De kracht van wiskunde in muziekonderzoek

Aline Honingh∗

Institute for Logic, Language and Computation

Universiteit van Amsterdam

Science Park 904

Postbus 94242, 1090 GE Amsterdam

A.K.Honingh@uva.nl

Anja Volk

Department of Information and Computing Sciences

Universiteit Utrecht

Postbus 80089, 3508 TB Utrecht

Volk@cs.uu.nl

Samenvatting

Mathematische muziektheorie is een vakge-bied in opkomst. Muziek en wiskunde heb-ben een oeroude relatie (denk bijvoorbeeldaan Pythagoras, Euler, Kepler en Descartes),maar toch blijken er steeds meer elementenbinnen de muziektheorie te profiteren van eenwiskundige aanpak. In dit artikel beschrijvenwe een aantal voorbeelden van muziekgerela-teerd onderzoek waarbij een heel scala wiskun-dige technieken is gebruikt. Verder zullen weaandacht besteden aan de uitdagingen en pro-blemen die er in dit vakgebied zijn, en vooralkijken naar de kracht die wiskunde heeft bin-nen het muziekonderzoek.

1 Inleiding

Er zijn de laatste jaren een aantal artikelen in hettijdschrift Science verschenen op het gebied van ma-thematische muziektheorie [30, 56, 9, 23], en het tijd-

∗Dit artikel is geschreven terwijl de auteur werkzaam was inde ‘Music Informatics Research Group’ aan de ‘City UniversityLondon’.

schrift Nature heeft vorig jaar een serie essays ge-publiceerd met als titel ‘science and music’, hetgeenaangeeft dat er steeds meer algemene wetenschappe-lijke interesse is in dit vakgebied.

Mathematische muziektheorie is reeds lang een ac-tieve onderzoeksrichting, maar is wel altijd heel kleingebleven. Echter, daar lijkt nu verandering in te ko-men. Sinds twee jaar heeft het zelfs een eigen ‘lead-journal’, het Journal of Mathematics and Music, datzich specifiek richt op publicaties in dit vakgebied.Ook is er een organisatie opgericht, de Society for Ma-thematics and Computation in Music, speciaal voorde communicatie tussen onderzoekers en muzikantendie zich in het interdisciplinaire vakgebied begeventussen muziek, wiskunde en informatica. De societyorganiseert een twee-jaarlijkse conferentie die tot nutoe een groot succes is gebleken.

2 De relatie tussen wiskunde en

muziek

Veel muziekonderzoek maakt gebruikt van wiskun-dige technieken. De meeste mensen die aan de com-binatie van muziek en wiskunde denken, denken aan

1

de door Pythagoras ontdekte getalsverhoudingen vande intervallen, de kwint (3/2) en het octaaf (2/1); enaan de stemmingsproblematiek die daarmee gepaardgaat (zie onder andere [57, 6] voor meer informatiehierover). Er zijn echter veel meer verbanden tussenmuziek en wiskunde. We zullen zien dat wiskundekan helpen om muziek te analyseren. Ook zijn er wis-kundige modellen ontwikkeld die bijdragen aan onsbegrip van cognitieve aspecten van muziek of die eenmogelijke oorsprong van een bepaald muzikaal aspectvormgeven [13]. Wiskunde wordt soms ook gebruiktbij het componeren van muziek. De componist Ian-nis Xenakis heeft bijvoorbeeld een aantal composi-tietechnieken ontwikkeld gebaseerd op stochastischemethoden, en in het begin van de jaren 70 is in Frank-rijk de spectrale muziek ontstaan waarbij spectraleanalysen van geluid gebruikt worden om compositie-materiaal te ontwikkelen. Er zijn zelfs onderzoekennaar het gebruik van de Fibonacci serie en de guldensnede in muziek [38, 1, 32].

Hoewel wiskunde ook wordt gebruikt in onderzoeknaar geluid en akoestiek [55, 51, 41], zullen we ons indit artikel met name focussen op wiskunde in verbandmet muziektheorie en muziekcognitie welke veelal ge-baseerd zijn op de symbolische notatie van muziek.

Hieronder volgen twee voorbeelden van muziekge-relateerd onderzoek die ieder gebruik maken van eenander soort wiskunde, en ook die ieder een andersoort muziek-model beschrijven (iets waar we laterop in zullen gaan).

2.1 ‘Pitch class sets’

Voor de term ‘pitch class sets’ is nog geen Neder-landse naam bedacht, daarom wordt hier dus maar deEngelse term gebruikt. De pitch class set theorie is in1973 beschreven door Alan Forte [21]. Een pitch classis een getal tussen 0 en 11 en is een representatie vaneen toonhoogte. De pitch class 0 zou kunnen verwij-zen naar de toon C waarna pitch class 1 verwijst naarde toon C♯ of D♭, pitch class 2 naar de toon D en zoverder. Tussen twee opvolgende pitch classes zit dusaltijd een zogenaamde halve toonsafstand, de kleinsteafstand op een piano. De pitch class is behalve eenrepresentatie ook een abstractie van een toonhoogte.Bij pitch classes wordt namelijk geen rekening ge-

houden met octaven: als een C wordt aangeduid metpitch class 0 dan wordt de C die een (of meerdere)octaven hoger is ook aangeduid met pitch class 0.Verder houden pitch classes ook geen rekening methet verschil tussen zogenaamde enharmonisch equi-valente tonen, zoals C♯ of D♭ (voor uitleg hierover,zie bijvoorbeeld [28]). De keuze om 0 niet naar Cmaar naar een andere toon te laten verwijzen is ookmogelijk. Bij het pitch class ‘systeem’ kiest men duseen referentie toon, waarna de rest van de tonen vast-liggen. Een pitch class set is een groepje met pitchclasses waarbij geen herhalingen mogen voorkomen.De tonen serie C,D♭,G,C,A,G wordt bijvoorbeeldgerepresenteerd (als de keuze C = 0 wordt gemaakt)door de pitch class set (0, 1, 7, 9).

Pitch class sets hebben een aantal relaties met ato-nale muziek. Atonale muziek heeft, anders dan tonalemuziek, geen tonaal centrum, en daardoor zijn alletonen gelijkwaardig. Er is geen verschil tussen enhar-monisch equivalente noten, en bij bepaalde composi-tietechnieken (twaalftoonsmuziek) geldt octaaf equi-valentie en het verbod op herhalingen van een nootbinnen een serie noten. Een reeks noten uit een stukatonale muziek kan dus als pitch class set(s) gerepre-senteerd worden waarna het dmv Forte’s theorie gea-nalyseerd kan worden [50]. Tevens worden pitch classsets door sommige moderne componisten gebruikt ommuziek te componeren.

Forte beschrijft in zijn pitch class set theorie ver-scheidene operaties op een pitch class set. Een voor-beeld hiervan is ‘optelling’: een getal kan worden op-geteld bij alle elementen in de set. Dit komt over-een met transpositie van alle noten in de set. De set(0, 1, 4) kan bijvoorbeeld getransponeerd worden overeen grote terts (een afstand die overeen komt met 4eenheden in de pitch class representatie) en resulteertdan in de set (4, 5, 8). De muzikale betekenis vandeze operatie is direct duidelijk. Een akkoord of me-lodie kan getransponeerd worden over een bepaaldeafstand maar het resultaat is nog steeds herkenbaarals dat akkoord of die melodie. Deze ‘operatie’ wordtin zowel tonale als atonale muziek gebruikt. Denkmaar aan popmuziek, waarbij soms aan het eind vaneen nummer het refrein nog een keer wordt ingezet,maar dan beginnend op een noot die een halve toonhoger is. De noten zijn dan allemaal anders, maar de

2

melodie is nog steeds duidelijk herkenbaar en net zomakkelijk mee te zingen. Bij atonale muziek kan deongeordendheid van de pitch class set en het feit datin de pitch class set de herhalingen zijn weggelatenhet wel iets lastiger maken om een getransponeerdemelodie inderdaad te herkennen, maar voor bijvoor-beeld akkoorden levert dit nauwelijks problemen op.Naast transpositie zijn ook andere (en ingewikkel-dere) operaties mogelijk zoals ‘inversie’ (elke pitchclass wordt afgetrokken van een bepaald getal en ophet resultaat wordt de operatie modulo 12 toegepast)of zelfs ‘multiplicatie’ (elke pitch class wordt verme-nigvuldigd met een getal en op het resultaat wordtde operatie modulo 12 toegepast). Er is discussieover het feit of deze operaties herkenbaar zijn in demuziek voor de luisteraar, en ook of deze operatiesde werkwijze van de componist weergeven. Onder-zoek hiernaar geeft soms tegenstrijdige antwoorden[53, 48].

Bij een analyse van atonale muziek wordt de mu-ziek eerst opgedeeld in sets. Daarna wordt gekekenof verschillende sets gelijk aan elkaar zijn in termenvan pitch classes, en zo niet, of de sets wellicht gelijkaan elkaar zijn onder de verschillende equivalentiesen operaties. Net zoals het geval is bij de welbekendegetransponeerde melodie, zou zo’n analyse meer in-zicht kunnen verschaffen in de muziek. Op deze ma-nier zou structuur kunnen worden aangebracht in de,op het eerste gezicht soms, ongeordende atonale mu-ziek. De pitch class set theorie is tot op heden demeest gebruikte methode om atonale muziek te ana-lyseren. In figuur 1 wordt een voorbeeld gegeven vaneen compositie van Anton Webern die gebruik maaktvan pitch class sets als reeksen1 die door inversie aanelkaar gerelateerd zijn [64]. Tabel 1 laat hierbij zienwelke pitch classes gebruikt zijn.

2.2 CQT ruimte

De theorie die we hieronder beschrijven is heel recentontwikkeld. Een zogenaamde stemvoeringsruimte ofCQT ruimte is beschreven met een geometrisch mo-del door Clifton Callender, Ian Quinn en Dmitri

1In seriele muziek, een vorm van atonale muziek, is de com-positie gebaseerd op een reeks.

Tymoczko (vandaar CQT) [9]. Deze CQT ruimteheeft een aantal equivalentieklassen als basis, dieworden aangeduid met de letters OPTIC: ‘Octaafequivalente’, ‘Permutatie (herordering) equivalentie’,‘Transpositie equivalentie’, ‘Inversie equivalentie’, en‘Cardinaliteits equivalentie’ (verwaarlozen van herha-lingen). De auteurs menen dat deze OPTIC equi-valentieklassen cruciale elementen vormen binnen deWesterse muziek, tenminste al sinds de zeventiendeeeuw. Een aantal muzikale structuren kunnen wor-den beschreven met een combinatie van een of meerOPTIC klassen. Zo kunnen melodieen beschrevenworden door T: een getransponeerde melodie is nogsteeds dezelfde melodie. Akkoorden kunnen beschre-ven worden door OPC: we kunnen spreken van een C-groot akkoord zonder dat het ons uitmaakt om welkeC het precies gaat (octaaf equivalentie), de notenkunnen onderling verwisseld worden zonder dat hetakkoord verandert (permutatie equivalentie), en hetaantal C’s of G’s in het akkoord maakt niet uit voorde akkoord naam (cardinaliteits equivalentie). Pitchclass sets, zoals beschreven in de vorige sectie, vol-doen aan OPTIC: alle beschreven equivalentieklassenzijn hier van toepassing. Er kunnen equivalentie re-laties van alle mogelijke combinaties van de OPTICklassen gevormd worden, wat resulteert in 25 = 32mogelijkheden2.

Het geometrische CQT model kan men zich alsvolgt voorstellen. Noten worden gerepresenteerddoor de logaritmen van hun (fundamentele) fre-quentie en corresponderen dan met reele getallen.Een reeks van n noten kan op deze manier voorge-steld worden door een punt in een n-dimensionaleruimte R

n. De vier OPTI equivalentieklassen creerenquotient ruimtes door punten in R

n te identificeren(ofwel, ‘aan elkaar te plakken’). Bijvoorbeeld, ‘octaafequivalentie’ identificeert de noten n en n+12 (herin-nert u zich dat het getal 12 de breedte van het octaafvoorstelt in de pitch class representatie), wat ervoorzorgt dat R

n getransformeerd wordt in een n-torusT

n.Figuur 2 is een representatie van de CQT in drie

dimensies. De punten (bolletjes) in de ruimte stel-

2Iedere klasse kan wel of niet meedoen, dat zijn 2 moge-lijkheden. In totaal zijn er 5 verschillende equivalentieklassen.Dit resulteert in 25 = 32 mogelijke combinaties.

3

A1

B1

A2A3

A4 A5

A7A6A8

B7

B8B6

A9

B10

B11

B2 B3 B4B5 B9

A10 A11B12

A12

Figuur 1: Het begin van Anton Weberns variaties voor piano Op. 27, No. 2. Er worden twee pitch classsets gebruikt als reeks, set A=(A1, A2, , A11) en B =(B1, B2, , B11) waarbij reeks B een inversie is van A.Elk element Bi correspondeert dus met element Ai door inversie (van intervallen tussen opvolgende noten).Tabel 1 vermeldt de pitch classes voor de reeks A en B.

pitch class 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Set A A7 A8 A9 A10 A5 A3 A6 A4 A1 A2 A11 A10

Set B B6 B3 B5 B12 B9 B8 B7 B11 B10 B2 B4 B1

Tabel 1: Pitch class sets A en B, gebruikt in de compositie uit afbeelding 1, staan hier afgebeeld in volgordevan oplopende pitch classes.

len sets met noten voor. Punten die dicht bij elkaarliggen in de ruimte ‘lijken’ op elkaar. Bijvoorbeeld,het punt dat een C-groot akkoord voorstelt ligt dichtbij het punt dat een C klein akkoord voorstelt. Eneen C-groot akkoord in reine stemming ligt heel dichtbij een C-groot akkoord in een andere stemming (bij-voorbeeld gelijkzwevende stemming)3. Ook punten(sets van noten) die op elkaar lijken omdat ze een

3In het voorbeeld van figuur 2 representeren de noten sets(bolletjes) slechts een punt, bijvoorbeeld de set in gelijkzwe-vende stemming. Echter, de ruimte R

n is een continue ruimtewaarin dezelfde set in een andere stemming (hoewel niet weer-gegeven in de figuur) vlak bij de set in gelijkzwevende stem-ming ligt. Voor meer informatie, zie [9].

toonladder-transpositie van elkaar zijn, liggen dichtbij elkaar in deze ruimte. Toonladder transpositieszijn transposities langs een toonladder, waarbij nietbij alle punten hetzelfde interval wordt opgeteld zo-als bij gewone transposities, maar waarbij een melo-die een of meerdere stapjes kan worden opgeschovenin de toonladder. Fragmenten zoals C-D-E (“Do, adeer”4) en D-E-F (“Re, a drop”) zijn voorbeeldenvan toonladder transposities. Over beide voorbeel-den, verschillende stemmingen en toonladder trans-posities, zou je dus kunnen zeggen dat hoe dichter de

4Begin van het lied Do-Re-Mi uit de musical The Sound of

Music.

4

Figuur 2: CQT ruimte uit [9] in drie dimensies:T

3/(S4×Z2) Ieder bolletje stelt een set noten voor die

aangegeven worden door de getallen op het bolletje.

punten bij elkaar liggen, hoe meer ze op elkaar lijken.De CQT ruimte is de eerste gepubliceerde beschrij-ving van een ruimte die dit verschijnsel modelleert.

De nieuwe CQT ruimte geeft veel mogelijkhedenom muziekfragmenten geometrisch te modelleren watvan pas kan komen bij muziekanalyse. Een stemvoe-ring is een overgang van een akkoord naar een anderakkoord. In de CQT ruimte wordt deze overganggerepresenteerd door een verbindingslijn van het enepunt (dat een representatie is van akkoord 1) naar hetandere punt (dat een representatie is van akkoord 2).De ‘omvang’ van een stemvoering hangt af van debeweging in de verschillende stemmen tussen de ak-koorden. Het vinden van de kleinste afstand tussentwee punten in de CQT ruimte correspondeert met dehypothese dat componisten proberen deze omvang zoklein mogelijk te maken.

3 De kracht van wiskunde

Wiskunde speelt de laatste jaren een steeds belangrij-kere rol binnen de muziektheorie. Traditionele (nietmathematische) muziektheorie heeft soms het pro-

bleem dat sommige concepten niet precies gedefini-eerd zijn. Wiskunde kan hierbij een heel nuttige rolvervullen. Doordat wiskunde een universele taal is, ishet in staat concepten heel precies te definieren. Voorsommige mensen wordt muziektheorie op deze manierbegrijpelijker, voor andere mensen wordt het gecom-pliceerder. In ieder geval wordt het eenduidiger. Ookkan wiskunde de soms ver uit elkaar liggende concep-ten binnen de muziektheorie in een gemeenschappe-lijke taal beschrijven zodat deze wellicht dichter bijelkaar worden gebracht. De muzikale structuren be-schreven in de CQT ruimte (sectie 2.2) vormen hier-van voorbeelden.

3.1 Modellen

Dat modellen nuttig zijn behoeft geen betoog. Mo-dellen gaan gepaard met abstracties, zoals we bijvoor-beeld zagen in het bovengenoemde onderzoek. Alswe spreken over ‘pitch classes’ in plaats van noten,laten we een heleboel informatie over noten weg diein bepaalde gevallen van groot belang is en in anderegevallen minder belangrijk is. Een auteur die een mo-del presenteert dat bepaalde abstracties hanteert gaater van uit dat de specifieke details minder belangrijkzijn dan het grotere beeld van het hele model. Zo isde aanname dat de pitch class een goed model is vooreen toon in een stuk atonale muziek.

Er bestaan verschillende soorten modellen en the-orieen. Muziektheorie bevat verschillende methodendie grofweg in twee groepen kunnen worden verdeeld:A. theorieen die expliciet als doel hebben een be-paald muziekstuk te analyseren, zoals bijvoorbeeldSchenkeriaanse analyse [49], of analyse met behulpvan pitch class set theory [21] (zie sectie 2.1), enB. theorieen die werken op een meer abstract enfilosofisch niveau. Een voorbeeld van deze tweedegroep is Riemanns theorie over de C majeur cadensC−F −C−G−C [44]. Riemann noemt de C de ‘the-sis’, de subdominant F de ’antithesis’ omdat deze detonica in twijfel trekt, en de dominant G de ’synthe-sis’ omdat deze terug leidt naar de tonica. Hij formu-leert een theorie over hoe andere akkoorden zoudenkunnen functioneren als thesis, antithesis en synthe-sis, omdat deze elementen nodig zijn om een cadens tevormen. Deze theorie over waarom het F -akkoord de

5

tonica C in twijfel trekt en waarom het G-akkoord dekracht heeft om terug te leiden naar de tonica, is eentheorie die meer te maken heeft met de fundamen-ten van (Westerse) muziek, dan dat het een theorie isdie direct toegepast kan worden op een bepaald stuk.Theorieen die in deze tweede groep vallen gaan bij-voorbeeld over toonladders en ander materiaal waarmuziekstukken op gebaseerd zijn.

Er bestaan vaak geen duidelijke verbindingen tus-sen deze twee groepentheorieen. Mathematische mo-dellen van muziek komen voor in beide categorieenmaar bevinden zich doorgaans meer aan de kant vanhet abstracte niveau.

We zullen hier een aantal voorbeelden noemen vanmathematische modellen in bovengenoemde catego-rieen. Zoals we gezien hebben, is de pitch class settheorie een duidelijk voorbeeld van een mathemati-sche theorie die het doel heeft om een stuk muziekte analyseren. Een andere mathematische theorie dieanalyse als doel heeft is bijvoorbeeld de ‘Transfor-mational Theory’ ontwikkeld door David Lewin [34].De Transformational Theory, die gebruikt kan wor-den voor zowel tonale als atonale muziek, definieertoperaties op een mathematische groep en kan op dezemanier potentiele muzikale gebeurtenissen represen-teren. De resulterende analysen laten zien hoe een be-paalde muzikale gebeurtenis getransformeerd wordtin een andere. Een tak van de Transformational The-ory is de Neo-Riemannian Theory die ontstaan is alsantwoord op het probleem om 19-de eeuwse chroma-tische muziek, zoals muziek van Wagner en Liszt,te analyseren. Deze muziek is niet atonaal maargebaseerd op drieklanken, maar desondanks zijn deanalytische modellen bedoeld voor diatonische mu-ziek vaak niet geschikt voor deze muziek. De Neo-Riemannian Theory is gecentreerd rond drie speci-fieke operaties op drieklanken. Deze operaties wordengebruikt om tonen van een drieklank te verschuivennaar een naast gelegen toon in de toonladder, terwijltenminste een van de tonen gelijk wordt gehouden.Met deze operaties kunnen akkoord overgangen be-schreven worden.

In aanvulling op deze voorbeelden binnen categorieA noemen we hier ook nog een aantal studies binnende mathematische muziektheorie die geınspireerd zijndoor een muziektheoretische uitdaging van een con-

creet stuk muziek of een bepaalde muziek stijl. Voor-beelden hiervan zijn de onderzoeken naar de perceptievan accenten in 20-ste eeuwse muziek [45], de rela-tie tussen toonhoogte en temporele processen in eenBrahms capriccio [33], en de ritmische structuur vanSteve Reichs muziek [17].

Voorbeelden van categorie B zijn bijvoorbeeld mo-dellen van toonladders [11, 5, 29, 3, 16, 15]. Eenaantal wiskundige algemeen geldende eigenschappenvan toonladders (vaak beschreven in termen van wis-kundige groepentheorie) zijn hiermee in kaart ge-bracht. Dit is interessant om een aantal redenen.Allereerst kan de definitie van een toonladder hier-mee preciezer gemaakt worden. Ten tweede kunnendeze eigenschappen nieuwe inzichten over muziek ge-ven en daarmee bijdragen aan de verklaring voor deoorsprong van bepaalde toonladders5. Als laatstekunnen deze eigenschappen ook worden gebruikt omnieuwe toonladders te ontwikkelen.

Een ander voorbeeld van categorie twee is het on-derwerp stemmingen en intonatie. Niet alleen iswiskunde gebruikt om de stemmingsproblematiek inkaart te brengen, er is zelfs een heel aantal alterna-tieve stemmings- en intonatie-systemen ontwikkeldop basis van discrete wiskunde. Een aantal onder-zoekers heeft zich afgevraagd welke alternatieven erzijn voor bijvoorbeeld reine stemming [39, 65] of ge-lijkzwevende stemming [20, 5, 25].

Er zijn ook studies binnen de mathematische mu-ziektheorie die uitgaan van een algemene theorie dietoegepast wordt op een concreet stuk muziek. Voor-beelden hiervan zijn een topologisch model van motie-fanalyse toegepast op Schumanns Traumerei [8] datde karakteristieke motiven van het stuk bepaalt, eneen topologisch model van het fenomeen ‘consonan-tie en dissonantie’ dat analytische inzichten geeft inSkrjabins Op. 65 Nr. 3, gebaseerd op harmonischeprogressies welke verder gaan dan de typische majeuren mineur akkoorden uit het diatonische tijdperk [37].

5Balzano [5] heeft bijvoorbeeld onderzoek gedaan naar groe-pen theoretische eigenschappen van microtonale toonsystemen,en trekt het belang van frequentie verhoudingen als verklaringvoor de oorsprong van het 12-toons systeem in twijfel door tezeggen dat misschien de groepen theoretische eigenschappenvanaf het begin af aan perceptueel belangrijker zijn geweest (“it may well be that the group-theoretic properties [..] were themore perceptually important all along”).

6

3.2 Uitdagingen

Het tijdschrift Journal of Mathematics and Musicis onder andere opgericht met de achterliggende ge-dachte dat niet meer alle basis wiskunde uitgelegdhoeft te worden aan het begin van een artikel. Hettijdschrift veronderstelt een basiskennis van wiskundezodat in de gepubliceerde artikelen snel meer diep-gang bereikt kan worden. Dit is aan de ene kantnatuurlijk prettig, maar aan de andere kant komt ditvakgebied op deze manier verder af te staan van an-dere disciplines die deze artikelen nu niet meer zomakkelijk kunnen begrijpen.

Dit lijkt een probleem te zijn en soms klinkt erkritiek uit verschillende hoeken. Sommige mensenlijken helemaal niet geınteresseerd in onderzoek datzo abstract is dat het niet meteen resultaten ople-vert. “Maar wat betekent dit dan?”, of “Dit is zoalgemeen dat het niets betekent”, of juist “Dit is zoabstract dat het de werkelijkheid helemaal niet goedweergeeft” zijn opmerkingen die vaak gehoord zijn.Een voorbeeld van onderzoek waar dit soort kritiekop is geuit, betreft de CQT theorie. Anders dan depitch class set theorie, is de CQT theorie nog nau-welijks toegepast op echte muziekproblematiek. Hetmodel is gepresenteerd als basis met veel mogelijketoepassingen. Echter, zonder deze toepassingen kanhet moeilijk zijn om de waarde van het model in teschatten. Het model abstraheert op veel vlakken vande muziek-realiteit, en de waarde van abstracties wor-den vaak duidelijker in concrete toepassingen.

Er zijn gelukkig ook voorbeelden van onderzoekbinnen de mathematische muziektheorie dat alge-mene waardering kent, zoals het werk van David Le-win. David Lewin, de grondlegger van de Transfor-mational Theory, werd en wordt geroemd door men-sen uit diverse vakgebieden en zelfs door de pers. Eenartikel in de New York Times verscheen na zijn dooden zegt onder andere dat zijn invloed ongelooflijk isgeweest (“his influence has been extraordinary”) [47].

Het is jammer dat wiskundige methoden nauwe-lijks voorkomen in het curriculum van de musicologieopleiding. Zelfs pitch class set theory en transfor-mational theory, die toch belangrijke analyse metho-den zijn voor muziek, zijn doorgaans geen gebiedenwaarin musicologen zich verdiepen, althans in Neder-

land en de rest van Europa. In Amerika, echter, wor-den steeds meer cursussen pitch class set theory entransformational theory aangeboden binnen de studie‘music’ en soms zelfs binnen de studie ‘mathematics’.Het zou, voor wederzijds begrip tussen wiskundigenen musicologen, erg helpen als dit soort cursussen ookbuiten Amerika aangeboden zouden worden.

De meeste problemen lijken met name te ontstaandoor het hoge abstractieniveau dat wiskundig onder-zoek kan hebben. Een deel van deze problemen zalzichzelf oplossen in de tijd: goed onderzoek zal doorde jaren heen steeds meer geciteerd en uitgediept wor-den (zoals ook gebeurd is met de pitch class set the-ory) zodat er een bredere context ontstaat waardoorook mensen met een mindere wiskundige achtergrondhieraan kunnen relateren.

Ter vergelijking, terwijl computationele methodenin muziekonderzoek al gebruikt worden sinds de ja-ren 50, zijn deze lang onder-gerepresenteerd geblevenin dit vakgebied. Een van de redenen hiervoor wasdat de resultaten van het computationeel modellerenniet overtuigend genoeg waren voor traditionele mu-sicologen om de tijd te investeren om meer vertrouwdte worden met deze methoden. Dit is de laatste de-cennia veranderd door de massale digitalisatie vanmuziek en de hierdoor ontstane behoefte om deze in-formatie te kunnen hanteren. Iets vergelijkbaars isvoor te stellen bij wiskundige modellen: deze zullenmeer geaccepteerd worden binnen het muziekonder-zoek als de voordelen hiervan meer duidelijk wordennaar buitenstaanders.

Tenslotte, steeds vaker verschijnen er gezamenlijkepublicaties door wiskundigen en musicologen [18, 19,2], hetgeen de acceptatie van dit nieuwe vakgebiedzeer zeker ten goede komt.

3.3 Toepassingen

Op het gebied van computationeel modelleren, was erin de jaren 70 veel kritiek op de modellen in de mu-ziektheorie. Ze zouden niet geımplementeerd kunnenworden omdat ze niet precies genoeg waren [40, 4, 58].Er was dus vraag naar betere implementeerbare mo-dellen, en wiskunde was hier duidelijk welkom.

Laten we naar de waarde van wiskunde binnende muziek kijken aan de hand van een aantal (com-

7

225/128

1 3/2 9/8 27/16 81/644/316/932/27

40/27 10/9 5/3 5/4 15/8 45/32

25/18 25/24 25/16 75/64

64/45 16/15 8/5 6/5 9/5 27/20 81/80

128/75 32/25 48/25 36/25 27/25

256/135

256/225

135/128

(a)

C G D A EFBbEb

E B F# C#ADG

Ab Eb Bb F CDbGbCb

G# D# A#C#F#

Fb Cb Gb DbBbbEbb

(b)

0 7 2 9 45103

4

8

8

4

11 6 1

3 10

11 6 1

3 10 5 0

2 9

7 2 9

6 1

11 6 1

(c)

Figuur 3: Euler-rooster van (a) frequentie verhoudingen, (b) noot namen en (c) pitch classes. In afbeelding (a) isde diatonische majeurtoonladder ingetekend die een convex figuur beschrijft in deze ruimte [29].

putationele) toepassingen. Aline Honingh heeft eenmodel ontwikkeld voor de geometrische interpretatievan toonrelaties en ontdekte dat toonstructuren zo-als toonladders en akkoorden bijna altijd een convexeen compacte vorm hebben in het Euler-rooster, zie fi-guur 3 [29]. Dit resultaat is onder andere gebruikt omhet ‘pitch spelling’ probleem aan te pakken. De term‘pitch spelling’ refereert naar de spelling van notenin muziek: wanneer wordt pitch class ‘1’ geschreven(gespeld) als een C♯ en wanneer als een D♭? Dit pro-bleem is bijvoorbeeld van belang bij muzieknotatiesoftware. Het probleem blijkt grotendeels opgelost tekunnen worden door pitch class sets van het Euler-rooster van pitch classes zoveel mogelijk convex encompact af te beelden op het Euler-rooster van nootnamen [28] Het principe van convexe en compacte af-beeldingen is verder gebruikt bij het aanpakken vanintonatie problematiek [27, 24] en het automatischvinden van modulaties in muziek [26].

Anja Volk heeft het model ‘Inner Metric Analysis’(interne metrische analyse) gebruikt om verschillendeaspecten te beschrijven van de ritmische en metri-sche structuren in muziek [59, 60]. Het model heefteen algebraisch topologische basis. Voor elke nootwordt een metrisch gewicht berekent dat het (metri-sche) belang van deze noot in zijn context aangeeft,gebaseerd op de detectie van noten met gelijke tus-senpozen (gemeten vanaf de noot aanzet) in het stukmuziek. Het model bepaald dus de interne metrischestructuur die ontstaat door de noten, in tegenstellingtot de externe metrische structuur die gegeven wordtdoor de maatsoort van een stuk muziek. Het modelkan onderscheid maken tussen enerzijds muziekstuk-ken die een regelmatig ritmisch patroon volgen, zoals

Ragtime muziek (zie figuur 4) waarbij het gemakke-lijk is om de maat mee te kunnen tikken, en ander-zijds muziekstukken die een onregelmatige ritmischestructuur hebben, zoals Stravinsky’s Sacre du prin-temps (zie figuur 5). Het model is tevens gebruikt omdansmuziek patronen [14] en volksliedjes [62] te clas-sificeren aan de hand van ritmische gelijksoortigheid,en om stabiele segmenten binnen muziek stukken tevinden [61].

Andere toepassingen binnen de muziek die hebbengeprofiteerd van een mathematische aanpak zijn bij-voorbeeld ‘key finding’, ‘segmentatie’, en ‘similarity’.Bij ‘key finding’ gaat het om het automatisch vindenvan de juiste toonsoort in een muziekstuk. Dit pro-bleem is onder andere succesvol aangepakt met eengeometrisch model [12, 35] en met Bayesiaanse princi-pes [54]. Bij segmentatie is het doel een muziekstukautomatisch te segmenteren in perceptueel logischegroepen. Net als tekst gesegmenteerd kan wordenin zinnen, bijzinnen, en woorden, kan muziek geseg-menteerd worden in frases en subfrases. Verschil-lende soorten technieken worden hiervoor gebruikt,waaronder statistische methoden toegepast op expe-rimentele data [7, 52]. Als laatste, ‘similarity’, ofwelgelijkenis of gelijksoortigheid, is een ruim begrip enkan betrekking hebben op verschillende muzikale en-titeiten, van ritmes en melodieen tot pitch class sets.Gelijksoortigheid van melodieen heeft belangrijke im-plicaties voor bovengenoemde segmentatie [10], maarook voor het gebied van Music Information Retrieval,om een automatische zoek naar melodieen binnen eengrote corpus mogelijk te maken [63, 22]. Verder zijner verschillende mathematische formules ontwikkeldom de mate van gelijkenis van pitch class sets aan te

8

Figuur 4: Metrisch gewicht diagram van Scott Joplins Nonpareil Rag met een regelmatig patroon: Hoe hoger delijn, hoe groter het gewicht van de corresponderende noot. De van donker naar licht overlopende grijze achtergrondcorrespondeert met de maten zoals aangegeven in de partituur.

Figuur 5: Metrisch gewicht diagram van Igor Stravinsky’s Danse Sacrale met een onregelmatig ritmisch patroon.

duiden [31, 36, 43, 46], die op hun beurt weer gebruiktzijn voor verschillende doeleinden, onder andere voorclassificatie [42].

Alle bovengenoemde toepassingen zijn voorbeeldenvan gemodelleerde cognitieve processen. Het zijn alshet ware ‘taken’ die mensen goed kunnen, maar waar-van het heel lastig is om precies te noteren wat er ge-beurt. Neem als voorbeeld het segmenteren van mu-ziek in frasen. De meeste mensen, zeker degenen diemuzikaal geschoold zijn, doen dit automatisch goed,op hun gevoel. Het is echter heel lastig om dit procesin een set regels of mathematische code op te schrij-ven. Maar als we dit toch proberen te doen, zal eensuccesvol model niet alleen heel waardevol zijn voorhet automatisch segmenteren van muziek, maar ookinzicht kunnen geven in de cognitieve aspecten dieeen rol spelen bij het menselijke muziek-segmentatieproces. Verder kunnen de inzichten in de cognitieveprocessen weer dienen als een nieuwe beginpunt vooreen (mathematisch) model.

4 Concluderende opmerkingen

We hebben gezien dat mathematische muziektheo-rie een onderzoeksgebied is waarin zeer diverse wis-kundige technieken gebruikt worden (statistische me-thoden, groepentheorie, geometrische modellen, ge-taltheorie, topologie). Dit vakgebied is niet homo-geen wat betreft de muzikale toepassingen: Er zijnenerzijds abstracte modellen die theoretiseren over debasiselementen van de muziek, en anderzijds model-len die direct geınspireerd zijn door concrete stukkenmuziek. Verder is het kenmerkend dat onderzoekersin dit vakgebied verschillende achtergronden hebben.Sommigen hebben een achtergrond in wiskunde enanderen in musicologie (en vakgebieden als natuur-kunde of informatica zijn ook goed denkbaar), maarde meesten zijn in beide vakgebieden onderwezen.

De kracht van wiskunde in muziekonderzoek is dat1) het zaken heel precies kan formuleren, 2) wiskundiggeformuleerde theorie implementeerbaar is in com-putationele modellen die o.a. automatische analysevan muziek mogelijk maken, en 3) hierdoor mogelijkmeer inzicht verkregen kan worden in muziek gerela-teerde cognitieve processen.

Terwijl musicologie zich meestal richt op het bestu-

9

deren van een bepaalde muziekstijl of een specifiekevraag, heeft mathematische muziektheorie vaak alsdoel meer algemeen geldende theorien op te stellenhetgeen tot een beter begrip van muziek en muziekmaken/beluisteren kan leiden.

De voorbeelden van gecombineerd wiskunde en mu-ziekonderzoek genoemd in dit artikel zijn nog maarhet begin van wat allemaal mogelijk is in deze onder-zoeksrichting. Dit eeuwenoude vakgebied heeft nogvele bruisende jaren in het vooruitzicht.

5 Dankwoord

De auteurs willen Frans Wiering, Remco Veltkamp enPeter van Kranenburg bedanken voor verhelderendediscussies en nuttige suggesties.

Referenties

[1] Coutney S. Adams. Erik Satie and golden sec-tion analysis. Music and Letters, 77(2):242–252,1996.

[2] Anna Rita Addessi, Mirko Degli Esposti, andFrancois Pachet. Musical style again: A mathe-matical analysis of musical intertext. In Pro-ceedings of the fourth Conference on Interdisci-plinary Musicology (CIM), Thessaloniki, Greece,2008.

[3] Eytan Agmon. A mathematical model of the dia-tonic system. Journal of Music Theory, 33(1):1–25, 1989.

[4] Bo H. Alphonce. Music analysis by computer: afield of theory formation. Computer Music Jour-nal, 4(2):26–35, 1980.

[5] Gerald J. Balzano. A group theoretical descrip-tion of 12-fold and microtonal pitch systems.Computer Music Journal, 4(4):66–84, 1980.

[6] David Benson. Music: A Mathematical Of-fering. Cambridge University Press, 2006.Also available from http://www.maths.abdn.

ac.uk/~bensondj/html/music.pdf.

[7] Rens Bod. Memory-based models of melodicanalysis: Challenging the Gestalt principles.Journal of New Music Research, 31(1):27–37,2002.

[8] Chantal Buteau and Guerino Mazzola. Motivicanalysis according to Rudolph Reti: Formaliza-tion by a topological model. Journal of Mathe-matics and Music, 2(3):117–134, 2008.

[9] Clifton Callender, Ian Quinn, and Dmitri Ty-moczko. Generalized voice-leading spaces. Sci-ence, 320:346–348, 2008.

[10] Emilios Cambouropoulos. Musical parallelismand melodic segmentation: A computational ap-proach. Music Perception, 23(3):249–269, 2006.

[11] Norman Carey and David Clampitt. Aspectsof well-formed scales. Music Theory Spectrum,11(2):187–206, 1989.

[12] Elaine Chew. Towards a mathematical modelof tonality. PhD thesis, Operations ResearchCenter, Massachusetts Institute of Technology,Cambridge, 2000.

[13] Elaine Chew. Music and operations research -the perfect match? OR/MS Today, 35(3):26–31,2008.

[14] Elaine Chew, Anja Volk, and Chia-Ying Lee.Dance music classification using inner metricanalysis: a computational approach and casestudy using 101 latin american dances and na-tional anthems. In Proceedings of the 9thINFORMS Computing Society Conference, vo-lume 29, pages 355–370. Springer OR/CS Inter-faces Series, 2005.

[15] John Clough and Jack Douthett. Maximallyeven sets. Journal of Music Theory, 35:93–173,1991.

[16] John Clough and Gerald Myerson. Variety andmultiplicity in diatonic systems. Journal of Mu-sic Theory, 29(2):249–270, 1985.

10

[17] Richard Cohn. Transpositional combination ofbeat-class sets in steve reich’s phase-shifting mu-sic. Perspectives of New Music, 30(2):146–177,1992.

[18] Karst de Jong and Thomas Noll. Contiguousfundamental bass progressions. Dutch Journalof Music Theory, 13(1), 2008.

[19] Manuel Dominguez, David Clampitt, and Tho-mas Noll. Well-formed scales, maximally evensets, and christoffel words. In Proceedings of theMathematics and Computation in Music confe-rence (MCM), Berlin, Germany, 2007.

[20] Adriaan D. Fokker. Equal temperamentand the thirty-one-keyed organ. manu-script, 1955. http://www.xs4all.nl/ huy-gensf/doc/fokkerorg.html.

[21] Alan Forte. The Structure of Atonal Music. NewHaven: Yale University Press, 1973.

[22] Joerg Garbers, Peter van Kranenburg, AnjaVolk, Frans Wiering, Remco C. Veltkamp, andLouis P. Grijp. Using pitch stability amonga group of aligned query melodies to retrieveunidentified variant melodies. In Proceedings ofthe Eighth International Conference on MusicInformation Retrieval (ISMIR), pages 451–456,Vienna, Austria, 2007.

[23] Rachel W. Hall. Geometrical music theory. Sci-ence, 320(5874):328–330, 2008.

[24] Aline K. Honingh. Convexity and compact-ness as models for the preferred intonation ofchords. In Proceedings of the Ninth InternationalConference on Music Perception and Cognition(ICMPC 9), Bologna, 22-26 August, 2006.

[25] Aline K. Honingh. The Origin and Well-Formedness of Tonal Pitch Structures. PhD the-sis, University of Amsterdam, The Netherlands,2006.

[26] Aline K. Honingh. Automatic modulation fin-ding using convex sets of notes. In Pro-ceedings of Mathematics and Computation in

Music (MCM2007), Berlin, Germany May 18-20, 2007.

[27] Aline K. Honingh. A geometrical approach tofind the preferred intonation of chords. Tech-nical Report TR/2008/DOC/02, Department ofComputing, City University London, 2008.

[28] Aline K. Honingh. Compactness in the Eulerlattice: A parsimonious pitch spelling algorithm.Musicae Scientiae, XIII(1):117–138, 2009.

[29] Aline K. Honingh and Rens Bod. Convexity andthe well-formedness of musical objects. Journalof New Music Research, 34(3):293–303, 2005.

[30] Julian Hook. Exploring musical space. Science,313(5783):49–50, 2006.

[31] Eric J. Isaacson. Similarity of interval-class con-tent between pitch-class sets: the IcVSIM rela-tion. Journal of Music Theory, 34:1–28, 1990.

[32] Jonathan Kramer. The fibonacci series in twen-tieth century music. Journal of Music Theory,17:111–148, 1973.

[33] David Lewin. On harmony and meter inBrahmss op. 76, no. 8. 19th-Century Music,4(3):261–326, 1981.

[34] David Lewin. Generalized Musical Intervals andTransformations. Yale University Press: NewHaven, CT, 1987.

[35] Hugh Christopher Longuet-Higgins and MarkSteedman. On interpreting Bach. In Hugh Chris-topher Longuet-Higgins, editor, Mental Proces-ses: Studies in Cognitive Science, pages 82–104. British Psychological Society/MIT Press,1987/1971. Published earlier as Longuet-Higginsand Steedman (1971).

[36] Robert Morris. A similarity index for pitch-classsets. Perspectives of New Music, 18:445–460,1980.

11

[37] Thomas Noll and Anja Volk. Transforma-tionelle logik der dissonanzen und konsonan-zen. In B. Enders, editor, Mathematische Mu-sik musikalische Mathematik. PFAU-Verlag,Saarbrucken, 2005.

[38] Hugo Norden. Proportions in music. FibonacciQuarterly, 2:219–222, 1964.

[39] Harry Partch. Genesis of a Music. Da CapoPress, second edition, 1949/1974.

[40] P. Howard Patrick. A computer study of asuspension-formation in the masses of JosquinDesprez. Computers and the Humanities, 8:321–331, 1974.

[41] Reinier Plomp and Willem J. Levelt. Tonal con-sonance and critical bandwith. Journal of theAcoustical Society of America, 38:548–560, 1965.

[42] Ian Quinn. Listening to similarity relations. Per-spectives of New Music, 39:108–158, 2001.

[43] John Rahn. Relating sets. Perspectives of NewMusic, 18:483–498, 1980.

[44] Hugo Riemann. Musikalische Logik. Leipzig,1873.

[45] John Roeder. A calculus of accent. Journal ofMusic Theory, 39(1):1–46, 1995.

[46] David W. Rogers. A geometric approach to pcsetsimilarity. Perspectives of New Music, 37(1):77–90, 1999.

[47] Edward Rothstein. A seeker of music’s poetry inthe mathematical realm. The New York Times,June 28 2003.

[48] Art Samplaski. The relative perceptual salienceof Tn and TnI. Music Perception, 21(4):545–559,2004.

[49] Heinrich Schenker. Harmonielehre. Wien, Uni-versal edition, 1906.

[50] Michiel Schuijer. Atonal music: Pitch-Class SetTheory and Its Contexts. University of RochesterPress, 2008.

[51] Guido F. Smoorenburg. Pitch perception of two-frequency stimuli. Journal of the Acoustical So-ciety of America, 48:924–942, 1970.

[52] Neta Spiro. What contributes to the perceptionof musical phrases in western classical music?PhD thesis, University of Amsterdam, 2007.

[53] Diana Stammers. Set theory in the perception ofatonal pitch relations. PhD thesis, CambridgeUniversity, 1994.

[54] David Temperley. Music and Probability. TheMIT Press, 2007.

[55] Mark J. Tramo, Peter A. Cariani, Bertrand Del-gutte, and Louis D. Braida. Neurobiologicalfoundations for the theory of harmony in westerntonal music. Annals of the New York Academyof Science, 930:92–116, 2001.

[56] Dmitri Tymoczko. The geometry of musicalchords. Science, 313(5783):72–74, 2006.

[57] Jan Van de Craats. De fis van Euler: Eennieuwe visie op de muziek van Schubert, Beetho-ven, Mozart en Bach. Aramith Uitgevers, Bloe-mendaal, 1989.

[58] Barry Vercoe. Review of “The computer andmusic”by Harry B. Lincoln. Perspectives of NewMusic, 9:323–330, 1971.

[59] Anja Volk. Persistence and change: local andglobal components of metre induction using in-ner metric analysis. Journal of Mathematics andMusic, 2(2):99–115, 2008.

[60] Anja Volk. The study of syncopation using innermetric analysis: Linking theoretical and experi-mental analysis of metre in music. Journal ofNew Music Research, 2009. to appear.

[61] Anja Volk and Elaine Chew. Reconsidering theaffinity between metric and tonal structures inBrahms’ capriccio op. 76, no. 8. Computing inMusicology, 15:138–171, 2008.

12

[62] Anja Volk, Joerg Garbers, Peter van Kranen-burg, Frans Wiering, Remco C. Veltkamp, andLouis P. Grijp. Applying rhythmic similaritybased on inner metric analysis to folksong re-search. In Proceedings of the Eighth Internatio-nal Conference on Music Information Retrieval(ISMIR), pages 293–296, Vienna, Austria, 2007.

[63] Anja Volk, Peter van Kranenburg, Joerg Gar-bers, Frans Wiering, Remco C. Veltkamp, andLouis P. Grijp. A manual annotation methodfor melodic similarity and the study of melodyfeature sets. In Proceedings of the Ninth Interna-tional Conference on Music Information Retrie-val (ISMIR), pages 101–106, Philadelphia, USA,2008.

[64] Peter Westergaard. Webern and “total organi-zation”: An analysis of the second movement ofthe piano variations, op. 27. Perspectives of NewMusic, 1(2):107–120, 1963.

[65] Yoseph Yasser. A theory of evolving tonality.New York: Da Capo Press, 1975.

13