Begrenzingen op de grootte van veralgemeende veelhoeken en ...€¦ · ge ntroduceerd door Ernest...

Faculteit WetenschappenVakgroep Zuivere Wiskunde

Begrenzingen op de grootte van veralgemeendeveelhoeken en schier veelhoeken

Piet-Michiel Rappelet

Promotor: Prof. dr. B. De Bruyn

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Master in de Wiskunde,

afstudeerrichting zuivere wiskunde.

Academiejaar 2010–2011

De auteur en promotor geven de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te

stellen en delen ervan te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de

beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron

uitdrukkelijkte vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.

The author and promoter give the permission to use this thesis for consultation and to copy

parts of it for personal use. Every other use is subject to the copyright laws, more specifically

the source must be extensively specified when using from this thesis.

Gent, Juni 2011

De promotor De auteur

Prof. dr. B. De Bruyn Piet-Michiel Rappelet

Voorwoord

Deze masterproef kadert zich in de meetkunde. Wiskunde en in het bijzonder meetkunde bestaat

al sinds de prehistorische mens. Panteontologen hebben in een grot in Zuid-Afrika ruim 70 000

jaar oude okerstenen gevonden waarop meetkundige structuren staan afgebeeld1. We kunnen

Figuur 1: Okersteen

stellen dat het gebruik van ‘wiskunde’ inherent is aan de mens. Elke cultuur ontwikkelde op

zijn manier wiskunde. Denk hierbij aan het Oude Egypte, de Babyloniers, de Oude Chinezen

en de Oude Grieken. In elke cultuur was er de praktische behoefte om met maten, gewichten,

tijdmetingen, inhouden,... te kunnen omgaan. Er ontstonden vergelijkbare inzichten en overal

was er een zeker streven en verlangen naar het bouwen van een stevige basis van waaruit men

het onbekende kon onderzoeken.

Rond 300 v. Chr. schreef Euclides van Alexandrie zijn boek ‘De Elementen’. Dit is een van de

beroemdste boeken die ooit geschreven werd. Hij slaagde erin om de gehele Griekse wiskunde

van die tijd op strikt axiomatische wijze te presenteren. Het boek was voorzien van 465 stellingen

en behandelde de vlakke en ruimtemeetkunde, de getallentheorie en de rekenkunde. Dit werk

werd tot aan de twintigste eeuw als het standaardboek voor de wiskunde gezien en men kan het

jammer vinden dat dit tegenwoordig slechts beperkt aan bod komt in het (secundair) onderwijs.

Ondertussen is de wiskunde ongelooflijk gegroeid, verbreed en verdiept. Het is onmogelijk

geworden om nog op alle deelgebieden van de wiskunde mee te praten. Ietwat karikaturaal

wordt soms gezegd dat de Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943) rond de eeuwwisseling

de laatste persoon was die nog een inhoudelijk totaaloverzicht kon pretenderen. Vooral vanaf

het begin van de twintigste eeuw werd wiskunde zeer specialistisch en abstract. Ze blijft maar

1Sean Henahan - Art Prehistory, The National Health Museum 2006

i

groeien en is zeker nog niet af. In deze masterproef wordt dit duidelijk geıllustreerd door het

presenteren van enkele open vragen. Isaak Newton (1642-1727) formuleerde het ‘onaf’ zijn van

de wiskunde en het ongelooflijk grote potentieel dat nog te ontdekken valt als volgt:

“Ik heb altijd het gevoel dat ik een kleine jongen ben die op het strand speelt, dat ik me

amuseer door af en toe een nog gladder steentje of een nog mooiere schelp te vinden, terwijl

de weidse oceaan onontdekt voor me ligt.”

Het was ook D. Hilbert die als eerste sprak over de incidentiestructuur van een meetkunde. In

zijn werk ‘Grundslagen der Geometrie’ gaf hij een axiomatische beschrijving van Euclidische

meetkunde. Hij splitste zijn axioma’s op in vijf groepjes: ‘samenhang’ (=incidentie), ‘orde’, ‘het

parallellenpostulaat’, ‘congruentie’(=afstand) en ‘continuıteit’(=eigenschap van Archimedes).

Ook bestudeerde hij de (algemenere) meetkunden die men krijgt door een of meerdere groepjes

weg te laten. Sinds D. Hilbert wordt incidentie als de fundering van alle meetkunde beschouwd.

Wiskunde wordt vaak opgedeeld in een luik toegepaste wiskunde en een luik zuivere wiskunde. De

toegepaste wiskunde ontwikkelt instrumenten, technieken en methoden om specifieke industriele,

financiele, biologische,... problemen op te lossen. De motivatie van de zuivere wiskunde ligt

daarentegen hoofdzakelijk bij de schoonheid van de theorie en de opgebouwde constructies.

De verkregen theorieen blijken meestal pas (veel) later hun praktisch nut te bewijzen. Denk

bijvoorbeeld aan de eindige meetkunde die men bij het coderen van cd-roms gebruikt.

Deze masterproef kadert zich in het luik van de zuivere wiskunde waarbij het onderwerp be-

grenzingen op de grootte van veralgemeende veelhoeken en schier veelhoeken zich situeert in de

incidentiemeetkunde. Om de keuze voor dit onderwerp te duiden, kunnen we teruggaan naar

mijn periode in de secundaire school. Als leerling kom je in de wiskundelessen (en in het da-

gelijks leven) hoofdzakelijk in aanraking met Euclidische meetkunde. Ik had het voorrecht om

ook te proeven van wat affiene en projectieve meetkunde. In deze lessen werk ik erg geprikkeld

door het idee dat bepaalde structuren veralgemeend kunnen worden, waardoor vele zaken een-

duidiger en een pak eenvoudiger worden. Zo krijg je een globaler beeld en worden complexere

eigenschappen ‘plots’ zeer duidelijk. Of zoals mijn leraar wiskunde Dominiek Orroi het lyrisch

formuleerde:

“We moeten een berg beklimmen. De tocht kan lang zijn en we kunnen het lastig hebben,

maar eenmaal we boven op de top staan, hebben we een wondermooi zicht op alles wat we

beklommen hebben en wat eromheen staat.”

Aan de universiteit werd het me ook snel duidelijk dat mijn interessesfeer in de meetkunde lag.

Op de universiteit van Gent was ik, zo bleek, op de juiste plaats aangezien de incidentiemeet-

kunde een zeer Belgisch onderwerp is waarin veel belangrijke ontwikkelingen aan de universiteit

van Gent en Brussel zijn ontstaan. Ik denk hierbij aan enkele belangrijke namen als Francis Beu-

kenhout (ULB), Jacques Tits (ULB, College de France), Joseph A. Thas (UGent) en Hendrik

Van Maldeghem (Ugent).

In de cursus Polaire Ruimten gedoceerd door prof. dr. J. A. Thas kwam ik voor het eerst in

aanraking met het begrip veralgemeende vierhoeken. Het was eenvoudig en mooi hoe een alom

ii

gekend begrip, de vierhoek, geaxiomatiseerd en uitgebreid werd. In dat jaar schreef ik mijn

bachelorproject over de Stelling van Buekenhout en Lefevre, maar het was vooral een project

in het vak Eindige Meetkunde gedoceerd door prof. dr. Bart De Bruyn dat de aanzet voor de

keuze van het onderwerp was. In dit project was het onder andere de bedoeling om na te gaan

welke grenzen er bestaan op veralgemeende vierhoeken met drie punten op elke rechte. Deze

masterproef is een logisch gevolg op dit project.

Tenslotte wens ik nog enkele personen te bedanken. Vooreerst prof. dr. B. De Bruyn die mij het

onderwerp aanreikte en op regelmatige basis vragen en opmerkingen met mij besprak. Verder

wil ik prof. dr. Koen Thas bedanken voor het aanbrengen van een artikel van Katrin Tent

over de link tussen modeltheorie en incidentiemeetkunde. Dit gaf me de kans om een andere

interessegebied van me, de wiskundige logica, in deze masterproef te verwerken. Hierbij dank

ik ook prof. dr. Andreas Weiermann die me hielp met enkele vragen omtrent de modeltheorie.

Mijn ouders en Mej. Maaike Pattyn dank ik voor hun steun tijdens het schrijven van deze

masterproef en Mevr. Heide Sticker voor het nalezen van mijn tekst.

Gent, 18 mei 2009

iii

Inleiding

Het begrip veralgemeende n-hoek werd voor de eerste maal formeel meetkundig gedefinieerd

door Jacques Tits in een Appendix van twee pagina’s bij zijn werk ‘Sur la trialite et certains

groups qui s’en deduisent’ in 1959. J. Tits, die in Brussel studeerde en zijn doctoraat behaalde

op twintigjarige leeftijd, paste meetkundige ideeen toe in de groepentheorie, onder andere in

de veelgebruikte theorie van de Liegroepen. In het vernoemde artikel stoot J. Tits op een

meetkunde van rang 2 van punten en rechten. Het blijkt, nadat hij de structuur ervan grondig

onderzocht, een veralgemeende hexagon te zijn. Zonder deze naam expliciet te gebruiken is het

begrip daar ontstaan. Hans Freudenthal, die toen frequent contact had met J. Tits, uitte dit in

zijn review van het artikel voor Zentralblatt fur Mathematik :

“Les relations d’incidence du systeme des points autoconjugues et des droites invariantes

d’une trialite sont decrites au moyen de la notion d’hexagone generalise...”

Het begrip veralgemeende n-hoek en in het bijzonder veralgemeende vierhoek is dus een redelijk

recent begrip. De structuren kwamen daarentegen reeds voor 1959 in verschillende theorieen

voor. De veralgemeende vierhoeken werden bijvoorbeeld al besproken als kwadrieken met Witt

index 2 en als rechtensystemen die corresponderen met symplectische polariteiten in driedimensi-

onale projectieve ruimten over een veld. De projectieve vlakken (veralgemeende 3-hoeken) waren

bijgevolg ook niet nieuw. Maar door de formele definitie van J. Tits kregen de veralgemeende

vierhoeken en veelhoeken een bestaansrecht op zich en werden vanaf dan intensief bestudeerd

als meetkunden. Hierdoor neemt men doorgaans 1959 als geboortedatum van de veralgemeende

veelhoeken.

Sinds Walter Feit en Graham Higman in 1964 aangaven dat de interessante eindige n-hoeken

enkel voorkomen bij n = 3, 4, 6 en 8, liet men naast meetkundige technieken ook algebraısche

en groeptheoretische technieken op deze structuren los. In deze masterproef bespreken we bij-

voorbeeld een eigenwaardetechniek om dit resultaat van W. Feit en G. Higman te bekomen.

Belangrijke resultaten zijn het boek ‘Finite generalized quadrangles’ van Stanley E. Payne en

Joseph A. Thas (1984) dat de eindige veralgemeende vierhoeken bespreekt en het boek ‘Gene-

ralized polygons’ van Hendrik Van Maldeghem dat naast de eindige veralgemeende veelhoeken

ook oog heeft voor de oneindige veelhoeken.

Deze masterproef tracht een beroemde vraag van J. Tits te beantwoorden door de gekende

resultaten omtrent dit probleem te bespreken. De vraag die hij vele jaren geleden stelde, luidt:

“Moet voor een veralgemeende vierhoek en algemener een veralgemeende 2m-hoek van de

orde (s, t) met s eindig ook de parameter t eindig zijn?”

iv

Daarbij stellen we ons ook telkens de vraag wat een mogelijke bovengrens voor t is als die eindig

blijkt te zijn. De structuur van deze masterproef laat zich als volgt samenvatten:

Hoofdstuk 1 bevat de definities die gebruikt worden in deze tekst.

Hoofdstuk 2 bespreekt de mogelijkheid van semi-eindige veralgemeende vierhoeken en tracht

t te begrenzen.

Hoofdstuk 3 bespreekt de mogelijkheid van semi-eindige veralgemeende veelhoeken en tracht

t te begrenzen. Het resultaat van W. Feit en G. Higman komt hier aan bod.

In het derde hoofdstuk wordt ook aangetoond dat de klasse van veralgemeende veelhoeken

een uitbreiding is van de klasse van veralgemeende vierhoeken. In Hoofdstuk 4 gaan we een

stap verder en bespreken we de mogelijkheid van semi-eindige schier veelhoeken. Dit zijn in-

cidentiemeetkunden die de veralgemeende 2d-hoeken omvatten. De schier veelhoeken werden

geıntroduceerd door Ernest Shult en Arthur Yanushka in ‘Near n-gons and line systems’ (1980)

als een middel bij het bestuderen van rechtensystemen in een Euclidische ruimte.

Hoofdstuk 4 bespreekt de mogelijkheid van semi-eindige schier veelhoeken en tracht t te be-

grenzen. We concentreren ons op drie grote klassen schier veelhoeken.

Algemeen Besluit geeft een overzicht van de belangrijkste resultaten uit Hoofdstuk 2, 3 en 4.

Bijlage A bevat een aanvulling bij Hoofdstuk 2. Er wordt een classificatie van de veralge-

meende vierhoeken van de orde (2, t) gegeven waarna de mogelijke ovoıden in deze ver-

algemeende vierhoeken worden onderzocht. Deze resultaten worden ook in Hoofdstuk 4

gebruikt.

Bijlage B bevat een aanvulling met expliciete berekeningen horend bij enkele stellingen uit

Hoofdstuk 4.

Achteraan vindt men de bibliografie en een trefwoordenlijst.

v

Inhoudsopgave

Voorwoord i

Inleiding iv

Inhoudsopgave viii

1 Basis Begrippen 1

1.1 Punt-rechte meetkunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Collineariteitsgraaf en Incidentiegraaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Enkele voorbeelden van punt-rechte meetkunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Veralgemeende Vierhoeken 7

2.1 Voorbeschouwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 De klassieke veralgemeende vierhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Veralgemeende Vierhoeken van de orde (3, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Begrippen uit de logica en de model theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 Eerste orde logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.2 Compactheidstelling en Stelling van Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.3 Een veralgemeende vierhoek Q voortgebracht door S . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t) en (3, t) opnieuw bekeken . . . . . . 41

2.7 Veralgemeende Vierhoeken van de orde (4, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Veralgemeende Veelhoeken 45


3.2 Afstandsreguliere grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 De Stelling van Feit-Higman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Grenzen op de orde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Semi-eindig en oneindig geval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Schier Veelhoeken 69


4.2 Krein Voorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1 Associatieschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.2 Bose-Menser Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vii

Inhoudsopgave

4.2.3 Krein Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Grenzen op reguliere schier veelhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.1 Grenzen op eindige veralgemeende veelhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.2 Grenzen op reguliere schier veelhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4 Schier veelhoeken van de orde (2, t) met quads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.1 Diameter van Γd(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4.2 Eindigheid van t+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5 Hybride schier hexagons met drie punten op elke rechte . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5.1 Definities en Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5.2 S bevat een Q(5, 2)-quad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.3 S bevat een W (2)-quad maar geen Q(5, 2)-quad . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5.4 S bevat geen W (2)-quad en geen Q(5, 2)-quad . . . . . . . . . . . . . . . 113

Algemeen Besluit 127

A Classificatie van veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t) 131

A.1 Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.2 Veralgemeende vierhoek van de orde 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.3 Veralgemeende vierhoek van de orde (2, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.4 Ovoıden in veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t) . . . . . . . . . . . . . . 135

B Berekeningen 136

B.1 Expliciete berekeningen van g(t, l∗ − 1) uit Definitie 4.5.36 . . . . . . . . . . . . . 136

B.2 Berekeningen in Maple bij Paragraaf 4.5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

B.2.1 Berekening van ∆i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

B.2.2 Berekeningen bij Stelling 4.5.47 en Stelling 4.5.49 . . . . . . . . . . . . . . 143

Index 146

Bibliografie 149

viii

1Basis Begrippen

1.1 Punt-rechte meetkunden

Een punt-rechte meetkunde is een drietal S = (P,L, I) met

• P een niet-ledige verzameling waarvan de elementen punten worden genoemd;

• L een niet-ledige verzameling disjunct van P waarvan de elementen rechten worden ge-

noemd;

• I ⊆ P × L een relatie die de incidentierelatie wordt genoemd,

zodat voor elke L ∈ L er ten minste twee punten x, y ∈ P bestaan zodat (x, L) ∈ I en (y, L) ∈I. Een punt-rechte meetkunde wordt ook een rang 2 meetkunde of een incidentiemeetkunde

genoemd. Is x ∈ P en L ∈ L zodat (x, L) ∈ I dan noteren we dit ook vaak als x IL of L Ix. Is

(x, L) ∈ I dan zeggen we dat het punt x incident is met de rechte L of dat de rechte L het punt

x bevat of dat x op de rechte L ligt of dat (x, L) een vlag is. Is (x, L) /∈ I dan wordt (x, L) een

anti-vlag genoemd.

We noemen twee verschillende punten collineair als ze op eenzelfde rechte liggen, dus als ze

incident zijn met eenzelfde rechte. Nemen we een punt x vast, dan noteren we de verzameling

van alle punten die collineair zijn met x samen met het punt x zelf als x⊥. Is de rechte L door

twee collineaire punten x en y uniek, dan noteren we de rechte L ook vaak als xy. We noemen

twee verschillende rechten concurrent als ze een gemeenschappelijk punt hebben.

Twee punt-rechte meetkunden S1 = (P1,L1, I1) en S2 = (P2,L2, I2) zijn isomorf als er bijecties

α : P1 → P2 en β : L1 → L2 bestaan die de incidentierelatie behouden. Als er met andere

woorden voor elk punt-rechte paar (p, L) ∈ P × L geldt dat

(p, L) ∈ I1 ⇔ (α(p), β(L)) ∈ I2.

1

1.2. Grafen

We noteren S1∼= S2 als twee meetkunden S1 en S2 isomorf zijn.

Is S = (P,L, I) een punt-rechte meetkunde dan kunnen we een nieuwe punt-rechte meetkunde

SD = (PD,LD, ID) definieren die we de duale meetkunde van S noemen. Hierbij is PD = L,

LD = P en (L, x) ∈ ID voor L ∈ PD en x ∈ LD als en slechts als (x, L) ∈ I. Een punt-rechte

meetkunde wordt zelfduaal genoemd als SD ∼= S. Met een punt-rechte meetkunde S = (P,L, I)kunnen we nog een andere punt-rechte meetkunde S ′ = (P∪L,L′, I′) definieren die we de dubbele

van S noemen. Hierbij is L′ de verzameling van alle vlaggen van S en is een a ∈ P ∪L incident

met een B ∈ L′ als en slechts als a ∈ B. We kunnen opmerken dat het dubbele van S gelijk is

aan het dubbele van SD.

Een punt-rechte meetkunde S noemen we een partieel lineaire ruimte als elke twee verschillende

punten van S incident zijn met hoogstens een rechte, of equivalent, als elke twee rechten van Sincident zijn met hoogstens een punt. Een partieel lineaire ruimte waarin elke twee verschillende

punten incident zijn met exact een rechte noemen we een lineaire ruimte. Een partieel lineaire

ruimte S heeft de orde (s, t) als er door elk punt precies (t + 1) rechten gaan en als er op elke

rechte precies (s+ 1) punten liggen. Is s = t dan spreken we van een partieel lineaire ruimte van

de orde s. Deze kardinaalgetallen s en t kunnen zowel eindig als oneindig zijn. We noemen een

partieel lineaire ruimte met orde (s, t) eindig als S een eindig aantal punten bevat. Is juist een

van de parameters s, t eindig en de andere oneindig, dan noemen we de partieel lineaire ruimte

semi-eindig . Een dikke rechte is een rechte die minstens drie punten bevat. Een rechte die niet

dik is en dus twee punten bevat, wordt dun genoemd. Een meetkunde wordt dik genoemd als

elke rechte minstens drie punten bevat en als er tenminste drie rechten door elk punt gaan. Een

meetkunde wordt dun genoemd als ze niet dik is.

Een deelmeetkunde van een punt-rechte meetkunde S = (P,L, I) is de meetkunde S = (P, L, I)waarbij P ⊆ P, L ⊆ L en I de restrictie is van I tot P × L.

1.2 Grafen

Een eenvoudige graaf Γ = (V,E) is een geordend paar dat bestaat uit een niet-ledige verzameling

V en een verzameling E van paren van verschillende elementen uit V . Is Γ = (V,E) een

(eenvoudige) graaf, dan noemen we de elementen van V de toppen van de graaf Γ en de

elementen van E noemen we de bogen van Γ. Is E de ledige verzameling, dan noemen we Γ

de ledige graaf . Is E de verzameling van alle mogelijke paren uit V van twee verschillende

elementen, dan noemen we Γ een complete graaf . Zijn x en y twee toppen waarvoor x, y een

boog is, dan zeggen we dat x en y adjacent zijn en noteren dit als x ∼ y. Als x ∼ y dan noemen

we x en y ook wel buren. Een pad van lengte n van Γ is een rij onderling verschillende toppen

x0, x1, . . . , xn van Γ waarbij voor elke i ∈ 1, . . . n er geldt dat xi−1 ∼ xi. Een cykel van lengte

n van Γ is een rij x0, x1, . . . , xn van toppen van Γ waarvoor geldt

• n > 3,

• xn = x0,

• de toppen x0, x1, . . . , xn−1 vormen een pad,

• xn−1 ∼ xn.

2

Hoofdstuk 1. Basis Begrippen

Zijn x en y twee toppen van Γ, dan noteren we d(x, y) voor het kleinste natuurlijk getal n

waarvoor er een pad van lengte n tussen x en y bestaat. We noemen dit natuurlijk getal d(x, y)

de afstand tussen x en y in de graaf Γ. Indien er geen pad bestaat tussen de toppen x en y,

dan noteren we d(x, y) =∞. Als in de graaf Γ geen enkel paar toppen x en y met d(x, y) =∞bestaat, dan noemen we Γ samenhangend . Is x een top van de graaf Γ, dan noemen we de

verzameling van alle toppen y in Γ waarvoor d(x, y) 6= ∞ een samenhangende component van

Γ die x bevat. De diameter van een graaf Γ is de maximale afstand tussen twee toppen in Γ.

De diameter is eindig als de graaf samenhangend is. Een verzameling van onderling adjacente

toppen noemen we een kliek. Elke top in een kliek ligt met ander woorden op afstand 1 van alle

ander toppen van de kliek. Een maximale kliek is een kliek die niet in een grotere kliek bevat

is. De diameter van een kliek is 1.

Een graaf noemen we eindig als het aantal toppen van de graaf (en dus ook het aantal bogen)

eindig is. Bij een eindige graaf Γ = (V,E) kunnen we de toppen een bepaalde volgorde geven

zodat V = x1, x2, . . . , xn met n = |V |. Als de toppen geordend zijn, dan kunnen we de

adjacentiematrix definieren als de n × n matrix A over C waarvoor Aij = 1 als xi ∼ xj en

Aij = 0 als xi xj , i, j ∈ 1, 2, . . . n. De matrix A is symmetrisch zodat ze diagonaliseerbaar is

en reele eigenwaarden heeft. De eigenwaarden van de matrix A noemen we ook de eigenwaarden

van de graaf Γ omdat ongeacht de ordening die men op de toppen van Γ zet, de eigenwaarden

van de bijhorende adjacentiematrix dezelfde zijn.

Een graaf Γ = (V,E) noemen we een k-partite graaf, k > 2, als er een partitie V1, . . . , Vkvan V bestaat zodat elke boog van Γ van de vorm x, y is waarbij x ∈ Vi en y ∈ Vj met

i 6= j, i, j ∈ 1, 2, . . . , k. Is k = 2 dan noemen we zo’n graaf een bipartite graaf . Een complete

k-partite graaf is een k-partite graaf waarbij elk koppel x, y met x en y uit een verschillend

element van de partitie, een boog vormen.

Is Γ = (V,E) een graaf waarbij elke top adjacent is met precies k ∈ N andere toppen, dan

noemen we Γ regulier met valentie k. Een niet-ledige en niet-complete eindige graaf Γ noemen

we sterk regulier met parameters (v, k, λ, µ) als

• Γ precies v toppen heeft,

• Γ regulier is met valentie k,

• elke twee adjacente toppen van Γ precies λ gemeenschappelijke buren hebben,

• elke twee verschillende toppen van Γ die niet adjacent zijn precies µ gemeenschappelijke

buren hebben.

Een eindige samenhangende graaf Γ met diameter d > 2 noemen we afstandsregulier als er

constanten ai, bi, ci, i ∈ 0, . . . , d bestaan zodat voor elke twee toppen met d(x, y) = i geldt:

• er zijn precies ai verschillende toppen adjacent met y en op afstand i van x,

• er zijn precies bi verschillende toppen adjacent met y en op afstand i+ 1 van x,

• er zijn precies ci verschillende toppen adjacent met y en op afstand i− 1 van x.

Enkele waarden van ai, bi of ci zijn direct af te leiden:

a0 = c0 = bd = 0 en c1 = 1.

3

1.3. Collineariteitsgraaf en Incidentiegraaf

Het is ook eenvoudig in te zien dat wanneer Γ afstandsregulier is met constanten ai, bi, ci, i ∈0, . . . , d, de graaf Γ in het bijzonder regulier is met valentie k waarbij

k = a0 + b0 + c0 = a1 + b1 + c1 = · · · = ad + bd + cd.

1.3 Collineariteitsgraaf en Incidentiegraaf

Zij S een punt-rechte meetkunde. De collineariteitsgraaf Γ van S is de graaf waarbij de toppen

van Γ de punten van S zijn en waarbij twee verschillende toppen adjacent zijn als de overeen-

komstige punten in S collineair zijn. Een meetkunde S is samenhangend als Γ samenhangend is.

Samenhangende componenten van Γ worden ook samenhangende componenten van S genoemd.

De adjacentiematrix van de collineariteitsgraaf Γ van S wordt de collineariteitsmatrix of de

adjacentiematrix van S genoemd. De eigenwaarden van een collineariteitsmatrix van S worden

de eigenwaarden van S genoemd. De afstand d(x1, x2) tussen twee punten x1 en x2 van S is

de afstand tussen x1 en x2 in de collineariteitsgraaf. We noteren d(x1, x2) = ∞ als en slechts

als x1 en x2 tot verschillende samenhangende componenten van S behoren. Zijn U1 en U2 twee

verschillende niet-ledige verzamelingen punten van S, dan is d(U1, U2) de kleinste afstand tussen

een punt van U1 en een punt van U2. In het bijzonder noteren we voor een singelton x de

afstand d(x, U2) als d(x, U2). Is x een punt van S dan noteren we de verzameling punten van

S op afstand i ∈ N als Γi(x):

Γi(x) = z ∈ S | d(z, x) = i.

De verzameling van punten op een afstand i ∈ N van een niet-ledige verzameling punten X

noteren we op dezelfde manier als Γi(X). De diameter van S is de diameter van de collinea-

riteitsgraaf en is dus de maximale afstand tussen twee punten uit S. Als we spreken van een

pad tussen twee punten van S, is dit ook in de collineariteitsgraaf tenzij anders vermeld. Zij

S = (P,L, I) een punt-rechte meetkunde, dan noemen we een verzameling Y convex of geode-

tisch gesloten als voor elke twee punten x en y van Y alle kortste paden tussen x en y bevat zijn

in Y .

De incidentiegraaf van S is de collineariteitsgraaf van het dubbele van S. Dit is dus de bipartite

graaf waarbij de toppen de punten en de rechten zijn van S, en waarbij de bogen de koppels

x, L zijn waarvoor geldt dat het punt x van S en de rechte L van S incident zijn. Zijn x en

y twee elementen uit de verzameling van punten en rechten van S, dan definieren we δ(x, y) als

de afstand in de incidentiegraaf, we noemen deze afstand de incidentie-afstand.1 Een pad in de

incidentiegraaf van S bestaat dus uit afwisselend punten en rechten van S. Zijn x en y twee

elementen van een samenhangende component van S. Is x ∈ P en y ∈ L dan is δ(x, y) oneven.

Is x, y ∈ P of x, y ∈ L dan is δ(x, y) even. Zijn x en y twee punten van S, dan zien we direct dat

d(x, y) = 12δ(x, y). Als we in het vervolg spreken over een afstand dan is dit altijd de afstand in

de collineariteitsgraaf.

1Sommige auteurs definieren het begrip afstand als de incidentie-afstand. Omdat in deze tekst de verschillende

afstanden, d(., .) en δ(., .), gebruikt worden, wordt er altijd expliciet vermeld wanneer we de incidentie-afstand

gebruiken.

4

Hoofdstuk 1. Basis Begrippen

1.4 Enkele voorbeelden van punt-rechte meetkunden

We bekijken enkele voorbeelden van punt-rechte meetkunden.

Definitie 1.4.1. Een projectief vlak P is een partieel lineaire ruimte met de volgende eigen-

schappen:

• elke twee verschillende punten zijn incident met precies een rechte, met andere woorden Pis een lineaire ruimte;

• elke twee verschillende rechten snijden in precies een punt, met andere woorden P is een

duale lineaire ruimte;

• er bestaan drie verschillende niet-collineaire punten.

Uit deze definitie volgt dat een duaal projectief vlak opnieuw een projectief vlak is. Een projectief

vlak wordt irreducibel of niet-ontaard genoemd als er vier punten bestaan waarbij er geen drie

collineair zijn.

Definitie 1.4.2. Een veralgemeende vierhoek (Generalized Quadrangle) is een partieel lineaire

ruimte S = (P,L, I) die voldoet aan de volgende eigenschappen.

(GQ 1) Er bestaan twee disjuncte rechten.

(GQ 2) Voor elke anti-vlag (x, L) bestaat er een uniek punt op L dat collineair is met x.

Voorbeeld 1.4.3. Veronderstel een veralgemeende vierhoek S = (P,L, I) waarbij P = pij |i, j = 0, . . . , s en L = L0, . . . , Ls,M0, . . . ,Ms, s > 1 en waarbij de incidentierelatie gedefini-

eerd wordt door pij ILk als en slechts als i = k en pij IMk als en slechts als j = k. Dan is Seen veralgemeende vierhoek van orde (s, 1) (s > 0) en we noemen dit een symmetrisch rooster.

Is s = 1, dan vinden we een gewone vierhoek. De rechtenverzamelingen Li | i = 0, . . . , s en

Mi | i = 0, . . . , s noemen we de twee reguli van het rooster.

Een analoge veralgemeende vierhoek waarbij de reguli niet uit evenveel rechten bestaan, noemen

we een niet-symmetrisch rooster . Een niet-symmetrisch rooster heeft geen orde aangezien twee

rechten uit verschillend reguli een verschillend aantal punten bevatten.

Definitie 1.4.4. Een ovoıde van een veralgemeende vierhoek is een verzameling van punten die

elke rechte in een uniek punt snijdt.

Definitie 1.4.5. Voor n ∈ N\0, 1, 2 wordt een veralgemeende n-hoek (Generalized Polygon)

gedefinieerd als een partieel lineaire ruimte S = (P,L, I) die voldoet aan de volgende eigenschap-

pen:

(GP1) S heeft geen deelmeetkunde die een (gewone) k-hoek is, voor k ∈ 3, . . . , n− 1.

(GP2) Elke twee elementen x, y ∈ P ∪ L zitten bevat in een (gewone) n-hoek (als deelmeet-

kunde) van S.

Een (gewone) 3-hoek, 4-hoek,... wordt in Hoofdstuk 3 formeel gedefinieerd maar is in feite het

gekend begrip driehoek, vierhoek,...

5

1.4. Enkele voorbeelden van punt-rechte meetkunden

Definitie 1.4.6. Een partieel lineaire ruimte S = (P,L, I) met eindige diameter is een schier

veelhoek (Near Polygon) als het voldoet aan de volgende eigenschap:

(NP) Voor elk punt x en elke rechte L van S bestaat er een uniek punt op L dat dichtst bij x

ligt.

We noteren het punt dichtst bij x op de rechte L als πL(x) en spreken van de projectie van x op

L. Is d de diameter van S, dan noemen we S een schier 2d-hoek. In het bijzonder is een schier

0-hoek een punt en een schier 2-hoek een rechte.

In de komende hoofdstukken bespreken we de veralgemeende vierhoeken, veralgemeende veel-

hoeken en de schier veelhoeken van de orde (s, t) in de opgenoemde volgorde. Uit Definitie 1.4.2,

Definitie 1.4.5 en Definitie 1.4.6 volgt dat de duale van een veralgemeende vierhoek, veralge-

meende veelhoek en schier veelhoek van de orde (s, t) opnieuw een veralgemeende vierhoek,

veralgemeende veelhoek respectievelijk schier veelhoek is die de orde (t, s) heeft. Als we gren-

zen op de orde wensen te bepalen, kunnen we ons bijgevolg beperken tot de bespreking van t

als s vast gekozen is. In het bijzonder vragen we ons af of t oneindig kan zijn als s eindig is,

met andere woorden of de meetkunde semi-eindig kan zijn. Zijn zowel s als t eindig dan is de

beschouwde meetkunde eindig omdat ze een eindige diameter heeft.

Zoals reeds in de inleiding vermeld, bewijzen we ook dat de klasse van veralgemeende vierhoeken

behoort tot de klasse van de veralgemeende veelhoeken en dat de klasse van de veralgemeende

2d-hoeken behoort tot de klasse van de schier veelhoeken.

Deze masterproef bespreekt dus de mogelijke grenzen op de grootte van de veralgemeende veel-

hoeken en schier veelhoeken. Het is niet de bedoeling om ook deze punt-rechte meetkunden te

classificeren. We beperken ons tot het geven van enkele voorbeelden om zo bijvoorbeeld het

mogelijk scherp zijn van de bekomen grens te bevestigen.

6

2Veralgemeende Vierhoeken

2.1 Voorbeschouwingen

In dit hoofdstuk bespreken we de veralgemeende vierhoeken van de orde (s, t). We vragen

ons af welke begrenzingen er op deze orde bestaan. Voor eindige veralgemeende vierhoeken

beantwoordde D.G. Higman deze vraag (de ongelijkheid van D. G. Higman, Stelling 2.1.5). Hij

bewees dat t 6 s2 wanneer s > 1, en duaal dat s 6 t2 wanneer t > 1. Voor semi-eindige of

oneindige veralgemeende vierhoeken is geen algemeen resultaat gekend.

In deze paragraaf bespreken we enkele basisresultaten over veralgemeende vierhoeken waaronder

de ongelijkheid van D. G. Higman. In Paragraaf 2.3, 2.4 en 2.7 gaan we op zoek naar bovengren-

zen op de parameter t als er drie, vier of vijf punten op elke rechte liggen in een veralgemeende

vierhoek die niet noodzakelijk eindig is. In het bijzonder vragen we ons af of er semi-eindige

veralgemeende vierhoeken bestaan. In Paragraaf 2.7 worden enkele begrippen uit de wiskundige

logica en de model theorie gebruikt die we in Paragraaf 2.5 bespreken.

We beginnen met het hernemen van de algemene definitie van veralgemeende vierhoeken.

Definitie 2.1.1. Een veralgemeende vierhoek (Generalized Quadrangle) is een partieel lineaire

ruimte S = (P,L, I) die voldoet aan de volgende eigenschappen.

(GQ 1) Er bestaan twee disjuncte rechten.

(GQ 2) Voor elke anti-vlag (x, L) bestaat er een uniek punt op L dat collineair is met x.

In de literatuur wordt soms gesproken over ontaarde veralgemeende vierhoeken. Dit zijn veral-

gemeende vierhoeken waarbij er geen twee disjuncte rechten zijn en bijgevolg alle rechten door

een vast punt gaan. Ze vallen buiten beschouwing in dit hoofdstuk.

De veralgemeende vierhoeken zijn op te splitsen in drie klassen.

7

2.1. Voorbeschouwingen

Lemma 2.1.2. Zij S een veralgemeende vierhoek dan hebben we de volgende mogelijkheden:

• S is een niet-symmetrisch rooster;

• S is een niet-symmetrisch duaal rooster;

• S heeft orde (s, t).

Bewijs. Veronderstel dat S geen (duaal) rooster is. Deze veronderstelling impliceert dat S geen

niet-symmetrisch (duaal) rooster is en eveneens dat S niet van de orde (s, 1) of (1, t) is. Noem

L een willekeurige rechte van S, dan volgt uit het (GQ 2)-axioma dat elke rechte die disjunct

is met L evenveel punten bevat als L. Inderdaad, noem M een willekeurig disjuncte rechte van

L dan is elk punt van L collineair met juist een punt van M en omgekeerd is ook elk punt van

M collineair met juist een punt van L. Zo vinden we een bijectie tussen de punten van beide

rechten geınduceerd door de collineariteit en besluiten we dat elke rechte disjunct met L evenveel

punten als L bevat.

Is N een rechte die concurrent is met L, dan willen we nog aantonen dat N evenveel punten als

L bevat. Omdat S geen rooster is, kunnen we altijd een rechte K vinden die disjunct is met

L en met N . Veronderstel namelijk dat er geen rechten in S bestaan die disjunct zijn met L

en disjunct zijn met N . Noemen we p := L ∩N en stellen we dat er een rechte M bestaat die

zowel L als N snijdt. Wegens het (GQ 2)-axioma moet dan noodzakelijk M I p. Er volgt nu

eenvoudig dat elke andere rechte van S\L,M,N ook het punt p bevat zodat S een ontaarde

veralgemeende vierhoek is, een strijdigheid met axioma (GQ 1). We kunnen dus veronderstellen

dat elke rechte verschillend van L en N snijdt met L of N maar niet met beide. Noemen we V

de verzameling van alle rechten die L snijden (en niet samenvallen met L) en V ′ de verzameling

van alle rechte die N snijden (en niet samenvallen met N). Wegens het (GQ 2)-axioma bestaan

deze verzamelingen uit onderling disjuncte rechten en er volgt eenvoudig dat V en V ′ de reguli

van een rooster zijn zodat S een rooster is wat tegen de veronderstelling is.

We besluiten dat we altijd een rechte K vinden die disjunct is met L en met N . Deze rechte

K bevat wegens de eerste alinea van dit bewijs evenveel punten als L en evenveel punten als N

zodat elke twee snijdende rechten L en N evenveel punten bevatten en we in S op elke rechte

evenveel punten tellen.

Duaal volgt dat door elk punt van S evenveel rechten gaan zodat we kunnen besluiten dat Seen orde heeft.

Omdat we ons in dit hoofdstuk de vraag stellen welke beperkingen we hebben op t en s bij

veralgemeende vierhoeken van de orde (s, t), gebruiken we vanaf nu de volgende equivalente

definitie van een veralgemeende vierhoek.

Definitie 2.1.3. Een veralgemeende vierhoek is een punt-rechte meetkunde S = (P,L, I) die

voldoet aan de volgende axioma’s:

Axioma 1 Elk punt is incident met t + 1 rechten (t > 1) en elke 2 verschillende punten zijn

incident met hoogstens 1 rechte.

Axioma 2 Elke rechte is incident met s+ 1 punten (s > 1) en elke 2 verschillende rechten zijn

incident met hoogstens 1 punt.

8

Hoofdstuk 2. Veralgemeende Vierhoeken

Axioma 3 Voor elk punt x en voor elke rechte L die niet incident is met x, bestaat er een uniek

koppel (x′, L′) ∈ P × L zodat x IL′, x′ IL, x′ IL′.

Een direct gevolg van Axioma 3 is dat er geen driehoeken voorkomen in een veralgemeende

vierhoek. Herinner dat een veralgemeende vierhoek dik wordt genoemd als s > 2 en t > 2. Is

dit niet het geval dan spreken we van een dunne veralgemeende vierhoek. We bewijzen nu enkele

basis eigenschappen die we later gebruiken.

Stelling 2.1.4. Is S = (P,L, I) een eindige veralgemeende vierhoek van de orde (s, t) met

|P| = v en |L| = b, dan is

v = (s+ 1)(st+ 1) en b = (t+ 1)(st+ 1).

Bewijs. Kies een rechte L van S en tel op twee verschillende manieren het aantal koppels (p,M) ∈P ×L met p IL, p IM en L,M twee concurrente rechten. We bekomen |P| − (s+ 1) = (s+ 1)ts

zodat |P| = (s+ 1)(st+ 1). Duaal vinden we |L| = (t+ 1)(st+ 1).

Stelling 2.1.5 (De ongelijkheid van D. G. Higman [27], [28]). Is een veralgemeende vierhoek

S = (P,L, I) eindig van de orde (s, t) met s, t > 2, dan is s 6 t2 en t 6 s2.

Bewijs. (P. J. Cameron [10]) Beschouw twee niet collineaire punten x en y van S. Noem T de

verzameling van alle punten die collineair zijn met x en y en noem V de verzameling van alle

punten die niet collineair zijn met x en niet collineair met y:

T = u ∈ P | x ∼ u ∼ y,

V = z ∈ P | x z y.

Tellen we het aantal punten van V ,

|V | = |P| − aantal punten collineair met x of y + aantal punten collineair met x en y − 2

= (s+ 1)(st+ 1)− 2(t+ 1)s+ (t+ 1)− 2 := d. (2.1)

Onderstel nu dat V := z1, . . . , zd en definieer voor elke i ∈ 1, . . . , d het getal ti als het aantal

punten van T die collineair zijn met zi:

ti = |u ∈ P | u ∼ x, u ∼ y, u ∼ zi| .

We tellen op twee verschillende manieren het aantal koppels (u, zi) waarvoor zi ∈ V , u ∈ P,

x ∼ u ∼ y en u ∼ zi. Dan bekomen we∑i

ti = (t+ 1)(t− 1)s. (2.2)

Tellen we op twee verschillende manieren het aantal geordende drietallen (zi, u, u′) met zi ∈ V ,

u, u′ ∈ P, u 6= u′, u ∼ x ∼ u′, u ∼ y ∼ u′ en u ∼ zi ∼ u′. We bekomen∑i

ti(ti − 1) = (t+ 1)t(t− 1). (2.3)

De som van (2.2) en (2.3) geeft ons∑i

t2i = (t+ 1)(t− 1)(s+ t). (2.4)

9


Noteer t :=∑

i tid voor het gemiddelde van de waarden ti. We vereenvoudigen de ongelijkheid∑

i (t− ti)2 > 0 als volgt: ∑i

(t− ti)2 > 0

⇔∑i

t2 − 2

∑i

t · ti +∑i

t2i > 0

⇔ d · t2 − 2 t∑i

ti +∑i

t2i > 0

⇔ d · t2 − 2 t · d · t+∑i

t2i > 0

⇔ −d · t2 +∑i

t2i > 0,

zodat d∑

i t2i − (

∑i ti)

2 > 0. Uit (2.1) en (2.4) volgt

d(t+ 1)(t− 1)(s+ t)− (t+ 1)2(t− 1)2s2 > 0

⇔ ((s+ 1)(st+ 1)− 2(t+ 1)s+ (t+ 1)− 2) (t+ 1)(t− 1)(s+ t)− (t+ 1)2(t− 1)2s2 > 0.

Omdat t > 2 kunnen we dit vereenvoudigen tot

⇔ ((s+ 1)(st+ 1)− 2(t+ 1)s+ (t+ 1)− 2) (s+ t)− (t+ 1)(t− 1)s2 > 0

⇔ (s2t− s− st+ t)(s+ t)− s2t2 + s2 > 0

⇔ s3t− s2 − s2t+ st+ s2t2 − st− st2 + t2 − s2t2 + s2 > 0

⇔ t(s3 − s2 − st+ t) > 0

⇔ t(s2 − t)(s− 1) > 0.

Is s, t > 2 dan geldt s2 − t > 0 en dus s2 > t. Duaal vinden we s 6 t2.

Stelling 2.1.6. Voor een eindige veralgemeende vierhoek S = (P,L, I) van de orde (s, t) geldt

dat s+ t | st(s+ 1)(t+ 1).

Bewijs. Veronderstel dat |P| = v zodat we de verzameling van punten van S kunnen schrijven

als P = p1, . . . , pv. Noem A de collineariteitsmatrix van S. Dus A = (aij) is de symmetrische

v × v matrix over C waarvooraij = 0 als i = j of pi pj ,

aij = 1 als i 6= j en pi ∼ pj .

Stel A2 = (cij), dan is cij =∑v

l=1 ailalj zodat cij het aantal punten is, verschillend van pi en pj ,

dat collineair is met pi en pj . We vinden duscij = (t+ 1)s als i = j,

cij = s− 1 als i 6= j en pi ∼ pj ,

cij = t+ 1 als i 6= j en pi pj .

We kunnen A2 bijgevolg schrijven als

A2 = s(t+ 1)I + (s− 1)A+ (t+ 1)(J − I −A),

10


waarbij I de eenheidsmatrix van de orde v is en J de v × v-matrix waarvan alle elementen 1

zijn. We vinden de gelijkheid

A2 − (s− t− 2)A− (t+ 1)(s− 1)I = (t+ 1)J. (2.5)

Nu passen we het volgend resultaat uit de lineaire algebra toe. Beschouw een matrix A van de

orde v over C met eigenwaarden s1, s2, . . . , sk die respectievelijke algebraısche multipliciteiten

m1,m2, . . . ,mk hebben; dan is∑k

i=1mi = v. Beschouw vervolgens een polynoom f(X) ∈C [X], en onderstel om de gedachten te vestigen dat f(s1) = f(s2) = · · · = f(su), f(su+1) =

f(su+2) = · · · = f(sb), f(sb+1) = . . . , . . . , . . . = f(sk), met f(s1), f(su+1), f(sb+1), . . . twee aan

twee verschillend. Dan bezit de matrix f(A) de eigenwaarden f(s1), f(su+1), f(sb+1), . . . met

respectievelijke mutipiliciteiten m1 +m2 + · · ·+mu,mu+1 + · · ·+mb,mb+1 + . . . , . . . .

Beschouwen we het polynoom

f(X) :=1

t+ 1

(X2 − (s− t− 2)X − (t+ 1)(s− 1)

).

Uit (2.5) volgt dat f(A) = J . De eigenwaarden van J zijn 0 en v met respectievelijke multi-

pliciteiten v − 1 en 1. We zoeken een eigenwaarde van A; elke rij en elke kolom van A heeft

juist (t + 1)s elementen 1 waaruit volgt dat (t + 1)s een eigenwaarde van A, met eigenvector

(1, 1, . . . , 1) is. Uit de bovenstaande opmerkingen volgt dat f((t + 1)s

)een eigenwaarde van

f(A) is. Aangezien

f((t+ 1)s

)=

1

t+ 1

((t+ 1)2s2 − (s− t− 2)(t+ 1)s− (t+ 1)(s− 1)

)= (s+ 1)(st+ 1)

= v, (Wegens Stelling 2.1.4.)

correspondeert de eigenwaarde (t+ 1)s van A met de eigenwaarde v van f(A) = J . Er volgt dat

(t + 1)s multipliciteit 1 heeft. De andere eigenwaarden van A zijn dus de wortels s1 en s2 van

de vierkantsvergelijking f(X) = 0:

X2 − (s− t− 2)X − (t+ 1)(s− 1) = 0.

Uit de som- en productregel1 vinden we dat s1 = −t−1 en s2 = s−1. We bepalen de multipliciteit

m1 respectievelijk m2 van de eigenwaarden s1 en s2 van A. We weten dat v = 1+m1 +m2 en dat

het spoor tr(A) van A gelijk is aan 0 omdat op de diagonaal van A enkel de waarde 0 voorkomt.

Verder is ook tr(A) de som van de eigenwaarden vermenigvuldigd met hun multipliciteit zodat

tr(A) = (t+ 1)s+m1s1 +m2s2

= (t+ 1)s+m1(−t− 1) +m2(s− 1)

= 0.

Lossen we het stelsel (t+ 1)m1 + (1− s)m2 = s(t+ 1),

m1 + m2 = v − 1,

1Zij x1 en x2 de wortels van de vierkantsvergelijking ax2 + bx+ c = 0, dan geldt dat x1x2 = c/a en x1 + x2 =

−b/a.

11


op met behulp van de regel van Cramer, dan vinden we

m1 =s(t+ 1)− (v − 1)(1− s)

(t+ 1)− (1− s)

=(st+ s)− (s2t+ st+ s)(1− s)

s+ t

=st+ s− s2t− st− s+ s3t+ s2t+ s2

s+ t

=s2(st+ 1)

s+ t,

en

m2 =(v − 1)(t+ 1)− s(t+ 1)

s+ t

=(s2t+ st+ s)(t+ 1)− st− s

s+ t

=s2t2 + st+ st2 + s2t+ s+ st− st− s

s+ t

=st(s+ 1)(t+ 1)

s+ t.

Aangezien m2 ∈ N, is s+ t een deler is van st(s+ 1)(t+ 1).

Lemma 2.1.7. Is S een veralgemeende vierhoek die geen duaal rooster is en is x een punt van

S, dan is Γ2(x) samenhangend met diameter hoogstens 3.

Bewijs. Kies twee willekeurige punten y1 en y2 van Γ2(x). Omdat we in een veralgemeende

vierhoek werken, is d(y1, y2) 6 2. We hebben dus een van volgende mogelijkheden.

• d(y1, y2) = 1. De punten y1 en y2 zijn collineair en hun afstand in Γ2(x) is 1.

• d(y1, y2) = 2 en er bestaat een punt z ∈ Γ1(y1) ∩ Γ1(y2) dat niet collineair is met x. Het

punt z ligt in Γ2(x) zodat de afstand tussen y1 en y2 in Γ2(x) gelijk is aan 2.

• d(y1, y2) = 2 en elk punt in Γ1(y1) ∩ Γ1(y2) is collineair met x. Kies twee verschillende

punten z1 en z2 uit Γ1(y1) ∩ Γ1(y2) en kies op z2y2 een punt y′2 verschillend van z2 en

y2. Noem y′1 het unieke punt op y1z1 dat collineair is met y′2. Wegens het ontbreken van

driehoeken is het punt y′1 verschillend van z1 en y1. Omdat z1 en z2 beide collineair met

x zijn, liggen de punten y′1 en y′2 in Γ2(x). We vinden dus een pad van lengte 3 in Γ2(x)

tussen y1 en y2: y1 ∼ y′1 ∼ y′2 ∼ y′2.

Zoals reeds vermeld is er geen algemene methode gevonden, als die al bestaat, om het bestaan

van semi-eindige veralgemeende vierhoeken te verifieren. Wegens het dualiteitsprincipe kunnen

we ons beperken tot het onderzoeken van veralgemeende vierhoeken die een eindig aantal punten

op een rechte hebben. In dit hoofdstuk tonen we de eindigheid van veralgemeende vierhoeken

met drie, vier of vijf punten op elke rechte aan. Voor s > 5 blijft de vraag over het bestaan van

semi-eindige veralgemeende vierhoeken open. Oneindige (duale) roosters, dit zijn (duale) rooster

waarbij s = ∞ (t = ∞), zijn voorbeelden van dunne semi-eindige veralgemeende vierhoeken.

We bekijken eerst de klassieke voorbeelden van veralgemeende vierhoeken.

12


2.2 De klassieke veralgemeende vierhoeken

Er zijn al heel wat veralgemeende vierhoeken gekend. Hier volgt een korte beschrijving van

de zogenaamde klassieke veralgemeende vierhoeken ingebed in de projectieve ruimte PG(d, q),

3 6 d 6 5, die voor het eerst beschreven werden door J. Tits [20]. Dit zijn eindige veralgemeende

vierhoeken die geassocieerd zijn met klassieke groepen.

1. De punten en rechten van een niet-singuliere kwadriek Q van projectieve index 1 in de

projectieve ruimte PG(d, q), met d = 3, 4 of 5, vormen een veralgemeende vierhoek Q(d, q).

• Is d = 3 dan is de veralgemeende vierhoek Q(3, q) van de orde (q, 1).

• Is d = 4 dan is de veralgemeende vierhoek Q(4, q) van de orde q.

• Is d = 5 dan is de veralgemeende vierhoek Q(5, q) van de orde (q, q2).

Merk op dat Q(3, q) een rooster en dus een triviale veralgemeende vierhoek is.

2. De punten en rechten van een niet-singuliere hermitische varieteit H in de projectieve

ruimte PG(d, q2), met d = 3 of d = 4, vormen een veralgemeende vierhoek H(d, q2).

• Is d = 3 dan is de veralgemeende vierhoek H(3, q2) van de orde (q2, q).

• Is d = 4 dan is de veralgemeende vierhoek H(4, q2) van de orde (q2, q3).

3. De punten van de projectieve ruimte PG(3, q) samen met de totaal isotrope rechten ten

opzichte van een symplectische polariteit van PG(3, q), vormen een veralgemeende vierhoek

W (q) van de orde q.

Zoals reeds vermeld bestaan naast deze klassieke veralgemeende vierhoeken en hun dualen heel

wat niet-klassieke voorbeelden van veralgemeende vierhoeken. Een uitgebreid overzicht vindt

men onder andere in S.E. Payne en J.A. Thas [36].

Tussen de klassieke veralgemeende vierhoeken bestaan de volgende isomorfismen:

Stelling 2.2.1. (i) Q(4, q) is isomorf met het duale van W (q);

(ii) Q(4, q) en W (q) zijn zelfduaal als en slechts als q even is. In het bijzonder geldt Q(4, q) ∼=W (q) als q even is;

(iii) Q(5, q) is isomorf met het duale van H(3, q2).

Opmerking 2.2.2. De ongelijkheid van Higman is scherp als s een priemmacht is. De klas-

sieke veralgemeende vierhoeken Q(5, s) zijn van de orde (s, s2) en de klassieke veralgemeende

vierhoeken H(3, s2) zijn van de orde (s2, s).

Opmerking 2.2.3. Als we werken over de projectieve ruimte PG(d,K) waarbij K geen eindig

lichaam is, dan vinden we veralgemeende vierhoeken die oneindig zijn.

Opmerking 2.2.4. Er bestaan ook heel wat veralgemeende vierhoeken die geen klassieke voor-

beelden zijn. We geven hier een voorbeeld. ZijO een hyperovaal van het projectief vlak PG(2,K).

Een hyperovaal is een verzameling punten van PG(2,K) zodat elke rechte van PG(2,K) geen of

13

2.2. De klassieke veralgemeende vierhoeken

twee punten met O gemeen heeft. Beschouw PG(2,K) als een vlak ingebed in PG(3,K). We

definieren de incidentiestructuur T ∗2 (O) waarbij de punten de punten van PG(3,K)\PG(2,K)

zijn. De rechten zijn de rechten van PG(3,K) die niet in PG(2,K) liggen en een punt met O ge-

meen hebben. Merk op dat dit noodzakelijk een uniek punt is. De incidentie is de incidentie van

PG(3,K). Het is eenvoudig na te gaan dat T ∗2 (O) een veralgemeende vierhoek is. Is K = GF (q),

dan zijn de parameters van T ∗2 (O):

s = q − 1, t = q + 1.

We vinden op deze manier veralgemeende vierhoeken met een orde die verschilt van de klassieke

voorbeelden als s > 4.

In feite hebben alle gekende eindige veralgemeende vierhoeken een van de volgende ordes:

• (s, 1) met s > 1,

• (1, t) met t > 1,

• (q, q) met q een priemmacht,

• (q, q2), (q2, q) met q een priemmacht,

• (q2, q3), (q3, q2) met q een priemmacht,

• (q − 1, q + 1), (q + 1, q − 1) met q een priemmacht.

14


2.3 Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t)

Een veralgemeende vierhoek met drie punten op elke rechte is eindig. Dit werd het eerst aange-

toond door P. J. Cameron in [11]. Ondertussen zijn er al verschillende bewijzen gekend. A. E.

Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier geven in [7, p. 30-33] naast een bewijs gebaseerd op dat

van P. J. Cameron, drie andere bewijzen. Het bewijs dat hieronder wordt gegeven is gebaseerd

op B. De Bruyn [18]. We bewijzen dat t ∈ 1, 2, 4 en dus in het bijzonder eindig is.

Stelling 2.3.1. Als S een (mogelijk semi-eindige) veralgemeende vierhoek is waarbij elke rechte

juist 3 punten bevat, dan is S eindig en heeft orde (2, 1), 2 of (2, 4).

Bewijs. Veronderstel dat S eindig van de orde (2, t) is. Wegens de Stelling van Higman (Stel-

ling 2.1.5) is t ∈ 1, 2, 3, 4 en uit Lemma 2.1.6 kunnen we besluiten dat t = 3 onmogelijk is.

Er rest ons enkel te bewijzen dat S eindig is. Neem hiervoor een punt x van S vast en definieer

voor elk punt y ∈ Γ2(x) de verzamelingen A(y) := Γ1(x) ∩ Γ1(y) en A(y) := Γ1(x)\A(y). Merk

op dat wegens het derde axioma de verzameling Γ2(x) alle punten van S die niet collineair zijn

met x bevat.

Omdat S geen duaal rooster is, volgt uit Lemma 2.1.7 dat de diameter van Γ2(x) kleiner dan of

gelijk aan drie is. We hebben bijgevolg voor elke twee punten y en y′ van Γ2(x) een van volgende

gevallen:

• y = y′. Dan is∣∣∣A(y) ∩A(y′)

∣∣∣ = 0.

• y ∼ y′. Dan is er wegens het derde axioma maar 1 punt collineair met zowel x, y als y′.

Met andere woorden |A(y) ∩A(y′)| = 1.

• d(y, y′) = 2 in Γ2(x). Zij y′′ een punt van Γ2(x) dat collineair is met y en y′ dan noemen

we L1 en L2 de rechten door x die yy′′ respectievelijk y′y′′ snijden. De punten op L1 en L2

collineair met y noemen we dan x1 respectievelijk x2. Nu volgt eenvoudig, gebruikmakend

van het derde axioma en s = 2, dat x1, x2 = A(y)∩A(y′). Bijgevolg is∣∣∣A(y) ∩A(y′)

∣∣∣ = 2.

• d(y, y′) = 3 in Γ2(x). Hiervoor bekijken we zo’n pad van lengte 3 tussen y en y′ in Γ2(x):

y ∼ y′′ ∼ y′′′ ∼ y′. Noemen we L1, L2 en L3 de rechten door x die yy′′, y′′y′′′ respectievelijk

y′′′y′ snijden en zoals in het vorig puntje noemen we xi het punt op Li collineair met y,

i ∈ 1, 2, 3. We zien dat A(y) ∩ A(y′) ⊆ x1, x2, x3 waardoor |A(y) ∩A(y′)| 6 3. Merk

op dat we hier niet noodzakelijk een gelijkheid hebben omdat het mogelijk is dat x3 = x1.

We kunnen dus besluiten dat voor elke y, y′ ∈ Γ2(x)∣∣A(y) ∩A(y′)∣∣ 6 3 of

∣∣∣A(y) ∩A(y′)∣∣∣ 6 2. (2.6)

Veronderstel nu dat S semi-eindig is (t = ∞). Neem twee collineaire punten u0 en u1 uit

Γ2(x) en noem L1 de rechte door x die concurrent is met u0u1. We bouwen inductief een pad

u0, u1, u2, . . . op. Voor elke i ∈ N\0 kunnen we volgende stappen doorlopen:

• Neem een rechte door x dat verschillend is van alle rechten Lj , j < i, en noem deze Li.

• Noem ui ∈ Γ2(x) het unieke punt dat collineair is met ui−1 zodat uiui−1 concurrent is met

Li.

15

2.3. Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t)

• Noem xi het unieke punt op Li dat collineair is met u0.

Voor elke oneven i is het punt xi het derde punt van ui−1ui. Voor elke even i ligt het punt xi

op de rechte Li, is xi verschillend van x en ligt xi niet op de rechte ui−1ui. Inductief vinden we

verder dat voor elke i ∈ N\0 geldt dat A(u0) ∩ A(u2i) = x1, . . . , x2i en A(u0) ∩ A(u2i+1) =

x1, . . . , x2i+1. Bekijken we als voorbeeld de eerste gelijkheid: A(u0) ∩ A(u2i) = x1, . . . , x2i.We vinden als inductiebasis dat A(u0) ∩ A(u2) = x1, x2. Inderdaad, A(u0) ∩ A(u2) is de

verzameling van punten die collineair met u0 en x zijn, maar niet met u2. De punten x1 en x2

voldoen aan deze voorwaarden. Dit zijn ook de enige want veronderstel dat er een ander punt

l collineair is met u0 en x, dan moet dit punt wegens het derde axioma collineair zijn met een

punt van u1u2. Dit is onmogelijk omdat we bij elk punt van u1u2 een driehoek zouden krijgen

als die collineair is met l. Veronderstellen we dat voor elke i′ < i geldt dat A(u0) ∩ A(ui′) =

x1, . . . , x2i′, dan wensen we aan te tonen dat A(u0)∩A(u2i) = x1, . . . , x2i. We merken eerst

op dat x1, . . . x2i−2 ⊆ A(u0)∩A(u2i). Inderdaad, wegens de inductiehypothese geldt voor elke

j ∈ 1, . . . , 2i − 2 dat x ∼ xj ∼ u0 en xj u2i−2 waaruit x ∼ u2i−1 en dus u u2i. Er rest

ons dus aan te tonen dat enkel de punten x2i−1 en x2i nog ontbreken in A(u0) ∩ A(u2i). Dat

deze twee punten tot A(u0)∩A(u2i) behoren volgt eenvoudig. Veronderstel dat er nog een ander

punt w /∈ x1, . . . , x2i bestaat waarvoor x ∼ w ∼ u0 en w u2i. Omdat het punt w niet tot

x1, . . . , x2i behoort volgt uit de inductiehypothese dat w /∈ A(u0)∩A(u2i−2) zodat w ∼ u2i−2.

Hieruit volgt dat w u2i−1 zodat w met geen enkel punt van de rechte u2iu2i−1 collineair is,

een strijdigheid.

We kunnen dus besluiten dat als t = ∞ er dan in het bijzonder twee punten v en w in Γ2(x)

bestaan zodat∣∣∣A(v) ∩A(w)

∣∣∣ = 4. Hieruit volgt dat |A(v) ∩A(w)| = (t+ 1)− 4 =∞. Dit is in

strijd met (2.6).

Voorbeeld 2.3.2. Bekijken we enkele voorbeelden van veralgemeende vierhoeken van de orde

(2, t).

• Voor t = 1 hebben we het 3×3-rooster. Dit is de klassieke veralgemeende vierhoek Q(3, 2).

• Voor t = 2 hebben we naast de klassieke veralgemeende vierhoeken Q(4, 2) en W (2) de

volgende veralgemeende vierhoek van de orde 2 gedefinieerd door J. J. Sylvester in [40]:

16


Voor elke verzameling X van 6 elementen definieren we de veralgemeende vierhoek

QX = (P,L, I) waarbij de 15 punten de deelverzamelingen uit X zijn met kardina-

liteit 2 en de 15 rechten de partities zijn van X die uit drie deelverzamelingen van

kardinaliteit 2 bestaan. De incidentierelatie is bevatten. Het is duidelijk dat elk punt

incident is met drie verschillende rechten en dat op elke rechte juist drie verschillende

punten liggen. Zij x = (a, b) ∈ P een punt van QX en L een rechte van QX die niet

incident is met x. We zoeken nu een uniek punt dat incident met L en collineair met

x is. Noteren we de partitie L als (L1, L2, L3) dan geldt a ∈ Li en b ∈ Lj met i 6= j

en i, j ∈ 1, 2, 3. Het gezochte punt is Lk, waarbij k ∈ 1, 2, 3\i, j.In Figuur 2.1 wordt deze veralgemeende vierhoek QX van de orde 2 voorgesteld

waarbij X = 1, 2, 3, 4, 5, 6 en we de punten i, j van QX noteren als ij waarbij

i < j.

Figuur 2.1: De veralgemeende vierhoek van de orde 2 door Sylvester

• Voor t = 4 hebben we bijvoorbeeld de klassieke veralgemeende vierhoek Q(5, 2) van de

orde (2, 4).

De bekomen grens in Stelling 2.3.1 is dus scherp. Bovenstaande voorbeelden van veralgemeende

vierhoeken van dezelfde orde zijn isomorf met elkaar. Algemeen wordt in onder andere [36] en [18]

de uniciteit van veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t), voor t ∈ 1, 2, 4 aangetoond. In

Appendix A wordt dit eveneens besproken.

17

2.4. Veralgemeende Vierhoeken van de orde (3, t)

2.4 Veralgemeende Vierhoeken van de orde (3, t)

Nadat J. Cameron [11] in 1981 de eindigheid van veralgemeende vierhoeken met drie punten op

elke rechte had aangetoond, schreef hij naar B. Kantor over zijn resultaat. B. Kantor bewees

in 1984 dat ook veralgemeende vierhoeken met vier punten op elke rechte eindig zijn. Hij

publiceerde zijn bewijs nooit, maar het zou erg complex en groep-theoretisch zijn. In 1991

publiceerde A. E. Brouwer in [5] een eenvoudiger en combinatorisch bewijs van de eindigheid

van veralgemeende vierhoeken van de orde (3, t). Een direct gevolg van dit resultaat is dat t 6 9

wegens de ongelijkheid van D. G. Higman (Stelling 2.1.5). Deze grens is scherp en wordt bereikt

door de klassieke veralgemeende vierhoek Q(5, 3) van de orde (3, 9). S. Dixmier en F. Zara [21]

en P. J. Cameron (ongepubliceerd) bewezen verder dat deze veralgemeende vierhoek van de

orde (3, 9) op een isomorfisme na uniek bepaald is. Het bewijs dat hieronder gegeven wordt,

is gebaseerd op dit van A. E. Brouwer. De gebruikte notaties zijn hoofdzakelijk overgenomen

van H. Van Maldeghem. In [48, p. 30-31] geeft H. Van Maldeghem eveneens een bewijs van de

eindigheid van veralgemeende vierhoeken van de orde (3, t). Dit bewijs is gebaseerd op dit van

A. E. Brouwer, maar verfijnt het resultaat tot de ongelijkheid t 6 9.

We beginnen met de definitie van de twee begrippen cover en transversaal design.

Definitie 2.4.1. Zij S1 = (P1,L1, I1) en S2 = (P2,L2, I2) twee meetkunden waarbij S2 samen-

hangend is. Dan is S1 een cover van S2 als er een afbeelding θ : P1 → P2 bestaat waarvoor

• θ een surjectieve afbeelding is die de puntenverzameling van elke rechte van S1 bijectief op

de puntenverzameling van een rechte van S2 afbeeldt;

• er voor elke punt x van S1 onder θ een bijectie tussen x⊥ en θ(x)⊥ is.

Definitie 2.4.2. Bepaalt θ een cover van S1 op S2 en is y een willekeurig punt van S2, dan

noemen we de verzameling van alle punten van S1 die onder θ op y worden afgebeeld een vezel

van de cover θ die we noteren als θ−1(y).

Een direct gevolg van Definitie 2.4.1 is het volgend lemma.

Lemma 2.4.3. De vezels van een cover hebben dezelfde kardinaliteit.

Bewijs. Stel dat θ een cover van S1 op de samenhangende meetkunde S2 bepaalt en x ∼ y in S2.

Dan volgt het lemma door de puntenparen (u, v) ∈ S1×S1 te tellen waarvoor θ(u) = x, θ(v) = y

zodat u ∼ v. Nemen we een u ∈ θ−1(x) vast. Dan volgt uit het tweede puntje van Definitie 2.4.1

dat er juist een punt v in θ−1(y) bestaat dat collineair is met u. Omgekeerd vinden we op een

analoge manier dat er voor een v ∈ θ−1(y) juist een punt u ∈ θ−1(x) bestaat dat collineair is

met v. Uit de dubbele telling volgt dus∣∣θ−1(x)

∣∣ =∣∣θ−1(y)

∣∣. Uit de samenhangendheid van S2

volgt nu dat∣∣θ−1(x)

∣∣ =∣∣θ−1(y)

∣∣ voor alle punten x en y van S2.

Definitie 2.4.4. Een transversaal design Tλ [k, n] van de orde n, blokgrootte k en index λ, is

een drietal (V,G,B) waarvoor:

• V een verzameling van kn elementen (punten) is;

• G een partitie van V in k klassen van grootte n (groepen) is;

18


• B een verzameling van deelverzamelingen van V met grootte k (blokken) is;

• Elk ongeordend paar van elementen uit V bevat is in ofwel juist een klasse ofwel in juist

λ blokken, maar niet in beide.

Wanneer λ = 1 noteren we een transversaal design Tλ [k, n] ook als T [k, n].

In Stelling 2.4.5 zal een transversaal design T [3, 4] in de volgende vorm opduiken: T [3, 4] is een

drietal (V,G,B) waarbij de punten permutaties zijn van 1, 2, 3, 4 met eenzelfde pariteit (even

of oneven). Een permutatie σ stellen we vaak voor als de verzameling van de koppels (i, iσ),

i ∈ 1, 2, 3, 4. De blokken B zijn de verzamelingen die bestaan uit drie permutaties van dezelfde

pariteit die juist een zelfde koppel (i, j) bevatten. Een klasse is een verzameling van vier punten

(permutaties met eenzelfde pariteit) die paarsgewijs geen enkel koppel gemeen hebben. Dit zijn

dus vier paarsgewijs disjuncte permutaties. Er volgt gemakkelijk dat elke twee verschillende

punten volledig disjunct zijn (en dus tot een klasse behoren) of juist een koppel gemeen hebben

(en dus in een blok zitten). Dit komt doordat twee verschillende permutaties van 1, 2, 3, 4 die

twee gemeenschappelijke koppels hebben noodzakelijk van verschillende pariteit moeten zijn.

Stelling 2.4.5. Is S = (P,L, I) een veralgemeende vierhoek met vier punten op elke rechte, dan

is S eindig.

Bewijs. Is (x, L) een anti-vlag, dan bestaat er een uniek punt op L dat collineair is met x

waardoor we van de projectie van x op L kunnen spreken. We noteren dit zoals bij de schier

veelhoeken als πL(x).

We bewijzen eerst dat elke twee disjuncte rechten in een uniek rooster van de orde (3, 1) bevat

zijn tenzij t 6 7 en er dus niets te bewijzen valt. Zijn L1 en L2 twee willekeurige disjuncte

rechten van S en noemen we pi1, pi2, pi3, pi4 de vier punten op Li, i ∈ 1, 2. We kunnen

zonder verlies van algemeenheid veronderstellen dat p1j ∼ p2j voor elke j ∈ 1, . . . , 4. De

rechte p1jp2j noteren we als Mj en we noemen p31 en p41 de twee andere punten op M1.

19


We wensen nu aan te tonen dat elke rechte door p31 en p41 met geen enkele of met alle rechten

uit de verzameling M2,M3,M4 snijdt. Stel daarvoor eerst dat een rechte L door p31 juist twee

rechten uit M2,M3,M4 snijdt. Laten we zeggen M2 en M3. Omdat L∩M4 ledig is en er geen

driehoeken voorkomen moeten de projecties πL(p14) en πL(p24) twee verschillende punten zijn.

Het is ook duidelijk dat de punten πL(p14) en πL(p24) niet op de rechten M1, M2 en M3 kunnen

liggen zodat we minstens vijf punten op de rechte L vinden, een strijdigheid.

Stel nu dat een rechte L door p31 met juist een rechte uit M2,M3,M4 snijdt, laten we zeggen

M2. We merken dan eerst op dat elke rechte K door Mi en Mj , i 6= j en i, j ∈ 1, 2, 3, 4,geen doorsnede heeft met Mk waarbij k ∈ 1, 2, 3, 4\i, j. Stel namelijk dat K wel met een

derde rechte Mk snijdt, dan volgt uit de bovenstaande alinea dat K noodzakelijk met elke Mi,

i ∈ 1, 2, 3, 4, snijdt. Noemen we de snijpunten ki := Mi∩K, dan volgt eenvoudig dat L∩K = ∅,dat k1 ∼ p31 en dat k2 ∼ (L∩M2). Verder geldt dat πL(p13) = πL(p24), dat πL(p14) = πL(p23) en

dat πL(p13) collineair is met k3 of k4. Is πL(p13) ∼ k3, dan vinden we een driehoek πL(p13)k3p13.

Is πL(p13) ∼ k4 dan is πL(p14) ∼ k3 en vinden we een driehoek πL(p14)k3p23. In beide gevallen

vinden we een strijdigheid zodat we kunnen besluiten dat elke rechte die twee rechten uit de

verzameling M1,M2,M3,M4 snijdt, geen andere rechte uit deze verzameling snijdt. Wegens

het derde axioma moet door elk punt van Mi\p1i, p2i een rechte gaan die Mj , j 6= i snijdt in

een punt dat niet op L1 of L2 ligt, i, j ∈ 1, 2, 3, 4. We kunnen nu de volgende notatie kiezen:

op Mj , j ∈ 1, 2, 3, 4, liggen de punten p3j en p4j zodat voor elke j, j′ ∈ 1, 2, 3, 4 geldt dat

p3j ∼ p4j en pij pij′ , i ∈ 3, 4. In het bijzonder is L ∩M2 = p42. We kunnen opmerken dat

de acht punten pij met i ∈ 3, 4 en j ∈ 1, 2, 3, 4 samen met de rechten die juist twee van deze

acht punten bevatten een complete reguliere bipartite graaf K4,4 met valentie 4 vormen.

Zo hebben we alle punten op M1, M2, M3 en M4 gedefinieerd. Beschouwen we nu een rechte M

door p11 die verschillend is van L1 en M1 en de rechten p3jp4j′ niet snijdt voor elke j, j′ ∈ 2, 3, 4en j 6= j′. Zo’n rechte M bestaat enkel als t > 7. Inderdaad, naast de twee rechten L1 en

M gaan er wegens het derde axioma juist zes rechten door p11 die een van de zes rechten

p3jp4j′ , j, j′ ∈ 2, 3, 4 en j 6= j′ snijden. Is t 6 7 dan valt er niets meer te bewijzen, dus

20


we veronderstellen vanaf nu dat t > 7. Projecteren we p22, p32 en p42 op M , dan vinden we

drie verschillende punten, verschillend van p11, op de rechte M die we respectievelijk x, y en z

noemen. De collineaire punten met p23 en p24 op M zijn y en z. Veronderstel zonder verlies van

algemeenheid dat p23 ∼ z en p24 ∼ y. Omdat p43 collineair is met p23 en p32 geldt dat p43 ∼ x

(en p33 ∼ y). Maar p43, p42, p24 ⊆ Γ1(p34) zodat πM (p34) /∈ x, z, y en dus πM (p34) = p11,

een strijdigheid. We besluiten dat elke rechte door p31 en analoog dat elke rechte door p41 geen

enkele ofwel alle rechten uit de verzameling M2,M3,M4 snijdt. Zo vinden we door p31 en p41

twee rechten L3 en L4 die M1, M2, M3 en M4 snijden.

Hiermee is aangetoond dat (als t > 7) de twee verzamelingen M1,M2,M3,M4 en L1, L2, L3, L4de reguli zijn van een uniek rooster van de orde (3, 1) dat de twee disjuncte rechten L1 en L2

bevat. Noemen we voor het vervolg de punten pij := Li ∩Mj , A de punten van het unieke

rooster door L1 en L2, en Q de verzameling van de punten in S\A.

We associeren nu met elk punt x van Q een permutatie σx van de verzameling 1, 2, 3, 4. Is

het punt pij ∈ Γ1(x) ∩ A, dan definieren we iσx := j. De verzameling Γ1(x) ∩ A is een ovoıde

van A en bestaat uit vier punten. In het vervolg noteren we σx ook vaak als de verzameling

van de koppels (i, j) waarvoor pij ∈ Γ1(x) ∩ A. Is bijvoorbeeld voor een bepaald punt x van

Q de ovoıde Γ1(x) ∩ A = p11, p22, p33, p44, dan is σx = e (de identiteit) en noteren we σx =

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4). Het is mogelijk dat twee verschillende (niet-collineaire) punten x en

y van Q dezelfde geassocieerde permutatie hebben (σx = σy). In dat geval noemen we de punten

x en y punten van hetzelfde type.

(a) Zijn x en y twee collineaire punten in S\A waarvoor de doorsnede σx ∩ σy niet ledig is.

Dan bevat die doorsnede juist een koppel (i, j) zodat pij het snijpunt is van de rechte xy met A.

Verder zijn de permutaties σx en σy van dezelfde pariteit.

Stel dat (i, j) ∈ σx ∩ σy. Dan zal zowel x als y collineair zijn met het punt pij van A wat

enkel mogelijk is als y op de rechte xpij ligt. Een tweede koppel (i′, j′) 6= (i, j) in de doorsnede

σx ∩ σy leidt altijd tot een driehoek zodat σx ∩ σy = (i, j). Nu is het aantal fixelementen van

de permutatie σxσ−1y gelijk aan het aantal koppels die σx en σy gemeen hebben. Met andere

woorden, σxσ−1y heeft juist een fixpunt en is bijgevolg van orde 3. We kunnen besluiten dat

σxσ−1y een even permutatie is, wat enkel mogelijk is als σx en σy beide even of beide oneven zijn.

Uit het bovenstaande volgt ook dat elke twee permutaties die juist een koppel gemeen hebben,

noodzakelijk van dezelfde pariteit zijn.

(b) Zijn σ en σ′ twee disjuncte permutaties van dezelfde pariteit. Is σ = σp voor een p ∈ Q,

dan is p ∼ x voor alle, met uitzondering van hoogstens twee, punten x ∈ Q waarvoor geldt dat

σx = σ′.

Zij p ∈ Q een punt zodat σp = σ. Kiezen we een punt x waarvoor de permutatie σx = σ′.

Zij (i, j) een willekeurig koppel uit σx en noemen we de andere twee punten op de rechte xpij

de punten y en z. Uit (a) volgt dat σy en σz enkel het koppel (i, j) gemeen hebben en van

dezelfde pariteit als σ′ zijn. Er bestaan juist drie permutaties van 1, 2, 3, 4 met juist een zelfde

vast element (i wordt afgebeeld op j) zodat σy en σz volledig door de permutatie σ′ en het

gemeenschappelijk koppel (i, j) bepaald zijn maar onafhankelijk zijn van x.

Voor elke x ∈ Q waarvoor σx = σ′ hebben we dus op de rechte xpij een punt y van het type σy

en een punt z van het type σz. Als we nu kunnen aantonen dat p collineair met hoogstens een

zo’n punt y (van het type σy) is en collineair met hoogstens een zo’n punt z (van het type σz)

21


is, dan is (b) bewezen. Inderdaad, in alle met uitzondering van hoogstens twee gevallen geldt

dan dat p y en p z. Omdat ook p pij volgt er voor alle, met uitzondering van hoogstens

twee, gevallen dat p ∼ x.

We bewijzen dat p collineair is met hoogstens een zo’n punt y van het type σy. Er volgt eenvoudig

dat |σy ∩ σ| = |σz ∩ σ| = 1. Zij (k, j) het koppel dat σy en σ gemeen hebben en veronderstel

dat er twee zo’n punten y e y′ van het type σy bestaan die collineair met p zijn. We hebben

dat y, y′ en p in Γ1(pkj) liggen zodat wegens het ontbreken van driehoeken in S zowel y als

y′ op de rechte ppkj moeten liggen. Dit is duidelijk een strijdigheid want twee verschillende

collineaire punten kunnen onmogelijk met dezelfde permutatie geassocieerd worden. Via een

volledig analoge redenering vinden we hetzelfde resultaat voor de punten van het type σz.

(c) Zijn σ, σ′ en σ′′ drie paarsgewijs disjuncte permutaties van 1, 2, 3, 4 met dezelfde pariteit,

dan is minstens een van deze drie permutaties geassocieerd met hoogstens 5 punten van Q.

We kunnen punten x en y in Q veronderstellen zodat σx = σ en σy = σ′. Is dit niet het geval,

dan valt er niets meer te bewijzen. Uit (b) mogen we ook veronderstellen dat x ∼ y omdat er

anders een permutatie bestaat dat met hoogstens twee punten geassocieerd kan worden en er dus

opnieuw niets te bewijzen valt. Wegens (b) kunnen we verder besluiten dat er hoogstens twee

punten van het type σ′′ bestaan die niet collineair met x zijn en analoog bestaan er hoogstens

twee punten van het type σ′′ die niet collineair met y zijn. We vinden dus hoogstens vier punten

van het type σ′′ die niet collineair met x of met y zijn. We vinden hoogstens een punt van het

type σ′′ op de rechte xy (en dus collineair met x en met y) zodat we kunnen besluiten dat de

permutatie σ′′ met hoogstens vijf punten van Q geassocieerd is.

(d) Beschouw nu de partieel lineaire ruimte S ′ = (P ′,L′, I′) waarbij P ′ = Q, L′ zijn de rechten

van S die A snijden in een punt en de incidentierelatie I ′ is dezelfde als van S. De rechten van

S ′ bevatten dus allen drie punten. Er geldt dat elke samenhangende component S van S ′ een

cover is van het transversaal design T [3, 4].

We beschouwen het transversaal design T [3, 4] = (V,G,B) zoals we op pagina 19 besproken

hebben en tonen aan dat de volgende afbeelding θ een cover bepaalt:

θ : P ′ → V

p ∈ S 7→ σp.

Zijn p en q twee collineaire punten in S ′, dan snijdt de rechte pq met A (in S) zodat wegens

(a) de permutaties σp en σq eenzelfde pariteit hebben. Omdat het domein van de afbeelding θ

een samenhangende component in S ′ is, volgt dat elke permutatie uit het beeld van θ dezelfde

pariteit heeft. De afbeelding θ is bijgevolg goed gedefinieerd. Er resten ons nog drie zaken na

te gaan.

• Voor elk punt p van S is er een bijectie tussen p⊥ en θ(p)⊥. Is q ∼ p in S, dan volgt

uit (a) dat |σq ∩ σp| = 1. Dit betekent dat σp en σq in eenzelfde blok van T [3, 4] liggen.

Zijn omgekeerd σ en σ′ twee permutaties van vier elementen met dezelfde pariteit die een

koppel (i, j) gemeen hebben en is a ∈ S zodat θ(a) = σa = σ. Er bestaat dan op de rechte

apij juist een punt b zodat θ(b) = σb = σ′. Dit punt b ligt in de samenhangende component

S omdat ab een rechte van S is die snijdt met A.

• De afbeelding θ is surjectief. Kiezen we een willekeurig punt a ∈ S. We willen nu aantonen

22


dat elke permutatie van 1, 2, 3, 4 met dezelfde pariteit als σa het beeld is van een punt in

S onder θ. Zij σ een willekeurige permutatie met dezelfde pariteit als σa. Is σa = σ, dan

valt er niets meer te bewijzen. Veronderstel dus dat σa 6= σ. Is σa ∩ σ 6= ∅, dan bestaat

deze doorsnede uit juist een koppel (i, j), i, j ∈ 1, 2, 3, 4. We vinden dan op de rechte

apij een punt b van het type σ. Dit punt b ligt duidelijk in S omdat ab een rechte in S ′ is.

Veronderstellen we dat σa∩σ = ∅. Kies een koppel (i, j) uit σa en noem de twee punten op

apij de punten b en c. Het is eenvoudig na te gaan dat de twee doorsneden σb∩σ en σc∩σniet ledig zijn. Er bestaat dus een koppel (k, l), k, l ∈ 1, 2, 3, 4 zodat σb ∩ σ = (k, l).Bijgevolg bestaat er op de rechte bpkl een punt d van het type σ. Dit punt d ligt in S

omdat de rechten ab en bd in S ′ liggen. Hiermee is de surjectiviteit aangetoond.

• Nemen we een willekeurige rechte uit S. Deze bevat drie punten die onder θ op drie

permutaties met een gemeenschappelijk koppel afgebeeld worden. Deze drie permutaties

vormen juist een blok in T [3, 4]. De punten van een willekeurige rechte uit S worden dus

bijectief afgebeeld op de punten van een blok van T [3, 4].

Conclusie. Volgens Lemma 2.4.3 hebben vezels van een cover dezelfde kardinaliteit. Uit het

bovenstaande volgt dus dat als σ en σ′ twee permutaties van 1, 2, 3, 4 met dezelfde pariteit

zijn, er evenveel punten in Q van het type σ als van het type σ′ zijn. Er zijn twaalf permutaties

van 1, 2, 3, 4 die dezelfde pariteit hebben waaronder zeker drie disjuncte permutaties. Met

behulp van (c) volgt dan dat hoogstens 12×5 punten in Q bestaan die geassocieerd worden met

een even permutatie en hoogstens evenveel punten in Q die geassocieerd kunnen worden met

een oneven permutatie. In totaal vinden we dus hoogstens 16 + 2 × 12 × 5 punten in S. We

besluiten dat een veralgemeende vierhoek S met vier punten op elke rechte noodzakelijk eindig

is.

Opmerking 2.4.6. We hebben bewezen dat een veralgemeende vierhoek van de orde (3, t) niet

semi-eindig kan zijn. Uit de ongelijkheid van D. G. Higman volgt t 6 9. Uit het bovenstaand

bewijs vinden we ook de minder scherpe grens t 6 11. Inderdaad, wegens Stelling 2.1.4 vinden

we

16 + 2 · 12 · 5 = 136 > 4 · (3t+ 1) = 12t+ 4.

Voorbeeld 2.4.7. De klassieke voorbeelden van veralgemeende vierhoeken van de orde (3, t)

zijn de volgende:

• De veralgemeende vierhoek Q(3, 3) heeft de orde (3, 1).

• De veralgemeende vierhoek Q(4, 3) heeft de orde 3.

• De veralgemeende vierhoek Q(5, 3) heeft de orde (3, 9).

• De veralgemeende vierhoek W (3) heeft de orde 3.

Wegens de Stelling van Higman (Stelling 2.1.5) en Stelling 2.1.6 is t ∈ 1, 3, 5, 6, 9. Een classifi-

catie van de veralgemeende vierhoeken met vier punten op elke rechten vindt men onder andere

bij S. E. Payne en J. A. Thas [36] en S. Dixmier en F. Zara [21]. Samenvattend is elke veralge-

meende vierhoek van de orde (3, 1) isomorf met het 4 × 4-rooster Q(3, 3). Een veralgemeende

23

2.5. Begrippen uit de logica en de model theorie

vierhoek van de orde 3 is isomorf met W (3) of Q(4, 3). Veralgemeende vierhoeken van de orde

(3, 5) en (3, 9) zijn uniek op een isomorfisme na en er bestaan geen veralgemeende vierhoeken

van de orde (3, 6).

2.5 Begrippen uit de logica en de model theorie

Er rest ons in dit hoofdstuk de eindigheid van veralgemeende vierhoeken van de orde (4, t) aan

te tonen. Om dit te bewijzen, wordt er wiskunde ‘uit een andere hoek’ gebruikt. G. Cherlin

[12] bewijst de eindigheid met behulp van modeltheorie en eerste orde logica (Languages of first

order logic) in plaats van de gebruikelijke meetkundige of combinatorische aanpak. Voorlopig

is dit ook het enige bewijs dat gekend is. Zonder verder te diep in te gaan op de eerste orde

logica en de modeltheorie worden hier beknopt enkele basisbegrippen gegeven. Voor een uitge-

breidere uiteenzetting van begrippen en eigenschappen wordt onder andere verwezen naar [34],

[32] en [29]. Na het invoeren van een reeks nodige definities, wordt de link tussen modeltheo-

rie en meetkundige objecten beschreven. Daarna gaan we in Paragraaf 2.5.2 twee belangrijke

stellingen bespreken. De Compactheidstelling uit de modeltheorie en de Stelling van Ramsey

uit de combinatoriek. Deze stellingen leiden tot het vertrekpunt van G. Cherlin in [12]. In

Paragraaf 2.5.3 worden er dan verschillen eigenschappen geformuleerd die ons toelaten om in

Paragraaf 2.7 de eindigheid van veralgemeende vierhoeken van de orde (4, t) te bewijzen. In

Paragraaf 2.6 wordt voor de volledigheid de eindigheid van veralgemeende vierhoeken van de

orde (2, t) en (3, t) opnieuw aangetoond door gebruik te maken van de nieuwe technieken.

2.5.1 Eerste orde logica

In de wiskundige logica gebruiken we eerste orde logica en modeltheorie om wiskundige structu-

ren te beschrijven. We kiezen symbolen voor verschillende elementen, functies en relaties om zo

te kunnen ‘spreken’ over de (wiskundige) structuur. Het ‘spreken’ gebeurt in een bepaalde taal.

In deze taal kunnen we dan uitspraken doen die al dan niet gelden in een (wiskundig) model.

Het was A. Tarski [41] die de Modeltheorie heeft ingevoerd.

Definitie 2.5.1. Een taal L wordt gegeven door drie verzamelingen van symbolen: constanten,

functiesymbolen en relatiesymbolen. We kunnen L dus als volgt schrijven:

L = (con(L), fun(L), rel(L)).

Voor elk functie- en elk relatiesymbool is ook het aantal argumenten gegeven. Een functie- of

relatiesymbool met twee argumenten noemen we een binair functie- of relatiesymbool.

Voorbeeld 2.5.2. Voorbeelden van talen zijn:

• de taal van de ringen Lr = +,−, ·, 0, 1, waarbij +,− en · binaire functiesymbolen zijn

voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en waarbij 0 en 1 constanten zijn;

• de taal van de geordende ringen Lor = Lr ∪ <, waarbij < een binair relatiesymbool is;

• de ledige taal L = ∅.

24


Merk op dat het dus mogelijk is dat de verzameling van constanten, functiesymbolen of relatie-

symbolen ledig is. Met een taal L kunnen we termen en formules opbouwen. Termen worden

gebruikt om elementen voor te stellen terwijl formules gebruikt worden om eigenschappen voor

te stellen. Hiervoor gebruiken we symbolen van L samen met:

• een aftelbaar aantal variabelen die we voorstellen door x, y, z, . . . of x0, x1, x2, . . . ,

• het gelijkheidssymbool =,

• het symbool ⊥ dat een onmogelijkheid voorstelt,

• de connectieven ∧ (“en”) voor conjunctie, ∨ (“of”) voor disjunctie, → (“als ... dan”) voor

implicatie en ¬ (“niet”) voor negatie,

• de universele kwantor ∀ (“voor alle”) en de extentiele kwantor ∃ (“er bestaat”),

• enkele symbolen om de leesbaarheid te verhogen zoals haakjes en komma’s.

Definitie 2.5.3. De verzameling van L-termen definieren we inductief:

• elke constante c van L is een term van L;

• elke variabele x is een term van L;

• zijn t1, . . . , tn termen van L en is f een functiesymbool van L met n argumenten, dan is

f(t1, . . . , tn) een term van L.

Een term die geen variabelen bevat wordt een gesloten term genoemd.

Definitie 2.5.4. De verzameling van L-formules definieren we inductief:

• zijn t en s termen van L, dan is t = s een formule van L,

• zijn t1, . . . , tn termen van L en is R een relatiesymbool van L met n argumenten, dan is

R(t1, . . . , tn) een formule van L,

• ⊥ is een formule van L,

• zijn ϕ en ψ twee formules van L,, dan zijn ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ϕ→ ψ en ¬ϕ formules van L,

• is ϕ een formule van L en is x een variabele, dan is ∀xϕ en ∃xϕ ook een formule van L.

Een variabele x is vrij in een formule ϕ als het niet bij een kwantor ∃x of ∀x staat. Is dit wel

het geval dan is de variabele x gebonden. Een L-formule zonder vrije variabelen noemen we een

gesloten L-formule of een L-zin.

We beschrijven nu structuren van een taal L.

Definitie 2.5.5. Een L-structuur M bestaat uit:

• een niet-ledige verzameling M ,

• een element cM in M voor elke constante c van L,

25


• een functie fM : Mn →M voor elk functiesymbool f van L met n argumenten,

• een deelverzameling RM ⊆Mn voor elk relatiesymbool R van L met n argumenten.

We noemen cM, fM en RM de interpretatie van c, f en R in M .

Voorbeeld 2.5.6. Bekijken we als voorbeeld de taal Lg = ·, e wanneer we groepen bestuderen.

Het symbool · is een binair functiesymbool en e is een constante. Dan bestaat een Lg structuur

uit G = (G, ·G , eG), waarbij een verzameling G uitgerust wordt met een binaire relatie ·G en

een element eG bevat. We hebben bijvoorbeeld de Lg-structuur G = (R∗, ·, 1) waarbij we de

binaire relatie · als vermenigvuldiging (·G = ·) interpreteren en het element e als 1 (eG = 1)

interpreteren.

De interpretatie van termen en formules wordt hieronder zeer gevoelsmatig ingevoerd. Sommige

subtiliteiten worden bewust achterwege gelaten, hiervoor wordt naar [34], [32] en [29] verwezen.

Definitie 2.5.7 (Interpretatie van termen). Veronderstel dat M een L-structuur is en dat

t een term is met variabelen x = x1, . . . , xn. We definieren nu de interpretatie van t op een

inductieve manier.

• Is t = c een constante, dan is tM = cM.

• Is t = xi een variabele en a = (a1, . . . , an) ∈Mn, dan is tM(a) = ai.

• Is t van de vorm f(t1, . . . , tn), waarbij f een functiesymbool van L met n argumenten is

en t1, . . . , tn termen van L zijn, dan is tM = fM(tM1 , . . . , tMn ).

IsM een L-structuur dan is elke L-zin (gesloten formule) ofwel waar ofwel vals inM. Voor een

formule ϕ met vrije variabelen x = x1, . . . , xn, genoteerd als ϕ(x), zal het waar of vals zijn

afhangen van de waarde die de variabelen krijgen. Zo kan voor verschillende a = (a1, . . . , an) ∈Mn de formule ϕ(a) waar of vals zijn. Merk op dat ϕ(a) geen vrije variabelen meer heeft. We

bekijken hieronder de interpretatie van L-formules. Wanneer een formule van L met n vrije

variabelen waar is in een L-structuur M voor a ∈Mn, dan noteren we dit als

M |= ϕ(a).

Is ϕ een zin van L die waar is in de L-structuur M, dan wordt dit analoog genoteerd als

M |= ϕ.

We geven nu de interpretatie van L-zinnen. Dit kan eenvoudig uitgebreid worden naar alle

L-formules.

Definitie 2.5.8 (Interpretatie van formules). Is ϕ een L-zin, dan definieren we inductief

wat M |= ϕ betekent. Hierbij zijn t1, . . . , tn L-termen, zijn ψ en θ L-zinnen en is R een

relatiesymbool.

• Is ϕ = ⊥, dan geldt M |= ⊥ nooit.

• Is ϕ van de vorm t1 = t2, dan is M |= ϕ ⇔ tM1 = tM2 .

26


• Is ϕ van de vorm R(t1, . . . , tn), dan is M |= ϕ ⇔ (tM1 , . . . , tMn ) ∈ RM.

• Is ϕ van de vorm ψ ∧ θ ,dan is M |= ϕ ⇔ M |= ψ en M |= θ.

• Is ϕ van de vorm ψ ∨ θ, dan is M |= ϕ ⇔ M |= ψ of M |= θ.

• Is ϕ van de vorm ψ → θ, dan is M |= ϕ ⇔ M |= θ als M |= ψ.

• Is ϕ van de vorm ¬ψ, dan is M |= ϕ ⇔ M 6|= ψ waarbij 6|= wordt gelezen als

“niet |=”.

• Is ϕ van de vorm ∀xψ, dan is M |= ϕ ⇔ M |= ψ(m) voor elke m ∈ M , waarbij

ψ(m) wordt gezien als de interpretatie van de zin ψ in M waarbij de variabele x vervangen

wordt door m.

• Is ϕ van de vorm ∃xψ, dan is M |= ϕ ⇔ M |= ψ(m) voor een m ∈M.

Definitie 2.5.9. Twee formules ϕ en ψ in een taal L worden logisch equivalent genoemd als we

voor elke L-structuurM hebben datM |= ϕ↔ ψ. Met ϕ↔ ψ bedoelden we (ϕ→ ψ)∧(ψ → ϕ)

zodat M |= ϕ↔ ψ als en slechts als M |= ϕ en M |= ψ beiden waar of beiden vals zijn.

Definitie 2.5.10. Een L-theorie is een verzameling van L-zinnen. Meestal is dit de verzameling

van axioma’s van een wiskundige structuur. Is T een L-theorie, dan noemen we een L-structuur

M een model van T als elke zin van T waar is in M. We noteren dit met M |= T . Is

bijvoorbeeldM een model van de theorie T dat bestaat uit de zinnen ϕi | i ∈ I voor een zeker

indexverzameling I, dan geldt voor elke i ∈ I dat M |= ϕi.

Een groep is dus een model van de theorie Lg van de groepen. Als een zin ϕ in elk model van T

geldt (dus een gevolg is van de axioma’s), dan noteren we dit met T |= ϕ. Het is ook mogelijk

dat een theorie T geen model heeft, dan wordt T inconsistent genoemd. Heeft T wel een model,

dan wordt T consistent genoemd.

We geven nog een definitie die we later gebruiken.

Definitie 2.5.11. Is X een verzameling en < een binaire relatie op X, dan zeggen we dat (X,<)

een partiele orde is als (X,<) |= ∀x¬(x < x) en (X,<) |= ∀x∀y∀z((x < y ∧ y < z) → x < z

).

Als ook geldt dat alle elementen van X vergelijkbaar zijn, (X,<) |= ∀x∀y(x < y∨x = y∨y < x),

dan wordt (X,<) een lineaire orde genoemd.

We kunnen nu ook meetkundige objecten bekijken als een model van een theorie. Voor een

vollediger beschrijving van het natuurlijk verband tussen modeltheorie en meetkundige objecten

verwijzen we naar K. Tent [42].

De taal voor meetkundige structuren zal naast een binaire relatie die de incidentie uitdrukt,

ook een onderscheid moeten kunnen maken tussen punten en rechten. Hiervoor zal de taal twee

relatiesymbolen P en L bevatten met een argument zodat P (x) betekent dat x een punt is en

L(y) betekent dat y een rechte is. We noemen deze relaties ook uitspraken of predicaten omdat

ze een uitspraak doen over een element.

We bekijken nu de veralgemeende vierhoeken als een theorie over de taal LGQ. Deze taal bestaat

uit de volgende relatiesymbolen:

27


• P en L zijn uitspraken die staan voor punten en rechten.

• I is een binair relatiesymbool.

Een veralgemeende vierhoek is een model van de LGQ-theorie die bestaat uit de volgende axi-

oma’s (zie Definitie 2.1.1).

Als eerste eisen we dat elk model van de LGQ-theorie een punt-rechte meetkunde is:

(i) ∃x : P (x)

(i’) ∃y : L(y)

(i”) ∀x : P (x)→ ¬L(x)

(i”’) ∀y : L(y)→ ¬P (y)

Als tweede eisen we dat elk model van de LGQ-theorie een partieel lineaire ruimte is:

(ii) ∀x1∀x2∀y1∀y2 :((P (x1) ∧ P (x2) ∧ L(y1) ∧ L(y2)

)∧(¬(y1 = y2) ∧ ¬(x1 = x2) ∧ (x1 I y1) ∧

(x2 I y1)))→ ¬(x1 I y2 ∧ x2 I y2).

Als derde eisen we dat er twee disjuncte rechten bestaan (GQ 1):

(iii) ∃y1∃y2 :(L(y1) ∧ L(y2) ∧

(∀x(P (x) ∧ (x I y1))

))→ ¬(x I y2).

Als laatste eisen we dat er voor elke anti-vlag (x, y) een uniek punt op y bestaat dat collineair

is met x:

(iv) ∀x∀y :(P (x) ∧ L(y) ∧ ¬(x I y)

)→ ∃x′∃y′

(P (x′) ∧ L(y′) ∧ (x I y′) ∧ (x′ I y′) ∧ (x′ I y)

).

Een extra axioma kan zijn dat we eisen dat er een eindig aantal punten op elke rechte liggen.

Eisen we bijvoorbeeld dat elke rechte juist vijf punten bevat:

(v) ∀y : L(y)→ ∃x1, ∃x2,∃x3,∃x4, ∃x5

(P (x1)∧P (x2)∧P (x3)∧P (x4)∧P (x5)∧(x1 6= x2)∧(x1 6=

x3)∧(x1 6= x4)∧(x1 6= x5)∧(x2 6= x3)∧(x2 6= x4)∧(x2 6= x5)∧(x3 6= x4)∧(x3 6= x5)∧(x4 6=x5) ∧ (x1 I y) ∧ (x2 I y) ∧ (x3 I y) ∧ (x4 I y) ∧ (x5 I y)

).

Nu hebben we voldoende voorkennis om twee interessante stellingen te bekijken uit de model-

theorie en de combinatoriek.

2.5.2 Compactheidstelling en Stelling van Ramsey

We beginnen met de Compactheidstelling. Het is duidelijk dat elke deeltheorie T ′ van een

consistente theorie T op zijn beurt ook consistent zal zijn. Als een model M voldoet aan alle

zinnen die de theorie T bepalen, dan zalM in het bijzonder ook voldoen aan alle zinnen die de

deeltheorie T ′ ⊆ T bepalen. De Compactheidstelling zegt ons dat om het consistent zijn van een

theorie T aan te tonen, het volstaat om de eindige deeltheorieen te bekijken. Met een eindige

deeltheorie bedoelen we een deeltheorie die bestaat uit een eindig aantal zinnen (axioma’s) uit

de theorie T .

28


Stelling 2.5.12 (Compactheidstelling). Zij T een theorie in de taal L. Is elke eindige

deeltheorie T ′ ⊆ T consistent, dan is ook T consistent.

Deze belangrijke stelling uit de eerste orde logica werd bewezen door K. Godel in 1929. Een

bewijs geven we hier niet omdat deze stelling een direct gevolg is van een andere zeer belangrijke

stelling uit de eerste orde logica, de volledigheidsstelling van Godel. Deze stelling toont aan dat

als een bepaalde zin waar is voor elk model van een theorie over een taal, dan moet er een eindige

afleiding bestaan uit de axioma’s die deze theorie bepalen. Omdat de volledigheidsstelling van

Godel tot de bewijstheorie en minder tot de modeltheorie behoort, gaan we hier niet verder op

in. Voor een direct bewijs van de Compactheidstelling, dus zonder bewijstheorie, kan gebruik

gemaakt worden van de Henkin Constructions zoals men kan vinden in [32, p. 35-40].

Bekijken we een voorbeeld dat de kracht van de Compactheidstelling illustreert.

Voorbeeld 2.5.13. Beschouw de ledige taal L en definieren we voor elke n ∈ N0 de L-zin ϕn

die stelt dat er hoogstens n elementen zijn:

ϕn ↔ ∀x1, . . . , xn+1(x1 = x2 ∨ x1 = x3 ∨ · · · ∨ xn = xn+1).

Is T de theorie die bepaald wordt door de negatie van bovenstaande zinnen: T = ¬ϕn | n > 1,dan is M een model van T als en slechts als M oneindig veel elementen bevat. We zeggen dat

M oneindig is. Nu is het onmogelijk dat we een theorie T vinden waarvoor elk model van deze

theorie T noodzakelijk eindig moet zijn. Stel namelijk dat er wel zo’n theorie T bestaat. Dan

definieren we de theorie T ′ := T ∪¬ϕn | n > 1. Het is duidelijk dat T ′ niet consistent kan zijn

omdat een model S |= T ′ zowel eindig (S |= T ) als oneindig (S |= ¬ϕn | n > 1) moet zijn. Voor

elke eindige deeltheorie T ′′ van T ′ bestaat er een k ∈ N zodat T ′′ ⊆ T ∪ ¬ϕn | 1 6 n 6 k. Nu

is elke eindige verzameling met minstens k+ 1 elementen een model van T ∪ ¬ϕn | 1 6 n 6 ken dus van T ′′. Elke eindige deeltheorie van T ′ is bijgevolg consistent, in de veronderstelling

dat T consistent is. Uit de Compactheidstelling volgt dat ook de theorie T ′ consistent is, een

strijdheid.

We bekijken nu de Stelling van Ramsey. Dit is een stelling die zeer belangrijk is in de combi-

natoriek zoals bijvoorbeeld door R. Graham, B. Rothschild en J. Spencer wordt besproken in

[24].

We voeren eerst enkele notaties in. Is X een verzameling en zijn κ, λ twee kardinaalgetallen,

dan noteren we [X]κ voor de verzameling van deelverzamelingen van X met grootte κ. Een

afbeelding f : [X]κ → 0, 1, . . . , λ − 1 wordt een partitie genoemd. Een partitie f is dus een

afbeelding waarbij elk element van [X]κ wordt afgebeeld op een kardinaalgetal dat kleiner is dan

λ. We noteren in het vervolg f : [X]κ → λ voor een partitie. Een deelverzameling Y ⊆ X wordt

homogeen voor de partitie f genoemd als f de constante afbeelding op [Y ]κ is, als er met andere

woorden een kardinaalgetal α < λ bestaat zodat f(A) = α voor elke A ∈ [Y ]κ. Veronderstel

nu dat κ, λ, µ en η kardinaalgetallen zijn, dat X een verzameling is met grootte minstens κ

(|X| > κ) en dat f : [X]µ → λ een partitie is. Dan schrijven we

κ→ (η)µλ (2.7)

als er een verzameling Y ⊆ X bestaat zodat |Y | > η en Y homogeen is voor f . Eigenschappen

van de vorm (2.7) worden Erdos-Rado partitie relaties genoemd.

29


Een belangrijke Erdos-Rado partitie relatie en de eerste die gevonden werd, is de Stelling van

Ramsey. We gebruiken het symbool ω voor de kardinaliteit van N.

Stelling 2.5.14 (De Stelling van Ramsey). Voor alle positieve (eindige) natuurlijke getallen

k en n geldt

ω → ωnk .

Deze stelling betekent dat voor een verzameling X van minstens oneindige aftelbare kardinali-

teit waarvoor er een partitie f : [X]n → k bestaat, er een oneindige deelverzameling Y ⊆ X

bestaat die homogeen is voor f . Een meer populaire vorm luidt: “Is X een oneindige aftelbare

verzameling en kleuren we de elementen van [X]n in k ∈ N verschillende kleuren, dan bestaat

er een aftelbare deelverzameling Y van X zodat elk element van [Y ]n dezelfde kleur heeft.”

Om wat meer voeling te krijgen met deze stelling geven we een voorbeeld.

Voorbeeld 2.5.15. Elke oneindige rij van reele getallen (x0, x1, . . . ) heeft een oneindige mono-

tone deelrij. Definieer daarvoor de afbeelding (partitie) f : [N]2 → 3 als volgt:

f(i, j) =

0 als i < j en xi < xj

1 als i < j en xi = xj

2 als i < j en xi > xj

Uit de Stelling van Ramsey volgt dat er een oneindige deelverzameling Y = (xi1 , xi2 , . . . ) van

de rij (x0, x1, . . . ) bestaat waarvoor f(ij , ik) = a als ij < ik en het getal a ∈ 0, 1, 2 vast is.

Is a = 0, dan is xi1 < xi2 < . . . zodat Y een oneindige monotone stijgende rij is. Is a = 1 dan

is xi1 = xi2 = . . . en is Y een oneindige monotone constante rij. Is a = 2 dan is xi1 > xi2 > . . .

zodat Y een oneindige monotone dalende rij is.

We bewijzen nu de Stelling van Ramsey.

Bewijs. We werken via inductie op n. Zij n = 1 en stel dat er een oneindige verzameling X en

een partitie f : [X]1 → k bestaat. We wensen te bewijzen dat er een f−1(i) ⊆ [X]1 bestaat die

oneindig is voor een i < k. Dit is juist het duivenhokprincipe: als we oneindig veel elementen

in eindig veel ‘hokjes’ steken, dan moet er minstens een ‘hok’ oneindig veel elementen bevatten.

Veronderstel nu dat de stelling geldig is voor n < i en dat we een oneindige verzameling X

hebben samen met een partitie f : [X]i → k. Dan willen we een oneindige verzameling Y ⊆ X

vinden zodat Y homogeen is voor f . Zonder verlies van algemeenheid kunnen we X = Nnemen. Inderdaad, is X bijvoorbeeld overaftelbaar (|X| > ω), dan werken we met een aftelbare

deelverzameling van X. We bouwen op een inductieve manier een rij 0 = a0 < a1 < a2 < . . . in

N en een rij van oneindige verzamelingen N = X0 ⊃ X1 ⊃ . . . als volgt op. Veronderstel dat aj

en Xj reeds gedefinieerd zijn, dan is de verzameling Xj+1 ⊆ Xj\0, 1, . . . , aj homogeen voor

een partitie faj die we, voor elke aj , als volgt definieren:

faj : [Xj\0, 1, . . . , aj]i−1 → k

A 7→ faj (A) := f(A ∪ aj).

Voor de oneindige verzameling Xj\0, 1, . . . , aj samen met de afbeelding faj bestaat er wegens

de inductiehypothese ω → ωi−1k een oneindige deelverzameling Xj+1 ⊆ Xj\0, 1, . . . , aj die

30


homogeen is voor faj . Eenmaal we de verzameling Xj+1 hebben, definieren we aj+1 als het

kleinste element van Xj+1 zodat we een monotone stijgende rij a0 < a1 < . . . in N vinden.

We vinden dus voor elke j ∈ N een natuurlijk getal cj < k waarvoor faj (A) = cj voor elke

A ∈ [Xj+1]i−1. We hebben oneindig veel indexen j (bij de natuurlijke getallen aj en de ver-

zamelingen Xj), maar een eindig aantal getallen cj . Volgens het duivenhokprincipe (de in-

ductiebasis) bestaat er nu een natuurlijk getal c < k waarvoor de verzameling j | cj = coneindig is. Definieer nu Y := aj | cj = c. We tonen aan dat deze oneindige verzameling

Y ⊆ N homogeen is voor f en dus de gezochte verzameling blijkt te zijn. Neem hiervoor een

willekeurige verzameling van i elementen y1, . . . , yi uit Y en veronderstel zonder verlies van

algemeenheid dat ze als volgt geordend is: y1 < · · · < yi. Merk op dat Y geordend is omdat

het een deelverzameling van N is. Er bestaat een s ∈ j | cj = c zodat y1 = as. Omdat de rij

y1 < · · · < yi een deelrij van as < as+1 < . . . is, zit elke yl > y1 in de verzameling Xs. Er geldt

dat y2, . . . , yi ∈ Xs\0, 1, . . . , as en dus dat y2, . . . , yi ⊆ Xs+1 zodat

f(y1, . . . , yn) = fas(y2, . . . , yi) = cs = c.

Voor we de Compactheidstelling en de Stelling van Ramsey combineren om tot de aanzet van

het artikel [12] van C. Cherlin te komen, voeren we eerst de definitie van een rij van ononder-

scheidbare elementen in. Veronderstel dat M een L-structuur is.

Definitie 2.5.16. Zij (I,<) een partieel geordende verzameling en is (xi)i∈I een rij van verschil-

lende elementen van M . Dan is (xi)i∈I een ononderscheidbare rij 2 als voor elke twee stijgende

rijen i1 < i2 < · · · < im en j1 < j2 < · · · < jm uit I van dezelfde lengte en voor elke formule ϕ

met m vrije variabelen geldt:

M |= ϕ(xi1 , . . . , xim)↔ ϕ(xj1 , . . . , xjm)

Is (xi)i∈I een ononderscheidbare rij in M , dan kunnen we de elementen van X = xi | i ∈ I op

een zodanige manier ordenen dat xi < xj als i < j. Op deze manier wordt de verzameling X

vaak geıdentificeerd met de indexverzameling I.

Stelling 2.5.17. Werken we over de taal L en is T een theorie met oneindige modellen, dan

is er voor elke oneindige lineaire orde (I,<) een model M |= T dat een ononderscheidbare rij

(xi)i∈I bevat.

Bewijs. We starten met het uitbreiden van de taal L waarbij we voor elke i ∈ I een constante ci

toevoegen: L∗ := L∪ci | i ∈ I, voor een willekeurige oneindige lineaire orde (I,<). Vervolgens

definieren we een theorie Γ die opgebouwd is uit:

(i) T ,

(ii) ¬(ci = cj) voor elke i, j ∈ I waarbij i 6= j,

(iii) ϕ(ci1 , . . . , cin) → ϕ(cj1 , . . . , cjn) voor elke L-formule ϕ en elke twee stijgende rijen i1 <

· · · < in en j1 < · · · < jn uit I. Merk op dat de lengte van de rijen uit I afhankelijk zijn

van het aantal vrije variabelen van ϕ.

2In de literatuur wordt dit ook soms orde-ononderscheidbaar of ϕ-ononderscheidbaar genoemd.

31


We willen nu aantonen dat Γ consistent is omdat er dan een model M |= Γ bestaat waarbij

M |= T en cM1 , cM2 , . . . een ononderscheidbare rij is voor de lineaire orde (I,<). Hiervoor

gebruiken we de Compactheidstelling. We nemen een willekeurige eindige deeltheorie T ′ ⊂ Γ

waarbij:

• I0 de eindige deelverzameling van I is waarbij ci met i ∈ I0 voorkomt in T ′,

• ϕ1, . . . , ϕm de formules van T ′ zijn die voldoen aan (iii).

Noem v1, . . . , vn de vrije variabelen van ϕ1, . . . ϕm.

IsM een oneindig model van T en ‘plaats’ een willekeurige lineaire orde < op M . (Merk op dat

dit altijd mogelijk is wegens het well-fing principe wat een equivalente vorm van het keuze axioma

is [32, p. 315-316].) Noteren we P (1, . . . ,m) voor de verzameling van alle deelverzamelingen

van 1, . . . ,m, dus P (1, . . . ,m) = B | B ⊆ 1, . . . ,m, dan definieren we een afbeelding

F : [M ]n → P (1, . . . ,m) waarbij het beeld van elke verzameling A = a1, . . . , an ⊆ [M ]n

waarvoor a1 < · · · < an gedefinieerd wordt door

F (A) := i | M |= ϕi(a1, . . . , an). (2.8)

Deze afbeelding partitioneert [M ]n in hoogstens 2m verzamelingen. Omdat M een oneindige

verzameling is, volgt uit de Stelling van Ramsey dat er een oneindige deelverzameling Y ⊆ M

bestaat dat homogeen is voor F . Er bestaat bijgevolg een kardinaal getal κ < 2m, wat overeen

komt met een deelverzameling η van 1, . . . ,m, waarvoor F (A) = η voor elke A ∈ [Y ]n. Kies

een rij (yi)i∈I0 in Y waarvoor yi < yj als i < j. Voor elke twee stijgende rijen i1 < · · · < in

en j1 < · · · < jn in I0 vinden we wegens (2.8) dat als k ∈ η, dan M |= ϕk(yi1 , . . . , yin) en

M |= ϕk(yj1 , . . . , yjn). Is k /∈ η, dan volgt eveneens uit (2.8) dat M 6|= ϕk(yi1 , . . . , yin) en

M 6|= ϕk(yj1 , . . . , yjn). We hebben dus voor elke k ∈ 1, . . . ,m de volgende equivalentie:

M |= ϕk(yi1 , . . . , yin)⇔M |= ϕk(yj1 , . . . , yjn),

of anders genoteerd,

M |= ϕk(yi1 , . . . , yin)↔ ϕk(yj1 , . . . , yjn).

Interpreteren we nu de constanten ci van de taal L∗ in M als yi (cMi = yi) voor elke i ∈ I0, dan

wordt M een model van T ′ en is T ′ consistent. Volgens de Compactheidstelling geldt dat ook

Γ consistent is, wat we wilden bewijzen.

We gebruiken nu deze stelling bij de theorie van de veralgemeende vierhoeken. We hebben reeds

op pagina 28 gezien dat een veralgemeende vierhoek met eindig aantal punten op elke rechte

uit te drukken is als een model van een theorie over de taal LGQ. In de veronderstelling dat

er semi-eindige veralgemeende vierhoeken bestaan (GQ van de orde (s, t) waarbij s eindig en

t oneindig is), breiden we deze theorie uit om hierop Stelling 2.5.17 toe te passen. Het model

dat we dan krijgen zal uiteindelijk leiden tot een strijdigheid bij semi-eindige veralgemeende

vierhoeken met drie, vier of vijf punten op elke rechte.

We tonen nu aan dat in een semi-eindige veralgemeende vierhoek altijd een oneindige verzame-

ling van parallelle rechten bestaat. Twee rechten zijn parallel als ze elkaar niet snijden. Een

verzameling van parallelle rechten is dus een verzameling van paarsgewijs disjuncte rechten.

32


Lemma 2.5.18. Is Q een veralgemeende vierhoek van de orde (s, t) waarbij s > 2 eindig en t

oneindig is, dan bestaat er een oneindige verzameling van (onderling) parallelle rechten.

Bewijs. Veronderstel dat S een maximale verzameling van parallelle rechten is, dus dat Q\Sgeen enkele rechte bevat die parallel is met alle rechten van S. Veronderstel nu dat S een eindige

kardinaliteit n heeft en kies een punt p′ niet gelegen op een rechte van S. Merk op dat dit altijd

mogelijk is. Uit het derde axioma van veralgemeende vierhoeken volgt dat er voor elke rechte in

S juist een rechte door p′ gaat die concurrent is met die rechte van S. Deze rechten kunnen in

sommige gevallen samenvallen zodat we hoogstens n rechten door p′ vinden die concurrent zijn

met een rechte uit S. Omdat er een oneindig aantal rechten door p′ gaan (t = ∞), vinden we

een rechte parallel met elke rechte van S, een strijdigheid met de maximaliteit van S.

Noemen we T de theorie van de veralgemeende vierhoeken met een eindig aantal punten op elke

rechte, uitgebreid met

• een verzameling van zinnen die een oneindige verzameling van parallelle rechten selecteert,

• een zin waarbij de punten van een bepaalde vaste rechte genummerd worden.

Een model van T is een verzameling van oneindig veel parallelle rechten uit een veralgemeende

vierhoek, die parallel zijn met een vaste rechte waarvan de punten genummerd worden. Uit

Lemma 2.5.18 volgt nu dat T consistent is als we veronderstellen dat er een semi-eindige veral-

gemeende vierhoek bestaat van de orde (s, t) met s > 2 eindig en t oneindig. Omdat de modellen

van T oneindige modellen zijn, volgt uit Stelling 2.5.17 dat er voor elke willekeurige lineaire orde

(I,<) een model M van T bestaat (M |= T ), dus een model zoals hierboven beschreven, met

de eigenschap dat M een rij van ononderscheidbare elementen bevat. Omdat deze elementen

onderling parallelle rechten zijn, gebruiken we voor het vervolg de term ononderscheidbare rij

in de context van rechten. We werken dus met een aangepaste definitie en breiden deze ook wat

uit.

Definitie 2.5.19. Een geordende verzameling S = l1, l2, . . . van rechten in een veralgemeende

vierhoekQ wordt een ononderscheidbare rij (van rechten) genoemd als er voor elke twee stijgende

rijen li1 < · · · < lin en lj1 < · · · < ljn van dezelfde lengte, een automorfisme van Q bestaat dat

elke rechte lik afbeeldt op ljk , k ∈ 1, . . . , n. De rij wordt een rij van ononderscheidbare rechten

over D genoemd als het automorfisme een eindige verzameling D van punten en rechten van Q

fixeert.

Merk op dat we in de bovenstaande definitie spreken over een automorfisme van de veralgemeende

vierhoek Q. In feite zeggen we dat in Q elke twee eindige verzamelingen van n rechten uit een

ononderscheidbare rij niet te onderscheiden zijn als we naar de structuur van Q kijken. (Ziehier

meteen ook de naamsverklaring van het begrip ‘ononderscheidbare’ rij.) Dit is in feite net

hetzelfde wat in Definitie 2.5.16 staat. Elke twee eindige verzamelingen van n elementen uit een

ononderscheidbare rij voldoen aan juist dezelfde L-zinnen van een L-structuur. Hierdoor hebben

deze twee verzamelingen juist dezelfde eigenschappen in elke L-theorie en zijn ze dus structureel

niet te onderscheiden in een model van zo’n L-theorie.

Uit Definitie 2.5.19 en de voorgaande bemerkingen volgt de volgende stelling.

33


Stelling 2.5.20. Stel dat er een semi-eindige veralgemeende vierhoek bestaat waarbij elke rechte

s > 2 punten bevat. Dan is er voor elke lineaire orde een veralgemeende vierhoek die een rij

van ononderscheidbare parallelle rechten bevat. We kunnen zelfs een veralgemeende vierhoek Q

vinden met een rij van ononderscheidbare parallelle rechten S over D, waarbij D de verzameling

van alle punten op een rechte l0 van Q is.

In de komende paragraaf kiezen we de rechte l0 zodanig dat deze parallel is met de verzameling

van ononderscheidbare parallelle rechten en noteren we in het vervolg de ononderscheidbare rij

van parallelle rechten als S. Voor de lineaire orde kiezen we de rationale orde. Dit doen we

omdat deze orde zeer flexibel is. We kunnen namelijk bij een rationale orde tussen elke twee

rechten lq en lq′ uit S waarvoor lq < lq′ altijd een extra (en zelf oneindig veel) rechte(n) lr vinden

zodat in de gekozen orde: lq < lr < lq′ . Ook nummeren we de indexen zodanig dat als q < r in

de rationale orde, er geldt dat lq < lr in de orde van S.

Stelling 2.5.20 is het vertrekpunt waaruit G. Cherlin in [12] bewijst dat semi-eindige veralge-

meende vierhoeken met 3, 4 of 5 punten op elke rechte onmogelijk zijn. Voor we dit in Para-

graaf 2.6 en Paragraaf 2.7 aantonen bekijken we enkele eigenschappen van een veralgemeende

vierhoek met een ononderscheidbare rij van parallelle rechten..

2.5.3 Een veralgemeende vierhoek Q voortgebracht door S

Als we veronderstellen dat er een veralgemeende vierhoek van de orde (s, t) bestaat met s > 2

eindig en t oneindig, dan volgt er uit Stelling 2.5.20 dat er ook een semi-eindige veralgemeende

vierhoek Q = (P,L, I) bestaat met de volgende eigenschap:

Q bevat een verzameling S ⊆ L van ononderscheidbare parallelle rechten over D, waarbij

D de verzameling van de punten op een vaste rechte l0 ∈ S is.

We nummeren de punten van l0 zodat we kunnen schrijven dat D = a1, a2, . . . , as+1. Het

nummeren van de punten op l0 heeft als gevolg dat we alle punten van Q die niet op l0 gelegen

zijn een ‘label’ kunnen geven. Omdat we in een veralgemeende vierhoek werken is elk punt van

Q dat niet op l0 gelegen is noodzakelijk collineair met juist een punt van l0. Stel dat een punt q

van Q\l0 collineair is met ai voor een i ∈ 1, . . . , s+1, dan krijgt q het label i. Het is meteen

duidelijk dat elke rechte die parallel is met l0 geen twee punten met hetzelfde label bevat.

Nemen we nu twee willekeurige parallelle rechten l en l′ van S die tevens parallel zijn met l0.

Elk punt op l is collineair met juist een punt op l′ zodat er een bijectie tussen l en l′ bestaat

geınduceerd door de collineariteit. Omdat we elk punt een label hebben gegeven, kunnen we die

bijectie voorstellen door een permutatie van 1, 2, . . . , s + 1. We noteren deze permutatie als

σ(l, l′) ∈ Ss+13. Is iσ(l,l′) = j, dan betekent dit dat het punt op de rechte l met label i collineair

is met het punt op de rechte l′ met label j.

Voor we enkele elementaire eigenschappen van σ bewijzen, voeren we nog een notatie in. Is l een

rechte parallel met l0, dan noteren we het unieke punt op l met label i als l(i). Als we specifiek

een punt met label i op een rechte l volgen onder σ(l, l′), dan is iσ(l,l′) het label van het punt op

l′ dat collineair is met het punt l(i).

3Sk is de permutatiegroep van orde k.

34


In het onderstaand lemma bespreken we vier basiseigenschappen van σ. Merk op dat bij eigen-

schap 3 en 4 rechten uit de verzameling S worden verondersteld. Voor gewone parallelle rechten

die ook parallel zijn met l0 geldt deze eigenschappen niet noodzakelijk.

Lemma 2.5.21. De permutatie σ heeft volgende eigenschappen:

Eigenschap 1 Zijn l, l′ twee verschillende parallelle rechten die parallel zijn met l0, dan is

σ(l′, l) = σ(l, l′)−1.

Eigenschap 2 Zijn l, l′ en l′′ drie verschillende onderlinge parallelle rechten die tevens parallel

zijn met l0. Is er geen rechte van Q die zowel l, l′ als l′′ snijdt, dan heeft de samenstelling

van permutaties σ(l, l′)σ(l′, l′′)σ(l′′, l) geen fixpunten.

Eigenschap 3 Voor alle l, l′ in S waarvoor l < l′ geldt σ(l, l′) = σ. Met andere woorden de

permutatie σ is onafhankelijk van de keuze van l en l′ in S.

Eigenschap 4 Voor l, l′ in S geldt dat σ(l, l′) geen fixpunten bevat.

Bewijs. • Dit volgt uit de bijectie bepaald door de projectie tussen de twee rechten.

• Stel dat de samenstelling σ(l, l′)σ(l′, l′′)σ(l′′, l) wel een fixpunt zou hebben. Dan moet voor

een e i gelden dat l(i)l′(iσ(l,l′))l′′(iσ(l,l′′)) een driehoek vormt of dat de punten l(i), l′(iσ(l,l′))

en l′′(iσ(l,l′′)) op een rechte liggen.

• De derde eigenschap is in feite de vertaling van het ononderscheidbaar zijn van de rechten

in S. Neem twee willekeurige paren rechten (l1, l2) en (l′1, l′2) uit S zodat l1 < l2 en l′1 < l′2.

We hebben dus twee stijgende rijen in S met dezelfde lengte: l1 < l2 en l′1 < l′2. Er bestaat

bijgevolg een automorfisme van Q dat alle punten van l0 fixeert en dat l1 op l′1 en l2 op l′2afbeeldt. Er volgt dat σ(l1, l2) = σ(l′1, l

′2). We besluiten hieruit dat voor elk paar rechten

(l, l′) uit S waarvoor l < l′ de permutatie σ(l, l′) dezelfde permutatie is. We noteren deze

als σ.

• Zonder verlies van algemeenheid veronderstellen we dat l < l′. Een fixpunt i in σ(l, l′)

impliceert wegens het ontbreken van driehoeken, dat er een rechte m door ai, l(i) en l′(i)

gaat. Kies een willekeurige rechte l′′ uit S waarvoor l < l′′. Uit de ononderscheidbaarheid

van S (l < l′ en l < l′′) volgt dat er een automorfisme θ bestaat dat alle punten van l0

fixeert, in het bijzonder het punt ai, en dat l afbeeldt op l en l′ op l′′. Uit de eigenschappen

van het automorfisme vinden we een rechte door l′′(i), l(i) en ai. Deze rechte valt samen

met m zodat m minstens vier punten bevat. Bovenstaande redenering kunnen we een

oneindig aantal keer herhalen omdat S oneindig veel rechten l′′ > l bevat. We vinden dus

een rechte die oneindig veel punten bevat, duidelijk een strijdigheid met de semi-eindigheid

van Q.

De rechten van S noemen we de rechten van de eerste familie. Daarnaast bekijken we ook

rechten die snijden met twee rechten uit de eerste familie. Deze twee soort rechten noemen

we rechten van de tweede familie. We bewijzen enkele eigenschappen aangaande rechten uit

35


de eerste en tweede familie en onderzoeken daarna hoe de permutatie σ(l?, l??) voor bepaalde

rechten l?, l?? uit de tweede familie eruit ziet. De observaties die we dan maken, geven ons

genoeg informatie om de eindigheid van veralgemeende vierhoeken met 3, 4 of 5 punten op elke

rechte aan te tonen. Het is verder nog onduidelijk of we eventuele eindigheid of oneindigheid

voor s > 5 kunnen aantonen op deze manier. Misschien moeten we daarvoor ook rechten van

de familie van de derde, vierde, ... graad onderzoeken.

Voor de duidelijkheid benadrukken we het verschil tussen het fixeren of vasthouden van een

rechte en het puntsgewijs fixeren van een rechte. Als een automorfisme een rechte fixeert, dan

beeldt dit automorfisme de rechte op zichzelf af. Als een automorfisme een rechte puntsgewijs

fixeert, dan beeldt het automorfisme ook elk punt van deze rechte op zichzelf af.

Opmerking 2.5.22. Als een rechte l parallel met l0 wordt vastgehouden door een automorfisme

van Q dat de rechte l0 puntsgewijs fixeert, dan wordt de rechte l ook puntsgewijs gefixeerd.

Inderdaad, bekijken we het punt x = l(i) op l, i ∈ 1, . . . , s + 1. Omdat l0 puntsgewijs

gefixeerd wordt zal ai ∈ l0 vastgehouden worden. De collineariteit tussen ai en x blijft, zodat

na het automorfisme het punt x label i blijft behouden. Alle punten op l behouden zo na het

automorfisme hun label, zodat l puntsgewijs gefixeerd wordt door het automorfisme.

Lemma 2.5.23. Zijn l1, l2, l3 en l4 vier verschillende rechten uit S en veronderstel dat l een

rechte van Q is die l1 en l2 snijdt, l′ een rechte van Q is die l1 en l3 snijdt en l′′ een rechte van

Q is die l3 en l4 snijdt. Dan gelden volgende eigenschappen.

1. l, l′ en l′′ snijden (elk afzonderlijk) geen derde rechte van S.

2. l, l′ en l′′ zijn parallel met l0.

3. l en l′′ zijn parallel.

4. Als l en l′ een snijpunt hebben, dan ligt dat snijpunt op de rechte l1.

Bewijs. Merk op dat de rechten l1, l2, l3 en l4 rechten van de eerste familie zijn en dat l, l′, l′′

rechten van de tweede familie zijn. Zoals we op pagina 34 hebben opgemerkt, kunnen we

veronderstellen dat l1 < l2 < l3 < l4 in S. Zijn de rechten anders geordend in S, dan blijven de

resultaten van dit lemma wel gelden.

1. Stel dat l (en analoog voor l′ en l′′) snijdt met l5 ∈ S. Zonder verlies van algemeenheid

kunnen we veronderstellen dat l1 < l2 < l5 in S. Wegens de ononderscheidbaarheid van

S zal l ook alle rechten l′5 van S snijden waarvoor l1 < l2 < l′5. Er bestaat namelijk

een automorfisme van Q dat l0 puntsgewijs fixeert, dat l1 en l2 vasthoudt en dat l5 op l′5afbeeldt. Wegens Opmerking 2.5.22 worden ook de rechten l1 en l2 puntsgewijs gefixeerd.

De rechte l die snijdt met l1 en l2 wordt bijgevolg door het automorfisme op zichzelf

afgebeeld en snijdt met l′5. Omdat we oneindig veel rechten l′5 ∈ S waarvoor l1 < l2 < l′5kunnen kiezen, bevat de rechte l oneindig veel punten. Dit is een strijdigheid met de

semi-eindigheid van Q.

2. Veronderstel dat l (en analoog voor l′ en l′′) een snijpunt ai, i ∈ 1, 2, . . . , s + 1 met l0

heeft. Dan heeft het snijpunt l ∩ l1 en l ∩ l2 het label i. Dit impliceert dat σ(l1, l2) een

fixpunt bevat wat in strijd is met Eigenschap 4 uit Lemma 2.5.21.

36


3. Veronderstel dat de rechten l en l′′ elkaar snijden in het punt p. Dit snijpunt ligt niet op

l1, l2, l3 of l4 wegens puntje 1. Noem p′ het snijpunt van l3 met l′′. Laten we l4 varieren:

kies een willekeurige l′4 ∈ S zodat l1 < l2 < l3 < l′4. Uit de ononderscheidbaarheid van Svolgt dat er een automorfisme van Q bestaat dat l1, l2 en l3 vasthoudt, l4 op l′4 afbeeldt en

de rechte l0 puntsgewijs fixeert. Uit Opmerking 2.5.22 volgt dat l1, l2 en l3 ook puntsgewijs

gefixeerd worden. Hieruit volgt dat de rechte l vastgehouden wordt en dat p′ ∈ l3 gefixeerd

wordt. De unieke projectie p van p′ op l wordt bijgevolg ook gefixeerd. De rechte door p

en p′ die l′4 snijdt valt dus samen met l′′, zodat l′′ na het blijven varieren van l4 oneindig

groot wordt, een strijdigheid met de semi-eindigheid van Q.

4. Volgt direct uit het ontbreken van driehoeken in Q.

Het volgend lemma gebruiken we vaak met Eigenschap 2 uit Lemma 2.5.21.

Lemma 2.5.24. Zijn l1, l2, l3 en l4 vier verschillende rechten uit S en snijden de rechten l, l′

en l′′ met respectievelijk l1 en l2, l2 en l3, l3 en l4. Hebben de rechten l en l′ respectievelijk l′ en

l′′ geen gemeenschappelijk snijpunt (op respectievelijk l2 en l3), dan hebben we

1. geen enkele rechte snijdt met l, l′ en l′′;

2. geen enkele rechte snijdt met l, l3 en l4;

3. geen enkele rechte snijdt met l, l′ en l4.

Bewijs. We maken opnieuw rechtstreeks gebruik met de ononderscheidbaarheid van S. Merk op

dat volgt dat de rechten l, l′ en l′′ parallel zijn met l0 wegens Lemma 2.5.23.

1. Veronderstel dat er een rechte m in Q bestaat die de rechten l, l′ en l′′ snijdt. Uit

Lemma 2.5.23-1 volgt dat m zeker van l1, l2, l3 en l4 verschilt. We laten l4 varieren op

de gebruikelijke manier: kies een willekeurige l′4 ∈ S zodat l1 < l2 < l3 < l′4. Wegens

de ononderscheidbaarheid van S bestaat er een automorfisme van Q dat l0 puntsgewijs

fixeert, de rechten l1, l2, l3 fixeert en l4 afbeeldt op l′4. Wegens Opmerking 2.5.22 worden

de rechten l1, l2 en l3 puntsgewijs gefixeerd zodat l en l′ vastgehouden worden. Nu zijn

deze rechten l en l′ ook parallel met l0 zodat ze ook gefixeerd worden. In het bijzonder

worden de punten m∩ l en m∩ l′ gefixeerd, zodat ook de rechte m vastgehouden wordt. De

projectie van het gefixeerde punt l3∩ l′′ op de vaste rechte m wordt dus gefixeerd. Merk op

dat l3 ∩ l′′ niet op m ligt omdat we anders een driehoek zouden krijgen. We vinden twee

punten l3 ∩ l′′ en m ∩ l′′ op l′′ die gefixeerd worden. We besluiten dat de rechte l′′ door

het automorfisme vastgehouden wordt en dat na het varieren van l4 de rechte l′′ oneindig

groot wordt, een strijdigheid.

2. Veronderstel dat n een rechte is concurrent met l, l3 en l4. We vinden volledig analoog als

in het vorig puntje dat als we l4 laten varieren, het beschouwde automorfisme van Q de

punten n∩ l en n∩ l3 fixeert. De rechte n wordt bijgevolg vastgehouden en na het varieren

van l4 wordt n oneindig groot, opnieuw een strijdigheid met het semi-eindig zijn van Q.

37


3. We werken opnieuw volledig analoog als in vorige puntjes. Veronderstel dat n een rechte is

die concurrent is met l, l′ en l4. Varieren we l4, dan fixeert het beschouwde automorfisme de

punten n∩l en n∩l′ zodat n vastgehouden wordt en oneindig groot wordt, een strijdigheid.

In Lemma 2.5.21 hebben we gezien dat σ fixpuntvrij is. Daarentegen geldt voor twee willekeurige

parallelle rechten l en l′ die parallel zijn met l0 niet altijd dat σ(l, l′) fixpuntvrij is4. Het volgende

lemma geeft enkele specifieke gevallen waarin dit wel geldt.

Lemma 2.5.25. Zijn l1 < l2 < l3 < l4 vier rechten uit S, en veronderstel dat l een rechte van

Q is die l1 en l2 snijdt, l′ een rechte van Q die l2 en l3 snijdt, l′′ een rechte van Q die l3 en l4

snijdt en deze drie rechten l, l′ en l′′ disjunct zijn van elkaar. Dan geldt

• σ(l, l′), σ(l′, l′′) en σ(l, l′′) zijn fixpuntvrij;

• σ(l1, l′) en σ(l′, l4) zijn fixpuntvrij;

• is l∗ ∈ S zodat l1 < l∗ < l2, dan is σ(l∗, l) fixpuntvrij.

Bewijs. Merk op dat de permutaties in het gestelde goed gedefinieerd zijn omdat we telkens

twee parallelle rechten hebben die tevens parallel zijn met l0 (zie Lemma 2.5.23).

• We bewijzen het fixpuntvrij zijn van σ(l, l′), het mag duidelijk zijn dat we volledig analoog

werken voor σ(l′, l′′) en σ(l, l′′). Veronderstel dat σ(l, l′) een fixpunt bevat. Dit impliceert

wegens het ontbreken van driehoeken, dat er een rechte m snijdt met l0, l en l′. Omdat l1 <

l2 < l3 rechten van S zijn, kunnen we op de gebruikelijke manier de rechte l3 laten varieren:

kies een willekeurige l′3 ∈ S zodat l1 < l2 < l′3. Er bestaat dan een automorfisme van Q dat

l0 puntsgewijs fixeert, l1 en l2 vasthoudt en (wegens Opmerking 2.5.22) puntsgewijs fixeert

en l3 afbeeldt op l′3. Hierdoor wordt l vastgehouden zodat de projectie van het gefixeerd

punt l0 ∩m op l wordt gefixeerd. Bijgevolg wordt de rechte m vastgehouden. De rechte

l′ wordt afgebeeld op een rechte n die snijdt met l′3 en die het punt l2 ∩ l′ bevat. Deze

rechte n is verschillend van l′ omdat we een rechte l′ = n zouden vinden die snijdt met

drie rechten l2, l3, l′3 uit S wat in strijd is met Lemma 2.5.23-1. Wegens de eigenschappen

van het automorfisme van Q snijdt m met n zodat we een extra punt op de rechte m

vinden. We besluiten dat uit het varieren van l3 volgt dat m oneindig veel punten bevat,

een strijdigheid.

• We bewijzen opnieuw enkel het eerste. Als σ(l1, l′) een fixpunt bevat, dan moet er een

rechte m van Q bestaan die zowel l0, l1 en l′ snijdt. Als we l3 laten varieren, dan krijgen

we telkens een automorfisme dat l0, l1, l2 puntsgewijs fixeert en bijgevolg m vasthoudt.

Zoals in het vorige puntje zal de rechte m oneindig veel punten bevatten als we l3 blijven

varieren. We bekomen opnieuw een strijdigheid.

• Het fixpuntvrij zijn van σ(l∗, l) volgt opnieuw door dezelfde redenering. Veronderstel dat

σ(l∗, l) een fixpunt bevat en dus dat er een rechte m van Q door l0, l∗ en l gaat. Als we l2

4In het artikel van G. Cherlin [12] wordt dit wel gesteld.

38


laten varieren krijgen we telkens een automorfisme van Q dat l0 en l∗ puntsgewijs fixeert

en bijgevolg de rechte m vasthoudt. Verder wordt de rechte l door deze automorfismen

telkens op een verschillende rechte door l ∩ l1 die snijdt met m afgebeeld zodat opnieuw

de rechte m oneindig veel punten zou bevatten, de gezochte strijdigheid.

We definieren nu een nieuwe verzameling van rechten in Q die bestaat uit rechten van de tweede

familie. Zijn lq en l′q twee rechten uit S waarvoor lq < l′q. Wegens de gekozen rationale orde

kunnen we altijd twee rechten lr en l′r uit S vinden zodat lq < lr < l′r < l′q waarbij q < r. We

kiezen een label i ∈ 1, 2, . . . , s + 1 en noemen iσ = j. Merk op dat we hier σ niet hoeven te

specifieren wegens Eigenschap 3 uit Lemma 2.5.21. We definieren vervolgens de rechte l?q als de

rechte door lq(i) en l′q(j) en analoog definieren we de rechte l?r als de rechte door lr(i) en l′r(j).

Op deze manier kunnen we een nieuwe verzameling rechten S? definieren als de verzameling van

rechten l?q . We definieren op S? een bijpassende orde: l?a < l?b als a < b in de rationale orde.

In Lemma 2.5.23 hebben we gezien dat rechten die snijden met twee rechten uit S ook parallel

zijn met l0 zodat alle rechten van S? parallel zijn met l0. Hierdoor kunnen we net zoals bij

rechten uit S ook de projecties tussen rechten uit S? bekijken. Met andere woorden, we kunnen

σ(l?q , l?r) beschouwen voor twee rechten l?q en l?r uit S?.

Lemma 2.5.26. De rechten van S? zijn onderling disjunct.

Bewijs. Gebruiken we de notatie van hierboven. Veronderstel dat l?r ∩ l?q = x. Het punt x ligt

niet op lq, l′q, lr of l′r wegens Lemma 2.5.23-1. Laten we de rechte l′q op de reeds vertrouwde

manier varieren. Het beschouwde automorfisme van Q zal l0, lq, lr en l′r puntsgewijs fixeren

zodat ook de rechte l?r vastgehouden wordt. Omdat l?r parallel is met de rechte l0 volgt uit

Opmerking 2.5.22 dat het beschouwde automorfisme ook l?r puntsgewijs fixeert. In het bijzonder

wordt het punt x vastgehouden. De rechte l?q bevat bijgevolg twee gefixeerde punten (lq(i) en

x) onder het automorfisme zodat ook l?q vastgehouden wordt. Na het varieren van de rechte l′qvinden we dus oneindig veel punten op de rechte l?q zodat we een strijdigheid bekomen.

Lemma 2.5.27. Nemen we de notatie van de bovenstaande constructie over. De verzameling

S? is een ononderscheidbare rij over D van onderling parallelle rechten die tevens parallel zijn

39


met l0. De corresponderende permutatie σ? = σ(l?q , l?r) voor q < r bevat de transpositie (ij) in

zijn cykeldecompositie.

Bewijs. Er werd reeds aangetoond dat de rechten van S? onderling en met l0 parallel zijn. De

ononderscheidbaarheid over D van S? wordt overgedragen door de ononderscheidbaarheid over

D van S. Inderdaad, beschouw in S? twee rijen van parallelle rechten l?1 < l?2 < · · · < l?n en

m?1 < m?

2 < · · · < m?n van zelfde lengte n. We zoeken een automorfisme van Q dat elke rechte l?k

afbeeldt op de rechte m?k, k ∈ 1, . . . , n en dat de puntenverzameling D van l0 fixeert. Nemen

we de notatie zoals hierboven, dan worden de twee bovenstaande rijen geconstrueerd aan de

hand van twee rijen uit S:

l1 < l2 < · · · < ln < l′n < l′n−1 < · · · < l′1

en

m1 < m2 · · · < mn < m′n < m′n−1 < · · · < m′1

van lengte 2n. Uit de ononderscheidbaarheid van S over D vinden we een automorfisme θ van

Q dat l0 puntsgewijs fixeert en voor elke k ∈ 1, . . . , n de rechte lk op mk afbeeldt en de rechte

l′k op m′k afbeeldt. In het bijzonder beeldt θ de punten lk(i) af op mk(i) en de punten l′k(j) op

m′k(j). Hieruit volgt dat θ voor elke k de rechte l?k op m?k afbeeldt.

Er rest ons aan te tonen dat σ? een transpositie bevat in zijn cykeldecompositie. Bekijken we

wat het beeld is van l?q(i) onder σ(l?q , l?r). We weten dat l?q(i) = lq(i) en l?r(j) = l′r(j) en omdat

lq < l′r geldt dat het beeld van lq(i) onder σ gelijk is aan l′r(j) zodat het beeld van l?q(i) onder

σ? gelijk is aan l?r(j). Merk op dat σ hier samenvalt met σ?. Om het beeld van l?q(j) onder

σ? te vinden merken we op dat l?q(j) = l′q(j) en dat l?r(i) = lr(i). Uit lr < l′q weten we dat

lr(i)σ = l′q(j) zodat het beeld van l?q(j) onder σ? gelijk is aan l?r(i). Hier valt σ−1 samen met

σ?. We besluiten hieruit dat σ? de transpositie (ij) bevat in zijn cykeldecompositie. Merk op

dat dit betekent dat l?q(i) collineair met l?r(j) en l?q(j) collineair met l?r(i) is.

Het eerste deel van dit lemma is bijzonder krachtig want nu kunnen we in al het vorige S en

σ vervangen door S? en σ? terwijl we dezelfde hypothese (‘er bestaat een semi-eindige veralge-

meende vierhoek met s > 2 eindig en t oneindig’) behouden. De permutatie σ? heeft bijgevolg

alle eigenschappen die we reeds bewezen hadden voor σ. Uit het tweede deel van deze stelling

halen we een extra eigenschap die het bestaan van een transpositie inhoudt. In het vervolg

blijven we de notatie σ gebruiken en we kunnen een vijfde eigenschap van σ toevoegen bij de

eigenschappen die in Lemma 2.5.21 staan:

Eigenschap 5 σ heeft een transpositie.

40


2.6 Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t) en (3, t) opnieuw

bekeken

Met de opgebouwde kennis uit Paragraaf 2.5.3 kunnen we de eindigheid van veralgemeende

vierhoeken van de orde (2, t) direct afleiden uit Eigenschap 4 en Eigenschap 5.

Stelling 2.6.1. Een veralgemeende vierhoek met drie punten op elke rechte is eindig.

Bewijs. In de veronderstelling dat er een veralgemeende vierhoek van de orde (2, t) bestaat die

niet eindig is, volgt uit Paragraaf 2.5.3 dat er een permutatie σ ∈ S3 zonder fixpunt (Eigenschap

4) en met een transpositie (Eigenschap 5) bestaat. Dit is duidelijk onmogelijk.

Als we veronderstellen dat er een semi-eindige veralgemeende vierhoek bestaat met 4 punten op

elke rechte, dan vinden we op dezelfde manier een permutatie σ ∈ S4 die een transpositie maar

geen fixpunten bevat. We kunnen σ zonder verlies van algemeenheid voorstellen door (12)(34).

We maken in het bewijs van Stelling 2.6.2 gebruik van rechten van de tweede familie. Zijn l1 < l2

twee rechten van S en i ∈ 1, 2, 3, 4, dan voeren we de notatie l(l1, l2, i) voor de rechte door de

punten l1(i) en l2(iσ) in.

Stelling 2.6.2. Een veralgemeende vierhoek met vier punten op elke rechte is eindig.

Bewijs. In de veronderstelling dat er een semi-eindige veralgemeende vierhoek van de orde (3, t)

bestaat, kunnen we zoals hierboven vermeld, σ voorstellen als (12)(34). Nemen we vier rechten

l1, l2, l3 en l4 uit S met l1 < l2 < l3 < l4, en noemen we l = l(l1, l2, 1), l′ = l(l2, l3, 3) en

l′′ = (l3, l4, 2).

Wegens Lemma 2.5.23 kunnen we besluiten dat l, l′, l′′ onderling en met l0 parallel zijn. Omdat

deze rechten onderling disjunct zijn, kunnen we ook spreken van σ(l, l′), σ(l′, l′′) en σ(l, l′′) en

uit Lemma 2.5.25 volgt dat deze permutaties fixpuntvrij zijn. Na wat rekenwerk vinden we:

σ(l, l′) = (1234); σ(l′, l′′) = (1342); σ(l, l′′) = (12)(34).

Voor σ(l, l′) volgt dit uit de volgende zaken:

• 2σ(l,l′) = 3 via de rechte l2;

41


• 1σ(l,l′) = 2 want 1σ(l,l′) 6= 1 wegens het ontbreken van fixpunten, 1σ(l,l′) 6= 3 en 1σ(l,l′) 6= 4

omdat we anders een driehoek l1(1)l2(2)l2(3) respectievelijk een driehoek l1(1)l1(3)l′(4)

vinden. Merk op dat l′(4) = l3(4).

• 4σ(l,l′) = 1 omdat dit de enige mogelijkheid is wegens het ontbreken van fixpunten en het

bovenstaande.

• 3σ(l,l′) = 4 omdat dit ook de enige overblijvende mogelijkheid is.

Wegens Lemma 2.5.24 snijdt er geen rechte met zowel l, l′ als l′′ zodat uit Eigenschap 2 volgt

dat de samenstelling van de permutaties σ(l, l′)σ(l′, l′′)σ(l′′, l) geen fixpunt kan bevatten. Daar-

entegen is

σ(l, l′)σ(l′, l′′)σ(l′′, l) = (1234)(1342)(12)(34)

= (123),

een strijdigheid.

2.7 Veralgemeende Vierhoeken van de orde (4, t)

Om de eindigheid van veralgemeende vierhoeken van de orde (4, t) aan te tonen gaan we op

dezelfde manier als in Paragraaf 2.6 te werk. We veronderstellen dat er wel een semi-eindige

veralgemeende vierhoek bestaat waarbij elke rechte vijf punten bevat. De permutatie σ die we

uit Paragraaf 2.5.3 krijgen, bezit een transpositie maar geen fixpunten. We kunnen dus zonder

verlies van algemeenheid veronderstellen dat σ ∈ S5 van de vorm (12)(345) is en zoals bij s = 3

maken we opnieuw gebruik van rechten van de eerste en tweede familie. Specifiek vertrekken we

vanuit de volgende opstelling: l1 < l2 < l3 < l4 in S en l = l(l2, l3, 3), l′ = l(l3, l4, 3). Bewijzen

we eerst dat σ(l1, l) = σ(l, l4) = σ.

Lemma 2.7.1. Met de notatie van hierboven geldt dat σ(l1, l) = σ(l, l4) = σ.

Bewijs. We bewijzen dat σ(l1, l) = σ. De gelijkheid σ(l, l4) = σ is dan volledig analoog. Merk

op dat uit Lemma 2.5.23-1 volgt dat l1 en l onderling parallel en parallel met l0 zijn. De notatie

σ(l1, l) is bijgevolg geoorloofd. Omdat l(3) en l(4) op l2 respectievelijk l3 liggen, is 5σ(l1,l) = 3

en 3σ(l1,l) = 4. Wegens Lemma 2.5.25 is σ(l1, l) ∈ S5 een permutatie zonder fixpunten waardoor

2σ(l1,l) ∈ 1, 5 en 1σ(l1,l) ∈ 2, 5. We vinden dus drie mogelijkheden voor σ(l1, l):

σ(l1, l) = (12)(345) = σ; σ(l1, l) = (12534); σ(l1, l) = (15342).

Er rest ons de laatste twee gevallen te elimineren. We nemen als voorbeeld σ(l1, l) = (12534),

de eliminatie van het laatste is volledig analoog wegens de symmetrie 1 ↔ 2. Bekijk een

rechte l∗ ∈ S tussen l2 en l3. Omdat l∗ parallel is met l wegens Lemma 2.5.23-1, kunnen we

σ? := σ(l∗, l) ∈ S5 definieren. De permutatie σ? heeft ofwel de vorm (34)(125) ofwel de vorm

(34)(152). Dit volgt uit het fixpuntvrij zijn van σ? (Lemma 2.5.25) en het aanwezig zijn van de

transpositie (34).

Er bestaat geen rechte die zowel l1, l∗ als l snijdt. Om dit aan te tonen gaan we op dezelfde

manier te werk als in Lemma 2.5.24. Veronderstel namelijk dat er wel zo’n rechte m bestaat die

42


concurrent is met l1, l∗ en l. Uit Lemma 2.5.23-1 volgt dat m verschillend is van l1, l

∗ en l. Laten

we l∗ varieren in S. Dan volgt uit de ononderscheidbaarheid van S dat er een automorfisme

van Q bestaat dat l0 puntsgewijs fixeert, l1, l2 en l3 vasthoudt en bijgevolg puntsgewijs fixeert

(Opmerking 2.5.22). Er volgt dat m∩ l1 gefixeerd en l vastgehouden wordt waaruit volgt dat m

ook vastgehouden wordt. Door het varieren van l∗ vinden we bijgevolg oneindig veel punten op

m, wat een strijdigheid oplevert.

Volgens Eigenschap 2 kan de permutatie σ(l1, l∗)σ(l∗, l)σ(l, l1) geen fixpunt hebben. Daarentegen

vinden we met σ(l, l1) = σ−1(l1, l) = (14352) en σ(l1, l∗) = σ de volgende twee gevallen:

• is σ(l∗, l) = (34)(125), dan is σ(l1, l∗)σ(l∗, l)σ(l, l1) = (12)(345)(34)(125)(14352) en heeft

het element 4 als fixpunt,

• is σ(l∗, l) = (34)(152), dan is σ(l1, l∗)σ(l∗, l)σ(l, l1) = (12)(345)(34)(152)(14352) en heeft

het element 2 als fixpunt.

We vinden in beide gevallen een strijdigheid.

We behouden de notatie l∗ voor een rechte van S tussen l2 en l3 en veronderstellen een tweede

rechte l∗∗ ∈ S tussen l3 en l4.

We wensen nu σ(l, l′) en σ(l∗, l) = σ(l∗∗, l′) te gebruiken. Merk op dat dit goed gedefinieerd is

wegens Lemma 2.5.23 en de laatste gelijkheid geldt wegens de symmetrie tussen l, l∗ en l′, l∗∗.

De permutaties σ(l, l′), σ(l∗∗, l′) en σ(l∗, l) hebben geen fixpunten (Lemma 2.5.25) en bevatten

de transpositie (34). We hebben bijgevolg verschillende mogelijkheden voor deze permutaties:

σ(l, l′)A= (34)(125) ∨ σ(l, l′)

B= (34)(152),

σ(l∗, l) = σ(l∗∗, l′)A′= (34)(125) ∨ σ(l∗, l) = σ(l∗∗, l′)

B′= (34)(152).

We bekijken eerst het drietal l∗, l, l′ en daarna het drietal l∗∗, l, l′. Zoals in Lemma 2.5.24-3 vin-

den we dat er geen rechte concurrent met l∗, l en l′ bestaat en geen rechte concurrent met l∗∗, l en

l′ zodat uit Eigenschap 2 volgt dat de permutaties σ(l∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗) en σ(l∗∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗∗)

geen fixpunten hebben. Dit zal voor alle mogelijke keuzes van σ(l, l′) en σ(l∗∗, l′) = σ(l∗, l) (no-

teren we als AA′, AB′, BA′, BB′) een strijdigheid geven.

Hiervoor hebben we wel σ(l∗, l′) en σ(l, l∗∗) nodig. Beide permutaties zijn gelijk aan σ wegens

het Lemma 2.7.1 en de symmetrie tussen l∗, l′ en l1, l en de symmetrie tussen l, l∗∗ en l, l4. We

43


vinden

σ(l∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗)AA′= (34)(125)(34)(125)(12)(354) = (1435),

σ(l∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗)BB′= (34)(152)(34)(152)(12)(354) = (2435).

In geval AA′ en BB′ vinden we dus tweemaal een fixpunt waaruit de strijdigheid. Voor de

gevallen AB′ en BA′ is de samenstelling σ(l∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗) gelijk aan σ(l′, l∗) waardoor we geen

strijdigheid krijgen. In deze twee laatste gevallen beschouwen we het drietal l∗∗, l, l′ waarvoor:

σ(l∗∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗∗)BA′= (12)(354)(34)(152)(34)(152) = (1543),

σ(l∗∗, l)σ(l, l′)σ(l′, l∗∗)AB′= (12)(354)(34)(125)(34)(125) = (2543).

We besluiten dat we telkens een strijdigheid krijgen en het dus onmogelijk is dat een veralge-

meende vierhoek van de orde (4, t) semi-eindig is.

Stelling 2.7.2. Een veralgemeende vierhoek met vijf punten op elke rechte is eindig.

Voorbeeld 2.7.3. De klassieke voorbeelden van veralgemeende vierhoeken van de orde (3, t)

zijn:

1. De veralgemeende vierhoek Q(3, 4) heeft de orde (4, 1). Dit is de triviale veralgemeende

vierhoek, nl. een 5× 5-rooster.

2. De veralgemeende vierhoek H(3, 4) heeft de orde (4, 2). Merk op dat de dualen van de

veralgemeende vierhoeken van de orde (2, 4) die we op pagina 16 in Voorbeeld 2.3.2 zagen,

ook veralgemeende vierhoeken van de orde (4, 2) zijn.

3. De veralgemeende vierhoek Q(4, 4) heeft de orde 4. Wegens Stelling 2.2.1 is Q(4, 4) ∼=W (4).

4. De veralgemeende vierhoek H(4, 4) heeft de orde (4, 8).

5. De veralgemeende vierhoek Q(5, 4) heeft de orde (4, 16)

Wegens de Stelling van Higman (Stelling 2.1.5) en Lemma 2.1.6 is t ∈ 1, 2, 4, 6, 8, 11, 12, 16 .

Een classificatie van de veralgemeende vierhoeken met vier punten op elke rechten vindt men

onder andere bij S. E. Payne en J. A. Thas [36]. S. E. Payne bewees in 1977 dat er op een

isomorfisme na juist een veralgemeende vierhoek van de orde 4 bestaat (W (4)). Dit is een zeer

lang bewijs waarbij J. Tits in een van de stappen een onvolledige redenering heeft aangevuld.

Naast de bovenstaande klassieke veralgemeende vierhoeken zijn er ook een unieke voorbeelden

gekend in de gevallen (4, 6), (4, 8) en (4, 16) gekend. Men heeft echter nog niet kunnen aantonen

of deze voorbeelden de enige mogelijke voorbeelden zijn. Veralgemeende vierhoeken van de orde

(4, 11) en (4, 12) zijn nog niet gekend.

44

3Veralgemeende Veelhoeken


In dit hoofdstuk onderzoeken we welke grenzen er bestaan op veralgemeende veelhoeken. De

klasse van veralgemeende veelhoeken is een uitbreiding van de klasse van veralgemeende vierhoe-

ken. We herhalen eerst de definitie en bespreken enkele basiseigenschappen. Meer eigenschappen

vindt men onder andere bij H. Van Maldeghem [48].

Definitie 3.1.1. Voor n ∈ N\0, 1, 2 wordt een (gewone) n-hoek gedefinieerd als de punt-

rechte meetkunde die isomorf is met de partieel lineaire ruimte waarbij de puntenverzameling

de verzameling 1, 2, . . . , n is, de rechtenverzameling de verzameling 1, 2, 2, 3, . . . , n −1, n, n, 1 is en de incidentierelatie natuurlijk (‘bevatten’) is. Deze definitie komt overeen

met het gekend beeld van driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken,... .

Definitie 3.1.2. Voor n ∈ N\0, 1, 2 wordt een veralgemeende n-hoek gedefinieerd als een

partieel lineaire ruimte S = (P,L, I) die voldoet aan de volgende eigenschappen.

(GP1) S heeft geen deelmeetkunde die een (gewone) k-hoek is, voor k ∈ 3, . . . , n− 1.

(GP2) Elke twee elementen x, y ∈ P∪L zijn bevat in een (gewone) n-hoek (als deelmeetkunde)

van S.

Een partieel lineaire ruimte wordt een veralgemeende veelhoek genoemd als het een veralge-

meende n-hoek is voor een n > 3. Herinner dat we een veralgemeende veelhoek dik noemen als

er minstens drie punten op elke rechte liggen en er minstens drie rechten door elk punt gaan.

We bewijzen in Stelling 3.1.7 dat een dikke veralgemeende veelhoek een orde (s, t) heeft. In

Lemma 3.1.3 tonen we aan dat een veralgemeende n-hoek dik is als en slechts als we een derde

axioma aan (GP1) en (GP2) toevoegen:

(GP3) S bevat een deelmeetkunde die een gewone n+ 1-hoek is.

45


De klasse van de veralgemeende 3-hoeken is gelijk aan de klasse van de projectieve vlakken.

Inderdaad, het (GP2)-axioma impliceert dat elke twee verschillende punten (rechten) incident

zijn met minstens een rechte (punt). Deze rechte (dit punt) is uniek wegens de definitie van een

partieel lineaire ruimte. Uit (GP2) volgt ook dat er drie verschillende punten bestaan die niet

op een rechte liggen. Merken we verder op dat het (GP3)-axioma impliceert dat er vier punten

bestaan waarvoor geen drie collineair. We kunnen en moeten misschien (dikke) veralgemeende

veelhoeken zien als een uitbreiding van de (niet-ontaarde) projectieve vlakken.

De klasse van de veralgemeende veelhoeken is ook een uitbreiding van de klasse van de veral-

gemeende vierhoeken (veralgemeende 4-hoeken). Herinner dat een veralgemeende vierhoek een

partieel lineaire ruimte S = (P,L, I) is waarvoor er (a) twee disjuncte rechten bestaan en (b)

voor elke anti-vlag (x, L) een uniek punt op L collineair met x bestaat. De equivalentie tussen

beide definities is zeer eenvoudig in te zien. Uit (b) volgt dat er geen driehoeken voorkomen, wat

juist (GP1) is. Om (GP2) uit (a) en (b) te besluiten, bekijken we als voorbeeld twee disjuncte

rechten. Projecteren we twee verschillende punten van de ene rechte op de andere rechte, dan

vinden we een (gewone) vierhoek. Willen we omgekeerd uit (GP1) en (GP2) aantonen dat er

twee disjuncte rechten bestaan, dan volstaat het om een anti-vlag (x, L) te beschouwen. Wegens

(GP2) bestaat er een (gewone) vierhoek door x en L en uit het ontbreken van driehoeken vinden

we een rechte door x die disjunct is met L. Tenslotte volgt (b) uit het bestaan van een (gewone)

vierhoek door elke anti-vlag (x, L) en het ontbreken van driehoeken (voor de uniciteit).

Over het algemeen wordt een (veralgemeende) 5-hoek, 6-hoek, 8-hoek of 12-hoek ook (naar

analogie met de Engelstalige benaming) een (veralgemeende) pentagon, hexagon, octagon of

dodecagon genoemd. Uit de definitie volgt direct dat het duaal van een (dikke) veralgemeende

veelhoek terug een (dikke) veralgemeende veelhoek is. Elke stelling over (dikke) veralgemeende

veelhoeken heeft dus een duale stelling die we meestal niet expliciet vermelden.

Herinner de begrippen afstand d in de collineariteitsgraaf en incidentie-afstand δ in de in-

cidentiegraaf (pagina 4). Wegens (GP2) is de incidentie-afstand δ(x, x′) van twee elementen

x, x′ ∈ P ∪L van een veralgemeende n-hoek S = (P,L, I) kleiner dan of gelijk aan n. Twee ver-

schillende punten van S liggen bijgevolg op een afstand (in de collineariteitsgraaf) kleiner dan of

gelijk aan⌊n2

⌋zodat de diameter van S

⌊n2

⌋is. In de volgende bewijzen werken we hoofdzakelijk

met de incidentie-afstand δ. Voor elk element b in P ∪ L en voor elke i ∈ N definieren we de

verzameling Γi(b) als volgt:

Γi(b) := z ∈ P ∪ L | δ(b, y) = i.

We noteren Γ6m(x) := y ∈ P ∪ L | δ(x, y) 6 m en Γ(x) = Γ1(x) voor elke x ∈ P ∪ L.

Twee elementen van S noemen we tegenovergesteld als ze een maximale incidentie-afstand n

hebben. Herbekijken we de definitie van een gewone n-hoek. Een gewone n-hoek in een partieel

lineaire ruimte S kunnen we zien als een cykel (x0, x1, x2, . . . , x2n−1, x2n) van lengte 2n in de

incidentiegraaf van S. In het vervolg stellen we een gewone n-hoek meestal voor als een cykel

van lengte 2n in de de incidentiegraaf.

We bewijzen eerst dat eigenschap (GP3) juist betekent dat een veralgemeende vierhoek dik is.

46

Hoofdstuk 3. Veralgemeende Veelhoeken

Lemma 3.1.3. Een veralgemeende n-hoek S is dik als en slechts als S een deelmeetkunde bevat

die een gewone n+ 1-hoek is.

Bewijs. Zij S = (P,L, I) een dikke veralgemeende n-hoek en beschouwen we een gewone n-

hoek (x0, x1, x2, . . . , x2n−1, x0) waarbij x0 Ix1 I . . . Ix2n−1 Ix0 een cykel van lengte 2n in de

incidentiegraaf van S is. Om de gedachten te vestigen nemen we xi ∈ P als i een oneven

index is en xi ∈ L als i een even index is (zoals op de figuur waar we een gewone 6-hoek

en een gewone 5-hoek zien). Het is duidelijk dat x0 en xn tegenovergestelde elementen zijn

(δ(x0, xn) = n) omdat we een gewone k-hoek krijgen met k < n indien δ(x0, xn) < n. Er volgt

dat δ(x1, xn) = n − 1 = δ(x2n−1, xn). Omdat we veronderstellen dat S dik is, vinden we een

derde rechte y door x1 verschillend van x2 en x0 en we vinden een derde element z van P ∪ Lin Γ(xn) verschillend van xn−1 en xn+1. De incidentie-afstand δ(y, z) is strikt kleiner dan n.

Inderdaad, we merken hiervoor opnieuw op dat de incidentie-afstand tussen twee punten of twee

rechten even is en de incidentie-afstand tussen een punt en een rechte oneven is. Is n even

(oneven), dan is xn een rechte (punt) en z een punt (rechte) zodat δ(y, z) oneven (even) is. We

noteren dit als δ(y, z) ≡ n+ 1 (mod 2) en we besluiten dat δ(y, z) 6= n. Uit het (GP2)-axioma

kunnen we nu een gewone n-hoek bekijken door y en z die een pad (y, a, a′, . . . , w′, w, z) in de

incidentiegraaf van lengte l < n tussen y en z bevat. Combineren we dit pad met het pad

(x1, x2, . . . , xn) uit de gewone n-hoek waarvan we vertrokken zijn, dan is

(y, x1, x, . . . , xn, z, w,w′, . . . , a′, a, y)

een cykel in de incidentiegraaf van lengte n+ 1 + l 6 2n. Omdat er geen gewone k-hoeken met

k < n voorkomen, is n+ 1 + l = 2n waardoor l = n− 1, a 6= x1 en w 6= xn. Hierdoor is de cykel

(y, a, a′, . . . , w′, w, z, xn, xn+1, . . . , x2n−1, x0, x1, y)

in de incidentiegraaf een n+1 hoek. Omgekeerd vertrekken we van een gewone (n+1)-hoek A :=

(x0, x1, x2, . . . , x2n+1, x0) in een veralgemeende n-hoek S = (P,L, I). Er geldt δ(x0, xn+1) ≡ n+1

(mod 2) en voor elke twee elementen x, y van P ∪L is δ(x, y) 6 n. Zodus is δ(x0, xn+1) 6 n− 1.

Veronderstel dat (x0, x′, x′′, . . . , xn+1) een kortste pad is van x0 naar xn+1 in de incidentiegraaf.

Is x′ ∈ x1, x2n+1, dan krijgen we een gewone k-hoek met k < n, wat niet mogelijk is. Hierdoor

is Γ(x0) ⊇ x′, x1, x2n+1. De bovenstaande redenering kunnen we toepassen op elke xi ∈ Azodat

∣∣∣Γ(xi)∣∣∣ > 3 voor elke xi ∈ A. We wensen nu hetzelfde aan te tonen voor een willekeurig

47


element x ∈ P ∪ L dat niet in A ligt. Er bestaat een xi ∈ A zodat δ(x, xi) = n. Stel namelijk

dat voor elke xi ∈ A geldt dat δ(x, xi) < n, dan vinden we een xi en een xi+2 in A waarvoor

δ(x, xi) = δ(x, xi+2) 6 n− 2 op volgende manier:

• is x ∈ P en n even, dan is voor elke xi ∈ P ∩A de incidentie-afstand δ(x, xi) even waaruit

δ(x, xi) 6 n− 2 volgt;

• is x ∈ P en n oneven, dan is voor elke xi ∈ L ∩ A de incidentie-afstand δ(x, xi) oneven

waaruit δ(x, xi) 6 n− 2 volgt;

• is x ∈ L en n even, dan is voor elke xi ∈ L∩A de incidentie-afstand δ(x, xi) even waaruit

δ(x, xi) 6 n− 2 volgt;

• is x ∈ L en n oneven, dan is voor elke xi ∈ P ∩ A de incidentie-afstand δ(x, xi) oneven

waaruit δ(x, xi) 6 n− 2 volgt.

We vinden hierdoor een gewone k-hoek (x, . . . , xi, xi+1, xi+2, . . . , x) waarbij k 6 n − 1 wat

onmogelijk is. Er bestaat dus een xl ∈ A zodat δ(x, xl) = n. Noem ρ een kortste pad (van

lengte n) tussen x en xl in de incidentiegraaf en beschouw de afbeelding θ:

θ : Γ(x)→ Γ(xl);

x′ 7→ x′′,

waarbij x′′ het unieke element is van Γ(xl) dat niet tegenovergesteld is aan x′. Deze afbeelding

is goed gedefinieerd wegens het ontbreken van k-hoeken voor k < n. Ze is ook surjectief. Zij

x′′ ∈ Γ(xl) willekeurig. Door x′′ en x bestaat er een n-hoek en er volgt dat d(x′′, x′) = n − 1.

Is (x′′, a, . . . , x) een kortste pad in de incidentiegraaf tussen x′′ en x, dan is θ(a) = x′′. De

afbeelding θ is injectief. Veronderstel namelijk dat er twee elementen a1 en a2 bestaan in Γ(x)

zodat θ(a1) = θ(a2) = x′′. Zijn (a1, b1, . . . , c1, x′′) en (a2, b2, . . . , c2, x

′′) kortste paden in de

incidentiegraaf tussen a1 respectievelijk a2 en x′′. Wegens de definitie van θ hebben deze paden

hoogstens lengte n− 1 zodat (x, a1, b1, . . . , c1, x′′, c2, . . . , b2, a2, x) een k-hoek is met k < n. We

besluiten dat θ een bijectie is zodat∣∣∣Γ(x)

∣∣∣ =∣∣∣Γ(xl)

∣∣∣ > 3.

In het eerste deel van het bovenstaand bewijs hebben we het volgende resultaat aangetoond:

Lemma 3.1.4. Is S een dikke veralgemeende n-hoek, dan is elk pad van lengte hoogstens n+ 1

in de incidentiegraaf bevat in een gewone n+ 1-hoek.

In de komende paragrafen werken we met een graaf-theoretische definitie van veralgemeende

veelhoeken. Lemma 3.1.5 geeft deze graaf-theoretische definitie en toont de equivalentie met

Definitie 3.1.2 aan.

48


Lemma 3.1.5. Is n > 3 en S = (P,L, I) een partieel lineaire ruimte. Dan is S een veralge-

meende n-hoek als en slechts als de incidentie-afstand δ van de incidentiegraaf van S voldoet

aan de volgende eigenschappen:

(a) Zijn x, y twee elementen van P ∪ L waarvoor δ(x, y) = k < n, dan is er een uniek pad in

de incidentiegraaf van lengte k van x naar y.

(b) Voor elke x ∈ P ∪ L geldt n = maxδ(x, y) : y ∈ P ∪ L.

Bewijs. Vertrekken we vanuit Definitie 3.1.2 en veronderstel dat δ(x, y) = k < n voor x, y ∈P ∪L. Is k = 0, 1, dan is de (a) triviaal. Is k = 2, dan is er een uniek pad omdat S een partieel

lineaire ruimte is. Veronderstel dat k > 3. Een tweede pad van lengte k in de incidentie-graaf

dat x met y verbindt, impliceert een k-hoek met k < n. Dit is onmogelijk waaruit de uniciteit

van het pad volgt.

Voor elke x ∈ P ∪L bestaat er wegens (GP2) een n-hoek door x. Dit is een cykel van lengte 2n

in de incidentie-graaf: (x, x1, x2, . . . , x2n−1, x). Hierbij is δ(x, xn) = n wegens het ontbreken van

k-hoeken met k < n.

Vertrekken we omgekeerd vanuit de graaf-theoretische definitie. Stel dat er een k-hoek met

k < n bestaat. Er volgt eenvoudig dat deze k-hoek twee elementen x, y ∈ P ∪L bevat waarvoor

δ(x, y) = k zodat er (minstens) twee kortste paden tussen x en y bestaan.

We wensen nog aan te tonen dat er een n-hoek door twee willekeurige elementen x, y ∈ P ∪ Lbestaat. Zij δ(x, y) = k 6 n en (x, x1, . . . , y) een kortste pad tussen x en y in de incidentiegraaf.

We tonen aan dat dit pad bevat is in een gewone n-hoek. Daarvoor merken we eerst op dat

elk element z1 ∈ P ∪ L incident is met minstens twee andere elementen van P ∪ L. Stel dat

Γ1(z1) = z2, dan moet elk pad naar z1 het element z2 bevatten. Uit (b) vinden we dan de

strijdigheid

n = maxδ(z1, z) | z ∈ P ∪ L = maxδ(z2, z) | z ∈ P ∪ L+ 1 = n+ 1.

Is k < n, dan kunnen we bijgevolg het pad (x, x1, . . . , y) uitbreiden naar een pad van lengte n

in de incidentiegraaf:

(x, x1, . . . , y, y1, . . . , z).

Er bestaat ook een element x′ ∈ Γ1(x)\x1 en voor dit element x′ geldt δ(x′, z) = n − 1. Dit

laatste volgt uit δ(x′, z) ≡ δ(x, z) + 1 mod 2 en δ(x′, z) > n− 1. Het kortste pad van x′ naar z

vormt samen met het pad (x′, x, x1, . . . , y, y1, . . . , z) een n-hoek.

Is n oneven, dan tonen we aan dat in een veralgemeende n-hoek van de orde (s, t) het aantal

punten op elke rechte gelijk is aan het aantal rechten door elk punt. Daarna bewijzen we dat

elke dikke veralgemeende veelhoek een orde heeft. Merk op dat dit resultaat ons niet helemaal

vreemd is. In Hoofdstuk 2 zagen we dat een veralgemeende vierhoek een niet symmetrisch

(duaal) rooster is of een orde (s, t) heeft (Lemma 2.1.2). De niet symmetrische (duale) roosters

zijn voorbeelden van dunne veralgemeende vierhoeken en we zien dat alle dikke veralgemeende

vierhoeken inderdaad de orde (s, t) hebben.

Lemma 3.1.6. Een dikke veralgemeende n-hoek van de orde (s, t) waarbij n oneven is, heeft de

eigenschap s = t.

49


Bewijs. Zij S = (P,L, I) een dikke veralgemeende n-hoek van de orde (s, t) met n oneven.

Beschouw een gewone n-hoek waarin een punt x en een rechte L tegenovergesteld zijn: δ(x, L) =

n. Zij y een willekeurig punt van L. Er geldt δ(x, y) = n− 1 zodat dankzij Lemma 3.1.5-(a) een

uniek pad tussen x en y van de lengte n− 1 in de incidentiegraaf bestaat. We noteren dit pad

als (y, . . . , xy, x). Door de uniciteit van dit kortste pad tussen x en y is de afbeelding

θ : Γ(L)→ Γ(x),

y 7→ xy,

goed gedefinieerd. Deze afbeelding is injectief omdat θ(y′) = θ(y) voor y 6= y′ een k-hoek met

k < n impliceert. We wensen nog aan te tonen dat θ ook surjectief is. Kies een willekeurige

rechte M door x, dan volgt δ(L,M) = n−1. Er bestaat een punt y op L zodat (L, y, . . . ,M) een

pad van lengte n−1 in de incidentiegraaf is (Lemma 3.1.5-(a)). Uit M ∈ Γ(x) en δ(y,M) = n−2

volgt θ(y) = M . We besluiten dat θ surjectief en dus bijectief is zodat s+ 1 =∣∣∣Γ(L)

∣∣∣ = |Γ(x)| =t+ 1.

Stelling 3.1.7. Elke dikke veralgemeende veelhoek heeft een orde (s, t).

Bewijs. Veronderstel dat S = (P,L, I) een veralgemeende n-hoek is. We tonen aan dat het

aantal rechten door elk punt gelijk is. Duaal geldt dan dat het aantal punten op elke rechte

gelijk is.

Omdat S samenhangend is, kunnen we ons beperken tot twee collineaire punten x en y in S.

Uit Lemma 3.1.4 weten we dat x en y bevat zijn in een gewone (n + 1)-hoek. Is n oneven,

dan bestaat er een rechte L in deze (n + 1)-hoek die tegenovergesteld is aan zowel x als y

(δ(x, L) = δ(y, L) = n). Zoals we in het bewijs van Lemma 3.1.6 hebben gezien, bestaat er een

bijectie tussen de punten op de rechte L en de rechten door x en een bijectie tussen de punten

op L en de rechten door y. Dit impliceert een bijectie tussen de rechten door x en de rechten

door y.

Is n even, dan bestaat er een punt r in deze (n + 1)-hoek dat tegenovergesteld is aan zowel x

als y. Op een volledig analoge manier als in het bewijs van Lemma 3.1.6 vinden we een bijectie

tussen de rechten door r en de rechten door x, en een bijectie tussen de rechten door r en de

rechten door y. Dit impliceert terug een bijectie tussen de rechten door x en de rechten door

y.

Opmerking 3.1.8. Bespreken we enkele dunne veralgemeende veelhoeken van de orde (s, t).

We merken eerst op dat een gewone n-hoek van de orde (1, 1) is en bijgevolg dun is. Voor oneven

n is dankzij Stelling 3.1.7 elke dunne veralgemeende n-hoek met een orde een gewone n-hoek.

Is n = 4, dan hebben we de roosters. We kunnen ons afvragen wat de veralgemeende hexagons,

octagons en dodecagons van de orde (1, t) (en duaal (s, 1)) zijn.

Zij S = (P,L, I ) een projectief vlak, dan is de dubbele S ′ van S een veralgemeende hexagon

waarbij elke rechte incident is met twee punten. Heeft S de orde q, dan heeft S ′ de orde (1, q).

Duaal vinden we een veralgemeende hexagon van de orde (q, 1). Dezelfde constructie kunnen

we toepassen, vertrekkend van een veralgemeende vierhoek (hexagon) S van de orde (s, t). De

dubbele van S is een veralgemeende octagon (dodecagon) van de orde (1, s) als s = t. Is s 6= t,

dan heeft de dubbele van S geen orde.

50


We merken op dat dit niet de enige voorbeelden zijn van dunne veralgemeende hexagons, octa-

gons of dodecagons. Voor meerdere voorbeelden verwijzen we naar de literatuur.

In de komende paragrafen concentreren we ons hoofdzakelijk op eindige veralgemeende veelhoe-

ken. We onderzoeken eerst of eindige veralgemeende n-hoeken met een orde voor elke n bestaan.

Het antwoord is negatief als we de gewone veelhoeken buiten beschouwing laten en wordt in Pa-

ragraaf 3.3 besproken. Daarna stellen we ons de vraag welke grenzen er gekend zijn op de orde

van (eindige) veralgemeende veelhoeken.

3.2 Afstandsreguliere grafen

In Lemma 3.1.5 gaven we reeds een graaf-theoretische definitie van veralgemeende veelhoeken.

In deze paragraaf gaan we iets verder en tonen we aan dat de collineariteitsgraaf van een eindige

veralgemeende veelhoek van de orde (s, t) een afstandsreguliere graaf is. We bewijzen ook enkele

eigenschappen van afstandsregulier grafen die we later gebruiken in het bewijs van de Stelling

van Feit-Higman [22]. Deze stelling zegt dat naast de gewone veelhoeken, eindige veralgemeende

veelhoeken met een orde (s, t) enkel bestaan als n ∈ 3, 4, 6, 8, 12.Hernemen we de definitie van afstandsreguliere grafen uit Hoofdstuk 1:

Definitie 3.2.1. Een eindige samenhangende graaf Γ met diameter d > 2 noemen we afstands-

regulier als er constanten ai, bi, ci, i ∈ 0, . . . , d, bestaan zodat voor elke twee toppen x en y

op afstand i van elkaar geldt dat

• er precies ai verschillende toppen adjacent met y en op afstand i van x zijn,

• er precies bi verschillende toppen adjacent met y en op afstand i+ 1 van x zijn,

• er precies ci verschillende toppen adjacent met y en op afstand i− 1 van x zijn.

Hierbij is a0 = c0 = bd = 0 en c1 = 1. Een afstandsreguliere graaf is in het bijzonder ook regulier

met valentie k waarbij

k = a0 + b0 + c0 = a1 + b1 + c1 = · · · = ad + bd + cd.

Zij S = (P,L, I) een eindige veralgemeende n-hoek van de orde (s, t). We wensen aan te tonen

dat de collineariteitsgraaf Γ van S een afstandsreguliere graaf met constanten ai, bi, ci is. Het is

duidelijk dat Γ regulier is met valentie k = s(t+1) en uit Lemma 3.1.5 volgt dat de diameter d van

Γ gelijk is aan⌊n2

⌋. Zijn x en y twee willekeurige punten op afstand d(x, y) = i, i ∈ 0, 1, . . . , d.

Noem ai, bi en ci het aantal punten op afstand 1 van y en op afstand i, i+ 1 respectievelijk i−1

van x in Γ. Merken we op dat deze waarden ai, bi en ci onafhankelijk zijn van de punten x en

y omdat S een orde heeft. We vinden eenvoudig

• a0 = 0, ai = s− 1 voor 0 < i < d, ad = st+ s− 1 als n oneven en ad = (s− 1)(t+ 1) als n

even is,

• c0 = 0, ci = 1 voor 0 < i < d, cd = 1 als n oneven en cd = (t+ 1) als n even is,

• b0 = k, bi = st voor 0 < i < d en bd = 0.

51

3.2. Afstandsreguliere grafen

Dit toont aan dat de collineariteitsgraaf van S een afstandsreguliere graaf is met diameter

d =⌊n2

⌋.

We bekijken nu enkele eigenschappen van afstandsreguliere grafen. Zij Γ = (V,E) een afstands-

reguliere graaf en noemen we ki het aantal toppen op afstand i van x (Γi(x) = ki) voor een

willekeurige top x.

Lemma 3.2.2. Er geldt

k0 = 1, k1 = k, ki+1 =kibici+1

, i ∈ 0, . . . , d− 1.

Bewijs. Er geldt Γ0(x) = x en |Γ1(x)| is bij definitie de valentie van de graaf Γ. Zij x een

willekeurige top in Γ en tellen we het aantal koppels toppen (y, z) in Γ waarvoor y ∼ z, d(x, y) = i

en d(x, z) = i+ 1 op twee manieren. We vinden voor elke i ∈ 0, . . . , d− 1:

kibi = ki+1ci.

Is V = x1, x2, . . . , xv dan is het totaal aantal toppen gelijk aan

v = k0 + k1 + · · ·+ kd.

Is A de adjacentiematrix van Γ en definieren we voor elke l ∈ 0, . . . , d de v × v-matrices Al

waarbij

(Al)ij =

0 als d(xi, xj) 6= l,

1 als d(xi, xj) = l.

We schrijven in het vervolg vaak Al(i, j) in plaats van (Al)ij . Noteren we J voor de v×v-matrix

waarbij elk element de waarde 1 heeft, definieren we A−1 en Ad+1 als de nulmatrix en b−1, cd+1

willekeurig.

Lemma 3.2.3. Er geldt dat

A0 = I, A1 = A, A0 +A1 + · · ·+Ad = J,

AAi = ci+1Ai+1 + aiAi + bi−1Ai−1, i ∈ 0, . . . , d.

Bewijs. De eerste gelijkheden zijn triviaal voldaan. Voor elke i ∈ 0, . . . , d geldt (AAi)(m,n) =∑lA(m, l)Ai(l, n). Hieruit volgt dat (AAi)(m,n) juist het aantal toppen is die collineair zijn met

xm en op afstand i van xn liggen. Dit is gelijk aan ci+1 als d(xm, xn) = i+1 dus alsAi+1(m,n) = 1

of dit is gelijk aan ai als Ai(m,n) = 1 of dit is gelijk aan bi−1 als Ai−1(m,n) = 1.

We schrijven nu die matrices Ai als polynomen in A van de graad i.

Lemma 3.2.4. Voor elke i ∈ 0, . . . , d+ 1 geldt dat Ai = vi(A) waarbij vi polynomen zijn van

graad i, recursief opgebouwd als volgt:

v−1(x) = 0, v0(x) = 1, v1(x) = x,

ci+1vi+1(x) = (x− ai)vi(x)− bi−1vi−1(x), i ∈ 1, . . . , d.

52


Bewijs. We bewijzen dit inductief. Er volgt onmiddellijk dat v0(A) = A0 en v1(A) = A1.

Veronderstel dat het lemma geldt voor j 6 i. Uit Lemma 3.2.3 weten we dat

AAi = ci+1Ai+1 + aiAi + bi−1Ai−1.

Wegens de inductiehypothese is dit gelijk aan

Avi(A) = ci+1Ai+1 + aivi(A) + bi−1vi−1(A),

wat ons het gestelde geeft.

We tonen aan dat A juist d+ 1 verschillende eigenwaarden heeft.

Lemma 3.2.5. De adjacentiematrix A van een afstandsreguliere graaf Γ met diameter d heeft

precies d+ 1 verschillende eigenwaarden, dit zijn de wortels van het polynoom vd+1(x).

Bewijs. Merk eerst op dat A een symmetrische matrix is zodat A diagonaliseerbaar is over R en

alle eigenwaarden reeel zijn. De matrices A0 = I, A1 = A,A2, . . . , Ad zijn lineair onafhankelijk.

Inderdaad, zijn xi en xj twee punten op afstand r, dan is Ar(i, j) = 1 en As(i, j) = 0 voor elke s <

r. Bijgevolg kan de matrix Ar onmogelijk een lineaire combinatie zijn van A0, A1, . . . , Ar−1.We tonen nu aan dat 〈A0, A1, . . . , Ad〉 =

⟨A0, A1, . . . , Ad

⟩waaruit volgt dat ookA0, A1, A2, . . . , Ad

lineair onafhankelijk zijn. Uit Lemma 3.2.3 volgt

Ai+1 =1

ci+1

((A− aiI)Ai − bi−1Ai−1

). (3.1)

Via inductie volgt uit (3.1) eenvoudig dat Ai ∈⟨A0, A1, . . . , Ai

⟩voor i 6 d zodat

〈A0, A1, . . . , Ad〉 ⊆⟨A0, A1, . . . , Ad

⟩.

Verder vinden we opnieuw via inductie voor elke i 6 d:

Ai = αiAi + · · ·+ α1A+ α0A

0 met αi 6= 0. (3.2)

Inderdaad, beschouw voor een i < d de vergelijking (3.2) als bewezen. Uit (3.1) volgt dan

Ai+1 =1

ci+1(AAi − aiAi − bi−1Ai−1)

=1

ci+1(αiAA

i + · · ·+ α0AA0 − aiAi − bi−1Ai−1).

Omdat αici+1

verschillend is van nul, geldt vergelijking (3.2) voor elke i 6 d. Er geldt bijgevolg

voor elke i 6 d:

Ai ∈⟨Ai, A

0, A1, . . . , Ai−1⟩⊆⟨Ai, Ai−1, A

0, A1, . . . , Ai−2⟩

⊆ . . .

⊆ 〈Ai, Ai−1, . . . , A1, A0〉 ,

zodat ⟨A0, A1, . . . , Ad

⟩⊆ 〈A0, A1, . . . , Ad〉 ,

53


en we besluiten dat 〈A0, A1, . . . , Ad〉 =⟨A0, A1, . . . , Ad

⟩.

Uit het lineair onafhankelijk zijn van de matrices Ad, . . . , A2, A1 = A,A0 = I volgt dat

A precies d + 1 verschillende eigenwaarden heeft. Veronderstel namelijk dat A hoogstens d

verschillende eigenwaarden heeft. Omdat de graad van het minimale polynoom van A gelijk is

aan het aantal verschillende eigenwaarden van A zou er volgen dat Ad ∈ 〈I, A,A2, . . . , Ad−1〉,een strijdigheid. Anderzijds is vd+1(A) = 0, wat betekent dat vd+1(x) een veelvoud van het

minimaal polynoom van A is. Elke eigenwaarde van A zal bijgevolg een wortel van vd+1(x) zijn

en omdat vd+1(x) graad d+ 1 heeft, vinden we hoogstens d+ 1 eigenwaarden voor A.

Noemen we θ een eigenwaarde van A, dan is voor elke i ∈ 0, . . . , d de waarde vi(θ) een

eigenwaarde van vi(A). Uit Lemma 3.2.3 en Lemma 3.2.4 volgt voor elke i ∈ 0, . . . , d de

gelijkheid

Avi(A) = ci+1vi+1(A) + aivi(A) + bi−1vi−1(A),

waaruit

θvi(θ) = ci+1vi+1(θ) + aivi(θ) + bi−1vi−1(θ). (3.3)

We definieren v−1(θ) = vd+1(θ) := 0 en merken op dat b−1 en cd+1 opnieuw willekeurig gekozen

kunnen zijn.

Een eigenwaarden van A is eenvoudig te vinden. Omdat Γ valentie k heeft, vinden we

A · (1, 1, . . . , 1)T = (k, k, . . . , k)T

= k · (1, 1, . . . , 1)T .

We noemen de eigenwaarde k de triviale eigenwaarde van A. Voor deze eigenwaarde k vinden

we vi(k) = ki op een inductieve manier. Uit Lemma 3.2.2 en Lemma 3.2.4 volgt

vi+1(k) =1

ci+1[(k − ai)vi(k)− bi−1vi−1(k)]

=1

ci+1[(k − ai)ki − bi−1ki−1] (Inductiehypothese)

=1

ci+1[biki + ciki − bi−1ki−1] (k = ai + bi + ci)

=bikici+1

(ciki = bi−1ki−1)

= ki+1.

Omdat we k als triviale eigenwaarde zien en er geldt dat vi(k) = ki herschalen we voor elke

eigenwaarde θ van A de waarde vi(θ) naar

ui(θ) :=vi(θ)

ki, i ∈ 0, . . . , d. (3.4)

We definieren u−1(θ) en ud+1(θ) als de waarde 0. De rij (u0(θ), u1(θ), . . . , ud(θ)) noemen we de

standaardrij van Γ van de eigenwaarde θ. Om ui(θ) te berekenen als θ gekend is, gebruiken we

het volgend lemma.

54


Lemma 3.2.6. Is θ een eigenwaarde van een afstandsreguliere graaf Γ en (u0(θ), . . . , ud(θ)) de

standaardrij van θ, dan is

u−1(θ) = 0, u0(θ) = 1, u1(θ) =θ

k,

ciui−1(θ) + aiui(θ) + biui+1(θ) = θui(θ), i ∈ 0, . . . , d.

Bewijs. Bij definitie is u−1(θ) = 0. De waarden van u0(θ), u1(θ) volgen uit v0(θ) = 1 , v1(θ) = θ,

k0 = 1 en k1 = k. Om de tweede regel van het lemma te bekomen, delen we de vergelijking (3.3)

door ki:

θvi(θ)

ki=ci+1

kivi+1(θ) + ai

vi(θ)

ki+bi−1

kivi−1(θ). (3.5)

Uit Lemma 3.2.2 volgt

ci+1

kivi+1(θ) =

kibikiki+1

vi+1(θ) =bivi+1(θ)

k + 1= biui+1(θ),

en

bi−1

kivi−1(θ) =

cikikiki−1

vi−1(θ) =civi−1(θ)

ki−1= ciui−1(θ),

waardoor vergelijking (3.5) wegens (3.4) het gestelde geeft.

Voor we de Stelling van Feit-Higman bewijzen, bekijken we nog enkele opmerkingen over de

eigenruimte bij een eigenwaarde van een afstandsreguliere graaf Γ. De eigenruimte bij een

eigenwaarde θ van Γ met adjacentiematrix A ∈ Rv×v, bestaat uit vectoren x ∈ Rv waarvoor

Ax = θx. Voor elke eigenwaarde θ van Γ definieren we de eigenmatrix E(θ) als

E(θ) :=

d∑i=0

ui(θ)Ai,

waarbij d de diameter is van Γ. Uit Lemma 3.2.6 halen we de volgende eigenschap voor de

eigenmatrix.

Lemma 3.2.7. Voor elke eigenwaarde θ van een afstandsreguliere graaf Γ met adjacentiematrix

A en eigenmatrix E(θ) geldt

AE(θ) = θE(θ).

Bewijs.

AE(θ) =

d∑i=0

ui(θ)AAi

=d∑i=0

ui(θ)(ci+1Ai+1 + aiAi + bi−1Ai−1) (wegens Lemma 3.2.3)

=

d∑i=0

(ciui−1(θ) + aiui(θ) + biui+1(θ))Ai

=

d∑i=0

θui(θ)Ai (wegens Lemma 3.2.6)

= θE(θ).

55


Uit het bovenstaand lemma volgt dat de kolommen van E(θ) eigenvectoren van θ zijn en tot de

eigenruimte behoren. De dimensie van de eigenruimte wordt door de volgende stelling gegeven.

Stelling 3.2.8. Zij Γ een afstandsreguliere graaf met v toppen en diameter d. De eigenruimte

van de eigenwaarde θ van Γ heeft dimensie

dimθ = v/(d∑i=0

kiu2i (θ)).

Bewijs. Uit Ai = vi(A) en vi(θ)/ki = ui(θ) voor elke i ∈ 0, . . . , d volgt

d∑i=0

vi(θ)vi(A)

ki=

d∑i=0

ui(θ)Ai

= E(θ).

Zodus geldt E(θ) = ϕ(A) waarbij ϕ(x) een polynoom van de graad d is, gegeven door

ϕ(x) =d∑i=0

vi(θ)vi(x)

ki.

Uit Lemma 3.2.7 vinden we (A − θI)ϕ(A) = 0 waardoor (x − θ)ϕ(x) een veelvoud van het

minimale polynoom van A is. Omdat er juist d+1 verschillende eigenwaarden zijn (Lemma 3.2.5)

en de polynoom (x− θ)ϕ(x) graad d+ 1 heeft, zijn de eigenwaarden van A juist de wortels van

(x − θ)ϕ(x). In het bijzonder zijn de eigenwaarden θ′ 6= θ de wortels van ϕ(x) en is θ de enige

eigenwaarde van A waarvoor ϕ(θ) 6= 0. Inderdaad,

ϕ(θ) =d∑i=0

v2i (θ)

ki> 1 + θ2/k > 0. (3.6)

Omdat E(θ) = ϕ(A) zijn de eigenwaarden van de eigenmatrix E(θ) van de vorm ϕ(σ) waarbij

σ een eigenwaarde van A is. De eigenmatrix heeft dus maar een niet-nul eigenwaarde: ϕ(θ).

De multipliciteit van ϕ(θ) als eigenwaarde van E(θ) is gelijk aan de multipliciteit van θ als

eigenwaarde van A en komt dus overeen met de dimensie van de eigenruimte van θ.

Berekenen we het spoor van de eigenmatrix op twee verschillende manieren. Enerzijds is het

spoor van een matrix de som van de eigenwaarden vermenigvuldigd met hun multipliciteit zodat

tr(E(θ)) = dimθ ·ϕ(θ). (3.7)

Anderzijds weten we dat E(θ) =∑d

i=0 ui(θ)Ai en dat enkel voor i = 0 de matrix Ai elementen

op de diagonaal heeft, zodat

tr(E(θ)) =

d∑i=0

ui(θ) · tr(Ai)

= u0(θ) · v

= v.

(3.8)

Combineren van (3.6), (3.7) en (3.8) geeft ons het gestelde:

dimθ = v/ϕ(θ)

= v/(

d∑i=0

kiu2i (θ)).

56


Opmerking 3.2.9. Omdat de dimensie van een eigenruimte altijd een geheel getal is, moet∑di=0 kiu

2i (θ) rationaal zijn. Het is net deze eigenschap die we in de volgende paragraaf gebruiken.

3.3 De Stelling van Feit-Higman

Zij S = (P,L, I) een eindige veralgemeende n-hoek van de orde (s, t). Dan is S een gewone

veelhoek of is n ∈ 3, 4, 6, 8, 12. In [22] bewijzen Walter Feit en Graham Higman dit resultaat

via een eigenwaardetechniek. Dit bewijs is zeer lang en erg technisch. In H. Van Maldeghem [48,

Appendix A] wordt dit origineel bewijs ook besproken. Een eleganter en tevens korter bewijs

wordt gegeven in A. E. Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier [7]. We vertrekken vanuit het

oogpunt dat een veralgemeende veelhoek in het eindig geval een afstandsreguliere graaf (met

parameters (k, ai, bi, ci)) is. Dit bewijs is net zoals het origineel bewijs van Feit-Higman gebaseerd

op een eigenwaardetechniek.

Stelling 3.3.1 (Feit-Higman). Een eindige veralgemeende n-hoek van de orde (s, t) is een

gewone n-hoek of er geldt dat n ∈ 3, 4, 6, 8, 12. Zij s > 1 en t > 1. Dan is n 6= 12, is st een

kwadraat als n = 6 en is 2st een kwadraat als n = 8.

We bewijzen deze stelling aan de hand van enkele lemma’s om de leesbaarheid te verhogen.

Zij S = (P,L, I) een eindige veralgemeende n-hoek van de orde (s, t). Noemen we Γ de collinea-

riteitsgraaf van S met diameter d =⌊n2

⌋en A de collineariteitsmatrix met eigenwaarden die we

met θ noteren.

Het is de bedoeling dat we de d+ 1 verschillende eigenwaarden θ expliciet berekenen. Hiervoor

schrijven we θ op een nogal arbitraire manier waarvan het nut later duidelijk zal worden. We

kiezen een x ∈ C∗ zodat

θ =√st(x+ x−1) + s− 1. (3.9)

In (3.9) veronderstellen we a priori dat x 6= ±1. We zullen zien dat we ondanks deze beperking

toch de d+1 verschillende eigenwaarden vinden. De triviale eigenwaarde k van A correspondeert

met x =√st in (3.9) omdat

√st(√st+

√st−1

) + s− 1 = st+ 1 + s− 1

= k.

In de volgende lemma’s gebruiken we regelmatig de gelijkheden:

(x+ x−1)(xl − x−l) = (xl+1 − x−l−1) + (xl−1 − x−l+1), (3.10)

(x+ x−1)(xl + x−l) = (xl+1 + x−l−1) + (xl−1 + x−l+1). (3.11)

Lemma 3.3.2. Zij (u0(θ), u1(θ), . . . , ud(θ)) de standaardrij van de eigenwaarde θ. Voor elke

i ∈ 0, . . . , d geldt

ui(θ) =t(xi+1 − x−i−1) + (s− 1)

√s−1t(xi − x−i)− (xi−1 − x−i+1)

(1 + t)(x− x−1)(√st)i

. (3.12)

57

3.3. De Stelling van Feit-Higman

Bewijs. We bewijzen dit via inductie. Is i = 0, dan wordt het rechterlid van (3.12)

t(x− x−1) + 0− (x−1 − x)

(1 + t)(x− x−1) · 1= 1 = u0(θ).

Is i = 1, dan vinden we

t(x2 − x−2) + (s− 1)√s−1t(x− x−1)− 0

(1 + t)(x− x−1)√st

=

√st(x− x−1) · (

√st(x+ x−1) + (s− 1))

s(t+ 1)√st(x− x−1)

=θ

k= u1(θ), (k = s(t+ 1))

wat dus consistent is met de standaardrij. Dankzij Lemma 3.2.6 geldt voor elke i 6 d

biui+1(θ) = ui(θ)(θ − ai)− ciui−1(θ).

Voor 0 < i < d is ci = 1, ai = s− 1 en bi = k − ci − ai = st zodat wegens de inductiehypothese

biui+1(θ) =t(xi+1 − x−i−1) + (s− 1)

√s−1t(xi − x−i)− (xi−1 − x−i+1)

(1 + t)(x− x−1)(√st)i

·√st(x+ x−1)

− t(xi − x−i) + (s− 1)√s−1t(xi−1 − x−i+1)− (xi−2 − xi+2)

(1 + t)(x− x−1)(√st)i−1

. (3.13)

Zetten we het rechterlid op de gelijke noemer N = (1 + t)(x− x−1)(√st)i+1 dan wordt de teller

T =√st[√

st(x+ x−1)(t(xi+1 − x−i−1) + (s− 1)

√s−1t(xi − x−i)− (xi−1 − x−i+1)

)]− st

[t(xi − x−i) + (s− 1)

√s−1t(xi−1 − x−i+1)− (xi−2 − xi+2)

](3.10)

= st2(xi+2 − x−i−2) + st2(xi − x−i) + (s− 1)√st3(xi+1 − x−i−1)

+ (s− 1)√st3(xi−1 − x−i+1)− st(xi − x−i)− st(xi−2 − x−i+2)

− st2(xi − x−i)− (s− 1)√st3(xi−1 − x−i+1) + st(xi−2 − xi+2)

= (xi−2 − x−i+2)(st− st) + (xi−1 − x−i+1)(

(s− 1)√st3 − (s− 1)

√st3)

(xi − x−i)(st2 − st− st2) + (xi+1 − x−i−1)(s− 1)√st3 + st2(xi+2 − x−i−2)

= st[t(xi+2 − x−i−2) + (s− 1)

√s−1t(xi+1 − x−i−1)− (xi − x−i)

].

Omdat bi = st voor 0 < i < d wordt (3.13)

ui+1(θ) =t(xi+2 − x−i−2) + (s− 1)

√s−1t(xi+1 − x−i−1)− (xi − x−i)

(1 + t)(x− x−1)(√st)i+1

,

wat te bewijzen was.

Bekijken we het resultaat van Lemma 3.2.6 voor i = d:

cdud−1(θ) + adud(θ) + bdud+1(θ) = θud(θ).

58


Omdat ud+1 = 0, bd = 0 en ad = k − cd volgt

cdud−1(θ) = (θ − k + cd)ud(θ). (3.14)

Merk op dat cd afhangt van de pariteit van n. Herinner dat cd = 1 als n oneven is en cd = t+ 1

als n even is.

We substitueren de gevonden uitdrukking van Lemma 3.3.2 in (3.14) om het volgende resultaat

te bekomen.

Lemma 3.3.3. Is de eigenwaarde θ 6= k, dan geldt

t(xd+1 − x−d−1) + (cd + s− 1)√s−1t(xd − x−d) + (cd − 1)(xd−1 − x−d+1) = 0.

Bewijs. Uit (3.14) volgt dankzij (3.12)

cd

[t(xd − x−d) + (s− 1)

√s−1t(xd−1 − x−d−1)− (xd−2 − x−d+2)

(1 + t)(x− x−1)(√st)d−1

]

= (θ − k − cd)

[t(xd+1 − x−d−1) + (s− 1)

√s−1t(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1)

(1 + t)(x− x−1)(√st)d

].

Zetten we beide termen op gelijke noemer (1+t)(x−x−1)(√st)d en delen we deze weg (x 6= ±1),

dan vinden we

cd

[− t(xd+1 − x−d−1) +

(√st3 − (s− 1)

√s−1t

)(xd − x−d) +

((s− 1)t+ 1

)(xd−1 − x−d+1)

−√st(xd−2 − x−d+2)

]= (θ − k)

[t(xd+1 − x−d−1) + (s− 1)

√s−1t(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1)

].

Omdat wegens (3.10)

−√st(xd − x−d)−

√st(xd−2 − x−d+2) = −

√st(x+ x−1)(xd−1 − x−d+1)

en

−t(xd−1 − x−d+1)− t(xd+1 − x−d−1) = −t(x+ x−1)(xd − x−d),

vinden we

cd

[(√st3 +

√s−1t− t(x+ x−1)

)(xd − x−d) +

(st+ 1−

√st(x+ x−1)

)(xd−1 − x−d+1)

]= (θ − k)

[t(xd+1 − x−d−1) + (s− 1)

√s−1t(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1)

].

Uit θ − k =√st(x+ x−1)− st− 1 volgt nu

cd(θ − k)[(−√s−1t)(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1)

]= (θ − k)

[t(xd+1 − x−d−1) + (s− 1)

√s−1t(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1)

].

59


Omdat we veronderstellen dat θ 6= k kunnen we de factor (θ − k) wegdelen:

cd

[(−√s−1t)(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1)

]= t(xd+1 − x−d−1) + (s− 1)

√s−1t(xd − x−d)− (xd−1 − x−d+1),

wat de gezochte vergelijking geeft:

t(xd+1 − x−d−1) + (cd + s− 1)√s−1t(xd − x−d) + (cd − 1)(xd−1 − x−d+1) = 0. (3.15)

Is n = 2d (even), dan is cd = t+ 1 en vereenvoudigt (3.15) zich tot

t(xd+1 − x−d−1) + (s+ t)√s−1t(xd − x−d) + t(xd−1 − x−d+1) = 0

⇔ (xd − x−d)(

(s+ t)√s−1t+ t(x+ x−1)

)= 0 (wegens (3.10))

⇔ (xd − x−d)(√

st+√s−1t3 + t(x+ x−1)

)·√st−1 = 0

⇔ (xd − x−d)(s+ t+

√st(x+ x−1)

)= 0.

Is x = −√s−1t, dan wordt de tweede factor nul en vinden we de eigenwaarde θ = −t − 1. Is

(xd − x−d) = 0, dan is x een n-de eenheidswortel. Inderdaad, (xd − x−d) = 0 als en slechts als

x2d − 1 = 0 en xd 6= 0. Omdat we in het begin x 6= ±1 veronderstelden, vinden we de volgende

n− 2 oplossingen voor de vergelijking (xd − x−d) = 0:

x = exp(2πil

n)

= cos(2πl

n) + i sin(

2πl

n) voor l ∈ 1, . . . , d− 1, d+ 1, . . . , n− 1.

Waarbij i de complexe constante is. Berekenen we θ volgens (3.9), dan vinden we voor elke

l ∈ 1, . . . , d− 1, d+ 1, . . . , n− 1:

θ =√st(

cos(2πl

n) + i sin(

2πl

n) + cos(−2πl

n) + i sin(−2πl

n))

+ s− 1

= 2√st cos(

2πl

n) + s− 1.

Omdat cos(

2πln

)= cos

(2π(n−l)

n

)zijn dit precies d− 1 verschillende eigenwaarden. We besluiten

dat er voor n = 2d naast de reeds gevonden eigenwaarden

θ = k en θ = −t− 1,

nog d− 1 andere eigenwaarden bestaan:

θ = 2√st cos(

2πl

n) + s− 1 l ∈ 1, . . . , d− 1.

We gaan analoog te werk wanneer n oneven is: n = 2d+1. Omdat cd = 1 en s = t (Lemma 3.1.6)

60


vereenvoudigt (3.15) zich tot:

t(xd+1 − x−d+1) + t(xd − x−d) = 0

⇔ (xd+1 − x−d+1) + (xd − x−d) = 0

⇔ x2d+2 − 1 + x2d+1 − x = 0 en xd+1 6= 0

⇔ x2d+2 + x2d+1 = x+ 1 en xd+1 6= 0

⇔ x2d+1 = 1 en xd+1 6= 0,

waarbij de laatste equivalentie geldt omdat x 6= ±1. We vinden 2d = n− 1 oplossingen voor x,

namelijk de n-de eenheidswortels verschillend van 1:

x = exp(2πil

n)

= cos(2πl

n) + i sin(

2πl

n) voor l ∈ 1, . . . , n− 1.

Merk op dat l = d in tegenstelling tot bij even n hier niet uitgesloten hoeft te worden omdat

exp(2πdn ) 6= −1. Berekenen we θ volgens (3.9), dan vinden we voor l ∈ 1, . . . , n− 1:

θ = 2√st cos(

2πl

n) + s− 1.

We besluiten dat er voor n = 2d+ 1 naast de reeds gevonden eigenwaarde

θ = k,

nog d andere eigenwaarden bestaan:

θ = 2√st cos(

2πl

n) + s− 1 l ∈ 1, . . . , d.

We hebben dus expliciet alle eigenwaarden van de veralgemeende n-hoek S gevonden. Hiermee

trachten we voorwaarden voor n af te leiden.

Noteren we zoals op pagina 52 de waarde ki voor het aantal punten in Γi(x) waarbij x een

willekeurig gekozen punt is van S.

Lemma 3.3.4. Er geldt

ki =siti−1(t+ 1)

cii ∈ 1, . . . , d.

Bewijs. Uit Lemma 3.2.2 halen we recursief

ki =b0b1 . . . bi−1

c1, c2 . . . cii ∈ 1, . . . , d,

waaruit wegens b0 = k, bi = st en ci = 1 voor i ∈ 1, . . . , d− 1 volgt dat

ki =si(t+ 1)ti−1

cii ∈ 1, . . . , d.

61


Het volgende lemma zal ons in staat brengen om de voorwaarden op n te bepalen wanneer n

even is. Het bewijs van dit lemma is zeer technisch maar is in feite ‘rechtdoor’ rekenwerk.

Lemma 3.3.5. Is n = 2d even, dan geldt voor elke eigenwaarde van de vorm θ = 2√st cos(2πl

n )+

s− 1 dat

d∑i=0

kiu2i (θ) =

n

t+ 1

[1 +

s(t− 1)2 + t(s− 1)2 + 2(s− 1)(t− 1)√st cos(2πl/n)

4st sin2(2πl/n)

]. (3.16)

Bewijs. Is θ = 2√st cos(2πl

n ) + s− 1 dan volgt uit (3.9) dat

(x+ x−1) = 2 cos(2πl/n). (3.17)

Omdat x een n-de eenheidswortel is, geldt

x2d = xn = 1. (3.18)

Verder gebruiken we doorheen dit bewijs de volgende zaken:

(x− x−1)2 = −4 sin2(2πl/n) (3.19)

(x2 + x−2) = (x− x−1)2 + 2 (3.20)

(xn − x−n)2 = x2n + x−2n − 2 (3.21)

(xi − x−i)(xj − x−j) = (xi+j + x−i−1)− (xi−j + x−i+j) (3.22)

Om∑d

i=0 kiu2i (θ) te berekenen merken we eerst op dat we in Lemma 3.3.4 enkel ki bepaald

hebben voor i ∈ 1, . . . , d, dat ci = 1 voor i ∈ 1, . . . , d−1, dat cd = t+1 en dat k0 = u0(θ) = 1.

Als we ui(θ) uit Lemma 3.3.2 noteren als ui(θ) = TiNi

, dan vinden we

d∑i=0

kiu2i (θ) = 1 +

d−1∑i=1

T 2i

t(1 + t)(x− x−1)2+

T 2d

t(t+ 1)2(x− x−1)2.

Hierbij is

Ti = t(xi+1 − x−i−1) + (s− 1)√s−1t(xi − x−i)− (xi−1 − x−i+1),

zodat

T 2i = t2(xi+1 − x−i−1)2 + (s− 1)2s−1t(xi − x−i)2 + (xi−1 − x−i+1)2

+ 2(s− 1)t√s−1t(xi+1 − x−i−1)(xi − x−i)− 2t(xi+1 − x−i−1)(xi−1 − x−i+1)

− 2(s− 1)√s−1t(xi − x−i)(xi−1 − x−i+1)

(3.22)(3.21)⇐⇒

T 2i = t2(x2i+2 + x−2i−2)− 2t2 + (s− 1)2s−1t(x2i + x−2i)− 2(s− 1)2s−1t+ (x2i−2 + x−2i+2)

− 2 + 2(s− 1)t√s−1t(x2i+1 + x−2i−1)− 2(s− 1)t

√s−1t(x+ x−1)

− 2t(x2i + x−2i) + 2t(x2 + x−2)

− 2(s− 1)√s−1t(x2i−1 + x−2i+1) + 2(s− 1)

√s−1t(x+ x−1)

= −2t2 − 2(s− 1)2s−1t− 2 +(− 2(s− 1)t

√s−1t+ 2(s− 1)

√s−1t

)(x+ x−1)

+ 2t(x2 + x−2) + t2(x2i+2 + x−2i−2) + 2(s− 1)t√s−1t(x2i+1 + x−2i−1)

+(

(s− t)2s−1t− 2t)

(x2i + x−2i)− 2(s− 1)√s−1t(x2i−1 + x−2i+1) + (x2i−2 + x−2i+2).

62


Voor i = d wordt dit wegens (3.18)

T 2d = −2t2 − 2(s− 1)2s−1t− 2− 4t+ 2(s− 1)2s−1t

+ (x+ x−1) ·(− 2(s− 1)t

√s−1t+ 2(s− 1)

√s−1t+ 2(s− 1)t

√s−1t− 2(s− 1)

√s−1t

)+ (x2 + x−2)(2t+ t2 + 1)

= −2(t+ 1)2 + (x2 + x−2)(t+ 1)2

We vinden

1 +T 2d

t(t+ 1)2(x− x−1)2=t(t+ 1)2(x− x−1)2 − 2(t+ 1)2 + (x2 + x−2)(t+ 1)2

t(t+ 1)2(x− x−1)2

=t(t+ 1)(x− x−1)2 − 2(t+ 1) + (x2 + x−2)(t+ 1)

t(t+ 1)(x− x−1)2.

(3.23)

Berekenen we de som van de overige termen T 2i :

d−1∑i=1

T 2i = (d− 1)

(− 2t2 − 2(s− 1)2s−1t− 2 + 2t(x2 + x−2)− 2(s− 1)(t− 1)

√s−1t(x+ x−1)

)+

d−1∑i=1

[t2(x2i+2 + x−2i−2) + 2(s− 1)t

√s−1t(x2i+1 + x−2i−1)

+(

(s− t)2s−1t− 2t)

(x2i + x−2i)− 2(s− 1)√s−1t(x2i−1 + x−2i+1)

+ (x2i−2 + x−2i+2)].

Verder geldt

d−1∑i=1

x2i+2 = x4(1 + x2 + · · ·+ x2d−4)

= x4 · 1− x2d−2

1− x2

=x4 − x2

1− x2(wegens (3.18))

= −x2,

zodatd−1∑i=1

(x2i+2 + x−2i−2) = −(x2 + x−2).

Analoog geldt

d−1∑i=1

(x2i+1 + x−2i−1) = −(x1 + x−1),d−1∑i=1

(x2i + x−2i) = −2,

end−1∑i=1

(x2i−1 + x−2i+1) = −(x1 + x−1),d−1∑i=1

(x2i−2 + x−2i+2) = −(x2 + x−2).

63


We bekomen

d−1∑i=1

T 2i = (d− 1)

(− 2t2 − 2(s− 1)2s−1t− 2 + 2t(x2 + x−2)− 2(s− 1)(t− 1)

√s−1t(x+ x−1)

)− (t2 + 1)(x2 + x−2)− 2(s− 1)(t− 1)

√s−1t(x+ x−1)− 2

((s− 1)2s−1t− 2t

)= −2d(s− 1)(t− 1)

√s−1t(x+ x−1) +

(2dt− (t+ 1)2

)(x2 + x−2)− 2d(s− 1)2s−1t

− 2d(t2 + 1) + 2(t+ 1)2. (3.24)

Als we (3.23) en (3.24) samenvoegen, krijgen we

d∑i=0

kiu2i (θ) = 1 +

d−1∑i=1

T 2i

t(1 + t)(x− x−1)2+

T 2d

t(t+ 1)2(x− x−1)2

=1

t(t+ 1)(x− x−1)2·[t(t+ 1)(x− x−1)2 − 2(t+ 1) + (x2 + x−2)(t+ 1)

− 2d(s− 1)(t− 1)√s−1t(x+ x−1) +

(2dt− (t+ 1)2

)(x2 + x−2)

− 2d(s− 1)2s−1t− 2d(t2 + 1) + 2(t+ 1)2]

=1

t(t+ 1)(x− x−1)2·[t(t+ 1)(x− x−1)2 + (x2 + x−2)

((t+ 1) + nt− (t+ 1)2

)− 2(t+ 1)− n(t2 + 1) + 2(t+ 1)2 − n(s− 1)2s−1t

− n(s− 1)(t− 1)√s−1t(x+ x−1)

](3.20)

=1

t(t+ 1)(x− x−1)2·[(x− x−1)2

(t(t+ 1) + (t+ 1) + nt− (t+ 1)2

)+ 2(

(t+ 1) + nt− (t+ 1)2)− 2(t+ 1)− n(t2 + 1) + 2(t+ 1)2

− n(s− 1)2s−1t− n(s− 1)(t− 1)√s−1t(x+ x−1)

]=

1

t(t+ 1)(x− x−1)2·[nt(x− x−1)2 − n(t− 1)2 − n(s− 1)2s−1t

− n(s− 1)(t− 1)√s−1t(x+ x−1)

]=

n

t+ 1·[1 +−(t− 1)2 − (s− 1)2s−1t− (s− 1)(t− 1)

√s−1t(x+ x−1)

t(x− x−1)2

].

Vermenigvuldigen we in de laatste breuk de teller en de noemer met s, dan volgt uit (3.17)

en (3.19) de gezochte gelijkheid:

d∑i=0

kiu2i (θ) =

n

t+ 1

[1 +

s(t− 1)2 + t(s− 1)2 + 2(s− 1)(t− 1)√st cos(2πl/n)

4st sin2(2πl/n)

]. (3.25)

Uit Opmerking 3.2.9 volgt dat de uitdrukking (3.25) rationaal is. Het is duidelijk dat dit geen

extra voorwaarde oplegt als s = t = 1. Veronderstel dus dat s > 2 of t > 2. Zij l < d en tellen

we de uitdrukkingen bekomen voor θ = 2√st cos(2πl

n ) + s− 1 en θ = 2√st cos(2π(n/2−l)

n ) + s− 1

op. Dan geldt wegens

sin

(2πl

n

)= sin

(2π(n/2− l)

n

)en cos

(2πl

n

)= − cos

(2π(n/2− l)

n

),

64


datn

t+ 1

(2 + 2

s(t− 1)2 + t(s− 1)2

4st sin2(2πln )

)∈ Q.

Bijgevolg is 4 sin2(2πln ) = 4 sin2(πld ) ∈ Q voor elke 0 < l < d als s > 1 of t > 1. We hebben zelfs

een sterker resultaat.

Lemma 3.3.6. Voor elke l ∈ 1, . . . , d− 1 geldt

4 sin2(πl

d) ∈ Z. (3.26)

Bewijs. Er geldt dat (x − x−1)2 = −4 sin2(πld ). Omdat x en x−1 wortels zijn van het monisch

polynoom zn−1 = 0, zijn x en x−1 algebraısche gehele getallen. De verzameling van algebraısche

gehele getallen is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging waaruit volgt dat voor

elke l ∈ 1, . . . , d− 1 ook (x− x−1)2 = −4 sin2(πld ) een geheel getal is.

Hieruit kunnen we nu beperkingen op d en dus op n vinden. We hebben sin2(πld ) ∈ Z en uit

0 < l < d volgt dat 0 < πld < π. Dus voor een l waarvoor 0 < πl

d < π vinden we

4 sin2(πl

d) ∈ Z⇔ sin(

πl

d) ∈ 1

2,

√2

2,

√3

2, 1

⇔ πl

d∈ π

6,π

4,π

3,π

2,5π

6,3π

4,2π

3.

Omdat het bovenstaande moet gelden voor elke l ∈ 1, . . . , d− 1, moet d ∈ 2, 3, 4, 6 waaruit

we besluiten dat n ∈ 4, 6, 8, 12.

Zij s > 1 en t > 1. Uit (3.25) en Opmerking 3.2.9 volgt dat ook√st cos(πld ) rationaal is voor

elke l ∈ 1, . . . , d−1. We kunnen bijgevolg de volgende opmerkingen maken als s > 1 en t > 1.

• Is d = 6 (n = 12), dan vinden we voor l = 1 en l = 2 dat zowel√st√

32 als

√st1

2 rationaal

zijn. Dit is duidelijk onmogelijk.

• Is d = 3 (n = 6), dan is cos(πld ) ∈ −12 ,

12 zodat

√st ∈ Q wat betekent dat st een kwadraat

is.

• Is d = 4 (n = 8), dan is cos(πld ) ∈ −√

22 , 0,

√2

2 zodat√

st2 ∈ Q wat betekent dat st

2 een

kwadraat is. Met andere woorden, 2st is een kwadraat.

We doen nu hetzelfde voor veralgemeende n-hoeken waarbij n oneven is. Door een eveneens

technisch en lang bewijs vindt men het volgende resultaat. Hierbij wordt onder andere gebruik

gemaakt van het feit dat s = t wegens Lemma 3.1.6

Lemma 3.3.7. Is n = 2d + 1 oneven, dan geldt voor elke eigenwaarde van de vorm θ =

2√st cos(2πl

n ) + s− 1 dat

d∑i=0

kiu2i (θ) =

n

t+ 1

[1 +

(t− 1)2

2t(1− cos(2πl/n))

]. (3.27)

65

3.4. Grenzen op de orde

Uit Opmerking 3.2.9 volgt dat de bovenstaande uitdrukking (3.27) rationaal is. Is t = 1 en dus

s = 1, dan vinden we opnieuw geen beperking op n. Is s = t > 1, dan geldt cos(

2πln

)∈ Q.

Verder vinden we zoals in Lemma 3.3.6 dat 2 cos(

2πln

)= x+ x−1 een geheel getal is. Bundelen

we deze resultaten cos(

2πln

)∈ Q en 2 cos

(2πln

)∈ Z samen, dan vinden we wegens 0 < l 6 d en

dus 0 < 2πln < π dat

cos(2πl

n) ∈ −1

2,1

2

⇔ 2πl

n∈ π

3,2π

3.

Dit is enkel mogelijk als n = 3 waarbij dan d = l = 1 is.

We besluiten dat een eindige veralgemeende n-hoek S van de orde (s, t) in een van de volgende

gevallen zit:

• S is een gewone n-hoek, dus s = t = 1;

• S is een niet-ontaard projectief vlak van de orde s = t > 2;

• S is een veralgemeende vierhoek;

• S is een veralgemeende hexagon en er geldt dat st een kwadraat als s 6= 1 en t 6= 1;

• S is een veralgemeende octagon en er geldt dat 2st een kwadraat is als s 6= 1 en t 6= 1;

• S is een veralgemeende dodecagon en er geldt dat s = 1 of t = 1.

Hiermee is de Stelling van Feit-Higman bewezen. Merk op dat we enkel dikke eindige veralge-

meende n-hoeken hebben als n ∈ 3, 4, 6, 8.

3.4 Grenzen op de orde

We hebben met de Stelling van Feit-Higman onderzocht wat de mogelijke eindige veralgemeende

n-hoeken met een orde zijn. Nu kunnen we ons de vraag stellen wat de mogelijke ordes van

deze eindige veralgemeende veelhoeken zijn. In Hoofdstuk 2 hebben we reeds gezien dat voor

eindige veralgemeende vierhoeken van de orde (s, t) geldt dat s 6 t2 en duaal dat t 6 s2.

Dit resultaat kunnen we veralgemenen voor elke eindige veralgemeende n-hoek met een orde.

Merk eerst op dat de orde (s, t) van eindige niet-ontaarde projectieve vlakken (veralgemeende

3-hoeken) wegens Lemma 3.1.6 noodzakelijk voldoet aan s = t. Verder hebben we net gezien

dat de eindige veralgemeende dodecagons met een orde noodzakelijk orde (1, t) of (s, 1) hebben.

We bekijken nog de eindige veralgemeende hexagons en octagons.

Stelling 3.4.1. Zij S een eindige veralgemeende n-hoek van de orde (s, t) waarbij s > 1 en

t > 1, dan gelden de volgende grenzen.

• Is n = 4, dan is s 6 t2 en duaal t 6 s2 (Ongelijkheid van Higman).

• Is n = 6, dan is s 6 t3 en duaal t 6 s3 (Ongelijkheid van Heamers en Roos).

• Is n = 8, dan is s 6 t2 en duaal t 6 s2 (Ongelijkheid van Higman).

66


Voor een bewijs van deze stelling verwijzen we naar Hoofdstuk 4. Daar zien we de zogenaamde

Krein Voorwaarden waaruit deze ongelijkheden afgeleid kunnen worden.

Enkele resultaten

Is n = 3, dan is er niet zoveel geweten over de orde s van de (niet-ontaarde) projectieve vlakken.

Alle gekende eindige projectieve vlakken hebben een orde die een priemmacht is. R. H. Bruck

en H. J. Ryser [9] toonden aan dat de orde s van het projectief vlak geschreven kan worden als

de som van twee kwadraten als s ≡ 1 mod 4 of als s ≡ 2 mod 4. Hieruit volgt bijvoorbeeld

dat eindige projectieve vlakken van de orde 6, 14, 21, 22 niet bestaan. Verder bewezen C. W.

H. Lam, L. Thiel en S. Swiercz in [31] met de computer dat er geen projectieve vlakken van de

orde 10 bestaan. Andere voorwaarden op de orde van eindige projectieve vlakken zijn er nog

niet gevonden.

Men kan aantonen dat er op isomorfie na een uniek projectief vlak van de orde 2, 3, 4, 5, 7 en

8 bestaat (zie bijvoorbeeld F. W. Stevenson [39]) en dat er op isomorfie na juist 4 projectieve

vlakken van de orde 9 bestaan. Dit resultaat werd wederom met de computer bekomen door C.

W. H. Lam, G. Kolesova en L. Thiel in [30]. Het uniek projectief vlak van de orde 2 noemen we

het Fano vlak.

Figuur 3.1: het Fano vlak

Is n = 4, dan verwijzen we naar het vorige hoofdstuk waar we hoofdzakelijk de klassieke voor-

beelden van eindige veralgemeende vierhoeken besproken hebben.

Is n = 6, dan is een eindige dikke veralgemeende hexagon waarbij 3 punten op elke rechte liggen

noodzakelijk van de orde 2 of van de orde (2, 8). Dit volgt eenvoudig uit Stelling 3.4.1 en het

feit dat st een kwadraat is. In het eerste geval bestaan er op een isomorfisme na juist twee duale

voorbeelden en er bestaat op een isomorfisme na juist een veralgemeende hexagon van de orde

(2, 8) (A.M. Cohen en J. Tits [13]). Alle gekende dikke veralgemeende hexagons hebben de orde

(q, q3) of duaal (q3, q), waarbij q een priemmacht is. Is q 6= 2, dan is er niets gekend over de

uniciteit van deze veralgemeende hexagons. De dunne gekende veralgemeende hexagons zijn van

de orde (1, q) of duaal (q, 1), q een priemmacht, en zijn uniek als q 6 8.

67

3.5. Semi-eindig en oneindig geval

Is n = 8, dan is er nog bitter weinig gekend over het al dan niet uniek zijn van dikke veral-

gemeende octagons van de orde (s, t). Is s = 2, dan is t = 4 wegens Stelling 3.4.1 en het feit

dat 2st een kwadraat is. Er is reeds een voorbeeld gevonden van een veralgemeende octagon

van de orde (2, 4) en men vermoedt dat dit voorbeeld uniek is. Algemeen hebben alle gekende

veralgemeende octagons de orde (s, s2) of duaal (s2, s) waarbij s = 22e+1, e ∈ N (s is dus een

oneven macht van 2). De dunne gekende veralgemeende octagons hebben de orde (1, q) of duaal

(q, 1), q een priemmacht, en zijn uniek als q 6 4. Voor de orde (1, 3) en (3, 1) is de uniciteit op

dualiteit na.

Is n = 12 dan zagen we dat een veralgemeende dodecagon de orde (1, s) of (t, 1) heeft. De

gekende voorbeelden zijn van de orde (1, q) en (q, 1), q een priemmacht. De veralgemeende

dedecagons van de orde (1, 2) en (2, 1) zijn uniek.

3.5 Semi-eindig en oneindig geval

J. Tits [46] toonde met behulp van vrije constructies aan dat er voor elke n een oneindige

veralgemeende n-hoek bestaat.

Uit Lemma 3.1.6 volgt dat een semi-eindige veralgemeende n-hoek enkel kan bestaan als n

even is. Voor n = 4 werd dit uitvoerig besproken in het vorige hoofdstuk. Voor grotere n is

er voorlopig zeer weinig gekend over het al dan niet bestaan van semi-eindige veralgemeende

n-hoeken.

Voorlopig zijn er voor n = 5, 7 of n > 9 nog geen veralgemeende n-hoeken geconstrueerd zonder

gebruik te maken van vrije constructies zoals J. Tits dat deed.

H. Van Maldeghem bespreekt in Hoofdstuk 2 van [48] de klassieke veralgemeende veelhoeken,

met name de klassieke projectieve vlakken, de klassieke veralgemeende vierhoeken (zie ook Pa-

ragraaf 2.2), de klassieke veralgemeende hexagons en de klassieke veralgemeende octagons. Alle

eindige gekende dikke veralgemeende hexagons en octagons zijn klassiek.

68

4Schier Veelhoeken

In dit hoofdstuk bestuderen we de mogelijke grenzen op schier veelhoeken. Dit zijn meetkundige

structuren die als uitbreiding van de veralgemeende vierhoeken en veralgemeende 2d-hoeken

gezien kunnen worden. Nadat we dit Paragraaf 4.1 hebben aangetoond in leiden we enkele be-

kende ongelijkheden af: de Krein Voorwaarden. Hiermee zijn we in staat om in Paragraaf 4.3

de grenzen op de eindige veralgemeende veelhoeken te bewijzen die we in het vorig hoofdstuk

geformuleerd hebben (Stelling 3.4.1). De klasse van de eindige veralgemeende 2d-hoeken be-

hoort tot de klasse van de reguliere schier veelhoeken en we tonen in Paragraaf 4.3.2 algemene

begrenzingen op grootte van deze klasse van reguliere schier veelhoeken aan.

Voor niet-reguliere schier veelhoeken is er zeer weinig gekend over mogelijke begrenzingen op de

orde. We bespreken in Paragraaf 4.4 en Paragraaf 4.5 gekende resultaten in specifieke gevallen.

In Paragraaf 4.4 tonen we de eindigheid van de schier veelhoeken van de orde (2, t) aan waarbij

elke twee punten op afstand 2 minstens twee gemeenschappelijke buren hebben.

In Paragraaf 4.5 bekijken we in detail de schier hexagons met drie punten op elke rechte. We

veronderstellen daar a priori niet dat er een orde is. Het blijkt dat we deze klasse van schier

hexagons kunnen opsplitsen in drie subklassen waarvan er twee behoren tot eerder besproken

klassen. De nog te bespreken schier hexagons met drie punten op elke rechte zijn deze met

minimale regulariteit die we hybride schier hexagons noemen.

We beginnen met het hernemen van de definitie van de schier veelhoeken en bekijken enkele

basiseigenschappen.

69



Definitie 4.1.1. Een partieel lineaire ruimte S = (P,L, I) met een eindige diameter is een

schier veelhoek (Near Polygon) als het voldoet aan de volgende eigenschap:

(NP) Voor elk punt x en elke rechte L van S bestaat er een uniek punt op L dat dichtst bij x

ligt.

We noteren het punt dichtst bij x op de rechte L als πL(x) en spreken over de projectie van

het punt x op de rechte L . Is d de diameter van S, dan noemen we S een schier 2d-hoek. In

het bijzonder is een schier 0-hoek een punt en een schier 2-hoek een rechte. Schier veelhoeken

werden geıntroduceerd door E. E. Shult & A. Yanushka in [38] en zijn uitbreidingen van de

veralgemeende vierhoeken (Stelling 4.1.2) en van veralgemeende veelhoeken (Stelling 4.1.8).

Stelling 4.1.2. Een schier 4-hoek is een veralgemeende vierhoek of een ontaarde veralgemeende

vierhoek.

Bewijs. Veronderstel dat S een schier 4-hoek is. Zij (x, L) een anti-vlag in S en noem y de

projectie van x op L. Omdat de maximale afstand tussen twee punten 2 is, vinden we dat

d(x, y) = 1. We vinden met andere woorden een uniek punt op L dat collineair is met x.

Bijgevolg is (GQ2) voldaan.

Bestaan er twee disjuncte rechten in S dan is er voldaan aan (GQ1) zodat S een veralgemeende

vierhoek is. Veronderstel dat S geen disjuncte rechten bevat en beschouwen we twee verschillende

snijdende rechten L1 en L2 in S. Noemen we hun gemeenschappelijk punt p dan ligt p op

elke andere rechte van S. Stel dat er een rechte L bestaat die niet door p gaat. Omdat we

veronderstellen dat er geen twee disjuncte rechten bestaan, snijdt L met L1 en L2. Noem deze

snijpunten respectievelijk p1 en p2. Het is duidelijk dat p1 6= p2 omdat L het punt p niet

bevat. Dit betekent dat p collineair is met twee verschillende punten van L, wat in strijd is

met de uniciteit van πL(p). Elke rechte van S gaat dus door p en we hebben een ontaarde

veralgemeende vierhoek.

Opmerking 4.1.3. We laten in het vervolg, zoals bij het hoofdstuk over veralgemeende vier-

hoeken, de ontaarde gevallen buiten beschouwing en ons hoofdzakelijk concentreren op schier

veelhoeken die een orde (s, t) hebben.

Bespreken we eerst enkele basisresultaten in verband met schier veelhoeken.

Stelling 4.1.4. Zijn S1 en S2 twee schier veelhoeken met collineariteitsgraaf Γ1 en Γ2, dan is

S1∼= S2 als en slechts als Γ1

∼= Γ2.

Bewijs. Is S1∼= S2 dan is in het bijzonder ook hun collineariteitsgraaf isomorf. Veronderstel

omgekeerd dat Γ1∼= Γ2 en kies i ∈ 1, 2 en een rechte L van Si. De punten van L vormen wegens

het (NP)-axioma een maximale kliek van Γi en ook omgekeerd correspondeert een maximale kliek

in Γi met een rechte van Si. Uit Γ1∼= Γ2 volgt nu direct dat zowel S1 als S2 isomorf zijn met

een punt-rechte meetkunde S waarbij de punten de toppen van Γi zijn, de rechte de maximale

klieken van Γi zijn en waarbij er een natuurlijke incidentie is.

70

Hoofdstuk 4. Schier Veelhoeken

Stelling 4.1.5. De klasse van schier veelhoeken waarbij elke rechte juist twee punten bevat

(dunne rechten), valt samen met de klasse van de samenhangende bipartite grafen met eindige

diameter.

Bewijs. Zij Γ = (V,E) een samenhangende bipartite graaf met eindige diameter. Voor elke

x ∈ V en y, z ∈ E heeft d(x, y) en d(x, z) een verschillende pariteit zodat juist een top van

y, z het dichtst bij x gelegen is. Dit betekent dat Γ de collineariteitsgraaf van een schier

veelhoek met dunne rechten is.

Veronderstellen we omgekeerd dat Γ de collineariteitsgraaf van een schier veelhoek met enkel

dunne rechten is. Veronderstel dat x0, x1, . . . , xk een pad van lengte k > 1 is in Γ. Elke rechte

xixi+1, i ∈ 0, . . . , k − 1 bevat juist een punt dat het dichtst bij x0 ligt, zodat d(x0, x1) en

d(x0, xi+1) een verschillende pariteit hebben waardoor d(x0, xi) ≡ i (mod 2). In het bijzonder

is elke cykel in Γ van even lengte waaruit volgt dat Γ een bipartite graaf is. Om dit in te zien

kiezen we een punt y in Γ vast en definieren we de verzameling V1 als de verzameling van alle

punten op een even afstand van y in Γ. De verzameling V2 definieren we dan als de verzameling

van alle punten in Γ die op een oneven afstand van y liggen. Stel dat er twee collineaire punten

z en z′ in Vi, i ∈ 1, 2, bestaan. Het samenstellen van het kortste pad tussen y en z met het

kortste pad tussen y en z′ zou ons altijd een cykel van oneven lengte geven, een strijdigheid.

We definieren nu de klassen van de reguliere schier veelhoeken.

Definitie 4.1.6. Een schier 2d-hoek S, d > 2 wordt regulier genoemd als het een orde (s, t)

heeft en als er constanten ti, i ∈ 0, . . . , d, bestaan zodat er voor elke twee punten x en y op

afstand i precies ti+1 rechten door y gaan die een (noodzakelijk uniek) punt bevatten op afstand

i − 1 van x. Er volgt eenvoudig dat t0 = −1, t1 = 0 en td = t. De constanten (s, t, t0, . . . , td)

worden de parameters van S genoemd.

Stelling 4.1.7. De klasse van de reguliere schier 2d-hoeken, d > 2, is juist de klasse van

schier 2d-hoeken die een afstandsreguliere collineariteitsgraaf hebben. De parameters van de

afstandsreguliere collineariteitsgraaf zijn dan ai = (s − 1)(ti + 1), bi = s(t − ti) en ci = ti + 1,

voor i ∈ 0, . . . , d, en in het bijzonder zijn c0 = 0, c1 = 1 en cd = t+ 1.

Bewijs. Is S een reguliere schier 2d-hoek met parameters (s, t, t0, . . . , td). We wensen aan te to-

nen dat de collineariteitsgraaf Γ van S een afstandsreguliere graaf is. Zij x en y twee willekeurige

punten van Γ. Elke rechte door y die een punt van Γi−1(x) bevat, en dit zijn er bij definitie ti+1,

heeft wegens het (NP)-axioma exact een zo’n punt. Alle ander punten op deze ti + 1 rechten

zitten in Γi(x). We vinden dus dat ci = ti + 1 en ai > (s− 1)(ti + 1). Uit het (NP)-axioma geldt

verder dat elke rechte door y die een tweede punt in Γi(x) bevat, noodzakelijk ook een punt in

Γi−1(x) moet bevatten zodat ai = (s − 1)(ti + 1). Er zijn bijgevolg t − ti rechten door y die

naast het punt y enkel punten in Γi+1(x) bevatten waaruit bi = (t− ti)s.Veronderstel omgekeerd dat S een schier 2d-hoek is met een afstandsreguliere collineariteitsgraaf

met parameters (ai, bi, ci), i ∈ 0, . . . , d. Elke rechte van S bevat a1 + 2 punten en omdat elk

punt van S collineair is met b0 andere punten, vinden we dat elke punt van S incident is metb0

a1+1 rechten van S. Zijn verder x en y twee punten van S op afstand i van elkaar, i ∈ 0, . . . , d,dan bestaan er ci rechten door y die een (noodzakelijk) uniek punt van Γi−1(x) bevatten. De

71


schier veelhoek S is dus een reguliere schier veelhoek met parameters (s, t, ti) waarbij s = a1 +1,

t = b0s − 1 en ti = ci − 1 voor i ∈ 0, . . . , d.

Stelling 4.1.8. Elke veralgemeende 2d-hoek is een schier 2d-hoek, d > 2.

Bewijs. Veronderstel dat (x, L) een anti-vlag is in een veralgemeende 2d-hoek S, d > 2. Uit

Lemma 3.1.5-a volgt dat er een uniek kortste pad is van het punt x naar de rechte L in de

incidentiegraaf van S. Dit impliceert dat er een uniek punt bestaat op de rechte L dat dichtst

bij x ligt. Uit Lemma 3.1.5-b volgt verder dat de diameter S gelijk is aan d.

Opmerking 4.1.9. Zoals we reeds in het begin van dit hoofdstuk hebben opgemerkt, volgt

uit Stelling 4.1.8 dat de klasse van schier veelhoeken een uitbreiding is van de klasse van

veralgemeende veelhoeken. In Paragraaf 3.2 hebben we ook gezien dat een eindige veralge-

meende n-hoek met orde (s, t) een afstandsreguliere collineariteitsgraaf heeft waarbij ci = 1

voor i ∈ 1, . . . , d − 1. De klasse van reguliere schier 2d-hoeken is dus een uitbreiding van

eindige veralgemeende 2d-hoeken met een orde (s, t).

Opmerking 4.1.10. Voor d > 1 wordt een schier (2d+ 1)-hoek S gedefinieerd als een partieel

lineaire ruimte van diameter d die voldoet aan de volgende eigenschappen:

• voor elke punt x en elke rechte L van S waarvoor d(x, L) < d, bestaat er een uniek punt

op L het dichtst bij x gelegen;

• er bestaat een punt-rechte paar (x, L) in S zodat d(x, L) = d.

De schier 3-hoeken zijn de lineaire ruimten die geen rechten zijn. Inderdaad, omdat de diameter

van een schier 3-hoek 1 is, moet er noodzakelijk een rechte gaan door elke twee verschillende

punten. Omgekeerd is het eerste axioma triviaal omdat d = 1. Het tweede axioma impliceert

dat er een anti-vlag bestaat.

Een gewone (2d + 1)-hoek met d > 1 is een voorbeeld van een schier (2d + 1)-hoek. De klasse

van de schier (2d+ 1)-hoeken behoort niet tot de klasse van de schier veelhoeken. We bespreken

bijgevolg in deze tekst geen schier (2d + 1)-hoeken. Merk wel op dat wegens deze definitie van

schier (2d+1)-hoeken Stelling 4.1.8 veralgemeend kan worden naar alle veralgemeende n-hoeken

met n > 3.

72


4.2 Krein Voorwaarden

4.2.1 Associatieschema

Om de Krein Voorwaarden te bekomen, voeren we eerst het begrip associatieschema in. R. C.

Bose introduceerde dit begrip in [3] en [4] bij zijn werk over ‘partially balanced designs’. Verder

staat onder andere in A. E. Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier [7] en in C. D. Godsil [23] een

uitgebreide inleiding over associatieschema’s. We beperken ons hier tot de eigenschappen die no-

dig zijn om tot de Krein voorwaarden te komen. Vanzelfsprekend vindt men in de bovenvermelde

boeken en artikels een vollediger beschrijving over associatieschema’s.

Definitie 4.2.1. Zij X een eindige verzameling, dan is een associatieschema met d klassen op

X het paar (X,R) waarvoor geldt

(i) R = R0, R1, . . . , Rd is een partitie van X ×X,

(ii) R0 is de identiteitrelatie, met andere woorden R0 = (x, x) | x ∈ X,

(iii) Ri is symmetrisch voor i ∈ 0, . . . , d, met andere woorden als (x, y) ∈ Ri dan is (y, x) ∈Ri,

(iv) er bestaan constanten plij , de intersectie getallen van het associatieschema, zodat er voor

elke (x, y) ∈ Rl geldt dat het aantal elementen z ∈ X waarvoor (x, z) ∈ Ri en (z, y) ∈ Rjgelijk is aan plij .

We geven een voorbeeld van een associatieschema met d klassen uit de codeertheorie.

Voorbeeld 4.2.2. Zij Y een verzameling met grootte q > 2. Definieer X als het cartesisch

product Y d voor een bepaalde d. De elementen van X noemen we woorden van lengte d. Zijn

ω1 en ω2 twee elementen van X dan is (ω1, ω2) ∈ Ri als en slechts als ω1 en ω2 op juist i plaatsen

verschillen, i ∈ 0, . . . , d. Nu is (X, R0, R1, . . . , Rd) een associatieschema met d klassen dat

het Hamming schema wordt genoemd.

Bekijken we in het bijzonder p0ii, i ∈ 0, . . . , d. Dit is het aantal elementen z van X waarvoor

(x, z) ∈ Ri, onafhankelijk van x ∈ X. Deze constante noemen we de valentie van Ri en noteren

we als ki.

Het aantal elementen van X kan nu worden uitgedrukt in functie van de valenties. Inderdaad,

uit (i) volgt dat

v := |X| =d∑i=0

ki.

Verder volgt eenvoudig uit (iii) dat pkij = pkji voor elke i, j, k ∈ 0, . . . , d.

4.2.2 Bose-Menser Algebra

Veronderstel dat (X,R = R0, R1, . . . , Rd) een associatieschema met d klassen is. De relaties

Ri van dit associatieschema kunnen we ook uitdrukken met behulp van v × v matrices Ai.

73

4.2. Krein Voorwaarden

Definitie 4.2.3. Zij (x, y) ∈ X × X en i ∈ 0, . . . , d, dan definieren we de matrix Ai als de

symmetrische (0, 1)-matrix waarvoor geldt:

(Ai)xy =

1 als (x, y) ∈ Ri,

0 als (x, y) /∈ Ri.

De matrix Ai is met andere woorden de adjacentiematrix van de graaf (X,Ri). In het vervolg

noemen we de matrices Ai, i ∈ 0, . . . , d, de adjacentiematrices van het associatieschema.

We schrijven zoals in Hoofdstuk 2 A(x, y) in plaats van Axy voor het element in de rij x en kolom

y van de matrix A. Door de invoering van deze adjacentiematrices kunnen we nu Definitie 4.2.1

equivalent schrijven als

(i)∑d

i=0Ai = J ,

(ii) A0 = I,

(iii) Ai = ATi ,

(iv) AiAj =∑d

k=1 pkijAk.

Als we een willekeurig element van AiAj bekijken volgt (iv) eenvoudig:

(AiAj)(x, y) =d∑l=0

Ai(x, l)Aj(l, y).

Het product Ai(x, l)Aj(l, y) = 1 als (x, l) ∈ Ri en (l, y) ∈ Rj . Dit komt plij keer voor als

(x, y) ∈ Rl.De matrices Ai zijn lineair onafhankelijk en uit (iii) vinden we wegens pkij = pkji voor elke i, j, k ∈0, . . . , d dat de matrices Ai onderling commuteren en dat de vectorruimte 〈A0, A1, . . . , Ad〉gesloten is onder de matrixvermenigvuldiging. We kunnen dus besluiten dat de matrices

A0, A1, . . . , Ad een (d + 1)-dimensionale commutatieve algebra A opspannen van symmetrische

matrices over R. Deze algebra werd voor het eerst bestudeerd door R. C. Bose en D. M. Mensner

[2] en wordt de Bose-Mensner algebra van het associatieschema genoemd.

Merk op dat de matrixvermenigvuldiging in A ten opzichte van de basis A0, A1, . . . , Ad wat

onhandig is. We beschrijven daarom een nieuwe basis E0, E1, . . . , Ed waarbij de matrixver-

menigvuldiging een stuk eenvoudiger is. Hiervoor herhalen we eerst enkele definities.

Definitie 4.2.4. Een matrix D is idempotent als D2 = D. Een idempotente matrix is minimaal

als het niet kan geschreven worden als de som van twee verschillende niet-nul idempotente

matrices. Een verzameling matrices D0, D1, . . . , Dn is paarsgewijs orthogonaal idempotent als

er voor elke i, j ∈ 0, . . . , n geldt dat DiDj = δijDi. Een matrix D is normaal als DD∗ = D∗D,

waarbij D∗ de toegevoegde van de geconjungeerde van D is.

De adjacentiematrices Ai zijn symmetrische matrices over R en zijn dus normaal. Verder volgt

gemakkelijk dat een verzameling paarsgewijs orthogonale idempotente matrices ook minimaal

idempotent is. De nieuwe basis E0, E1, . . . , Ed voor A die we hieronder definieren zal een basis

van minimaal idempotente matrices zijn.

74


Stelling 4.2.5. De Bose-Mensner Algebra van het associatieschema A met d klassen heeft een

basis E0, . . . , Ed van minimaal idempotente matrices.

De bovenstaande stelling volgt bijvoorbeeld uit het onderstaand lemma van C. D. Godsil [23, p.

224-225].

Lemma 4.2.6. Is A een associatieschema met d klassen op een verzameling van kardinaliteit n,

gevormd door de (0, 1)- matrices A0, A1, . . . , Ad. Dan bestaat er een verzameling van paarsgewijs

orthogonaal idempotente matrices E0, . . . , Ed en een verzameling van reele getallen Pji zodat:

(a)∑d

j=0Ej = I;

(b) AiEj = PjiEj;

(c) E0, . . . , Ed is een basis voor 〈A0, A1, . . . , Ad〉.

Bewijs. Bestaat er een i ∈ 1, . . . , d waarvoor Ai de nulmatrix is, dan kunnen we Ei := Ai

definieren. De matrix Ei is trivialerwijs orthogonaal idempotent met alle matrices. Omdat

A0 = I zijn niet alle matrices Ai gelijk aan de de nulmatrix en kunnen we vanaf nu zonder

verlies van algemeenheid veronderstellen dat alle matrices Ai, i ∈ 0, . . . , d niet-nul matrices

zijn. Omdat de matrices Ai normaal zijn, kunnen we de spectraal decompositie van deze matrices

gebruiken (zie C. D. Godsil [23, p. 27-28]). We vinden voor elke i ∈ 0, . . . , d, paarsgewijs

orthogonaal idempotente matrices Yij | j ∈ Ji, waarbij Ji een indexverzameling is, zodat voor

elke i ∈ 0, . . . , d:

(i) AiYij = θijYij , waarbij θij reele constanten zijn;

(ii)∑

j∈Ji Yij = I;

(iii) Yij is een polynoom in Ai.

Merk op dat A0 = I voor elk associatieschema. Zodus, (i) wordt A0I = 1I en J0 = 1, Y01 = I

en θ01 = 1.

Omdat de matrices in A commuteren volgt uit (iii) dat de matrices Yij onderling commuteren

voor verschillende i, j en dat ze commuteren met A0, . . . , Ad. Hieruit volgt dat een product van

matrices van de vorm Yij een idempotente matrix is. Inderdaad,∏ij

Yij ·∏ij

Yij =∏ij

YijYij =∏ij

Yij , (4.1)

waarbij de eerste gelijkheid geldt wegens het onderling commuteren van de matrices Yij en de

tweede gelijkheid geldt wegens het idempotent zijn van de matrices Yij . De producten gaan

over een willekeurige indexverzameling. Merk trouwens op dat (4.1) de nulmatrix wordt als in∏ij Yij twee elementen Yαβ en Yγδ zitten waarbij α = γ en β 6= δ.

Als we het product nemen van (ii) voor elke i ∈ 0, . . . , d dan bekomen we:

I =

d∏i=0

∑j∈Ji

Yij

=∑k

Ek,

75


waarbij Ek het product is van d + 1 idempotente matrices Yiki , i ∈ 0, . . . , d, en de laatste

sommatie gaat over een indexverzameling met kardinaliteit |J0| + |J1| + · · · + |Jd|. Omdat

producten van matrices van de vorm Yij idempotente matrices zijn, volgt dat ook elke Ek

idempotent is. Sterker nog, de matrices Ek zijn paarsgewijs orthogonaal idempotent wegens het

paarsgewijs orthogonaal zijn van de idempotente matrices Yij :

EkEl =d∏i=0

Yiki

d∏p=0

Yplp

=d∏i=0

YikiYili

=

d∏i=0

δkiliYiki

= δklEk.

Merk op dat we hierboven gebruik maken van de commutatieve eigenschap tussen matrices van

de vorm Yij . Hieruit volgt ook

AlEk = Al

d∏i=0

Yiki

= AlYlkl

d∏i=0i 6=l

Yiki

= θlklYlkl

d∏i=0i 6=l

Yiki

= θlklEk.

We vinden dus constanten Pkl zodat AlEk = PklEk. Bijgevolg geldt voor elke i ∈ 0, . . . , d:

Ai = AiI = Ai∑k

Ek =∑k

PkiEk,

waardoor we kunnen concluderen dat elke Ai, i ∈ 0, . . . , d, een lineaire combinaties van de

matrices Ek is. Verder zijn deze matrices Ek paarsgewijs orthogonaal dus lineair onafhankelijk.

We vinden met andere woorden dat de matrices Ek een basis zijn voor 〈A0, A1, . . . , Ad〉. Dit

impliceert dat er juist d+ 1 matrices Ek zijn.

We hebben nu een basis van minimaal idempotente matrices E0, . . . , Ed voor de Bose-Mensner

algebra A van een associatieschema met d klassen waarvoor EiEj = δijEi.

De matrix 1vJ is minimaal idempotent waardoor we E0 = 1

vJ kunnen veronderstellen. Inderdaad,

het idempotent zijn volgt wegens J2 = vJ en het minimaal zijn volgt uit rang r(J) = 1 waardoor

het onmogelijk een som kan zijn van twee verschillende niet-nul idempotente matrices. In het

bewijs van Lemma 4.2.6 hebben we reeds de matrices Ai, i ∈ 0, . . . , d, uitgedrukt in de basis

E0, . . . , Ed van A. Omgekeerd kunnen we ook de matrices Ei, i ∈ 0, . . . , d, uitdrukken in

76


de basis A0, . . . , Ad van A. Er bestaan constanten Qki zodat we de basisverandering tussen

de twee basissen van A kunnen noteren als

Ai =

d∑k=0

PkiEk, Ei =1

v

d∑k=0

QkiAk i ∈ 0, . . . , d. (4.2)

In het bijzonder is Qk0 = 1 voor elke k ∈ 0, . . . , d.

In Lemma 4.2.6 hebben we ook gezien dat AjEi = PijEi waaruit volgt dat Pij de eigenwaarden

van Aj zijn en dat de kolommen van Ei de corresponderende eigenvectoren zijn. De constanten

Pij noemen we ook de eigenwaarden van A. Omdat A0 = I vinden we voor elke i ∈ 0, . . . , ddat Pi0 = 1 en omdat E0 = 1

vJ vinden we voor elke j ∈ 0, . . . , d dat P0j gelijk is aan het

aantal niet-nul elementen op elke rij van Aj . We noteren ook vaak P0j als nj .

Omdat E2i −Ei = 0, moet er voor een eigenwaarde λ van Ei met bijhorende eigenvector v gelden

dat 0 = (E2i − Ei)v = (λ2 − λ)v. Elke eigenwaarde van Ei is bijgevolg 0 of 1 waardoor de rang

van de matrices Ei gelijk is aan de som van de eigenwaarden. We hebben dat

r(Ei) = tr(Ei) := fi.

In het bijzonder geldt dat f0 = 1 en∑

i fi = v. De getallen fi noemen we ook de multipliciteiten

van A.

Zoals reeds vermeld is de nieuwe basis E0, . . . , Ed van A eenvoudiger ten opzichte van de ma-

trixvermenigvuldiging in vergelijking met de originele basis A0, . . . , Ad van adjacentiematrices

(EiEj = δijEi ten opzichte van AiAj =∑

k pkijAk).

Merk op dat de Bose-Mensner algebra A ook gesloten is onder de componentsgewijze (Hadamard

of Schur) vermenigvuldiging die we noteren met . Dit volgt uit

Ai Aj = δijAi,

voor elke i, j ∈ 0, . . . , d. Hieruit vinden we ook dat de matrices A0, A1, . . . , Ad minimaal

idempotent zijn ten opzichte van de componentsgewijze vermenigvuldiging in A zodat we de rol

van de twee basissen kunnen omdraaien in het voorgaande verhaal. In het bijzonder schrijven

we voor elke i, j ∈ 0, . . . , d

Ei Ej =1

v

d∑k=0

qkijEk, (4.3)

waarbij qkij reele constanten zijn, gekend als de Krein Parameters van het associatieschema.

L. L. Scott [37] bewees dat deze parameters niet-negatief zijn en we noemen dit belangrijk

resultaat de Krein Voorwaarden. In A. Neumaier [35] wordt het niet-negatief zijn van de Krein

Parameters op een nieuwe manier aangetoond waarbij ook een voorwaarde wordt gegeven als de

Krein Voorwaarden nul worden. We bespreken hier het bewijs van A. Neumaier. Noteren we∑(A) voor de som van alle elementen van een matrix A dan hebben we de volgende eenvoudige

eigenschap.

Lemma 4.2.7. Voor elke twee n× n matrices A en B hebben we

tr(AB) =∑

(A BT ). (4.4)

77


Bewijs. We hebben

tr(AB) =n∑i=1

n∑j=1

AijBji

=∑i,j

AijBTij =

∑(A BT

).

De Krein Voorwaarden volgen uit de volgende stelling.

Stelling 4.2.8. Voor elke i, j, k ∈ 0, . . . , d geldt dat

vfkqkij =

d∑l=0

klQliQljQlk > 0, (4.5)

en de ongelijkheid wordt een gelijkheid als en slechts als∑x∈X

Ei(u, x)Ej(v, x)Ek(w, x) = 0 voor alle u, v, w ∈ X. (4.6)

Bewijs. Omdat de matrices Ei symmetrisch, onderling orthogonaal en idempotent zijn, hebben

we ∑u∈X

Ei(u, x)Ei(u, y) =∑u∈X

Ei(x, u)Ei(u, y)

= (EiEi)(x, y)

= Ei(x, y).

Berekenen we∑(Ei Ej Ek)

=∑x,y∈X

Ei(x, y)Ej(x, y)Ek(x, y)

=∑x,y∈X

(∑u∈X

Ei(u, x)Ei(u, y)

)(∑v∈X

Ej(v, x)Ej(v, y)

)(∑w∈X

Ek(w, x)Ek(w, y)

)

=∑

u,v,w∈X

(∑x∈X

Ei(u, x)Ej(v, x)Ek(w, x)

)·

∑y∈X

Ei(u, y)Ej(v, y)Ek(w, y)

=

∑u,v,w∈X

(∑x∈X

Ei(u, x)Ej(v, x)Ek(w, x)

)2

> 0. (4.7)

We berekenen v2∑

(Ei Ej Ek) op twee manieren. We vinden met behulp van Lemma 4.2.7

en (4.3) dat

v2∑

(Ei Ej Ek) = v2 · tr ((Ei Ej)Ek)

= v · tr

(v∑l=0

qlijElEk

)= v · tr

(qkijEk

)(EiEj = δijEi)

= vqkijtr(Ek)

= vqkijfk.

78


Anderzijds vinden we wegens (4.2) dat

v2∑

(Ei Ej Ek) =1

v

∑((∑l

QliAl

)

(∑m

QmjAm

)

(∑n

QnkAn

))

=1

v

∑(∑l

QliQljQlkAl

)(Ai Aj = δijAi)

=1

v

∑l

QliQljQlk∑

(Al)

=∑l

klQliQljQlk.

De laatste stap volgt als we∑

(Al) uitrekenen. We moeten de koppels (x, y) tellen zodat (x, y) ∈Rl: ∑

(Al) = v · p0ll = v · kl.

Hieruit kunnen we besluiten dat de ongelijkheid in (4.5) geldt. We hebben een gelijkheid vfkqkij =

0 als en slechts als∑

(Ei Ej Ek) = 0 en dit is wegens (4.7) juist wanneer (4.6).

De Krein Voorwaarden volgen direct uit deze stelling aangezien de waarden v en fk voor elke k

strikt positief zijn. In de volgende paragraaf gaan we expliciet de Krein Parameters berekenen.

4.2.3 Krein Parameters

In deze paragraaf bekijken we eerst enkele verbanden tussen de matrices P en Q die op de ij−de

plaats het element Pij respectievelijk Qij uit (4.2) hebben. Daarna drukken we de intersectie

getallen pkij en de Krein Parameters qkij uit in functie van de eigenwaarden Pij van A.

De uitdrukking van Ei in de basis 〈A0, A1, . . . , Ad〉 in (4.2) geeft ons een analogon voor Lemma 4.2.6-

b ten opzichte van de componentsgewijze vermenigvuldiging:

Ei Aj =1

v

d∑k=0

QkiAk Aj =1

vQjiAj . (4.8)

De constanten Qij worden ook wel de duale eigenwaarden van A genoemd. Merk op dat de

componentsgewijze vermenigvuldiging commutatief is zodat ook Aj Ei =1

vQjiAj .

We bekijken nu twee verbanden tussen P en Q. Als eerste vinden we wegens (4.2) en (4.8) dat

Ai =1

v

∑k,j PkiQjkAj en dus dat

∑k PkiQjk = vδij waaruit

PQ = vI.

Om het tweede verband tussen P en Q te vinden, gebruiken we Lemma 4.2.6-b en Lemma 4.2.7:

Pjifj = Pjitr(Ej) = tr(PjiEj) = tr(AiEj) =∑

(Ai Ej) =1

vQij

∑(Ai). (4.9)

Definieren we de diagonaalmatrices ∆n en ∆f waarbij ∆n(i, i) = ni en ∆f (i, i) = fi, dan volgt

uit (4.9) dankzij∑

(Ai) = v · ni dat

P T∆f = ∆nQ. (4.10)

79


We drukken nu de multipliciteiten fi, de intersectie getallen pkij en de Krein Parameters qkij uit

in functie van de elementen Pij . Uit (4.10) volgt

∆−1n P T∆f∆−1

f = ∆−1n ∆nQ∆−1

f

⇔ ∆−1n P T = v∆−1

f ,

waarbij we, als we de diagonaalelementen vergelijken, vinden dat

d∑k=0

P 2ik

nk=

v

fi.

Om de intersectie getallen expliciet te noteren gebruiken we AiAj =∑d

k=1 pkijAk. Hieruit vinden

we

(AiAj) Ak = pkijAk,

zodat

pkij∑

(Ak) =∑

(pkijAk)

=∑

((AiAj) Ak)

= tr ((AiAj)Ak)

= tr

((∑r

PriEr

)(∑l

PljEl

)(∑h

PhkEh

))

= tr

(∑r

PriPrjPrkEr

)=∑r

PriPrjPrktr(Er).

We hebben dus

pkij =

∑r PriPrjPrkfr∑

(Ak). (4.11)

Om de Krein Parameters expliciet te gaan noteren, gaan we analoog te werk. We gebruiken de

gelijkheid (4.3) en vervangen de gewone vermenigvuldiging door de componentsgewijze verme-

nigvuldiging en omgekeerd. Uit

(Ei Ej)Ek =1

v

∑r

qrijErEk =1

vqkijEk,

volgt

1

vqkijtr(Ek) = tr

(1

vQkijEk

)= tr ((Ei Ej)Ek)

=∑

((Ei Ej) Ek)

=1

v3

∑((∑r

QriAr

)

(∑l

QljAl

)

(∑h

QhkAh

))

=1

v3

∑(∑r

QriQrjQrkAr

)=

1

v3

∑r

QriQrjQrk∑

(Ar).

80


Uit (4.9) vinden we Qij =vPjifj∑

(Ai)zodat

1

vqkijfk =

1

v3

∑r

v3PirPjrPkr∑

(Ar)1∑

(Ar)3fifjfk,

waaruit wegens∑

(Ar) = v · nr = v · P0r volgt

qkij =fifjv

d∑r=0

PirPjrPkrP 2

0r

, (4.12)

en we dus de Krein Parameters expliciet bepaald hebben.

4.3 Grenzen op reguliere schier veelhoeken

In deze paragraaf stellen we ons de vraag wat de begrenzing op t is voor een reguliere schier

2d-hoek van de orde (s, t) als s > 2. Het is de bedoeling om t in functie van d en s te begren-

zen. We beginnen met het bewijzen van de grenzen op de eindige veralgemeende vierhoeken,

veralgemeende hexagons en veralgemeende octagons die we reeds in Stelling 3.4.1 geformuleerd

hebben. Daarna doen we dit voor alle reguliere schier veelhoeken.

Merk op dat de vraag naar het bestaan van semi-eindige reguliere schier veelhoeken overbodig

is omdat reguliere schier veelhoeken bij definitie eindig zijn.

4.3.1 Grenzen op eindige veralgemeende veelhoeken

In Hoofdstuk 3 zagen we de Stelling van Feit-Higman die stelde dat elke eindige veralgemeende n-

hoek van de orde (s, t) een gewone veelhoek, een projectieve vlak, een veralgemeende vierhoek,

een veralgemeende hexagon, een veralgemeende octagon of een veralgemeende dedecagon is.

We zagen ook de volgende stelling over de grenzen op de orde van veralgemeende vierhoeken,

veralgemeende hexagons en veralgemeende octagons.

Stelling 4.3.1. Zij S een eindige veralgemeende n-hoek van de orde (s, t) waarbij s > 1 en

t > 1, dan hebben we de volgende grenzen.

• Is n = 4, dan s 6 t2 en duaal t 6 s2 (ongelijkheid van Higman).

• Is n = 6, dan s 6 t3 en duaal t 6 s3 (ongelijkheid van Heamers en Roos).

• Is n = 8, dan s 6 t2 en duaal t 6 s2 (ongelijkheid van Higman).

We bewijzen deze ongelijkheden met behulp van de Krein Voorwaarden. We merken daarvoor

eerst op dat een reguliere schier veelhoek, en dus in het bijzonder een eindige veralgemeende

veelhoek, een associatieschema is. Zij S = (P,L, I) een reguliere schier 2d-hoek, dan definieren

we de associatieklassen R0, R1, . . . , Rd van S als

Ri := (x, y) ∈ P × P | d(x, y) = i.

Het is eenvoudig aan te tonen dat (S, R0, R1, . . . , Rd) een associatieschema is volgens Defini-

tie 4.2.1. Omdat d de diameter van S is, zitten alle (x, y) ∈ P ×P in juist een Ri. Verder is R0

81

4.3. Grenzen op reguliere schier veelhoeken

de verzameling van de koppels (x, x) en is de afstand een symmetrische relatie zodat (x, y) ∈ Rials en slechts als (y, x) ∈ Ri. Puntje (iv) van Definitie 4.2.1 is iets minder triviaal en wordt later

in Lemma 4.3.2-(ii) bewezen.

D. G. Higman [28, p.347-363] bewees de ongelijkheid t 6 s2 voor n = 4 en n = 8. Een 15-tal

jaar later bewees A. Neumaier [35] dit op een nieuwe manier waar hij een voldoende voorwaarde

formuleerde voor het geval dat de Krein Voorwaarden een gelijkheid geven. Deze nieuwe manier

wordt in deze tekst besproken, maar eerst tonen we de ongelijkheid t 6 s3 voor n = 3 aan. W.

Haemers en C. Roos bewezen deze ongelijkheid in [26]. Omdat het duale van een veralgemeende

n-hoek terug een veralgemeende n-hoek is, volgen ook de ongelijkheden s 6 t2 voor n = 4 en

n = 8, en s 6 t3 voor n = 3.

Veralgemeende Hexagons

Zij S = (P,L, I) een veralgemeende hexagon (d = 3). Zoals hierboven besproken krijgen we

een associatieschema met 3 klassen geınduceerd door de afstand. Noteren we zoals voorheen de

adjacentiematrices van S als A0, A1, A2, A3 en de eigenwaarden van de matrix Aj als Pij . Deze

eigenwaarden worden gegeven in Tabel 4.1. We verwijzen bijvoorbeeld naar A. E. Brouwer,

A. M. Cohen en A. Neumaier [7] voor deze waarden.

Pij i = 0 i = 1 i = 2 i = 3

j = 0 1 1 1 1

j = 1 s(t+ 1) s− 1 +√st s− 1−

√st −t− 1

j = 2 s2t(t+ 1) −s+ (s− 1)√st −s− (s− 1)

√st t(t+ 1)

j = 3 t2s3 −s√st s

√st −t2

Tabel 4.1: Eigenwaarden

In Stelling 4.2.8 bewezen we de Krein Voorwaarden:

qkij > 0 voor elke i, j, k ∈ 0, 1, 2, 3.

Daarna hebben we de expliciete vorm van de Krein Parameters bepaald in functie van de eigen-

waarden Pij :

qkij =fifjv

3∑r=0

PirPjrPkrP 2

0r

voor elke i, j, k ∈ 0, 1, 2, 3. (4.13)

Zodus geldt voor elke i, j, k ∈ 0, 1, 2, 3

0 63∑r=0

PirPjrPkrP 2

0r

.

In het bijzonder vinden we voor i = j = 3 en k = 2 (q233):

0 6 1 +(−t− 1)2(s− 1−

√st)

s2(t+ 1)2+t2(t+ 1)2(−s− (s− 1)

√st

s4t2(t+ 1)2+t4s√st

t4s6

⇔ 0 6 s5 + s4 − s3 − s3√st− s2 − s2

√st+ s

√st+

√st

⇔ 0 6 (s2 − 1)(s+ 1)(s2 −√st).

82


Hieruit volgt s2 >√st en dus t 6 s3 als s > 1. Deze grens wordt ook bereikt: J. Tits [45]

bewees het bestaan van een veralgemeende hexagon met t = s3 voor elke priemmacht s.

Veralgemeende Vierhoeken en Octagons

Zoals reeds vermeld bespreken we het bewijs dat A. Neumaier in [35] gaf. We bewijzen eerst

enkele eigenschappen van reguliere schier veelhoeken. Herinner dat een reguliere schier veelhoek

een schier veelhoek is waarbij de collineariteitsgraaf afstandsregulier is en de volgende parameters

heeft:

ai = (s− 1)ci, bi = s(t+ 1− ci) i ∈ 0, . . . , d, (4.14)

waarbij c0 = 0, c1 = 1 en cd = t+ 1.

Lemma 4.3.2. Zij S = (P,L, I) een reguliere schier veelhoek.

(i) Noteren we opnieuw ki voor het aantal punten op afstand i van een punt x ∈ S. Dan is

ki een constante die onafhankelijk van x is, k0 = 1 en

kici = ki−1bi−1 i ∈ 1, . . . , d. (4.15)

(ii) Voor elke twee punten x, y ∈ S op afstand l is het aantal punten z ∈ S waarvoor d(z, x) = i

en d(z, y) = j een constant plij die onafhankelijk is van de keuze van x en y.

(iii) Noteren we σ =∑d

j=0 s−2jkj dan hebben we

d∑i,j=0

(−1

s

)i+jplij =

(−1

s

)lσ i ∈ 0, . . . , l.

Bewijs. (i) Wegens Stelling 4.1.7 is de collineariteitsgraaf van S een afstandsreguliere graaf

en het gestelde is net Lemma 3.2.2.

(ii) Uit de regulariteit van S vinden we dat plij = plji. We bewijzen het gestelde via inductie

op j. Het is duidelijk dat pli0 = δil. Veronderstel dat het gestelde geldt voor elke j′ 6 j.

Tellen we de koppels (v, w) ∈ S × S waarvoor d(v, w) = j, d(v, x) = i en d(w, y) = 1

op twee manieren. Kiezen we v op afstand i van x vast, dan hebben we d(v, y) = j + 1,

d(v, y) = j of d(v, y) = j−1 zodat het totaal aantal koppels (v, w) gelijk is aan plij+1cj+1 +

plijaj + plij−1bj−1. Kiezen we anderzijds w vast, dan is d(x,w) = l + 1, d(x,w) = l of

d(x,w) = l − 1 zodat we blpl+1ij + alp

lij + clp

l−1ij koppels (v, w) tellen. We vinden dus

blpl+1ij + alp

lij + clp

l−1ij = plij+1cj+1 + plijaj + plij−1bj−1, (4.16)

waaruit we plij+1 op een inductieve manier kunnen bepalen omdat cj+1 6= 0. Merk op dat

hiermee ook de onafhankelijkheid van plij met x en y aangetoond is.

(iii) Definieren we πlj :=∑d

i=0

(−1

s

)iplij . Als we vergelijking (4.16) eerst vermenigvuldigen

met

(−1

s

)ien daarna de som over elke i ∈ 0, . . . , d nemen, dan krijgen we

blπl+1j + alπ

lj + clπ

l−1j = πlj+1cj+1 + πljaj + πlj−1bj−1. (4.17)

83


We bewijzen op een inductieve manier de gelijkheid

πlj =

(−1

s

)j+lkj . (4.18)

Is j = 0, dan is k0 = 1 zodat

πl0 =∑i

(−1

s

)ipli0 =

∑i

(−1

s

)iδil =

(−1

s

)l=

(−1

s

)lk0

Veronderstel dat (4.18) geldt voor elke j′ 6 j. Uit (4.17) volgt

πlj+1 =1

cj+1

[blπ

l+1j + alπ

lj + clπ

l−1j − ajπlj − bj−1π

lj−1

].

Uit de inductiehypothese volgt

πlj+1 =1

cj+1

[bl

(−1

s

)j+l+1

kj + al

(−1

s

)j+lkj + cl

(−1

s

)j+l−1

kj

−aj(−1

s

)j+lkj − bj−1

(−1

s

)j+l−1

kj−1

],

zodat dankzij (4.14) en (4.15)

πlj+1 =kjcj+1

[(−1

s

)j+l−1

(cl − cj) +

(−1

s

)j+ls(cl − cj)

−(−1

s

)j+l(cl − cj) +

(−1

s

)j+l+1

s(t+ 1− cl)

].

Omdat

(−1

s

)ns = −

(−1

s

)n−1

volgt 4.18

πlj+1 =kjcj+1

[−(−1

s

)j+l(cl − cj)−

(−1

s

)j+l(t+ 1− cl)

]

=kjcj+1

[−(−1

s

)j+l(t+ 1− cj)

]

=kjcj+1

(−1

s

)j+l+1

s(t+ 1 + cj)

=kjbjcj+1

(−1

s

)j+l+1

=

(−1

s

)j+l+1

kj+1.

Uit (4.18) volgt eenvoudig het gestelde:

∑ij

(−1

s

)i+jplij =

∑j

(−1

s

)jπlj =

(−1

s

)l∑j

(−1

s

)2j

kj =

(−1

s

)lσ.

84


Zij a, b, c drie punten van een schier 2d-hoek S = (P,L, I) van de orde (s, t) en definieren we

ql(a, b, c) := |x ∈ P | d(a, x) + d(b, x) + d(c, x) = l| , (4.19)

en

q(a, b, c) :=

3d∑l=0

(−1

s

)lql(a, b, c). (4.20)

Stelling 4.3.3. Is S = (P,L, I) een reguliere schier 2d-hoek van de orde (s, t), dan hebben we

χ :=

d∑i=0

(−1

s

)3l

kl > 0. (4.21)

Er is een gelijkheid als en slechts als q(a, b, c) = 0 voor elke a, b, c ∈ P.

Bewijs. Als eerste berekenen we de som

∑a,b,c∈P

qi(a, b, c)qj(a, b, c).

Daarvoor tellen we de vijftallen (x, y, a, b, c) waarvoor

d(a, x) + d(b, x) + d(c, x) = i,

d(a, y) + d(b, y) + d(c, y) = j.

Noteren we voor d(a, x) = i1, d(b, x) = i2, d(c, x) = i3 en d(a, y) = j1, d(b, y) = j2, d(c, y) =

j3. Kiezen we twee punten x, y ∈ P vast zodat d(x, y) = l dan vinden we met behulp van

Lemma 4.3.2∑

i1+i2+i3=ij1+j2+j3=j

pli1j1pli2j2

pli3j3 vijftallen (x, y, a, b, c). Is v := |P| dan hebben we v · klkoppels (x, y) ∈ P ×P waarvoor d(x, y) = l. Als we nu de som nemen over alle mogelijke l dan

vinden we

∑a,b,c∈P

qi(a, b, c)qj(a, b, c) =

d∑l=0

vkl

∑i1+i2+i3=ij1+j2+j3=j

pli1j1pli2j2p

li3j3

.

85


Hierdoor vinden we

0 6∑a,b,c

q(a, b, c)2

=∑a,b,c

∑i

(−1

s

)iqi(a, b, c)

∑j

(−1

s

)jqj(a, b, c)

=∑a,b,c

∑i,j

(−1

s

)i+jqi(a, b, c)qj(a, b, c)

=∑i,j

(−1

s

)i+j∑a,b,c

qi(a, b, c)qj(a, b, c)

=∑i,j

(−1

s

)i+j d∑l=0

vkl

∑i1+i2+i3=ij1+j2+j3=j

pli1j1pli2j2p

li3j3

=∑l

vkl∑

i1+i2+i3=ij1+j2+j3=j

pli1j1pli2j2p

li3j3

(−1

s

)i1+i2+i3+j1+j2+j3

=∑l

vkl∑i1,i2,i3j1,j2,j3

pli1j1pli2j2p

li3j3

(−1

s

)i1+i2+i3+j1+j2+j3

=∑l

vkl

∑i,j

plij

(−1

s

)i+j3

= vσ3∑l

(−1

s

)3l

= vσ3χ,

waarbij σ =∑

j s−2jkj zoals we in Lemma 4.3.2 hebben gedefinieerd. Omdat σ > 0 impliceert

het bovenstaande dat χ > 0 en χ = 0 als en slechts als q(a, b, c) = 0 voor alle a, b, c ∈ P.

Met deze stelling is het eenvoudig om χ te berekenen voor reguliere schier veelhoeken met een

kleine diameter d. We berekenen in het bijzonder χ als S een eindige veralgemeende vierhoek en

een eindige veralgemeende octagon is. Dit zijn reguliere schier veelhoeken met parameters (4.14)

en waarbij ci = 1 voor 0 < i < d.

Voor eindige veralgemeende vierhoeken (d = 2) vinden we met behulp van (4.15) en (4.21) dat

χ =

(−1

s

)0

k0 +

(−1

s

)3

k1 +

(−1

s

)6

k2

= 1− s(t+ 1)

s3+s2t(t+ 1)

s6(t+ 1)

=s4 − s2t− s2 + t

s4=

(s2 − 1)(s2 − t)s4

.

Omdat χ > 0 geldt er dat t 6 s2 als s > 1. Dit is de Ongelijkheid van Higman en hadden we

reeds in Hoofdstuk 2 bewezen.

Zij S een eindige veralgemeende octagon (d = 4), dan vinden we uit (4.15) dat k2 = s2t(t+ 1),

86


k3 = s3t2(t+ 1) en k4 = s4t3 zodat wegens (4.21) geldt

χ = 1− t+ 1

s2+t(t+ 1)

s4− t2(t+ 1)

s6+t3

s8

=s8 − s6t− s6 + s4t2 + s4t− s2t3 − s2t2 + t3

s8

=(s2 − 1)(s2 − t)(s4 + t2)

s8,

opnieuw impliceert χ > 0 dat t 6 s2 als s > 1. Deze ongelijkheid wordt ook de Ongelijkheid van

Higman genoemd.

Opmerking 4.3.4. Merk op dat we op deze manier geen niet triviale voorwaarde kunnen vinden

voor veralgemeende hexagons. Als we χ berekenen voor d = 3 dan vinden we

χ =(s2 − 1)(s4 − s2t+ t2)

s6.

Opmerking 4.3.5. De uitdrukking (4.21) is in feite equivalent de Krein Voorwaarde qddd voor

elke d. Beschouwen we een reguliere schier 2d-hoek S, met basissen Aii en Eii van de

bijhorende Bose-Mensner algebra A van het associatieschema geınduceerd door de afstand tussen

de punten van S (zie eerder). Beschouwen we de matrix

E = σ−1d∑i=0

(−1

s

)iAi,

dan is deze idempotent omdat wegens AiAj =∑

k pkijAk en Lemma 4.14-(iii) geldt dat

E2 = σ−2

(d∑i=0

(−1

s

)iAi

) d∑j=0

(−1

s

)jAj

= σ−2

∑i,j

(−1

s

)i+jAiAj

= σ−2∑l

∑i,j

(−1

s

)i+jplijAl

= σ−2∑l

(−1

s

)lσAl = E.

De eigenwaarden van E zijn 0 of 1 waardoor r(E) = tr(E) = σ−1v. We kunnen nu in de

basis E0, E1, . . . , Ed de matrix Ed vervangen door E zodat fd = σ−1v en wegens (4.2) Qid =

fd(−1s

)i. Uit Stelling 4.2.8 vinden we dan

vfdqddd =

d∑l=0

klQldQldQld

=d∑l=0

klf3d

(−1

s

)3l

= χf3d .

Dus als qddd > 0, zal ook χ > 0 en omgekeerd. Het zijn ook juist q222 en q4

44 die bijvoorbeeld in

A. E. Brouwer, A. M. Cohen en A. Neumaier [7, p. 202-203] worden gebruikt om de ongelijkheden

van Higman af te leiden.

87


Nadat we de veralgemeende veelhoeken hebben onderzocht, gaan we in de komende paragraaf

de volledige klasse van reguliere schier veelhoeken bekijken.

4.3.2 Grenzen op reguliere schier veelhoeken

Zij S = (P,L, I) een reguliere schier 2d-hoek van de orde (s, t). We zoeken naar grenzen op de

parameters ci in functie van s en i, waaruit we dan in het bijzonder de parameters t kunnen

begrenzen in functie van s en d aangezien cd = t+ 1. Als eerste bekijken we de veralgemeende

ongelijkheden van Mathon [35]. Daarna bespreken we een recent resultaat van F. Vanhove [47]

dat de ongelijkheid van Higman veralgemeent naar reguliere schier veelhoeken.

Veralgemeende ongelijkheid van Mathon

Zoals eerder zijn A0, . . . , Ad de adjacentiematrices van de Bose-Menser Algebra horend bij de

reguliere schier 2d-hoek S en zij σ zoals in Lemma 4.3.2. We definieren voor elke x ∈ P de

vector x als de getransponeerde van de x-de kolom in de matrix

B :=1√σ

d∑i=0

(−1

s

)iAi.

Noteren we verder het inwendig product van twee vectoren x = (x1, x2, . . . , xv) en y = (y1, y2, . . . , yv)

als

〈x, y〉 =

v∑i=1

xiyi,

dan vinden we het volgend resultaat.

Lemma 4.3.6. Zij x en y twee vectoren zoals hierboven gedefinieerd waarbij d(x, y) = i, dan is

ui := 〈x, y〉 =

(1

s

)i. (4.22)

Bewijs. In Opmerking 4.3.5 hebben we gezien dat de matrix E = 1σ

∑di=0

(−1s

)iAi idempotent

is. Omdat B symmetrisch is en er geldt dat B = σ12E vinden we

BTB = B2 = σE2 = σE.

Voor twee willekeurige punten x en y op afstand i van elkaar in S volgt hierdoor

〈x, y〉 = B2(x, y) = σE(x, y)

=d∑j=0

(−1

s

)jAj(x, y) =

(−1

s

)i.

In [35] bewees A. Neumaier de volgende begrenzingen op de parameters van een reguliere schier

veelhoek.

88


Stelling 4.3.7. De parameters van een regulier schier veelhoek met s > 1 voldoen aan

ci 6(si + 1)(ci−1 + si−2)

si−2 + 1voor even i > 2 (4.23)

ci >(si − 1)(ci−1 − si−2)

si−2 + 1voor oneven i > 2 (4.24)

Bewijs. Zijn x en y twee punten op afstand i van elkaar in S en noteren we

C := z | x ∼ z en d(y, z) = i− 1

D := z | y ∼ z en d(x, z) = i− 1.

Omdat de collineariteitsgraaf van S afstandsregulier is, geldt |C| = |D| = ci. We berekenen

nu enkele inwendige producten, waarbij we voor een verzameling A ⊆ P de volgende notatie

gebruiken:

〈x,A〉 :=∑z∈A〈x, z〉

We vinden

• 〈x− y, x− y〉 = 〈x, x〉+ 〈y, y〉 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉 = 2(u0 − ui).

• Zij v ∈ C en w ∈ D dan is 〈x, v − w〉 = 〈x, v〉 − 〈x,w〉 = u1 − ui−1 zodat

〈x,C −D〉 = 〈−y, C −D〉 = ci(u1 − ui−1).

• Zij v ∈ C (resp. D) en w ∈ C (resp. D) dan is 〈v, w〉 = u2 als w 6= v en 〈v, w〉 = u0 als

w = v, zodat

〈C,C〉 = 〈D,D〉 = ci(u0 + u2(ci − 1)).

• Om 〈C,D〉 te berekenen kiezen we v ∈ C vast. Is w ∈ D dan is d(v, w) 6 d(v, x)+d(x,w) =

1 + (i− 1) = i zodat d(v, w) = i− 2, d(v, w) = i− 1 of d(v, w) = i. In het eerste geval, en

dit kan voor ci−1 verschillende punten w, is 〈v, w〉 = ui−2. Is d(v, w) = i − 1 en noemen

we z het derde punt op yw, dan vinden we wegens het (NP)-axioma d(v, z) = i − 2 en

d(x, z) = i. Dit is in strijd met d(x, z) 6 d(x, v) + d(v, z) = 1 + (i − 2). We besluiten

dat voor alle andere ci − ci−1 punten w ∈ D geldt dat d(v, w) = i zodat 〈v, w〉 = ui. We

vinden

〈C,D〉 = 〈D,C〉 = ci(ci−1ui−2 + (ci − ci−1)ui).

Met behulp van Cauchy-Schwarz vinden we de ongelijkheid

〈x− y, C −D〉2 6 〈x− y, x− y〉〈C −D,C −D〉

⇔(〈x,C −D〉 − 〈y, C −D〉

)26 2(u0 − ui) ·

(〈C,C〉+ 〈D,D〉 − 〈C,D〉 − 〈D,C〉

)⇔(2〈x,C −D〉

)26 2(u0 − ui) · 2

(〈C,C〉 − 〈C,D〉

)⇔ (2ci(u1 − ui−1))2 6 4(u0 − ui)ci(u0 + (ci − 1)u2 − ci−1ui−2 − (ci − ci−1)ui)

⇔ ci((u1 − ui−1)2 − (u0 − ui)(u2 − ui)

)6 (u0 − ui) (u0 − u2 + ci−1(ui − ui−2)) ,

89


zodat wegens Lemma 4.3.6

⇔ ci

[(−1

s

)2

− 2

(−1

s

)i+

(−1

s

)2i−2

−

(1−

(−1

s

)i)((−1

s

)2

−(−1

s

)i)]

6

(1−

(−1

s

)i)[1−

(−1

s

)2

+ ci−1

((−1

s

)i−(−1

s

)i−2)]

⇔ ci

[(−1

s

)2

− 2

(−1

s

)i+

(−1

s

)2i−2

−(−1

s

)2

+

(−1

s

)i+

(−1

s

)i+2

−(−1

s

)2i]

6

(1−

(−1

s

)i)·

(1−

(−1

s

)2)·

(1− ci−1

(−1

s

)i−2)

⇔ ci

((−1

s

)i+2

−(−1

s

)2i)(

1−(−1

s

)−2)

6

(1−

(−1

s

)i)(−1

s

)2((−1

s

)2

− 1

)(−1

s

)i−2((−1

s

)−i+2

− ci−1

).

Veronderstellen we dat s > 1, dan kunnen we beide leden delen door de strikt positieve factor(−1s

)2i ((−1s

)−2 − 1)

= s−2i(s2 − 1). We bekomen dan

ci

(1−

(−1

s

)−i+2)

6

(−1

s

)−i(1−

(−1

s

)i)((−1

s

)−i+2

− ci−1

)⇔ ci

(1− (−s)i−2

)6(1− (−s)i

) (ci−1 − (−s)i−2

)⇔ ci 6

(1− (−s)i)(ci−1 − (−s)i−2)

1− (−s)i−2,

waarbij we in de laatste stap veronderstellen dat i > 2. We vinden dus het gestelde.

Opmerking 4.3.8. De ongelijkheden (4.23) en (4.24) gelden voor elke i. Dit werd zeer recent

aangetoond door B. De Bruyn en F. Vanhove (artikel in voorbereiding). Aangezien cd = t + 1

kunnen we dan op een inductieve manier een bovengrens bepalen voor t die enkel afhangt van

de parameters (d, s).

Voorbeeld 4.3.9. Is S een reguliere schier hexagon (d = 3), dan vinden we wegens (4.23) voor

s > 1

t+ 1 6(s3 + 1)(c2 + s)

s+ 1

⇔ t 6 (s2 − s+ 1)(c2 + s)− 1

⇔ t 6 (c2 − 1)(s2 − s+ 1) + s3.

Deze laatste ongelijkheid staat gekend als de ongelijkheid van Mathon [33]. Deze ongelijkheid

verkrijgt men ook uit de Krein Voorwaarde q222 > 0, zie hiervoor bijvoorbeeld bij A. E. Brouwer

en H. Wilbrink [8]. Er rest ons nog c2 te bepalen opdat we een bovengrens van t kunnen

schrijven in functie van s. Is c2 = 1 dan is S een eindige veralgemeende hexagon en vinden we

t 6 s3 wat overeen komt met de ongelijkheid van Haemers en Roos. Veronderstel dat c2 > 2.

Hiervoor gebruiken we een resultaat van E.E. Shult en A. Yanushka uit [38] die we ook in de

90


komende paragrafen nodig hebben. E.E. Shult en A. Yanushka bewezen dat als s > 1 er door

elke twee punten van een schier veelhoek op afstand 2 van elkaar een quad gaat, namelijk een

convexe deelverzameling van diameter 2. Er wordt verder bewezen dat de verkregen quad een

veralgemeende vierhoek is, zodat we vinden dat c2 = tGQ + 1, waarbij tGQ het aantal rechten

is door een punt van de quad. Wegens de Ongelijkheid van Higman vinden we dat c2 6 s2 + 1

waardoor de ongelijkheid van Mathon de volgende ongelijkheid wordt:

t 6 s2(s2 − s+ 1) + s3 = s4 + s2.

Opmerking 4.3.10. Beschouwen we vergelijking 4.23 voor de eindige veralgemeende vierhoe-

ken, veralgemeende hexagons en veralgemeende octagons. Dit zijn reguliere schier veelhoeken

waarbij ci = 1 voor i ∈ 1, . . . , d− 1. We vinden bijgevolg voor even d de ongelijkheid

t+ 1 = cd 6(sd + 1)(1 + sd−2)

sd−2 + 1= sd + 1,

zodat we de begrenzing t 6 sd bekomen. Voor d = 2 en d = 3 komt deze grens overeen met de

ongelijheid van Higman en de ongelijkheid van Haemers en Roos. Voor de eindige veralgemeende

octagons is de ongelijkheid van Higman scherper dan deze begrenzing.

In Opmerking 4.3.8 gaven we al aan dat de veralgemeende ongelijkheden van Mathon reeds

scherper gesteld werden door B. De Bruyn en F. Vanhove. In de volgende paragraaf geven we

een grens van F. Vanhove die equivalent is met de grens (4.23) als deze voor elke i > 2 geldt.

Een Higman ongelijkheid voor reguliere schier veelhoeken

De bovengrens van t die F. Vanhove in [47] bewees, is een begrenzing op de orde van reguliere

schier veelhoeken die als een veralgemening kan gezien worden van de ongelijkheid van Higman.

Zij S = (P,L, I) een reguliere veralgemeende schier 2d-hoek en A0, . . . , Ad de adjacentiematrices

van de bijhorende Bose-Menser Algebra, dan volgt uit Opmerking 4.3.5 dat de matrix

M :=

d∑i=0

(−1

s

)iAi

uit deze algebra (minimaal) idempotent is op een positieve scalair na.

Definitie 4.3.11. Voor elke deelverzameling D van P, definieren we de karakteristieke vector

van D als de vector χD die de waarde 1 heeft op de posities die corresponderen met de elementen

van D en de waarde nul op de andere posities. Is D = d dan noteren we χd als χd.

Het is duidelijk dat voor twee deelverzamelingen D1 en D2 van P geldt dat

(χD1)TχD2 = (χD2)TχD1 = |D1 ∩D2| (4.25)

(χD1)TAiχD2 = (χD2)TAiχD1 = |(D1 ×D2) ∩Ri| . (4.26)

Stelling 4.3.12. Zij S = (P,L, I) een reguliere schier 2d-hoek van de orde (s, t) met s > 1, dan

geldt voor elke j ∈ 1, . . . , d dat

cj 6s2j − 1

s2 − 1. (4.27)

91


Bewijs. Zijn a en b twee verschillende punten van S op afstand j ∈ 1, . . . , d en definieren we de

verzameling T := Γ1(a)∪Γj−1(b). Het is duidelijk dat |T | = cj en dat er in T geen twee collineaire

punten bestaan. Definieren we de vector v := αχa+βχb+γχT waarbij (α, β, γ) ∈ R3\(0, 0, 0).Uit vergelijking (4.26) vinden we

(χa)TAiχa = (χb)

TAiχb = δi0, (4.28)

(χa)TAiχb = (χb)

TAiχa = δij , (4.29)

(χa)TAiχT = (χT )TAiχa = cjδi1, (4.30)

(χb)TAiχT = (χT )TAiχb = cjδij−1, (4.31)

en omdat elke twee punten in T op afstand 2 liggen, vinden we ook dat

(χT )TAiχT =

cj als i = 0,

cj(cj − 1) als i = 2,

0 als i /∈ 0, 2.

(4.32)

Hieruit volgt

vTAiv = (αχa + βχb + γχT )TAi(αχa + βχb + γχT )

= α2χaAiχa + β2χbAiχb + γ2χTAiχT

+ 2αβχaAiχb + 2βγχbAiχT + 2αγχaAiχT .

Herinner dat M =∑d

i=0

(−1

s

)iAi zodat

sj(vTMv) =

d∑i=0

(−1)isj−i(vTAiv)

=d∑i=0

(−1)isj−i(α2χaAiχa + β2χbAiχb + γ2χTAiχT

+ 2αβχaAiχb + 2βγχbAiχT + 2αγχaAiχT ).

zodat wegens (4.28)-(4.32)

sj(vTMv) = sj(α2 + β2 + γ2cj)− sj−1(2αγcj) + sj−2γ2cj(cj − 1)

+ (−1)j−12scjβγ + (−1)j2αβ

= sjα2 + sjβ2 + (sjcj + sj−2cj(cj − 1))γ2 + 2(−1)jαβ

− 2sj−1cjαγ + 2(−1)j−1scjβγ

= (α, β, γ)

sj (−1)j −sj−1cj

(−1)j sj (−1)j−1scj

−sj−1cj (−1)j−1scj cjsj−2(s2 + cj − 1)

︸︷︷︸

:=F

(α, β, γ)T .

Omdat de matrix M idempotent is op een positieve constante na, is ze positief semidefiniet.

Voor elke (α, β, γ) ∈ R3 geldt bijgevolg vTMv > 0 waardoor F ook positief semidefiniet is. De

92


determinant van F is niet-negatief:

0 6 det(F ) = cjs2jsj−2(s2 + cj − 1) + 2c2

jsj − sj−2s2jc2

j − sj+2c2j − cjsj−2(s2 + cj − 1)

= cjsj−2(s2j+2 + cjs

2j − s2j + 2cjs2 − cjs2j − cjs4 − s2 − cj + 1

)= cjs

j−2(s2 − 1)(s2j + cj − cjs2 − 1

)= cjs

j−2(s2 − 1)(s2j − 1− cj(s2 − 1)

),

zodat we de gezochte ongelijkheid vinden als s > 1:

cj 6s2j − 1

s2 − 1.

Gevolg 4.3.13. Is S een reguliere schier 2d-hoek met orde (s, t), s > 1, dan geldt

t+ 1 6s2d − 1

s2 − 1.

Opmerking 4.3.14. De ongelijkheden (4.27) zijn juist de ongelijkheden die men bekomt als

de veralgemeende grens van Mathon (4.23) geldt voor elke i > 2. Veronderstellen we dat S een

reguliere schier veelhoek is met s > 1 en veronderstel dat c2 6= 1. We hebben reeds gezien in

Voorbeeld 4.3.9 dat c2 6 s2 + 1. Dit komt overeen met (4.27) voor j = 2. We berekenen nu op

een inductieve manier de grens (4.23). Is i = 3 dan vinden we

c3 6(s3 + 1)(s2 + s+ 1)

s+ 1

=(s3 + 1)(s3 − 1)

(s+ 1)(s− 1)

=s6 − 1

s2 − 1,

wat overeen komt met (4.27) voor j = 3. Veronderstellen we dat dit ook geldt voor elke i′ < i,

dan vinden we

ci 6(si + 1)(ci−1 + si−2)

si−2 + 1

6(si + 1)

(s2i−2−1s2−1

+ si−2)

si−2 + 1

=(si + 1)(s2i−2 − 1 + si − si−2)

(si−2 + 1)(s2 − 1)

=(si + 1)(si − 1)(si−2 + 1)

(si−2 + 1)(s2 − 1)

=(si + 1)(si − 1)

s2 − 1=s2i − 1

s2 − 1.

93

4.4. Schier veelhoeken van de orde (2, t) met quads

4.4 Schier veelhoeken van de orde (2, t) met quads door elke

twee punten op afstand twee

In deze en volgende paragraaf concentreren we ons uitsluitend op schier veelhoeken die juist

drie punten op elke rechte hebben. Nadat in Paragraaf 4.3 reguliere schier veelhoeken besproken

werden, is het nu de bedoeling om schier veelhoeken met minder regulariteit te onderzoeken. Een

eerste stap is het stellen van de eis dat de schier veelhoek een orde heeft en dat elke twee punten

op afstand 2 van elkaar minstens twee gemeenschappelijke buren hebben. In tegenstelling tot

de reguliere schier veelhoeken hebben we hier niet noodzakelijk een constante c2 voor het aantal

gemeenschappelijke buren van twee punten op afstand 2 van elkaar. In Paragraaf 4.5 gaan we

nog een stap verder en bekijken we de schier hexagons waarbij er niet noodzakelijk een orde is

en er puntenparen van punten op afstand 2 van elkaar bestaan die zowel een, twee en eventueel

meer gemeenschappelijke buren hebben.

Zij S = (P,L, I) een schier veelhoek van de orde (2, t) die voldoet aan de eigenschap

(i) elke twee punten van S op afstand 2 van elkaar hebben minstens twee gemeenschappelijke

buren.

A.E. Brouwer et al. [6] bewees dat S noodzakelijk eindig is als S een schier hexagon is (d = 3).

B. De Bruyn toont de eindigheid in [15] voor algemene d aan en leidt bovengrenzen voor t af.

Zij S een schier 2d-hoek met minstens drie punten op elke rechte die voldoet aan (i), dan toonde

E.E. Shult en A. Yanushka in [38] aan dat er door elke twee punten x, y van S een unieke quad

Q(x, y) bestaat die de punten x en y bevat. A. E. Brouwer en H. A. Wilbrink [8] veralgemenen

dit resultaat tot de volgende stelling.

Stelling 4.4.1. Zij S een schier 2d-hoek met meer dan twee punten op elke rechte die voldoet

aan (i), dan bestaat door elke twee punten x en y op afstand i ∈ 0, . . . , d een unieke convexe

deel schier 2i-hoek H(x, y).

4.4.1 Diameter van Γd(x)

Zij S = (P,L, I) een schier 2d-hoek die minstens drie punten op elke rechte heeft en die voldoet

aan (i). Kiezen we een punt x ∈ P vast.

Lemma 4.4.2. Zijn u, v en w drie verschillende punten zodat d(u, v) = d(v, w) = 1 en d(x, v) =

d(x,w) = d(x, u)− 1, dan heeft elke gemeenschappelijke buur v 6= v van u en w afstand d(x, u)

van x.

Bewijs. Stellen we d(x, u) = i en is v een willekeurige gemeenschappelijke buur van u en w die

niet gelijk is aan v. We tonen aan dat er een punt z′ op de rechte uv ligt op afstand i − 1 van

x. Dit impliceert dat d(x, v) = i (wegens het (NP)-axioma).

Omdat d(x, v) = d(x,w) = i− 1 moet πvw(x) := z op afstand i− 2 liggen van x. Verder vinden

we dat z op afstand 2 ligt van u en van v zodat πuv(z) := z′ noodzakelijk collineair is met z.

Dit impliceert dat d(x, z′) = i− 1, wat we zochten.

94


Definitie 4.4.3. Een pad γ = (x0, x1, . . . , xk) in S noemen we een getand pad als we de volgende

drie eigenschappen hebben:

1. d(x, x0) = d(x, xk),

2. d(x, xi) ∈ d(x, x0), d(x, x0) + 1 voor elke i ∈ 0, . . . , k,

3. als d(x, xi) = d(x, x0) + 1, dan is d(x, xi−1) = d(x, xi+1) = d(x, x0).

De punten van γ op afstand d(x, x0) + 1 noemen we de tanden van γ. Merk op dat een pad

γ = (x0, x1, . . . , xk) waarbij voor elke i ∈ 0, . . . , k geldt dat d(x, xi) = d(x, x0), een getand

pad is (dat geen tanden bezit). Noteren we de lengte van het pad γ als l(γ) dan definieren we

de gemodificeerde lengte l(γ) = l(γ) + t(γ), waarbij t(γ) het aantal tanden is van γ.

We hebben nu de volgende eigenschap.

Stelling 4.4.4. Zijn y en z twee punten van S zodat d(x, y) = d(x, z) en is y verbonden met z

door een pad van lengte δ dat bestaat uit punten op afstand hoogstens d(x, y) van x. Dan zijn y

en z verbonden door een getand pad γ met l(γ) 6 32δ.

Bewijs. Noteren we d(x, y) := i en het pad van lengte δ tussen y en z als α. We bewijzen de

stelling via inductie op δ. Is δ = 0 of 1 dan is het gezochte pad γ gelijk aan α en volgt de

stelling eenvoudig. Is δ = 2 dan bekijken we twee gemeenschappelijke buren u1 en u2 van y en

z. Er geldt dat d(x, uj) = i − 1, i, i + 1 voor j = 1, 2. Als voor een j ∈ 1, 2 de afstand

d(x, uj) ∈ i, i+ 1 dan vinden we een getand pad γ = (y, uj , z) waarvoor

l(γ) ∈ 2, 3,

zodat het gestelde geldt. Veronderstel dus dat u1, u2 ∈ Γi−1(x). Kies een punt v op de rechte

u1z verschillend van u1 en z. Er bestaat een punt v′ collineair met v op de rechte yu2 zodat

y 6= v′ 6= u2. Nu is (y, v′, v, z) het gezochte getande pad γ omdat d(x, y) = d(x, v′) = d(x, v) =

d(x, z). De gemodificeerde lengte van γ is

l(γ) = l(γ) + t(γ) = 3 + 0 63

2· 2.

Zij δ > 3 en veronderstellen we dat de stelling geldt voor elke δ′ < δ. Zij

α = (x0 = y, x1, . . . , xδ = z)

een pad tussen y en z waarvoor d(x, xj) 6 i voor elke j ∈ 0, . . . , δ. Als voor een j ∈ 0, . . . , δgeldt dat d(x, xj) = i, dan kunnen we de inductiehypothese toepassen op het pad tussen y en

xj en op het pad tussen xj en z. We vinden bijgevolg twee getande paden γ1 en γ2 waarvoor

respectievelijk l(γ1) 6 32j en l(γ2) 6 3

2(δ − j). Deze getande paden samenvoegen, geeft ons het

gezochte pad γ waarvoor

l(γ) = l(γ1) + l(γ2) 63

2δ.

Veronderstel dus dat voor elke j ∈ 1, . . . , δ− 1 geldt dat d(x, xj) < i. We kunnen de inductie-

hypothese op het pad (x1, . . . , xδ−1) van lengte δ − 2 toepassen. We vinden een getand pad γ1

waarbij de tanden in Γi(x) liggen en

l(γ1) 63

2(δ − 2). (4.33)

95


Nu breiden we γ1 met de punten y en z uit zodat we een pad γ2 tussen y en z krijgen van lengte

l(γ2) = l(γ1) + 2 := k. (4.34)

Op dit pad γ2 gaan we herhaaldelijk Lemma 4.4.2 toepassen zodat we een pad

γ3 = (a0 = y, a1, . . . , ak = z)

vinden tussen y en z. Merk op dat

l(γ2) = l(γ3), (4.35)

en dat de punten van γ2 op afstand i− 1 van x niet gewijzigd worden door Lemma 4.4.2 als er

een punt van Γi(x) volgt in het pad. Na het toepassen van dit lemma zijn er dus juist t(γ1) + 1

punten in γ3 die op afstand i−1 van x liggen. Alle andere punten van γ3 liggen in Γi(x). De “+1”

komt van het punt xδ−1 = ak−1. Verder volgt ook uit Lemma 4.4.2 dat geen twee opeenvolgende

punten in γ3 voorkomen op afstand i− 1 van x. Met andere woorden als aj ∈ Γi−1(x) voor een

j ∈ 0, . . . , δ, dan is aj−1, aj+1 ∈ Γi(x).

Passen we de inductiehypothese toe op elk pad van lengte 2 van de vorm (aj−1, aj , aj+1) waarbij

aj ∈ Γi−1(x) en j ∈ 1, . . . , k − 1. We vinden dan telkens een getand pad met gemodificeerde

lengte ten hoogstens 3. Eenmaal we dit gedaan hebben, bekomen we het gezochte pad γ tussen

y en z waarbij de tanden enkel kunnen voorkomen bij de laatst gewijzigde stukjes. We vinden

l(γ) 6 l(γ3)− 2(t(γ1) + 1) + 3(t(γ1) + 1)

= l(γ3) + t(γ1) + 1

= l(γ1) + 2 + t(γ1) + 1 (wegens (4.34) en (4.35))

= l(γ1) + 3 63

2δ. (wegens (4.33))

Gevolg 4.4.5. (a) Zijn y en z twee punten van S op gelijke afstand van x, dan zijn ze verbon-

den door een getand pad γ waarvoor de gemodificeerde lengte l(γ) 6 3d(x, y). Inderdaad,

is γ1 respectievelijk γ2 een kortste pad tussen x en y respectievelijk x en z, dan is de

samenstelling van γ1 met γ2 een pad van lengte 2d(x, y) tussen y en z, waarbij elk punt

van dat pad op afstand hoogstens d(x, y) ligt van x. Uit Stelling 4.4.4 volgt dat er een

getand pad bestaat met gemodificeerde lengte hoogstens 32 · 2d(x, y).

(b) De graaf Γd(x) heeft hoogstens diameter⌊

32d⌋. Dit volgt ook eenvoudig uit bovenstaande

stelling. Zijn y en z twee willekeurige punten in Γd(x) op afstand δ van elkaar. Elk (kortste)

pad tussen y en z bestaat trivialerwijs uit punten op afstand hoogstens d(x, y) = d van x.

Uit Stelling 4.4.4 halen we een getand pad γ tussen y en z. Omdat er in γ geen tanden

voorkomen, bestaat γ uit punten van Γd(x) en hebben we

l(γ) = l(γ)

63

2δ

6

⌊3

2d

⌋

96


We besluiten dat we voor elke twee punten in Γd(x) een pad in Γd(x) vinden waarbij de

lengte begrensd is door⌊

32d⌋. De diameter van Γd(x) is met andere woorden hoogstens⌊

32d⌋.

4.4.2 Eindigheid van t + 1

Veronderstel opnieuw dat S = (P,L, I) een schier 2d-hoek van de orde (2, t) is waarbij elke twee

verschillende punten op afstand 2 minstens twee gemeenschappelijke buren hebben. Het is nu

de bedoeling om aan te tonen dat S niet semi-eindig kan zijn.

Zij M een positief natuurlijk getal met de volgende eigenschap

(?) elke convexe deel schier 2(d− 1)-hoek H van S heeft orde (2, tH) waarbij tH 6M .

We tonen op een inductieve manier aan dat zo’n getal M bestaat, waarmee we dan ook een

bovengrens vinden voor t die enkel afhangt van d. Is d = 2 dan is zo’n convexe deel schier

veelhoek een rechte zodat we M = 0 kunnen nemen. Veronderstellen we nu dat er een M

bestaat met de eigenschap (?).

Lemma 4.4.6. Bestaat er een cykel van lengte 2n + 1, n > 1, in Γd(x), dan is t + 1 6

(2n+ 1)(M + 1).

Bewijs. Stel dat (y0, y1, . . . , y2n, y2n+1 = y0) een cykel is van lengte 2n + 1, n > 1, in Γd(x) en

noem zi het unieke derde punt op de rechte yiyi+1, i ∈ 0, . . . , 2n. Het is duidelijk dat voor elke

i het punt zi ∈ Γd−1(x). Wegens Stelling 4.4.1 vinden we voor elke i ∈ 0, . . . , 2n een unieke

convexe deel schier 2(d−1)-hoek H(x, zi) die x en zi bevat. Stel dat t+1 > (2n+1)(M+1), dan

moet er een rechte L door x bestaan die niet bevat is in een H(x, zi). Noem u het unieke punt

van L op afstand d − 1 van y0. Is d(u, zi) 6 d − 1 voor een i ∈ 0, . . . , 2n dan is noodzakelijk

d(u, zi) = d − 1 wegens de convexe eigenschap van H(x, zi). Stel dat d(u, zi) = d − 1 voor een

bepaalde i ∈ 0, . . . , 2n. Omdat ook d(x, zi) = d − 1 moet er voor het derde punt w van L

gelden dat d(zi, w) = d − 2. Het punt w ligt bijgevolg op een kortste pad tussen x en zi zodat

opnieuw wegens de convexe eigenschap van H(x, zi) het punt w, en dus ook de rechte L, in

H(x, zi) zit, een strijdigheid.

Er geldt dus dat d(u, zi) = d voor elke i ∈ 0, . . . , 2n. Uit d(u, z0) = d en d(u, y0) = d − 1

volgt d(u, y1) = d, waaruit wegens d(u, z1) = d volgt dat d(u, y2) = d − 1. Herhalen we deze

redenering dan vinden we:

d(yi, u) =

d− 1 als i even is,

d als i oneven is.

Omdat y0 = y2n+1 leidt dit tot een strijdigheid: d(y2n+1, u) = d terwijl d(y0, u) = d− 1.

Gevolg 4.4.7. We hebben een van de volgende twee gevallen:

(a) t+ 1 6(2⌊

3d2

⌋+ 1)

(M + 1)

(b) Γd(x) is een bipartite graaf.

97


Bewijs. Veronderstel dat in Γd(x) cykels bestaan van oneven lengte. Is γ een cykel in Γd(x) van

minimale lengte, dan is deze lengte hoogstens 2⌊

3d2

⌋+ 1 wegens Gevolg 4.4.5-b zodat (a) volgt

uit Lemma 4.4.6.

Bestaan er geen cykels in Γd(x) van oneven lengte dan kunnen we dezelfde redenering maken

als in het laatste deel van het bewijs van Stelling 4.1.5. Kiezen we een punt y ∈ Γd(x) vast en

definieren we V1 als de verzameling van alle punten op een even afstand van y in Γd(x). De

verzameling V2 definieren we als de verzameling van alle punten in Γd(x) die op een oneven

afstand van y liggen. Stel dat er twee collineaire punten z en z′ in Vi bestaan, i ∈ 1, 2. Het

samenstellen van een kortste pad tussen y en z met een kortste pad tussen y en z′ geeft ons altijd

een cykel van oneven lengte, een strijdigheid. We kunnen dus besluiten dat Γd(x) en bipartite

graaf is.

We bekijken nu het tweede geval, waar Γd(x) een bipartite graaf is.

Stelling 4.4.8. Is Γd(x) een bipartite graaf, dan is t+ 1 6⌊

3d2

⌋(M + 1)2.

Bewijs. Noteren we d′(., .) voor de afstand in de graaf Γd(x) en kiezen we een punt y ∈ Γd(x)

vast. Definieren we voor elke z ∈ Γd(x) twee verzamelingen die bestaan uit rechten door x:

• Cz bestaat uit de rechten door x zodat op elke rechte van Cz een punt op afstand d − 1

van y en van z bestaat,

• Dz bestaat uit alle rechten door x die niet in Cz gelegen zijn.

Zijn z en z′ twee willekeurige collineaire punten in Γd(x) en noemen we z′′ het unieke derde punt

op de rechte zz′. Omdat d(x, z′′) = d−1 bestaat er een unieke convexe deel schier 2(d−1)-hoek

H(x, z′′) die zowel x als z′′ bevat. We noteren Ez,z′ voor de verzameling van rechten door x die

in H(x, z′′) gelegen zijn. Wegens (?) weten we dat Ez,z′ bestaat uit hoogstens M + 1 rechten.

We hebben nu twee belangrijke observaties. Zijn z en z′ twee collineaire punten dan merken we

als eerste op dat voor elke rechte N ∈ Ez,z′ geldt dat

πN (z) = πN (z′). (4.36)

Inderdaad, noem πN (z) := u, dan is d(z, u) = d− 1. Er geldt nu ook dat d(z′, u) = d− 1 en dus

dat πN (z′) = πN (z). Stel namelijk dat d(z′, u) 6= d − 1 en dus dat d(z′, u) = d. Dan volgt dat

d(z′′, u) = d wegens het (NP)-axioma zodat we een strijdigheid vinden met de diameter d − 1

van H(x, z′′). Als tweede observatie vinden we dat voor elke rechte L door x die niet in Ez,z′ zit

er geldt dat

πL(z) 6= πL(z′). (4.37)

Zij πL(z) = w en noemen we het derde punt op L het punt w′. Omdat L /∈ Ez,z′ kan d(z′′, w) 6=d − 2 en omdat z′ ∈ Γd(x) is ook d(z′′, w) 6= d − 1 zodat we besluiten dat d(z′′, w) = d. Uit

d(z′′, w) = d en d(z, w) = d− 1 volgt direct dat d(z′, w) = d zodat πL(z′) = w′.

Een gevolg van de bovenstaande observaties is dat Cz\Ez,z′ = Dz′\Ez,z′ . Is d′(y, z) even dan

noteren we Az := Dz en Bz := Cz, is d′(y, z) oneven dan noteren we Az := Cz en Bz := Dz.

Met deze notatie volgt voor elke twee collineaire punten z en z′ in Γd(x) eenvoudig uit (4.36)

en (4.37) dat

Az′ = Az∆Ez,z′ , (4.38)

98


waarbij ∆ staat voor het symmetrisch verschil. Zij z een willekeurig punt van Γd(x) en is

(z, z1, z2, . . . , zn = y) een kortste pad tussen z en y in Γd(x). Door herhaaldelijk (4.38) toe te

passen volgt wegens de associativiteit van het symmetrisch verschil

Az = Ay∆Ezn,zn−1∆ . . .∆Ez2,z1∆Ez1,z.

Omdat Ay = ∅, n 6⌊

3d2

⌋en∣∣Ezi,zi−1

∣∣ 6M+1 voor elke i ∈ 1, . . . , n vinden we een bovengrens

voor |Az|:

|Az| 6⌊

3d

2

⌋(M + 1).

Veronderstel nu dat z ∈ Γd(x) een punt is zodat |Az| maximaal is en noteren we Az =

L1, L2, . . . , L|Az |. Definieer voor elke i ∈ 1, . . . , |Az| de unieke convexe deel schier 2(d− 1)-

hoek Hi door z en het unieke punt van Li in Γd−1(z) (d.i. het punt πLi(z)). Er geldt dat elke

rechte door z in zo’n Hi bevat is. Stel namelijk dat er een rechte door z bestaat die tot geen

enkele Hi behoort. Noem op deze rechte het tweede punt in Γd(x) het punt z′ dan is Az ∩Ez,z′ledig. Inderdaad, een rechte L ∈ Az ∩ Ez,z′ impliceert dat L = Li voor een i ∈ 1, . . . , |Az| en

dat πL(z) = πL(z′). Dus het derde punt z′′ op zz′ ligt op afstand d − 2 van πL(z) zodat z′′ op

een kortste pad ligt van z naar πL(z) en, wegens het convex zijn van Hi, het punt z′′ en dus ook

de rechte zz′ in Hi ligt. Dit is een strijdigheid zodat we kunnen besluiten dat Az ∩ Ez,z′ = ∅.Uit (4.38) volgt nu dat |Az′ | = |Az| +

∣∣Ez,z′∣∣ > |Az| zodat we een strijdigheid krijgen met de

maximaliteit van Az.

Tellen we nu het aantal rechten door z, dan vinden we

t+ 1 6 (#Hi) · (tHi + 1)

6 |Az| (M + 1)

6

⌊3d

2

⌋(M + 1)2.

De eindigheid van t en het bestaan van een getal M die voldoet aan eigenschap (?) volgt uit

Gevolg 4.4.7 en Stelling 4.4.8 op een inductieve manier. Is d = 1 dan is S een rechte en is

t+ 1 = 1.

Opmerking 4.4.9. In het artikel [15] verfijnt B. De Bruyn deze grens reeds in specifieke geval-

len. Voor bepaalde diameter d is er ondertussen een volledige classificatie van de schier 2d-hoeken

van de orde (2, t) die voldoen aan (i). Voor d = 3 vinden we dit terug in A. E. Brouwer, et al. [6].

Er wordt bewezen dat een schier hexagon S met juist drie punten op elke rechte die voldoet

aan (i) eindig is en men toont aan dat er op een isomorfisme na juist elf zulke schier hexagons

bestaan waarbij het aantal rechten door elk punt gelijk is aan t + 1 ∈ 3, 4, 6, 7, 9, 12, 15, 21.De klasse van de schier octagons (d = 4) van de orde (2, t) die voldoen aan (i) werd geclas-

sificeerd door B. De Bruyn en P. Vandecasteele in [19]. Er wordt bewezen dat de deze klasse

op isomorfie na bestaat uit 24 schier octagons. Het aantal rechten door elk punt is gelijk aan

t + 1 ∈ 4, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 22, 25, 85. We merken op dat de bekomen bovengrens uit

Gevolg 4.4.7 en Stelling 4.4.8 voor d = 3 en d = 4 een pak hoger ligt dan de scherpe bovengrens

t 6 84.

99

4.5. Hybride schier hexagons met drie punten op elke rechte

4.5 Hybride schier hexagons met drie punten op elke rechte

We focussen ons in deze paragraaf op de klasse van de schier hexagons waarbij elke rechte juist

drie punten bevat. We veronderstellen a priori niet dat de schier hexagons een orde hebben

en we noteren voor elk punt x het aantal rechten door x als tx + 1. In deze klasse van schier

hexagons (ook wel slim schier hexagons genoemd) hebben we twee speciale klassen.

• Als elke twee punten op afstand 2 van elkaar minimaal twee gemeenschappelijke buren

hebben, dan heeft de schier hexagon een orde. Dit volgt uit Lemma 19 van A. E. Brouwer

en H. A. Wilbrink [8]. In A. E. Brouwer et al. [6] wordt aangetoond dat er dan geen semi-

eindige schier hexagons kunnen bestaan. Verder hebben A. E. Brouwer et al. deze klasse

van schier hexagons geclassificeerd. In Paragraaf 4.4 bespraken we dit reeds en breidden

dit resultaat uit naar algemene diameter.

• Als elke twee punten op afstand 2 van elkaar juist een gemeenschappelijke buur hebben,

dan is de schier hexagon een (mogelijk ontaarde) veralgemeende hexagon. De klasse van

veralgemeende veelhoeken en in het bijzonder de veralgemeende hexagons werd uitvoerig

in Hoofdstuk 3 en in Paragraaf 4.3 van dit hoofdstuk besproken. Dankzij de Haemers-Roos

Ongelijkheid geldt voor elke eindige veralgemeende hexagon van de orde (2, t) dat t 6 8.

Verder zagen we ook dat 2t een kwadraat is als t 6= 1 zodat t ∈ 1, 2, 8.

Het is nu de bedoeling om in deze paragraaf de schier hexagons met juist drie punten op elke

rechte te bespreken die niet tot de vorige twee gevallen behoren. B. De Bruyn noemt deze

klasse de klasse van hybride slim schier veelhoeken en bespreekt deze in [16, 17]. Deze klasse is

een klasse met zeer weinig regulariteit. We beperken onze bespreking van hybride slim schier

hexagons tot deze die geen speciale punten hebben. Met speciale punten bedoelen we punten

die op afstand hoogstens 2 liggen van alle andere punten. We verwijzen voor de bespreking van

de hybride slim schier hexagons met speciale punten naar [16]

4.5.1 Definities en Eigenschappen

Definities

Zij S = (P,L, I) een schier hexagon waarbij elke rechte juist drie punten bevat en waarbij elk

punt een ander punt op afstand 3 heeft in S. Zijn x en y twee willekeurige punten van Sop afstand 2 van elkaar, dan noteren we C(x, y) voor de kleinste convexe deel schier veelhoek

door x en y. Dit is dus de doorsnede van alle convexe deel schier veelhoeken door x en y. Is

Γ1(x)∩Γ1(y) = z, dan is C(x, y) de unie van de twee rechten zx en zy. Is |Γ1(x) ∩ Γ1(y)| > 1,

dan is C(x, y), wegens Propositie 5.2 van E. E. Shult en A. Yanushka [38], een niet ontaarde

veralgemeende vierhoek van de orde (2, λ) met λ eindig wegens Stelling 2.3.1. In Appendix A

hebben we gezien dat C(x, y) dan isomorf is met een van de volgende veralgemeende vierhoeken:

• het 3× 3 rooster Q(3, 2) met orde (2, 1),

• W (2) met orde 2,

• Q(5, 2) met orde (2, 4).

100


In het vervolg noemen we C(x, y) een quad en noteren we dit als Q. Is Γ1(x)∩ Γ1(y) = z dan

spreken we van een ontaarde quad bestaande uit twee snijdende rechten. Is |Γ1(x) ∩ Γ1(y)| ∈2, 3, 5 dan spreken we respectievelijk van een rooster-quad , een W (2)-quad of een Q(5, 2)-quad .

Met een quad Q associeren we de parameter tQ ∈ 0, 1, 2, 4 die gelijk is aan |Γ1(x) ∩ Γ1(y)|−1.

In het vervolg vereenzelvigen we een quad Q met zijn puntenverzameling zodat we ook kunnen

spreken van een punt x ∈ Q.

De mogelijke punt-quad en rechte-quad relaties

We bespreken in deze paragraaf de mogelijke punt-quad en rechte-quad relaties. In latere bewij-

zen gebruiken we deze eigenschappen vaak zonder er expliciet naar te verwijzen. We beginnen

met de punt-quad relaties. Zij (x,Q) een punt-quad paar in S, dan hebben we de volgende

mogelijkheden:

(i) x ∈ Q.

(ii) x ∈ Γ1(Q). We hebben dan een uniek punt x′ van Q dat het dichtst bij x ligt. Stel namelijk

dat we een tweede punt x′′ in Q vinden dat collineair is met x. Wegens het (NP)-axioma

is het onmogelijk dat x′ ∼ x′′ zodat d(x′, x′′) = 2. Het punt x ligt dus op een kortste

pad tussen de twee punten x′ en x′′ van Q en uit de convexe eigenschap van Q volgt dat

x ∈ Q, een strijdigheid. Er volgt verder uit deze convexe eigenschap van Q dat voor elk

punt y ∈ Q geldt dat d(x, y) = d(x, x′) + d(x′, y). Het punt x′ noemen we de projectie van

x op Q en noteren we als πQ(x).

(iii) x ∈ Γ2(Q). Elke rechte van Q bevat hoogstens een punt van Γ2(x) (wegens het (NP)-

axioma) en omdat S diameter 3 heeft, moet elke rechte van Q minstens een punt van

Γ2(x) bevatten. Hieruit besluiten we dat Γ2(x)∩Q een ovoıde is van Q. We noteren deze

ovoıde Γ2(x) ∩Q doorgaans als Qx.

Het is duidelijk dat x ∈ Γ3(Q) niet mogelijk is.

Veronderstel nu dat (L,Q) een rechte-quad paar is in S, dan hebben we de volgende mogelijk-

heden:

(i’) L ⊂ Q.

(ii’) L snijdt de quad Q in een uniek punt.

(iii’) L ⊆ Γ1(Q). Uit (ii) volgt dat de drie punten l1, l2, l3 van L een unieke projectie hebben in

Q, noem ze respectievelijk l′1, l′2 en l′3. Deze punten l′1, l

′2 en l′3 liggen op een rechten L′ in

Q. Inderdaad, voor elke i, j ∈ 1, 2, 3 met i 6= j volgt uit 2 = d(li, l′j) = d(li, l

′i)+d(l′i, l

′j) =

1 + d(l′i, l′j) dat d(l′i, l

′j) = 1 of l′i ∼ l′j . We noemen de rechte L′ ook de projectie van L in

Q en noteren dit als πQ(L).

(iv’) L bevat een punt x in Γ1(Q) en twee punten v en u in Γ2(Q). Noemen we x′ de unieke

projectie van x op Q. Uit (iii) volgt dat Γ2(u) ∩ Q en Γ2(v) ∩ Q twee ovoıden zijn door

het punt x′. Alle andere punten van Γ2(u) ∩ Q en Γ2(v) ∩ Q zitten in Γ2(x′). Om-

gekeerd zit ook elk punt x′′ van Γ2(x′) in Γ2(u) ∩ Q of Γ2(v) ∩ Q. Stel namelijk dat

101


x′′ /∈ (Γ2(u) ∩Q)∪ (Γ2(v) ∩Q), dan is noodzakelijk d(x′′, u) = d(x′′, v) = 3 en d(x′′, x) = 2

zodat de unieke projectie πQ(x) = x′ ∈ Γ1(x′′), een strijdigheid. Verder volgt ook eenvou-

dig dat (Γ2(u) ∩Q) ∩ (Γ2(v) ∩Q) = x′ zodat we kunnen besluiten dat Γ2(Q) ∩ L een

rosette van ovoıden in Q definieert, namelijk een verzameling van ovoıden door een punt

x′ die de verzameling van punten op afstand twee van x′ partitioneert.

(v’) L ⊆ Γ2(Q). Er volgt eenvoudig dat de drie punten op L een waaier van ovoıden definieren

in Q, namelijk een partitie van Q in ovoıden.

Bij deze hebben we alle punt-quad en rechte-quad relaties besproken. In Paragraaf A.4 van

Appendix A worden de mogelijke ovoıden, waaiers van ovoıden en rosettes van ovoıden besproken

in veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t). Belangrijk is dat Q(5, 2) geen ovoıden bevat

en dat W (2) geen partitie in ovoıden heeft. Uit de hierboven besproken relaties kunnen we

besluiten dat Γ2(Q) = ∅ als Q een Q(5, 2)-quad is. Is Q een W (2)-quad, dan bevat Γ2(Q) geen

rechten.

Definitie 4.5.1. Een quad Q noemen we groot als Γ2(Q) = ∅. Elke Q(5, 2)-quad is dus groot.

Zijn K en L twee snijdende rechten, dan definieren we C(K,L) := C(x1, x2) waarbij x1 een punt

is van K dat verschillend is van K ∩ L en x2 een punt van L dat verschillend is van K ∩ L.

Met deze definities kunnen we enkele eigenschappen formuleren.

Eigenschappen

Lemma 4.5.2. Is Q een grote quad, x een willekeurig punt dat niet in Q gelegen is en x′ het

unieke punt van Q op afstand 1 van x. Noemen we K1,K2, . . . ,Kk alle rechten van Q door x′ en

definieren we Qi := C(xx′,Ki) voor elke i ∈ 1, . . . , k dan is tx =∑k

i=1 tQi. Een direct gevolg

hiervan is dat tx 6 maxtQi | 1 6 i 6 k · k.

Bewijs. Zij L een rechte door x die verschillend is van xx′. Dan is L ∈ Γ1(Q) en de projectie

van L in Q is een rechte door het punt x′ en dus van de vorm Kj , j ∈ 1, . . . , k. Hieruit volgt

wegens de convexe eigenschap van Q dat de rechte L in Qj = C(xx′,Kj) zit. Veronderstel dat

L in twee quads Qi en Qj zit, dan volgt direct dat Ki = Kj . Hierdoor kunnen we besluiten dat

elke rechte door x dat verschillend is van xx′ in een unieke quad Qi, i ∈ 1, . . . , k, zit. Bijgevolg

is tx + 1 = 1 +∑k

i=0 tQi .

Lemma 4.5.3. Zijn Q en R twee verschillende quads in S die een niet-ledige doorsnede hebben

en veronderstel dat Q groot is. Dan hebben we de volgende twee mogelijkheden:

• is R niet-ontaard, dan is Q ∩R een rechte;

• is R ontaard, namelijk is R de unie van twee rechten zx en zy, dan is Q ∩ R gelijk aan

z, zx of zy.

Bewijs. Veronderstel dat u een punt in de doorsnede Q∩R is en merken we op dat deze doorsnede

hoogstens diameter 1 kan hebben. Bestaat er geen punt op afstand 2 van u, dan is R een ontaarde

quad die bestaat uit twee verschillende snijdende rechten xz en yz waarbij u = z. De doorsnede

Q ∩ R is dan z, xz of yz. Veronderstel dat er wel een punt v bestaat in R op afstand 2 van

102


het punt u. (Merk op dat R nog steeds ontaard kan zijn.) We mogen veronderstellen dat v /∈ Qomdat Q en R twee verschillende quads zijn. Is v′ de unieke projectie van v in Q, dan vinden

we omdat Q groot is dat 2 = d(v, u) = d(v, v′) + d(v′, u) = 1 +d(v′, u) zodat v′ ∼ u. Het punt v′

ligt op een kortste pad tussen twee punten v en u van R, zodat ook v′ ∈ R. Dus de doorsnede

Q ∩R is de rechte v′u.

Lemma 4.5.4. Zijn x en y twee punten op afstand 3 van elkaar en definieren we Γ1(x)∩Γ2(y) :=

u1, u2, . . . , utx+1 en Γ1(y)∩Γ2(x) := v1, v2, . . . , vty+1. Voor elke i ∈ 1, . . . , tx+1 definieren

we de quad Qi := C(ui, y) en voor elke j ∈ 1, . . . , ty + 1 definieren we de quad Rj := C(vj , x).

Noteren we α voor het aantal paden van lengte 3 tussen x en y, dan is α =∑tx+1

i=1 (tQi + 1) =∑ty+1j=1

(tRj + 1

). Een direct gevolg is dat tx + 1 6 α 6 maxtQi + 1 | 1 6 i 6 tx + 1 · (tx + 1)

en dat ty + 1 6 α 6 maxtRj + 1 | 1 6 j 6 ty + 1 · (ty + 1).

Bewijs. We tellen de puntenparen (u, v) waarbij x ∼ u ∼ v ∼ y op twee verschillende manieren.

Elke rechte door x bevat juist een punt u in Γ2(y) en door u gaan juist tC(u,y) + 1 rechten

die een punt bevatten dat collineair is met y. Het is duidelijk dat u ∈ u1, . . . , utx+1 zodat

α =∑tx+1

i=1 (tQi + 1). Analoog vinden we dat α =∑ty+1

j=1

(tRj + 1

).

In de komende paragrafen tonen we aan dat er door elk punt x van S een eindig aantal rechten

gaan. Om begrenzingen op tx te vinden, gaan we drie gevallen beschouwen:

(I) S bevat een Q(5, 2)-quad.

(II) S bevat een W (2)-quad maar geen Q(5, 2)-quad.

(III) S bevat geen W (2)-quad en geen Q(5, 2)-quad.

4.5.2 S bevat een Q(5, 2)-quad

We veronderstellen dus dat S een schier hexagon is waarbij er op elke rechte juist drie punten

liggen, er voor elk punt een ander punt op afstand 3 bestaat en er een Q(5, 2)-quad bestaat.

Lemma 4.5.5. Elke rechte K van S is bevat in een niet-ontaarde quad.

Bewijs. Noemen we Q een willekeurig gekozen Q(5, 2)-quad van S. We hebben dan drie moge-

lijkheden.

a. Is K bevat in Q dan valt er niets te bewijzen.

b. Veronderstel dat K ∩ Q = ∅. Omdat Q groot is, moet K ⊆ Γ1(Q). Kiezen we twee

verschillende punten x en y op K en noemen we x′ en y′ de projecties op Q. Zoals we

reeds hebben gezien, moet x′ ∼ y′ waardoor de punten x′ en y twee gemeenschappelijke

buren hebben (namelijk de punten x en y′). Hierdoor bevat de quad C(x, y′) minstens vier

rechten (xx′, x′y′, yy′ en xy) en is het niet-ontaard. Het gestelde volgt omdat xy = K en

dus bevat is in het niet-ontaarde quad C(x, y′).

103


c. Veronderstel dat K ∩Q = u. Er bestaat een rechte die K snijdt in een punt verschillend

van u. Stel namelijk dat voor elk punt x van K\u geldt dat tx = 0, dan vinden we voor

elk punt y in S\K geldt d(x, y) = d(u, y) + 1. Is u′ een punt op afstand 3 van u dan zou

d(x, u′) = 4, wat een strijdigheid geeft in een schier hexagon. Kiezen we dus een rechte L

die K snijdt in het punt verschillend van u. Wegens b. zitten de rechten K en L in een

niet-ontaarde quad.

Noemen we A de doorsnede van alle Q(5, 2)-quads in S.

Lemma 4.5.6. Voor elk punt x dat niet in A ligt, geldt dat tx + 1 6 21.

Bewijs. Voor een willekeurig punt x dat niet in A gelegen is, bestaat er een Q(5, 2)-quad die x

niet bevat. Uit Lemma 4.5.2 volgt dan

tx 6 4 · 5 = 20.

Er rest ons om een bovengrens te bepalen van ty voor alle punten y die in A gelegen zijn. We

onderzoeken dit in verschillende stappen. Als A de ledige verzameling is, valt er niets meer te

bewijzen. Is A 6= ∅ dan volgt uit Lemma 4.5.3 dat A een punt, een rechte of een quad is. We

bekijken eerst een voorwaarde opdat A ledig zou zijn.

Lemma 4.5.7. Bestaat er een rechte K in S dat bevat is in ten minste vier Q(5, 2)-quads, dan

is A de ledige verzameling.

Bewijs. Noemen we de Q(5, 2)-quads die de rechte K bevatten Q1, Q2, . . . , Qn, en stel dat n > 4.

Veronderstellen we dat A niet ledig is en dus een punt x bevat. Uit Lemma 4.5.3 volgt dat K

de volledige doorsnede van ∩ni=1Qi bepaalt zodat x IK. Noem y het punt dat op afstand 3 van

x ligt en z de projectie van y op K (z := πK(y)). Beschouwen we de quad C(y, z). Voor elke

i ∈ 1, . . . , n is de doorsnede van C(y, z) met Qi een rechte. Dit volgt uit Lemma 4.5.3: de quad

Qi is groot en als C(y, z) een ontaarde quad is (C(y, z) := ys ∪ sz), dan bevat de doorsnede

C(y, z) ∩ Qi de punten z en s en dus ook de volledige rechte sz. Omdat er nu minstens vier

verschillende Q(5, 2)-quads door K bestaan, vinden we minstens vier verschillende rechten door

z in C(y, z). Met andere woorden, de quad C(y, z) is een Q(5, 2)-quad die x niet bevat omdat

d(x, y) = 3. Hierdoor kan x niet in A liggen, een strijdigheid. Merk op dat de bovenstaande

redenering ook opgaat voor oneindige n.

Lemma 4.5.8. Is K een rechte van S die incident is met drie Q(5, 2)-quads Q1, Q2 en Q3 en

is x een punt op de rechte K dat bevat is in een vierde Q(5, 2)-quad Q4. Dan is tx + 1 6 21.

Bewijs. Bevat de quad Q4 ook de rechte K, dan volgt uit Lemma 4.5.7 dat A ledig is en dus dat

tx + 1 6 21 volgens Lemma 4.5.6. Veronderstellen we dat Q4 de rechte K niet bevat. Ligt het

punt x niet in A dan volgt opnieuw uit Lemma 4.5.6 dat tx+1 6 21. We veronderstellen dus ook

dat x in A ligt. Uit Lemma 4.5.7 kunnen we besluiten dat A = x. Elke niet-ontaarde quad

door K heeft als doorsnede met Q4 een rechte door x. Veronderstel dat er twee verschillende

104


niet-ontaarde quads A en B door K bestaan die dezelfde doorsnede met Q4 hebben, dan zou

de doorsnede A ∩B twee rechten bevatten, wat in strijd is met Lemma 4.5.3. We besluiten dat

er hoogstens vijf niet-ontaarde quads door de rechte K bestaan. Er zijn met andere woorden

naast de Q(5, 2)-quads Q1, Q2 en Q3 nog 2, 1 of 0 niet-ontaarde quads door K.

• Veronderstel dat er juist vijf niet-ontaarde quads door K bestaan in S: Q1, Q2, Q3, B1

en B2. We definieren de verzameling D als de verzameling van rechten door het punt x

die bevat zijn in een van deze vijf niet-ontaarde quads door K. Omdat A 6= ∅ volgt uit

Lemma 4.5.7 dat B1 en B2 rooster-quads of W (2)-quads zijn. Tellen we het aantal rechten

in D, dan vinden we naast de rechte K hoogstens 3 ·4 rechten in Q1∪Q2∪Q3 en hoogstens

2 · 2 rechten in B1 ∪B2 zodat |D| 6 1 + 3 · 4 + 2 · 2 = 17. Veronderstel nu dat U een rechte

door x is die niet in D gelegen is. Volgens Lemma 4.5.5 ligt U in een niet-ontaarde quad

QU . Elke quad door K heeft als doorsnede met QU een rechte door x. We vinden dus,

samen met U , zes verschillende rechten door x in QU . Dit is in strijd met tQU∈ 1, 2, 4.

Elke rechte door x ligt dus in D waaruit

tx + 1 6 17.

• Veronderstel dat er juist vier niet-ontaarde quads door K bestaan in S: Q1, Q2, Q3 en R,

waarbij R een rooster-quad of een W (2)-quad is wegens Lemma 4.5.7. Zij U een rechte door

x die niet in Q1, Q2, Q3 of R gelegen is en noemen we QU opnieuw een niet-ontaarde quad

die U bevat. Naast U vinden we nog vier verschillende rechten (QU ∩R en QU ∩Qi voor

elke i ∈ 1, 2, 3) in QU zodat QU ∼= Q(5, 2). De rechte U is bijgevolg de unieke rechte van

QU die niet in Q1, Q2, Q3 en R zit zodat de quad QU op een unieke manier bepaald wordt

door de rechte U . We vinden met andere woorden dat tx+ 1 6 1 + 3 ·4 + 1 ·2 +n = 15 +n,

waarbij n het aantal Q(5, 2)-quads is in S door het punt x dat niet gelijk is aan Q1, Q2

of Q3. Om n te berekenen, merken we op dat elke Q(5, 2)-quad verschillend van Q1, Q2

en Q3 als doorsnede met R een rechte door x heeft die verschillend is van K. Er zijn

tR ∈ 1, 2 rechten door x in R en wegens Lemma 4.5.7 is elke rechte in hoogstens drie

verschillende Q(5, 2)-quads bevat zodat n 6 3 · 2 en

tx + 1 6 15 + 6 = 21.

• Als laatste veronderstellen we dat Q1, Q2, Q3 de enige niet-ontaarde quads door K zijn en

we noemen n het aantal Q(5, 2)-quads door x die verschillend zijn van Q1, Q2 en Q3. Is

U een rechte door x die niet in Q1, Q2 of Q3 gelegen is, dan vinden we zoals voorheen dat

QU ∼= Q(5, 2). In tegenstelling tot het vorig puntje wordt QU nu bepaald door de rechte

U en een tweede rechte door x die niet in Q1, Q2 of Q3 gelegen is. We vinden

tx + 1 6 1 + 3 · 4 + 2n. (4.39)

Is n 6 4 dan is het lemma bewezen. Veronderstel dat n > 5 en noem deze n Q(5, 2)-quads

B1, . . . , Bn. Voor elke i ∈ 1, . . . , n bepaalt de doorsnede Q1∩Bi een rechte door x in Q1

die verschillend van K is. Omdat tQ1 = 4, volgt (wegens het duivenhokprincipe) dat er

een rechte K ′ door x in Q1 bestaat die in minstens twee quads uit B1, . . . , Bn bevat is.

105


Met andere woorden, de rechte K ′ is in minstens drie Q(5, 2)-quads bevat. Omdat A 6= ∅volgt uit Lemma 4.5.7 dat de rechte K ′ in juist drie Q(5, 2)-quads bevat is: Q1, Bi en Bj

waarbij i 6= j en i, j ∈ 1, . . . , n.

Verder volgt uit Lemma 4.5.7 dat de drie rechten Q1 ∩ Bi = K ′, Q2 ∩ Bi en Q3 ∩ Bibevat zijn in elk hoogstens drie Q(5, 2)-quads. Tellen we het aantal Q(5, 2)-quads door x

waarvan de doorsnede met Bi een rechte is (of bevat) in Q1∪Q2∪Q3. We vinden naast de

quads Q1, Q2, Q3 en R hoogstens drie andere Q(5, 2)-quads: Bj want Bj ∩Bi = K ′ ⊂ Q1

en eventueel twee Q(5, 2)-quads waarbij de doorsnede met Bi de rechte Q2 ∩Bi of Q3 ∩Biis. We vinden dus (n − 4) Q(5, 2)-quads door x die met Bi een rechte gemeen hebben

buiten Q1 ∪Q2 ∪Q3. Hetzelfde geldt voor Bj zodat we de bovengrens van tx + 1 in (4.39)

kunnen verbeteren tot

tx + 1 6 13 + 2n− (n− 4)− (n− 4) = 13 + 8 = 21,

omdat we (n− 4) + (n− 4) rechten dubbel geteld hebben.

Merk op dat n niet oneindig kan zijn. Dit volgt omdat elke Q(5, 2)-quad door x verschillend

van Q1, Q2 en Q3 snijdt met Q1 in een rechte die verschillend is van K. Omdat A 6= ∅bestaan er hoogstens drie verschillende Q(5, 2)-quads verschillend van Q1 door een rechte

L in Q1\K. Zodus vinden we n 6 3 · 4 = 12.

Lemma 4.5.9. Bestaan er drie Q(5, 2)-quads Q1, Q2 en Q3 door een punt x zodat de doorsnede

Q1 ∩Q2 ∩Q3 = x, dan geldt tx + 1 6 21.

Bewijs. We definieren de rechte Ki = Qj ∩ Qk als i, j, k = 1, 2, 3 en onderscheiden twee

gevallen.

• Geval 1: er bestaat een vierde Q(5, 2)-quad R door het punt x.

Zij Li, i ∈ 1, 2, 3, de doorsnede van R met Qi. Bestaat er een rechte door x die bevat is in

minstens drie Q(5, 2)-quads, dan volgt uit Lemma 4.5.8 het gestelde. We veronderstellen

daarom dat elke rechte door x in hoogstens twee Q(5, 2)-quads gelegen is. Elke twee

Q(5, 2)-quads die het punt x bevatten, snijden in een rechte door x die dus niet in een

andere Q(5, 2)-quad door x bevat is. Noemen we n het aantal Q(5, 2)-quads die het punt

x bevatten dan vinden we in het totaal

5n− n(n− 1)

2(4.40)

rechten door x die in deze n Q(5, 2)-quads liggen. Merk op dat we mogen veronderstellen

dat n eindig is. Stel dat er minstens 12 Q(5, 2)-quads door x bestaan, dan vinden we een

negatief aantal rechten door x in deze Q(5, 2)-quads wat duidelijk een strijdigheid is. De

functie f(x) = 5x− x(x− 1)

2heeft een maximum in (5, 5; 15, 125) zodat

5n− n(n− 1)

26 15.

We stellen ons nu de vraag of er nog rechten door x in S bestaan die we niet geteld

hebben. Veronderstel daarvoor een rechte U door x die niet in Q1 ∪ Q2 ∪ Q3 ∪ R ligt.

106


Wegens Lemma 4.5.5 is U bevat in een niet-ontaarde quad QU . In deze quad QU hebben

we naast U nog vier rechten door x: Q1 ∩QU , Q2 ∩QU , Q3 ∩QU en R∩QU . Zijn dit vier

verschillende rechten, dan is QU een van de n Q(5, 2)-quads door x en is U reeds geteld

in (4.40). Is QU geen Q(5, 2)-quad, dan gaan er twee of drie rechten door x in QU . Dit is

enkel mogelijk als voor een drietal i, j, k = 1, 2, 3 geldt datQU ∩Qk = QU ∩Qj = Qk ∩Qj = Ki

Qi ∩QU = R ∩QU = Qi ∩R = Li.

Bijgevolg is QU gelijk aan C(Ki, Li) voor een i ∈ 1, 2, 3. Merk op dat Ki 6= Li omdat

we drie Q(5, 2)-quads zouden vinden door Ki. We besluiten dat er hoogstens drie rechten

door x bestaan die niet in een van de n Q(5, 2)-quads liggen waardoor

tx + 1 6 15 + 3 = 18.

• Geval 2: De quads Q1, Q2 en Q3 zijn de enige Q(5, 2)-quads door x.

We beschouwen opnieuw een niet-ontaarde quad QU voor elke rechte U door x die niet

in Q1 ∪ Q2 ∪ Q3 gelegen is. Wegens de veronderstelling is QU 6∼= Q(5, 2) dus er bestaan

hoogstens drie rechten door x in QU . Dit impliceert dat de doorsneden Qj∩QU en Qk∩QUsamenvallen en dus gelijk zijn aan Ki, voor een drietal i, j, k = 1, 2, 3. De doorsnede

Qi∩QU is een van de drie rechten van Qi\Kj ,Kk. De quad QU wordt dus bepaald door

Ki en een van de drie rechten van Qi\Kj ,Kk voor een drietal i, j, k = 1, 2, 3. We

vinden hoogstens 9 = 3 × 3 mogelijkheden voor de quad Qu en dus zijn er hoogstens 9

rechten door x die niet bevat zijn in Q1 ∪Q2 ∪Q3 zodat

tx + 1 6 3 + 3× 3 + 9 = 21.

Gevolg 4.5.10. Is A de ledige verzameling of een punt, dan is tx 6 21 voor elk punt x van S.

Bewijs. Is A = ∅ dan heeft tx de bovengrens 21 wegens Lemma 4.5.7 en Lemma 4.5.6. Is

A = x dan moet wegens Lemma 4.5.3 A de doorsnede zijn van minstens drie Q(5, 2)-quads in

S. Uit Lemma 4.5.9 volgt dan tx + 1 6 21.

We bespreken nog de gevallen waarbij A een rechte of een quad is.

Lemma 4.5.11. Is A een rechte K, dan is tx + 1 6 19 voor elk punt x van K.

Bewijs. Zij x een willekeurig punt op K, y een punt op afstand 3 van x en noemen we z de

projectie van y op de rechte K (d(y, z) = 2). Zijn er n Q(5, 2)-quads die K bevatten, dan volgt

uit Lemma 4.5.7 dat n ∈ 2, 3. Definieren we de verzameling A als de verzameling van alle

rechten door x die bevat zijn in een van de Q(5, 2)-quads door K. We vinden |A| = 1 + 4n.

Het punt y kan niet in een Q(5, 2)-quad zitten. Stel dat dit wel het geval is, dan vinden we in

deze quad twee punten x en y op afstand 3 van elkaar, terwijl een quad diameter 2 heeft. Uit

Lemma 4.5.2 volgt hierdoor dat

ty 6 2 · 5 = 10.

107


Op elke rechte door y ligt juist een punt op afstand 2 van x zodat |Γ1(y) ∩ Γ2(x)| = ty + 1.

Noem u een willekeurig punt van Γ1(y) ∩ Γ2(x), dan hebben we een van de volgende gevallen.

• Het punt u ligt in een Q(5, 2)-quad door K. Deze quad is een veralgemeende vierhoek,

zodat we een punt u′ op K vinden dat collineair is met u. Wegens het (NP)-axioma bestaat

een uniek punt op K het dichtst bij y gelegen zodat u′ = z en u ∈ C(y, z).

Merk op dat we voor elke Q(5, 2)-quad Q door K juist een zo’n punt u kunnen vinden

omdat de projectie van y ∈ Γ1(Q) op Q uniek is.

• Het punt u is niet bevat in C(y, z). Beschouwen we de quad C(x, u), dan kan dit niet isomorf

zijn met Q(5, 2). Stel dat C(x, u) ∼= Q(5, 2), dan is K ∈ C(x, u) en moet de projectie van u

op K gelijk zijn aan het punt z zodat u ∈ C(y, z) wat een strijdigheid is. De quad C(x, u)

is ook niet-ontaard. Stel dat C(x, u) = xv, vu, dan bevat elke doorsnede van C(x, u)

met een Q(5, 2)-quad door K de punten x en v zodat xv = K, v = z en u ∈ C(z, y), een

strijdigheid. We besluiten dat C(x, u) een rooster-quad of een W (2)-quad is. De doorsnede

van C(x, u) met een Q(5, 2)-quad door K is een rechte door x. Er bestaan dus hoogstens

3− n rechten door x in C(x, u) die niet bevat zijn in A.

Veronderstellen we dat C(y, z) orde (2, δ) heeft, dan zijn er juist ty − δ zulke punten u die

niet bevat zijn in C(y, z).

• Het punt u is bevat in de quad C(y, z) en C(x, u) is niet isomorf met Q(5, 2). Omdat

u ∈ C(y, z) moet u ∼ z zodat het punt z op een kortste pad tussen u en x ligt. De

convexiteit van C(x, u) impliceert dat het punt z en bijgevolg de rechte K in C(x, u)

gelegen is. Er bestaan dus hoogstens twee rechten door x in C(x, u) die niet in A bevat

zijn.

Het aantal zulke punten u is gelijk aan ε := ty + 1 − n − (ty − δ) = δ + 1 − n. Merk op

dat de quad C(y, z) niet isomorf is met Q(5, 2) omdat dit zou impliceren dat de rechte K

in C(y, z) ligt wat strijd met d(y,K) = 2 is. Concreet vinden we dat δ ∈ 0, 1, 2 zodatε = 1 als δ = n = 2,

ε = 0 in alle andere gevallen.

Merken we op dat elke rechte door x bevat is in een C(x, u) voor een u ∈ Γ1(y)∩ Γ2(x). Uit het

bovenstaande volgt

tx + 1 6 1 + 4n+ (3− n)(ty − δ) + 2ε.

Overlopen van alle mogelijke gevallen geeft ons tx + 1 6 19:

n = 2, δ = 2, ε = 1 : tx 6 1 + 8 + 8 + 2 = 19,

n = 2, δ ∈ 0, 1, ε = 0 : tx 6 1 + 8 + 10 = 19,

n = 3, ε = 0 : tx 6 1 + 12 + 0 = 13.

Lemma 4.5.12. Is A een quad Q, dan is tx + 1 6 25 voor elk punt x van Q.

108


Bewijs. Zij x een willekeurig punt van Q en y een punt op afstand 3 van x. Noem y′ het unieke

punt in Q dat collineair is met y. Uit Lemma 4.5.3 volgt dat Q het enige Q(5, 2)-quad in S is

zodat het punt y niet in een Q(5, 2)-quad ligt. Uit Lemma 4.5.2 volgt dat ty 6 10. Tellen we nu

de puntenparen (u, v) waarvoor u, v /∈ Q en x ∼ u ∼ v ∼ y.

Voor elke rechte door x die niet in Q gelegen is, en dit zijn er tx − 4, vinden we een uniek punt

u op afstand 2 van y. Op een willekeurig kortste pad tussen het punt y en het punt u vinden

we een punt v ∈ Γ1(u)∪Γ1(y) dat niet in Q ligt. Stel namelijk dat v ∈ Q, dan is dit het punt y′

en moet de rechte xu (en dus het punt u) in Q gelegen zijn wegens de convexe eigenschap van

Q, een strijdigheid.

Op elke rechte door y die verschillend is van yy′ bestaat er een uniek punt v /∈ Q op afstand

2 van x. Voor elk zo’n punt v bestaan er hoogstens twee punten u ∈ (Γ1(x) ∩ Γ1(v)) \Q. Stel

namelijk dat er drie verschillende zulke punten u1, u2 en u3 bestaan. Omdat de projectie v′ van

v op de quad Q collineair is met x (want d(x, v) = d(x, v′) + d(v′, v)), bevat de quad C(x, v) de

vier verschillende punten u1, u2, u3 en v′ die in Γ1(x) ∩ Γ1(v) gelegen zijn. Er gaan dus zeker

vier verschillende rechten door v in C(x, v) zodat C(x, v) ∼= Q(5, 2). Wegens de uniciteit van Q

moet C(x, v) samenvallen met Q wat in strijd is met v /∈ Q.

Uit de vorige alinea’s besluiten we tx − 4 6 2ty 6 20 zodat tx + 1 6 25.

We hebben in de voorgaande lemma’s het volgend resultaat aangetoond.

Stelling 4.5.13. Zij S een schier hexagon waarbij elke rechte juist drie punten bevat, er geen

speciale punten zijn en er een Q(5, 2)-quad bestaat. Als er minstens twee Q(5, 2)-quads bestaan

in S, dan hebben we dat tx + 1 6 21 voor elk punt x van S. Is er juist een Q(5, 2)-quad Q in S,

dan is tx + 1 6 21 voor elk punt x /∈ Q en tx + 1 6 25 voor elk punt x ∈ Q.

Gevolg 4.5.14. Zij S een schier hexagon van de orde (2, t) die geen speciale punten bevat en

er een Q(5, 2)-quad bestaat. Dan kunnen we uit Stelling 4.5.13 besluiten dat S eindig is en dat

t+ 1 6 21. Inderdaad, bestaan er minstens twee Q(5, 2)-quads in S, dan is t+ 1 6 21. Bestaat

er juist een Q(5, 2)-quad Q in S, dan is voor elk punt x /∈ Q het aantal rechten door dat punt

hoogstens 21. Omdat S een orde heeft, is bijgevolg t+ 1 6 21.

4.5.3 S bevat een W (2)-quad maar geen Q(5, 2)-quad

In deze paragraaf veronderstellen we dat S een schier hexagon is waarbij er op elke rechte juist

drie punten gelegen zijn, voor elk punt x van S de verzameling Γ3(x) niet ledig is en S een

W (2)-quad bevat maar geen Q(5, 2)-quad. Een W (2)-quad is niet noodzakelijk groot, maar als

er in S een grote W (2)-quad bestaat, dan vinden we eenvoudig grenzen op tx voor elk punt x

in S.

Lemma 4.5.15. Is Q een grote W (2)-quad in S, dan is tx + 1 6 7 voor elk punt x ∈ Γ1(Q) en

tx + 1 6 15 voor elk punt x in Q.

Bewijs. Bij veronderstelling is Γ2(Q) = ∅. Zij x een punt van S dat niet in Q gelegen is

(x ∈ Γ1(Q)). Omdat er geen Q(5, 2)-quads in S liggen, vinden we wegens Lemma 4.5.2

tx 6 2 · 3 = 6.

109


Veronderstellen we dat x een punt van Q is en noem y een punt op afstand 3 van x. Het punt y

ligt noodzakelijk in Γ1(Q) en we noemen y′ de projectie van y op Q. Tellen we de puntenparen

(u, v) waarbij u en v niet in Q liggen en x ∼ u ∼ v ∼ y. Enerzijds hebben we tx − 2 rechten die

niet in Q liggen en op zo’n rechte bestaat wegens het (NP)-axioma een uniek punt u ∈ Γ2(y).

Op een willekeurig kortste pad tussen y en u vinden we een punt v ∈ Γ1(u) ∩ Γ1(y) dat niet in

Q ligt. (Volgens dezelfde redenering als in Lemma 4.5.12.)

Anderzijds vinden we voor elke rechte door y dat verschillend is van yy′ een uniek punt v op

afstand 2 van x. Er bestaan hoogstens twee punten u ∈ (Γ1(x) ∩ Γ1(v)) \Q (volgens dezelfde

redenering als in Lemma 4.5.12) waardoor we kunnen besluiten dat tx − 2 6 2ty 6 2 · 6 en

tx + 1 6 15.

We veronderstellen in het vervolg dat S geen enkele W (2)-quad bevat dat groot is en we noemen

Q een willekeurige W (2)-quad van S.

Lemma 4.5.16. Voor elke ovoıde O in Q bestaat er een punt y ∈ Γ2(Q) zodat Γ2(y) ∩Q = O.

Bewijs. We hebben op pagina 101 gezien dat voor elk punt x ∈ Γ2(Q) de verzameling Ox :=

Γ2(x) ∩ Q een ovoıde is. Kies een willekeurig punt x in Γ2(Q). Is Ox = O dan valt er niets te

bewijzen. Veronderstel dus dat Ox 6= O. In Paragraaf A.4 van Appendix A tonen we aan dat de

doorsnede van twee ovoıden in een W (2)-quad een uniek put bevat: Ox∩O = u. Noemen we v

een willekeurig punt in Γ1(x)∩Γ1(u) en y het unieke derde punt op de rechte vx dat verschillend

is van x en v. Dan is Oy = O omdat de punten x en y een rosette van ovoıden definieren in Q

door het punt u.

Lemma 4.5.17. Is x een punt van Γ2(Q), dan is tx + 1 6 15.

Bewijs. We hebben reeds gezien dat Γ2(Q) geen rechte bevat zodat elke rechte door x een punt in

Γ1(Q) bevat. Zij Γ2(x)∩Q := x1, x2, x3, x4, x5, dan moet elke rechte door x een punt collineair

met een xi bevatten, voor een i ∈ 1, 2 . . . , 5. Elke rechte door x is met andere woorden bevat

in een quad van de vorm C(x, xi). Omdat in S geen Q(5, 2)-quads bestaan, vinden we

tx + 1 6 3 · 5 = 15.

Lemma 4.5.18. Is x een punt van de quad Q, dan is tx + 1 6 33.

Bewijs. Veronderstel dat x ∈ Q en beschouw een ovoıde O in Q dat het punt x niet bevat. Uit

Lemma 4.5.16 vinden we dat er een punt y ∈ Γ2(x) bestaat zodat O = Γ2(y)∩Q. Door het punt

x gaan drie rechten in Q en noem x1, x2 en x3 de drie punten op deze rechten die bevat zijn in

O. Noem verder x4 en x5 de twee andere punten in O. We definieren voor elke i ∈ 1, . . . , 5de getallen αi := tC(y,xi) + 1. Merk op dat αi ∈ 1, 2, 3 en dat elke rechte door y in juist een

quad C(y, xi) bevat is, i ∈ 1, . . . , 5. Inderdaad, is K een rechte door y dan zit K in minstens

een quad van de vorm C(y, xi) omdat K een punt in Γ1(Q) bevat. Stel nu dat K bevat is in

twee verschillende quads C(y, xi) en C(y, xj). Het punt K ∩ Γ1(Q) is dan collineair met de twee

110


punten xi en xj zodat K ∩ Γ1(Q) wegens de convexe eigenschap van Q noodzakelijk in Q ligt,

een strijdigheid.

We vinden dat ty + 1 = α1 + α2 + α3 + α4 + α5. Is C(y, x4) ∼= W (2) of C(y, x5) ∼= W (2), dan

volgt uit Lemma 4.5.17 dat tx + 1 6 15 omdat x ∈ Γ2 (C(y, x4)) ∩ Γ2 (C(y, x5)).

Veronderstellen we dat α4 6= 3 6= α5 en tellen we de puntenparen (u, v) waarbij x ∼ u ∼ v ∼ y.

Enerzijds vinden we voor elke rechte door y, en dit zijn er ty + 1 = α1 + α2 + α3 + α4 + α5, een

uniek punt v op afstand 2 van y. (Merk op dat y ∈ Γ3(x) omdat x /∈ O = Γ2(y) ∩ Q.) Voor

elk punt v vinden we hoogstens drie punten u ∈ Γ1(x) ∩ Γ1(v) omdat vier of meer punten in

Γ1(x) ∩ Γ1(v) zou impliceren dat C(v, x) ∼= Q(5, 2), wat een strijdigheid geeft.

Anderzijds vinden we voor de drie rechten xx1, xx2 en xx3 door x juist α1 + α2 + α3 koppels

(u, v). Verder bevat elke rechte door x die niet in Q gelegen is, en dit zijn er tx − 2, een punt

u ∈ Γ2(y) dat op zijn beurt minstens een collineair punt heeft in Γ1(y). We vinden dus dat

α1 + α2 + α3 + tx − 2 6 3(α1 + α2 + α3 + α4 + α5)

⇔ tx + 1 6 2(α1 + α2 + α3) + 3(α4 + α5) + 3.

Uit α1, α2, α3 6 3 en α4, α5 6 2 volgt

tx + 1 6 2 · 9 + 3 · 4 + 3 = 33.

In het bovenstaand bewijs hebben we ook het volgende aangetoond:

Lemma 4.5.19. Zij y ∈ Γ2(Q), dan is ty + 1 > 5.

Er rest ons een begrenzing op tx te zoeken voor elke x ∈ Γ1(Q).

Lemma 4.5.20. Voor elke x ∈ Γ1(Q) bestaat er een punt y ∈ Γ3(x) zodat ty + 1 6 15.

Bewijs. Zij x ∈ Γ1(Q), x′ het unieke punt in Q dat collineair is met x, O = u1, u2, u3, u4, u5een ovoıde van Q door x′ := u1 en z het punt in Γ2(Q) zodat O = Γ2(z) ∩ Q. Is x niet in

C(z, x′) bevat, dan kunnen we y := z nemen omdat d(y, z) = 3 en uit Lemma 4.5.17 volgt dat

ty + 1 6 15. Is x wel in C(z, x′) bevat dan hebben we een van de volgende twee gevallen:

• Er bestaat een punt u ∈ C(z, x′) ∩ Γ2(x′) ∩ Γ2(x).

Stel dat u ∈ Q, dan vinden we wegens d(x, u) = d(x, x′) + d(x′, u) een strijdigheid (2 =

2 + 1). Stel dat u ∈ Γ1(Q), dan is de projectie u′ van u in Q collineair met x′ en element

van de quad C(x′, z) wegens de convexe eigenschap van C(x′, z). Maar wegens het (NP)-

axioma geldt d(z, u′) = 3 zodat we een strijdigheid krijgen aangezien C(x′, z) diameter 2

heeft. We besluiten dat het punt u in Γ2(Q) ligt. Elk punt y ∈ Γ2(Q) ∩ Γ1(u) dat niet in

C(x′, z) zit, ligt op afstand 3 van x zodat we wegens Lemma 4.5.17 een gevraagd punt y

gevonden hebben. Merk op dat zo’n punt y altijd bestaat omdat er minstens vijf rechten

door u in S gaan waarvan er hoogstens drie in C(z, x′) kunnen liggen.

• C(z, x′) ∩ Γ2(x′) ∩ Γ2(x) = ∅, dan moet z ∼ x omdat z x impliceert dat z ∈ C(z, x′) ∩Γ2(x′)∩ Γ2(x). Nu is (x′, x, z) het unieke kortste pad tussen x′ en z omdat bij een tweede

111


kortste pad (x′, u, z) het derde punt op uz in C(z, x′)∩Γ2(x′)∩Γ2(x) zou liggen. De quad

C(x′, z) is met andere woorden een ontaarde quad: C(x′, z) = xx′, xz. Veronderstel dat

tz+1 > 6. Er bestaat een i ∈ 1, . . . , 5 waarvoor tC(z,ui) > 2 zodat de quad C(z, ui) door z

niet ontaard is. In dit geval bestaat een punt y ∈ Γ3(x)∩Γ2(Q)∩C(z, ui) waarvoor wegens

Lemma 4.5.17 ty + 1 6 15. Is tz + 1 = 5, dan vinden we met behulp van Lemma 4.5.4 dat

voor elk punt y ∈ Q ∩ Γ3(z) ∩ Γ3(x) = (Q ∩ Γ2(x′)) \O geldt dat

ty 6 3 · (tz + 1) = 3 · 5 = 15.

We besluiten dat we altijd een punt y op afstand 3 van x vinden waarvoor ty + 1 6 15.

Gevolg 4.5.21. Voor elke x ∈ Γ1(Q) geldt tx + 1 6 45.

Bewijs. Uit Lemma 4.5.20 en Lemma 4.5.4 volgt

tx + 1 6 3 · (ty + 1) 6 45.

We hebben in het voorgaande het volgende resultaat aangetoond:

Stelling 4.5.22. Zij S een schier hexagon waarbij elke rechte juist drie punten bevat, er geen

speciale punten zijn en er een W (2)-quad bestaat maar geen Q(5, 2)-quad. Dan hebben we voor

elk punt x van S dat tx + 1 6 45. We hebben sterkere bovengrenzen in de volgende gevallen:

(a) tx + 1 6 33 als x bevat is in een W (2)-quad,

(b) tx + 1 6 15 als x op afstand 2 van een W (2)-quad ligt,

(c) tx + 1 6 15 voor elk punt x van S als S een grote W (2)-quad bevat,

(d) tx + 1 6 7 als x op afstand 1 van een grote W (2)-quad ligt.

We vinden hieruit de bovengrens t 6 14 als S wel een orde (2, t) heeft:

Gevolg 4.5.23. Zij S een schier hexagon van de orde (s, t) die geen speciale punten bevat, er

een W (2)-quad bestaat maar geen Q(5, 2)-quad. Bevat S een grote W (2)-quad, dan volgt uit

Stelling 4.5.22-(d) dat t+1 6 7. Heeft S geen grote W (2)-quad, dan volgt uit Stelling 4.5.22-(b)

dat t+ 1 6 15.

112


4.5.4 S bevat geen W (2)-quad en geen Q(5, 2)-quad

Er rest ons de bespreking van de schier hexagons S waarbij elke rechte juist drie punten bevat, er

geen speciale punten zijn en S geenW (2)-quad en geenQ(5, 2)-quad bevat. Dit betekent dat twee

punten x en y in S op afstand 2 van elkaar juist een of twee buren hebben: Γ1(x)∩Γ1(y) ∈ 1, 2.Het is de bedoeling om een bovengrens te bepalen voor het aantal rechten door een punt van

S. Een verschil met de gevallen (I) en (II) is dat we hier wel eindigheid veronderstellen voor

S. De komende paragraaf is technisch en de lezer zal merken dat er aanzienlijk veel nieuwe

definities en notaties voorkomen in een poging om deze technische kant wat te vereenvoudigen.

De technieken die we hieronder gebruiken, kunnen ook worden gebruikt om bovengrenzen te

bepalen voor het aantal rechten door een punt van een schier hexagon met juist drie punten op

elke rechten die minstens een W (2)-quad of Q(5, 2)-quad bevat maar geen speciale punten. De

grenzen die we dan bekomen zijn een stuk minder scherp dan de grenzen die we in Stelling 4.5.13

en Stelling 4.5.22 bekwamen zodat het onnodig is om dit te bespreken.

Zij S = (P,L, I ) een eindige schier hexagon die voldoet aan

• elke rechte van S bevat juist drie punten,

• elke twee punten op afstand 2 in S hebben een of twee gemeenschappelijke buren,

• S heeft geen speciale punten.

Definitie 4.5.24. We definieren t+ 1 := maxtx + 1 | x ∈ P en we noemen x∗ een punt van Swaarvoor tx∗ = t. Zijn x en y twee punten van S, dan noteren we S(x, y) voor de verzameling

van rechten door x die een punt bevatten op afstand d(x, y) − 1 van y. Het is dan meteen

duidelijk dat als d(x, y) = 2 elke rechte van S(x, y) bevat is in de quad C(x, y).

Zijn x en y twee collineair punten in S, dan noteren we x • y voor het unieke derde punt op de

rechte xy dat verschilt van x en y.

In het vervolg veronderstellen we dat S geen veralgemeende hexagon is. In het origineel artikel

van B. De Bruyn [17] wordt de mogelijkheid dat S een veralgemeende hexagon is (dus dat elke

twee punten op afstand 2 in S juist een gemeenschappelijke buur hebben) wel besproken. De

bekomen bovengrens voor t is juist de Haemers-Roos ongelijkheid t 6 8. Deze ongelijkheid werd

reeds besproken en bewezen in Paragraaf 4.3.1. We maken wel telkens het onderscheid tussen

het al dan niet hebben van een orde voor S.

Bovengrens voor |Γ3(x∗)|

Merken we eerst op dat Γ3(x∗) niet ledig is omdat S geen speciale punten heeft. Noteren we

n voor het aantal rooster-quads door x∗ en definieren we de getallen ni := |Γi(x∗)| voor elke

i ∈ 0, 1, 2, 3. Het is duidelijk dat n0 = 1 en n1 = 2(t + 1). We bewijzen nu een bovengrens

voor |Γ3(x∗)|.

Lemma 4.5.25. Noteren we n voor het aantal rooster-quads door x∗. Er geldt dan dat |Γ3(x∗)| 68t2 − 16n

t+ 1en in het bijzonder is |Γ3(x∗)| 6 8t2. Verder geldt voor elke x ∈ Γ3(x∗) dat tx + 1 >

t+ 1

2.

113


Bewijs. We tellen het aantal punten x ∈ Γ2(x∗) zodat |Γ1(x) ∩ Γ1(x∗)| = 2. Voor elk zo’n

punt x is de quad C(x, x∗) een rooster-quad. Verder zitten in elke quad door x∗ juist vier zo’n

punten x zodat we in totaal 4n punten x ∈ Γ2(x∗) vinden waarvoor |Γ1(x) ∩ Γ2(x∗)| = 2. Uit

Γ1(x)∩Γ1(y) ∈ 1, 2 volgt dat er n2−4n punten y ∈ Γ2(x∗) bestaan zodat |Γ1(y) ∩ Γ1(x∗)| = 1.

Met behulp van de bovenstaande alinea leiden we nu enkele ongelijkheden af door telkens punten-

paren te tellen.

• We tellen de koppels (x1, x2) ∈ P × P waarvoor x1 ∈ Γ1(x∗), x2 ∈ Γ2(x∗) en x1 ∼ x2.

Voor elke x1 ∈ Γ1(x∗) bestaan er 2tx punten in Γ2(x∗) die collineair zijn met x1. We

vinden dus 2(t + 1) · 2tx1 6 2(t + 1) · 2t koppels (x1, x2). Anderzijds vinden we wegens

de bovenstaande alinea juist (n2 − 4n) · 1 + (4n) · 2 koppels (x1, x2) zodat we de volgende

ongelijkheid bekomen:

(n2 − 4n) · 1 + (4n) · 2 6 2(t+ 1) · 2t

⇔ n2 6 4t(t+ 1)− 4n. (4.41)

• We tellen de koppels (x, y) ∈ P × P waarvoor y ∈ Γ2(x∗), x ∈ Γ3(x∗) en x ∼ y. Is

y ∈ Γ2(x∗) een punt zodat |Γ1(y) ∩ Γ1(x∗)| = 1, dan vinden we 2 · ty punten x ∈ Γ3(x∗)

die collineair zijn met y. Heeft y twee gemeenschappelijke buren met x∗, dan vinden

we 2 · (ty − 1) punten x ∈ Γ3(x∗) die collineair zijn met y. In totaal vinden we dus

(n2 − 4n) · 2ty + 4n · 2(ty − 1) 6 (n2 − 4n) · 2t + 8n · (t − 1) = 2tn2 − 8n koppels (x, y).

Anderzijds vinden we, wanneer we eerst het punt x kiezen, juist∑

x∈Γ3(x∗)(tx+ 1) koppels

omdat er op elke rechte door x juist een punt op afstand 2 van x∗ bestaat. We bekomen:∑x∈Γ3(x∗)

(tx + 1) 6 2tn2 − 8n. (4.42)

• Voor elke x ∈ Γ3(x∗) definieren we het kardinaalgetal αx voor het aantal rooster-quads

door x∗ die een punt van Γ1(x) bevatten. We tellen de koppels (x,Q) waarbij x ∈ Γ3(x∗),

Q een rooster-quad door x∗ is en zodat d(x,Q) = 1. Voor elke rooster-quad Q door x∗ zijn

er hoogstens 4 · 2(t − 1) punten in Γ3(x∗) die collineair zijn met een punt in Q ∩ Γ2(x∗).

We vinden: ∑x∈Γ3(x∗)

αx 6 n · 8(t− 1). (4.43)

• Nemen we een punt x ∈ Γ3(x∗) vast en tellen we de puntenparen (y, z) waarvoor x∗ ∼ y ∼z ∼ x. Voor alle αx rooster-quads Q door x die een punt op afstand 1 van x bevatten,

vinden we twee zulke puntenparen (y, z) waarbij z het punt in Q collineair met x is. Er

zijn tx + 1 − αx rechten door het punt x die geen rooster-quad door x∗ snijden. Elk zo’n

rechte heeft een uniek punt z op afstand 2 van x∗. Het punt y waarvoor x∗ ∼ y ∼ z is uniek

bepaald door z omdat C(x∗, z) geen rooster-quad is. We vinden dus (tx+1−αx) ·1+αx ·2puntenparen (y, z). Verder hebben we op elke rechte door x∗ een uniek punt y ∈ Γ2(x) dat

een of twee gemeenschappelijke buren kan hebben met het punt x zodat we de volgende

ongelijkheid krijgen:

(tx + 1− αx) · 1 + αx · 2 > t+ 1

⇔ tx + 1 > t+ 1− αx. (4.44)

114


Door gebruik te maken van (4.41)-(4.44) vinden we

(t+ 1)n3 − 8n(t− 1) 6 (t+ 1)n3 −∑

x∈Γ3(x∗)

αx

=∑

x∈Γ3(x∗)

(t+ 1)−∑

x∈Γ3(x∗)

αx

=∑

x∈Γ3(x∗)

(t+ 1− αx)

6∑

x∈Γ3(x∗)

(tx + 1)

6 2tn2 − 8n

6 8t2(t+ 1)− 8nt− 8n,

zodat n3 6 8t2− 16n

t+ 1. Om het tweede deel van het lemma te bewijzen nemen we een x ∈ Γ3(x∗).

Uit (4.44) volgt dan 2(tx + 1) > tx + 1− αx > t+ 1.

In de volgende paragraaf bekijken we bepaalde klassen van paden in Γ3(x∗).

Enkele klassen van paden in Γ3(x∗)

Definitie 4.5.26. (a) Voor elk pad γ = (x0, x1, . . . , xk) in Γ3(x∗) definieren we s(γ) := x0,

e(γ) := xk, l(γ) := k, e(γ) := (−1)k en Ω(γ) :=⋃

06i6k−1 S(x∗, xi • xi+1). Omdat voor

elke 0 6 i 6 k − 1 de punten xi, xi+1 in Γ3(x∗) liggen, geldt xi • xi+1 ∈ Γ2(x∗) en dus

1 6 |S(x∗, xi • xi+1)| 6 2 zodat ook |Ω(γ)| 6 2 · l(γ).

(b) Kiezen we voor het vervolg een punt y∗ in Γ3(x∗) vast. We definieren de verzameling V als

de verzameling van alle paden γ = (x0, x1, . . . , xk) in Γ3(x∗) die voldoen aan de volgende

eigenschappen:

– s(γ) = x0 = y∗,

– de k verzamelingen S(x∗, xi • xi+1), i ∈ 0, . . . , k − 1 zijn onderling disjunct,

– |Ω(γ)| 6 t2 .

Dan geldt voor elk pad γ ∈ V dat l(γ) 6 |Ω(γ)| 6 2 · l(γ).

(iii) Voor elk pad γ = (y∗, x1, . . . , xk) in V met l(γ) = k > 2 definieren we γ := (x2, . . . , xk) en

een tweede klasse W van paden in Γ3(x∗): W := γ | γ ∈ V en l(γ) > 2.

We concentreren ons nu op de klasse V van paden uit Γ3(x∗) en we leiden enkele eigenschappen

af.

Lemma 4.5.27. Is L een rechte van S door x∗. Voor elke twee punten x1, x2 van L\x∗definieren we εL(x1, x2) := +1 als x1 = x2 en εL(x1, x2) := −1 als x1 6= x2. Dan gelden de

volgende twee eigenschappen:

(i) Zijn y1 en y2 twee verschillende collineaire punten van Γ3(x∗), dan is een rechte L door

x∗ bevat in S(x∗, y1 • y2) als en slechts als εL(πL(y1), πL(y2)) = +1.

115


(ii) Is γ een pad van V, dan is een rechte L door x∗ bevat in Ω(γ) als en slechts als

εL(πL(y∗), πL(e(γ))) = −ε(γ).

Bewijs. (i) De punten y1, y2 zitten in Γ3(x∗) zodat y1 • y2 het unieke punt is van y1y2 op

afstand 2 van x∗. We vinden

L ⊆ S(x, y1 • y2)⇔ ∃u ∈ L : d(u, y1 • y2) = 1

⇔ ∃u ∈ L : d(u, y1) = d(u, y2) = 2

⇔ ∃u ∈ L : πL(y1) = πL(y2) = u

⇔ εL(πL(y1), πL(y2)) = 1.

(ii) Veronderstel dat γ = (y∗ = x0, x1, . . . , xk) een pad is in V. Om εL(πL(y∗), πL(xk)) te

berekenen, kunnen we het pad γ aflopen van y∗ naar xk en nagaan wat εL(πL(xi), πL(xi+1))

is voor elke i ∈ 0, . . . k − 1. Is πL(xi) 6= πL(xi+1) dan is εL(πL(xi), πL(xi+1)) = −1,

anders is εL(πL(xi), πL(xi+1)) = 1. Merk op dat we maar twee punten op L hebben die

verschillende zijn van x∗, zodat uit πL(xi) 6= πL(xj) 6= πL(xn) volgt dat πL(xi) = πL(xn),

i, j, n ∈ 0, . . . , k. Als we dus bij het doorlopen van γ een even respectievelijk oneven

aantal keer vinden dat πL(xi) 6= πL(xi+1), dan is πL(y∗) = πL(xk) respectievelijk πL(y∗) 6=πL(xk). We kunnen dit noteren als

εL(πL(y∗), πL(xk)) =k−1∏i=0

εL(πL(xi), πL(xi+1)).

In (i) hebben we gezien dat εL(πL(xj), πL(xj+1)) = 1 voor een j ∈ 0, . . . , k − 1 als en

slechts als L ∈ S(x∗, xj • xj+1). Merk op dat L ∈ S(x∗, xj • xj+1) wegens de definitie van

V impliceert dat L /∈ S(x∗, xi • xi+1) voor elke i ∈ 0, . . . , k − 1\j. Is L /∈ Ω(γ) dan

vinden we dat voor elke i ∈ 0, . . . , k − 1 geldt dat εL(πL(xi), πL(xi+1)) = −1 en dus

εL(πL(y∗), πL(xk)) = (−1)k = ε(γ).

Is L ∈ Ω(γ) (dus L ∈ S(x∗, xj • xj+1) voor juist een j ∈ 0, . . . , k − 1) dan vinden we

εL(πL(y∗), πL(xk)) = (−1)k−1 · 1 = −ε(γ).

Lemma 4.5.28. Zijn γ1 en γ2 twee paden in V waarvoor e(γ1) = e(γ2), dan is Ω(γ1) = Ω(γ2)

en ε(γ1) = ε(γ2).

Bewijs. Noemen we e(γ1) = e(γ2) = xk dan volgt uit Lemma 4.5.27-(ii) dat L ∈ Ω(γ1) ⇔εL(πL(y∗), πL(xk)) = −ε(γ1) en dat L ∈ Ω(γ2)⇔ εL(πL(y∗), πL(xk)) = −ε(γ2). Hieruit volgt

• als ε(γ1) = ε(γ2) dan Ω(γ1) = Ω(γ2),

• als ε(γ1) 6= ε(γ2) dan Ω(γ1) = Ω(γ2),

waarbij Ω(γ2) het complement is van Ω(γ2) in de verzameling van rechten door x∗. Bij definitie

van V is |Ω(γ1)| 6 t2 en |Ω(γ1)| 6 t

2 zodat∣∣∣Ω(γ1)

∣∣∣ > t − t2 = t

2 en de tweede situatie (Ω(γ1) =

Ω(γ2)) onmogelijk is.

116


Dankzij Lemma 4.5.28 kunnen we de volgende definitie beschouwen.

Definitie 4.5.29. Is E := e(γ) | γ ∈ V. Voor elke x in E definieren we Ω(x) := Ω(γ) en

ε(x) := ε(γ) waarbij γ een willekeurig pad is in V zodat e(γ) = x. Voor elke a, l ∈ N definieren

we verder de verzameling E(a, l) als de verzameling van alle punten x ∈ E waarvoor een pad

γ ∈ V bestaat zodat e(γ) = x, l(γ) = l en |Ω(γ)| = a. Voor elke niet-ledige verzameling A ⊆ Nen elke l ∈ N definieren we ook de verzameling E(A, l) :=

⋃a∈AE(a, l) en El := E(N, l).

We vinden enkele eenvoudige eigenschappen voor de hierboven gedefinieerde verzamelingen.

Lemma 4.5.30. Zijn l, l′, a, a′ ∈ N.

(i) E(a, l) = ∅ als a > t2 of als a /∈ l, l + 1 . . . , 2l. Bijgevolg is El = E(l, l + 1, . . . , 2l, l).

(ii) Als E(a, l) ∩ E(a′, l′) 6= ∅, dan is a = a′ en l − l′ even.

(iii) Als El ∩ El′ 6= ∅, dan is l′ − l even, l′ 6 2l en l 6 2l′.

Bewijs. (i) Wegens Definitie 4.5.26 is |Ω(γ)| 6 t2 en l(γ) 6 |Ω(γ)| 6 2 · l(γ) voor elk pad γ

van V.

(ii) Is x ∈ E(a, l) ∩ E(a′, l′), dan is a = |Ω(x)| = a′ en (−1)l = ε(x) = (−1)l′.

(iii) Uit El ∩ El′ 6= ∅ volgt dat voor een bepaalde a ∈ l, l + 1, . . . , 2l en voor een bepaalde

a′ ∈ l′, l′ + 1, . . . 2l′ de doorsnede E(a, l) ∩ E(a′, l′) niet ledig is. Uit (ii) volgt dan dat

l − l′ even is, l′ 6 a′ = a 6 2l en l 6 a = a′ 6 2l′.

Lemma 4.5.31. Zij x1 en x2 twee verschillende collineaire punten van E.

(i) Is ε(x1) = −ε(x2), dan is Ω(x2) = Ω(x1)∆S(x∗, x1 • x2) (Symmetrisch verschil).

(ii) Is ε(x1) = ε(x2), dan is Ω(x2) = Ω(x1)∆S(x∗, x1 • x2). Verder vinden we dat |Ω(x1)| =

|Ω(x2)| = n als t = 2n+ 2 en |Ω(x1)|, |Ω(x2)| ∈ n− 1, n als t = 2n.

Bewijs. Veronderstel dat L een willekeurige rechte door het punt x∗ is.

(i) Is ε(x1) = −ε(x2), dan volgt wegens Lemma 4.5.27 dat

L ∈ Ω(x2)⇔ εL(πL(y∗), πL(x2)) = −ε(x2)

⇔ (εL(πL(y∗), πL(x2)) = −ε(x2) en πL(x2) = πL(x1))

of (εL(πL(y∗), πL(x2)) = −ε(x2) en πL(x2) 6= πL(x1))

⇔ (εL(πL(y∗), πL(x1)) = −ε(x2) = ε(x1) en πL(x2) = πL(x1))

of (εL(πL(y∗), πL(x1)) = −(−ε(x2)) = −ε(x1) en πL(x2) 6= πL(x1)) ,

omdat πL(x1) = x∗ • πL(x2) bij het tweede geval. Uit Lemma 4.5.27 volgt verder dat

L ∈ Ω(x2)⇔ (L /∈ Ω(x1) en L ∈ S(x∗, x1 • x2))

of (L ∈ Ω(x1) en L /∈ S(x∗, x1 • x2))

⇔ L ∈ Ω(x1)∆S(x∗, x1 • x2).

117


(ii) Is ε(x1) = ε(x2) dan bekomen we

L ∈ Ω(x2)⇔ εL(πL(y∗), πL(x2)) = −ε(x2)

⇔ (εL(πL(y∗), πL(x2)) = −ε(x2) en πL(x2) = πL(x1))

of (εL(πL(y∗), πL(x2)) = −ε(x2) en πL(x2) 6= πL(x1))

⇔ (εL(πL(y∗), πL(x1)) = −ε(x2) = −ε(x1) en πL(x2) = πL(x1))

of (εL(πL(y∗), πL(x1)) = −(−ε(x2)) = ε(x1) en πL(x2) 6= πL(x1)) ,

⇔ (L ∈ Ω(x1) en L ∈ S(x∗, x1 • x2))

of (L /∈ Ω(x1) en L /∈ S(x∗, x1 • x2))

⇔ L ∈ Ω(x1) ∩ S(x∗, x1 • x2) of L /∈ Ω(x1) ∪ S(x∗, x1 • x2)

⇔ L ∈ Ω(x1)∆S(x∗, x1 • x2).

We vinden dus dat Ω(x2) = Ω(x1)∆S(x∗, x1 • x2). Hieruit volgt:

t+ 1 = |Ω(x2)|+ |Ω(x1)∆S(x∗, x1 • x2)|

= |Ω(x2)|+ |Ω(x1)\S(x∗, x1 • x2)|+ |S(x∗, x1 • x2)\Ω(x1)| .

Aangezien |Ω(x1)| 6 t2 , |Ω(x2)| 6 t

2 en |S(x∗, x1 • x2)| 6 2 moet Ω(x1)∩S(x∗, x1 •x2) = ∅en |Ω(x1)| = |Ω(x2)| = n als t = 2n + 1. Is t = 2n, dan vinden we |Ω(x1)| = |Ω(x2)| ∈n− 1, n.

We definieren nu enkele kardinaalgetallen en gaan in de komende paragraaf enkele ongelijkheden

over deze waarden afleiden.

Definitie 4.5.32. Voor elke a, l ∈ N definieren we N(a, l) := |E(a, l)| en Nl := |El|. Het is

duidelijk dat N(0, 0) = 1 want E(0, 0) bestaat uit het pad γ = (y∗). Op elke rechte door y∗

vinden we een tweede punt y′ in Γ3(x∗) en een uniek derde punt y∗ •y′ in Γ2(x) dat op zijn beurt

een of twee gemeenschappelijke buren heeft met x∗. We vinden dus N(1, 1) +N(2, 1) = ty∗ + 1

als t > 4 (omdat Ω(x) 6 t2 voor elk punt x ∈ E). We veronderstellen in het vervolg dat t > 4.

Enkele ongelijkheden met betrekking tot de waarden N(a, l) en N(l)

We definieren een verzameling Vx die bestaat uit rechten door een punt x ∈ E en daarna

definieren we de waarden g(t, l, a). In Lemma 4.5.34 zal blijken dat deze waarden een ondergrens

zijn voor |Vx|.

Definitie 4.5.33. (a) Is x een punt uit de verzameling E en is a = |Ω(x)|. Noemen we

K1,K2, . . . ,Ka de a rechten in Ω(x) en ui het unieke punt op Ki op afstand 2 van x,

i ∈ 1, . . . , a. De verzameling Vx wordt nu gedefinieerd als de verzameling van alle

rechten door x die niet bevat zijn in de verzameling⋃ai=1 S(x, ui).

(b) Voor elke l ∈ N en elke a ∈ l, l+ 1, . . . , 2l definieren we het getal g(t, l, a) op de volgende

manier: is S een schier hexagon van de orde (2, t) dan is

g(t, l, a) :=

t+ 2− 2a als a = 2l 6= 0,

t+ 1− 2a anders.

118


Heeft S geen orde, dan is

g(t, l, a) :=

t+3−3a2 als a = 2l 6= 0,

t+1−3a2 anders.

Lemma 4.5.34. Is x ∈ E(a, l), dan is |Vx| > g(t, l, a).

Bewijs. Zijn u1, . . . , ua punten vanK1, . . . ,Ka zoals gedefinieerd in Definitie 4.5.33. Veronderstel

dat voor λ punten ui ∈ u1, . . . , ua geldt dat |Γ1(ui) ∩ Γ1(x)| = 1. Voor a − λ punten uj ∈u1, . . . , ua geldt dan |Γ1(uj) ∩ Γ1(x)| = 2. We kunnen bijgevolg met zekerheid zeggen dat er

hoogstens λ+ 2(a− λ) = 2a− λ rechten door x niet in Vx liggen. Zodus

|Vx| > tx + 1− 2a+ λ. (4.45)

Als a = 2l 6= 0, dan kunnen we deze ondergrens nog wat verbeteren. In dit geval bestaat er een

pad (y∗, . . . , x′, x) ∈ V waarbij x′ ∈ E(a−2, l−1) omdat x′•x juist twee gemeenschappelijke buren

heeft met x∗. We mogen zonder verlies van algemeenheid veronderstellen dat Ka−1,Ka =

Ω(x)\Ω(x′). De punten ua−1 en ua zijn juist de gemeenschappelijke buren van x′ •x en x∗ zodat

de rechte xx′ in S(x, ua−1) ∩ S(x, ua) ligt. Hierdoor hebben we in (4.45) minstens een rechte

door x die niet in Vx ligt dubbel geteld. We vinden bijgevolg als a = 2l 6= 0 dat

|Vx| > tx + 2− 2a+ λ. (4.46)

Heeft S een orde (2, t) dan volgt uit (4.45) en (4.46) dat

|Vx| >

tx + 2− 2a+ λ > t+ 2− 2a = g(t, l, a) als a = 2l 6= 0,

tx + 1− 2a+ λ > t+ 1− 2a = g(t, l, a) anders.

Heeft S geen orde, dan tellen we de puntenparen (y, z) waarbij x∗ ∼ y ∼ z ∼ x. Enerzijds

vinden we op elke rechte door x een uniek punt z in Γ2(x∗) dat op zijn beurt hoogstens twee

gemeenschappelijke buren y heeft met x∗. Anderzijds vinden we als we naar de rechten Ki,

i ∈ 1, . . . , a, door x∗ kijken juist λ · 1 + (a− λ) · 2 koppels (y, z). Elke andere rechte door x∗,

en dit zijn er t+ 1− a, bevat een punt in Γ2(x) dat op zijn beurt zeker een gemeenschappelijke

buur heeft met x. We krijgen de volgende ongelijkheid:

(tx + 1) · 2 > λ · 1 + (a− λ) · 2 + (t+ 1− a) · 1

⇔ (tx + 1) · 2− 2a+ λ > t+ 1− a

⇔ tx + 1− 2a+ λ >t+ 1

2− a

2− 2a− λ

2,

zodat

|Vx| >

tx + 2− 2a+ λ > t+1−3a+λ2 + 1 > t+3−3a

2 = g(t, l, a) als a = 2l 6= 0,

tx + 1− 2a+ λ > t+1−3a+λ2 > t+1−3a

2 = g(t, l, a) anders.

119


Lemma 4.5.35. Is x ∈ E(a, l) met a 6 t2 − 2. Zij K ∈ Vx en noem xK het unieke punt van

K\x op afstand 3 van x∗. Dan geldt

(i) xK ∈ E(a+ 1, l + 1) ∪ E(a+ 2, l + 1),

(ii) S(x∗, x • xK) ∩ Ω(x) = ∅,

(iii) Ω(xK) = Ω(x) ∪ S(x∗, x • xK).

Bewijs. Stel dat L ∈ S(x∗, x • xK) ∩ Ω(x). Gebruiken we de notatie zoals in Definitie 4.5.33,

dan is L = Ki voor een i ∈ 1, . . . , a en het unieke punt op L op afstand 2 van x is het punt ui.

Bijgevolg behoort de rechte K tot S(x, ui) en is K /∈ Vx, een strijdigheid zodat we (ii) hebben

aangetoond.

Zij γ ∈ V met lengte l(γ) = l en e(γ) = x. Breiden we dit pad uit met het punt xK en noemen

we het bekomen pad γ′, dan is l(γ′) = l+1, e(γ′) = xK en behoort γ′ tot V. Dit laatste volgt uit

S(x∗, x•xK)∩Ω(x) = ∅ en |Ω(y′)| = |Ω(x)|+|S(x∗, x • xK)| = a+|S(x∗, x • xK)| 6 t2−2+2 = t

2

zodat aan Definitie 4.5.26-b voldaan wordt. We kunnen dus schrijven dat Ω(xK) = Ω(γ′) =

Ω(x) + S(x∗, x • xK) wat (iii) bewijst. Puntje (i) volgt nu eenvoudig omdat γ′ tot V behoort,

l(γ′) = l + 1 en 1 6 |S(x∗, x • xK)| 6 2.

Definitie 4.5.36. (a) Voor elke l ∈ N definieren we g(t, l) := ming(t, l, a) | l 6 a 6 2l. Uit

Definitie 4.5.33-(b) volgt onmiddellijk

g(t, l) = g(t, l, 2l) =

t+ 2− 4l als S een schier hexagon met orde (2, t) is,

t+3−6l2 als S een schier hexagon zonder orde is.

(b) We definieren l∗ :=⌊t4

⌋als S een schier hexagon met een orde is en l∗ := min

⌊t4

⌋,⌊t+8

6

⌋als S geen orde heeft.

We hebben nu l∗ zodanig gedefinieerd dat g(t, l∗ − 1) strikt positief is.

Lemma 4.5.37. Er geldt g(t, l∗ − 1) > 0.

Bewijs. Heeft S een orde dan is g(t, l∗ − 1) = t + 2 − 4l∗ + 4 > t + 2 − t + 4 = 6 > 0. Heeft Sgeen orde dan is

l∗ = min

⌊t

4

⌋,

⌊t+ 8

6

⌋

=

⌊t4

⌋als t 6 16,⌊

t+86

⌋als t > 16.

(4.47)

Bijgevolg vinden we

g(t, l∗ − 1) =t+ 3− 6l∗ + 6

2>

t+92 −

6t8 = −2t+36

8 > 0 als t 6 16,

t+9−t−82 = 1

2 > 0 als t > 16.

120


Opmerking 4.5.38. In Paragraaf B.1 van Appendix B vindt men de expliciete waarde van

g(t, l∗ − 1) voor t ∈ 2, . . . , 30. Merk op dat we in (4.47) de waarde 16 konden vervangen

door 12, 13, 14, 15, 17, 18 en 19. Let wel op dat we geen strikt positieve waarde bekomen voor

g(t, l∗ − 1) bij de keuzes 18 of 19.

Lemma 4.5.39. (i) Voor elke l ∈ 0, . . . , l∗ geldt dat El 6= ∅.

(ii) Veronderstel dat l∗ > 2. Voor elk punt x in E2 en elke l ∈ 2, . . . , l∗ bestaan er minstens∏l−1i=2 g(t, i) paden γ ∈ W waarvoor s(γ) = x en e(γ) ∈ El.

Bewijs. Zij γ een pad in V met lengte l(γ) 6 l∗− 1, e(γ) = x en a = |Ω(x)|. Wegens l∗ 6⌊t4

⌋is

a 6 2 · l(γ) 6 2l∗ − 2 6t

2− 2, (4.48)

en uit Definitie 4.5.36 volgt dat g(t, l(γ), a) > g(t, l(γ)) > g(t, l∗ − 1). Wegens Lemma 4.5.37

vinden we dus dat g(t, l(γ), a) > 0. Omdat x ∈ E(a, l(γ)) en |Vx| > g(t, l(γ), a) wegens

Lemma 4.5.34 volgt dat er een K ∈ Vx bestaat. Uit (4.48) volgt wegens Lemma 4.5.35 dat

het unieke punt xK van K\x op afstand 3 van x∗ het pad γ uitbreidt tot een pad γ′ ∈ Vmet lengte l(γ) + 1. We vinden |Vx| > g(t, l(γ)) rechten K zodat we het pad γ op minstens

g(t, l(γ)) manieren kunnen uitbreiden. Puntje (i) volgt nu op een inductieve manier omdat

E(0, 0) 6= ∅ (N(0, 0) = 1). Puntje (ii) volgt ook eenvoudig uit het bovenstaande door een pad

γ ∈ V van lengte l(γ) = 2 en eindpunt e(γ) = x telkens uit te breiden zoals we hierboven hebben

gedaan.

Voor een punt x ∈ E(a, l) gaan we op zoek naar een bovengrens voor het aantal punten in Γ1(x)

die zelf ook eindpunten van paden van V zijn.

Definitie 4.5.40. Voor elk punt x ∈ E(a, l), l > 2 definieren we de getallen δ1(x) en δ2(x) voor

het aantal punten van E(a− 1, l − 1), respectievelijk E(a− 2, l − 1), die collineair zijn met x.

Lemma 4.5.41. Is x ∈ E(a, l), l > 2, dan is δ1(x) + 2δ2(x) 6 2a. Een direct gevolg hiervan is

dat δ1(x) 6 2a en dat δ2(x) 6 a. Is l = 2 en dus x ∈ E(a, 2), dan is δ1(x) 6 2 en δ2(x) 6 2.

Bewijs. Noteren we opnieuw Ω(x) = K1, . . . ,Ka en ui, i ∈ 1, . . . , a, voor de unieke punten

op Ki op afstand twee van x. Veronderstel dat x′ ∈ E(a − 1, l − 1) ∪ E(a − 2, l − 1) en dat x′

collineair is met x. Dan is ε(x) = −ε(x′) en Ω(x′) ⊂ Ω(x). Hierdoor volgt uit Lemma 4.5.31

Ω(x) = Ω(x′)∪S(x∗, x′ •x) zodat S(x∗, x •x′) ⊆ K1, . . . ,Ka. Is Ki een rechte in S(x∗, x •x′),dan is ui ∈ Γ1(x∗) ∩ Γ1(x′ • x) zodat xx′ ∈ S(x, ui).

Tellen we nu de paren (K,u) die voldoen aan

(i) u ∈ u1, . . . , ua,

(ii) K is een rechte door x die een punt x′ van E(a− 1, l − 1) ∪ E(a− 2, l − 1) bevat,

(iii) K ⊆ S(x, u).

Als een rechte K door x een punt x′ ∈ E(a − 1, l − 1) bevat, en dit zijn er δ1(x), dan geldt er

wegens bovenstaande alinea dat K = xx′ ∈ S(x, ui) voor een i ∈ 1, . . . , a. Bevat de rechte K

door x een punt x′ ∈ E(a − 2, l − 1), en dit zijn er δ2(x), dan is K = xx′ ∈ S(x, ui) voor twee

121


verschillende i ∈ 1, . . . , a. Anderzijds vinden we hoogstens twee rechten K ∈ S(x, u) voor elke

u ∈ u1, . . . , ua, zodat

2a > δ1(x) + 2δ2(x).

Is l = 2 dan zit elk punt van de verzameling E(a− 1, 1)∪E(a− 2, 1) in Γ1(x)∩Γ1(y∗) voor een

x ∈ E(a, 2). Elke twee punten op afstand 2 hebben hoogstens twee gemeenschappelijke buren,

zodat δ1(x) 6 2 en δ2(x) 6 2.

Lemma 4.5.42. Is t > 2(a+ 2) (of a 6 t2 − 2) dan gelden de volgende ongelijkheden:

(i) N(a, 1) · g(t, 1, a) 6 2(N(a+ 1, 2) +N(a+ 2, 2)),

(ii) N(a, l) · g(t, l, a) 6 N(a+ 1, l + 1) · (2a+ 2) +N(a+ 2, l + 1) · (a+ 2) voor elke l > 2.

Bewijs. Tellen we de puntenparen (x, x′) waarbij x ∼ x′, x ∈ E(a, l) en x′ ∈ E(a + 1, l +

1) ∪ E(a + 2, l + 1). Kiezen we x ∈ E(a, l), en dit kan op N(a, l) manieren, dan vinden we

voor elke K ∈ Vx een punt xK ∈ K\x zodat xK ∈ E(a + 1, l + 1) ∪ E(a + 2, l + 1) wegens

Lemma 4.5.35. Uit Lemma 4.5.34 besluiten we dat er minstens N(a, l) · g(t, l, a) zulke koppels

(x, x′) zijn. Anderzijds zijn er voor elke x′ ∈ E(a+ 1, l+ 1), respectievelijk x′ ∈ E(a+ 2, l+ 1),

juist δ1(x′), respectievelijk δ2(x′), punten x ∈ E(a, l) die collineair met x′ zijn zodat we, als

l > 2, wegens Lemma 4.5.41 (δ1(x′) 6 2(a+ 1) respectievelijk δ2(x′) 6 a+ 2) hoogstens N(a+

1, l + 1) · (2a+ 2) +N(a+ 2, l + 1) · (a+ 2) zulke koppels (x, x′) vinden. We besluiten

N(a, l) · g(t, l, a) 6 N(a+ 1, l + 1) · (2a+ 2) +N(a+ 2, l + 1) · (a+ 2). (4.49)

Is l = 2 dan vinden we wegens Lemma 4.5.41 dat δ1(x′) 6 2 en δ2(x′) 6 2 zodat (4.49) de

volgende ongelijkheid wordt:

N(a, 1) · g(t, 1, a) 6 2(N(a+ 1, 2) +N(a+ 2, 2)).

We voeren nu drie nieuwe nieuwe reeksen getallen in (M(a, l), ∆i en fi(t)). In Lemma 4.5.44

tonen we aan dat ∆i een bovengrens vormt voor de waarden M(a, l). In Lemma 4.5.45 vinden

we dat de getallen fi(t) ondergrenzen zijn voor de waarden Ni die we eerder hebben gedefinieerd.

Definitie 4.5.43. (a) Zijn a, l ∈ N, l > 2 en E(a, l) 6= ∅, dan noteren we λx voor het aantal

paden γ ∈ W waarvoor e(γ) = x. We definieren dan M(a, l) := maxx∈E(a,l) λx. Bij

definitie stellen we M(a, l) := 0 als E(a, l) = ∅.

(b) Voor elke l > 3 definieren we

∆l := max

(2al)(2al−1) . . . (2a3)

2(al−a2)−(l−2)| a2 = 2, 3, 4 en ai − ai−1 ∈ 1, 2 als 3 6 i 6 l

.

Voor l = 3 vinden we eenvoudig met de hand dat ∆3 = max6, 4, 8, 5, 10, 6 = 10. Men kan

(zie Paragraaf B.2.1 van Appendix B) berekenen dat ∆4 = 120, ∆5 = 1680, ∆6 = 26880,

∆7 = 483840, ∆8 = 10644480, enz.

122


(c) We definieren de waarden fi(t) als volgt

f0(t) := 1

f1(t) :=

t+ 1 als S een orde heeft,

t+12 als S geen orde heeft.

f2(t) :=

(t+1)(t−2)

2 als S een orde heeft,

(t+1)(t−3)8 als S geen orde heeft.

Voor i > 3:

fi(t) :=f2(t) ·

∏i−1j=2 g(t, j)

∆i.

Lemma 4.5.44. (i) Is E(a, 2) = ∅ dan is M(a, 2) = 0. Is E(a, 2) 6= ∅ dan is M(a, 2) = 1. Is

l > 3 en a > 2 dan is M(a, l) 6 (2a) maxM(a−2,l−1)

2 ,M(a− 1, l − 1)

.

(ii) M(a, l) 6 ∆l voor elke l > 3.

Bewijs. Is E(a, 2) = ∅, dan is bij definitie M(a, 2) = 0. Is E(a, 2) 6= ∅, dan is er voor elke

x ∈ E(a, 2) juist een pad γ = (x) in W zodat e(γ) = x. Met andere woorden we vinden dat

M(a, l) = 1. Veronderstel dat l > 3 en a > 2. Is E(a, l) = ∅ dan is M(a, l) = 0 en valt er niets

te bewijzen. Veronderstel dat x ∈ E(a, l), we vinden

λx 6 δ1(x) ·M(a− 1, l − 1) + δ2(x) ·M(a− 2, l − 1)

= δ1(x) ·M(a− 1, l − 1) + 2δ2(x) · M(a− 2, l − 1)

2

6 (δ1(x) + 2δ2(x)) ·max

M(a− 1, l − 1),

M(a− 2, l − 1)

2

6 2a ·max

M(a− 1, l − 1),

M(a− 2, l − 1)

2

,

waarbij de laatste ongelijkheid volgt uit Lemma 4.5.41. We besluiten dat

M(a, l) = max λx | x ∈ E(a, l) 6 2a ·max

M(a− 1, l − 1),

M(a− 2, l − 1)

2

.

Is l = 3 dan volgt (ii) eenvoudig uit het voorgaande. We hebben namelijk a ∈ 3, 4, 5, 6,M(a − 1, 2), M(a − 2, 2) ∈ 0, 1 en als a = 6 dan is M(a − 1, 2) = 0. Is l > 3 dan volgt

(ii) door (i) herhaaldelijk toe te passen en alle mogelijke gevallen te overlopen. We noteren

al := a. Is maxM(a− 1, l − 1), M(a−2,l−1)

2

= M(a− 1, l− 1), dan definieren we al−1 := al− 1

(al − al−1 = 1), anders definieren we al−1 := al − 2 (al − al−1 = 2).

Lemma 4.5.45. Voor elke l ∈ 0, . . . , l∗ geldt Nl > fl(t).

Bewijs. We hebben N0 = N(0, 0) = 1 = f0(t). Is l∗ > 1, dan is N1 = ty∗ + 1. Heeft S een orde,

dan is N1 = t + 1 = f1(t). Heeft S geen orde, dan volgt omdat y∗ ∈ Γ3(x∗) uit Lemma 4.5.25

dat N1 = t∗y + 1 > t+12 = f1(t). Is l∗ > 2 dan volgt uit Lemma 4.5.42 dat

N(1, 1) · g(t, 1, 1) +N(2, 1) · g(t, 1, 2) 6 2(N(1, 2) +N(2, 2) +N(3, 2) +N(4, 2)),

123


en dus dat N1 · g(t, 1) 6 2N2. We vinden hieruit dat N2 >N1 · g(t, 1)

2>f1 · g(t, 1)

2zodat

N2 >

(t+1)(t+2−4)

2 = f2(t) als S een orde heeft,

(t+1)(t+3−6)2·2·2 = f2(t) als S geen orde heeft.

Zij l∗ > 3 en l ∈ 3, . . . l∗. Het getal Nl is het aantal punten x ∈ Γ3(x∗) dat het eindpunt is

van een pad γ in V zodat l(γ) = l. We kunnen zo’n pad γ bekijken als een pad in V van lengte

2 die we uitbreiden naar een pad van lengte l. Uit Lemma 4.5.39 vinden we voor elk punt x′ in

E2 minstens∏l−1i=2 g(t, i) paden α in W zodat s(α) = x′ en e(α) ∈ El. Stel dat x ∈ El en dus

x ∈ E(a, l) voor een a ∈ l, . . . , 2l. Het punt x is het eindpunt van λx verschillende paden in

W. Wegens Definitie 4.5.43-(a) volgt nu:

Nl > N2 ·∏l−1i=2 g(t, i)

maxa∈l,...,2lM(a, l),

zodat

Nl >N2 ·

∏l−1i=2 g(t, i)

∆l>f2(t) ·

∏l−1i=2 g(t, i)

∆l= fl(t),

wegens Lemma 4.5.44-(ii) en het voorgaande.

We bewijzen nu een lemma dat ons de mogelijkheid zal geven om een bovengrens voor t in S te

berekenen.

Bovengrens van t

Lemma 4.5.46. Zijn de verzamelingen El1 , El2 , . . . , Elk (k > 1, 0 6 l1 < l2 < · · · < lk 6 l∗

en lk > 3) paarsgewijs disjunct. Is R de grootste reele wortel van het polynoom f(X) :=

fl1(X) + fl2(X) + · · ·+ flk(X)− 8X2 ∈ Q [X], dan geldt dat t 6 bRc.

Bewijs. Uit Lemma 4.5.45 vinden we

fl1(t) + fl2(t) + · · ·+ flk(t) 6 Nl1 +Nl2 + · · ·+Nlk

= |El1 |+ |El2 |+ · · ·+ |Elk |

= |El1 ∪ El2 ∪ · · · ∪ Elk | ,

waaarbij de laatste gelijkheid volgt uit het paarsgewijs disjunct zijn van de verzamelingen

El1 , El2 , . . . , Elk . Dit betekent ook dat elke x ∈ Γ3(x∗) tot hoogstens een Eli , i ∈ 1, . . . , k, kan

behoren zodat wegens Lemma 4.5.25

fl1(t) + fl2(t) + · · ·+ flk(t) 6 |Γ3(x∗)| 6 8t2,

waaruit f(t) 6 8t2 − 8t2 = 0.

De graad van f is lk > 3 en er volgt dat de hoogstegraadscoefficient in f(X) strikt positief

is wegens Definitie 4.5.43 en Definitie 4.5.36. De polynoom f(X) is dus een veeltermfunctie

waarbij f(x) > 0 als X > R zodat f(t) 6 0 betekent dat t 6 R. Omdat t ∈ N volgt t 6 bRc.

124


Dankzij dit lemma vinden we een bovengrens van t voor S. Het enige wat we nodig hebben is

een verzameling van paarsgewijs disjuncte verzamelingen Ei. We bekijken eerst de bovengrens

als S een orde heeft, daarna als S geen orde heeft.

Stelling 4.5.47. Zij S een eindige schier hexagon van de orde (2, t) waarbij er geen speciale

punten zijn en elke twee punten op afstand 2 een of twee gemeenschappelijke buren hebben. Dan

is t 6 33.

Bewijs. Veronderstel dat t > 30. Dan is l∗ =⌊t4

⌋> 7. Uit Lemma 4.5.30-(iii) volgt dat

El ∩ E′l = ∅ als l′ − l oneven is, l′ > 2l of l > 2l′. Zo zijn de verzamelingen E0, E1, E2, E3, E6

en E7 paarsgewijs disjunct. Om Lemma 4.5.46 toe te passen, berekenen we eerst fi(t) voor

i ∈ 0, 1, 2, 3, 6, 7:

f0(t) = 1,

f1(t) = t+ 1,

f2(t) =(t+ 1)(t− 2)

2,

f3(t) =f2(t) · g(t, 2)

∆3=

(t+ 1)(t− 2)(t+ 2− 8)

2 · 10

=(t+ 1)(t− 2)(t− 6)

20,

f6(t) =f2(t) · g(t, 2) · g(t, 3) · g(t, 4) · g(t, 5)

∆6

=(t+ 1)(t− 2)(t+ 2− 8)(t+ 2− 12)(t+ 2− 16)(t+ 2− 20)

2 · 26880

=(t+ 1)(t− 2)(t− 6)(t− 10)(t− 14)(t− 18)

53760,

f7(t) =f2(t) · g(t, 2) · g(t, 3) · g(t, 4) · g(t, 5) · g(t, 6)

∆7

=(t+ 1)(t− 2)(t− 6)(t− 10)(t− 14)(t− 18)(t− 22)

967680.

Berekenen we de reele wortels van het polynoom f(X) = f0(X)+f1(X)+f2(X)+f3(X)+f6(X)+

f7(X) − 8X2, dan vinden we als grootste wortel R = 33, 7746... zodat wegens Lemma 4.5.46

t 6 33.

Opmerking 4.5.48. De grootst gekende waarde voor t is 11. Het is dus zeker mogelijk dat

deze grens scherper gesteld kan worden.

Stelling 4.5.49. Zij S een eindige schier hexagon zonder orde waarbij elke rechte juist drie

punten bevat, er geen speciale punten zijn en elke twee punten op afstand 2 een of twee gemeen-

schappelijke buren hebben. Dan is t 6 76.

Bewijs. Veronderstel dat t > 50. Dan is l∗ = min⌊

t4

⌋,⌊t+8

6

⌋> minb12, 5c ; [9, 6666...c = 9.

Uit Lemma 4.5.30-(iii) volgt dat de verzamelingen E0, E1, E2, E3, E7 en E8 paarsgewijs disjunct

125


zijn. Om Lemma 4.5.46 toe te passen, berekenen we eerst fi(t) voor i ∈ 0, 1, 2, 3, 7, 8:

f0(t) = 1,

f1(t) =t+ 1

2,

f2(t) =(t+ 1)(t− 3)

8,

f3(t) =f2(t) · g(t, 2)

∆3=

(t+ 1)(t− 3)(t+ 3− 12)

8 · 10 · 2

=(t+ 1)(t− 3)(t− 9)

160,

f7(t) =f2(t) · g(t, 2) · g(t, 3) · g(t, 4) · g(t, 5) · g(t, 6)

∆7

=(t+ 1)(t− 3)(t− 9)(t− 15)(t− 21)(t− 27)(t− 33)

123863040,

f8(t) =f2(t) · g(t, 2) · g(t, 3) · g(t, 4) · g(t, 5) · g(t, 6) · g(t, 7)

∆8

=(t+ 1)(t− 3)(t− 9)(t− 15)(t− 21)(t− 27)(t− 33)(t− 39)

5449973760.

Berekenen we de reele wortels van het polynoom f(X) = f0(X)+f1(X)+f2(X)+f3(X)+f7(X)+

f8(X) − 8X2, dan vinden we als grootste wortel R = 76.8099... zodat wegens Lemma 4.5.46

t 6 76.

Opmerking 4.5.50. De auteur B. De Bruyn van [17] heeft ook andere mogelijkheden van de

verzamelingen El1 , . . . , Elk onderzocht die minder scherpe grenzen gaven. Het is wel mogelijk

dat een scherpere grens kan bekomen worden als men bovenstaande lemma’s verfijnt. Voorlopig

zijn de bovenstaande grenzen de scherpste die gekend zijn.

Opmerking 4.5.51. In Paragraaf B.2.2 van Appendix B worden de wortels van de twee polyno-

men f(X) uit Stelling 4.5.47 en Stelling 4.5.49 berekend in Maple. Daarnaast wordt telkens de

grafiek van f(X) geplot zodat bevestigd kan worden dat de functie stijgt na de grootste wortel.

126

Algemeen Besluit

Deze masterproef tracht een antwoord te geven op de vraag of semi-eindige veralgemeende

veelhoeken en schier veelhoeken van de orde (s, t) bestaan. Indien het antwoord negatief is,

wordt telkens een bovengrens van t in functie van s gezocht. Duaal krijgen we dan ook een

bovengrens van s in functie van t. We deden dit in drie grote stappen. Eerst bespraken we

de veralgemeende vierhoeken. Dit is de klasse van veralgemeende veelhoeken met diameter 2.

Daarna bestudeerden we de volledige klasse van veralgemeende veelhoeken, waar we de resultaten

van de veralgemeende vierhoeken trachtten uit te breiden naar algemene (eindige) diameter. Tot

slot werden de schier veelhoeken besproken. Dit is een klasse van incidentiemeetkunden die de

klasse van veralgemeende 2d-hoeken omvat.

In de onderstaande tabellen geven we een beknopte samenvatting van de belangrijkste resultaten

die we in deze masterproef bespreken. Om dit overzicht wat duidelijk te houden, worden de

resultaten aangaande veralgemeende veelhoeken en schier veelhoeken in twee aparte tabellen

gegeven.

In Tabel 4.2 bespreken we voor verschillende n het al dan niet bestaan van semi-eindige dikke

veralgemeende n-hoeken van de orde (s, t). We noteren ‘/’ als er geen semi-eindige dikke ver-

algemeende n-hoek bestaat. In de meeste gevallen is dit echter nog steeds een open vraag. Dit

wordt aangeduid met een vraagteken.

In Tabel 4.3 bespreken we het bestaan van dikke semi-eindige schier 2d-hoeken. We geven de

resultaten van drie grote klassen weer. Opnieuw wordt ‘/’ gebruikt als er geen semi-eindige

schier 2d-hoek bestaat in de beschouwde klasse en een vraagteken als we met een open probleem

te maken hebben. We gebruiken de notatie tx voor het aantal rechten door een willekeurig punt

als de schier veelhoek een vast aantal punten op elke rechte bevat maar geen orde heeft.

127

Sis

een

dik

keve

ralg

e-

mee

nd

en

-hoek

Sem

i-ei

nd

igB

egre

nzi

ng

opt

Op

mer

kin

g

non

even

/s

=t

n=

3alsS

ein

dig

is.

n=

4s

=2

/t∈2,4

s=

3/

t∈3,5,9

s=

4/

t∈2,4,6,8,1

1(?),1

2(?),1

6G

ebru

ikva

nm

od

elth

eori

e.

s>

5?

t6s2

alsS

ein

dig

is.

n=

6?

t6s3

en√st∈Q

alsS

ein

dig

is.

n=

8?

t6s2

en√

2st∈N

alsS

ein

dig

is.

n/∈3,4,6,8

?S

isn

ood

zake

lijk

on

ein

dig

weg

ens

Fei

t-H

igm

an

.

Tab

el4.

2:

Het

bes

taan

van

dik

kese

mi-

ein

dig

eve

ralg

emee

nd

en

-hoek

enva

nd

eord

e(s,t

).

128

Sis

een

dik

kesc

hie

r2d-

hoek

Sem

i-ei

nd

igB

egre

nzi

ng

opt

Op

mer

kin

g

Reg

uli

ern

iet

rele

vant

t+

16

s2d−

1s2−

1S

isb

ijd

efinit

ieei

nd

ig.

De

ein

dig

eve

ral-

gem

een

de

2d-h

oek

enu

itT

ab

el4.2

beh

ore

n

hie

rook

bij

.

Elk

etw

eep

unte

nop

afs

tan

d2

van

elka

ar

heb

ben

twee

gem

een

-

sch

app

elij

keb

ure

n

s=

2/

recu

rsie

fte

bep

alen

Isd

=3,d

an

ist∈2,3,5,6,8,1

1,14,

20.

Isd

=4,

dan

ist∈

3,4,5,6,7,9,1

2,13,1

4,15,

21,

24,

84.

s>

3?

Hyb

rid

es

=2,d

=3,

geen

sp.

pntn

.

metQ

(5,2

)-qu

ads

/t6

20A

lsS

gee

nord

eh

eeft

,gel

dtt x

624.

metW

(2)-

qu

ads

zon

derQ

(5,2

)-qu

ad

/t6

14A

lsS

gee

nord

eh

eeft

,gel

dtt x

644.

zon

der

Q(5,2

)-en

W(2

)-qu

ad

?t6

33al

sS

ein

dig

is

AlsS

gee

nord

eh

eeft

enei

nd

igis

,gel

dt

t x6

76

.

s>

3en

/of

d>

4

?

Tab

el4.3

:H

etb

esta

anva

nd

ikke

sem

i-ei

nd

ige

sch

ier

2d-h

oek

enva

nd

eord

e(s,t

).

129

AClassificatie van veralgemeende

vierhoeken van de orde (2, t)

In Hoofdstuk 2 hebben we aangetoond dat elke veralgemeende vierhoek waarbij er juist drie

punten op elke rechte liggen eindig is en er 2, 3 of 5 rechten door elk punt gaan. In deze appendix

wordt aangetoond dat er op een isomorfisme na een unieke veralgemeende vierhoek bestaat van

de orde (2, 1), 2 en (2, 4). Daarna bespreken we de ovoıden in veralgemeende vierhoeken van de

orde (2, t). Deze appendix is gebaseerd op B. De Bruyn [18].

A.1 Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, 1)

Lemma A.1.1. Zij S een veralgemeende vierhoek van de orde (2, t), t ∈ 1, 2, 4. Dan zijn elke

twee disjuncte rechten bevat in een deelvierhoek van de orde (2, 1).

Bewijs. Zijn K en L twee disjuncte rechten van S. We vinden drie rechten M1, M2 en M3 van

S die zowel K als L snijden. Merk op dat deze rechten onderling disjunct zijn. Noemen we xi

het unieke punt van Mi dat niet op K of L gelegen is, i ∈ 1, 2, 3 dan volgt uit het ontbreken

van driehoeken in S dat xi ∼ xj voor elke i, j ∈ 1, 2, 3, i 6= j. Dus x1, x2, x3 liggen op een

rechte zodat we een 3× 3-rooster door K en L krijgen.

Gevolg A.1.2. Op een isomorfisme na is er een unieke veralgemeende vierhoek van de orde

(2, 1): het 3× 3-rooster

In het vervolg noemen we een deelvierhoek van de orde (2, 1) een deelrooster.

131

A.2 Veralgemeende vierhoek van de orde 2

We bewijzen de uniciteit van een veralgemeende vierhoek van de orde 2. Uit Stelling 2.1.4

volgt dat een veralgemeende vierhoek van de orde 2 juist 15 punten en 15 rechten bevat. Een

veralgemeende vierhoek van de orde (2, 1) bezit 9 punten en 6 rechten.

Stelling A.2.1. Er bestaat op isomorfisme na een unieke veralgemeende vierhoek van de orde

2.

Bewijs. Er bestaat zeker een veralgemeende vierhoek van de orde 2: W (2). We tonen aan dat

voor een willekeurige veralgemeende vierhoek van de orde 2 de punten en rechten te beschrijven

zijn in termen van punten, rechten en ovoıden van een 3 × 3-rooster in deze veralgemeende

vierhoek. Zo’n rooster bestaat altijd wegens Lemma A.1.1. Zij S een veralgemeende vierhoek

van de orde 2 en G een 3× 3-rooster in S. Voor elk punt x in S\G vormen de punten Γ1(x)∩Geen ovoıde van G die we Ox noemen. Zijn er minstens twee verschillende punten x en y in S\Gwaarvoor de corresponderende ovoıden samenvallen (Ox = Oy), dan zijn deze punten x en y niet

collineair wegens het ontbreken van driehoeken. Verder volgt er dat door elk punt z ∈ Γ1(x)∩Gminstens vier rechten gaan: de twee rechten van het rooster en de rechten xz en yz. Dit in

in strijd met de orde 2 van S. We mogen dus besluiten dat er een injectie en dus een bijectie

bestaat tussen de zes punten van S\G en de zes ovoıden van G.

Bekijken we de 9 = 15−6 rechten van S die niet in G gelegen zijn. Elke rechte die niet volledig in

G bevat zit, snijdt noodzakelijk met G. Veronderstel namelijk dat een rechte L volledig disjunct

is met het rooster G. Door elk punt x op L gaan er drie rechten die het rooster snijden zodat

we opnieuw een strijdigheid krijgen met de orde van S. Omgekeerd volgt opnieuw door t = 2

dat er juist een rechte door elk punt van G gaat dat niet volledig in G gelegen is. We vinden

dus een bijectie tussen de negen punten van G en de negen rechten van S die niet volledig in

G liggen. Merken we ook nog op dat de twee punten op een rechte L die niet in G gelegen zijn

corresponderen met twee ovoıden in G door het punt L ∩G.

Op deze manier kunnen we alle rechten en punten van S beschrijven aan de hand van punten,

rechten en ovoıden in het rooster G: S = (P,L, I ) met

P =

(a) 9 punten van een rooster,

(b) 6 ovoıden van een rooster,

L =

(i) 6 rechten van een rooster,

(ii) 9 punten van een rooster,

I =

(a) I (i) ⇔ normale incidentie,

(a) I (ii) ⇔ zelfde punt,

(b) I (i) ⇔ nooit,

(b) I (ii) ⇔ ovoıde bevat punt.

Elke veralgemeende vierhoek van de orde 2 kan dus op dezelfde manier beschreven worden zodat

er op een isomorfisme na slechts een veralgemeende vierhoek van de orde 2 bestaat.

132

A.3 Veralgemeende vierhoek van de orde (2, 4)

Lemma A.3.1. Zij S een veralgemeende vierhoek van de orde (2, 4), G een deelrooster van Sen x een punt van S dat niet bevat is in G. Er bestaat dan een unieke deelvierhoek isomorf met

W (2) dat het rooster G en het punt x bevat.

Bewijs. Veronderstel dat Γ1(x) ∩ G = x1, x2, x3 en noem yi het unieke derde punt op de

rechte xxi, i ∈ 1, 2, 3. Van de zes ovoıden in G zijn er juist twee disjunct met Ox := Γ1(x)∩G.

Noem deze ovoıden O1 = a112, a

113, a

123 en O2 = a2

12, a213, a

223 zodat xj ∼ aijk ∼ xk voor elke

i ∈ 1, 2 en voor elke j, k ∈ 1, 2, 3 waarbij j 6= k. Zij i ∈ 1, 2 en bekijken we het punt ai12

t.o.v. de rechte xx3. Er geldt dat x ai12 en dat x3 ai12 zodat ai12 ∼ y3. We noemen nu bi12

het unieke derde punt op de rechte ai12y3. Op dezelfde manier noemen we de punten bi23 en bi13

de unieke derde punten op de rechte ai23y1, respectievelijk ai13y2. We wensen aan te tonen dat

bi12 = bi13 = bi23 voor elke i ∈ 1, 2. Daarvoor beschouwen we de rechte ai12y3 en ai13y2 en we

vinden dat:

• ai12 ai13 omdat het twee punten zijn in eenzelfde ovoıde,

• ai12 y2 en ai13 y3 omdat we anders driehoeken krijgen,

• y2 y3 omdat we anders een driehoek krijgen,

waaruit we besluiten dat bi12 ∼ ai13 en bi12 ∼ y2 zodat bi12 op de rechte ai13y2 ligt en dus samenvalt

met bi13. Analoog vinden we dat bi13 = bi23 en we definieren bi := bi12 = bi13 = bi23, i ∈ 1, 2. We

vinden dus door G en x een deelvierhoek van S die 15 punten (de 9 punten in G, het punt x en

de punten y1, y2, y3, b1 en b2) en 15 rechten (de 6 rechten in G, de rechten xx1, xx2, xx3 en de

zes rechten aijkbi) bevat en dus isomorf is met W (2).

Gevolg A.3.2. Een deelrooster G van een veralgemeende vierhoek S van de orde (2, 4) is bevat

in juist drie deelvierhoeken die isomorf zijn met W (2).

Bewijs. De veralgemeende vierhoek S bevat 27 punten en 45 rechten. Is G een deelrooster in

S en x een punt in S dat niet in het rooster G ligt, dan vinden we wegens Lemma A.3.1 een

deelvierhoek S1∼= W (2) door G en x die 6 punten en 9 rechten buiten G beschrijft. We kunnen

nu een punt y ∈ S\(G∪S1) kiezen en er volgt opnieuw uit Lemma A.3.1 dat er een deelvierhoek

S2∼= W (2) bestaat door G en y die 6 punten en 9 rechten buiten G ∪ S1 beschrijft. Kiezen we

een derde punt z ∈ S\(G∪S1∪S2), dan volgt opnieuw uit Lemma A.3.1 dat er een deelvierhoek

S3∼= W (2) bestaat door G en z die 6 punten en 9 rechten buiten G ∪ S1 ∪ S2 beschrijft. Zo

hebben we alle 27 punten punten van S beschreven en is G bevat in drie deelvierhoeken die

isomorf zijn met W (2).

We gebruiken in de volgende stelling het begrip waaier van ovoıden in een rooster. We voeren

ook het begrip rosette van ovoıden in dat we Paragraaf A.4 gebruiken.

Definitie A.3.3. Een waaier van ovoıden in een veralgemeende vierhoek Q is een partitie van

Q in ovoıden. Een rosette van ovoıden is een verzameling van ovoıden door een punt die de

verzameling van punten op afstand 2 van dat punt partitioneert.

133

Stelling A.3.4. Er bestaat op isomorfisme na een unieke veralgemeende vierhoek van de orde

(2, 4).

Bewijs. Zij S een veralgemeende vierhoek en G een deelrooster van S. Noem R1, R2 en R3

de drie deelvierhoeken door G in S die isomorf zijn met W (2). Het is de bedoeling om net

zoals in Stelling A.2.1 de punten en de rechten van S te beschrijven aan de hand van punten,

rechten en ovoıden van G en aan de hand van elementen van de verzameling 1, 2, 3. Met elk

punt x ∈ S\G associeren we het koppel (Ox, ix) waarbij Ox = Γ1(x) ∩G en ix ∈ 1, 2, 3 zodat

x ∈ Rix . Er volgt eenvoudig dat er een injectie en dus een bijectie bestaat tussen de 18 punten

van S\G en de 18 koppels (Ox, ix).

Bekijken we de rechten van S. Er zijn 6 rechten in G, 27 rechten die G in een punt snijden (in

elke Ri vinden we 9 rechten die het deelrooster G snijden) en 12 rechten die volledig disjunct

met G zijn. Een rechte L die G in een punt x snijdt associeren we met het koppel (x, iL) waarbij

iL ∈ 1, 2, 3 zodat L ∈ RiL . Een rechte M die disjunct is met G bevat drie punten x, y, z die

alle in een verschillende Ri zitten. Er volgt dat de drie ovoıden Ox = Γ1(x)∩G, Oy = Γ1(y)∩Gen Oz = Γ1(z)∩G noodzakelijk disjunct van elkaar zijn (wegens het ontbreken van driehoeken)

zodat (Ox, Oy, Oz) een waaier van ovoıden is van G. Bijgevolg is er een bijectie tussen de

12 rechten die disjunct zijn met G en de 12 verzamelingen (O1, i1), (O2, i2), (O3, i3) waarbij

O1, O2, O3 een waaier van ovoıden is van G en i1, i2, i3 = 1, 2, 3. Hierbij gebruiken we dat

een 3× 3-rooster twee waaiers van ovoıden bevat. Dit wordt in de onderstaande Paragraaf A.4

besproken.

Op deze manier kunnen we alle punten en rechten van S beschrijven aan de hand van punten,

rechten en ovoıden van G en aan de hand van elementen van de verzameling 1, 2, 3: S =

(P,L, I ) met

P =

(a) 9 punten x van een rooster G,

(b) 18 koppels van de vorm (Ox, ix),

L =

(i) 6 rechten van een rooster G,

(ii) 27 koppels van de vorm (y, iL),

(iii) 12 drietallen van de vorm (O1, i1), (O2, i2), (O3, i3),

I =

(a) I (i) ⇔ normale incidentie,

(a) I (ii) ⇔ als x = y,

(a) I (iii) ⇔ nooit,

(b) I (i) ⇔ nooit,

(b) I (ii) ⇔ ix = iL en y ∈ Ox,

(b) I (iii) ⇔ (Ox, ix) ∈ (O1, i1), (O2, i2), (O3, i3).

134

A.4 Ovoıden in veralgemeende vierhoeken van de orde (2, t)

In deze paragraaf bespreken we alle ovoıden, waaiers van ovoıden en rosettes van ovoıden die

in een veralgemeende vierhoek van de orde (2, t) voorkomen.

Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, 1)

Zij S een veralgemeende vierhoek van de orde (2, 1), dan is S isomorf met het 3×3-rooster. Het

is duidelijk dat S zes ovoıden heeft (met kardinaliteit 3). Via het tellen van de koppels (A, O),

waarbij A een waaier van ovoıden is en O een ovoıde in A is, vinden we dat het aantal waaiers

van ovoıden gelijk is aan6 · 1

3= 2. Tot slot is er per punt in het 3× 3-rooster juist een rosette

van ovoıden zodat er in het totaal 9 rosettes van ovoıden zijn.

Veralgemeende vierhoeken van de orde 2

Zij S een veralgemeende vierhoek van de orde 2. We gebruiken de voorstellen van J. J. Sylvester

[40]: Zij X een willekeurige verzameling van zes elementen en

• de punten P zijn de deelverzamelingen van X met kardinaliteit 2,

• de rechten L zijn partities van X in drie punten,

• de incidentie I is bevatten.

Is x ∈ X dan bepalen de vijf verschillende deelverzamelingen van X met kardinaliteit 2 die het

element x bevatten een ovoıde Ox. Omdat elke twee punten van een ovoıde corresponderen met

twee deelverzameling van X met kardinaliteit 2 die noodzakelijk een element van X gemeen

hebben, volgt dat elke ovoıde van de vorm Ox is. Elke twee ovoıden Ox en Oy hebben dus

een gemeenschappelijk punt: de verzameling x, y ⊂ X. Verder is nu ook duidelijk dat elke

veralgemeende vierhoek S van de orde 2 juist zes ovoıden (met kardinaliteit 5) bevat en er geen

waaier van ovoıden is. Is x, y een punt van S, dan zijn de punten op afstand 2 van x, y van

de vorm x, a of van de vorm b, y waarbij a ∈ X\y en b ∈ X\x. Per punt x ∈ P vinden

we dus telkens een verzameling van twee ovoıden door x die Γ2(x) partitioneren zodat er in het

totaal 15 rosettes van ovoıden in S zijn.

Veralgemeende vierhoeken van de orde (2, 4)

Veronderstel dat O een ovoıde is van een veralgemeende vierhoek S van de orde (2, 4). Zij Q een

willekeurig deelvierhoek in S dat isomorf met W (2) is en x een punt van O dat niet in Q ligt.

We merken op dat Γ1(x) ∩ Q een ovoıde is van Q. Elke rechte van Q heeft namelijk juist een

punt in Γ1(x) omdat we in een veralgemeende vierhoek werken. In Q vinden we bijgevolg twee

ovoıden: Γ1(x) ∩ Q en O ∩ Q. Deze twee ovoıden hebben een punt y gemeen zodat de rechte

xy twee punten van O bevat, een strijdigheid. We kunnen dus besluiten dat een veralgemeende

vierhoek van de orde (2, 4) geen ovoıden bevat.

135

BBerekeningen

B.1 Expliciete berekeningen van g(t, l∗ − 1) uit Definitie 4.5.36

Is Lemma 4.5.37 werd aangetoond dat g(t, l∗− 1) > 0. In Tabel B.1 vindt men de berekeningen

die in MS Excel uitgevoerd werden om de waarden van g(t, l∗ − 1) voor t ∈ 2, . . . 30 te

bekomen als S geen orde heeft. Herinner dat g(t, l) =t+ 3− 6l

2en dat l∗ := min

⌊t4

⌋,⌊t+8

6

⌋.

In Figuur B.1 vindt men de grafiek van de functies f(x) =⌊t4

⌋en g(x) =

⌊t+8

6

⌋terug.

Figuur B.1: f(x) =⌊t4

⌋en g(x) =

⌊t+8

6

⌋

136

t⌊t4

⌋ ⌊t+8

6

⌋l∗ g(t, l∗ − 1)

2 0 1 0 5

3 0 1 0 5.5

4 1 2 1 6

5 1 2 1 3.5

6 1 2 1 4

7 1 2 1 4.5

8 2 2 2 5

9 2 2 2 2.5

10 2 3 2 3.5

11 2 3 2 4

12 3 3 3 1.5

13 3 3 3 2

14 3 3 3 2.5

15 3 3 3 3

16 4 4 4 0.5

17 4 4 4 1

18 4 4 4 1.5

19 4 4 4 2

20 5 24 4 2.5

21 5 4 4 3

22 5 5 5 0.5

23 5 5 5 1

24 6 5 5 1.5

25 6 5 5 2

26 6 5 5 2.5

27 6 5 5 3

28 7 6 6 0.5

29 7 6 6 1

30 7 6 6 1.5

Tabel B.1: Berekening g(t, l∗ − 1).

137

B.2 Berekeningen in Maple bij Paragraaf 4.5.4

B.2.1 Berekening van ∆i

In Defininitie 4.5.43 op pagina 122 werd de waarde ∆i als volgt gedefinieerd:

∆l := max

(2al)(2al−1) . . . (2a3)

2(al−a2)−(l−2)| a2 = 2, 3, 4 en ai − ai−1 ∈ 1, 2 als 3 6 i 6 l

.

We berekenen hieronder de waarden ∆3 tot en met ∆8. Dit zijn de waarden die we in de

Stelling 4.5.47 en Stelling 4.5.49 nodig hebben.

We maken een ledige lijst L aan en laten verschillende geneste for-lussen lopen. De eerste lus

overloopt de waarde van a2 van 2 tot 4 loopt. Daarna doorlopen we l − 2 for-lussen die alle

waarden van ai voor i ∈ 3, . . . l overlopen waarbij ai ∈ ai−1 + 1, ai−1 + 2. Dan wordt elke

mogelijke waarde van(2al)(2al−1)...(2a3)

2(al−a2)−(l−2) in de lijst L gestopt en wordt de maximale waarde in L

opgeroepen.

Berekening van ∆3

> restart;

> L:=[];

L := []

> for j from 2 to 4 do

> for k from 1 to 2 do

> p:= 2^(3-2)*(j+k):

> r:= p/(2^(k-3+2)):

> L := [op(L),r]:

> end do:

> end do:

> L;

[6, 4, 8, 5, 10, 6]

> max(op(L));

10

Berekening van ∆4

> restart;

> L:=[];

L := []



> for l from 1 to 2 do

> p:= 2^(4-2)*(j+k)*(j+k+l):

> r:= p/(2^(k+l-4+2)):

> L := [op(L),r]:

> end do:

> end do:

> end do:

> L;

[48, 30, 40, 24, 80, 48, 60, 35, 120, 70, 84, 48]

138

> max(op(L));

120

Berekening van ∆5

> restart;

> L:=[];

L := []




> for m from 1 to 2 do

> p:= 2^(5-2)*(j+k)*(j+k+l)*(j+k+l+m):

> r:= p/(2^(k+l+m-5+2)):

> L := [op(L),r]:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> L;

[480, 288, 360, 210, 480, 280, 336, 192, 960, 560, 672, 384, 840,

480, 560, 315, 1680, 960, 1120, 630, 1344, 756, 864, 480]

> max(op(L));

1680

Berekening van ∆6

> restart;

> L:=[];

L := []





> for n from 1 to 2 do

> p:= 2^(6-2)*(j+k)*(j+k+l)*(j+k+l+m)*(j+k+l+m+n):

> r:= p/(2^(k+l+m+n-6+2)):

> L := [op(L),r]:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> L;

[5760, 3360, 4032, 2304, 5040, 2880, 3360, 1890, 6720, 3840, 4480,

2520, 5376, 3024, 3456, 1920, 13440, 7680, 8960, 5040, 10752,

139

6048, 6912, 3840, 13440, 7560, 8640, 4800, 10080, 5600, 6300,

3465, 26880, 15120, 17280, 9600, 20160, 11200, 12600, 6930,

24192, 13440, 15120, 8316, 17280, 9504, 10560, 5760]

> max(op(L));

26880

Berekening van ∆7

l=7

>

> restart;

> L:=[];

L := []






> for o from 1 to 2 do

> p:= 2^(7-2)*(j+k)*(j+k+l)*(j+k+l+m)*(j+k+l+m+n)*(j+k+l+m+n+o):

> r:= p/(2^(k+l+m+n+o-7+2)):

> L := [op(L),r]:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> L;

[80640, 46080, 53760, 30240, 64512, 36288, 41472, 23040, 80640,

45360, 51840, 28800, 60480, 33600, 37800, 20790, 107520,

60480, 69120, 38400, 80640, 44800, 50400, 27720, 96768, 53760,

60480, 33264, 69120, 38016, 42240, 23040, 215040, 120960,

138240, 76800, 161280, 89600, 100800, 55440, 193536, 107520,

120960, 66528, 138240, 76032, 84480, 46080, 241920, 134400,

151200, 83160, 172800, 95040, 105600, 57600, 201600, 110880,

123200, 67200, 138600, 75600, 83160, 45045, 483840, 268800,

302400, 166320, 345600, 190080, 211200, 115200, 403200,

221760, 246400, 134400, 277200, 151200, 166320, 90090, 483840,

140

266112, 295680, 161280, 332640, 181440, 199584, 108108,

380160, 207360, 228096, 123552, 253440, 137280, 149760, 80640

]

> max(op(L));

483840

Berekening van ∆8

> restart;

> L:=[];

L := []






> for o from 1 to 2 do

> for q from 1 to 2 do

> p:= 2^(8-2)*(j+k)*(j+k+l)*(j+k+l+m)*(j+k+l+m+n)*(j+k+l+m+n+o)*

(j+k+l+m+n+o+q):

> r:= p/(2^(k+l+m+n+o+q-8+2)):

> L:= [op(L),r]:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

> end do:

>

> L;

[1290240, 725760, 829440, 460800, 967680, 537600, 604800, 332640,

1161216, 645120, 725760, 399168, 829440, 456192, 506880,

276480, 1451520, 806400, 907200, 498960, 1036800, 570240,

633600, 345600, 1209600, 665280, 739200, 403200, 831600,

453600, 498960, 270270, 1935360, 1075200, 1209600, 665280,

1382400, 760320, 844800, 460800, 1612800, 887040, 985600,

537600, 1108800, 604800, 665280, 360360, 1935360, 1064448,

1182720, 645120, 1330560, 725760, 798336, 432432, 1520640,

829440, 912384, 494208, 1013760, 549120, 599040, 322560,

141

3870720, 2150400, 2419200, 1330560, 2764800, 1520640, 1689600,

921600, 3225600, 1774080, 1971200, 1075200, 2217600, 1209600,

1330560, 720720, 3870720, 2128896, 2365440, 1290240, 2661120,

1451520, 1596672, 864864, 3041280, 1658880, 1824768, 988416,

2027520, 1098240, 1198080, 645120, 4838400, 2661120, 2956800,

1612800, 3326400, 1814400, 1995840, 1081080, 3801600, 2073600,

2280960, 1235520, 2534400, 1372800, 1497600, 806400, 4435200,

2419200, 2661120, 1441440, 2956800, 1601600, 1747200, 940800,

3326400, 1801800, 1965600, 1058400, 2162160, 1164240, 1261260,

675675, 9676800, 5322240, 5913600, 3225600, 6652800, 3628800,

3991680, 2162160, 7603200, 4147200, 4561920, 2471040, 5068800,

2745600, 2995200, 1612800, 8870400, 4838400, 5322240, 2882880,

5913600, 3203200, 3494400, 1881600, 6652800, 3603600, 3931200,

2116800, 4324320, 2328480, 2522520, 1351350, 10644480,

5806080, 6386688, 3459456, 7096320, 3843840, 4193280, 2257920,

7983360, 4324320, 4717440, 2540160, 5189184, 2794176, 3027024,

1621620, 9123840, 4942080, 5391360, 2903040, 5930496, 3193344,

3459456, 1853280, 6589440, 3548160, 3843840, 2059200, 4193280,

2246400, 2419200, 1290240]

> max(op(L));

10644480

142

B.2.2 Berekeningen bij Stelling 4.5.47 en Stelling 4.5.49

In Stelling 4.5.47 en Stelling 4.5.49 wordt telkens een polynoom f(X) zoals gedefinieerd in

Lemma 4.5.46 opgesteld. Hier berekenen we (numeriek) de reele nulwaarden van f(X) in beide

gevallen. Het is de grootste wortel die we nodig hebben. Er wordt ook nog een grafiek van de

bekomen polynoom geplot opdat we kunnen bevestigen dat limX→+∞ f(X) = +∞.

De schier hexagon S heeft een orde.

> restart;

> f(x):=1+x+1+(x+1)*(x-2)/2+(x+1)*(x-2)*(x-6)/20+(x+1)*(x-2)*(x-6)*(x-10)

*(x-14)*(x-18)/53760+(x+1)*(x-2)*(x-6)*(x-10)*(x-14)*(x-18)*(x-22)/967680-8*x^2;

(x + 1) (x - 2) (x + 1) (x - 2) (x - 6)

f(x) := 2 + x + --------------- + -----------------------

2 20

(x + 1) (x - 2) (x - 6) (x - 10) (x - 14) (x - 18)

+ -------------------------------------------------- +

53760

(x + 1) (x - 2) (x - 6) (x - 10) (x - 14) (x - 18) (x - 22) 2

----------------------------------------------------------- - 8 x

967680

> fsolve(f(x)=0);

-0.4242328994, 0.5129331210, 33.77464503

> plot(f(x),x=-1..35);

Figuur B.2: f(X) als S een orde heeft.

143

De schier hexagon S heeft geen orde.

>g(x):=1+(x+1)/2+(x+1)*(x-3)/8+(x+1)*(x-3)*(x-9)/160+(x+1)*(x-3)*(x-9)*(x-15)

*(x-21)*(x-27)*(x-33)/123863040+(x+1)*(x-3)*(x-9)*(x-15)*(x-21)*(x-27)*(x-33)

*(x-39)/5449973760-8*x^2;

(x + 1) (x - 3) (x + 1) (x - 3) (x - 9)

g(x) := 3/2 + x/2 + --------------- + ----------------------- +

8 160

(x + 1) (x - 3) (x - 9) (x - 15) (x - 21) (x - 27) (x - 33)

-----------------------------------------------------------

123863040

(x + 1) (x - 3) (x - 9) (x - 15) (x - 21) (x - 27)(x - 33) (x - 39)

+ -------------------------------------------------------------------

5449973760

2

- 8 x

> fsolve(g(x)=0);

-43.91138358, -0.3832284081, 0.4271205528, 76.80997407

> plot(g(x),x=-45..80,thickness=4);

Figuur B.3: f(X) als S geen orde heeft.

144

Index

Γi(x), 4

[X]κ, 29

πl(x), zie projectie

l(i), 34

l(li, lj , k), 41

qkij , zie Krein Parameters

x⊥, 1

adjacent, 2

adjacentiematrix

A, 3

Ai, 74

afstand, 3, 4

afstandsregulier, 3

associatieschema, 73

boog, 2

Bose-Mensner algebra, 74

collineair, 1

collineariteitsgraaf, 4

collineariteitsmatrix, 4

concurrent, 1

conjunctie, 25

consistent, 27

constanten, 24

convex, zie geodetisch gesloten

cover, 18

cykel, 2

diameter, 3, 4

disjunctie, 25

dodecagon, 46

eerste orde logica, 24

eigenmatrix, 55

eigenwaarden, 4

eindig, 3

equivalent, 27

Erdos-Rado partitie relaties, 29

formule, 25

gesloten, 25

functiesymbolen, 24

geodetisch gesloten, 4

gewone n-hoek, 45

GQ, zie veralgemeende vierhoek

graaf, 2

k-partite, 3

bipartite, 3

boog, 2

compleet, 2

ledig, 2

samenhangend, 3

samenhangende component, 3

top, 2

hexagon, 46

idempotent, 74

minimaal, 74

paarsgewijs orthogonaal, 74

implicatie, 25

incidentie-afstand, 4

incidentiegraaf, 4

incidentierelatie, 1

inconsistent, 27

intersectie getal, 73

inwendig product, 88

irreducibel, zie niet-ontaard

kliek, 3

maximaal, 3

146

Krein

parameters, 77

voorwaarden, 77

kwantor

extentiele, 25

universele, 25

lengte

gemodificeerde, 95

lineaire orde, 27

lineaire ruimte, 2

partieel, 2

meetkunde

deel-, 2

dik, 2

duale, 2

dubbele, 2

dun, 2

eindig, 2

incidentie-, 1

isomorf, 1

punt-rechte, 1

rang 2, 1

semi-eindig, 2

zelfduaal, 2

model, 27

negatie, 25

niet-ontaard, 5

normaal, 74

octagon, 46

ononderscheidbare rij, 31

van rechten, 33

orde, 2

partiele, 27

ovoıde, 5

rosette van, 133

waaier van, 133

pad, 2

getand, 95

partieel lineaire ruimte, zie lineaire ruimte

partitie, 29

homogeen voor de, 29

pentagon, 46

predicaat, 27

projectie, 6

punt op quad, 101

punt op rechte, 70

rechte op quad, 101

projectief vlak, 5

punt, 1

quad, 101

Q(5, 2), 101

W (2), 101

groot, 102

ontaarde, 101

rooster, 101

Ramsey, 30

rechte, 1

dik, 2

dun, 2

rechten

tweede familie, 35

eerste familie, 35

parallelle, 32

regulier, 3

afstands, 3

sterk-, 3

regulus, 5

relatiesymbolen, 24

rooster, 5

niet-symmetrisch, 5

samenhangend, zie graaf, 4

samenhangende component, zie graaf

schier veelhoek, 6, 70

regulier, 71

standaardrij, 54

taal L, 24

tegenovergesteld, 46

term, 25

gesloten, 25

theorie, 27

top, 2

147

transversaal design, 18

uitspraak, 27

valentie, 3, 73

veralgemeende n-hoek, 45

veralgemeende veelhoek, 5, 45

dik, 45

veralgemeende vierhoek, 5, 7

dik, 9

dun, 9

klassiek, 13

vezel, 18

vlag, 1

anti, 1

zin, 25

148

Bibliografie

[1] F. Beukenhout, Prehistory en history of polar spaces and of generalized polygons , at

the Intensive Course on Finite Geometry and Applications, University of Ghent, April 3-14

2000.

[2] R. C. Bose, D.M. Mesner, On linear associative algebras corresponding to association

schemes of partially balanced designs, Ann. Math. Statist., 30, 1959, p. 21-38.

[3] R. C. Bose, K. R. Nair, Partially balanced incomplete block designs, Sankhya, 4, 1939,

p. 337-372.

[4] R. C. Bose, T. Shimamoto, Classification and analysis of partially balanced incomplete

block designs with two associate classes, J. Amer. Statist. Soc., 47, 1952, p. 151-184.

[5] A. E. Brouwer, A non-degenerate generalized quadrangle with lines of size four is finite,

Advances in finite geometries and designs, Oxford Univ. Press, New York, 1991, p. 47-49.

[6] A. E. Brouwer, A. M. Cohen, J. I. Hal, H. A. Wilbrink, Near polygons and fischer

spaces, Geom. Dedicata, 49, nr. 3, 1994, p. 349-368.

[7] A. E. Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier, Distance-regular graphs, Ergebnisse

der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 18, Springer verlag, Berlin, 1989.

[8] A. E. Brouwer, H. A. Wilbrink, The structure of near polygons with quads, Geom.

Dedicata, 14, nr. 2, 1983, p. 145-176.

[9] R. H. Bruck, H. J. Ryser, The nonexistence of certain finite projective planes, Canad.

J. Math. 1, 1949, p. 8893.

[10] P. J. Cameron, Partial quadrangles, Quart. j. Math. Oxford Ser., 26, nr. 2, 1975, p.

61-73.

[11] P. J. Cameron, Orbits of permutation groups on unordered sets II, J. Londen Math. soc.

23, nr. 2, 1981, p. 249-264.

[12] G. Cherlin, Locally finite generalized quadrangles with at most five points per line,

Discrete Math., 291, nr. 1-3, 2005, p. 73-79.

[13] A. M. Cohen, J. Tits, On generalized hexagons and a near octagon whose lines have

three points, European J. Combin., 6, nr. 1, 1985, p. 13-27.

[14] H. S. M. Coxeter, Introduction to geometry, John Wiley & Sons Inc., 1961.

149

[15] B. De Bruyn, On the finiteness of near polygons with 3 points on every Line, J. of

Algebraic Combinatorics, 18, nr. 1, 2003, p. 41-46.

[16] B. De Bruyn, Slim near polygons, Des. Codes Cryptogr., 37, nr. 2, 2005, p. 263-280.

[17] B. De Bruyn, Bouding the size of near polygons with lines of size 3 J. Graph Theory,

52, nr. 2, 2006, p. 108-122.

[18] B. De Bruyn, Near polygons, Birkhauser, 2006.

[19] B. De Bruyn, P. Vandecasteele, The classification of the sim dense near octagons,

European J. of Combinatorics, 28, 2007, p. 410-128.

[20] P. Dembowski, Finite geometries, Springer verlag, 1968.

[21] S. Dixmier, F. Zara, Etude d’un quadrangle generalise autour de deux de ses points non

lies, preprint, 1976.

[22] W. Feit, G. Higman, The nonexistence of certain generalized polygon, J. Algebra, 1,

1964, p. 114-131.

[23] C. D. Godsil, Algebraic combinatorics, Chapman & Hall Mathematics, New York-

London, 1993.

[24] R. Graham, B. Rothschild, J. Spencer, Ramsey Theory, Wiley, New York, 2000.

[25] W. H. Haemers, Reader for the lectures: “Matrix techniques for strongly regular graphs

and related geometries”, at the Intensive Course on Finite Geometry and Applications,

University of Ghent, April 3-14 2000.

[26] W. Haemers, C. Roos, An inequality for generalized hexagons, Geom. Dedicata, 10,

nr. 1-4 1981, p. 219-222.

[27] D. G. Higman, Partial geometries, generalised quadrangles and strongly regular graphs,

Atti del Convegno di Geometria e sue Appplicazioni (Univ. Perugia), 1971, p. 263-293.

[28] D. G. Higman, Invariant relations, coherent configurations and generalized polygons,

Combinatorics, 3: Combinatorial group theory, nr. 57, 1974, p.27-43.

[29] W. Hodges, A shorter model theory, Cambridge University Press, 1997.

[30] C. W. H. Lam, G. Kolesova, L. Thiel, A computer search for finite projective planes

of order 9, Discr. Math., 92, 1991, p. 189-195.

[31] C. W. H. Lam, L. Thiel, S. Swiercz, The nonexistence of finite projective planes of

orde 10, Canad. J. Math., 41, nr. 6, 1989, p. 1117-1123.

[32] D. Marker, Model theory: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, 217,

Springer, 2002.

[33] R. Mathon, On primitive association schemes with tree classe, Proc. Conf. Alg. Aspects

of Comb., Congressus Numerantium XIII, 1975, p. 123-155.

150

[34] I. Moerdijk, J. Van Oosten, Sets, models and proofs, Cursus Department of Mathe-

matics Utrecht University, 2000 revised 2009.

[35] A. Neumaier, Krein conditions and near polygons, J. of Combinatorial Theory Series A,

54, nr. 2, 1990, p. 201-209.

[36] S.E. Payne, J.A. Thas, Finite generalized quadrangles, Longman, London, Boston,

Melbourne, 1984.

[37] L. L. Scott, A condition on Higman’s parameters, Notices Amer. Math Soc., 20, 1973,

p. A-97.

[38] E. E. Shult, A. Yanushka, Near n-gons and line systems, Geom. Dedicata, 9, nr. 1,

1980, p. 1-72.

[39] F. W. Stevenson, Projective planes, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1972.

[40] J.J. Sylvester, Collected mathematical papers I, Cambridge University Press, 1904.

[41] A. Tarski, Der wahrheitsbegriff in den formalisierten sprachen, Studia Philosophica, 1,

1935, p. 261-405.

[42] K. Tent, Model theory applied to generalized polygons and conversely, Proceedings of the

Flemish Royal Academy of Belgium for Science and the Arts, Brussels, 20 October 2000,

to appear.

[43] C. Thas, Cursus lineaire algebra en analystische meetkunde, Universiteit Gent, 2006.

[44] J. A. Thas, Cursus Polaire ruimten, Universiteit Gent, 2004.

[45] J. Tits, Sur la trialite et certains groups qui s’en deduisent, Ins. Hautes. Etudes Sci.

Publ. Math. 2, 1959, p. 13-60.

[46] J. Tits, Endliche spiegelungsgruppen, die als weylgruppen auftreten, Invent. Math. 43,

1977, p. 275-284.

[47] F. Vanhove, A Higman inequality for regular near polygons, J. Algebr. Comb., 2011.

[48] H. Van Maldeghem, Generalized polygons, Birkhauser, Basel, Boston, Berlin, 1998.

151

Begrenzingen op de grootte van veralgemeende veelhoeken en ...€¦ · ge ntroduceerd door Ernest...

Documents

Transcript of Begrenzingen op de grootte van veralgemeende veelhoeken en ...€¦ · ge ntroduceerd door Ernest...