Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)]...

8

Transcript of Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)]...

Page 1: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

������������� ����������������������������� � �"!#��$%����!'&��(��"�)��*,+ �-.�'��/-�&102& 3�&���4���65���/7�8��8*9

:<;>=@?BACDA)A�EGFIHKJL?NM OKPQA�RTSVUWHXJ�CD;YA�RZA

["\.]W^_\Z`'aYb)`dcfe�^_gh\.ie�^_jlk.mne)]pof["b)irqpsh^_\T`utKk.jl\.]hk.\�[wvyxTz{}| ~�|h� b��f���������Xz}�.���)�� ��� irm�^_\Z`�ope�ifzX�%\Z^_gh\Z`_��e)]pohm

�.�h�Z�B�L���X���X�)���X�W���X���h�Q ¢¡K�

£¤¦¥.§.¨�©Gª)§�«r¬ gh\"^_\.k�gp]pj�­Wsp\®a¯b�`w°Xjlm±sGe��lj�²Zj�]h³%^_b�qBb)�lb�³�jlk�e��Gjl]haYb)`_ie�^_jlb)]�jl]�´pspj�o´pb�µ#m®jlm®µ"\.�l�p¶X]pb�µ#] |�· b�µ"\.°�\Z`�z�µ#gp\Z]�^_gp\�^_\.k�gp]hj�­Xsh\�jlmwshm±\�o�jl]¸k.b)irqp�l\Z��e)]pojl]haYb)`_ie�^_j�b)] `_j�k�g¹ope�^�e¸m±\Z^_m.zG^_gh\V`_\Zm±sp�º^%µ#jl�l�}»B\�erk.�lsh^±^_\Z`_\�ofjlie�³�\ µ#gpjlk�g j�moKjl¼¸k.sp�º^D^_bdjl]W^_\Z`_qB\Z^ | ¬ gpjlmwqpe)qB\Z`®qK`_\.m±\.]W^_m®e%^_\.kTgh]pj�­Wsp\"aYb)`D^_gp\'°Xjlm±sGe��lj�².e�^_jlb�]b�a�i�sp�º^_jº½¾��\Z°�\.�#^_b�qBb��lb)³)¿yjl]À´Gb�µÁope�^�e�m±\T^_m | xÂ^8qh`_b�°Xj�oh\.m^_gp\¹spm±\T`8µ#jº^_g2eir\.k�gGe�]pjlm±iÃ^_b�°Xjlm±sGe)�ljl².\¸^_gh\�^_b�qBb)�lb�³)¿¹µ#jº^_gpb)sh^ \T�hkZ\.m±m±jl°�\¸k.�lsh^±^_\T`_j�]h³8µ#ghj��l\ie�j�]W^�e�j�]hjl]p³�^_gh\d³��lb�»pe)�Äm�^±`_spkZ^_sK`_\db)a¦^_gh\%´Gb�µ |Å�ÆXÇLÈ�É ¨)ÊQ¥�Ë i�sp�º^_jº½¾��\Z°�\.�®°Kjlm±spe)�ljl²�e�^_jlb�]Ì^_\.k�gp]hj>­Wsh\.m.zQ´pb�µI°Xjlm±sGe)�ljl²�e�^_j�b)]Äz®oKjl½`_\.kT^u]Xshir\Z`_jlk�e)�Ím±jli�sh�>e�^_jlb�] |

Î ÏpÐnÑBÒÍÓ Ô�Õ�ÖQÑÍ×_ÓnÐ�Ø

ÙdÚÍAÛ;Y=fÜÄOhR�S.HXJLÝ�AÌOXÞ�?ÍHXSZHyUG;¯ß�EÄHXàY;>á�HWST;YOKJ<;¯ßNÝ�àYA)HXRZàYâãRZA)Ý�OKäKJL;>á)A)?å;>JæàYHKRTähAÛßTÝ)HXàYAÛßZÝ�;>çA�JpST;>èÄÝÌÝ�OK=fÜÍEBSZ;>JÍäÄéuê�OWFuA)UKA�R�ë�STÚLAÛ?BA�= HKJL?Íß¹;Y=fÜÄOpß�A�?ìPGâ�=fOB?BA�RZJ�Ý�Oh=�ÜLEBSZHXST;YOKJLHKàí EÍ;¯? ?BâGJLHX=f;¯Ý�ß�î�ï%ð�ñ�ò#ß�;Y=�EÍà¯HWSZ;>OhJLß'ßTA�UKA)RTA)à>âSTA)ß�S'STÚLAVà>;Y=f;�S.ß#OKÞÄSZOG?LH�âQó ß�UG;YßTELHKà>;Yá)HXST;YOKJSTA)Ý.ÚLJÍ;YôpEÍA�ß�éÄÙdÚÍ;Yß%SZRTA)JL?NF ;>àYà®Ý�OKJpST;YJGEÍAHKß ßTOKàYEBST;YOKJÄß%STO =fOKRZArÝ�OK=fÜÍàYA�õöÜÍRTOhPÍàYA�= ß HXRZA?BA)ßT;>RZA)?Dé÷ SZA)Ý.ÚÍJL;YôpEÍA�Þ¢OKR�SZÚÍA UG;YßTELHXàY;Yá)HWSZ;>OhJÛOKÞuUKA�Ý�SZOKR�èLA�à¯?ÌSZOKÜQOKàYOKähâ-;>J í EÍ;¯? í OWFVß�F%Hhß

;>JpSTRZOB?BELÝ�A)?ãPpâ2ê�A�àY= HXJìHXJL?ãêVA)ßZßTA�àY;>JÍø}ëVù>ú�û�é'ü�S ;YßfHýSTA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôhELAþSZÚLHWS A�õGSZRZHhÝ�SZßfHKJL?Up;¯ßTELHXàY;>á)A)ß�STOhÜÄOhà>OhäK;¯Ý�HXà";YJBÞ¢OKRZ= HWST;YOKJ®ë}HKJL?ÛÝ�OK=8PÍ;>JLA)ß�ß�;Y=fÜÍà>;¯Ý�;>S_â-OXÞdßTÝ.ÚLA�= HWSZ;YÝ8?BA�ÜÍ;¯Ý�çST;YOKJLß%F ;>STÚ¹SZÚÍA¸ôhEÄHXJpST;>SZHXST;YUKA�HhÝ�Ý�EÍRZHhÝ�â�OXÞ®Ý�EÍRTUhA)ß%Ý�Oh=�ÜLEBSTA�?þ?B;YRTA�Ý�SZà>â�Þ¢RZOK=ÿSTÚÍA¸?ÍHXSZHÍé��;¯ß�ELHKà>;Yá)HXST;YOKJ2OKÞ STOhÜÄOhà>OhäKâÀ;Yß8;Y=�ÜLRTA�ßTßT;>UhA¹F ÚÍA)JãHXÜLÜÍà>;YA)?ySTO7JÍOXS8STOGO7Ý�OK=fÜÍàYA�õ í OWFèLA�à¯?Íß)ë¦PÍEBSr;>J7ÚÍ;YäKÚBç�RZA)ßTOKàYEBST;YOKJÛSTEÍRZPÍEÍàYA�JpS í OWFVß�ÜÍRZOKPÍàYA�= ß�= H�âÌHXRZ;YßTAKé ÷ ß í EL;Y? í OWFÝ�OK=fÜÍEÍSZHWSZ;>OhJLß ähA�JÍA)RZHXSTA¸=fOKRZAÝ�OK=fÜÍàYA�õ�HXJL?N;YJBÞ¢OKRZ= HWSZ;>OhJNRZ;¯Ý.Ú�?LHWSZH ßTA�S.ß�ëLSTÚÍA8ß�A�SVOXÞÝ�OK=fÜÍEÍSTA)?�Ý�RZ;>ST;¯Ý�HXàGÜQOK;YJpSZß"F ;>àYàBPQA)Ý�Oh=fAuUhA�RZâràYHKRTähAKé�ÙdÚÍ;Yß"RZA)ßTEÍà>SZß";>JfH�Ý�àYEBS�SZA�RZA)?8;>= HXähAF ÚÍ;YÝ.ÚÛ;Yß�?B;��¹Ý�EÍà�S�STOö;>JpSTA)RTÜQA�S�éQðLOKR�A�õÍHX=fÜÍàYAKëQÝ�OKJÄß�;¯?BA�RVèLäKEÍRZA úhéÄÙdÚÍA�?LHWSZH¹;Yß�H��Xñß�àY;YÝ�AnOKÞLH��Kñå?ÍHXSZHVßTA�SwSTEÍRZPÍEÍàYA�JpS í OWFyHXRZOKEÍJL?rH�ßTôpELHKRTAuÝ�âGà>;YJL?BA)R)é ÷ ßTA�S"OXÞ����� Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàÜÄOh;>JpSZß#ÚLHKß'PQA�A)J¹Ý�Oh=�ÜLEBSTA�?�Þ¢RTOh= STÚLA�?ÍHWS.HÍéG= HKà>àQÝ�OKàYOKRZA)?8;¯Ý�OKJÄß#HXRZAdELß�A�?�STO?B;¯ßTÜÍàYH�âSTÚÍA ßTA�S'OXÞ}Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXàGÜÄOh;>JpS.ß��WH�âKA)à>àYOWF2ß�ÜL;>R.HXàG;¯Ý�OKJ�?BA�JLOXSTA�ß'HVÞ¢OBÝ�ELß�ëXH�PÍàYEÍA Ý�RZOhßZßw?ÍA�JÍOKSTA)ßH�ßZHK?Í?BàYAVÜQOK;YJpS)ëGHXJL?¹Ý�âhHKJ� �= HXähA�JpSZH¸?B;¯ßTøGß%?BA)JÍOXSZA�RZA�ÜQA�àYà>;YJÍä� XHWSTSTR.HKÝ�SZ;>JLärJÍOB?BA)ß)é�BÜÄOKSJÍOK;¯ß�Aþ;Yß�ELß�A�?7STOÌÜLRTA�ß�A)JhS�STÚÍA¹ähà>OhPLHXànJLHWSZEÍRTAþOXÞdSTÚÍA í OWFré���OXSZA STÚLHXS8=fOhß�S8Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàÜÄOh;>JpSZßnHXRZAVÝ�àYELß_SZA�RZA)?�;YJ RTA)äK;YOKJLß�HXRZOKELJL?8STÚÍA�ßZôpELHXRZA Ý�âGàY;>JL?ÍA�R�éKÙ®OrÜLRTA)UKA�JpSnHh?Í?B;>ST;YOKJLHKàÝ�àYEBS�SZA�RZ;>JÍäÄëLß�STRZA)HX=fàY;>JLA)ß%à>;YJÍøG;YJÍä¹Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXà¦ÜQOK;YJpSZßdÚLH�UhA�PQA�A)J�OK=f;�STSTA�?¦éü±J�SZÚÍ;Yß�ÜÄHXÜQA�R'F%A%ÜLRTA�ß�A)JhS'H�STA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôhELAuÞ¢OhR�STÚÍA UG;¯ß�EÄHXàY;>á�HWST;YOKJ8OXÞQ=�EÍà>ST;>ç�àYA�UhA�àpSTOhÜÄOhà�ç

OKäKâf;YJ í OWFI?ÍHWS.H�ßTA�SZß)éBÙdÚÍA�=�EÍà>ST;>ç�àYA�UhA�àQSTOhÜÄOhà>OhäKâ8STA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôhELA�ÜÍRZOWUG;Y?ÍA)ßnSTÚÍA�ELßTA�R%F ;�SZÚ

Page 2: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

� vÀj�i oK\��Ä\.\ZsXµãe�]Go��nb�»B\T`±^#°�e�]��Äjl\Z`_\

��� «��G«Í¬ b)qBb��lb�³)j�k.e)�Qjl]Ka¯b)`_ie�^_jlb�]�b)aQ^_sK`_»psh��\Z]X^w´Gb�µ2e�`_b�sp]po8e�m_­WsGe�`_\ukZ¿K�lj�]poh\Z` | tXqBb)^']hb�jlm±\jlm#spm±\.o8^_b�qK`_\.m±\.]W^#^_gp\d³)��b)»Ge��Q]Ge�^_sh`_\ b�a}^_gp\%´pb�µ |

Hy=fA)Ý.ÚLHKJÍ;YßT= STO�ßTA�àYA)Ý�SþSTÚLAÛß�A�SöOKÞrÝ�RT;>ST;¯Ý�HKà�ÜQOK;YJpSZß¹F ÚL;YÝ.Úæ?ÍA�èLJÍAÛSTÚÍAÛäKàYOKPLHKà í OWFß_SZRTELÝ�STEÍRZAKéÙdÚÍA¸Þ¢OKRZ= HWS OXÞ"STÚÍ;¯ß ÜLHKÜÄA)RV;¯ß��Íü±JNSZÚÍArJÍA�õGS�ßTA)Ý�ST;YOKJ�FuArRZA�UG;YA�FIÜÍRTA)UG;>OhELßdFuOhRTø OhJ

UKA)Ý�STOhR�èLA)àY?ÌSTOhÜÄOhà>OhäKâKéQü±JÀß�A�Ý�ST;YOKJ �þ?B;¯ßZÝ�ELßZß�A�ß�STÚÍA�=�EÍà>ST;>ç�à>A)UKA�à"SZOKÜQOKàYOKäKâNSZA)Ý.ÚÍJÍ;¯ôpEÍAKéðw;YJLHKà>àYâKëu;>J�ßTA)Ý�ST;YOKJ� 2F%AÌß�ÚÍOWF@ÚÍOWF@STÚLA-STA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôhELAÌÚLHKß¹PÄA)A�J<ELßTA)?åSZO2A�õBÜÍàYOKRZA-HSTEÍRZPÍEÍàYA�JpS í OWFæèLA�à¯?¦é

� �ýÒ����V×_ÓnÕ����ÀÓ#Ò���'A)Ý�SZOKR�èLA�à¯?�SZOKÜQOKàYOKäKâNFdHKßV;YJpSTRZOB?BELÝ�A�?-PGâ-êVA�àY= HXJÛHKJL?Ìê�A)ßZß�A)à>;YJÍø}ë"ù>ú�û�éQü�S�ÜÍRZA)ßTA�JpS.ßA)ßZß�A)JhSZ;YHKàG;>JBÞ¢OhRT= HXST;YOKJ�PGâÜÄHXRTST;>ST;YOKJÍ;YJÍä�STÚÍA í OWF2èLA�à¯?�;YJfRTA)äK;YOKJLßwELßT;>JLä¸Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàGÜÄOh;>JpSZßF ÚÍ;YÝ.ÚNHXRZA�àY;>JLøKA)?öPGâ¹ß_SZRTA�HX=fàY;>JÍA�ß�éÍïuRZ;�SZ;YÝ)HXà}ÜÄOh;>JpS.ß%HKRTA�ÜÄOh;>JpS.ßu;YJöSTÚÍA í OWF�F ÚÍA)RTA�STÚLAUKA�àYOBÝ�;>S_â8= HKäKJÍ;>STEL?ÍA�;¯ßnA�ôpELHXàÄSTO8á�A�RZOLé��nHhÝ.Ú¹Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXàQÜÄOh;>JpSu;¯ß%Ý�à¯HKßZß�;>èLA)?¹PLHKßTA)? OhJ STÚLAPÄA)ÚLH�UG;>OhR'OXÞQSTÚÍA í OWF í ;YA)?f;YJ�STÚÍA�JÍA�;YäKÚGPQOKRZÚÍOGOG?8OXÞ}SZÚÍA ÜÄOh;>JpS�éhðÍOhR'STÚL;Yß#Ý�àYHhßTßT;>èÄÝ�HXST;YOKJSTÚÍA¹A);>ähA�JGUWHXàYEÍA)߸OKÞuSZÚÍA¹UhA�àYOGÝ�;�S_âýäKR.HK?B;YA�JpS¸STA)JLßTOKRHXRZA ELßTA)?¦éwÙdÚÍA¹UKA)à>OBÝ�;�S_âÌähRZHh?B;YA�JpSSTA�JÄß�OhR�� OhR��hHhÝ�OhPÍ;YHKJ��¹;¯ß ?BA�èLJLA)?�HKß �

"!$#&%'!)(+*-,.*-/0 , 0 /21 î_ú�ò

Page 3: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

� jlm±sGe��lj�².e�^_jlb�] b�aw�%��b)»Ge����}�lb�µ<tW^±`_spkZ^_sK`_\.m��%m±jl]p³¸c�sp�º^_jlqp�l\ �Ä\.°�\.�lmnb�a ¬ b)qBb��lb�³�¿ �

;>JNF ÚÍ;¯Ý.ÚNßTEÍPLßZÝ�RZ;>ÜÍSZßd?BA�JLOXSTA¸ÜLHKR�SZ;YHKàQ?ÍA�RZ;>UWHWSZ;>UhA)ß)é��%Hhß�A�?¹OhJ¹STÚLA¸S_FuO�Ý�OK=fÜÍàYA�õöA�;YäKA�JÍçU�HKà>ELA)ß7î��ú� �� Äú���� �� �� ��hò�ëdß�;>õ�?B;��QA)RTA)JhS�Ý�Hhß�A�ß¹HXRZAÛ?B;¯ß_SZ;>JLäKEÍ;¯ß�ÚLA)? îÂß�A)AèLäKEÍRZA �Kò �úKé��������������! #"%$'&ÂëLSTÚÍA�;>= HXäh;>JÄHXRZâ¹ÜLHXRTSZß HKRTArá)A�RZO HXJL?öSTÚLARTA�HXà¦ÜLHKR�S.ß ÚLH�UhA�OhÜÍÜQOhßT;�SZAß�;YäKJÄß)(B;�é A*��ú,+-� �/.10fHKJL?2 Lú��3 �� !40Íé

�Bé65��7�8�)�%�9"%$�:;$� <����ëW;Y= HXäh;>JLHKRTârÜÄHXRTSZß�HXRZAuá)A�RZO�HKJL?�STÚÍAdRZA)HXàBÜÄHXRTSZß�HXRZAuPQOXSZÚ8ÜQOhßT;>ST;YUKA�(;Âé A*��ú��=� �?>@0fHXJL?� Lú��3 �� !40Íé

�Íé�AB&C&EDF��GH&E"%$I:J$K L����ëL;Y=fHKäK;YJLHXRZâ¹ÜLHKR�S.ß HXRZA¸á�A�RZO HXJL?öSZÚÍARZA)HXà¦ÜÄHXRTSZß HXRZArPQOXSTÚ�JÍA)ähHXçST;YUKA�(Í;Âé AM��ú��6� �?.10�HKJL?2 Lú��3 �� !40Íé Lé65��7�8�)�%�9"%$�:=NH <G)O�P�ëK;Y=fHKäK;YJLHXRZâÜLHKR�S.ß#HXRZA JÍOhJ á�A�RZOrHXJL?�SZÚÍAVRZA)HKàÍÜLHXRTSZßnHXRZA%ÜQOhßT;>ST;YUKA�(;Âé A*��ú��=� �?>@0fHXJL?� Lú��3 ��RQ!-0Íé

S é�AB&C&EDF��GH&E"%$I:TNH LGHO�P�ë�;Y= HXäh;>JLHKRTâ�ÜLHXRTSZß®HXRZA'JÍOKJrá)A�RZOVHXJL?�STÚLAnRZA)HXàKÜLHXRTSZßDHKRTA'JLA�ähHXST;YUKA�(;Âé A*��ú��=� �?>@0fHXJL?� Lú��3 ��RQ!-0Íé

U é�VW�H$'&X�)DY�8 Z"%$!&�ëBSTÚLAr;>= HXäh;>JÄHXRZâ¹ÜLHXRTSZß HKRTA�JÍOhJNá)A�RZO HXJL?þSTÚÍArRZA)HKà¦ÜLHXRTSV;¯ßdá�A�RZO!(B;�é A��ú��6� � !40�HKJL?� Lú��6 ��[Q!\0Íé

saddle

repelling node

attracting node attracting focus

repelling focus

center

�+� «)]L« tKjº�8ohj_^Í\Z`_\Z]X^'^¿KqB\.m'b)aDkZ`_jº^_jlk�e��QqBb�jl]W^_m |pSTRZA)HK=�àY;YJÍA)ß®STR.HKÝ�A)?r;YJSZÚÍA%?Í;>RZA)Ý�ST;YOKJ�OKÞÍSTÚLAuA);>ähA�JGUKA�Ý�STOhRZßDOXÞÍSZÚÍAuUhA�àYOBÝ�;>S_â�ähRZHh?B;YA�JpS

STA�JÄß�OhR F ;>àYà®?B;YUG;Y?BA�SZÚÍA í OWF�èÄA�à¯?ö;YJ-?B;¯ß_SZ;>JLÝ�SVRTA)äK;YOKJLß)éü±=�ÜLà>A)=�A)JpSZHWSZ;>OhJNHhß�ÜQA)Ý�SZßdOKÞwSZÚÍ;Yß STA)Ý.ÚLJÍ;YôpEÍArÝ)HXJ�PÄA¸Þ¢OhEÍJL?N;YJ7ù ��û�é

` a1ÕBb±ÑÍ×Xc#b ��� �dbMe�Ó � ÑBÓWfrÓgb_Ógh�i

j#ÚÍA)JÍOK=fA�JÄH�;YJNSTEÍRZPÍEÍàYA�JpS í OWF�èÄA�à¯?Íß HXRZA�Ý.ÚÄHXR.HKÝ�SZA�RZ;>á)A)? PGâ í OWFæÜLHXS�STA)RTJÄßdOXÞwF ;¯?BA)à>âU�HKRTâG;YJÍäVßTÜLHWSZ;YHKàhßZÝ�HXàYA)ß)é�ü±J¸SZA�RZ=fß®OXÞGSTOhÜÄOhà>OhäK;¯Ý�HKàX;>JÍÞ¢OKRZ=fHXST;YOKJDë�STÚÍ;¯ß®=fA�HXJLß}SZÚLHWS�HdàYHKRTähAß�A�S�OXÞnÝ�RT;>ST;¯Ý�HKàwÜQOK;YJpSZß�RTA�ß�ELà�S�Þ¢RTOh= í OWF6ÜÄHWS�SZA�RZJLß�HWS�ßT= HXàYà"ßTÜLHXST;¯HXà�ßTÝ)HXàYA)ß)éÄêVOWF%A�UhA�R�ëSTÚÍAdäKàYOKPÄHXàBß_SZRTEÄÝ�STELRTAdOXÞÄSTÚÍA í OWFãÝ�HXJ�PQAd?ÍA)ßZÝ�RZ;>PQA)?8PGâ�H�àY;Y=�;>STA�?fß�EÍPÄß�A�S�OKÞQHKà>àÍÝ�RT;>ST;¯Ý�HKàÜÄOh;>JpSZß)é¦ÙdÚÍAfäKOWUhA�RZJÍ;>JLä¹;Y?ÍA)HöOXÞnSZÚÍA�=�EÍà>ST;>ç�àYA�UhA�à í OWF SZOKÜQOKàYOKähâ-=�A�STÚÍOB?ý;Yß�SZÚLHWS¸STÚLA?B;YßTÜÍà¯H�âKA�?þJGEÍ=8PÄA)RVOXÞ'Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXà¦ÜQOK;YJpSZß�ßTÚÍOhEÍàY?öPQAà>;Y=f;�SZA)?NSZO¹Ý.ÚLHXR.HKÝ�STA�RZ;Yá�A�OKJÍàYâ STÚLOhßTAí OWFÀÜLHWSTSTA�RZJLß®OXÞLHVÝ�A�RTSZHX;YJràYA�UKA)àKOKÞLßTÝ)HXàYAKë�F ÚL;>àYA'STÚLAnOXSZÚÍA�R"Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXàhÜÄOh;>JpSZß"HXRZA#Oh=�;>S�SZA)?¦éü±J-OKR.?BA�RdSZO¹RTA�HXàY;>á)A�STÚÍ;¯ßV;¯?BA)HLëÍS_F%O¹?B;¯ß_SZ;>JLÝ�SVS_âGÜÄA�OXÞ'=fA�STÚLOG?Lß�Ý�HKJ-PÄA�A�=fÜÍàYOWâKA)? �

;>=fÜÍàY;YÝ�;�S'HXJÄ?rA�õBÜÍàY;YÝ�;�S�=fA�SZÚÍOB?Íßdî¾ßTA�A#èÄäKEÍRZA �pò�é�ü±=�ÜLà>;¯Ý�;>S"=fA�STÚÍOB?Íß�HXRZA'SZÚÍOhßTA#SZÚLHWS"èLà>STA�R

Page 4: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

� vÀj�i oK\��Ä\.\ZsXµãe�]Go��nb�»B\T`±^#°�e�]��Äjl\Z`_\STÚÍA ;YJÍÜÍEBS�?LHWSZHNßTA�SrSTO�OhPBSZHK;>JÀHö?ÍA�RZ;>UhA)?7?ÍHWS.HNßTA�S¸SZONF ÚL;YÝ.ÚýSTÚÍA OhRT;YäK;YJLHKà®SZOKÜQOKàYOKäKâHXàYäKOKRZ;>STÚÍ=1HKÜÍÜÍàY;>A�?¦é��'õBÜÍàY;YÝ�;�Sf=fA�SZÚÍOB?Íß HXRZAþSZÚÍOhßTA�F ÚÍ;¯Ý.Ú2èLR.ß_S¹Ý�OK=fÜÍEBSZAöSZÚÍA-ß�A�S OXÞÝ�RZ;�SZ;YÝ)HXà¦ÜQOK;YJhS.ßdÞ¢RZOK= SZÚÍAr;>JLÜÍEBS�?ÍHXSZHfß�A�S�HXJL?þSTÚLA�J�ELßTAH�èÄà�SZA�R SZO�ÜLRTEÍJLA¸STÚÍ;¯ß ß�A�S)é

data filtereddata topology

data topology filteredtopology��� «��L« x�irqh��jlk.jº^��¯^_b)q��"°Xm | \T�hqh�lj�kZjl^�� »Bb�^±^_b�i��"ir\Z^_ghbXohm'b)a}i�sp�º^_jº½¾�l\.°�\.�B^_b�qBb)�lb�³)¿ |

��� ���������������������������

ü±JräKA�JLA�R.HXà�ë.èLà�SZA�R.ßDHXRZA'ELßTA)?�SZO A�JÍÚLHKJLÝ�A WßTEÍÜÍÜÍRZA)ßZß}ÜLHXS�STA)RTJÄߦ;>J¸SZÚÍAn?ÍHXSZHLé�ðÍOhRDA�õÍHX=fÜÍàYAKëH�àYOWF�ÜLHhßTßuèLà>STA)RdÝ)HXJöPÄA¸ELßTA)?¹STO ß�ELÜÍÜÍRZA)ßZßnÚÍ;YäKÚÍçÂÞ¢RZA)ôpEÍA)JLÝ�â ÜLHXS�SZA�RZJLß)(G;�é AhéGSTÚÍOpß�A í OWFÜLHWSTSTA�RZJLß HXS�ß�= HXàYàDßTÜLHWSZ;YHKàDßTÝ)HXàYA)ß)éðÍOKR�SZÚÍAf;>= HXähA)ß�;>JýSTÚL;YßrßTA)Ý�ST;YOKJDëDHNß�;Y=fÜÍàYA�PQO�õ-èLà>STA)RrÚLHKß�PQA�A�J7ELßTA)? �}A�HKÝ.Úý?LHWS�ç

HXÜQOK;YJhS8;Yß8RTA)ÜÍà¯HKÝ�A�?ÀPGâ7HKJ2H�UKA�R.HXähAfOWUKA�R8HÌß�= HKà>àuRTA)äK;YOKJy;YJySTÚÍAöOKRZ;>ähJLHXàu?ÍHWS.HÍéwÙdÚLA=�OKST;YUWHWST;YOKJ ;¯ß�SZÚLHWSuSTÚÍAVPQO�õ�èÄà�SZA�Rn;¯ßnHrßT;Y=�ÜLà>AVàYOWFdç�ÜLHKßZß"èLà>STA�RuF ÚÍ;¯Ý.Ú F ;>àYàÄH�UhA�R.HXäKA%OKEÍSß�= HXàYàDßZÝ�HXàYA¸ÜLHWSTSTA)RTJLß)ëBF ÚÍ;Yà>ArøhA�A)ÜÍ;>JLä�à¯HXRZäKA¸ßZÝ�HXàYA¸ÜLHWSTSTA)RTJLßd;YJpSZHhÝ�S)éðw;YäKELRTA Û;Yà>àYELß�STR.HWSTA�ßSZÚÍAN;>=fÜÍàY;YÝ�;�S =fA�SZÚÍOB?2ELßT;YJÍäýHýPÄO�õÀèLà>STA)R)é'ÙdÚÍAöà>A�Þ S ;>= HXähA

ß�ÚÍOWFVß'STÚÍA�ß�A�SnOXÞDHXàYà �����Ý�RZ;>ST;¯Ý�HXàÄÜÄOh;>JpS.ß#OXÞ}SZÚÍA�OhRT;YäK;YJLHXàÍ?LHWSZH�ß�A�S)éhÙdÚLAV=f;Y?Í?Íà>A�;>= HXähAß�ÚÍOWFVß#STÚÍA�ß�A�SuOKÞ�ú � !Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàLÜQOK;YJpSZßuOXÞ}STÚÍA�?ÍHWS.H�ßTA�SuHXÞ STA)RuPQA�;YJÍäèÄà�SZA�RZA)?fF ;>STÚöH ��õ��PÄO�õèÄà�SZA�R�éKÙdÚÍA RZ;>ähÚhS';Y= HXäKA ßTÚÍOWFVßwSTÚÍA�ß�A�S�OKÞ I0¸Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXàBÜQOK;YJhS.ß'OXÞÄSTÚÍAV?LHWSZHrßTA�S#HXÞ STA�RPÄA);>JÍä�èLà>STA)RTA�?F ;>STÚ H#"Wõ$"�PQO�õrèLà>STA)R)é ÷ à>STÚLOKEÍähÚ�SZÚÍAd;>=fÜÍàY;YÝ�;�S#=fA�STÚÍOB?8;Yß'Ý�OKJLÝ�A�ÜBSZELHXàYà>â

��� «�%Q«®¬ gh`_\.\r°Xjl\Zµ#mVb)a"^_gp\¸jlirqp�ljlk.jº^�ir\Z^_gpbXo¹spm±jl]h³ e�»Bb��'&G�º^_\Z` | �Ä\Za>^)(}b�`_j�³)jl]Ge)�"ope�^�e�m±\Z^� � � � kZ`_jº^_jlk�e)�¦qBb)j�]W^_m*� | c�j�opoK�l\+( � � � »Bb��,&G�º^_\Z`#��������kZ`_jº^_jlk�e��¦qBb�jl]W^_m*� | �ujl³)gX^)(�-��.-r»Bb��,&G�º^_\Z`� ����kZ`_jº^_jlk�e)�ÄqBb�jl]W^_m*� |

Page 5: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

� jlm±sGe��lj�².e�^_jlb�] b�aw�%��b)»Ge����}�lb�µ<tW^±`_spkZ^_sK`_\.m��%m±jl]p³¸c�sp�º^_jlqp�l\ �Ä\.°�\.�lmnb�a ¬ b)qBb��lb�³�¿ �

A)HKßTârSZOrEÍJL?BA)RZß�SZHKJL?fHXJL?�= H�â�HKÝ.ÚL;>A)UKA%STÚÍAV?ÍA)ßT;>RZA)?8AH�}A)Ý�Sn;>J Ý�A�RTSZHX;YJ Ý�Hhß�A�ß�ëXH�JGEÍ=�PQA�ROXÞ8?BR.H�F PLHhÝ.øGßþÝ�HXJIPÄA7=fA�JpST;YOKJLA)?¦é ñ�EÍA7STO2èÄà�SZA�RZ;>JÍäÄë%STÚÍA)RTA7;YßNJÍOå?B;YRTA�Ý�S�RTA)àYHXST;YOKJPÄA�S_FuA)A�J�Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXà}ÜÄOh;>JpS.ßu;YJöSTÚÍA¸OKRZ;YäK;YJLHXà}HXJL?N?BA)RT;YUKA�?þßTA�S)éBÙdÚÍA¸ÜQOhßT;�SZ;>OhJNHKJL? S_âGÜQA¸OXÞH�Ý�RT;>ST;¯Ý�HKà¦ÜÄOh;>JpS�Ý)HXJ�Ý.ÚLHXJÍähArHWÞ STA)RdSTÚÍA¸èÄà�SZA�R ;¯ßVHXÜÍÜLà>;YA)?¦é

��� ��� �������.� � ���������� ��'õBÜÍàY;YÝ�;�S�=�A�STÚÍOB?Íß�ELßTA¹èÄà�SZA�R.ß�F ÚÍ;¯Ý.Ú2ÜÍRZEÍJÍAþSTÚÍA�ßTA�S8OKÞ�HXàYà%Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàuÜQOK;YJpSZß�?BA�èÄJÍ;>JLäSTÚÍA SZOKÜQOKàYOKäh;YÝ)HXàÍß�STRZELÝ�SZEÍRTAhéKÙdÚÍ;¯ß';¯ßnHKÝ.ÚL;>A)UKA)?8PGâ�ELßT;YJÍäß�ÜQA)Ý�;�èQÝ øGJÍOWF à>A�?BäKA HKPÄOhEBS#STÚLAÝ.ÚLHXR.HKÝ�STA�RZ;¯ß_SZ;YÝ)ßnOKÞwSZÚÍA í OWF�SZOKÜQOKàYOKähâKéðÍOKR%SZÚÍ;YßVÜÍEÍRZÜÄOpß�AhëGH;�!�#"%D �Z" P &X�Z$KG ���g�9&7�HDuÚLHKß%PQA�A�J-?BA�ß�;YäKJLA)?¦éÍÙdÚÍA¸=fOXSZ;>UWHXST;YOKJNOXÞ

STÚÍ;¯ß�èLà>STA�R¸;¯ß�STÚLHXS¸HKJÛOXÞ SZA�J7OBÝ�Ý�ELRTRZ;>JLäößT=fHKà>à�?B;¯ß_SZEÍRZPLHXJLÝ�A8OKÞ#STÚLA í OWF ;Y߸Ý)HXELßTA)?-PGâÜLHX;YRZß�OKÞuÝ�RZ;�SZ;YÝ)HXà�ÜQOK;YJhS.ß�é¦ðLOKR¸A�õÍHX=fÜÍàYAKëQSZÚÍA�STOKÜQOKàYOKäh;YÝ)HXà�ß_SZRTEÄÝ�STELRTA�OXÞuHþS_F%ON?B;Y=fA�JBçß�;YOKJLHKà�UKOKRTSTA�õÛÝ�OhJLß�;¯ß�SZß�OXÞdHþÞ¢OBÝ�ELß î¢RZA�ÜQA�àYà>;YJÍä�OKRrHXS�STR.HKÝ�ST;YJÍäpò�OKRrH�Ý�A)JpSTA�RrÝ�OK=�PL;>JÍA�?F ;�SZÚ7HNßTHh?Í?BàYAfÜÄOh;>JpS¹î¾ßTA�A8èLäKELRTA S ò�éDÙdÚÍA�ßT;Yá�AfOXÞ#SZÚÍAfUKOhR�SZA�õÌ;¯ß�?ÍA�STA)RT=f;YJÍA)?ýPGâ-STÚLA?B;Yß�SZHKJLÝ�A%PQA�S_F%A�A�J�STÚÍAdÜLHK;>R�OKÞÄÝ�RZ;�SZ;YÝ)HXàGÜQOK;YJhS.ß�éWM A)=fOWUp;YJÍä�STÚÍAdÜLHK;>R"Þ¢RZOK= STÚLAnSZOKÜQOKàYOKäKâ?BOGA)ßdJÍOKSV;>J í EÍA�JLÝ�A¸STÚÍArähà>OhPLHXà¦ß�STRZELÝ�SZEÍRZA�OKÞwSZÚÍA í OWFré

dist

��� «�L« � ]�\Z�he)irqh�l\ub�aDe�kZ`_jº^_jlk�e��ÄqBb)j�]W^'qpe)jº`�he�aYbWk.spmne)]po�m_e)opoK��\%qBb�jl]W^'a¯b)`_irjl]h³�e�°�b)`±^_\Z� |¬ gh\Vohjlm�^�e)]hk.\Voh\ &G]p\Zm�^_gp\ m±qGe�^_j�e)�Lm±k�e)�l\Vb)a¦^_gh\dqBb�jl]W^nqGe)jº` |

ÙdÚÍA�ÜÄHX;YR%?B;¯ß�SZHXJÄÝ�A�èLà�SZA�R Ý�HKJþPQA�;Y=fÜÍàYA�=fA�JpSTA�?öHhß#Þ¢Ohà>àYOWFVß �GÙdÚLA�ßTA�SdOXÞwHKà>à¦Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàÜÄOh;>JpSZß�HKRTAuà>OBÝ�HXSTA�?�HXJÄ?�Ý�à¯HKßZßT;�èLA�?¦é ��ßT;>JÍä�STÚLAd?Í;Yß�SZHKJLÝ�A%PÄA�S_FuA)A�J�ßTHh?Í?BàYA)ß"HXJL?8HWS�SZRZHhÝ�STç;>JÍä �RZA�ÜQA�àYà>;YJÍä¸JÍOB?BA�ß�ëXH¸ÜLHK;>RZF ;¯ß�A ?B;¯ß_S.HXJLÝ�Ad=fHXSTRZ;�õ8;Yß#Ý�OKJLß�STRZELÝ�STA)?DéXÙdÚÍA ÜLHX;YR'F ;>STÚfSTÚLAß�= HXàYàYA)ß�S%?B;¯ß_S.HXJLÝ�A�;¯ßuRTA)=�OWUhA)?fÞ¢RZOK=ÿSZÚÍA�= HXSTRZ;�õ¦éGÙdÚÍ;Yß%;¯ß%;�SZA�R.HWST;YUKA)à>âfÝ�OhJpST;YJpELA)?¹ELJhSZ;>àH�?Í;Yß�SZHKJLÝ�A¸SZÚÍRTA�ß�ÚLOKà¯?þ;¯ßdRTA�HKÝ.ÚÍA�?¦éðw;YäKELRTA U ßTÚÍOWFVß%STÚÍA�ÜLHX;YRV?B;¯ß_S.HXJLÝ�A¸èLà�SZA�R�;>J�ÜÍR.HKÝ�ST;¯Ý�AKéÄÙdÚÍArà>A�Þ S�;Y=fHKäKArßTÚÍOWFVßdSTÚLA

ß�A�S�OXÞVHXàYà �����Ý�RT;>ST;¯Ý�HKà#ÜÄOh;>JpS.ßOXÞdSZÚÍAþOhRT;YäK;YJLHXà#?LHWSZHÛß�A�S)éwÙdÚLA¹=f;Y?Í?Íà>Aö;>= HXähA¹ß�ÚLOWFVßSTÚÍAfÝ�RZ;�SZ;YÝ)HXàwÜÄOh;>JpSZß�OKÞ'STÚÍAf?ÍHWS.HþßTA�S¸HWÞ STA)R�PQA�;YJÍäþèLà�SZA�RZA)?ÛF ;�SZÚýH¹?B;¯ß�SZHXJÄÝ�A8STÚÍRZA)ßTÚÍOKà¯?OXÞ�0�� 0�0�0Íú/+��2ë®;YJ2F ÚÍ;¯Ý.Ú�� ;YßSTÚÍAöÚÍA�;YäKÚpS�OXÞdSTÚÍANß�A�S)ë"RTA�ß�ELà�SZ;>JÍä-;YJ�HÌßTA�S�OXÞrúKú Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXànÜQOK;YJpSZß)éwÙdÚÍAöRT;YäKÚpS;Y= HXäKAöß�ÚÍOWFVßrSTÚÍANÝ�RZ;�SZ;YÝ)HXànÜQOK;YJpSZß�OXÞdSTÚÍAN?ÍHWS.HÌßTA�S8HXÞ STA�R

Page 6: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

� vÀj�i oK\��Ä\.\ZsXµãe�]Go��nb�»B\T`±^#°�e�]��Äjl\Z`_\PÄA);>JÍäNèLà>STA)RTA�?ÛF ;>STÚÀH�?B;¯ß_S.HXJLÝ�A8SZÚÍRZA)ßTÚÍOKà¯?ÌOKÞY0�� 0�0Lú + �2ë¦RTA�ß�EÍà>ST;YJÍäN;>JyHNß�A�SrOXÞ � Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXà¦ÜQOK;YJhS.ß�é

��� «��L«L¬ gh`_\.\ °Xjl\Zµ#m#b)a¦^_gh\d\Z�Kqp�ljlk.jº^nir\Z^_gpbXospm±jl]h³�^_gp\dqpe)jº` &G�º^_\Z` | �Ä\Za>^)(pb�`_jl³�jl]Ge��¦ope�^�e�m±\Z^� � � � kZ`_jº^_j�k.e)�XqBb�jl]W^_m*� | c�j>ohoh�l\+(���� �)���X�����6oKj�m�^�e�]pk.\ �����.�ukZ`_jº^_jlk�e)�XqBb�jl]W^_m*� | �nj�³)gW^)(��� ���X����&p�º^_\Z`�� �)�¸kZ`_jº^_jlk�e��QqBb�jl]W^_m*� |

� ��×�Ò��®ÖQÑ� 6Õ�� �DÒL×TÖ���b��d×�� Õ�b��"ÑB×�ÓnÐ Ó����fÕVÒ���Õ�b �®ÐuÑ�� b_Ó �� �� � � �"!������$#�% �'&(#��)#+* ���ü±JÌù �Xû�ëh=�A�STÚÍOB?ÍßuHXRZAV?B;¯ßTÝ�ELßTßTA)?�Þ¢OhRn?B;YRTA�Ý�SnJGEÍ=fA)RT;¯Ý�HKàLß�;Y=�ELàYHXST;YOKJ-î¾ñ � ÍònOXÞ}SZEÍRTPLEÍà>A)JpSí OWFréLñ � �;¯ß�HKJ�HhÝ�Ý�EÍRZHXSTA¸SZA)Ý.ÚÍJÍ;¯ôpEÍArÞ¢OhR�Ý�Oh=�ÜLEBST;YJÍä SZEÍRTPLEÍà>A)JpS í OWFréLð"àYOWFIA�õGÜQA�RTSZßELß�A¸SZÚÍArRZA)ßTEÍà�SZ;>JLä�UG;¯ß�EÄHXàY;>á�HWST;YOKJÄßnSZO�STA)ß�SVÚGâGÜÄOKSTÚÍA�ß�A�ß HXPQOKEBS í OWFIÜÍÚÍA)JÍOK=fA�JÄH�HKJL? �HWÞ STA)R'H�?BA�SZHX;YàYA)?;YJLßTÜÄA�Ý�SZ;>OhJ�OXÞLSTÚÍAdHXJÍ;Y= HWSZ;>OhJ �¸HhßwH�=fA)HKJLßDSZO�ÜQOhßTA%JÍA�F2ÚGâGÜQOXSTÚLA)ßTA)ß)é, ÞuÜLHKR�SZ;YÝ�EÍàYHKR¸;>JpSTA)RTA�ß_Sr;¯ß¸STÚLAf?ÍA�SZHK;>àYA)?7UG;¯ß�ELHKà>;Yá)HXST;YOKJýOXÞuUhOKRTSTA�õ-Þ¢OKRZ=fHXST;YOKJ7HXJL?ýSTÚLASTR.HXJLßT;�SZ;>OhJþÞ¢RZOK= àYHK=�;YJLHKRdSTO�STEÍRZPÍEÍàYA�JpS í OWFréü±J¸STÚÍ;¯ßDÜLHKR�SZ;YÝ�EÍà¯HXRDÜÍRZOKPLà>A)=Në�H ñ � ¸OXÞÍHdSZEÍRZPÍEÍàYA�JpS í OWFyHXRZOKELJL?¸HVßTôpELHKRTA'Ý�âpàY;YJL?BA�R

HWS M A ! � �Bë 0�0�0 î¾HWSdá�A)RTO�HXJÍähà>A�OXÞwHXS�S.HKÝ.øÍò'ÚLHhßnPQA�A)JþÜQA�RTÞ¢OKRZ=fA)?¦éBÙdÚÍA�ß�;Yá�A�OXÞDSZÚÍA�RTA�çß�EÍà>ST;YJÍär?ÍHXSZH�ß�A�S";¯ß�;>=fÜÍRZA)ßZßT;>UhA�)STÚÍAdRZA)ßTOKàYEBST;YOKJ8OXÞÍSZÚÍAdRTA�Ý�ST;YàY;>JÍA�HXR�äKRZ;¯?;¯ß �Lú Kõ S ��"Xõ U !(STÚÍA¸äKRZ;¯? F%HhßuèLJÍA)ß�SdJÍA)HKRTPGâ�STÚÍArÝ�âpàY;YJL?BA�R�éBÙdÚÍA�JpEL=�PQA�RdOXÞDSZ;>=fArß�STA�ÜÄß%ßZH�UKA�? OKJN?B;¯ß�øHXRZA � S 0�0Íé

� �� - ���).�� ���ðw;YäKELRTA �¹ßTÚÍOWFVßVUG;YA�F OKÞ#STÚLA í OWFré}ÙdÚÍ;¯ß�;Yß�STÚLA�ßZHX=fA �KñÁß�àY;YÝ�A8Hhß�;YJÛèÄäKEÍRZA úhé}ÙdÚLAÜLHX;YR�?B;¯ß_S.HXJLÝ�A¸èLà>STA�R�;YßVELß�A�?�F ;�SZÚÌH ?B;¯ß_S.HXJLÝ�A¸STÚÍRZA)ßTÚÍOKà¯?NOXÞ�0�� 0�0Lú,+ �yëÄ;>J-F ÚÍ;¯Ý.Ú �;Yß�STÚÍA8ÚÍA�;YäKÚpS�OXÞ'STÚLA8?ÍHXSZHþßTA�S�é���OWFrëÄß�STRZA)HK=�àY;YJÍA)ß�Ý�HXJÛPÄA�?BRZH�F J-F ;>STÚLOKEBS�A�õÍÝ�A�ßTßT;>UhAÝ�àYEBS�SZA�RZ;>JÍä OKÞ�STÚÍA;Y= HXähA�F ÚL;>àYAKëQß�;Y=�EÍà>SZHKJÍA�OhELßTà>âhëÍ= HX;YJhS.HX;YJÍ;YJÍäfSTÚÍA¸SZÚÍAähà>OhPLHXà®ß�STRZELÝ�çSTEÍRZArOXÞ"STÚÍA í OWFré �VOXSZAKëBÞ¢OhR A�õÍHX=fÜÍàYAKëÍSTÚÍArà¯HXRZäKA¸UKOhR�SZA�õÛîÂÝ�OKJÄß�;¯ß_SZ;>JLä�OKÞ�H ßZHK?L?Bà>ArHKJL?HWS�SZRZHhÝ�SZ;>JÍäfJÍOB?BA�ò%PÄA)ÚÍ;YJL?öSTÚÍAßZôpELHXRZA�Ý�âGà>;YJL?BA)R)éðw;YäKELRTA�"rßTÚÍOWFVß'Hrá)OpOh=fA)?�;>J UG;YA�FåOXÞ}STÚLAVÜÍRZA�UG;>OhELß�;Y=fHKäKAhéKÙdÚÍA�?B;¯ß�SZHXJÄÝ�A SZÚÍRTA�ß�ÚÍç

OKà¯?fÞ¢OKRuSTÚÍA�ÜLHK;>Rd?B;¯ß_S.HXJLÝ�AVèLà>STA)R%;¯ß%HK?0/_ELß�STA�? SZO8RZA í A�Ý�Sdß_SZRTELÝ�STEÍRZA)ß%HWSdH�ßT= HXàYà>A)R%ßZÝ�HKà>Ahé

Page 7: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

� jlm±sGe��lj�².e�^_jlb�] b�aw�%��b)»Ge����}�lb�µ<tW^±`_spkZ^_sK`_\.m��%m±jl]p³¸c�sp�º^_jlqp�l\ �Ä\.°�\.�lmnb�a ¬ b)qBb��lb�³�¿ �

��� «��Í« � °Xjl\Zµ6b)au³��lb�»pe)��´Gb�µ6m�^±`_spkZ^_sK`_\8e�`_b�sh]GoÌe m_­Xspe�`_\�kZ¿K�lj�]poh\Z` | ¬ gp\�qGe�jl`¸ohjlm�^�e)]hk.\&p�º^_\Z`nj�m#shm±\�o�µ#jº^_g e¸oKjlm�^�e)]pkZ\ b)a®�� �)�K�+�+� |

� � ����#$� . #��+��� %ÙdÚÍ;Yß HKÜÍÜÍàY;YÝ)HWSZ;>OhJãÝ�àYA)HKRTàYâyPQA�JÍA�èÍSZß�Þ¢RZOK= SZÚÍA-HK?Í?ÍA)?ãU�HKà>ELAöOKÞ�STÚLAN=8EÍà>ST;>ç�àYA�UhA�à í OWFSTOKÜQOKàYOKähâ�STA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôhELAKënù Xû�é®ÙdÚÍA ?ÍHXSZH�ß�A�S�Ý�OhJhS.HX;YJLßrHXJÀHXPLEÍJL?ÍHKJLÝ�AfOXÞ ?BA�SZHX;YàYA)?7;>JÍÞ¢OKRTç=fHXST;YOKJDé ��ßT;>JLäÀSTR.HK?B;>ST;YOKJLHKà STOhÜÄOhà>OhäKâ2UG;¯ß�EÄHXàY;>á�HWST;YOKJì=fA�SZÚÍOB?Íß¹OhJåSTÚÍA�ß�AÛ?LHWSZHyßTA�S.ß�ëA�õÍÝ�A�ßTßT;>UhA�Ý�àYEBSTSTA�RZ;YJÍäöÝ)HXJ-JÍOKS�PQA�H�UhOK;¯?BA)?¦éÄ:<;�SZÚÌSZÚÍA�=8EÍà�SZ;�ç�àYA�UKA)à"HKÜÍÜÍRZOhHhÝ.ÚDëLßT;>=fÜÍàY;�çèLA)?NUG;>A)FVßdOXÞ"STÚÍA¸SZOKÜQOKàYOKähâ¹Ý�HXJNPQArOKPBS.HX;YJÍA)?öF ;�SZÚÍOKEÍS�Ý�àYEBS�SZA�RZ;>JÍäÄéÙdÚÍAþ=8EÍà�SZ;�ç�àYA�UKA)à#SZOKÜQOKàYOKäKâ7=fA�SZÚÍOB?2ÚLHhßPQA�A�JãÜLHXR.HXàYàYA�àY;>á)A)?¦ë®ßTOÌSZÚLHWS�;>JpSZA�R.HKÝ�SZ;>UhA

RZHXSTA)ßdÝ)HXJþPQA¸OKPBS.HX;YJÍA)?DéÍÙdÚÍA¸;>JpSTA)RZHhÝ�SZ;>UhA�=�ELà�SZ;�ç�à>A)UKA)à}STOKÜQOKàYOKähâf=�A�STÚÍOB?NÝ�HKJöPQA¸ELß�A�?Ý�OK=8PÍ;YJLHWSZ;>OhJþF ;>STÚ�;>JpSZA�R.HKÝ�SZ;>UhA�ßTÜÄOKS JÍOK;¯ß�A ù S û}STOfRZA)HKà>;Yá�A�RTA�HXà>çÂSZ;>=fA¸HXJÍ;Y= HWSZ;>OhJöOKÞ®STÚLAST;Y=�A�ç�?ÍA�ÜQA�JL?BA)JpS èLA�à¯?�HXJL?N;YJhSZA�R.HKÝ�ST;YUKA�á�OGOK=f;YJÍäf;>JpSTO ?BA�SZHK;>à¯ß OKJLA�SZ;>=fAß�STA)ÜDéü±J�STÚÍA8JÍA)HKRVÞ¢EBSZEÍRTA�ñ � -Ý�HKJÌPQA8HXÜLÜÍà>;YA)?NSZO í OWFVß�F ;�SZÚÛH¹M A)âpJLOKà¯?ÍßVJGEÍ=8PÄA)R�;YJ

STÚÍAöOKR.?BA�R8OXÞú<0��Wé�ÙdÚÍAþ;YJLÝ�RZA)Hhß�A�?yß�;Yá�ANHXJL?�?BA�S.HX;Yà>A�?y;>JÍÞ¢OKRZ=fHXST;YOKJy;YJySTÚLAöRZA)ßTEÍà>ST;YJÍä?ÍHWS.H�ßTA�S.ßdF ;>àYàDRZA)ôpEÍ;YRTA¸=8EÍà�SZ;�ç�àYA�UKA)à í OWFæUG;¯ß�EÄHXàY;>á�HWST;YOKJþSTA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôhELAKé

� �ýÓuÐ�Ö b�Õ��G×_ÓnÐü±J¸STÚÍ;¯ß®ÜÄHXÜQA�R�ë�HdSTA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôpEÍA'Þ¢OKR®STÚÍAnUp;¯ßTELHXàY;>á�HWSZ;>OhJ�OKÞB=�EÍà>ST;>ç�àYA�UhA�àKSTOKÜQOKàYOKähâ�;YJ í OWFÀ?ÍHWS.Hß�A�SZß'FdHKß'ÜLRTA�ß�A)JhSZA)?¦éKü�SnÜÍRZOWUp;¯?BA�ß"STÚÍAVEÄß�A)R#F ;�SZÚþH¸=fA)Ý.ÚLHKJÍ;¯ß�= STOUG;¯ß�ELHKà>;Yá�A%SZÚÍA STOhÜÄOhà�çOKäKâýF ;�SZÚÍOKEÍS�A�õÍÝ�A�ßTßT;YUKA Ý�àYEBS�SZA�RZ;>JLäÌF ÚÍ;Yà>A¹= HK;>JpSZHK;>JL;>JÍä�SZÚÍA¹ähà>OhPLHXànß�STRZELÝ�STEÍRZA OXÞdSTÚLAí OWFréhÙdF%O=fA�SZÚÍOB?ÍßnÚÄH�UKA PQA�A�Jö;>JpSZRTOB?BELÝ�A)?¦éhü±=fÜÍà>;¯Ý�;>Sd=�A�STÚÍOB?ÍßuÝ�HKJ¹PÄA�ELßTA)?�STO�èLà>STA�R?ÍHWS.H�;YJþOhRZ?BA)RnSZO�ßTEÍÜÍÜLRTA�ßTß í OWF<ÜLHXS�STA)RTJÄß%HXSdßT= HXàYàQßTÜLHXST;¯HXà¦ßTÝ)HXàYA)ß)é��#õBÜÍà>;¯Ý�;>Sd=�A�STÚÍOB?ÍßÝ�HXJýPÄAfELßTA)?ÌSTO�ÜÍRZEÍJÍAfHößTA�SrOKÞuÝ�RZ;�SZ;YÝ)HXà�ÜQOK;YJhS.ß�ë}= HXøG;YJÍäNELß�A�OXÞdß�ÜQA)Ý�;�èQÝ�øGJÍOWF àYA)?BähAHXPQOKEBS8Ý.ÚÄHXR.HKÝ�SZA�RZ;Yß�ST;¯Ý�ß�OKÞ%SZÚÍA í OWFÃSTOhÜÄOhà>OhäKâhéDÙdÚÍA STA�Ý.ÚÍJÍ;¯ôpEÍA¹ÚLHhßrPÄA)A�J2ßTELÝ�Ý�A)ß�Þ¢EÍàYà>âHXÜÍÜÍàY;YA)?öSTO HfÝ�Oh=�ÜLà>A�õö?ÍHWS.H ß�A�S RTA�ß�EÍà>ST;YJÍä�Þ¢RZOK= H ?B;YRZA)Ý�S JGEÍ=fA�RZ;¯Ý�HXàDßT;Y=�EÍà¯HWSZ;>OhJDé

Page 8: Centrum Wiskunde & Informaticahomepages.cwi.nl/~robertl/papers/1999/egvis/paper.pdf · e ^_jlb)] jl] ´pspj o ´pbµ#m®jlm®µ"\. l p¶X]pb µ#] | · bµ"\.° \Z` z µ#gp\Z] ^_gp\^_\.k

- vÀj�i oK\��Ä\.\ZsXµãe�]Go��nb�»B\T`±^#°�e�]��Äjl\Z`_\

��� «��L« � ².bWb)ir\�orjl]r°Kjl\ZµÀb)aL´Gb�µ7^_b)qBb��lb�³�¿�e�`_b�sh]Goe m_­WsGe�`_\nkZ¿K�ljl]Goh\T` | ¬ gp\nqGe�jl`�ohjlm�^�e)]hk.\&p�º^_\Z`nj�m#shm±\�o�µ#jº^_g e¸oKjlm�^�e)]pkZ\ b)a®�� �)��� � � � |ü±J8SZÚÍAdÞ¢EBSZEÍRTAhëXS_F%O¸A�JÍÚLHKJLÝ�A)=fA�JpSZß�SZO�STÚÍAVA�õBÜÍà>;¯Ý�;>S#=fA�SZÚÍOB? HXRZA%A)JGUp;¯ßT;>OhJÍA)?¦éXð";YRZß�S)ë

èLà�SZA�RZ;>JLä F ;>àYàDS.HXøKArJLOXS�OhJÍà>âN?B;¯ß_S.HXJLÝ�Ar;>JBÞ¢OhRT= HXST;YOKJ�PÄA�S_FuA)A�JÌÝ�RT;>ST;¯Ý�HKàDÜÄOh;>JpS.ß ;>JpSZOþHKÝ�çÝ�OKELJhS�ë¦PÍEBSHXà¯ßTO¹STOhÜÄOhà>OhäK;¯Ý�HKà";YJBÞ¢OhRT= HWSZ;>OhJýHKPÄOhEBS�SZÚÍA Ý�Oh=�ÜLEBSTA�?ÛàY;>JLøGß î¾;Âé AKéDß�STRZA)HK=�çà>;YJÍA)ß.ònPÄA�S_FuA)A�J SZÚÍA�Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàÄÜQOK;YJpS%ÜÄHX;YRZß)é�GA�Ý�OhJL?¦ëhSTA�=fÜQOKR.HXàQ;>JÍÞ¢OKRZ=fHXST;YOKJþHKPÄOhEBS%Ý�RT;>S�ç;YÝ)HXà¦ÜQOK;YJhS.ß Ý�HKJþPQArELß�A�?¦éÍñ�EÍA�STO í OWFæÜÄHWS�SZA�RZJLßdHWSVßT=fHKà>à}SZA�=fÜQOKR.HXà¦ßTÝ)HXàYA)ß)ëpSTÚÍArA�õG;¯ß�çSZHXJÄÝ�A�OXÞ®H�Ý�RZ;�SZ;YÝ)HXàQÜÄOh;>JpSd=fH�âfUWHXRZâfOWUKA)R#ST;Y=fAKé8�%â�STR.HKÝ.øG;YJÍäSZÚÍA�Ý�RT;>ST;¯Ý�HKàÄÜQOK;YJpSZß%OWUKA)RST;Y=�AhëKSZÚÍAVàY;�Þ¢A�ST;Y=fA�OXÞDHrÜQOK;YJpS%Ý)HXJfPÄA�?BA�SZA�RZ=f;>JÍA�?¦éhÙdÚLAVSTÚLRTA�ß�ÚÍOhàY?�=fA�SZRT;¯ÝVÝ)HXJ PQAVSTÚLA=�;YJÍ;Y=�EÍ= à>;>Þ¢A�SZ;>=fAOKÞ"H Ý�RT;>ST;¯Ý�HKà¦ÜÄOh;>JpS)é

� � � �®Ò��®Ð�Ö-� �� |��h| � |W· \.�lie�]re)]po � |�· \.m±m±\.�ljl]p¶ |8� jlm±spe)�ljl².jl]p³V°�\.kZ^_b�` &p\.��o�^_b�qBb)��b)³)¿rjl]¸´pspj�o�´Gb�µ#m |������

��� ����������������������! #"$��%�&(')�*�,+ �! -���.�.��%/"_zQ�)� � �+� ( � �10 � � zÄcfe.¿þ���)�K� |� | �V| �%�lb�»hspm.zL[ | �L\.°Xjº^�zÍe)]po ¬ | �Qe�m±jl]pm±¶Xj |%� ^_bWb)�Qa¯b�`d°Xjlm±sGe���jl².jl]h³^_gh\ ^_b�qBb��lb)³)¿ b�a®^_gK`_\.\Z½oKj�ir\Z]pm±jlb�]pe)�p°�\.kZ^_b)`&p\.��ohm | xÂ]� | c | �%jl\.�lm±b�]e�]Go.� | �h| �nb�m±\.]X»p�lshifz)\.ohjº^_b)`_m.z�2����3 4�-��&��5%76�"8 �5"-�9�:+ �<;3���.�!��%>= ?7@�zKqGe�³�\.mg�L� 0 ��� | xBAAAý["b�irqpsK^_\Z`ntXbWk.jl\Z^�¿ { `_\.m±m.z �Lb�m � ��e�irjl^_b)m �¾[ � �Tz�.���K� |

� | � | v | [ | {}|K� \Z`_m�^�e�qpqB\.]Ne)]po ��| A | {¦|K� \Z�>oKie)] |DC jº`_\.kZ^�]Xspir\Z`_jlk�e��Dm±j�i�sp��e�^_jlb)]-e�^��lb�µ�\Z`k.b)m�^_m |FE �G���4%,��+H��I�JK���L�9�� D���.�! -�:+ � %76��5%M�-���4�5%�6)z � sp]h\����)��� |

� | �V| A | {}|�� \.��ohie)] |¦{ `_jl°�e�^_\ k.b�iri�sp]pjlk�e�^_jlb�] |� | v | [ | oh\ �L\.\.sWµ e)]po � | °)e)] �Äjl\Z`_\ | C jl°Kj�oK\ e)]po,k.b)]G­Wsp\Z` m±qBb�^ ]pb�jlm±\ |xÂ]N2����3 4�-�-&G�5%�6�"PO/�1�9���Q��G F�����.�5%76R= ?�SUT5���.�V�XW Y*Y/"� -Z�[7\]�^ 1\L -����%,�#+5+<\5��&��GY/"� 3?�S4Y������-6��-�G _Y`X� ��abY�c �d���Degf Y ��h c �i \Va ` Jkj�zL�.����� |