Casos especiales de la P. L.

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Programación Lineal Entera

Un modelo de programación lineal que no acepta soluciones fraccionales.

En este caso, la formulación es similar a la de un problema general de programación lineal, pero con la restricción de que:

xi {I ≥ 0}

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Pueden ser de diferentes tipos:

Soluciones enteras

Soluciones binarias (0, 1)

Soluciones mixtas

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Solución

Relajación: suponer que el modelo no tiene restricciones de integralidad en la solución en la solución En este caso la solución general contendrá todas

las posibles soluciones enteras Es la mejor solución que se pueda obtener y

cualquier solución entera no podrá ser mejor que ésta

La solución puede ser una aproximación por redondeo

Puede que no sea factible y seguramente no será óptima.

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Rama y Acotamiento

Introducido originalmente por Land y Doig en 1960

Consiste en un proceso de búsqueda secuencial

Enumera implícitamente la mayoría de las posibles soluciones del problema que se está resolviendo

Divide el conjunto de posible soluciones en subconjuntos

Para cada subconjunto, tanto los límites de la función objetivo como el criterio de factibilidad se utilizan como criterios para limitar la solución

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Algoritmo general

1. Encontrar un límite máximo de la función objetivo, dado por la solución óptima relajada.

2. Definir dos subconjuntos tales que d + 1 ≤ xk ≤ d donde d es una constante definida por el entero

menor de la solución para xk

3. Para cada solución defina una nueva solución óptima. Un subconjunto podrá ser eliminado del proceso si:

- Su solución no es factible - Existe una mejor solución

4. El proceso se detiene cuando se encuentra una solución óptima donde las variables de decisión sean enteras.

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Ejemplo

Se tiene el siguiente problema

Max.: x = 4x1 + 11x2

Sujeto a:

2x1 – x2 ≤ 4

2x1 + 5x2 ≤ 16

- x1 + 2x2 ≤ 4

x1 y x2 ≥ 0 y enteras

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x1 ≤ 1 X1 ≥ 2

X2 ≤ 2 X2 ≥ 3

El Problema de Asignación

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El problema de asignación

Supóngase que se tienen n centros de trabajo y n posibles asignaciones, cada una de las cuales puede ser realizada por cualquiera de los n centros de trabajo.

Supóngase además que existe un costo asociado Ci,j que resulta de asignar un trabajo i a un centro de trabajo j.

En este caso, la asignación de cada trabajo se realizará solamente a un solo centro de tal manera que el costo total de la asignación de los trabajos sea mínimo.

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cosa otra 0

j centro a asigna se i trabajo si 1X

n ..., 2, 1, i 1X

n ..., 2, 1,j 1X

:.a.s

XCZ.min

j,i

j

ji,

i

j,i

i j

j,ij,i

Formulación general

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Solución

Método SIMPLEX o programación entera binaria

Método fila columna – o método Húngaro

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Algoritmo del Método Húngaro

1. Reducción de filas: Restar el costo más bajo de cada fila a cada uno de los elementos de dicha fila.

2. Reducción de columnas: Restar el costo más bajo de cada columna a cada uno de los elementos de dicha columna. La matriz resultante se conoce como matriz reducida de costos.

3. Cubrir ceros: Cubrir todos los ceros de la matriz reducida de costos con el mínimo número de líneas horizontales y verticales. Si el número de líneas es igual a n, se tiene una solución óptima, la que resulta en función a los ceros de la matriz. En caso contrario, seguir con el paso 4.

4. Crear nuevos ceros: De la matriz cubierta generada en el paso anterior, encuentre el elemento más pequeño no cubierto. Restar dicho elemento a todos los elementos no cubierto de la matriz y sumarlo a todos los elementos en las intersecciones. Los demás elementos permanecen sin cambio. Regresar al paso 3.

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Ejemplo

La administración de cierto restaurante ha decidido dirigir diferentes clientes a diferentes áreas de servicio. La administración sabe que las diferentes combinaciones de cliente/mesero hacen variar los costos de servicio a causa de las características del cliente y las habilidades de los diferentes meseros. A continuación se tiene la información de costos por cliente y mesero:

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Costo por mesero

Costo de Meseros

Cliente 1 2 3

1 12.90 11.90 12.10

2 15.30 15.50 14.30

3 11.90 13.90 13.00

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El Problema de Transporte

Busca optimizar la satisfacción de demandas de destinos a través de oferta de orígenes.

Se optimiza en base a:

Distancias

Tiempos

Costos

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Formulación general

Optimizar ijci,jxi,j

Sujeto a:

ici,jxi,j ≤ Oi fuentes i = 1, 2, …, n

jci,jxi,j ≤ Dj destinos j = 1, 2, …, m

Xi,j ≥ 0

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Solución

Por medio de P. L. utilizando Simplex

Algoritmo de transporte

Tableau inicial

Solución Inicial

Prueba de optimalidad

Redistribución de envíos

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Ejemplo

Fuente Cantidad

Chiriquí 2500

Azuero 1250

Darién 850

Coclé 1000

Destino Cantidad

Panamá 1980

Colón 750

Puerto Balboa

1000

Puerto Cristóbal

1870

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Ejemplo - Costo

De/A: Panamá Colón Balboa Cristóbal

Chiriquí 50 55 50 55

Azuero 40 48 39 42

Darién 15 25 18 26

Coclé 22 28 25 29

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Formulación Estándar

Minimizar 50x1,1 + 55x1,2 + … + 25x4,3 + 29x4,4 Sujeto a: x1,1 + x1,2 + … + x1,4 ≤ 2500 . . . . . . . . . . . . . . . x4,1 + x4,2 + … + x4,4 ≤ 1000 x1,1 + x2,1 + … + x4,1 ≤ 1980 . . . . . . . . . . . . . . . x1,4 + x2,4 + … + x4,4 ≤ 1870

Fuentes

Destinos

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Ejemplo Algoritmo de Transporte: Tableau Inicial

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Ejemplo Algoritmo de Transporte: Red

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Solución Inicial – Esquina Noroeste

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Solución Final

El problema de transporte con trasbordo

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El problema de trasbordo

Normalmente los bienes no son transportados directamente de su fuente a destino final

Se utilizan puntos intermedios (depósitos o bodegas)

El modelo puede aproximarse a un problema de flujo mínimo con nodos intermedios

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Ejemplo

Para el caso anterior del ejemplo de transporte, supóngase que se añade un centro de trasbordo, con una capacidad de almacenar hasta 3,500 unidades. Supóngase además que el costo de estibar, consolidar y embarcar el producto para ser enviado es de B/.5.00 por tonelada. Los otros costos asociados se presentan a continuación:

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Ejemplo - capacidades

Fuente Cantidad

Chiriquí 2500

Azuero 1250

Darién 850

Coclé 1000

Destino Cantidad

Panamá 1980

Colón 750

Puerto Balboa 1000

Puerto Cristóbal

1870

Depósito Cantidad

Entradas 3500

Salidas 3500

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Ejemplo - Costo

De/A: Panamá Colón Balboa Cristóbal Entrada Salida

Chiriquí 50 55 50 55 20

Azuero 40 48 39 42 18

Darién 15 25 18 26 30

Coclé 22 28 25 29 10

Entrada 5

Salida 15 20 15 20

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Chiriquí

Azuero

Darién

Coclé

Entrada Salida

Panamá

Colón

Balboa

Cristóbal

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Formulación estándar Minimizar 50x1,1 + 55x1,2 + … + 25x4,3 + 29x4,4+ 20x1,5+ 18x2,5+… +10x4,5 + 5x5,6 + 15x6,1 + 20x6,2 + … + 20x6,5

Sujeto a: x1,1 + x1,2 + … + x1,4 + x1, 5≥ 2500 . . . . . . . . . . . . x4,1 + x4,2 + … + x4,4 + + x4, 5 ≥ 1000 X1,5 + x2,5 + x3,5 + x4,5 ≥ 3500 x5,,6 ≤ 3500 X1,5 + x2,5 + x3,5 + x4,5 = X6,1 + x6,2 + x6,3 + x6,4 Equilibrio de flujo x1,1 + x2,1 + … + x4,1 ≥ 1980 . . . . . . . . . . . . x1,4 + x2,4 + … + x4,4 ≥ 1870 X6,1 + x6,2 + x6,3 + x6,4 ≥ 3500

Fuentes

Destinos

Restricción de flujo

Viola la estructura de la formulación típica del problema de transporte …

Formulación del problema de flujo mínimo:

Considere una red dirigida y conectada, donde esta incluye al menos un nodo de oferta y otro de demanda:

La variable de decisión será:

xij: será el flujo a través del arco ij

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Formulación General:

Incluye la siguiente información:

cij: es el costo de enviar una unidad a través del arco i j

uij: les la capacidad del arco i j

bi: es el flujo generado en el nodo i

El valor de bi depende de la naturaleza del nodo :

bi > 0, si i es un nodo de oferta

bi < 0, si i es un nodo de demanda

bi = 0, si i es un nodo de trasbordo

El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red a fin de satisfacer una demanda dada.

En una solución factible, el flujo total generado en los nodos de oferta iguala al flujo total consumido por los nodos de demanda.

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Una condición necesaria para la factibilidad de estos problemas es que:

En otras palabras, el flujo total generado en los nodos de suministro debe ser igual a la demanda total

Ejemplo:

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MPL formulation and solution

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¿Cuál será la formulación del caso del transporte de productos?

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Solución

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Comparando soluciones

Transporte directo Trasbordo

Costo 219,100 194,100