BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren

Hoorcollege 4

Differentie- en differentiaalvergelijkingen

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Onderwerpen

De rijkdom van JaneEen eerste orde differentievergelijkingOplossen van differentievergelijkingenHogere orde differentievergelijkingenEen dieetEen eerste orde differentiaalvergelijkingScheiden van variabelen

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Differentie- en differentiaalvergelijkingen

Wanneer veranderingen over tijd spelen een rol

Veranderingen gebeuren in stapjes (discreet) differentievergelijkingen

Veranderingen gebeuren continu differentiaalvergelijkingen

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Hoe Jane rijk werd

Een ouderpaar besluit bij de geboorte van hun dochter Jane elk jaar op haar verjaardag ƒ 200,- op haar spaarbankboekje te storten. De eerste storting vindt plaats op de dag van Jane’s geboorte. Buiten dit jaarlijkse spaarbedrag wordt er niets op de spaarrekening gestort. Evenmin wordt er voor Jane’s twintigste verjaardag een bedrag opgenomen van de rekening. Elk jaar wordt op Jane’s verjaardag een rente van 5% over het totale bedrag bijgeschreven

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Opbouw van Jane’s vermogen

0 200

1 200 + 0.05 200 + 200 = 410

2 410 + 0.05 410 + 200 = 630.5

3 630.5 + 0.05 630.5 + 200 = 826.025

0.05 200 + 200

0.05 410 + 200

0.05 630.5 + 200

Jaar Vermogen

Definieer: Kn is het vermogen in jaar n

Dan is: Kn+1 - Kn = 0.05 Kn + 200

1e orde differentie Kn

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Naamgeving

Kn = 200 + 0.05Kn

Kn+1 - Kn = 200 + 0.05Kn

Kn+1 = 200 + 1.05Kn

1e orde lineaire differentievergelijking

lineaire recurrente betrekking

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Kn+1 = 200 + 1.05Kn

K1 = 200 + 1.05200 = 200(1 + 1.05)

K2 = 200 + 1.05K1 = 200 + 1.05

= 200(1 + 1.05 + 1.052)

K3 = 200 + 1.05K2 = 200 + 1.05

= 200(1 + 1.05 + 1.052 + 1.053)

Kn = 200(1 + 1.05 + 1.052 +…+ 1.05n)

200 (1+ 1.05)

200 (1+ 1.05 + 1.052)

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Jane’s vermogen in jaar n

Kn = 200(1 + 1.05 + 1.052 +…+ 1.05n)

1.05Kn = 200(1.05 + 1.052 + 1.053 +…+ 1.05n+1)

-1.05Kn - Kn = 200(1.05n+1 - 1)

105.1)105.1(200

K1n

n

)105.1(4000 1n

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Algemene oplossing 1e orde vergelijking

1e orde lineaire differentievergelijking un = a + (b-1).un

1e orde lineaire recurrente betrekking un+1 = a + b.un

Algemene oplossing: 0n

n

n ubb1

)b1(au

Homogene differentievergelijking: un = (b-1).un

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Hogere orde differentievergelijkingen

Hogere orde differenties verschillen van verschillen 2un = un+1 - un = un+2 - un+1 - (un+1 - un)

= un+2 - 2un+1 + un

Voorbeeld Yn+3 - 3Yn+2 + 8Yn+1 -4Yn = 0

3e orde homogene lineaire differentievergelijking 3 beginvoorwaarden nodig

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Afvallen

Door de toepassing van een streng dieet valt een persoon van 90 kg in 30 dagen 10 kg af. Er is vastgesteld dat het gewichtsverlies per dag evenredig was met het gewicht op dat moment.

Beschrijf het afvalproces door middel van een differentiaalvergelijking

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Een afval differentiaalvergelijking

Definieer x(t) is het gewicht op moment t

Dan is x(t) de verandering in gewicht op moment t

Er geldt: x(t) = x(t) = x

gewichtsverlies is evenredig met gewicht zelf

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

x(t) = x

1e orde differentiaalvergelijking alleen eerste afgeleide

Oplossen door scheiden van variabelen

2 variabelen x t

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Scheiden van variabelen

x)t(x

xdtdx

dtx

dx

dtx

dx

ct|x|ln

cte|x|

tcee|x|

t0ec)t(x

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Bekende gegevens invullen

t0ec)t(x

)ln()ln(30e 98

301

98

9830

Begingewicht: 90 kgIn 30 dagen 10 kg afgevallen

x(0) = 90x(30) = 80

90cec)0(x 00

0

80e90)30(x 30