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COURS TOPOGRAPHIE

Elabor par :

Anne universitaire 2005-2006

CC OO UUR R SS

TT OO PP OO GG R R AAPP HH II EE EE LL EE MM EE NNTT AAII R R EE

Ajmi Mohamed Chaouachi Mohamed Chokri Yermani Mabrouk

Ministre de lEnseignement Suprieur Direction Gnrale des Instituts Suprieurs des Etudes Technologiques

Institut Suprieur des Etudes Technologiques de Nabeul

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CChhaa p p iittr r ee II Gnralits

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GnralitsTopographie

Dfinition

La topographie est la technique de reprsentation sur un plan ou sur une carte la configurationrelle dun terrain avec tous les dtails quon en trouve. Ces derniers peuvent tre naturels(rivires, montagnes, bois, champs,..), artificiels (r outes, btiments, canaux, ports,) ouconventionnels (courbes de niveau, limites administratives,)

Plan :

Un plan est une reprsentation graphique dune portion restreinte de la terre obtenue par projection orthogonale sur une surface plane. Les dtail s y sont reprsents lchelle.

Une carte :

La carte est une reprsentation rduite, gnralise, mathmatiquement prcise de la surface

de la terre sur un plan montrant la situation, la distribution et les rapports des divers

phnomnes naturels et sociaux, choisis et dfinis en fonction du but de chaque carte.

La carte permet galement de montrer les variations et les dveloppements des phnomnes

dans le temps, ainsi que leurs facteurs de mouvement et de dplacement dans lespace.

Une chelle

Lchelle dun plan ou dune carte est le rapport numrique qui existe entre les longueursmesures sur la carte et les longueurs correspondantes sur le terrain.

Une chelle sexprime sous forme: 1/10000 :- Cela signifie quune longueur mesure sur terrainest rduite 10000 fois pour tre

reporte sur la carte ;

- Cela signifie quune longueur mesure sur la carte reprsente une longueur 10000 fois plus grande sur terrain.

Les principales chelles employes en topographie sont :

1 / 100, 1 / 200, 1 / 500, 1 / 1000, 1 / 2000, 1 / 5000, 1 / 10000, 1 / 25000, 1 / 50000,

1 / 100000, 1 / 200000.

Lev topographique

Le lev topographique consiste reporter sur un plan ce qui existe sur le terrain des dtails

quon en trouve, que se soit naturels ou artificiels .

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Implantation

Limplantation est la technique qui a pour but de matrialiser sur le terrain un projet pralablement dtermin sur plan. En gnral limplantation fait suite un lev de terrain.

Il est possible de classer les implantations en deux grandes catgories :- Limplantation de masse : btiments, ouvrages darts, voiries,etc. - Limplantation daxes: lignes lectriques, autouroutes, etc.

Rappel sur les units de mesure

Le grade (gr) ou le gon (g) appel encore le systme centismal

Sous-multiples

Dcigrade (dcg) Centigrade (cgr) Milligrade (mgr) Dcimilligrade

(dmgr)

0,1gr 0,01gr 0,001gr 0,0001gr

1 tour = 2 rad = 400 gr = 360 400 gr = 2 rad 1gr = 2 rad / 400gr rad = ( / 200). gr Conversion du degrs-grades (gons) : = (180/ ) x rad = 0,9 x gr gr = (200 / ) x rad = (/ 0,9) = des grades en degrs

rad =( / 180). = (/200 ) x gr = radians degrs grades

Sin 1 valeur de 1 en rad 0,0000015708 rad = 1,5708.10-6 rad 1/636620 rad rad = .sin1 x 1,5708.10-6 (/636620) ( rad/sin1) (rad/1,5708.10 -6 ) rad x 636620 rad

Correspondance entre diffrentes units de mesure de quelques angles

400gr 360 6,28rad 2 rad Circonfrence200gr 180 3,14rad rad Angle plat100gr 90 1,57rad (/2) rad Angle droit63,66gr 57,30 1rad

1,111gr 1

1gr 0,9 0,0157rad

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COURS TOPOGRAPHIE

Dfinition de la godsie

Cest la science qui, utilisant les systmes de reprsentation plane, permet de transformer lasurface courbe de la terre en un plan puis de placer sur ce plan un certain nombre de repres

dits : points godsiques.

Le gode

La forme gnrale de la terre est celle que nous donne la surface en quilibre constitue par

lensemble des mers et des ocans. Cette surface est quipotentielle puisquen quilibre; elleest en tous points normale la direction du fil plomb.

On lui a attribu le nom de gode (du grec geos = terre et eidos = apparence).

Le gode, niveau des mers suppos prolong sous les continents, est donc un volume

irrgulier auquel on ne saurait appliquer des relations mathmatiques de transformation.

Lellipsode de rvolution

On a constat que tous les mridiens taient gaux entre eux de petits carts prs ne dpassant

pas la limite de prcisions possibles actuellement. On en dduit (soustraire dune somme) quele gode est trs proche dun volume de rvolution, les carts sont partout infrieurs 100mtres et rarement suprieurs 10m (voir figure suivante)

On a constat que le rayon de courbure des mridiens diminue des ples vers lquateur.Ltude de la variation du rayon de courbure le long du mridien a permis de conclure que le

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volume gomtrique le plus proche du gode est un ellipsode de rvolution tournant autour

de son petit axe.

On lappelle ellipsode de rfrence, on lutilise comme surface de projection pour les carteset les plans assez tendus mais seulement pour les points de canevas.

Lllipsoide de la commission gnrale des poids et des mesures, calcul en 1799, a servi ladfinition du mtre (un mtre est la quarante millionime partie de la longueur du mridien

qui passe par la ville de paris assimile au pas prs) . Lllipsoide de Hayfor d a trecommand comme llipsoide international.

Ellipsoide a-demi grand axe b-demi petit axe = ((a-b) / a )applatissement

Hayford 6378 388 m 6356 912 m 1 : 297Clarke II 6378 249 m 6356 515 m 1 : 293,5

Clarke I 6378 206 m 6356 584 m 1 : 295

Krassovski 6378 245 m 6356 863 m 1 : 298,3

Bessel 6377 397 m 6356 079 m 1 : 299,2

Erie 6377 491 m 6356 185 m 1 : 299,3

Everest 6377 276 m 6356 075 m 1 : 300,8

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COURS TOPOGRAPHIE

Rattachement des levs un systme de coordonnes rectangulaires

Il est dusage universel de rapporter les mesures topomtriques un systme de coordonnes.Cest dire deux droites orientes Ox et Oy choisies rfrences. Un point M ainsi est dfini

par M(x,y).Origine des coordonnes planimtriques rectangulaires en Tunisie :

a- Les coordonnes du systme topographique tunisien : systme STT : Lchelle descoordonnes figure lintrieur du cadre de la carte 1/ 25 000.

b- Les coordonnes du systme de lInstitut Gographique National de France: SystmeIGN de France : Lchelle des coordonnes figure lextrieur du cadre de la cartetopographique de base : 1 / 25 000.

1.

2. Le systme STT : Les coordonnes cadastrales X est croissant vers le Nord, il est

confondu avec le mridien origine. Y est croissant vers lOuest, les directions sontmesures partir du Nord Lambert dans le sens oppos des aiguilles dune montre (cest le sens rtrograde): se sont des orientements.

3. Le systme I.G.N. de France (Institut de Gographie National de France) : Y est

croissant vers le Nord, confondu avec le mridien origine. X est croissant vers lEst.Les directions sont mesures partir du Nord Lambert est dans le sens des aiguilles

dune montre: ce sont des gisements.

X

Y0

X

Y

0

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Relation entre les deux systmes

XM = 500 000 yM YM = 300 000 + x M

Les coordonnes gographiques

La longitude : ( ) est langle didre form par le mridien du lieu et un mridien origine(observatoire de Greenwich). Elle est compte de 0 360 positivement vers lEst. La latitude : ( ) est langle que fait la normale la sphre au lieu considr avec le plan de

lquateur. Elle est compte de 0 90 positivement vers le Nord, ngativement vers le Sud.

X

Y

0

x

y

MxM

yM

500 000 m

300 000 m

XM

YM

I.G.N.F

Z

XM = Y M 300 000yM = 500 000 - X M

S.T.T.

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Systmes de projections

En topographie, on considre la surface de la terre comme plane (puisque la surface leve est

relativement rduite). Mais cette hypothse nest plus valable pour la reprsentation prcise

dun territoire tendu. Dans ce cas, on a recours une reprsentation conventionnelle diteprojection. Il existe un certain nombre de systmes de projection(les plus utilises dans lemonde font le nombre dune quarantaine). On peut citer les systmes de projections suivants:La projection Lambert ;

- Universal Transverse Mercator (UTM);

- La projection quivalente de Bonne ;

- La projection Gauss-Crure (systme fuseaux), etc.

Afin de transformer les coordonnes gographiques en coordonnes rectangulaires, la

projection Lambert le principe suivant : sur la surface de la terre (fig. 3), on choisis le

mridien origine OP (celui de Paris) et une parallle origine OB (O : centre de la rgion

reprsenter).

La fraction de la surface terrestre avoisinant le (.) point sera reprsente en plans, dans un

systme de coordonnes rectangulaires XOY (fig.4) daprs les conventions suivantes:- Les mridiens sont reprsents par des droites concourantes en P - Les para llles sont reprsentes par des cercles concentriques ayant P pour centre. - Les longueurs mesures sur la terre sont conserves sur le // origine et sur lisomtre

central.

Lintrt de ce systme est quil est conforme cest dire il conserve les angles mesurssur le terrain (pour des longueurs des cots des angles infrieurs 10Km).

P

a

b

Figure 4

P

S

CA

BO

D

Figure 3

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Notions sur les projections quivalentes et conformes

Il sagit de transformer lllipsoide en plan. Il est vident que cette opration nest pas possible sans dformation de longueur, de mme quon ne peut pasaplatir la peau dune

demi-orange sans dchirement et sans compression de certaines parties.On utilise diffrentes transformations mathmatiques qui font correspondre chaque point de

lllipsoide un pointdu plan. Selon les procds utiliss, on peut conserver soit les angles ; cesont les projections conformes, soit les surfaces ; ce sont les projections quivalentes mais

tous les procds altrent les longueurs (causent des altrations).

Les projections conformes conservent les angles lmentaires forms par des mridiens

quelconques, les mridiens et les // se coupent un angle droit. Lindicatrice de Tissot est

alors un petit cercle de rayon a = b, ce qui signifie que lchelle est constante dans toutes lesdirections au voisinage dun point. La Projection conserve donc la forme des figures assez

petites par rapport la sphre (plus grande dimension < 2000 km).

Les projections quivalentes conservent les surfaces ou plus exactement les rapports des

surfaces de la terre la carte ; lchelle est variable autour dun point selon la directionconsidre, aussi lIndicatrice de Tissot est elle une ellipse telle que a b, mais, suivant la

position du point par rapport au centre de projection, le rapport a/b varie tan disque le produit

a x b reste gal lunit, ce qui signifie que laplatissement de lindicatrice varie mais lasurface reste la mme celle du cercle initial.

Le mridien

Le mridien est lintersection de la sphre derfrence avec un plan contenant la ligne des ples . Cest un arc de grand cercle. Le parallle : est lintersection de la sphre derfrence avec un plan perpendiculaire laligne de ples. Le parallle contenant le centre de la sphre sappelle lquateur. Cest un ar c

de grand cercle :Circonfrence mridienne + 400008,11 km

Circonfrence quatoriale + 40075,9 km

Le systme qui permet e reprer un point quelconque de la surface du globe est le systme de

coordonnes gographiques (S.C.G.). Il est constitu par un rseau de lignes orthogonales : les

parallles sont des lignes circulaires parallles lquateur, les mridiens sont sur la sphre,des grandes cercles passant par deux ples et, sur lellipsode des ellipses passant par les

ples.

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Lquateur et les mridiens sontdiviss en 360 ou en 400 grades. La division sexagsimale1 = 60, 1 = 60 est gnralement utilise sur le plan international et en astronomie. Une rotation de la terre = 360 24 heures, 15 1 heure, 15 darc = 15 = 1 min detemps. 15 darc = 15 = 1 seconde de temps.

La projection tunisienne

En Tunisie la carte topographique de base on t labor avec lutilisation de la projectionconique conforme de Lambert. Afin de minimiser les altrations linaires entre le nord et le

Sud, on a labor la carte en deux systmes :

Systme Lambert Nord et Systme Lambert Sud

+ +-

--

-+

X

Y

X

Y

Y

Ouest

P r o j e c

t i o n

L a m

b e r t

N o r

d - T u n

i s i e

P r o j e c

t i o n

L a m

b e r t

N o r

d - T u n

i s i e

MERIDDIEN

11Gr

EST de Greenwich

M r i d i e n

o r i g i n e

SYSTEME DE PROJECTION LAMBERT

42,5 gr

37,5 gr

39,5 gr 40 gr

37 gr

34,5 gr

Z o n e

d e

r e c o u v r e m e n

t

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Canevas de base godsique

Le rseau godsique national dun pays se ralise dans un double but:1- Scientifique : (connaissance de la forme et des dimensions de la terre).

2- Technique : (ossature, charpente, squelette pour tous les levs, carte dun pays plans grande chelle )

Le canevas godsique est gnralement une triangulation elle consiste dterminer les

coordonnes X et Y des sommets de triangles accols dont on mesure les angles et un certains

nombre de cots.

Lorientation dune base godsique est faite par dtermination astronomique. N.B. : les quipement du dernier temps (technologies de pointe) en loccurrence le GPS(Global Positioning System) permettent dores et dj la dtermination des coordonnes

planimtriques dun rseau avec beaucoup plus de facilit, de prcision en se basant sur laliaison avec une constellation de satellites.

Le service gographique de larme a cr (1924) en Tunisie un premier rseau godsique un premier rseau godsique comprenant des points de 1 er , 2 me et 3 me ordre.

- Le rseau de premier ordre form de triangles sensiblement quilatraux de 40 km de

cot comprend :

Une chane Ouest- Est qui forme le prolongement du parallle dAlger, de Souk Ahras lextrmit du Cap-Bon.

Une chane mridienne, stendant de Tunis Maatamer.

Des points de remplissage couvrant toute la Tunisie.

X

X

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- Le rseau de 2 me ordre appuy sur e prcdent est form de triangles plus petits et

moins rguliers.

- Le rseau de 3 me ordre appuy sur les deux prcdents de points que ne sont

gnralement pas stationnables.

Tous les points sont connus, selon les deux systmes utiliss en Tunisie : Les coordonnes

fuseaux et lorigine unique (coordonnes rectangulaires). Loffice de la topographie et de la cartographie Tunisienne (lOTC) a densifi depuis cettedate le canevas godsique par un rseau de 4 me ordre.

Les points godsiques sont maonns sur la face suprieure dun d de maonnerie estgrav un triangle quilatral ayant pour centre un tube mtallique noy dans le d.

Les usagers peuv ent se procurer de lOTC les coordonnes de ces points sur des feuillesappeles : fiches signaltiques dont lexempleest la page suivante :

Feuille N 4 SE Point : 14500 2 me OrdreA 1/ 50 000

Gouvernorat Nabeul

Lieu dit Nabeul Code .. Cr en 1990

Latitude LongitudeDsignation Coordonnes Lambert Coordonnes UTM Altitude

Principal Axe minaret + 50846.80 - 74902.68

Auxiliaire X Y

Dsignation dtaille du point principal

Le point est matrialis par laxe du minaretDe la mosque El Khbir

Croquis de reprage

Lev ditinraire

PlaceJamaa Elkbir

Rue El Haddad

A. Monji Bali

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Mesures angulaires

- Dfinition des angles

Langle horizontal a entre deux directions A et B et par dfinition langle didre comprisentre les deux plans verticaux passant par les directions. Cest encore langle form par les

projections des deux directions sur un plan horizontal.

Figure II.1 : Angle horizontal entre deux directions

Langle vertical V dune direction, est ce que fait cette direction avec le plan horizontal.Langle znithal est son complment. En gnral, le zro du cercle vertical se trouve vers leznith et les angles mesurs sont des angles znithaux ou appels encore distances znithales.

Znith

Figure II.2 : Angle znithal et son complment

A

Ba

Horizontal

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Mesure des angles horizontaux ou azimutaux

En Tunisie, les angles horizontaux sont compts positifs dans le sens contraire des

aiguilles dune montre (sens rtrograde).Les angles horizontaux peuvent tre mesurs de deux manires diffrentes :

- Directement graphiqus laide dun gonigoraphe: une planchette place horizontalementsur un trpied reoit une feuille de papier qui est fixe et sur laquelle le plan est dessin

suivant la vise effectue ;

- Mesurs en units laide dun goniomtre: un cercle ou un limbe horizontal est gradu envaleurs angulaires ; la lunette peut tre dirige volont sur un point de vise, son

dplacement commande celui dun index le long du limbe.

Figure II.3 : Mesure des angles horizontaux

Les instruments bass sur ce principe sont :

- lquerre optique;- Le cercle dalignement (uniquement pour les angles horizontaux);

- Les thodolites ordinaires et les thodolites lectroniques.

Procds de mesure des angles horizontaux :

a- Mesure de direction : Par ce procd, on lit des directions sur le limbe horizontal. Les

angles cherchs sont ensuite obtenus par soustraction de directions (en topographie on mesure

des directions et on dduit des angles) . Si lon mesure plusieurs fois les directions, on parle demesure de srie (ritration).

X

Y

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b- Mesure dangle : Dans ce cas, on mesure directement langle entre deux directions. Cettemthode ncessite lemploi dun thodolite rptiteur (cest le principe de la rptition).

c- Principe de la dtermination dune direction : La dtermination dune direction peut tre

effectu de plusieurs manires :

Par le calcul

Connaissant les coordonnes de S et B, on calcul le gisement de la direction SB partir de sa

tangente :

Figure II.4 : calcule du gisement dune direction

En mode goniomtrique

On prend comme rfrence intermdiaire une direction connue SA. On mesure langle ASB.Connaissant Gsa, on en dduit Gsb par la relation suivante :

Figure II.5 : Calcul dun gisement en mode goniomtrique.

Y

S

B

G tSB Tg G SB = (X B - X S) / (Y B - Y S)

GSA GSB = G SA + ASB

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En mode dclin

On mesure lazimut de la direction SB, angle form par la direction et laiguille aimante.Connaissant la dclinaison magntique do en dduit que G = Az magntique + d

Figure II.6 : Recherche de la dclinaison magntique

Dclinaison magntique

Cest langle du plan vertical contenant laxe du barreau (Nord magntique) avec le planmridien du lieu (Nord gographique). Le Nord magntique est donn par la direction de

laiguille aimante et la connaissance de la dclinaison permet de dterminer la direction du Nord gographique. La dclinaison nest pas un angle constant. Elle varie avec le lieu et letemps. Les lignes de mme dclinaison sont appeles isogones. La dclinaison varie peu

lorsquon se dplace du Nord au Sud. On admet en topographie que ladclinaison estconstante dans un rayon de 5Km.

Mthode de mesure des angles horizontaux :

Pour mesurer des angles horizontaux, on distingue cinq mthodes :

- La rptition

- Le tour dhorizon avec ritration - La mthode de couple

- Laltration de sens de rotation

- Le double retournement

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Mthode dobservation par rptition (mthode classique avec les anciens instruments)

Cette mthode qui tait trs utilise avec les anciens thodolites verniers, est peu utilise

avec les inst ruments modernes. Cest une mthode assez longue, qui ncessite un appareilrptiteur pour la mesure dun seul angle la fois.

Principe : cette mthode consiste juxtaposer (placer cote cote, dans une proximit

immdiate) sur le limbe. Un certain nombre de fois langle mesurer, en neffectuant que lalecture initiale et la lecture finale.

Mode opratoire : En cercle gauche, le mouvement gnrale bloqu, on pointe R et on fait une

lecture I1. Avec le mouvement particulier (alidade tant mobile) on pointe A sans faire de

lecture.

- Bloquer le mouvement particulier et avec le mouvement gnral on pointe R (sans faire de

lecture).

- Bloquer le mouvement gnrale et pointer une deuxime fois a (sans lecture) et ainsi de

suite.

Si : - n est le nombre de rptition ;

- m1 est la premire lecture

- mn est la dernire, langle cherch sera alors: (m n - m 1) /n

Figure II.7 : principe de la mthode par rptition

Il faut signaler que toutes les mthodes servent liminer les erreurs.

Mthode dobservation en tour dhorizon avec ritration :

Cette mthode est utilise avec les thodolites munis dun dispositif de dcalage de limbe(bouton ritration avec lequel on peut amener une lecture prdtermine, la lunette restant

pointe sur lobjet ou la cible vise sur les thodolites Wild T2).

AS(Station)

R

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On appelle tour dhorizon lobservation successive des points A, B, C, , A. Le point A choisi

comme origine est observ de nouveau a fin de boucler le tour complet et dassurer un

contrle dit de fermeture.

La mesure des angles se fera par squences et tour dhorizon. On appelle squence unensemble de lectures effectues en une mme station, avec une seule position du cercle, une

origine prdtermine du limbe, et un contrle de fermeture sur lorigine (rfrence). On appelle paire de squences (une srie), deux squences successives avec dcalage du

limbe, retournement de la lunette (du cercle gauche CG en cercle droite CD) et inversion du

sens dobservation.

Les thodolites de prcision sont utiliss pour des vises trs longues (plusieurs

kilomtres ou pour des travaux de prcision). Le nombre de paires de squences (sries) sera

1, 2, 4 ou 8 selon la prcision demande, et la longueur des cots.

Figure II.8 : Nombre de paires de squences

Premire squence :

1- Pointer le cot origine en CG (par exemple) ;

2- A laide du bouton de dcalage du limbe amener le zro de la graduation trs prs delindex de lalidade;

3- Faire la lecture L R sur la rfrence, aprs avoir effectu la concidence, soit 0.0243 gr ;

4- Tourner la lunette sur la droite, pointer le cot A et faire la lecture, soit 88.4251gr

(Lecture L A )

5- En tournant toujours sur la droite, viser la rfrence L R soit 0.0253.

La fermeture est +10 dmgr.

Sens de rotationPosition du cercle

Origine (en gr)

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COURS TOPOGRAPHIE

Figure II.9 : Principe de la mthode par squence .

Deuxime squence :

1- Effectuer un double retournement ;

2- Pointer le cot origine en CD ;

3- A laide du bouton de dcalage du limbe, amener la gradation 100 gr trs prs delindex de lalidade;

4- Faire la lecture sur LR, soit 100.0720 gr ;

5- Faire la lecture sur A en tournant la lunette sur la gauche, soit 188.4727 gr ;

6- Effectuer la fermeture sur la rfrence LR, soit 100.0714 (-6 dmgr).

Fermeture dun tour dhorizon (fermeture dune squence) :

Cest la diffrence entre les lectures douvertures et de fermeture. Elle doit tre calculesur le terrain. La fermeture sur la rfrence ne doit pas dpasser la tolrance correspondante

la prcision demande de la mesure. La fermeture met lvidence les fautes (pointage faux,dplacement en mouvement gnral) et les erreurs ainsi. On admet en gnrale un cart de

fermeture pour un thodolite Wild T2 ou Zeiss Th2 10dmg.

Tout tour dhorizon ayant une fermeture suprieure devra tre repris. La valeur adopte est lamoyenne entre louverture et la fermeture.

Rduction des lectures zro sur lorigine :

Cette opration consiste retirer chaque lecture dune mme squence, la lecture moyennesur la rfrence. Le tableau suivant illustre cette technique de rduction.

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Station Points viss Lectures

CG

Lect. CG

ramene

0

Lectures

CD

Lect.CD

ramene

0

Moyenne

S1

Rfrence 0.0243 0.0000 100.0714 0.0000 0.0000

A 88.4252 88.4004 188.4727 88.4010 88.4007

Rfrence 0.0253 0.0000 100.0720 0.0000 0.0000

Fermeture +10 dmgr Fermeture -6 dmgr

Moyenne 0.0248 Moyenne 100.0717

Tableau II.1 : Technique de rduction sur la rfrence.

Tolerance des thodolites: Wild T2, Zeiss Th2 ou Kern DRM2A :

Entre les moyennes de des squences successives 18 dmgr. Entre les moyennes de deux

paires de squences successives 13 dmgr. Entre les moyennes de quatre paires de squences

successives 5 dmgr.

Lcart maximum entre la valeur le plus petite et la plus grande des quatre paires de

squences ne devra pas dpasser 25 dmgr. Toute squence qui dpassera cette valeur devratre recommence ainsi que la squence qui lui est associe (CG, CD) car seul la moyenne

dune paire de squence est affranchie des erreurs systmatiques instrumentales. Par exemple : un cart suprieur 25 dmgr dans la squence CD 150 grades implique la

reprise de cette squence ainsi que celle CG 50 grades.

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ISET NabeulHotel

SUN BEACH

HotelMANAR

Hpital

Chteau deau (rfrence)

MinaretMrezga

Jalon

MinaretSidi MahrsiJalon Jalon

Poteau lectrique

Drapeau

La croise des fils de rticule

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Mesure des angles verticaux :

Les thodolites ont en plus de leur fonction "goniomtre" une fonction "climtre", cest--dire quils permettentla mesure des angles verticaux.

Le limbe vertical des tachomtres fonction climtre peut tre gradu en :- Site ( i) : angle de la vise avec lhorizontale;- Angle znithal ( z) : angle de la vise avec la verticale ascendante ;

- Angle nadiral ( n ) : angle de la vise avec la verticale descendante.

Figure II.10 : Principe de mesure des angles verticaux.

La figure suivante montre les diffrentes sortes de graduations du cercle vertical :

Figure II.11 : Diffrentes graduations du cercle vertical.

0

200

100300

e- Kernd- Wild

100

100

00

100 /0

100 / 0

100 / 0100 / 0

100

300

400 / 0200

c- Chasslon ba

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Puisque le but de lclimtre est de donner les angles dinclinaison, on a dabord logiquementutilis des appareils sur lesquels le zro est lhorizontal (Figure 1a). Chaque quadrant est divis de 0 100 gr. Les inconvnients sont de deux sortes :

1- il faut complter langle par son signe, 2- les lectures en position CG ne se diffrencient pas sur le carnet de celles effectues en CD.

Or, lerreur de collimation sur langle dinclinaison change designe avec le doubleretournement (changement de position de la lunette bout bout).

Certains appareils donnent en position CG la distance znithale Z et en position CD son

complment 400 gr. Cest la graduation du tachomtre Moinot (1855) reprise par Wild pour tous ses appareils.

Langle dinclinaison est gal :

i = 100-Z en CG

i = Z-300 en CD.

Kern a adopt une graduation en distances nadirales N (Figure 1e). Langle dinclinaison en position CG est gal :

i= N-100 en CG ;i= 300- N en CD.On voit quavant dutiliser un appareil, il faudra reconnatre avec soin le genre de

graduation de son climtre.

Lorsquon veut obtenir une meilleure prcision, on opre par double retournement et on fait

les mmes oprations de mesure de langle vertical en position CG et CD.

Le tableau la page suivante peut tre un document significatif pour des mesures et des

applications dans les travaux pratiques pour la dtermination des angles verticaux et qui

servira par la suite dans le nivellement trigonomtrique.

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Schma matrialisant langle dinclinaison vertical (angle de site) en vise directe et inverse en adoptant Hi = H v H i = Hauteur de linstrument (hauteur de laxe secondaire) Hv = Hauteur du fil niveleur

En cercle gauche C.G : i = 100 - z

En cercle droite C.D : i = z - 300

0mire

i

i

i

i

i

ii

i

i

i i

i

i

z

i

i

i

z

zz

z

zz

0

0

0

0

mire

mire

mire

mire

d

i

d

dd

i

ii

Sens du marche

d

i Vise directe

Vise inverse

Ce genre dobservations et de calculesconcernent les instruments qui sontquips dun cercle vertical gradu

partir de zenith

300

200

0

100

Cercle vertical

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StationH i

Pointsvises

dOu

i

Angles verticauxSite moyen

iCercle gauche

C.GCercle droite

C.D

A

1,53 B98,28 301,74 + 1,73

d 400,02 + 1,73

BA

C

i 101,75 298,27400,2 - 1,74

1,54 d 96,85 303,17 + 3,16400,02 + 3,15

CB

D

i 103,15 296,86400,01 - 3,14

1,49 d 103,20 296,83 - 3,18400,03 - 3,18

D

C

E

i 96,82 303,19

400,01 + 3,181,52 d 103,48 296,54 - 3,47400,02 - 3,47

ED

F

i 96,54 303,48400,02 + 3,47

1,56 d 104,14 295,88 - 4,13400,02 - 4,13

FE i 95,87 304,15

400,02 + 4,141,48

d = vise directei = vise inverse

Mire centimtrique vise la mme hauteur que linstrument hi= h

v

A

D

E

B

C

F

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Collimation verticale

Les thodolites et les tachomtres, quils soient collimation verticale manuelle ou automatique, necalent pas en gnral le zro au znith. La ligne 0.200 gr du limbe fait avec la verticale un petit angle

Z0 appel dfaut de collimation verticale. On limine ce dfaut soit par un double retournement, soit par vises directe et inverse.

1- Graduation znitale et continu :

Figure II.12 : Dfaut de collimation verticale.

La ligne 0.200 gr prend deux positions symtriques par rapport la vertical :

Dans la position CG on a :

Z = Lecture CG z0Dans la position CD on a :

Z = 400 gr lecture CD +z0,do

Z = (400 gr + lecture CG lecture CD)/2.La quantit Z 0 et par la suite la somme de lecture CG et lecture CD est une constante de lappareil.En pratique, on dtermine : 400 gr lecture CG + lecture CD = 2Z 0.

Exemple :

la lecture CG = 98.34 gr, le lecture CD = 301.70 gr,

400-98.34+301.70 = +0.04 gr = 2Z 0

Chaque lecture est forte de 2 cgr, on obtient alors ;

lecture CG = 98.32 gr et lecture CD = 301.68 gr,

Z

z0

Vise A

CG

z

0

200

300

100

Z

Z

Sens degraduation

z0

Vise A

CD z

0

200

300

100

Z

Sens degraduation

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COURS TOPOGRAPHIE

lecture CG + lecture CD = 400.00 gr,

donc

Z= 98.32 gr et respectivement i = +1.68 gr.

Une vrification donne : Z = (400+98.34-301.70)/2 = 196.64/2 = 98.32 gr.

Si Z 0 est trop important (plus de 100 dmgr sur Wild T2 ou plus de 10 cgr sur Wild T16), il convient

de rgler la nivelle lie au limbe vertical.

1- Certains instruments ont une graduation du limbe vertical discontinue, peu utilis en topomtrie.

Citons pour mmoire :

- le Wild T3 utilis en godsie : le limbe vertical est gradu en doubles grades de 50 150, Z = 100

+ lecture CD lecture CG.

La mesure angulaire est base sur lensemble de trois axes cits ci-dessous :- Axe principale ou encore appel Pivot ;

- Axe secondaire (axe des tourillons). Ce dernier tournant autour de laxe vertical ;

- Axe optique (axe de la lunette) bascule dans un plan vertical autour de laxe horizontal qui est

secondaire.

Contrle et rglage dun thodolite :

Pour contrler et rgler un thodolite, il faut suivre les rgles pratiques suivantes :

1) Laxe secondaire doit tre perpendiculaire laxe principale ;

2) La directrice de la nivelle de lalidade doit tre perpendiculaire laxe principal ;

3) Laxe optique de la lunette doit tre perpendiculaire laxe secondaire ;

4) Laxe de la nivelle dindex (du cercle vertical) doit tre parallle la ligne de vise : le zro

du limbe vertical doit tre parallle laxe principal.

Erreurs systmatiques dues un dfaut de rglage :

On distingue quatre sortes derreurs systmatiques savoir :

- Erreur de verticalit de laxe principal: Cette erreur est cause par la sensibilit et par la paressede la nivelle (limination par rglage). Il nexiste pas de mode opratoire pour liminer cette erreur ;- Erreur de collimation horizontale : On la dtermine avec le contrle suivant :

C H = (lectureCD-lectureCG-200)/2,

laxe vertical ZZ non perpendiculaire TT. Le double retournement est le mode opratoire

appropri pour son limination ;- Erreur de collimation verticale :

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COURS TOPOGRAPHIE

CV= (lecture CD-lectureCG-400)/2.

Le double retournement est le mode opratoire appropri pour son limination ;

- Erreur de basculement :

b =C H (cosi-1)/2sini, avec i angle vertical.

Le double retournement est le mode opratoire appropri pour liminer cette erreur.

Suivant le formulaire du contrle dun thodolite (voir formulaire la page suivante), on

dtermine dans les procds appropris les valeur derreur : de collimation horizontal, de

collimation vertical et lerreur de basculement, il faut effectuer le rglage correspondant et contrler le thodolite avant chaque utilisation, mais il substituera des valeurs trs petites (erreurs rsiduelles)

qui doivent tre limines par un mode opratoire appropri.

Erreurs systmatiques dues un dfaut de construction :

On distingue cinq sortes derreurs de ce genre savoir :- Erreur dexcentricit des cercles;- Erreur due au dfaut du rectitude de lalidade;- Erreur de graduation du limbe ;

- Erreur due lexcentricit de la lunette;- Erreur due au dfaut de perpendicularit du plan du limbe sur laxe verticale ZZ.

Dans les limites des prcisions, nous utilisons des modes opratoires pour compenser ces erreurs

systmatiques.

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Formulai re du contrle dun thodolite

DEPARTEMENT DE GEOMATIQUEOPTION : TOPOGRAPHIE

CONTROLE DUN THEODOLITE

Instrument :.. nom : .............................. Numro : .. ... Date : classe :

OBSERVATIONS :

Position collimation horiz. Erreur de basculement et coll. verticale

Direction horiz. Angle verticali

II. . .

I- . - . + .

= . = . = .

- 2 0 0 . 0 0 0 0 - 2 0 0 . 0 0 0 0 - 4 0 0 . 0 0 0 0

= . = . = .

N 0 . 5 2sini1cosi

N 0 . 5

c = b = z0 = .

Cos i :Sin i :

Formules : c = (II-I-200) b = (II-I-200)2sini

1cosi z0 = (I+II-400)G G G

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Erreurs accidentelles :

-Erreur de point : e p = 100/G.

-Erreur de lecture : e l = 2-100,

cette erreur dpend de la qualit des divisions du limbe et du grossissement des systmes de lecture(micromtre, microscope, etc.. ;

- Erreur de calage (centrage) de la bulle :

ec = 2 20,

elle dpe nd du rayon de courbure de la nivelle et aussi suivant le dispositif dobservations de la bulle(systme concidence) ;

- Erreur de centrage de linstrumentsur la station.

Les erreurs cites sont invitables, elles sont dues la p rcision de linstrument, lapprciation deloprateur, aux conditions atmosphriques, on ne peut pas les liminer laide dun mode

opratoire appropri, on peut les rduire en prenant la moyenne dun grand nombre dobservation :

E m =n

em

Avec : Em : erreur commise sur une mesure ; n : nombre de mesures effectues.

Prcaution dans la mesure des angles :

1- Il faut liminer toujours la torsion des trpieds ;

2- Il faut pointer toujours avec la mme partie du rticule (la croise des fils stadimtriques) ;

3- Dans un tour dhorizon la rfrence doit tre choisie oppose au soleil pour une meilleure ponte;4- Il faut viter les mouvements autour des trpieds, seul loprateur doit tre proche;5- Le pointage toujours dans le mme sens ;

6- Eviter les mesures dans les conditions atmosphriques non convenables (les vents, pluies, des

vises contre le vent, etc.)

1- Lerreur de point est variable selon quil sagit dun point par contact (pointordinaire) par bissection ou par encadrement :

On appelle erreur de point lerreur avec laquelle on amne limage dun objet vis se former sur un des traits stadimtriques du rticule de la lunette :

On distingue plusieurs types de pointe :

a) le point par contact ou superposition ou appel encore point ordinaire,

si on dsigne par G le grossissement de la lunette, lcart type angulaire de point est: point = 1/G = 100 sc/G

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contact

b) le point par bissection (point en direction)

c) le point par encadrement

Dans ces deux derniers types de point plus prcis, on peut admettre un cart type angulaire de

point p compris entre 30 sc/G et 50 sc/G

Encadrement

2- Erreur de lecture : E l = 2sc 100 sc suivant la qualit des divisions de limbe et du grossissement

des systmes de lectures (micromtre, microscopes,)

Sensibilit dune nivelle sur un instrument topographique

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On appelle sensibilit dune nivelle de langle pour lequel le dplacement de la bulle est de 2mm soit= l/R

1- en radians : = 2(mm)/R(mm)

2- en secondes sexagcimales : = 2(mm)x200000/R(mm)

3- en secondes centicmales : = 2(mm)x600000/R(mm)

Cette vale ur ne signifie que la position de la nivelle ne peut tre dfinie qu cet angle prs, cestseulement une unit commode qui correspond approximativement au dplacement de la bulle dunedivision. On peut en ralit obtenir une prcision denviron le 1/10de cette sensibilit et mmemieux avec un dispositif dobservations prismes en respectant certains faons doprer.

Dtermination du rayon de courbure dun nivelle :

La prcision de la nivelle tant fonction du rayon de courbure, il est ncessaire de pouvoir le

dterminer pour connatre la prcision des mesures effectues et la limite demploi de linstrument.

Une vrification sur terrain nous permet de dterminer dune faon exprimentale le rayon decourbure (voir figure ci- aprs) On place lappareil, bulle entre ses repres, en A.

T T '

MN

A

o

T '

T

N

M

B

l

a

o

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Et on fait une vise M sur une mire : OM = D

On dcale la bulle du niveau dune longueur AB qui correspond une inclinaison . La lunette quiest solidaire de la nivelle sest galement incline de . La lecture sur la mire est alors M. on a:MM = Dtg et AB = .R Or langle tant trs petit, on peut assimiler la tangente larc, do:

= MM/D = AB/R on en dduit R = AB.D/MM Exemple :

Soit une mire situe 60m. Pour un dplacement de la bulle de 4 divisions = 8mm, on a sur la mire

une variation de 20mm, do: R = 8x600000/20 = 24000mm soit 24m

Les nivelles sphriques ont un rayon de courbure de 0,50m. Le rayon de courbure des nivelles des

appareils topographiques varie de 5 50m (15 20m) pour les nivelles les plus courantes. Pour les

appareils de godsie R varie de 70 100m, en astronomie R atteint 400m.

La somme des angles intrieurs dun triangle quelconque a la valeur de 200gr. +b+c = 200gr

Un polygone quelconque peut se dcomposer en un ensemble de triangles. Si ce polygones (N)cots, alors : angles intrieurs = (n-2) x 200gr angles extrieurs = (n+2) x 200gr

Langle topographique :

Lappareil tant en station en 2 (voir figure), loprateur

A BM

M

O

O

D

A

C

B

a b

c

2D

G

Sens de marche

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Sest fix un sens de parcours (flches) et systmatiquement, il effectue une vise arrire (Lar), viseavant (Lav).

Par convention, nous appellerons angle topographique la quantit : (Lar-Lav) = Deux cas peuvent se prsenter :

a- si le limbe de lappareil est gradu dans le sens de la marche des aiguilles dune montre, la

valeur obtenue correspond langle de droite ( D) b- si le limbe est gradu dans le sens rtrograde , on obtient langle de gauche (G)

Rappel de trigonomtrie lmentaire

Formules de priodicit :

Sin( + k2 ) = sin sin(- ) = -sin sin( - ) = cos cos( + k2 ) = cos cos(- ) = cos cos( - ) = sin tg( + k2 ) = tg tg(- ) = -tg tg( - ) = cotg cotg( + k2 ) = cotg cotg(- ) = -cotg cotg( - ) tg

sin0 = 0 sin100 = 1 sin200 = 0 sin300 = -1 sin( /2 + ) = cos

cos0 =1 cos100 = 0 cos200 = -1 cos300 = 0 cos( /2 + ) = -sin tg0 = 0 tg100 = tg200 = 0 tg300 = tg ( /2 + ) = -cotg cotg0 = cotg100 = 0 cotg200 = cotg300 = 0 cotg( /2 + ) = -tg

sin(100gr + ) = cos sin(100gr - ) = cos sin(200gr - ) = -sin cos(100gr + ) = -sin cos(100gr - ) = sin cos(200gr - ) = -cos tg(100gr + ) = -cotg tg(100gr - ) = cotg tg(200gr - ) = tg cotg(100gr + ) = -tg cotg(100gr - ) = tg cotg(200gr - ) = cotg

3

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sin (200gr - ) = sin sin(300gr + ) = -cos sin(300gr - ) = -cos cos (200gr - ) = -cos cos(300gr + ) = sin cos(300gr - ) = -sin tg (200gr - ) = -tg tg(300gr + ) = -cotg tg(300gr - ) = cotg cotg (200gr - ) = -cotg cotg(300gr + ) = -tg cotg(300gr - ) = tg

tg = sin / cos cotg = 1 / tg = cos / sin sec = 1 / cos cosec = 1 / sin

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En considrant les valeurs absolues des fonctions circulaires en dduit que : Deux angles supplmentaires (leur somme ou leur diffrence est gale 200gr ou 400gr) ont

la mme ligne trigonomtrique. Deux angles complmentaires (leur somme ou leur diffrence est gale 100gr ou 300gr) ont

leur lignes trigonomtrique oppose.

Autrement dit :o Lorsque le chiffre des centaines de grades est pair la ligne trigonomtrique ne change

pas.o Lorsque le chiffre des centaines de grades est impair la ligne trigonomtrique change.

Exemples : sin 120gr = cos 20gr , sin 220gr = sin 20gr

Relations dans les triangles : rappel de la rsolution dun triangle:tg c^ = oppos / adjaant = c/b 1er cas : on donne b^ et aCotg c^ = adjaant / oppos = b/c c^ = 100gr b^ , b = a sin b^Sin c^ = oppos / hypotnuse = c/a c = a cos b^Cos c^ = adjaant / hypotnuse = b/a tg c^ = c/b (contrle)

2me cas : on donne b^ et b : c^ = 100gr b^a = b / cos c^c = b cotg b^sin c^ = c/a3eme cas :4eme cas :

on donne a et b on donne b et csin b^ = b/a , b^ + c^ = 100gr (contrle)tg b^ =b/c , a = sin b ou a = b + c cos c^ = b/a cos c^ = b/a , b^+c^ = 100gr (contrle)c = a cos b^

Nota : Dans chaque cas la superficie sobtient par la formule:S = b*c

Formules dans le triangle quelconque :La plupart des problmes topographiques font appel la formule dite relation des sinus .

a/sin A = b/sin B = c/sin C

a = b sin A/sin B = c sin A/sin C b =

a sin B/sin A = c sin B/sin Cc =

a sin C/sin A = b sin C/sin B

Dsignons :AB par cBC par a

AC par b

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On se vrifie en fonction des lments calculs par :, mais on a aussi S = a*b*sinC = a*c*sinB = (a*b*c)/4R

2eme CAS :TRIANGLE DEFINI PAR UN ANGLE ET LES DEUX COTES DE CET ANGLE

Donnes :A , b , c (fig2)Inconnues :B , C , a , S

1er CALCUL : application du thorme des tangentes :

(b + c)/(b c) = (tg((B + C)/2))/(tg((B C)/2))(fig2)

(B + C)/2 = 100 A/2 et tg((B C)/2) = ((b c)/(b + c)) * cotg A/2 do (B C)/2on obtient : B = (B + C)/2 + (B C)/2 et C = (B + C)/2 - (B C)/2si b

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3eme CAS : TRIANGLE DEFINI PAR UN ANGLE , UN COTE DE CET ANGLE ET LE COTEOPPOSE A CET ANGLE :

Ce cas est appel cas douteux : deux solutions peuvent se prsenter , il faut choisir celle dont on a besoin.

Donnes : A ,a ,b (fig3)Inconnues : B , C , c , S .De la relation des sinus , on a sin B = b sinA/aSachant que sin( - ) = sin , deux solutions se prsente (voir discussionci_dessous) : soit on obtient B (1 er solution) , soit on obtient B = 200 B(2eme solution) , ces deux angles ayant mme sinus .

c = AB(fig3) c = AB

C = ACB

C = ACB Ensuite on a C = 200 (A + B) (1 er solution)Ou C = 200 (A + B) (2eme solution) ,Puis on calcule c = a sinC/sinA = b sinC/sinB , c est ainsi vrifi et on prend la moyenne pour cdfinitif (1 er solution)De la mme manire c = a sinC/sinA = b sinC/sinB (2eme solution)

Calcul de S = * a* b*sinC = * b* c*sinA (vrification,1 er solution)De la mme manire S= * a* b*sinC = * b* c*sinA(2 eme solution)Dans la relation sinB = b*sinA/a , on a a*sinB = b*sinA et on doit avoir a b*sinAPuisque sinB 1 . on obtient les solutions ci_dessous :

a = b*sinA Triangle rectangle en B A 100gr 0 solution

A < 100gr 1 solutiona < b*sinA 0 solution

a > b*sinA A < 100gr a < b 2 solutionsa b 1 solution

A >100gr a > b 1 solution

a b 0 solution

4eme CAS : TRIANGLE DEFINI PAR SES TROIS COTESRappels de gomtrie :

Le centre du cercle inscrit est le point dintersection des bissectrices Les points D , E et F tant les points de contact de ce cercle , les droites AE , BF et CD sont

concourantes (thorme de cva) Si P est le demi-primtre du triangle , on a P a = AD = AF

P b = BD = BEP c = CE = CFS2 = P(P a) (p b) (P c)S = P*r (r= rayon du cercle inscrit)

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Donnes : a , b ,c (fig4)Inconnues : A , B , C , S .

(fig4)

On obtient : r = (((P a) (p b) (P c))/P) avec P = (a + b + c)/2

Et tg (A/2) = r/(P a) ; tg (B/2) = r/(P b) ; tg (C/2) = r/(P c) do A , B et C . On peut aussi obtenir les angles par lapplication du thorme de Pythagore gnralis:

a = b + c 2*b*c*cosA cos A = (b + c a)/2bc . par analogie , on a :

cos B = (a + c ba)/2ac et cos C = (a + b c)/2ab

Contrle : A + B + C =200gr

On calcule la superficie par : S = P(P a) (p b) (P c) = r*P ,ou S = * b* c*sinA , ou S = * a* c*sinB , ou S = * a* b*sinC (vrification)

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EXEMPLES

Donnes Formules Calculsintermdiaires

Rsultat(gr , m , m 2)

(fig1)B = 69,894gr , C = 51,312a = 315,17m

A = 200 (B + C)

b = a sinB/sinAc = a sinC/sinA

S = * a 2 / cotgB + cotgC

S = * b* c*sinA vrification

A = 78,794 b = 296,90c = 240,63

S = 33758,11

S = 33757,99

(fig2)

A = 31,283gr , b = 251,36mc = 412,29

tg B = (b*sinA)/(c b*cosA)tg C = (c*sinA)/(b c*cosA)

a = b*sinA/sinB= c*sinA/sinC

S = * b* c*sinA

S = * a* c*sinB

tg < 0 +200A + B + C =200gr vrification

vrification

B = 35,426C = 133,291a = 224,55

S = 24449,86S = 24449,95

(fig3)A = 33,632gr , a = 165,33m

b = 301,45

sin B = b sinA/a

C = 200 (A + B)c = a sinC/sinA = b sinC/sinB

S = * a* b*sinCS= * b* c*sinA

B = 200 BC = 200 (A + B)

A < 100gr et a < b

2 solutions

vrification

vrification

vrification

vrification

B = 74,210

C = 92,158c = 325,51S = 24730,54S = 24730,31

B = 125,790 C = 40,578 c = 195,19

S = 14829,67 S = 14829,37

(fig4)a = 198,12m , b = 246,86c = 171,14

cos A = (b 2 + c2 a2)/2bccos B = (a 2 + c2 ba2)/2ac

cos C = (a 2 + b2 c2)/2ab

S = * b* c*sinA

S = * a* c*sinB

A + B + C =200gr

vrification

A = 58,769

B = 92,850C = 48,381

S = 16846,25

S = 16846,32

Mesures des distances

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COURS TOPOGRAPHIE

Introduction

Dune faon gnrale, une distance mesure entre deux points est toujours ramene lhorizontalesoit par le calcul, soit directement par la mthode ou linstrument utilis lors de mesurage. La mesure des distances seffectue de trois faons: par la mesure directe, par la mesure indirecte ou

par la mesure lectronique.

Mesure directe des distances/

Dfinition

Une mesure des distances est a ppel directe lorsquon parcourt la ligne mesurer en appliquant bout bout un certain nombre de fois linstrument de mesure. Instruments de mesure :

Ce sont : le mtre, le double mtre, les rgles en bois, ou en mtal de longueur 1,5 2m, la chane

darpenteur variant entre 10 et 50m. Comme instruments accessoires on a : les fiches (tige de fer de30cm de longueur), le fil plomb, les jalons,..

Chanage dun terrain horizontal :Tous les terrains sont considrs comme horizontaux si leur dclinaison de pente nexcde pas 2 8%.

Le chanage est accompli par un oprateur et un aide qui porte un jeu de 11 fiches et deux anneaux

qui servent marquer la fin de la chane. Exemple de chanage directe : mesure de la longueur des

routes ou des galeries sous terrain (mines).

Chanage dun terrain inclin :La vraie distance entre deux points sur un terrain inclin (distance utilise en topographie) est la

distance horizontale. Il y a donc lieu lorsquon reporte une mesure suivant la pente sur un plan de larduire lhorizontale.

Si Dp est la longueur mesure AB, sa projection horizontale AB est la distance: Dh = Dp.cosi.

Chanage par cultellation

B

B A

Dp

Dh

appoint

A

B

C

i

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COURS TOPOGRAPHIE

Ce procd consiste porter la chane horizontalement en passant dune porte lautre par un rappelvertical avec un fil plomb ou avec la fiche plombe. La distance totale est la somme des distances

partielles. Cette mthode qui vite la ncessit de mesurer langle de pente et de faire des calculs estle plus souvent utilise

Les fautes et les erreurs dans le chanage :

- fautes : oubli dune porte de ruban, faute de lecture, les fautes reprsentent en gnralun cart important. Le mesurage aller et retour fait apparatre les fautes.

- On peut donc liminer et amliorer le rsultat.

- Erreurs systmatiques : talonnage, dilatation, lasticit, alignement, dfaut

dhorizontalit, erreur due la tension de la chane En tenant compte des erreurs et des conditions ci-dessous on considre que le procd direct de

mesure des longueurs :le chanage est procd PRECIS.

Les diffrences entre aller et retour doivent tre :

Conditionsde

mesurage

Echelles1 : 500 1 : 1000 1 : 2000

Erreur relative

Erreur pour 100m

Erreur relative

Erreur pour 100m

Erreur relative

Erreur pour 100m

Bonnes conditionsi 8%

1/2000 5,0cm 1/1500 6,5cm 1/1000 10cm

Le jalonnement :

lopration consiste ligner un certain nombre dobjets qui facilitent la mesure de distances partielles. Le jalonnement dun alignement peut se faire, selon la longueur et la prcision demande:

vue, au fil plomb, laide dun jalon, au moyen du rticule dune lunette, avec un laser dalignement ; plusieurs cas peuvent se prsenter :

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COURS TOPOGRAPHIE

1- de A on voit B et le jalonnement est sans obstacle. Loprateur installe en B un jalon ou untrpied dappareil. Il se place derrire lorigine A et fait installer les jalons intermdiaires encommenant par le plus loign.

Dans le cas dune distance courte, loprateur peut aligner chaque porte de ruban sans jalonnement pralable.

2) de A on voit B, mais une partie de lalignement CD par exemple nest pas visible (dpression ouchangement de pente)

Loprateur installe un jalon en C do il voit B et D Il opre ensuite de la mme manire que prcdemment

1) procd dit du fourrier le point B nest pas visible de A.

Loprateur M se place aussi prs que possible de lalignement AB, de telle sorte quil puisse voir B, par exemple en M 1. Laide N align par loprateur su M1B se place en N 1 do il aligne son tour loprateur en M2 sur N 1A. Loprateur M2 aligne ensuite laide en N2 sur M 2B. et ainsi de suite

oprateur

Jalons

A

B

A B

CD

A M

N1

A

B

B

N2

N

M

M1

M2

Plan

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COURS TOPOGRAPHIE

jusqu ce que les alignements successifs aboutissent aux pointscorrects M et N, o les rectificationsde position ne sont plus ncessaires.

Mesure Indirecte des Distances :

Dfinition : La mesure indirecte des distances ou stadimtrie consiste dterminer une distance L en

valuant sur une mire ou sur une stadia la longueur intercepte par deu rayons optiques issus dunmme point.

Principe :

La stadimtrie est base sur le principe des triangles semblables. Un oprateur plac derrire

linstrument mis en station son il au point G situ lune des extrmits de la ligne mesurer OC.La mire ou la stadia est dresse suivant la verticale AB lautre extrmit. Loprateur vise traversun cran transparent ab (a : fil suprieur du rticule, b : fil infrieur). Dans les triangles semblables

OAB et oab on a : H /h = L /d soit d/h x H = L

H et d sont des constantes de lappareil, H est variable. On pose d/h = k : coefficient constant ga l 25, 50 ou 100 suivant linstrument utilis, on peut donccrire en dfinitive

L = k.H

Mire verticale : stadimtrie non rductrice

La mire tant tenue verticalement en B, les lectures stadimtriques l et m ne permettent pas dobtenir la distance horizontale entre A et B. des corrections sont appliquer.

Soit B un point sur la mire correspondant la hauteur de linstrument (ht = hv).

L

a

b

c C H

B

A

O

d

a

b

h

Ecran derticule

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COURS TOPOGRAPHIE

Linstrument tant en A, on vise B avec le trait niveleur et on fait les lectures l et m sur la mire avecles tr aits stadimtriques. Considrons, en premire approximation, au point B la perpendiculaire lavise AB. elle coupe les droites Al et Am aux points a et b.

Les triangles Bal et Bmb sont sensiblement rectangles en a et b et leurs angles en B sont gaux i,inclinaison de la vise sur lhorizontale (en effet langle de site en A est gal langle i en B car leurs cots sont respectivement perpendiculaires)

Donc

aB = lB.cosi bB = mB.cosi do ab = lm .cosi

ce qui entraine : dp = AB = lm.100.cosi dh = dpcosi = lm.100.cosi

Exemple : lecture trait stadimtrique suprieur l = 1, 676

lecture trait stadimtrique infrieur m = 1, 364

le site mesur sur B (ht = hv) est gal 4,28gr on aura dh = (1,676 1,364)(100)(cos4,28) = 31,20 x 0,995487 = 31,06m

les stadimtres autorducteurs :

parmi les instruments qui possdent un dispositif autorducteur on cite le tachomte Kern K1RA.

Sur cet instrument les traits stadimtriques sont ports par deux plaques de verre. Lune fixe, lautre

mobile, dont les dplacements sont commands par une came (pice tornante en gnral un disque).

i

i

a

b

B

l

m

B

dp

i

dh

dhH

A

A

ht

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COURS TOPOGRAPHIE

cette came tourne dun angle 2i quand la lunette tourne en site dun angle i. un anneau (cercle de matire, gnralement dure, auquel on peut attacher ou suspendre qqch.)

commutateur (sert modifier), centr sur laxe des tourillons permet de passer de lapositionD (position de mesures des distances) la position (position de mesure des dniveles).

Le coefficient du rapport stadimtrique est une constante 100

La distance horizontale Dh en position D :(1,456 1,300) x 100 = 15,60m

Avantages de ce procd autorducteur :

1- les traits stadimtriques horizontaux,

2- Il nest pas ncessaire que le trait vertical du rticule soit rigoureusement au milieu de la mire. Ce procds est considr comme procd relativement prcis, surtout lorsquon opre en visedirecte et inverse et que langle de site i

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Loprateur en station S, mesure langle horizontal ou appel angle parallactique entre A et B avecun thodolite de prcision (Wild Leica T2, T3, ). Le calcul donne la distance horizontale :

AB = 2m = constante, AM = 1m A = 100gr /2 , 1/sin ( /2) = SM/cos(/2)Do cos(/2) / sin ( /2) = cotg ( /2)SM = 1/tg(/2) = cotg( /2) = distance horizontale.

Le procd parallactique de mesure des longueurs est un procd prcis. La prcision de mesure

dune distance allant 100m peut tre estime 2-3cm. Cette prcision dpend de la prcision demesure de langle , du dfaut de lhorizontalit du stadia, et au dfaut dorientation de la stadia, et

au d faut dorientation de la stadia vers la ligne e vise du thodolite.

Procd lectronique de mesure de longueurs :

Les instruments de mesure de longueurs (I.M.E.L.) ou appels encore les instruments de mesure

lectronique des distances (I.M.E.D.) fonctionnent comme des chronomtres. Ils utilisent les ondes

lectromagntiques qui se propagent en ligne droite, une vitesse constante et connue.

Lintensit de londe porteuse (limeuse, centimtrique et lectromagntique) est module lmission par une frquence plus basse.Londe porteuse est mise par un poste metteur rcepteur et renvoye par celui-ci, soit par unrflecteur, soit par un deuxime rcepteur (ondes radio). Les I.M.E.L. mesurent en fait des temps de

parcours.

Formule gnrale : distance = (vitesse x temps de parcours)/2

Londe porteuse faisant laller -retour Parmi les instruments neffectuant que des mesures de distances on peut citer :

1- les telluromtres (ondes radio centimtriques)

2- les godimtres (ondes lumineuses) ;

3- les distancesmtres (infra-rouge) ;

Emetteur

Rcepteur

Distance-mtre

D BA

Rflecteur

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4- les tlmtres lectroniques ;

Dans de bonnes conditions mtorologiques de mesures, ce dernier procd permet une prcision de

5mm + PPM par km.

En gnral ces quipements ultras moderne ne donnent pas les distances horizontales mais lesdistances suivant la pente, en fit en introduisant langle vertical (de site) et avec un simple calcul on peut obtenir facilement la distance rduite lhorizontale.

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La PlanimtriePrincipe de calcul des coordonnes : schmaLes coordonnes sun point P sont Xp et Yp, les coordonnes polaires sont et l. est lorientementde OP. l est la longueur du segment OP.

Quelque soit le quadrant on aura :

sin = Y/L, tg = Y/ X, cos = X/L cotg = X/ Y X et Y tant prises avec prises leur signe.

Passage des coordonnes polaires aux coordonnes rectangulaires/

Connaissant lorientement de AB (AB) et la distance d AB, on peut calculer les coordonnes de B.Sachant que les coordonnes de A sont connues.

AB

X

Y

L

Y

X IV

IIIII

IP

O

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Lorientement dune direction AB: (en S.T.T)

B

BA B

ABA

BA A

BBA

AB

B

X

X

A

BA AB

X

X

A

BA

AB A

X

X

B

BA

X

X

BA B

ABA

X

XBA A

BBA

X

X

AB A

X

X

B

BA

X

X

Q I

Q II Q III

Q IV

X

Y

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Gisement dune direction AB dans le systme IGN:

G tAB A

Y

Y

B GtBA

G tBA

B

A

G tAB Y

Y

G tBA B

Y

Y

A GtAB

G tAB

A

B

G tBA Y

Y

G tBA B

Y

Y

A GtAB

GtAB

A

B

G tBA Y

Y

G tAB A

Y

Y

B GtBA

Gt

AB

A

B

G tBA Y

Y

Y

X

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Passage des coordonnes polaires aux coordonnes rectangulaires :

Connaissant lorientement de AB (AB) et la distance dAB, on peut calculer les coordonnesde B sachant que celles de A sont connues.

Sin AB = YAB/ dAB = Y B YA/dAB

cos AB = XAB/ dAB = X B XA/dAB

XB = X A + d AB cos AB YB = Y A + d AB sin AB Tg AB = YAB/ XAB = (Y B YA)/ (X B XA )

Exemple : on connat le point A, tel que X A = -2, 30 et Y A = 5,70m. Dterminer lescoordonnes du point B, si AB = 131gr,0328 et d AB = 10mSolution : X B = X A + d AB.cosAB, X B = -2,30 + 10.cos131,0328 XB = -8,86m

YB = Y A + d AB.sinAB , Y B = 5,70 + 10.sin131,03 YB = 13,2433m

Passage des coordonnes rectangulaires aux coordonnes polaires :

Connaissant les coordonnes rectangulaires A(X A,YA), B(X B, Y B), le calcul se fait commesuit :

a- Lorientement:

'

Y

X

A

Y

X

0

tg AB = Y / X AB = Arctg Y / X

AB =

B

Cas N1

AB Y

X

B

YX

AB = + 200

A

Cas N3

'

tg = Y / X = Arctg Y / X AB + = 200gr

AB = 200-

AB

Y

X

B

YX

A

Cas N2

' AB = 400 -

'

Y

X

A

Y

X

0

B

Cas N4

AB

AB

X

Y

L

Y

XAB

YAB

XA

YA YB

XB

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Soit un tour dhorizon effectu sur plusieurs points M, B, C, D, . partir dune mmestation A. La direction du zro du limbe horizontal fait avec laxe des X positifs un certainorientement appel 0(V0) de la station A.Autrement dit dans le but damliorer la prcision de lorientation dun tour dhorizon, onvise plusieurs points connus en coordonnes appels points anciens.

En une premire tape on calcule les orientements entre le point occup par le thodolite qui

est connu en (X,Y) en cas dun rayonnement et entre les autres points viss qui sont aussiconnus en (X,Y).

Daprs les rsultats obtenus des orientements calculs et les lectures effectus sur lesdirections des points connus viss, on peut localiser la position exacte de la direction du 0 du

limbe horizontal dans lesquels des quatre quadrants.

Dans le cas ou la direction du 0 du limbe prcde tous les directions ( sens du graduation)

on aura :

AE = V 01 (0) LE V01 (0) = AE+ L E AD = V 02 (0) LD V02 (0) = AD+ L D AC = V 03 (0) LC V03 (0) = AE+ L C

Dans le cas o une ou plusieurs directions prcdent celle du 0 du limbe les critures prennent

la forme suivante pour celle qui prcdent le 0 du limbe :

AE = 400 + V 01 (0) LE V01 (0) = AE+ L E - 400 AD = 400 + V 02 (0) LD V02 (0) = AD+ L D - 400AC = 400 + V 03 (0) LC V03 (0) = AE+ L C 400et la fin on calcule le V 0(0) moyen partir des V 0(0) intermdiaires obtenus.Calcul dun rayonnement: Donnes A(X, Y), B(X, Y), C(X, Y), D(X, Y) mesurer L B, LC,LD et L M.

Soit A un point connu en coordonnes (X A, Y A) et un point M dterminer en coordonnes

(XM, Y M), situ au voisinage de A, le rayonnement consiste :

1) dterminer AM2) mesurer par un procd adquat la distance D AM et la rduire lhorizon sil y a lieu. On calcule dabord AB , AC , AD et puis V 0(0)moy et V AM .Si L M est la lecture correspondante au point M, on a pour un appareil gradu dans le sens des

aiguilles dune montre et si LM prcde le 0 du limbe

AM = 400 + V 0(0)moy LMen cas ou le 0 du limbe prcde la lecture L M on aura

AM = V 0(0)moy LM

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les cordonnes du point M par rayonnement seront :

XM = X A + D AM.COSAM , Y M = Y A + D AMSINAM

Densification du canevas planimtrique de base :

Principe : cest un canevas appuy sur la triangulation godsique et la triangulationcomplmentaire, dans le but daugmenter la densit des points connus en coordonnes. Lesmthodes dobservations sont les mme que celles utilises en triangulation. Les points sontdtermins isolment par :

2) intersection

3) relvement

4) recoupement

5) trilatration

6) relvement multiple

7) par polygonation

La prcision et les tolrances dans ce type de travail dpendront :

1) de la mthode utilise,

2) de lchelle dexcution du travail faire, 3) de la prcision des instruments utiliss,

4) du nombre des points connus au voisinage

Rseau polygonal :

Le rseau polygonal est constitu de cheminements appuys en gnral sur les points du

canevas de base et du canevas complmentaire. Un cheminement est une succession des

rayonnements entre deux points de coordonnes connues.

Forme de cheminement :

1) cheminement tendu ( ou encadr) : cest une ligne polygonale qui relie deux pointsconnus en coordonnes. Cest la meilleure forme de cheminement. 2) Cheminement ferm : cest une ligne polygonale qui se boucle sur elle-mme. Souventemploy bien quil prsente des dfauts. Il doit tre utilis de prfrence lorsque la surface lever est peu tendue.

3) Lantenne : Cest une ligne polygonale qui ne se referme pas sur un point connu.Procd viter, ou observer aller et retour.

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4) Point Nodal : Cest le point de convergence de plusieurs antennes, ou encore le nudde plusieurs chemine ments encadrs. Cest une solution rechercher, qui donne des rsultatstrs homognes.

Cheminement encadr

Antenne

Cheminementferm

Point nodal

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COURS TOPOGRAPHIE

Le plus couramment employ ( ). Quand on est en 4, le cot arrire est 4 et sa lecture arrire

est faite sur la direction 4-3, le cot avant 4-5 et sa lecture avant est faite sur la direction 4-5 :

LA4 = lecture arrire faite au sommet 4

LAV4 = lecture avant faite au sommet 4

Ensuite, en 5 le cot arrire est 5-4, le cot avant 5- 6 etc Par dfinition, langle rencontr sa gauche quand on parcourt le cheminement dans le sensde calcul est langle topographique gauche ou angle gauche (g) On a g4 = L AV4 LAR4 do gi = L AVi LARi

Si , cest langle le plus souvent employ dans le calcul de cheminement dans lesystme I.G.N.

Dans lventualit o le limbe serait gradu dans le sens indirect, on aurait:gi = LARi LAVi

les angles topographiques droite

Langle topographique de droite (d) se situe droite du sens de calcul choisis (voir figure) di = 400 gi di = LARi LAVi di = LAVi LARi Transmission des orientements :

Soit un cheminement dextrmitsA, B comportant n cots et n-1 sommets intermdiaires(voir figure )Une orientation sur rfrence (sur un point connu en coordonnes au moins) connue est

ncessaire chaque extrmit.

On a : 1,2 = A,1 + 200 + d1 ou 1,2 = A,1- 200 + d1Ou encore 2 = 1 + d1 200, soit dune manire gnrale

i = i-1 + di-1 200On retrouve 200gr la qualit ( i-1 + di-1) quand celle-ci est > 200gr, on ajoute 200gr quandelle est < 200gr. On peut aussi soit ajoute systmatiquement 200gr et retrancher 400gr

quand le rsultat est > 400gr soit retrancher systmatiquement 200gr et ajouter 400gr quand

le rsultat est ngatif.

di

i

i + 1i - 1

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COURS TOPOGRAPHIE

Calcul des coordonnes :

On connat :

- Les coordonnes de dpart et darrive du cheminement, - Les orientements compenss,- les distances horizontales des cots.

On peut donc calculer les X, Y des sommets successifs (transformation de coordonnes polaires, en rectangulaires).

Soit : X0, Y0 les coordonnes de dpart , Xe, Ye les coordonnes du point darrive. Onaura :

X0 + des Xe cart de fermeture fx.

Y0 + Y des Ye cart de fermeture fy.

BB = cart de fermeture linaire fx = X B-XB = fermeture en xfy = Y B-YB = fermeture en yfL = BB = composante longitudinale fT = BB = composante transversale

fL et fT nont de sens que dans le cas dun cheminement tendu.Il existe de nombreusesmthodes dajustement planimtrique (parallles, proportionnelles, carrier, cubique, moindrescarrs,, lafosse ). Aucune mthode ntant pleinement satisfaisante, on adopte la plussimple, les parallles proportionnelles.

Cette mt hode consiste dplacer chaque sommet paralllement BB dune quantit proportionnelle la longueur des cots.

On a : L= longueur totale du cheminement, l1, l2,l3 la longueur des cots successifs. En

projetant BB sur les axes des coordonnes (fx,fy) on aura :

fy

fx

f L

f T

B

BX

YOrigine A

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COURS TOPOGRAPHIE

X1-fx.l 1/L Y1-fy.l 1/L pour le 1 er cotX2-fx.l 2/L Y2-fy.l 2/L pour le 2 eme cot, etc..

Les et Y ainsi compenss, on aura:

Ecart de fermeture angulaire scrit :

Fx = B.T.obs - B.Texact (toujours observ Calcul) Nous devons obligatoirement avoir :

Fx

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COURS TOPOGRAPHIE

Tolrance de fermeture (cheminement encadr tendu)

1) Tolrance de fermeture angulaire (fa)

Dans un cheminement de n cots on mesure (n+1) angles si est lcart type sur la mesure

dun angle, la tolrance est 2,7. 1n

Supposant un cheminement de huit cots reliant deux points connus. Les observations ont t

faites avec un instrument donnant le centigrade = 100cc la lecture. Une paire de squences a

t observe. Compte tenu des diffrentes erreurs, on peut admettre un cart type sur la

mesure dun angle de = 1,4 cg, soit un cart type sur le cheminement de 1,4. 18 =4,5cg

La tolrance sera : 2,7x4,2 = 11cgr

2) Tolrance de fermeture planimtrique :

Lexpression de la tolrance de fermeture planimtrique est trs complexe. Elle dpend :* de la forme de cheminement (encadr, ferm, tendu, semi- circulaire, . ) * de la longueur des cots (longs ou courts, ingalit de leur longueur etc) Dans le cadre de ce travail, nous prenons le cas dun cheminement rectiligne dont les cotsont sensiblement la mme longueur 64m.

Aprs compensation angulaire des orientements, les coordonnes calcules sont celles dun point B lgrement diffrent du point B (point darrive) le vecteur BB est appel car t defermeture linaire. Il reprsente :

- Des erreurs angulaires, restant aprs compensation : cart de fermeture transversale fT.

- Des erreurs commises sur les longueurs : cart de fermeture longitudinale fL.

Tolrance de fermeture transversale :

On pose : L = longueur de cheminement, n = nombre de cots, = cart type sur un angle(aprs compensation).

La formule donnant la tolrance est fT = 2,7.L. . 3/n Soit un cheminement de 9 cots de 64m environ :

= 0,5cgr ( est transform en radians dans la formule)soit :2,7x576m x 0,5m x 0,000157 x 3/9 = 0,21m

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COURS TOPOGRAPHIE

Tolrance de fermeture longitudinale :

Si l est lcart type sur la longueur dun cot, la tolrance est donne par la formule:

2,7 x l x n En admettant un cart type de 1,7cm pour un cot de 64m mesur avec un ruban de 20m (aller

et retour) la tolrance est : 2,7 x 1,7 x 9 = 0,14m

Conclusion : rechercher les cots longs

Limiter le nombre de cots

Eviter les cots courts

Remarque : Lutilisation dun distancemtre prcis donne un cart type denviron 0,5cm pour un cot de 100m

Cas dun cheminement ferm : Comme il sagit dun polygone ferm la vrification est simple sachant que :

angles intrieurs = (n-2) cots x200,

angles extrieurs = (n+2) cotsx200

Pour les angles intrieurs elles sobtiennent en faisant = LAR LAV (cas du limbe )Lcart de fermeture angulaire serait donc:

F = 200)2(0

ndin

i

Si F est dans la tolrance ( T est calcule de la mme manire que plus haut, elle doit etrerpartie sur tous les sommets du polygone ).

Donc les coordonnes du sommet n1 seraient :X1 = X 0 + l1 cos A1, Y1 = Y 0 + L 1.sin A1Xn-1 = X 0 + l i-1 cos n-1, Yn-1 = Y 0 + L i-1.sin n-1

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COURS TOPOGRAPHIE

Exemple de calcul dun cheminement encadr

Donnes : les coordonnes des points A et B dans le systme STT sont les suivants :

XA = 215320,46YA = -782875,12

XB = 215327,80YB = -783228,94

Les distances ont t rduites lhorizontale.

Les Orientements CA et BD ont t calculs partir des coordonnes de A, B, C et D.

Calcul des X et Y : X = Dcos ; Y = Dsin ;

200)1( nd exact obs i DEP BD

Nombre des cts (n) = 5 ; Nombre de sommets (n+1) = 6.

Sens de marche

? CA= 148.676g

3 9 . 4 3 2 g

2 19 .8 8 7 g

182.143g

228.478g 1 5 1. 7 3

8 g

2 5 7. 1 2 8 g

1

2

3

4

B

D

A

C

78,12 m

8 9 .7 2 m 6 3. 4 1 m

6 4. 9 3

m

6 9 ,6 8 m

? BD = 269.846g

1 4 2. 8 7 2 g

2 4 8. 2 6 2 g171.522g

217 .857 g

18 0 .113g

3 6 0 .

5 6 8 g

point Angles(gr)

Gisementscalculs

(gr)

Gisementscompenss

(gr)Distances

(m) X X Y Y

C 148.676

A 360,568 -4,00 309.240 78,12 -3 215320,46 -8 -782875,12309.244 11.299 -77.307

1 180.113 -8 289.349 89,72 -3 215331,76 -10 -782952,43289.357 -14.941 -88.467

2 217.857-12

307.202 63,41-3

215316,81-7

-783040,90307.214 7.158 -63.005

3 171.522-16

278.720 69,68-3

215323,97-7

-783103,92278.736 -22.860 -65.823

4 248.262-20

326.978 64,93-3

215301,1-7

-783169,75326.998 26.699 -59.187

B 142.872-24

269.846 215327,8 -783228,94269.870269.846

f = 24 = 365,86 = 7.355

X

Y

BD = 269,846CA= 148,676

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Compensation des orientements :)1(n

f pour le premier sommet mgr 4

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1

2

n

f pour le deuxime sommet mgr 8

6

48 etc

Compensation de X et Y :

XA + X obs = 215320,46 + 7,355 = X B calcul = 215327,815 ; Xcalcul X exact = f x = +15mm Y A + Y obs = -782875,12 353,781 = Y B clcul = -783228,901 ; Y Bobs Y Exact =f y = +39mm

f x = -38mm ; f y = +16mm

Compensation proportionnelle aux distances

1er ct (A-1) mm D

D f A x 2,386,365

12,78151

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COURS TOPOGRAPHIE

Exemple de calcul dun cheminement encadr

Donnes : les coordonnes des points A et B dans le systme IGN sont les suivants :

XA = 782875,12

YA = 215320,46

XB = 782875,12YB = 215320,46

Sens de marche

GBDobs = G dpart.exact + g (n+1)200Les distances ont t rduites lhorizontale.fa = Gobs GexactLes gisements CA et BD ont t calculs partir des coordonnes de A, B, C et D.

Calcul des X et Y : X= DsinG ; Y = DcosG; Nombre des cts (n) = 5 ; Nombre desommets (n+1) = 6.

G CA= 251.324g

3 9 . 4

3 2 g

2 19 .8 8 7 g

182.143g

228.478g 1 5 1. 7 3

8 g

2 5 7. 1 2 8 g

1

2

3

4

B

D

A

C

78,12 m

8 9 .7 2 m 6 3. 4 1 m

6 4. 9 3 m

6 9 ,6 8 m

G BD = 269.846g

1 4 2. 8 7 2 g

2 4 8. 2 6 2 g171.522g

217 .857 g

18 0 .113g

3 6 0 . 5 6 8 g

point Angles(gr)

Gisementscalculs

(gr)

Gisementscompenss

(gr)Distances

(m) X X Y Y

C 251,324

A 39,432 4,00 90,76 78,12 8 782875,12 3 215320,4690,756 77,299 11,299

1 219,887

8

110,651 89,72

10

782952,43

-4

215331,76110,643 88,467 -14,94

2 182,143 12 92,798 63,41 7 783040,90 -3 215316,8192,786 63,005 7,158

3 228,478 16 121,28 69,68 7 783103,92 -3 215323,97121,264 65,823 -22,86

4 151,738 20 73,022 64,93 7 783169,75 -3 215301,173,002 59,187 26,699

B 257,128 24 130,154 783228,94 215327,8130,13

D 130,154

f = -24 = 365,86

=

353,781 783228,901 7,356 215327,816fx = -39mm fy = 16mm

Y

X

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Compensation des gisements :1n

f pour le premier gisement mgr 4

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12

n f

pour le deuxime gisement mgr 86

48 etc

Compensation de X et Y :XA + X = X B calcul YA + Y = Y B calculXB calcul = 782875,12 + 3543,781 = 783228,9014; X B relle = 783228,940Fx = -38mm ; f y = +16mm

Compensation proportionnelle aux distances

1er ct (A-1) mm D

D f A x 886,365

12,78391

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Exemple de calcul dun cheminement fermDonnes : les coordonnes du points 1 dans le systme STT sont les suivants :

X1 = 1000,000 ; 828,3581 A

Y1 = 4000,000Contrle des angles intrieurs :

992,5994321 A terieursangle sin = (n-2) * 200 = 600,0000 gr

Ecart de fermeture angulaire = obs calcul :600,0000 599,992 = 8mgr Calcul des orientements :Orientement dun ct = orientement du ct prcdent + 200id

98,2 90g

1 1 7, 3 3 9 g

9 5 , 1

8 5 g

2 2 7 ,1 8 5 g

6 9 , 9 9 3

g

3 4 8 ,8 8 8 m

3 4 8 ,8 8 8 m

3 4 8 ,

8 8 8 m

3 4 8 ,8 8 8 m

1 2 8 , 6

6 5 m

5

4

3

2

1A

oint

Anglesde

droite(gr)

OrientementCalcul

(gr)

OrientementCompens

(gr)Distances

(m)

XBrutes

XCompense

YBrutes

YCompense

s X Exact Y Exact

A358.828

1 117.3392

276.169 348.888-37

-127.61028

-324.728-324.700

1000.000 4000.000276.167

-127.573

2 61.9933

138.163 240.320-26 -135.614 20198.417 198.437 872.390 3675.300

138.160-

135.588

3 98.2905

36.450 60.230-7

50.6175

32.63232.637

736.776 3873.73736.450 50.624

4 227.1856

63.641 203.413-22

109.93917

171.130171.147

787.393 3906.37463.635 109.961

5 95.1858

358.828 128.665-14

102.682 102.6681

-77.531-77.521

897.332 4077.511358.820

1 358.828 1000.000 4000.000

f = -8 =981.516

=0.106 = 0.000

= -0.080 = 0.000 X =0.000

Y =0.000

A1

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CChhaa p p iittr r ee IIIIII Les Travaux

de Nivellement

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COURS TOPOGRAPHIE

Les travaux de nivellementLes oprations de nivellement peuvent se classer en trois catgories :

1-Nivellement gomtr ique direct :

Ce procd sexcute par des vises horizontales laide dun niveau et dune ou deux mires.

2-ni vellement i ndirect ou tr igonomtr ique :

Cette mthode est ralise par des vises inclines. La dnivele est dtermine par le calcul

aprs avoir mesur des longueurs et des angles verticaux.

3- nivell ement bar omtr ique :

Ce nivellement particulier est bas sur la pression atmosphrique. Nous savons que la

pression atmosphrique varie dans le temps et aussi en fonction de laltitude. On peut donccalculer la dnivele entre deux points en fonction de la variation de la pression

atmosphrique, en tenant compte naturellement des changements locaux de condition

atmosphriques. Linstrument utilis porte le nom de baromtre et donne une lecture en unitsde longueurs (m).

- nivellement gomtrique direct :

Mesure dune dnivelelmentaire:

On fait une lecture arrire (AR) (1,252m) sur la mire place sur le point R dont on connat

laltitude (48,724m). Cette lecture appele vise arrire AR indique que le plan de rfrencenn est 1,252m plus haut que le point R. Laltitude du plan de rfrence est donc de 48,724 +1,252 = 49,976m. Si la vise avant AV sur le point P est de 1,338m, laltitude de ce dernier sera donc 49,976 - 1,338 = 48,638m. La dnivele entre les deux points est donc : 48,638

48,724 = -0,086m ou encore 1,252 1,338 = -0,086m.

plan de niveau

48,724

49,976 n 49,976

P 48,638

1 2 5 2

A R

d h 1 3 3 8 A V

n

S

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Nous remarquons que, dans lexemple choisi, la dnivele est ngative, ce qui veut traduireque le point R set plus lev que le point P.

I I I -2-2- N ivell ement par cheminement :

Le nivellement par cheminement est une suite duncertaine nombre de nivellementslmentaires, qui sajoutant lun aprs lautre, ferant que le point avant de la premire stationservira de point arrire la deuxime station, puis le point avant de la deuxime station

servira de point arrire la troisime station et ainsi se suite.

La diffrence de niveau totale, ou de dnivele totale, entre les deux points extrmes du

cheminement (fig.) M et C set gale en grandeur

Et en signe la somme algbrique des diffrences de niveaux partiels ou des dniveles partielles, qui se traduisent par la formule :

dn = L AR - L AV

Dans un nivellement de deux points trs loigns lun de lautre, M et C par exemple, ildevient indispensable de choisir des points intermdiaires quelconques Pc1, Pc2. Ces points

devront rpondre deux conditions :

1-Distance :Les vises ne devront pas dpasser 60 mtre environ, les points intermdiaire seront distants

lun de lautre de 120m environ, au maximum. 2-Stabilit :

Appels supporter le poids de la mire pendant deux stations successives, les points

intermdiaires seront choisis sur des seuils, bornes, pavs solides, etc. Notons que la mthode

des vises gales (portes gales) limine automatiquement lerreur de collimation et une

majorit des erreurs systmatiques dans les nivellements.

0,832 3,108

3,825 1,916

2,766 3,248

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-2-3- Nivell ement par r ayonnement :

Nous venons de voir que, dans le nivellement par cheminement, chaque station permet daller du point arrire un unique point avant. Dans le nivellement par rayonnement, on peut aller

du point arrire plusieurs points avant. Lappareil tant mis en station en S, il est possible dedterminer de cette station les altitudes des points B, C, D Fig.Dcomposons cette opration en un certain nombre doprations lmentaires:- La premire seffectue exactement comme un nivellement lmentaire entre le point A et le point B (A tant repre) dterminant ainsi laltitude du point B. - La deuxime seffectue exactement comme un nivellement entre le point B et le point C (Best devenue le repre) dterminant ainsi laltitude du point C. - Les oprations se rp tent autos de fois quon a des points. Dune autre cot puisque le plan de niveau par lappareil na pas vari on remarquera dans cenivellement par rayonnement que :

-Le point avant B de la premire station (opration) devient le point arrire de la deuximeopration.

-Le point avant C de la deuxime opration devient le point arrire de la troisime opration.

-La permutation des points AV et AR se multiple autos de fois quon a de points. -2-4- cheminement ferm ou encadr dun nivellement :

Le chem inement ferm consiste principalement fermer sur un point daltitude connue soit enrevenant au point de dpart, soit en fermant s ur un autre dont laltitude est connue. Ce procd

permet de trouver lerreur de fermeture (cart de fermeture) et de vrifier si elle est dans leslimites permises.

1 re opration

2 me opration

3 me opration

A B

C

D

S

AVAR

AV

AR

AR

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COURS TOPOGRAPHIE

La diffrence algbrique entre laltitude dun point A obtenue par cheminement et laltit