in het Latijn schreven Overigens wordt het eerst in de laatstejaren iets makkelijker voor de niet-Arabist om in directe vertaling uit het Arabisch de wis- ensterrenkunde van dit tijdperk te bestuderen zodat men niet meer bijna geheel op tweede- enderdehands informatie is aangewezen Zie verder oa AP Juschkewitsch-BA RozenfeldDie Mathematik der Laumlnder des Ostens im Mittelalter Beitraumlge zur Geschichte derNaturwissenschaft (Berlin 1960) Vele vertalingen en beschrijvingen zijn in het Russischmaar komen nu ook uit in andere talen


94

stellenrsquo betekent wat staat voor de leer der vergelijkingen Het woord al-jabr heeftook door latinisering tot het woord algebra gevoerd Inderdaad was algebra tot aande tweede helft van de negentiende eeuw niets anders dan de leer der vergelijkingenDeze Algebra van Al-Chwārizmī bevat een bespreking van eerste- en

tweedegraadsvergelijkingen maar alles in woorden Zelfs het gesyncopeerdealgebraiumlsche formalisme van Diophantos is afwezig De vergelijkingen worden inzes categorieeumln verdeeld die we in onze notatie als volgt schrijvenax2 = bx ax2 = c bx = cx2 + bx = c x2 + c = bx x2 + c = bx x2 = bx + cwaarin a b c constanten zijn De manier waarop Al-Chwārizmī ze aangeeft is

bv lsquokwadraten en getallen zijn gelijk wortelsrsquo voor x2 + c = bx het woord lsquowortelrsquolatijn lsquoradixrsquo staat voor de onbekende x In de gevallen die behandeld worden zijna b c altijd positieve getallen zodat we als voorbeelden oa de vergelijkingen x2

+ 10x = 39 x2 + 21 = 10x x2 = 3x + 4 vinden die ieder afzonderlijk behandeldworden Deze drie vergelijkingen komen geregeld in de literatuur voor zodat LCKarpinski eens gesproken heeft over lsquode vergelijking x2 + 10x = 39rsquo die lsquoverscheideneeeuwen lang als een gouden draad door de algebra looptrsquo1 De oplossingen vandeze vergelijkingen (alleen positieve wortels komen in aanmerking) worden gevondenmet behulp van een algebraiumlsch recept aangevuld met een meetkundig diagramdirect of indirect aan Euklides ontleendOok Mohammeds astronomische en trigonometrische tafels (met waarden van

sinussen en tangenten) zijn later in het Latijn vertaald Zijn meetkundeboek is eencatalogus van meetrecepten het is van enig belang omdat het de directe invloedtoont van een Joodse tekst uit 150 na Chr Het vertoont overigens geen spoor vansympathie voor de Euklidische traditie Zijn sterrenkunde was een uittreksel uit deSiddhāntās en kan daardoor via de tekst in het Sanskriet misschien enige Griekseinvloed tonen Algemeen gesproken zien we bij Al-Khwārizmī de Oosterse invloedveel sterker dan de Griekse2 en best mogelijk is dit opzet geweest

1 LC Karpinski Robert of Chesters Latin translation of the Algebra of Al-Khwārismi New York1913 blz 19

2 S Gandz The sources of Al-khwārizmīs Algebra Osiris 1 (1936) 263-277 Over Al-Chwārizmīserfenisproblemen volgens Arabisch recht zie Osiris 5 (1938) 319-391


95

Het werk van deze wiskundige ofschoon verre van oorspronkelijk en nogalelementair blijft belangrijk omdat het mee heeft geholpen de Indische getallen ende Arabische algebra in Latijns Europa bekend te maken Dat receptachtige is dezealgebra tot in het midden van de negentiende eeuw bijgebleven ze bleef haarOosterse oorsprong getrouw door haar gebrek aan axiomatische opbouw waardoorze verschilde van de meetkunde zoals Euklides die uiteenzette Zeer lang kon mendit verschil tussen algebra en meetkunde nog in het schoolonderwijs waarnemen

5

Andere Arabisch schrijvende geleerden verdiepten zich in de studie van de wiskundezoals die door de Grieken was beoefend Met grote toewijding werden de Griekseklassieken Apollonios Archimedes Euklides Ptolemaios en anderen in het Arabischvertaald en becommentarieerd Het woord Almagest waarmee we Ptolemaiossterrenkundig handboek aanduiden is een mengsel van het Arabische lsquoalrsquo en hetGriekse lsquomagisteumlrsquo (grootst) Dit overschrijven en vertalen heeft menig Grieks werkdat in het oorspronkelijk is verloren geraakt voor ons behoudenAlgemeen gesproken was er een voorliefde voor de berekenende en praktische

zijde van de Griekse wis- en sterrenkunde al vinden we ook vele theoretischebeschouwingen in de Arabische literatuur Maar de gonio- en trigonometrie was eengebied waarin de wis- en sterrenkundigen van de Arabische wereld bijzonder warengeiumlnteresseerd Zo vinden wij heel wat tabellen van wat we nu goniometrischefuncties noemen Met de Indieumlrs voerden ze de sinus in als de halve koorde van dedubbele hoek Dit Latijnse woord lsquosinusrsquo dat lsquobochtrsquo of lsquoboezemrsquo betekent is eenletterlijke vertaling van het Arabische woord lsquogaibrsquo dat uit lsquogicircbrsquo ontstond een woorddat de Arabische manier was om het Indische woord lsquojyārsquo koorde op te schrijven1Men vindt heel wat gonio- en trigonometrie in de geschriften van de astronoom

Al-Battānī (ca 858-929) als Albategnius beroemd om zijn planetentheorie Hijbeschouwde niet alleen sinussen doch beschouwde ook als hoekmaat de schaduwvan een gegeven staaf voor invalshoeken van de zon die van graad tot graadopklimmen Deze lsquoumbra extensarsquo was dus een cotangens Rekenregels voorboldriehoeken die bij Al-Battānī voorkomen kunnen als de cosinusregel wordengeiumlnterpreteerd

1 Zie oa EJ Dijksterhuis Van Koorde tot Sinus van Umbra tot Tangens Euclides 29 (1953-54)271-285


96

Het werk van Al-Battānī toont dat de geleerden in de cultuurwereld van de Islamniet alleen kopieerden doch ook tot nieuwe resultaten kwamen door hun kennisvan Griekse Indische inheemse en misschien ook Chinese methoden Dit geldtook voor Aboe-I-Wafa (940-998) die zijn kennis der trigonometrie gebruikte om(sexagesimale) sinustabellen voor intervallen van 15 samen te stellen met waardentot in acht decimalen nauwkeurigHij werkte ook met tangenten en voerde in studies over zonnewijzers de secans

en de cosecans in Hij vergemakkelijkte de studie van boldriehoeken waarbij hij hetequivalent van de sinusregel gebruikte In zijn Meetkundige Constructies vindt menwerkstukken opgelost met behulp van een passer met eacuteeacuten vaste opening Al-Karagi(Al-Karkī) die ca 1025 is gestorven heeft een algebra geschreven die bij Diofantosaanknoopt Men vindt bij hem werk over irrationalen zoals de formules radic8 + radic18 =radic50 ∛54 - ∛2 = ∛16 verder de sommen Εk2 Εk3 voor k = 1 2 n en onbepaaldevergelijkingen in de stijl van Diofantos Hij had een duidelijke voorliefde voor deGrieken zijn lsquoverwaarlozing van de wiskunde der Hindoes moet opzettelijk zijngeweestrsquo1

6

Het is hier niet nodig een verslag te geven van alle politieke en etnologischeveranderingen die de wereld van de Islam verstoorden Soms kwamen zij dewetenschap ten goede dan weer brachten zij achteruitgang soms gingen centravan studie verloren dan kwamen weer andere op Het karakter van de wis- ensterrenkunde bleef in het algemeen onaangetast Wij kunnen slechts enigehoogtepunten aanstippenOmstreeks het jaar 1000 verschenen in Noord-Perzieuml nieuwe heersers de

Seldsjoekse Turken wier rijk een tijdlang bloeide rondom het irrigatiecentrum vanMerw Hier leefde Omar Khayyam (ca 103848 tot 112324) sinds 1859 in hetWesten bekend als de dichter van de Rubaiyat kwatrijnen zeer vrij vertaald in hetEngels door Edward Fitzgerald2 Omar was een astronoom wiskundige en(Aristotelisch) wijsgeer

In een der kwatrijnen (LIX) leest men(vrij vertaald)Maar mijn Kalenderwerk Wat isAh but my Computationsde RedenPeople say

1 G Sarton Introduction to the History of Science I (1927) 719 Zie ook M Cantor VorlesungenI (3e uitgave 1907) 763

2 PC Boutens JH Leopold en anderen hebben de Engelse versie in het Nederlands herdicht


97

Van dit gecijfer Ach mijn vriendHave squared the Year tohet Hedenhuman Compass ehViert in mijn rekening triomfenIf so by striking from theOver afwezend Morgen en hetCalendardood VerledenUnborn tomorrow

and dead Yesterday

Dit schijnt een toespeling te zijn op Omars hervorming van de oude Perzischekalender die de fout terugbracht op eacuteeacuten dag in 5000 jaren (1540 of 3770 jarenvolgens andere interpretaties) waar onze Gregoriaanse kalender een fout heeftvan eacuteeacuten dag in 3330 jaar Deze hervorming werd in 1079 ingevoerd doch later weervervangen door demaankalender Omar schreef een Algebra die een systematischestudie van derdegraadsvergelijkingen bevat1 Hierbij gebruikte hij een methode diede Grieken wel eens hebben gebruikt (bv bij de constructies voor het vinden vande dubbele evenredigen x y tussen twee lijnsegmenten a b zodat a x = x y = y b) waarbij de oplossing wordt gevonden door de snijpunten van twee kegelsnedente bepalen Omar was niet in de numerieke berekeningen van oplossingengeiumlnteresseerd en maakte een onderscheid tussen lsquomeetkundigersquo en lsquorekenkundigersquooplossingen de laatste bestonden slechts - net als bij de Grieken - als de wortelspositief rationaal waren Zijn methode was dus in beginsel verschillend van die derlatere wiskundigen die beginnende met de Bolognezen van de zestiende eeuwnaar een algemene numerieke oplossing streefden In een ander geschrift over demoeilijkheden bij Euklides verving Omar het parallellenaxioma door een aantalandere veronderstellingen Hierbij stelde hij de figuur op die we nu verbinden metde zgn hypothesen van de stompe de scherpe en de rechte hoek en waarbij dande eerste twee (die we tegenwoordig als beginselen van de niet-euklidischemeetkunde erkennen) door vernuftige redeneringen ad absurdum werden gevoerdOmar trachtte ook de euklidische leer der verhoudingen door een getalsmatigetheorie te vervangen waarbij hij tot een benadering van irrationale getallen werdgevoerd en dichtbij het begrip reeumlel getal kwam2Nadat Bagdad in 1256 door de Mongolen was geplunderd ont-

1 Risāla fīl-barāhin alā masācl il-jabr wal-muqābala = Verhandeling over de bewijzen vanvraagstukken uit de algebra Khayyams naam is vaak gevonden in de vorm Al-Khayyāmi ZieDSB 7 (1973) 327

2 Zie oa DJ Struik Omar Khayyam Mathematician Mathem Teacher 51 (1958)280-285


98

stond in de omgeving een nieuw centrum van studie in de sterrenwacht vanMarāghagesticht door de Mongoolse heerser Hoelāgoe voor de astronoom Nasīr-al-dīnat-Toesi (Nasir-eddin 1201-1274) Hier werd weer getracht alle beschikbarewiskundige wetenschappen zowel van het Oosten als van de Grieken bijeen tebrengen Nasir is een der eersten geweest die de gonio- en trigonometrie alszelfstandige tak van wetenschap van de sterrenkunde heeft gescheiden Zijnpogingen om het parallellenaxioma te bewijzen doen sterk aan die van Omar denkenen tonen duidelijk Griekse invloed De invloed van Nasir (of At-Toesi zoals hij vaakwordt genoemd) was zeer groot zowel in de richting van Indieuml en China als naarhet Westen Zijn werk is aan de Europeanen van de Renaissance-tijd bekendgeweest nog in 1651 en 1663 zien we John Wallis bezig met de studie van hetparallellenaxioma volgens Nasir-eddinNasirs onderzoekingen over de leer der verhoudingen en de numerieke benadering

van irrationale getallen zijn eveneens in de traditie van Omar KhayyamEen andere Perzische wiskundige Jamsjid Al-Kashi (eerste helft vijftiende eeuw

Samarkand) was bedreven in het maken van grote rekenkundige en algebraiumlscheberekeningen zodat we hem kunnen vergelijken met de wiskundigen die we in hetEuropa van de laatste jaren der zestiende eeuw zullen ontmoeten zoals Viegravete ofVan Ceulen Hij loste derdegraadsvergelijkingen opmet behulp van iteratieprocessenof van trigonometrische methoden en benaderde wortels van vergelijkingen vanwillekeurige graadmet de benaderingsmethode die we gewoon zijn te noemen naarde Engelsman WG Horner die ze in 1819 opnieuw heeft ontdekt1 Bij Al-Kashivindt men de binomiale formule voor positief gehele exponenten2 en een beheersingniet alleen van berekeningen met sexagesimale doch ook met decimale breuken(bv 2507maal 143 is 358501) hetgeen evenals het gebruik van lsquoHornersmethodersquoop Chinese invloed schijnt te wijzen (zie bldz 101) Om in decimale breuken hetgehele deel van het gebroken deel te onderscheiden gebruikte Al-Kashi verschillendekleuren en niet zoals wij een

1 Zie over Horner JL Coolidge The Mathematics of Great Amateurs (London 1949 New York1963) Hoofdstuk 15

2 Zie M Yadagari The binomial Theorem A widespread Concept in Medieval Islam HM 7(1980) 401-406 We vinden tiendelige breuken reeds bij Al-Uglīdīsī in Damascus in de jaren952953 Zie onder Literatuur


99

scheidingsteken als komma of punt Hij kent π in 16 decimalen en schrijft π ook insexagesimalen - met een versje om de getallen te onthoudenEen belangrijke figuur in Egypte was Ibn Al-Haitham (Alhazen ca 965-1039)

Men beschouwt hem wel als de grootste Islamitische natuurkundige zijn Optica (ofPerspectiva) heeft in een Latijnse vertaling veel invloed in het Westen uitgeoefendzoals we bv bij Kepler zien Het lsquovraagstuk van Alhazenrsquo bestaat daarin door tweepunten in het vlak van een cirkel rechte lijnen te trekken die elkaar zoacute op decirkelomtrek ontmoeten dat zij met de cirkel-normaal in het snijpunt gelijke hoekenmaken Het vraagstuk leidt tot een vierdemachtsvergelijking die door Al-Haithamop Griekse wijze werd opgelost door een cirkel met een hyperbool te snijdenAlhazen is ook vertrouwd met de exhaustiemethode om de inhoud te vinden van

lichamen die ontstaan door de omwenteling van een parabool om een middellijn ofeen lijn er loodrecht opHonderd jaar voor Alhazen vinden we in Egypte Aboe Kāmil die het algebraiumlsche

werk van Al-Chwārizmī voortzette en uitbreidde Men kan zijn invloed zowel inAl-Kashi als in Leonardo van Pisa ontdekkenAndere wetenschappelijke centra bestonden in Spanje waar de scholen van

Cordoba en Toledo eeuwen lang een grote reputatie genoten Een der beroemdstesterrenkundigen van Cordoba later van Toledo was Al-Zarqāli (Arzaquiel ca1029-ca 1087) de beste waarnemer van zijn tijd en de samensteller van de zgnToledaanse planetentafels Deze tafels die ook gedeeltelijk in het Latijn werdenvertaald hebben op de verdere ontwikkeling der astronomie een zekere invloeduitgeoefend vooral als voorgangers van de zgn Alfonsinische tafels naar koningAlfonso x de Wijze van Castilieuml (13e eeuw) genoemd Ook het trigonometrischegedeelte van deze tafels heeft doorgewerkt tot in de trigonometrie van deRenaissanceOfschoon een groot gedeelte van de lsquoArabischersquo wiskunde en bijna de gehele

Chinese wiskunde het algoritmisch-algebraiumlsch karakter van de Oostelijke wiskundebehield betekende ze wel degelijk een fikse stap vooruit vergeleken bij de antiekemethoden West-Europa bereikte eerst tegen het einde van de zestiende eeuw eenhoogte die met deze Arabisch-Chinese wiskunde kan worden vergeleken

7

Wat deze Chinese wiskunde betreft het is al wel gebleken dat men haar niet moetbeschouwen als een geiumlsoleerd verschijnsel


100

zoals bv de wiskunde der Mayas in Centraal Amerika Reeds ten tijde van deHan-dynastie (ongeveer ten tijde van het Romeinse Rijk) ja nog wel vroegeronderhield China commercieumlle en culturele betrekkingen met andere gebieden vanAzieuml of zelfs Europa Indische Arabische en Chinese wetenschap hebben elkaarwederzijds beiumlnvloed We denken bv aan de verspreiding van het decimalepositiestelsel en de negatieve getallen die mogelijkerwijze van China naar Indieumlzijn gekomen Bij deze beiumlnvloeding kunnen we ook denken aan de komst van hetBoeddhisme in China die in de eerste eeuw na Chr plaatsvondVan een direct Chinees-Griekse beiumlnvloeding kunnen wij echter weinig bespeuren

ondanks het bestaan van parallelle ontwikkelingen bv in het berekenen van dewaarde van π De onderzoekingen over de verhouding van omtrek tot middellijn inde cirkel die typerend zijn voor de eeuwen na de Han-dynastie zijn waarschijnlijkzonder kennis van Archimedes doorgevoerd Liu Hui de schrijver van eenovergeleverde commentaar op de Negen Hoofdstukken (263 na Chr) vond metbehulp van in- en omgeschreven regelmatige veelhoeken dat 31401 lt π lt 31427en twee eeuwen later gaven Zu Chong Zhi (Tsoe Chhung-Chih 430-501) en zijnzoon niet alleen een waarde van π in zeven decimalen doch ook de waarden π =227 en π = 3551131Onder de Tang-dynastie (618-907) werd een verzameling van de gewichtigste

wiskundige werken samengesteld en gebruikt als officieel tekstboek voor dekeizerlijke beambtenexamens In deze periode begon men boeken te drukken dochde eerste gedrukte wiskundige werken die wij kennen dateren van 1084 of laterIn 1115 verscheen een belangrijke gedrukte uitgave van de Negen HoofdstukkenReeds in een boek vanWan Xiaotong (Wang Hsiao Thung omstreeks 625) vinden

we een derdemachtsvergelijking die ingewik-

1 Deze laatste waarde van π kan ook uit de waarden van Ptolemaios en van Archimedes wordenverkregen

Deze waarde die een tweede naderingsbreuk van π is zo men zijn decimale uitdrukking ineen kettingbreuk ontwikkelt (de eerste is 227) wordt wel eens de waarde vanMetius genoemdnaar de Alkmaarse burgemeester Adriaen Anthonisz (ca 1543-1620) wiens zoon die zichAdriaan Metius noemde en die professor in Franeker was vertelt dat zijn vader in 1584 dezewaarde van π heeft aangegeven Zie DSB IX (1974) 335


101

kelder is dan de vergelijking x3 = a uit de Negen Hoofdstukken De bloeiperiode vande oud-Chinese wiskunde kwam echter eerst gedurende de Soeng-dynastie(960-1279) en de eerste jaren der Mongolenheerschappij van de Yuumlan (de lsquoGroteKhanrsquo van Marco Polos reisbericht) Van de leidende wiskundigen noemen wij QinJiushao (Chhin Chioe-Shao) die de toen reeds oude theorie der onbepaaldevergelijkingen verder ontwikkelde (zijn boek is 1247 gedateerd) Een zijnervoorbeelden kunnen wij als volgt schrijvenx equiv 32(mod 83) equiv 70(mod 110) equiv 30(mod 135)Qin was ook geiumlnteresseerd in de numerieke oplossing van vergelijkingen van

hogere graad bv van-x4 + 763 200x2 - 40 642 560 000 = 0Zulke vergelijkingen loste hij op door een generalisatie van de methode der

opvolgende benaderingen die reeds in de Negen Hoofdstukken gebruikt was omvierkants- en derdemachtswortels uit te rekenen Deze lsquomethode van Hornerrsquo isreeds vermeld bij de bespreking van de wiskunde onder de IslamNog een andere wiskundige van de Soeng-periode is Yang Hui Hij werkte met

decimale breuken en schreef deze in een vorm die wat doet denken aan onzemoderne manier van schrijven In zijn boek dat van 1261 dateert vindt men eenvraagstuk dat tot de berekening 2468 times 3656 = 9023008 voert Yang Hui maaktons ook bekend met de oudste ons overgeleverde afbeelding van de driehoek vanPascal die we terugvinden in een boek van Zhu Shijie (Choe Chioe-Shao) van 1303en die op de kennis van binomiale formules voor gehele exponenten wijst Zhu wordtwel voor de meest vooraanstaande wiskundige van deze periode gehouden in zijnboeken vindt men de meest uitgewerkte Chinese arithmetisch-algoritmischerekenmethoden1 Hij generaliseert de lsquomatrixrsquo-oplossingen van een systeem vanlineaire vergelijkingen op stelsels van vergelijkingen van hogere graad metverscheidene onbekenden en komt zo tot eliminatiemethoden die enigszins aan dievan Sylvester herinneren Voor zulke berekeningen moeten wel verscheidenetelborden gebruikt zijnIn de tijd na de Soeng-dynastie bleef er wel wiskundig werk te doen maar veel

nieuws is er niet meer uitgevonden Westerse wiskunde en astronomie kwamen totChina gedurende de Ming perio-

1 LY Lam The Chinese Connection between the Pascal triangle and the Solution of numericalEquations of any Degree HM 7 (1980) 407-424


102

de met de Jezuiumleten geleid door Pater Matteo Ricci die in 1583 kwam en tot zijndood in 1610 te Peking woonde1Algemeen gesproken kan men zeggen dat de Chinese wiskundigen in hun

vaardigheid gecompliceerde rekenkundige en algebraische vergelijkingen op telossen niet alleen de evenknie waren van de Indische geleerden en die van hetArabische taalgebied doch deze vaak voorbijstreefden Zo vinden we Hornersmethode en de tiendelige breuken weer als gezegd terug in het werk van Al-Kashiuit Samarkand (ca 1420)2Vanaf de twaalfde eeuw beginnen wij berichten te krijgen over de wiskunde in

Japan Hier ziet men duidelijk de Chinese invloed Nieuwe vormen van wiskundeworden in de zeventiende eeuw en later ontwikkeld gedeeltelijk onder Europeseinvloed waarbij ook Nederlanders een rol spelen De wiskundige Seki Kǒwa3 kwamca 1683 bij zijn werk over vergelijkingen tot een rekenwijze die met dedeterminantenmethode equivalent is en die wij met de aloude lsquomatrixrsquo methode inverband kunnen brengen Dit was tien jaren voor Leibniz tot soortgelijkebeschouwingen kwam

Literatuur

Behalve de werken genoemd aan het einde van Hoofdstuk 1 noemen we nog overChinese en Indische wiskunde

B Datta The Science of the Sulba a Study in Early Hindu Geometry (Calcutta1932)DE Smith-LC Karpinski The Hindu-Arabic Numerals (Boston 1911)DE Smith Unsettled Questions concerning theMathematics of China ScientificMonthly 33 (1931) 244-250HT Colebrooke Algebra with Arithmetic and Mensurations from the Sanskritof Brahmagupta and Bhascara (London 1817 herzien door HC Banerji 2euitg Calcutta 1927)WE Clark The Aryabhatya of Aryabhata (Chicago 1930)DJ Struik On ancient Chinese mathematics The Mathematics Teacher 56(1963) 424-432 herdruk in Euclides 1964 65-79U Libbrecht Chinese Mathematics in the thirteenth Century

1 H Bosmans Loeuvre scientifique de Mathieu Ricci SJ Revue des Questions scientifiquesJanuari 1921 16 blz

2 Vgl AP Joesjkewitsj Over de resultaten van de Chinese geleerden op het gebied derwiskunde (Russisch) Istor-Mat Issled 8 (1955) 539-572 en het reeds geciteerde boek vanJ Needham vooral deel III (1959)

3 Ook Seki Takakusu (1642-1708)


103

The Shu-Shu Chiu-Chang of Chin Chiu-Shao (Cambridge Mass 1973)LYA Lam A critical Study of the Yang Hui Suan Fa A thirteenth CenturyChinese mathematical Treatise (Singapore 1977) Vgl J Needham HM 6(1979) 466-468FJ Swetz A brief chronological and bibliographical Guide to the History ofChinese Mathematics HM 11 (1984) 39-56 Zie hierbij AP Joesjkewitsj ib 13(1986) 36-38

Over de wiskunde in het ArabischH Suter DieMathematiker und Astronomen der Araber und ihreWerke (Leipzig1900 Nachtraumlge 1902)zie ook HPJ Renaud Isis 18 (1932) 166-183DS Kasir The Algebra of Omar Khayyam (New York 1931)Er bestaat nog een andere Engelse vertaling (Journ Roy Asiatic Soc ofBengali 16 (1950) 27-77) en een Franse vertaling van F Woepcke (1951)F Rosen The Algebra of Mohammed ben Musa (London 1931) zie S GandzQuellen und Studien z Gesch d Mathem 2 A (1932) 61-85LC Karpinski Robert of Chesters Latin Translation of the Algebra ofAl-Khwārizmī (New York 1915)AP Joesjkewitsj Geschiedenis van deWiskunde in deMiddeleeuwen Moskou1963 in het RussischAP Joesjkewitsj-BA Rosenfeld Kommentaar op de wiskundigeverhandelingen van DG Al-Kashi (Istor Matem Issled 7 (1954) 380-449 inhet Russisch)Deze auteurs hebben ook de twee verhandelingen van Al-Kashi metfotografische reproduktie van de tekst en Russische vertaling uitgegeven(Moskou 1956) In het Duits is van hen vertaaldAP Joesjkewitsj-BA Rosenfeld Die Mathematik der Laumlnder des Ostens imMittelalter Sowjetische Beitraumlge zur Geschichte der Naturwissenschaft (Berlin1960) 62-160 (ook afzonderlijk als boek uitgegeven)P Luckey Die Ausziehung der n-ten Wurzel und der binomische Lehrsatz inder islamischen Mathematik Mathem Annalen 120 (1947-49) 217-274 Zieook Abh Deutsche Akad Wiss Berlin Klasse fuumlr Mathem 1950 Nr 6 (1953)95 blzDJ Struik De tiendelige Breuken bij Al-Kashi Simon Stevin 33 (1959) 65-71J Macdonald SJ Jesuit Geometers (Vaticaanstad 1989)


104

LY Lam-KS Shen Methods of solving linear equations in traditional ChinaHM 16 (1989) 107-122 met bibliografie van andere artikelen van mevr Lam


105

V Het begin in West-Europa

1

Het Westelijk deel van het Romeinse Rijk is steeds zowel in economisch als incultureel opzicht bij het Oostelijk deel ten achter gebleven Hier in het Westenbestond de intensieve landbouw door irrigatie georganiseerd niet of nauwelijksen daardoor ontbrak een voorname prikkel voor de bestudering van de sterrenkundeHet Westen was best tevreden met het beetje sterrenkunde praktische rekenkundeen meetkunde dat voor handel en landmeten nuttig was (sommige handleidingenvoor landmeters agrimensores zijn bewaard gebleven) Eeuwenlang bleef deinspiratie voor de verdere ontwikkeling of de verdieping van de wiskunde uit hetOosten komen Toen het Oost-Romeinse Rijk en het West-Romeinse Rijk politiekuiteengingen leefde deze inspiratie vrijwel geheel niet meerVele eeuwen lang bleef de statische beschaving van het West-Romeinse Rijk

zonder veel onderbrekingen voortbestaan en werd de eenheid van de cultuur dierondom de Middellandse Zee was ontstaan maar weinig onderbroken zelfs nieteens door de veroveringen van de zgn barbaren In alle Germaanse koninkrijken(misschien die in Brittannieuml uitgezonderd) bleven de economische verhoudingende maatschappelijke instellingen en het geestesleven in beginsel gelijk aan wat zein het ondergaande Romeinse Rijk waren geworden Grondslag van hetmaatschappelijk leven was de landbouw waarin slaven geleidelijk vervangen werdendoor vrije boeren of pachters Steden bleven bloeien een internationale handel meteen geldeconomie bleef gehandhaafdNadat het centrale gezag in deze Grieks-Romeinse wereld na de val van het

Westelijk Rijk in 476 gedeeld werd door de keizer van Constantinopel en de Pausvan Rome zette de Katholieke Kerk in het Westen zo goed en zo kwaad als ze kondoor haar taal en instellingen de culturele traditie van het Romeinse Rijk binnen deGermaanse koninkrijken voort Kloosters en geletterde leken hielden althans enigebestanddelen van de Grieks-Romeinse beschaving in levenEen dezer leken de diplomaat en wijsgeer Anicius Manilius Severinus Boeumlthius

schreef enige wiskundige boeken die meer dan duizend jaar in deWestelijke wereldgezag hebben uitgeoefend


106

Ze zijn een weerspiegeling van de culturele verhoudingen waaronder zij ontstondenwant ze zijn arm aan wetenschappelijke inhoud Het is niet onmogelijk dat heteeuwenlang aanzien waarin ze hebben gestaan samenhangt met het feit dat deschrijver in 524 als martelaar van het Katholieke geloof is gestorven In BoeumlthiusInstitutiones arithmeticae een oppervlakkige bewerking van Nikomachos kon menwat Pythagoreiumlsche getallentheorie vinden die op deze manier als een bestanddeelvan de zeven artes liberalis namelijk het lsquoquadriviumrsquo (arithmetica geometriaastronomia musica) naast het lsquotriviumrsquo (grammatica rhetorica dialectica) in hetonderwijs der Middeleeuwen werd opgenomenHet is moeilijk precies de tijd aan te geven waarin de maatschappijvorm van het

oude Romeinse Rijk plaats begon te maken voor de nieuwe feodale orde Op dezekwestie wordt enig licht geworpen door de hypothese van de Belgischegeschiedkundige Henri Pirenne (die overigens niet algemeen wordt aanvaard)1volgens welke het einde van de West-Romeinse maatschappijvormen samenhangtmet de opkomst van de Islam De Arabieren beroofden het Byzantijnse rijk van alzijn provincies aan de Oost- en Zuidkust van de Middellandse Zee en maakten hetOostelijk bekken van die Zee tot een mohammedaans binnenmeer Zij bemoeilijktenvele eeuwen lang de handelsbetrekkingen tussen het Nabije Oosten en hetChristelijke WestenHet intellectuele verkeer tussen de Arabische wereld en het noordelijk deel van

het vroegere Romeinse Rijk werd daarbij eveneens aan grote moeilijkhedenonderworpen ofschoon het nooit geheel is stopgezetHet gevolg was dat in het Frankische Gallieuml en in andere voormalige delen van

het West-Romeinse Rijk de oude instellingen verschrompelden de steden raaktenin verval de inkomsten uit tollen liepen sterk terug de internationale geldeconomiewerd vervangen door ruilhandel en plaatselijk marktverkeer West-Europa ging terugtot een tamelijk primitieve landbouweconomie Het verval van de handel kwam delandelijke aristocratie ten goede en in Noord-Frankenland werden de grondbezittersonder de leiding der Karo-

1 H Pirenne Mahomet et Charlemagne (Paris 1937) Pirennes theorie heeft een heel debattot gevolg gehad speciaal naar aanleiding van de kritiek van A Dopsch Hier wordt meer denadruk op interne invloeden gelegd Zie AE Havinghurst The Pirenne Thesis (Boston 1958)en Jan Romein Tussen Oudheid en Middeleeuwen in Het onvoltooid Verleden (Amsterdam1937) 108-138


107

lingers tot heersende klassen Het economische en culturele middelpunt werd naarhet Noorden naar Noord-Frankrijk en Brittannieuml verlegd De scheiding van Oost enWest beperkte het feitelijk gezag van de Paus zodat het Pausdom zich verbondmet de Karolingers Dit verbond werd bezegeld door de kroning van Karel de Grotetot keizer van het Heilige Roomse Rijk in 800 De Westelijke wereld werd feodaalen kerkelijk haar orieumlntering Germaans en naar het Noorden gericht

2

Gedurende de eerste eeuwen van het Westelijk feodalisme vinden we zelfs in dekloostersmaar heel weinig belangstelling voor de wiskunde Er ontbraken nu eenmaalde impulsen die tot wiskundig denken prikkelen ook in het dagelijks leven had menniet meer dan een minimum aan rekenkennis nodig Het aftellen op de vingers wasgewoonlijk wel voldoende Aan de kloosters bestond de lsquohogerersquo wiskunde gewoonlijkuit niet veel meer dan de zgn computus die uit een stel regels bestond om de datumvan het Paasfeest vast te leggen Boeumlthius was op wiskundig gebied de autoriteitEen mindere autoriteit was de monnik Alcuinus die uit Brittannieuml stamde en aanhet hof van Karel de Grote leefde zijn verzameling opgaven lsquovoor de verscherpingvan het verstandrsquo (zie voetnoot bldz 90) heeft eeuwen lang stof tot lering en vermaakgeleverd Zo vinden we hierin oude bekenden als de volgende vraagstukken

lsquoEen hond achtervolgt een konijn dat oorspronkelijk een voorsprong heeftvan 150 voet De hond springt elke keer negen voet tegen de zeven voetvan het konijn Na hoeveel sprongen heeft de hond het konijn ingehaaldrsquo

lsquoEen wolf een geit en een kool moeten in een boot over een rivier wordengebracht De boot kan behalve de veerman slechts eacuteeacuten van deze drie opeen overtocht meenemen Hoe moet de veerman het aanleggen om alledrie naar de overkant te krijgen zonder dat de geit de kool of de wolf degeit opeetrsquo

Een andere klerikale wiskundige was de Franse monnik Gerbert die in 999 depauselijke troon beklom onder de naamSylvester II Hij schreef enige verhandelingenonder de invloed van Boeumlthius doch zijn hoofdverdienste als wiskundige bestaatdaarin dat hij tot de eerste geleerden in de Latijnse wereld behoorde diebelangstelling in de wiskunde door zijn invloed in West-Europa verhoogde Eenabacus met een bord met niet minder dan 27 kolommen staat op de naam vanGerbert of zijn invloed Hij verbleef rondom 968 in Catalonieuml en kan dus wel doorArabische we-


108

tenschap zijn kennis hebben vermeerderd1

3

Er bestaan wezenlijk verschillen tussen de ontwikkeling van het Westelijke hetvroeg-Griekse en het Oosterse feodalisme De landbouw in Westelijk Europa hadeen extensief karakter en dit maakte een breed opgezette bureaucratie overbodigzodat de grondslagen voor een Oosterse vorm van despotisme ontbraken Hierbestond ook geen mogelijkheid grote massas slaven bijeen te brengen Dit heeftuitvindersvernuft gescherpt en zo vinden we nieuwigheden als eenmeer economischharnassen van paarden en de invoering van stijgbeugels Toen de dorpseenhedenin West Europa tot steden uitgroeiden en deze zich ontwikkelden tot zelfstandigebestuurs- en bedrijfseenheden waarvan de burgers niet in staat waren eengemakkelijk leventje ten koste van slaven te leiden kwam het uitvindersvernuft ookhun ten goede Dit is een der voornaamste punten van verschil tussen deontwikkeling van de Griekse stadstaat en de Westeuropese stad die toch in hetaanvangsstadium sommige gemeenschappelijke trekken vertoonden Demiddeleeuwse stadsbevolking kon haar levensstandaard slechts verbeteren doorhard werk met scherpe handel en vernuftige techniek te verbinden In zware strijdmet de feodale jonkers - en in veel geharrewar onderling - verkregen de steden inde twaalfde dertiende en veertiende eeuw steeds grotere macht en zelfbewustzijnDeze overwinningen berustten niet alleen op de snelle groei van handel verkeeren geldeconomie doch vaak ook op een geleidelijke uitbreiding van de industrieIn hun strijd met de landjonkers werden de steden vaak door de vorsten gesteundwaardoor de vorsten hun invloed in de steden versterkten Botsingen tussen stedenen vorsten bleven niet uit Ten slotte leidde deze ontwikkeling tot de vorming vande eerste nationale staten in EuropaDe steden begonnen of hervatten hun verkeer met het Oosten dat nog steeds

een hogere beschaving bezat Deze betrekkingen

1 Uit deze tijd dateert het eerste teken van wiskundig leven in de Nederlanden Ze bestaat uiteen correspondentie tussen Ragimbold van Keulen en Radolf van Luik van omstreeks 1025Het peil van wiskundig weten van deze kloostergeleerden is zeer laag Zie hierover en overAdalbold bisschop van Utrecht die tot hun kring behoorde Paul Tannery Meacutemoires Vol 5(1922) artikelen van 1897 en 1904 Verder B Lefebvre Notes dhistoire des matheacutematiques(Louvain 1920) ook Revue Quest Scient 1907-11 Tot de sfeer van Gerbert behoort ookFranco van Luik (ca 1050) die een lsquoDe quadratura circulirsquo heeft nagelaten


109

tussen Oost en West Islam en Christendom Arabische Griekse en Latijnse wereldwaren vaak vreedzaam doch konden in oorlogen als de kruistochten ook eengewelddadig karakter aannemen De Italiaanse steden waren de eerste die dehandelsbetrekkingen weer opnamen zij werden in de loop der tijden door stedenin Frankrijk Duitsland en andere landen gevolgd De koopman en de soldaat werdenvoorafgegaan of gevolgd door de geleerde voor wie het punt van contact op Sicilieumlof in Spanje soms ook in Constantinopel lag Nadat in 1085 de Christenen Toledoop de Moren veroverd hadden stroomden van wijd en zijd Latijnse geleerden naardeze stad om de wetenschap van de Arabische wereld te leren kennen Als tolkentraden vaak Joden op die ook hun bemiddeling bij het vertalen van tekstenverschaften Zo vindt men in het Spanje van de twaalfde eeuw Plato van TivoliGherardo van Cremona Adelard van Bath en Robert van Chester bezig met hetvertalen van wiskundige en sterrenkundige handschriften uit het Arabisch in hetLatijn Op deze manier kreeg Latijns Europa een vermeerderde kennis van deGriekse klassieken door middel van Arabische vertalingen en dit in een periodewaarin deze kennis langzamerhand ook naar waarde kon worden geschatEen ander cultuurcentrum was Constantinopel (nu Istanbul) meer dan duizend

jaren een plaats waar de Griekse wetenschap werd bewaard Hier kon men deGriekse klassieken zonder Arabische (of Syrische of Hebreeuwse) tussenkomststuderen

4

Wehebben reeds vermeld dat de eerste machtige handelssteden in Italieuml ontstondenHier vinden we in de twaalfde en dertiende eeuw Genua Pisa Venetieuml Milaan enFlorence in een bloeiend handelsverkeer met de Arabische wereld en met hetNoorden gewikkeld Italiaanse kooplieden bezochten Egypte en Azieuml waarvan zijook de cultuur bestudeerden de reizen van Marco Polo naar Centraal Azieuml en Chinageven een voorstelling van de onverschrokkenheid van sommige dezer avonturiersEvenals de Ionische kooplieden van tweeduizend jaren te voren poogden zij dewetenschap en de kunst van een oudere beschaving niet alleen te bestuderen omze te reproduceren doch ook om haar te verwerken ten bate van de eigen cultuurwaarin reeds in de twaalfde en dertiende eeuw naast het bankwezen ookkapitalistische vormen van industrie voorkwamen De eerste koopman van deLatijnse wereld wiens wiskundige studies een zekere rijpheid vertonen wasLeonardo van PisaLeonardo ook Fibonacci (lid van het huis der Bonacci) ge-


110

naamd reisde als koopman naar de Arabische wereld Na zijn terugkeer schreefhij het Liber Abaci (1202) een groot handboek over het rekenen met hetHindoe-Arabische getallensysteem dat ook algebraiumlsche vraagstukken bevat Inzijn Practica Geometriae (1220) beschreef Leonardo op gelijksoortige wijze wat hijaan meetkunde en trigonometrie had geleerd Maar hij is meer dan leerling hij iszelfstandig vorser wiens boekenmenig vraagstuk bevatten waarvan in de Arabischeliteratuur geen precies voorbeeld voorhanden schijnt te zijn1 Hij citeert speciaalAl-Chwārizmī bv in zijn discussie van de beroemde vergelijking x2 + 10x = 39 Hetprobleem dat tot de zgn getallen van Fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13 21 voert(waarvan elke term de som is van de twee voorafgaande termen) schijnt nieuw tezijn evenals het merkwaardig diep doordachte bewijs van de stelling dat de wortelsvan de vergelijking x3 + 2x2 + 10x = 20 niet met behulp van Euklidische

irrationaliteiten van de vorm kunnen worden uitgedrukt en dus ook nietmet passer en lineaal kunnen worden geconstrueerd Leonardo voerde het bewijsdoor ieder van de vijftien gevallen die Euklides in zijn tiende boek van de Elementenheeft behandeld apart te onderzoeken waarna hij de positieve wortel van devergelijking tot op zes sexagesimale plaatsen benaderde

De reeks van getallen van Fibonacci wordt verkregen als de oplossingvan het volgende vraagstuk in de Liber Abaci Hoeveel paren konijnenkunnen in eacuteeacuten jaar uit een enkel paar woorden gewonnen zo a) elk paarelke maand eacuteeacuten nieuw paar gewint dat zichzelf wederom vanaf de tweedemaand begint voort te planten en b) geen enkel konijn sterft

Leonardo stond niet alleen In de Italiaanse handelssteden bestonden reeds voacuteoacuterzijn tijd cursussen in het handelswezen en dus ook in het rekenen zowel op deabacus als in het Arabisch cijferen Maar het Liber Abaci heeft aan de verspreidingvan het Hindoe-Arabische positiestelsel in West Europa zeker bijgedragen Dezeverspreiding is een langdurig proces geweest waarin allerhand soort liedenmoetenhebben meegeholpen kooplui diplomaten soldaten pelgrims en geleerden Hetoudste Latijnse manuscript

1 LC Karpinski Amer Mathem Monthly 21 (1914) 37-48 ontdekte na een studie van hetParijse manuscript van Aboe Kāmils Algebra dat Leonardo een aantal vraagstukken ontleendhad aan deze algebra Kurt Vogel in zijn uitvoerig artikel over Fibonacci in DSB IV (1971)vermeldt ook andere Arabische bronnen


111

waarin Hindoe-Arabische getallen voorkomen is de Codex Vigilanus in 976 in Spanjegeschreven Het oudste Franse handschrift waarin ze voorkomen dateert echtereerst van 1275 Langs de Adriatische Zee bleef de Griekse schrijfwijze eeuwenlangnog in gebruik Gewoonlijk werden rekeningen uitgevoerd op de aloude abacus hettel- of zandbord waarbij rekenpenningen of eenvoudig steentjes (calculi) de aantallenaangaven Men denke hierbij aan de telramen nog steeds in Japan China en deSowjet-Unie in gebruik en die bij ons nog wel op scholen of aan baby-boxen te zienzijn Zo nodig werd dan het resultaat van zulk een abacusrekening met behulp vansymbolen bv Romeinse cijfers opgeschreven Gedurende de Middeleeuwen ennog wel later vindt men in vele koopmansboeken zulke Romeinse cijfers waaruitblijkt dat op de kantoren telborden werden gebruikt De invoering van het rekenenmet de tien Indisch-Arabische symbolen stuitte zelfs op tegenstand omdat nietiedereen uit die symbolen wijs kon worden In de statuten van de Florentijnse lsquoArtedel Cambiorsquo die van 1299 en later dateren vinden we zelfs een verbod omArabischecijfers te gebruiken Op den duur drong het gebruik van zulke cijfers met hunpositiewaarde toch door maar eerst in de vijftiende en zestiende eeuw kan menvan een overwinning van het Hindoe-Arabische stelsel spreken1 Men vindt weleigenaardige tussenvormen op de graftombe van een vrouwe van IJsselstein vindtmen het jaar 1471 aangeduid door XIIIIcLXXI2

1 In de koopmansboeken der Medici in de Selfridge-verzameling van de Harvard GraduateSchool of Business (in Cambridge Mass VS) die in 1406 aanvangen verschijnenHindoe-Arabische cijfers herhaaldelijk in de verhalende of beschrijvende kolommen Van1439 af vervangen ze de Romeinse cijfers in de financieumlle of effectenkolommen van deentreeboeken als journalen en kladschriften Eerst vanaf 1482 komen geen Romeinse cijfersmeer voor in de financieumlle kolommen van de zakenboeken van alle kooplieden derMedici-familie (op eacuteeacuten na) Van 1494 af komen in alle koopmansboeken der Medici slechtsHindoe-Arabische cijfers voor (uit een brief van Dr Florence Edler De Roover) Zie ook FEdler Glossary of Medieval Terms of Business (Cambridge Mass 1934) blz 389

2 Andere voorbeelden zijn IImIIIcXV voor 2315 en VmVIIc voor 5700 in Franse rekeningen uit deMiddeleeuwen (mededeling van prof JF Benton) en MVIcXII voor 1612 in een Duitsrekenboekje van 1514 (J Tropfke I 3e uitg blz 43) Over het verbod in Florence zie DJStruiks artikel in Archives intern dHistoire des Sciences 21 (1968) 291-294


112

5

Met de uitbreiding van de handel en nijverheid breidde zich ook de belangstellingvoor de wiskunde naar de Noordelijke steden uit Eerst had deze belangstellingvoornamelijk een praktische kant zodat het gewoonlijk niet-academisch opgevoederekenmeesters waren die algebra rekenkunde en praktische meetkundeonderrichten Deze rekenmeesters waren praktische mannen die weinig of geenLatijn kenden maar wel boekhouden of scheepvaartkunde Er waren kwakzalversonder maar de besten waren schrandere knapen die ook wel almanakkensamenstelden of instrumenten en kaarten maakten De wiskunde die zij doceerdenbehield heel wat sporen van haar Arabische afkomst hetgeen ook de termenlsquoalgebrarsquo en lsquoalgoritmersquo bewijzenDe theoretische wiskunde was gedurende demiddeleeuwen in Europa niet volledig

ten onder gegaan doch zij werd niet zozeer door de practici dan wel door descholastische wijsgeren beoefend Bij deze gewoonlijk geestelijke geleerden leiddede studie van Plato en Aristoteles en speculaties over de natuur van God totscherpzinnige beschouwingen over de eigenschappen der beweging der continuiumlteiten der oneindigheid De kerkvader Origines volgde Aristoteles in zijn verwerpingvan het actueel oneindige doch Augustinus in zijn De Civitate Dei (De staat Godsca 420) aanvaardde het schoon in theologisch gewaad Zijn woorden waren zogoed gekozen dat Georg Cantor heeft opgemerkt dat het transfiniete niet energiekergewenst en niet beter bepaald en verdedigd kan worden dan Augustinus dat heeftgedaan1De scholastieke auteurs in het bijzonder Thomas van Aquino namen Aristoteles

stelling lsquoinfinitum actu non daturrsquo (actuele oneindigheid bestaat niet) over enbeschouwden ieder continuuumlm tevens als potentieel deelbaar tot in het oneindigeVoor hen bestond dus geen kleinste lijnsegment aangezien ieder gedeelte van eenlijn weer de deelbaarheidseigenschap van de Jijn bezit Een punt was dus geendeel van een lijn omdat het indivisibel ondeelbaar was lsquoex indivisibilibus non potestcompari aliquod continuumrsquo (een continuuumlm kan niet uit indivisibilen bestaan) Eenpunt kan evenwel door beweging een lijn doen ontstaan Zulke speculaties hebbenlater de uitvinders van de infinitesimaalrekening in de zeventiende eeuw en dewijsgeren van het transfiniete in de negentiende

1 G Cantor Brief aan Eulenberg (1886) Gesammelte Abhandlungen (Berlin 1932 bldz400-402) De plaats die Cantor citeert Hoofdstuk 18 van boek XII van De staat Gods heeftde titel lsquoWeerlegging van de leer dat zelfs het weten Gods het onbegrensde niet zou kunnenvattenrsquo


113

eeuw beiumlnvloed Cavalieri Tacquet Bolzano en Cantor kenden de scholastiekeauteurs en schonken veel aandacht aan hun meningen over het oneindig grote enhet oneindig kleineDeze mannen van de kerk hebben af en toe ook wel eens wiskundige resultaten

bereikt die minder speculatief zijn Thomas Bradwardinus die in 1348 aartsbisschopvan Canterbury werd onderzocht stervormige veelhoeken nadat hij Boeumlthius hadbestudeerd Een der meest belangrijke middeleeuwse kerkelijke wiskundigen wasNicole Oresme bisschop van Lisieux in Norman-dieuml die met gebroken exponentenspeelde Uitgaande van het feit dat 43 = 64 = 82 schreef hij 8 als

waarmee hij 4 1frac12 bedoelde Hij schreef ook een verhandeling De latitudinibusformarum (ca 1360) waarin hij een afhankelijke veranderlijke (latitudo) tegen eenonafhankelijke veranderlijke (longitudo) grafisch afzet wanneer de laatste varieertMen kan hierin een soort overgang van cooumlrdinaten op de bol (reeds aan Ptolemaiosbekend) naar cooumlrdinaten in het vlak zien en aangezien deze verhandeling tussen1482 en 1515 verscheidene malen gedrukt is heeft ze misschien wel enige invloedop de wiskundigen van de Renaissance uitgeoefend Descartes niet uitgezonderdOresme schreef ook over oneindige reeksen en bewees dat de harmonische

reeks 11 + frac12 + ⅓ + frac14 + divergent is een merkwaardig verziend resultaat voordie dagen

6

Nu terug naar de grote handelssteden waar de wiskunde onder de onmiddellijkeinvloed van koop- en scheepvaart sterrenkunde en landmeting wordt bestudeerdin vormen die nog weinig van die der Mohammedaanse wereld verschillen Dezebelangstelling van de stedelijke burgerij in alles wat kwantitatief is en in het bijzonderwat berekend kan worden heeft de Duitse econoomWerner Sombart met het woordlsquoRechenhaftigkeitrsquo gekarakteriseerd1Ofschoon men wel zeggen kan dat de rekenmeesters in de beoefening van de

praktische wiskunde vooropliepen vond men onder hen ook wel geleerden met eenuniversitaire opleiding die door hun kennis van wis- en sterrenkunde de wiskundigemethoden van de oudheid en de Islam konden uiteenzetten en ook mee konden

1 W Sombart Der Bourgeois (Muumlnchen-Leipzig 1913) blz 164


114

helpen bij het verbeteren van het rekenkundig algebraiumlsch en meetkundig apparaatBrandpunten van dit nieuwe leven waren de grote Italiaanse steden verderNeurenberg Wenen Praag Leipzig Parijs Lyon en andere Noordelijke centra Detheoretische belangstelling nam toe toen door de val van Constantinopel in 1453het Oost-Romeinse Rijk ten einde kwam en vele Griekse geleerden naar de stedenvan het Westen vluchtten Daardoor werd het weer gemakkelijker de groeiendebelangstelling voor oorspronkelijke Griekse handschriften te bevredigenUniversiteitsprofessoren konden zich met andere humanisten in lezen en vertalenoefenen eerzuchtige rekenmeesters hielden hun oren open en poogden op hunmanier de nieuw verworven kennis te verstaanDit is ook de periode waarin de uitvinding van de boekdrukkunst plaatsvindt

gewoonlijk toegeschreven aan Johannes Gutenberg (na 1440) Ze heeft deverspreiding van wiskundige kennis (bv rekenboeken) enorm bevorderdVoor deze periode is Johannes Muumlller uit Koumlnigsberg in Frankenland1 bekend

als Regiomontanus een karakteristieke figuur De werkzaamheid van dezeveelzijdige man wiskundige instrumentmaker drukker en humanist die reeds opveertigjarige leeftijd stierf (1476) is tekenend voor de wijze waarop de Europesewiskunde in de twee eeuwen van Leonardo van Pisa was vooruitgegaanRegiomontanus was ijverig bezig de wiskundige handschriften die hij kon krijgente vertalen en verder bekend te maken Zijn leraar de Weense astronoom GeorgPeurbach die sterrenkundige en trigonometrische tabellen had samengesteld wasreeds begonnen met de Almagest van Ptolemaios uit het Grieks te vertalenRegiomontanus zette zijn werk voort en vertaalde ook werken van Apollonios Heroonen zelfs van Archimedes de moeilijkste klassieke auteur in het Latijn Zijn eigenhoofdwerk De Triangulis omnimodis (1464 doch eerst in 1533 gedrukt) was eenleerboek der trigonometrie dat voornamelijk hierin van onze tegenwoordigeleerboeken verschilt dat onze handige notatie ontbrak Alle stellingen worden inwoorden uitgeschreven zodat het boek een meetkundig karakter draagt Men vindter de sinusregel van de vlakke en boldriehoek Van nu af werd de trigonometrie ookin het avondland een wetenschap onafhankelijk van de sterrenkunde - men zal zichherinneren dat Nasir-Eddin dit reeds vroeger in Perzieuml had trachten te bereiken

1 Dus niet uit Koumlnigsberg Ned Koningsbergen (nu Kaliningrad) in het oude Pruisen


115

Maar waar de invloed van Nasirs werk naar het schijnt niet heel groot is geweestheeft Regiomontanus werk op de verdere ontwikkeling der trigonometrie en haartoepassing op de sterrenkunde en de algebra ten sterkste doorgewerktRegiomontanus besteedde ook veel tijd aan de berekening van trigonometrischeen sterrenkundige tabellen In zijn tafels voor de verhouding van de sinus tot destraal R gebruikt hij eerst een sexagesimale schaal voor de straal later een decimale(R = 6middot104 later 6middot107 dan 107) Een grotere waarde voor de straal betekende groterenauwkeurigheid voor de sinus die zoals we gezien hebben als een lijnsegmentwerd opgevat De overgang tot een decimale schaal bereidde de invoering vandecimale breuken voor

7

Tot nu toe waren nog geen stappen gedaan om de kennis van Grieken enMohammedanen niet alleen in te halen maar voorbij te streven De klassieke auteursbleven het nec plus ultra van de wetenschap Daarom wekte het zulk een blijdeverwondering toen het bekend werd dat Italiaanse wiskundigen erin geslaagd wareneen hoofdstuk van de algebra te ontwikkelen dat aan vroegere generaties wasontsnapt Dit hoofdstuk behelsde de algemene algebraiumlsche oplossing van dederdemachtsvergelijkingen en werd omstreeks 1500 geopend door het werk vanScipio del Ferro en zijn collegas aan de Universiteit van BolognaZoals reeds gezegd is waren de Italiaanse steden ook na de dagen van Fibonacci

centra van wiskundige bedrijvigheid gebleven en hun rekenmeesters wisten metkwadratische vergelijkingen en irrationale getallen om te gaan zonder demeetkundigegewetensbezwaren van Euklides te voelen Hun belangstelling in de wiskunde werdgedeeld door hun schilders en bouwmeesters In zijn bekende boek over derenaissanceschilders (1550 1568) legt Giorgio Vasari nadruk op de belangstellingvan die schilders voor de meetkunde een belangstelling die tot de ontwikkeling vande perspectief voerde Bekende figuren uit de vijftiende eeuw (het Quattrocento)zijn hierbij Leon Battista Alberti en Pier della Francesca deze laatste schreef nietalleen een boek over perspectief (1482) doch ook een boek over regelmatigelichamen Deze liefde voor de meetkunde vindt men niet alleen in het werk vanRafael en Leonardo da Vinci doch ook in dat van Albrecht Duumlrer die zelfs eenUnderweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525) schreef datook orthogonale projectie bevat1

1 Zie JL Coolidge Mathematics of Great Amateurs (Oxford 1947) G Wolff Mathematik undMalerei (Leipzig Berlin 2e uitg 1925)


116

De rekenmeesters vonden hun leider in de Franciscaan Luca Pacioli wiens Summade Arithmetica in 1494 uitkwam - een der eerste gedrukte wiskundeboeken en heteerste boek dat een volledige uiteenzetting van de hele toenmalig voorhandenwiskunde poogde te zijn1 Het boek was in het Italiaans geschreven en leidde totde drempel van de theorie der derdemachtsvergelijkingen die Pacioli als nog nietoplosbaar beschouwde Hij zette ook de kunst van het lsquoItaliaans boekhoudenrsquo uiteen2

en in een boek van 1503 ontleende hij aan Pier della Francesca een beschouwingvan regelmatige lichamen hier voegde hij een verhandeling over de gulden snede(lsquoDivina Proportionersquo 1509) aan toe De figuren worden aan Leonardo da Vincitoegeschreven Bij Pacioli is het gebruik van Hindoe-Arabische cijfers reeds vastingeburgerd en de rekenkundige notatie is niet moeilijk te volgen De algebraiumlschenotatie is nog geheel van de onze verschillend Het oplossen van de vergelijkingenx3 + mx = n x3 + n = mx leek Pacioli even onmogelijk als het oplossen van hetvraagstuk der cirkelkwadratuurOp dit punt begint nu het werk der wiskundigen aan de universiteit van Bologna

toentertijd een der grootste en beroemdste scholen van Europa Haar astronomischefaculteit alleen telde bij gelegenheid zestien lectoren Uit alle delen van Europastroomden studenten naar Bologna om de colleges te horen en zich te verlustigenaan de publieke disputaten die vaak de belangstelling trokken van grote en sportiefingestelde massas van toehoorders Tot deze studenten hebben te hunner tijdPacioli Albrecht Duumlrer en Nicolaas Copernicus behoord Het lag in de geest dertijden niet alleen het klassieke erfgoed te aanvaarden doch het kritisch te waarderenen er zelfs door nieuwe scheppingen bovenuit te groeienDe ontdekking van de boekdrukkunst en de ontdekking van Amerika hadden

getoond dat men verder kon komen dan de Ouden Waarom niet in de wiskundeWaar in vroegere perioden sommige derdegraadsvergelijkingen algebraiumlsch kondenworden opgelost poogden de wiskundigen in Bologna de algemene oplossing tevindenDeze derdegraadsvergelijkingen konden tot drie soorten worden teruggebracht

in onze tegenwoordige notatie

1 De eerste gedrukte wiskundeboeken waren een rekenboek voor kooplieden (Treviso 1478)en een Latijnse uitgave van Euklides Elementen (Ratdolt Venetieuml 1494) - een nog steedsgeliefd prachtwerk

2 B Pendorf Luca Pacioli Abhandlung uumlber die Buchhandlung (Stuttgart 1933)


117

x3 + px = q x3 = px + q x3 + q = pxwaar p en q positieve getallen waren Zij werden door professor Scipio del Ferro

(in 1526 gestorven) aan een nauwkeurig onderzoek onderworpen Op gezag vanprofessor E Bortolotti kunnen wij aannemen dat Del Ferro werkelijk alle drie desoorten heeft weten op te lossen1 De oplossingen werden echter niet gepubliceerden slechts aan weinige vrienden bekend gemaakt Doch demare van de ontdekkingverspreidde zich en zo werd de oplossing opnieuw ontdekt door een Venetiaanserekenmeester die Tartaglia (de Stotteraar) werd genoemd Omstreeks 1535maaktehij zijn resultaten bekend doch hield de methode waarmee hij ze had verkregengeheim Ten slotte openbaarde hij haar onder een eed van geheimhouding aan eengeleerde arts uit Milaan Hieronimo Cardano Toen echter Cardano in 1545 zijn kortmaar inhoudrijk boek met de trotse titel Ars Magna het licht liet aanschouwenontdekte Tartaglia tot zijn ontsteltenis dat zijn methode in dat boek volledig wasuiteengezet weliswaar met vermelding van zijn naam maar desondanks tochgestolen Hieruit ontstond een bittere strijd waarin Cardano verdedigd werd doorzijn jonge leerling Ludovico Ferrari Onder de geschriften die gedurende deze twistgeschreven werden behoorden de Quaesiti van Tartaglia (1546) en de Cartelli vanFerrari (1547-48) waardoor de gehele geschiedenis van deze opzienbarendeontdekking publiek eigendom werdMen noemt de oplossing nog steeds naar Cardano De formule van Cardano ziet

er in het geval x3 + px = q als volgt uit (in moderne notatie)

Ze is vervat in een Italiaans rijmpje dat van Tartaglia afkomstig is en waarvan deeerste regels luiden

Als x3 te zamen met pxQuando che l cubo con le cose appresso

Gelijk is aan een q etcSe agguaglia agrave qualche numero discretoetc

1 E Bortolotti Lalgebra nella Scuola Bolognese del secolo XVI Periodico di Matematica Ser4 vol 5 (1925) 147-184


118

Hier ziet men het woord lsquocosarsquo dat deze Italianen voor de onbekende x (of eenaantal x) gebruikten (lsquode zaakrsquo Latijn lsquoresrsquo) In Duitsland werd daarom gedurendede zestiende eeuw de algebra vaak aangeduid met de term lsquoCossrsquo of lsquoDe regelCossrsquo

Men ziet dat in de formule van Cardano vormen van de gedaante

voorkomen in plaats van de Euklidische De Ars Magna bevatte nog een andere opzienbarende ontdekking de methode

van Ferrari waarbij de oplossing van een algemene vierdegraadsvergelijking tot dievan een vergelijking van de derde graad wordt teruggebracht Ferraris voorbeeldwas x4 + 6x2 + 36 = 60x welke vergelijking hij terugvoerde tot y3 + 15y2 + 36y =450 Cardano beschouwde ook negatieve getallen die hij fictieve noemde maarhij wist niets aan te vangen met de zgn lsquocasus irreducibilisrsquo waarbij de oplossingvan de derdegraadsvergelijking weliswaar reeumlel is doch verschijnt als de som vangetallen die we heden complex noemen1Deze moeilijkheid werd door de laatste der grote Bolognese wiskundigen van de

zestiende eeuw Rafaele Bombelli onder de ogen gezien In zijn Algebra die in1572 verscheen - en in een toen ongedrukt gebleven meetkunde van ongeveer1550 - zette hij een theorie van imaginaire en complexe getallen uiteen Hij schreef

(letterlijk R[0 m 9] R voor radix m voor meno) voor onze en behandelde het irreducibile geval op zulk een manier dat hij aantoonde dat bv

Bombellis boek werd veel gelezen we weten dat het gebruikt werd door Stevindoor Leibniz en door Euler Aan Bombelli is zodoende te danken dat de imaginairegetallen iets van hun bovennatuurlijk karakter kwijtraakten al duurde het tot denegentiende eeuw voor complexe getallen hun geheimzinnig waas geheel verlorenen hun normale plaats in de wiskunde konden innemenHet is wel merkwaardig dat de complexe getallen het eerst zijn ingevoerd in de

studie der derdegraadsvergelijkingen op die plaats waar reeumlle oplossingen bestaandoch in vermomde gedaante optreden - en niet in de studie van kwadratischevergelijkingen waar we ze tegenwoordig gewoonlijk het eerst tegenkomen

1 Zie CJ Vooys Het denkbeeldig getal bij Cardano Euclides 35 (195960) 162-166 NLWHGravelaar Cardanos Transmutatiemethoden Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 8 (1909)408-444


119

8

Algebra en praktische rekenkunde bleven vele tientallen jaren het hoofdbestanddeelvan het wiskundig dieet Dit was niet alleen het gevolg van de lsquoRechenhaftigkeitrsquovan de mercantiele bourgeoisie doch ook van de eisen die de leiders der zichvormende staten stelden aan landmeetkunde scheepvaart en het oorlogswezenMen had ingenieurs nodig voor openbare werken en voor de krijgsvoering Desterrenkunde van ouds een belangrijk gebied voor wiskundige studieumln werd nuook gestimuleerd door de eisen die de wetenschappelijke scheepvaartkunde begonte stellen De zestiende eeuw werd de tijd der grote astronomen van CopernicusTycho Brahe en Kepler Een nieuwe opvatting omtrent de samenstelling van hetheelal begon zich baan te brekenHet wijsgerig denken weerspiegelde de grote veranderingen in maatschappij

wetenschap en techniek Plato met zijn eerbied voor het wiskundig denken endaardoor meer kwantitatief ingesteld dan Aristoteles wiens natuurleer bijna zuiverkwalitatief is vond een nieuwe aanhang Wij zien de invloed van Platos denkenoa in het werk van Kepler Het doorbreken van nieuwe gedachten in denatuurwetenschappen nam vaak een anti-Aristotelisch karakter aan Van de grotewerken die hieraan hebben bijgedragen noemen wij slechts Andreas Vesalius Defabrica corporis humani en Nicolaas Copernicus De Revolutionibus orbium celestiumbeide van 1543 waarvan de eerste de nieuwe anatomie de andere de nieuwesterrenkunde inluidde Hierbij kunnen wij nog Mercators grote wereldkaart van 1569voegen die uitdrukking gaf aan het nieuwe aardbeeld in een projectie met lsquowassendegradenrsquo waarbij lijnen van constante koers als rechte lijnen worden afgebeeld Deeeuw wordt afgesloten met William Gilberts De Magnete (1600) waarmede denieuwe natuurkunde zich aankondigtOngeveer gelijktijdig met Cardanos Ars magna verscheen nog een ander boek

dat grote invloed had op de rekenen stelkunde van deze periode Dit was deArithmetica integra (1544) van de Lutherse predikant Michael Stifel waarin oa dedriehoek van Pascal de negatieve getallen ingevoerd als 0 - 3 0 - 8 etc en deoplossing van allerlei vergelijkingen ook van de derde en vierde graad wordenuiteengezet Stifels lsquoCossrsquo-notatie is weer zeer verschillend van die van Cardanodie weer van die van Bombelli verschiltAstronomische en goniometrische tafels met steeds stijgende graad van

nauwkeurigheid verschenen vooral in Duitsland De tafels van GJ Rhaeticus (dieCopernicus boek voor de uitgave had voorbereid) door zijn leerling Valentin Othoin 1596 voltooid be-


120

vatten de waarden van alle zes trigonometrische functies met 10 seconden oplopendin zes decimalen De tafels van B Pitiscus (1613) gingen tot 15 decimalen Ookwas er vooruitgang in de techniek van het oplossen van vergelijkingen en in hetbegrip van de natuur der wortels Karakteristiek was de uitdaging die deZuidnederlandse wiskundige Adriaen van Roomen in 1593 aan alle belangstellendenzond en waarin hij de oplossing eiste van een vergelijking van graad 45 die er alsvolgt uitzag (we geven slechts enige termen aan)x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 + - 3795x3 + 45x = Awaarbij hij verder vermeldde dat voor

de waarde

aan de vraag voldeedDit was een probleem dat door de studie van regelmatige veelhoeken was

geiumlnspireerd Het antwoord liet niet lang op zich wachten In 1594 merkte FranccediloisViegravete (Vieta) een Frans advocaat verbonden aan het hof van Hendrik IV op dat delinkerzijde van de vergelijking equivalent is met de ontwikkeling van sin φ naarmachten van sin φ45 De oplossing kan dan herleid worden tot een vergelijkingvan de 3e de 3e en de 5e graad (45 = 3 times 3 times 5) Ook kan de oplossing met behulpvan tafels worden gevonden Viegravete vond 23 oplossingen van de vorm sin (φ45 - nmiddot 8deg) zodat hij geen aandacht schonk aan negatieve wortels Viegravete die de goniometriemet vele formules verrijkte bracht ook de oplossing van Cardano van dederdegraadsvergelijking over in trigonometrische vorm waarbij het irreducibile gevalzijn afschrikwekkende gedaante verloor omdat nu geen complexe getallen meernodig waren1Viegravetes belangrijkste bijdragen liggen op het gebied der theorie der vergelijkingen

In zijn In artem analyticam isagoge (1591) voerde hij voor het eerst stelselmatigletters in als coeumlfficieumlnten van de termen ener vergelijking Het gebruik van specialegetallen-coeumlfficieumlnten zelfs in de gesyncopeerde algebra van Diofantos had dealgemene discussie van algebraiumlsche vraagstukken bemoei-

1 Zie bv F Schuh Beknopte hoogere Algebragrave (Groningen 1926) Hoofdstuk XIX


121

lijkt Viegravete kwam tot zijn rekening door een kritiek van de methoden der klassiekeschrijvers vooral van de lsquoanalysersquo en lsquosynthesersquo zoals die bij Pappos voorkomenUit deze kritiek leidde hij de noodzakelijkheid af een algebra met getallen tevervangen door een algebra met zgn species (lijnsegmenten oppervlakken enz)In deze logistica speciosa vindt men dus een algemeen symbolisme waarinlijnsegmenten door een letter oppervlakken door een wijziging hiervan wordenuitgedrukt bv A is een lijnsegment A quadratum een oppervlak enz De logisticaspeciosa onderscheidt zich dus van onze algebra daarin dat Viegravete vasthoudt aanhet homogeniteitsbeginsel waarbij het produkt van lijnsegmenten A en B alsoppervlak wordt beschouwd lijnsegmenten kunnen slechts met lijnsegmentenoppervlakken met oppervlakken worden vergeleken Er bestond zodoende enigetwijfel of vergelijkingen van hogere graad dan drie nog zin hadden daar ze tot eenruimte van vier of meer afmetingen konden leiden Maar Viegravete (en ook Stevin) vondenwel een driedimensionale interpretatieDe rekentechniek bereikte zoals reeds is vermeld nieuwe hoogtepunten Viegravete

in Archimedes geest berekende π in negen decimalen kort daarop vond Ludolphvan Ceulen een wiskundige en schermmeester in Delft π eerst in 20 decimalen(Van den Circkel 1596) later in 35 decimalen steeds meer en meer in- enomgeschreven veelhoeken berekenend1 Viegravete slaagde er in π als een oneindigprodukt voor te stellen (1593) dat in onze notatie er zoacute uitziet2π = cos π4 middot cos π8 middot cos π16 middot cos π32 middot cos (π middot 2-n)Bij deze verscherping van de techniek speelde de verbeterde notatie (speciaal

het systematisch gebruik van het decimale positiestelsel met de tien ons bekendesymbolen) een belangrijke rol De rijkdom van nieuwe resultaten laat duidelijk zienhoe verkeerd het zou zijn te zeggen dat mannen als Viegravete lsquoalleen maarrsquo de notatiehebben verbeterd Aan wie zo iets zegt ontsnapt het diepliggende verband tussenvorm en inhoud Vaak zijn nieuwe resultaten ontdekt als een gevolg van eenverbeterde notatie Een voorbeeld is de invoering van de Hindoe-Arabische cijferseen ander voorbeeld is Leibniz schrijfwijze voor differentiaalquotieumlnt en in-

1 Deze waarde van π in 35 decimalen was op zijn grafsteen in de Pieterskerk in Leidenuitgebeiteld Over de resten van deze grafsteen zie Mathem Gazette 22 (1938) 281-282


122

tegraal Een goed gekozen notatie weerspiegelt de werkelijkheid beter dan eenonhandige Daardoor lijkt het wel of een goede notatie een eigen leven heeft desymbolen lsquodenkenrsquo voor ons en zo komen nieuwe resultaten voor den dag Op Viegravetesverbetering van de algebraiumlsche notatie volgt een generatie later die van Descartesmet haar toepassing in de cooumlrdinatenmethode

9

Het nut van het decimale positiestelsel werd nog aanzienlijk vergroot door deinvoering van decimale breuken Ofschoon deze in het Oosten al lang bekend waren(zie blz 98 101) vangt het stelselmatig gebruik van deze breuken in Europa aanmet het boekje De Thiende van Simon Stevin (1585) Stevin een boekhouder uitBrugge vestigde zich in 1581 te Leiden Hij werd ingenieur in het StatenlegerMaurits vanOranje waardeerde de wijze waarop Stevin praktische zin met theoretischinzicht verbond1De Thiende is een voorstel het gehele toenmaals verwarde stelselvan maten en gewichten in een decimaal stelsel om te zetten en daarbij laat Stevinook zien hoe men met decimale breuken even gemakkelijk kan rekenen als metgehele getallen Stevin schreef ook over statica en hydrodynamica en zijnArithmeacutetique (1585) is een uitvoerig leerboek der rekenen stelkunde met eenbehandeling van hogere-machtsvergelijkingen aan Cardano ontleend maar meteen andere notatie bij die van Bombelli aanknopendStevins manier om decimale breuken te schrijven is nogal omslachtig Onze

tegenwoordige notatie is ontstaan als een gevolg van een andere grote verbeteringin de rekentechniek de uitvinding der logaritmen Gedurende de zestiende eeuwhadden verscheidene wiskundigenmet demogelijkheid gespeeld een rekenkundigemet een meetkundige reeks in correspondentie te plaatsen (bv Stifel) vaak metde bedoeling het werk met de ingewikkelde trigonometrische tafels tevergemakkelijken Dit was ook het doel van de Schotse burchtheer John Napier (ofNeper) die in 1614 een boek uitgaf met de titel Mirifici logarithmorum canonisdescriptio Zijn idee was twee reeksen getallen zodanig met elkaar te verbinden datsteeds als de ene reeks volgens een rekenkundige reeks groeit de andere volgenseenmeetkundige reeks afneemt Dan bestaat er tussen het produkt van twee getallenin de tweede reeks en de som van de corresponderende getallen van de eerstereeks een eenvoudige betrekking en zo kon vermenigvuldiging tot

1 Over Maurits en de wiskunde zie H Turkstra Euclides 12 (193536) 9-15


123

optelling worden teruggevoerd mits men eens en voor altijd de bijbehorende tafelsberekende Door zijn uitvinding kon Napier het rekenen met trigonometrischewaarden vereenvoudigen Napiers eerste poging was nogal onbeholpen aangezienzijn beide reeksen in moderne schrijfwijze uitgedrukt zich verhouden als x en y iny = a e-xa of x = Nep log ywaarin a = 1071 Is dan x = x1 + x2 dan a y = y1y2a Dit systeem bevredigde ook

Napier niet en met zijn bewonderaar Henry Briggs een professor aan het nieuweGresham College in Londen besloot hij een decimaal systeem op te bouwenberustende op wat wij als y = 10 x zouden schrijven zodat y = y1y2 als x = x1 + x2

2

Na Napiers dood in 1617 voerde Briggs dit plan uit in zijn Arithmetica logarithmica(1624) dat de zgn Briggse logaritmen van de gehele getallen van 1 tot 20000 envan 90000 tot 100000 in 14 decimale plaatsen bevat In voorbereiding hiervoorhad Napier van Stevin de decimale breuken overgenomen doch de schrijfwijzegewijzigd gehelen en breukdeel werden door een punt gescheiden (gepubl 1619)De leemte die nog in de logaritmentafel bestond werd in Gouda gevuld Hier had

de landmeter Ezechiel de Decker in 1626 een Eerste deel der nieuwe telkonstuitgegeven Met behulp van zijn stadgenoot Adriaen Vlacq gaf hij in 1627 eenTweede deel van de nieuwe telkonst uit waarin de logaritmen van alle getallen van1 tot en met 100000 in 10 decimalen werden gepubliceerd3 Dit werd gevolgd doorVlacqs Arithmetica logarithmica (1628) Met Stevins decimale breuken en Briggsdecimale logaritmen was zo-

1 Dus is Nep log y = 107 (ln 107 - ln y) = 161180957 - 107 ln y en Nep log 1 = 161180957 lnx staat voor onze natuurlijke logaritme Men maakt dus een fout zo men de natuurlijkelogaritmen de Neperiaanse noemt

2 In Napiers zegswijze de logaritme van 1 zou 0 moeten worden en de logaritme van de gehelesinus 10 000 000 000 De lsquogehele sinusrsquo lsquosinus torusrsquo is de sinus van de rechte hoek dusde straal van de cirkelOver Napier zie oa NLWH Gravelaar John Napiers Werken Verh Kon Akad vWetenschappen Amsterdam 1e sectie 6 No 6 1899 159 bldzDe term lsquologaritmersquo schijnt ook van Napier afkomstig te zijn

3 Over de ontdekking van dit lsquoTweede Deelrsquo in 1920 zie M van Haaften De Verzekeringsbode39 (1919-1920) No 49 en 52 40 (1920-21) Nos 4 5 10 en 19 ook Nieuw Archief v Wiskunde15 (1925) 49-54


124

doende het Hindoe-Arabische stelsel tot dezelfde graad van vervolmaking gebrachtals het nu bezit en de twee boeken van De Decker waren een soort apotheose vandit stelsel De nieuwe uitvinding werd onmiddellijk door astronomen en wiskundigenmet vreugde begroet vooral door Kepler die een lange en pijnlijke ervaring metgecompliceerde berekeningen achter de rug hadDe uiteenzetting die hier over het ontstaan der logaritmen is gegeven werkt

historisch gesproken een beetje verwarrend omdat de exponentieumlle functies diewe gebruikt hebben eerst in het laatste deel van de zeventiende eeuw zijn ingevoerdNapier kende het begrip van een basis niet Het verband tussen logaritmen deafstand van breedtecirkels in een kaartprojectie van Mercator de machten van hetgetal e en de integraal van x-1 (of het oppervlak tussen hyperbool en asymptoot) iseerst langzaam ontdekt en wordt eerst door Euler in 1748 helder uiteengezetNatuurlijke logaritmen gebaseerd op wat wij nu y = e x schrijven verschenen bijnagelijktijdig met de logaritmen van Briggs maar hun fundamentele betekenis werdeerst begrepen toen de differentiaalen integraalrekening reeds ontwikkeld was1Van de Nederlandse wiskundigen uit het begin van de zeventiende eeuw moeten

wij nog Willebrord Snell van Royen (Snellius) vermelden een leerling van VanRoomen Tycho Brahe en Kepler en professor aan de in 1575 gestichte Leidseuniversiteit Behalve als vertaler in het Latijn van werken van Van Ceulen en Stevinheeft hij zich op de triangulatie de trigonometrie en de zeevaart-kunde toegelegdIn zijn Eratosthenes Batavus (1617) vinden wij het resultaat van zijn graadmetingin zijn Tiphys Batavus (1624) wordt de lijn van gelijke koers op de bol die een rechtelijn wordt in de Mercatorprojectie met lsquoloxodromersquo aangegeven Wanneer hij denaar hem genoemde brekingswet heeft ontdekt weten we niet daar we van hetbestaan van het handschrift slechts door anderen weten

1 Enige natuurlijke logaritmen vindt men bij EdmundWright (gepubl 1618) en J Speidel (1619)Wright was geiumlnteresseerd in verbeterde kaarten inMercatorprojectie Dan volgt geen publikatievan tabellen voor natuurlijke logaritmen voacuteoacuter 1770 Zie F Cajori History of the Exponentialand Logarithmic Concepts Amer Mathem Monthly 20 (1913) - Onder de uitvinders van delogaritmen moet men ook de Zwitserse instrumentmaker Jost Buumlrgi noemen die in 1620 inPraag zijn Progress-Tabulen uitgaf die echter vrijwel onbekend bleven Zie E Voelling inElemente der Mathematik Supplement 5 (Basel 1948)


125

Literatuur

Over de verspreiding der Hindoe-Arabische cijfers in EuropaDE Smith-LC Karpinski The Hindu-Arabic Numerals (Boston Londen 1911)

Over de theoretische wiskunde in de MiddeleeuwenCB Boyer The History of the Calculus (New York 1959)

Over de wiskunde der scholasticiN Oresme Questiones super Geometriam Euclidis (Leiden 1961 met Engelsevertaling van HLL Busard)E Bodewig Die Stellung des heiligen Thomas von Aquino zur MathematikArchiv fuumlr die Geschichte der Philosophie 11 (1931) 1-34B Geyer Die mathematischen Schriften des Albertus Magnus Angelicus 35(1958) 159-175Thomas of Bradwardines Tractatus de Proportionibus ed and transl by HLCrosby (Madison Wis 1955)HLL Busard Quaestiones super Geometriam Euclidis (van Nicole Oresme)(Leiden 1961)M Clagett Archimedes in the Middle Ages (2 dln Madison 1969 Philadelphia1976)

De Italiaanse wiskunde van de 16e en 17e eeuw vindt men in een aantalverhandelingen besproken

E Bortolotti oa Periodico di Matematica 5 (1925) 147-184 6 (1926) 217-2308 (1928) 19-59 Scientia 1923 385-394 enE Bortolotti I contributi del Tartaglia del Cardano del Ferrari e della Scuolamatematica Bolognese alla Teoria algebrica della Equazione cubiche (Imola1920) 54 blzCardanos autobiografie lsquoVita mea propriarsquo (Basel 1542 1575) in vertalingH Cardano My life vert door J Stoner (New York 1930)Ook Duitse vertaling van H Hefele (Jena 1914)O Ore Cardano the Gambling Scholar (Princeton 1953)Met vertaling en bespreking van Cardanos lsquoLiber de Ludo Aleaersquo Zie ook SHGould The Book on Games of Chances (New York 1961)A Masotti Quaesiti (van Tartaglia) en Cartelli (van Tartaglia en Ferrari) (Brescia1959 1974)PL Rose The Italian Renaissance of Mathematics (Genegraveve 1975)


126

TR Witmer The Great Art or the Rules of Algebra by Girolamo Cardano(Cambridge Mass en Londen 1978) Dit is een Engelse vertaling van de lsquoArsMagnarsquo in moderne notatie

Men vindt vele gegevens over de wiskundigen van de zestiende en zeventiendeeeuw en in het bijzonder de Vlaamse en Nederlandse wiskundigen in de veleartikelen van H Bosmans SJ waarvan de meesten zijn te vinden in de Annalesde la Socieacuteteacute Scientifique de Bruxelles 1905-1927 De volledige bibliografie doorA Rome in Isis 12 (1929) 88-112Ook vindt men belangrijke gegevens over Noord-Nederlandse wiskundigen in

artikelen van het Nieuw Nederlandsch Biographisch Woordenboek (10 dln Leiden1911-37) vele van de hand van C de Waard

P Treutlein Das Rechnen im 16 Jahrhundert Abhandl zur Geschichte derMathematik 1 (1877) 1-100P Treutlein Die deutsche Coss Abhandl zur Geschichte der Mathematik 2(1879)M Steck Duumlrers Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Kuumlnste (Halle1948)HS Carslaw The Discovery of Logarithms by Napier Mathem Gazette191516 76-84 115-119[CG Knott ea] Napier Tercentenary Memorial Volume (London 1915)E Zinner Leben und Wirken des Johannes Muumlller von Koumlnigsberg genanntRegiomontanus (Muumlnchen 1938)JD Bond The Development of Trigonometric Methods down to the close ofthe Fifteenth Century Isis 4 (192122) 295-323FA Yeldham The Story of Reckoning in the Middle Ages (London 1926)EJ Dijksterhuis Simon Stevin (s-Gravenhage 1943)Simon Stevin Selected Works (5 delen 1955-1960)De inleidingen tot de boeken van Stevin bevatten vele historische gegevensoa over de perspectief de algebra en de uitvinding der decimale breukenNikolaus von Cues Mathematische Schriften vert en uitg door J en JEHofmann (Hamburg 1952)L Thorndike The Sphere of Sacrobosco (Chicago 1949)M Clagett The Science of Mechanics in the Middle Ages (MadisonWis-Londen 1959)EGR Taylor The Mathematical Practitioners of Tudor and Stuart England(Cambridge 1954)


127

Hoofdstuk II van G Sarton Six Wings Men of Science of the Renaissance(Bloomington Ind 1957)H Averdunk-J Muumlller-Reinhard Gerhard Mercator Ergaumlnzungsheft 182 zulsquoPetermanns Mitteilungenrsquo (Gotha 1914 188 bldz) met een bespreking vanMercators verschillende kaartprojectiesNZ Davis Sixteenth century French arithmetics and the business life JournHist of Ideas 21 (1960) 18-48AJEM Smeur De zestiende-eeuwse Nederlandse Rekenboeken (DissUtrecht Den Haag 1960)NLWA Gravelaar Cardanos Transmutatiemethoden Nieuw Archief voorWiskunde (2) 8 (1909) 407-443Id De notatie der decimale breuken Ib (2) 4 (1900) 54-73B Hughes Engelse vertaling van Regiomontanus trigonometrieRegiomontanus on Triangles (Madison Wisconsin 1967) Zie ScriptaMathematica 28 (1970) 364-365 bespreking door B RosenfeldF Viegravete Operamathematica (Leiden 1646) Heruitgegeven door JE Hofmannmet voorwoord (Hildesheim New York 1970)N Bubnow Gerberti postea Silvestri II papae Opera Mathematica (Berlijn1899 nieuwe uitg Hildesheim 1913)P Bockstaele Adriaan van Roomen Nat Biogr Woordenboek 2 (Brussel1966) 752-765GE Harig Cardans und Tartaglias Streit um die kubische Gleichungen undseine gesellschaftlichen Grundlagen Arch Hist Sc Techn 7 (1935) 67-104534H Wussing Adam Ries (Leipzig 1989)


129

VI De zeventiende eeuw

De snelle ontwikkeling van de wiskunde tijdens de Renaissance berustte niet alleenop de lsquoRechenhaftigkeitrsquo van de gegoede burgerij Men begon geld te beleggen inindustrie en daarmee in het gebruik en het verbeteren van werktuigen en machinesDeze waren reeds vanouds bekend zij hadden Archimedes genie en Heroonsvernuft geiumlnspireerd In die tijden moedigde evenwel noch de slavernij noch hetstedelijk handwerk het gebruik van arbeidsbesparende mechanismen aan en eeneconomisch vooruitstrevende burgerklasse heeft de Oudheid (en het Oosten) slechtssporadisch bezeten Bij Heroon vinden wij wel machines beschreven doch alleenvoor amusement of voor goocheltoeren In de latere Middeleeuwen begint in dezetoestand verandering te komen machines worden aangewend in werkplaatsen bijopenbare werken en in het mijnbedrijf niet zelden in het bezit van koopliedenbankiers of vorsten en door stedelijke gilden met tegenzin begroet Transatlantischescheepvaart en krijgsbedrijf stimuleren ook uitvinding en verbetering van werktuigenen machines

lsquoDe constante bedrijvigheid die gij Venetianen in uw beroemde arsenaaltentoon spreidt biedt de leergierige geest een groot gebied voor studievooral dat gedeelte van het werk dat betrekking heeft op de mechanicarsquo(Galilei 1632 Dialogi eerste dag)

Reeds in de veertiende eeuw en nog vroeger bestond er in Lucca en Venetieuml eengevestigde zijde-industrie gebaseerd op arbeidsverdeling en waterkracht InVlaanderen bloeide de lakenindustrie In de vijftiende eeuw begon in Centraal Europade mijnbouw zich te ontwikkelen tot een volledig kapitalistisch georganiseerdeindustrie waarbij pompen en hijsmachines al een belangrijke technische rol speeldenzodat steeds dieper liggende lagen konden worden aangeboord De voor Europanieuwe uitvindingen van vuurwapens boekdrukkunst windmolens de verbeteringvan schepen en het graven van kanalen maakten ook op hun beurt weer bredelagen van de bevolking technisch bewust We beginnen mannen aan te treffen diewe nu ingenieurs zouden noemen Uurwerken werden verbeterd en gebruikt inscheepvaart en sterrenkunde en zo kreeg het publiek soms prachtige mechanismente


130

zien De regelmatigheid van de loop der uurwerken en de mogelijkheid daarmedede tijd precies aan te geven maakten op velen een diepe indruk Menig wijsgeerder Renaissance en van later ziet in het uurwerk een model van het heelal Dezefilosofische opvatting heeft medegewerkt tot de ontwikkeling van het mechanischewereldbeeldHet gebruik en de studie van machines voerden tot theoretische werktuigkunde

tot de studie van de beweging en de begrippen van snelheid en versnelling Uit deOudheid waren reeds geschriften over de statica bekend - bv die van Archimedes- en de hernieuwde studie der statica ging van deze klassieke geschriften uit Erbestonden reeds voacuteoacuter de uitvinding van de boekdrukkunst boeken over werktuigenen machines (bv van Kyeser begin 15e eeuw) aangevuld door meer theoretischopgezette studies als het boek over bouwkunde van Leon Battista Alberti (ca 1450)en sommige geschriften van Leonardo da Vinci Leonardos manuscripten bevattenhet begin van een uitgesproken mechanistische natuurleer Later in de zestiendeeeuw verschijnen de mooie technische boeken van Vannoccio Biringuccio(Pirotechnia 1540 Engelse vertaling 1943) en van Georg Agricola (De re metallica1556 Engelse vertaling 1912)Wat de wiskundigen betreft Tartaglia behandelde in zijn Nuova scienzia (1537)

de constructie van uurwerken en de baan van projectielen ofschoon hij nog nietinzag dat deze baan (zonder wrijving) een parabool moet zijn Dit werd eerst doorGalilei in de Vierde Dag van zijn Discorsi (1638) bewezen Deze soort vanonderzoekingen werden ook door de uitgave van de werken van Archimedesgestimuleerd vooral door die van de Italiaan Federigo Commandino (1558) Zowerden de antieke integratiemethoden binnen het bereik van vele wiskundigengebracht Commandino paste deze methoden zelf toe op de berekening vanzwaartepunten (1565) al deed hij dit ook minder streng dan zijn meesterDe berekening van zwaartepunten bleef nog lang een geliefkoosde bezigheid van

hen die hun kennis van Archimedes zochten te verdiepen en zodoende hun studievan de statica wisten te verbinden aan een beoefening van praktijken die we thansals de beginselen van de integraalrekening zien Onder deze volgelingen vanArchimedes treffen we de Nederlander Simon Stevin aan die in zijn Weeghconsten Waterwicht (1586) over zwaartepunten en hydraulische problemen schreefverder de Italiaan Luca Valerio die in 1604 de berekening van zwaartepunten enin 1606 de kwadratuur van de parabool behandelde In de Centrobaryca van de


131

Zwitser Paul Guldin (3 dln 1635-41) vinden we de zgn theoremas van Guldin dieverband leggen tussen oppervlak en inhoud van omwentelingsoppervlakten en hetzwaartepunt van het vlak uit wier wenteling ze ontstaan1Deze auteurs hebben wegen bewandeld waarlangs Kepler Cavalieri Torricelli

en anderen tot methoden kwamen die tot de uitvinding van de differentiaal- enintegraalrekening hebben geleid

2

Kenmerkend voor deze wiskundigen was hun bereidheid om de Archimedischestrengheid van bewijs op te geven voor beschouwingen die veel minder strengsoms lsquoatomischrsquo waren - waarschijnlijk zonder te weten dat Archimedes in zijn briefaan Eratosthenes juist soortgelijke methoden om hun aanschouwelijke waarde hadtoegepast Deze mindere scherpte was voornamelijk het gevolg van het verlangennaar resultaten die met de Griekse methode moeilijk snel waren te verkrijgen enzeker op omslachtige wijze Ten dele speelde ook een zekere ontevredenheid metde scholastiek en haar subtiliteiten een rol waarvan althans sommigen dezerwiskundigen goed op de hoogte waren zeker de Katholieke priesters onder henReken- en scheepvaartmeesters ingenieurs en loodsen zochten naar methodendie gemakkelijk te begrijpen warenDe revolutie in de sterrenkunde die met de namen Copernicus Tycho Brahe en

Kepler is verbonden opende nieuwe visies over de plaats van de mens in het heelalen zijn vermogen deze met behulp van de wiskunde nader te bestuderen Twijfelbegon te rijzen aan de manier waarop in het Aristotelisme verband werd gelegdtussen de bewegingen en de krachten bij lsquoondermaansersquo en hemelse lichamenHoezeer de wiskunde bij deze revolutie een rol speelde kan men in het werk vanJohannes Kepler zien waarin geweldig rekenwerk verbonden is met scherpzinnigemeetkundige beschouwingen waarin ook infinitesimalen een belangrijke rol speeldenKepler wiens Astronomica nova van 1609 zijn elliptische planetenbeweging bevatheeft ook een boek over inhoudsberekeningen geschreven zijn Nova stereometriadoliorum vinariorum (lsquonieuwe stereometrie van wijnvatenrsquo 1615) waarin hij inArchimedes voetstappen voortschrijdende de inhoud afleidde van lichamen

1 Deze theoremas komen alreeds in Pappos Verzameling voor (Boek VII) doch ze wordendoor sommigen als een latere invoeging beschouwd Voor het geval van een torus vindenwe het theorema reeds in Heroons Metrica


132

die ontstaan door rotatie van kegelsneden om een lijn in hun vlak gelegen Hij brakmet het Archimedische strenge doch indirecte bewijs voor hemwas een cirkelomtrekeen veelhoek met oneindig veel zijden en de inhoud van een bol de som van deinhouden van oneindig veel spitse piramiden met gemeenschappelijke top in hetmiddelpunt van de bol Kepler zag in dat de bewijsvormen van Archimedes strengwaren absolutae et omnibus numeris perfectae (absoluut en in elk opzicht volmaakt)maar hij liet ze gaarne over aan lieden die daar plezier in hadden Iedere auteurvan die dagen en nog veel later behield zich de vrijheid voor zijn eigen maat vanstrengheid of gebrek aan strengheid te bepalen Er bleven natuurlijk altijdwiskundigen die het met de strengheid van hun bewijsvoering heel ernstig namen1Op Copernicus en Kepler had Plato met zijn Pythagoreiumlsche verering van de

wiskunde een diepe invloed Bij Galileo Galilei neemt de verwerping van hetAristotelische wereldbeeld scherper en meer polemischer vormen aan Aan hemhebben wij de nieuwe kinematica van vrij vallende lichamen het begin van deelasticiteitsleer en een van geest tintelende verdediging van het Copernicaansestelsel te danken Hij is een der voorgangers van de moderne wetenschap die opde harmonsiche samenwerking van theorie en experiment berust waarbij nadrukwordt gelegd op wiskundige en in t algemeen kwantitatieve beschouwingen - ookal speelt het experiment bij Galilei niet zulk een belangrijke rol als men soms welaanneemt zijn redenering is vaak a priori terwijl het experiment (soms alleen eengedachtenexperiment) als verificatie dient In de Discorsi van 1638 vindt men in deDerde Dag een scherp-

1 Een overgang van het Griekse strenge indirecte bewijs naar een direct bewijs vindt men inValerios boek over zwaartepunten (1604)lsquoIndien een grootheid die groter of kleiner is dan een eerste grootheid een bepaaldeverhouding heeft gehad tot een grootheid die groter of kleiner is dan een tweede grootheidmet een exces of defect dat kleiner is dan welke voorgeschreven grootheid ook (excessu veldefectu quantacumque magnitudine proposita) dan zal de eerste grootheid tot de tweededezelfde verhouding hebbenrsquoDe redenering van Stevin bij het vinden van zwaartepunten kan als volgt worden weergegevenAls grootheden verschillend zijn kan een grootheid gesteld worden minder dan hun verschilMaar stel dat tussen de grootheden P en Q geen grootheid kan gesteld worden minder danhun verschil Dan kan men concluderen dat deze grootheden P en Q lsquoen verschillen nietrsquo(Selected Works I 230) Zie EJ Dijksterhuis Elementen van Euclides II 242 CB BoyerHistory of the calculus 100-106


133

zinnige wiskundige afleiding der wetten van de eenparige en eenparig versneldebeweging (alles geheel meetkundig) in de Vierde Dag wordt de parabolischebeweging van het projectiel afgeleid met tabellen over hoogte en worpswijdte alsfunctie van aanvangshoek en aanvangssnelheid Galilei heeft echter nooit zijn ideeeumlnover de infinitesimaalrekening systematisch uiteengezet doch dit aan zijn leerlingenCavalieri en Torricelli overgelaten Hij had ook over het oneindige zeeroorspronkelijke ideeeumln zoals we ook in de Discorsi kunnen zien (Eerste Dag) waarinhij aantoont dat lsquohet aantal kwadraatgetallen niet kleiner is dan het aantal van allenatuurlijke getallen maar dit aantal ook niet groter is dan het eerstersquo zoals blijkt uitde mogelijkheid van de eacuteeacuten-eacuteeacutenduidige toevoeging der getallen

654321362516941

Dit was een verdediging van het actueel oneindige bewust gevoerd tegen demeningen van Aristoteles en de Scholastici (Salviati in de Discorsi de woordvoerdervan Galilei verdedigt zijn standpunt tegenover Simplicio de Aristoteliaan) Salviatimaakt ook de opmerking dat de kettinglijn er uitziet als een parabool doch berekentde kromme niet Galilei heeft ook het eerst de cycloiumlde beschouwd (1590)Galilei schreef zijn hoofdwerken in het Italiaans Stevin in het Nederlands Bacon

in het Engels en Descartes in het Frans (doch niet altijd) Ze schreven hun werkenin de landstaal waarmee zij het breder publiek wilden bereiken dat in deze periodebereid was van de nieuwe wetenschap kennis te nemen De grote wetenschappelijkerevolutie was in gang En de wiskunde speelde daarin een belangrijke rolDe tijd was dus gekomen voor een eerste systematische samenstelling van de

resultaten die men op het gebied der infinitesimaalrekening had bereikt Het wasBonaventura Cavalieri professor aan de universiteit van Bologna die deze taak opzich nam In zijn Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635) ontwikkelde hijhet begin van een integraalrekening die gebaseerd was op het scholastieke begripvan het indivisibile1 Volgens deze opvatting

1 F Cajori Indivisibles and lsquoghosts of departed quantitiesrsquo in the History of Mathematics Scientia1925 301-306 E Hoppe Zur Geschichte der Infinitesimalrechnung bei Leibniz und NewtonJahresber Deutsch Mathem Verein 37 (1928) 148-187 vgl hierbij CB Boyer History ofthe Calculus (1959) 192 206 209


134

ontstond een lijn uit de sommatie (of beweging) van punten en een oppervlak uitdie van lijnen Cavalieri had daarom geen oneindig kleine grootheden van lsquoatomischersquovorm nodig Men kan zijn gedachtengang leren kennen uit de stelling die we nogsteeds als het lsquobeginsel van Cavalierirsquo in onze leerboeken aantreffen Uit dit beginselwordt geconcludeerd dat de oppervlakten van twee driehoekachtige figuren metdezelfde basis en dezelfde hoogte gelijk zijn als de doorsneden op gelijke afstandvan de basis getrokken gelijk zijnMet zijn optelling van lijnen kon Cavalieri berekeningen voltrekken die equivalent

waren met de integratie van rationale veeltermen doordat hij het equivalent bezatvan de integraal

Maar als men lijnen optelt blijft men lijnen krijgen en geen oppervlakken evenminals men door optelling van punten een lijn verkrijgt (hiervoor moet men bv eenbegrip als beweging invoeren) Cavalieri zag dat ook wel in Toen Torricelli hemeens aantoonde dat met zijn methode om oppervlakken als sommen vanlijnsegmenten te beschouwen men lsquobewijzenrsquo kon dat iedere driehoek door eenhoogtelijn in twee gelijke helften kon worden verdeeld veranderde Cavalieri zijnlijnen in lsquodradenrsquo dus in oppervlakken van zeer geringe dikte doch eerst anderewiskundigen trokken daaruit de nodige consequenties door niet lijnen l maarvlakelementen ldx op te tellen om Leibniz notatie te gebruiken

3

De verschijning van Descartes Geacuteomeacutetrie in 1637 kwam de ontwikkeling van deinfinitesimaalrekening zeer ten goede Door deze Geacuteomeacutetrie werd de geheleklassieke meetkunde binnen het bereik van de algebra gebracht zodat van nu afaan meetkundige en algebraiumlsche methoden elkaar konden bevruchten Het boekwas gepubliceerd als een der appendices tot Descartes Discours de la Meacutethodezijn te Leiden verschenen verhandeling over de methode van het juiste redenerenReacuteneacute Descartes (Cartesius) was een Fransman van lagere adel uit de Tourainegeboortig die een tijdlang in het leger van Prins Maurits had gediend In 1629 keerdehij naar de Republiek terug en bleef daar tot 1649 nogal eens van woningveranderende Hier ontwikkelde en publiceerde hij zijn wiskunde en zijn wijsbegeerteHij stierf in 1650 te Stockholm waar hij op uitnodiging van Koningin Christina naartoewas gereisdIn overeenstemming met vele andere denkers van de 17e eeuw


135

Bladzijde uit La geacuteometrie van Descartes


136

zocht Descartes naar een methode om de waarheid in de wetenschappen te vindenen daardoor zowel de wereld door de rede te begrijpen alsook het maken vanuitvindingen te bevorderen Deze methode leidde in Descartes handen tot eenwijsbegeerte die voor vele tijdgenoten die van Aristoteles verving en tot op de huidigedag zijn invloed laat voelen Voor deze wijsbegeerte was de sleutel tot de kennisder natuur de mechanica en de sleutel tot de kennis der mechanica de wiskundeZo werd de wiskunde van een werkmethode voor loodsen landmeters enrekenmeesters tot het belangrijkste wetenschappelijke denkgebied van de wijsgeerverheven Hierbij speelde naast de algemene kwantitatief gerichte geest des tijdsook het feit mee dat de enige natuurwetenschappen die enigszins stelselmatig warenontwikkeld de astronomie en de statica op wiskundige leest geschoeid waren Daarkwam bij dat de wiskunde zelf met haar overtuigende waarheden een schitterendvoorbeeld was van het feit dat de waarheid in de wetenschappen door de rede konworden gevonden Zo kwam de mechanistische filosofie van deze periode totconclusies die veel overeenkomst hadden met die van de Platonici al was hunuitgangspunt heel anders De Platonici die in de harmonie van het heelal en deCartesianen die aan een op de rede gevestigde methode geloofden vonden beidenin de wiskunde de koningin der wetenschappenDescartes publiceerde zijn Geacuteomeacutetrie als een voorbeeld van zijn rationalistisch

denken dat hier tot een nieuwe verbinding van de algebra en de meetkunde hadgevoerd Volgens een vaak verkondigde mening bestaat de verdienste van dit boekvoornamelijk hierin dat Descartes de analytische meetkunde schiep Het is waardat dit gebied van de wiskunde in de loop der tijden onder de sterke invloed van hetwerk van Descartes is ontstaan De Geacuteomeacutetrie zelf kan echter nauwelijks als eeneerste leerboek over dit onderwerp worden beschouwd Wij vinden er geenlsquoCartesiaanse assenrsquo en geen afleiding van de vergelijkingen van de rechte lijn ende kegelsneden al werden enige kwadratische betrekkingen ingevoerd diekegelsneden weergaven Daar komt bij dat een aanzienlijk deel van het boek uiteen theorie over de algebraiumlsche vergelijkingen bestaat die oa de zgn lsquoregel vanDescartesrsquo over het aantal positieve en negatieve wortels van een vergelijking bevatWij moeten niet vergeten dat reeds Apollonios kegelsneden karakteriseerde met

wat we nu (met Leibniz) cooumlrdinaten noemen een karakterisering die natuurlijkgeheel in meetkundige taal was vervat Ook had Pappos in zijn Verzameling eenAnaluomenos een lsquoanalysersquo gebruikt die men slechts heeft te moderniseren om


137

een consequente toepassing van de algebra op de meetkunde te kunnen afleidenBij Ptolemaios in zijn Geografia vinden we de punten op de bol door lengte enbreedte dus door numerieke cooumlrdinaten aangegeven Zelfs vindt men voacuteoacuterDescartes nu en dan iets wat op een grafische voorstelling lijkt (Oresme) Deverdiensten van Descartes liggen in de eerste plaats in de consequente toepassingvan de in zijn tijd door Cardano en Viegravete ontwikkelde algebra op de geometrischeanalyse van de Grieken waardoor deze een grote hoeveelheid nieuwe toepassingenvond Descartes kon dit presteren omdat hij definitief met dehomogeniteitsvoorwaarden van zijn voorgangers brak voorwaarden die oa typischwaren voor Viegravetes logistica speciosa zodat x2 x3 xy nu evenals x en y alslijnsegmenten konden worden beschouwd Zo kon men uit de vergelijking 1 a = a a2 de term a2 als een lijnsegment uit een evenredigheid construeren indien eeneenheidssegment en het segment a waren gegeven Een algebraiumlsche vergelijkingtussen x en y werd nu een betrekking tussen getallen die lijnsegmenten voorsteldeneen nieuwe wiskundige abstractie die de algemene algebraiumlsche behandeling vanalgebraiumlsche krommen mogelijk maakteDescartes notatie is in vele opzichten modern men vindt in zijn boek uitdrukkingen

als frac12a + die wat schrijfwijze betreffen slechts hierin van onzeschrijfwijzen verschillen dat Descartes aa schrijft waar wij a2 zetten en aaa waarwij a3 zetten De notatie a b c voor bekende grootheden en x y z voor onbekendeis ook van Descartes Het is niet moeilijk de Geacuteomeacutetrie te lezen maar men zal eronze analytische meetkunde niet in vinden1Iets dichter bij onze analytische meetkunde staat het werk van Pierre Fermat een

advocaat in Toulouse die enkele vrij korte meetkundige verhandelingen schreefzeer waarschijnlijk reeds voacuteoacuter de publikatie van Descartes boek doch die pas in1679 werden gepubliceerd In een ervan de Isagoge vinden we stelselmatigeafleidingen van de vergelijkingen van de rechte lijn en de kegelsneden zodat wehier de vergelijkingen y = mx + a xy = k2 x2 + y2 = a2 x2 plusmn p2y2 = b2 vindenvergelijkingen die zijn afgeleid aan de hand van een stelsel van (gewoonlijkrechthoekige) assen Deze

1 De term lsquoanalytische meetkundersquo in de betekenis die wij er aan hechten wordt eerst in hetbegin van de negentiende eeuw gebruikt (zie blz 199) Newton gebruikt de term geometriaanalytica doch niet in onze betekenis Zie verder EJ Dijksterhuis Descartes als wiskundigeOpenbare les Leiden 1932


138

vergelijkingen waren echter volgens Viegravetes notatie geschreven en werden dus ookhomogeen geiumlnterpreteerd Fermats verhandelingen zien er dus veel ouderwetseruit dan die van DescartesToen eindelijk Fermats werk in druk verscheen was het werk van Descartes

voortgezet door anderen die meer stelselmatig de algebra op de antieke meet kundehadden toegepast Wij denken hier bv aan de Tractatus de Sectionibus Conicis(1655) van John Wallis en een deel van de Elementa Curvarum Linearum (1659)van Raadpensionaris Jan de Witt Voor de verspreiding van Descartes wiskundigeideeeumln deed vooral de Leidse professor Frans van Schooten leraar van De Witt enHuygens veel moeite Toch was er slechts matige vooruitgang in deze tak vanwetenschap zelfs LHospitals Traiteacute analytique des Sections coniques (1707) wasniet veel meer dan een vertaling van Apollonios in de taal van Descartes algebraAlle schrijvers aarzelden om aan hun cooumlrdinaten die toch lijnen waren negatievewaarden toe te kennen De eerste die onafhankelijk van deGriekenmet algebraiumlschevergelijkingen werkte was Newton in zijn studie over derdegraadskrommen (1703)De eerste analytische meetkunde van kegelsneden die niet meer afhankelijk wasvan Apollonios vindt men in Eulers Introductio van 1748 waarin ook ruimtefigurenworden behandeld

4

Het verschijnen van Cavalieris boek droeg ertoe bij dat de belangstelling vanwiskundigen in verschillende landen voor vraagstukken uit infinitesimalebeschouwingen voortgekomen groter werd Beiumlnvloed door Descartes begonnenzij de fundamentele problemen meer abstract te formuleren waardoor zij inalgemeenheid wonnen Naast de oudere vraagstukken over inhouden enzwaartepunten die we nu bij de integraalrekening behandelen kwam nu ook hetvraagstuk de raaklijn aan een kromme door een gegeven punt te vinden Ditraaklijnenvraagstuk was door de Grieken nooit fundamenteel aangepakt zodat ommoderne termen te gebruiken de differentiaalrekening eerst tweeduizend jaar nade integraalrekening is ontwikkeld Verwant met het raaklijnenvraagstuk is hetprobleem snelheid en versnelling precies te formuleren waarmee Galilei in deDerde Dag van zijn Discorsi (1638) begonnen is In deze verhandelingen over beidesoorten van infinitesimaalrekening vinden we twee stromingen een meetkundigeen een algebraiumlsche De volgelingen van Cavalieri in het bijzonder Torricelli enIsaac Barrow Ieraar van Newton hielden van de Griekse meetkundige manier vanredeneren al had hun redenering niet altijd de Griekse scherpte Ook ChristiaanHuygens hield van


139

de Griekse methode Daarentegen zien we bij Fermat Descartes en John Walliseen neiging de nieuwe algebra te gebruiken Bijna alle auteurs in deze periode vanca 1630 tot ca 1660 beschouwden algebraiumlsche krommen in het bijzonder krommenmet de vergelijking amyn = bnxm en ieder op zijn manier vond de formules dieequivalent zijn aan onze formule

eerst voor positieve gehele n dan voor positief gebroken n Ook het geval vannegatieve n werd beschouwd Hier gaf het geval n = - 1 bijzondere moeilijkhedendie eerst werden opgelost toen het verband met logaritmen en dat van logaritmenmet exponentieumlle functies volkomen werd begrepen dus niet voor het einde van deeeuwSoms vinden we ook een niet-algebraiumlsche kromme zoals de cycloiumlde Deze

cycloiumlde was zelfs zo populair en gaf aanleiding tot zoveel discussie en twistgeschrijfdat men haar wel eens de kibbelkromme (curve of contention) heeft genoemd Wevinden haar oa behandeld door Descartes en Pascal Pascals Traiteacute geacuteneacuteral dela roulette (1658) - de lsquoroulettersquo is de cycloiumlde - een deel van een boekje dat onderde naam A Dettonville verschenen is heeft oa de jonge Leibniz beiumlnvloed1In deze periode beginnen we ook andere gebieden van de infinitesimaalrekening

aan te treffen Fermat ontdekte in 1638 een methode om maxima en minima tevinden door de veranderlijke in een eenvoudige algebraiumlsche vergelijking een weinigte veranderen en dan te eisen dat de verandering nul werd deze methode wordtvoor meer algemenere algebraiumlsche krommen gebruikt door Van Schootens leerlingJohannes Hudde (1658) die later burgemeester van Amsterdam zou worden Menvindt berekeningen van raaklijnen oppervlakken inhouden zwaartepunten en ookvan booglengten (die zowel differentiatie als integratie eisen) De betrekking tussendifferentiatie en integratie als inverse bewerkingen werd eerst in haar algemeenheiddoor Barrow in 1670 ontdekt doch in een voor ons ongewone meetkundige vormPascal die formules opstelde die met de integratie van sin x en sin2 x en met partieumlleintegratie equivalent zijn werkte ook wel met ontwikkelingen in kleine groothedenwaarin hij de termen van de kleinste

1 H Bosmans Sur loeuvre matheacutematique de Blaise Pascal Revue des Questions Scientifiques1929 63 blz J Guitton Pascal et Leibniz (Paris 1951)


140

dimensies verwaarloosde iets wat we later bij Newton en Leibniz terug vinden alsze de bedenkelijke formule(x + dx)(y + dy) - xy = xdy + ydx(of een equivalente formule) gebruiken Pascal verdedigde zijn methode door

zich meer op zijn intuiumltie (esprit de finesse) dan op zijn logica (esprit de geacuteomeacutetrie)te beroepen we vinden hiervan later in Berkeleys kritiek op Newton een weerklankterug1De invloed der scholastiek kan men niet alleen bij Cavalieri vinden doch ook in

het werk van de Belgische Jezuiumlet Greacutegoire de Saint Vincent en zijn collegas PaulGuldin en Andreacute Tacquet Deze wiskundigen bestudeerden zowel het werk van huntijdgenoten als de Middeleeuwse geschriften over de natuur van het continuuumlm enover de latitudo van vormen In De Saint Vincents en Tacquets boeken vinden wevoor het eerst de uitdrukking lsquoexhaustiersquo voor de indirecte bewijsmethode vanEudoxos en Archimedes (zie bldz 59) Tacquets boek Cylindricorum et annulariumliber (1651) heeft oa invloed op Pascal uitgeoefend De jonge Huygens heeft DeSaint Vincents cirkelkwadratuur bekritiseerdDeze constante bedrijvigheid van wiskundigen in verschillende delen van Europa

in een tijdperk waarin er nog geen wetenschappelijke tijdschriften bestonden leiddetot een aanzienlijke briefwisseling (waarvan thans heel wat is gepubliceerd) en totdiscussiegroepen Sommige geleerden maakten zich verdienstelijk door alsbemiddelaar tussen verschillende correspondenten op te treden Demeest bekendevan deze bemiddelaars was de Minderbroeder Marin Mersenne die ook zelf eenverdienstelijk wiskundige was en naar wie de getallen van Mersenne zijn genoemd(2 n - 1 als n priem is bv 3 7 31 enz) getallen die eigenlijk al bij EuklidesvoorkomenMetMersenne correspondeerdenDescartes Fermat Desargues Pascalen vele anderen lsquoMersenne van een ontdekking te verwittigen betekende dat zedoor heel Europa bekend werd gemaaktrsquo2 Uit die discussiegroepen hebben zich inParijs en elders wetenschappelijke genootschappen en academies ontwikkeld Hunoorsprong hangt ten dele samen met een oppositie tegen de universiteiten die nogin menig opzicht hun scholastiek karakter had-

1 Pascal Oeuvres (Paris 1908-14) Vol XII p 9 XIII p 141-1552 H Bosmans lc blz 43 lsquoinformer Mersenne dune deacutecouverte ceacutetait le publier par lEurope

entiegraverersquo Het convent waar Mersenne zijn veelzijdig werk verrichtte was aan de tegenwoordigePlace des Vosges in Parijs lsquoLe bon pegravere Mersennersquo stierf in 1648 Het grootste getal vanMersenne tot nu toe (met de computer) gevonden is 2216091 - 1 (D Slowinski 1985) ZieScience 245 (1989) 815


141

den behouden - niet zozeer de Leidse universiteit die eerst in 1575 was opgericht- en daardoor de gewoonte behielden om reeds verworven kennis in oude vastevormen door te geven De nieuwe academies daarentegen vertegenwoordigden denieuwe manier van onderzoekZij waren de uitdrukking van de geest van het nieuwe tijdperk lsquoverzadigd in de

roes van nieuwe kennis bezig met het verbreken van verouderd bijgeloof zichontworstelend aan de tradities van het verleden en met de uitbundigste hoop voorde toekomst Hier leerde elke man van wetenschap er niet alleen tevreden meemaar zelfs trots op te zijn als hij een individuele bijdrage hoe klein ook aan de totalesom van kennis toe kon voegen Hier ontwikkelde zich de moderne man vanwetenschaprsquo1De eerste Academie was in Napels opgericht (1560) ze werd gevolgddoor de lsquoAccademia dei Linceirsquo in Rome (1603) De Royal Society van Londendateert van 1662 de Franse Acadeacutemie van 1666 Tot de stichters van de RoyalSociety behoorde Wallis tot die van de Franse Acadeacutemie Christiaan Huygens

5

Een van de belangrijkste boeken na dat van Cavalieri in deze periode vanvoorbereiding was de Arithmetica infinitorum van John Wallis (1655) De schrijverwas van 1643 tot aan zijn dood in 1703 Savilian-professor in de meetkunde teOxford Reeds de titel van het boek laat zien dat Wallis boven het boek van Cavalierivan de lsquomeetkunde der indivisibilenrsquo uit wilde gaan hij wilde tonen wat de nieuwelsquoarithmeticarsquo de algebra vermocht te doen zonder de oude meetkunde Zodoendeontwikkelde Wallis de algebra tot een echte analyse de eerste wiskundige die ditdeed Zijn manier om met oneindige processen om te gaan is voor onze begrippenvaak gewaagd maar hij kon resultaten boeken hij werkte met oneindige reeksenen oneindige produkten en was niet bang voor imaginairen voor negatieve engebroken exponenten Hij schreef infin voor 10 (en beweerde dat - 1 gt infin) Uit zijnintegraties van machten en produkten van goniometrische functies (hij gebruikteuitdrukkingen die wij nu Beta-integralen noemen) die hij voor het bepalen van hetcirkeloppervlak toepaste vond hij het oneindige produkt dat zijn naam draagt

1 Martha Ornstein The Role of Scientific Societies in the Seventeenth Century (Chicago 1913)


142

Wallis was slechts eacuteeacuten van die hele reeks scherpzinnige geleerden die in hun dagende wiskunde met ontdekking na ontdekking verrijkten De stuwende kracht voordeze bloei van scheppende wetenschap ongeeumlvenaard sinds de grote Griekse tijdwas slechts ten dele de ontdekking van de nieuwe technieken waarmee nieuwe enmoeilijke vraagstukken schijnbaar gemakkelijk kondenworden opgelost Vele denkerswerden gedreven door diepere problemen zij zochten zoals Descartes naar eenlsquoalgemenemethodersquo soms in demeer beperkte vorm van een wiskundigemethodesoms in een meer algemene vorm als een methode om de natuur te begrijpen omtot nieuwe uitvindingen en ontdekkingen te komen Daarom waren in deze periodealle wijsgeren van betekenis ook wiskundigen en vrijwel alle wiskundigen vanbetekenis tevens wijsgeren Het zoeken naar nieuwe uitvindingen leidde vaak directtot wiskundige ontdekkingen Een beroemd voorbeeld is het Horologium oscillatoriumvan Christiaan Huygens (1673) waarin het onderzoek naar verbeterde uurwerkenniet alleen tot het slingeruurwerk voerde doch ook tot de studie van deslingerbeweging en van evoluten en involuten van vlakke krommen Christiaan wasde zoon van Constantijn dichter en diplomaat vermogend en veelzijdig aristocraatvriend van de Oranjes en van geleerden onder wie Descartes Christiaan studeerdebij Van Schooten in Leiden woonde verscheidene jaren in Parijs waar hij eenleidende figuur in de nieuwe Acadeacutemie werd later keerde hij naar Nederland terugen hij overleed in 1695 op Hofwijck bij Voorburg Hij was fysicus astronoominstrumentmaker en wiskundige ontdekte de ring van Saturnus en verklaarde hetgedrag van het licht uit zijn golfkarakter Zijn boek over de slingeruurwerken bevatook belangrijke bijdragen tot de mechanica zowel door deze bijdrage als door zijnwiskundig werk heeft hij grote invloed uitgeoefend zowel op Newton als op Leibnizdie beiden naar Huygens hun oudere tijdgenoot opzagen en hem beschouwdenals hun leermeester en criticus Het boek van Huygens en dat van Wallis bevattenwel de meest geavanceerde infinitesimaaltheorieeumln voacuteoacuter de publikaties van Newtonen Leibniz Huygens bestudeerde de tractrix de logaritmische kromme de kettinglijnen de cycloiumlde waarvan hij het tautochrone karakter aantoonde de tautochrone isde kromme die verticaal opgesteld in het zwaartekrachtsveld als een goot deeigenschap heeft dat een massapunt dat in deze goot rolt steeds in dezelfde tijdbeneden in het laagste punt komt onafhankelijk van de plaats van zijn uitgangspuntDoch ondanks deze rijkdom van ontdekkingen waarvan sommige dateren van eentijd toen Leib-


143

niz zijn methoden van differentieumlren en integreren alreeds had gevonden behoortHuygens toch tot de periode van voorbereiding Hij bekende aan Leibniz dat hij zichmet alle respect toch met diens methoden niet vertrouwd kon maken Hetzelfdegebeurde overigens met Wallis wat betreft de methoden van Newton Huygensmeende het met de wiskundige strengheid ernstig en sympathiseerde metArchimedische methoden al vond hij die vaak toch te omslachtig voor de praktijkDeze uitvinding van de slingeruurwerken staat in nauw verband met eacuteeacuten van de

grote technische problemen van de vijftiende tot achttiende eeuw de bepaling vande geografische lengte op zee De oplossing van dit probleem dat voor hettransoceanische verkeer een levensvraagstuk was vereiste ogravef goede uurwerkenogravef goede tabellen van zekere hemelverschijnselen als eclipsen of de plaats van demaan tussen de sterren Regeringen en vermogende heren loofden prijzen uit vooreen bevredigende oplossing en vooraanstaande geleerden van Stevin en Galileitot Newton en Euler toe hebben aan deze oplossing meegewerkt Dit heeft op veletakken van wetenschap bevruchtend gewerkt op de wiskundige cartografie deinfinitesimaalrekening de sterrenkunde de werktuigkunde de elasticiteitsleer deoptica en de instrumentenkunde Men ziet de sporen van dit onderzoek bij Huygensin Newtons Principia in Hookes ontdekking van de wet die zijn naam draagt en laterin Eulers theorie van demaan In het midden van de achttiende eeuw heeft tenslotteeen goede tabellering van de positie van de maan tezamen met de uitvinding vande chronometers het vraagstuk aan een oplossing geholpen die bevredigend wastot de tijd van de radiosignalen

6

De wiskundigen van deze tijd hebben klassieke problemenmet nieuwe oplossingenverrijkt na er een geheel nieuw licht op te hebben doen vallen Zij hebben ook geheelnieuwe terreinen geopend Een voorbeeld van een nieuw en bevruchtend bewerkenvan klassieke problemen is de studie die Fermat van Diofantos heeft gemaakt Eenvoorbeeld van een geheel nieuwe zienswijze op klassieke theoremas wasDesargues projectieve methode En de waarschijnlijkheidstheorie was een geheelnieuw gebiedDiofantos werd voor kenners van het Latijn in 1621 toegankelijk1

1 Hier zijn een aantal klassieke auteurs met het jaartal waarop hun werk het eerst in een leidendeLatijnse uitgave verscheen Euklides 1482 Ptolemaios 1515 Archimedes 1558 Proklos 1560Apollonios I-IV 1566 V-VII 1661 Pappos 1589 Diofantos 1621


144

Fermat die een ijverig bestudeerder van deze uitgave was verrijkte zijn exemplaarmet kanttekeningen die zijn zoon later heeft uitgegeven Een van dezekanttekeningen bevat het beroemde lsquogrote theorema van Fermatrsquo dat zegt dat devergelijking xn + yn = zn voor gehele positieve getallen x y z n en n gt 2 geenoplossingen bezit Fermats opmerking dat hij hiervoor een fraai bewijs had berustwaarschijnlijk op een vergissing Het zoeken naar dit bewijs heeft vele nieuweresultaten opgeleverd zo heeft de Duitse wiskundige Kummer naar aanleiding vandit theorema in 1847 de theorie der ideale getallen opgesteld Er bestaat nog steedsgeen bewijs van dit theorema voor alle waarden van n ofschoon bewezen kanworden dat het theorema voor een groot aantal waarden van n juist is zeker voorpriemgetallen1Een andere kanttekening van Fermat leert ons dat een priemgetal van de vorm

4n + 1 steeds eacuteeacutenmaal en niet meer dan eacuteeacutenmaal als de som van twee vierkantenkan worden geschreven een theorema dat later door Euler bewezen werd Het zgnlsquokleine theorema van Fermatrsquo dat zegt dat ap-1 - 1 deelbaar is door p als p eenpriemgetal is en onderling ondeelbaar met a vindt men in een brief van 1640 dittheorema kan heel eenvoudig worden bewezen Fermat was ook de eerste dieopmerkte dat de vergelijking x2 - Ay2 - 1 (A geheel maar geen vierkant) een oneindigaantal oplossingen heeftFermat en Pascal zijn de grondleggers van de waarschijnlijkheidstheorie De

ontwikkeling van de algemene belangstelling voor dit onderwerp hangt wel samenmet de groei van de verzekeringswetenschap en van het loterijwezen doch despeciale vraagstukken die aanvankelijk grote wiskundigen ertoe brachten om overdeze kwesties na te denken werden gesteld door nobele heren die in dobbelen ofkaarten waren geiumlnteresseerd Men denke aan de woorden van Poisson lsquoEen vraagover kansspelen door een man van de wereld aan een ernstige Jansenist gesteldis het begin geweest van de waarschijnlijkheidsrekeningrsquo2 Deze man van de wereldwas Antoine Gombaud Chevalier de Meacutereacute een geletterde

1 Zie P Bachman Der Fermatsche Satz (Berlin 1919) HS Vandiver Amer Mathem Monthly53 (1946) 555-578 O Ore Number theory and its history (NY 1948) HM Edwards Fermatslast Theorem (New York 1974) Voor n = 3 en n = 4 zie Eulers Algebra

2 Un problegraveme relatif aux jeux de hasard proposeacute agrave un austegravere Janseacuteniste par un homme dumonde a eacuteteacute lorigine du calcul des probabiliteacutes (SD Poisson Recherches sur la Probabiliteacutedes Jugements 1837)


145

edelman en de Jansenist was Pascal Het vraagstuk dat De Meacutereacute aan Pascalvoorlegde was het zgn problegraveme des partis het partijenvraagstuk hoe de pot teverdelen als het spel tussen twee spelers voortijdig wordt afgebroken Pascal begonover dit vraagstuk en over verwante kwesties met Fermat te corresponderen (1654)en aldus begon de waarschijnlijkheidsrekening De wiskundige problemen waaropPascal hierbij stootte zette hij uiteen in zijn Triangle arithmeacutetique (na zijn dood in1664 gedrukt) waarin de eigenschappen der binomiaalcoeumlfficieumlnten aan de handvan de lsquodriehoek van Pascalrsquo worden uiteengezet Huygens in Parijs gekomenhoorde van het bestaan van deze briefwisseling dit spoorde hem aan naar eigenoplossingen te zoeken en zo kwam zijn Rekeningh in Spelen van Geluck tot standdat door zijn leraar Van Schooten in het Latijn werd uitgegeven (1657) als DeRatiociniis in Ludo Aleae de eerste gepubliceerde verhandeling over dekansrekening1 De volgende stappen werden gedaan door de Raadpensionaris DeWitt in Holland (1671) en de astronoom Halley in Engeland (1693) dieverzekeringstafels berekenden De titel van De Witts verhandeling is Waerdye vanLijfrenten naar proportie van Los-renten2 Bij de samenstelling heeft Hudde hemgeholpenBlaise Pascal was de zoon van Etienne Pascal die met Mersenne een

briefwisseling had onderhouden De lsquoLimaccedilon van Pascalrsquo heet naar Etienne Blaisemaakte onder zijn vaders oog grote vorderingen en op zestienjarige leeftijd ontdektehij het lsquotheorema van Pascalrsquo over de zeshoek in een cirkel ingeschreven later ookbekend als hexagramma mysticum Aangezien hij zijn ontdekking (1641) op eenenkel blaadje papier we zouden zeggen een strooibiljet liet drukken mogen weblij zijn dat er nog twee exemplaren zijn behouden gebleven eacuteeacuten in Parijs eenander in Hannover Pascals bewijs vertoont de invloed van Desargues Enige jarenlater vond Blaise een rekenmachine uit de oudste waarvan ooit melding is gemaakt3Op vijfentwintigjarige leeftijd begon hij deel te

1 H Freudenthal Huygens Foundation of Probability HM 7 (1980) 113-1172 Opnieuw uitgegeven door het Wiskundig Genootschap te Amsterdam in 18793 Tenzij men de eer van de ontdekking van een rekenmachine wil toekennen aan de wiskundige

Wilhelm Schickard in Tuumlbingen die in een brief van 1623 aan Kepler een rekenmachinebeschreef die (als ze ooit is samengesteld) niet bewaard is gebleven In het stadhuis vanTuumlbingen is een kopie uit 1957 tentoongesteld


146

Sterk verkleinde weergave van het pamflet uit 1641 waarin Blaise Pascal het lsquotheorema vanPascalrsquo publiceerde


147

nemen aan het ascetische leven van de Jansenisten in het convent van Port Royalbij Parijs Hij bleef zich echter met de wetenschap en de letterkunde bezighoudenWij hebben alreeds over zijn verhandelingen over de lsquoroulettersquo en de integratie vangoniometrische uitdrukkingen gesproken Pascal is ook de eerste geweest die hetbeginsel der volledige inductie in bevredigende vorm heeft uitgedrukt1Geacuterard Desargues was architect in Lyon en de auteur van een boek over

perspectief (1636) Zijn wiskundige roem heeft hij voornamelijk te danken aan eenboekje met de curieuze titel Brouillon project dune atteinte aux eacuteveacutenements desrencontres dun cone avec un plan (1639)2 Hierin vinden we een schets van eenprojectieve meetkunde waarin we begrippen als oneindig verre punten involutiesharmonische verhouding en polariteiten vinden maar dit alles verborgen in eeneigenaardige botanische taal Deze schets raakte ook al spoedig in vergetelheidtot de Brouillon in de negentiende eeuw herontdekt en naar waarde geschat werdVan Desargues terminologie is slechts het woord lsquoinvolutiersquo in onze wiskundige taalovergegaan Het zgn theorema van Desargues over perspectivische driehoekenkomt niet voor in de lsquoBrouillonrsquo maar in een verhandeling van 1648 Ook van dittheorema werd eerst in de negentiende eeuw het belang begrepen

7

Een algemene methode om te differentieumlren en te integreren met inbegrip van hetfeit dat het ene proces het inverse is van het andere kon slechts worden ontwikkelddoor wiskundigen die zowel de meetkundige methoden van de Grieken en vanCavalieri als de algebraiumlsche methode van Descartes en Wallis beheerstenInderdaad treffen wij na 1660 zulke wiskundigen aan in de personen van de jongeNewton en de jonge Leibniz Er is heel wat geschreven over de prioriteit van deontdekking der differentiaalen integraalrekening heel wat over het twistgeschrijfdat al tijdens het leven van Newton en Leibniz is begonnen Ik volsta met hier eropte wijzen dat beide mannen hun methoden onafhankelijk van

1 H Freudenthal Archives internationales des Sciences 22 (1953) 17-37 ook Alg Ned Tijdschrv Wijsbegeerte amp Psychologie 54 (1962) 182-193 Over Pascal zie ook de verhandelingenvan D van Dantzig Euclides 25 (1949-50) 203-232 en EJ Dijksterhuis Med Kon Akad vWetensch Afd Lett nieuwe reeks 14 no 11

2 Een eerste poging tot een schets over wat gebeurt als een kegel een vlak treft


148

elkaar hebben ontdekt Newton heeft zijn methode de zgn fluxierekening het eersteontwikkeld (1665-66) Leibniz wat later (1673-76) doch Leibniz publiceerde zijnmethode de differentiaalrekening (calculus differentialis) het eerst (1684) Zijnintegraalrekening werd in 1686 het eerst aangekondigd Newtons publikaties in defluxierekening verschenen eerst in 1704 en later Leibniz heeft veel genialerevolgelingen gehad dan Newton zijn methode was dan ook eleganter en handigeren is nu algemeen aanvaardIsaac Newton was de zoon van een gegoede landman in Lincolnshire Hij

studeerde in Cambridge onder Isaac Barrow die in 1669 in zijn leerstoel door dezesentwintigjarige Newton werd opgevolgd Newton bleef tot 1696 in Cambridgewaarna hij zich in Londen vestigde eerst als Opzichter (Warden) later als Meester(Master) van de Munt betrekkingen hem aangeboden door Koning-stadhouderWillem III in verband met zijn reorganisatie van de Engelse financieumln Newtonsgeweldige autoriteit berust in de eerste plaats op zijn monumentale PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica (1687) een werk waarin de mechanica axiomatischwordt gefundeerd met invoering van de wet van de zwaartekracht - de wet volgenswelke de appel ter aarde valt en de maan om de aarde beweegt Door strengewiskundige redenering bewees hij dat de wetten van Kepler over deplanetenbeweging het gevolg waren van de wet die zegt dat de kracht waarmeemassapunten elkaar aantrekken omgekeerd evenredig is met het kwadraat van hunafstand Dit maakte een dynamische verklaring van de bewegingen derhemellichamen en van de getijden mogelijk Hij loste het twee lichamenprobleemvoor bolvormige lichamen op en legde de grondslag voor een nieuwe maantheorieDoor het vraagstuk van de aantrekking van twee bolvormige lichamen op te lossenmaakte hij ook de latere potentiaaltheorie mogelijk In zijn axiomatiek van demechanica postuleerde hij een absolute ruimte en een absolute tijdDe bewijsvoering in de Principia is meetkundig en doet Grieks aan al gebruikt

Newton die het limietbegrip kent (doch het slechts op tamelijk duistere wijze in zijnleer der lsquoeerste en uiteindelijke verhoudingenrsquo uitdrukt) niet de indirecte methodeMen zou hieruit zeker niet afleiden dat de schrijver reeds lang in het bezit was vanzijn fluxierekening die hij reeds ontwikkeld had in de jaren 1665-66 toen hij om depest die in Cambridge en Londen heerste te ontvluchten zich in zijn vaderlijk huishad teruggetrokken In die periode legde de jonge Newton ook de grondslagen van


149

zijn gravitatietheorie en van zijn theorie van het licht Een wonderbaarlijk scheppendeperiode lsquoIn de geschiedenis der wetenschappen kennen wij geen voorbeelden vanscheppend werk die te vergelijken zijn met die van Newton gedurende die tweegouden jarenrsquo1Newtons ontdekking van zijn fluxies was nauw verbonden met zijn studie van

oneindige reeksen inWallis Arithmetica infinitorum Zo kwam hij er toe de binomischestelling op gebroken en negatieve exponenten uit te breiden waardoor hij debinomiale reeks ontdekte Dit hielp hemweer om een theorie van fluxies op te stellendie geldig was voor lsquoallersquo functies algebraiumlsch of transcendent Voor Newton waseen fluxie uitgedrukt door een stip boven een letter als ẋ (pricked letters) eeneindige waarde een snelheid Hij noemde de grootheden voorgesteld door letterszonder stip fluents als xHier laten we een voorbeeld volgen van de wijze waarop Newton zijn methode

verklaarde Het is uit zijn Method of Fluxions eerst in 1736 na Newtons dooduitgegeven doch in Newtons jonge jaren geschreven Hij geeft de veranderlijkenof fluents aan door v x y z lsquoen de snelheden waardoor iedere fluent door zijnbeweging wordt vermeerderd (en die wil ik ldquofluxiesrdquo noemen of eenvoudig snelhedenof celeriteiten) zal ik voorstellen door dezelfde letters met een stip er boven aldusv ẋ ẏ żrsquoNewton noemt zijn infinitesimalen lsquomomenten van fluxiesrsquo en stelt ze voor door

vo ẋo ẏo żo waar o een lsquooneindig kleine grootheidrsquo is (In onze notatie - die vanLeibniz - is dus vo = dv en v = dvdt) Dan gaat Newton als volgt verderlsquoZij daarom een willekeurige vergelijking gegeven bvx3 - ax2 + axy - y3 = 0Zet hierin x + ẋo voor x y + ẏo voor y en we verkrijgenx3 + 3x2ẋo + 3xẋoẋo + ẋ3o3 - ax2 - 2axẋo - aẋoẋo + axy + ayẋo + aẋoẏo + axẏo -

y3 - 3y2ẏo - 3yẏoẏo - ẏ3o3 = 0

1 LT More Isaac Newton A Biography (New York London 1934) blz 41 Men heeft welgeloofd dat Newton bij het samenstellen van de Principia zijn stellingen eerst met zijn fluxiesheeft gevonden en dan daarna eerst zijn bewijsvoering in het lsquoGrieksrsquo heeft omgezet In zijnnagelaten papieren is daarvan geen spoor te vinden


150

Nu hebben we verondersteld dat x3 - ax2 + axy - y3 = 0en als we deze termen wegnemen en de overblijvende termen door o delen

krijgen we3x2ẋ - 2axẋ + ayẋ + axẏ - 3y2ẏ + 3xẋẋo - aẋẋo + aẋẏo - 3yẏẏo + ẋ3oo - y3oo = 0Maar aangezien o oneindig klein wordt verondersteld opdat het momenten van

kwantiteiten kan voorstellen zullen de termen die ermee vermenigvuldigd zijn nietszijn vergeleken met de overige Ik laat ze dus weg en wat overblijft is3x2ẋ - 2axẋ + ayẋ + axẏ - 3y2ẏ = 0rsquoDit voorbeeld toont ons dat Newton zijn afgeleiden in de eerste plaats als

snelheden dacht maar ook dat er in zijn wijze van uitdrukking een zekere vaagheidwas Zijn nu die symbolen lsquoorsquo nullen zijn ze infinitesimalen of zijn ze eindige getallenNewton heeft getracht zijn positie duidelijk te maken door zijn reeds vermelde theorievan lsquoeerste en uiteindelijke verhoudingenrsquo (rationes primae et ultimae) die hij in zijnPrincipia invoerde en die het limietbegrip bevat doch in een vorm die zeer moeilijkis te begrijpen

Die uiteindelijke verhoudingen waarmee grootheden verdwijnen zijn inwaarheid niet de verhoudingen van uiteindelijke grootheden maargrenswaarden waartoe de verhoudingen van grootheden die onbegrensdverminderen altijd convergeren en waartoe zij meer en meer naderentot op een willekeurig van te voren gegeven verschil maar die ze nochooit overschrijden noch werkelijk bereiken tot de grootheden tot in hetoneindig kleine afnemen (Principia Boek I Sect I laatste scholium)lsquoGrootheden en de verhouding van grootheden die in een willekeurigeindig tijdsverloop ononderbroken naar gelijkheid streven en die voacuteoacuterhet einde van dit tijdsverloop elkaar benaderen tot op een willekeurig vante voren gegeven bedrag worden ten slotte gelijkrsquo (Principia Boek I SectI Lemma I)1

Wij kunnen wel hieruit zien dat Newton evenals eigenlijk ook alreeds Valerio hetlimietbegrip had maar het is niet heel duidelijk uitgedrukt en voor de tijdgenoot washet nog onduidelijker Dit maakte het begrijpen van Newtons fluxietheorie een lastigwerk dat tot veel verwarring leidde en aanleiding gaf tot de scher-

1 Zie de bespreking in Hoofdstuk V van HJE Beth Newtons lsquoPrincipiarsquo I (1932)


151

pe kritiek van George Berkeley in 1734 Eerst de invoering van het modernelimietbegrip door Cauchy (omstreeks 1820) en latere wiskundigen heeft demisverstanden weggeruimdNewton heeft ook over kegelsneden en vlakke derdegraadskrommen geschreven

In zijn Enumeratio linearum tertii ordinis (1704) gaf hij een classificatie van dezekubische krommen in 72 soorten waarbij hij uitging van de stelling dat elkederdegraadskromme uit een lsquodivergente paraboolrsquo y2 = ax3 + bx2 + cx + d doorcentrale projectie van uit een vlak op een ander vlak kan worden verkregen Dit waswel het eerste nieuwe resultaat van belang dat verkregen was door de toepassingvan de algebra op de meetkunde aangezien zoals we reeds vermeld hebben vrijwelal het werk voacuteoacuter Newton op dit gebied verricht niet veel meer was dan de vertalingvan Griekse resultaten in de taal van de algebra Een andere bijdrage van Newtonwas zijn methode om wortels van numerieke vergelijkingen te benaderen en diehij illustreerde aan het voorbeeld x3 - 2x - 5 = 0 waarvan x = 209455147 alsoplossing wordt verkregenHet is niet altijd gemakkelijk Newtons invloed op zijn tijdgenoten juist te schatten

omdat hij altijd aarzelde zijn ontdekkingen te publiceren Hij ontdekte zijn wet vande zwaartekracht in 1665-66 maar maakte die wet eerst bekend nadat hij hetmanuscript van de Principia aan de drukker had gezonden (1686) Zijn Arithmeticauniversalis die verhandelingen over algebra en analyse bevat die tussen 1673 en1683 zijn tot stand gekomen werd in 1707 gepubliceerd Zijn werk over oneindigereeksen dat van 1669 dateert vindt men in een brief van 1676 aan Henry Oldenburg(een brief die voor Leibniz was bestemd1) en verscheen in druk eerst in 1711 Zijnkwadratuur van krommen uit 1671 zag eerst het licht in 1704 en dit was ook deeerste keer dat de fluxierekening werd gepubliceerd Zijn Method of Fluxions zelfverscheen zoals wij reeds vermeld hebben eerst na zijn dood in 1736 Zelfs zijnhoofdwerk de Principia zou nooit tot stand zijn gekomen zonder het aandringenen de offervaardigheid van zijn jongere vriend Edmund Halley de astronoomNiet minder dan door de Principia beiumlnvloedde Newton door zijn Opticks (1704

naar een veel oudere tekst) de geleerde wereld (en de vele amateurs) van deachttiende eeuw In 1705 sloeg Koningin Anna hem tot ridder en zo werd hij SirIsaac

1 Henry Oldenburg de secretaris van de Royal Society vervulde in die jaren enigszins de rolvan bemiddelaar die vroeger Mersenne had gespeeld Hij heeft ook evenals Leibniz contactgehad met Spinoza


152

8

Gottfried Wilhelm Leibniz geboortig uit Leipzig bracht het grootste deel van zijnleven door in de buurt van het hof van Hannover en in dienst van de hertogen vanwie er een in 1714 koning van Engeland werd onder de naam van George I Hijstreefde zelfs de grootste denkers van zijn tijd voorbij in de breedte van zijnscheppend werk zijn wijsbegeerte omvatte behalve de logica en de monadologieook geschiedenis theologie linguiumlstiek biologie geologie wis- en natuurkundediplomatie en de uitvindingskunst Hij was een der eersten na Pascal die eenrekenmachine uitvond hij voorzag de stoommachine studeerde Chinese filosofieen werkte aan de eenheid van Duitsland Zijn gehele wetenschappelijk en wijsgerigstreven werd gedragen door zijn zoeken naar een universele methode waarmeemen ware kennis zou kunnen verkrijgen uitvindingen kon verrichten en het wezenvan de eenheid van het heelal kon begrijpen Wij hebben gezien hoe dit zoeken ookDescartes denken beheerste De lsquoAlgemene Wetenschaprsquo de Scientia generaliswaarnaar Leibniz streefde was zeer veelzijdig en bracht hem ook tot zijn wiskundigeontdekkingen Hij hoopte de Algemene Wetenschap te kunnen uitdrukken in eenaparte symboliek de Characteristica Universalis en op weg daarheen bestudeerdehij permutaties en combinaties en zocht naar een Algemene Taal een LinguaUniversalis waarin alle gedachtenfouten als rekenfouten zouden optreden Dit leiddehem niet alleen tot een begin van de symbolische logica doch ook tot deinfinitesimaalrekening met zijn sprekende notatie Doch niet alleen hier maar ookop andere wiskundige gebieden trachtte hij de symboliek te verbeteren en zo werdLeibniz een van de grootste uitvinders van mathematische notaties Er zijn weinigmensen geweest die zo diep de eenheid van vorm en inhoud hebben trachten uitte drukken Zijn uitvinding van de differentiaalen integraalrekening (ook deze namenzijn van hem en van de Bernoullis) was gedragen door zijn streven een linguauniversalis van de verandering speciaal van de beweging te scheppen al speeldehier natuurlijk ook de liefde tot de wiskunde om haar zelfs wille een belangrijke rolLeibniz stelde zijn infinitesimaalrekening op gedurende zijn lsquogouden periodersquo toenhij in de jaren 1672-76 te Parijs in diplomatieke dienst was en persoonlijk metHuygens verkeerde Hier bestudeerde hij ook Descartes Pascal en anderevoorgangers Ook stimuleerde hem het bericht uit Engeland dat daar Newton eenalgemene methode had gevonden om problemen met infinitesimalen te beheersenTerwijl Newtons methode als later bleek kinematisch was georieumlnteerd was dievan Leibniz aller-


153

Begin van Leibniz eerste publikatie over de infinitesimaalrekening in de Acta Eruditorumvan 1684 (herdruk van CI Gerhardt uit 1858)


154

eerst van meetkundige aard hij dacht in de taal van de zgn karakteristieke driehoek(dx dy ds) die reeds hier en daar in deze of verwante vorm voor de dag wasgekomen speciaal bij Pascal en bij Barrow in diens Lectiones geometricae van16701 Leibniz eerste publikatie van zijn resultaten geschiedde in 1684 in eenartikeltje van zes paginas in het nieuwe wetenschappelijke tijdschrift de ActaEruditorum dat sinds 1682 in Leipzig was uitgekomen De titel van het opstel istekenend lsquoEen nieuwe methode voor maxima en minima alsook voor raaklijnenonafhankelijk of er gebroken of irrationale grootheden in optreden en eenmerkwaardige soort symboliek hiervoorrsquo2 Als een verhandeling was het artikel doren duister maar het bevatte onze symbolen dx dy en de differentiatieregels zoalsd(uv) = udv + vdu en de differentiaal voor het quotieumlnt met de voorwaarde dy = 0voor extreme waarden en d (dy) = 0 voor buigpunten In 1686 liet Leibniz hieropeveneens in de Acta Eruditorum een ander artikel volgen (in de vorm van eenboekbespreking) waarin hij de integraalrekening met het ʃ teken invoerde Hiervinden we de vergelijking van de cycloiumlde in de vorm

Met deze verhandelingen die door anderen werden aangevuld opende Leibniz eenbuitengewone periode van wiskundige produktiviteit Na 1687 werd hij daarbij vooraldoor de twee broeders Jakob en Johann Bernoulli geholpen broeders die zijnmethoden ijverig bestudeerden en verwerkten Het resultaat was dat nog voacuteoacuter 1700deze onderzoekers het voornaamste hadden gevonden vanwat we nu de elementairedifferentiaal- en integraalrekening noemen maar daarnaast waren al verscheidenedieper gelegen gebieden aangeboord zelfs enige vraagstukken uit wat we nu devariatierekening noemen In 1696 kon alreeds het eerste leerboek derdifferentiaalrekening verschijnen dat de titel Analyse des infini-

1 De uitdrukking lsquotriangulum characteristicumrsquo schijnt het eerst door Leibniz te zijn gebruikt diehaar bestudeerde bij het lezen van Pascals Traiteacute des sinus du quart de cercle een deel vande Dettonville brieven van 1658 Maar reeds bij Snellius in zijn Tiphys Batavus (1624) 22-25vinden wij zulk een driehoek

2 Novamethodus pro maximis et minimis itemque tangentibus quae nec fractas nec irrationalesquantitates moratur et singulare pro illis calculi genus


155

ment petits voerde De schrijver de Markies De LHospital was bij Johann Bernoulliin de leer gegaan wat we oa kunnen zien als wij zijn boek met de verhandelingover de differentiaalrekening bekijken die Johann Bernoulli heeft geschreven dochdie eerst in 1922 is gepubliceerd LHospital bracht in zijn boek de stelling die naarhem genoemd wordt doch door Bernoulli is gevonden en waarmee men degrenswaarde van een breuk kan bepalen als teller en noemer beide tot nul naderen1Onze voornaamste notaties in de infinitesimaalrekening zijn door Leibniz ingevoerd

ook de namen calculus differentialis en calculus integralis2 Ook hebben onder zijninvloed tekens als = voor gelijkheid en middot voor vermenigvuldiging algemene inganggevonden Ook de uitdrukkingen lsquofunctiersquo en lsquocooumlrdinatenrsquo lsquoordinaatrsquo en lsquoabscisrsquokomen van Leibniz evenals de ondeugende term lsquoosculerenrsquo De reeksenarc tg x = x - x33 + x55 - x77 + π4 = 1 - ⅓ + ⅕ - 17 + heten naar Leibniz ofschoon hij ze niet als eerste heeft ontdekt Dat is

waarschijnlijk gebeurd door James Gregory (zie echter wat we over de Indischewiskunde hebben geschreven) Gregory was een veelbelovende Schotse wiskundigedie voacuteoacuter zijn veertigste jaar is gestorven en die gewerkt heeft op het gebied vanreeksen en de onmogelijkheid met passer en lineaal de kwadratuur van de cirkel tevinden Zijn brieven en de drie boeken die hij schreef tijdens zijn verblijf in Italieuml(1664-68) voor hij naar St Andrews University ging toonden zijn grote originaliteitHij kende de binomiale reeks (1670) en in 1671 vinden we reeds de zgn reeks vanTaylor bij hem Had hij langer geleefd dan zou hij waarschijnlijk met Newton enLeibniz tot de uitvinders van de differentiaalen integraalrekening moeten wordenbeschouwdWat de grondslagen van de differentiaalrekening bij Leibniz be-

1 J Bernoulli Briefwechsel I (Bazel 1955) of DJ Struik in Mathematics Teacher 56 (1963)257-260

2 Voor deze stelde Leibniz eerst de naam calculus summatorius voor maar in 1696 werdenLeibniz en Johann Bernoulli het eens over de naam calculus integralis In de moderne analysespreekt men vaak weer van sommatie Zie verder F Cajori Leibniz The Master Builder ofMathematical Notations Isis 7 (1925) 412-429


156

treft die waren even vaag als bij Newton Vaak waren zijn dx dy eindig kleinegrootheden vaak ook grootheden kleiner dan welk getal hoe klein dan ook en tochniet nul Bij gebrek aan een strenge definitie gaf hij analogieeumln en verwees bv naarde verhouding tussen de aardstraal en de afstand van de aarde tot de vaste sterrenHij gebruikte verschillende manieren om het begrip lsquooneindigrsquo te benaderen zoaanvaardde hij in een zijner brieven (aan Foucher 1693) het actueel oneindige teneinde Zenos paradoxen te overwinnen en prees hij De Saint Vincent die de plaatshad berekend waar Achilles de schildpad inhaalt En evenals Newtons vaagheid dekritiek van Berkeley uitlokte zo lokte Leibniz vaagheid de kritiek uit van BernardNieuwentijt arts en burgemeester van Purmerend die ook tegen Spinoza heeftgeschreven Leibniz heeft Nieuwentijt uitvoerig in de Acta Eruditorum beantwoord1We moeten erkennen dat Berkeleys en Nieuwentijts kritiek recht van bestaanhadden doch ze was geheel negatief Beide mannen konden zelf geen strengeopbouw van de infinitesimaalrekening geven Maar door hun kritiek vooral door dievan Berkeley zijn andere wiskundigen aangespoord tot werkelijk opbouwend werkop dit gebied

Literatuur

Men heeft moderne uitgaven van de verzamelde werken van Kepler GalileiDescartes Pascal Fermat Torricelli Huygens en Newton Er bestaat een oudeuitgave van Leibniz wiskundige werken (die van CI Gerhardt) aan nieuwereuitgaven wordt gewerkt (zijn manuscripten bevinden zich in Hannover)

[DT Whiteside-MA Hoskins eds] Mathematical Papers of Isaac Newton (8dln Cambridge 1970-81)[Id] The Mathematical Works of Isaac Newton (2 dln New York-Londen1964-67 met facsimile reproducties en inleidingen[A Koyreacute IB Cohen A Whitman] Isaac Newtons Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica Third Edition (1726) with Variant Readings (2 dlnCambridge Mass amp Cambridge England 1972)Correspondence of Isaac Newton ed HW Turnbull (tot zoverre 3 dlnCambridge 1959-61)[CI Gerhardt] GW Leibniz mathematische Schriften (7 dln Berlin Halle1849-63 opnieuw uitg Hildesheim 1962 met lsquoRegisterrsquo van JE HofmannHildesheim 1977

1 Zie M Cantor Geschichte III (2e Aufl 1901) 254-256 Over Nieuwentijt als wijsgeer zie HFreudenthal Synthese 9 (1957) 454-464


157

Over de ontdekking van de differentiaalen integraalrekening zie het reeds enigemalen geciteerde boek van CB Boyer (New York 1959) met uitgebreide biblografieOok

G Castelnuovo Le origini del calcolo infinitesimale nell era moderne (Bologna1938)O Toeplitz Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung I (Berlin 1949)

Omtrent de historische en technische achtergrond vindt men gegevens inH Grossman Die gesellschaftlichen Grundlagen der mechanistischePhilosophie und die Manufaktur Zeitschrift z Sozialforschung 4 (1935) 161-231RK Merton Science Technology and Society in the Seventeenth CenturyOsiris 4 (1938) Ook als boek (New York 1970)B Hessen The social and economic Roots of Newtons lsquoPrincipiarsquo In Scienceat the Crossroads (Londen 1934) Duitse vertaling in P WeingartWissenschaftssoziologie (Frankfurt 1972)

en over de wetenschappelijke achtergrond inEJ Dijksterhuis De mechanisering van het wereldbeeld (Amsterdam 1950)ook in Engelse en Duitse vertaling verschenen

Over de leidende wiskundigenJF Scott The Mathematical Works of John Wallis DD FRS (Londen1938)A Prag JohnWallis Zur Ideengeschichte der Mathematik im 17 JahrhundertQuellen und Studies z Geschichte der Mathematik B1 (1930) 381-412I Barrow Geometrical Lectures transl and edited by JM Child (London1948)AE Bell Christiaan Huygens and the Development of Science in theSeventeenth Century (London 1948)LT More Isaac Newton A Biography (New York London 1934)SI Wavilow Isaac Newton (Duitse vertaling uit het Russisch Berlin 1951)RS Westfall Never at Rest A Biography of I Newton (New York enz 1981)De beste levensbeschrijving van NewtonHW Turnbull The mathematical Discoveries of Newton (Glasgow 1945)


158

Er bestaan verzamelingen van artikelen over Newton door de History of ScienceSociety (Baltimore 1928) de Mathematical Association (London 1927) en de RoyalSociety (Cambridge 1947)Er bestaat ook een Russische uitgave van Newtons werken

VerderHJE Beth Newtons lsquoPrincipiarsquo (2 vols Groningen 1932) Een gedegen werkin het NederlandsJM Child The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz transl from theLatin texts (Chicago 1920)JE Hofmann Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen Mathematik(Muumlnchen 1949) Naar een aantal andere studies van JE Hofmann overwiskundigen van de 17e eeuw vindt men verwezen in zijn lsquoGeschichte derMathematikrsquo (Goumlschen) Ook Frans van Schooten der Juumlngere (Wiesbaden1962)P Montel Pascal Matheacutematicien (Paris 1951)Johann Kepler A Tercentenary Commemoration of His Life and Work(Baltimore 1931)EJ Dijksterhuis Descartes als wiskundige Openbare les Leiden 1932G Milhaud Descartes Savant (Paris 1921)R Taton LOeuvre matheacutematique de G Desargues (Paris 1951)[HW Turnbull red] James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London1939) Zie ook M Dehn-ED Hellinger Amer Mathem Monthly 50 (1943)149-163EA Fellman Die Mathematischen Werke von Honoratius Fabri Physis 1(1959) 1-54DT Whiteside Patterns of mathematical thought in the later seventeenthcentury Arch for history of exact sc 1 (1961) 179-388JO Fleckenstein Die Prioritaumltsstreit zwischen Leibniz und Newton (BaselStuttgart 1956)Over deze vaak beschreven prioriteitstwist zie ook behalve CantorsGeschichte P van Geer Wiskundig Tijdschrift 10 (1913-14) en de artikelenvan D Mahnke Abhandl Akad Berlin Phys Math Kl 1 (1925) en SitzungsberGes z Befoumlrd ges Naturw Marburg 67 (1932)Paul Tannery Notions historiques in J Tannery Notions de matheacutematiques(Paris 1903) 324-348MS Mahoney The mathematical Career of Pierre Fermat (Princeton NJ1970)


159

CJ Scriba James Gregorys fruumlhe Schriften zur Infinitesimalrechnung Mittmathem Seminar Giessen 55 (1957) 80 bldzJA Lohne Thomas Harriot als Mathematiker Centaurus 11 (1965) 19-45 ookDSBV 1 (1972) 124-129HJM Bos Differentials Higher-order Differentials and the Derivatives in theLeibnizian Calculus Dissertatie Utrecht 1963 AHES 14 (1974) 1-90R Taton Loeuvre de Pascal en Geacuteomeacutetrie projective Revue Hist SciencesAppl 15 (1962) 197-252H Loeffel Blaise Pascal 1623-1662 (Birkhaumlusen 1987) gaat speciaal overPascals wis- en natuurkundeME Baron The Origins of the infinitesimal Calculus (New York 1969)L Auger Un savant meacuteconnu Giles Personne de Roberval 1602-1675 (Paris1962)D Bierens de Haan (1822-95) professor te Leiden schreef tussen 1874 en1893 33 artikelen over Nederlandse wis- en natuurkundigen van de ouden tijdvoor de Versl en Med Kon Akad Amsterdam bijna alle gepubliceerd in delsquoBouwstoffenrsquoGA Vorsterman v Oyen 144 vraagstukken van Nederlandse wiskundigender 17e eeuw (Schoonhoven 1868)P van Geer Hugeniana geometrica I-XII Nieuw Archief voor Wiskunde (2)7-10 (1907-13)P van Geer Johan De Witt als Wiskundige ib (2) 11 (1915) 98-126A Girard Invention nouvelle en Algegravebre Reacuteimpression (Leiden 1884)Zie ook Nieuw Archief voor Wiskunde 11 (1884) 83-152CP Burger Amsterdamsche Rekenmeesters en Zeevaartkundigen in dezestiende eeuw (Amsterdam 1908)Wiskunde in de Gouden Eeuw vakantiecursus 1989 (Amsterdam 1989) Eenverzameling opstellenMeer algemeen isDJ Struik Het Land van Stevin en Huygens (Amsterdam 1958 Nijmegen1979) Ook in het Engels (Dordrecht enz 1981)K van Berkel In het voetspoor van Stevin (Amsterdam 1985)

Over de rekenmeesters en instrumentmakers van deze periode zie behalve hetboek van Burger en het in Hoofdstuk V geciteerde boek van professor Eva Taylor

M Rooseboom Bijdrage tot de geschiedenis der Instrumentmakerskunst inde noordelijke Nederlanden (Leiden 1950)


160

DJ de S Price Science since Babylon (New Haven 1961) spec Ch 3

Over de belangrijkste wiskundigen vindt men ook vaak een levensbeschrijving inhun verzamelde werken bv een biografie van

Huygens door JA Vollgraff in C Huygens Oeuvres XXII (La Haye 1950)

Wat de Nederlandse en Belgische wiskundigen betreft vindt men vele bijzonderhedenin de reeds geciteerde werken van H Bosmans Wij vermelden artikelen overTacquet Isis 9 (1927-28) 66-83 Stevin Mathesis 37 (1923) Annales Soc Sc

Bruxelles 37 (1913) 161-199 Biographie nationale de Belgique 23 (1923-24) DelaFaille Mathesis 41 (1927) 5-11 van Roomen Biographie nat de Belg 19 (1907)De Saint Vincent Mathesis 38 (1925) 250-256 van Ceulen Annales Soc ScBruxelles 34 (1909-10) 88-139 Mathesis 39 (1925) Nicolaas Pietersz van DeventerAnnales Soc Sc Bruxelles 32II (1907-08) 272-301 Over Stevin ook het reedsgeciteerde boek van Dijksterhuis en G Sarton Simon Stevin of Bruges Isis 21(1934) 241-303 zie ook G Sarton The first Explanation of decimal Fractions andMeasures Isis 23 (1935) 153-244Over Stevin en Huygens (over Huygens zie oa ook het reeds geciteerde boek

van AE Bell Zie verder J en A Romein Erflaters van onze beschaving(Amsterdam 7e dr 1956))

DJ Korteweg Het bloeitijdperk der wiskundige Wetenschappen in Nederland(Amsterdam 1894)D Bierens de Haan Bouwstoffen voor de Geschiedenis der wisennatuurkundigeWetenschappen in de Nederlanden I II (Amsterdam 1878-1887)


161

VII De achttiende eeuw

De scheppingskracht van de grote achttiende-eeuwse wiskundigen was in de eersteplaats gewijd aan de uitbouw van de differentiaalen integraalrekening en haartoepassing op de aardse en hemelse mechanica We kunnen de meestvooraanstaande figuren in een soort stamboom opstellen om daarmee hungeestelijke verwantschap aan te duiden

Leibniz (1646-1716)De gebroeders Bernoulli Jakob (1654-1705) Johann (1667-1748)Euler (1707-1783)Lagrange (1736-1813)Laplace (1749-1827)

Nauw verbonden met de werkzaamheid van deze mannen was die van een aantalFranse wiskundigen van wie wij meer speciaal Clairaut DAlembert en Maupertuiswillen noemen en die met de filosofen van de Verlichting verbonden warenDaarnaast staan nog in nauwe betrekking de Zwitserse wiskundigen Daniel Bernoullien Johann Heinrich Lambert De wetenschappelijke bedrijvigheid van deze periodehad gewoonlijk een der grote Academies als middelpunt vooral die van Parijs Berlijnen St-Petersburg Het onderwijs aan universiteiten speelde daarbij slechts eengeringe rol Die Academies stonden vaak onder de bescherming van die monarchendie als verlichte despoten bekend zijn we denken aan Frederik II van Pruisen enCatharina van Rusland zo men wil kan men daar Lodewijk XV en XVI van Frankrijkook bij rekenen Deze lsquoverlichtersquo koningen en keizers stelden er grote prijs opbekende geleerden aan hun academies of hun hof te verbinden Dit was niet alleeneen soort van snobisme maar ook tot op zekere hoogte een erkenning van het feitdat toegepaste wiskunde en de natuurwetenschappen een rol speelden bij deverbetering van het produktieproces en de vergroting van de strijdbaarheid van hetleger of de zeemacht Men heeft wel eens gezegd dat de uitstekende kwaliteit vande Franse vloot ten dele berustte op het feit dat de bouwers van de fregatten enlinieschepen zich ook door wiskundige ideeeumln lieten leiden Zo bevatten Eulerswerken vele toepassingen op vraagstukken die voor vloot en leger van belang warenOok de


162

sterrenkunde ging voort onder koninklijke en keizerlijke bescherming haarvraagstukken aan de wiskundigen voor te zetten nu als toepassingen enuitbreidingen van Newtons leer der zwaartekracht

2

Bazel in Zwitserland reeds in 1263 een vrije Rijksstad geworden was al lange tijdeen middelpunt van wetenschappelijk leven Wij hoeven slechts aan Erasmus tedenken die lsquogrote sterrsquo die in Rotterdam rees lsquoen ging in Bazel onderrsquo Evenals inde Hollandse steden bloeiden ook in Bazel kunsten en wetenschappen onder debescherming van rijke koopmansfamilies Een dezer families was die der Bernoullisin de zeventiende eeuw uit Antwerpen overgekomen nadat deze stad blijvend weerSpaans was geworden Deze familie heeft vanaf de laatste jaren van de zeventiendeeeuw tot op heden in ieder geslacht opnieuw mannen van wetenschapvoortgebracht Het is moeilijk in de geschiedenis der wetenschappen nog een anderefamilie te vinden die op wetenschappelijk gebied zulke hoge prestaties heeftgeleverd Misschien de Darwin-familie in EngelandDeze wetenschappelijke activiteit begon bij de twee broeders Jakob en Johann

Jakob (Jacques) de oudste begon met theologie Johann (Jean) met medicijnente studeren doch toen Leibniz artikelen in de Acta Eruditorum verschenen beslotenbeiden zich op de wiskunde toe te leggen Zo werden ze de eerste leerlingen vanbetekenis die Leibniz kreeg In 1687 verkreeg Jakob aan de universiteit te Bazel deleerstoel voor wiskunde welke hij tot zijn dood in 1705 bezette Johann werd in1697 professor in Groningen (op voorspraak van Huygens) maar toen zijn broederstierf ging hij als diens opvolger terug naar Bazel Hier heeft hij drieeumlnveertig jaargedoceerd tot aan zijn dood in 1748 In zijn latere levensjaren gold hij als de nestorvan de wiskundigen van zijn tijd kritisch en kribbig doch bovenal trots op deprestaties van zijn leerling EulerJakob begon zijn briefwisseling met Leibniz in 1687 Door een constante

uitwisseling van ideeeumln tussen Leibniz en de twee broeders - de broeders soms inheftige rivaliteit - ontdekten deze drie wiskundigen talloze schatten die door hetpionierswerk van Leibniz aan het licht gebracht waren Het aantal hunnerontdekkingen is groot en bevat vele onderzoekingen over integralen en gewonedifferentiaalvergelijkingen We kunnen hier slechts enige voorbeelden geven BijJakob vinden we het gebruik van poolcooumlrdinaten de studie van de kettinglijn (reedsdoor Huygens en ande-


163

ren besproken) de lemniscaat (1694) en de logaritmische spiraal In 1690 ontdektehij de zgn isochroon waarnaar Leibniz in 1687 had gevraagd ze is de krommewaarlangs een massapunt met eenparige snelheid valt en bleek de semikubischeparabool te zijn Jakob schreef ook over isoperimetrische figuren (1701) die tot eenvraagstuk der variatierekening voerden Jakob had zulk een genoegen in delogaritmische spiraal die de eigenschap bezit zichzelf bij een aantal transformatieste reproduceren (haar evoluut is een logaritmische spiraal en eveneens haarvoetpuntskromme en brandlijn ten opzichte van de pool) dat hij die spiraal op zijngrafsteen liet graveren met de inscriptie lsquoeadem mutata resurgorsquo1Jakob Bernoulli hield zich ook bezig met de nog nieuwe

waarschijnlijkheidsrekening waarover hij zijn Ars conjectandi schreef dat in 1713na zijn dood verscheen In het eerste gedeelte van dit boek vinden we Huygensopstel over lsquospelen van gelukrsquo het andere gedeelte bevat een verhandeling overpermutaties en combinaties die haar hoogtepunt vindt in het meest beroemdegedeelte het lsquotheorema van Bernoullirsquo over het gedrag van binomialewaarschijnlijkheidsdistributies In dit zelfde boek vinden we een discussie over dedriehoek van Pascal en treffen we ook de zgn getallen van Bernoulli aan

3

Johann Bernoullis werk is in zijn jongere dagen met dat van zijn dertien jaar ouderebroer nauw verbonden en het is niet altijd gemakkelijk de resultaten van beidemannen precies uit elkaar te houden Johann wordt wel als de uitvinder van devariatierekening beschouwd omdat hij het probleem van de brachistochroon oplostedus het probleem van de kromme waarop een massapunt in de kortst mogelijke tijdnaar beneden valt van een punt A naar een punt B (B niet verticaal onder A) Ditwas in 1697 doch ook Jakob gaf een oplossing en ook Leibniz werkte eveneensmee In deze tijd ontstond ook de oplossing van het vraagstuk van de geodetischekrommen op een oppervlak dat eveneens tot de variatierekening behoort2 Deoplossing van het brachistochroon probleem is de cycloiumlde die ook de tautochroonis zoals reeds Huygens had gevonden Johann Bernoulli heeft ook in samenwerking

1 lsquoOfschoon veranderd ik blijf dezelfdersquo De spiraal op de grafsteen ziet er meer als eenArchimedische spiraal uit

2 Newton had reeds in een scholium van de Principia (Book II Pro 25) het omwentelingslichaambeschouwd dat met de minste weerstand zich in een vloeistof beweegt Hij gaf geen bewijs


164

met Leibniz het probleem der orthogonale trajectorieumln van een familie krommenbehandeld waartoe Newton (na door Leibniz en Bernoulli te zijn uitgedaagd)eveneens een bijdrage heeft geleverd (1716)Onder de andere Bernoullis die tot de wiskunde hebben bijgedragen vinden we

twee zonen van Johann Nikolaus en vooral Daniel1Nikolaus werd naar St-Petersburg beroepen de stad die slechts kort te voren

door tsaar Peter de Grote was gesticht hij stierf jong Het probleem derwaarschijnlijkheidstheorie dat hij gedurende zijn verblijf in die stad ter discussiestelde is als lsquoprobleem (of meer dramatisch ldquoparadoxrdquo) van St-Petersburgrsquo bekendDe andere zoon van Johann Daniel is oud geworden tot 1777 was hij professoraan de universiteit van Bazel Zijn rijke wetenschappelijke arbeid was voornamelijkaan astronomie fysica en hydrodynamica gewijd van de hydrodynamica was hijeen der stichters zijn boek met deze naam is van 1738 Een der stellingen van ditboek die over de hydraulische druk in buizen draagt zijn naam In dezeHydrodynamica vindt men ook de eerste beginselen van de kinetische gastheorieMet DAlembert en Euler heeft hij de theorie van de trillende snaar opgesteld eentheorie die voor het eerst door Brook Taylor aan de orde is gesteld (1715) Men kandit werk als het begin van de leer der partieumlle differentiaalvergelijkingen beschouwenVader en oom ontwikkelden de theorie der gewone differentiaalvergelijkingen hunneef daarentegen maakte zich verdienstelijk met de partieumlle vergelijkingen Hetsnaarprobleem leidde ook tot trigonometrische reeksen

4

Uit Bazel kwam ook de meest produktieve wiskundige van de achttiende eeuw - enmisschien van alle tijden - Leonhard Euler Zijn vader een plattelandspredikanthad bij Jakob Bernoulli wis-

1


165

kunde gestudeerd en Leonhard volgde zijn spoor bij Johann Toen diens zoonNikolaus in 1725 naar St-Petersburg reisde volgde hem de jonge Euler en bleefdaar aan de Academie tot 1741 Van 1741 tot 1766 was Euler werkzaam aan deAcademie te Berlijn die onder de speciale bescherming van Frederik de Grote stonden daarna tot zijn dood in 1783 was Euler weer aan de Academie in St-Petersburgnu onder het patronaat van keizerin Catharina Hij was tweemaal getrouwd en haddertien kinderen van wie de oudste Johann Albrecht ook een wiskundige was Hetleven van deze typische achttiende-eeuwse academicus was bijna uitsluitend aande verschillende gebieden der zuivere en toegepaste wiskunde gewijd Ofschoonhij eacuteeacuten oog in 1735 verloor en kort na zijn terugkeer in St-Petersburg geheel blindwerd kon niets zijn enorme produktiviteit onderbreken Met zijn fenomenaalgeheugen en wiskundige intuiumltie geholpen door zijn zoon en door anderen ginghij voort zijn ontdekkingen te dicteren Gedurende zijn leven verschenen 560 boekenen artikelen en na zijn dood heeft de Academie in St-Petersburg er zevenenveertigjaar voor nodig gehad om zijn nagelaten manuscripten te publiceren Dit verhoogthet aantal van zijn werken tot 771 maar door het onderzoek van Gustav Enestroumlmis dit aantal tot 886 gegroeidEuler verrijkte met aanzienlijke bijdragen elk gebied der wiskunde dat in zijn tijd

bestond Hij publiceerde zijn resultaten niet alleen in artikelen van allerlei lengtedoch ook in een indrukwekkend aantal lijvige leerboeken waarin hij de reedsverworven kennis van zijn tijd systematisch uiteenzette en met nieuwe schattenverrijkte Op sommige gebieden is zijn uiteenzetting bijna definitief geworden Eenvoorbeeld hiervan is onze huidige goniometrie met haar interpretatie van de sinussenen tangenten als verhoudingen en hun tegenwoordige notatie die men beschrevenvindt in Eulers Introductio in Analysin Infinitorum van 1748 Het geweldige prestigevan zijn boeken maakte een eind aan veel verwarring in terminologie en notatieLagrange Laplace en Gauss kenden Euler en namen zijn notatie in al hun werkenoverDe Introductio van 1748 behandelt in zijn twee delen een groot aantal

onderwerpen Men vindt er een uiteenzetting over oneindige reeksen waaronderdie voor e x cos x en sin x verbonden door de betrekking eix = cos x + i middot sin x (inverschillende vormen reeds voor Euler gevonden oa door Johann Bernoulli) Debetrekking tussen exponentieumlle en logaritmische grootheden wordt eindelijk duidelijkuiteengezet Krommen en oppervlakken worden met behulp van hun vergelijkingengrondig onderzocht zodat men in de


166

De paginas uit de Introductio van Euler waarin e ix = cos x + i sin x wordt behandeld(Uit een latere druk van de tekst uit 1748 Euler publiceerde de formule in 1743 en maakteer zelfs in brieven aan Goldbach in 1741 en 1742 reeds melding van)


167


168

Introductio ook een analytische meetkunde in leerboekvorm aantreft Met debehandeling van tweedegraadsoppervlakken komt hier ook de ruimtemeetkundetot haar recht Ook vindt men in de Introductio een algebraiumlsche eliminatietheorieTot de spannendste delen van het boek behoort het gedeelte over de Zegravetafunctieen haar betrekking tot priemgetallen zowel als het hoofdstuk over de partitionumerorum1Een ander groot en rijk tekstboek was Eulers Institutiones calculi differentialis

(1755) gevolgd door drie dikke delen Institutiones calculi integralis (1768-74) Indie boeken vindt men niet alleen onze elementaire differentiaalen integraalrekeningmet de differentiaalvergelijkingen systematisch uiteengezet doch ook de stellingvan Taylor met vele toepassingen de lsquosommatiersquo-formule van Euler en de integralendie we nu met B en Γ aanduiden2 Het deel over differentiaalvergelijkingen met zijnindeling in lsquolineairersquo lsquoexactersquo en lsquohomogenersquo differentiaalvergelijkingen is nog steedshet voorbeeld voor onze elementaire leerboeken over dit onderwerpEulers Mechanica sive motus scientia analytice exposita (1736) was het eerste

leerboek waarin Newtons dynamica van het massapunt met demethode van Leibnizdifferentiaal- en integraalrekening werd ontwikkeld Dit boek werd gevolgd door deTheoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765) met een soortgelijkebehandeling van demechanica van vaste lichamen Hier vinden wij lsquode vergelijkingenvan Eulerrsquo voor de rotatie van een lichaam om een punt De Vollstaumlndige Anleitungzur Algebra (1770) in het Duits geschreven en door een blinde Euler aan een dienaargedicteerd is het voorbeeld geweest voor vele latere boeken over de algebra Hetleidt ons tot de theorie der vergelijkingen van de derde en de vierde graad en heeftals appendix een verhandeling over onbepaalde vergelijkingen een oud onderwerpgeheel nieuw bewerkt Hier vindt men de bewijzen van de stelling van Fermat voorn = 3 en n = 4 de stelling die zegt dat xn + yn = zn onmogelijk is voor positieve gehelegetallen behalve in de gevallen n = 1 en n = 2In het jaar 1744 verscheen Eulers Methodus inveniendi lineas curvas maximi

minimive proprietate gaudentes Dit was de eerste

1 Zie het voorwoord tot de Introductio van A Speiser in Euler Opera Omnia I 9 (1945)2 PJ Davis Leonhard Eulers integral A historical profile of the Gamma function Amer Mathem

Monthly 66 (1959) 849-869


169

systematische uiteenzetting over de beginselen der variatierekening Het boekbracht de lsquovergelijkingen van Eulerrsquo met vele toepassingen waaronder de ontdekkingdat catenoiumlde en recht schroefoppervlak minimaaloppervlakken zijn1Andere beroemde ontdekkingen van Euler zijn zijn polyederstelling dat tussen

het aantal hoekpunten H ribben Z en zijvlakken V van een gesloten veelvlak debetrekking H + V - Z = 2 bestaat2 verder de rechte van Euler in de driehoek dekrommen van constante breedte (die Euler orbiforme krommen noemde) en deconstante van Euler C die samenhangt met de manier waarop de harmonischereeks divergeert

Enige verhandelingen zijn aan spelen en andere onderhoudende onderwerpengewijd zoals aan de paardesprong in het schaakspel het bruggeprobleem vanKoningsbergen en aan tovervierkanten Eulers bijdragen tot de getallentheorie diehij als eerste na Fermat weer produktief aanpakt zouden alleen al genoeg zijn omhem een nis te verschaffen in de Tempel van de Roem Tot zijn bijdragen op ditgebied behoort de reciprociteitswet van de kwadraatresten (1772)Euler heeft ook veel op het gebied van de sterrenkunde gepubliceerd waar vooral

de maantheorie en het drielichamenprobleem in het algemeen zijn aandacht hadDaarmee heeft hij bijgedragen tot de samenstelling van nauwkeurige maantabellendie voor de lengtebepaling op zee van groot nut bleken te zijn Inderdaad heeftzoals gezegd het eeuwenoude probleem van de correcte lengtebepaling eerst inde tweede helft van de achttiende eeuw een bevredigende oplossing gevondenEen algemene hemelmechanica vindt men in Eulers Theoria motus planetarum etcometarum (1774) Ook schonk Euler reeds in zijn jongere jaren zijn aandacht aande aantrekking van ellipsoiumlden (1738)Er bestaan ook boeken van Euler over hydraulica scheepsbouw en artillerie In

1769-71 verschenen drie delen Dioptrica met een theorie van de stralenbrekingdoor een stelsel lenzen In 1739 pu-

1 Zie het voorwoord tot de Methodus inveniendi van C Caratheodory in Euler Opera 1 vol24 (1952)

2 Ze was reeds bekend aan Descartes maar is eerst veel later gepubliceerd zie de Oeuvres(ed Adam et Tannery) deel X 257-276


170

bliceerde hij een muziektheorie waarvan wel eens is gezegd dat ze te muzikaalwas voor de wiskundigen en te wiskundig voor de musici Eulers wijsgerigebeschouwingen over de belangrijkste problemen der natuurwetenschappen in zijnLettres agrave une princesse dAllemagne geschreven (1760-61) zijn in vele talen (ookNederlands 1785) uitgegeven en blijven nog altijd zeer leesbaarDe ongelofelijke produktiviteit van Euler is altijd voor iedereen die met zijn werk

in aanraking is gekomen een bron van bewondering zowel als verrassing geweestEen studie van zijn werk is niet zo moeilijk als het misschien wel lijkt omdat EulersLatijn heel eenvoudig is en zijn notatie bijna geheel modern - eigenlijk moeten wijzeggen dat onze moderne notatie bijna geheel die van Euler is Men kan een langelijst van ontdekkingen opstellen die aan Euler kunnen worden toegeschreven eneen andere met ideeeumln van Euler waar men nog best verder aan kan werkenGrote wiskundigen hebben steeds dankbaar erkend hoeveel zij aan Euler hebbente danken gehad lsquoLisez Eulerrsquo placht Laplace aan jongere mathematici te zeggenlsquolisez Euler cest notre maicirctre agrave tousrsquo En Gauss een beetje zwaarder op de handdrukte zich als volgt uit lsquoDas Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule inden verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts Anderes ersetztwerdenrsquo1 Riemann kende Eulers werken en in enkele van zijn meest diepzinnigewerken voelen wij de geest van Euler Uitgevers konden wel slechtere dingen doendan eens een paar van Eulers geschriften in vertaling met modern commentaaruitgeven Intussen kan men zich via de moderne inleidingen die aan verscheidenedelen van de nog steeds verschijnende Opera omnia van Euler zijn toegevoegdvaak heel mooi in Eulers werk orieumlnteren Er is heel wat over hem geschreven oain 1983 bij de herdenking van zijn dood in 1783

5

Het is wel nuttig om ook eens op een paar voor ons nogal zwakke zijden van Eulerte wijzen In zijn eeuwwerdmet oneindige processen nogal zorgeloos omgesprongenen er is heel wat werk zelfs van vooraanstaande wiskundigen dat ons nu aandoetals een avontuurlijk geeumlxperimenteer Men experimenteerdemet oneindige reeksenmet oneindige produkten met integratie met het gebruik van de symbolen 0 ent infinzowel als met radic - 1 Dat wij zovele

1 Lees Euler hij is ons aller meester - De studie van Eulers werken blijft de beste school in deverschillende gebieden der wiskunde en kan door niets worden vervangen


171

resultaten uit die tijd kunnen accepteren is vooral daaraan te danken dat dievooraanstaande wiskundigen - zoals in alle tijden - een buitengewoon fijn gevoelhadden voor wat waar en wat verkeerd was Maar soms moeten we wel eensbedenkingen hebben We accepteren Eulers stelling dat log n een oneindig aantalwaarden heeft die alle complex zijn behalve in het geval dat n positief is wanneereacuteeacuten dier waarden reeumlel is Euler hield dit vol tegen DAlembert die had beweerd datlog (- 1) = 0 (brief van 1747) Doch we kunnen Euler niet volgen als hij 1 - 3 + 5 - 7+ = 0 neemt of wanneer hij uit

concludeert dat + 1n2 + 1n +1 - n - n2 - = 0We moeten evenwel niet te haastig zijn met onze kritiek op de manier waarop

Euler met divergente reeksen omspringt hij paste gewoonweg niet enige van detegenwoordig gebruikelijke (meest negentiende-eeuwse) convergentiecriteria toeEr is onder dat zorgeloze gedoe met reeksen heel wat waaraan de modernewiskunde een strenge grondslag heeft kunnen gevenWe kunnen ook niet al te geestdriftig worden over Eulers poging de

differentiaalrekening te baseren op een theorie van nullen van verschillende ordeEen infinitesimale grootheid schreef Euler in zijn Differentiaalrekening van 1755is in werkelijkheid nul zodat a plusmn ndx = a dx plusmn (dx)n+1 = dx(n gt 0) en aradicdx + Cdx =aradicdx1lsquoDus bestaan er oneindig vele orden van oneindig kleine grootheden welke

ofschoon zij alle = 0 toch van elkaar moeten worden onderscheiden zo we aanhun betrekking denken die door een meetkundige verhouding is gegevenrsquo waarmeeEuler bedoelt dat 00 allerlei waarden kan hebben afhankelijk van de orde dezernullen2 Het hele gebied van de grondslagen der differentiaalreke-

1 Deze formules doen aan een verklaring van Zeno denken overgeleverd door SimpliciuslsquoDatgene wat bij additie tot iets anders het niet vergroot en bij aftrekking het niet verkleint isnietsrsquo

2 De reactie van de meeste wiskundigen is wel geweest (en is het nog) dat ook de grote Eulerwel eens sliep Professor Joesjkewitsj heeft er overigens op gewezen dat er nog wel eenandere kant aan die zaak zit lsquoEuler und Lagrange uumlber die Grundlagen der Analysisrsquo EulerSammelband zum 250 Geburtstages (Berlin 1959) 224-244


172

ning evenals alle vraagstukken die op oneindige processen betrekking haddenbleven evenwel het onderwerp van gedachtenwisseling en gedachtenverschil Menkan (met Karl Marx) deze periode de lsquomystiekersquo in de geschiedenis derdifferentiaalrekening noemen en deze mystiek voerde soms weer tot conclusiesdie veel verder gingen dan de grondleggers ooit hadden gewild Guido Grandi eengeestelijke die professor in Pisa was en die bekend is gebleven door zijn studie(1723) van rodoneeeumln (r = sin nθ) en andere krommen die op bloemen lijken1beschouwde de vergelijkingfrac12 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - = (1 - 1) + (1 - 1) + + (1 - 1) + = 0 + 0 + 0 + als het symbool van de Schepping uit Niets Hij verklaarde de uitkomst frac12 ook

hiermee dat wanneer een vader aan zijn twee zoons een juweel vermaakt met debepaling dat iedere zoon op zijn beurt het juweel een jaar mag houden iedere zoonhet juweel half in zijn bezit heeftWe mogen Eulers verklaring van de grondslagen der differentiaalrekening zwak

vinden doch moeten erkennen dat hij zijn gezichtspunt met grote scherpte uitdruktEen geheel andere verklaring vinden we bij DAlembert in sommige artikelen vande beroemde Encyclopeacutedie waarvan hij een der leidende geesten was Newtonhad de term lsquoeerste en laatste verhoudingrsquo voor de lsquofluxiersquo gebruikt als de verhoudingvan twee grootheden die juist in het leven komen of juist aan het verdwijnen zijnDAlembert verving dit begrip door dat van een limiet Hij noemde een grootheid delimiet van een andere wanneer de laatste de eerste nader komt dan welke grootheidhoe klein ook genomen lsquoDe differentiatie van vergelijkingen bestaat eenvoudig inhet vinden van de limieten van de verhouding van eindige verschillen (diffeacuterences)van twee veranderlijken die in de vergelijking voorkomenrsquo Dit was een grote stapvoorwaarts evenals DAlemberts idee van oneindige grootheden van verschillendeorde DAlembert liet aan het voorbeeld van een parabool zien wat hij bedoeldeMaar zijn tijdgenoten waren niet overtuigd van het belang van DAlemberts voorstelKwam niet DAlembert in botsing met de moeilijkheden die in Zenos paradoxenopgesloten waren als hij verklaarde dat een snijlijn een raaklijn wordt wanneer detwee snijpunten samenvallen Hoe kan een veranderlijke zijn limiet bereiken alswe aan Zenos kritiek van het bewegingsprincipe denken

1 L Tenca Guido Grandi Physis 2 (1960) 84-89


173

Wij hebben reeds Berkeleys kritiek op Newtons fluxies vermeld George Berkeleyeerste deken van Derry na 1734 bisschop van Cloyne in Zuid-Ierland (Anglicaans)en die van 1729-31 in Newport (Rhode Island nu VS) verbleef is in de eersteplaats als een uitgesproken idealistische wijsgeer bekend esse est percipi1 (en inde tweede plaats door zijn geloof in de geneeskracht van teerwater) Hij wasongelukkig met de steun die de theorie van Newton aan het ongeloof gaf en zo vielhij de theorie der fluxies aan speciaal in The Analyst van 1734 Hij maakte deoneindig kleine grootheden belachelijk als lsquogeesten van overleden groothedenrsquo2wanneer x met o wordt vermeerderd dan is de aanwas van xn door o gedeeldgelijk aan

Dit resultaat is verkregen door o ongelijk aan nul te stellen Doch de fluxie van xnnxn-1 wordt verkregen door o gelijk aan nul te stellen Nu wat is die geheimzinnigeo nul of niet nul Dit was het lsquoklaar en open sofismersquo3 dat Berkeley in dedifferentiaalrekening ontdekte Hij ontkende niet dat het rekenen met fluxies juisteresultaten opleverde maar geloofde dat ze verkregen waren doordat de foutenelkaar ophieven Fluxies waren logisch onhoudbaar lsquoMaar hij die een tweede ofderde fluxie een tweede of derde differentiaal kan slikkenrsquo riep Berkeley uit tegende lsquoongelovige wiskundigersquo die hij toesprak (Halley) lsquozo iemand hoeft heus geenaanmerking te maken over enig punt in de godgeleerdheidrsquo Dit is niet de enige keergeweest dat een kritische moeilijkheid in een wetenschap is gebruikt om eenidealistische filosofie te versterkenJohn Landen een autodidactische Engelse wiskundige wiens naam is bewaard

gebleven in de theorie der elliptische integralen trachtte op zijn wijze demoeilijkheden in de grondslagen der differentiaalrekening te overwinnen In zijnResidual Analysis (1764) kwam hij Berkeleys kritiek tegemoet door oneindig kleinegrootheden geheel te vermijden Zo verkreeg hij de afgeleide van x3 door x in x1 teveranderen waarna

1 Te zijn betekent waargenomen te worden2 Ghosts of departed quantities3 Manifest sophism


174

in 3x2 overgaat als x = x1 Bij meer ingewikkelde functies eist dit proces echteroneindige reeksen en zo heeft Landens methode enige verwantschap met delsquoalgebraiumlschersquo methode die Lagrange zou ontwikkelen

6

Ofschoon Euler buiten kijf de meest vooraanstaande wiskundige van deze periodewas gingen Franse wiskundigen door met boeken en verhandelingen van groteoorspronkelijkheid te schrijven In Frankrijk misschien meer dan in andere landenwerd de wiskunde beschouwd als de wetenschap die de theorie van Newton totgrotere volmaaktheid moest voeren De zwaartekrachtleer was zeer populair bij dewijsgeren van de Verlichting die deze leer konden gebruiken in hun strijd tegen defeodale en half-feodale machten van kerk en staat De Katholieke Kerk had in 1664Descartes op de Index geplaatst doch toen de eeuw ten einde liep behoorde hetCartesianisme zelfs in conservatieve Katholieke kringen tot de goede smaak Destrijd van het Newtonianisme tegen het Cartesianisme - bv gravitatietheorie tegenwerveltheorie - hield een tijdlang niet alleen de brandende belangstelling van degeleerde wereld doch werd ook druk in de salons besproken Voltaires Lettres surles Anglais (1734) hielp eraan mee het Franse publiek van Engeland en zijn Newtonop de hoogte te stellen Voltaires vriendin Madame Du Chacirctelet vertaalde zelfs dePrincipia in het Frans (1759) In het bijzonder streden de aanhangers van Descartesen van Newton over de vorm van de aarde Volgens de Cartesiaanse werveltheoriemoest de aarde aan de polen uitgerekt zijn volgens de Newtonianen was ze aande polen afgeplat De Cartesiaanse sterrenkundigen Cassini (Jean Dominique devader Jacques de zoon de vader is in de meetkunde bekend door de zgn ovalenvan Cassini 1680) hadden een boog van demeridiaan in Frankrijk gemeten (tussen1700-20) en dit had volgens hen de Cartesische stelling bewezen Na een heftigdebat waarin ook vele wiskundigen zich lieten horen besloot de Acadeacutemie tweeexpedities uit te rusten de ene om een graad van de meridiaan dicht bij de evenaarde andere om haar zo noordelijk mogelijk te meten En zo ging in 1735 een expeditienaar Peru (het huidige Ecuador)1 en in 1736-37 een andere naar de Tornea inLapland (Zweden) om een lengtegraad te meten Toen de resultaten van beideexpedities

1 Dwz naar het Spaanse vicekoninkrijk Peru veel groter dan de tegenwoordige staat PeruHoofdkwartier van de expeditie was in Quito dat nu in Ecuador ligt


175

bekend werden bleek Newton de overwinning te hebben behaald Dit was ook eenpersoonlijke overwinning voor Pierre Louis Moreau de Maupertuis de Acadeacutemiciendie de expeditie naar Lapland had geleid De mi beroemde grand aplatisseur1 werdpresident van de Berlijnse Academie en koesterde zich verscheidene jaren in dezon van zijn roem aan het hof van Frederik de Grote Dit duurde tot 1750 toen hijin een heftig debat werd gewikkeld met de Zwitserse en ook in het toenmaligeNederland bekende wiskundige2 Samuel Koumlnig (naar wie een theorema overtraagheidsmomenten is genoemd) over het zgn principe der kleinste werking in demechanica en dat misschien al door Leibniz is uitgesproken Maupertuis trachttedit beginsel te formuleren zoals Fermat voacuteoacuter hem en Einstein na hem hebbengedaan in de hoop tot een alomvattend principe te geraken een principe dat deeenheid van het heelal uitdrukt Maupertuis manier zijn beginsel te formuleren wasverre van duidelijk maar hij definieerde zijn lsquoactiersquo als de grootheid m middot v middot s (m =massa v = snelheid s = afstand) van een stelsel massapunten en daaraan verbondhij een bewijs van het bestaan van God Het debat dat aan de Berlijnse Academiewoedde werd er niet vriendschappelijker op toen Voltaire met de ongelukkigepresident in zijn Diatribe du docteur Akakia Meacutedecin du pape (1752) de draak stakNoch de allerhoogste steun van de koning noch de wetenschappelijke steun vanEuler kon Maupertuis in zijn gewonde eigenwaarde herstellen en de ontnuchterdemathematicus stierf niet lang daarna in Bazel in het huis van de Bernoullis3Euler heeft het beginsel van de kleinste werking in de betere vorm ʃm middot v middot ds =

minimum uitgesproken en hij deed ook niet mee aan de metafysica van MaupertuisZo werd het beginsel op solide basis gesteld en zo werd het dan verder uitgewerktdoor Lagrange en later door Hamilton4 De belangrijke rol die de zgn Ha-

1 De grote afplatter2 Hij was in 1748 bibliothecaris van Stadhouder Willem IV en doceerde ook in die tijd in Franeker

en Den Haag3 Details over deze strijd vindt men oa in de inleiding van JO Fleckenstein tot Ser 2 no 5

Euler Opera Omnia (1957)4 Zie ook PEB Jourdain The Principle of Least Action (Chicago 1913) en A Kneser Das

Prinzip der kleinstenWirkung (Leipzig Berlin 1928) en de uitstekende kritische geschiedenisvan de 18e eeuwse mechanica in C Truesdell The rational Mechanics of Flexible and ElasticBodies 1630-1780 in Eulers Opera Omnia 2e Ser 11 (1960)


176

miltoniaan in de tegenwoordige mathematische fysica speelt pleit voor debelangrijkheid van Eulers bijdrage tot het debat tussen Maupertuis en KoumlnigOnder de geleerden die met Maupertuis naar Lapland zijn gegaan behoorde ook

de jonge Alexis Claude Clairaut die alreeds in 1731 op achttienjarige leeftijd metzijn Recherches sur les courbes agrave double courbure een eerste poging om deruimtelijke analytische meetkunde van krommen te ontwikkelen de aandacht opzich had gevestigd Na zijn terugkeer uit Lapland gaf Clairaut zijn Theacuteorie de lafigure de la terre (1743) uit een belangrijke bijdrage tot de studie van het evenwichtvan vloeistoffen en de aantrekking van omwentelingsellipsoiumlden Laplace heeft ditonderwerp later nauwelijks beter kunnen behandelen Men vindt in dit boek ook devoorwaarde dat Mdx + Ndy totaal is en het begin van een potentiaaltheorie Laterpubliceerde Clairaut ook een maantheorie Theacuteorie de la lune (1752) die zichaansloot aan Eulers maanleer en het drielichamenprobleem Men vindt bij Clairautook onderzoekingen over lijnintegralen en differentiaalvergelijkingen en hij heeft zijnnaam verbonden aan een der eerste voorbeelden van een singuliere oplossing enerdifferentiaalvergelijking (1734) Dat voor z = f(x y) de waarden van part2zpart xparty enpart2zpartypartx gelijk zijn is ook door Clairaut aangetoond (1730) dit was reeds doorNikolaus I Bernoulli beweerd (1721) Men vindt de stelling ook in Eulers Introductiovan 1748

7

De intellectuele oppositie tegen het lsquoAncien Reacutegimersquo vond na 1750 een sterke steunin de beroemde Encyclopeacutedie ou Dictionnaire raisonneacute des Sciences des Arts etdes Meacutetiers (28 dln 1751-72) Redacteur was Denis Diderot onder wiens leidingde Encyclopeacutedie een gedetailleerd verslag bracht van de kennis en delevensopvatting van de Verlichting Diderot was geen onbekwaam wiskundige1maar DAlembert was de leidende mathematicus van de Encyclopedisten Jean leRond DAlembert de natuurlijke zoon van een aristocratische dame als vondelingneergelegd bij de kerk van St-Jean Le Rond in Parijs toonde reeds vroeg zijn hogebegaafdheid In 1754 werd hij secreacutetaire perpeacutetuel van de Acadeacutemie en daarmeede invloedrijkste man van wetenschap in Frankrijk Zijn Traiteacute de Dynamique (1743)toonde aan hoe de dynamica van vaste lichamen op een statisch probleem kanworden teruggevoerd dit is bekend als het beginsel van DAlembert Hij schreef

1 Er bestaat een vaak herhaald vertelseltje over Euler en Diderot waarin Euler optreedt alseen tegenstander van Diderot in een openbaar debat dat in St-Petersburg zou hebbenplaatsgevonden Euler zou hierbij de vrijdenkende Diderot in verwarring hebben gebrachtdoor hem een algebraiumlsch bewijs van het bestaan van God voor te houden lsquoMijnheer (a +bn)n = x dus bestaat God wat is uw antwoordrsquo Men zou dit een goed voorbeeld van eenslechte historische anekdote kunnen noemen want een goede anekdote over een historischepersoon moet het een of andere trekje van zijn karakter belichten terwijl deze anekdoteslechts er toe dient het karakter van beide deelnemers te verdoezelen Diderot kende heelwat wiskunde en heeft over involuten en over waarschijnlijkheid geschreven en er is geenenkele reden om aan te nemen dat de gemoedelijke Euler zich op de aangegeven ezelachtigemanier zou hebben aangesteld Het verhaal schijnt van de Engelse wiskundige Augustus DeMorgan (1806-73) afkomstig te zijn Zie Isis 33 (1941) 219-231 ook LG Krakeur-RL Kruegerib 31 (1940) 431-432 B Brown Amer Math Monthly 49 (1944) AM Chouillet Dix-huitiegravemeSiegravecle 10 (1978) 319-328 Het is waar dat er in de achttiende eeuw wel eens gespeeld werdmet de idee het bestaan van God algebraiumlsch te bewijzen Maupertuis deed eraan mee zieVoltaires lsquoDiatribersquo Oeuvres 41 (ed van 1821) bldz 19 30


over vele onderwerpen in de toegepaste wiskunde vooral over hydro-dynamicaaerodynamica en het drielichamenprobleem In 1747


177

verscheen zijn theorie van de trillende snaar waarbij hij een idee van Brook Tayloruitwerkte Dit gaf aanleiding tot een lange gedachtenwisseling tussen hem Euleren Daniel Bernoulli die men kan aanzien als het begin van de theorie der partieumlledifferentiaal-vergelijkingen Waar DAlembert en Euler de vergelijking zu = k

2zxxoplosten door de uitdrukking z = f(x + kt) + φ(z - kt) merkt Euler op dat men ookoplossingen met behulp van trigonometrische reeksen kan krijgen Dit leidde toteen gedachtenwisseling tussen Euler en Daniel Bernoulli over de algemeenheidvan zulk een oplossing Het karakter van die verschillende soorten van oplossingbleef tot op zekere hoogte onduidelijk DAlembert geloofde dat de aanvangsvormvan de snaar slechts kon worden gegeven door een enkele analytische uitdrukkingterwijl Euler geloofde dat lsquoiederersquo continue kromme als aanvangskromme kon wordengebruikt Bernoulli die van de fysische werkelijkheid uitging geloofde in het algemenekarakter van de oplossingmet trigonometrische functies terwijl Euler daarbij reserveshad Het debat liet zien hoe veel moeilijkheden er in de achttiende eeuw in zulkebegrippen als lsquoanalytische uitdrukkingrsquo en lsquofunctiersquo nog lagen Eerst in 1824 brachtFourier met zijn boek over de warmteleer klaarheid omtrent de mogelijkheid lsquoiederersquofunctie in een trigonometrische reeks te ontwikkelen in die tijd begint ook eenverheldering van het functiebegrip in verband met zulke reeksen1

1 Over deze gedachtenwisseling zie H Burckhardt Jahresb Deutsch Mathem Verein 10(1908) ook Encycl Math Wiss II A 12 Een ander verslag bij CA Truesdell Euler OperaOmnia (2e ser) 112 (1960) Voor de behandeling van het functiebegrip zie AP JoesjkewitsjThe Concept of Function up to the Middle of the 19th century AHES 16 (1976) 37-85 OokAE Monna ibid 9 (1972) 57-84


178

DAlembert had een vlotte pen die vele onderwerpen kon bestrijken Hij schreefook over de grondslagen van de wiskunde wij hebben reeds gezien hoe hij hetlimietbegrip invoerde Men heeft wel het lsquohoofdprobleemrsquo van de algebra naarDAlembert genoemd en inderdaad heeft hij in 1746 een (niet al te wel geslaagde)poging gedaan te bewijzen dat iedere algebraiumlsche vergelijking minstens eacuteeacuten wortelheeft Het werken met complexe getallen was toen nog wat stroef men moest bveerst nog bewijzen dat lsquofunctiesrsquo van complexe getallen ook complex zijn Eulerheeft toen een ander meer begrijpelijk bewijs geleverd doch ook hier nog vragenopengelaten die eerst Gauss in 1799 heeft beantwoord DAlembert heeft tevensover de grondslagen der waarschijnlijkheid nagedacht zij het niet altijd met succeszoals blijkt uit de zgn paradox van DAlembert (is de kans om minstens eacuteeacuten kruiste gooien als men een munt tweemaal opwerpt frac34 of ⅔)De waarschijnlijkheidstheorie werd in die dagen veel beoefend ook al door de

vele loterijen die gehouden werden en de opkomst van tontines enverzekeringsmaatschappijen Daarbij volgde men het pad dat door Fermat Pascalen Huygens was geeumlffend Na de Ars Conjectandi van Bernoulli (1713) kwam deDoctrine of Chances (1716) van Abraham De Moivre een Hugenoot die na deherroeping van het Edict van Nantes (1685) in Londen was komen wonen en daardoor privaatlessen in zijn onderhoud voorzag Men spreekt wel van het theoremavan De Moivre (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ en terecht doch in de vormin welke wij het nu schrijven vinden we het eerst in Eulers Introductio In een artikelvan 1733 leidde De Moivre de normale waarschijnlijkheidsverdeling af als eenbenadering van Bernoullis binomiale wet Hij gaf ook een formule die met die vanStirling equivalent is James Stirling een Schotse wiskundige uit de school vanNewton publiceerde zijn benaderingsformule voor n (n faculteit = 1 times 2 times times n)in1730 De Moivres formule bevatte de zgn getallen van BernoulliEuler heeft ook verscheidene vraagstukken van de waarschijnlijkheidsrekening

behandeld Doch ook nieuwe gezichtspunten kwamen naar voren Zo bracht deComte de Buffon beroemd als


179

de auteur van een Histoire Naturelle in 36 prachtige delen en van een rede over destijl (lsquole style est lhomme mecircmersquo)1 in 1733 in 1777 het eerste voorbeeld van eenmeetkundige waarschijnlijkheid Dat was het zogenaamde naaldprobleem dat steedsweer verrassend werkt als blijkt dat men de waarde van π lsquoexperimenteelrsquo kanbepalen door een naald een groot aantal malen op een vlak te werpen dat metevenwijdige lijnen op gelijke afstand is bedekt en dan het aantal malen te tellen datde naald een der lijnen treftTot deze periode behoren ook de pogingen om de kansrekening toe te passen

op s mensen oordeel door bij voorbeeld de waarschijnlijkheid te berekenen dateen rechtsgeding tot een juist oordeel kan komen zo aan iedere getuige en iedereandere deelnemer een getal kan worden toegekend dat de kans uitdrukt dat hij dewaarheid ogravef spreekt ogravef herkennen kan Deze curieuze lsquowaarschijnlijkheid vanoordelenrsquo (probabiliteacute des jugements) waarin men iets van de filosofie van deVerlichting proeven kan komt uit in het werk van de Marquis de Condorcet en laternog in dat van Laplace en zelfs van Poisson (1837)

8

De Moivre Stirling en Landen waren vertegenwoordigers van de Engels-Schotsewiskunde van de achttiende eeuw Wij moeten nog enige andere van hun collegasnoemen al bereikten ze niet de hoogte van sommige van hun continentaletijdgenoten De traditie van de zo diep vereerde Newton lag zwaar op de Engelsewetenschap en de fluxienotatie onhandig vergelekenmet de soepelheid van Leibnizsymboliek maakte vooruitgang ook moeilijker Er waren diepliggendemaatschappelijke redenen waaromEngelse wiskundigen weigerden buiten de banente gaan die Newton had aangegeven Engeland was constant in oorlog gewikkeldmet Frankrijk om markten en kolonieumln en ontwikkelde daarin een gevoel vanintellectuele superioriteit dat niet alleen werd aangemoedigd door de overwinningenin handel en oorlog maar ook door de bewondering die de continentale denkershadden voor het Engelse politieke systeem Engeland werd zodoende een tijdlangalthans in de wiskunde het slachtoffer van zijn eigen werkelijke of vermeendesuperioriteit Men vindt dit wel meer in de geschiedenis Evenals bij de algebra inde laat-Alexandrijnse periode werd hier de vooruitgang technisch gesproken dooreen gebrekkige notatie gehandicapt doch de ware oorzaken lagen dieper in demaat-

1 De stijl is de mens zelf (de feiten kan hij wel van anderen verkrijgen)


180

schappelijke verhoudingenOverigensmoet men niet te zeer generaliseren de Engelse scheikunde en Schotse

geneeskunde van de achttiende eeuw ontwikkelden zich wel heel goed doch water was aan wetenschap was meest in handen van dissenters niet geaccepteerddoor de grote Engelse universiteitenDe belangrijkste wiskundige van het midden der achttiende eeuw was een Schot

Colin Maclaurin professor aan de universiteit van Edinburgh een leerling vanNewton die hij nog persoonlijk had gekend Zijn studie en toepassing vanfluxiemethoden zijn onderzoekingen over krommen van de tweede en hogere graaden over de aantrekking van ellipsoiumlden vertonen verwantschap met die van zijntijdgenoten Clairaut en Euler We treffen in onze theorie der vlakke krommen eenaantal theoremas van Maclaurin aan sommige ervan behoren tot de projectievemeetkunde waarvan Maclaurin een voorloper is In zijn Geometria Organica (1720)vinden we de opmerking die gewoonlijk de paradox van Cramer wordt genoemd(Gabriel Cramer een Zwitser beschreef haar in zijn boek van 1750 nl dat eenkromme van de graad n niet altijd volledig is bepaald door frac12 n (n + 3) punten zodater stelsels van negen punten bestaan die een derdegraads kromme niet eenduidigbepalen) In dit boek van Maclaurin vinden we ook kinematische methoden omvlakke krommen van verschillende graad te beschrijven Maclaurins Treatise ofFluxions (2 dln 1742) - geschreven om Newton tegen Berkeley te verdedigen - isgeen gemakkelijke lectuur vanwege de ouderwetse meetkundige vorm waarin hetgedeeltelijk is geschreven in tegenstelling tot het vloeiend lopende werk van EulerMaar Maclaurin wenste de strengheid van het Archimedische betoog te bereikenen geeft zelfs een convergentiecriterium voor een oneindige reeks het zgnintegraalcriterium We vinden in dit boek ook Maclaurins onderzoekingen over deaantrekking van omwentelingsellipsoiumlden en zijn theorema dat twee zulke ellipsoiumldenmits confocaal een massapunt op hun as of op de evenaar aantrekkenmet krachtenevenredig tot hun inhouden In dit Treatise ontmoeten we ook de beroemde lsquoreeksvan MaclaurinrsquoDeze reeks was evenwel geen nieuwe ontdekking daar ze alreeds was ingevoerd

in de Methodus incrementorum van Brook Taylor (1715) een kennis van Newtondie enige tijd lang secretaris van de Royal Society was Maclaurin gaf aan Tayloralle eer De reeks van Taylor die in dit boek van 1715 wordt afgeleid uit een reeksvoor eindige verschillen wordt nu gewoonlijk geschreven in de notatie van Lagrange


181

f(x + h)= f(x) + hfprime(x) + 121h2fPrime(x) + maar Taylor had geen f-notatie en gebruikte letters met stippen er boven Hij

vermeldt uitdrukkelijk het geval x = 0 dat nog steeds in leerboeken naar Maclaurinwordt genoemd Taylor had geen convergentiecriteria maar wildebenaderingsformules afleiden we hebben al vermeld dat Maclaurin wel degelijk inconvergentie geiumlnteresseerd was Ofschoon Taylors reeks al oud was toen Taylorhaar publiceerde werd haar centrale betekenis toch eigenlijk pas erkend toen Eulerhaar toepaste in zijn Differentiaalrekening van 1755 Later voegde Lagrange er zijnrestterm aan toe en gebruikte de reeks van Taylor als de basis van zijn functietheorieTaylor zelf gebruikte zijn reeks om sommige differentiaalvergelijkingen op te lossenMerkwaardig is ook dat hij zoals reeds gezegd in zijn boek voor het eerst devergelijking van de trillende snaar afleidt Hierbij is dan door DAlembert en zijntijdgenoten verder aangeknoopt

10

Joseph Louis Lagrange werd uit Italiaans-Franse ouders in Turijn geboren Opnegentienjarige leeftijd werd hij professor in de wiskunde aan de artillerieschool inTurijn (1755) In 1766 toen Frederik de Grote Euler niet meer kon terughouden vanzijn wens naar St-Petersburg terug te keren nodigde hij op Eulers aanradenLagrange uit om naar Berlijn te komen met de bescheiden toevoeging dat het nodigwas lsquodat de grootste wiskundige van Europa moest wonen bij de grootste derkoningenrsquo Lagrange kwam en bleef in Berlijn tot de dood van Frederik in 1786waarna hij naar Parijs verhuisde Gedurende de revolutie hielp hij bij de hervormingvan het stelsel van maten en gewichten en werd professor eerst aan de EcoleNormale (1795) daarna aan de Ecole Polytechnique (1797) De tijd voor pureacadeacutemiciens was voorbij de tijd van de docerende universiteitsprofessoren wasaan het aanbrekenTot Lagranges eerste werken behoren zijn bijdragen tot de variatierekening Eulers

boek de Methodus was in 1755 verschenen en ijverig bestudeerd door de jongeprofessor in Turijn Lagrange ontdekte in Eulers methode lsquoniet al de eenvoud diemen in een gebied van zuivere analyse verwachten magrsquo En zo schreef hij zijneigen zuiver analytische variatierekening (1760-61) die niet alleen vele origineleresultaten bevat doch ook het historische materiaal keurig ordent en verwerkt - ietsdat voor Lagranges werk karakteristiek is De vorm die Lagrange aan devariatierekening gegeven


182

heeft met zijn onderscheid tussen de variatie door δ aangegeven en de differentialendie met d worden aangeduid is de blijvende geworden Lagrange paste zijn leertoe op dynamische vraagstukken waarin hij volop gebruik maakte van Eulersbeginsel van de kleinste werking - bekend door de betreurenswaardigeAkakiaepisode Vele fundamentele gedachten in de latere Meacutecanique Analytiquedateren dus reeds uit de Turijnse tijd Lagrange droeg ook bij tot de maantheoriedie zijn wiskundige tijdgenoten zo zeer bezighield en ontdekte de eerste bijzondereoplossingen van het drielichamenprobleem Hier zegt het theorema van Lagrangedat het mogelijk is drie eindige lichamen op zodanige wijze in beweging te zettendat hun banen gelijkvormige ellipsen zijn die in gelijke tijd worden beschreven(1772)In 1767 verscheen zijn verhandeling over de oplossing van numerieke

vergelijkingen waarin hij methoden aangaf om de reeumlle wortels van een algebraiumlschevergelijking te scheiden en ze te benaderen met behulp van kettingbreuken Daarnapubliceerde hij in 1770 de lijvige Reacuteflexions sur la reacutesolution algeacutebrique desequations waarin hij zich afvroeg waarom de methoden die het voor n le 4 mogelijkmaakten om de wortels van een vergelijking van de graad n te vinden niet voor n gt4 schenen te werken Om hierin inzicht te verwerven beschouwde Lagrange rationalefuncties van de wortels en hun gedrag onder de permutaties van de wortels enontwikkelde zo het begrip van wat we nu de resolvent van Lagrange noemen Hetbelang van deze verhandeling ligt vooral hierin dat ze later Ruffini en Abelinspireerde tot hun onderzoekingen voor het geval n gt 4 en ook Galois tot zijngroepentheorie De verhandeling was een breuk met het verleden doch de toekomstlag nog enige generaties verderLagrange heeft ook belangrijke bijdragen geleverd aan de getallentheorie waar

hij zich bezighield met kwadraatresten en onder andere bewees dat ieder geheelgetal de som van vier of minder dan vier vierkanten isDeze stelling brengt ons voor een ogenblik naar Engeland waar in die zelfde tijd

Edward Waring in zijn Meditationes algebricae van 1770 de stelling poneerde datieder geheel getal de som is van ten hoogste N machten van graad p waar N eenfunctie van p alleen is Deze stelling die zoals Lagrange bewees voor p = 2 dewaarde N = 4 oplevert heeft vele wiskundigen beziggehouden tot ze eerst doorHilbert in 1909 is bewezen doch alleen in die zin dat voor iedere p een N bestaatDe kleinste waarde voor N voor gegeven p is alleen voor enkele p bekend Voor p= 3 is N = 9


183

Lagrange wijdde het tweede deel van zijn leven aan de samenstelling van zijn grotewerken de Meacutecanique analytique van 1788 de Theacuteorie des fonctions analytiquesvan 1797 en haar voortzetting in de Leccedilons sur le calcul des fonctions van 1801De twee boeken over functies waren een poging om de differentiaalrekening opalgebra terug te voeren en haar op die wijze hecht te funderen Lagrange verwierpzowel de nullen van Euler als de limieten van Newton en DAlembert Hij kon nietwel begrijpen wat er gebeurt als ΔyΔx zijn limiet bereikt Om Lazare Carnot deorganisateur de la victoire in de Franse Revolutie en een goed wiskundige die ookzijn hoofd brak over Newtons infinitesimaalmethode te citeren

lsquoDie methode heeft het grote ongemak dat daarbij grootheden wordenbeschouwd in de toestand waarin zij om zo te zeggen ophouden alsgrootheden te bestaan want al kunnen wij altijd de verhouding van tweegrootheden goed begrijpen zo lang zij eindig blijven biedt die verhoudingaan de geest geen klaar en helder begrip zodra haar termen beide tegelijknul wordenrsquo1

Lagranges methode verschilde van die van zijn voorgangers Hij begon met dereeksen van Taylor die hij afleidde met hun restterm en toonde daarbij op een naaronze smaak nogal naiumleve manier aan dat lsquoiederersquo functie f (x) in zulk een reeks konworden ontwikkeld met behulp van een zuiver algebraiumlsch proces Dan definieerdehij de afgeleiden fprime(x) fPrime(x) enz als de coeumlfficieumlnten in de reeksontwikkeling van f(x+ h) naar machten van h (De notatie fprime(x) fPrime(x) is van Lagrange)Ofschoon deze lsquoalgebraiumlschersquo methode om de differentiaalrekening aan vaste

grondslag te helpen onbevredigend bleek te zijn en ofschoon Lagrange te weinigaandacht schonk aan de convergentie van de reeksen de abstracte behandelingvan het functiebegrip was een grote stap vooruit Hier verscheen voor het eerst eenlsquotheorie van functies van een reeumlle veranderlijkersquo met toepassingen op een grootaantal vraagstukken in algebra en meetkunde Hier vindt men bv een uitgebreidetheorie van het contact van krommen en oppervlakkenLagranges Meacutecanique analytique is misschien zijn meest belangrijke boek en is

nog heden het bestuderen overwaard In dit boek een honderd jaar na NewtonsPrincipia verschenen wordt

1 L Carnot Reacuteflexions sur la meacutetaphysique du calcul infiniteacutesimal (1797) F Cajori AmerMath Monthly 22 (1915) 148 geeft dit citaat naar de 5e druk van 1881


184

de volle kracht van de nog pas kort te voren ontwikkelde analyse op de mechanicavan punten en vaste lichamen aangewend De ontdekkingen van Euler vanDAlembert en de andere wiskundigen van de achttiende eeuw worden verwerkt ensystematisch verder ontwikkeld De toepassing van Lagranges eigen variatierekeningmaakte een consequente behandeling van statica en dynamica vanuit eacuteeacutengezichtspunt mogelijk in de statica door het beginsel van de virtuele verplaatsingenin de dynamica door het beginsel van DAlembert Dit voerde langs natuurlijke wegtot algemene cooumlrdinaten (de lsquocooumlrdinaten van Lagrangersquo qi) en tot debewegingsvergelijkingen in de vorm van lsquoLagrangiaanrsquo

Hier was niets meer over van Newtons Grieks-meetkundige vorm dit boek vanLagrange was een triomf van zuivere analyse De schrijver in zijn voorbericht legdeer speciaal de nadruk op lsquoIn dit werk zal men geen figuren vinden alleenalgebraiumlsche bewerkingenrsquo1 Lagrange was de eerste zuivere analist

11

Met Pierre Simon Laplace komen we tot de laatste der grote wiskundigen van deachttiende eeuw Deze zoon van een kleine grondbezitter in Normandieuml ging opschool in Beaumont en Caen en werd op voorspraak van DAlembert hoogleraar inde wiskunde aan de militaire school in Parijs Hij verkreeg verscheidene andereonderwijsposities en administratieve betrekkingen en gedurende de revolutie werktehij mee aan de organisatie van de Ecole Normale en van de Ecole PolytechniqueNapoleon gaf hem menig bewijs van zijn hoogachting maar Lodewijk XVIII deedhetzelfde In tegenstelling tot Monge en Carnot veranderde Laplace gemakkelijkvan politieke overtuiging en hij is wel eens van snobisme beschuldigd iets waarvande eenvoudige Lagrange altijd verre bleef Deze karaktertrekken maakten hetevenwel voor hem mogelijk ondanks alle politieke veranderingen zijn wiskundigearbeid onverdroten voort te zettenDe twee grote werken van Laplace die niet alleen zijn eigen werk maar ook dat

van al zijn voorgangers tot eacuteeacuten geheel vereni-

1 lsquoOn ne trouvera point des figures dans cet ouvrage seulement des operations algeacutebriquesrsquoHet woord lsquoalgebraiumlschrsquo in plaats van lsquoanalytischrsquo is kenmerkend voor Lagrange


185

gen zijn de Theacuteorie analytique des probabiliteacutes (1812) en de Meacutecanique ceacuteleste (5dln 1799-1825) Beide monumentale werken werden ingeleid door uitgebreideuiteenzettingen in niet-technische termen de Essai philosophique des probabiliteacutes(1814) en de Exposition du systegraveme du monde (1796) Deze Exposition bevat deberoemde nevelhypothese die al reeds onafhankelijk was voorgesteld door Kantin 1755 (en zelfs voacuteoacuter Kant door Swedenborg in 1734) Hierbij werd voor het eerstaan het planetenstelsel een geschiedenis toegekend De Meacutecanique ceacuteleste wasde culminatie van het werk van Newton Clairaut DAlembert Lagrange en Laplacezelf over de vorm van de aarde de theorie van de maan het drielichamenprobleemde beweging der planeten en de storingen in hun baan Dit leidde verder tot debehandeling van het grootse probleem van de stabiliteit van ons zonnestelsel Denaam lsquovergelijking van Laplacersquo

herinnert aan het feit dat de potentiaaltheorie ook een deel is van de Meacutecaniqueceacuteleste (de vergelijking zelf treedt al in 1752 bij Euler op in een verhandeling waarinhij sommige hoofdvergelijkingen van de hydrodynamica afleidt en wordt ook bijLagrange gevonden)Dit vijfbandige opus heeft tot menige anekdote aanleiding gegeven Welbekend

is het antwoord dat Laplace aan Napoleon moet hebben gegeven toen deze hemwilde plagen met de opmerking dat God in de boeken nergens voorkwam lsquoSire ikhad deze hypothese niet nodigrsquo1 En Nathaniel Bowditch de Bostonse actuaris dievier delen van Laplaces boek in het Engels vertaalde heeft eens opgemerkt lsquoIkben nooit op eacuteeacuten van Laplaces ldquoDus kan men gemakkelijk zienrdquo gestoten zonder erzeker van te zijn dat het mij uren hard werk zou kosten om de gapende afgrond tedempen en te ontdekken waarom het gemakkelijk te zien wasrsquo Hamiltons wiskundigeloopbaan begon toen hij een fout vond in de Meacutecanique ceacuteleste Green bij hetbestuderen van het boek kwam op het denkbeeld dat een wiskundige theorie derelektriciteit mogelijk wasDe Essai philosophique des probabiliteacutes is een zeer leesbare inleiding in de

waarschijnlijkheidsrekening Men vindt hier Laplaces

1 lsquoSire je navais pas besoin de cette hypothegravesersquo


186

lsquonegatieversquo of lsquosubjectieversquo definitie van waarschijnlijkheden door lsquoeven mogelijkegebeurtenissenrsquo te postulerenlsquoDe kansrekening bestaat in de terugvoering van alle gebeurtenissen van dezelfde

soort tot een zeker aantal even mogelijke gevallen dat zijn gevallen van dien aarddat wij over hun gebeuren gelijkelijk onzeker zijn en de bepaling van het aantalgevallen waarin de gebeurtenis optreedt waarvan wij de waarschijnlijkheid willenwetenrsquoVraagstukken over waarschijnlijkheid komen volgens Laplace op omdat wij

gedeeltelijk weten en gedeeltelijk niet weten Dit bracht Laplace tot zijn vaakgeciteerde uitspraak waarin in zekere zin het hele achttiende-eeuwse mechanischematerialisme werd samengevatlsquoEen intelligentie die op een bepaald ogenblik alle krachten die in de natuur

werkzaam zijn kon overzien en bovendien de onderscheiden posities van alle delenwaaruit ze bestaat en die ook omvattend genoeg was om deze data aan wiskundigeanalyse te onderwerpen zou in dezelfde formule de bewegingen van de grootstelichamen van het heelal en die van het lichtste atoom kunnen vatten niets zou voorhaar onzeker zijn en de toekomst zowel als het verleden zou voor haar openliggenDe menselijke geest biedt een zwakke voorstelling van deze intelligentie door devervolmaking welke hij aan de sterrenkunde heeft weten te gevenrsquoHet eigenlijke leerboek is zo rijk aan ideeeumln dat vele ontdekkingen in de

waarschijnlijkheidsrekening van later dagen alreeds in Laplace kunnen wordengevonden1 Het statige werk bevat een uitgebreide discussie van kansspelen envan meetkundige waarschijnlijkheden van het theorema van Bernoulli en debetrekking tussen dit theorema en de normale verdeling en van de theorie derkleinste kwadraten ontwikkeld door Legendre Als leidend idee kunnen wij hetgebruik van fonctions geacuteneacuteratrices beschouwen waarvoor Laplace ook de betekenisvoor de oplossing van differentievergelijkingen aantoont Hier wordt deLaplace-transformatie ingevoerd die later de sleutel werd tot de operatorenrekeningvan Heaviside Laplace redde ook van de vergetelheid een theorie geschetst doorThomas Bayes een tijdens zijn leven vrijwel onbekende Engelse geestelijke nadiens dood in 1763-64 gepubliceerd Laplace formuleerde die theorie opnieuw zeis bekend als de leer der omgekeerde waarschijnlijkheden of waarschijnlijkhedena posteriori2

1 EC Molina The Theory of Probability Some comments on Laplaces Theacuteorie analytiqueBulletin Amer Mathem Society 36 (1930) 369-392

2 Uitvoerig behandeld in DA Gillies Was Bayes a Bayesian HM 14 (1987)325-346


187

12

Het is een merkwaardig feit dat tegen het einde der eeuw sommige leidendewiskundigen het gevoel schijnen te hebben gehad dat de wiskunde haar gebied totop zekere hoogte had uitgeput Het moeizame werken van een Euler eenDAlembert een Lagrange en van anderen had alreeds tot de belangrijkstetheoremas geleid de grote standaard tekstboeken hadden deze in hun logischverband geordend en uiteengezet of zouden dit spoedig doen de weinigewiskundigen van de volgende generaties zouden alleen vraagstukken van minderbelang hebben op te lossen lsquoSchijnt het u niet toe dat de sublieme wiskunde eenbeetje in verval aan het raken isrsquo schreef Lagrange aan DAlembert in 1772 lsquoZijheeft geen andere steun dan u en Eulerrsquo1 Lagrange hield zelfs een tijdlang met dewiskunde op DAlembert kon slechts weinig hoop bieden Later heeft Arago desecretaris van de Acadeacutemie in zijn Lofspraak op Laplace (1842) een gevoeluitgedrukt dat misschien deze houding kan verklarenlsquoVijf wiskundigen - Clairaut Euler DAlembert Lagrange en Laplace - verdeelden

onder elkaar de wereld waarvan Newton het bestaan had geopenbaard Zijonderzochten haar in alle richtingen drongen door tot ontoegankelijk gedachtegebieden wezen een ontelbaar aantal verschijnselen in die gebieden aan die nogniet waren opgemerkt en ten slotte brachten zij alles - en daarin ligt hunonvergankelijke roem - wat ingewikkeld en geheimzinnig in de bewegingen van dehemellichamen is onder de beheersing van eacuteeacuten enkel beginsel van eacuteeacuten enkelewet De wiskunde bezat ook de moed uitspraken over de toekomst te doen als deeeuwen hun loop vervolgen zullen zij de uitspraken van de wetenschap opnauwkeurige wijze bevestigenrsquoIn deze fraaie bewoordingen legde Arago de nadruk op de hoofdoorzaak van het

lsquofin-de-siegraveclersquo-pessimisme de neiging om de vooruitgang in de wiskunde te zeermet die in de mechanica en astronomie te identificeren Van de tijden van het oudeBabylon af tot op die van Euler en Lagrange is het de astronomie geweest die dewiskunde tot vele van haar schoonste ontdekkingen heeft geiumlnspireerd Nu scheendie ontwikkeling haar hoogtepunt voorbij te zijn gestreefd Doch er kwam een nieuwegeneratie die de invloed van de Franse Revolutie en van de zich ontwikkelendenatuurwetenschappen had ondergaan en die nieuwe generatie be-

1 lsquoNe vous semble-t-il pas que la haute geacuteomeacutetrie va un peu aacute deacutecadence Elle na dautresoutien que vous et M Eulerrsquo Geacuteomeacutetrie in achttiendeeeuws Frans staat vaak voor wiskundein het algemeen


188

wees met de daad hoe ongegrond dit pessimisme was1 Deze verjongde wiskundekwam slechts voor een deel uit Frankrijk en zoals dat vaker gebeurt in degeschiedenis der wetenschappen kwam de nieuwe inspiratie tevens uit een plaatswaar nog weinig belangrijk werk was geleverd deze keer uit Goumlttingen waar CarlFriedrich Gauss zijn Olympus had geschapen

Literatuur

De verzamelde werken van Lagrange en Laplace bestaan in moderne uitgavenVan die van Euler zijn al vele delen (het totaal zal 74 worden) verschenen Enigedelen van de Euler-uitgave hebben uitgebreide inleidingen oa van A Speiser CTruesdell en C Caratheodory Aan een uitgave van de werken der Bernoullis wordtgewerkt Verschenen zijn reeds enige delen

VerderJH Lambert Opera mathematica (2 dln Berlin 1946) blz IX-XXXI voorwoordvan A SpeiserJE Hofmann Ueber Jakob Bernoullis Beitraumlge zur InfinitesimalmathematikMonographies Enseignement Matheacutem 3 (Genegraveve 1957)F Cajori A History of the Conception of Limits and Fluxions in Great Britainfrom Newton to Woodhouse (Chicago 1931)LG du Pasquier Leacuteonard Euler et ses Amis (Paris 1927)[Leonard Euler] Sammelband der zu Ehren seines 250 Geburtstages LeonardEulers der deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vorgelegtenAbhandlungen (Berlin 1959) Er bestaat ook een Russische verzameling bijde 250e verjaardag uitgegeven (Moskou 1958) Zie ook de Russische artikelenin Istor Matem Issled 7 (1954) 451-640 Ook bij de herdenking van de 200everjaardag werd een Euler Festschrift uitgegeven Abhandl z Gesch dMathem Wiss 25 (1907)Leonard Euler Beitraumlge zu Leben und Werk Gedenkbuch des KantonsBasel-Stadt (Birkhaumluser 1983 555 blz) met een biografie van Euler doorEA Fellmann blz 13-98

1 In de natuurkunde heeft men dit fin de siegravecle-gevoel aan het einde van de negentiende eeuwkunnen constateren Door Newtonsmechanica enMaxwells elektromagnetismewas de natuurin beginsel verklaard De ontdekking van de radioactiviteit en de quantumtheorie (ca 1900)hebben het gehele beeld veranderd


189

A Tribute to Leonard Euler Mathematics Magazine 56 (1983) 262-325Leonard Eulers Elastic Curves transl and annot by WA Old-father CAEllis DM Brown Isis 20 (1933) 72-160C Truesdell Leonard Euler SupremeGeometer Studies in Eighteenth CenturyCulture 2 (1972) 51-95L Euler Algebra (Reclame 2e druk met levensbeschrijving door JE Hofmann1959)HG Green HJJ Winter John Landen FRS (1719-1790) MathematicianIsis 35 (1944) 6-10[Th Bayes] Facsimile of Two Papers with commentaries by EC Molina andWE Deming (Washington DC 1940)C Truesdell Notes on the history of the general equations of hydrodynamicsAmer Math Monthly 60 (1953) 445-448G Sarton Montucla Osiris 1 (1936) 519-567N Nielsen Geacuteomeacutetres franccedilais du XVIIIe siegravecle (Copenhagen Paris 1935)(JA Vollgraf ed) Les oeuvres de Nicolas Struyck (1687-1769)qui se rapportentau calcul des chances (Amsterdam 1912) Nicolaas Struyck van Amsterdamwas wel de belangrijkste Nederlandse wiskundige van zijn tijd Behalve overkansrekening en sterftetafels schreef hij over aardrijkskunde en staartsterrenEen andere Nederlandse statisticus tijdgenoot van Struyck was WillemKersseboom (1691-1771) Zie over hen M van Haaften Verzekeringsarchief1924-25 en Levensverzekering 1935 140-147 Zie ookM van Haaften Het Wiskundig Genootschap (Groningen 1923) Dit boekbehandelt ook de negentiende en een gedeelte van de twintigste eeuwJG Fleckenstein Johann und Jakob Bernoulli in Elemente der MathematikSuppl 7 (Bazel 1949)JE Hofmann Uumlber Jakob Bernoullis Beitraumlge zur InfinitesimalrechnungEnseignement matheacutematique (2) 5 (1956) 61-171H Andoyer Loeuvre scientifique de Laplace (Paris 1922)H Auchter Brook Taylor der Mathematiker und Philosoph (Marburg 1937)

Uit manuscripten van Leibniz wordt aangetoond dat Leibniz van 1694 af reeds dereeks van Taylor bezat Overigens was ze reeds in 1668 aan JamesGregory bekend

P Staumlckel Zur Geschichte der Funktionentheorie im achtzehnten JahrhundertBibliotheca mathematica 3 (1901) 111-121


190

LE Maystrov Lomonossov Father of RussianMathematics The Soviet Review3 No 3 (1962) 3-18 Vertaling van het artikel in Voprosy Filosofiǐ 5 (1961)JF Scott Mathematics through the Eighteenth Century Philosof MagCommemoration Number 1948 67-90 (voornamelijk over Engeland)I Schneider Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667-1754) AHES 5(1968) 177-317OB Sheynin RJ Boscovitchs work on Probability AHES 9 (1973) 306-324(Rudjev Josip Boškovič 1711-1787 was een Kroatische Jezuiumlet bekend alseen lsquopolymathrsquo)P Brunet La Vie et lOeuvre de Clairaut Revue dhistoire des Sciences 4(1951) 13-40 109-153 Ook als boek (Parijs 1952)CC Gillespie Lazare Carnot Savant (Princeton NJ 1970)


191

VIII De negentiende eeuw

1

De Franse Revolutie en de Napoleontische tijd schiepen bijzonder gunstigevoorwaarden voor de verdere ontwikkeling van de wiskunde Het pad voor deindustrieumlle revolutie op het Europese continent was nu geopend Dit werkte gunstigop de groei van de natuurwetenschappen nieuwemaatschappelijke klassen werdengevormd die belang hadden in wetenschap en techniek Democratische ideeeumlnwisten binnen de academischemuren in te sluipen oude en verouderde denkwijzenen levenswijzen werden bekritiseerd Het gehele onderwijs moest hervormd envernieuwd wordenDe nieuwe onstuimige bloei van de wiskunde berustte niet zozeer op de

technische problemen die de nieuwe industrie stelde Engeland het hart van deindustrieumlle revolutie bleef wat de scheppende wiskunde betreft jaren lang vrijwelsteriel Het was in Frankrijk en wat later ook in Duitsland dat de wiskundigewetenschappen het schoonste bloeiden - dus in die landen waar de ideologischebreuk met het verleden het sterkst werd gevoeld waar snelle economische enpolitieke veranderingen zich aan het voltrekken waren waarbij de voorwaarden vooreen moderne kapitalistische maatschappij werden geschapen Nieuw leven kwamtot bloei aan scholen en universiteitenMen voelt die breuk ook in de Romantiek aan en het zou interessant zijn de

betrekkingen tussen deze stroming in de letteren en de kunst aan de ene zijde endie in de wiskunde anderzijds aan een nader onderzoek te onderwerpen Hoe ditook zij zeker is dat de zich nieuw ontwikkelende wiskunde zich langzamerhand vande oude traditie emancipeerde waarbij mechanica en astronomie als een soort vaneinddoel in de ontwikkeling der exacte wetenschappen werden beschouwdOok algemeen gesproken begon de wetenschap zich meer en meer los te maken

van de eisen die het praktische leven en het krijgswezen stelde Wij krijgen despecialist en die specialist was allereerst in de wetenschap om haar zelfgeiumlnteresseerd Ofschoon het verband met de praktijk nooit werd opgeheven wasdeze vaak moeilijk te zien of verduisterd Als nevenverschijnsel bij de toenemendespecialisatie beginnen we nu ook tussen lsquozuiverersquo en lsquotoege-


192

pastersquo wiskunde te onderscheiden1De wiskundigen van de negentiende eeuw leefden niet meer aan vorstelijke hoven

en vonden slechts zelden hun weg tot de salons der aristocratie Hun voornaamsteberoep was niet meer het lidmaatschap van academies zij waren gewoonlijkhoogleraren aan universiteiten en technische instituten waar zij onderwijs gavenen hun salaris verdienden Sommige grote wiskundigen als de Bernoullis haddenalreeds enig onderwijs gegeven Nu namen de onderwijsverplichtingen toe met degrote uitbreiding die het schoolsysteem kreeg wiskundeprofessoren werdenopvoeders en examinatoren De geleerden werden daardoor nauwer met hun eigennationale instituties verbonden wat zich ook uitte in het feit dat hun publikatiessteeds meer in de taal van hun land verschenen en steeds minder in het Latijn Ditdeed schade aan het internationalisme van de vorige eeuwen doch niet zozeer datinternationale gedachtenwisseling onderbroken werd De wiskundigen werden meeren meer specialisten in eacuteeacuten bepaald (ofschoon nog zeer ruim) gebied en waar menLeibniz Euler DAlembert als lsquowiskundigenrsquo (lsquogeacuteomegravetresrsquo in de terminologie van deachttiende eeuw) kan aanduiden vinden we in Cauchy allereerst een analyticus inCayley een algebrist in Steiner een meetkundige (zelfs een lsquozuiverersquo meetkundige)en in Cantor de schepper van de leer der verzamelingen De tijd was gekomenwaarin we lsquomathematische fysicarsquo beginnen te krijgen en waarin er goede vaklui inlsquomathematische statistiekrsquo of lsquomathematische logicarsquo optreden Deze specialisatiewerd alleen op het hoogste niveau van genialiteit doorbroken en juist door het werkvan deze grootsten der groten een Gauss een

1 Het verschil in opvatting vond klassieke uitdrukking in een uitspraak van Jacobi over de ideeeumlnvan Fourier die nog het nuttigheidsstandpunt van de achttiende eeuw innam lsquoHet is waardat de heer Fourier van mening was dat het hoofddoel van de wiskunde in het openbare nuten in de verklaring van de natuurverschijnselen lag maar een filosoof als hij had moetenweten dat het enige doel van de wetenschap de eer van de menselijke geest is en dat vandit standpunt gezien een vraagstuk over getallen even waardevol is als een vraagstuk overde bouw van de wereldrsquo (le but unique de la science cest lhonneur de lesprit humain etsous ce titre une question de nombre vaut autantquune question du systegraveme du monde) Ineen brief aan Legendre sprak Gauss zich uit voor een synthese van beide opvattingen (1830Werke I blz 454) hij paste de wiskunde op grootse schaal toe op astronomie natuurkundeen geodesie doch terzelfder tijd zag hij in de wiskunde de lsquokoningin der wetenschappenrsquo enin het bijzonder in de getallenleer de lsquokoningin der wiskundersquo


193

Riemann een Klein of een Poincareacute ontving de wiskunde in de negentiende eeuwhaar grootste inspiratie

2

Op de scheidingslijn tussen de achttiende en negentiende eeuw verheft zich deOlympische gestalte van Carl Friedrich Gauss Hij was de zoon van een arbeiderin Brunswijk maar zijn vroege begaafdheid bracht hem onder de aandacht van dehertog van Brunswijk (uit de vaderlandse geschiedenis welbekend) die voor deopvoeding van het wonderkind zorg droeg Na van 1795-98 in Goumlttingen gestudeerdte hebben verkreeg de jonge Gauss in 1799 de graad van doctor in Helmstedt waarJF Pfaff professor was (de man van het lsquoprobleem van Pfaffrsquo) Van 1807 tot zijndood in 1855 werkte hij ongestoord als directeur van de sterrenwacht en professoraan de universiteit te Goumlttingen Zijn tamelijk streng isolement zijn beheersing vande lsquozuiverersquo als wel de lsquotoegepastersquo wiskunde zijn grote astronomische belangstellingen zijn voorliefde voor het Latijn als de taal waarin hij publiceerde geven aan zijnfiguur een achttiende-eeuws karakter maar zijn werk als geheel ademt de geestvan de nieuwe eeuw Met zijn tijdgenoten Kant Beethoven Hegel en Goethe stondhij buiten de grote politieke strijd van zijn tijd maar in zijn eigen gebied van de exactewetenschappen wist hij aan de nieuwe ideeeumln op diepzinnige doch ook klare wijzeuitdrukking te verlenenDe dagboeken van Gauss tonen dat hij reeds op zeventienjarige leeftijd

merkwaardige ontdekkingen begon te doen In het jaar 1795 ontdekte hij bijvoorbeeld de kwadratische reciprociteitswet der getallentheorie onafhankelijk vanEuler en Legendre Sommige van zijn vroegste ontdekkingen werden in zijndissertatie van Helmstedt in 1799 en in zijn indrukwekkende Disquisitionesarithmeticae van 1801 gepubliceerd Het proefschrift bracht het eerste strenge bewijsvan de zogenaamde hoofdstelling der algebra (zie bldz 178) Deze stelling volgenswelke een algebraiumlsche vergelijking van graad n minstens eacuteeacuten en dus n wortelsheeft gaat terug op Albert Girard de uitgever van de werken van Stevin (Inventionnouvelle en algegravebre 1629) Later hadden DAlembert Euler en Lagrange een bewijsgewaagd dat door Gauss werd verbeterd Gauss hield van deze stelling gaf laternog twee bewijzen en keerde in 1849 terug naar zijn eerste bewijs Het derde bewijs(1816) maakte van complexe integralen gebruik en toont hoe vroeg Gauss de theorieder complexe getallen beheersteIn de Disquisitiones arithmeticae bracht Gauss op zijn wijze alle belangrijke

resultaten van zijn voorgangers samen en verrijkte ze


194

met zulk een meesterhand dat men wel in deze Disquisitiones het begin van demoderne getallentheorie heeft gezien De kern bestaat uit de theorie der kwadratischecongruenties en vormen en culmineert in de reciprociteitswet der kwadratischeresten - dat lsquotheorema aureumrsquo waarvoor Gauss het eerste volledige bewijs gafGauss was even geestdriftig over deze wet als over de hoofdstelling van de algebraen publiceerde later nog vijf andere bewijzen eacuteeacuten werd na zijn dood nog tussenzijn papieren gevonden De Disquisitiones bevatten ook Gauss onderzoekingenover de cirkelverdeling dus over de wortels van de vergelijking xn = 1 Hier kwamde grote verrassing in de stelling dat de zijden van de regelmatige zeventienhoekmet passer en lineaal kunnen worden geconstrueerd Dit geldt voor alle regelmatigeveelhoeken van n zijden zo n = 2 p + 1 p = 2k n priemgetal k = 0 1 2 3 dusbv ook n = 257 Dit was een merkwaardige aanvulling van de Griekse meetkundezoals we die uit Euklides kennenGauss belangstelling in de sterrenkunde werd opgewekt toen Giuseppe Piazzi

in Palermo op 1 januari 1801 de eerste dag van de nieuwe eeuw de eersteplanetoiumlde ontdekte die de naamCeres kreeg Van deze planetoiumlde konden slechtsweinig observaties worden gemaakt zodat het probleem ontstond de baan van eenplaneet uit een betrekkelijk klein aantal niet ver van elkaar af liggende observatieste bepalen Gauss loste dit vraagstuk volledig op het leidde tot een vergelijking vande achtste graad Toen in 1802 Pallas de tweede planetoiumlde werd ontdekt begonGauss zich te interesseren in de seculaire storingen van de planeten De reeks vanonderzoekingen die met al deze verschijnselen samenhing bevatte de Theoriamotus corporum coelestium (1809) de verhandeling over de aantrekking van dealgemene ellipsoiumlde (1813) een andere over mechanische kwadratuur (1814) enover seculaire storingen (1818) alsook Gauss onderzoekingen met betrekking totde hypergeometrische reeks (1812) die het mogelijk maakt een groot aantal functiesvanuit eacuteeacuten gezichtspunt te bekijken Ze is de eerste stelselmatige studie van deconvergentie van een reeks

3

Na 1820 begon Gauss zich levendig voor de geodesie te interesseren dit naaraanleiding van de triangulatie van het koninkrijk Hannover waaraan hij praktischdeelnam Op karakteristieke wijze verenigde hij weer toegepaste met theoretischewiskunde Een van zijn resultaten was zijn uiteenzetting van de methode der kleinstekwadraten (1821 1823) die reeds door Legendre (1806) en Laplace tot eenonderwerp van studie was gemaakt Misschien


195

zijn meest belangrijke wiskundige bijdrage uit dit tijdperk van zijn leven was zijnoppervlakkentheorie die hij in de Disquisitiones generales circa superficies curvas(1827) uiteenzette en die de differentiaalmeetkunde van een geheel ander standpuntbezag dan Monge Deze theorie van Gauss was weer het gevolg van praktischeoverwegingen in dit geval aan de hogere geodesie ontleend Ze hield de aandachtgevestigd op de inwendige meetkunde van een oppervlak die dus niet van deomringende ruimte afhangt en waarbij kromlijnige cooumlrdinaten u en v op hetoppervlak worden aangewend om het lijnelement ds in een kwadratischedifferentiaalvorm uit te drukken ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 Hier bereikte Gaussweer een hoogtepunt het theorema egregium dat leert dat de totale kromming vaneen oppervlak alleen afhangt van E F en G en hun afgeleiden en dus eenbuigingsinvariante isZelfs in deze periode van ingespannen werkzaamheid in de praktische geodesie

verwaarloosde Gauss zijn eerste liefde de lsquokoningin der wiskundersquo niet In 1825 en1831 verschenen zijn verhandelingen over bikwadraatresten Deze vormen eenvoortzetting van de theorie der kwadraatresten in de Disquisitiones arithmeticaemaar een voortzetting met behulp van een nieuwe methode de leer der complexegetallen De verhandeling van 1831 bevatte niet alleen algebra doch ook eenrekenkunde der complexe getallen Hierbij ontstond een nieuwe theorie vanpriemgetallen waarin 3 een priemgetal blijft maar 5 = (1 + 2i) (1 - 2i) niet langerpriem is Het getal 1 + 2i is een complex priemgetal Met behulp van deze nieuwegetallentheorie kon Gauss vele duistere punten van de reeumlle rekenkunde ophelderenZo bleek de kwadratische reciprociteitswet voor complexe getallen eenvoudiger danvoor reeumlle Het was in deze verhandeling dat Gauss voor altijd de geheimzinnigheiddie de complexe getallen nog steeds hadden verstoorde doordat hij liet zien hoecomplexe getallen door punten in het lsquovlak van Gaussrsquo kunnen worden voorgesteld1

1 Vgl ET Bell Gauss and the Early Development of Algebraic Numbers National MathemMagazine 18 (1944) 188 219 A Speiser in zijn inleiding tot Eulers Opera I (28) bldz XXXVIIheeft erop gewezen dat reeds Euler en andere wiskundigen na 1760 gedacht hebben in degeest die aan deze opvatting van Gauss ten grondslag ligtEen diagram van Gauss waarop de complexe priemgetallen zijn afgebeeld kan men oavinden in het Tijdschrift Fortune (artikel ook in boekvorm uitgegeven) De idee zulk eendiagram te maken kwam van B van der Pol te Eindhoven (ca 1943) Men heeft zelfstafelkleedjes gemaakt met dit diagram als patroon


196

Een standbeeld in Goumlttingen stelt Gauss met zijn jongere medewerker WilhelmWeber voor op het ogenblik dat zij bezig zijn de elektrische telegraaf te ontdekkenDit gebeurde in de jaren 1833-34 in de tijd dat Gauss begon de fysica te beoefenenIn die jaren voerde hij vele experimenten uit met het aardmagnetisme Toch vondhij nog tijd voor een theoretische verhandeling van grote betekenis zijn AllgemeineLehrsaumltze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaumlltnisse des Quadrats derEntfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoumlszungskraumlfte (1839-40) In dezeverhandeling werd de potentiaaltheorie als een eigen gebied in de wiskundeingevoerd (de verhandeling van Green uit het jaar 1828 was toentertijd vrijwelonbekend gebleven) Men vindt er oppervlakte- en inhoudsintegralen metminimaalprincipes waarin men het zgn beginsel van Dirichlet herkent Gauss hieldhet bestaan van eenminimum nog voor vanzelfsprekend eerst later werd dit bestaaneen onderwerp van veel studie waaraan ten slotte Hilbert een exacte formuleringheeft gegevenGauss bleef werkzaam tot aan zijn dood in 1855 In zijn latere levensjaren wendde

hij zich meer en meer tot de toegepaste wiskunde Toch leveren zijn publikatiesgeen voldoende beeld van zijn volle grootheid Door de publikatie van zijn dagboekenen van sommige zijner brieven is het gebleken dat hij enige zijner diepste gedachtennooit heeft bekend gemaakt We weten thans dat Gauss reeds in 1810 de elliptischefuncties had ontdekt (eerst later herontdekt door Abel en Jacobi) en omstreeks 1816in het bezit was van de niet-euklidischemeetkunde (later herontdekt door Lobačevskiiumlen Bolyai) Hierover heeft hij zich slechts in enige brieven aan vrienden uitgelatenen daaruit zien we dat hij kritisch stond tegenover alle pogingen het parallellenaxiomate bewijzen Wars van alle polemieken wilde hij in het openbaar geen onderwerpaansnijden waarmee hij controverses kon veroorzaken Hij schreef over wespendie hem dan om de oren zouden vliegen en van het lsquogeschreeuw der Boeotieumlrsrsquodat hij dan te horen zou krijgen Maar hij betwijfelde de toen vrijwel algemeenaanvaarde leer van Kant die onze ruimtevoorstelling a priori voor Euklidisch hieldvoor Gauss was de meetkunde van de werkelijke ruimte een natuurverschijnsel datmen experimenteel moest onderzoeken

4

Felix Klein in zijn Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert heeft eenvergelijking getrokken tussen Gauss en de vijfentwintig jaar oudere Fransewiskundige Adrien-Marie Legendre Misschien is het niet helemaal fair om Gausste vergelijken met een


197

andere wiskundige tenzij die tot de allergrootste behoort maar we leren uit dezevergelijking hoezeer Gauss ideeeumln lsquoin de lucht hingenrsquo want Legendre heeft opzijn eigen onafhankelijke wijze vele vragen die Gauss bezighielden ook onderzochtLegendre was van 1775 tot 1780 docent aan de militaire school in Parijs en hadlater vele regeringsbetrekkingen Zo was hij professor aan de Ecole Normaleexaminator aan de Ecole Polytechnique en had administratieve positiesEvenals Gauss heeft hij belangrijke onderzoekingen over de getallentheorie

gepubliceerd (Essai sur les nombres 1798 Theacuteorie des nombres 1830) waarinhij de kwadratische reciprociteitswet formuleerde Hij schreef ook over geodesie entheoretische astronomie was een even ijverig berekenaar van tafels als Gaussschetste in 1806 de methode der kleinste kwadraten en bestudeerde de aantrekkingvan ellipsoiumlden - ook van de ellipsoiumlden die geen omwentelingsoppervlakken zijnHierbij voerde hij de lsquoLegendre-functiesrsquo in Hij stelde evenals Gauss belang inelliptische integralen en integralen van Euler en in de grondslagen en methodender euklidische meetkundeIn al deze gebieden drong Gauss dieper door dan Legendre zo vond Legendre

nooit de stelling van de regelmatige zeventienhoek de elliptische functies en deniet-euklidische meetkunde Toch deed Legendre werk van blijvende betekenisZijn leerboeken werden lange jaren druk gebruikt vooral zijn Exercises du calculinteacutegral (3 dln 1811-19) en zijn Traiteacute des fonctions elliptiques et des inteacutegraleseuleriennes (1827-32) dat nog steeds een standaardwerk is In zijn Elements degeacuteomeacutetrie (1794) brak hij met het Platonische ideaal van Euklides en gaf eenleerboek der schoolmeetkunde dat met de eisen van de toen moderne opvoedingrekening hield Dit boek is dan ook zeer populair geweest het is in verscheidenetalen vertaald en vaak herdrukt de invloed van dit boek is blijvend geweest

5

Men kan het nieuwe tijdperk in de geschiedenis van de wiskunde in Frankrijkmisschien laten aanvangen met de oprichting van militaire scholen en academiesdie in het tweede deel der achttiende eeuw plaatsvond In deze scholen waarvaner ook enige buiten Frankrijk bestonden (Turijn Woolwich) werd op de wiskunde bijde opleiding van militaire ingenieurs en genieofficieren sterke nadruk gelegdLagrange begon zijn loopbaan aan de artillerieschool in Turijn Legendre en Laplacedoceerden aan de militaire school in Parijs Monge aan de academie in MeacuteziegraveresCarnot was een mi-


198

litaire ingenieur Napoleons belangstelling in de wiskunde dateert uit zijnstudentenjaren aan de militaire scholen in Brienne en Parijs Toen gedurende deRevolutie Frankrijk door buitenlandse legers werd bedreigd werd de behoefte aaneen gecentraliseerde militaire ingenieursopleiding sterker dan ooit gevoeld Ditleidde in 1794 tot de oprichting van de Ecole Polytechnique te Parijs Spoedig begondeze school een leidende plaats in te nemen in de opleiding van ingenieurs vanallerlei soort zodat ze het voorbeeld werd van alle militaire ingenieursscholen diein de eerste jaren van de negentiende eeuw werden opgericht in Nederland zowelals in de Verenigde Staten (West Point) en Rusland - ook al werd het militairekarakter van de Ecole Polytechnique bij andere technische hogescholen niet altijdovergenomen Een wezenlijk bestanddeel van het leerplan was de studie van dezuivere en toegepaste wiskunde Aan de Ecole Polytechnique werd niet alleen hetonderwijs doch ook het wetenschappelijk onderzoek met alle kracht ondersteundMen trachtte de beste mannen van wetenschap aan de Ecole Polytechnique teverbinden vele bekende Franse wiskundigen zijn studenten examinatoren ofprofessoren aan de Ecole Polytechnique geweest1De opleiding aan zulk soort scholen eiste een nieuw soort geleerde - de leraar -

en een nieuw soort van wetenschappelijke tekst - een leerboek De geleerdeverhandelingen voor de ingewijden die zo kenmerkend waren voor de tijd van Eulermoesten vervangen worden door handboeken die geschikt waren voor hetklasseonderwijs Zo zijn een aantal van de beste leerboeken van de eerste jarenvan de negentiende eeuw uit het onderwijs aan de Ecole Polytechnique of verwanteinstituten voortgekomen Hun invloed heeft continu doorgewerkt tot in de huidigetijd Een goed voorbeeld van zulk een leerboek is de Traiteacute du calcul diffeacuterentiel etdu calcul inteacutegral (2 dln 1797) van Sylvestre Franccedilois Lacroix waaruit helegeneraties hun infinitesimaalrekening hebben geleerd Lacroix heeft ook vele andereleerboeken der wiskunde geschreven We hebben alreeds van Legendres boekengesproken nog een an-

1 Vgl CGJ Jacobi Werke 7 bldz 355 (voordracht van 1835) Over de oprichting van deEcole Polytechnique J Fayet La reacutevolution franccedilaise et la science 1789-1795 (Paris 1960)Verder zie H Wussing in Paumldagogik 13 (1958) 646-662 Voor de wetenschappelijkeachtergrond zie MP Crosland The Society of Arcueil (Cambridge Mass 1967) Laplaceswoning in Arcueil niet ver van Parijs was van 1806 tot 1813 een plaats waar geleerdepersonen tezamen kwamen


199

der voorbeeld is het leerboek der beschrijvende meetkunde van Monge dat ooknog lang voor het onderwijs in dit vak voorbeeldig is geweest

6

Gaspard Monge de eerste directeur van de Ecole Polytechnique was dewetenschappelijke en pedagogische leider van de mannen van wetenschap diegedurende het Directoire het Consulaat en het Keizerrijk met deze school warenverbonden Hij was zijn loopbaan begonnen als docent aan de militaire school vanMeacuteziegraveres (1768-89) waar hem zijn voordrachten over vestingbouwkunde degelegenheid boden de beschrijvende meetkunde als een bijzonder gebied van dewiskunde te ontwikkelen Zijn boekGeacuteometrie descriptive verscheen tussen 1795-99In Meacuteziegraveres begon hij ook met de toepassing van de differentiaalrekening op de

leer der ruimtekrommen en oppervlakken zijn verhandelingen hierover werden laterverzameld in de Application de lanalyse agrave la geacuteomeacutetrie (1809) het eerste boek overde differentiaalmeetkunde doch nog niet in de vorm waarin we die tegenwoordigbestuderen Monge was een der eerste moderne wiskundigen die als specialist kangelden als meetkundige Ook zijn behandeling der partieumlle differentiaalvergelijkingenis typisch meetkundigDoor Monges invloed begon demeetkunde aan de Ecole Polytechnique te bloeien

In de beschrijvende meetkunde lag de kiem der projectieve meetkunde en detoepassing van algebraiumlsche en analytischemethoden op krommen en oppervlakkenkwam de analytische meetkunde en de differentiaalmeetkunde ten goede JeanHachette en Jean-Baptiste Biot ontwikkelden stelselmatig de analytische meetkundevan kegelsneden en kwadratische oppervlakken in Biots Essai de geacuteomeacutetrieanalytique (1802) beginnen wij onze huidige analytische meetkunde te herkennennaar inhoud zowel als naam Charles Dupin een leerling van Monge paste alsjonge marine-ingenieur gedurende de Napoleontische tijd de methoden van zijnleraar op de oppervlakkentheorie toe waarbij hij de asymptotische en geconjugeerdelijnen vond de kromtelijnen waren reeds door Monge onderzocht Dupin werdprofessor in de meetkunde in Parijs en werd later ook een bekend politicus enpropagandist van de industrie Hij vatte zijn meetkundige ontdekkingen samen inde Deacuteveloppements de geacuteomeacutetrie (1813) en Applications de geacuteomeacutetrie (1825) waarmen de lsquoindicatrix van Dupinrsquo en de lsquocycliden van Dupinrsquo bestuderen kanMonges naam is ook verbonden aan de vernieuwing van de


200

scheikunde waarbij zijn academische collega Lavoisier zulk een belangrijke rolspeelde Hij behoorde tot die groep van mannen die de samenstelling van water uitwat we nu waterstof en zuurstof noemen ontdekten (1783-85) ook experimenteerdehij op het gebied van de uitzetting van gassen en de capillariteit Gedurende derevolutie gaf hij advies aan de regering omtrent het maken van wapens en vanbuskruit Ofschoon Monge een man van democratische opvattingen was bleef hijtrouw aan Napoleon met wie hij in Egypte was (1798-99) en in wie hij de man zagdie de idealen van de Revolutie kon verwezenlijken In 1815 bij de terugkomst derBourbons werd Monge ontslagen en hij stierf kort daarop Doch Monges geest bleefheersen in de Ecole Polytechnique Zo bleef er datzelfde nauwe verband tussenzuivere en toegepaste wiskunde bestaan dat er van de aanvang al geweest wasDemechanica werd druk beoefend en demathematische fysica begon zich eindelijkvan de lsquokatoptrikarsquo en de lsquodioptrikarsquo van de Ouden te bevrijden Etienne Malusontdekte in 1810 de polarisatie van het licht later nam Augustin Fresnel Huygensgolftheorie van het licht weer op (1821) Andreacute-Marie Ampegravere die met groot succesde partieumlle differentiaalvergelijkingen had bestudeerd werd na 1820 een der grotepioniers van de nieuwe wetenschap van het elektromagnetisme Uit deze beoefeningder mathematische fysica kwamen ook resultaten voor de wiskunde zelve wedenken aan Fresnels golfoppervlak en aan Malus meetkunde der lichtstralenverbeterd door Dupin en die weer vruchten afwierp voor de meetkundige optica ende meetkunde der stralencongruentiesLagranges Meacutecanique analytique werd zorgvuldig bestudeerd en de methoden

daarin uiteengezet werden op allerlei vraagstukken toegepast De statica hadMongereeds vroeg geiumlnteresseerd en hij beoefende haar met zijn leerlingen ook vanwegehaar meetkundige mogelijkheden in de loop der jaren verschenen verscheideneleerboeken over dit vak waaronder een van Monge zelf (1788 vele uitgaven) Demeetkundige inhoud van de statica werd klaar tot uiting gebracht in het werk vanLouis Poinsot vele jaren lang een lid van de Franse Hoge Onderwijsraad In zijnElements de statique (1804) en zijn Theacuteorie nouvelle de la rotation des corps (1834)voegde hij aan het begrip van de kracht dat van het koppel (draaimoment) toe gafeen voorstelling van Eulers leer der traagheidsmomenten met behulp van eentraagheidsellipsoiumlde en onderzocht de beweging van deze ellipsoiumlde wanneer hetlichaam zich in de ruimte beweegt of om een punt draait Victor Poncelet enGustave-Gaspard Coriolis gaven aan het streng analytische karakter


201

van Lagranges analytische mechanica een meetkundig gewaad beide geleerdenhebbenmet Poinsot ook de toepassing der mechanica op eenvoudigemechanismenbehandeld Een der resultaten van deze onderzoekingen is de lsquocoriolisversnellingrsquodie optreedt wanneer een lichaam zich beweegt in een versneld systeem (1835)Victor Poncelet was een der meest oorspronkelijke leerlingen van Monge Toen

hij als soldaat van Napoleons Grande Armeacutee in 1813 in Russischekrijgsgevangenschap geraakte vond hij ruimschoots tijd om over de methoden vanzijn leraar na te denken Speciaal voelde hij zich aangetrokken door het zuiversynthetische in Monges meetkunde en zo werd hij tot een gedachtengang gevoerddie reeds twee eeuwen te voren Desargues had geiumlnspireerd Poncelet werd deontdekker van de projectieve meetkundeHij zette zijn ideeeumln uiteen in de Traiteacute des proprieacuteteacutes projectives des figures

(1822) Dit omvangrijke boek bevat alle begrippen die deze nieuwe soort meetkundekarakteriseren begrippen als dubbelverhouding perspectiviteit projectiviteit involutieen zelfs de oneindig verre cirkelpunten Poncelet liet zien dat de brandpunten vaneen kegelsnede kunnen worden beschouwd als snijpunten van de raaklijnen doordie cirkelpunten aan de kegelsnede getrokken Ook vindt men in de Traiteacute de theorieder veelhoeken die tegelijk door eacuteeacuten kegelsnede omgeschreven en door een andereingeschreven zijn (het zgn sluitingsprobleem van Poncelet) Het verschijnen vandit boek werd gevolgd door zulk een geestdriftige bestudering van het nieuwe gebieddat in weinige tientallen jaren de projectieve meetkunde een graad van ontwikkelingbereikte die haar tot een klassiek model van een afgerond wiskundig systeem zoumakenNaast Poncelet behoorden ook Simeacuteon Poisson Joseph Fourier en Augustin

Cauchy tot de leidende wiskundigen wier naam met de eerste tientallen jaren derEcole Polytechnique waren verbonden Alle drie toonden diepe belangstelling voorde toepassing van de wiskunde op de natuur- en werktuigkunde en alle drie werdendoor deze belangstelling weer tot ontdekkingen in de lsquozuiverersquo wiskunde gevoerdPoissons produktiviteit blijkt uit de vele manieren waarop zijn naam in onzeleerboeken voorkomt hier ontmoeten we de haakjes van Poisson in de leer derdifferentiaalvergelijkingen de constante van Poisson in de elasticiteitsleer deintegraal en de vergelijking van Poisson in de potentiaaltheorie Deze vergelijkingvan Poisson gewoonlijk ΔV = 4πρ geschreven vond haar oorsprong in Poissonsontdekking (1812) dat de vergelijking van Laplace ΔV = 0 slechts daar geldt waargeen massas zijn het


202

exacte bewijs voor massas van veranderlijke dichtheid werd eerst door Gauss inzijn Allgemeine Lehrsaumltze van 183940 geleverd Poissons Traiteacute de meacutecanique(1811) was geschreven in de geest van Lagrange en Laplace maar bevatte menigeoorspronkelijke gedachte zoals het expliciet gebruik van de impulscooumlrdinaten pi =partTpartqi Deze cooumlrdinaten hebben dan later in het werk van Hamilton en Jacobi eenfundamentele rol gespeeld - en doen het nu nogPoisson schreef ook een boek over de waarschijnlijkheidsrekening (1837) dat wij

reeds citeerden Onder de vele resultaten die dit boek bevat vinden we de lsquowet vanPoissonrsquo als benadering van de binomiale wet voor kleine waarschijnlijkheden Degrote betekenis van deze wet voor de statistiek oa van straling en verkeer is eerstin de twintigste eeuw begrepenFourier wordt wel als de grondlegger van de mathematische fysica beschouwd

Hij heeft deze reputatie in de eerste plaats te danken aan zijn Theacuteorie analytiquede la chaleur zijn analytische warmtetheorie (1822) Deze warmtetheorie is detheorie der warmtegeleiding bepaald door de partieumlle differentiaalvergelijking ΔU= kpartupartt die voor het geval van een eacuteeacutendimensionale voortplanting van de warmte(door Fourier nog als stof lsquocaloriquersquo gedacht) als part2Upartx2 = kpartUpartt kan wordengeschreven Deze vergelijking moet dan worden opgelost onder gegevenrandvoorwaarden De methoden die Fourier hierbij gebruikte waren zo algemeendat zijn werk het prototype is geworden voor de behandeling van de gehele theorieder oplossingen van partieumlle differentiaalvergelijkingen onder gegevenrandvoorwaarden Daarbij demonstreerde Fourier het nut van trigonometrischereeksen die in de voorafgaande eeuw het onderwerp waren geweest van eengedachtenwisseling tussen Euler DAlembert Daniel Bernoulli en Lagrange Fourierloste de moeilijkheden die zich ontwikkeld hadden althans in beginsel op elkelsquowillekeurigersquo functie (waaronder Fourier een functie verstond die door een continugebogen of recht lijnsegment of door een aantal van zulke segmenten kan wordenvoorgesteld) kan in een gegeven interval worden uitgedrukt door een reeks van devorm

Ondanks het feit dat Euler en zijn collegas reeds over de al of niet juistheid van ditfeit van gedachten hadden gewisseld was Fouriers resultaat toch nog zo nieuw enfrapperend dat hij in 1807 toen hij zijn ideeeumln het eerst bekend maakte op scherpverzet


203

stuitte zelfs bij zulk een groot wiskundige als LagrangeVan nu af aan werden de lsquoFourier-reeksenrsquo langzamerhand een algemeen

aanvaard en goed doordacht middel voor de oplossing van partieumlledifferentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden Maar ze waren ook van zuiverwiskundig standpunt beschouwd verbazend interessant omdat hun gedrag zoafweek van dat van reeksen van Taylor Wat moest men onder een lsquowillekeurigefunctiersquo verstaan Uit vragen als deze is het te verklaren dat de wiskundigen vande negentiende eeuw zich veel meer inlieten met de exactheid van hun bewijzendan hun voorgangers en dat zij ernstiger ernaar streefden de grondbegrippen derwiskunde te verhelderen1 Wat de Fourier-reeksen betreft werd deze verhelderingdoor Dirichlet en Riemann gebracht met consequenties die veel verder reikten dandie bijzondere reeksen

7

Cauchys talrijke bijdragen tot de theorie van het licht en de mechanica zijn door hetsucces van zijn prestaties in de analyse wel wat in de vergetelheid geraakt en tochmogen we niet uit het oog verliezen dat hij met zijn tijdgenoot Louis Navier tot degrondleggers der wiskundige elasticiteitstheorie behoort Zijn roem berust echter inde eerste plaats op zijn theorie van de functies van een complexe veranderlijke enop zijn streven naar exactheid in de analyse Functies van een complexeveranderlijke waren wel eens vroeger opgedoken bijv bij DAlembert die in eenverhandeling van 1752 over de weerstand in vloeistoffen zelfs tot de vergelijkingwerd gevoerd die we nu als die van Cauchy-Riemann kennen Ook Euler was beziggeweest dit gebied te ontginnen Onder de handen van Cauchy werd nu de complexefunctietheorie van een toevallig hulpmiddel bij hydrodynamica aerodynamica ofoppervlakkentheorie tot een nieuw en zelfstandig onderdeel van de wiskundeopgebouwd Cauchys publikaties op dit gebied begonnen in 1814 en volgden elkaarin ononderbroken volgorde op Een van zijn belangrijkste publikaties is de Meacutemoiresur les inteacutegrales deacutefinies prises entre des limites imaginaires (1825) Hier vindtmen de integraalstelling van Cauchy en het begrip van het residu van een pool Destelling dat iedere analytische functie f(z) om ieder punt z = zo in een reeks vanTaylor kan worden ontwik-

1 PEB Jourdain Note on Fouriers Influence on the Conceptions of Mathematics Proc InternCongress of Mathem (Cambridge 1912) II 526527 Zie over Fourier ook J Ravetz Archivesintern de lhistoire des Sciences 13 (1960) 247-251


204

keld en dat die reeks in een cirkel van het complexe vlak convergeert die door hetnaastbijgelegen singuliere punt gaat werd in 1831 gepubliceerd dus in hetzelfdejaar dat Gauss zijn arithmetische theorie der complexe getallen het licht deed zienLaurents generalisatie van Cauchys stelling over de reeksen van Taylor is van 1843toen ze ook in het bezit van Weierstrass was Deze feiten illustreren waarom detheorie van Cauchy geen weerstand in vakkringen had te overwinnen vanaf haarbegin is de theorie der complexe functies geaccepteerd zelfs in de notatie dieCauchy had voorgesteldCauchy behoort met zijn tijdgenoten Gauss Abel en Bolzano tot de pioniers van

de nieuwe exactheid in het wiskundig denken De achttiende eeuw was in wezeneen eeuw van mathematisch experimenteren geweest waarbij de resultaten inoverweldigend aantal zich ophoopten Daarbij hadden de wiskundigen zich maarweinig beziggehouden met de grondslagen van hun wetenschap - lsquoallez en avantet la foi vous viendrarsquo (ga maar vooruit het geloof zal wel komen) - dezeaanmoediging wordt wel aan DAlembert toegeschreven En als deze wiskundigenzoals Maclaurin Euler of Lagrange wel eens van hun gewetensbezwaren lietenblijken waren hun redeneringen maar matig overtuigend Nu echter was de tijdgekomen om zich consequent af te vragen wat de precieze zin van al die verkregenresultaten was Wat was eigenlijk een lsquofunctiersquo van een reeumlle veranderlijke die zichten opzichte van een Taylor-reeks zo anders gedraagt als ten opzichte van eenFourier-reeks en in welke betrekking stond ze tot een lsquofunctiersquo van een complexeveranderlijke die weer haar eigen gedrag heeft Met vragen als deze kwamen alleonopgeloste kwesties in de grondslagen van de infinitesimaalrekening en in hetvraagstuk van het bestaan van een potentieel en een actueel oneindige weer vooraanin het bewustzijn van de wiskundige1 Wat Eudoxos had gedaan in de tijd na de valvan de Atheense democratie begonnen Cauchy en zijn exact denkende collegasin de periode van een snel groeiend

1 PEB Jourdain The Origin of Cauchys Conception of a Definite Integral and of the Continuityof a Function Isis 1 (1913) 661-703 vgl ook Bibliotheca Mathematica 6 (1905) 190-207Over Cauchy zie het uitvoerig verslag door H Freudenthal in DSB III (1971) 131-149 metvele anekdotes lsquoCauchy beheerste niet de wiskunde de wiskunde beheerste hemrsquo VerderThe Installation of Rigor in Analysis in M Kline Mathematical Thought from ancient to modernTimes (New York 1972) Hoofdstuk 40


205

industrialisme te voltooien Dit grote verschil in maatschappelijke verhoudingenleidde tot grote verschillen in de wijze waarop de vraagstukken werden aangepaktwaar het succes van Eudoxos er op den duur toe leidde dat de wiskundigeproduktiviteit belemmerd werd leidde het succes van de moderne hervormers totnieuwe en verhoogde produktiviteit Op Gauss en Cauchy volgden Weierstrass enCantor en op hen weer Hilbert en LebesgueCauchy ontwikkelde de grondslagen der infinitesimaalrekening op de manier

waarop ze nu algemeen in onze leerboeken worden uiteengezet Men kan zijnmethode bestuderen in zijn Cours dAnalyse (1821) en de Reacutesumeacute des Leccedilonsdonneacutees agrave lEcole Royale Polytechnique I (1823) Cauchys methode berustte ophet limietbegrip zoals DAlembert dit al eens bij gelegenheid had gebruikt Nu werddit begrip op strenge wijze geformuleerd en door voorbeelden verduidelijkt Zotoonde Cauchy aan wat de limiet (grenswaarde) is van sin αα voor α = 0 Daarnadefinieerde hij een oneindig kleine veranderlijke als een veranderlijk getal dat nulals grenswaarde heeft Dan eiste hij dat Δy en Δx lsquoseront des quantiteacutes infinimentpetitesrsquo (oneindig kleine grootheden zullen zijn) Vervolgens schreef hij

en noemde de grenswaarde voor i rarr 0 de fonction deacuteriveacutee (afgeleide functie) yprime oufprime(x) Verder zette hij i = αh waar α een oneindig kleine grootheid is en h een eindigegrootheid

Dan werd h de diffeacuterentielle de la fonction y = f(x) (differentiaal van de functie y)genoemd en dy = df(x) = hfprime(x) dx = h1Cauchy gebruikte zowel de notatie van Lagrange als vele van zijn bijdragen tot

de reeumlle functietheorie zonder concessies te doen aan Lagranges lsquoalgebraiumlschersquoformulering van de afgeleiden Zo nam hij de stelling van de gemiddelde waardenen het restlid van de Taylor-reeks over zoals Lagrange die geformuleerd had dochde reeksen werden nu onder passend onderzoek naar hun conver-

1 Reacutesumeacute I (1823) Calcul diffeacuterentiel 13-27 Een nauwkeurig onderzoek van dit proces bij MPasch Mathematik am Ursprung (Leipzig 1927) 47-73 Verder JV Grabiner The Originsof Cauchys rigorous Calculus (MIT Press Cambridge Mass 1981)


206

gentie besproken Verschillende convergentiecriteria in de theorie der oneindigereeksen zijn naar Cauchy genoemd In zijn geschriften vindt men duidelijke sporenvan een overgang tot die lsquoarithmetiseringrsquo van de analyse die later de kern vanWeierstrass onderzoekingen zou uitmaken Cauchy gaf ook het eersteexistentiebewijs voor de oplossing van een differentiaalvergelijking en van eenstelsel van zulke vergelijkingen (1836) Op deze manier maakte Cauchy althanseen begin met die reeks van problemen en paradoxen te beantwoorden die in dewiskunde reeds van Zenos tijd af hadden rondgespookt en hij deed het niet doordie moeilijkheden te loochenen of te omzeilen maar door een wiskundige techniekte scheppen die het mogelijk maakte ze recht te doen wedervarenCauchy was evenals zijn tijdgenoot Honoreacute de Balzac met wie hij een bijkans

onbegrensde arbeidscapaciteit gemeen had een legitimist en royalist Beidenhadden zon diep inzicht dat ondanks hun reactionaire idealen hun werk ook voorlatere generaties een grote betekenis blijft behouden Na de revolutie van 1830 gafCauchy zijn leerstoel aan de Ecole Polytechnique op en bracht enige jaren door inTurijn en in Praag in 1838 keerde hij naar Parijs terug Na 1848 werd het hem nietmoeilijk gemaakt hij mocht blijven zonder de eed van trouw aan de nieuwe regeringafgelegd te hebben Zijn produktiviteit was zo enorm dat de Acadeacutemie eenvoudigniet de publikatie van zijn artikelen kon bijhouden zelfs niet in de wekelijksverschijnende Comptes Rendus In 1826 begon hij zelfs zijn eigen tijdschrift uit tegeven de vijf delen bevatten alleen zijn eigen werk Men zegt dat toen hij zijn eersteverhandeling over de convergentie van reeksen aan de Acadeacutemie voorlegde Laplacezo ongerust werd dat de grote man naar zijn kamer ijlde om de reeksen in zijnMeacutecanique ceacuteleste op hun convergentie te onderzoeken Het schijnt dat hij geenbelangrijke veranderingen hoefde aan te brengen

8

Dit Parijse milieu met zijn intensieve wiskundige bedrijvigheid bracht omstreeks1830 een genie van de eerste rang voort dat als een komeet even snel verdweenals het verschenen was Evariste Galois de zoon van een burgemeester van eenstadje bij Parijs trachtte tweemaal tevergeefs als student tot de Ecole Polytechniquete worden toegelaten en toen hij het ten slotte klaarspeelde in de Ecole Normalete komen werd hij spoedig weer weggestuurd Hij poogde met privaatlessen in dewiskunde aan de kost te komen waarbij hij moeite had enig evenwicht te bewarentussen zijn hartstocht voor de wetenschap en voor de democratie Als republi-


207

kein nam hij met vuur aan de revolutie van 1830 deel bracht verscheidene maandenin de gevangenis door en werd kort daarop eacuteeacutenentwintig jaren oud in een duelgedood Twee van zijn verhandelingen die hij ter publikatie had aangeboden raaktenzoek op de schrijftafel van de redacteur enkele andere werden pas lang na zijndood gepubliceerd Op de vooravond van het fatale duel schreef hij aan een vriendeen verslag van zijn ontdekkingen in de leer der vergelijkingen Dit ontroerende endiepzinnige document waarin hij zijn vriend verzoekt die ontdekkingen in het gevalvan zijn dood aan het oordeel van vooraanstaande wiskundigen te onderwerpeneindigde met de woorden

lsquoJe zult Jacobi af Gauss in het openbaar verzoeken hun oordeel te uitenniet over de waarheid maar over de betekenis van deze stellingen Daarnazullen er naar ik hoop wel enige lieden zijn die het de moeite waardvinden dit gekrabbel te ontcijferenrsquo

Dit gekrabbel (ce gacircchis) bevatte niet meer of minder dan de groepentheorie sleuteltot de moderne algebra en de moderne meetkunde De idee van deze theorie komttot op zekere hoogte al bij Lagrange en de Italiaan Ruffini voor doch bij Galois vindtmen een doordachte scherpomlijnde groepentheorie Hier vindt men hetfundamentele begrip van de permutatiegroep die wordt bepaald door de wortelsvan een algebraiumlsche vergelijking en die door haar samenstelling op haar beurt hetkarakter van de wortels bepaalt Galois wees op de beslissende rol die invarianteondergroepen spelen bij de vorming van de resolvente Oude en eerwaardigevraagstukken zoals de driedeling van de hoek de verdubbeling van de kubus zowelals de oplossing van de vergelijkingen van de derde vierde en algemene graadvonden hun natuurlijke plaats in de theorie van Galois Doch zijn laatste brief iszover wij weten nooit aan Gauss of Jacobi ter hand gesteld Het wiskundige publiekkreeg haar niet eerder te zien voor Liouville in 1846 een aantal verhandelingen vanGalois in zijn Journal de matheacutematiques publiceerde Dat was omstreeks de tijd datook Cauchy over groepentheorie was beginnen te schrijven (1844-46) Nu eerstbegonnen enige wiskundigen zich voor de theorieeumln van Galois te interesserenMaar eerst nadat in 1870 Camille Jordans Traiteacute des substitutions verschenen wasgevolgd door de publikaties van Klein en Sophus Lie is de betekenis van de theorievan Galois in wiskundige kringen algemeen erkend Thans ziet men in haar een derschitterendste resultaten der negentiende-eeuwse wiskunde waaraan deze theorieeen


208

groot omvattend beginsel heeft geschonken1Galois had ook ideeeumln over de integralen van algebraiumlsche functies van eacuteeacuten

veranderlijke integralen die we nu naar Abel noemen Die laten ons zien dat erverband bestaat tussen de gedachtenwereld vanGalois en van RiemannWe kunnenons afvragen of de moderne wiskunde als Galois was blijven leven niet haar diepstegedachten uit Parijs en de school van Lagrange in plaats van uit Goumlttingen en deschool van Gauss had kunnen putten

9

De jaren van de Romantiek zijn rijk aan geniale jongemannen wie slechts een kortelevensduur was gegund mannen lsquodie door deGoden bemind wordenrsquoWij ontmoeteneen ander jong genie in Niels Henrik Abel de zoon van een Noorse dorpspredikantAbels kort bestaan verliep bijna zo tragisch als dat van Galois Als student inChristiania (Oslo) geloofde hij een tijdlang dat hij de vergelijking van de vijfde graadhad opgelost maar in een geschrift van 1824 verbeterde hij zijn werk Dit geschriftis beroemd geworden omdat hier eindelijk de onmogelijkheid werd aangetoond eenalgemene vergelijking van de vijfde graad met behulp van radicalen op te lossen -een vraagstuk dat de wiskundigen reeds vanaf Bombelli en Viegravete heel wathoofdbrekens had gekost Overigens bestond er reeds een bewijs van deonmogelijkheidsstelling dat in 1799 de Italiaan Paolo Ruffini had gegeven maarPoisson en andere wiskundigen hadden dit bewijs nooit geheel aanvaard Nu kreegAbel een stipendium waardoor hij met enige vrienden naar Berlijn Italieuml en Frankrijkkon reizen Maar ondanks enige prettige reisavonturen kon de jonge wiskundigedie wat schuchter en teruggetrokken was niet slagen de nodige contacten te leggenvoor zijn toekomst Hij leed aan chronisch geldgebrek dat hem bleef kwellen ooktoen hij naar Noorwegen terugkwam en een bescheiden academisch baantje kreegHij verzwakte en stierf in 1829 op zesentwintigjarige leeftijd op een tijdstip dat degeleerde wereld juist zijn genie begon te erkennenAbels baanbrekend werk bestrijkt vele gebieden convergentie van reeksen

lsquoAbelsersquo integralen algebraiumlsche vergelijkingen en elliptische functies Zijn stellingenin de theorie der oneindige reeksen tonen dat Abel evenals Cauchy erin slaagdedeze theorie op exacte grondslagen te construeren lsquoKun je je iets verschrikkelijkersvoorstellen dan de bewering dat 0 = 1 n - 2 n + 3 n - 4 n + etc

1 H Wussing Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes (Berlijn 1969)


209

waarbij n een geheel positief getal isrsquo schreef hij aan een vriend en voegde eraantoe

lsquoEr bestaat in de hele wiskunde nauwelijks een enkele oneindige reekswaarvan de som op strenge wijze is bepaaldrsquo (brief aan Holmboe 1826)

Abels onderzoekingen over elliptische functies vonden plaats in een korte maarspannende wedkamp met Jacobi Gauss had in zijn persoonlijke aantekeningen allang opgemerkt dat de omkering van de elliptische integralen tot dubbelperiodiekefuncties voert doch hij heeft zijn ideeeumln nooit gepubliceerd Aan Legendre diezoveel tijd en moeite had besteed aan elliptische integralen schijnt dit feit geheelontgaan te zijn en hij was diep bewogen toen hij als man op leeftijd van Jacobis enAbels ontdekkingen op de hoogte werd gesteld Abel met al zijn tegenspoed hadhet geluk in AL Crelle een invloedrijke en vermogende constructie-ingenieur inBerlijn (hij heeft wegen gebouwd en ook de eerste spoorweg in Duitsland) een mante vinden die zijn talenten wist te waarderen In het eerste deel van Crelles Journalfuumlr die reine und angewandte Mathematik verschenen niet minder dan vijfverhandelingen van Abel in het tweede deel (1827) verscheen het eerste deel vanAbels Recherches sur les fonctions elliptiques waarmee de theorie derdubbelperiodieke functies begintWij spreken van de integraalvergelijking van Abel en over de stelling van Abel

over de som van integralen van algebraiumlsche functies een stelling die tot de functiesvan Abel voert Commutatieve groepen heten ook Abelse groepen een naam dieerop wijst hoe nauw de gedachtenwereld van Galois en van Abel aan elkaar verwantwaren Twee jongemannen beiden omstreeks dezelfde tijd in Parijs beidenonbekend aan of zelfs genegeerd door de oudere geleerde heren en beiden ondertragische omstandigheden gestorven - wij schijnen een roman van Balzac te lezen1

10

In 1829 Abels sterfjaar verscheen in Crelles Journal de Fundamenta nova theoriaefunctionum ellipticarum van Carl Gustav Jacob Jacobi De auteur was een jeugdigehoogleraar aan de universiteit in Koningsbergen toen een gedeelte van PruisenHij was de zoon van een bankier in Berlijn en behoorde tot een intellectuele familiezijn broeder Moritz lid van de Academie in St-Peters-

1 De levens van beide jongemannen zijn in interessante boeken beschreven dat van Galois(in meer romantische vorm) door L Infeld dat van Abel (strikt biografisch) door O Ore Ziede literatuurlijst


210

burg was de uitvinder van de galvanoplastiek en een der eersten die metelektromagnetische instrumenten experimenteerde Jacobi studeerde in Berlijn engaf van 1826-43 onderwijs in Koningsbergen waarna hij om gezondheidsredenenenige tijd in Italieuml doorbracht Hij stierf in 1851 zesenveertig jaar oud als hoogleraarin Berlijn Hij was een geiumlnspireerde en liberale denker een uitstekend docent eneen wiskundige wiens helder en oorspronkelijk denken gepaard aan onstuimigeenergie op vele gebieden der wiskunde vruchtbaar heeft gewerktJacobi baseerde zijn theorie der elliptische functies op vier functies die door

oneindige reeksen waren gedefinieerd en die als thegravetafuncties bekend zijn Dedubbelperiodieke functies sn u cn u en dn u zijn quotieumlnten van thegravetafuncties zijvoldoen aan bepaalde identiteiten en additietheoremas die lijken op die waaraande sinusen cosinusfuncties der gewone goniometrie voldoen De additietheoremasder elliptische functies kunnen ook als toepassingen van Abels stelling over de somvan integralen van algebraiumlsche functies worden beschouwd Nu kon men zich dusafvragen of hyperelliptische integralen ook konden worden omgekeerd zoalselliptische integralen die tot elliptische functies leiden In 1832 publiceerde Jacobihet antwoord dat luidde dat zulk een omkering mogelijk was met behulp van functiesvan meer dan eacuteeacuten veranderlijke Zo ontstond de theorie der functies van Abel in pveranderlijken een theorie die vooral in de negentiende eeuw verscheidenebeoefenaars vondSylvester heeft aan de functionaaldeterminant de naam van Jacobi verbonden

om Jacobis werk op het gebied van de algebra en de eliminatietheorie te eren Demeest bekende verhandeling van Jacobi op dit gebied is zijn De formatione etproprietatibus determinantium (1841) waarmee de theorie der determinanten hetgemeengoed der wiskundigen werd Onze schrijfwijze van de determinanten is aandeze verhandeling ontleend doch het begrip is ouder dit gaat in beginsel terug opLeibniz (1693) op de Zwitserse wiskundige Gabriel Cramer (1750) en op Lagrange(1773) de naam gaat op Cauchy (1812) terug Y Mikami heeft erop gewezen datde Japanse wiskundige Seki Kōwa dit begrip van de determinant voor 1683 reedskende Hier denkt men aan de lsquomatrixrsquo- methode ontwikkeld door de Chinesewiskundigen van de Sung- periode wier werk Seki goed heeft gekend1

1 Y Mikami On the Japanese theory of Determinants Isis 2 (1914) 9-36 zie ook T HayashiA brief history of the Japanese Mathematics Nieuw Archief voor Wiskunde (2) 6 (1905)296-361 7 (1907) 105-163 en Mikamis lsquoDevelopment of mathematics in China and Japanrsquo(1913) 191-199 Volgens Needham Science and civilization in China III 117 zegt men beterSeki Takakusu (met ziet ook Takakazu)


211

Een uitstekende inleiding tot het werk van Jacobi krijgt men uit zijn mooieVorlesungen uumlber Dynamik die in 1866 naar collegedictaten uit 1842-43 zijnuitgegeven Ze zijn in de traditie van de Franse school van Lagrange en Poissongeschreven maar ze zijn vol nieuwe gedachten Men kan hier Jacobisonderzoekingen over partieumlle differentiaalvergelijkingen der dynamica vinden Eeninteressant hoofdstuk van deze Vorlesungen bevat de bepaling van de geodetischelijnen op een ellipsoiumlde die tot een betrekking tussen twee integralen van Abel voert

11

Jacobis voordrachten over dynamica voeren ons tot een andere wiskundige wiensnaam vaak met die van Jacobi verbonden wordt tot William Rowan Hamilton (diemen niet met zijn tijdgenoot de Schotse wijsgeer uit Edinburgh William Hamiltonmoet verwarren) WR Hamilton was de zoon van een advocaat in Dublin die alskind met zijn ouders uit Schotland was gekomen Hij bezocht Trinity College in zijngeboortestad Dublin waar hij in 1827 tweeeumlntwintig jaar oud professor in desterrenkunde werd en kort daarop lsquoAstronomer Royalrsquo voor Ierland Deze positiebehield hij tot het einde van zijn leven in 1865 Als knaap leerde hij de wiskundevan het continent nog steeds iets bijzonders in het Verenigd Koninkrijk door destudie van Clairaut en Laplace en bewees door zijn originele verhandelingen overoptica en dynamica dat hij deze nieuwe wiskunde beheerste Zijn theorie van delichtstralen (1824) was veel meer dan alleen een differentiaalmeetkunde vanlijnencongruenties ze was tevens een theorie van optische instrumenten die hetHamilton mogelijk maakte de zgn conische refractie in tweeassige kristallen tevoorspellen Ze werd in 1832 door een van Hamiltons collegas experimenteelgeverifieerd In de verhandeling van 1824 treedt Hamiltons lsquokarakteristieke functiersquoop die het grondmotief werd van zijn General Method in Dynamics van 1834-35De hoofdgedachte in deze methode was optica en dynamica tezamen uit een enkelalgemeen beginsel af te leiden Euler had in zijn verdediging van Maupertuis erreeds op gewezen hoe men de stationaire waarde van de actie-integraal voor ditdoel kon gebruiken En zo toonde Hamilton aan dat lichttheorie en dynamica tweeverschillende manieren zijn om een bepaald variatieprobleem te bekijken Hij vroegnaar de stationaire waar-


212

de van een zekere integraal en beschouwde die als functie van haar grenzen Ditwas de lsquokarakteristieke functiersquo die voldoet aan twee partieumlledifferentiaalvergelijkingen Een dezer vergelijkingen die gewoonlijk

wordt geschreven werd door Jacobi speciaal uitverkoren voor zijn theorie derdynamica en is nu bekend als de vergelijking van Hamilton-Jacobi Hierdoor is debetekenis van Hamiltons karakteristieke functie een beetje in het vergeetboekgeraakt ofschoon het juist die functie was die de eenheid van mechanica enmathematische fysica had moeten teweegbrengen Zo werd ze in 1895 door deastronoom Heinrich Bruns in de geometrische optica herontdekt en als lsquoeikonalrsquotreffen we haar aan in de theorie der optische instrumenten1Het deel van Hamiltons werk over dynamica dat gemeengoed van alle wiskundigen

en theoretische fysici is geworden bevat allereerst de theorie der lsquokanonischersquo vormq = partHpartp ṗ = -partHpartq waarin Hamilton de vergelijkingen der dynamica schreefSophus Lie heeft dan later aangetoond hoe kanonische vorm endifferentiaalvergelijking van Hamilton-Jacobi de overgang van de dynamica naarde contacttransformaties vormen Deze ideeeumln van Hamilton de wetten dertheoretische fysica en der mechanica uit de variatie van een integraal af te leidenhebben doorgewerkt zodat ze ook in de relativiteitstheorie en de quantummechanicaeen fundamentele rol hebben vervuld Men ontmoet ook hier steeds weer de lsquofunctiesvan HamiltonrsquoHet jaar 1843 was een keerpunt in het leven van de koninklijke astronoom van

Dublin In dit jaar ontdekte hij de quaternionen waaraan hij een belangrijk deel vanzijn latere leven wijdde Wij komen hier nog op terug

12

Peter Gustav Lejeune-Dirichlet stond zowel met Gauss en Jacobi als met de Fransewiskundigen in nauw verband Van 1822-27 woonde hij als gouverneur in Parijsen ontmoette in het huis van zijn patroon bekende Franse geleerden onder wieFourier wiens warmteleer hij bestudeerde Ook drong hij diep door in degedachtenwereld van Gauss Disquisitiones arithmeticae Na zijn

1 Vgl M Herzberger Geschichtlicher Abriss der Strahlenoptik Zeitschrift fuumlr Instrumentenkunde52 (1932) 429-435 485-493 534-542


213

terugkeer naar Duitsland werd hij privaatdocent eerst in Breslau daarna in Berlijnwaar hij professor werd en in 1855 volgde hij Gauss in Goumlttingen op hij stierf reedsin 1859 Zijn persoonlijke bekendheid met de Franse zowel als met de Duitsewiskunde maakte het hem bijzonder goed mogelijk om zowel Gauss getallentheorieals Fouriers reeksen te interpreteren Dirichlets Vorlesungen uumlber Zahlentheorie(gepubl 1863) zijn nog steeds een der beste inleidingen tot Gauss onderzoekingenin de leer der getallen en bevatten ook vele nieuwe resultaten In een verhandelingvan 1840 liet hij zien hoe men de theorie der analytische functies in haar volleomvang op de getallentheorie kon toepassen het was in deze onderzoekingen dathij de lsquoreeksen van Dirichletrsquo invoerde Hij generaliseerde ook het begrip vankwadratische irrationaliteiten tot dat van algemene algebraiumlscherationaliteitsgebiedenDirichlet was de eerste die een streng convergentiebewijs gaf voor Fourier-reeksen

Dit was ook een bijdrage tot het probleem de aard van een functie juist te begrijpen1Hij voerde in de variatierekening het zgn beginsel van Dirichlet in waarbij hetbestaan van een functie v die de integraal int[vx

2 + vy2 + vz

2]dt onder gegevenrandvoorwaarden tot een minimum maakt wordt gepostuleerd Dit beginsel waseen wijziging van een principe dat Gauss in zijn potentiaalthesis van 1839-40 hadingevoerd en later werd het door Riemann gebruikt als een uitnemend hulpmiddelom vraagstukken in de potentiaaltheorie op te lossen Wij hebben reeds vermelddat de geldigheid van dit beginsel later door Hilbert streng werd bewezen2

13

Met Bernhard Riemann Dirichlets opvolger in Goumlttingen komen we tot de man diemisschien meer dan enige andere man van wetenschap de loop van de modernewiskunde heeft beiumlnvloed Hij was de zoon van een plattelandspredikant en studeerdeaan de universiteit in Goumlttingen waar hij in 1851 promoveerde In 1854 werd hijprivaatdocent in 1859 hoogleraar aan dezelfde universiteit Evenals Abel had hijlast van een zwakke gezondheid zijn laatste dagen bracht hij in Italieuml door waarhij in 1866 op veertigjarige leeftijd stierf In dit korte leven publiceerde hij slechtseen betrekkelijk klein aantal verhandelingen maar iedere publikatie van zijn handwas - en is - belangrijk en sommige van deze publikaties hebben nieuwe envruchtbare gebieden opengelegd

1 AE Monna The Concept of Function in the 19th and 20th Centuries AHES 9 (1972) 51-842 AE Monna Dirichlets Principle (Utrecht 1975)


214

In 1851 verscheen Riemanns proefschrift over de theorie der complexe functies u+ iv = f(x + iy) Evenals DAlembert en Cauchy voacuteoacuter hem was hij doorhydrodynamische beschouwingen beiumlnvloed Hij beeldde het (xy)-vlak conform afop het (uv)-vlak en liet zien dat een functie bestond die een willekeurig enkelvoudigsamenhangend gebied in het ene vlak in een enkelvoudig samenhangend gebiedvan het andere vlak bv de eenheidscirkel transformeert Dit bracht hem tot hetbegrip Riemann-oppervlak en zo werden in de analyse topologische beschouwingeningevoerd Topologie was in die dagen nog een bijna maagdelijk terrein waaraanJB Listing in 1847 een artikel in de Goumlttinger Studien had gewijd - Euler had hetonderwerp alreeds eenmaal aangesneden in een artikel over het probleem van dezeven bruggen van Koningsbergen1 Riemann liet zien hoe gewichtig dezetopologische beschouwingen in de theorie der complexe functies zijn In ditproefschrift werd ook het begrip analytische functie verduidelijkt haar reeumlle en haarimaginaire doel moeten in een bepaald gebied aan de zgn vergelijkingen van Cauchyen Riemann ux = vy uy = - vx voldoen en verder aan zekere voorwaarden metbetrekking tot de rand en singulariteitenRiemann paste zijn ideeeumln toe op hypergeometrische functies en op functies van

Abel (1857) waarbij hij vrij gebruik maakte van het beginsel van Dirichlet (zo noemdehij het) Hierbij ontdekte hij het geslacht van een oppervlak van Riemann als eentopologische invariante waarmee hij oa de functies van Abel kon classificeren Ineen verhandeling na zijn dood (1867) gedrukt paste hij zijn ideeeumln opminimaaloppervlakken toe Tot dit gedeelte van Riemanns werkzaamheid behorenook zijn onderzoekingen over elliptische modulaire functies thegravetareeksen in pveranderlijken en lineaire differentiaalvergelijkingen met algebraiumlsche coeumlfficieumlntenBij zijn toelating tot privaatdocent bood Riemann niet minder dan twee gewichtige

verhandelingen aan de ene over trigonometrische reeksen en de grondslagen vande analyse de andere over de grondslagen van de meetkunde In de eersteverhandeling onderzocht Riemann de voorwaarden vanDirichlet voor de convergentievan Fourier-reeksen Een van die voorwaarden was de lsquointegreerbaarheidrsquo van defunctie Maar wat is de betekenis van het lsquobestaanrsquo van een integraal Cauchy enDirichlet hadden deze

1 Uit deze eerste tijd dateren ook de voor de topologie belangrijke wetten van Kirchhoff (1846-49)en het werk van Moumlbius en Listing over eenzijdige oppervlakken (1858)


215

vraag reeds op hun manier beantwoord Riemann verving hun definities door eennieuwe die meer omvattend was en die wij kennen als de definitie van delsquoRiemann-integraalrsquo Eerst in de twintigste eeuw bleek dat het voor vele doeleindenbeter was deze integraal te vervangen door de Lebesgue-integraal (1902)Riemann bewees verder dat functies door Fourier-reeksen gedefinieerd zeer

goed in het bezit kunnen zijn van een oneindig aantal maxima en minima iets datwiskundigen van een oudere school niet in een functie zouden hebben aanvaardHet begrip lsquofunctiersquo begon zich nu toch wel zeer los te maken van dat van de curvaquaecumque libero manus ductu descripta van Euler1 In zijn colleges gaf Riemanneen voorbeeld van een continue functie zonder afgeleiden in 1875 werd eenvoorbeeld van zulk een functie door Weierstrass ontdekt gepubliceerd In die dagenweigerden de meeste wiskundigen om zulke functies au seacuterieux te nemen zespraken van lsquopathologischersquo functies De moderne analyse heeft aangetoond hoefundamenteel zulke functies zijn zodat Riemann ook hier de vinger heeft gelegdop een belangrijk wiskundig verschijnselDe andere verhandeling van 1854 is een onderzoek naar de hypothesen die aan

de meetkunde ten grondslag liggen Riemann voerde de ruimte in als eentopologische uitgebreidheid van een willekeurig aantal afmetingen in zulk eenuitgebreidheid werden demetrische eigenschappen ingevoerd door middel van eenkwadratische differentiaalvorm zodat in het oneindig kleine de betrekkingeneuklidisch waren Waar Riemann in zijn analyse een complexe functie hadgedefinieerd door haar lokale gedrag zo bepaalde hij in deze verhandeling over demeetkunde het karakter van de ruimte op dezelfde manier Zo kon Riemann nietalleen de verschillende vormen die demeetkunde had aangenomen als een eenheidoverzien zelfs de nog tamelijk onbekende en ongewaardeerde niet-euklidischemeetkunde doch hij kon ook een onbepaald aantal nieuwe ruimtevormen scheppenVerscheidene van deze ruimtevormen hebben sedert Riemanns tijd een bruikbareplaats gevonden in de meetkunde of in de mathematische fysica en speciaal inEinsteins relativiteitstheorie Deze verhandeling bevatte nauwelijks een enkeleformule ze was zuiver beschrijvend hetgeen de bestudering ervan geenszinsvergemakkelijkte Later verschenen sommige der bijbehorende formules in hetantwoord op

1 De een of andere kromme met de vrije hand beschreven (Institutiones Calculi Integralis III sect301)


216

een prijsvraag over het warmtetransport in vaste lichamen uitgeschreven door deAcadeacutemie in Parijs (1861) Wij vinden hier een schets van de transformatietheorieder kwadratische vormen en ze bevat tevens de uitdrukkingen die later bekend zijngeworden als de componenten van de krommingstensorDe laatste verhandeling van Riemann die wewillen vermelden bevat zijn onderzoek

naar het aantal priemgetallen F(n) minder dan een gegeven geheel getal n (1859)Gauss had reeds aangegeven dat F(n) tot de logaritmische integraal ʃn2(log t)

-1 dtnadert Riemann onderzocht Gauss ontdekking met complexe getallen en kwamtot bepaalde conclusies door een hypothese op te stellen die sedert die tijd heelberoemd is geworden en door vele wiskundigen als een uitdaging is - en wordt -beschouwd Deze hypothese houdt in dat de zgn zegravetafunctie van Euler ζ(s) die bijEuler voorkomt voor s geheel positief alsζ(s) = 11 s + 12 s + 13 s + + 1ns + nu als functie van complexe s = x + iy beschouwd alle niet-reeumlle nulpunten op de

lijn x = frac12 heeft (de notatie ζ(s) is van Riemann) Deze hypothese is tot nu toe nochbewezen noch weerlegd ondanks veel waardevol onderzoek1

14

Men heeft vaak Riemanns opvatting van een complexe functie vergeleken met dievan Weierstrass Karl Weierstrass doceerde vele jaren als wiskundeleraar aan eenPruisisch gymnasium en werd in 1856 hoogleraar in de wiskunde aan de universiteitvan Berlijn waar hij dertig jaar onderwijs gaf Zijn steeds voorbeeldig voorbereidecolleges genoten een steeds groter wordende beroemdheid het is vooral door diecolleges dat Weierstrass ideeeumln diep in het tegenwoordige wiskundige bewustzijnzijn binnengedrongenGedurende zijn gymnasiale periode schreef Weierstrass verscheidene

verhandelingen over hyperelliptische integralen functies van Abel en algebraiumlschedifferentiaalvergelijkingen Zijn meest bekende bijdrage is zijn gebruik van demachtreeks als grondslag voor de leer der complexe functies In zekere zin was dit

1 R Courant Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre (DieNaturwissenschaften 14 (1926) 813-818) Zie ook het uitvoerige artikel van H FreudenthalDSB XI (1975) 447-456 met literatuur


217

een terugkeer tot de opvattingen van Lagrange met het verschil dat Weierstrass inhet complexe vak en met volkomen strengheid werkte De waarden van demachtreeks binnen haar convergentiecirkel vormden het lsquofunctie-elementrsquo waarbuitendan zo mogelijk de functie over het vlak wordt uitgebreid door zgn analytischevoortzetting In het bijzonder onderzocht Weierstrass gehele functies en functiesdoor oneindige produkten gedefinieerd Zijn functie weierp (u) heeft naast de ouderefuncties sn u en u en dn u van Jacobi een blijvende plaats in de leer der elliptischefuncties ingenomenDe roem vanWeierstrass is in de eerste plaats gebaseerd op zijn uiterst verzorgde

redenering op de lsquostrengheid van Weierstrassrsquo niet alleen in zijn leer der reeumlle encomplexe functies doch ook in zijn variatierekening Hij verhelderde de begrippenvan het minimum van de functie van de afgeleide en bevrijdde op deze wijze dedifferentiaal- en integraalrekening van verscheidene overblijfsels van de oudevaagheid die nog uit de tijd van Newton en Leibniz dateerden Hij was bij uitstek hetwiskundige geweten methodisch en logisch Zo kwam hij ook op het begrip uniformeconvergentie Met hem begon de reductie van de beginselen der analyse totrekenkundige begrippen die we de arithmetisering der wiskunde noemen

lsquoAls heden in het volgen van bewijsredenen die op het begrip irrationaalgetal en limiet in het algemeen berusten in de analyse volmaakteeensgezindheid en zekerheid bestaat en in demeest ingewikkelde vragendie de theorie der differentiaalen integraalrekening betreffen tochovereenstemming over alle resultaten bestaat ondanks demeest gedurfdeen verschillende combinaties met gebruik van super- juxta- en transpositievan limieten - dan is dit in principe een verdienste van dewetenschappelijke activiteit van Weierstrass1

15

Deze arithmetisering was een karaktertrek van de zogenaamde Berlijnse schoolen in het bijzonder van Leopold Kronecker Tot deze school behoorden wiskundigenals Kronecker Kummer en Frobenius die uitblonken in algebra en in de theorie vanalgebraische getallen Wij kunnen in zekere zin tezamen met hen Dedekind enCantor noemen Ernst Kummer werd in 1855 als opvolger van Dirichlet naar Berlijnberoepen waar hij tot 1883 doceerde daarna gaf hij vrijwillig zijn wiskundig werkop omdat hij voelde

1 D Hilbert Uumlber das Unendliche Mathem Annalen 95 (1926) 161-190 Franse vertalingActa Mathematica 48 (1926) 91-122


218

dat zijn scheppende kracht af zou nemen Kummer ontwikkelde dedifferentiaalmeetkunde van de lijnencongruenties die door Hamilton was begonnenhetgeen hem oa bracht tot het vierdegraadsoppervlak met zestien knooppuntendat zijn naam draagt Zijn beroemdheid heeft hij eveneens te danken aan de lsquoidealersquogetallen in zijn theorie van de algebraiumlsche rationaliteitsgebieden (1846) Dezetheorie dankt haar ontstaan ten dele aan Kummers pogingen het grote theoremavan Fermat (xn + yn = zn onmogelijk voor positief gehele x y z n gt 2) te bewijzenen ten dele aan Gauss theorie der kwadraatresten waarin hij in het gebied dercomplexe getallen het begrip priemgetallen had ingevoerd Kummers lsquoidealersquo getallenmaakten het mogelijk eenduidige ontbinding van getallen in priemfactoren binnenalgemenere rationaliteitsgebieden in te voeren Met deze nieuwe begrippen konmen nu diep in de rekenkunde van de algebraiumlsche getallen doordringen hetgeentot ontdekkingen voerde die David Hilbert in 1897 voor de Deutsche MathematischeGesellschaft op meesterlijke wijze heeft samengevat De theorie van RichardDedekind en Heinrich Weber die de theorie der algebraiumlsche functies en die deralgebraiumlsche getallen in bepaalde rationaliteitsgebieden op elkaar betrokken (1882)waren een voorbeeld van de vruchtbaarheid van Kummers ideeeumln in dearithmetisering van de wiskundeLeopold Kronecker die op het gymnasium door zijn leraar Kummer de liefde voor

de wiskunde was bijgebracht vestigde zich na enige omzwervingen in 1855 teBerlijn waar hij jarenlang zonder een formele leerstoel doceerde Hij aanvaarddedie eerst in 1883 toen zijn oude leermeester Kummer aftrad Kroneckers voornaamsteverhandelingen betreffen elliptische functies ideaaltheorie en de aritmetica vankwadratische vormen zijn gepubliceerde voordrachten over getallentheorie zijnzorgvuldige uitwerkingen van zijn eigen en van voorafgaande ontdekkingen en latenduidelijk zien hoe hij geloofde in de noodzakelijkheid de wiskunde te aritmetiserenDeze overtuiging was een gevolg van zijn zoeken naar strenge bewijzen en zogeloofde hij dat de wiskunde op het getal als grondslag moest worden opgebouwden het getal zelf weer op het natuurlijke getal Zo moest het getal π niet zoalsgewoonlijk het geval was meetkundig worden ingevoerd het was beter met dereeks 1 - ⅓ +⅕ - 17 + etc te beginnen dus met een betrekking van gehele getallenHetzelfde doel kon worden bereikt met bepaalde oneindige produkten voor πKroneckers streven alles wat wiskundig was op de getallenleer terug te voerenwordt belicht door zijn bekende uitspraak tijdens een vergadering in Ber-


219

lijn in 1886 lsquoDe gehele getallen zijn door de goede God gemaakt al het andere ismensenwerkrsquo1 Hij aanvaardde een definitie van een mathematisch begrip alleenals het in een eindig aantal stappen kon worden geverifieerd Op die manier lostehij de moeilijkheid van het actueel oneindige op door te weigeren het te aanvaardenPlatos leuze dat God altijd lsquogeometriseertrsquo werd in Kroneckers school vervangendoor de leuze dat God altijd lsquoarithmetiseertrsquoKroneckers beschouwingen over het actueel oneindige stonden in scherp contrast

tot die van Dedekind en vooral die van Cantor Richard Dedekind eacuteeacutenendertig jaarlang professor aan de Technische Hogeschool in Brunswijk schiep een strengetheorie van het irrationale getal In twee boekjes Stetigkeit und Irrationalzahlen(1872) enWas sind und was sollen die Zahlen (1882) volbracht hij voor de modernewiskundemet haar aritmetisering wat Eudoxos had gedaan voor deGriekse wiskundemet haar geometrisering Er is met alle verschil een zekere overeenkomst tussende lsquosnede van Dedekindrsquo waarmee de moderne wiskunde (met uitzondering vande school van Kronecker) het irrationale getal postuleert en de antieke theorie vanEudoxos zoals we die uit het vijfde boek van Euklides Elementen kennen Cantoren Weierstrass gaven rekenkundige definities van irrationale getallen die enigszinsvan die van Dedekind verschilden doch op hetzelfde beginsel berusttenDe grootste ketter in Kroneckers ogen was echter Georg Cantor Cantor die van

1869 tot 1905 in Halle doceerde heeft zijn beroemdheid niet zozeer aan zijn theorievan het irrationale getal maar aan zijn theorie der oneindige verzamelingen(lsquoMengenlehrersquo) te danken Met deze theorie ontsloot Cantor een geheel nieuwwiskundig gebied dat als eenmaal de grondbeginselen worden aanvaard aan dehoogste eisen van strengheid voldoet Cantors publikaties begonnen in 1870 envolgden elkaar regelmatig op in 1883 verschenen zijn Grundlagen einer allgemeinenMannigfaltigkeitslehre In deze verhandeling schiep hij een theorie van transfinietekardinaalgetallen die voortvloeide uit een systematische wiskundige behandelingvan het actueel oneindige Het laagste transfiniete getal dat hij א (aleph) noemdegaf hij aan een verzameling zoals die der gehele getallen dus een zgn aftelbareverzameling Aan het continuuumlm kende hij een hoger transfiniet getal toe omdathet onmogelijk is een een-eenduidige afbeelding van een aftelbare verzameling opde punten van het continuuumlm te con-

1 Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht alles Andere ist Menschenwerk


220

strueren Zo was het mogelijk een arithmetica van transfiniete getallen te scheppenCantor definieerde ook transfiniete ordinaalgetallen die samenhingen met de wijzewaarop oneindige verzamelingen geordend zijnIn deze ontdekkingen gelukte het Cantor een wiskundige grondslag te geven aan

vele oude scholastieke speculaties over de natuur van het oneindige en hij was zichvan dit resultaat wel bewust Hij verdedigde Augustinus volkomen aanvaarding vanhet actueel oneindige (in een theologische vorm)1 maar moest zich zelf verdedigentegen de oppositie van vele zijner collegas die weigerden het oneindige teaanvaarden behalve als een proces gesymboliseerd door het teken infin Cantorsvoornaamste tegenstander was Kronecker die in hetzelfde proces van dearithmetisering der wiskunde een geheel tegenovergestelde richtingvertegenwoordigde Tenslotte gelukte het Cantor zijn inzichten door de meestewiskundigen aanvaard te zien vooral toen de enorme betekenis van de leer derverzamelingen voor de theorie der reeumlle functies en de topologie werd beseft Ditwerd vooral duidelijk nadat H Lebesgue in 1902 de theorie van Cantor verrijkt hadmet zijn maattheorie Er bleven echter logische moeilijkheden in de theorie dertransfiniete getallen die tot paradoxen aanleiding gaven zoals die van Burali Fortien Bertrand Russell Dit leidde weer tot scholen wier opvattingen over degrondslagen der wiskunde scherpe verschillen vertoonden - en nog vertonen Destrijd in de twintigste eeuw tussen logistici formalisten en intuiumltionisten is een vervolgop de strijd tussen Cantor en Kronecker maar op een nieuw niveau2

16

Deze merkwaardige ontwikkelingen in de algebra en analyse gingen samen meteven merkwaardige ontwikkelingen in de meetkunde Als uitgangspunt kunnen wijhet onderwijs van Monge nemen omdat deze zowel het lsquosynthetischersquo als hetlsquoalgebraiumlschersquo element in de meetkunde had doen uitkomen In het werk van zijnleerlingen zien wij een splitsing van beide methoden die ieder een eigen weg gaande lsquosynthetischersquo methode voert naar de projectieve meetkunde de lsquoalgebraiumlschersquonaar onze moderne analytische en algebraiumlsche meetkunde De projectievemeetkunde begon als een zelfstandige wetenschap met Poncelets boek van 1822Er waren prioriteitskibbelarijen zoals zo vaak ontstaan als iets belangrijks

1 Zie de voetnoot bij Augustinus hoofdstuk V p 1122 Zie bv M Black The Nature of Mathematics (New York 1934) ook ENSIE Encyclopedie

IV (Amsterdam 1949) 14-16


221

wordt ontdekt en hier was het Joseph Gergonne professor in Montpellier die alsrivaal van Poncelet optrad Gergonne publiceerde verscheidene belangrijke artikelenover onderwerpen uit de projectieve en analytische meetkunde waarin hij oagelijktijdig met Poncelet het begrip dualiteit ontwikkelde Artikelen hieroververschenen in de Annales de matheacutematiques het eerste tijdschrift dat geheel aande wiskunde gewijd was en waarvan Gergonne redacteur was het verscheen van1810 tot 1831 Reeds in 1806 had Monges leerling Charles Julien Brianchon ditdualiteitsbeginsel toegepast op Pascals zeshoek ingeschreven in een kegelsnedeen op die manier de duale stelling over een omgeschreven zeshoek met zijn lsquopuntvan Brianchonrsquo verkregen In 1836 werden de Annales voortgezet door LiouvillesJournal de matheacutematiques pures et appliqueacutees titel in navolging van die van CrellesJournal (dan van 1826 af was verschenen)Voor Poncelets manier van denken is ook een ander beginsel karakteristiek het

beginsel der continuiumlteit Dit beginsel dat het hem mogelijk maakte uit deeigenschappen van de ene figuur die van een andere af te leiden formuleerde hijals volgt

Wanneer een figuur uit een andere figuur door een continue veranderingkan worden voortgebracht en even algemeen is als de eerste dan kaneen eigenschap die voor de eerste figuur bewezen is zonder meer naarde tweede worden overgebracht

Dit was een beginsel dat wel met de grootste voorzichtigheid moest wordenbehandeld want het liet aan nauwkeurige formulering veel te wensen over Eerstmet de hulpmiddelen van de moderne algebra heeft men het scherper kunnenomschrijven Gehanteerd door Poncelet en zijn school leidde het tot belangwekkendenieuwe en juiste resultaten zelfs als het werd toegepast op veranderingen van hetreeumlle naar het imaginaire gebied Zo werd Poncelet ertoe gebracht te verklaren datalle cirkels in het vlak lsquotwee imaginaire punten in het oneindigersquo gemeen haddenhetgeen ook de invoering betekende van de lsquolijn in het oneindigersquo van het vlak Hieren op andere plaatsen nam hij dus de gedachtengang weer op die Desargues inde zeventiende eeuw had geschetst doch die niet meer verder was gevolgd Watde lijn in het oneindige betreft GH Hardy heeft opgemerkt dat met dit begrip deprojectieve meetkunde niet geaarzeld heeft het actueel oneindige te aanvaarden1De analisten bleven in dit opzicht verdeeld

1 GH Hardy A Course of Pure Mathematics (Cambridge 6e uitg 1933) Appendix IV


222

Poncelets ideeeumln werden verder ontwikkeld door Duitse meet-kundigen In 1826verscheen de eerste publikatie van Steiner in 1827 Der barycentrische Calcul vanMoumlbius in 1828 het eerste deel van Pluumlckers Analytisch-geometrischeEntwicklungen In 1831 verscheen het tweede deel in 1832 gevolgd door SteinersSystematische Entwicklung Het laatste van deze Duitse pionierswerken op hetgebied van deze meetkunde verscheen in 1847 met de axiomatische Geometrieder Lage van Von StaudtWij vinden onder deze Duitse meetkundigen zowel vertegenwoordigers van de

synthetische als de algebragraveiumlsche opvatting De typische vertegenwoordiger van desynthetische (of lsquozuiverersquo) meetkundige school was Jakob Steiner een Zwitserseboerenzoon een lsquoHirtenknabersquo self-made wiens geestdrift voor de meetkunde werdgewekt toen hij kennis maakte met de opvoedkundige ideeeumln van Pestalozzi Hijbesloot naar Heidelberg te gaan om te studeren en gaf later onderwijs in Berlijnwaar hij van 1834 tot aan zijn dood in 1863 een leerstoel aan de universiteit bezatSteiner was een meetkundige door-en-door hij verafschuwde het gebruik vanalgebra en analyse zozeer dat hij zelfs bezwaar had tegen figuren als hulp bij hetzuiver meetkundig denken1 Dit zo dacht hij kon het best geschieden doorgeconcentreerd denken Dit was zeker het geval met Steiner zelf wiens denkenonze meetkunde met een groot aantal mooie en soms ingewikkelde theoremasheeft verrijkt Zo hebben wij aan hem de ontdekking van het zgn Romeinse oppervlak(of oppervlak van Steiner) te danken dat een tweevoudige oneindigheid vankegelsneden bevat Hij publiceerde zijn stellingen vaak zonder bewijs hetgeen zijnverzamelde werken tot een goudmijn heeft gemaakt voor meetkundigen op zoeknaar vraagstukken die nog bewezen moeten wordenSteiner bouwde de projectieve meetkunde streng systematisch op van

perspectiviteit tot projectiviteit en vandaar tot de kegelsneden Daarnaast was hijook in isoperimetrische vraagstukken geiumlnteresseerd waarvan hij er een aantal opzijn eigen karakteristieke meetkundige manier oploste Zijn bewijs van 1836 dat decirkel van alle gesloten krommen met gegeven omtrek het grootste oppervlak heeftwerd geleverd door aan te tonen dat iedere figuur van dien aard die niet een cirkelis kan worden veranderd in een andere figuur met dezelfde omtrek doch groteroppervlak In zijn

1 Dit doet denken aan NLWA Gravelaar wiskundeleraar in Deventer (1851-1913) van wieverteld werd dat hij geloofde dat men het best de meetkunde kon doceren in een donkervertrek


223

conclusie dat daarom de cirkel het maximum voorstelde miste hij een schakelnamelijk het bewijs dat eenmaximumwerkelijk bestaat Dit heeft Dirichlet aan Steinertrachten duidelijk te maken doch eerst Weierstrass heeft het strenge bewijsgeleverd1Steiner had nog een metriek nodig om de dubbelverhouding van vier punten op

een rechte lijn of van vier lijnen door een punt in een vlak te definieumlren Dit was geenzuivere projectieve meetkunde Deze tekortkoming werd door Christian von Staudtvele jaren lang hoogleraar in Erlangen verbeterd In zijn Geometrie der Lage (1847)definieerde hij de Wurf Van vier punten op een rechte op zuiver projectieve wijzeen toonde dan aan dat deze Wurf met de dubbelverhouding geiumldentificeerd kanworden Hiervoor gebruikte hij de zgn netconstructie van Moumlbius die totaxiomatische beschouwingen leidt die in verband staan met de snede van Dedekindals men irrationale waarden van projectieve cooumlrdinaten wil invoeren In 1857 lietVon Staudt zien hoe men op strenge wijze imaginaire elementen in de meetkundekan invoeren als dubbelelementen van elliptische involuties2Op deze grondslagen door Poncelet Steiner en Von Staudt gelegd werd in de

volgende jaren een uitgebreide synthetische meetkunde opgebouwd die dan intekstboeken werd vastgelegd Een der meest invloedrijke van deze boeken was destandaardtekst van KT Reye de Geometrie der Lage (1868 3e uitg 1886-92) Erbestaan ook Nederlandse leerboeken3

17

Vertegenwoordigers van de algebraiumlsche richting in de meetkunde waren Moumlbiusen Pluumlcker in Duitsland Chasles in Frankrijk en Cayley in Engeland AugustFerdinand Moumlbius gedurende meer dan vijftig jaren waarnemer later directeur vande sterrenwacht in Leipzig was een veelzijdige geleerde In zijn boek Derbarycentrische Calcuumll (1827) was hij de eerste die homogene cooumlrdinaten invoerdeWanneer in de hoekpunten van een vaste driehoek de massas m1 m2 m3 wordengeplaatst gaf Moumlbius aan het

1 W Blaschke Kreis und Kugel (Leipzig 1916) 1-122 H Freudenthal The Impact of Von Staudts Foundations of Geometry in For Dirk Struik

(Reidel 1974) 189-2003 Vele historische bijzonderheden over deze meetkundigen vindt men in H de Vries Historische

Studieumln tussen 1923 en 1954 in het Nieuw Tijdschrift van Wiskunde en enige anderetijdschriften gepubliceerd Zie NTv Wisk (1953) 298-299 De meeste van deze studieumln zijnook in boekvorm uitgegeven (2 delen)


224

zwaartepunt (barycentrum) deze massas de homogene cooumlrdinaten m1 m2 m3Deze cooumlrdinaten bleken dan zeer geschikt te zijn om niet alleen projectieve dochook affiene eigenschappen van het vlak af te leiden - het woord lsquoaffiniteitrsquo ontleendeMoumlbius aan Euler Zo werden homogene cooumlrdinaten in de loop der jaren hetalgemeen aanvaarde hulpmiddel voor de algebraiumlsche behandeling der projectievemeetkunde Moumlbius die evenals zijn tijdgenoot Von Staudt een rustig en tamelijkgeiumlsoleerd geleerdenleven leidde kwam tot menige belangrijke ontdekking zoalsdie van het nulsysteem in de leer der lijnencongruenties die men in zijn boek overstatica van 1837 vindt De tegenwoordig zo bekende band van Moumlbius een eerstevoorbeeld van een eenzijdig (niet orieumlnteerbaar) oppervlak herinnert ons aan hetfeit dat Moumlbius ook zijn aandeel heeft aan de grondlegging der topologieJulius Pluumlcker die jarenlang in Bonn doceerde was niet alleen een meetkundige

doch ook een experimenteel fysicus Hij deed een reeks ontdekkingen omtrent hetmagnetisme van kristallen over elektriciteitsgeleiding in gassen (hij ontdekte dekathodestralen) en in de spectroscopie In een aantal verhandelingen en boekenspeciaal de Neue Geometrie des Raumes (186869) bouwde hij een analytischemeetkunde op met behulp van vele nieuwe ideeeumlnIn het bijzonder demonstreerde Pluumlcker de voordelen van een afgekorte notatie

waarin bv C1 + λC2 = 0 een bundel kegelsneden kan voorstellen die door desnijpunten van de kegelsneden C1 = 0 en C2 = 0 gaan Zo leerde hij eigenschappenvan de figuur uit de constructie van hun vergelijkingen af te lezen In dit boek van186869 voerde Pluumlcker homogene cooumlrdinaten als lsquoprojectieversquo cooumlrdinaten in metbetrekking tot een fundamenteel viervlak en formuleerde ook het belangrijke beginseldat de meetkunde niet noodzakelijk op het punt als primair element behoeft teworden opgebouwd lijnen vlakken cirkels bollen enz kunnen ook als zodanig inhet vlak of in de ruimte en als de grondslag van bepaalde meetkunden wordeningevoerd Deze vruchtbare gedachte wierp nieuw licht op de synthetische en opde algebraiumlsche meetkunde en schiep nieuwe vormen van dualiteit De dimensievan een bepaalde meetkunde kon een willekeurig positief getal zijn dat gelijk is aanhet aantal parameters waarvan het primaire element afhangt Pluumlcker publiceerdeook een algemene theorie van algebraiumlsche krommen in het platte vlak waarin hijde lsquorelaties van Pluumlckerrsquo tussen het aantal der verschillende singulariteiten afleidde(1834 1839)Michel Chasles gedurende een lange tijd de leidende meetkun-


225

dige in Frankrijk was een leerling van de Ecole Polytechnique in de latere jaren vanMonge Hier werd hij in 1841 tot hoogleraar benoemd In 1846 aanvaardde hij despeciaal voor hem ingestelde leerstoel in de hogere meetkunde aan de Sorbonneen gaf daar jarenlang onderwijs Er is een zekere overeenkomst tussen het werkvan Pluumlcker en van Chasles vooral in hun bedrevenheid om uit de vorm van devergelijkingen een maximum aantal meetkundige stellingen te halen Zo vindt menbij Chasles een handig manipuleren met isotrope lijnen (asymptoten van de cirkel)en oneindig verre cirkelpunten Chasles nam van Poncelet het gebruik van zgnlsquoaftellendersquo methoden over en onder zijn behandeling ontwikkelden dezemethodenzich tot een nieuw meetkundig gebied de zgn lsquoaftellendersquo meetkunde Dit gebiedwerd later door Hermann Schubert in zijn Kalkuumll der abzaumlhlenden Geometrie (1879)gevolgd door HG Zeuthens AbzaumlhlendeMethoden (1914) systematisch onderzochtBeide boeken openbaren zowel de sterke als de zwakke punten van deze vorm vanalgebra in meetkundige taal Haar aanvankelijk succes riep een tegenstroming inhet leven waaraan oa E Study leiding gaf met zijn uitspraak lsquoExactheid mag inde meetkunde niet eeuwig als iets bijkomstigs worden behandeldrsquo1Chasles had een grote belangstelling voor de geschiedenis van de wiskunde en

in het bijzonder van de meetkunde Zijn gevoel voor het historische openbaart zichin zijn bekend Aperccedilu historique sur lorigine et le deacuteveloppement des meacutethodes engeacuteomeacutetrie (1837) een der eerste belangrijke geschriften over de geschiedenis vande meetkunde Dit nog zeer leesbare boek behandelt zowel de Griekse als de toenmoderne meetkunde en is een goed voorbeeld van een geschiedenis der wiskundegeschreven door iemand die zelf een zelfstandig onderzoeker was Deze liefde voorde geschiedenis maakte Chasles ook wel eens wat blind en zo is hij het slachtoffergeworden van een grappenmaker die aan Chasles tussen 1861 en 1870 duizendenvalse documenten verkocht brieven van Galilei Pascal en Newton tot brieven vanPlato en zelfs van de apostelen toe2

18

Gedurende deze jaren waarin in bijna koortsachtig tempo gehele nieuwemeetkundige gebieden werden ontsloten bleef een an-

1 E Study Verhandl des dritten Mathem Kongresses Heidelberg 1905 388-395 zie ook BLvan der Waerden Dissertatie Leiden 1926

2 JA Farrer Literary forgeries (Londen 1907) Chapter XII


226

der nieuw en in haar consequenties nog veel meer revolutionair gebied verborgenin enkele obscure verhandelingen die door de meeste leidende wiskundigen vrijwelgeheel geiumlgnoreerd werden De vraag of het euklidische parallellenpostulaat eenonafhankelijk axioma is of een stelling die uit andere meer eenvoudig schijnendeaxiomas kan worden afgeleid had voor meer dan tweeduizend jaar de wiskundigewereld verontrust Ptolemaios had in de Oudheid getracht een antwoord te vindenOmar Khayyam en Nasīr al-dīn in de Middeleeuwen de Italiaan Girolamo Saccheride Zwitser Lambert en de Fransman Legendre in de achttiende eeuw1 Al dezegeleerden hadden geprobeerd het axioma te bewijzen wat niet gelukte al vondenze in de loop van hun onderzoek menig interessant resultaat Gauss schijnt wel deeerste geweest te zijn die aan de onafhankelijkheid van het parallellenaxiomageloofde en dus tot de conclusie kwam dat andere meetkunden die op een anderaxioma berusten logisch mogelijk waren Gauss maakte zijn gedachten over ditonderwerp niet publiek De eersten die openlijk de autoriteiten van tweeduizendjaar wiskundig onderzoek durfden tegen te spreken en een niet-euklidischemeetkunde construeerden2 waren een Rus Nikolai Iwanowitsch Lobačevskiǐ eneen Hongaar Janos (Johan) Bolyai Van hen heeft Lobačevskiǐ zijn ideeeumln het eerstgepubliceerd Zijn eerste boek verscheen in 182930 doch al reeds in 1826 had hijer over in Kazan waar hij professor was voordrachten gehouden Het boek was inhet Russisch geschreven toen een taal die weinig mensen buiten het tsarenrijklazen doch ook van een latere uitgave in het Duits onder de naam GeometrischeUntersuchungen zur Theorie der Parallellinien (1840) werd weinig notitie genomenofschoonGauss belangstelling toonde In de tussentijd had ook Bolyai zijn gedachtenover dit onderwerp gepubliceerd

1 F Engel-P Staumlckel Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss (2 delen Leipzig)1895 Het is merkwaardig dat de Schotse wijsgeer Thomas Reid in 1764 een niet-euklidischemeetkunde (van het elliptische type) ontwikkelde waaraan verder niemand enige aandachtschonk in An inquiry into the human Mind Reid die tegenover Berkeley een realistische enlsquocommon sensersquo filosofie vertegenwoordigde polemiseerde tegen Berkeleys theorie van hetgezichtsvermogen Zie N Daniels Thomas Reids Discovery of Non-Euclidean GeometryPhilosophy of Science 39 (1972) 219-234

2 Behalve dan ThomasReid maar diens niet-euklidischemeetkunde die slechts enige bladzijdeninnam was polemisch tegenover Berkeley maar niet tegenover Euklides


227

Janos (Johan) Bolyai was de zoon van een wiskundeleraar in een Hongaarseprovinciestad Deze leraar Farkas (Wolfgang) Bolyai had in Goumlttingen gestudeerdin dezelfde tijd als Gauss en wisselde wel eens een brief met hem Farkas besteeddeveel tijd aan een poging het parallellenaxioma te bewijzen doch kon tot geenbevredigende conclusie komen Zijn zoon had deze hartstocht geeumlrfd en begon ooknaar een bewijs te zoeken ondanks de waarschuwing van zijn vader

Je moet dit evenzo verafschuwen als liederlijk verkeer het kan je van alje vrije tijd je gezondheid je rust en je hele levensgeluk beroven Depikdonkere duisternis van dit probleem kan wel duizend reuzen als Newtonverslinden het zal nooit licht op aarde geven (brief van 1820)

De zoon werd voor het leger opgeleid en verwierf zich een naam als een officierhandig met degen en viool Maar hij begon ook in te zien dat het euklidische axiomawerkelijk onafhankelijk van de andere axiomas was en ontdekte dat het mogelijkwas een meetkunde op te stellen waarin door een gegeven punt in een vlak eenoneindig aantal lijnen lopen die een gegeven lijn in dit vlak niet snijden Dit washetzelfde denkbeeld waarmee Gauss en Lobačevskiǐ hadden gespeeld Bolyaischreef zijn ideeeumln op en had ze in 1832 gepubliceerd als een appendix bij eenboek van zijn vader dat de titel had Appendix scientam spatii absolute veramexhibens1 De vader was ongerust over de onorthodoxe opinies van zijn zoon enschreef aan Gauss om raad Toen het antwoord uit Goumlttingen binnenkwam bevattehet een warme waardering voor het werk van de jongere Bolyai Gauss voegdeeraan toe dat hij Bolyai niet kon prijzen daar dit zou betekenen dat hij zichzelf zouprijzen aangezien de gedachten van de Appendix hem reeds jaren bekend warengeweestDe jonge Janos was van deze lofbrief die hem verhief tot een positie van een

groot man van wetenschap en tegelijk hem van zijn prioriteit beroofde ten zeersteontdaan Zijn teleurstelling verdiepte zich toen bleek dat men zich van zijn theoriemaar heel weinig aantrok Hij werd nog meer ontmoedigd toen hij Lobačevskiǐsboek in de Duitse vertaling van 1840 te zien kreeg Hij heeft geen wiskunde meergepubliceerdDe theorieeumln van Bolyai en van Lobačevskiǐ waren in beginsel gelijk doch

verschilden zeer in de wijze waarop zij werden uitge-

1 HJE Beth Inleiding tot de Niet-EuclidischeMeetkunde op historischen grondslag (Groningen1929) ook EJ Dijksterhuis De Elementen van Euclides I (Groningen 1929) Hoofdstuk II


228

werkt Het blijft intussen interessant te zien hoe de nieuwe ideeeumln onafhankelijk vanelkaar in Goumlttingen Budapest en Kazan ontstonden en dat ongeveer tegelijkertijdna een periode van relatieve stilstand die tweeduizend jaar heeft geduurd Ook ishet interessant dat ze gedeeltelijk buiten de grenzen van de scheppende wiskundigewereld van die dagen hun oorsprong vonden Het komt wel meer voor dat grote ennieuwe ideeeumln buiten en niet binnen de scholen worden geboren Toch was erverband tussen die ontdekkers Gauss was als student een vriend van de oudereBolyai en Lobačevskiǐs leraar in Kazan was JM Bartels een van de leraren vanGauss En wemoeten ook niet vergeten dat het probleem van het parallellenaxiomain Goumlttingen om zo te zeggen lsquoin de lucht hingrsquo want professor AG Kaumlstner van1756 tot zijn dood in 1800 professor in Goumlttingen besteedde veel tijd en moeite aandit postulaat1Niet-euklidische meetkunde - de naam is van Gauss - bleef jarenlang een vrijwel

onbekend gebied van wetenschap De meeste wiskundigen trokken er zich nietsvan aan en zij die onder de invloed van Kants filosofie stonden weigerden haar inbeginsel ernstig te nemen2 De eerste wiskundige van de eerste rang die haarbelang volledig begreep was Riemann in wiens algemene theorie vanuitgebreidheden (1854) niet alleen de bestaande niet-euklidische meetkunde haarjuiste plaats verwierf maar ook ruimte overliet voor vele andere vormen vanmeetkunde die men nu als meetkunde van Riemann samenvat Volledige erkenningvan deze meetkunden kwam eerst toen na 1870 een jongere generatie Riemannsideeeumln begon te begrijpen en uit te werkenEr bestond nog een andere generalisatie van de klassiekemeetkunde die ontstaan

was in de jaren voor Riemann doch eerst na zijn dood werd gewaardeerd Dit wasde meetkunde van meer dan drie dimensies Ze kwam volledig uitgerust ter wereldin de Ausdehnungslehre (lsquoleer der uitbreidingrsquo) van Hermann Grassmann die in1844 gepubliceerd werd Grassmann was een leraar aan het gymnasium in Stettinen een man van buitengewone veelzijdigheid hij schreef met grote scherpzinnigheidover de meest verschillende onderwerpen zoals elektrische stromen kleurengeluidsleer linguiumlstiek plantkunde en folklore Zijn Sanskriets woordenboek overde Rigveda (1873-75) wordt nog gebruikt De Ausdehnungslehre waarvan eenherziene en beter leesbare editie

1 Zie hierover om G Goes artikel over Kaumlstner in DSB VII (1973) 2062 En dat ofschoon Kant het werk van Reid kende


229

in 1862 uitkwam was in strikt euklidische vorm geschreven stelling na stelling werdafgeleid in logische volgorde Hier vinden wij een meetkunde in een ruimte van ndimensies eerst affien later metrisch Hierbij gebruikte Grassmann een invariantenotatie waarin wij nu vectoren en tensoren herkennen (zijn Luumlckenprodukte zijntensoren) maar die voor zijn tijdgenoten vrijwel onleesbaar was Een latere generatienam gedeelten vanGrassmanns breed opgezette theorie over om een vectoranalysevoor affiene en metrische ruimten op te bouwen Grassmann zelf gebruikte zijntheorie oa om het zgn probleem van Pfaff aan te pakken een probleem dat inzichtgeeft in de structuur van lineaire differentiaalvormenOfschoon de Engelse wiskundige Cayley in 1843 eveneens dit begrip van

meerdimensionale ruimte invoerde en dit in een veel minder afschrikwekkendevorm bleef de meetkunde van deze ruimten een onderwerp dat met wantrouwenen ongeloof werd aangezien Hier was het weer Riemanns verhandeling van 1854die een beter begrijpen mogelijk maakte Daar kwam bij dat Pluumlcker door erop tewijzen dat men een meetkunde niet alleen op punten maar ook op andere figurenals primaire elementen kan opbouwen een nieuwe en gemakkelijk te aanvaardeninterpretatie vanmeerdimensionale ruimtenmogelijk maakte Zo kon demeetkundevan rechte lijnen in de gewone ruimte van Euklides beschouwd worden als eenvierdimensionale ruimte omdat zulk een lijn van vier parameters afhangt Felix Kleinwees later op het voordeel verkregen door diezelfde meetkunde te interpreterendoor de punten van een tweedegraadsoppervlak in een vijfdimensionale ruimteZulke lsquoafbeeldingenrsquo van de ene meetkunde op een andere werden steeds meeronderzocht Daarbij werd de overeenstemming in de begrippen van dimensie envrijheidsgraad reeds sinds Lagrange uit de mechanica bekend meer en meer alsbijna vanzelfsprekend erkend Toch ging men eerst laat in de negentiende eeuwde meetkunde in ruimten van meer dan drie dimensies waarderen voornamelijk omzijn nut in de interpretatie van algebraiumlsche vormen en van differentiaalvormen inmeer dan drie veranderlijken De Groninger hoogleraar PH Schoute (1846-1912)heeft de vierdimensionale meetkunde ook op lsquoEuklidisch-Cartesiaansersquo wijzebeoefend waarbij hij speciale aandacht wijdde aan de regelmatige lichamen (dezgn polytopen)1

1 Zie hoofdstuk IX sectie 8


230

19

De namen Hamilton en Cayley getuigen van het feit dat rond 1840 en later Engelsschrijvende wiskundigen ernstig met hun continentale collegas begonnen teconcurreren Tot diep in de negentiende eeuw werd onder de invloed van dekoloniale en Napoleontische oorlogen door de meeste academici en vooral dedons van Cambridge en Oxford elke poging om continentale wiskunde te beoefenenbeschouwd als een vergrijp tegen de door fluxies geheiligde naam van Sir IsaacNewton Reeds Euler in zijn Integraalrekening (1768) bezag de mogelijkheid vaneen compromis tussen beide richtingen met een zwaar hoofd Het dilemma werd in1812 door een aantal jonge wiskundigen in Cambridge doorbroken toen ze inoverleg met de oudere Robert Woodhouse een lsquoanalytische clubrsquo oprichtten om dedifferentiaalmethodes van de school van Leibniz te verbreiden Leiders warenGeorgePeacock Charles Babbage en John Herschel Zij trachtten om met Babbage tespreken lsquothe principles of pure d-ism as opposed to the dot-age of the universityrsquo1te propageren Deze poging werd in het begin van de zijde van de oudere academicinogal bekritiseerd maar deze kritiek werd beantwoord door acties als de publikatievan een Engelse vertaling van de Traiteacute eacuteleacutementaire du calcul differentiel et inteacutegralvan Lacroix de Franse leerboekschrijver (1816) Zo werd de jongere generatie inhet Verenigd Koninkrijk van een voor die tijd modern leerboek voorzienDe eerste belangrijke bijdrage kwam echter niet van de groep in Cambridge doch

van enige wiskundigen die onafhankelijk van hen de continentale wiskunde haddenverwerkt Wij denken hierbij allereerst aan Hamilton en Green Zowel voor hen alsvoor hun tijdgenoot Nathaniel Bowditch in Boston (VS) was het boek dat zij speciaalbestudeerden de Meacutecanique ceacuteleste van Laplace waarin het lsquod-ismersquo de grootstetriomfen had geboekt GeorgeGreen een lsquoself-madersquo molenaarszoon uit Nottinghamwas vooral in de nieuwe ontdekkingen op het gebied der elektriciteit geiumlnteresseerdDit was de tijd van de grote ontdekkingen van Oersted en Ampegravere de tijd van hetontdekken van het elektromagnetisme In die dagen (ca 1825) bestond er haastgeen wiskundige theorie om de elektrische verschijnselen te verklaren Poisson hadin 1812 slechts een begin gemaakt Green las Laplace en - om zijn eigen woordente gebruiken

1 Woordenspel op de d-notatie van Leibniz en de punt (dot)notatie van Newton dxdt tegenoverẋ Het woord lsquod-ismrsquo betekent zowel d-isme als Deisme lsquodot-agersquo zowel de periode van dedot als lsquoseniliteitrsquo Vertaling lsquode beginselen van het ldquodeismerdquo tegen de ldquoseniliteitrdquo van deuniversiteitrsquo


231

lsquoGezien hoe wenselijk het was dat een universeel werkende macht alsde elektriciteit zo ver mogelijk aan berekening zou worden onderworpenen nadenkende over de voordelen die voortspruiten uit de oplossing vanmoeilijke problemen zo men ervan wordt bevrijd iedere kracht die op deverscheidene lichamen in een willekeurig systeem werkt op zichzelf teonderzoeken en de aandacht alleen vestigt op diegrave bijzondere functie vanwelke differentialen al deze krachten afhangen - zo werd ik ertoe geleidte proberen of het mogelijk zou zijn enige algemene betrekkingen teontdekken tussen deze functie en de hoeveelheden elektriciteit in delichamen die haar voortbrengenrsquo

Het resultaat van deze overwegingen was Greens Essay on the Application ofMathematical Analysis to Theories of Electricity and Magnetism (1828) de eerstepoging om tot een wiskundige theorie van het elektromagnetisme te komen Hiermeebegon in Engeland de mathematische fysica en tevens naast Gauss verhandelingvan 1839 de potentiaaltheorie als een speciaal wiskundig gebied Gauss wist naarhet schijnt niets af van Greens werk dat eerst beter bekend werd toen WilliamThomson (de latere Lord Kelvin) het in Crelles Journal van 1846 opnieuw publiceerdeToch was de gedachtengang van Gauss en van Green zo verwant dat Green determ lsquopotential functionrsquo en Gauss met zijn lsquoPotentialrsquo bijna een zelfde term invoerdenom een oplossing van de vergelijking van Laplace aan te geven Twee verwanteidentiteiten die lijnen oppervlakte- en ruimte-integralen verbinden worden deformules van Green en van Gauss genoemd Het gebruik van lsquofuncties van Greenrsquoin de oplossing van partieumlle differentiaalvergelijkingen is een herinnering aan demolenaarszoon die in zijn vrije tijd Laplace bestudeerdeGreen kon later zijn werk voortzetten aan Caius College Cambridge waar hij

echter eerst in 1833 op veertigjarige leeftijd kwam Doch dit is niet de plaats omde verdere ontwikkeling der mathematische fysica in Engeland - of in welk anderland dan ook - te schetsen Met deze ontwikkeling zijn de namen van StokesRayleigh Kelvin Maxwell Kirchhoff Helmholtz Gibbs Boltzmann en van veleanderen verbonden Deze fysici droegen zozeer bij tot de oplossing van velegewoonlijk lineaire partieumlle differentiaalvergelijkingen dat het soms scheen dat demathematische fysica en de leer van zulke differentiaalvergelijkingen identiek warenDe mathematische fysica verrijkte de wiskunde evenwel ook in andere opzichtenzoals in haar bijdragen tot de waarschijnlijkheidsrekening en de theorie der complexefuncties Ook de meetkunde profiteerde van haar onderzoekingen Wij vermel-


232

den slechts James Clerk Maxwells Treatise on Electricity and Magnetism (2 delen1873) met haar systematische ontwikkeling van de elektromagnetische theoriegebaseerd op Faradays experimenten Ze bevat oa een mooie theorie derbolfuncties Deze theorie van Maxwell werd op den duur algemeen aanvaard enleidde later tot de theorie van HA Lorentz over het elektron en tot derelativiteitstheorie van Albert Einstein en tot de vectoranalyse in de wiskunde

20

De zuivere wiskunde was in Engeland gedurende de negentiende eeuw voornamelijkalgebra met toepassingen op de meetkunde Wij denken hier in de eerste plaatsaan Cayley Sylvester en Salmon Arthur Cayley begon als advocaat dochaanvaardde in 1863 het nieuwe lsquoSadlerian professorshiprsquo in de wiskunde aan deuniversiteit van Cambridge waar hij dertig jaar lang doceerde Toen hij in de jarenveertig in Londen nog advocaat was ontmoette hij Sylvester die toen actuaris wasen van die jaren dateert de gemeenschappelijke belangstelling van Cayley enSylvester voor algebraiumlsche vormen - of lsquoquanticsrsquo zoals Cayley ze noemde Uit desamenwerking van deze twee mannen ontwikkelde zich de algebraiumlscheinvariantentheorieDeze theorie hing al verscheidene jaren in de lucht in het bijzonder nadat men

begonnen was de determinantentheorie verder te bestuderen In hun eerste periodegingen Cayley en Sylvester reeds verder dan de leer der determinanten zij trachttenstelselmatig een invariantentheorie van kwadratische en hogere algebraische vormenop te bouwen een theorie met eigen notatie en compositieregels Deze theorie werdlater door Aronhold en Clebsch in Duitsland verder ontwikkeld en vormde hetalgebraiumlsche complement van Poncelets projectieve meetkunde Cayley schreefvele verhandelingen over eindige groepen -algebraiumlsche krommen determinantenmatrices en analytische meetkunde Zijn negen verhandelingen over lsquoquanticsrsquo zijnvooral bekend gebleven door de Sixth Memoir on Quantics (1859) omdat in dezeverhandeling werd aangetoond hoe men ten opzichte van een kegelsnede eenprojectieve metriek kan definieumlren Dit leidde tot een projectieve definitie van eeneuklidische metriek waardoor het aan Cayley gelukte deze meetkunde een plaatsaan te wijzen binnen de projectieve meetkunde - daarbij het historische procesomkerende omdat de projectieve meetkunde uit de euklidische was afgeleid eneerst door Von Staudt een eigen plaats had gekregen Cayley miste echter debetrekking tussen zijn projectieve metriek en de niet-eukli-


233

dische meetkunden deze werd een tiental jaren later door Felix Klein ontdektJames Joseph Sylvester was niet alleen een wiskundige maar ook op zijn manier

een dichter en in het algemeen een geestige kerel met zoveel fantasie dat zijnrepertoire van nieuwe wiskundige termen met die van Leibniz wedijvert Van 1855tot 1869 doceerde hij aan de Militaire Academie in Woolwich Hij was tweemaal inde Verenigde Staten de eerste keer als professor aan de door Thomas Jeffersongestichte Universiteit van Virginia (1841-42) de tweede keer als professor aanJohns Hopkins University in Baltimore (1877-83) Gedurende deze tweede periodewas hij een der eersten die aan een Amerikaanse school de moderne wiskundedoceerde zijn invloed is blijvend geweestTwee van Sylvesters vele bijdragen tot de algebra zijn klassiek zijn theorie der

elementaire delers (1851 herontdekt doorWeierstrass in 1868) en zijn traagheidswetder kwadratische vormen (1852 reeds bekend aan Jacobi en Riemann doch toenniet gepubliceerd) Van de vele termen die Sylvester heeft ingevoerd zijnverscheidene blijvend bezit van de wiskundigen gebleven wij denken bv aan dewoorden invariant covariant contravariant cogredieumlnt en syzygie Er plachten overSylvester nogal wat anekdoten de ronde te doen - gewoonlijk van deverstrooide-professorsoortDe derde Engelse meetkundige en algebraiumlcus was George Salmon die zijn lang

leven doorbracht aan Hamiltons AlmaMater Trinity College in Dublin waar hij zowelwiskunde als godgeleerdheid doceerde Zijn hoofdverdienste ligt in zijn nu nog welbekende leerboeken die uitmunten in helderheid en charme Deze boeken hebbenook door vertalingen hele generaties in de geheimen van de analytische meetkundeen de invariantentheorie ingewijd Zij zijn de Conic Sections (1848) Higher PlaneCurves (1852) Modern Higher Algebra (1859) en Analytic Geometry of ThreeDimensions (1862) Al deze boeken kunnen ook nu nog wel aan studenten in deanalytische meetkunde worden aanbevolen al doen ze misschien een beetjeouderwets aan

21

Twee onderwerpen door Engelse wiskundigen in de algebra ingevoerd verdienenonze speciale aandacht Hamiltons quaternionen en Cliffords biquaternionen NadatHamilton de Astronomer Royal van Ierland zijn werk over mechanica en opticahad voltooid keerde hij zich in 1835 tot de algebra Zijn Theory of Algebraic Couplesdefinieerde de algebra als de zuivere wetenschap


234

van de tijd en bracht een strenge theorie van het complexe getal als een getallenpaarDit deed hij waarschijnlijk zonder van Gauss theorie van bikwadraatresten te wetenwaarin ook de complexe getallen streng waren ingevoerd maar nu door punten inhet complexe vak Beidemethoden worden nu algemeen aanvaard Hamilton trachttedaarna in de algebra van drietallen en viertallen van getallen binnen te dringen Zijnbewonderaars vertellen ons dat hij een ingeving kreeg toen hij op een zekereoktoberdag van 1843 langs een brug bij Dublin wandelde en het quaternion ontdekte1Zijn onderzoekingen over quaternionen zijn in twee dikke boeken gepubliceerd deLectures on quaternions van 1853 en de Elements of Quaternions in 1866 na zijndood verschenen Het best bekende gedeelte van de quaternionenleer is devectortheorie die ook in de Ausdehnungslehre van Grassmann is besloten (de termlsquovectorrsquo is van Hamilton) Het is vooral om deze reden dat de algebraiumlsche werkenvan beide mannen nu vaak worden geciteerd In de dagen van Hamilton echter enlang daarna waren de quaternionen zelf het onderwerp van overdreven bewonderingSommige Engels-Schotse wiskundigen zagen er - om met Leibniz te spreken - eensoort Arithmetica universalis in en die opvatting kweekte weer een reactie die oain het dispuut tussen PG Tait en Oliver Heaviside aan het licht kwam De theorieder hypercomplexe getallen door Benjamin Peirce Georg Frobenius Eduard Studyen anderen ontwikkeld plaatste inmiddels de quaternionen op hun natuurlijke plaatsals het eenvoudigste associatieve getallenstelsel van meer dan twee eenheden Decultus van de quaternionen leidde in zijn bloeitijd zelfs tot een InternationalAssociation for the Promoting of the Study of Quaternions and Allied Systems ofMathematics dat verdween als slachtoffer van de Eerste Wereldoorlog Degemoederen werden ook bewogen door de strijd tussen Hamiltonianen enGrassmannianen toen in de jaren tachtig jaren door het werk van Oliver Heavisidein Engeland en JosiahWillard Gibbs in Amerika de vectoranalyse zich als een eigenwiskundig gebied be-

1 Deze brug heet nu Hamilton Bridge en draagt de inscriptie lsquoHere as he walked by on the 16thof October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamentalformula for quaternion multiplication i2 = j2 = k2 = ijk = - 1 and cut it on a stone of the bridgersquo(Toen op 16 Oktober 1843 Sir William Rowan Hamilton hier voorbij wandelde ontdekte hijdoor een geniale ingeving de grondformule voor de vermenigvuldiging van quaternionen i2

= j2 = k2 = ijk = - 1 en kerfde die in een steen van de brug)


235

gon te ontpoppen De twist die vooral tussen 1890 en de Eerste Wereldoorlogwoedde verliep toen betere kennis van de groepentheorie en de lineaire algebrahet mogelijk maakte aan elke methode haar eigen operatieterrein toe te wijzen1Het gebrek aan internationale eenheid in de vectornotatie is als een soort littekenuit deze verwarring overgeblevenWilliam Kingdon Clifford die in 1879 op drieeumlndertigjarige leeftijd overleed was

verbonden aan Trinity College in Cambridge en aan University College in LondenHij behoorde tot de eersten in Engeland die Riemann begrepen en met hem zijnkritische belangstelling in onze ruimteopvattingen deelden Daarbij ontwikkeldeClifford een meetkunde van de beweging en daarbij kwam hij tot zijn biquaternionenals generalisatie van de quaternionen (1873-76) Deze biquaternionen zijnquaternionen waarvan de coeumlfficieumlnten complexe getallen zijn van de vorm a + bewaarbij e2 + 1 - 1 of 0 mag zijn die voor e2 = 0 voor de studie van euklidische voore2 = plusmn 1 voor die van niet-euklidische bewegingen kunnen worden gebruikt CliffordsCommon Sense in the Exact sciences blijft nog steeds het lezen waard men kanhierbij Cliffords gedachtenwereld met die van Felix Klein vergelijken Dit komt ookuit in de benaming lsquoruimten van Clifford-Kleinrsquo voor zekere gesloten euklidischeuitgebreidheden in niet-euklidische ruimten Zo Clifford langer had geleefd haddende ideeeumln van Riemann de Engelse wiskunde een generatie eerder kunnen bereikendan het geval is geweestTientallen jaren lang bleef de nadruk op de formele algebra karakteristiek voor

de zuivere wiskunde in de Engelssprekende landen Wij denken hierbij oa aanBenjamin Peirce professor aan Harvard College in Massachusetts een leerling vanNathaniel Bowditch die Laplace had vertaald en met wie (en met Peirce) descheppende wiskunde in de Verenigde Staten begint Peirce die ook verdienstelijkwerk in de hemelmechanica heeft verricht publiceerde in 1870 zijn LineairAssociative Algebra dat een der eerste onderzoekingen was over hypercomplexegetallenstelsels Deze formalistische trek in de Engelse wiskunde van die tijd komtook

1 F Klein Vorlesungen uumlber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert II (Berlin1927) 27-52 JA Schouten Grundlagen der Vektor- und Affinoranalysis (Leipzig 1914) ende vele bijdragen van E Cartan Voor de geschiedenis van de vectoranalyse met het gekibbeltussen Tait en Heaviside zie MJ Crowe A History of Vector Analysis (Notre Dame Press1967 Dover herdruk 1985)


236

tot uitdrukking in het werk van George Peacock die in 1830 het zgn principe vande permanentie van equivalente vormen formuleerde (later scherper geformuleerddoor Hermann Hankel in Leipzig1) en van Augustus De Morgan van 1828 tot 1866professor in Londen Zijn pogingen in de jaren 40 om tot een symbolische logicate komen leidde tot het fundamentele onderzoek van George Boole van QueensCollege Cork (Ierland) In zijn hoofdwerk The Laws of Thought (1854) toonde hijaan hoe de wetten van de formele logica zoals die het eerst door Aristoteles warenopgesteld en later in eeuwenlange lessen en onderzoekingen aan de universiteitenverder zijn bestudeerd aan een mathematische rekenwijze kunnen wordenonderworpen Boole schiep een symbolische taal voor een brede ontleding vanlogische processen Met deze rekenwijze verwant aan Leibniz characteristicageneralis begon de herleiding van logica tot wiskunde en daarbij de vernieuwingvan de axiomatiek Hier was daarna het werk van Gottlob Frege die professor inJena was van grote invloed In zijn boek Die Grundlagen der Arithmetik (1884) gafhij een logische afleiding van de grondbeginselen der rekenkunde Dezeonderzoekingen die tot verschillende richtingen in de vraag naar de verhouding vanwiskunde en logica voerden bereikten in de twintigste eeuw een voorlopighoogtepunt in de driedelige Principia Mathematica van Bertrand Russell en ANWhitehead (1910-13) zij hebben ook het werk van Hilbert over de grondslagen vande rekenkunde en het overwinnen van de paradoxen van het oneindige ten sterkstebeiumlnvloed In deze debatten kwam ook de oude strijdvraag omtrent de rol van hetactueel oneindige die met de namen Cantor en Kronecker is verbonden in eennieuw licht te staan2

1 H Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme (Leipzig 1867) gaf een nog steeds leesbareuiteenzetting van het werk van Grassmann zowel als van Hamilton Zowel Hankel als DeMorgan waren ook in de geschiedenis der wiskunde geiumlnteresseerd

2 D Hilbert-W Ackermann Grundzuumlge der theoretischen Logik 4e Aufl (Berlin 1959) MBlack The Nature of Mathematics (New York-London 1934) Zie ook behalve de eerdergeciteerde geschiedenissen van EW Beth en IM Bochenski Formale Logik(Freiburg-Muumlnchen 1956) Bochenski (blz 314) onderscheidt in de geschiedenis der formelelogica vier perioden 1) de voorgeschiedenis van Leibniz tot Boole 2) de periode van Booletot aan de Operationskreis des Logikkalkuumlls (1877) en de Vorlesungen uumlber die Algebra derLogik (1890) van Ernst Schroumlder 3) de periode van Frege van Freges Begriffschrift van 1877tot de Principia Mathematica (1910-13) en 4) de jongste periode na de Principia waarin hetwerk van Hilbert en vele anderen valt


237

22

Het werk van Cayley en Sylvester over de invariantentheorie vond in Duitsland grotebelangstelling Hier onder leiding van Hesse Aronhold Clebsch en Gordon werddeze theorie verder ontwikkeld met behulp van een speciale en handige notatieOtto Hesse die eerst in Koningsbergen en later in Heidelberg en Muumlnchen professorwas bewees evenals Pluumlcker hoeveel nut men in de analytische meetkunde kantrekken van een verkorte wijze van schrijven daarbij gebruikte hij graag homogenecooumlrdinaten en determinanten Siegfried Heinrich Aronhold die aan de TechnischeHogeschool in Berlijn doceerde publiceerde in 1858 een verhandeling waarin hijmet behulp van lsquoidealersquo factoren (die met die van Kummer niets te maken hadden)zijn eigen symboliek voor de invariantentheorie ontwikkelde en daar ongeveerterzelfder tijd Clebsch zulk een schrijfwijze ontwikkelde (1861) spreekt men vaakvan de lsquosymboliek van Clebsch en Aronholdrsquo die algemeen werd aanvaard voor hetsystematisch onderzoek van de invarianten en covarianten van algebraiumlsche vormenTegenwoordig zien wij in deze rekenwijze evenals in de vectoren van Hamilton deuitwendige produkten van Grassmann en de dyaden van Gibbs bijzondere vormenvan de tensoralgebra Deze invariantentheorie werd later nog door Paul Gordanprofessor in Erlangen verrijkt met het bewijs dat tot iedere binaire vorm een eindigstelsel van rationale invarianten en covarianten behoort en dat hierin alle andererationale invarianten en covarianten op rationale manier kunnen worden uitgedrukt(1868-69) Deze zgn eindigheidstelling van Gordan werd in 1890 door Hilbert opalgebraiumlsche vormen in n veranderlijken uitgebreidAlfred Clebsch was hoogleraar in Karlsruhe Giessen en Goumlttingen en stierf in

1872 nog geen veertig jaar oud In zijn korte leven heeft hij heel wat mooie resultatenkunnen boeken Hij publiceerde een werk over de elasticiteitsleer (1862) waarin hijvan de ideeeumln van Lameacute en De Saint Venant in Frankrijk uitging en hij paste zijninvariantenleer toe op de projectieve meetkunde Hij was ook een der eersten dieRiemanns theorieeumln begreep en legde de grondslagen voor die tak der algebraiumlschemeetkunde waarin Riemanns functietheorie en zijn theorie van meervoudigsamenhangende oppervlakken op reeumlle algebraiumlsche krommen werden toegepastMen vindt een breed opgezette schets van deze ideeeumln in de Theorie der AbelschenFunktionen van Clebsch en Gordan (1866) Clebsch was eveneens de stichter derMathematische Annalen dat meer dan een halve eeuw lang het leidende wiskundigetijdschrift was en nog steeds van belang is Zijn voordrachten


238

over meetkunde door F Lindemann uitgegeven (lsquoClebsch-Lindemannrsquo) gaven eensolide inleiding in de algebraiumlsche behandeling der projectieve meetkunde

23

Tegen 1870 was de wiskunde uitgegroeid tot een enorm en vrijwel onoverzichtelijkwetenschappelijk gebied dat verdeeld was in een aantal gebieden waarin alleenspecialisten de weg wisten Zelfs grote wiskundigen als Hermite Weierstrass Cayleyen Beltrami beheersten slechts enkele van deze vele deelgebieden Dezespecialisatie is steeds toegenomen en heeft tegenwoordig alarmerende proportiesaangenomen Maar ze heeft ook steeds tot een reactie geleid en een aantal vande belangrijkste en mooiste resultaten van de wiskunde der laatste honderd jarenzijn juist het gevolg geweest van pogingen om tot een synthese van de verschillendewiskundegebieden te gerakenIn het eind van de achttiende en het begin van de negentiende eeuw stelden de

grote boeken van Lagrange en Laplace zulk een synthese voor en zij vormdenweer het uitgangspunt voor verder werk van grote diepte Tot de beginselen die inde negentiende eeuw tot eenheid van opvatting leidden behoren de groepentheorieen Riemanns begrip functie en ruimte Hun betekenis kan het best begrepen wordenin het werk van Klein Lie en PoincareacuteFelix Klein was Pluumlckers assistent in Bonn gedurende de jaren 60 en hier leerde

hij diens meetkunde In 1870 bracht hij een bezoek aan Parijs waar hij Sophus Lieeen Noor ontmoette Klein was toen tweeeumlntwintig Lie zes jaar ouder en nog slechtskort in de wiskunde geiumlnteresseerd Wij hebben reeds vermeld hoe in Parijs vooralCamille Jordan van de Ecole Polytechnique een grote indruk op hen maakteJordan had juist in 1870 zijn Traiteacute des substitutions geschreven waarin hij eenuiteenzetting gaf van Galois leer der substitutiegroepen Klein en Lie begonnen decentrale positie te begrijpen die door de groepentheorie wordt ingenomen Zijverdeelden het grote rijk der wiskundemin of meer in twee delen Klein gaf gewoonlijkzijn aandacht aan discontinue Lie aan continue groepenIn 1872 kreeg Klein een leerstoel te Erlangen In een artikel van dat jaar schetste

hij hoe het groepenbegrip dienstbaar kon worden gemaakt aan de classificatie vande verschillende wiskundige gebieden vooral de meetkunde Het artikel dat bekendis geworden als het lsquoErlanger programrsquo verklaarde elke meetkunde als een theorievan de invarianten van een speciale transformatiegroep Door de groep uit te breidenof te beperken kunnen wij van de ene


239

meetkunde overgaan in de andere De euklidische meetkunde is de leer van deinvarianten van de groep der translaties rotaties en spiegelingen projectievemeetkunde die der projectieve groep De classificatie van transformatiegroepengeeft ons de classificatie der meetkunden de theorie der algebraiumlsche en differentiaalinvarianten van iedere groep geeft ons de algebraiumlsche en analytische structuurvan de bijbehorende meetkunde Cayleys projectieve definitie van een metriek laatons toe de metrische meetkunde als een vorm van projectieve meetkunde te zienZelfs de toen nog tamelijk onbekende topologie vond haar speciale plaats als detheorie van de invarianten van de groep der continue punttransformatiesIn het voorafgaande jaar had Klein een belangrijk voorbeeld gegeven van deze

beschouwingswijze door aan te tonen hoe de niet-euklidische meetkunde ook kanworden opgevat als projectieve meetkunde met een metriek van Cayley Deontdekking van deze afbeelding bracht tenslotte nog steeds verwaarloosde theorieeumlnvan Bolyai en Lobačevskiǐ in het volle daglicht Vele wiskundigen hadden nog steedsgeloofd dat ergens in die niet-euklidische meetkunde wel een logische fout zouzitten Nu bleek dat zulke logische fouten als ze bestonden ook in de projectievemeetkunde moesten voorkomen en dus ook in de euklidische en dat was eenketterij die de meeste zo niet alle wiskundigen toch te ver ging De niet-euklidischemeetkunde van Bolyai en Lobačevskiǐ werd nu algemeen geaccepteerd als eenhyperbolische meetkunde terwijl een andere vorm van deze meetkunde doorRiemann alreeds aangegeven als elliptische werd aangeduid In deze meetkundebestaan in het vlak alleen maar lijnen die elkaar snijden Wij hebben reeds vermelddat deze methode van Klein waarbij een gebied van de wiskunde op een anderwordt afgebeeld zeer vruchtbaar bleek te zijn ze is oa door Hilbert in zijn axiomatiekvan de meetkunde veel gebruikt1De groepentheorie maakte een synthese mogelijk van vele ontdekkingen van

Monge Poncelet Gauss Cayley Clebsch Grassmann en Riemann Riemannsruimteleer waaraan het Erlanger program menig idee ontleende inspireerde nietalleen Klein doch ook Helmholtz en Lie Hermann Helmholtz bekend als fysicus enfysioloog onderzocht in 1868 en 1884 Riemanns ruimtebegrip gedeeltelijk omdathij zocht naar een meetkundig beeld voor zijn

1 Zie oa HJE Beth Inleiding tot de niet-euklidische meetkunde op historischen grondslag(Groningen 1932)


240

kleurentheorie en gedeeltelijk omdat hij de oorsprong van onze visueleruimteopvatting zocht Dit bracht hem tot een studie van het wezen van onzemeetkundige axiomas en in het bijzonder van dat van Riemanns kwadratischemetriek Lie verscherpte Helmholtz analyse omtrent het karakter van de kwadratischemetriek door de transformatiegroepen te onderzoeken die daaraan ten grondslagliggen (1890) Dit ruimteprobleem van Lie en Helmholtz heeft de aandacht blijventrekken niet alleen omdat het van belang bleek te zijn voor de relativiteitstheoriedoch ook voor de fysiologiersquo1In zijn boekje Uumlber Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen (1882) gaf

Klein een uiteenzetting van Riemanns begrip der complexe functie Hier legde hijer de nadruk op dat ook fysische beschouwingen tot subtiele wiskundigebespiegelingen kunnen leiden In zijn Vorlesungen uumlber das Ikosaeder (1884) maaktehij op verrassende wijze duidelijk hoe de toen moderne algebra vele nieuwe enmerkwaardige eigenschappen van de welbekende Platonische lichamen aan hetlicht kon brengen Hiertoe bestudeerde Klein de draaiingsgroepen der regelmatigelichamen en hun betrekkingen tot de groepen van algebraiumlsche vergelijkingen vanGalois In uitgebreide onderzoekingen ondernomen met de medewerking vancollegas en studenten paste Klein de groepentheorie toe op lineairedifferentiaalvergelijkingen elliptische moduulfuncties op functies van Abel en opautomorfe functies op deze laatste in een interessante en vriendschappelijkewedstrijd met Poincareacute Onder de inspirerende invloed van Klein werd Goumlttingenwaar hij in 1886 professor werd met haar op Gauss Dirichlet en Riemannteruggaande traditie een Mekka voor wiskundig onderzoek en onderwijs waarjongere en oudere wiskundigen van vele landen elkaar ontmoetten om de studieover gespecialiseerde vraagstukken ter hand te nemen als een bijdrage tot dewiskundige kennis als een geheel gezien Kleins voordrachten waren steeds op ditgeheel gericht afschriften ervan circuleerden in verscheidene landen en velewiskundigen hebben van Klein of uit zijn collegedictaten hun begrip van de wiskundeals een eacuteeacuten en ondeelbaar totaalgebied verkregen een gebied dat verder in denevengebieden van natuur- en sterrenkunde haar vele vertakkingen heeft Na dedood van Klein in 1925 zijn verscheidene dezer dictaten in boekvorm uitgegevenoa zijn voordrachten over de geschiedenis van

1 H Freudenthal Neuere Fassungen des Riemann-Helmholtzschen Raumproblems MathZeitschr 63 (1956) 374-405


241

de wiskunde in de negentiende eeuw die vele persoonlijke herinneringen bevattenIn de tussentijd had Sophus Lie in Parijs de contacttransformaties ontdekt en

daarbij de sleutel tot de dynamica van Hamilton als een speciaal gebied van degroepentheorie gevonden Na zijn terugkeer in Noorwegen werd hij professor inChristiania (Oslo) van 1886 tot 1898 doceerde hij in Leipzig Zijn hele leven wasaan de studie der continue transformatiegroepen en hun invarianten gewijd waarbijhij hun centrale positie in de meetkunde in de mechanica in de gewone en in departieumlle differentiaalvergelijkingen met vele voorbeelden aantoonde Het resultaatvan dit levenswerk werd in een aantal standaardboeken neergelegd diesamengesteld werden met behulp van zijn leerlingen Georg Scheffers en FriedrichEngel Transformationsgruppen (1888-93) Differentialgleichungen (1891)Kontinuierliche Gruppen (1893) en Beruumlhrungstransformationen (1896) Lies werkis sindsdien in het bijzonder door de Franse wiskundige Elie Cartan naar alle zijdenuitgewerkt en verdiept

24

Gelijktijdig met de kolossale ontwikkeling der wiskunde in Duitsland heeft Frankrijkswiskunde het hoge niveau behouden waarop ze zich sinds de tijd van Viegravete enDescartes had bewogen Het is niet on-interessant Franse en Duitse wiskundigenvan die dagenmet elkaar te vergelijken bv Hermite metWeierstrass Darboux metKlein Hadamard met Hilbert Paul Tannery met Moritz Cantor1

1 De laatste twee waren historici der wiskunde De beoefening der geschiedenis der exactewetenschappen die in de achttiende eeuw in Montucla in de helft van de negentiende eeuwin Chasles uitstekende vertegenwoordigers had gevonden begon zich in de tweede helft toteen speciaalgebied te ontwikkelen Hoogtepunten waren Moritz Cantors Vorlesungen uumlberdie Geschichte der Mathematik (4 delen 1900-1908) de vele artikelen van Paul Tannery(later in zijn Meacutemoires verenigd) de uitgave van het tijdschrift lsquoBibliotheca mathematicarsquo(1884-1914) door de Zweed Gustav Enestroumlm en de uitgave van de verzamelde werken vangrote wiskundigen van het verleden als Euklides Archimedes Descartes Fermat LagrangeGalilei en Huygens De Huygens-uitgave door Nederlandse geleerden begon in 1888 eneindigde eerst met deel XXII in 1950 De leiding was eerst in handen van J Bosscha latervan DJ Korteweg later van JA Vollgraff Andere Nederlandse historici der wiskunde vandie dagen waren de Leidse hoogleraar David Bierens de Haan (1822-95) ook bekend doorzijn nog steeds nuttige integraaltafels (1858 1864 1867) en de Deventer leraar NLWHGravelaar (1851-1913)


242

In de jaren 1840-60 was de leidende Franse wiskundige Joseph Liouville professoraan het Collegravege de France in Parijs Hij was een goed docent en organisator velejaren lang redacteur van het Journal de matheacutematiques pures et appliqueacutees Hijonderzocht de rekenkundige theorie van kwadratische vormen in twee en meerveranderlijken doch het lsquotheorema van Liouvillersquo in de statische mechanica laat hemweer van een geheel andere zijde kennen Ook maakte hij het verschil tussenalgebraiumlsche en transcendente getallen duidelijk en bewees in 1844 dat noch enoch e2wortels kunnen zijn van een vierkantsvergelijking met rationale coeumlfficieumlntenDit was een stap vooruit in de reeks van onderzoekingen over de natuur van e enπ die in 1761 tot Lamberts bewijs gevoerd hadden dat π irrationaal is en latervoerden tot het bewijs van Hermite (1873) dat e en dat van F Lindemann (1882)dat π transcendent is Liouville en enige zijner medewerkers hielden zich ook bezigmet de differentiaalmeetkunde van krommen en oppervlakken zo zijn de formulesvan Serret-Frenet (1847) in de leer der ruimtekrommen in de kring om LiouvilleontstaanCharles Hermite professor aan de Sorbonne en aan de Ecole Polytechnique

werd na de dood van Cauchy in 1857 de leidende vertegenwoordiger van de analysein Frankrijk Evenals bij Liouville vindt men bij Hermite vele onderzoekingen in detraditie van Gauss en Jacobi andere vertonen een zekere verwantschap met hetwerk van Riemann enWeierstrass Elliptische functies moduulfuncties thegravetafunctiesgetallen- en invariantentheorie - Hermite bewoog zich op al deze gebieden zoalsde namen lsquogetallen van Hermitersquo lsquovormen van Hermitersquo lsquoveeltermen van Hermitersquogetuigen Zijn vriendschap met de Hollandse wiskundige Thomas Jan Stieltjes diein Delft gestudeerd had en die door hem zijn bescheiden positie als rekenaar aande Leidse sterrenwacht voor dat van een professoraat in Toulouse kon verwisselen(1889) was een grote aanmoediging voor de ontdekker van de Stieltjes-integraalen de toepassing van kettingbreuken op de theorie van momenten in de theoretischestatistiek De waardering was wederzijds lsquoVous avez toujours raison et jai toujourstortrsquo1 schreef Hermite eens aan zijn vriend De vierdelige briefwisseling tussenHermite en Stieltjes door het Wiskundig Genootschap te Amsterdam uitgege-

1 lsquoU hebt altijd gelijk en ik heb altijd ongelijkrsquo De wiskundige Stieltjes was de zoon van ThomasJoannes Stieltjes ingenieur van de Overijsselsche Kanaalmaatschappij en ontwerper vanhavenwerken in Feyenoord bij Rotterdam


243

ven bevat een schat van interessant materiaal voornamelijk over functies van eencomplexe veranderlijke Door JC Kluyver hoogleraar te Leiden zijn de methodenvan Hermite ook in Nederland beter bekend gewordenIn de verhandelingen en boeken van Gaston Darboux bleef de grote Franse

meetkundige traditie gehandhaafd Darboux was een meetkundige in de zin vanMonge bij hem ging een diep ruimtegevoel gepaard met de beheersing van detheorie der differentiaalvergelijkingen en van de analytische mechanica Hij wasprofessor aan het Collegravege de France en doceerde meer dan een halve eeuw Nogsteeds bekend is zijn elegant standaardwerk Leccedilons sur la theacuteorie geacuteneacuterale dessurfaces (4 delen 1887-96) waarin hij de resultaten van een eeuw van onderzoekin de differentiaalmeetkunde van krommen en oppervlakte verwerkte Darboux lietzien hoe deze differentiaalmeetkunde op de meest verschillende wijzen met de leerder gewone en partieumlle differentiaalvergelijkingen zowel als met de mechanicaverbonden kon worden Met zijn administratieve en pedagogische bekwaamheidzijn fijne meetkundige intuitie zijn beheersing van de analytische techniek en zijnbegrip van Riemanns ideeeumln nam Darboux in Frankrijk een positie in die aan dievan Klein in Duitsland doet herinnerenDit tweede deel van de negentiende eeuw was in Frankrijk de periode van de

grote Franse leerboeken waarin de resultaten van het analytisch onderzoek en zijntoepassingen in brede lijnen werden uiteengezet De bekendste van deze leerboekenzijn de Cours danalyse van Camille Jordan (3 dln 1882-87) en de Traiteacute danalysevan Emile Picard (3 dln 1891-96) waaraan we de Cours danalyse matheacutematiquevan Edouard Goursat (2 dln 1902-05) mogen toevoegen

25

De grootste Franse wiskundige van deze periode was Henri Poincareacute van 1881 totaan zijn dood in 1912 professor aan de Sorbonne in Parijs Geen wiskundige vanzijn tijd beheerste zulk een breed gebied en was in staat op zoveel gebieden detheoretische zowel als de toegepaste wiskunde te verrijken Elk jaar placht hij collegete geven over een verschillend gebied deze colleges werden door studentenuitgegeven en bestrijken een geweldig terrein potentiaaltheorie licht elektriciteitwarmtegeleiding capillariteit elektromagnetisme hydrodynamica hemelmechanicathermodynamica waarschijnlijkheidsrekening Al deze voordrachten hadden huneigen verdiensten zij hebben ideeeumln verbreid die weer in het werk van anderenvrucht hebben gedragen of die nog vrucht


244

kunnen dragen Poincareacute schreef bovendien een aantal populaire of half-populaireboeken die ertoe bij hebben gedragen in brede kringen begrip te wekken voor dekardinale vraagstukken der moderne wiskunde Bekende titels zijn La Valeur de laScience (1905) en La Science et lhypothegravese (1906)1Daarnaast publiceerde Poincareacuteeen aantal verhandelingen over de zgn automorfe functies en functies van Fuchsover differentiaalvergelijkingen en de topologie waartoe zij voeren en de grondslagender wiskunde Hier legde hij de nadruk op de scheppende rol van de volledigeinductie het eerst door Pascal geformuleerd Zo doorzocht hij met volmaaktebeheersing van de mathematische techniek welhaast alle belangrijke gebieden vande theoretische en toegepaste wiskunde Met Gauss en Riemann behoort hij tot dewiskundigen van de vorige eeuw die meer dan anderen latere generaties tot eeninspiratie zijn geweestMisschien kan men de sleutel tot het werk van Poincareacute vinden in zijn

beschouwingen over de hemelmechanica en in het bijzonder hetdrielichamenprobleem (Les meacutethodes nouvelles de Meacutecanique ceacuteleste 3 dln 1893)Hier ziet men zijn verwantschap met Laplace en het bewijs dat de eeuwenoudemechanische problemen die met de hemellichamen samenhangen nog steeds descheppende geest van de wiskundige konden inspireren In verband met dezevraagstukken schonk Poincareacute hernieuwde aandacht aan divergente reeksenwaarbij hij de theorie der asymptotische ontwikkelingen schiep ontwikkelde hij deleer der integraalinvarianten en bestudeerde de stabiliteit der planetenbanen ende vorm van de hemellichamen Ook zijn fundamentele onderzoekingen over hetgedrag van de integraalkrommen van differentiaalvergelijkingen zowel bijsingulariteiten als in hun globale ontwikkeling houden met zijn werk over het gedragder hemellichamen verband Dit geldt zelfs voor zijn onderzoekingen in dewaarschijnlijkheidsrekening een ander gebied waarin hij Laplace belangstellingdeelde Onze tegenwoordige theorieeumln over relativiteit kosmogeniewaarschijnlijkheidsrekening en topologie zijn alle beiumlnvloed door de geest vanPoincareacute

26

Het Risorgimento de nationale wedergeboorte van Italieuml betekende ook dewedergeboorte van de Italiaanse wiskunde Onder

1 Lenin heeft het idealisme dat in Poincareacutes opvattingen over de verhouding van geest ennatuur tot leven komt bestreden in zijn Empiriokriticisme en Materialisme (1908)


245

de wiskundigen die aan dit herstel hebben meegewerkt waren er verscheidenendie deel hadden genomen aan de strijd die hun land van de Oostenrijkers bevrijddeen tot eenheid bracht later verbonden zij vaak politieke posities met de bezettingvan hun leerstoelen Riemanns invloed woog zwaar en door Klein Clebsch enCayley verkregen de Italiaanse wiskundigen hun kennis van de meetkunde en deinvariantentheorie De elasticiteitsleer trok hen aan door haar verband met demeetkundeOnder deze stichters van de nieuwe Italiaanse school van wiskundigen vinden

wij Brioschi Cremona en Betti In 1852 werd Francesco Brioschi professor in Paviaen in 1862 organiseerde hij het technisch instituut in Milaan waar hij tot zijn dood in1897 onderricht gaf Hij was een der oprichters van de Annali di matematica puraet applicata (1858) dat in zijn naam de wens der redacteuren uitdrukte om voorItalieuml te doen wat Crelle voor Duitsland en Liouville voor Frankrijk hadden gedaanIn het gezelschap van Betti en Casorati bezocht Brioschi in 1858 de leidende Franseen Duitse wiskundigen Vito Volterra de invloedrijkste Italiaanse wiskundige van devolgende generatie heeft later eens geschreven dat lsquohet wetenschappelijk bestaanvan Italieuml als een natiersquo bij deze reis begon1 Brioschi was de Italiaansevertegenwoordiger van de algebraiumlsche invariantentheorie in de geest van Cayleyen Clebsch Luigi Cremona na 1873 directeur van de ingenieursschool te Romeheeft zijn naam gegeven aan de birationale transformaties in het vlak en de ruimtede zgn Cremona-transformaties (1863-65) Hij was ook een der eersten die dezgn grafostatica ontwikkeldeEugenio Beltrami een leerling van Brioschi was hoogleraar aan de universiteiten

van Bologna Pisa Pavia en Rome Zijn voornaamste verhandelingen over demeetkunde verschenen tussen 1860 en 1870 toen hij met zijn differentiaalparametersde rekening met differentiaalinvarianten in de oppervlakkentheorie invoerde Eenandere bijdrage uit die periode was zijn onderzoeking van zgn pseudosferischeoppervlakken oppervlakken met negatieve kromming van Gauss Beltrami merkteop dat men op zulke oppervlakken de niet-euklidische meetkunde van Bolyai kanafbeelden zomen als lsquolijnenrsquo de geodetische krommen van het oppervlak beschouwtDit was dus evenals de projectieve interpretatie van Klein een methode om tebewijzen dat elke inwendige tegenspraak in de niet-euklidischemeetkunde zich ookals zodanig

1 V Volterra Bulletin American Mathem Soc 7 (1900) 60-62


246

in de euklidische ruimte zou openbaren Deze verhandeling die van 1868 dateerten dus aan die van Klein nog voorafgaat gaf dus aan de niet-euklidische meetkundeom zo te zeggen haar eerste legitimatiebewijsOmstreeks 1870 waren de ideeeumln van Riemann meer en meer tot het

gemeenschappelijke bezit van de jongere generatie van wiskundigen gewordenZijn theorie der kwadratische differentiaalvormen werd door de twee Duitsemathematici EB Christoffel en R Lipschitz uitgewerkt (1869-70) In de verhandelingvan de eerstgenoemde een professor in Zuumlrich Berlijn en na 1871 professor teStraatsburg vindt men de uit de relativiteitstheorie zo bekende lsquosymbolen vanChristoffelrsquo Lipschitz hoogleraar te Bonn is ook bekend door zijn lsquovoorwaardenvan Lipschitzrsquo in de leer der reeumlle functies (Lehrbuch der Analysis 1877-80) Doorde onderzoekingen van Christoffel en Lipschitz over differentiaalvormen en vanBeltrami over differentiaalparameters werd Gregorio Ricci-Curbastro in Padua opde idee van de zgn absolute differentiaalrekening gebracht (1884) Deze rekeningwas op een nieuwe invariante notatie gebaseerd die in het eerste werk van Ricciop de transformatie van partieumlle differentiaalvergelijkingen werd toegepast en ooktoepasselijk bleek op de transformatietheorie van de kwadratischedifferentiaalvormenUit deze absolute differentiaalrekening ontwikkelde zich door het werk van Ricci

en van enige zijner leerlingen onder wie Tullio Levi-Civita de methode die we metEinstein nu tensorrekening noemen Met behulp van tensoren konden verscheideneinvariante symbolismen vanuit eacuteeacuten standpunt worden bezien en zij hebben ook inde behandeling van algemene stellingen der elasticiteitstheorie hydrodynamica enrelativiteitstheorie hun waarde bewezen De naam tensor voor deze symbolen is inde elasticiteitstheorie ontstaan (W Voigt omstreeks 1890)De studie der lineaire differentiaalvormen was reeds door Euler en Monge

begonnen en als reeds gezegd is de eerste algemene theorie met de naam Pfaffverbonden (JF Pfaff professor in Helmstedt bij wie Gauss promoveerde) Pfaffsartikel van 1815 verwierf door Jacobi in 1827 bekendheid De vele onderzoekingenop dit gebied oa door Grassmann en Frobenius leidden in het eind der negentiendeeeuw Elie Cartan tot die studies over Liegroepen en hun betekenis voor algebra enmeetkunde die juist heden ten dage de grote belangstelling der wiskundigen hebbenverworven


247

27

David Hilbert sinds 1895 professor in Goumlttingen hield in 1900 voor het tweedeinternationale congres van wiskundigen in Parijs een voordracht waarin hij voor denieuwe eeuw drieeumlntwintig gebieden aangaf waarop belangrijk werk kon wordenverricht Toen Hilbert deze voordracht hield had hij reeds een naam verworven doorzijn onderzoekingen op het gebied van algebraiumlsche getallen-lichamen en door zijnjuist verschenen Grundlagen der Geometrie (1899) dat opnieuw de vraag naar eenbevredigende axiomatiek der euklidische meetkunde aan de orde stelde (de 8e drukkwam in 1956 na Hilberts dood uit) Het was in menig opzicht voorbereid door hetpionierswerk van Moritz Pasch in Giessen in het bijzonder door diens boekVorlesungen uumlber neuere Geometrie (1882) waarin Pasch op de grondslagen dermeetkunde een axiomatischemethode had aangewend te vergelijken met die welkeFrege in diezelfde tijd op de grondslagen der rekenkunde had toegepast Hilbertgaf in zijn boek aan hoe de resultaten der Grieken in hun opbouw van demeetkundeverbeterd konden worden en ook hoe zekere meetkunden eruit zien die opgewijzigde axiomas zijn gebouwd1In zijn voordracht van 1900 trachtte Hilbert de geest van het wiskundig onderzoek

van de afgelopen tientallen jaren te begrijpen en enige aanwijzingen te geven voorvruchtbare arbeid in de toekomst2 Een overzicht van enige der problemen die Hilbertaangaf kanmisschien ons inzicht in de betekenis van de wiskunde in de negentiendeeeuw verhelderen Daar ze de eerste schreden zijn van de wiskunde in de 20eeeuw worden ze in het volgende hoofdstuk behandeld3Hilberts program bewees de levenskracht van de wiskunde aan

1 Een bespreking van dit boek van modern standpunt bij H Freudenthal Zur Geschichte derGrundlagen der Geometrie Nieuw Archief v Wisk (4) 5 (1957) 105-142 ook Mathem-PhysikSemesterberichte (Goumlttingen) 7 (1960) 2-25 10 (1963) 114-117 O Bottema ib 9 (1962)164-168 MM Toepell Uumlber die Entstehung von D Hilberts Grundlagen der Geometrie(Goumlttingen 1986)

2 Goumlttingen Nachrichten (1901) 253-2973 Een discussie van de problemen door Hilbert voorgesteld en hun status na dertig jaar vindt

men in E Bieberbach Uumlber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag uumlber lsquoMathematischeProblemersquo auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreizig JahrenNaturwissenschaften 18 (1936) 1101-1111 Sedert die tijd heeft men verdere vooruitgangkunnen boeken Zie Die Hilbertschen Probleme door PS Aleksandrov Ostwalds Klassiker252 (Leipzig 1971) uit het Russisch vertaald


248

het eind der negentiende eeuw en vormt een scherp contrast met het pessimismedat we tegen het einde van de achttiende eeuw hebbenwaargenomen Tegenwoordigzijn verscheidene problemen van Hilbert opgelost andere wachten nog steeds opeen bevredigende behandeling De ontwikkeling der wiskunde in de jaren na 1900heeft de verwachtingen die aan het einde van de negentiende eeuw zijn gekoesterdniet bedrogen en men kan wel zeggen dat de verwachtingen overtroffen zijn Tochheeft zelfs Hilberts scherpe geest sommige der meest belangrijke en verrassendeontwikkelingen niet kunnen voorzien De wiskunde der twintigste eeuw heeft haareigen weg moeten vinden onder haar eigen voorwaarden

Literatuur

De nog steeds beste geschiedenis der wiskunde in de negentiende eeuw isF Klein Vorlesungen uumlber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert(2 dln Berlin 192627)Men vindt ook vele gegevens in het boek van ET Bell The Development ofMathematics (2e uitg New York-London 1945) zowel als in sommigemonografieeumln in onze inleiding aangegeven Een lijst van biografieeumln vanleidende wiskundigen ook van de negentiende eeuw vindt men inG Sarton The Study of the History of Mathematics (Cambridge Mass 1936)blz 70-98Verder biografisch materiaal oa in DSB en in de verschillende jaargangenvan Scripta Mathematica (NewYork van 1932 tot heden) Van vele negentiendeeeuwse wiskundigen zijn de verzamelde werken uitgegeven die vaak ook eenlevensbeschrijving bevatten Ook sommige tijdschriften bijv het Jahresberichtder deutschen Mathematikervereinigung bevatten levensbeschrijvingenVan de in dit hoofdstuk vermelde wiskundigen zijn de verzamelde werkengeheel of gedeeltelijk uitgegeven Abel Beltrami Betti Bolzano Bolyai BrioschiG Cantor E Cartan Cauchy Cayley Clifford Cremona Dedekind DirichletFourier Fuchs Galois Gauss Gibbs Grassmann Green Hamilton HermiteHilbert Jacobi Klein Kronecker Levi-Civita Lie Lobačevskiǐ Moumlbius PluumlckerPoincareacute Ricci Riemann Ruffini Steiner Sylvester Weierstrass

VerderL de Launay Monge Fondateur de lEcole Polytechnique (Pa-


249

ris 1934) R Taton Monge (Paris 1951)ook korter Elemente der Mathematik Beiheft 49 (Basel 1950)N Nielsen Geomegravetres franccedilais sous la Reacutevolution (Copenhagen 1929)F Klein ea Materialen fuumlr eine wissenschaftliche Biographie von Gauss (8dln Leipzig 1911-20)GW Dunnington Carl Friedrich Gauss Titan of Science (New York 1955)E Worbs Carl Friedrich Gauss Ein Lebensbild (Leipzig 1955) [CF Gauss]Gedenkband anlaumlszlich des 100 Todestages he rausg von H Reichardt(Leipzig 1957)Bij diezelfde gelegenheid werd ook een Russisch gedenkboek uitgegeven(Moskou 1956)S Picard Lobačevskiǐ grand matheacutematicien russe Confeacuterence Palais de laDeacutecouverte D 47 (Paris 1957)Quaternion centenary celebration Proc Roy Irish Acad A 50 (1945) 69-98bevat oa AJ Mc Connell The Dublin Mathematical School in the First Halfof the Nineteenth CenturyDe Scripta Mathematica Studies (New York 1945) bevatten een aantal artikelenover William Rowan HamiltonF Koumltter Die Entwicklung der synthetischen Geometrie von Monge bis auf vonStaudt Jahresber Deutsche Mathem Verein 5 (1901) 1-486H Burckhardt Entwicklungen nach oscillierenden Funktionen JahresberDeutsch Math Ver 10 (1908)M Simon Uumlber die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX Jahrhundert(Leipzig 1906)VF Kagan Lobačevskiǐ (Moskou Leningrad 1944 in het Russisch) [APNorden red] Honderd vijf en twintig jaren niet-euklidische meetkunde vanLobačevskiǐ (Moskou Leningrad 1952 in het Russisch)DJ Struik Outline of a History of Differential Geometry Isis 19 (1933) 92-12020 (1934) 161-191JL Coolidge Six female mathematicians Scripta mathematica 17 (1951)20-31Besproken worden Hypatia MG Agnesi E du Chatelet M Sommerville SGermain en S Kowalewskaja Voortgezet door EG Kramer ib 23 (1957)83-95Sonia Kowalewskaja Her recollections of childhood vertaald uit het Russischdoor IF Hapgood (New York 1895)In dit boek ook de biografie van AC Leffler uit het Zweeds vertaald ook uitgin Sammlung Reclam Leipzig


250

Ter herinnering aan SV Kowalewskaja Een verzameling van essays (Moskou1951 in het Russisch)Zie ook Istor Mathem Issled 7 (1954) 666-715 (Russisch)AH Koblitz A convergence of lives Sofia Kovalevskaja Scientist WriterRevolutionary (Birkhaumluser Boston etc 1983) Een uitstekendelevensbeschrijvingLP Wheeler Josiah Willard Gibbs (New Haven 1951)I Kollros Jakob Steiner Elemente der Mathematik Beiheft 7 (Basel 1947)G Prasad Some Great Mathematicians of the Nineteenth Century Their livesand their Works (2 dln Benares 193334)bevat biografieeumln van Gauss Cauchy Abel Jacobi Weierstrass Riemann(deel I) en Cayley Hermite Kronecker Brioschi Cremona Darboux G CantorMittag-Leffler Klein en Poincareacute (deel II)E Winter B Bolzano und sein Kreis (Leipzig 1933 Halle 1949)E Kolman Bernard Bolzano (Moskou 1955 in het Russisch ook in het Duits)O Ore Niels Henrik Abel (Minneapolis 1957 in het Engels Ook een uitgavein het Noors)L Infeld Whom the Gods love (New York 1948)een roman berustend op het leven van Galois ook in een Duitse vertalingWen die Goumltter lieben (Wien 1954) Over Galois zie ook R Taton Revue HistSci appl 1 (1947) 114-130 enA Dalmas Evariste Galois Reacutevolutionnaire et Geacuteomegravetre (Paris 1958)J Hadamard The Psychology of Invention in the Mathematical Field (PrincetonNY 1945)KR Biermann Uumlber die Foumlrderung deutscher Mathematiker durch Alexandervon Humboldt Gedenkschrift zum 100 Wiederkehr seines Todestages (Berlin1959) 83-159KR Biermann JPG Lejeune Dirichlet Dokumente fuumlr sein Leben undWirkenAbh Deutsch Akad d Wiss Klasse fuumlr Mathem 1959 No 2L Koenigsberger CGJ Jacobi (Leipzig 1904)H de Vries Historische Studies (3 dln Groningen 1918-40)21 opstellen meestal over meetkundigen oorspronkelijk verschenen inlsquoChristiaan Huygensrsquo lsquoEuclidesrsquo en het lsquoNieuw Tijdschrift voor Wiskundersquo Zijzijn door verdere studies gevolgd no 30 (het laatste) verscheen in het NTvW42 (1955)Mathematics of the 19th century Mathematical Logic Algebra Theory ofNumbers Theory of Probability uitg door AN


251

Kolmogorov en AP Juškevič (Moskou 1978 in het Russisch)E Scholtz Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffs von Riemann bis Poincareacute(Boston 1980)P Dugac Richard Dedekind et les fondements des Matheacutematiques (Paris1976)I Grattan-Guinness The Development of the Foundation of Mathematics fromEuler to Riemann (Cambridge Mass 1970)J Herivel Joseph Fourier the Man and the Physicist (Oxford 1975)zie I Grattan-Guinness Annals of Science 32 (1975) 503-514JW Dauben George Cantor his Mathematics and Philosophy of the Infinite(Cambridge Mass 1979)BA Rosenfeld A History of Non-Euclidean Geometry (Springer New Yorketc 1988) Vertaling van de Russische uitgave Moskou 1975 Zie ook HM 6(1979) 460-464P en E Morrison Babbages calculating Machine or Differential Engine (NewYork 1965)JV Grabiner The Origins of Cauchys rigorous Calculus (Cambridge MassLonden 1981)C Reid Hilbert (New York 1970)M Meacutetivier P Costabel P Dugac Simeacuteon-Denis Poisson et la Science deson Temps (Paris 1981)G Temple Thirty Years of Mathematics A personal Viewpoint (Springer NewYork etc 1981)Speciaal de periode 1850-1900H Kennedy Life and Works of G Peano (Dordrecht 1980)U Bottazzini Il Diciannovesimo Secolo in Italia pp 249-312 van DJ StruikMatematica un Profilo Storico (Il Mulino Bologna 1981)K Marx Matematičeskie Rukopisi (Moskou 1968)Marxs wiskundige manuscripten in het oorspronkelijk Duits met Russischevertaling en commentaar Zie hieroverDJ Struik Marx and Mathematics Science and Society 12 (1948) 181-196zie ook AP Gokieli De wiskundige handschriften van Karl Marx (Tiflis 1947Russisch)HC Kennedy Karl Marx and the Foundations of the differential Calculus HM4 (1977) 303-18H Mehrtens H Bos I Schneider Social History of Nineteenth CenturyMathematics (Birkhaumluser Boston etc 1981)HJM Bos-H Mehrtens The Interactions of Mathematics and Society in HistoryHM 4 (1977) 7-30 met uitgebreide bibliografie


252

Over Nederlandse wiskundigen behalve de reeds geciteerde geschriften van Mvan Haaften en de artikelen van D Bierens de Haan zie het artikel van DJ Struikin

AJ Barnouw-B Landheer The contribution of Holland to the Sciences (NewYork 1943)en dat van CJ van der Corput inKF Proost J Romein Geestelijk Nederland 1920-1940 II (1942) en dat vanHD Kloosterman op blz 234-255 in Natuurwetenschappelijk onderzoek inNederland (Amsterdam 1942)zowel als biografieeumln in lsquoNieuw Archief voor Wiskundersquo


253

IX De eerste helft der twintigste eeuw

1

Wanneer onze eeuw begint staat de wiskunde in volle bloei Wel waren de leidendefiguren nog steeds mannen en die mannen waren van Europese afkomst Devoornaamste landen waren nog steeds Frankrijk en Duitsland met Parijs als hetwiskundige hart van Frankrijk terwijl in het minder gecentraliseerde DuitslandGoumlttingen en Berlijn vooraan stonden Maar ook elders kon men verdienstelijkewiskundigen aantreffen in Scandinavieuml Rusland Zwitserland Belgieuml Engeland enin Nederland en reeds toonden de Verenigde Staten en Japan dat het monopoliedat Europa sinds de Renaissancedagen had genoten aan het verdwijnen was Vanpersonen gesproken de meest vooraanstaande internationale figuren waren welFelix Klein in Goumlttingen en Henri Poincareacute in Frankrijk maar ook elders kon menwiskundigen van grote verdienste vinden als Vito Volterra in Italieuml of HermannMinkowski in Zuumlrich terwijl ook in Goumlttingen David Hilbert en in Parijs GastonDarboux en Jacques Hadamard een vooraanstaande rol speeldenOfschoon wetenschappelijke academies in de negentiende eeuw de belangrijke

plaats hadden verloren die ze in de eeuw van Euler en DAlembert hadden genotenwaren sommige nog zeer actief zoals de Franse Acadeacutemie des Sciences of deItaliaanse Accademia dei Lincei Toch waren nu bijna alle wiskundigen voornamelijkin het onderwijs betrokken en de wetenschappelijke geesten onder hen inhogescholen en technische universiteiten Sommige van hen bijvoorbeeld inNederland en Scandinavieuml waren als adviseurs aan verzekeringsmaatschappijenverbonden Doch ofschoon polytechnische instituten en technische hogescholenwiskundige faculteiten hadden waren er toch maar weinige mathematici direct inhet produktieproces betrokken Een begin vormde de loopbaan van Charles ProteusSteinmetz student in Breslau en Zuumlrich en van 1895 verbonden aan de GeneralElectric Co in Schenectady (VS) als consulting engineer Zijn wiskundig werkomvatte de toepassing van complexe functies op de wisselstroomtechniek Datdeed ook Arthur Kennelly vanaf 1902 aan Harvard later ook aan Mass Institute ofTechnology (MIT) beiden in Cambridge Massachusetts In Engeland leerde OliverHeaviside in de


254

1880s en later adviseur van telefoon- en andere elektrische organisaties hoemoderne wiskunde als in de zgn telegraafvergelijking op elektromagnetischetheorie kan worden toegepast Hij hield er onorthodoxe ideeeumln op na als op hetgebied van vectoren en operatoren doch die later streng wiskundig konden wordengerechtvaardigd Heaviside had de reputatie van een zonderling een kluizenaarte zijn Hij en Kennelly hebben hun naam gegeven aan wat we nu doorgaans deionosfeer noemenFelix Klein die een goed begrip had van de belangrijke rol die de moderne

wiskunde in de industrie begon te spelen sprak met industrieumllen en verkreeg hunfinancieumlle steun voor de organisatie van wiskundig onderzoek op technischeproblemen Een van zijn successen was het Instituut voor Aerodynamisch enHydrodynamisch Onderzoek in Goumlttingen met als directeur de werktuigkundigeingenieur Ludwig Prandtl (1908) Toenmaals waren er nog weinig instellingen vandien aardDe belangrijkste wiskundigen van deze tijd moeten we dus aan de universiteiten

zoeken Evenals hun vakgenoten waren ze doorgaans in genootschappengeorganiseerd Twee ervan waren eerwaardige overlevenden uit de oude tijd dewiskundige kring in Hamburg die van 1690 en het Wiskundig Genootschap inAmsterdam dat van 1776 dateert Nieuwere vakorganisaties vinden we in Moskou(1860) Londen (1865) Frankrijk (1870) Edinburgh (1883) Palermo (1884) Duitsland(1890) New York (1888 de kern van de American Mathematical Society 1894)Tot de nieuwe eeuw behoren die van Indieuml (1907 en een andere in 1908) en vanSpanje en Polen (1911) Wiskundigen konden zodoende elkaar op congressenontmoeten en hun werk besprekenAls de eerste internationale bijeenkomst van belang kan men de verzameling van

wiskundigen beschouwen die in 1893 naar Chicago ter gelegenheid van dewereldtentoonstelling aldaar waren uitgenodigd Hier gaf Klein de voordrachtengepubliceerd als de Evanston Colloquium Lectures Daarop volgde in 1897 in Zuumlrichhet eerste werkelijk internationale congres met ongeveer 200 deelnemers Decongrestalen waren Frans en Duits Een der voornaamste voordrachten was dievan Adolf Hurwitz professor in Zuumlrich over analytische functies Onderwerpen vandiscussie waren de toen nog nieuwe leer der verzamelingen van Cantor de logischegrondslagen der wiskunde (Peano Schroumlder) en functies van functies (Volterra)Jacques Hadamard stelde hiervoor de naam fonctionelles voorHet volgende internationale congres weer tijdens een wereld-


255

tentoonstelling kwam in 1900 bijeen te Parijs en is in de herinnering gebleven doorde 23 problemen die waren naar voren gebracht door Hilbert Dat congres was eender vele die dat jaar in Parijs plaatsvonden waaronder het eerste filosofencongresdat ook voor de wiskunde van belang was Hier discussieerden Peano Russell enWhitehead over de grondslagen der wiskunde Wijsbegeerte en wiskunde in deloop der negentiende eeuw nogal vervreemd geraakt (met sommige uitzonderingenals Boole en Riemann) waren weer aan het convergeren Emile Picard had er al in1897 in Zuumlrich op gewezen Les matheacutematiques sont en grande coquetterie avecla philosophie1 De vraag was maar met wat voor soort van filosofieDe volgende internationale congressen waren in Heidelberg (1904) Rome (1908)

en Cambridge (Engeland 1912) De Eerste Wereldoorlog onderbrak de keten eneerst in 1928 kwam in Bologna het eerste werkelijk internationale congres na deoorlog weer bijeenMet de stadige groei van de verschillende takken van wiskunde werd het steeds

moeilijker het gehele terrein te overzien Dit bracht Klein en sommige van zijn Duitsecollegas ertoe de Encyklopaumldie der mathematischenWissenschaften te organisereneen onderneming op grote schaal met het eerste deel over Arithmetik und Algebrauit in 1908 en daarna voortgezet over vele jaren als een verzameling vanmonografieeumln tot Sectie VI 2 Astronomie Getracht werd niet zonder moeite omin de geest van Klein het onderlinge verband der verschillende gebieden totuitdrukking te brengen In 1904 begon een herziene uitgave in het Frans maar dezewerd het slachtoffer van de Eerste WereldoorlogWie een korter overzicht wenste kon het Repertorio (1897-1900) onder redactie

van Ernesto Pascal (Pavia later Napels) raadplegen Dit Repertorio was een soortprototype van het Duitse Repertorium der houmlheren Mathematik dat tussen 1910 en1929 in 5 delen uitkwam eveneens met artikelen van specialisten Ook verschenener encyclopedieeumln over de meer elementaire delen der wiskunde (Weber-WellsteinBerzolari)Wie de literatuur wilde volgen keek geregeld naar het Jahrbuch uumlber die

Fortschritte der Mathematik dat al in 1871 was begonnen en ieder jaar korteberichten gaf over de recente literatuur In het Jahrbuch van 1900 vinden weongeveer 2000 titels en 1500 auteurs

1 lsquoDe wiskunde is bezig hevig met de filosofie te koketterenrsquo


256

Aangezien drie jaren moesten verlopen voordat het Jahrbuch verslag over eenpublikatie bracht begon het Wiskundig Genootschap in 1892 de Revue Semestrielledes Publications Matheacutematiques uit te geven gewoonlijk alleen met titels maar diedan gepubliceerd met een korter interval In 1938 werd de uitgave gestaakt maarde Fortschritte bleven doorgaan Vele wiskundigen werkten aan deze berichtgevingmeeHet aantal wiskundige tijdschriften was ook aan het groeien lsquoCrellersquo en lsquoLiouvillersquo

bestonden al lang en zo ook sommigemeer lokale publikaties als het lsquoNieuw Archiefrsquodat van 1875 stamt als voortzetting van het lsquoArchiefrsquo begonnen in 1856 - beideuitgaven van het Wiskundig GenootschapNu kwamen in regelmatige successie andere tijdschriften uit te beginnen met

de Annali di Matematica (1858) gevolgd door de Matematičeskiǐ Sbornik (Moskou1866) de zeer gezaghebbende Mathematische Annalen (1868) het Bulletin desSciences matheacutematiques (1870) het American Journal of Mathematics (1878) deActa mathematica (1882 Zweden) de Rendiconti di Palermo (1885) en deTransactions of the American Mathematical Society (1899) Later kwamen oa deMathematische Zeitschrift (1918) en de Poolse Fundamenta mathematica (1920)Al deze tijdschriften bestaan nog en er komen er geregeld bijOok academies publiceerden sommige van hun tijdschriften waren al oud zoals

de Comptes Rendus van de Franse Acadeacutemie en ook de Goumlttinger NachrichtenOok sommige scholen hadden hun organen als de Parijse Ecole Normale en in1922 kwam MIT erbij Het was een heel karwei om bij te blijven en daar was ookkennis van talen voor nodig want Latijn was verdwenen als internationale taalGauss en Jacobi waren wel zowat de laatsten die althans somtijds in het Latijnschreven Maar sommige tijdschriften hadden groot prestige Met een artikel in deMathematische Annalen kon men een brede kring van invloedrijke lezers bereikenDe meeste leerboeken uit die tijd zijn nu wel wat verouderd Een aantal hebben

evenwel hun aantrekkingskracht behouden zoals die van Hilbert Hausdorff BorelRussell Whitehead Lebesgue Sierpinski Brouwers dissertatie is van 1907

2

Jan Romein de Amsterdamse historicus heeft in een zeer gedocumenteerde studiede aandacht gevestigd op de vele en diepe veranderingen in onze cultuur die tussen1890 en 1910 op bijna alle gebieden hebben plaatsgevonden van economie engeschiedenis


257

tot muziek1 De wiskunde was geen uitzondering De oorzaken van de vernieuwingwaren voornamelijk van inwendige aard zoals de groeiende invloed van Cantorsleer der verzamelingen (dit ging niet zonder moeilijkheden) de daarmee verwantestudies (en debatten) over de grondslagen der wiskunde (wat is waarheid) en deontwikkeling van abstracte structuur in algebra logica en ruimteleer De aloudeopvatting van de wiskunde als de leer van de kwantiteit kwam meer en meer op deachtergrond althans in leidende kringen en meer en meer zag men daar dewiskunde als de algemene theorie van structuur met vele variaties Nieuwe gebiedenwerden geopend zoals de integratietheorie van Lebesgue de functie-analyse deoperatorenrekening tensors en dit begeleid door de debatten tussen de intuiumltionisten(Brouwer) formalisten (Hilbert) en logistici (Russell) debatten die soms zelfs eenpersoonlijk karakter aannamen Maar al deze veranderingen werden ook van buitenbeiumlnvloed vooral door de diepgaande omwentelingen in de fysica waar na 1905relativiteitstheorie en quantumtheorie de hoogste eisen begonnen te stellen aanwiskundige scheppingskracht Eisen kwamen ook in van schei- en sterrenkundigenfilosofen en theologen speelden mee En laten we ook niet de biologen (biometrica)en de ingenieurs vooral de elektrotechnische ingenieurs niet vergetenDe leidende figuur van de oudere generatie werd meer en meer Hilbert vooral

na de dood van Poincareacute in 1912 en door de afnemende rol van Klein die in 1925stierf (Hilbert zelf leefde tot 1943) Een vrij goed begrip van de toestand in dewiskunde omstreeks 1900 kan men uit de studie van de 23 problemen verkrijgendie Hilbert in 1900 in Parijs aan de wereld had voorgedragen We zullen ze hier derevue laten passeren Ze dragen sterk de stempel van Hilberts werk maar dit wasveelomvattend Hier zijn ze1 Cantors vraag betreffende het kardinaal karakter van het continuuumlm Wat is

de betrekking tussen het continuuumlm en de aftelbare verzameling Kan hetcontinuuumlm als welgeordend worden beschouwd

2 De logische consistentie (contradictieloosheid) van de arithmetische axiomasZo deze bestaat dan kan de consistentie van demeetkundige axiomas wordenbewezen

3 De inhoudsgelijkheid van twee viervlakken met gelijke hoogte en gelijkgrondvlak Kan dit zonder infinitesimaalrekening

1 Jan Romein Op het Breukvlak van twee Eeuwen (2 dln Leiden-Amsterdam 1967) HoofdstukXXII (deel II 7-25) behandelt de natuur- en wiskunde


258

worden bewezen4 Wanneer is de rechte lijn de kortste verbinding van twee punten Dit komt op

in zekere vormen van meetkunde bv die van Minkowski5 Lies conceptie van een continue transformatiegroep zonder de voorwaarde

van de differentieerbaarheid van de functies die de groep definieumlren Ditprobleem kan tot functievergelijkingen voeren

6 De wiskundige behandeling van de axiomas der natuurkunde Van de axiomasder meetkunde kan men overgaan tot die van de rationale mechanica (als bvBoltzmann het in 1897 uitvoerde) en tot zulke gebieden alswaarschijnlijkheidsrekening statistische mechanica enz

7 De irrationaliteit en de transcendentie van zekere getallen bv getallen vande vorm αβ als α ne 0 algebraiumlsch is en β algebraiumlsch irrationaal zoals 2radic2 ofeπ = r2i Zijn deze getallen irrationaal of transcendentaal Hilbert dacht hierbijaan het werk van Hermite en Lindemann in verband met het getal π

8 Vraagstukken in de leer der priemgetallen Hier kunnen we aan RiemannsZegravetafunctie denken of aan het vermoeden van Goldbach dat elk even getal opminstens eacuteeacuten manier kan worden geschreven als de som van tweepriemgetallen (brief aan Euler 1742)1

9 Het bewijs van de algemeenste reciprociteitswet in willekeurige getalveldenDit had te doen met Hilberts eigen onderzoekingen over relatief kwadratischegetalvelden

10 Te onderzoeken of een Diofantische vergelijking met een willekeurig aantalveranderlijke en gehele rationele coeumlfficieumlnten door gehele rationale getallenkan worden opgelost Dit was een oud probleem en van tijd tot tijd weer opgevatoa in het zgn grote probleem van Fermat (xn + yn = zn)

11 De theorie van kwadratische vormen met algebraiumlsche coeumlfficieumlnten Dit hadeveneens een rechtstreeks verband met Hilberts eigen werk

12 De generalisatie van Kroneckers theorema over Abelse lichamen tot eenwillekeurig rationaliteitsgebied Dit is een terrein

1 Christian Goldbach was een Duitser verbonden met de Academie in St-Petersburg encorrespondeerde met Euler tussen 1729-63 Zie AP Yuškevič (Jouschkevich) en E WintersBriefwechsel tussen beiden (Berlijn 1965) Hier een paar voorbeelden waarop het vermoedenvan Goldbach berust 10 = 3 + 7 = 5 + 524 = 1 + 23 = 5 + 19


259

waarop algebraiumlsche functies getallentheorie en abstracte algebra elkaarontmoeten

13 De onmogelijkheid de algemene zevendegraadsvergelijking op te lossen metfuncties van slechts twee veranderlijken Dit was een kwestie die opgekomenwas in nomografie zoals DOcagne die had uiteengezet1

14 Het bewijs van het eindige karakter van zekere stelsels van lsquorelatief gehelersquofuncties Hier wordt het begrip van gehele functie algemener gemaakt totrelativganz Dit houdt verband met theoremas over de eindigheid van stelselsvan invarianten in de theorieeumln van Gordan en Hilbert

15 Scherpe formulering van de aftellendemeetkunde door H Schubert ingevoerdHiervoor moet een strenge algebraiumlsche basis worden gevonden2

16 De topologie van algebraiumlsche krommen en oppervlakken Dit onderwerp isnog weinig ontwikkeld al weten we al enkele eigenschappen speciaal vankrommen

17 De voorstelling van definiete functies (functies die voor reeumlle waarden van deveranderlijken nooit negatief zijn) door sommen van kwadraten van rationalefuncties met reeumlle coeumlfficieumlnten Dit was in een speciaal geval door Hilbert zelfgedaan

18 De ruimtevulling door congruente veelvlakken Dit is een probleem ingroepentheorie en kristallografie geiumlnspireerd door het werk van ES vonFedorov en A Schoenfliesz3

1 Maurice DOcagne van de Ecole Polytechnique in Parijs kan beschouwd worden als destichter van de nomografie di de wetenschap vergelijkingen op te lossen met behulp vangrafische voorstellingen (nomogrammen) hij voerde ook de naam in Nomographie (1891)Traiteacute de nomographie (1899) Het principe is ouder oa te zien in het werk van JuniusMassau in Gent (1884)

2 Deze zgn aftellende meetkunde was ook een geliefde vorm van onderzoek in Nederlandoa van Jan de Vries in Utrecht De dissertatie van BL van der Waerden (Amsterdam) waseen bijdrage tot de strenge formulering

3 Von Federov was een mijningenieur in de Oeral Schoenfliesz later een professor in Frankfurta M was bij Klein in Goumlttingen toen zijn eigen werk en dat van Federov (over de 230kristallografische ruimtegroepen) verscheen in 1891 en 1896 Zie AHES 4 (1967) 235-240Federov in 1891 ontdekte ook dat er precies 17 tweedimensionale symmetriegroepen vanzich herhalende patronen (zoals op behangselpapier) bestaan Dit werd door G Polya en PNiggli in 1924 herontdekt Zie HSM Coxeter Introduction to Geometry (New York 1981)Hoofdstuk 4


260

19 Zijn de oplossingen van reguliere variatieproblemen van de vorm δJ = O J =∬F (x y z p q) dxdy altijd analytisch als F analytisch is Hilbert merkt op datieder oppervlak van constante positieve kromming analytisch moet zijn dochdit is niet het geval voor oppervlakken van constante negatieve kromming

20 Het algemene randwaardeprobleem in het bijzonder het bewijs van de existentievan oplossingen van partieumlle differentiaalvergelijkingen met gegevenrandwaarden en generalisaties van reguliere variatieproblemen

21 Het onderzoek naar lineaire differentiaalvergelijkingen met voorgeschrevenmonodromiegroep Dit gaat reeds op Riemann terug

22 De uniformisering van analytische betrekkingen door automorfe functies Ditgaat in principe op Poincareacute terug

23 Uitbreiding van de methoden der variatierekening Hilbert voegde deze laatsteopgave die meer een soort oproep is aan de andere toe omdat ondanks debijdragen van Weierstrass en zijn school de variatierekening nog steeds eenwijd open veld was en dat onderzoekingen hier bevruchtend op verscheideneandere gebieden van wiskunde enmechanica (bv het drielichamenprobleem1)konden werken

lsquoDu hast die Mathematik fuumlr das 20te Jahrhundert in Generalpacht genommenrsquoschreef Minkowski in een brief aan zijn vriend Hilbert na zijn Parijse voordracht2Die opmerking mag nu wel ietwat overdreven lijken maar het blijft een feit dat deonderwerpen aangeroerd door Hilbert tot heel veel onderzoek van grote dieptehebben geleid een onderzoek dat nog steeds wordt voortgezet Sommige van dezeproblemen zijn opgelost bv no 3 door Max Dehn (de infinitesimaalrekening isnodig) no 17 door Emil Artin in 1920 Andere problemen zijn gedeeltelijk opgelostzoals no 7 oa door A Gelfond in 1929 - per slot van rekening was dit probleemmeer een program dan een vraagstuk evenals no 16 dat de mogelijkheid van eengeheel gebied van wiskunde opent

1 Tussen 1907 en 1912 gaf KF Sundman in Helsinki een algemene oplossing van dit oudeprobleem maar ze was weinig praktisch voor numeriek werk - dit was voacuteoacuter we computershadden

2 lsquoJe hebt de gehele wiskunde van de 20e eeuw aan je verpachtrsquo Over al deze problemen ziede laatste sectie van Hoofdstuk VIII plus voetnoot zowel als het overzicht door H Freudenthalin DSB VI (1972) 393-394


261

In het jaar 1900 kwam ook het tweedelige verslag uit van Schoenfliesz over deontwikkelingen van de leer der verzamelingen opgesteld in opdracht van deDeutsche Mathematische Gesellschaft Het vormde een soort triomf voor dezetheorie nu vrijwel algemeen aanvaard en toonde haar belang voor de theorie vanfuncties van reeumlle veranderlijken en het begrip maat De auteur besprakverscheidene vormen van aanpak zoals die van Cantor Peano Jordan en BorelHet was onder de invloed van Borel dat verdere vooruitgang werd gemaakt en nuin Frankrijk

3

In de latere jaren van de 19e eeuw had deze theorie van reeumlle functies belangrijkenieuwe resultaten opgeleverd vooral op gebieden van functionele afhankelijkheiden kwesties van scherpe definities inzake differentiatie en integratie vaak in verbandmet de theorie van trigonometrische reeksen Uit deze theorie was ook Cantors leerder verzamelingen voortgesproten en andere kwesties van harmonische analyseWe ontmoeten hier zulke onderzoekers als Paul DuBois Reymond in Berlijn UlisseDini in Pisa en Camille Jordan in ParijsJordan in de jaren 80 en later vooral in zijn veel bestudeerde Cours dAnalyse

(3 delen 1882-84 3e uitg 1909-15) voerde het begrip fonctions de variation borneacutee(beperkte variatie) in en kwam evenals Poincareacute ongeveer terzelfder tijd mettopologische beschouwingen Hij zocht naar een streng bewijs voor wat we alsstelling van Jordan kennen een stelling die zegt dat een enkelvoudige geslotenkromme in het vlak dit vlak in twee delen verdeelt een binnen- en een buitenzijdeHij plaatste ook integratie binnen het begripsgebied van een lsquomeetbarersquo verzamelingDeze gedachtengang werd verder gevolgd door Emile Borel aan de Parijse Ecole

Normale Hier als een student rond 1890 was hij extrecircmement seacuteduit1 door Cantorsleer der verzamelingen In zijn proefschrift van 1894 bracht hij het lsquotheorema vanHeine-Borelrsquo2 zowel als het bewijs dat een aftelbare verzameling de maat nul heeftlsquomaatrsquo hier gedefinieerd uitgaande van een eindige verzameling van intervallen toteen meer uitgebreide verzameling (de lsquomaat van Borelrsquo) In 1898 publiceerde hij zijnLeccedilons sur la theacuteorie des fonctions (heruitgegeven in 1950)

1 In hoge mate verleid2 Deze naam is vaak gekritiseerd Eduard Heine een professor in Halle (waar ook Cantor

doceerde) had in 1872 een theorema opgesteld dat met dat van Borel overeenstemt maarBorel was de eerste die de betekenis ervan begreep


262

Dit was het uitgangspunt voor Henri Lebesgue ook aan de Ecole Normale toen hijdaar rond 1890 studeerde Hij was hier in nauwe betrekking tot de vier jaar oudereBorel en zijn eigen tijdgenoot Reacuteneacute Baire1Het proefschrift van Baire Sur les fonctionsde variables reacuteelles (1899) paste Cantors leer toe op de limietfuncties van continuefuncties en kwam zo tot functies behorende tot verschillende lsquoklassen van BairersquoOp dit proefschrift volgde het beroemde van Lebesgue Inteacutegrale longueur aire(1902) Met een direct beroep op Jordan en Borel voerde Lebesgue zijn maatbegripin lsquoEr is geen begrip meer fundamenteel dan dat van maatrsquo schreef hij in 1931wijzend op de rol die dit begrip had gespeeld Zijn op dit begrip van maat gebaseerdeintegratie is nu algemeen aanvaard naast de oudere integratie van Riemann omdatze een hogere eenheid bracht op dit veel besproken gebied Een van Lebesguestheoremas was dat een continue functie van beperkte variatie een eindige afgeleideheeft behalve misschien op een verzameling van maat nulLebesgue na enige provinciale betrekkingen te hebben aanvaard keerde in 1910

terug naar Parijs eerst als professor aan de Sorbonne dan (1921) aan het Collegravegede France Baire doceerde eerst in Montpellier daarna in Dijon maar slechtegezondheid belette hem na 1914 verder wiskundig werk te verrichtenHet latere werk van Lebesgue ook voortgezet door andere wiskundigen als

Maurice Freacutechet (ook van de Ecole Normale) brachten meer en meer wiskundigenertoe zijn denkwijze te aanvaarden Niet zonder aarzeling - waarom moet men zichmet al die lsquopathologischersquo functies bezighouden - was de gedachte van vele herenvan de oudere school Maar de Lebesgue-integraal was in staat allerlei moeilijkhedente overwinnen die men sedert Riemann en Weierstrass had ontmoet Het was in deideeeumlnkring van Lebesgue en Baire dat Freacutechet in 1908 tot zijn begrip van abstracteruimte kwam en Arnaud Denjoy (die in Utrecht professor werd) tot zijn generalisatievan de Lebesgue-integraal Freacutechets ideeeumln werden weer opgenomen door anderenals Stefan Banach in Polen die in 1920 de lsquoBanach-ruimtenrsquo invoerde in dezelfdetijd dat ook Nor-

1 Lebesgue en Baire met Gauss enMonge behoren tot de weinige vooraanstaandewiskundigenvan het verleden die afkomstig zijn uit de arbeidersklasse Elie Cartans vader was eenhoefsmid Loezins grootvader was een lijfeigene Newton stamde uit een geslacht vanonafhankelijke boeren (yeomen) De meeste leidende wiskundigen van de laatste eeuwenkwamen uit de middenklasse (onderwijs kerk rechten)


263

bert Wiener in Amerika met gelijksoortige ideeeumln speeldeDe jonge Lebesgue zo wordt verteld was zo kritisch ingesteld ten opzichte van

de functietheorie van zijn tijd dat hij eens opmerkte dat een verfrommelde zakdoekeen regeloppervlak moet zijn omdat zijn professor in Nancy lsquobewezenrsquo had dat eenoppervlak dat op een plat vlak kan worden afgewikkeld uit rechte lijnen bestaat Diekritische instelling was typisch voor die tijd ze blijkt uit andere lsquoanomalieumlnrsquo als delsquokromme van Peanorsquo een afbeelding van een lijnsegment op een vierkant doorcontinue functies x en y van een veranderlijke t dus een kromme die een vlak vultOok Hilbert vond zulk een lsquoanomalersquo kromme Zulke vondsten leidden tot de vraagnaar wat nu eigenlijk een kromme is en voerden tot onderzoek naar hetdimensiebegripVanuit Duitsland kwam nu een verdere bijdrage tot onderzoek in topologie en

verzamelingenleer welke ertoe bijdroeg deze gebieden algemeen tot respectabeleacademische onderwerpen te maken Bedoeld is het boek van de professor in BonnFelix Hausdorff in 1914 gepubliceerd als Grundzuumlge der Mengenlehre lateruitgegeven als Mengenlehre (1927 derde uitg 1937) Het bevatte een axiomatischedefinitie van wat men een topologische ruimte begon te noemenEen andere generalisatie van het ruimtebegrip zo typisch voor deze tijd had een

metrieke maat en werd naar Hilbert genoemdWe hebben alreeds vermeld dat wiskundigen van de oude stempel nogal

wantrouwend stonden tegenover al die belangstelling voor lsquopathologischersquo functiesen figuren die zo geheel anders waren dan de lsquogladdersquo objecten waarmee zevertrouwd waren lsquoJe me deacutetourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentabledes fonctions qui nont pas de deacuteriveacuteesrsquo schreef Hermite eens aan Stieltjes1Giuseppe Peano van 1886 tot zijn dood in 1932 professor in Turijn was een

pionier in de wiskundige logica en axiomatiek met nadruk op volle strengheid Ditbracht hem tot zijn Formulario matematico in 5 delen (1895-1908 herdrukt in 1960)een samenvatting van de wiskundige stellingen (ze kwamen tot 4200) lo-

1 lsquoIk wend me met vrees en afschuw af van deze betreurenswaardige pestilentie als functieszonder afgeleidersquo Ik zelf hoorde nooit iets over integratie van Lebesgue tijdens mijnstudentenjaren rond 1916 in Leiden Zelfs in 1925 vond ik weinig waardering in GoumlttingenHet was Wiener die ik in Goumlttingen ontmoette die me erop wees hoe belangrijk het werk vanLebesgue was


264

gisch precies met hulp van een speciaal symbolenschrift Hij zag ook in hoefundamenteel het werk van Grassmann was Peano was niet in staat de helewiskundige wereld te overtuigen ook niet van zijn wereldtaal Latino sine Flexionemaar zijn invloed is groot geweest oa op Russell en Whitehead

4

De theorie der reeumlle functies nam steeds uitgebreider vormen aan speciaal doorde studie van trigonometrische reeksen en harmonische analyse Lebesgue schreefhier in 1906 een boek over Een ander gebied was functionaalanalyse en in hetbijzonder de leer der integraalvergelijkingen De naam fonctionelle kwam als wezagen van Hadamard en nam de plaats in van het meer beperkte begrip vanfonction de ligne lijnfunctie De idee van lijnfuncties kwam eerst uit Italieuml waarVolterra de veelzijdige leerling van Betti en Dini in Pisa professor in Turijn van 1893tot 1900 en daarna in Rome voor veertig jaren deze functies in 1889 had ingevoerdEvenals in andere gebieden waarin hij werkzaam was werd hij door fysischebeschouwingen geleid zoals de afhankelijkheid van de stroomenergie van de vormvan de draad die in een elektrisch veld wordt bewogen of verbogenHadamard later ook Freacutechet hadden hun uitgangspunt in de variatierekening

en dit was ook eacuteeacuten der wijzen waarop Freacutechet tot zijn abstracte ruimten kwamHadamard een van de meest invloedrijke en veelzijdige mathematici van zijn tijd -en die liep van zijn dissertatie in 1892 tot ver in de jaren 50 (hij werd bijna 98 jaaroud) was werkzaam in logica en getallentheorie in analyse en hydrodynamica Hijkan met Hilbert Weyl en Kolmogorov tot de weinige wiskundigen van de eerste helftder 20e eeuw gerekend worden die vrijwel de gehele wiskunde scheppend kondenoverzien Zijn Seacuterie de Taylor et son prolongement analytique van 1901 eenvoortzetting van zijn dissertatie is weleens de lsquobijbelrsquo genoemd van allen die in ditonderwerp waren geiumlnteresseerdEen andere bijdrage tot de functionaalanalyse brachten de integraalvergelijkingen

Dit gebied was al tamelijk oud we kunnen bv aan de transformatie van Laplace(1792) en zeker vergelijkingen van Abel (1823) en Liouville (1832 en later) denkenDeze formules waren echter geiumlsoleerd Maar het waren in het bijzondergrenswaardeproblemen in de potentiaaltheorie en andere gebieden waarindifferentiaalvergelijkingen een belangrijke rol spelen als bv bij trillingen in eencontinuuumlm die leidden tot een systematische aanpak Volterra stelde in 1887 delineaire integraalvergelijking op die naar hem is genoemd Zijn voorbeeld werd in1900 en


265

1903 gevolgd door Ivor Fredholm in Stockholm Het was eerder Fredholm danVolterra die de stoot gaf en dit voornamelijk zegt men doordat een van zijnstudenten een voordracht over zijn werk in Hilberts seminarium gaf gedurende dewinter van 1900-01 De analogie tussen een lineaire integraalvergelijking en eenstelsel van n lineaire vergelijkingen in n veranderlijken was bijzonder aantrekkelijk1Hilbert was gefascineerd Hij zag het verbandmet potentiaaltheorie de constructie

van Greens functies voor gegeven grenswaarden en het berekenen vaneigenwaarden en eigenfuncties2 en deze weer met het herleiden van kwadratischevormen in n veranderlijken tot kanonische vorm En dit kan weer leiden tot oneindigematrices begrippen die later zulk een rol in de mathematische fysica zouden spelenHilberts Grundzuumlge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen van 1912opende dus een nieuw gebied Verwant met deze onderzoekingen waren abstracteruimten gedefinieerd door vectoren abstracte metrische ruimten als reeds gezegdnaar Hilbert genoemdHierin traden orthogonale functies op (generalisatie van orthogonale vectoren)

Deze waren karakteristiek voor het werk van Erhardt Schmidt die bij Hilbert in 1905promoveerde en vele jaren professor in Berlijn was In dit verband denken we ookaan het theorema van Riesz-Fischer over een zekere convergente reeks in de leerder orthogonale functies (1907) genoemd naar de Duitser E Fischer en de HongaarF Riesz Riesz publiceerde menig artikel over functionaalanalyse waarbij hij ideeeumlnvan Borel en Lebesgue met die van Hilbert en zijn school verbond Hij bracht zijnzienswijze oa uit in het boek Leccedilons danalyse fonctionelle (samen met zijn leerlingB Szoumlkafnalvy-Nagy 1952 Engels 1955) Banachs bijdragen zijn weer hiermeeverwantOok op het klassieke gebied van reeumlle en complexe analytische functies waar

Poincareacute en Picard zo veel succes hadden geboekt

1 Herman Weyl heeft opgemerkt dat lsquoFredholms ontdekking me altijd heeft getroffen als ietsdat veel te laat kwam Wat is natuurlijker dan het denkbeeld dat een stelsel van lineairevergelijkingen verbonden met een eindig stelsel van massapunten leidt tot eenintegraalvergelijking als we tot de grenzen van een continuuumlm overgaanrsquo (Am Math Monthly58 (1951)) De vergelijking van Fredholm kan als volgt worden geschreven φ(x) + int10 f(x y)φ(y) dy = ψ(x) φ(x) is de onbekende functie

2 Deze curieuze Germanismen (in het Engels eigen values en eigen functions) die nuingeburgerd zijn tonen aan hoe groot de Duitse invloed op dit gebied is geweest


266

brachten Borel Hadamard en anderen nieuwe resultaten Hadamard richtte zijnaandacht op de analytische getallentheorie en het probleem van RiemannsZegravetafunctie waar hij bewees dat π(x) het aantal priemgetallen lex asymptotischgelijk wordt aan xlog x een stelling reeds door Gauss gepostuleerd Dat was in1896 hetzelfde jaar waarin de Leuvense professor Charles De la Valleacutee Poussineen ander bewijs gaf van dit lsquopriemgetallentheoremarsquo (Beide mannen waren evenoud dertig en leefden even lang) Poussin verscherpte later zijn theorema enbewees het vermoeden van Legendre dat de log x in de formule log x - 108366moet zijn Zijn Cours dAnalyse infiniteacutesimale gedurende 1903 en 1906 gepubliceerden meermalen heruitgegeven bracht de nieuwere onderzoekingen van LebesgueFreacutechet Feacutejer en anderen als een standaardwerk Borel van 1909 tot 1940 aan deSorbonne schreef en redigeerde een aantal monografieeumln zoals die van 1917door hemzelf geschreven over monogene functies (functies die in ieder gebied eenafgeleide hebben) Die monografieeumln vormden de Collection de monographies surla theacuteorie des fonctions gepubliceerd tussen 1898 en 1950 een verzameling vanmeer dan 50 delen Borel redigeerde ook andere Collections waaronder een in 7delen over waarschijnlijkheidstheorie (1937-50)Na 1880 begon Poincareacute een serie (eine stuumlrmische Publikations serie schreef

Klein wiens werk in die dagen sterk erdoor was beiumlnvloed) over complexe functiesdie onveranderd blijven bij een groep van lineaire transformaties Zulke functieswerden automorfe functies genoemd ze zijn generalisaties van trigonometrischeen elliptische functies Zij maken het mogelijk dat een analytische betrekking tussentwee veranderlijken kan worden geuumlniformeerd dwz dat de veranderlijken iederkunnen worden uitgedrukt door een eenwaardige automorfe functie Hilberts 22eParijse probleem had hierop betrekking In 1908 gaf Poincareacute een bewijs en ongeveerterzelfder tijd als Kleins leerling Paul Koebe Koebe die eerst in Jena en daarna inLeipzig heeft gedoceerd heeft ook over conforme afbeelding gepubliceerd1Paul Painleveacute negen jaren jonger dan Poincareacute eerst professor in Rijssel (1887)

daarna in Parijs (1892) werkte op het gebied van algebraiumlsche krommen en desinguliere punten bij de oplossingen van differentiaalvergelijkingen de resultatenervan paste hij toe

1 Over Kleins sterke reactie tot Poincareacutes werk op dit gebied zie zijn Vorlesungen uumlber dieEntwicklung der Mathematik im 19ten Jahrhundert I (Berlin 1926) 376-381


267

op het gebied van rationale mechanica Wij ontmoeten in hem een type dat inFrankrijk en Italieuml meer voorkomt dan elders een man van wetenschap die ook eenvoorname plaats in het politieke leven inneemt Painleveacute was minister van onderwijsin 1905 van oorlog in 1917 en was verantwoordelijk voor de benoeming vangeneraal Foch in het Conseil Geacuteneacuteral der Geallieerden En was weer eens ministerin 1925 Hij doceerde niet alleen aeronautica maar was een pionier vlieger Tot zijngeschriften behoort de tweedelige Leccedilons sur la reacutesistance des fluides non visqueux(1930-31)

5

De bloei der moderne wiskunde strekte zich ook uit tot de Verenigde Staten vanwaar in de jaren 80 en 90 vertegenwoordigers van een jongere generatie naarEuropa en speciaal naar Duitsland reisden om moderne meetkunde en analysete studeren en zo mogelijk te promoveren De eerste Amerikaanse wiskundigeschool had als leider Eliakim Hastings Moore vanaf 1892 professor aan de juistopgerichte (en door Rockefeller gefinancierde) universiteit van Chicago Moore hadin Berlijn de invloed ondergaan van de strenge bewijsvoering in de school vanKronecker en Weierstrass En zo werd hij in Chicago een meester in abstractevormen van wiskunde van axiomatiek tot integraalvergelijkingen en verbond zijnnaam aan een theorie van functieklassen van zeer algemene aard beiumlnvloed doorCantor en Russell de general analysis algemeen genoeg om een eenheid inverschillende theorieeumln te omvatten Hij legde ook nadruk op notatie en brachtFlorian Cajori de Amerikaanse historicus der wiskunde (en een geboren Zwitser)ertoe zijn History of mathematical Notations (2 dln 1928-29) samen te stellenZowel als organisator en leraar wasMoore gelukkig Hij had uitstekende studenten

die op hun beurt de wiskunde in de VS moderniseerden Robert L Moore in TexasOswald Veblen in Princeton George D Birkhoff aan Harvard In Chicago wasLeonard E Dickson zijn collega (na 1900) de Dickson van de monumentaledriedelige History of the Theory of Numbers (1919-23) en studies over eindigegroepen Zij behoorden tot de eerste generatie van Amerikaanse wiskundigen diehun voornaamste opleiding in hun eigen land hadden verkregenRL Moore1 en Veblen waren vertegenwoordigers van dat ge-

1 Men moet drie Moores uit elkaar houden EH Moore in Chicago (general analysis) RLMoore in Texas (topologie) en Clarence LE Moore (meetkunde tensors) aan het MIT


268

bied dat eerst de naam analysis situs had doch na 1900 meer en meer als decombinatorische tak der topologie werd beschouwd in tegenstelling tot de topologieder verzamelingen deze gebieden werden op den duur niet altijd scherp gescheidenoa in en door het werk van LEJ Brouwer Die analysis situs begon met een aantalvraagstukken die meer op puzzels leken zoals Eulers probleem van de zevenbruggen in Koningsbergen of het beroemde eenzijdige lint van Moumlbius maar metde Riemann-oppervlakken in complexe functietheorie begon ze zich tot een meeralgemeen gebied te ontwikkelen Deze ontwikkeling werd dan verder door een reeksonderzoekingen in de hand gewerkt als die van Jordans en Peanos krommen envooral door de reeks van onderzoekingen door Poincareacute tussen 1895 en 1904ingesteld met betrekking tot simplexen complexen en de getallen van Betti inoppervlakkentheorie Dit bracht ook de theorie der homologie met haargroepbeschouwingen ketenen en cyclussen en haar onderzoekers als Veblen enzijn Princetonse collega James W Alexander met zich meeSpeciale belangstelling wekten de publikaties van de Nederlander LEJ Brouwer

die zijn debuut maakte met zijn Amsterdamse dissertatie Over de grondslagen derWiskunde (1907 met Korteweg als promotor) Zijn belangstelling richtte zich daarnaop continue groepen (Hilberts 5e probleem) en topologie Tussen 1908 en 1912vond hij zijn theorema dat iedere continue afbeelding van een n-dimensionale bolop zichzelf minstens eacuteeacuten punt invariant laat Hier kwam hij tot het probleem van deinvariantie van het dimensiegetal dat al geregeld sinds de dagen van Cantor enPeano was opgekomen en bewees dat een afbeelding van ruimten op ruimten vanverschillende dimensie niet homeomorf kan zijn dwz dat geen een-eenduidigecontinue afbeelding mogelijk is (1910) Brouwer toonde ook aan hoe het mogelijkis een cirkelvormige schijf in drie gebieden te delen met dezelfde grenskrommeHeel wat van de topologie van deze periode kan men vinden in Veblens Analysis

situs (1922) en in Lanalyse situs et la geacuteometrie algeacutebrique (1924) door SolomonLefschetz na 1928 Veblens collega in Princeton

6

In deze tijd veranderde algebra geheel van karakter Vanouds was ze de leer deralgebraiumlsche vergelijkingen geweest en daar was dan in de 19e eeuw met degroepentheorie de leer der co- en invarianten bijgekomen Nu werd de algebra hetgebied van heden met zijn ringen lichamen idealen en verwante abstractebegrippen


269

Dit was gedeeltelijk het gevolg van de ontwikkeling van de theorie van Galois methaar oorsprong in de oude algebra tot een zelfstandig abstract gebied dat dergroepentheorie Men kan deze ontwikkeling volgen in het Lehrbuch der Algebra (2dln 1895-96) van Heinrich Weber eerst professor in Koningsbergen (waar hij deleraar was van Hilbert en Minkowski) later in Straatsburg1 Dit boek heeft specialehoofdstukken over groepen en algebraiumlsche lichamen Frege en Peano deden ookhun pionierswerk op dit gebied totdat Ernst Steinitz toen in Breslau in 1910 zijnAlgebraische Theorie der Koumlrper publiceerde In dit boek waren lichamen (Koumlrper)het centrale abstracte begrip een stelsel van elementenmet twee operaties optellingen vermenigvuldiging die voldoen aan associatieve en distributieve wetten Steinitzprogramwas al zulke lichamen te onderzoeken Als een invloed op zijn werk noemdeSteinitz ook Kurt Hensels Theorie der algebraischen Zahlen (1908 Hensel was inMarburg) met zijn studies over lsquopadische getallenrsquoMet Steinitz begint de nieuwe algebra een vlucht te nemen vooral in de periode

tussen de twee wereldoorlogen Hier was de invloed van Emmy Noether de dochtervan Max Noether de algebraiumlcus van Erlangen naar vele zijden duidelijk Zijpromoveerde in 1907 bij Paul Gordan collega van haar vader en deinvariantentheoreticus Haar proefschrift ging over ternaire bikwadratische vormenIn 1915 begon zij onder Hilbert in Goumlttingen te doceren maar als vrouw en als Jodinhad zij met zware vooroordelen te kampen Haar hoogste titel was nicht-beambteteausserordentliche Professor Toen Hitler kwam verloor zij haar slecht betaaldeLehrauftrag ze moest uitwijken en van 1933 tot haar dood twee jaar later (ze was53 jaar oud) had ze een betrekking aan Bryn Mawr een vrouwenuniversiteit bijPhiladelphia In Goumlttingen met haar studenten ontwikkelde ze de ideaaltheorie ende theorie van niet-commutatieve algebra alles streng axiomatisch2 lsquoOm dit

1 Weber met zijn vriend Dedekind was de uitgever van Riemanns werken (1870) en was ookde uitgever van Riemanns voordrachten over partieumlle differentiaalvergelijkingen in een boeklang bekend als lsquoRiemann-Weberrsquo later herzien door anderen doch na 1924 gedeeltelijkvervangen door de reeds geciteerde lsquoHilbert-Courantrsquo We hebben ook reeds de Enzyklopaumldieder Elementar-mathematik vermeld die Weber met zijn Straatsburgse collega J Wellsteinen anderen te zamen heeft uitgebracht (3 delen 1903-07)

2 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionen Koumlrper MathemAnnalen 96 (1927)


270

onderwerp grondig te begrijpen moeten we het ganz abstrakt fassen hoorde ik haareens zeggen Onder haar leerlingen bevonden zich Emil Artin Richard Brauer enBartel RL van der Waerden die allen dit werk met groot succes hebben voortgezetHet werk van Van der Waerden neergelegd in zijn Moderne Algebra (1930 en later)was geiumlnspireerd door voordrachten van Emmy Noether in Goumlttingen en Emil Artinin Hamburg In de Sovjet-Unie vond de nieuwe algebra een beoefenaar in OttoSchmidt ook bekend als geofysicus en een organisator van poolonderzoekEr bestaan allerlei relaties tussen deze algebraiumlsche onderzoekingen en andere

gebieden als algebraiumlsche meetkunde en verzamelingenleer Steinitz zelf vestigdede aandacht op het feit dat zekere theoremas met het Auswahlprinzip hetkeuzeaxioma van Zermelo samenhingenErnst Zermelo in die tijd in Goumlttingen (van 1910-16 was hij in Zuumlrich later in

Freiburg) publiceerde zijn welorderingstheorema in 1902 dit theorema dat zegt datin iedere verzameling een betrekking kan worden ingevoerd zodat voor elk tweetalelementen a en b ofwel a = b of a lt b(a komt voacuteoacuter b) of b lt a en dat voor drieelementen a b c uit de betrekkingen a lt b en b lt c de betrekking a lt c volgt terwijliedere deelverzameling een eerste element heeft De noodzaak van dit theoremableek uit de algemene ontwikkeling van Cantors leer waarin menige lacunes warenachtergelaten Een ervan was de axiomatiek waarvoor in 1908 Zermelo het eerstesysteem opzette Een ander was het continuuumlmprobleem (Hilberts eerste probleem)Zermelo baseerde zijn bewijs op het keuzeaxioma dat zegt dat in een familie vanverzamelingen X er een keuzefunctie F(X) met F(X) ∊ X voor alle X in de familiebestaat Dit ontmoette oppositie van sommige zijden omdat er geen methode konworden aangegeven om zulk een functie te vinden Hadamard en Hilbert warenbereid het te aanvaarden Poincareacute en Borel waren niet zo gewillig1Er waren meer zulke conflicten Er werden zekere contradicties lsquoparadoxenrsquo in

de structuur zelf van de wiskunde ontdekt - in de

1 Zermelos publikaties werden druk besproken en hadden grote invloed in die dagen Ik herinnereen lsquoBierredersquo van Alfred Pringsheim een wiskundige van Muumlnchen en een beroemdceremoniemeester (evenals Julian Lowell Coolidge van Harvard) waarin hij zei dat defunctietheorie van die dagen lsquoist bekleidet mit dem Zermelin der Mengenlehrersquo (Mengenlehre= verzamelingenleer) Pringsheim was een wiskundige uit de school van Weierstrass en -tussen haakjes - de schoonvader van Thomas Mann


271

wiskunde nota bene die wetenschap van volkomen zekerheid Maar iets dergelijkswas al meer voorgekomen in de Pythagoreische ontdekking van het irrationale datin tegenspraak was met de natuur van het getal (arithmos) en in de moeilijkhedendie men ontmoette bij de differentiaalrekening van Newton en Leibniz waar eenveronderstelde lsquoinfinitesimaalrsquo als dx in dezelfde operatie als nul en als niet-nulmoest worden beschouwd In beide gevallen werd de tegenstelling uiteindelijkopgeheven in een dialectisch proces waarin de tegenstellingen in een wijder verbandwerden lsquoopgehevenrsquo Eerlijk gesproken braken de meeste wiskundigen hun hoofdniet over die paradoxen en gingen rustig hun weg overtuigd dat hun wetenschaptoch per slot van rekening lsquowaarrsquo was Maar er was ditmaal weer heel wat discussiedie nog niet ten einde is gebrachtDe paradoxen die volgden uit Cantors leer waren van verschillende aard Eeacuten

voorbeeldmoge een denkbeeld geven dat van Russell (1903) Laat S de verzamelingzijn van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten De vraag is nu is S eenelement van zichzelf Zo ja dan is S niet een element van zichzelf Zo neen danis ze een element van zichzelf Dit herinnert ons aan de oude paradox van deKretenzer die zei dat alle Kretenzers liegen Het bleek maar al te duidelijk dat deverzamelingenleer met grote voorzichtigheid moet worden gehanteerd speciaal alsde term lsquoallersquo wordt ingevoerd en men semantisch onachtzaam is Om Picard teparafraseren de wiskunde was bezig en grande coquetterie met de semantiek teraken - eigenlijk al sinds de dagen van BooleVerscheidene pogingenwerden aangewend omdewaarheidswaarde der wiskunde

te handhaven Een strenge axiomatisering van Cantors theorie was nodig Wehebben die van Zermelo vermeld zijn axiomatiek had een stelsel van zeven axiomasen het gebruik van slechts twee technische termen lsquoverzamelingrsquo en ∊ (elementvan) Een restrictie in de formulering van de eigenschappen van een deelverzamelingmaakte het mogelijk de paradox van Russell te omzeilen Het zesde axioma washet keuze-axioma Zermelo ging niet diep in op de vraag naar de onafhankelijkheiden de consistentie der axiomas Hierin brachten Adolf Fraenkel toen in Marburgen Thoralf Skolem later in Oslo verscherpingen aan Toch bleef axioma 6 een puntvan discussie speciaal ook na de kritiek van Kurt Goumldel (1930)Fraenkel werd ook buiten de kring van zijn engere vakgenoten bekend door zijn

elegante Einleitung in die Mengenlehre (1919 meer uitgebreide editie 1923) eenboek dat zijn oorsprong had in


272

voordrachten die Fraenkel gedurende de Eerste Wereldoorlog in de loopgravenvoor zijn medesoldaten hield (dit herinnert ons aan Poncelet in zijn Russischegevangenschap) Na 1929 doceerde Fraenkel in het land dat Israeumll zou wordenHilbert die in zijn boek over de grondslagen der meetkunde (1899) de consistentie

van de meetkundige axiomas had teruggevoerd op die der rekenkunde was diepongerust over de moeilijkheden die zich aan het ophopen waren in de grondslagender wiskunde Hij trachtte die moeilijkheden te overwinnen door een methode dieformalisme wordt genoemd Hierbij werd de wiskunde in principe teruggebracht toteen eindig spel met een oneindig eindig gedefinieerd apparaat van formules Deregels van dit spel mochten geen tegenstrijdigheden bevatten zodat men nooit hetspel zo kon spelen dat men op zoiets uitkomt als 0 = 1 Dit leidde tot een gebieddat als metamathematica zelf buiten de eigenlijke wiskunde lag een theorie vanbewijsgeving een wetenschap (of wijsbegeerte) waaronder geformaliseerdewiskunde kan worden beoefend zonder vicieuze cirkels en tegenstrijdighedenHilberts ideeeumln later neergelegd in een boek met W Ackermann (1928) en in

een ander met Paul Bernays (1934)1werden niet algemeen aanvaard De scherpstekritiek kwam van LEJ Brouwer die in 1907 in het strijdperk trad met zijn reedsvermelde proefschrift en erop stond dat het wezen der wiskunde veeleer bestondin het vinden van de waarheid door constructief te werk te gaan dan in het leverenvan consistentiebewijzen En zo tussen 1913 en 1919 ontwikkelde Brouwer zijnintuiumltionisme waarin de oorsprong van de wiskunde wordt gezien als een Oerintuiumltieen deze brengt ons de natuurlijke getallen Dan worden slechts zulke begrippenerkend waarvan een wijze van constructie kan worden aangegeven Volgens dezegedachtengang behoeft men het principe van het uitgesloten derde niet vooroneindige verzamelingen te aanvaardenDit intuiumltionisme dat heel wat klassieke wiskunde verwierp voerde tot soms nogal

scherpe meningsverschillen in de jaren 20 waarin HermanWeyl toen in Zuumlrich (hijwas bij Hilbert gepromoveerd) de zijde van Brouwer koos Weyl had in die tijd reedsbelangrijk werk gepubliceerd over integraalvergelijkingen en grenswaardeproblemenIn zijn boek Die Idee der Riemannschen Flaumlche (1913) verscherpte hij steunendop Brouwers topologische theoremas de grondslagen der complexe functietheorieWeyl

1 Grundzuumlge der theoretischen Logik (1928) Grundlagen der Mathematik (1934)


273

wijzigde in de loop der jaren zijn standpunt inzake de grondslagen enigszins wiezijn latere ideeeumln wil bestuderen kan ze vinden in zijn Philosophy of Mathematicsand Natural Sciences een boek van 1949 gebaseerd op een artikel dat hij in 1926schreef1Ofschoon de meeste wiskundigen Brouwer niet konden volgen in zijn verwerping

van zoveel delen uit de wiskunde die niet in zijn theorie pasten waren ze het weleens met hem dat een aan te geven constructiemethode te verkiezen is boven eenpostulaat zonder meer zelfs als deze met de axiomas consistent is Belangstellingin Brouwers voor sommigen nog al verontrustende theorie nam af en nam toe maarnadat Kurt Goumldel in 1931 had aangetoond dat Hilberts programma onuitvoerbaarwas kon Brouwers intuiumltionisme in een hernieuwde staat voortleven in het bijzonderdoor het streven van Arend Heyting professor in Amsterdam (van 1930 af)Het artikel van Goumldel dat zulk een slag toebracht aan Hilberts opzet Uumlber formal

unentscheidbare Saumltze der Principia Mathematica und verwandter Systeme2

verscheen voacuteoacuter Hilberts Grundlagen der Mathematik van 1934 Het voornaamsteresultaat was dat in het geval dat een arithmetisch systeem S geentegenstrijdigheden bevat men deze contradictieloosheid niet kan bewijzen binnenhet raam van dit systeem Dit artikel met zijn beschouwingen over volledigheidbeslisbaarheid en consistentie opende een nieuwe periode in degrondslagendiscussieDe Principia Mathematica in drie imposante delen van 1910-13 waren

samengesteld door Bertrand Russell en Alfred NorthWhitehead in Cambridge onderde invloed als we zagen van Frege Cantor en Peano Deze Principia waren hethoogtepunt in een programma bekend als logistiek Het verschilde van Hilbertsformalisme in zoverre dat het trachtte de gehele wiskunde op te bouwen doorlogische deductie van een klein aantal begrippen en beginselen Die drie delenwaren in een ingewikkeld maar precies symbolisme geschreven en zij die hetbestudeerd hebben hebben de logische schoonheid bewonderd Maar Goumldelskritiek trof de logistiek alswel als het formalisme en toonde aan dat in laatste instantiehet doel niet kan worden bereikt Toch is de bijdrage van

1 In R Oldenburg Handbuch der Philosophie (1926)2 Monatsheft fuumlr Mathematik und Physik 38 (1931) 173-198 Zie E Nagel en JR Newman

Goumldels Proof (New York 1958) Zeer interessant is ook DR Hofstadter Goumldel EscherBach (New York 1979) waarin Goumldels ideeeumln Bachs muziek en de kunst van de NederlanderMaurits Cornelis Escher in een lsquoeeuwige gouden bandrsquo zijn verbonden


274

de Principia evenals die van Hilbert tot de wiskundige logica aanzienlijk geweestWhitehead elf jaren ouder dan Russell (die van 1872 tot 1970 heeft geleefd) had

reeds een Universal Algebra (1898) geschreven op Grassmann Boole en Hamiltongebaseerd en had ook over de axiomatiek der projectieve en beschrijvendemeetkunde gepubliceerd (1906-07) In 1924 werd hij professor aan Harvard enmaakte naam als een filosoof Zijn veelgelezen Science and the modern World(1925) heeft een enigszins Platonisch karakter Russell is ook de auteur van eenEssay on the Foundations of Geometry (1897)

8

Deze grondslagen der meetkunde onderwerp van de studies van Pasch Whiteheaden Russell werden in het volle daglicht der wiskundige wereld getrokken door HilbertsGrundlagen der Geometrie Dit boek voor het eerst in 1899 gepubliceerd isherhaaldelijk herdrukt ook na de dood van Hilbert waarbij de herziening in handenwas van Paul Bernays vele jaren Hilberts medewerker en professor in Zuumlrich (9euitg 1962) zelf een grondige Grundlagenforscher Met dit boek dat ook buitenwiskundige kringen blijvende aandacht genoot werd een nieuw tijdperk geopendin het onderzoek naar de grondslagen der meetkunde en niet alleen van die vanEuklides Projectieve affiene niet-Pascalse niet-Archimedische niet-Euklidischemeetkunden werden onderzocht of opgesteld Als een voorbeeld kunnen we MaxDehns Goumlttinger theorema nemen dat de noodzakelijkheid van het Archimedischepostulaat voor het bewijs van Legendres theorema aantoont (Legendres theoremazegt dat de som van de hoeken van een vlakke driehoek niet groter kan zijn dantwee rechte hoeken 180deg) We vermeldden reeds Dehns oplossing van Hilbertsderde Parijse probleemIn het voorbericht van zijn boek wijdt Hilbert aandacht aan Giuseppe Veronese

professor in Padua Veronese was een der eersten die een niet-Archimedischemeetkunde schiep en hij was eveneens een pionier in de metrische en projectievetheorie van meerdimensionale ruimten Sn In de S5 ligt een oppervlak dat zijn naamdraagt en dat op een S3 geprojecteerd een oppervlak van Steiner geeft (zieHoofdstuk VIII sectie 3) Een aantal collegas volgden hem in die studies CorradoSegre onderzocht lineaire transformaties en algebraiumlsche oppervlakken in zulkeruimten Een zijner leerlingen was JL Coolidge na 1908 aan Harvard die ookevenals CLE Moore later aan het MIT een leerling was


275

van Eduard Study in Bonn Study had vele oorspronkelijke ideeeumln op het gebiedvan meetkunde en groepentheorie bv in een uitvoerige studie vanboldriehoeksmeting hij kon nogal polemisch worden als het erop aankwam slordigeformuleringen in de meetkunde te verwerpen ook op het gebied van de invoeringvan complexe getallen in de meetkunde waarin vanaf de dagen van Poncelet nogalvrijmoedig consequenties waren getrokken1We ontmoeten op dit Italo-Duitse gebied van Sn een Nederlander Pieter Hendrik

Schoute professor in Groningen Hij was de auteur van een tweedeligeMehrdimensionale Geometrie Het tweede deel (1905) gaat over polytopen deanalogie van de veelvlakken der gewone ruimten Een der regelmatige polytopenin S4 is de tessaract (hyperkubus) Hij werkte op dit gebied samen met Alice BooleStott een dochter van George Boole de logicus In 1913 bij gelegenheid van het300-jarige bestaan van de universiteit hielden Schoute en Alice Boole eententoonstelling van hun modellen2Op een geheel andere enmeer fundamentele wijze werd Riemann in zijn publikatie

van 1854 tot het begrip van een meerdimensionale ruimte gebracht Voor hem waszulk een ruimte een topologische uitgebreidheid waaraan hij een metriek toekendedoor de introductie van een kwadratisch lijnelement dat we nu ds schrijven metds2 = gij dx

idxj Dit voerde door het werk van Christoffel Beltrami en anderen totde zgn absolute differentiaalrekening van Gregorio Ricci-Curbastro in Padua (1883en later) Een samenvatting van zijn resultaten en die van zijn leerling TullioLevi-Civita met toepassingen op differentiaal-invarianten differentiaalmeetkundeen mechanica kwam uit in de Mathematische Annalen van 1901 met titel Meacutethodesde calcul diffeacuterentiel absolu Dit artikel werd na 1913 beroemd omdat Einstein dezecalcul voor zijn algemene relativiteitstheorie overnam en de naam gaf vantensorrekening Wis- en natuurkundigen begonnen nu

1 Zie Hoofdstuk VII sectie 172 George Boole had vijf dochters alle zeer getalenteerd Mary Ellen (1853-1907) huwde de

wiskundige CH Hinton van Princeton schrijver van het semi-populaire boek The fourthDimension (1909) Alice (1860-1940) huwdeWalter Stott een actuaris Margaret (1858-1934)was de moeder van de fysicus Geoffrey Taylor biograaf van Boole Lucy (1862-1904) waseen scheikundige En Ethel (1864-1960) die de Poolse bibliofiel en nationalist WM Voynickhuwde schreef de roman The Gadfly (1895) die vooral in Rusland vele lezers vond


276

deze tensorrekening toe te passen op allerlei vraagstukken in relativiteitstheoriedifferentiaalmeetkunde en mechanica vooral toen Levi-Civita in 1917 het begripparallellisme invoerde (evenals JA Schouten in 1918) Dit voerde weer totgeneralisaties van Riemanns meetkunde vooral door het werk van Herman Weyl(1918) en Arthur Eddington (1923) Een algemene classificatie van de nieuweremeetkunde werd door Schouten gegeven en samengevat in zijn Ricci-Calcuumll van1924 (in het Duits een complete herziening verscheen in het Engels in 1954)Geleid door zijn grondige beheersing van Lies theorie der continue groepen

reeds het onderwerp van zijn Parijse dissertatie van 1894 en zijn theorie van formesexteacuterieures differentielles ω(d) = ν1dx1 + + ν11dx11 met hun directe verbindingmet het probleem van Pfaff trad Elie Cartan na 1909 professor in Parijs nu metzijn eigen ideeeumln in deze wereld van nieuwe meetkunden waarin zijn (ω-theorie opelegantemanier in de tensorrekening paste waar ω als ν1dx

1 covariante vectorveldenbeschrijft Hier bracht hij ook topologische beschouwingen in Zijn artikelen enboeken over ruimten van euklidische affiene en projectieve connecties tonen grootmeesterschap in de hantering van meetkundige en analytische begrippen in detraditie van Monge en Darboux zoals in La Meacutethode du Repegravere mobile la Theacuteoriedes Groupes continus et les Espaces geacuteneacuteraliseacutes (1935) en La Theacuteorie des groupesfinis et continus et la Geacuteomeacutetrie diffeacuterentielle traiteacutees par la Methode du Repegraveremobile (1937)De term tensor in de moderne betekenis (reeds Hamilton had deze term gebruikt

in een andere zin) was ingevoerd door de natuur- en kristalkundigeWoldemar Voigtin Goumlttingen omstreeks 1900 Voor Voigt was deze tensor een generalisatie van devectorrekening het werk van Gibbs en Heaviside gedurende de jaren 80 en die inkringen van ingenieurs en natuurkundigen na 1900 meer en meer gewaardeerdwerd Hier was de Vector Analysis van EB Wilson een leerling van Gibbs vangrote invloed Dit boek was van 1901 doch reeds vroeger had de fysicus-ingenieurAugust Foumlppl in Leipzig de vectoranalyse in Duitsland bekendgemaakt ook doorGrassmanns erfenis beiumlnvloed Einfuumlhrung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizitaumlt(1894) Met de generalisaties van vectors tot dyaden tensoren affinoren rotorenenz kwam een grote verwarring in notatie en nomenclatuur zodat er scholen warenvan Grassmannianen Hamiltonianen en zo meer Toen Minkowski in zijn rede van1908 Raum und Zeit Einsteins speciale relativiteitstheorie een vierdimensionalebetekenis had gegeven


277

kwamen er nu ook Vierer- en Sechservektoren op de markt Deze anarchie werdvaak besproken en LEnseignement matheacutematique van 1909 en 1910 bracht eenhele discussie De zaak raakte langzamerhand op de achtergrond door de opgroepentheorie gebaseerde classificatie dezer begrippen waarvan Klein Schouten1

en Cartan de noodzakelijkheid aantoonden De groeiende invloed van detensorrekening na 1915 bracht ook meer eenheid en ook de mogelijkheid degrondslagen van deze rekening vast te leggen2Sommige nieuwe theoremas werden ook in de oude elementaire meetkunde

ingevoerd In de negentiende eeuw was de zgn nieuwere driehoeksmeetkundedoor verscheidene wiskundigen ontwikkeld - we denken aan KW Feuerbach (dejong gestorven broer van de filosoof) en de negenpuntcirkel (1822) van PierreBrocard en Emile Lemoine met de naar hen genoemde punten (1886 1873) Eentheorema dat omstreeks 1900 door Frank Morley werd geformuleerd en voor velejaren een geliefd onderwerp van wiskundigendiscussie was en vaak op verschillendewijze bewezen stelde vast dat de drie snijpunten van corresponderende trisectricesvan de hoeken van een driehoek een gelijkzijdige driehoek vormen3

9

Ook de klassieke getallentheorie werd belangrijk verrijkt We hebben reeds enigeontdekkingen van Hadamard en De la Valleacutee Poussin in analytische getallenleervermeld De vertegenwoordiger van dit gebied in Goumlttingen was Edmund Landaumet zijn gedrongen euklidische stijl zoals blijkt uit zijn Handbuch der Lehre von denPrimzahlen (1909) In Engeland ontmoeten we het beroemde tweetal GH Hardyen JE Littlewood waarover later in Rusland GE Voronoǐ die de NederlanderJG van der Corput beiumlnvloedde Voronoǐ beoefende ook de door Minkowskiingevoerde Geometrie der Zahlen (1896 2e uitg 1910) resultaat van zijn werk internaire kwadratische vormen Hier vindt men ook stellin-

1 JA Schouten Gruumlndlagen der Vektor und Affinoranalysis (Leipzig 1914)2 F Klein Elementarmathematik von houmlheren Standpunkte aus II (Berlin 1908) Wat de

grondslagen der tensoranalyse betreft vindt men deze wel het eerst in O Veblen-JHCWhitehead The Foundations of Differential Geometry (1932) In R WeitzenboumlckInvariantentheorie (1923) kan men de betrekkingen tussen de tensorrekening en de klassiekeinvariantentheorie vinden

3 Zie HSM Coxeter Introduction to Geometry (1967) 23-25 Morley was een Engelsman enwerd professor aan Johns Hopkins in Baltimore (hij was de vader van de schrijver ChristopherMorley)


278

gen over convexe lichamen en de lsquostapelingrsquo van bollen en andere lichamen in eengegeven ruimteMinkowski die in 1881 de Grand Prix van de Parijse Acadeacutemie had verkregen

toen hij 18 jaar oud was (over de samenstelling van gehele getallen door sommenvan vijf kwadraten van gehele getallen) was na een professoraat in Zuumlrich van 1896tot 1902 de collega van zijn vriend Hilbert tot zijn vroege dood (45 jaar) in 1909 Hijbeheerste vele gebieden in de wiskunde en de mathematische fysica zoalselektromagnetisme zodat hij de geleerde wereld in 1908 kon verbazen met zijnRaum und Zeit lsquoVon Stund an sollen Raum fuumlr sich und Zeit fuumlr sich voumlllig zuSchatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbstaumlndigkeitbewahrenrsquo1 De weg naar de algemene relativiteitstheorie was gebaand maar dezerede heeft ook tot veel zuiver wiskundig onderzoek geleidDicksons geschiedenis der getallentheorie is al vermeld

10

De EersteWereldoorlog (1914-18) onderbrak en vernielde zelfs allerlei internationalebetrekkingen Wiskunde was geen uitzondering Duitse wiskundigen beschuldigdenhun Franse collegas (Klein deed mee Hilbert niet) de Fransen op hun beurtbeschuldigden de Duitsers Sommige wiskundigen als Volterra en Veblen werdenadviseurs van hun regering Maar vergeleken met wat in de Tweede Wereldoorloggebeurde was de wiskunde nog maar weinig in de oorlog betrokken DelsquoInternationale Commissie over het Onderwijs in de Wiskundersquo in 1908 op hetcongres in Rome gesticht met Klein als voorzitter beleefde nog net eenveelbelovende conferentie in Parijs gedurende april 1914 tot ze uiteenviel en nietvoacuteoacuter 1928 in Bologna werd hersteld2Na de oorlog kwam er een internationaal congres in Straatsburg (1920) en in

Toronto (1924) bijeen maar de verslagen naties waren uitgesloten Eindelijk in1928 kwam een werkelijk internationaal

1 Vanaf dit uur moeten ruimte op zichzelf en tijd op zichzelf volledig tot schaduwen zinken enslechts een soort unie van beiden moet zelfstandigheid behouden

2 Deze commissie werd door de Duitsers IMUK genoemd Op het Parijse congres waren er160 deelnemers uit 17 landen Onder hen vinden we Castelnuovo (voorzitter) Borel DarbouxDOcagne en Staumlckel Zie hierover de Comptes Rendus geredigeerd door H Fehr (Genegraveve1914) en het daarop volgende verslag van RC Archibald van Brown University in ProvidenceRhode Island met bijdragen uit 18 landen (1918)


279

congres bijeen in Bologna met als voorzitter S Pincherle waar ook Volterra eenpionier in de functionaalanalyse aanwezig was Nog steeds was Europaoverheersend onder de 826 deelnemers waren er slechts 52 van buiten Europaen die waren allen uit de VS De Internationale Mathematische Unie in 1919 inBrussel gesticht werd nu ook in werkelijkheid internationaalOp het volgende internationale congres in Zuumlrich (1932) waren er 667 deelnemers

uit 40 landen 66 uit de VS en 10 uit de Sovjet-Unie (die ook in Bologna met 37afgevaardigden vertegenwoordigd was) Het congres van 1936 in Oslo was watkleiner (487 deelnemers 27 landen) we zijn in de Hitlerperiode van wereldspanningDe wereldoorlog was oorzaak dat de volgende internationale conferentie pas in1950 bijeenkwamHet centrum van de wiskundige wereld bleef ook na 1918 in de traditionele

gebieden van Europa doch de VS en de nieuwe Sovjet-Unie waren grote sprongenvooruit aan het maken Reeds waren in de jaren 20 Cambridge (Mass) PrincetonMoskou en Leningrad belangrijke centra In Polen (sinds 1918 onafhankelijk) bestondeen school van zeer getalenteerde wiskundigen die zich toelegden op topologischeen grondslagenkwesties De bloei der wiskunde in Italieuml en Centraal Europa werdechter in de jaren 30 onderbroken door de komst van het fascisme waarvan echterandere landen speciaal de VS profiteerden Moderne wiskunde kwam nu ook uitCanada Japan Australieuml en Brits-Indieuml Het aantal wiskundige publikaties steegmeer en meerNu kwamen er ook tijdschriften gewijd aan speciale gebieden De Fundamenta

Mathematica een Poolse uitgave die in 1920 was begonnen was gericht op topologieen grondslagenonderzoek Het Duitse ZAMM (Zeitschrift fuumlr angewandteMathematikund Mechanik) begon in 1921 en had als stichter Richard von Mises eenOostenrijkse wiskundige die was gespecialiseerd in mechanica en aerodynamicaen die na in 1933 uit Europa te zijn verdreven professor aan Harvard werd Hij hadook zijn eigen waarschijnlijkheidstheorie (de zgn frequentietheorie) oa in hetMathematische Zeitschrift van 1919 te vinden Een aantal reeksen vanmonografieeumlnverschenen als deMeacutemorial des Sciencesmatheacutematiques (Frankrijk) de Ergebnisseder exakten Wissenschaften en de Grundlehren (Springers bekende lsquogele boekenrsquo)in Duitsland deMonografie Matematyczne in Polen Er kwamen nu ook internationaleconferenties over speciale onderwerpen als die in Delft over toegepaste wiskundeen mechanica van 1924 georganiseerd door professors Biezeno en Burgers Ofdie in Moskou over tensors (1934) en topologie (1935)


280

11

Goumlttingen behield gedurende de jaren van de Weimarse Republiek de leidende roldie ze al lang had gehad vooral na Kleins komst in 1886 en na zijn dood in 1925door Hilberts positie zelfs na diens pensionering in 1930 Rond hem bevond zicheen sterke faculteit met Landau (getallenleer) Gustav Herglotz (verschillendegebieden van analyse en mathematische fysica) Richard Courant Kleins opvolger(die zich bezighield met grenswaarden en het beginsel van Dirichlet) EmmyNoetherPaul Bernays Prandtl Een even sterke natuurkundige faculteit werd geleid doorMax Born en speelde een belangrijke rol bij de ontdekking van de nieuwemechanicader quanta door Walter Heisenberg Wolfgang Pauli en anderen Numeriekeproblemen waren het gebied van Carl Runge en vanaf 1921 was Felix Bernsteinhet hoofd van het Instituut voor Wiskundige Statistiek nadat hij alreeds naam hadgemaakt in de leer der verzamelingen met het equivalentietheorema vanCantor-Bernstein Studenten en bezoekers bleven naar dit Mekka stromenHilbert in 1922 zestig jaar oud kwam in 1896 naar Goumlttingen van Koningsbergen

in Pruisen op initiatief van Klein Zijn eerste werk lag op het terrein van algebraiumlscheinvarianten en algebraiumlsche getallenleer waar zijn Zahlbericht in 1897 voor deDeutscheMathematischeGesellschaft samengesteld voor vele jaren toonaangevendwas We hebben zijn verdere algemene onderzoekingen alreeds gevolgd maarmoeten toevoegen dat hij ook speciale problemen aanvatte als dat van Waring(ieder positief geheel getal kan worden voorgesteld door de som van hoogstens nhde machten waar n alleen van h afhankelijk is bv een som van hoogstens 4tweedemachten) en de stelling dat alle oppervlakken van constante negatievekromming in de gewone ruimte singulariteiten hebben bv de pseudosfeer vanBeltrami Als gezegd hij nam afscheid in 1930 en werd opgevolgd door-Weyl hijstierf onder de nazis zijn Goumlttingen als een wiskundige ruiumlne achterlatendWeyl moest in 1933 Goumlttingen verlaten en ging naar het juist opgerichte Institute

for Advanced Study in Princeton waarheen ook Einstein en Goumldel (en later VonNeumann) waren gegaan Van zijn boeken alle invloedrijk noemen we nogGruppentheorie undQuantenmechanik (1928) en Algebraiumlsche Zahlentheorie (1938)die al in hun titels Weyls veelzijdigheid uitdrukken Hij stierf in 1955Andere Duitse universiteiten konden ook op uitstekende wiskundigen bogen In

Berlijn vinden we I Schur (algebra en groepentheorie) zowel als Erhardt Schmidtdie zijn naam aan het


281

zgn orthogonaliseringsprincipe in Hilbert-ruimten gaf (1907) Na 1924 vinden wein Muumlnchen Constantin Caratheacuteodory een Berlijner van Griekse afkomst (zijn vaderwas een diplomaat) die elegant werk deed in variatierekening oa in zijn inleidingtot Eulers Methodus inveniendi in diens Opera Omnia

12

Frankrijk had vele jongemannen in de oorlog verloren maar behield toch nogmenigebelangrijke wiskundigen Hadamard Borel Freacutechet Lebesgue Gaston Julia PaulLeacutevy Cartan wier onderzoekingen in vele richtingen gingen Parijs bleef het centrummet (evenals in Goumlttingen) grote fysici - Madame Curie Paul Langevin zijn studentLouis de Broglie (proefschrift van 1908) naast grote mathematici Naast de reedsvermelde series Meacutemorial en Actualiteacutes bevatten ook de Annales van het InstitutHenri Poincareacute (1930 en later) studies in zuivere en toegepaste wiskunde De ouderegeneratie leefde lang genoeg om een jongere te inspireren de generatie die in 1940de Bourbaki-groep vormdeEen ander centrum weer met een eigen karakter ontwikkelde zich in Cambridge

waar tenslotte de jarenlange Britse insulaire positie definitief doorbroken werd Ookhier vond men naast de wiskundigen grote fysici van 1919 af aan presideerdeErnest Rutherford (een geboren Nieuw-Zeelander) over het Cavendish LaboratoriumAlreeds vermeld is de vertegenwoordiging van de moderne analyse door JE (JohnEdensor) Littlewood en GH (Godfrey Harold) Hardy was vanaf zijn studententijdin 1896 tot zijn 65e jaar aan Trinity College verbonden met uitzondering van eenperiode in Oxford van 1919 tot 1931 Littlewood bleef in Cambridge vanaf zijnstudententijd tot 1950 (en van 1910 ook aan Trinity) met slechts drie jaren inManchester Hardys Course in pure Mathematics (1908) bracht op strenge wijzede toen moderne begrippen in de analyse tot Engeland - getal limiet functie In hetopus van Hardy en Littlewood vindt men studies in harmonische analyse deproblemen van Waring en Goldbach diofantische approximaties en hetpriemgetallenprobleem Alles lsquozuiverersquo wiskunde bewonderend beschreven inHardys veelbesproken en niet altijd geapprecieerde Mathematicians Apology1(1940) De lsquoromantische gebeurtenisrsquo (Hardys woorden) was zijn ontdekking vanhet Indische getallengenie Srinivasa Ramanujan uit Madras die het op voorspraakvan Hardy mogelijk werd gemaakt om naar

1 Herdrukt in 1967 met een voorwoord van CP Snow (Hardy was in 1947 overleden)


282

Cambridge te komen Hier verbleef hij van 1917 tot 1919 om daarna terug te kereneen ziek man hij stierf op 32-jarige leeftijd Hardy en Ramanujan werkten samenaan vele problemen meestal in partitio numerorum1Hardys collegas in Cambridge waren AE Besikovitch en EC Titchmarsh (beiden

analyse) de laatste de auteur van een veelgebruikte Theory of Functions (1932)Tussen de zuivere wiskunde van Hardy en deze collegas en de experimentelefysica van Rutherford stond RH Fowler die zich bewoog op het terrein van detoegepaste wiskunde Tot zijn breed opgezette Statistical Mechanics (1929) haddenzowel Littlewood als zijn leerling PAM Dirac bijgedragen Dirac die degolfmechanica met de speciale relativiteitstheorie verbond verkreeg in 1933 deNobelprijs tezamen met Schroumldinger Hun werk beiumlnvloedde vele gebieden van dewiskunde van differentiaalvergelijkingen tot tensorrekeningToen in en na 1933 vele wiskundigen in Duitsland en elders tot ballingschap

werden gedwongen kwamen verscheidene van hen naar Cambridge dat een derbrandpunten der wis- en natuurkundige wetenschappen werd Van dezeuitgestotenen vertrokken een aantal naar Amerika waar zij meehielpen hetwetenschappelijk leven op hoger peil te brengenEdmund T Whittaker van 1912 tot 1946 professor in Edinburgh was een

wiskundige en mathematisch fysicus (en een Katholiek filosoof) die generaties vanstudenten aan zich verplichtte met deModern Analysis van 1915 geschreven samenmet GN Watson toen in Cambridge Deze lsquoWhittaker-Watsonrsquo is een mooiuitgegeven presentatie van demeest bekende functies als die van Legendre Besselenz ook in het complexe gebied Het boek bevat oefeningen verscheidene lastiggenoeg een eigenschap die dit boek deelt met andere Engelse boeken als die vanHardy en Titchmarsh Dit is in een oude traditie geworteld die verband houdt metde oude Tripos-examensmet hun nadruk op de techniek van het oplossen van somsmoeilijke oefeningen een traditie die nog lang niet is vergetenWilliam Henry Young die ook in Cambridge had gestudeerd

1 Hardy vertelt de volgende nu beroemde anekdote Hij bezocht Ramanujan in het hospitaalHij kwam in een taxi lsquoHet nummer ervan was 1729rsquo zei Hardy lsquoeen niet erg interessant getalrsquolsquoIntegendeelrsquo antwoordde Ramanujan onmiddellijk lsquohet is het kleinste getal dat op twee wijzenals som van twee derdemachten kan worden uitgedruktrsquo Inderdaad 1729 = 13 + 123 = 93 +103


283

bekleedde verscheidene academische posten oa een in Calcutta (1913-1916)Hij was het die reeds vroeg (ca 1902) de ideeeumln van Lebesgue en Baire naarEngeland bracht Met zijn vrouw Grace Chisholm Young schreef hij de Theory ofSets of Points (1906)MevrouwYoung behoorde tot de eerste vrouwen die in de wiskunde promoveerden

(niet de eerste Sofia Kowalewskaja was haar voorgegaan in 1874) haar onderwerpwas een groepentheoretische behandeling der boldriehoeksmeting (1895) Youngpubliceerde ook op het terrein van de harmonische analyse en verwante gebiedenZij waren de ouders van Laurence Young die ons een zeer persoonlijk verslag heeftgegeven van het Cambridge in de dagen van Hardy en Littlewood enigszins tevergelijken met de (of-schoon niet zo persoonlijke) schets die Constance Reid onsheeft gegeven van het Goumlttingen in de dagen van Hilbert en Courant1

13

De Oktober-revolutie van 1917 gaf een machtige stoot aan de ontwikkeling derwetenschappen in Rusland en de Oekraiumlne en de wiskunde deelde in dieontwikkeling Er bestond reeds een sterke traditie die van zulke mathematici alsNI Lobačevskiǐ MV Ostrogradskiǐ en PL Čebyšev (Tsjebychef) de laatste deleider van de zgn school van St Petersburg (nu Leningrad) waaruit AA Markoven AM Ljapoenov voortkwamen Čebyšev was in St Petersburg van 1847 tot zijndood in 1894 werkzaam op verscheidene gebieden getallentheorie (oa hetpriemgetallenvraagstuk) benaderingsproblemen integratie differentiaalmeetkundekinematica en waarschijnlijkheidsrekening gebieden van zuivere en toegepastewiskunde In de waarschijnlijkheidsrekening stelde

1 L Young Mathematicians and their Times (Amsterdam etc 1981) C Reid Hilbert (NewYork 1970) en Courant in Goumlttingen and New York (New York 1976) Het hoofd van eenLondense school waar Young een leerling was was de theoloog Edwin A Abbott schrijvervan Flatland (1884) een fantasie over een wereld van twee afmetingen meer dan eensherdrukt en vertaald ook in het Nederlands als Platland een Roman van vele Afmetingendoor een Vierkant (1886 4e druk 1920) De populariteit van dit geestige boek werd verhoogdnadat Minkowski en Einstein hun vierdimensionale wereld hadden gelanceerd In aansluitinghierop D Burger Bol-land door een Zeshoek (Blommendaal s-Gravenhage 1957) ook inhet Duits Silvestergespraumlche eines Sechsecks (Aulis Verlag Koumlln) Deze familie Young stondniet in betrekking tot John Wesley Young in Amerika medewerker van Veblen zie sectie 15En deze stonden niet in betrekking tot Alfred Young die met JH Grace medeleerling inCambridge de schrijver was van The Algebra of Invariants (1903) in de geest van Gordan


284

hij scherpe definities en bracht Markov van 1886 tot 1905 professor in St Petersburgdaarna emeritus tot de bekende Markov-ketens in stochastische processen (1906en later) Deze ketens hebben hun waarde bewezen in de statistische natuurkundein de erfelijkheidsleer in de economie en andere vakken hun theoretische basiswerd versterkt door AN Kolmogorov1Ljapoenov volgde in zijn vele onderzoekingen de lijn van Laplace in de

hemelmechanica zowel als in de waarschijnlijkheidsrekening Misschien het meestbekend is hier zijn generalisatie en verscherping van het fundamentele limiettheorema(1900-01) dat in zijn oorsprong tot Jakob Bernoulli teruggaatTot de school van St Petersburg behoort ook GE Voronoǐ na 1894 professor

in Warschau (toen onder de Tsaar) reeds vermeld als een getallentheoreticusNa de Revolutie werd Moskou de hoofdstad van het Sovjet-bestuur Hier bestond

reeds de zgn Moskouse school onder de sterke invloed van NN Loezin een leerlingvan DT Egorov naar wie een theorema over meetbare functies is genoemd (1911)Loezin bezocht Goumlttingen en Parijs (1901 1910) en doceerde in Moskou van 1914tot zijn dood in 1953 Hij behoorde tot de eersten die de maattheorie op reeumlle functiestoepaste ook gaf bij veel aandacht aan trigonometrische reeksen Door zijnseminaries zijn colleges en zijn tekstboeken leidde hij hele generaties van jongerewiskundigen op in vele gebieden van analyse integratie en de leer derverzamelingen Sierpinski in menig opzicht voor Polen wat Loezin voor Moskouwas stond met hem in nauw contactOnder de jongere wiskundigen die door Loezin werden beiumlnvloed waren Paul S

Aleksandrov A Ya Hinčin (Chintchin) PS Urysohn AN Kolmogorov PALjoesternik en LS Pontrjagin Aleksandrov met Pontrjagin en Urysohn waren destichters van de Moskouse topologische school die met het Westen (BrouwerGoumlttingen Hausdorff) in regelmatig contact stond Urysohn stierf reeds in 1924 op26-jarige leeftijd (hij verdronk in Bretagne tijdens een vakantie) Kenmerkend voordeze wiskundigen volgelingen van Loezin in de functietheorie en de topologie washet nauwe verband tussen hun zuivere en toegepaste wiskunde een richting reedsaangewezen door Čebyšev en verder verwelkomd door de SovjetregeringWaarschijnlijkheidsrekening bleef een onderwerp van intense studie een der meestbekende resulta-

1 Voor de theorie der Markovketens zie oa M Freacutechet Recherches theacuteoriques modernes surle calcul des Probabiliteacutes (Parijs 1934)


285

ten was de axiomatiek vanuit de verzamelingenleer neergelegd in de Grundbegriffeder Wahrscheinlichkeitsrechnung (1934) van KolmogorovDe leidende getallentheoreticus was IM Vinogradov eerst in Leningrad na 1934

in Moskou Zijn vele bijdragen beiumlnvloed door de oudere Voronoǐ en in menig opzichtverwant met die van Hardy en Littlewood behandelen de klassieke en eeuwig jongeproblemen van partitio numerorum vanWaring Goldbach en Riemann - zie Hilbertsachtste probleem Na 1929 begint ook de reeks van publikaties van AO Gelfondin MoskouDemeetkunde was vertegenwoordigd door VF Kagan eerst in Odessa na 1922

in Moskou Hij begon zijn onderzoekingen van de grondslagen der meetkunde inde geest van Hilbert en bestudeerde Lobačevskiǐs werk doch in Moskou wijddehij zich aan de differentiaalmeetkunde en de tensorrekening waaraan hij eenseminariummet tijdschrift Troediǐ (1933 en later) wijdde Zijn boek over Lobačevskiǐis van 1944 (en 1948)In Charkov in de Oekraiumlne vinden we Serge Bernstein aldaar docent van 1907

tot 1933 waarna hij eerst naar Leningrad en dan in 1943 naar Moskou overgingHij had in Goumlttingen gestudeerd en schreef zijn proefschrift in Parijs (1907) Zijnpublikaties tonen de invloed van Čebyšev (benaderingenwaarschijnlijkheidsrekening) en vanWeierstrass Bij hem zien we weer die Russischeverbinding van zuivere en toegepaste wiskunde - in dit geval op het terrein van debiologieReeds in 1911 voor Polen onafhankelijk werd had Sierpinski de grondslag gelegd

voor de Poolse topologische school met het tijdschrift Fundamenta Mathematicahet eerste wiskundige tijdschrift dat aan eacuteeacuten speciaal gebied was gewijd OnderSierpinski studeerden Kazimierz Kuratowski en Alfred Tarski de laatste die in 1946professor werd in Berkeley Californieuml werd bekend door zijn werk in logischesemantiek beslisbaarheid en waarheidsbegrip Der Wahrheitsbegriff in denformalisierten Sprachen (1936)1 Naast die in Warschau kwam een tweede schooltot stand in Lwoacutew (Duits Lemberg) van 1919-45 in Polen geleid door Stefan BanachBanachs naam is aan vele bijdragen tot functionaal-analyse verbonden hij heeftgeholpen deze tak van wiskunde na Volterra en Hilbert tot een zelfstandig gebiedtemaken Dit werk was nauw verbondenmet zijn beschouwingen over de genormeer-

1 K Kuratowski A half Century of Polish Mathematics Remembrances and Reflections (OxfordWarsaw 1980)


286

de lineaire ruimten die naar Banach zijn genoemd (1922 en later) In het nabijgelegenLublin aan de nieuwe universiteit werkte Banachs collega Hugo Steinhaus dieveel aandacht schonk aan toepassingen op verschillende gebieden vanwaarschijnlijkheidsrekening alsook biologie en ingenieurswetenschappen Hij heeftvelen aan zich verplicht door zijn Mathematical Snapshots een mooi voorbeeld vanvisuele wiskunde Banach en Steinhaus publiceerden vanaf 1929 de StudiaMathematicaDe bezetting van Polen door de Nazis van 1939 tot 1945 was een catastrofe

voor de wetenschap Verscheidene wiskundigen zagen kans hun land te verlatenanderen verdwenen in concentratiekampen Steinhaus en Banach overleefden deellende maar Banach stierf kort na zijn bevrijdingSierpinski leefde tot 1969 Een van zijn eerste boeken was zijn Hypothegravese du

Continu (1934)

14

Italieuml had een sterke meetkundige traditie in het bijzonder in de algebraiumlschemeetkunde zoals die door Brill en Noether in de jaren 70 en 80 was ontwikkeldWij hebben reeds C Segre en G Veronese vermeld Hun werk werd voortgezetdoor Guido Castelnuovo Francisco Severi en Federigo Enriques Vele van hunresultaten kunnen in Severis publikaties worden bestudeerd speciaal in de DuitseVorlesungen uumlber algebraische Geometrie (1921) Hier behandelt de schrijveralgebraiumlsche krommen en varieumlteiten van twee en meer dimensiesRiemann-oppervlakken en Abelse integralen Enriques stelde ook veel belang inwiskundig onderricht en zijn Problegravemes de la Science et la Logique (1909) zowelals de Storia del Pensiero Scientifica (1932 met G de Santillana) tonen hoe diepEnriques ook in de wijsbegeerte der wiskunde was geiumlnteresseerd - hier nam hijeen rationalistische positie in tegenover positivistische en idealistische stromingenAl deze wiskundigen werden naar Rome beroepen waar ook Volterra (sinds

1900) en Levi-Civita (sinds 1918) doceerden Dit gaf Rome een atmosfeer die velestudenten en bezoekers trok met Parijs en Cambridge een secundair Mekka naastGoumlttingen (althans tot 1933) Levi-Civita leverde bijdragen aandifferentiaalmeetkunde en tensorrekening hydrodynamica mechanica (hetdrielichamenprobleem) en relativiteit Zowel Levi-Civita als Cartan waren toegewijdecorrespondenten van EinsteinIn Pisa vinden we tot zijn dood in 1928 Luigi Bianchi wiens publikaties over

differentiaalmeetkunde lange jaren groot gezag hadden oa door de DuitselsquoBianchi-Lukatrsquo Vorlesungen uumlber


287

Differentialgeometrie (vertaling van M Lukat 1899) Hij schreef ook overgroepentheorie1 Zowel hij als Volterra waren senatoren van het koninkrijkIn Turijn van 1910 tot 1938 doceerde Guido Fubini en behandelde op zijn eigen

oorspronkelijke wijze de tensorrekening en de differentiaalmeetkunde hier speciaalde projectieve differentiaalmeetkunde eerst ontwikkeld in Chicago door EJWilczynski doch uitgaande van lineaire differentiaalvergelijkingen In 1938 moesthij Italieuml verlaten en nam een uitnodiging van Princeton aanGino Loria een meetkundige in Genua is vooral bekend geworden door zijn in

het Duits vertaalde boek over allerlei speciale krommen in het platte vlak een wareencyclopedie op dit gebied2In Nederland begint de beoefening der moderne wiskunde in de jaren 80

gelijktijdig met het herleven van het gehele economische en intellectuele leven Inde fysica vinden we JD van der Waals en HA Lorentz in de biologie Hugo deVries in de sterrenkunde JC Kapteyn De Theory of Electrons van Lorentz dateertvan 1909 Stieltjes moest nog naar Franrkijk gaan om waardering te vinden (1885)maar in Nederland konden DJ Korteweg in Amsterdam PH Schoute in Groningenen JC Kluyver in Leiden de leiding geven Korteweg is bekend gebleven door devergelijking van Korteweg-De Vries in de theorie van kanaalgolven (1895) hijredigeerde ook 5 delen van de Oeuvres van Huygens3 Van de tweede generatiehebben we reeds JA Schouten Van der Corput en Brouwer vermeld G Mannouryeen autodicact wiskundige voerde de topologie in Nederland in Hij was ook destichter van dat type van semantiek dat hij significa noemde en waarin hij in D vanDantzig een aanhanger vond Van Dantzig begonnen als medewerker van Schoutenin projectieve en andere vormen van differentiaalmeetkunde werd later een leidendewiskundige statisticus

1 Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebraiche secondo Galois(Pisa 1900)

2 Spezielle algebraische und transcendente ebene Kurven (1902) Een andere uitgebreidelsquocatalogusrsquo van zulke krommen kwam terzelfder tijd in Madrid uit Gomes Teixeira Tratadode las curvas especiales notables

3 De eerste redacteur was D Bierens de Haan opgevolgd door J Bosscha DJ Korteweg enJA Vollgraff (1888-1950) De redacteuren bleven anoniem tot op het laatste deel waarinVollgraff onder eigen naam optrad oa met een (Franse) biografie van Huygens


288

Wij hebben ook reeds BL van derWaerden vermeld wiens Amsterdams proefschriftvan 1926 aftellende meetkunde kritisch behandelt In de Naziperiode kwam HansFreudenthal naar Nederland in 1940 werd hij professor in Utrecht1In Hongarije waren er eminente beoefenaars der analyse zoals F Riesz in Szeged

(na 1946 in Boedapest) reeds vermeld bij het Riesz-Fischer-theorema Hier wasook L Fejeacuter van 1911 tot zijn dood in 1959 (met een korte onderbreking) inBoedapest een levendige interessante geest wiens voornaamste onderzoekingenlagen op het terrein van Fourier-reeksen en harmonische analyse in het algemeenWat het Oostenrijk van die tijd betreft denken we allereerst aan Hans Hahn na

1921 in Wenen Hij werkte evenals Banach en Freacutechet op het terrein van reeumllefuncties functionalen en abstracte ruimten Hij was ook filosofisch geiumlnteresseerden hielp de fysicus-filosoof Max Schlick naar Wenen te brengen waar deze deleerstoel van Mach en Boltzmann verkreeg en spoedig de zgn Wiener Kreis omzich verzamelde Deze Weense Kring bestond uit wiskundigen en anderewiskundig-filosofisch ingestelde personen die streefden naar een wereldbeschouwinggebaseerd op wetenschap lsquozonder metafysicarsquo Tot deze groep van zgn logischepositivisten behoorden naast Hahn ook Rudolf Carnap Kurt Goumldel en Karl MengerOok Ludwig Wittgenstein wiens Logisch-philosophische Abhandlung2 in 1921 wasverschenen had met deze groep contact Carnap werd bekend als de semanticusde auteur van Die logische Syntax der Sprache (1934) De deelnemers aan dezeKreis zochten ieder op zijn manier een wereldbeschouwing gebaseerd opsemantiek wiskundige logica en de beginselen van wetenschappelijk onderzoek3De meeste leden van de kring waren nogal links (en verscheidene waren Joods)zodat de komst der Nazis het einde bracht Schlick werd vermoord (1936) Sommigenkonden zich invloedrijke posities in Engeland en Amerika verwerven Carnap inChicago Menger (Dimensionstheorie 1928) aan

1 Zie verder Two Decades of Mathematics in the Netherlands 1920-1940 door EMJ Bertinea (2 dln Amsterdam 1970)

2 Later bekend als Tractatus logico-philosophicus (1922)3 Het standpunt van de Kreis is vaak gekritiseerd als idealistisch zie bv M Cornforth Marxism

and the linguistic Philosophy (New York 1965) Cornforth als student bezocht Wittgensteinsdiscussiezittingen in Cambridge Zie ook J Schreiter Zur Kritik der philosophischenGrundpositionen des Wiener Kreises (Berlin 1977)


289

Notre Dame (Indiana) later ook Chicago Goumldel in Princeton Wittgenstein kwamnaar Cambridge EngelandIn Scandinavieuml vermelden we TA Skolem in Noorwegen Goumlsta Mittag-Leffler

en zijn opvolger als directeur van het ML Instituut in de buurt van Stockholm TCarleman en Harald Bohr (de broer van de fysicus Niels Bohr) in KopenhagenMittag-Leffler een leerling van Weierstrass maakte het mogelijk voor SofiaKowalewskaja een professoraat in Stockholm te krijgen (1891) het eerste vrouwelijkeprofessoraat sinds Maria Gaetana Agnesi Carlemans onderzoekingen lagen op hetterrein van integraalvergelijkingen en zgn quasi-analytische functies Bohr doorzijn studie van het beginsel van Dirichlet en de Fourier-reeksen kwam tot zijnquasi-periodieke functies (1924-46) waardoor hij weer Weyl Wiener en anderenbeiumlnvloeddeWat Zwitserland betreft vermeldden we reeds Hurwitz en Minkowski We voegen

hier nog Andreas Speiser aan toe al was het maar om zijn mooie boek over eindigegroepen met fraaie toepassingen1 Vanaf 1911 begon men hier ook dat grote werkde Opera omnia van Euler te publiceren een taak thans nauwelijks ten eindegekomenOok Japan begon van zich te laten spreken Hier bestond een oude traditie die

aanknoopte aan de lsquomatrixrsquo-methode van de oude Chinese wiskunde De nieuweEuropese algebra vond een vertegenwoordiger in Tejii Takagi die in Duitsland bijHilbert had gestudeerd en in 1900 aan de universiteit in Tokyo begon te docerenHij stichtte een school waarin problemen in verband met het twaalfde Parijseprobleem van Hilbert (Abelse lichamen) werden onderzocht In de jaren 30 begonA Kawaguchi de tensorrekening op algebraiumlsche en meetkundige problemen toete passen hierin gevolgd door Kentaro Yano en anderen in het tijdschrift Tensor

1 A Speiser Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung (Berlin 1923 4e uitg Basel 1956)Het verband tussen wiskunde en de kunsten (perspectief mozaiumleken architectuur) werd ookgelegd in het veel gelezen boek van de Amerikaanse schilder en illustrator Jay HambidgeThe Elements of dynamic Symmetry (1926 Dover herdruk 1967) Zie ook Hermann WeylSymmetry (1952) en GD Birkhoff Aesthetic Measure (1933 herzien 1961) We hebbenreeds Steinhaus Mathematical Snapshots vermeld Bij het 18e Parijse probleem van Hilberthebben we ook op het verband tussen groepentheorie en kristallografie gewezen en inHoofdstuk I op de etnowiskundige betrekkingen


290

In Tsjechoslowakije werd de tensorrekening beoefend door V Hlavaty die metSchouten en E Čech die met Fubini (in projectieve differentiaalmeetkunde)samenwerkte

15

De wiskunde in de Verenigde Staten na de eerste Wereldoorlog had verscheidenevertegenwoordigers die zich met de beste mathematici in Europa konden metenAan Harvard University vinden we George D Birkhoff die na zijn succes in 1913met het bewijs van Poincareacutes lsquolaatste theoremarsquo over het drielichamenprobleemvoortging in de geest van Poincareacute te werken Hier verrijkte hij diens nalatenschapmet het begrip metrische transitiviteit en de studie van ergodische theoremas Hijwas een veelzijdig wiskundige die ook een gravitatietheorie publiceerde (1944)waarin hij met Einstein instemde in de speciale doch niet in de algemenerelativiteitstheorie Wij hebben reeds even zijn Aesthetic Measure (1944)1 vermelden hij bewoog zich van kunst en wiskunde tot ethiek en wiskunde Zijn zoon GarrettBirkhoff begon zijn studies in de algebras van Boole (lattices) in de jaren 40Veblen aan Princeton wendde zich na 1920 van topologie naar

differentiaalmeetkunde en tensorrekening aangespoord door de publikaties vanLevi-Civita en Weyl Hier met zijn collega Luther Pfahler Eisenhart en enigeleerlingen ontwikkelde hij een nieuwe aanpak van de meetkunde der ruimten vanRiemann en hun generalisatie in de zgn meetkunde der paden generalisaties vangeodetische lijnen In dit gebied vormden zich dus drie scholen die van Schoutendie van Cartan en die van Veblen Maar hij bracht ook zijn ideeeumln over topologieen axiomatiek over tot dit gebied in de Foundations of differential Geometry (1932)geschreven met JHC Whitehead Verwant met Veblens werk was dat van zijncollegas JW Alexander en Solomon Lefschetz die zich toelegde op algebraiumlschetopologie en homologische algebraVeblen was van 1932 tot 1950 verbonden aan het Institute for Advanced Study

een nieuwe onderneming namelijk een instituut voor zuiver wetenschappelijkonderzoek opgericht in Princeton naast de universiteit Dit Instituut financieelonafhankelijk was gesticht in de geest van ideeeumln neergelegd in het kritische boekUniversities American British German (1930) geschreven door Abraham FlexnerHet Instituut begonmet een School voorWiskunde geleid door Veblen en waaraanuitstekende geleerden werden verbonden speciaal ook toen de Nazi-vervolgingenkwamen

1 Zie WL Schaaf Amer Math Monthly 55 (1951) 157-177


291

Hier vondenWeyl Von Neumann en Einstein een plaats voor ononderbroken studieOok Marston Morse student en collega van Birkhoff die in zijn geest diep in devariatierekening drong vond zijn weg naar het InstituutJohn von Neumann Hongaar van geboorte kwam na een lectorschap in Goumlttingen

naar Princeton in 1930 Tot zijn onderzoekingen behoorden studies in groepentheorieen Hilbert-ruimten operatoren en ergodische theoremas met bijdragen tot Hilbertsvijfde probleem Hij was een der meest geniale wiskundigen van zijn tijd wiensveelomvattend werk zich uitstrekte tot quantum-mechanica enquantum-thermodynamica en tot de theorie der elektronische computers Hij waseen grondlegger van de moderne speltheorie (1926) met haar vele lsquostrategischersquotoepassingen vooral in economie Zijn boek erover met O Morgenstern alsco-auteur is Theory of Games and economie Behavior (1944)Er is een zekere verwantschap tussen zijn werk en dat van Norbert Wiener vanaf

1919 verbonden aanMassachusetts Institute of Technology (MIT) evenals Harvardin Cambridge Massachusetts Wiener na een begin in logica beiumlnvloed door Russellvond zijn eigen terrein in de wiskunde van de Brownse beweging in harmonischeanalyse en in theoremas van het Tauber-type1 Zijn onderzoekingen insamenwerking met leerlingen als Raymond Paley en Claude Shannon voerdenhem tot de formering van de communicatietheorie en de verbetering van computersen na 1946 tot zijn cyberneticaAndere wiskundigen uit deze periode waren Marshall Stone aan Harvard (later

Chicago) met zijn studies over lineaire operatoren in Hilbert-ruimten en algebrasvan Boole en GA Bliss in Chicago collega van EH Moore wiens onderzoekingenin variatierekening zijn neergelegd in zijn Calculus of Variations (1925) en Lectureson the Calculus of Variations (1946) Zijn collega EJ Wilczynski was als reedsvermeld een beoefenaar der projectieve differentiaalmeetkundeAan Harvard vinden we nog Julian Lowell Coolidge een meetkundige leerling

van Segre en Study die goede leerboeken schreef over niet-euklidische en complexemeetkunde zowel als een Introduction to mathematical Probability (1923) een dereerste tekstboeken over dit onderwerp in het Engels Historici der wiskunde

1 Alfred Tauber (1866-1942) in Wenen publiceerde zekere integraalvoorwaarden in een studieover reeksen (1896) die door Hardy en Littlewood (en doorWiener) werden verder ontwikkeld


292

vinden veel interessants in zijn History of Geometrical Methods (1940) Aan Harvardwas ookWilliam E Osgood verbonden die bij Klein had gestudeerd en in Goumlttingenwas gepromoveerd (1890) Zijn Lehrbuch der Funktionentheorie (1907) was eender meest gebruikte leerboeken van zijn tijd het had een pedagogische precisiedie typerend was voor zijn onderwijsDe wiskunde in de VS profiteerde geweldig van de komst van eminente

mathematici die uit Europa door de Nazis waren verdreven Naast degenen die wereeds genoemd hebben als Weyl Courant Emmy Noether en Von Mises denkenwe aan E Artin G Polyaacute H Rademacher V Hurewicz O Neugebauer AndreacuteWeil en O Scaacutesz JD Tamarkin aan Brown University in Providence bevond zichdaar reeds als emigrant uit Rusland

16

De grote tijd van de computer kwam eerst na de Tweede Wereldoorlog maar erwas een lange voorbereidingsperiode die zo men wil met de abacus in de Oudheidaanvangt In de moderne periode kunnen we beginnen met Wilhelm Schickard eenvriend van Kepler met een instrument van 1623-24 gevolgd door Pascal (1641)en Leibniz (1673) In 1808 vond de Franse wever Joseph-Marie Jacquard eenmethode uit om een weefgetouw van buitenaf te besturen met behulp van geponstekaarten Deze gedachte werd door Charles Babbage overgenomen voor zijnlsquoanalytical enginersquo (1833) hierbij ondersteund door Byrons dochter Lady AnnLovelace In deze nooit voltooide rekenmachine waren vele ideeeumln belichaamd diein de moderne automatische computer verwezenlijkt zijn ze kon opslaan (store hetgeheugendeel) besturen (control) en bewerkingen uitvoeren (mill) Maar dezemachines waren geheel mechanisch en stelden eisen die alleen de elektronica vande tegenwoordige tijd in praktijk heeft kunnen brengen1Tussen 1884 en 1890 ontwikkelde Herman Hollerith een statisticus in de VS

die aan de volkstelling van 1890 werkte een systeem waarbij uit geponste kaartengegevens mechanisch konden worden gelezen eacuteeacuten kaart voor iedere persoonwaarbij iedere ponspositie een toestand (beroep leeftijd enz) voorstelde KonradZuse een Duitser verbeterde dit systeem in 1934 door ideeeumln van Leibniz over hetgebruik van het tweetallig stelsel over te nemenOnafhankelijk hiervan bouwde Vannevar Bush een ingenieur

1 Een handig overzicht van deze voorgeschiedenis kan men vinden in het artikel van SFAMNillen Grote Winkler Prins 5 (1968) 643-649


293

en professor aan het MIT ondersteund door Wiener en andere collegas in de jaren30 een analog-computer om zekere integralen uit te werken en zekeredifferentiaalvergelijkingen op te lossen In Princeton in 1936 definieerde Alan MTuring een jonge Engelsman de lsquoTuring-machinersquo een abstract model van eenmogelijke logische machine geconstrueerd om zulke vraagstukken als Hilbertsbeslissingsprobleem in de grondslagendiscussie aan te brengen1 In 1945 pasteTuring na 1948 in Manchester zijn ideeeumln toe op de bouw van een werkelijkecomputer (MADAM)2 Claude E Shannon toen aan het MIT werkte deze ideeeumlnverder uit in zijn communicatietheorieHet nieuwe tijdperk in praktische computers begon met de Mark I waaraan in

1937 aan Harvard werd begonnen door Howard H Aiken met hulp van deInternational Business Machine Corporation (IBM) Computers begonnen debelangstelling te wekken van grote ondernemingen De Mark I had de voordelenvan moderne technologie en moderne financiering Er waren evenwel nog velemechanische operaties In de Mark II (1945 1947) werden alle rekenkundige enoverdrachtoperaties verricht door elektromagnetische relays De eerste zuivereelektronische computer de ENIAC werd tussen 1943 en 1946 in Philadelphia aande Universiteit van Pennsylvanieuml gebouwd Dit was nog altijd academischgeeumlxperimenteer In de jaren 50 begonnen computers in de handel te komen enhet computertijdperk was aangebroken

Literatuur

Er zijn algemene overzichten van bepaalde gebieden van de wiskunde van dezeeeuw in de reeds geciteerde boeken van Boyer Kline Bourbaki en Wussing zowelals in de bijdrage van Pogrebysski tot de Russische en Duitse vertaling van deConcise History of MathematicsVerder naast de publikaties die in de voetnoten zijn geciteerd

JM Dubbey Development of Modern Mathematics New York 1970H Freudenthal The implicit Philosophy of Mathematics today in ContemporaryPhilosophy a Survey gered door R Kilbansky (Florence 1968) 342-368

1 On computable Numbers with an application to the Entscheidungsproblem Proc LondonMath Soc 42 (1937) 230-265

2 Turing werd maar 42 jaar oud Hij stierf in 1954 Zie S Turing Alan M Turing (1959)


294

G Prasad Mathematical Research in the last twenty Years (Berlin 1923)H Weyl Half a Century of Mathematics Amer Math Monthly 58 (1961)523-583

De levensbeschrijvingen in de vijftien delen van de DSB bevatten een schat vangegevens over wiskundigen en hun werk en vaak goede bibliografieeumln Ooksommige encyclopedieeumln hebben gegevens met korte bibliografie oa de GroteWinkler Prins Korte schetsen vindt men ook in Meschkowskis Mathematiker-Lexikon(Mannheim etc 3e Aufl 1980) Zie ook

P Benacerraf en H Putnam Philosophy of Mathematics Selected Readings(Englewood Cliffs NJ) 1969 Artikelen van Carnap von Neumann BernaysGoumldel Wittgenstein eaP Bockstaele Het Intuitionisme bij de FranseWiskundigen Verh Kon VlaamseAcad Wet 11 (1949) No 2R Bott Marston Morse and his mathematical works Bull Amer Math Soc(New Ser) 3 (1980) 907-950Cahiers du Seminaire dHistoire des Matheacutematiques (1980 - heden) Veleartikelen over hedendaagse auteurs en onderwerpenD van Dalen-AF Monna Sets and Integration An Outline of the Development(Groningen 1972)J Dieudonneacute Cours de geacuteometrie algeacutebrique I (Paris 1974) (heeft eengeschiedenis van dit gebied tot na 1950)History of functional Analysis (Amsterdam 1981)L Felix The modern Aspect of MathematicsHH Goldstine The Computer from Pascal to Von Neumann (Princeton NJ1970)I Grattan-Guinness On the Development of Logic between the two WorldWars Amer Math Monthly 88 (1981) 495-529J Hawkins Lebesgues Theory of Integration Madison Wis 1970SJ Heins John von Neumann and Norbert Wiener (Cambridge Mass 1980)F Le Lionnais Les grands Courants de la Penseacutee matheacutematique (Paris 19482e ed augmenteacutee 1962)Een verzameling artikelen van Borel Freacutechet Denjoy eaCh Loezin Uspechi Matem Nauk 6 (1951) 7 (1952) 8 (1953)H Kennedy Life and Work of Giuseppe Peano (Dordrecht-Boston 1980)Emmy Noether A Tribute to her Life and Work gered door JW Brewer enMK Smith (New York Bazel 1981)


295

C Reid Hilbert (Berlin etc 1970)C Reid Courant in Goumlttingen and New York (New York 1976)Ook in het Duits Richard Courant 1888-1972 (Springer Berlin 1979)MD Resnik Frege and the Philosophy of Mathematics (Ithaca-Londen 1980)JC van der Corput Wiskunde in Geestelijk Nederland 1920-1940 gered doorKF Proost en JM Romein (Amsterdam-Antwerpen 1949) 255-291 Zie ookThe Development of Science in the Netherlands during the last half Century(Leiden 1930) 44-51Over Volterra Rendiconti Semin-Matem e Fis Milano 17 (1946) 6-61A Weil LAvenir des matheacutematiques in Le Lionnais hierboven 307-320Over N Wiener Bull Am Math Soc 72 No 1 p 2 1966 (1451)BA MacKenzie Statistics in Britain 1865-1930 The Social Construction ofscientific Knowledge Edinburgh 1981

Levensbeschrijvingen van gestorven of jubilerende wiskundigen vindt men geregeldin de maandelijkse nummers van de Mathematical Reviews


297

Literatuuroverzicht

In het volgende geven wij een titellijst van belangrijke geschriften over degeschiedenis der wiskunde als een geheel en over belangrijke wiskundige gebiedenZulk een lijst van titels (tot 1936) kan men ook vinden in G Sarton The Study ofthe History of Mathematics (Cambridge Mass 1936 103 blz herdruk New York1957) waarin men ook een belangrijke inleiding tot ons onderwerp vindt Eenuitgebreide andere literatuurlijst kan men vinden in

KO May Bibliography and Research Material of the History of Mathematics(Toronto 1973 2e uitg 1978) met 827 bladzijden met bio- en bibliografischeinformatieen inJW Dauben The History of Mathematics from Antiquity to the Present aselective Bibliography (New York 1985) met 508 bladzijdenOokLN Malclegraves Les Sources du Travail Bibliographique III (Genegraveve Paris 1958)met vele literatuuropgaven over andere takken van wetenschapNieuwe literatuur over de geschiedenis der wiskunde vindt men geregeld in detijdschriften Historia Mathematica (HM) en Mathematical Reviews

Hier volgt een reeks van geschriften over de gehele geschiedenis der wiskunde Inhet Nederlands bestaat er helaas niets anders dan

J Versluis Beknopte geschiedenis van de wiskunde (Amsterdam 1902) en dekorte verhandeling van G Mannoury Geschiedenis der wiskunde blz 91-110van lsquoGeschiedenis der Wetenschappenrsquo (Baarn 1917)en onze Geschiedenis van de wiskunde

In het Engels hebben we in de eerste plaats twee tamelijk uitvoerige tekstboekengoed voor klassikaal onderricht

CB Boyer A History of Mathematics (New York 1957 XV + 717 bldz) enH Eves An Introduction to the History of Mathematics (New York etc 19534th ed enlarged 1976) Dit boek heeft vraagstukken (lsquoproblem studiesrsquo)

VerderRC Archibald Outline of the History of Mathematics (1932 6e uitg AmericanMathematical Monthly 56 Jan 1949)Deze schets brengt in 114 blz een uitstekend overzicht verrijkt met een massabibliografische verwijzingenF Cajori A History of Mathematics (New York 1938 2e ed Chelsea reprint(New York 1980) Een standaardwerk van 514 bldz de eerste kortere edis van 1919 Nogal droogDE Smith History of Mathematics (Boston 1923-25 2 vols herdruk DoverNew York 1951-53)


298

Dit boek beperkt zich in het algemeen tot de meer elementaire gebieden derwiskunde doch heeft bio- en bibliografische gegevens over alle leidendewiskundigen Het bevat vele illustratiesET Bell Men of Mathematics (New York 1937)ET Bell The Development of Mathematics (New York - London 2e uitg 1945)Beide boeken bevatten een rijke stof Het eerste behandelt het leven en dewerken van enige grote wiskundigen Het tweede boek is een uitvoerig overzichtvan de geschiedenis der wiskunde met veel materiaal over de nieuwe periodeHW Turnbull The great Mathematicians (London 1929 herdruk New York1961 ook als hoofdstuk in het boek van JR Newman zie beneden) Een korteprettige beschrijving van het werk van enige grote wiskundigen uit vroegeretijdJF Scott A History of Mathematics from Antiquity to the Beginning of theNineteenth Century (London 1958)V Sanford A short History of Mathematics (Boston 1930)Voornamelijk elementaire wiskundeWat zwaar op de hand isM Kline Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York1972 XVII + 1238 bldz) met hoofdstukken over gehele gebieden bv gewoneen partieumlle differentiaalvergelijkingen abstracte algebra enzWW Rouse Ball A short Account of the History of Mathematics (6e uitgLonden 1915 Dover herdruk New York 1953)Leesbaar maar op vele plaatsen verouderdLNH Bunt ES Jones en JD Bedient The historical Roots of elementaryMathematics (Englewood Cliffs New Jersey 1976) Speciale onderwerpendiscussies en vraagstukkenHistorical Topics for the Mathematical Classroom (31st Yearbook Nat Councilof Teachers of Mathematics Washington DC 1969) Speciale onderwerpenieder onderwerp door een speciale auteurIn het Duits heeft men oaM Cantor Vorlesungen uumlber Geschichte der-Mathematik (Leipzig 4 delen I3e uitg 1907 II 2e uitg 1899-1900 III 2e uitg 1901 IV 1908)Een standaardwerk breed opgezet waarvan het vierde deel door een aantalspecialisten geschreven tot 1799 gaat Ofschoon in vele opzichten verouderdvooral de hoofdstukken over de antieke wiskunde en vaak in detailsonnauwkeurig is het voor een eerste orieumlntering nog steeds bijzonder geschiktIn de delen van het tijdschrift Bibliotheca mathematica dat tot 1914 bestondhebben G Enestroumlm en anderen onnauwkeurigheden en fouten verbeterdDeze boeken zijn ook een goede wegwijzer naar de oudere literatuurS Guumlnther - H Wieleitner Geschichte der Mathematik (Leipzig 2 delen heteerste deel door Guumlnther Leipzig 1908 het tweede door Wieleitner in tweegedeelten 1911-21 Uitg Wieleitner (Berlin 1939)


299

J Tropfke Geschichte der Elementarmathematik (7 delen 2e ed Leipzig1921-24 delen 1-4 in 3e druk 1930-40) Nieuwe uitg begonnen in 1980Een standaardwerk over de elementaire wiskunde met bijna volledigebronvermeldingenDie Kultur der Gegenwart III 1 (Leipzig Berlin 1912)Dit boek bevat HG Zeuthen Die Mathematik im Altertum und im MittelalterA Voss Die Beziehungen der Mathematik zur allgemeinen Kultur HETimerding Die Verbreitung mathematischen Wissens und mathematischerAuffassungO Becker-JE Hofmann Geschichte der Mathematik (Bonn 1951)JE Hofmann Geschichte der Mathematik (3 delen Sammlung Goumlschen 226875 822 Berlin 1953-57)Deze boekjes bevatten oa omvangrijk biografisch en bibliografisch materiaalO Becker Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung(Freiburg-Muumlnchen 1954)H Meschkowski Denkweisen groszer Mathematiker (Braunschweig 1961)F Muumlller Zeittafeln zur Geschichte der Mathematik Physik und Astronomiebis zum Jahre 1500 (Leipzig 1892)H Wussing Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik (VEB Deutsch VerlWiss Berlin 1979 365 bldz)H Wussing-W Arnold Biographien bedeutender Mathematiker (2e uitg Berlin1978)41 levensbeschrijvingen van Pythagoras tot Emmy Noether

In het Frans verscheenJE Montucla Histoire desMatheacutematiques (Paris 1752 nieuwe uitg 1799-18024 delen heruitgave 1960)Dit geschrift wel het oudste leerboek over de geschiedenis der wiskunde blijftzeer leesbaar Het beschouwt ook het verband tussen de wiskunde en verwantenatuurwetenschappenN Bourbaki Eleacutements dHistoire des Matheacutematiques (Paris 1960)Een verzameling historische artikelen uit de meerdelige Eleacutements dematheacutematiques (Paris sinds 1939)J Dedron-J Hard Matheacutematiques et Matheacutematiciens (Parijs 1960) Veleillustraties

Een goed Italiaans boek isG Loria Storia delle Matematiche (3 delen Torino 1929-33)

VerderS Maracchia La Matematica come Sistema ipotetico-deduttivo profile storico(Florence 1975)A Frajese Attraverso la Storia della Matematica (Florence 1973)


300

In het Russisch verscheenKA Rybnikov Geschiedenis der wiskunde I (Moskou 1960)

Er bestaan bloemlezingen uit het werk van wiskundigenDE Smith A Source Book in Mathematics (New York 1929)H Wieleitner Mathematische Quellenbuumlcher (4 delen Berlin 1927-29)A Speiser Klassische Stuumlcke der Mathematik (Zuumlrich-Leipzig 1925)JR Newman The World of Mathematics (4 delen New York 1956) Dit is eenbloemlezing uit opstellen over wiskunde en wiskundige onderwerpen Het begintmet Turnbulls boek (zie boven)DJ Struik A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge Mass1969 Princeton Un Press 1987)

Dan zijn er een aantal historische geschriften over bepaalde wiskundige gebiedenOnder deze treft men aan

LE Dickson History of the Theory of Numbers (3 delen Washington 1919-27)T Muir The Theory of Determinants in the Historical Order of Development (4delen Londen 1906-23) Met supplement Contributions to the History ofDeterminants 1900-1920 (Londen 1930)A von Braunmuumlhl Vorlesungen uumlber Geschichte der Trigonometrie (2 dlnLeipzig 1900-03)T Dantzig Number The Language of Science (3e uitg New York 1943) Eengoed voorbeeld van een populair-wetenschappelijk boekG Loria Il passato e il presente della principali teorie geometriche (4e uitgTurijn 1931)G Loria Storia della geometria descrittiva delle origini sino ai giorni nostri(Milaan 1921)G Loria Curve piani speciali algebriche e transcendenti (Milaan 1930 Duitsevertaling in 2 delen reeds in 1910-11 te Leipzig uitgegeven)F Cajori A History of Mathematical Notations (2 dln Chicago 1928-29)LC Karpinski The History of Arithmetic (Chicago 1925)Een schoolboek heel eenvoudigHelen MWalker Studies in the History of Statistical Methods (Baltimore 1929)R Reiff Geschichte der unendlichen Reihen (Tuumlbingen 1889)Een beknopt nog steeds nuttig boekI Todhunter History of the Progress of the Calculus of Variations during theNineteenth Century (Cambridge 1861)I Todhunter History of the Mathematical Theory of Probability from the Timeof Pascal to that of Laplace (Cambridge 1865)I Todhunter History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figureof the Earth from the Time of Newton to that of Laplace (Londen 1873)Deze boeken van Todhunter bestaan uit een chronologische beschrijving vanalle betreffende artikelen en boeken


301

C Boyer The History of the Calculus and its Conceptual Development (herdrukDover New York 1959) 2e uitg van The concepts of the calculus (New York1949)C Boyer History of Analytic Geometry (New York 1956)JL Coolidge The Mathematics of Great Amateurs (Oxford 1949 Dover NYherdruk 1963)Over Plato Omar Khayyaacutem Pietro dei Franceschi Leonardo da Vinci DuumlrerNapier Pascal Arnauld DeWitt Hudde Brouncker LHospital Buffon DiderotHorner BolzanoJL Coolidge A History of Geometrical Methods (Oxford Un Press 1940 Doverherdruk 1963)RC Archibald Mathematical Table Makers (New York 1948)R Dugas Histoire de la Meacutecanique (Neufchatel 1950)EW Beth Geschiedenis der Logica (s-Gravenhage 1944)EW Beth De wijsbegeerte der wiskunde van Parmenides tot Bolzano(Antwerpen Nijmegen 1944)EJ Dijksterhuis Vreemde woorden in de wiskunde (Groningen Batavia 1948)Les grands courants de la penseacutee matheacutematique preacutesenteacutes par F le Lionnais(Cahiers du Sud 1948)Een verzameling van korte monografieeumlnNaar andere boeken wordt aan het eind der hoofdstukken verwezenAI Markuchewitz Skizzen zur Geschichte der analytischen Funktionen (Berlin1955 uit het Russisch)HH Goldstine A History of the Calculus of Variations from the 17th throughthe 19th Century (New York etc 1980)E Caruccio Matematica e Logica nella Storia e nel Pensiero contemporaneo(Turijn 1958 Engelse vertaling Londen 1964)NI Styazhkin History of mathematical Logic from Leibniz to Peano (CambridgeMass 1960 uit het Russisch zie HM 2 (1975) 361-365H Tietze Geloumlste und ungeloumlste mathematische Probleme aus alter und neuerZeit (Muumlnchen 1949 2e ed Zuumlrich 1959)J Dieudonneacute Cours de Geacuteometrie analytique (Paris 1974) Het eerste deelis historischH Lebesgue Notice dHistoire desMatheacutematiques (Genegraveve 1959) Biografischeschetsen van Viegravete Vandermonde Jordan Borel Ampegravere Humbert RobervalRamusLE Maistrov Probability Theory a historical Sketch (New York Londen 1974uit het Russisch 1967)I Grattan-Guinness From the Calculus to Set Theory 1630-1910 (Londen1980) Een aantal artikelen van verschillende auteursNC Biggs Graph Theory 1736-1936 (Oxford 1976)A Glaser A History of binary and other non-decimal Numeration (SouthamptonPenns 1971)H Eves Great Moments in Mathematics 2 delen Mathem Ass of AmericaWashington DC (1980 81) Eerste deel voacuteoacuter 1650 tweede deel na 1650


302

A Weil Number Theory An Approach through History from Hammurapi toLegendre (Boston 1984 xv + 375 pp zie HMB (1986) 86-88) Heel wat overFermat en Euler

De geschiedenis der wiskunde wordt ook besproken in boeken over de geschiedenisder wis- en natuurkundige wetenschappen in het algemeen Het (op zekere hoogte)standaardwerk is

G Sarton Introduction to the History of Science (5 delenWashington-Baltimore1927-48)Dit werk voert ons echter slechts tot de veertiende eeuw maar aan iederepersoon van wetenschap wordt aandacht gewijd met bibliografieeumln Andereboeken van Sarton zijnThe Study of the History of Science with an Introductory Bibliography(Cambridge 1936)Horus A Guide to the History of Science (Waltham Mass 1952)

Verder[R Taton red] Histoire geacuteneacuterale des sciences Tome I La science antique etmeacutedieacutevale (des origines agrave 1450) (Paris 1957)Tome II La science moderne (de 1450 agrave 1800) (Paris 1958) Tome III InvoorbereidingHet Mathematisches Woumlrterbuch uitgegeven door de Deutsche Akademie derWissenschaften in Berlijn bevat ook vele bibliografische gegevens over degeschiedenis der wiskundeWT Sedgwick-HW Tyler A short History of Science (2e uitg - New York1939)Een schoolboekC Singer A short history of scientific ideas to 1900 (Oxford Un Press 1959)De algemene culturele rol van de wiskunde wordt besproken in M KlineMathematics in Western Culture (New York 1953)In het lsquoNational Mathematics Magazinersquo (Ver Staten) deel 13-19 (1939-45)zijn tien artikelen van GA Miller verschenenA first Lesson in the History of Mathematics A second Lesson enzMen kan ook de volgende tijdschriften raadplegenBibliotheca mathematica Reeks 1-3 (1884-1914)Archiv fuumlr Geschichte der Mathematik der Naturwissenschaften und der Technik(1909-31)Scripta mathematica (New York sinds 1932)Isis (sinds 1913)Revue dhistoire des sciences (sinds 1947)Archives internationales dhistoire des sciences (Parijs sinds 1947)Centaurus (Kopenhagen sinds 1950)NTM Zeitschrift fuumlr die Geschichte der Naturwissenschaften Technik undMedizin (sinds 1960)Physis (Florence sinds 1959)


303

Lychnos (Uppsala-Stockholm sinds 1936)Istoriko-Matematičeskie Issledovanija (Moskou sinds 1949)Archive for the History of Exact Sciences (sinds 1960) AHET)Annals of Science (sinds 1938)Historia mathematica (sinds 1974 HM)Bolletino di Storia delle Scienze Matematiche (sinds 1981)Annals of the History of Computers (sinds 1979)lsquoHistoria Mathematicarsquo (HM) en lsquoArchive for the History of Exact Sciencesrsquo(AHES) zijn voor de geschiedenis der wiskunde de belangrijkste HM bevatook veel personalia congresberichten en literatuuroverzichten lsquoIsisrsquo geeft afen toe een bibliografie over de gehele wetenschapsgeschiedenis De lezer vanlsquoMathematical Reviewsrsquo en van het lsquoZentralblatt zur Geschichte der Mathematikrsquoblijft op de hoogte van de literatuur Levensbeschrijvingen van de meestbekende wiskundigen vindt men in de veertien delen van het lsquoDictionary ofScientific Biographyrsquo (1970-80 deel 15 is de index) Korte verslagen in HMeschkovski Mathematiker Lexikon (Mannheim etc 3e uitg 1980) metportretten en uitvoerige bibliografie


305

Register

aardmagnetisme 195abacus 111Abbott EA 283Abel NH (1802-1829) 182 196 204 208 209 211 213 214 264Aboe-I-Wafa (940-998) 96Aboe Kāmil (ca 850-930) 99 100Academie Franse 141Achilles 56Ackermann W (1896-1962) 272Accediloka 41actueel oneindige 133 221Adalbold 8 108Adelard van Bath (1120) 109affiniteit 224aftellende meetkunde 225Agricola G (1494-1555) 130Ahmes-papyrus 30Aiken HH 293Albategnius zie Al-BattānīAl-Battānī (ca 850-929) 95 96Alberti LB (1404-1472) 115 130Al-Chwārizmī (ca 780-850) 93 94Alcuin van York (735-804) 90 107Alcuinus zie Alcuin van YorkAleksandrov PS 284Alexander de Grote (356-323 v Chr) 61Alexander JW (1888-1971) 268 290Alexandrieuml 63alfabet 47- Griekse 81Al-Fāzarī (gest ca 800) 91 93Alfonsinische tafels 99algebra (afkomst woord) 94algoritme 93Al-Haitham (965-1039) 80 99Alhazen zie Al-Haithamal-jabr 94Al-Karagi (Al-Karkī) (gest ca 1029) 96Al-Kashi (gest ca 1430) 102Almagest 72 75 88 95Al-Mamoen (786-833) 93Al-Uglīdīsī 98Al-Zarqāli (ca 1029-1087) 99Ampegravere A-M (1775-1836) 200 230analog-computer 293analysis situs 90analytische meetkunde 136Anthonisz A (ca 1543-1620) 100Antigonos 62


Antonienen 73Apollonios (ca 262-190 v Chr) 50 62 69 70 95 136 138- raakprobleem van 70Aquino Thomas van (ca 1225-1274) 112Arago F (1786-1855) 187Archibald RC (1875-1955) 13 278Archimedes (ca 287-212 v Chr) 12 50 59 60 63 66-69 78 81 95 100130-132 140 143Archytas van Taras (ca 400-360 v Chr) 53 58 62Aristarchos van Samos (280-260 v Chr) 71


306

Aristoteles (384-322 v Chr) 55-57 112 131 133 136 236arithmos 80 271Aronhold SH (1819-1884) 232 237Artin E (1898-1962) 260 270 292Āryabhata (gest 476) 88 89Arzaquiel zie Al-ZarqāliAscher M 23Ascher R 23Augustinus (350-430) 112 220Azteken 22

Babbage Ch (1792-1871) 230 292Bacon F (1561-1626) 133Baire L-R (1874-1932) 262Bakshāli-manuscript 91Balzac H de (1799-1850) 206 209Banach S (1892-1945) 262 285 286band van Moumlbius 224Barrow I (1630-1677) 138 139 148 154Bartels JM 228Bayes Th (gest 1763) 186Beeckman I 10Bell ET 12 13Beltrami E (1835-1900) 245 280Berkeley G (1685-1753) 57 151 156 173 226Bernays P 272 274 280Bernoulli D (1700-1782) 161 164 177 178 202Bernoulli getallen van 178Bernoulli Jakob (1654-1705) 152 154 161-163 175 186 284Bernoulli Johann (1667-1748) 9 152 154-155 161-163 165 175 186Bernoulli N (I) (1687-1759) 176Bernoulli N (II) (1695-1726) 164 165Bernstein F 280Bernstein S (1880-1968) 285Berzolari L 255Betti E (1823-1892) 245Bhāskara(1114-ca 1185) 89Bianchi L (1856-1928) 286Bienzeno 279Bierens de Haan D 9 241 287Biermann KR 13bikwadraatresten 195Biot J-B (1774-1862) 199biquaternionen 233 235Biringuccio V 130Birkhoff G 290Birkhoff GD (1884-1944) 267 289 290 291Bliss GA 291Bochenski IM 236Boek der Veranderingen zie I-ChingBoeumlthius AMS (ca 480-524) 105 106 107 113


Bohr H (1887-1951) 289Bohr N 289Boltzmann LE 231 258Bolyai F (1775-1856) 227 228Bolyai J (1802-1860) 226 227 239Bolzano B (1781-1848) 113 204Bombelli R (1526-ca 1572) 118 122 208Boole G (1815-1864) 236 274 275Borel FEJE (1871-1956) 256 261 266Born M (1882-1970) 280Boscovich AE 8Bosmans H (1852-1948) 10Bosscha J 287Bottazzini U 8Bourbaki N 12 281Bowditch N (1779-1838) 185 230 235


307

brachistochroon 163Bradwardinnus Th (ca 1290-1349) 113Brahe T (1546-1601) 119 124 131Brahmagupta (625) 88 89 90Bracirchmicirc-getallen 41Brauer R 270brekingswet 124Brianchon ChJ 221Briggs H (1561-1631) 123 124Brioschi F (1824-1897) 245Brocard P 277Broglie L de 281Brouwer LEJ (1881-1961) 9 256 257 268 272 273 284 287bruggeprobleem van Koningsbergen 169Bruns H (1848-1919) 212Buffon Comte de (1707-1783) 179Burali Forti C (1861-1931) 57 220Burger D 283Burgers 279Buumlrgi J 124Bush V (1890-1974) 292Byron AL 292

Cajori F (1859-1930) 8 13 267Cantor G (1845-1918) 112 113 192 205 217 219 220 236 254 257 261267 270 271Cantor M (1829-1920) 10 241Caratheacuteodory C (1873-1950) 281Cardano H (1501-1576) 52 117 118 119 137Carleman T 289Carnap R 288Carnot L (1753-1823) 183 184 197Cartan E (1869-1951) 241 246 276 277 281 286 290Casorati F (1835-1890) 245Cassini J (1677-1756) 174Cassini JD (1625-1712) 174Cassini ovalen van 174Castelnuovo G 286casus irreducibilis 118Catharina II (1729-1796) 165Cauchy AL (1789-1857) 192 201 203 204 206-208 210 214Cavalieri B (1598-1647) 113 131 133 134 138 147Cayley A (1821-1895) 192 223 229 230 232 239 245Čebyšev PL (1821-1894) 8 11 283 284 285Čech E 290Ceulen L van 98 121Chasles M (1793-1880) 223 224 225 241Chacirctelet Mme Du (1706-1749) 174Chin Chioe-Shao (13e eeuw) 101Chiu Chang Suan Ching 42Choe Chioe-Shao (ca 1300) 101


Chou Pei 42Christoffel EB (1829-1900) 246chronometer 143Clairaut AC (1713-1765) 161 176 180 185 211Clebsch A (1833-1872) 232 237 245Clifford WK (1845-1879) 235Commandino F (1509-1575) 130complexe getallen 118 195complexe functies 203 204computer 292 293Condorcet Marquis de (1743-1794) 179


308

constante van Euler 169contacttransformaties 212continuiumlteit 221continuuumlm 219 257contravariant 233Coolidge JL (1873-1954) 270 274 291Copernicus N (1473-1543) 116 119 131Coriolis G-G (1792-1843) 200Corput JG van der 9 277 287Coss 118 119Courant R (1888-1972) 280 283 292covariant 233Cramer G (1704-1752) 180 210Cramer paradox van 180Crelle AL (1780-1855) 209Cremona L (1830-1903) 245Curie Mme 281cycloiumlde 133 139 142 154 163

DAlembert J Le Rond (1717-1783) 161 164 171 172 176 178 181183-185 192 193 197 202 203 205 214DOcagne M 259 278Dantzig D van 287Darboux G (1842-1917) 241 243 253decimale positiestelsel 90 91 100decimale breuken 122 123Decker E de (ca 1630) 123 124Dedekind R (1831-1916) 59 217 218 219Demokritos (ca 460-370 v Chr) 53 60 61demos 48Denjoy A 262Desargues G (1593-1662) 140 143 145 147 221Descartes R (1596-1650) 9 12 122 133-135 137-140 142 147 152 174determinanten 210dichotomie 56Dickson LE 267 278Diderot D (1713-1784) 176 177Dieudonneacute J 7differenttaalmeetkunde 199Dijksterhuis EJ 10 13Diofantos (ca 250) 12 74 76 77 89 96 120 143dipylon vazen 20Dirac PAM 282Dirichlet PG Lejeune 196 203 212 214 240 289driedeling van een hoek 52 78driehoek van Pascal 163drielichamenprobleem 169 185dualiteit 221Dupin Ch (1784-1873) 199 200Duumlrer A (1471-1528) 115 116


e 242Ecole Polytechnique 198Eddington AS 276Eels WC 17Egorov DT 284eigenwaarden 265eikonal 212Einstein A (1879-1955) 175 215 232 275 276 286 291Eisenhart Pf 290elektromagnetisme 200elementaire delers 233elliptische functies 196 197 209 210Enestroumlm G (1852-1923) 165 241Engel F (1861-1941) 241ENIAC-computer 293Enriques F (1871-1946) 7 286Erasmus (1469-1536) 162Eratosthenes (ca 276-196 v Chr) 60 131


309

lsquoErlanger programrsquo 238Escher MC 20etnowiskunde 23 289Etrusken 54Eudoxos (ca 408-355 v Chr) 58 59 62 67 71 140 204 205Euklides (ca 300 v Chr) 12 50 51 59 60 62-65 67 80 94 95 97 115194 197Euler constante van 169Euler JA 165Euler L (1707-1783) 12 68 88 118 124 143 161 164 165 168 170-172174 175 177 178 180 181 184 187 192 193 198 202 214 230 258289exhaustie 58 59 140existentiebewijs 206

Faraday 232Fedorov ES von 259Fehr H 278Fejeacuter L (1880-1959) 266 288Fermat P (1601-1665) 12 78 137-140 143 144 168 169 175 178 218258Ferrari L (1522-1565) 117 118Ferro Scipio del (ca 1465-1526) 115 117Feuerbach KW 277Fibonacci getallen van 110Fibonacci zie Leonardo van PisaFischer E (1875-1954) 265Fitzgerald E (1809-1883) 96Flexner A 290fluxies 148 149 173 180fonctionelle 254 264fonctions geacuteneacuteratrices 186Foumlppl A 276formalisme 272formalisten 220Fourier J (1768-1830) 177 192 201-204 212 213 289Fourier reeksen van 203 204 213 289Fowler RH 282Fraenkel A 271Francesca P della (ca 1414-1492) 115 116Frank E 50 53Franse Revolutie 191Freacutechet RM (1878-1973) 262 266Frederik de Grote (1712-1786) 165 181Fredholm I (1866-1927) 265Frege G (1848-1925) 236Fresnel A (1788-1827) 200Freudenthal H 288Frisius G 9Frobenius G (1848-1917) 217 234 246Fubini G 287


Fuchs functies van 244functie 213functies elliptische 197- van Fuchs 244functionaaldeterminant 210

Galilei G (1564-1642) 129 130 132 133 138 143Galois E (1811-1832) 182 206-208 269gammafunctie 168gastheorie kinetische 164Gauss CF (1777-1855) 12 165 178 188 192 193 202 204 207 208 209213 216 226 228 231 240256Gauss getallentheorie 213Gelfond AO (1906-1968) 260 285general analysis 267geodesie 195geografische lengte(bepaling op zee) 143Gerbert (ca 940-1003) 8 107Gergonne JD (1771-1859) 221gesyncopeerde algebra 78getallen


310

- Bracirchmicirc- 41- complexe 118 195- ideale 144 218- imaginaire 118Gherardo van Cremona (1175) 109Gibbs JW (1893-1903) 231 234 276Gilberts W 119Girard A (ca 1590-1623) 193gobar 92Goumldel K 271 273 288 289Goldbach Ch (1690-1764) 258 281 285goniometrie 165Gordan P (1837-1912) 237 259 269Goursat E (1850-1936) 243Grace JH 283grafostatica 245Grandi G (1671-1742) 172Grassmann H (1809-1877) 228 229 246 274 276Gravelaar NLWH 9 241Green G (1793-1841) 185 230 231 265Gregory J (1638-1675) 90Griekse alfabet 81Grimm J (1785-1863) 18groepentheorie 207gulden snede 116Guldin P (1577-1643) 131 140Gutenberg J (ca 1394-1468) 114

Haaftens M van 9Hachette JNP (1769-1834) 199Hadamard J (1865-1963) 241 253 254 264 266Hahn H (1879-1934) 288halfregelmatige lichamen 78Halley E (1656-1742) 145 151 173Hallstadt-periode 19Hambidge J 289Hamilton W (1788-1856) 211Hamilton WR (1805-1865) 175 185 202 211 218 230 274Hammurabi (ca 2100 v Chr) 36 54Han-dynastie (207 v Chr-220 n Chr) 42 73 100Hankel H 236Hardy GH (1877-1947) 221 277 281 282 285harpedonaptai 19 34Hastings Moore E 267Hausdorff F (1868-1942) 256 263 284Heath TL (1861-1940) 50Heaviside O (1805-1925) 186 234 253 276Hegira 87Heiberg JL 60Heine-Borel theorema van 261Heisenberg WK (1901-1976) 280


Helmholtz H von (1821-1894) 231 239 240Hensel K 269Herglotz G 280Hermite Ch (1822-1901) 241 242 258Heroon (ca 75) 74 76 81 129Herschel JFW (1792-1871) 230hexagramma-mysticum 145Heyting A 273Hilbert D (1862-1943) 182 196 205 213 218 238 241 247 248 253255-260 264 265 269 272 274 278 283 285 289 291Hindoe-Arabische getallen 111 116 121 124Hinton CH 275Hippokrates van Chios (ca 440 v Chr) 51Hlavaty V 290


311

Hollerith H 292Homerische helden 22homologie 268Hooke wet van 143Horner WG (1786-1837) 98 101Hudde J (1633-1704) 9 139Hurewicz V 292Hurwitz A 254Huygens Ch (1629-1695) 9 69 138 141-143 145 152 162 163 178 241hydrodynamica 164Hypatia (ca 370-415) 79hypergeometrische reeks 194Hypparchos van Nicaea 72

I-Ching 42ideale getallen 144 218imaginaire getallen 118Incas 21 22intuiumltionisme 220 272invariant 233ionosfeer 254isochroon 163isoperimetrische figuren 78isoperimetrische vraag-stukken 222

Jacobi CGJ (1804-1851) 12 192 196 202 207 209 211 233 246 256Jacquard J-M 292Jainisme 41Joesjkewitsj AP 13 102 171Joffe SA 13Jordan C (1838-1922) 207 238 261Julia G 281Justinianus (483-565) 79

Kagan VF (1869-1953) 285Kant I (1724-1804) 185 228Kapteyn JC 287Karpinski LC (1878-1956) 94Kaumlstner AG 228Kawaguchi A 289Kelten 17Kelvin Lord (W Thomson)(1824-1907) 231Kennelly A 253Kepler J (1571-1630) 7 52 60 99 119 124 131 132 148kettinglijn 142 162keuze-axioma 271Khayyam O (ca 1050-1130) 92 96 97 98 226Kidinnu (Kidenas) (3e of 2e eeuw v Chr) 75kinetische gastheorie 164Kingsley Ch (1819-1875) 79Kirchhoff GR 214 231


Klaudius Ptolemaios zie PtolemaiosKlein F (1849-1925) 8 13 192 196 207 229 238 240 241 245 254 257266 278 292kleinste kwadraten 197Kluyver JC 9 243 287knopen theorie der 90Koebe P 266Kolmogorov AN (1903-) 264 284 285Koumlnig S (1712-1757) 175 176Koningsbergen bruggeprobleem van 169Korteweg DJ 9 241 268 287Kowalewskaja S 283 289Kronecker L (1823-1891) 217-220 236 258Kummer ED (1810-1893) 217 218 144Kuratowski K 285kwadraatresten 195kwadraten kleinste 194 197kwadratuur van de cirkel 52 78Kyeser K (1405) 130

LHospital G-F-A (1661-1704) 138 155Lacroix SF (1765-1843) 198 230


312

Lagrange J-L (1736-1813) 161 165 174 175 180-185 187 193 197200-202 205 208 210 217Lalande JJ de 9Lambert JH (1728-1777) 161 226 242Lameacute G (1795-1871) 237Landau E (1877-1938) 277Landen J 173 179Langevin P 281Laplace P-S (1749-1827) 12 161 165 170 179 184 185 194 197 202206 211 230 231 235 244 264Laplace-transformatie 186Laurent PMH (1813-1854) 204Lavoisier AL (1743-1794) 200Lebesgue H (1875-1941) 205 215 220 256 262 263 266Lebesgue-integraal 262Lefschetz S (1884-1972) 268 290Legendre A-M (1752-1833) 186 192 194 196-198 226 266 274Leibniz GW (1646-1716) 90 118 121 134 136 140 142 143 147-148152 161-162 175 179 192 210 234 236 292lemniscaat 163Lemoine E 277Leonardo da Vinci (1452-1519) 115 116 130Leonardo van Pisa (ca 1180-1250) 109 114 115Leukippos (ca 500 v Chr) 53 60Levi-Civita T (1873-1941) 246 275 286 290Leacutevy P 281Lie MS (1842-1899) 207 238 239 240 241lijnencongruentie 211 218limiet 148 172Lincei Accademia dei 141Lindemann F (1852-1939) 238 242 258Lionnais F le 12Liouville J (1809-1882) 207 242 264Lipschitz R (1832-1903) 246Listing JB (1808-1882) 214Littlewood JE (1885-1977) 277 281 285Liu Hui (ca 260 n Chr) 100Ljapoenov AM 8 283 284Ljoesternik PA 284Lobačevskiǐ NI (1793-1856) 196 226 239 283 285Loezin NN (1883-1950) 262 284logaritmen 122logaritmische kromme 142logaritmische spiraal 163logica symbolische 152logistica 80logistica speciosa 121logistici 220logistiek 273logos 54Lorentz HA (1853-1928) 232 287


Loria G 7 287loxodrome 124Luik F van 8 108lunulae 51Luria S 60

maantheorie 148 169 176 185Maclaurin C (1698-1746) 180 181Maclaurin reeks van 180Mahāvirā (850) 89Malus E (1775-1812) 200Mannoury G 287Marco Polo (ca 1254-1324) 101Markov AA (1856-1922) 283


313

Markov-ketens 284Marx K (1818-1883) 172Massau J 259mathematische fysica 202Maupertuis PLM de (1698-1759) 161 175 176 211Maurits van Oranje (1567-1879) 122Maxwell JC (1831-1879) 188 231 232Mayas 17 21 22 43mechanisch materialisme (18e eeuw) 186mechanistische filosofie 136Menelaos (ca 100) 76lsquoMengenlehrersquo 219Menger K 288Mercator G (1512-1594) 119 124Mercatorprojectie 124Meacutereacute GB Chevalier de (1610-1685) 144Mersenne getallen van 140Mersenne M (1588-1648) 10 140metamathematica 272Metius A 100Middelburg P van 7Mikami Y (1875-1950) 42Miller GA (1863-1951) 18Minkowski H (1864-1909) 253 258 260 269 276 278Minoiumlsche-Myceense cultuur 21Mises R von 279 292Mittag-Leffler G 289Moumlbius AF (1790-1868) 214 222 223 224Moumlbius band van 224Moerbeke W van 8Moivre A de 178 179Monge G (1746-1818) 184 195 197 199 201 220 225Montucla J-E 241Moore CLE 267 274Moore EH (1862-1932) 267 291Moore RL (1882-1974) 267Morgan A de 177 236Morgenstern O 291Morley F 277Morse HM 291Moskouse Papyrus 31Museum van Alexandrieuml 63

naaldprobleem 179Napier J (1550-1617) 122 123Napoleon I (1769-1821) 185 198Nasīr-al-dīn at Toesi (Nasir-Eddin)(1201-1274) 98 114 115 226natuurwetten 68Navier LMH (1785-1836) 203Needham J 42negatieve getallen 100 118


Negen hoofdstukken over de kunst der wiskunde zie Chiu Chang Suan ChingNeo-Pythagoreeeumlrs 92Neolithicum 15 16Nestor 22Neugebauer O 13 30 292Neumann J von 280 291nevelhypothese 185Newton I (1642-1727) 52 138 140 142 143 147-148 150-152 172-175179 183 188 230niet-euklidische meetkunde 196 197 215 245Nieuwentijt B (1654-1718) 156Nikomachos (100) 74 106Nīlakantha (ca 1500) 90Noether E (1882-1935) 269 280 292Noether M 269nomografie 259nulsysteem 90 91 224

Oersted H Ch (1777-1851) 230


314

Oldenburg H 151orbiforme krommen 169Oresme N (1323-1382) 137Origines (ca 185-254) 112Osgood WE (1864-1943) 292Ostrogradskiǐ MV (1801-1861) 283Oudere Stenen Tijdperk 18ovalen van Cassini 174

Pacioli L (1445-ca 1514) 116Painleveacute P (1863-1933) 266 267Paleolithicum 15Paley R 291Pappos(ca 320) 121 136Papyrus Rhind 30 31 32paradox van Cramer 180paradoxen 57 271parallellenaxioma 97 226 228Parmenides (ca 500 v Chr) 55partitio numerorum 168Pascal B (1623-1662) 139 140 145 178 292Pascal driehoek van 101 145 163Pascal Ernesto 255Pascal Etienne (1588-1651) 145Pasch M (1843-1930) 247 274Pauli W (1900-1958) 280Peacock G (1791-1858) 230 236Peano G (1858-1932) 254 255 263Peirce B (1809-1880) 234 235Peirce ChS (1839-1914) 235Pell J (1611-1685) 69pentagram 20Pestalozzi JH (1746-1827) 222Peurbach G (1423-1461) 114Pfaff JF 193 229 246pi(π) 37 41 68 99 100 121 218 242Piazzi G (1746-1826) 194Picard E (1856-1941) 243 255Pincherle S 279Pirenne H (1862-1935) 106Pitiscus B (1561-1613) 120planetoiumlde 194Platland 283Plato (429-348) 51 57 58 112 119 132 219 225Plato van Tivoli (ca 1150) 109Platonici 136Platonische lichamen 240Pluumlcker J (1801-1868) 222 224 225 229Plutarchus (ca 50-100) 67Poincareacute H (1854-1912) 192 240 243 244 257 266Poinsot L (1777-1859) 200 201


Poisson S-D (1781-1840) 144 179 201 202 211 230polis 48Polyaacute G 292Polybius 67polytopen 229 275Poncelet V (1788-1867) 200 201 220 225 272poolcooumlrdinaten 162potentiaaltheorie 148 176 185Prager W 7Prandtl L 254 280precessie 72priemgetallen 216Pringsheim A (1850-1941) 270problegraveme des partis 145projectieve meetkunde 201Proklos (ca 410-485) 79Ptolemaios (ca 85-165) 61 63 72 74 75 95 113 137 226Pythagoras (ca 580-500 v Chr) 34 37 40 52 54 64 80- theorema van 37 40Pythagoreeeumlrs 52 53 54 74Pythagoreiumlsche drietallen 37

quadrivium 106


315

quaternionen 212 233 234quipa 22

Rademacher H (1892-1969) 292radix 94Ramanujan S (1887-1920) 281 282ratio 54Rayleigh JWS 231Rechenhaftigkeit 113 119 129reciprociteitswet 169 194 197regelmatige lichamen 66 67 78Regiomontanus 114 115Reid Th 226rekenmachine 145 152retorische algebra 78Reye KT (1837-1919) 223Reymond PD 261Rhaeticus GJ (1514-1576) 119Rhind AH (1833-1863) 30Rhind Papyrus zie Papyrus RhindRicci M (1552-1610) 102Ricci-Curbastro G (1853-1925) 246 275Riemann B (1826-1866) 12 170 203 208 213 228 229 233 235 239240 245 246 262 285Riemann-integraal 215Riesz F (1880-1956) 265 288Robert van Chester (ca 1150) 109Roberval GP de (1602-1675) 11rodoneeeumln 172Romantiek 191Romein J 256Roomen A van (1561-1615) 120 124Rouse Ball W 8Royal Society 141Rubaiyat 96Ruffini P (1765-1822) 182 207 208lsquoRunderprobleemrsquo 69Runge CDT (1856-1927) 280Russell B (1872-1970) 57 220 236 255 256 257 264 267 271 273 274

Saccheri G 226Saint Venant B de (1797-1886) 237Saint Vincent G de (1584-1667) 9 59 140 156Salmon G (1819-1914) 232 233Santillana G de 286Sassanieden 92Scaacutesz O 292Scheffers G (1866-1945) 241Schickard W 145 292Schlick M 288Schmidt E (1876-1959) 265 280


Schmidt O 270Schoenfliesz A 259 261Schooten F van 9 138 142 145Schoute PH 9 229 275 287Schouten JA 9 275 277 287Schroumlder E (1841-1902) 254Schroumldinger E 282Schubert H (1848-1911) 225Schur I (1875-1941) 280Schwartz HA (1843-1921) 11Sēbōkht S (ca 650) 91Segre C (1863-1924) 274Seki Kōwa (Seki Takakusu) (1624-1708) 102 210Seleuciden 62 63semantiek 271 288Serret-Frenet formules van 242Severi F 286Shannon CE (1916-) 291 293Sheacute Hunag Di (ca 213 v Chr) 30


316

Siddhāntās 88 93 94Sierpinski W (1882-1969) 256 284 286significa 287Simplicio 133sinus 95Skolem ThA (1887-1963) 271 289sluitingsprobleem 201Smith A (1723-1790) 16Smith DE 8snaarprobleem 164Snellius W (1580-1626) 9 124 154Soemerieumlrs 35 36Soeng-dynastie (960-1279) 101sofisten 50 52Sombart W (1863-1941) 113Sothische periode 35Speiser A 21 289speltheorie 291Spinoza B (1632-1677) 151 156spiraal logaritmische 163Staudt KCh von (1798-1867) 222 224 232Steiner J (1796-1863) 192 222Steinhaus H 286Steinitz E (1871-1928) 269 270Steinmetz ChP 253Stevin S (1546-1620) 8 64 78 80 118 121-123 130 133 143Stieltjes ThJ (1856-1894) 242 287Stifel M 119Stirling J (1692-1770) 178 179Stokes GG (1819-1903) 231Stone MH (1903-) 291Stonehenge 23 34Strabbe AB 9Study E (1862-1930) 225 234 275Sūlvasūtras 41Sundman KF 260sūnya (nul) 90Sūrya Siddhāntā 88swastika 20Swedenoorg E (1688-1772) 185Sylvester II zie GerbertSylvester JJ (1814-1897) 210 232 233symbolische algebra 78symbolische logica 152Szoumlkafnalvy-Nagy B 265

Tacquet A (1612-1660) 9 113 140Tait PG (1831-1901) 234Takagi T 289Tamarkin JD 292Tannery P (1843-1904) 10 50 56 241


Tarski A (1902-) 285Tartaglia N (1500-1557) 117 130Tauber A (1866-1942) 291tautochroon 142 163Taylor B (1685-1731) 164 168 177 180 181 183Taylor reeksen van 180 183 203-205Tennyson A (1809-1892) 43tensor 229 246 275 277tessaract 275Thales van Milete (ca 626-545 v Chr) 49Theaitetos (ca 415-368 v Chr) 58 67Theon van Alexandrieuml 79Thureau Dangin F 30Titchmarsh EC 282Toledaanse planetentafels 99topologie 214Torricelli E (1608-1647) 131 133 134 138tovervierkanten 169traagheidswet 233tractrix 142


317

transfiniete kardinaalgetallen 219trigonometrie 114trillende snaar 164trivium 106Tsoe Chhung-Chih (430-501) 100Turing AM 293

Urysohn PS (1898-1924) 284

Vacca G 7Valerio L (1552-1618) 130 150Valleacutee Poussin Ch de la (1866-1962) 266variatierekening 217 281Vasari G (1511-1574) 115Veblen O (1880-1960) 267 268 278 290vectoren 229 234Verlichting 174 179Veronese G 274Versluys J 10Vesalius A 119Viegravete F (1540-1603) 78 98 120-122 137 208Vinogradov IM 285Vitruvius 67Vlacq A (ca 1600-1667) 123Voigt W (1850-1919) 245 276volledige inductie 147Vollgraff JA 7 10 241 287Voltaire FMA (1694-1778) 175Volterra V (1860-1940) 245 253 264 278Voronoī GE 277 284Vossius GJ (1577-1649) 9Vries J de 259vrijheidsgraad 229

Waard C de 10Waerden BRL van der 259 270 288Wallis J (1616-1703) 98 138 139 141-143 147 149Wang Hsiao Thung (begin 7e eeuw) 100Waring E (1734-1798) 182 280 281 285warmtetheorie 202Watson GN 282Weber H (1842-1913) 218 269Weber W (1804-1891) 196Weber-Wellstein 255Weierstrass K (1815-1897) 59 204-206 215-217 219 241 285 289Weil A 292Wellstein J 269Weyl H (1885-1955) 264 265 272 290-292Whitehead AN (1861-1947) 236 255 256 264 273 274Whitehead JHC 290Whittaker ET 282


Wiener N (1894-1964) 263 288 291 293Wiener Kreis 288Wilczynski EJ 287 291Wilson EB 276Witt J de (1625-1672) 9 138 145Wittgenstein L (1889-1951) 288Woepcke FW 73 92Woodhouse R (177-1827) 230Wright E (1558-1615) 124

Yang Hui (ca 1260) 101Yano K 289Young A (1873-1940) 283Young GCh 283Young JW (1879-1932) 283Young L 283Young WH (1863-1942) 282

Zeno van Elea (ca 450 v Chr) 55 56 57 156 172 206Zenodorus 78Zermelo E (1871-1953) 270


318

zegravetafunctie 168 216 258Zeuthen HG (1839-1920) 50 225zeventienhoek 194 197Zuse K 292


319

Over de auteur

Dirk Jan Struik werd geboren in 1894 in Rotterdam waar hij ook de Hogere BurgerSchool (HBS) bezocht gedurende de jaren 1906-1911 Na zijn HBS-tijd ging hijstuderen aan de Leidse Universiteit nadat hij eerst een jaar priveacute-lessen in Grieksen Latijn had gevolgd In Leiden kreeg hij algebra en analyse van JC Kluyvermeetkunde van P Zeeman (een neef van de beroemde Zeeman van hetZeeman-effect) en natuurkunde van Paul Ehrenfest Na zijn afstuderen werd hijleraar aan de HBS in Alkmaar maar na een jaar vertrok hij weer naar Delft waar hijzeven jaar de assistent was van JA Schouten een van de grondleggers van detensorrekening Hun samenwerking leidde tot Struiks proefschrift Grundzuumlge dermehrdimensionalen Differentialgeometrie in direkter darstellung uitgegeven doorSpringer in 1922 en vele andere werken in de daaropvolgende jarenVan 1923 tot 1925 ontving Struik een stipendium de Rockefeller Fellowship wat

hem in staat stelde te gaan studeren in Rome en het jaar daarop in Goumlttingen Indeze jaren ontmoetten hij en zijn vrouw Ruth die bij Gerhard Kowalewski in Praagwas gepromoveerd vele vooraanstaande wiskundigen uit die tijd zoals Levi-CivitaVolterra Hilbert Landau en anderen In Goumlttingen raakte hij bevriend met NorbertWiener die hem voorstelde om zijn collega aan het MIT in de Verenigde Staten teworden hetgeen hij in 1926 daadwerkelijk werd Hij bleef tot aan zijn pensioneringaan het MIT verbonden alleen onderbroken door een periode van vijf jaar gedurendehet McCarthy-tijdperk toen hij ervan beschuldigd werd betrokken te zijn bijsubversieve activiteiten Hij heeft ook gastcolleges gegeven in Mexico Costa RicaPuerto Rico en BrazilieumlBehalve door zijn studies op het terrein van de differentiaalmeetkunde en de

tensoranalyse is Dirk Jan Struik internationaal bekend om zijn werk op het terreinvan de geschiedenis van de wiskunde en de natuurwetenschappen Zijn ConciseHistory of Mathematics - waaraan nu dus een hoofdstuk over de eerste helft van detwintigste eeuw is toegevoegd - beleefde vele herdrukken en is in minstens zestientalen vertaald Zijn Yankee Science in the Making een klassieke verhandeling overwetenschap en techniek


320

in het koloniale Nieuw-Engeland wordt door velen beschouwd als een modelstudievan de economische en sociale achtergronden van een wetenschappelijke cultuurAls een van de oprichters van het tijdschrift Science and Society was Dirk Jan Struikeen van de meest vooraanstaande exponenten van de marxistische benaderingvan de historische analyse van de wiskunde en de natuurwetenschappen


6

Voor Ruth en Rebekka


7






8






9








10







11






12









13




1948


15

I Het begin

1





16



2



17








18




3





19









20




4






21



5


6



1 A Speiser lc p 36


22





23




7



24


Literatuur







25







27

II Het oude Oosten

1




28





29


2





30






31


3




32


222444888



(dus ⅖ = ⅓ +115)

1535n =

284753123636597766795697




33









34





35

4




36



5




37







38









39



+ (12x)2 = 252 of (uit de tabel) 12x = 6







40


6


7



41



Ook π = 18 (3 - 2radic2) (= 3088)




42

8



294753618




43





39=z+2y+3x34=z+3y+2x26=3z+2y+x





44



Literatuur



45


Bovendien





46


In het Russisch





Verder nog




47

III Griekenland




48





49


2





50


3




51






52






4




53






54








55




56








57



5






58







59







60






61



6




62





63


7




64




65



66







67



8







68






69




9





70




10





71





72



11




73




74



12



75






76








77

13






78


14





79






80


15






81





82



Literatuur




83






84







85





87





88


2






89






90



3






91






92





4





93







94









95


5






96



6







97


and dead Yesterday





98







99







7



100








101








102




Literatuur







103




104



105


1






106







107


2






108


3





109



4



110







111





112

5






113





6





114






115


7





116









117









118











119

8






120


de waarde






121






122


9





123



2







124






125

Literatuur







126






127



129






130






131



2





132





133


654321362516941






134




3



135



136





137






138



4



139







140








141



5




142



143



6




144







145






146



147



7





148





149





y3 - 3y2ẏo - 3yẏoẏo - ẏ3o3 = 0



150









151







152

8



153



154






155







156


Literatuur





157







158




159





160









161






162


2





163



3





164




4


1


165





166



167


168






Monthly 66 (1959) 849-869


169









170



5




171









172






173






174


6




175








176



7






177





178





179



8




180






181



10




182






183








184



11





185







186









187

12






188


Literatuur





189





190



191


1






192





193


2





194



3



195





196



4



197




5



198





199


6





200




201






202






203



7




204





205








206



8



207





208



9





209





10




210






211


11



212





12




213



2 + vy2 + vz


13




214






215






216





14





217




15




218




219






220



16





221







222






223




17






224





225



18





226





227








228






229





230

19





231





232


20




233





21



234





235






236





237

22




238


23






239






240





241



24




242





243




25



244



26




245






246






247

27







248


Literatuur




249



250



251



252




253


1




254






255








256






2



257








258













259












260










261


3







262






263









264


4





265








266






267


5





268




6



269






270







271






272







273









274



8




275








276






277




9






278



10






279






280

11






281


12





282







283



13




284








285








286



Continu (1934)

14





287









288








289







290


15






291








292



16





293



Literatuur






294





295




297

Literatuuroverzicht









298



299






300






301



302






303



305

Register





306






307






308






309







310






311









312






313





Oersted H Ch (1777-1851) 230


314





quadrivium 106


315







316






317


Urysohn PS (1898-1924) 284








318



319

Over de auteur





320



7






8






9








10







11






12









13




1948


15

I Het begin

1





16



2



17








18




3





19









20




4






21



5


6



1 A Speiser lc p 36


22





23




7



24


Literatuur







25







27

II Het oude Oosten

1




28





29


2





30






31


3




32


222444888



(dus ⅖ = ⅓ +115)

1535n =

284753123636597766795697




33









34





35

4




36



5




37







38









39



+ (12x)2 = 252 of (uit de tabel) 12x = 6







40


6


7



41



Ook π = 18 (3 - 2radic2) (= 3088)




42

8



294753618




43





39=z+2y+3x34=z+3y+2x26=3z+2y+x





44



Literatuur



45


Bovendien





46


In het Russisch





Verder nog




47

III Griekenland




48





49


2





50


3




51






52






4




53






54








55




56








57



5






58







59







60






61



6




62





63


7




64




65



66







67



8







68






69




9





70




10





71





72



11




73




74



12



75






76








77

13






78


14





79






80


15






81





82



Literatuur




83






84







85





87





88


2






89






90



3






91






92





4





93







94









95


5






96



6







97


and dead Yesterday





98







99







7



100








101








102




Literatuur







103




104



105


1






106







107


2






108


3





109



4



110







111





112

5






113





6





114






115


7





116









117









118











119

8






120


de waarde






121






122


9





123



2







124






125

Literatuur







126






127



129






130






131



2





132





133


654321362516941






134




3



135



136





137






138



4



139







140








141



5




142



143



6




144







145






146



147



7





148





149





y3 - 3y2ẏo - 3yẏoẏo - ẏ3o3 = 0



150









151







152

8



153



154






155







156


Literatuur





157







158




159





160









161






162


2





163



3





164




4


1


165





166



167


168






Monthly 66 (1959) 849-869


169









170



5




171









172






173






174


6




175








176



7






177





178





179



8




180






181



10




182






183








184



11





185







186









187

12






188


Literatuur





189





190



191


1






192





193


2





194



3



195





196



4



197




5



198





199


6





200




201






202






203



7




204





205








206



8



207





208



9





209





10




210






211


11



212





12




213



2 + vy2 + vz


13




214






215






216





14





217




15




218




219






220



16





221







222






223




17






224





225



18





226





227








228






229





230

19





231





232


20




233





21



234





235






236





237

22




238


23






239






240





241



24




242





243




25



244



26




245






246






247

27







248


Literatuur




249



250



251



252




253


1




254






255








256






2



257








258













259












260










261


3







262






263









264


4





265








266






267


5





268




6



269






270







271






272







273









274



8




275








276






277




9






278



10






279






280

11






281


12





282







283



13




284








285








286



Continu (1934)

14





287









288








289







290


15






291








292



16





293



Literatuur






294





295




297

Literatuuroverzicht









298



299






300






301



302






303



305

Register





306






307






308






309







310






311









312






313





Oersted H Ch (1777-1851) 230


314





quadrivium 106


315







316






317


Urysohn PS (1898-1924) 284








318



319

Over de auteur





320



D.J.Struik - dbnl · 2016. 3. 7. · 8...

Documents

Transcript of D.J.Struik - dbnl · 2016. 3. 7. · 8...