Babylonische wiskunde.Babylonische wiskunde.

Kleitabletten ontcijferen.Kleitabletten ontcijferen.

Wat gaan we doen:Wat gaan we doen: Nog even de Stelling van Pythagoras Nog even de Stelling van Pythagoras

(550 v. Chr.) bekijken en bewijzen.(550 v. Chr.) bekijken en bewijzen. Kennismaken met de notatie van Kennismaken met de notatie van

getallen in een 60-tallig talstelsel.getallen in een 60-tallig talstelsel. Even oefenen met het 60-tallig stelsel.Even oefenen met het 60-tallig stelsel. Babylonische getaltekens in Babylonische getaltekens in

spijkerschrift leren (2000 v. Chr).spijkerschrift leren (2000 v. Chr). Als echte veldarcheologen kleitabletten Als echte veldarcheologen kleitabletten

ontcijferen en ons verbazen.ontcijferen en ons verbazen. Pythagoras “ontmaskeren”.Pythagoras “ontmaskeren”.

De Stelling van Pythagoras.De Stelling van Pythagoras.

Bewijs de Stelling van Pythagoras:Bewijs de Stelling van Pythagoras:(stencil).(stencil).

De oppervlakte van het volledige vierkant is:

(a + b)∙(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

De oppervlakte van de afzonderlijke delen is:4∙1/2∙ab + c2 = 2ab + c2

Deze uitkomsten zijn gelijk, dus:a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

-2ab

a2 + b2 = c2

Dat levert bijvoorbeeld het Dat levert bijvoorbeeld het drietal:drietal:

15

17 8

A B

C 8 – 15 - 17

Pythagoreïsche drietallen.Pythagoreïsche drietallen.

3 – 4 – 5 3 – 4 – 5 want 3want 322 + 4 + 422 = 5 = 522

9 + 16 = 25 9 + 16 = 25 5 – 12 – 135 – 12 – 13 wantwant 5 522 + 12 + 1222 = =

131322

25 + 144 = 16925 + 144 = 169 8 – 15 – 178 – 15 – 17 want 8want 822 + 15 + 1522 = 17 = 1722

64 + 225 = 28964 + 225 = 289

Zijn er nog meer….. ??Zijn er nog meer….. ??

Meso (tussen) potamie Meso (tussen) potamie (wateren)(wateren)

Hunebedbouwers

(3000 v. Chr.)

Germanen

(1000 v. Chr.)

West-Europa:

Het oude Babylonië = het Het oude Babylonië = het huidige Iran & Irakhuidige Iran & Irak

Sumerisch pictografisch kleitabletSumerisch pictografisch kleitablet

Spijkerschrift Mesopotamië.Spijkerschrift Mesopotamië.

Een vierduizend jaar oud kleitablet met een Een vierduizend jaar oud kleitablet met een wiskundige opgave. Van de twee cirkels moet de wiskundige opgave. Van de twee cirkels moet de omtrek berekend worden. Irak, 2500-1800 v Chr.omtrek berekend worden. Irak, 2500-1800 v Chr.

Een indrukwekkende berekeningover(alweer)cirkels.

Soemerische kleitablet. Telling Soemerische kleitablet. Telling van geiten en schapen. Zuid van geiten en schapen. Zuid

Irak.Irak.

Deze gaan we straks ontcijferen.

En deze ook !

Het 10-tallig positiestelselHet 10-tallig positiestelsel..103

1000102

100101

10100

110-1

0,110-2

0,01

3 0 8 5 , 0 9

Staat voor het getal 3085,09

9 3 0 3 , 7 0

Staat voor het getal 9303,7

Het 60-tallig positiestelselHet 60-tallig positiestelsel..

603

216000602

3600601

60600

160-1

1/60

60-2

1/3600

0 2 12 43 , 45 0

Staat voor: 2 x 3600 + 12 x 60 + 43 x 1 + 45 x 1/60 = 7963,75

1 0 51 14 , 20 50

Staat voor: 1 x 216000 + 51 x 60 + 14 x 1 + 20 x 1/60+ 50 x 1/3600 = 219 074,3472

Ontcijfer het volgende 60-tallige getal:

8 23 , 45

23 x 1 = 23

8 x 60 = 480

45 x 1/60 = ¾ = 0,75

Dat is dus samen 480 + 23 + 0,75 = 503,75

Babylonische cijfertekens.Babylonische cijfertekens.

YBC 7344 YBC 7344 (Yale Babylonian Collection nr 7344)(Yale Babylonian Collection nr 7344)

Welk getal staat hier ?Welk getal staat hier ?

,

12 x 1/60 = 1/5 = 0,2

28 x 1 = 28

55 x 60 = 3300

13 x 3600 = 46800

Samen dus: 46800 + 3300 + 28 + 0,2 = 50128,2

Zelf aan de slag:Zelf aan de slag:

Ontcijfer nu de tabel in je Ontcijfer nu de tabel in je stencilpakket.stencilpakket.

YBC 7289YBC 7289

Plimpton 322 Plimpton 322 (plm 2000 v. Chr.)(plm 2000 v. Chr.)

456789101112

De laatste twee kolommen:

Een vaste uitdrukking,

en rangnummers.

De tweede kolom:

Ontcijfer de regels 5 - 8 en11 - 12.

Vul de resultaten in, in de tabel op het stencil.

De derde kolom:

Ontcijfer de regels 5 – 8 en 11 - 12.

Vul de resultaten in, in de tabel op het stencil.

nr ??????(1eK)

Breedte AB (2eK)

Diagonaal BC (3eK)

Hoogte AC (niet opgenomen)

1 119 169

2 3367 11521 (4825)

3 4601 6649

4 12709 18541

5

6

7

8

9 541 (481) 769

10 4961 8161

11

12

13 25921 (161) 289

14 1771 3229

15 56 53 (106)

65

319

2291

799

45

1679

97

481

3541

1249

75

2929

breedte

diagonaal

hoogte

A B

C

nr ??????? (1eK)

Breedte AB (2eK)

Diagonaal BC (3eK)

Hoogte AC (niet opgenomen)

1 119 169

2 3367 11521 (4825)

3 4601 6649

4 12709 18541

5

6

7

8

9 541 (481) 769

10 4961 8161

11

12

13 25921 (161) 289

14 1771 3229

15 56 53 (106)

72

360

2700

960

60

2400

65

319

2291

799

45

1679

97

481

3541

1249

75

2929

nr Ahá !! (1eK)

Breedte AB (2eK)

Diagonaal BC (3eK)

Hoogte AC (niet opgenomen)

1 119 169

2 3367 11521 (4825)

3 4601 6649

4 12709 18541

5

6

7

8

9 541 (481) 769

10 4961 8161

11

12

13 25921 (161) 289

14 1771 3229

15 56 53 (106)

72

360

2700

960

60

2400

1,81501..

1,78519..

1,71998..

1,6928..

1,5625,,

1,48942..

BC2 / AC2

65

319

2291

799

45

1679

97

481

3541

1249

75

2929

Slot.Slot. Het is zo goed als zeker dat de Stelling van Het is zo goed als zeker dat de Stelling van

Pythagoras al ruim 1000 jaar eerder bij de Pythagoras al ruim 1000 jaar eerder bij de Babyloniërs bekend was.Babyloniërs bekend was.

Het 60-tallig stelsel heeft duidelijke sporen Het 60-tallig stelsel heeft duidelijke sporen nagelaten in onze cultuur (klok, graden).nagelaten in onze cultuur (klok, graden).

Het is opmerkelijk dat het cijfer “nul” nog Het is opmerkelijk dat het cijfer “nul” nog niet bekend was (is later “uitgevonden”).niet bekend was (is later “uitgevonden”).

Deze presentatie is terug te zien op Deze presentatie is terug te zien op www.wiskan.nl

Ik ga nu lekker slapen ………………Ik ga nu lekker slapen ………………