Naam: Datum:

Nr.: Klas:

Werkbundel: DE PUNTSPIEGELING (een bijzondere draaiing) 1. InleidingGisteren stond er een prachtige boot aan de Graslei in Gent. Zo mooi dat ik er een foto van genomen heb. Toen ik de foto nadien op mijn computer plaatste zag deze er helemaal anders uit dan toen ik hem had getrokken. Blijkbaar had ik mijn camera omgekeerd gehouden. Hoe krijg ik deze foto opnieuw normaal? Hoe groot is de hoek die hiervoor nodig is?

Vul aan met + of Een draaiing in tegenwijzerzin noteren we als: Een draaiing in wijzerzin noteren we als:

Hebben we om deze foto normaal te krijgen, te maken met + of ?

2. Beeld van een punt door een puntspiegelingHiernaast is een punt O gegeven. - Neem een willekeurig punt van het vlak, verschillend van het punt O; noem dit punt X. - Teken het beeld X van het punt X door de draaiing r(O,180). - Teken het beeld X van het punt X door de draaiing r(O,-180). - Wat kun je zeggen van de beelden X en X van het punt X door de draaiingen r(O,180) en r(O,-180)? Vul de theorie op de volgende pagina aan.

.O

Omdat de beelden van een willekeurig punt X, verschillend van het punt O, door de draaiingen r(O,180) en r(O,-180) . zijn, zeggen we dat de draaiingen r(O,180) en r(O,-180) gelijke .. zijn en noteren we dat zo: . = r(O,-180) Een draaiing met centrum O over een hoek van 180 (-180) noemen we de ..met centrum ...... De puntspiegeling met centrum O duiden we aan met s o (lees: de puntspiegeling s met centrum O of de puntspiegeling s t.o.v. het punt O) We kunnen dus schrijven: so = r(O,180) = .

In de nevenstaande figuur zijn de beelden O, A, B en C van respectievelijk de punten O, A, B en C door de puntspiegeling so getekend. - Welke bijzondere plaats neemt het punt O op het lijnstuk [AA] in? - Is het punt O ook het midden van het lijnstuk [BB]? En van het lijnstuk [CC]? - Als X O en so (X) = X, wat is het punt O dan van het lijnstuk [XX]?

Om het beeld X van een punt X, verschillend van het punt O, door de puntspiegeling so te bepalen, kun je ook als volgt te werk gaan: Trek de rechte OX; Neem op de rechte OX het punt X zodat het punt O het midden is van het lijnstuk [XX]. X O

Opmerking: Het punt O wordt het centrum genoemd van de puntspiegeling so. Je zal dus goed moeten uitkijken of datgene wat na het symbool s (van spiegeling) staat een rechte is of een punt. In het eerste geval heb je een spiegeling, in het tweede geval een puntspiegeling.

3. Omgekeerde van een puntspiegeling

De omgekeerde relatie van een puntspiegeling is dezelfde/ een andere spiegeling. 4. Beeld van een rechte door een puntspiegelingTeken de rechte a en een centrum O (

a). Neem 2 verschillende punten A en B van a. Zoek A en B (respectievelijk de beelden van so(A) en so(B) ) en verbind deze punten.

Neem C AB. Zoek C. Met op dat C AB. Neem D AB. Zoek D. Merk op dat D AB. Dus: Elk punt C van AB heeft een beeld C dat ligt op de rechte AB. Elk punt D van AB is het beeld van een punt D dat op AB ligt. Het beeld van een rechte door een puntspiegeling is een rechte. Deze rechte loopt bovendien evenwijdig met de gegeven rechte.

Om het beeld van een rechte door een puntspiegeling met centrum O te bepalen is het voldoende het beeld te bepalen van 1 punt van deze rechte. Door dit punt tekenen we dan de evenwijdige aan de gegeven rechte. Gevolgen: Origineel halfrechte lijnstuk hoek driehoek vierhoek veelhoek Beeld door een puntspiegeling halfrechte lijnstuk hoek driehoek vierhoek veelhoek

Hoe zal je het centrum van een puntspiegeling moeten plaatsen opdat (geef alle mogelijke antwoorden): Een rechte op zichzelf wordt gespiegeld; Een halfrechte op zichzelf wordt gespiegeld; Een lijnstuk op zichzelf wordt gespiegeld? a. Het centrum kan elk punt op de rechte zijn. b. Er bestaat geen mogelijk centrum, een halfrechte kan niet op zichzelf worden gespiegeld. c. Het centrum kan zich enkel in het midden van het lijnstuk bevinden.

5. Eigenschappen

Wat stel je vast? We stellen vast dat de lengte van het oorspronkelijke lijnstuk even groot is als de lengte van zijn spiegelbeeld. Ook de grootte van de oorspronkelijke hoeken zijn spiegelbeeld zijn gelijk. Ten slotte is ook de oppervlakte van beide figuren even groot. Controleer de evenwijdigheid van de dragers van de zijden. Wat merk je op? AB // CD en AB // CD AD // BC en AD // BC

Elke puntspiegeling behoudt: - de lengte van een lijnstuk (of de afstand); - de grootte van een hoek; - de oppervlakte; - evenwijdigheid.

Gegeven: de figuur. Gevraagd: vul aan.-

-

sE (B) = H sD (G) = A sE (C) = G sE (p) = r sE (BF) = DH sF (I) = C sH (G) = I sE (I) = A sD (G) = A sE (FH) = BD

6. Oefeningen1. Gegeven is een parallellogram en O is het snijpunt van de diagonalen. Teken sO (ABCD)

2. Gegeven is een cirkel C(o,r) met middelpunt O en straal r. Teken So(o,r).

3.

7. Samenvatting