B i gi£ng X C SU T THÈNG K€¦ · Ch÷ìng 1 ành ngh¾a x¡c su§t & c¡c cæng thùc t½nh...

B i gi£ng

XC SUT THÈNG K

Bi¶n so¤n: Ts L¥m Ho ng Ch÷ìng

Ng y 15 th¡ng 12 n«m 2018

Möc löc

Ch÷ìng 1. ành ngh¾a x¡c su§t & c¡c cæng thùc t½nh x¡c su§t 7

1.1. GII TCH TÊ HÑP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Quy tc nh¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Quy tc cëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3. Ch¿nh hñp khæng l°p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4. Tê hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5. Ch¿nh hñp l°p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6. B i to¡n têng hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. PHP THÛ & BIN CÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. C¡c lo¤i bi¸n cè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3. Quan h» giúa c¡c lo¤i bi¸n cè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4. Biºu di¹n mèi quan h» giúa c¡c bi¸n cè b¬ng biºu ç Venn . . . . . . . 201.2.5. T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. ÀNH NGHA XC SUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1. ành ngh¾a x¡c su§t theo cê iºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. ành ngh¾a x¡c su§t theo t¦n su§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3. ành ngh¾a x¡c su§t theo h¼nh håc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. CÆNG THÙC CËNG & CÆNG THÙC NHN XC SUT . . . . . . . . . . 261.4.1. Cæng thùc cëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2. Cæng thùc nh¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.2.1. X¡c su§t câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2.2. Cæng thùc nh¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5. CÆNG THÙC XC SUT Y Õ & CÆNG THÙCBERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.1. Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.2. Cæng thùc Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6. B i tªp ch÷ìng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

4 Möc löc

Ch÷ìng 2. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n & luªt ph¥n phèi x¡c su§t 47

2.1. I L×ÑNG NGU NHIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.2. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n ríi r¤c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.3. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.4. H m ph¥n phèi x¡c su§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2. H m cõa c¡c ¤i l÷ñng ngü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.1. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n 1 chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n 2 chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3. CC THAM SÈ CÕA I L×ÑNG NGU NHIN . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1. Ký vång (E(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.2. Ph÷ìng sai (V ar(X) hay D(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.3. ë l»ch ti¶u chu©n (σ(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.4. Gi¡ trà tin chc nh§t (Mod(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4. MËT SÈ PHN PHÈI XC SUT THÆNG DÖNG . . . . . . . . . . . . . . 582.4.1. Ph¥n phèi nhà thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.2. Ph¥n phèi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.3. Ph¥n phèi si¶u bëi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.4. Ph¥n phèi chu©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4.5. Ph¥n phèi Khi - b¼nh ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.6. Ph¥n phèi Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5. B i tªp ch÷ìng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ch÷ìng 3. Têng thº & mü 75

3.1. KHI NIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.1. Têng thº (¡m æng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.2. Mü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2. MÆ HNH XC SUT CÕA TÊNG TH V MU . . . . . . . . . . . . . . 763.2.1. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc v ph¥n phèi gèc . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2. C¡c tham sè cõa ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.3. Mü ngü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3. THÈNG K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.1. Trung b¼nh mü ngü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.2. Ph÷ìng sai mü ngü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.3. ë l»ch ti¶u chu©n mü ngü nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.4. Ph¥n phèi x¡c su§t cõa trung b¼nh v ph÷ìng sai mü . . . . . . . . . 79

3.4. SP XP SÈ LIU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4.1. Mü câ k½ch th÷îc n nhä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.2. Mü câ k½ch th÷îc n lîn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Möc löc 5

Ch÷ìng 4. ×îc l÷ñng c¡c tham sè cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 83

4.1. ×ÎC L×ÑNG IM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.1. ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2. ×îc l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.3. ×îc l÷ñng ph÷ìng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2. ×ÎC L×ÑNG KHONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.1. ×îc l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1.1. Tr÷íng hñp 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.1.2. Tr÷íng hñp 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.1.3. Tr÷íng hñp 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.2. ×îc l÷ñng t¿ l» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2.3. ×îc l÷ñng ph÷ìng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.3.1. Tr÷íng hñp 1: Bi¸t E(X) = µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.3.2. Tr÷íng hñp 2: Ch÷a bi¸t E(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3. B i tªp ch÷ìng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Ch÷ìng 5. Kiºm ành gi£ thi¸t thèng k¶ 95

5.1. CC KHI NIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.1.1. Kiºm ành gi£ thi¸t thèng k¶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.1.2. C¡c lo¤i sai l¦m khi kiºm ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2. KIM ÀNH GI THIT V TRUNG BNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.1. Tr÷íng hñp 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.2. Tr÷íng hñp 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.3. Tr÷íng hñp 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3. KIM ÀNH GI THIT V T L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4. KIM ÀNH GI THIT V PH×ÌNG SAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5. KIM ÀNH GI THIT V SÜ BNG NHAU CÕA HAI TRUNG BNH . . 1025.6. KIM ÀNH GI THIT V SÜ BNG NHAU CÕA HAI T L . . . . . . 1045.7. B i tªp ch÷ìng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.8. C¡c biºu b£ng v 1 sè · thi m¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

T i li»u tham kh£o 109

6 Möc löc

Ch÷ìng 1

ành ngh¾a x¡c su§t & c¡c cæng thùc t½nh x¡c su§t

1.1. GII TCH TÊ HÑP

1.1.1. Quy tc nh¥n

º thüc hi»n 1 cæng vi»c cho tr÷îc, ta chia cæng vi»c â ra l m k cæng vi»c nhä hìn rçi thüchi»n l¦n l÷ñt câ thù tü tøng cæng vi»c nhä â:

• Cv 1: câ n1 c¡ch thüc hi»n.

• Cv 2: câ n2 c¡ch thüc hi»n.

• · · · · · · · · ·

• Cv k: câ nk c¡ch thüc hi»n.

Quy tc nh¥n cho r¬ng, sè c¡ch º thüc hi»n cæng vi»c ¢ cho l :

n1 ∗ n2 ∗ . . . ∗ nk

V½ dö 1.1. Mët hëp câ 3 bi ä v 2 bi trng. Chån ra 2 bi, trong â câ 1 bi ä v 1 bi trng.Häi câ bao nhi¶u c¡ch chån nh÷ vªy ?

Gi£i:Cæng vi»c = chån ra 1 bi ä + 1 bi trng.

• Cv 1: chån 1 bi ä câ 3 c¡ch thüc hi»n.

• Cv 2: chån 1 bi trng câ 2 c¡ch thüc hi»n.

QTN, sè c¡ch l : 3 ∗ 2 = 6 c¡ch.

V½ dö 1.2. Lªp 1 sè câ 4 chú sè kh¡c nhau. Häi câ bao nhi¶u c¡ch lªp nh÷ vªy ?Gi£i:Cæng vi»c = lªp 1 chú sè câ 4 chú sè. Gåi abcd.

7

8 Ch÷ìng 1. ành ngh¾a x¡c su§t & c¡c cæng thùc t½nh x¡c su§t

• Cv 1: lªp chú sè a câ 9 c¡ch (a 6= 0).

• Cv 2: lªp chú sè b câ 9 c¡ch (b 6= a).

• Cv 3: lªp chú sè c câ 8 c¡ch (c 6= a 6= b).

• Cv 4: lªp chú sè d câ 7 c¡ch (d 6= a 6= b 6= c).

QTN, sè c¡ch l : 9 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 = c¡ch.

1.1.2. Quy tc cëng

Khi thüc hi»n 1 cæng vi»c n o â, ta nhªn th§y câ k tr÷íng hñp kh¡c nhau º thüc hi»n:

• TH 1: câ n1 c¡ch thüc hi»n.

• TH 2: câ n2 c¡ch thüc hi»n.

• · · · · · · · · ·

• TH k: câ nk c¡ch thüc hi»n.

QTC cho r¬ng, sè c¡ch thüc hi»n cæng vi»c ¢ cho l :

n1 + n2 + . . .+ nk

V½ dö 1.3. Câ bao nhi¶u sè (tü nhi¶n) ch®n câ 4 chú sè kh¡c nhau ?Gi£i:Cæng vi»c = lªp 1 sè ch®n câ 4 chú sè kh¡c nhau. Gåi l abcde.V¼ sè ch®n n¶n d ∈ 0, 2, 4, 6, 8

• TH 1 : d = 0

Lªp d câ 1 c¡ch. Lªp a câ 9 c¡ch (a 6= 0). Lªp b câ 8 c¡ch (b 6= a 6= d. Lªp c câ 7 c¡ch c 6= a 6= b 6= d.

QTN, sè c¡ch l 1 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7

• TH 2 : d 6= 0

Lªp d câ 4 c¡ch d ∈ 2, 4, 6, 8. Lªp a câ 8 c¡ch (a 6= 0 6= d). Lªp b câ 8 c¡ch (b 6= a 6= d. Lªp c câ 7 c¡ch c 6= a 6= b 6= d.

QTN, sè c¡ch l 4 ∗ 8 ∗ 8 ∗ 7

QTC, sè c¡ch l 1 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 + 4 ∗ 8 ∗ 8 ∗ 7

1.1. GII TCH TÊ HÑP 9

1.1.3. Ch¿nh hñp khæng l°p

Mët tªp hñp câ n ph¦n tû. Khi â sè c¡ch chån ra 1 nhâm gçm k ph¦n tû (k ≤ n) sao cho:+ kh¡c nhau.+ câ ph¥n bi»t thù tü (lüa chån)

l Akn =

n!

(n− k)!= n.(n− 1) . . . (n− k + 1)

Méi c¡ch chån l 1 ch¿nh hñp khæng l°p chªp k cõa n ph¦n tû.

Chùng minh. Chia cæng vi»c ra l m k cæng vi»c nhä hìn.+ Chån ph¦n tû thù 1: câ n c¡ch.+ Chån ph¦n tû thù 2: câ n− 1 c¡ch.+ . . . . . . . . .

+ Chån ph¦n tû thù k: câ n− k + 1 c¡ch.Theo QTN, ta câ têng sè c¡ch l :

n.(n− 1) . . . (n− k + 1) =n!

(n− k)!= Akn

Ta l÷u þ trong tr÷íng hñp n y k ph¦n tû ÷ñc chån câ ph¥n bi»t thù tü n¶n khi thüc hi»nk cæng vi»c ÷ñc chia nhä công câ thù tü.

V½ dö 1.4. Tham gia thi §u mæn c¦u læng câ 64 vªn ëng vi¶n. Câ bao nhi¶u c¡ch º BTCph¡t 1 bë huy ch÷ìng gçm:

(a) 1 v ng + 1 b¤c + 1 çng.

(b) 1 v ng + 2 b¤c.

(c) 1 v ng + 1 b¤c + 2 çng.

Gi£i:

(a) Ph¡t 1 v ng + 1 b¤c + 1 çng.

Ð b i to¡n n y cæng vi»c cõa chóng ta l chån ra 3 trong sè 64 ng÷íi º ph¡t huych÷ìng. V¼ 3 lo¤i huy ch÷ìng câ gi¡ trà kh¡c nhau n¶n thù tü lüa chån VV l¶n nhªnhuy ch÷ìng công kh¡c nhau (câ ph¥n bi»t thù tü).Ta câ:+ n = 64.+ k = 3 (kh¡c nhau v câ ph¥n bi»t thù tü).Vªy sè c¡ch ph¡t huy ch÷ìng ÷ñc t½nh theo ch¿nh hñp khæng l°p:

Akn = A364 = 64.63.62


Ngo i ra, ta công câ thº kiºm tra k¸t qu£ b¬ng QTN.+ Ph¡t 1 V: câ 64 c¡ch.+ Ph¡t 1 B: câ 63 c¡ch.+ Ph¡t 1 D: câ 62 c¡ch.Theo QTN, sè c¡ch: 64.63.62

(b) 1 v ng + 2 b¤c. (b i tªp v· nh )

(c) 1 v ng + 1 b¤c + 2 çng. (b i tªp v· nh )

Chó þ 1.1. Khi k = n th¼ ta câ:

Akn = Ann =n!

0!= n! = Pn

Pn cán ÷ñc gåi l sè ho¡n và cõa n ph¦n thû. Méi ho¡n và l 1 c¡ch sp x¸p thù tü cõa nph¦n tû â.

V½ dö 1.5. Câ bao nhi¶u c¡ch sp x¸p 4 quyºn s¡ch v o 1 c¡i k» ?Gi£i:Méi c¡ch sp x¸p ch½nh l 1 l¦n thay êi thù tü cõa 4 quyºn s¡ch â. Vªy sè c¡ch sp x¸p

÷ñc t½nh theo cæng thùc ho¡n và. â l :

Pn = P4 = 4! = 24

1.1.4. Tê hñp

Mët tªp hñp câ n ph¦n tû. Khi â sè c¡ch chån ra 1 nhâm gçm k ph¦n tû (k ≤ n) sao cho:+ kh¡c nhau.+ khæng ph¥n bi»t thù tü (lüa chån)

l Ckn =

n!

k!(n− k)!=n.(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!

Méi c¡ch chån l 1 tê hñp chªp k cõa n ph¦n tû.Chùng minh. Chia cæng vi»c ra l m k cæng vi»c nhä hìn.

+ Chån ph¦n tû thù 1: câ n c¡ch.+ Chån ph¦n tû thù 2: câ n− 1 c¡ch.+ . . . . . . . . .

+ Chån ph¦n tû thù 1: câ n− k + 1 c¡ch.V¼ khi chån k ph¦n tû n y khæng ph¥n bi»t thù tü lüa chån n¶n khi ta thay êi thù tü lüa

chån cõa k n y th¼ ÷ñc 1 c¡ch chån nh÷ nhau. Do â, n¸u ¡p döng quy tc nh¥n th¼ têngsè c¡ch s³ d÷ bëi k! l¦n. Khi â, têng sè c¡ch chån l :

n.(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!=

n!

k!(n− k)!= Ck

n

1.1. GII TCH TÊ HÑP 11

V½ dö 1.6. Mët lîp câ 30 håc sinh. Câ bao nhi¶u c¡ch chån ra 1 tê trüc v» sinh gçm 3 håcsinh ?

Gi£i:Ta câ:+ n = 30.+ k = 3 (kh¡c nhau v khæng ph¥n bi»t thù tü lüa chån).Vªy sè c¡ch chån ÷ñc t½nh theo tê hñp:

Ckn = C3

30

Chó þ 1.2. Ta câ mèi quan h» giúa tê hñp, ch¿nh hñp v quy tc nh¥n nh÷ sau:

Ckn =

Aknk!

=n.(n− 1) . . . (n− k + 1)

k!

V½ dö 1.7. Câ bao nhi¶u c¡ch chån ra 3 ng÷íi tø 5 æi vñ chçng sao cho:

(a) 3 ng÷íi ÷ñc chån 1 c¡ch tòy þ ?

(b) khæng câ ai l vñ chçng cõa nhau ?

(b) câ 2 ng÷íi l vñ chçng cõa nhau ?

Gi£i:

(a) Chån tòy þ 3 ng÷íi tø 10 ng÷íi (kh¡c nhau, khæng ph¥n bi»t chån tr÷îc hay chån sau)l :

C310 = 120

(b) Sû döng quy tc nh¥n:

Chån ng÷íi thù 1: câ 10 c¡ch. Chån ng÷íi thù 2: câ 8 c¡ch. Chån ng÷íi thù 3: câ 6 c¡ch.

3 ng÷íi ÷ñc chån khæng ph¥n bi»t thù tü, n¶n sè c¡ch l :

10.8.6

3!= 80

(c) Sû döng quy tc nh¥n:

Chån ra 1 c°p vñ chçng: câ C15 = 5 c¡ch.

Chån th¶m 1 ng÷íi trong 8 ng÷íi cán l¤i: câ 8 c¡ch.

QTN: 5 ∗ 8 = 40 c¡ch.


1.1.5. Ch¿nh hñp l°p

Mët tªp hñp câ n ph¦n tû. Khi â sè c¡ch chån ra 1 nhâm gçm k ph¦n tû (k tòy þ) sao cho:+ câ ph¥n bi»t thù tü (lüa chån).+ 1 ph¦n tû câ thº ÷ñc chån 1, 2, . . . , n l¦n

l Bkn = nk

Méi c¡ch chån l 1 ch¿nh hñp l°p chªp k cõa n ph¦n tû.Chùng minh. Chia cæng vi»c ra l m k cæng vi»c nhä hìn.

+ Chån ph¦n tû thù 1: câ n c¡ch.+ Chån ph¦n tû thù 2: câ n c¡ch (câ thº chån l¤i ph¦n tû thù 1).+ . . . . . . . . .

+ Chån ph¦n tû thù k: câ n c¡ch (câ thº chån l¤i k − 1 ph¦n tû ¢ chån).Theo QTN, ta câ têng sè c¡ch l :

n.n . . . n︸︷︷︸k l¦n

= nk = Bkn

V½ dö 1.8. Câ bao nhi¶u tí v² sè câ 5 chú sè?Gi£i:Ta câ: E = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cæng vi»c cõa chóng ta l chån ra 5 chú sè tø tªp E,

trong â c¡c chú sè ÷ñc chån câ thº l°p l¤i. Khi â,

n = 10k = 5

=⇒ Bkn = nk = 105

Vªy câ 105 tí v² sè câ 5 chú sè.Chó þ 1.3. Trong 1 sè b i to¡n khi sû döng cæng thùc ch¿nh hñp l°p ta d¹ l¨n lën giúa n v k v¼ ta khæng thº so s¡nh gi¡ trà cõa n v k. º cho ti»n, düa theo ành ngh¾a, ta quy ÷îc "süki»n" n o l°p l¤i th¼ â l n, "sü ki»n" khæng l°p l¤i l k.

Ta câ c¡c v½ dö sau ¥y:

V½ dö 1.9. Câ bao nhi¶u c¡ch sp x¸p 3 quyºn s¡ch v o 2 c¡i tõ ?Gi£i:Trong b i to¡n n y, ta câ thº chån c¡i tõ 1 (ho°c 2) º bä quyºn s¡ch 1. T÷ìng tü chån

c¡i tõ 1 (ho°c 2) º bä quyºn s¡ch 2,3. Tø ¥y ta th§y c¡i tõ 1 ho°c 2 câ thº ÷ñc chån l¤inhi·u l¦n. Khi â, ta câ:

n = 2k = 3

=⇒ Bkn = nk = 23

Vªy câ 8 c¡ch x¸p 3 quyºn s¡ch v o 2 c¡i tõ.Ngo i ra, ta câ thº kiºm tra k¸t qu£ tr¶n 1 c¡ch d¹ d ng b¬ng QTN thæng th÷íng.

1.2. PHP THÛ & BIN CÈ 13

V½ dö 1.10. Câ bao nhi¶u sè câ 3 chú sè ÷ñc lªp tø 2 chú sè 1 v 2 ?Gi£i:°t sè câ 3 chú sè l : abc.Trong b i to¡n n y, ta câ thº chån chú sè 1 (ho°c 2) º lªp cho a. T÷ìng tü chån chú sè

1 (ho°c 2) º lªp cho b, c. Tø ¥y ta th§y chú sè 1 ho°c 2 câ thº ÷ñc chån l¤i nhi·u l¦n. Khiâ, ta câ:

n = 2k = 3

=⇒ Bkn = nk = 23

Vªy câ 8 chú sè câ 3 chú sè ÷ñc lªp tø 2 chú sè 1 v 2.

1.1.6. B i to¡n têng hñp

Trong thüc t¸, câ r§t nhi·u b i to¡n tê hñp ·u ÷ñc gi£i b¬ng c¡ch ¡p döng nhi·u quy tcv cæng thùc còng lóc º gi£i.

V½ dö 1.11. Câ bao nhi¶u tí v² sè câ 5 chú sè trong â câ 2 chú sè 1 ?Gi£i:°t abcde l 5 chú sè tr¶n 1 tí v² sè. Ta s³ i t¼m sè c¡ch lªp 1 v² sè câ 5 chú sè, trong

â câ 2 sè 1.

• Lªp 2 chú sè 1: Chån ra 2 và tr½ b§t ký trong 5 và tr½ º °t chú sè 1: câ C25 c¡ch.

• Lªp 3 chú sè cán l¤i. Chån 3 chú sè trong 9 chú sè (kh¡c 1) º lªp 3 chú sè cán l¤i,trong â c¡c chú sè ÷ñc ph²p ÷ñc chån l¤i: B3

9 c¡ch.

Vªy câ C25B

39 tí v² sè thäa ycbt.

1.2. PHP THÛ & BIN CÈ

1.2.1. ành ngh¾a

(a) Ph²p thû v khæng gian mü

Ph²p thû: l 1 th½ nghi»m, 1 h nh ëng hay 1 hi»n t÷ñng m :∗ K¸t qu£ cõa nâ l ngü nhi¶n, khæng o¡n tr÷îc ÷ñc.∗ Câ thº x¡c ành ÷ñc t§t c£ c¡c k¸t qu£ câ thº x£y ra cõa ph²p thû â.

Tªp hñp t§t c£ c¡c k¸t qu£ câ thº x£y ra cõa ph²p thû ÷ñc gåi l khæng gianmü. Kþ hi»u: Ω

V½ dö 1.12. X²t ph²p thû: Tung 1 con çng xu rçi quan s¡t m°t xu§t hi»n tr¶n conçng xu. Khi â,

Ω = S, N


V½ dö 1.13. X²t ph²p thû: Tung 1 con xóc xc rçi quan s¡t sè ch§m tr¶n m°t n¬m tr¶ncõa con xóc xc. Khi â,

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

K¸t qu£ çng kh£ n«ng: l c¡c k¸t qu£ m câ kh£ n«ng x£y ra nh÷ nhau. Ng÷ñc l¤i÷ñc gåi l k¸t qu£ khæng çng kh£ n«ng.

V½ dö 1.14. C¡c k¸t qu£ ð v½ dö 1.12 v v½ dö 1.13 ·u çng kh£ n«ng x£y ra.

V½ dö 1.15. Bn 1 vi¶n ¤n v o 1 muc ti¶u ¢ ành. Khi â,

Ω = T (tróng), F (khæng tróng)

Khi â, c¡c k¸t qu£ T v F l khæng çng kh£ n«ng.

(b) Bi¸n cè

Bi¸n cè l tªp hñp 1 sè k¸t qu£ n o â cõa ph²p thû. Kþ hi»u: A,B,C, . . . Méi k¸t qu£ l m cho bi¸n cè A x£y ra ÷ñc gåi l k¸t qu£ thuªn lñi cho bi¸n cè A.Tªp hñp c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A ÷ñc kþ hi»u l ΩA hay ìn gi£n l A n¸unh÷ khæng câ g¼ nh¦m l¨n.

V½ dö 1.16. Tung 1 con çng xu.

Ω = S, N

°t A l bi¸n cè çng xu xu§t hi»n m°t s§p. Khi â,

ΩA = S

V½ dö 1.17. Tung 1 con xóc xc.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

°t B l bi¸n cè xóc xc xu§t hi»n m°t câ sè ch§m lîn hìn 4. Khi â,

ΩB = 5, 6

º cho ìn gi£n æi khi ta công vi¸t B = ΩB = 5, 6.

1.2.2. C¡c lo¤i bi¸n cè

(a) Bi¸n cè chc chn: l bi¸n cè chc chn x£y ra sau khi thüc hi»n ph²p thû.Gåi A l bc chc chn. Khi â, måi k¸t qu£ cõa ph²p thû ·u l m cho A x£y ra

ΩA = Ω


Do â, ng÷íi ta cán kþ hi»u bc chc chn A = Ω.

V½ dö 1.18. Trong tói câ 5 tí 10 ng n, 10 tí 20 ng n v 1 tí 50 ng n. Rót ngü nhi¶nra 1 tí. Khi â, ta câ:

Ω = 10k, 20k, 50k

°t A = rót ÷ñc tí b¤c câ m»nh gi¡ < 100 ng n

=⇒ ΩA = 10k, 20k, 50k = Ω

Vªy A l bi¸n cè chc chn.

(b) Bi¸n cè khæng thº: l bi¸n cè khæng bao gií x£y ra sau khi thüc hi»n ph²p thû.

Gåi B l bc khæng thº. Khi â, khæng câ k¸t qu£ n o cõa ph²p thû l m cho B x£y ra

ΩB = ∅

Do â, ng÷íi ta cán kþ hi»u bc khæng thº B = ∅.

V½ dö 1.19. Tung 1 con xóc xc. °t B = xóc xc xu§t hi»n m°t 7 ch§m.

=⇒ ΩB = ∅

Vªy B l bi¸n cè khæng thº.

(c) Bi¸n cè ngü nhi¶n: l bi¸n cè câ thº x£y ra ho°c khæng x£y ra sau khi thüc hi»nph²p thû.

Gåi C l bc ngü nhi¶n. Khi â

ΩC ⊂ Ω

V½ dö 1.20. Mët hëp câ 9 vi¶n bi ÷ñc ¡nh sè tø 1 ¸n 9. Chån ngü nhi¶n ra 3 birçi quan s¡t sè bi câ ¡nh sè ch®n trong 3 bi l§y ra.

Ω = 0, 1, 2, 3

°t C = chån ÷ñc 2 bi ch®n. Khi â,

ΩC = 2 ⊂ Ω

Vªy A l 1 bi¸n cè ngü nhi¶n.

Tø c¡c v½ dö ¢ x²t, h¢y cè gng t¼m th¶m c¡c bi¸n cè chc chn, khæng thº, ngü nhi¶ncâ li¶n quan trong c¡c ph²p thû º gióp c¡c em hiºu rã hìn v· bi¸n cè.


1.2.3. Quan h» giúa c¡c lo¤i bi¸n cè

(a) Quan h» thuªn lñi: Bi¸n cè A ÷ñc gåi l thuªn lñi cho bi¸n cè B n¸u bi¸n cè A x£yra th¼ bi¸n cè B x£y ra. Khi â,

ΩA ⊂ ΩB

Kþ hi»u: A ⊂ B.

V½ dö 1.21. Mët læ h ng câ 10 s£n ph©m lo¤i I v 20 s£n ph©m lo¤i II. Kiºm tra ng¨unhi¶n 4 s£n ph©m rçi quan s¡t sè s£n ph©m lo¤i I câ trong 4 s£n ph©m ÷ñc chån. Khiâ,

Ω = 0, 1, 2, 3, 4

°t:

A = chån ÷ñc 4 s£n ph©m lo¤i IB = chån ÷ñc 4 s£n ph©m lo¤i IIC = chån ÷ñc 4 s£n ph©m còng lo¤i

Ta câ:ΩA = 4 ,ΩB = 0 ,ΩC = 0, 4

th¼ A ⊂ C v B ⊂ C.

Chó þ 1.4. i) ∅ ⊂ A v A ⊂ Ω.ii) N¸u A ⊂ B v B ⊂ C th¼ A ⊂ C.

(b) Quan h» t÷ìng ÷ìng: N¸u A ⊂ B v B ⊂ A th¼ 2 bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l t÷ìng÷ìng nhau.

ΩA = ΩB

Kþ hi»u: A = B.

V½ dö 1.22. Tung çng thíi 2 con xóc xc rçi quan s¡t sè ch§m xu§t hi»n tr¶n 2 conxóc xc. Khi â,

Ω = (1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)

°t:

A = c£ 2 xóc xc xu§t hi»n m°t 1 ch§mB = têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n 2 con xóc xc b¬ng 2

th¼

A = B = CC = t½ch sè ch§m xu§t hi»n tr¶n 2 con xóc xc b¬ng 1


(c) Quan h» têng: Têng cõa 2 bi¸n cè A v B, kþ hi»u A + B, l 1 bi¸n cè bao gçm c¡ck¸t qu£ chung v ri¶ng cõa 2 bi¸n cè A v B.

ΩA+B = ΩA ∪ ΩB

æi khi ng÷íi ta cán kþ hi»u A ∪B.Bi¸n cè têng A+B x£y ra khi v ch¿ khi ½t nh§t 1 trong 2 bi¸n cè A ho°c B x£y ra.

V½ dö 1.23. Hai ng÷íi còng bn 1 vi¶n ¤n v o 1 möc ti¶u. °t:

A = ng÷íi thù nh§t bn tróng möc ti¶uB = ng÷íi thù hai bn tróng möc ti¶u

Düa v o c¡ch °t bi¸n cè A v B, h¢y t¼m khæng gian m¨u cõa ph²p thû ? T¼mΩA,ΩB,ΩA+B? Khi â, ta câ:

A+B = möc ti¶u bà bn tróng = möc ti¶u bà bn tróng ½t nh§t 1 vi¶n

Chó þ 1.5. i) N¸u A ⊂ B th¼ A+B = B.ii) N¸u A = B th¼ A+B = A = B.iii) A ⊂ A+B

Têng cõa nhi·u bi¸n cè: Cho n bi¸n cè A1, A2, . . . , An th¼ A1 + A2 + . . . + An l 1bi¸n cè m

ΩA1+A2+...+An = ΩA1 ∪ ΩA2 ∪ . . . ∪ ΩAn

(d) Quan h» t½ch: T½ch cõa 2 bi¸n cè A v B, kþ hi»u AB, l 1 bi¸n cè gçm c¡c k¸t qu£chung cõa 2 bi¸n cè A v B. Khi â,

ΩAB = ΩA ∩ ΩB

æi khi ng÷íi ta cán kþ hi»u l A ∩B.Bi¸n cè t½ch AB x£y ra khi v ch¿ khi c£ 2 bi¸n cè A v B còng çng thíi x£y ra.

V½ dö 1.24. Mët hëp câ 5 bi ä v 4 bi xanh. Chån ng¨u nhi¶n ra 3 bi rçi quan s¡t sèbi ä l§y ra. T¼m Ω ?°t:

Ai = chån ÷ñc ½t nh§t i vi¶n bi m u ä, i = 0, 1, 2, 3B = chån ÷ñc 2 bi m u ä

T¼m ΩAi ,ΩB ? Khi â, ta câ

A1B = chån ÷ñc 2 bi m u äA3B =

A1 +B =A3 +B =


Chó þ 1.6. i) N¸u A ⊂ B th¼ AB . . . B.ii) N¸u A = B th¼ AB . . . A . . . B.iii) A . . . AB v AB . . . A+B.

Trong méi ph²p thû ¢ x²t ð tr¶n, chån 2 bi¸n cè b§t ký rçi t¼m bi¸n cè têng v t½ch cõachóng ?T½ch cõa nhi·u bi¸n cè: Cho n bi¸n cè A1, A2, . . . , An th¼ A1A2 . . . An l 1 bi¸n cèm

ΩA1A2...An = ΩA1 ∩ ΩA2 ∩ . . . ∩ ΩAn

(e) Quan h» xung khc: Hai bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l xung khc vîi nhau n¸u chóngkhæng câ chung 1 k¸t qu£ n o cõa ph²p thû. Khi â,

ΩAB = ∅

hayAB = ∅

Hai bi¸n cè xung khc vîi nhau th¼ chóng khæng còng x£y ra trong 1 ph²p thû.

V½ dö 1.25. Tung 1 con xóc xc. °t:

A = xóc xc xu§t hi»n m°t 2 ch§mB = xóc xc xu§t hi»n m°t l´

Khi â, A v B xung khc.

L§y b§t ký 1 ph²p thû ð tr¶n rçi ch¿ ra 2 bi¸n cè xung khc ?


Chó þ 1.7. i) A∅ = ∅.ii) N¸u AB = ∅ th¼ A(A+B) = . . ..

(f) Quan h» èi lªp: Bi¸n cè "èi lªp cõa bi¸n cè A" l bi¸n cè bao gçm c¡c k¸t qu£ m khæng ph£i l k¸t qu£ cõa bi¸n cè A. Kþ hi¶u A. Khi â,

ΩA = Ω/ΩA

æi khi ng÷íi ta cán gåi A l bi¸n cè khæng x£y ra bi¸n cè A.

V½ dö 1.26. Tung 1 çng xu. °t A l bi¸n cè çng xu xu§t hi»n m°t s§p.Khi â, A l bi¸n cè çng xu xu§t hi»n m°t ngûa.

L§y b§t ký 1 ph²p thû ð tr¶n còng vîi 1 bi¸n cè rçi ch¿ ra bi¸n cè èi lªp cõa nâ ?

Chó þ 1.8. i) AA = ∅ v A+ A = Ω.ii) ∅ = Ω v Ω = ∅.iii) AB = . . . . . . v A+B = . . . . . ..

(g) Quan h» ëc lªp: N¸u bi¸n cè A v B ÷ñc gåi l ëc lªp vîi nhau n¸u nh÷ vi»c x£yra hay khæng x£y ra bi¸n cè A th¼ khæng £nh h÷ðng g¼ ¸n bi¸n cè B v ng÷ñc l¤i.

V½ dö 1.27. Hëp 1 üng 3 bi ä v 2 bi trng. Hëp 2 üng 4 bi ä v 5 bi trng. L§yng¨u nhi¶n tø méi hëp ra 1 bi rçi quan s¡t m u cõa nâ. °t:

A = chån ÷ñc bi ä tø hëp 1B = chån ÷ñc bi ä tø hëp 2

Ta câ:Ω = DD,DT, TD, TT

Khi â, A v B ëc lªp nhau.

V½ dö 1.28. Gieo còng lóc 3 gieo gièng còng lo¤i rçi quan s¡t sü n©y m¦m cõa chóng.°t:

A = h¤t thù 1 n©y m¦mB = h¤t thù 2 n©y m¦mC = h¤t thù 3 n©y m¦m

Vîi c¡ch °t bi¸n cè nh÷ tr¶n, t¼m Ω ?Khi â, A,B,C ëc lªp tøng æi.

Chó þ 1.9. N¸u A v B ëc lªp th¼: A ëc lªp B, A ëc lªp B, A ëc lªp B.


Nhâm bi¸n cè ëc lªp to n ph¦n: l nhâm bi¸n cè m méi bi¸n cè ·u ëc lªp vîitê hñp nhi·u bi¸n cè kh¡c.

Ð v½ dö 1.28 th¼ nhâm bi¸n cè A,B,C ëc lªp to n ph¦n v¼ A ëc lªp vîi B,C, B, B +C,BC, . . .

(h) Bi¸n cè sì c§p: L bi¸n cè m ch¿ câ 1 k¸t qu£ thuªn lñi cho nâ.

V½ dö 1.29. Tung 1 con xóc xc. °t Ai l bi¸n cè xóc xc xu§t hi»n m°t i ch§m,i = 1, 2, . . . , 6. Khi â, A1, A2, . . . , A6 l nhúng bi¸n cè sì c§p.

Chó þ 1.10. Nhâm bi¸n cè ëc lªp to n ph¦n th¼ ëc lªp tøng æi nh÷ng i·u ng÷ñcl¤i th¼ khæng ph£i lóc n o công óng.

1.2.4. Biºu di¹n mèi quan h» giúa c¡c bi¸n cè b¬ng biºu ç Venn

Gi£ sû A, B l c¡c bi¸n cè b§t ký. Ω l bi¸n cè chc chn.

1.3. ÀNH NGHA XC SUT 21

1.2.5. T½nh ch§t

(i) Ω + A = Ω; ΩA = A

∅+ A = A; ∅A = ∅.

(ii) A = A; A+ A = Ω; AA = ∅.

(iii) A+ A = A; AA = A.

(iv) N¸u A ⊂ B th¼ AB = A.

(v) A+B = A B; AB = A+B.

(vi) A(B + C) = AB + AC.

1.3. ÀNH NGHA XC SUT

1.3.1. ành ngh¾a x¡c su§t theo cê iºn

ành ngh¾a n y ch¿ ÷ñc sû döng cho c¡c ph²p thû m c¡c k¸t qu£ cõa nâ çng kh£ n«ng x£yra.

Gi£ sû 1 ph²p thû câ n k¸t qu£ çng kh£ n«ng x£y ra, trong â câ m k¸t qu£ thuªn lñicho bi¸n cè A. Khi â, x¡c su§t º bi¸n cè A x£y ra, kþ hi»u P (A), l :

P (A) =m

n=

Sè k¸t qu£ thuªn lñi cho ASè k¸t qu£ çng kh£ n«ng cõa ph²p thû

V½ dö 1.30. Tung 1 con xóc xc. T½nh x¡c su§t º:

(a) xóc xc xu§t hi»n m°t 1 ch§m.

(b) xóc xc xu§t hi»n m°t l´.

Gi£i:

(a) °t A = xóc xc xu§t hi»n m°t 1 ch§mTa câ:

n = 6mA = 1

=⇒ P (A) =

mA

n=

1

6


(b) °t B = xóc xc xu§t hi»n m°t l´

Ta câ:n = 6mB = 3

=⇒ P (B) =

mB

n=

1

2

V½ dö 1.31. Mua ng¨u nhi¶n 1 tí v² sè câ 5 chú sè. T½nh x¡c su§t:

(a) tróng gi£i ëc c.

(b) tróng gi£i an õi.

Gi£i:

V½ dö 1.32. Rót ng¨u nhi¶n 3 l¡ b i tø 1 bë b i 52 l¡. T½nh x¡c su§t:

(a) rót ÷ñc 3 l¡ h¼nh.

(b) rót 2 l¡ cì v 1 l¡ ræ.

Gi£i:


(a) °t A = rót ÷ñc 3 l¡ h¼nhTa câ:

n = C352

mA = C312

=⇒ P (A) =

mA

n=C3

12

C352

(b) °t B = rót ÷ñc 2 l¡ cì v 1 l¡ ræTa câ:

n = C352

mB = C213C

113

=⇒ P (B) =

mB

n=C2

13C113

C352

V½ dö 1.33. Mët læ h ng câ t¿ l» ph¸ ph©m l p. Chån ng¨u nhi¶n 1 s£n ph©m. T½nh x¡csu§t º s£n ph©m ÷ñc chån l ph¸ ph©m.

Chó þ 1.11. (Quan trång) X¡c su§t chån ng¨u nhi¶n 1 ph¦n tû câ t½nh ch§t A tø tªphñp ch½nh l t¿ l» ph¦n tø câ t½nh ch§t A cõa tªp hñp â.

1.3.2. ành ngh¾a x¡c su§t theo t¦n su§t

èi vîi c¡c ph²p thû m c¡c k¸t qu£ cõa nâ çng kh£ n«ng x£y ra th¼ ta câ thº sû döng ànhngh¾a x¡c su§t theo cê iºn º t½nh x¡c su§t x£y ra cõa 1 bi¸n cè n o â. Tuy nhi¶n, trongthüc t¸ câ r§t nhi·u ph²p thû m k¸t qu£ cõa nâ khæng çng kh£ n«ng x£y ra. Ta x²t v½ dösau ¥y:

V½ dö 1.34. Bn 1 vi¶n ¤n v o 1 möc ti¶u ¢ ành th¼ s³ câ 2 k¸t qu£ x£y ra: tróng ho°ckhæng tróng. Khi â, P(tróng) = P(khæng tróng)=1/2 ??? i·u n y l khæng chc v¼ 2 k¸tqu£ x£y ra ch÷a chc çng kh£ n«ng x£y ra. Khi â ta ph£i c¦n ¸n ành ngh¾a x¡c su§t theot¦n su§t nh÷ sau:


Gi£ sû thüc hi»n 1 ph²p thû n l¦n gièng nhau, th§y câ m l¦n bi¸n cè A x£y ra.+ m: t¦n sè xu§t hi»n cõa bi¸n cè A.+ m/n: t¦n su§t xu§t hi»n cõa bi¸n cè A.Khi â, vîi n õ lîn x¡c su§t º bi¸n cè A x£y ra ÷ñc cho bði:

P (A) =m

n

V½ dö 1.35. Bn 1000 vi¶n ¤n v o 1 möc ti¶u, th§y câ 200 vi¶n tróng möc ti¶u. Khi â,x¡c su§t bn tróng möc ti¶u l 0,2.

V½ dö 1.36. Bt l¦n l÷ñt tøng con c¡ º kiºm tra rçi th£ l¤i hç. Thüc hi»n qu¡ tr¼nh tr¶n500 l¦n th¼ th§y câ 50 l¦n bt ph£i câ b»nh. Khi â, x¡c su§t bt ÷ñc 1 con c¡ bà b»nh l 0,1.Tø â, câ thº xem t¿ l» c¡ bà b»nh trong hç l 10%.

1.3.3. ành ngh¾a x¡c su§t theo h¼nh håc

Trong tr÷íng hñp c¡c ph²p thû câ k¸t qu£ x£y ra çng kh£ n«ng nh÷ng khæng gian m¨u cõanâ l væ còng lîn th¼ ta s³ g°p khâ kh«n trong vi»c t½nh to¡n x¡c su§t (∞∞). º gi£i ÷ñcnhúng b i to¡n d¤ng n y, ta l m nh÷ sau:

Gi£ sû 1 ph²p thû m k¸t qu£ x£y ra çng kh£ n«ng câ khæng gian m¨u ÷ñc biºu di¹nbði h¼nh Ω câ sè o (chi·u d i, di»n t½ch, thº t½ch) húu h¤n. Tªp hñp c¡c k¸t qu£ thuªn lñicho A ÷ñc biºu di¹n bði h¼nh A chùa trong h¼nh Ω. Khi â,

P (A) =Sè o (A)

Sè o Ω

V½ dö 1.37. Tr¶n 1 ¾a trán câ 1 cung a câ sè o π/6. Quay 1 ¾a trán b¡n k½nh R quanh 1tröc ð t¥m, n¸u môi t¶n ch¿ óng cung a th¼ ÷ñc th÷ðng. T½nh x¡c su§t ÷ñc th÷ðng ?

Gi£i:°t A = tróng th÷ðng.+ Tªp hñp c¡c k¸t qu£ çng kh£ n«ng l c£ ÷íng trán (môi t¶n câ thº ch¿ b§t ký 1 iºm

n o tr¶n ÷íng trán).+ Tªp hñp c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cho A l cung a (ch¿ tróng th÷ðng khi môi t¶n ch¿ óng

nhúng iºm tr¶n cung a).Khi â,

P (A) =ë d i cung a

ë d i ÷íng trán=π/6R

2πR=

1

12


V½ dö 1.38. Chia 1 o¤n d¥y câ ë d i ` bði 2 iºm chia th nh 3 o¤n ríi nhau. T½nh x¡csu§t º 3 o¤n ÷ñc chia t¤o th nh 3 c¤nh cõa 1 tam gi¡c ?

Gi£i:°t x, y, l − (x+ y) l¦n l÷ñt l ë d i cõa 3 o¤n ÷ñc chia.+ i·u ki»n º ta câ thº chia ÷ñc (sè tr÷íng hñp çng kh£ n«ng) l :

0 ≤ x ≤ `0 ≤ y ≤ `

0 ≤ `− (x+ y) ≤ `⇐⇒

0 ≤ x ≤ `0 ≤ y ≤ `

0 ≤ x+ y ≤ `(Ω)

Ta biºu di¹n Ω l¶n m°t ph¯ng tåa ë Oxy nh÷ sau:

+ i·u ki»n º 3 o¤n ÷ñc chia t¤o th nh 3 c¤nh cõa 1 tam gi¡c (sè TH thuªn lñi) l :x+ y > `− (x+ y)x+ `− (x+ y) > yy + `− (x+ y) > x

⇐⇒

x+ y > `/2y < `/2x < `/2

(A)

Biºu di¹n h¼nh A v Ω l¶n còng 1 m°t ph¯ng tåa ë Oxy ta ÷ñc:

P (A) =Di»n t½ch cõa ADi»n t½ch cõa Ω

=1

4

T½nh ch§t 1.1. (i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 vîi måi A.

(ii) P (∅) = 0; P (Ω) = 1.

(iii) N¸u A ⊂ B th¼ P (A) ≤ P (B).

(iv) P (A) + P (A) = 1.

Chó þ 1.12. (i) P (A) = 0 ; A = ∅.A ÷ñc gåi l bi¸n cè h¦u nh÷ khæng thº.

(ii) P (B) = 1 ; B = Ω.B ÷ñc gåi l bi¸n cè h¦u nh÷ chc chn.


V½ dö 1.39. Tr¶n 1 t§m gé h¼nh chú nhªt câ 1 iºm A. Bä ng¨u nhi¶n 1 ch§t iºm v o t§mgé, t½nh x¡c su§t º t§m gé tróng iºm A?

1.4. CÆNG THÙC CËNG & CÆNG THÙC NHN XC SUT

1.4.1. Cæng thùc cëng

• N¸u AB = ∅ th¼P (A+B) = P (A) + P (B)

V½ dö 1.40. Mët hëp câ 5 bi ä v 4 bi trng. Chån ng¨u nhi¶n ra 3 bi. T½nh x¡c su§tº 3 bi ÷ñc chån còng m u ?

Gi£i:

°t:

A = chån ÷ñc 3 bi äB = chån ÷ñc 3 bi trng

A+B = chån ÷ñc 3 bi còng m u

V¼ A v B xung khc n¶n:

P (A+B) = P (A) + P (B) =C3

5

C39

+C3

4

C39

• N¸u A v B b§t ký th¼:

P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB)

1.4. CÆNG THÙC CËNG & CÆNG THÙC NHN XC SUT 27

V½ dö 1.41. Mët lîp câ 30 håc sinh, trong â câ 10 håc sinh giäi V«n, 10 håc sinh giäiTo¡n v trong sè nhúng håc sinh giäi V«n v To¡n â câ 5 håc sinh vøa giäi c£ V«n l¨nTo¡n. Chån ngü nhi¶n 1 håc sinh, t½nh x¡c su§t º håc sinh ÷ñc chån giäi ½t nh§t 1mæn ?

Gi£i:

°t:

A = chån ÷ñc håc sinh giäi To¡nB = chån ÷ñc håc sinh giäi V«n

A+B = chån ÷ñc håc sinh giäi ½t nh§t 1 mæn

Ta câ:

P (A+B) = P (A) + P (B)− P (AB)

=10

30− 10

30− 5

30= 0, 5

• N¸u A, B, C l 3 bi¸n cè b§t ký th¼:

P (A+B + C) = P (A) + P (B) + P (C)− (P (AB) + P (AC) + P (BC)) + P (ABC)

• Têng qu¡t:

P (A1 + A2 + . . .+ An) =n∑i=1

P (Ai)−∑i 6=j

P (AiAj)

+∑i<j<k

P (AiAjAk)− . . .+ (−1)n−1P (A1A2 . . . An)

1.4.2. Cæng thùc nh¥n

1.4.2.1. X¡c su§t câ i·u ki»n

Thæng th÷íng vi»c t½nh x¡c su§t cõa bi¸n cè A n o â th¼ ta ph£i düa v o khæng gian müΩ cõa ph²p thû â rçi ¡p döng c¡c ành ngh¾a v· x¡c su§t º t½nh. V§n · °t ra ð ¥y âl : vîi còng ph²p thû nh÷ tr¶n nh÷ng b¬ng c¡ch n o â ta bi¸t ÷ñc 1 bi¸n cè B ¢ x£y ra,li»u vi»c t½nh x¡c su§t x£y ra bi¸n cè A câ thay êi hay khæng? k¸t qu£ P (A) câ kh¡c khæng?Khi â, ta câ ành ngh¾a mîi v· x¡c su§t nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.1. X¡c su§t º bi¸n cè A x£y ra khi bi¸t bi¸n cè B ¢ x£y ra, kþ hi»u P (A/B),÷ñc gåi l x¡c su§t câ i·u ki»n cõa bi¸n cè A.

º gi£i ÷ñc b i to¡n x¡c su§t câ i·u ki»n n y, tr÷îc h¸t ta c¦n x¡c ành l¤i khæng gianmü khi ¢ bi¸t bi¸n cè B x£y ra. Ta x²t v½ dö sau ¥y:


V½ dö 1.42. Tung 1 con xóc xc. T½nh x¡c su§t:a) Xóc xc xu§t hi»n m°t 2 ch§m bi¸t r¬ng nâ xu§t hi»n m°t ch®n ?b) Xóc xc xu§t hi»n m°t l´ bi¸t nâ xu§t hi»n m°t lîn hìn 3 ?Gi£i:a) B÷îc ¦u ti¶n º gi£i b i to¡n n y, ta c¦n x¡c ành bi¸n cè c¦n t½nh x¡c su§t, bi¸n cè

¢ x£y ra. °t:

A = xóc xc xu§t hi»n m°t 2 ch§m → bi¸n cè c¦n t½nh x¡c su§tB = xóc xc xu§t hi»n m°t ch®n → bi¸n cè ¢ x£y ra

Ta c¦n t½nh P (A/B) =???

B÷îc ti¸p theo l x¡c ành l¤i khæng gian mü sau khi B ¢ x£y ra. Thæng th÷íng, tung 1con xóc xc th¼ khæng gian mü l

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

nh÷ng khi bi¸t B ¢ x£y ra th¼ khæng gian mü s³ l :

Ω/B = 2, 4, 6

Ta s³ t½nh P (A) theo khæng gian mü Ω/B m khæng c¦n quan t¥m ¸n Ω núa. Khi â ta câ:n/B = 3mA/B = 1

⇒ P (A/B) = 1/3

b) Gi£i t÷ìng tü

V½ dö 1.43. Mët gia ¼nh câ 2 ng÷íi con. T½nh x¡c su§t º gia ¼nh â câ 2 ng÷íi con traibi¸t r¬ng câ ½t nh§t 1 ng÷íi con trai ÷ñc sinh ra ?


T½nh ch§t 1.2. i) N¸u AB = ∅ th¼ P (A/B) = P (B/A) = . . . . . ..

ii) N¸u B ⊂ A th¼ P (A/B) = . . . . . .

iii) N¸u A ⊂ B th¼ P (A/B) = . . . . . .

Chó þ 1.13. Ng÷íi ta ¢ chùng minh ÷ñc cæng thùc x¡c su§t câ i·u ki»n câ d¤ng nh÷ sau:

P (A/B) =P (AB)

P (B)(1.1)

V½ dö 1.44. Rót ng¨u nhi¶n 3 l¡ b i tø 1 bë b i 52 l¡. T½nh x¡c su§t rót ÷ñc 3 l¡ ·u câ sènèt nhä hìn 7 bi¸t r¬ng rót ÷ñc 3 l¡ cì ?

Gi£i:°t:

A = rót ÷ñc 3 l¡ < 7 nètB = rót ÷ñc 3 l¡ cì

Ta câ:P (A/B) =

P (AB)

P (B)

+ P (B) =C3

13

C352

+ AB = rót ÷ñc 3 l¡ cì < 7 nèt

=⇒ P (AB) =C3

6

C313

Vªy,

P (A/B) =C3

5

C313

V½ dö 1.45. Mët hëp câ 9 vi¶n bi ÷ñc ¡nh sè tø 1 tîi 9. L§y ng¨u nhi¶n ra 3 bi. T½nh x¡csu§t trong 3 bi l§y ra câ bi mang sè 8, bi¸t r¬ng trong 3 bi l§y ra câ 1 bi ch®n ?


1.4.2.2. Cæng thùc nh¥n

Tø cæng thùc x¡c su§t câ i·u ki»n (1.1), ta câ:

P (AB) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B) (1.2)

Cæng thùc (1.2) cán ÷ñc gåi l cæng thùc nh¥n x¡c su§t.

ành ngh¾a 1.2. Hai bi¸n cè A v B ëc lªp nhau khi v ch¿ khi P (AB) = P (A)P (B).

Chó þ 1.14. N¸u 2 bi¸n cè A v B ëc lªp th¼:

P (A/B) = P (A) v P (B/A) = P (B)

V½ dö 1.46. Mët x¥u ch¼a khâa câ 10 ch¼a, trong â câ 1 ch¼a mð ÷ñc cûa. Mð l¦n l÷ñt tøngch¼a cho ¸n khi n o mð ÷ñc cûa th¼ døng. T½nh x¡c su§t º vi»c mð ÷ñc cûa døng l¤i ðl¦n thù 2 ?

Gi£i:

°t:

Ai = mð ÷ñc cûa ð l¦n thù i, i = 1, 2, . . . , 10A = vi»c mð cûa døng l¤i ð l¦n thù 2

Khi â,

A = A1A2

=⇒ P (A) = P (A1A2) = P (A1)P (A2/A1)

=9

10

1

9=

1

10

V½ dö 1.47. Câ 2 hëp bi, méi hëp chùa 5 vi¶n bi vîi sè bi ä l¦n l÷ñt l 1 v 3. Tø méi hëpl§y ra 1 bi.

(a) T½nh x¡c su§t º 2 bi l§y ra còng m u ä ?

(b) Bi¸t trong 2 bi l§y ra câ 1 bi ä, t½nh x¡c su§t º bi ä â cõa hëp 1 ?


Gi£i:

(a) °t:

Ai = l§y ÷ñc bi ä tø hëp thù i, i = 1, 2A = 2 bi l§y ra ·u l bi ä

Khi â, A1, A2 ëc lªp v A = A1A2.

=⇒ P (A) = P (A1A2) = P (A1)P (A2)

=1

5· 3

5=

3

25

(b) °t:

B = trong 2 bi l§y ra câ 1 bi äiB = A1A2 + A1A2

Khi â, x¡c su§t c¦n t½nh l :

P (A1/B) =P (A1B)

P (B)

trong â

P (B) = P (A1A2 + A1A2) = P (A1A2) + P (A1A2)

= P (A1)P (A2) + P (A1)P (A2) =1

5· 2

5+

4

5· 3

5

=14

25

v

P (A1B) = P (A1(A1A2 + A1A2))

= P (A1A2 + ∅) = P (A1)P (A2) =1

5· 2

5

=2

25

Vªy,

P (A1/B) =P (A1B)

P (B)=

1

7


Têng qu¡t: Cho n bi¸n cè A1, A2, . . . , An, ta câ:

P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2/A1) . . . P (An/A1A2 . . . An−1)

N¸u nhâm bi¸n cè A1, A2, . . . , An ëc lªp to n ph¦n th¼:

P (A1A2 . . . An) = P (A1)P (A2) . . . P (An)

Chó þ 1.15. Ð v½ dö 1.46, ¡p döng cæng thùc nh¥n x¡c su§t cho 10 bi¸n cè ta ÷ñc kh£ n«ngmð ÷ñc cûa ð l¦n thù i, (i = 1, 2, . . . , 10) l nh÷ nhau v câ x¡c su§t l 1/10.

1.5. CÆNG THÙC XC SUT Y Õ & CÆNG THÙCBERNOULLI

1.5.1. Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ

(a) Nhâm bi¸n cè ¦y õ v xung khc tøng æi:

Nhâm bi¸n cè Aii=1,...,n ÷ñc gåi l ¦y õ v xung khc tøng æi n¸u sau khi thüchi»n ph²p thû th¼ câ óng 1 trong n bi¸n cè cõa nhâm x£y ra, ÷ñc biºu di¹n theo quanh» giúa c¡c bi¸n cè nh÷ sau:

A1 + A2 + . . .+ An = Ω (¦y õ).

AiAj = ∅, 1 ≤ i, j ≤ n (xung khc tøng æi).

(b) Cæng thùc x¡c su§t ¦y õ

X²t 1 ph²p thû, A l 1 bi¸n cè c¦n t½nh x¡c su§t.

Gi£ sû nhâm Aii=1,...,n ¦y õ v xung khc tøng æi. Khi â,

P (A) = P (ΩA) = P (A1A+ . . .+ AnA)= P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2) + . . .+ P (An)P (A/An)

=n∑i=1

P (Ai)P (A/Ai)

⊕ C¡ch x¡c ành nhâm bi¸n cè ¦y õ v xung khc tøng æi D§u hi»u 1: Trongb i to¡n câ 2 (hay nhi·u) ph²p thû x£y ra li¶n ti¸p.

Thüc hi»n ph²p thû thù 1, th§y câ óng 1 trong n bi¸n cè (k¸t qu£) A1, A2, . . . , Anx£y ra th¼ nhâm Aii=1,...,n ¦y õ v xung khc tøng æi.

Thüc hi»n ti¸p ph²p thû thù 2, th§y câ bi¸n cè A câ thº x£y ra. Khi â, P (A)÷ñc t½nh theo nhâm Aii=1,...,n.

1.5. CÆNG THÙC XC SUT Y Õ & CÆNG THÙC BERNOULLI 33

V½ dö 1.48. Mët hëp câ 5 bi ä v 4 bi v ng. L¦n ¦u l§y ra 1 bi nh÷ng khæng chó þ¸n m u cõa nâ. L¦n sau l§y ti¸p ra 1 bi núa. T½nh x¡c su§t º bi l§y ra l¦n sau l ä?

Gi£i:°t:

A1 = bi l§y l¦n 1 l äA2 = bi l§y l¦n 1 l v ngA = bi l§y l¦n 2 l ä

Thüc hi»n ph²p thû l l§y ra 1 bi ð l¦n thù 1 thù câ 2 k¸t qu£ câ thº x£y ra: bi ä (A1)ho°c bi v ng (A2). Khi â, A1, A2 ¦y õ v xung khc.

=⇒ P (A) = P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2)

=5

9· 4

8+

4

9· 5

8=

5

9

BT th¶m: + L¦n ¦u l§y 2 bi, l¦n sau l§y 1 bi. Tinh x¡c su§t bi l§y l¦n 2 l ä (v ng)?+ L¦n ¦u l§y 2 bi, l¦n sau l§y 2 bi. Tinh x¡c su§t 2 bi l§y l¦n 2 l 2 ä (2 v ng, 1äv 1v ng)?

V½ dö 1.49. Mët chuçng câ 10 con g , trong â câ 3 con bà b»nh. Câ 2 ng÷íi ¸n muag , méi ng÷íi chån ng¨u nhi¶n 1 con. Häi kh£ n«ng mua ph£i g b»nh cõa 2 ng÷íi cânh÷ nhau khæng ?

Gi£i:°t Ai = ng÷íi thù i mua ph£i g b»nh, i = 1, 2, . . . , 10

Ta câ:P (A1) =

3

10

T½nh P (A2) =?. Sau khi ng÷íi thù nh§t mua 1con g th¼ câ 2 bi¸n cè câ thº x£y ra:mua ph£i g b»nh (A1) ho°c khæng bà b»nh A1. Do â, A1, A1 l ¦y õ v xung khc.

=⇒ P (A2) = P (A1)P (A2/A1) + P (A1)P (A2/A1)

=3

10· 2

9+

7

10· 3

9=

3

10

Vªy kh£ n«ng ph£i ph£i g b»nh cõa 2 ng÷íi l nh÷ nhau.


Chó þ 1.16. Ð v½ dö 1.49, n¸u câ 10 ng÷íi ¸n mua g , méi ng÷íi chån ngü nhi¶n 1con th¼ kh£ n«ng chån ph£i g b»nh l nh÷ nhau v b¬ng 3/10.

V½ dö 1.50. Trong 1 buêi rót th«m tróng th÷ðng câ 5 l¡ th«m trong â câ 2 l¡ th«mtróng th÷ðng. Câ 2 ng÷íi tham gia rót th«m, häi rót tr÷îc hay rót sau câ lñi hìn?

BT th¶m: Gi£ sû thòng phi¸u bà m§t 1 phi¸u (m§t 2 phi¸u). Câ 1 ng÷íi l¤i rót th«m,t½nh x¡c su§t rót ÷ñc th«m tróng th÷ðng?

D§u hi»u 2: Mët tªp hñp ÷ñc chia l m n mü. Ð mü thù i câ t¿ l» ph¦n tû câ t½nhch§t A l pi. Chån ngü nhi¶n ra 1 ph¦n tû, t½nh x¡c su§t º ph¦n tû â câ t½nh ch§tA ? Tø â suy ra t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A cõa tªp hñp ¢ cho ?

Gi£i:°t:

Ai = ph¦n tû ÷ñc chån thuëc mü thù i, i = 1, 2, . . . , nA = ph¦n tû ÷ñc chån câ t½nh ch§t A

Khi â, nhâm Aii=1,...,n ¦y õ v xung khc tøng æi.

=⇒ P (A) =n∑i=1

P (Ai)P (A/Ai)

trong â P (A/Ai) = pi.


V½ dö 1.51. Mët læ h ng do 3 ph¥n x÷ðng s£n xu§t vîi t¿ l» s£n ph©m âng gâp l¦nl÷ñt l 20%, 30%, 50%. T¿ l» ph¸ ph©m do c¡c ph¥n x÷ðng s£n xu§t l¦n l÷ñt l 3%, 4%,5%. T½nh t¿ l» ph¸ ph©m cõa læ h ng ?

Gi£i: T¿ l» ph¸ ph©m cõa læ h ng ch½nh l x¡c su§t khi ta chån ngü nhi¶n 1 s£n ph©mth¼ ÷ñc ph¸ ph©m.°t:

Ai = s£n ph©m ÷ñc chån do ph¥n x÷ðng thù i s£n xu§t, i = 1, 2, 3A = s£n ph©m ÷ñc chån l ph¸ ph©m

Khi â, nhâm Aii=1,...,3 ¦y õ v xung khc tøng æi.

=⇒ P (A) = P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2) + P (A3)P (A/A3)= 20%3% + 30%4% + 50%5% = 4, 3%

Vªy t¿ l» ph¸ ph©m cõa læ h ng l 4,3%.

BT th¶m: Ng÷íi ta l§y ra 50% ph¸ ph©m cõa læ h ng. Chån ngü nhi¶n 1 s£n ph©m,t½nh x¡c su§t chån ÷ñc ph¸ ph©m?

(c) Cæng thùc Bayes

P (Ai/A) =P (AiA)

P (A)=

P (Ai)P (A/Ai)∑ni=1 P (Ai)P (A/Ai)

trong â nhâm Aii=1,...,3 ¦y õ v xung khc tøng æi.

V½ dö 1.52. X²t l¤i v½ dö 1.51, chån ngü nhi¶n 1 s£n ph©m th¼ th§y nâ l ph¸ ph©m,t½nh x¡c su§t º s£n ph©m ÷ñc chån do ph¥n x÷ðng I (II, III) s£n xu§t?

V½ dö 1.53. Mët lîp câ 20 håc sinh nam v 10 håc sinh nú. T¿ l» håc sinh nam khængthuëc b i l 60%, cán èi vîi nú l 40%. Chån ngü nhi¶n 1 håc sinh º tr£ b i:

(i) T½nh x¡c su§t º håc sinh ÷ñc chån khæng thuëc b i ?(ii) Bi¸t r¬ng håc sinh ÷ñc chån khæng thuëc b i, t½nh x¡c su§t º håc sinh â l nam

?


Gi£i:

(i) °t:

A1 = HS ÷ñc chån l namA2 = HS ÷ñc chån l núA = HS ÷ñc chån khæng thuëc b i

Khi â, nhâm (A1, A2) ¦y õ v xung khc.

=⇒ P (A) = P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2)

=20

30∗ 0, 6 +

10

30∗ 0, 4 =

16

30

(ii) Bi¸t A, t½nh A1

=⇒ P (A1/A) = P (A1)P (A/A1)/P (A)

=20

30∗ 0, 6/

16

30=

12

16

B i to¡n n y câ thº dòng ành ngh¾a x¡c su§t theo cê iºn º gi£i c¥u (i) v x¡c su§tcâ i·u ki»n º gi£i c¥u (ii) .

V½ dö 1.54. Câ 2 ch÷ìng tr¼nh (CT) rót th«m tróng th÷ðng gièng nhau. Méi CT câ5 l¡ th«m, trong â sè th«m tróng th÷ðng l¦n l÷ñt l 2 v 3. Mët ng÷íi tham gia rót ðméi nìi 1 th«m.

(i) T½nh x¡c su§t º ng÷íi â rót ÷ñc 1 th«m tróng th÷ðng ?(ii) Tø 2 th«m rót ra, ng÷íi â l§y ng¨u nhi¶n 1 th«m cho vñ xem º c¦u may. Dòng

x¡c su§t ¦y õ, t½nh x¡c su§t º ng÷íi vñ nhªn ÷ñc th«m tróng th÷ðng ?(iii) Bi¸t ng÷íi vñ nhªn ÷ñc th«m tróng th÷ðng, t½nh x¡c º ng÷íi vñ tróng th÷ðng ð

CT 2 ?

Gi£i:


1.5.2. Cæng thùc Bernoulli

L÷ñc ç Bernoulli :Thüc hi»n 1 ph²p thû n l¦n ëc lªp, gièng nhau. Ð méi ph²p thû, x¡csu§t º bi¸n cè A x£y ra l p khæng êi.

Khi â, x¡c su§t º trong n l¦n thüc hi»n câ k x£y ra bi¸n cè A, kþ hi»u Pn,k(A), l :

Pn,k(A) = Cknp

k(1− p)n−k, 0 ≤ k ≤ n

Chó þ 1.17. Pn,0(A) + Pn,0(A) + . . .+ Pn,n(A) = 1

V½ dö 1.55. · thi mæn X¡c su§t thèng k¶ câ 40 c¥u trc nghi»m, méi c¥u câ 4 ph÷ìng ¡ntr£ líi trong â câ 1 ph÷ìng ¡n óng c¦n chån. T½nh x¡c su§t º 1 sinh vi¶n khi l m b i 1c¡ch ng¨u nhi¶n:


(a) câ 16 c¥u tr£ líi óng.

(b) câ ½t nh§t 2 c¥u tr£ líi óng.

Gi£i:

(a) °t A = chån óng ph÷ìng ¡n c¦n chån=⇒ P (A) = 1

4= p khæng êi.

Khi â, x¡c su§t c¦n t½nh l :

P40,16(A) = C1640(

1

4)16(

3

4)24 = 0, 015

(b) T½nh x¡c su§t câ ½t nh§t 2 c¥u tr£ líi óng.

X¡c su§t c¦n t½nh = P40,2(A) + P40,3(A) + . . .+ P40,40(A)= 1− P40,0(A)− P40,1(A)

= 1− C040(

1

4)0(

3

4)40 − C1

40(1

4)1(

3

4)39

V½ dö 1.56. Mët læ h ng câ t¿ l» ph¸ ph©m l 10%. Chån ng¨u nhi¶n ra 10 s£n ph©m ºkiºm tra. T½nh x¡c su§t º chån ÷ñc 4 ph¸ ph©m ?

Gi£i:Chån ra 10 s£n ph©m ⇐⇒ thüc hi»n n = 10 ph²p thû ëc lªp.°t A = chån ÷ñc ph¸ ph©m ð méi l¦n kiºm tra .=⇒ P (A) = 0, 1 (khæng êi).Khi â, x¡c su§t c¦n t½nh:

P10,4(A) = C410(0, 1)4(0, 9)6

1.6. B i tªp ch÷ìng 1

1. Mët lîp håc câ 30 sinh vi¶n trong â câ 20 nam. Câ bao nhi¶u c¡ch chån ra 1 tê gçm4 sinh vi¶n n¸u:

(a) Câ óng 2 nam.(b) Khæng câ nam.(c) Nhi·u nh§t 2 nam.(d) Câ ½t nh§t 1 nam.

2. Trong 1 buêi khi¶u vô câ 22 nam v 18 nú. Häi câ bao nhi¶u c¡ch chån:

(a) 1 æi nam núa ra khi¶u vô.(b) 3 æi nam nú ra khi¶u vô.

1.6. B i tªp ch÷ìng 1 39

(c) n æi nam nú ra khi¶u vô.

3. Câ bao nhi¶u tí v² sè câ 5 chú sè trong â têng hai chú sè li·n k· l sè l´.Câ bao nhi¶u sè nguy¶n d÷ìng câ 5 chú sè sao cho chú sè ùng sau luæn lîn hìn chúsè ùng li·n k· tr÷îc nâ.

4. N«m ng÷íi còng l¶n 1 o n t u häa câ 8 toa xe. Câ bao nhi¶u c¡ch º:

(a) L¶n tòy þ.(b) L¶n còng 1 toa.(c) L¶n 5 toa ¦u.(d) L¶n 5 toa kh¡c nhau.(e) A v B l¶n toa ¦u.(f) A v B l¶n còng 1 toa v khæng câ ai kh¡c l¶n toa n y.(g) Câ 2 ng÷íi l¶n toa 1, 1 ng÷íi l¶n toa 3.

5. Câ 12 lå thuèc trø s¥u ÷ñc chia l m 6 nhâm, méi nhâm 2 lå. Mët næng d¥n chån ng¨unhi¶n 4 lå º phun thuèc. Häi câ bao nhi¶u c¡ch chån sao cho:

(a) 4 lå thuèc â thuëc 2 nhâm.(b) Trong 4 lå â ch¿ câ 2 lå thuëc 1 nhâm.(c) Khæng câ 2 lå n o thuëc còng 1 nhâm.

6. Mët hëp gçm câ 5 bi ä, 4 bi v ng, 3 bi xanh v 2 bi trng. T¼m sè c¡ch chån ra 4 bi:

(a) B§t ký.(b) Còng m u vîi nhau.(c) Kh¡c m u vîi nhau.(d) 1 ä + 3 v ng.(e) 1 ä + 1 v ng + 2 xanh.

7. Câ 4 ng÷íi. Häi câ bao nhi¶u c¡ch sp x¸p 4 ng÷íi n y:

(a) Ngçi th nh 1 h ng d i.(b) Ngçi th nh váng trán.(c) Ngçi v o b n trán câ ¡nh sè.

8. Bn v o bia 5 ph¡t. Gåi Ai l bi¸n cè bn tróng ½t nh§t i ph¡t, Bi l bi¸n cè bn tróngóng i ph¡t.

(a) Di¹n t£ c¡c bi¸n cè: A1, B1, A2, B2. HD: A1 l bi¸n cè bn khæng tróng bia.(b) Hai bi¸n cè A1, B1 câ xung khc nhau khæng?(c) Di¹n t£ c¡c bi¸n cè A1 +B2, B1 + A2, A1B2, A2B1.


9. Mët hëp câ 9 vi¶n bi ÷ñc ¡nh sè tø 1 tîi 9. Chån ngü nhi¶n ra 3 bi. °t Ai l bi¸ncè chån ÷ñc ½t nh§t i vi¶n bi ch®n (i=0,1,2,3). H¢y di¹n t£ qua Ai c¡c bi¸n cè sau ¥y:

(a) Ω.(b) B l bi¸n cè chån ÷ñc 2 bi ch®n.(c) C l bi¸n cè chån ÷ñc khæng qu¡ 2 bi ch®n.

10. Mët kh¡ch s¤n câ 6 pháng ìn. Câ 10 kh¡ch ¸n thu¶ pháng, trong â câ 6 nam v 4nú. Ng÷íi qu£n lþ chån ngü nhi¶n 6 ng÷íi. T½nh x¡c su§t º:

(a) C£ 6 ng÷íi ·u l nam. (1/210)(b) Câ 4 nam v 2 nú. (3/7)(c) Câ ½t nh§t 2 nú. (37/42)

11. Ba ng÷íi kh¡ch cuèi còng ra khäi nh v bä qu¶n mô. Chõ nh khæng bi¸t rã chõ cõanhúng chi¸c mô â n¶n gði tr£ l¤i cho hå mët c¡ch ngü nhi¶n. T½nh x¡c su§t º:

(a) Câ óng mët ng÷íi ÷ñc tr£ óng mô. (3/6 )(b) Câ óng hai ng÷íi ÷ñc tr£ óng mô. (0/6)(c) C£ ba ng÷íi ·u ÷ñc tr£ óng mô. (1/6)(d) C£ ba ng÷íi còng ÷ñc tr£ sai mô. (2/6)(e) Câ ng÷íi ÷ñc tr£ sai mô. (5/6)

12. Bä ngü nhi¶n 4 l¡ th÷ v o 4 phong b¼ ¢ vi¸t s®n t¶n cõa 4 ng÷íi nhªn. T½nh x¡c su§tsao cho:

(a) Câ 2 th÷ ¸n óng àa ch¿ cõa ng÷íi nhªn. (6/24)(b) Khæng câ th÷ n o ¸n õ àa ch¿ ng÷íi nhªn. (9/24)

13. B£ng sè xe gn m¡y gçm câ ph¦n chú v ph¦n sè. Ph¦n chú gçm câ 2 chú ÷ñc l§y tø25 chú latinh, ph¦n sè gçm câ 4 chú sè ÷ñc l§y tø c¡c chú sè 0, 1, 2, 3...., 9 . Câ baonhi¶u b£ng sè xe nh÷ vªy? bi¸t r¬ng b£ng sè xe câ ½t nh§t 1 chú sè kh¡c 0. L§y ngünhi¶n mët b£ng sè xe. T½nh x¡c su§t trong c¡c tr÷íng hñp sau:

(a) B£ng sè xe câ ph¦n chú v ph¦n sè kh¡c nhau. (0,484)(b) ÷ñc b£ng sè xe câ chú A v duy nh§t sè5 (sè 5 ch¿ câ m°t mët l¦n). (0,0229)(c) Câ ph¦n chú gièng nhau v ph¦n sè gièng nhau. (1/27775)(d) Câ ½t nh§t 1 chú c¡i kh¡c chú O v ph¦n sè câ 2 sè 1. (0,049)

14. Thang m¡y cõa mët táa nh 7 t¦ng xu§t ph¡t tø t¦ng mët vîi 3 kh¡ch. T½nh x¡c su§tº:

(a) T§t c£ còng ra ð t¦ng 4. (1/216)(b) Câ 2 ng÷íi ra ð t¦ng 2. (15/216)


(c) Méi ng÷íi ra ð méi t¦ng kh¡c nhau. (120/216)(d) Câ 1 ng÷íi ra t¦ng 2 v 1 ng÷íi ra t¦ng 3. (24/216)

15. Câ 14 quyºn s¡ch kh¡c nhau trong â câ 2 quyºn s¡ch to¡n, 5 quyºn s¡ch lþ v 7 quyºns¡ch anh v«n ÷ñc x¸p ngü nhi¶n v o mët k» s¡ch. T½nh x¡c su§t:

(a) C¡c quyºn s¡ch còng mæn ÷ñc x¸p k· nhau. (1/12012)(b) Hai quyºn s¡ch anh v«n b§t ký khæng x¸p c¤nh nhau. (1/429)

16. Mët cûa h ng ç i»n nhªp 1 læ bâng i»n ¢ âng th nh tøng hëp, méi hëp 12 chi¸c.Chõ cûa h ng kiºm tra ch§t l÷ñng b¬ng c¡ch l§y ngü nhi¶n 3 bâng º thû v n¸u c£3 bâng còng tèt th¼ hëp bâng â ÷ñc ch§p nhªn. T½nh x¡c su§t º mët hëp bâng i»n÷ñc ch§p nhªn n¸u trong hëp â câ 4 bâng bà häng. (14/55)

17. Tø 8 æi gi y còng sè nh÷ng kh¡c m u vîi nhau, l§y ngü nhi¶n mët l÷ñt ra 6 chi¸c.

(a) T½nh x¡c su§t c¡c chi¸c gi y l§y ra khæng t¤o n¶n æi n o. (32/143)(b) T½nh x¡c su§t c¡c chi¸c gi y l§y ra t¤o n¶n 2 æi. (30/143)

18. Mët læ h ng gçm 6 ch½nh ph©m v 4 ph¸ ph©m ÷ñc chia ngü nhi¶n th nh 2 ph¦nb¬ng nhau. T¼m x¡c su§t º méi ph¦n ·u câ sè ch½nh ph©m nh÷ nhau.

19. Mët nhâm gçm câ 5 æi vñ chçng ùng x¸p h ng. Häi câ bao nhi¶u c¡ch sp x¸p trongc¡c tr÷íng hñp sau:

(a) Nam v nú ùng th nh 2 nhâm ri¶ng bi»t. (1/126)(b) Hai vñ chçng luæn ùng k¸ nhau? (1/945)

20. Khi gåi i»n tho¤i mët kh¡ch h ng qu¶n m§t 3 chú sè cuèi nh chån ngü nhi¶n 3 sè.T½nh x¡c su§t ng÷íi â thüc hi»n ÷ñc cuëc li¶n l¤c trong c¡c tr÷íng hñp sau:

(a) Kh¡ch h ng â khæng nhî ÷ñc thæng tin n o kh¡c. (1/1000)(b) Kh¡ch h ng â ch¿ nhî l 3 chú sè â kh¡c nhau. (1/720)(c) Kh¡ch h ng â nhî l 3 chú sè â kh¡c nhau v sè cuèi l sè ch®n. (1/360)

21. Méi v² sè câ 5 chú sè. T½nh x¡c su§t º mët ng÷íi mua mët v² ÷ñc v²:

(a) Câ 5 chú sè kh¡c nhau. (189/625)(b) Câ 5 chú sè ·u l l´. (1/32)(c) C¡c chú sè æi mët kh¡c nhau trong â câ sè 1 v sè 5. (42/625)

22. Câ 5 h nh kh¡ch b÷îc ngü nhi¶n l¶n mët o n t u câ toa.

(a) T½nh x¡c su§t º c¡c h nh kh¡ch n y l¶n c¡c toa kh¡c nhau. (0,0384)(b) T½nh x¡c su§t sao cho câ 2 h nh kh¡ch l¶n còng 1 toa, ba h nh kh¡c1h cán l¤i l¶n

3 toa kh¡c nhau. (0,384)


(c) Câ óng 1 toa khæng câ ai l¶n ? (0,0768)

23. Gieo çng thíi 2 con xóc xc c¥n èi, çng ch§t. T½nh x¡c su§t sao cho:

(a) Têng sè ch§m ð m°t tr¶n con xóc xc b¬ng 9. (4/36)(b) Sè ch§m ð m°t tr¶n con xóc xc b¬ng nhau. (6/36)

24. Gi£ sû câ 10 kh¡ch h ng v o mët gian hëi chñ câ 3 qu¦y, méi ng÷íi ch¿ i tîi 1 qu¦y.T½nh x¡c su§t:

(a) Câ 4 ng÷íi ¸n qu¦y sè 1. (0,228)(b) Câ 4 ng÷íi ¸n 1 qu¦y n o â. (0,684)(c) Câ 4 ng÷íi ¸n qu¦y 1 v 3 ng÷íi ¸n qu¦y 2. (0,071)

25. Trong 1 tu¦n l¹ câ 7 tai n¤n giao thæng.

(a) T½nh x¡c su§t º méi ng y câ óng 1 tai n¤n. (720/117649)(b) T½nh x¡c su§t º ng y thù hai câ 3 tai n¤n. (0,055)

26. T½nh x¡c su§t º ba ng÷íi khæng quen bi¸t g°p nhau ng¨u nhi¶n ð ngo i ÷íng:

(a) Câ ng y sinh tròng nhau. (1/133225)(b) Câ ng y sinh kh¡c nhau. (0,992)(c) Câ th¡ng sinh kh¡c nhau. (55/72)

27. Mët lo i thüc vªt câ hoa üc v hoa c¡i. Ng÷íi ta nghi¶n cùu th§y r¬ng hoa üc v hoac¡i nð trong kho£ng thíi gian tø 1h 2h. Tuy nhi¶n chóng ch¿ k¸t hñp t¤o th nh tr¡in¸u 2 lo i hoa nð c¡ch nhau khæng qu¡ 30 phót. T½nh x¡c su§t º t¤o th nh tr¡i cõalo i hoa tr¶n. (0,75)

28. Mët læ h ng gçm 10 s£n ph©m trong â câ l¨n lën 1 ph¸ ph©m. Ng÷íi ta l§y l¦n l÷ñttøng s£n ph©m tø læ h ng º t¼m ph¸ ph©m â.

(a) T½nh x¡c su§t sao cho ph¸ ph©m â l§y ra ð l¦n sau còng. (1/10)(b) Gi£ sû læ h ng câ 2 ph¸ ph©m. Ng÷íi ta l§y l¦n l÷ñt tøng s£n ph©m cho ¸n khi

ph¡t hi»n h¸t 2 ph¸ ph©m th¼ ng÷ng. T½nh x¡c su§t sao cho vi»c kiºm tra døng l¤ið l¦n thù 4. (1/15)

29. Mët sè i»n tho¤i câ 7 sè. Ng÷íi gåi qu¶n chú sè cuèi còng nh÷ng anh ta bi¸t r¬ng sèâ kh¡c 0 v anh chån sè â 1 c¡ch ng¨u nhi¶n. T½nh x¡c su§t º anh ta thüc hi»n ÷ñccuëc li¶n l¤c m khæng thüc hi»n cuëc gåi qu¡ 3 l¦n? (1/3)

30. Mët tê sinh vi¶n gçm câ 4 ng÷íi nam v 6 ng÷íi nú. Gi£ sû tê ÷ñc o n tr÷íng cho 3v² xem phim.

(a) Câ bao nhi¶u c¡ch ph¥n phèi sao cho nam câ 1 v² v nú câ 2 v².


(b) N¸u vi»c ph¥n phèi ÷ñc thüc hi»n b¬ng c¡ch bèc th«m ngü nhi¶n méi ng÷íi l¦nl÷ñt l§y 1 v² tø 10 v² trong â câ 3 v² câ d§u hi»u °c bi»t m ng÷íi bèc tróng s³÷ñc quay phim. Theo b¤n n¶n bèc th«m l¦n thù m§y câ lñi hìn? T¤i sao?

31. Câ 20 t§m th´ ÷ñc ghi sè tø 1 ¸n 20. Chån ngü nhi¶n 1 th´.

(a) Chån ngü nhi¶n 1 th´. T½nh x¡c su§t sao cho th´ chån ra ghi sè chia h¸t cho 3khi bi¸t sè â chia h¸t cho 2. (3/20)

(b) Chån ngü nhi¶n ra 3 th´. T½nh x¡c su§t chån ÷ñc 3 th´ câ têng c¡c sè ghi tr¶nth´ lîn hìn 8?

(c) Chån ngü nhi¶n ra 3 th´. T½nh x¡c su§t chån ÷ñc 3 th´ câ têng c¡c sè ghi tr¶nth´ lîn hìn 8 bi¸t r¬ng chån ÷ñc th´ sè 4?

32. Mët x¤ thõ bn v o bia cho ¸n khi tróng th¼ døng. T½nh x¡c su§t º x¤ thõ døng bnð l¦n thù 3, bi¸t r¬ng x¡c su§t ð méi l¦n bn l 0,7. (0,063)

33. Mët læ h ng câ 10 ch½nh ph©m v 5 ph¸ ph©m. L¦n thù nh§t chån ngü nhi¶n khængho n l¤i 5 s£n ph©m v l¦n thù 2 công chån khæng ho n l¤i th¶m 5 s£n ph©m núa. T½nhx¡c su§t º l¦n thù nh§t ÷ñc 5 ch½nh ph©m, l¦n thù hai ÷ñc 2 ch½nh ph©m v 3 ph¸ph©m. (0,033)

34. Hai x¤ thõ bn méi ng÷íi 1 vi¶n ¤n v o còng 1 möc ti¶u vîi x¡c su§t tróng l¦n l÷ñtl 0,7 v 0,9. T½nh x¡c su§t möc ti¶u bà tróng óng 1 vi¶n ¤n. (0,034)

35. Mët hëp câ 5 t§m phi¸u trong â câ mët phi¸u tróng th÷ðng. N«m ng÷íi l¦n l÷ñt méing÷íi rót ngü nhi¶n mët phi¸u.

(a) Häi rót tr÷îc hay rót sau lñi?(b) C¥u tr£ líi câ kh¡c khæng n¸u trong 5 phi¸u câ 2 phi¸u th÷ðng?(c) X²t khi trong 5 phi¸u câ 2 phi¸u th÷ðng, n¸u câ hai ng÷íi n o â rót ÷ñc phi¸u

th÷ðng th¼ døng l¤i. T½nh x¡c su§t sao cho khi ¸n ng÷íi thù ba rót xong th¼ døngl¤i.

36. Chån ngü nhi¶n 1 tí v² sè câ 6 chú sè. T½nh x¡c su§t sao cho chån ÷ñc v²:

(a) Câ c¡c chú sè 1, 2, 3.(b) Câ sè 1 v câ sè ch®n.(c) Câ sè 1 v l sè ch®n.

37. Mët hëp câ 9 vi¶n bi gièng nhau tr¶n â l¦n l÷ñt ghi c¡c sè tü nhi¶n tø 1 ¸n 9. Tøhëp l§y ngü nhi¶n ra 3 bi.

(a) T½nh x¡c su§t sao cho 3 bi l§y ra ·u l bi câ sè ch®n. (1/21)(b) T½nh x¡c su§t sao cho 3 bi l§y ra ·u l bi câ sè ch®n n¸u bi¸t r¬ng trong 3 bi l§y

ra câ ½t nh§t 1 bi ch®n. (2/37)(c) T½nh x¡c su§t trong 3 bi l§y ra câ bi mang sè 8. (1/3)


(d) T½nh x¡c su§t trong 3 bi l§y ra câ bi mang sè 8 n¸u bi¸t r¬ng trong 3 bi l§y ra câ1 bi ch®n. (1/4)

38. Mët lîp câ 20 nam v 10 nú, trong â câ 1 b¤n nú t¶n Mai. Chån ngü nhi¶n ra 4 em.

(a) T½nh x¡c su§t º chån ÷ñc 2 em nú ?

(b) Bi¸t trong 4 em chån ra câ ½t nh§t 1 nú, t½nh x¡c su§t chån ÷ñc 2 em nú ?

(c) Bi¸t trong 4 em chån ra câ ½t nh§t 1 nú, t½nh x¡c su§t chån ÷ñc 2 em nú trongâ câ Mai ? (0,076)

39. Mët læ h ng gçm 10 s£n ph©m, trong â câ 2 ph¸ ph©m. L§y ngü nhi¶n khæng ho nl¤i tø læ h ng ra 6 s£n ph©m. T¼m x¡c su§t º câ khæng qu¡ 1 ph¸ ph©m trong 6 s£nph©m ÷ñc l§y ra. (2/3)

40. Hai nh m¡y còng s£n xu§t 1 lo¤i chi ti¸t. N«ng su§t cõa m¡y 1 g§p æi m¡y 2. T¿ l»chi ti¸t ¤t ti¶u chu©n cõa m¡y 1 l 64%, cõa m¡y 2 l 80%. L§y ngü nhi¶n 1 chi ti¸ttø læ h ng do 2 m¡y s£n xu§t.

(a) T½nh x¡c su§t º chi ti¸t n y ¤t ti¶u chu©n. (52/75)

(b) Gi£ sû chi ti¸t l§y ra l ¤t ti¶u chu©n. T½nh x¡c su§t º chi ti¸t â do m¡y 1 s£nxu§t. (8/13)

41. Mët læ h ng gçm 80 s£n ph©m tèt v 20 s£n ph©m x§u ÷ñc vªn chuyºn v· kho. Trongqu¡ tr¼nh vªn chuyºn ¢ câ 1 s£n ph©m (khæng rã l tèt hay x§u) bà m§t. Khi læ h ngv· ¸n kho, chån ngü nhi¶n 1 s£n ph©m.

(a) T½nh x¡c su§t º s£n ph©m n y l s£n ph©m tèt. (0,8)

(b) Gi£ sû s£n ph©m ÷ñc chån l tèt. T½nh x¡c su§t º s£n ph©m bà m§t l s£n ph©mx§u. (20/99)

42. Mët hëp câ 3 bi trng v 5 bi ä

(a) L§y ra 2 bi khæng chó þ ¸n m u cõa nâ rçi bä v o hëp 2 bi tr¡i m u vîi nâ, sauâ l§y ti¸p ra 1 bi. T½nh x¡c su§t º bi l§y ra l¦n sau l ä? (9/16)

(b) L§y ra l¦n ¦u 1 bi, sau â l§y ti¸p 1 bi núa. T½nh x¡c su§t º 2 bi n y còng m u.(13/28)

43. Câ 3 læ s£n ph©m, méi læ câ 10 s£n ph©m vîi sè ph¸ ph©m l¦n l÷ñt l 1, 2, 3. Tø méi læl§y ngü nhi¶n mët s£n ph©m. Sau â, tø 3 s£n ph©m b¶n ngo i chån ra mët s£n ph©m.T½nh x¡c su§t sao cho s£n ph©m chån ra l¦n sau l ph¸ ph©m. (1/5)

44. Câ 2 læ s£n ph©m: læ I câ 5 s£n ph©m vîi 2 ph¸ ph©m, læ II câ 4 s£n ph©m ·u l ch½nhph©m. L§y 1 s£n ph©m tø læ I bä sang læ II, sau â tø læ II l§y ngü nhi¶n 1 s£n ph©m.T½nh x¡c su§t s£n ph©m l§y tø læ II l ph¸ ph©m. (2/25)


45. Mët hëp câ 12 c¥y vi¸t vîi 8 c¥y cán mîi v 4 c¥y ¢ sû döng rçi. L¦n thù nh§t l§y tøhëp 1 c¥y º dòng, sau â tr£ l¤i hëp. L¦n thù hai công tø hëp â l§y ng¨u nhi¶n 1 c¥yvi¸t º sû döng th¼ th§y â l 1 c¥y vi¸t cán mîi. T½nh x¡c su§t c¥y vi¸t l§y l¦n thùnh§t công l c¥y vi¸t mîi? (7/11)

46. Mët hëp câ 6 qu£ bâng b n, trong â câ 4 qu£ cán mîi. L¦n ¦u l§y ra 2 qu£ º thi§u, sau â tr£ trð l¤i hëp. Sau â l¦n thù hai l¤i l§y ti¸p ra 2 qu£ núa.

(a) T½nh x¡c su§t º hai qu£ bâng l§y l¦n sau ·u mîi? (4/25)(b) T½nh x¡c su§t º c¡c qu£ l§y l¦n ¦u công ·u l nhúng qu£ mîi bi¸t hai qu£ bâng

l§y l¦n sau ·u mîi? (1/6)

47. Mët sinh vi¶n thi trc nghi»m mæn lþ gçm 10 c¥u häi. Méi c¥u gçm 4 ph¦n º chån.Gi£ sû sinh vi¶n â ch¿ bi¸t rã 3 c¥u cán l¤i th¼ chån 1 c¡ch ng¨u nhi¶n

(a) T½nh x¡c su§t º sinh vi¶n â chån óng t§t c£ c¡c c¥u häi tr¶n? (1/16384)(b) N¸u chån óng tø ph¥n núa trð i th¼ sinh vi¶n â s³ ªu. T½nh x¡c su§t º sinh

vi¶n thi ªu? (0,555)

48. Mët nh¥n vi¶n b¡n h ng méi ng y i ch o h ng ð 10 nìi vîi x¡c su§t b¡n ÷ñc méi nìil 0,2. T½nh x¡c su§t º:

(a) Ng÷íi â b¡n ÷ñc h ng ð 2 nìi? (0.302)(b) Ng÷íi â b¡n ÷ñc h ng ð ½t nh§t 1 nìi? (0,893)

49. Mët si¶u thà lp °t 4 chuæng b¡o ch¡y ëc lªp nhau. X¡c su§t º khi câ ch¡y méichuæng k¶u l 0,95. T½nh x¡c su§t º câ chuæng k¶u khi câ ch¡y? (0,99999)

50. Ph£i tung xóc xc bao nhi¶u l¦n º câ x¡c su§t ½t nh§t mët l¦n nhªn m°t 6 ch§m khængb² hìn 0.95? (n ≥ 17)

51. Hai ëi bâng thi §u vîi nhau. Gi£ sû trong méi trªn §u câ ba kh£ n«ng x£y ra ngangh ng nhau: thng, háa, thua. B¤n h¢y t½nh xem trong 2 kh£ n«ng sau kh£ n«ng n o s³x£y ra nhi·u hìn:

(a) Thng hai trªn trong bèn trªn. (8/27)(b) Háa 3 trªn trong 6 trªn. (160/729)

Ch÷ìng 2

¤i l÷ñng ngü nhi¶n & luªt ph¥n phèi x¡c su§t

2.1. I L×ÑNG NGU NHIN

2.1.1. ành ngh¾a

Gi£ sû 1 ph²p thû câ khæng gian mü l Ω = a1, a2, . . . , an. X²t 1 t÷ìng ùng:

f : Ω −→ Ra1 7−→ x1a2 7−→ x2an 7−→ xn

°t X = f(Ω) = x1, x2, . . . , xn, khi â X s³ nhªn c¡c gi¡ trà ngü nhi¶n tòy thuëc v o k¸tqu£ cõa ph²p thû. X ÷ñc gåi l 1 ¤i l÷ñng ngü nhi¶n.

X = xi t÷ìng ùng vîi ph²p thû x£y ra k¸t qu£ ai. Nh÷ vªy ta câ thº xem X = xi l 1bi¸n cè v P (X = xi) = P (x£y ra ai). Ta x²t c¡c v½ dö cö thº nh÷ sau:

V½ dö 2.1. Tung 1 çng xu rçi quan s¡t m°t xu§t hi»n cõa nâ. Khi â,

Ω = S,N

Ta g¡n gi¡ trà cho c¡c k¸t qu£ cõa ph²p thû n y nh÷ sau:

S 7−→ 1N 7−→ 0

°t X l c¡c gi¡ trà câ thº câ cõa ph²p thû th¼ X = 0, 1. Khi â X l 1 ¤i l÷ñng ngünhi¶n

(X = 0) =çng xu xu§t hi»n m°t s§p

(X = 1) =

çng xu xu§t hi»n m°t ngûa

v P (X = 0) = 1/2 = P (X = 1).V½ dö 2.2. Tung 1 con xóc xc.

°t X l sè ch§m xu§t hi»n tr¶n m°t con xóc xc. Khi â, X l 1 lnn.C¡c gi¡ trà câ thº cõa X l : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Khi â, ta câ thº t½nh x¡c su§t cõa c¡c bi¸n cè:P (X = 3) = 1/6, P (X < 3) = . . . . . .,P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = . . . . . .

47

48 Ch÷ìng 2. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n & luªt ph¥n phèi x¡c su§t

V½ dö 2.3. Mët læ h ng câ 100 s£n ph©m, trong â câ 15 ph¸ ph©m. Chån ngü nhi¶n ra 3s£n ph©m º kiºm tra.

°t X l sè ph¸ ph©m trong 3 s£n ph©m chån ra, th¼ X l 1 lnn.C¡c gi¡ trà câ thº cõa X l : 0, 1, 2, 3.P (X = 3) =

C315

C3100, P (X < 3) = . . . . . .,

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = . . . . . .

Ta câ ành ngh¾a têng qu¡t v· ¤i l÷ñng ngü nhi¶n nh÷ sau:ành ngh¾a 2.1. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n (LNN) l ¤i l÷ñng bi¸n êi biºu thà gi¡ trà k¸t qu£cõa 1 ph²p thû ngü nhi¶n.

Kþ hi»u: X, Y, Z, . . .

2.1.2. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n ríi r¤c

(a) ành ngh¾a:

lnn ríi r¤c l lnn m c¡c gi¡ trà câ thº cõa nâ l húu h¤n ho°c væ h¤n ¸m ÷ñcTa câ thº li»t k¶ ÷ñc c¡c gi¡ trà câ thº cõa lnn ríi r¤c l : x1, x2, . . . , xn, . . .V½ dö 2.4. X l sè ch§m xu§t hi»n tr¶n con xóc xc.X = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n¶n X l lnn ríi r¤c.V½ dö 2.5. Y l sè kh¡ch h ng v o 1 si¶u thà trong 1 ng y.Y = 0, 1, 2, 3, . . . n¶n Y l lnn ríi r¤c.

(b) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t: dòng º biºu thà mèi li¶n h» giúa gi¡ trà câ thº cõa lnnríi r¤c X vîi x¡c su§t t÷ìng ùng.Gi£ sû lnn ríi r¤c X câ c¡c gi¡ trà câ thº l x1, x2, . . . , xn.Khi â, X = xi l 1 bi¸n cè.°t pi = P (X = xi), i = 1, 2, . . . , n. Ta câ b£ng ph¥n phèi (quy luªt ph¥n phèi) x¡csu§t cõa X nh÷ sau:

X x1 x2 . . . xnP p1 p2 . . . pn

trong â

(i) 0 ≤ pi ≤ 1.(ii) p1 + p2 + . . .+ pn = 1.V½ dö 2.6. Tung 1 con xóc xc.°t X l sè ch§m xu§t hi»n tr¶n con xóc xc.X = 1, 2, 3, 4, 5, 6.P (X = 1) = P (X = 2) = . . . = P (X = 6) = 1

6.

X 1 2 3 4 5 6P 1

616

16

16

16

16

2.1. I L×ÑNG NGU NHIN 49

2.1.3. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n li¶n töc

(a) ành ngh¾a: lnn li¶n töc l lnn m c¡c gi¡ trà câ thº cõa nâ câ thº lp ¦y 1 kho£ngtr¶n tröc sè.B§t ký 1 gi¡ trà x0 ∈ (a, b) ·u câ l 1 gi¡ trà câ thº cõa lnn li¶n töc.Ta khæng thº li»t k¶ t§t c£ c¡c gi¡ trà câ thº cõa lnn li¶n töc.

V½ dö 2.7. Chån ng¨u nhi¶n ra 1 sinh vi¶n.°t X l trång l÷ñng cõa sinh vi¶n ÷ñc chån.C¡c gi¡ trà câ thº cõa X l tø 30kg ¸n 80kg, n¶n X l 1 lnn li¶n töc.

V½ dö 2.8. Y : nhi»t ë trong pháng t¤i 1 thíi iºm.Z: tuêi tho cõa 1 döng cö i»n.

(b) H m mªt ë x¡c su§t: l 1 h m sè f(x) li¶n töc, khæng ¥m, x¡c ành tr¶n R thäa:

P (a ≤ X ≤ b) =

b

a

f(x)dx

trong â

+ f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

++∞−∞

f(x)dx = 1

V½ dö 2.9. Tuêi thå cõa 1 döng cö i»n l 1 lnn li¶n töc X (ìn và: n«m) câ h mmªt ë x¡c su§t:

f(x) =

0, x /∈ [0; 3]kx(3− x), x ∈ [0; 3]

(a) T¼m k ?(b) Gi£ sû thíi gian b£o h nh cõa döng cö i»n â l 1n«m. T¼m t¿ l» s£n ph©m bà h÷

trong thíi gian b£o h nh ?

Gi£i:


(a) Ta câ:

1 =

+∞

−∞f(x)dx =

0

−∞f(x)dx+

3

0

f(x)dx+

+∞

3

f(x)dx

=

3

0

kx(3− x)dx = k(3

2x2 − x3

3)|30

=9

2k

=⇒ k =2

9

(b) S£n ph©m bà h÷ trong thíi gian b£o h nh câ ngh¾a l tuêi thå cõa nâ ≤ 1.

P (0 ≤ X ≤ 1) =

1

0

f(x)dx =

1

0

2

9x(3− x)dx

=2

9(3

2x2 − x3

3)|10

=7

27

2.1.4. H m ph¥n phèi x¡c su§t

ành ngh¾a 2.2. H m ph¥n phèi x¡c su§t cõa lnn X, kþ hi»u F (x), l 1 h m khæng ¥m,x¡c ành tr¶n R thäa:

F (x) = P (X < x)

• X l lnn ríi r¤c câ b£ng ph¥n phèi x¡c su§t (ppxs):

X x1 x2 . . . xnP p1 p2 . . . pn

Khi â,F (x) =

∑xi<x

P (X = xi) =∑xi<x

pi

V½ dö 2.10. Cho X l lnn ríi r¤c câ b£ng ppxs:

X 0 1 2P 0, 3 0, 5 0, 2

2.1. I L×ÑNG NGU NHIN 51

T¼m F (x) ?Gi£i:Ta câ:

x ≤ 0 : F (x) = 0 v¼ khæng câ xi n o < x. 0 < x ≤ 1 : F (x) = p1 = 0, 3 v¼ câ x1 = 0 < x. 1 < x ≤ 2 : F (x) = p1 + p2 = 0, 3 + 0, 5 = 0, 8 v¼ câ x1 = 0, x2 = 1 < x. x > 2 : F (x) = p1 + p2 + p3 = 1 v¼ câ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 < x.

Vªy,

F (x) =

0, x ≤ 0

0, 3, 0 < x ≤ 10, 8, 1 < x ≤ 21, x > 2

• N¸u X l lnn li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t f(x) th¼:

F (x) =

x

−∞f(t)dt

V½ dö 2.11. Cho X l lnn li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t:

f(x) =

0, x /∈ [0; 3]29x(3− x), x ∈ [0; 3]

T¼m F (x) ?Gi£i:Ta câ:

x < 0 =⇒ f(x) = 0

=⇒ F (x) =

x

−∞f(t)dt =

x

−∞0dt = 0


0 ≤ x ≤ 3 =⇒ f(x) = 29x(3− x)

=⇒ F (x) =

x

−∞f(t)dt =

0

−∞f(t)dt+

x

0

f(t)dt

=

0

−∞0dt+

x

0

2

9t(3− t)dt =

2

9(3

2t2 − t3

3)|x0

=2

9(3

2x2 − x3

3)

x > 3 :=⇒ f(x) = 0.

=⇒ F (x) =

x

−∞f(t)dt =

0

−∞f(t)dt+

3

0

f(t)dt+

x

3

f(t)dt

=

0

−∞0dt+

3

0

2

9t(3− t)dt+

x

3

0dt

= 1

Vªy,

F (x) =

0, x < 0

29(32x2 − x3

3), 0 ≥ x ≥ 3

1, x > 3

T½nh ch§t 2.1. • 0 ≤ F (x) ≤ 1 ∀x

• F (x) l 1 h m khæng gi£m.

• F (−∞) = 0, F (+∞) = 1.

Chó þ 2.1. • N¸u X l lnn ríi r¤c th¼:

P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a)

• N¸u X l lnn li¶n töc th¼:

P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b)= F (b)− F (a)

F ′(x) = f(x)

P (X = a) = P (a ≤ X ≤ a) = F (a)− F (a) = 0

2.2. H m cõa c¡c ¤i l÷ñng ngü nhi¶n 53

2.2. H m cõa c¡c ¤i l÷ñng ngü nhi¶n

2.2.1. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n 1 chi·u

Gi£ sû X l 1 lnn v h(x) l 1 h m sè li¶n töc. Khi â, h(X) công l 1 lnn thøa h÷ðngluªt ph¥n phèi x¡c su§t cõa lnn X.

V½ dö 2.12. X²t h m sè h(x) = x− 1 v lnn ríi r¤c X câ luªt ppxs

X 0 1 2 3P 0, 2 0, 3 0, 1 0, 4

th¼ h(X) = X − 1 câ b£ng ppxs t÷ìng l

X − 1 0 1 2 3P 0, 2 0, 3 0, 1 0, 4

T¼m luªt ppxs cõa X2 −X ?

X2 −X 0 2 6P 0, 5 0, 1 0, 4

Chó þ 2.2. N¸u h(x) l h m ìn i»u th¼ h(X) v X câ còng luªt ppxs.

2.2.2. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n 2 chi·u

Gi£ sû X, Y l 2 lnn v g(x), h(x) l 2 h m sè li¶n töc. Khi â, g(X) +h(Y ) công l 1 lnnthøa h÷ðng luªt ppxs cõa X v Y .

V½ dö 2.13. Cho X, Y l 2 lnn ríi r¤c câ b£ng ppxs t÷ìng ùng l

X 0 1 2 Y 0 2P 0, 4 0, 3 0, 3 P 0, 3 0, 7

T¼m luªt ppxs cõa 2X − Y ?Ta t¼m c¡c gi¡ trà câ thº cõa 2X − Y . Ta câ:

Y \X 0 1 20 0 2 42 −2 0 2

Do â, b£ng ppxs cõa 2X − Y l :

2X − Y −2 0 2 4P 0, 4 ∗ 0, 7 0, 4 ∗ 0, 3 + 0, 3 ∗ 0, 7 0, 3 ∗ 0, 3 + 0, 3 ∗ 0, 7 0, 3 ∗ 0, 3


2.3. CC THAM SÈ CÕA I L×ÑNG NGU NHIN

2.3.1. Ký vång (E(X))

Ký vång cõa lnn X ÷ñc kþ hi»u E(X).

• N¸u X l lnn ríi r¤c câ b£ng ppxs:

X x1 x2 . . . xnP p1 p2 . . . pn

th¼:

E(X) = x1p1 + x2p2 + . . .+ xnpn =n∑i=1

xipi

V½ dö 2.14. X l lnn ríi r¤c câ b£ng ppxs:

X 0 1 2P 0, 3 0, 5 0, 2

Khi â,E(X) = 0 ∗ 0, 3 + 1 ∗ 0, 5 + 2 ∗ 0, 2 = 0, 9

Têng qu¡t:E h(X) = h(x1)p1 + h(x2)p2 + . . .+ h(xn)pn

• N¸u X l lnn li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t f(x) th¼:

E(X) =

+∞

−∞xf(x)dx

V½ dö 2.15. X l lnn li¶n töc câ h m mxs:

f(x) =

0, x /∈ [0; 3]29x(3− x), x ∈ [0; 3]

Khi â,

E(X) =

+∞

−∞x

2

9x(3− x)dx =

3

0

(2

3x2 − 2

9x3)dx

=

(2

9x3 − 1

18x4) ∣∣∣∣30 =

45

2

Têng qu¡t:

E h(X) =

+∞

−∞h(x)f(x)dx

2.3. CC THAM SÈ CÕA I L×ÑNG NGU NHIN 55

T½nh ch§t 2.2. (i) E(c) = c vîi c l h¬ng sè.

(ii) E(cX) = cE(X)

(iii) E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )

(iv) X, Y ëc lªp ⇐⇒ E(XY ) = E(X)E(Y )

Þ ngh¾a 2.1. Ký vång cõa lnn X x§p x¿ gi¡ trà trung b¼nh v ph£n ¡nh trång t¥m x¡c su§tcõa lnn X.

V½ dö 2.16. Mët hëp câ 2 bi ä v 8 bi trng. Mët ng÷íi tham gia trá chìi vîi quy luªt nh÷sau: chån ng¨u nhi¶n 1 bi, n¸u l bi ä th¼ ÷ñc 6500, n¸u l bi trng th¼ m§t 1700. Häi cân¶n chìi trá chìi n y hay khæng ?

Gi£i:

°t X l sè ti·n câ ÷ñc sau 1 l¦n chìi.X = 6500d,−1700d.

X 6500 −1700P 1

545

=⇒ E(X) = −60 < 0.Vªy trá chìi n y khæng cæng b¬ng (khæng n¶n chìi).

V½ dö 2.17. Sè · l 1 trá chìi r§t khæng cæng b¬ng.

2.3.2. Ph÷ìng sai (V ar(X) hay D(X))

V ar(X) = E(X − E(X))2 = E(X −m)2

vîi m = E(X).


• N¸u X l lnn ríi r¤c

X x1 x2 . . . xnP p1 p2 . . . pn

th¼

V ar(X) = (x1 −m)2p1 + (x2 −m)2p2 + . . .+ (xn −m)2pn= (x21p1 + x22p2 + . . .+ x2npn)− (x1p1 + x2p2 + . . .+ xnpn)2

• N¸u X l lnn li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t f(x) th¼

V ar(X) =

+∞

−∞(x−m)2f(x)dx

=

+∞

−∞x2f(x)dx−

( +∞

−∞xf(x)dx

)2

Chó þ 2.3.

V ar(X) = E(X −m)2 = EX2 − 2mX +m2= E(X2)− 2mE(X) +m2 = E(X2)−m2

= E(X2)− E(X)2

V½ dö 2.18. Cho X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ríi r¤c

X 0 1 2 3P 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

(a) T½nh E(X).

(b) T½nh E(Y ) vîi Y = X2.

(c) Lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa Z = (X − E(X))2.

(d) T½nh V ar(X).

Gi£i:

(a) E(X) = 0 ∗ 0, 1 + 1 ∗ 0, 2 + 2 ∗ 0, 3 + 3 ∗ 0, 4 = 2.

(b) Y = X2.

X = 0⇐⇒ Y = 0

X = 1⇐⇒ Y = 1

X = 2⇐⇒ Y = 4

X = 3⇐⇒ Y = 9

2.3. CC THAM SÈ CÕA I L×ÑNG NGU NHIN 57

Y 0 1 4 9P 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

=⇒ E(Y ) = 0 ∗ 0, 1 + 1 ∗ 0, 2 + 4 ∗ 0, 3 + 9 ∗ 0, 4 = 5.

(c) Z = (X − E(X))2 = (X − 2)2

X = 0 =⇒ Z = 4

X = 1 =⇒ Z = 1

X = 2 =⇒ Z = 0

X = 3 =⇒ Z = 1

Y 0 1 4P 0, 3 0, 2 + 0, 4 0, 1

(d) V ar(X) = E(X − E(X))2 = E(Z) = 1, 0

T½nh ch§t 2.3. (i) V ar(c) = 0 vîi c l h¬ng sè.

(ii) V ar(cX) = c2V ar(X)

(iii) X, Y ëc lªp ⇐⇒ V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

Þ ngh¾a 2.2. Ph÷ìng sai ph£n ¡nh mùc ë ph¥n t¡n c¡c gi¡ trà cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶nxung quanh gi¡ trà trung b¼nh cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n â.

2.3.3. ë l»ch ti¶u chu©n (σ(X))

σ(X) =√V ar(X)

2.3.4. Gi¡ trà tin chc nh§t (Mod(X))

L gi¡ trà cõa lnn X m câ x¡c su§t x£y ra lîn nh§t.

• N¸u X l lnn ríi r¤c

X x1 x2 . . . xnP p1 p2 . . . pn

th¼Mod(X) = xi : pi = maxp1, p2, . . . , pn

V½ dö 2.19. Cho X l lnn ríi r¤c

X 0 1 2 3P 0, 2 0, 3 0, 3 0, 2


=⇒Mod(X) = 1 ho°c Mod(X) = 2

• N¸u X l lnn li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t f(x) th¼

Mod(X) = x0 : f(x0) = maxx∈R

f(x)

V½ dö 2.20. Cho X l lnn li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t:

f(x) =

0, x /∈ [0; 3]29x(3− x), x ∈ [0; 3]

T¼m Mod(X).

Gi£i:

Ta câ: f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

Ta ch¿ x²t x ∈ [0; 3]. Khi â f(x) = 29x(3− x)

=⇒ f ′(x) =2

3− 4

9x = 0

⇐⇒ x =3

2

B£ng bi¸n thi¶n:

x 0 3/2 3f ′(x) + 0 −

Cf(x)

0 0

=⇒Mod(X) = 32

2.4. MËT SÈ PHN PHÈI XC SUT THÆNG DÖNG

º x¡c ành (ph¥n lo¤i) c¡c d¤ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa 1 ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X ng÷íi tadüa v o quy luªt ph¥n phèi x¡c su§t cõa nâ. èi vîi ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ríi r¤c th¼ düa v ob£ng ph¥n phèi x¡c su§t, cán èi vîi lnn li¶n töc th¼ düa v o h m mªt ë x¡c su§t. Ð ¥yta s³ x²t 3 d¤ng ph¥n phèi cõa lnn ríi r¤c (ph¥n phèi nhà thùc, Poisson, si¶u bëi) v 3 d¤ngph¥n phèi cõa lnn li¶n töc (ph¥n phèi chu©n, khi b¼nh ph÷ìng, Student).

2.4. MËT SÈ PHN PHÈI XC SUT THÆNG DÖNG 59

2.4.1. Ph¥n phèi nhà thùc

ành ngh¾a 2.3. X²t 1 l÷ñc ç Bernoulli gçm n ph²p thû ëc lªp, gièng nhau, trong â ðméi ph²p thû x¡c su§t x£y ra bi¸n cè A l p khæng êi.

°t X l sè l¦n x£y ra bi¸n cè A trong n l¦n thüc hi»n.X = 0, 1, 2, . . . , n.

P (X = k) = Pn,k(A) = Cknp

kqn−k, q = 1− p

B£ng ppxs cõa X

X 0 . . . k . . . nP C0

np0qn . . . Ck

npkqn−k . . . Cn

npnq0

Khi â, X ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi nhà thùc vîi 2 tham sè n, p.Kþ hi»u: X ∼ B(n, p).

Chó þ 2.4.P (X = 0) + P (X = 1) + . . .+ P (X = n) = 1

> C¡c tham sè °c tr÷ng

• E(X) = np.

• V ar(X) = npq.

• np− q ≤Mod(X) ≤ np+ p

V½ dö 2.21. Tung 1 con xóc xc 10 l¦n. T½nh x¡c su§t:

(a) câ 2 l¦n xóc xc xu§t hi»n m°t 1 ch§m.

(b) câ nhi·u hìn 2 l¦n xóc xc xu§t hi»n m°t 1 ch§m.

(c) T¼m sè l¦n xóc xc xu§t hi»n m°t 1 ch§m tin chc nh§t ?


V½ dö 2.22. Mët læ h ng câ t¿ l» ph¸ ph©m l 10%. Tø læ h ng chån ng¨u nhi¶n ra 20 s£nph©m º kiºm tra.

(a) T¼m sè ph¸ ph©m trung b¼nh trong 20 s£n ph©m chån ra?

(b) T¼m sè ph¸ ph©m tin chc nh§t ?

2.4.2. Ph¥n phèi Poisson

ành ngh¾a 2.4. Gi£ sû lnn ríi r¤c X câ c¡c gi¡ trà câ thº l 0, 1, 2, . . . v câ cæng thùct½nh x¡c su§t nh÷ sau

P (X = k) =ak

k!e−a

B£ng ppxs cõa X


X 0 . . . k . . . n . . .

P a0

0!e−a . . . ak

k!e−a . . . an

n!e−a . . .

Khi â, X ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi Poisson vîi tham sè °c tr÷ng a.Kþ hi¶u: X ∼ P(a)

Chó þ 2.5.P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + . . .+ = 1


• E(X) = V ar(X) = a.

• a− 1 ≤Mod(X) ≤ a

V½ dö 2.23. Sè kh¡ch h ng v o si¶u thà trong 1 gií l lnn X câ ph¥n phèi Poisson vîi thamsè °c tr÷ng a = 8. T½nh x¡c su§t:

(a) câ 8 kh¡ch h ng v o si¶u thà trong 1 gií ?

(b) câ ½t nh§t 2 kh¡ch h ng v o si¶u thà trong 1 gií ?

(c) T¼m sè kh¡ch h ng v o si¶u thà trong 1 gií tin chc nh§t ?

Gi£i:Ta câ:

X ∼ P(8)

(a) P (X = 8) = 88

8!e−8

(b) P (X ≥ 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) = 1− 80

0!e−8 − 81

1!e−8

(c) a− 1 ≤Mod(X) ≤ a⇐⇒ 7 ≤Mod(X) ≤ 8

=⇒Mod(X) = 7 ho°c Mod(X) = 8.

V½ dö 2.24. Trung b¼nh 1 ng y câ 2 tai n¤n giao thæng. T½nh x¡c su§t trong 1 tu¦n câ 10tai n¤n giao thæng ?

Gi£i:Trung b¼nh 1 ng y câ 2 tai n¤n giao thæng.Trung b¼nh 1 tu¦n câ 14 tai n¤n giao thæng =⇒ a = 14.Gåi X l sè tai n¤n giao thæng trong 1 tu¦n. Khi â,

X ∼ P(14)

X¡c su§t c¦n t½nh:P (X = 10) =

1410

10!e−14


Chó þ 2.6. Gi£ sû X ∼ B(n, p).N¸u n r§t lîn, p r§t b² th¼:

P (X = k) = Cknp

kqn−k, q = 1− p

câ Ckn r§t lîn, r§t khâ t½nh !Khi â,

X ∼ P(a) vîi a = np

=⇒ P (X = k) =ak

k!e−a

câ thº ÷ñc t½nh d¹ d ng hìn.

V½ dö 2.25. Ð vòng biºn Somali 1 ng y câ kho£ng 5000 t u thuy·n qua l¤i. X¡c su§t º 1t u bà c÷îp biºn t§n cæng l 0,001. T½nh x¡c su§t º trong 1 ng y câ 25 t u bà c÷îp biºn t§ncæng ?

Gi£i:Gåi X l sè t u bà c÷îp biºn t§n cæng trong 1 ng y.Khi â, X ∼ B(5000; 0, 001).X¡c su§t c¦n t½nh:

P (X = 25) = C255000(0, 001)25(0, 999)4975 (!)

V¼ n = 5000 lîn, p = 0, 001 b² n¶n X ∼ P(5), (a = np = 5000 ∗ 0, 001 = 5).

=⇒ P (X = 25) =525

25!e−5

2.4.3. Ph¥n phèi si¶u bëi

ành ngh¾a 2.5. Mët tªp hñp câ N ph¦n tû, trong â câ M ph¦n tû câ t½nh ch§t A. Tø tªphñp chån ng¨u nhi¶n ra n ph¦n tû.

°t X l sè ph¦n tû câ t½nh ch§t A ÷ñc chån ra.X = 0, 1, 2, 3, . . . Ta câ:

P (X = k) =CkMC

n−kN−M

CnN


Khi â, X ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi si¶u bëi vîi 3 tham sè N,M, n.Kþ hi»u: X ∼ H(N,M, n).


• E(X) = np vîi p = M/N .

• V ar(X) = npqN−nN−1 , q = 1− p.

V½ dö 2.26. Mët hëp câ 10 c¥y vi¸t, trong â câ 6 c¥y vi¸t mîi. Tø hëp chån ng¨u nhi¶nra 4 c¥y vi¸t, °t X l sè c¥y vi¸t mîi l§y ra. X tu¥n theo quy luªt ph¥n phèi x¡c su§t g¼ ?T½nh x¡c su§t chon ÷ñc 3 c¥y vi¸t mîi ?

Gi£i:X l sè c¥y vi¸t mîi trong 4 c¥y l§y ra.X = 0, 1, 2, 3, 4 v X ∼ H(10, 6, 4).X¡c su§t c¦n t½nh:

P (X = 3) =C3

6C14

C410

V½ dö 2.27. Mët nh m¡y câ 20 cæng nh¥n, trong â câ 12 ng÷íi câ tay ngh· kh¡. Chånng¨u nhi¶n 5 ng÷íi º kiºm tra tay ngh·.

(a) T½nh x¡c su§t chån ÷ñc khæng qu¡ 2 ng÷íi câ tay ngh· kh¡ ?

(b) T¼m sè ng÷íi câ tay ngh· kh¡ trung b¼nh ÷ñc chån ?

Gi£i:


2.4.4. Ph¥n phèi chu©n

(a) Ph¥n phèi chu©n

ành ngh¾a 2.6. lnn li¶n töc X ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi chu©n vîi 2 tham sè °ctr÷ng l µ v σ n¸u nâ câ h m mxs:

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2

Kþ hi»u: X ∼ N (µ, σ2).


E(X) = µ = Mod(X). V ar(X) = σ2.

(b) Ph¥n phèi chu©n hâa

Gi£ sû X ∼ N (µ, σ2).N¸u µ = 0 v σ = 1 th¼ X ∼ N (0; 1).Khi â, X ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi chu©n hâa (chu©n tc).

Chó þ 2.7. N¸u X ∼ N (µ, σ2) th¼ U = X−µσ

∼ N (0; 1).

> H m mxs cõa ph¥n phèi chu©n hâa

f(x) =1√2πe−

x2

2 , h m Gauss


+ f(x) l h m sè ch®n.

++∞−∞

f(x) dx = 1 =⇒0−∞

f(x) dx =+∞0

f(x) dx = 0, 5.

> H m ppxs cõa ph¥n phèi chu©n hâa

F (x) = Φ(x) =

x

−∞f(t) dt =

1√2π

x

−∞e−

t2

2

Nhªn x²t 2.1. Ta câ:

+ Φ(−x) = 1− Φ(x).+ V

Φ(x) =

x

−∞f(t) dt =

0

−∞f(t) dt+

x

0

f(t) dt

= 0, 5 +1√2π

x

0

e−t2

2

= 0, 5 + ϕ(x)

vîi ϕ(x) = 1√2π

x0e−

t2

2 (h m Laplace).+ ϕ(−x) = −ϕ(x).

> Ph¥n và chu©n

Cho 0 < γ < 1, t¼m uγ sao cho P (U < uγ) = γ vîi U ∼ N (0; 1).Khi â, uγ ÷ñc gåi l ph¥n và chu©n mùc x¡c su§t γ.Ta câ:

P (U < uγ) =

uγ

−∞f(t) dt = γ

Tø ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tr¶n ta gi£i t¼m uγ.


V½ dö 2.28. Cho γ = 0, 5, t¼m uγ = u0,5 = ?Ta câ:

P (U < u0,5) =

u0,5

−∞f(t) dt = 0, 5

=⇒ u0,5 = 0

Cho γ = 0, 95, th¼ uγ = u0,95 = 1, 6449.

T½nh ch§t 2.4. uγ = −u1−γ.

(c) C¡c cæng thùc t½nh x¡c su§t

Gi£ sû X ∼ N (µ, σ2). Khi â,

+ P (a < X < b) = ϕ( b−µσ

)− ϕ(a−µσ

).+ P (X < a) = 0, 5 + ϕ(a−µ

σ).

+ P (X > a) = 0, 5− ϕ(a−µσ

).+ P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( ε

σ).

V½ dö 2.29. ë d i cõa 1 chi ti¸t m¡y l lnn X câ ph¥n phèi chu©n vîi trung b¼nh E(X) =20cm, ph÷ìng sai V ar(X) = 0, 04cm2.

(a) L§y ng¨u nhi¶n 1 chi ti¸t m¡y, t½nh x¡c su§t º chi ti¸t §y câ ë d i n¬m trong kho£ng(19, 8cm; 20, 1cm). (T½nh t¿ l» chi ti¸t câ ë d i n¬m trong kho£ng (19, 8cm; 20, 1cm).)

(b) Nhúng chi ti¸t câ ë d i sai l»ch so vîi trung b¼nh nhä hìn 0, 3cm ÷ñc coi l lo¤i tèt.T½nh t¿ l» chi ti¸t tèt cõa m¡y â ?

(c) N¸u muèn t¿ l» lo¤i tèt l 90% th¼ ë d i chi ti¸t sai l»ch so vîi trung b¼nh l bao nhi¶u?

Gi£i:Ta câ:

X ∼ N (20; 0, 22)

(a) X¡c su§t c¦n t½nh:

P (19, 8 < X < 20, 1) = ϕ(20, 1− 20

0, 2)− ϕ(

19, 8− 20

0, 2)

= ϕ(0, 5) + ϕ(1)= 0, 1915 + 0, 3413

(b) T¿ l» chi ti¸t câ ë d i sai l»ch so vîi trung b¼nh nhä hìn 0, 3cm ch½nh l x¡c su§t chånng¨u nhi¶n 1 chi ti¸t m l lo¤i tèt.

P (|X − 20| < 0, 3) = 2ϕ(0, 3

0, 2) = 2ϕ(1, 5)

= 2 ∗ 0, 4332 = 0, 8664


(c) Gåi ε l ë d i chi ti¸t sai l»ch so vîi trung b¼nh. Ta câ:

P (|X − 20| < ε) = 2ϕ(ε

σ) = 2ϕ(

ε

0, 2) = 0, 9

=⇒ ϕ(ε

0, 2) = 0, 45 =⇒ ε

0, 2= 1, 65 =⇒ ε = 0, 33 cm

Chó þ 2.8. Gi£ sû X ∼ B(n, p).N¸u n lîn v 0 << p << 1 th¼:

X ∼ N (µ, σ2)

vîi µ = np v σ2 = npq.Khi â,

+ P (X = k) ≈ 1√npqf(k−np√

npq) vîi f l h m Gauss.

+ P (a ≤ X ≤ b) ≈ ϕ( b−np√npq

)− ϕ(a−np√npq

).

V½ dö 2.30. X¡c su§t sinh ÷ñc 1 em b² g¡i l 0,52. T½nh x¡c su§t sao cho trong 300 em b²sp ÷ñc sinh ra:

(a) câ 180 b² g¡i ?

(b) tø 150 ¸n 170 b² g¡i ?

(c) câ sè b² g¡i nhi·u hìn sè b² trai ?

Gi£i:°t X l sè b² g¡i trong 300 b² sp ÷ñc sinh ra.X ∼ B(300; 0, 52).V¼ n = 300 lîn v 0 << p = 0, 52 << 1 n¶n

X ∼ N (156; 74, 88)

(a)

P (X = 180) =1√

300 ∗ 0, 52 ∗ 0, 48f(

180− 300 ∗ 0, 52√300 ∗ 0, 52 ∗ 0, 48

=1√

300 ∗ 0, 52 ∗ 0, 48f(2, 774)

(b)

P (150 ≤ X ≤ 170) = ϕ(170− 300 ∗ 0, 52√300 ∗ 0, 52 ∗ 0, 48

)− ϕ(170− 300 ∗ 0, 52√300 ∗ 0, 52 ∗ 0, 48

)

= ϕ(1, 62) + ϕ(0, 69)

(c)

P (X ≥ 151) = 0, 5− ϕ(151− 300 ∗ 0, 52√300 ∗ 0, 52 ∗ 0, 48

)

= 0, 5 + ϕ(0, 58)


2.4.5. Ph¥n phèi Khi - b¼nh ph÷ìng

(a) ành ngh¾a

lnn li¶n töc V ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi Khi - b¼nh ph÷ìng vîi n bªc tü do n¸u:

V = X21 +X2

2 + . . .+X2n

trong â:

+ Xi ∼ N (0; 1) ∀i = 1, n.+ C¡c Xi ëc lªp nhau.

Kþ hi»u: V ∼ χ2(n).

(b) C¡c tham sè °c tr÷ng

+ E(V ) = n.+ V ar(V ) = 2n.

(c) Ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng

Gi£ sû V ∼ χ2(n).Cho 0 < γ < 1, t¼m χ2

γ;n sao cho P (V < χ2γ;n) = γ.

Khi â, χ2γ;n ÷ñc gåi l ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng mùc x¡c su§t γ vîi bªc tü do n.

( Tra b£ng ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng)

2.4.6. Ph¥n phèi Student

(a) ành ngh¾a

lnn li¶n töc T ÷ñc gåi l câ ph¥n phèi Student vîi n bªc tü do n¸u:

T =U√n√V

trong â:

+ U ∼ N (0; 1) V ∼ χ2(n).+ U, V ëc lªp nhau.

Kþ hi»u: T ∼ T (n).

(b) C¡c tham sè °c tr÷ng

+ E(T ) = 0.+ V ar(T ) = n

n−2 .


(c) Ph¥n và Student

Gi£ sû T ∼ T (n).Cho 0 < γ < 1, t¼m tγ;n sao cho P (T < tγ;n) = γ.Khi â, tγ;n ÷ñc gåi l ph¥n và Student mùc x¡c su§t γ vîi bªc tü do n.( Tra b£ng ph¥n và Student)


1. Gi£i c¡c b i to¡n sau:

(a) Mët læ h ng gçm câ N s£n ph©m, trong â câ M s£n ph©m tèt, cán l¤i l s£n ph©mx§u. Ba ng÷íi kh¡ch h ng l¦n l÷ñt ¸n mua méi ng÷íi mët s£n ph©m b¬ng c¡chl§y ngü nhi¶n. X¡c su§t chån s£n ph©m tèt cõa ng÷íi thù nh§t, thù hai, thù bacâ kh¡c nhau khæng? T¤i sao?

(b) N¸u læ h ng câ 10 s£n ph©m , trong â câ 4 s£n ph©m x§u. Méi s£n ph©m tèt n°ng3kg, cán méi s£n ph©m x§u ch¿ n°ng 2kg. Chån ngü nhi¶n 3 s£n ph©m tø læ h ng.Gåi X l têng khèi l÷ñng 3 s£n ph©m, h¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X?

2. Câ 2 hëp nh÷ nhau méi hëp üng 10 s£n ph©m, trong â sè ph¸ ph©m câ trong méihëp l¦n l÷ñt l : 2, 3.

(a) L§y ngü nhi¶n tø méi hëp ra mët s£n ph©m. T¼m qui luªt ph¥n phèi x¡c su§tcõa sè s£n ph©m tèt câ trong 2 s£n ph©m l§y ra?

(b) Chån ngü nhi¶n mët hëp, rçi tø hëp â l§y ngü nhi¶n ra 2 s£n ph©m . Lªp b£ngph¥n phèi x¡c su§t cõa sè s£n ph©m tèt câ trong 2 s£n ph©m l§y ra?

a)

X 0 1 2P 0, 06 0, 38 0, 56

b) B£ng ppxs

X 0 1 2P 2/45 37/90 49/90

3. Câ 2 læ s£n ph©m, méi læ câ 6 s£n ph©m vîi sè ph¸ ph©m l¦n l÷ñt l 2 v 3. L§y 1 s£nph©m tø læ thù nh§t bä qua læ thù hai, sau â tø læ thù hai l§y ngü nhi¶n ra 2 s£nph©m. Gåi X l sè ph¸ ph©m trong 2 s£n ph©m l§y ra l¦n thù hai.

(a) H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X?(b) T¼m h m ph¥n phèi x¡c su§t cõa X?(c) T½nh P(0<X<4).


a) B£ng ppxs

X 0 1 2P 5/21 4/7 4/21

b)c) P (0 < X < 4) = 16/21

4. Trong ch÷ìng tr¼nh Ai l tri»u phó?, mët ng÷íi chìi ¢ v÷ñt qua c¥u häi thù 6 v câtrong tay 2 tri»u çng nh÷ng khæng cán quy·n trñ gióp n o. Ð c¥u thù 7 câ 4 ph÷ìng¡n tr£ líi trong â ch¿ câ 1 ph÷ìng ¡n óng v ng÷íi chìi ¢ chån ng¨u nhi¶n 1 ph÷ìng¡n. Theo b¤n anh ta câ n¶n chìi ti¸p khæng bi¸t r¬ng n¸u tr£ líi óng th¼ ÷ñc 3,6 tri»uçng, sai th¼ cán 1 tri»u çng; cán n¸u døng cuëc chìi th¼ v¨n giú nguy¶n 2 tri»u çng?

5. Cho LNN li¶n töc X câ h m mªt ë x¡c su§t

f(x) =

ax(x− 1), x ∈ [0; 1]

0, x /∈ [0; 1]

(a) T¼m h¬ng sè a? (-6)(b) T¼m h m ph¥n phèi x¡c su§t cõa X?(c) T½nh P(0<X<4) ? (1)

6. Cho LNN li¶n töc X câ h m ph¥n phèi x¡c su§t

F (x) =

0, x < 0

127

x2(9− 2x), 0 ≤ x ≤ 31, x > 3

(a) T½nh P(2<X<5) ? (7/27)(b) T¼m h m mªt ë x¡c su§t cõa X?

7. Cho LNN X li¶n töc câ h m mªt ë x¡c su§t

f(x) =

ax2(6− x), x ∈ [0; 6]

0, x /∈ [0; 6]

(a) T¼m h¬ng sè a?(b) T½nh P(X>2) ?

8. Cho LNN li¶n töc X câ h m mªt ë x¡c su§t

f(x) =

a(2x− 3x2), x ∈

[0; 2

3

]0, x /∈

[0; 2

3

](a) T¼m h¬ng sè a? (27/4)


(b) T½nh x¡c su§t sao cho trong 5 l¦n quan s¡t ëc lªp v· X câ óng 2 l¦n X nhªn gi¡trà trong kho£ng (1/3 , 1) ?HD: Dòng CT Bernouulli (5/16)

9. Nhu c¦u h ng n«m v· lo¤i h ng A l ¤i l÷ñng ngü nhi¶n li¶n töc X câ h m mªt ënh÷ sau: (ìn và: ng n s£n ph©m)

f(x) =

k(30− x), x ∈ [0; 30]

0, x /∈ [0; 30]

(a) T½nh k? (1/450)(b) T½nh x¡c su§t º nhu c¦u v· lo¤i h ng â khæng v÷ñt qu¡ 12 ng n s£n ph©m trong

1 n«m? (0,64)(c) T½nh nhu c¦u trung b¼nh h ng n«m v· lo¤i h ng â ? (10)

10. Tuêi thå trung b¼nh cõa mët lo¤i cæn tròng l 1 LNN X (v l th¡ng) vîi h m mªtë

f(x) =

kx2(4− x), x ∈ [0; 4]

0, x /∈ [0; 4]

(a) T½nh k ?(b) T¼m mod(X) ?(c) T½nh x¡c su§t º cæn tròng ch¸t tr÷îc khi nâ ÷ñc 1 th¡ng?

11. Bi¸t tuêi thå (t½nh b¬ng n«m) cõa 1 m¤ch i»n tû trong m¡y t½nh l ¤i l÷ñng ngünhi¶n X câ h m mªt ë x¡c su§t

f(x) =

0, x < 0ax9, 0 ≤ x < 3

a(6a−x)9

, 3 ≤ x ≤ 60, x > 6

(a) T¼m a v t½nh P (0 ≤ X ≤ 2)?(b) Gi£ sû thíi h¤n b£o h nh cõa m¤ch i»n tû n y l 2 n«m. Häi khi b¡n ra 450 m¤ch

i»n tû th¼ ph£i thay th¸ trung b¼nh bao nhi¶u m¤ch trong thíi gian b£o h nh?

12. Trong sè 20 cæng nh¥n cõa 1 cæng ty câ 12 ng÷íi câ tay ngh· kh¡. T¼m x¡c su§t ºkiºm tra ngü nhi¶n tay ngh· cõa 5 cæng nh¥n th¼ câ ½t nh§t 3 ng÷íi câ tay ngh· kh¡?

13. Bn 5 vi¶n ¤n v o 1 möc ti¶u. X¡c su§t tróng ½ch cõa méi l¦n bn nh÷ nhau v b¬ng0,2. Muèn ph¡ hõy möc ti¶u ph£i câ ½t nh§t 3 vi¶n tróng möc ti¶u.T¼m x¡c su§t möcti¶u bà ph¡ hõy? (0,058)

14. S£n ph©m xu§t x÷ðng cõa mët nh m¡y câ tîi 70% s£n ph©m lo¤i A. L§y ngü nhi¶n10 s£n ph©m.


(a) T½nh x¡c su§t º câ 8 s£n ph©m lo¤i A. (0,233)(b) N¸u muèn trung b¼nh câ tîi 15s£n ph©m lo¤i A th¼ ph£i kiºm tra bao nhi¶u s£n

ph©m ? (22)

15. Trong 1 læ h ng câ 800 s£n ph©m lo¤i I v 200 s£n ph©m lo¤i II. L§y ng¨u nhi¶n ra 5s£n ph©m theo ph÷ìng thùc câ ho n l¤i. Gåi X l sè s£n ph©m lo¤i I l§y ÷ñc.

(a) X tu¥n theo quy luªt g¼? Vi¸t biºu thùc x¡c su§t têng qu¡t cõa quy luªt.(b) T¼m E(X), Var(X)?(c) T¼m sè s£n ph©m lo¤i I trung b¼nh ÷ñc l§y ra v t½nh kh£ n«ng º x£y ra i·u â.

16. Mët gia ¼nh câ 10 ng÷íi con. Gi£ sû x¡c su§t sinh con trai con g¡i nh÷ nhau. T½nh x¡csu§t:

(a) Khæng câ con trai. (1/1024)(b) Câ 5 trai, 5 g¡i. (63/256)(c) Sè trai tø 3 ¸n 7. (57/64)(d) Sè trai ½t nh§t l 2. (1013/1024)

17. X¡c su¥t tróng sè l 1%. Méi tu¦n mua 1 v² sè. Häi ph£i mua v² sè li¶n ti¸p trong tèithiºu bao nhi¶u tu¦n º câ khæng ½t hìn 95% hy vång tróng sè ½t nh§t 1 l¦n ? (299)

18. Mët ng y câ kho£ng 10000 ng÷íi n÷îc ngo i nhªp c£nh v o VN. X¡c su§t º 1 ng÷íinhi¹m cóm A H1N1 l 0,001. T½nh x¡c su§t º trong 1 ng y câ 30 nhªp c£nh bà nhi¹mcóm A? (1, 712.10−3)

19. Mët m¤ch i»n gçm 1000 bâng ±n mc song song. X¡c su§t º méi bâng ±n bà h÷ t¤iméi thíi iºm l 0,002. T½nh x¡c su§t º t¤i mët thíi iºm.

(a) Khæng câ bâng ±n n o bà h÷.(b) Câ nhi·u hìn 3 bâng ±n bà h÷.(c) H¢y cho bi¸t sè bâng ±n bà h÷ trung b¼nh t¤i mët thíi iºm?

20. X¡c su§t bn tróng m¡y bay cõa mët kh©u sóng l 0,001. Câ 5000 kh©u bn l¶n còngmët lóc. Ng÷íi ta bi¸t r¬ng m¡y bay bà h¤ n¸u câ ½t nh§t 2 vi¶n tróng. N¸u câ 1 vi¶ntróng th¼ x¡c su§t bà h¤ l 80%. T½nh x¡c su§t º m¡y bay bà h¤?HD: Dòng CT x¡c su§t ¦y õ TH1 (0,987)

21. Mët trung t¥m b÷u i»n nhªn ÷ñc trung b¼nh 300 l¦n gåi i»n tho¤i trong mët gií.T½nh x¡c su§t º trung t¥m n y nhªn ÷ñc óng 2 l¦n gåi trong 1 phót. (0,084)

22. Trung b¼nh t¤i mët b¸n c£ng câ kho£ng 5 t u cªp b¸n trong 1 ng y b§t ký. T½nh x¡csu§t º trong 1 ng y m ta x²t câ :

(a) Khæng t u n o cªp b¸n.(b) óng 5 t u cªp b¸n.


(c) Tø 3 ¸n 7 t u cªp b¸n.(d) Câ ½t nh§t 2 t u cªp b¸n.

23. Trong 20 gi§y thæng b¡o thu¸ câ 3 gi§y mc sai sât. Nh¥n vi¶n kiºm tra l§y ngü nhi¶n5 gi§y thæng b¡o º kiºm tra.

(a) Thi¸t lªp ph¥n phèi x¡c su§t cõa sè gi§y thæng b¡o câ léi.(b) T½nh trung b¼nh v ph÷ìng sai cõa sè gi§y thæng b¡o câ léi ÷ñc kiºm tra.

24. Ba ph¥n x÷ðng còng s£n xu§t 1 lo¤i s£n ph©m. T¿ l» s£n ph©m lo¤i hai cõa c¡c ph¥nx÷ðng t÷ìng ùng l 10%, 20%, 30%. Tø læ h ng gçm 10000 s£n ph©m (trong â câ 3000s£n ph©m cõa ph¥n x÷ðng I, 4000 s£n ph©m cõa ph¥n x÷ðng II v 3000 s£n ph©m cõaph¥n x÷ðng III). Ng÷íi ta l§y ngü nhi¶n 100 s£n ph©m º kiºm tra. N¸u th§y câ khængqu¡ 24 s£n ph©m lo¤i hai th¼ nhªn læ h ng. T¼m x¡c su§t º nhªn læ h ng â? (0,8413)

25. S£n ph©m ÷ñc âng th nh hëp. Méi hëp câ 10 s£n ph©m trong â câ 7 s£n ph©m lo¤iA. Ng÷íi mua h ng quy ành c¡ch kiºm tra nh÷ sau: Tø hëp l§y ngü nhi¶n 3 s£n ph©m,n¸u th§y c£ 3 s£n ph©m ·u lo¤i A th¼ nhªn hëp â. N¸u ng÷ñc l¤i th¼ lo¤i hëp. Gi£ sûkiºm tra 100 hëp trong r§t nhi·u hëp. T½nh x¡c su§t º:

(a) Câ 25 hëp ÷ñc nhªn. (0,06)(b) Câ khæng qu¡ 30 hëp ÷ñc nhªn. (0,571)(c) Ph£i kiºm tra ½t nh§t bao nhi¶u hëp º x¡c su§t câ ½t nh§t 1 hëp ÷ñc nhªn khæng

nhä hìn 95%? (9)

26. Mët sinh vi¶n thi trc nghi»m mæn vªt lþ gçm 100 c¥u häi. Méi c¥u câ 4 ph¦n º chån,trong â ch¿ câ 1 c¥u óng. Gi£ sû sinh vi¶n ch¿ chån ngü nhi¶n c¡c ph¦n tr£ líi cõac¥u häi.

(a) T½nh x¡c su§t sao cho sinh vi¶n â tr£ líi óng 40 c¥u häi. (3, 626.10−4)

(b) T½nh x¡c su§t sao cho sinh vi¶n â tr£ líi óng tø 40 c¥u häi ¸n 60 c¥u häi.(0,0004)

(c) T½nh xem sè c¥u häi trung b¼nh m sinh vi¶n â tr£ líi óng l bao nhi¶u? (25)

27. Mët mh m¡y theo cæng thùc thi¸t k¸ s³ s£n xu§t ÷ñc 80% s£n ph©m lo¤i I. Nh÷ngtrong thüc t¸ sè s£n ph©m lo¤i I ch¿ b¬ng 90% thi¸t k¸. T½nh x¡c su§t º khi l§y ra 125s£n ph©m do nh m¡y s£n xu§t câ ½t nh§t 100 s£n ph©m lo¤i I. (0,233)

28. Trång l÷ñng tr´ so sinh l ¤i l÷ñng ngü nhi¶n X câ ph¥n phèi chu©n vîi trång l÷ñngtrung b¼nh l 3 kg. ë l»ch chu©n =0,2 kg. Bi¸t ùa tr´ sinh ra câ trång l÷ñng tèi thiºul 1,5 kg.

(a) T½nh t¿ l» tr´ sì sinh c¥n n°ng tø 3,0 kg ¸n 3,4 kg? (0,4772)(b) Tr´ sì sinh thi¸u c¥n n¸u câ trång l÷ñng nhä hìn 2,5kg. T½nh t¿ l» tr´ thi¸u c¥n?

(0,0062)


(c) Ng÷íi ta muèn câ ch¸ ë ch«m sâc °c bi»t cho 10% têng sè tr´ nhµ c¥n nh§t.T½nh trång l÷ñng tèi a cho nhúng ùa tr´ ÷ñc ch«m sâc °c bi»t? (2,744)

29. N«ng su§t lóa cõa mët vòng l ¤i l÷ñng l bi¸n ngü nhi¶n ph¥n phèi chu©n vîi trungb¼nh 50 t¤/ha v ë l»ch ti¶u chu©n 3,6 t¤/ha. T¼m x¡c su§t º khi g°t ngü nhi¶n 3thûa ruëng cõa vòng â câ 2 thûa ruëng câ n«ng su§t sai l»ch so vîi n«ng su§t trungb¼nh khæng qu¡ 0,5 t¤/ha? (0,033)

30. Tuêi thå cõa 1 s£n ph©m l 1 ¤i l÷ñng ngü nhi¶n câ ph¥n phèi chu©n vîi trung b¼nhl 11 n«m v ë l»ch ti¶u chu©n l 2 n«m.

(a) N¸u quy ành thíi gian b£o h nh l 10 n«m th¼ t¿ l» s£n ph©m ph£i b£o h nh l bao nhi¶u? (0,3084)

(b) N¸u muèn t¿ l» s£n ph©m ph£i b£o h nh l 10% th¼ ph£i quy ành thíi gian b£oh nh l bao nhi¶u? (8,44)

31. Cho X v Y l hai ¤i l÷ñng ngü nhi¶n câ b£ng ph¥n phèi x¡c su§t nh÷ sau:

X 1 2 3 Y 1 2 3P 0, 1 0, 3 0, 6 P 0, 2 0, 5 0, 3

(a) Lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa Z = X2 + Y − 2 ?(b) T½nh E(Z), E(X + 3Y ), V ar(4Z), V ar(X2) ?

32. Câ 2 hëp. Hëp 1 câ 3 bi ä v 2 bi xanh. Hëp thù 2 câ 2 bi ä v 3 bi xanh. L§y ngünhi¶n 1 bi tø hëp 1 bä sang hëp 2, sau â tø hëp 2 l§y ra 1 bi. Gåi X, Y t÷ìng ùng l sè bi ä ÷ñc l§y ra tø hëp 1 v hëp 2. Lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X+Y?B£ng ppxs cõa X+Y

X+Y 0 1 2P 4/15 13/30 9/30

Ch÷ìng 3

Têng thº & m¨u

3.1. KHI NIM

3.1.1. Têng thº (¡m æng)

L tªp hñp c¡c ph¦n tû mang d§u hi»u m ta quan t¥m.V½ dö 3.1. i·u tra v· trång l÷ñng cõa c¡c con g trong chuçng.• Têng thº: tªp hñp c¡c con g trong chuçng.

• D§u hi»u: trång l÷ñng cõa con g .V½ dö 3.2. i·u tra v· n«ng su§t lóa ð çng b¬ng sæng cûu long.• Têng thº: tªp hñp c¡c di»n t½ch lóa ð BSCL.

• D§u hi»u: n«ng su§t lóa.C¡c kþ hi»u:

• N : sè ph¦n tû cõa têng thº.

• X∗ : d§u hi»u cõa têng thº.

• xi (i = 1, . . . , k) : l gi¡ trà cõa d§u hi»u X∗ o ÷ñc tr¶n ph¦n tû cõa têng thº.

• Ni l t¦n sè cõa xi (sè ph¦n tû mang chung gi¡ trà xi).

• pi = NiN

: t¦n su§t cõa xi.

B£ng cì c§u cõa têng thº:

Gi¡ trà X∗ x1 x2 . . . xkT¦n su§t pi p1 p2 . . . pk

C¡c °c tr÷ng cõa têng thº:

• Trung b¼nh cõa têng thº: m = x1p1 + x2p2 + . . .+ xkpk.

• Ph÷ìng sai cõa têng thº: σ2 = x21p1 + x22p2 + . . .+ x2kpk −m2.

• ë l»ch ti¶u chu©n cõa têng thº: σ =√σ2.

75

76 Ch÷ìng 3. Têng thº & mü

3.1.2. Mü

Tø têng thº chån ngü nhi¶n ra n ph¦n tû º o d§u hi»u X∗, khi â ta ÷ñc 1 mü. Sè ph¦ntû cõa mü ÷ñc gåi l k½ch th÷îc mü.

• V¼ tø mü suy ra têng thº n¶n mü ph£i ¤i di»n cho têng thº v ÷ñc chån 1 c¡chkh¡ch quan.

• Câ 2 ph÷ìng ph¡p chån mü:

Chån mü câ ho n l¤i.

Chån mü khæng ho n l¤i.

3.2. MÆ HNH XC SUT CÕA TÊNG TH V MU

3.2.1. ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc v ph¥n phèi gèc

Tø têng thº chån ngü nhi¶n ra 1 ph¦n tû.°t X l gi¡ trà cõa d§u hi»u X∗ o ÷ñc tr¶n ph¦n tû ÷ñc chån.Khi â, X l 1 lnn câ ph¥n phèi x¡c su§t nh÷ sau:

X x1 x2 . . . xkP p1 p2 . . . pk

X ÷ñc gåi l lnn gèc v ph¥n phèi x¡c su§t cõa X ÷ñc gåi l ph¥n phèi gèc.

3.2.2. C¡c tham sè cõa ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc

• E(X) = x1p1 + x2p2 + . . .+ xkpk = m (trung b¼nh cõa têng thº).

• V ar(X) = x21p1 + x22p2 + . . .+ x2kpk −m2 = σ2 (ph÷ìng sai cõa têng thº).

• σ(X) =√V ar(X) = σ (ë l»ch ti¶u chu©n cõa têng thº).

3.2.3. Mü ngü nhi¶n

Tø têng thº chån ngü nhi¶n ra n ph¦n tû theo ph÷ìng thùc câ ho n l¤i.°t Xi l gi¡ trà cõa X∗ o ÷ñc tr¶n ph¦n tû thù i, i = 1 . . . n

Xi l c¡c lnn câ ph¥n phèi x¡c su§t nh÷ sau:

Xi x1 x2 . . . xkP p1 p2 . . . pk

3.2. MÆ HNH XC SUT CÕA TÊNG TH V MU 77

=⇒ Xi câ còng ph¥n phèi vîi lnn gèc X.Khi â, bë (X1, X2, . . . , Xn) ÷ñc gåi l 1 mü ngü nhi¶n, k½ch th÷îc n.Kþ hi»u: WX = (X1, X2, . . . , Xn).Gi£ sû x1, x2, . . . , xn l gi¡ trà cõa d§u hi»u X∗ o ÷ñc tr¶n n ph¦n tû ÷ñc chån. Khi

â, bë (x1, x2, . . . , xn) ÷ñc gåi l 1 mü cö thº.

V½ dö 3.3. iºm kiºm tra mæn To¡n cõa 1 lîp gçm 100 håc sinh ÷ñc cho bði b£ng sau:

iºm 3 4 5 6 7

Sè HS 25 20 40 10 5

• Chån ngü nhi¶n ra 1 håc sinh.

Gåi X l iºm mæn To¡n cõa HS ÷ñc chån.

X = 3, 4, 5, 6, 7.

X 3 4 5 6 7P 25

10020100

40100

10100

5100

Khi â, X ÷ñc gåi l lnn gèc v ph¥n phèi cõa X l ph¥n phèi gèc.

• Chån ngü nhi¶n ra 5 håc sinh º kiºm tra theo ph÷ìng thùc câ ho n l¤i.

Gåi Xi l iºm mæn To¡n cõa HS ÷ñc chån thù i, i = 1 . . . 5.

Xi = 3, 4, 5, 6, 7.

Xi 3 4 5 6 7P 25

10020100

40100

10100

5100

Khi â, bë WX = (X1, X2, X3, X4, X5) ÷ñc gåi l 1 mü ngü nhi¶n.

Gi£ sû

Håc sinh 1 ÷ñc 4 iºm.





Khi â, bë wx = (4, 6, 3, 4, 7) ÷ñc gåi l 1 mü cö thº.


3.3. THÈNG K

Gi£ sû WX = (X1, X2, . . . , Xn) l 1 mü ngü nhi¶n k½ch th÷îc n.H m G = f(X1, X2, . . . , Xn) ÷ñc gåi l 1 thèng k¶.

V½ dö 3.4. Ta câ c¡c thèng k¶ sau:G1 = X1 + 2X2 + . . .+ nXn.G2 = X1 +X2

2 .

3.3.1. Trung b¼nh mü ngü nhi¶n

G =1

n(X1 +X2 + . . .+Xn) = X

=⇒ X l 1 thèng k¶, ÷ñc gåi l trung b¼nh mü ngü nhi¶n.

• V¼ X1, X2, . . . , Xn l c¡c lnn n¶n X công l 1 lnn.

E(X) = E(X) = m (trung b¼nh têng thº).

V ar(X) = V ar(X)n

= σ2

n.

• Gi£ sû wx = (x1, x2, . . . , xn) l 1 mü cö thº, t½nh:

x =1

n(x1 + x2 + . . .+ xn)

x : trung b¼nh cõa mü cö thº.

3.3.2. Ph÷ìng sai mü ngü nhi¶n

S2 =1

n

n∑i=1

(Xi −X)2

=⇒ S2 l 1 thèng k¶, ÷ñc gåi l ph÷ìng sai mü ngü nhi¶n

• V¼ X1, X2, . . . , Xn l c¡c lnn n¶n S2 công l 1 lnn.

E(S2) = n−1nV ar(X) = n−1

nσ2.

°t S ′2 = nn−1S

2.=⇒ E(S ′2) = n

n−1E(S2) = σ2 (ph÷ìng sai têng thº).S ′2 ÷ñc gåi l ph÷ìng sai i·u ch¿nh cõa mü ngü nhi¶n.

3.4. SP XP SÈ LIU 79

• Gi£ sû wx = (x1, x2, . . . , xn) l 1 mü cö thº, t½nh:

s2 =1

n

n∑i=1

(xi − x)2

s2 : ph÷ìng sai cõa mü cö thº.s′2 =

n

n− 1s2

s′2 : ph÷ìng sai i·u ch¿nh cõa mü cö thº.

3.3.3. ë l»ch ti¶u chu©n mü ngü nhi¶n

+ S =√S2 : ë l»ch ti¶u chu©n mü ngü nhi¶n.

+ S ′ =√S ′2 : ë l»ch ti¶u chu©n i·u ch¿nh mü ngü nhi¶n.

+ s =√s2 : ë l»ch ti¶u chu©n mü cö thº.

+ s′ =√s′2 : ë l»ch ti¶u chu©n i·u ch¿nh mü cö thº.

3.3.4. Ph¥n phèi x¡c su§t cõa trung b¼nh v ph÷ìng sai mü

Gi£ sû WX = (X1, X2, . . . , Xn) l 1 mü ngü nhi¶n ÷ñc lªp tø ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gècX ∼ N (µ;σ2). Khi â:

• nX ∼ N (nµ;nσ2)

• X ∼ N (µ;σ2/n)

• U = X−µσ

√n ∼ N (0; 1).

• U = X−µS′

√n ∼ N (0; 1) khi n ≥ 30.

• T = X−µS′

√n ∼ T (n− 1) khi n < 30.

•n∑i=1

(Xi−µ)2

σ2 ∼ χ2(n).

• (n−1)S′2σ2 ∼ χ2(n− 1).

3.4. SP XP SÈ LIU

Gi£ sû wx = (x1, x2, . . . , xn) l 1 mü cö thº, ta s³ sp x¸p l¤i mü n y.


3.4.1. M¨u câ k½ch th÷îc n nhä

Sp x¸p theo t§n sè.

Gi¡ trà xi T¦n sè nix1 n1

x2 n2

. . . . . .xk nk

n1 + n2 + . . .+ nk = n

Khi â,

x =1

n

k∑i=1

xini

s2 =1

n

k∑i=1

x2ini − (x)2

s′2 =n

n− 1s2

V½ dö 3.5. o chi·u cao cõa 20 ng÷íi ta câ b£ng sè li»u: (ìn và: cm)

Chi·u cao xi T¦n sè ni150 1155 4160 1165 4170 6172 1175 3

n = 20

T½nh:

x = 165, 35s = 7, 571s′ = 7, 786

3.4.2. M¨u câ k½ch th÷îc n lîn

Sp x¸p theo kho£ng.

Gi¡ trà xi Kho£ng (x′i − x′′i ) T¦n sè nix1 x′1 − x′′1 n1

x2 x′2 − x′′2 n2

. . . . . . . . .xk x′k − x′′k nk

n1 + n2 + . . .+ nk = n

3.4. SP XP SÈ LIU 81

V½ dö 3.6. C¥n thû 400 bao g¤o (ìn và: kg), ta câ b£ng sè li»u:

Gi¡ trà xi Khèi l÷ñng (kg) T¦n sè ni15, 5 15− 16 2016, 5 16− 17 5017, 5 17− 18 5018, 5 18− 19 10019, 5 19− 20 10020, 5 20− 21 5021, 5 > 21 30

n = 400

T½nh:

x = 18, 7s = 1, 586s′ = 1, 57

Ch÷ìng 4

×îc l÷ñng c¡c tham sè cõa ¤i l÷ñng ngü nhi¶n

Gi£ sû ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc X câ tham sè θ ch÷a bi¸t.

Tø mü ngü nhi¶n WX = (X1, X2, . . . , Xn) ta ÷a ra thèng k¶ θ = θ(X1, X2, . . . , Xn) câph¥n phèi ho n to n x¡c ành º ÷îc l÷ñng cho θ.

Câ 2 ph÷ìng ph¡p ÷îc l÷ñng:

• ×îc l÷ñng iºm: ch¿ ra θ = θ0 º ÷îc l÷ñng cho θ.

• ×îc l÷ñng kho£ng: ch¿ ra kho£ng (θ1, θ2) º ÷îc l÷ñng cho θ sao cho P (θ1 < θ < θ2) =1− α vîi 1− α cho tr÷îc.

+ 1− α: ë tin cªy cõa ÷îc l÷ñng.

+ (θ1, θ2): kho£ng tin cªy hay kho£ng ÷îc l÷ñng.

+ |θ2 − θ1|: ë d i kho£ng ÷îc l÷ñng.

4.1. ×ÎC L×ÑNG IM

4.1.1. ành ngh¾a

(a) ×îc l÷ñng khæng ch»ch: Thèng k¶ θ ÷ñc gåi l ÷îc l÷ñng khæng ch»ch cõa tham sèθ n¸u E(θ) = θ.

(b) ×îc l÷ñng vúng: Thèng k¶ θ ÷ñc gåi l ÷îc l÷ñng vúng cõa tham sè θ n¸u ∀ε > 0th¼

limn→∞

P|θ − θ| < ε = 1.

(c) ×îc l÷ñng hi»u qu£: Thèng k¶ θ ÷ñc gåi l ÷îc l÷ñng hi»u qu£ cõa tham sè θ n¸u θl ÷îc l÷ñng khæng ch»ch v V ar(θ) l nhä nh§t trong lîp t§t c£ c¡c ÷îc l÷ñng khængch»ch.

83

84 Ch÷ìng 4. ×îc l÷ñng c¡c tham sè cõa ¤i l÷ñng ngü nhi¶n

4.1.2. ×îc l÷ñng trung b¼nh

Gi£ sû ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc X câ E(X) = m ch÷a bi¸t. Khi â trung b¼nh mü ngünhi¶n X l ÷îc l÷ñng khæng ch»ch v ÷îc l÷ñng vúng cõa m.

Thªt vªy, ta câ:X =

X1 +X2 + . . .+Xn

n

trong â c¡c Xi ëc lªp v câ còng ph¥n phèi vîi X n¶n E(X) = m. Do â, X l ÷îc l÷ñngkhæng ch»ch cõa m. Hìn núa,

V ar(X) =V ar(X1) + . . .+ V ar(Xn)

n2=V ar(X)

n

Theo b§t ¯ng thùc Tr¶b÷sep ta câ:

P (|X −m| > ε) = P (|X − E(X)| > ε)

≤ V ar(X)

ε2=V ar(X)

nε2

=⇒ limn→∞

P (|X −m| > ε) = 0.

Vªy X l ÷îc l÷ñng vúng cõa m.

4.1.3. ×îc l÷ñng ph÷ìng sai

Gi£ sû ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc X câ V ar(X) = σ2 ch÷a bi¸t. Khi â, ph÷ìng sai mü ngünhi¶n S2 l ÷îc l÷ñng ch»ch, cán ph÷ìng sai i·u ch¿nh mü ngü nhi¶n S ′2 l ÷îc l÷ñngkhæng ch»ch cõa σ2.

Thªt vªy, ta câ:

S2 =1

n

n∑i=1

(Xi −X)2

°t Yi = Xi −m. Khi â,

Xi −X = Yi +m− 1

n

n∑i=1

(Yi +m)

= Yi − Y

=⇒n∑i=1

(Xi −X)2 =n∑i=1

(Yi − Y )2

=∑

Y 2i − 2Y

∑Yi + nY

2

=∑

Y 2i − 2nY

2+ nY

2

=∑

Y 2i − nY

2

4.2. ×ÎC L×ÑNG KHONG 85

V¼EY 2

i = E(Xi −m)2 = V ar(Xi) = σ2

v EY

2= V ar(Y

2) =

1

n2(V ar(Y1 + . . .+ V ar(Yn) =

σ2

n

N¶n

E(S2) =1

nE

n∑i=1

(Xi −X)2

=1

n∑

EY 2i − nEY

2

=1

nnσ2 − σ2

=n− 1

nσ2 6= σ2

V¼ vªy ph÷ìng sai mü ngü nhi¶n l ÷îc l÷ñng ch»ch cõa σ2. M°t kh¡c,

S ′2 =n

n− 1S2 =⇒ E(S ′2) = σ2

Vªy ph÷ìng sai i·u ch¿nh mü ngü nhi¶n l ÷îc luñng khæng ch»ch cõa σ2.

4.2. ×ÎC L×ÑNG KHONG

4.2.1. ×îc l÷ñng trung b¼nh

Gi£ sû ¤i l÷ñng ngü nhi¶n gèc X câ E(X) = m ch÷a bi¸t.Ta ch¿ ra kho£ng (m1,m2) º ÷îc l÷ñng cho m sao cho P (m1 < m < m2) = 1 − α vîi

1− α cho tr÷îc.

4.2.1.1. Tr÷íng hñp 1:V ar(X) = σ2 ¢ bi¸t

n ≥ 30 ho°c (n < 30, X câ ph¥n phèi chu©n)

Tø mü ngü nhi¶n WX = (X1, X2, . . . , Xn) chån thèng k¶

U =X −mσ

√n ∼ N (0; 1)

Ta câ:

P (U < uα/2) = α/2P (U < u1−α/2) = 1− α/2


v¼ uα/2 = −u1−α/2 n¶nP (U < −u1−α/2) = α/2

=⇒ P (U < u1−α/2)− P (U < −u1−α/2) = 1− α⇐⇒ P (−u1−α/2 < U < u1−α/2) = 1− α

⇐⇒ P (−u1−α/2 <X −mσ

√n < u1−α/2) = 1− α

⇐⇒ P (X − u1−α/2σ√n< m < X + u1−α/2

σ√n

) = 1− α

°t

m1 = X − u1−α/2σ√n

m2 = X + u1−α/2σ√n

Khi â, P (m1 < m < m2) = 1− α n¶n (m1,m2) ch½nh l kho£ng ÷îc l÷ñng c¦n t¼m.Tâm l¤i, trong thüc h nh º l m b i to¡n ÷îc l÷ñng kho£ng, ta ph£i thüc hi»n 4 b÷îc nh÷

sau:

+ Chån thèng k¶

U =(X −m)

√n

σ∼ N (0, 1)

+ Tø m¨u cö thº, t½nh x, s, s′.

+ ë ch½nh x¡c (sai sè ÷îc l÷ñng)ε = uγ

σ√n

vîi uγ l ph¥n và chu©n mùc x¡c su§t γ = 1− α2.

+ Kho£ng ÷îc l÷ñng c¦n t¼m(x− ε;x+ ε)

vîi ë tin cªy 1− α.

V½ dö 4.1. Khèi l÷ñng s£n ph©m l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X câ ph¥n phèi chu©n vîi ë l»chchu©n σ = 1. C¥n thû 25 s£n ph©m (ìn và: kg), ta ÷ñc k¸t qu£:

Khèi l÷ñng 18 19 20 21

Sè s£n ph©m 3 5 15 2

H¢y ÷îc l÷ñng khèi l÷ñng trung b¼nh s£n ph©m vîi ë tin cªy 95% ?Gi£i:°t E(X) = m ch÷a bi¸t.Ta câ:

V ar(X) = σ2 = 1n = 25 < 30, X câ ph¥n phèi chu©n)

=⇒ ×îc l÷ñng trung b¼nh ð TH 1.


+ Chån thèng k¶

U =(X −m)

√n

σ∼ N (0, 1)

+ Tø m¨u cö thº, ta câ: x = 19, 64

+ Ta câ: 1− α = 0, 95 =⇒ α = 0, 05 =⇒ γ = 1− α2

= 0, 975.

ë ch½nh x¡c (sai sè ÷îc l÷ñng)

ε = uγσ√n

= u0,9751√25

= 1, 961

5= 0, 392

+ Kho£ng ÷îc l÷ñng c¦n t¼m

(x− ε;x+ ε) = (19, 64− 0, 392; 19, 64 + 0, 392) = (19, 248; 20, 032)

vîi ë tin cªy 95%.

4.2.1.2. Tr÷íng hñp 2: V ar(X) = σ2 ch÷a bi¸t

n ≥ 30

+ Chån thèng k¶

U =(X −m)

√n

S ′∼ N (0, 1)


+ ë ch½nh x¡c (sai sè ÷îc l÷ñng)

ε = uγs′√n




V½ dö 4.2. i·u tra 100 sinh vi¶n v· nhu c¦u sû döng m¡y t½nh cæng trong 1 ng y (ìn và:gií), ta câ b£ng sè li»u:

Sè gií 1 2 3 4

Sè sinh vi¶n 30 35 20 15


H¢y ÷îc l÷ñng thíi gian sû döng m¡y t½nh cæng trung b¼nh cõa sinh vi¶n vîi ë tin cªy95% ?

Gi£i:°t E(X) = m ch÷a bi¸t.Ta câ:

V ar(X) = σ2 ch÷a bi¸tn = 100 ≥ 30


+ Chån thèng k¶

U =(X −m)

√n

S ′∼ N (0, 1)

+ Tø m¨u cö thº, ta câ: x = 2, 2; s′ = 1, 035.

+ Ta câ: 1− α = 0, 95 =⇒ α = 0, 05 =⇒ γ = 1− α2

= 0, 975.ë ch½nh x¡c (sai sè ÷îc l÷ñng)

ε = uγσ√n

= u0,9751, 035√

100= 1, 96

1, 035

10= 0, 203


(x− ε;x+ ε) = (2, 2− 0, 203; 2, 2 + 0, 203) = (1, 997; 2, 403)


4.2.1.3. Tr÷íng hñp 3: V ar(X) = σ2 ch÷a bi¸t

n < 30 v X câ ph¥n phèi chu©n

+ Chån thèng k¶

U =(X −m)

√n

S ′∼ T (n− 1)



ε = tγ,n−1s′√n

vîi tγ,n−1 l ph¥n và student mùc x¡c su§t γ = 1− α2v bªc tü do n− 1.




V½ dö 4.3. º x¡c ành trång l÷ñng cõa c¡c bao bët m¼ b¡n ð 1 cûa h ng, ng÷íi ta c¥n thû25 bao th§y x = 49, 2 kg v s′ = 0, 5 kg. H¢y x¡c ành trång l÷ñng trung b¼nh cõa c¡c bao bëtm¼ vîi ë tin cªy 99% ?

Gi£i:°t E(X) = m ch÷a bi¸t.Ta câ:

V ar(X) = σ2 ch÷a bi¸tn = 25 < 30


+ Chån thèng k¶

U =(X −m)

√n

S ′∼ T (n− 1)

+ Tø mü cö thº, ta câ: x = 49, 2; s′ = 0, 5.

+ Ta câ: 1− α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ γ = 1− α2

= 0, 995.


ε = tγ,n−1s′√n

= t0,995;240, 5√

25= 2, 797

0, 5

5= 0, 28


(x− ε;x+ ε) = (49, 2− 0, 28; 49, 2 + 0, 28) = (48, 92; 49, 48)


4.2.2. ×îc l÷ñng t¿ l»

Gi£ sû têng thº câ 2 lo¤i ph¦n tû: câ t½nh ch§t A v khæng câ t½nh ch§t A.«t p l t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A ch÷a bi¸t. Ta s³ ch¿ ra kho£ng (p1, p2) º ÷îc l÷ñng

cho p sao cho P (p1 < p < p2) = 1− α cho tr÷îc.

+ Tø mü cö thº, t½nh f : t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A trong mü.


ε = uγ

√f(1− f)

n


+ Kho£ng ÷îc l÷ñng c¦n t¼m(f − ε; f + ε)



V½ dö 4.4. Kiºm tra ng¨u nhi¶n 100 s£n ph©m trong læ h ng th§y câ 20 ph¸ ph©m.

(a) H¢y ÷îc l÷ñng t¿ l» ph¸ ph©m cõa læ h ng vîi ë tin cªy 99% ?

(b) N¸u muèn sai sè ÷îc l÷ñng l 0,04 th¼ ë tin cªy cõa ÷îc l÷ñng l bao nhi¶u ?

(c) N¸u muèn ë tin cªy 99% v sai sè ÷îc l÷ñng l 0,04 th¼ c¦n ph£i i·u tra bao nhi¶us£n ph©m ?

Gi£i:

(a) ×îc l÷ñng t¿ l» ph¸ ph©m cõa læ h ng vîi ë tin cªy 95%.

+ Tø m¨u cö thº, f = 20100

= 0, 2.

+ Ta câ: 1− α = 0, 99 =⇒ γ = 1− α2

= 0, 995


ε = uγ

√f(1− f)

n= u0,995

√0, 2 ∗ 0, 8

100= 2, 5758

√0, 2 ∗ 0, 8

100= 0, 103


(f − ε; f + ε) = (0, 2− 0, 103; 0, 2 + 0, 103) = (0, 097; 0, 303)


(b) ε = 0, 04 =⇒ 1− α = ?Ta câ:

ε = uγ

√f(1− f)

n

=⇒ uγ = ε

√n

f(1− f)= 0, 04

√100

0, 2 ∗ 0, 8= 1

=⇒ γ = 1− α

2= 0, 841

=⇒ 1− α = 68, 2%

(c) 1− α = 99% v ε = 0, 04 =⇒ n = ?Ta câ:

ε = uγ

√f(1− f)

n

=⇒ n =(uγε

)2f(1− f) =

(2, 5758

0, 04

)2

∗ 0, 2 ∗ 0, 8

= 663, 47=⇒ n = 664


4.2.3. ×îc l÷ñng ph÷ìng sai

4.2.3.1. Tr÷íng hñp 1: Bi¸t E(X) = µ

• Chån thèng k¶

χ2 =

∑ni=1(Xi − µ)2

σ2∼ χ2(n)

• Kho£ng ÷îc l÷ñng c¦n t¼m: (σ21, σ

22) vîi

σ21 =

∑ni=1(xi − µ)2niχ2n;1−α

2

, σ22 =

∑ni=1(xi − µ)2ni

χ2n;α

2

Trong â,

+ χ2n;1−α

2l ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng vîi n bªc tü do, mùc x¡c su§t 1− α

2.

+ χ2n;α

2l ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng vîi n bªc tü do, mùc x¡c su§t α

2.

4.2.3.2. Tr÷íng hñp 2: Ch÷a bi¸t E(X)


χ2 =(n− 1)S ′2

σ2∼ χ2(n− 1)


22) vîi

σ21 =

(n− 1)s′2

χ2n−1;1−α

2

, σ22 =

(n− 1)s′2

χ2n−1;α

2

Trong â,

+ χ2n−1;1−α

2l ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng vîi n− 1 bªc tü do, mùc x¡c su§t 1− α

2.

+ χ2n−1;α

2l ph¥n và Khi - b¼nh ph÷ìng vîi n− 1 bªc tü do, mùc x¡c su§t α

2.

V½ dö 4.5. Cho bi¸t khèi l÷ñng cõa 1 lo¤i s£n ph©m l ¤i l÷ñng X câ ph¥n phèi chu©n vîiký vång E(X) = 30. C¥n thû 25 s£n ph©m ta câ k¸t qu£:

Khèi l÷ñng x1 (g) 29, 3 29, 7 30 30, 5 30, 7

Sè s£n ph©m ni 4 5 8 5 3

Vîi ë tin cªy 95%, h¢y t¼m kho£ng tin cªy cho ph÷ìng sai V ar(Y ) = σ2 ?Gi£i:Bi¸t E(X) = 30.



χ2 =

∑ni=1(Xi − µ)2

σ2∼ χ2(n)


22) vîi

σ21 =

∑ni=1(xi − µ)2niχ2n;1−α

2

=

∑ni=1(xi − 30)2niχ225;0,975

=5, 13

40, 65

= 0, 126

σ22 =

∑ni=1(xi − µ)2ni

χ2n;α

2

=

∑ni=1(xi − 30)2niχ225;0,025

=5, 13

13, 12

= 0, 391

Vªy kho£ng ÷îc l÷ñng ph÷ìng sai l (0, 126; 0, 391) vîi ë tin cªy 95%.


1. i·u tra n«ng su§t lóa tr¶n di»n t½ch 100ha ð mët vòng ta câ b£ng sè li»u sau:

N«ng su§t (t§n) 21 24 25 26 28 32 34Di»n t½ch (ha) 10 20 30 15 10 10 5

(a) ×îc l÷ñng n«ng su§t lóa trung b¼nh cõa vòng â vîi ë tin cªy 95%?(b) Muèn ë ch½nh x¡c khi ÷îc l÷ñng trung b¼nh l 0,5 t§n th¼ ë tin cªy cõa ÷îc

l÷ñng l bao nhi¶u?(c) Muèn ë tin cªy 99% v ë ch½nh x¡c khi ÷îc l÷ñng trung b¼nh l 0,7 th¼ c¦n i·u

tra bao nhi¶u di»n t½ch núa?

2. Ta muèn ÷îc l÷ñng t¿ l» vi¶n thuèc bà sùt m´ p cõa 1 m¡y ªp vi¶n A. Quan s¡t ng¨unhi¶n 150 vi¶n tø m¡y ªp â th¼ th§y câ 16 vi¶n bà sùt m´.

(a) T¼m kho£ng ÷îc l÷ñng cõa t¿ l» vi¶n thuèc bà sùt m´ ð ë tin cªy 99%?(b) N¸u muèn sai sè ÷îc l÷ñng khæng qu¡ 0,03, ð ë tin cªy 99% th¼ ph£i quan s¡t

bao nhi¶u tr÷íng hñp?

3. iºm trung b¼nh mæn to¡n cõa 100 th½ sinh dü thi v o HKT l 5 vîi ë l»ch m¨u i·uch¿nh l 2,5.

(a) ×îc l÷ñng iºm trung b¼nh mæn to¡n cõa to n thº th½ sinh vîi ë tin cªy 95%?(b) Vîi sai sè 0,25 iºm. H¢y x¡c ành ë tin cªy?

4. Tuêi thå cõa 1 lo¤i bâng ±n ÷ñc bi¸t theo quy luªt chu©n vîi ë l»ch chu©n 100 gií.


(a) Chån ngü nhi¶n 100 bâng º thû nghi»m, th§y méi bong tuêi thå trng b¼nh l 1000 gií. H¢y ÷îc l÷ñng tuêi thå trung b¼nh cõa bâng ±n x½ nghi»p A s£n xu§tvîi ë tin cªy 95%?

(b) Vîi ë ch½nh x¡c l 15 gií. H¢y x¡c ành ë tin cªy.

(c) Vîi ë ch½nh x¡c l 25 gií v ë tin cªy 95% th¼ c¦n thû nghi»m bao nhi¶u bâng?

5. Quan s¡t ngü nhi¶n 200 lå tø 1 læ thuèc, ta th§y câ 38 lå häng.

(a) T¼m kho£ng tin cªy 95% cõa t¿ l» thuèc häng cõa læ thuèc â?

(b) Vîi ë tin cªy 95% n¸u muèn sai sè ÷îc l÷ñngkhæng qu¡ 1% th¼ cï mü tèi thiºul bao nhi¶u?

6. i·u tra trång l÷ñng s£n ph©m cõa mët nh m¡y ta câ b£ng sè li»u sau:

Trång l÷ñng (kg) 300− 325 325− 350 350− 375 375− 400 400− 425 425− 450

Sè hëp (hëp) 13 17 26 34 18 2

(a) ×îc l÷ñng trång l÷ñng trung b¼nh méi hëp vîi ë tin cªy 95%?

(b) Nhúng hëp câ trång l÷ñng trung b¼nh tø 400 kg trð l¶n ÷ñc coi l lo¤i mët. ×îcl÷ñng trång l÷ñng trung b¼nh cõa hëp lo¤i mët vîi ë tin cªy 99%?

(c) ×îc l÷ñng t¿ l» hëp ¤t trång l÷ñng tø 375 kg trð l¶n vîi ë tin cªy 99%?

7. o ë d i cõa 160 chi ti¸t m¡y do mët nh m¡y s£n su§t ng÷íi ta câ b£ng sè li»u sau:

ë d i (cm) 25 35 45 55 65 75 85 95 100Sè chi ti¸t (chi¸c) 3 8 30 45 20 25 17 9 3

(a) ×îc l÷ñng kho£ng trung b¼nh ë d i chi ti¸t vîi ë tin cªy 90%?

(b) N¸u ë ch½nh x¡c ÷îc l÷ñng trung b¼nh l 1,5 cm th¼ ë tin cªy cõa ÷îc l÷ñng l bao nhi¶u?

(c) Muèn ë ch½nh x¡c ÷îc l÷ñng trung b¼nh l 2 cm, ë tin cªy 99% th¼ c¦n kiºm trabao nhi¶u s£n ph©m núa?

(d) Nhúng chi ti¸t m¡y lîn hìn 80 cm ÷ñc coi l ph¸ ph©m. ×îc l÷ñng ë d i trungb¼nh v t¿ l» ph¸ ph©m vîi ë tin cªy 98%?

8. o ÷íng k½nh cõa 110 chi ti¸t m¡y do nh m¡y A s£n xu§t ta thu ÷ñc b£ng sè li»usau:


÷íng k½nh (mm) Sè chi ti¸t (c¡i)19, 80− 19, 85 319, 85− 19, 90 1519, 90− 19, 95 1619, 95− 20, 00 2820, 00− 20, 05 2320, 05− 20, 10 1420, 10− 20, 15 720, 15− 20, 20 4

Theo quy ành nhúng chi ti¸t câ ÷íng k½nh tø 19,9 mm 20,1 mm l nhúng chi ti¸t¤t ti¶u chu©n.

(a) ×îc l÷ñng ÷íng k½nh trung b¼nh cõa chi ti¸t ¤t ti¶u chu©n vîi ë tin cªy 95%?(b) ×îc l÷ñng t¿ l» chi ti¸t ¤t ti¶u chu©n vîi ë tin cªy 95(c) Khi ÷îc l÷ñng ÷íng trung b¼nh cõa chi ti¸t ¤t ti¶u chu©n n¸u ta muèn ë ch½nh

x¡c nhä hìn 0,01mm v ë ch½nh x¡c khi ÷îc l÷ñng t¿ l» chi ti¸t ¤t ti¶u chu©n l 5% vîi còng ë tin cªy 95% th¼ c¦n i·u tra bao nhi¶u chi ti¸t?

9. K¸t qu£ quan s¡t v· h m l÷ñng vitamine C (ìn và t½nh l %) trong mët lo¤i tr¡i c¥y÷ñc cho bði b£ng sau:

H m l÷ñng vitamine C (%) Sè tr¡i6− 7 57− 8 108− 9 209− 10 3510− 11 2511− 12 5

(a) H¢y ÷îc l÷ñng v· h m l÷ñng vitamine C trung b¼nh chùa trong mët lo¤i tr¡i c¥yvîi ë tin cªy 95%?

(b) Gi£ sû nhúng tr¡i c¥y â câ h m l÷ñng vitamine C tr¶n 10% l tr¡i lo¤i mët. ×îcl÷ñng t¿ l» tr¡i lo¤i mët vîi ë tin cªy 99%?

(c) Muèn ë ch½nh x¡c khi ÷îc l÷ñng h m l÷ñng vitamine C trung b¼nh l 0,1 v ëch½nh x¡c khi ÷îc l÷ñng t¿ l» tr¡i c¥y lo¤i mët nhä hìn 5% vîi còng ë tin cªy 99%th¼ c¦n quan s¡t th¶m bao nhi¶u tr¡i núa?

10. L§y 29 m¨u xim«ng cõa mët nh m¡y º kiºm tra sùc chàu lüc R cõa s£n ph©m (ìnvà t½nh kg/cm2) ta ÷ñc c¡c sè li»u sau:13,1 12,8 12,7 13,6 13,5 13,5 12,5 14,7 13,7 14,714,5 13,7 12,8 11,5 14,1 14,0 14,7 14,2 14,0 12,212,3 14,5 14,0 15,0 14,0 12,9 11,0 14,1 14,0H¢y ÷îc l÷ñng mùc chàu lüc trung b¼nh cõa xi m«ng do nh m¡y s£n xu§t vîi ë tincªy 99%?

Ch÷ìng 5

Kiºm ành gi£ thi¸t thèng k¶

5.1. CC KHI NIM

5.1.1. Kiºm ành gi£ thi¸t thèng k¶

Gi£ sû ¤i l÷ñng ngü nhi¶n X câ tham sè θ ch÷a bi¸t.

• Ta ÷a ra gi£ thi¸t:H : θ = θ0

v gi£ thi¸t èi:

H : θ 6= θ0 (d¤ng 1)H : θ > θ0 (d¤ng 2)H : θ < θ0 (d¤ng 3)

• Tø mü ngü nhi¶n WX = (X1, X2, . . . , Xn) ta ÷a ra thèng k¶ θ = θ(X1, X2, . . . , Xn)º kiºm ành gi£ thi¸t H sao cho n¸u gi£ thi¸t H óng th¼ θ câ ph¥n phèi x¡c ành.θ ÷ñc gåi l ti¶u chu©n kiºm ành gi£ thi¸t H.

• Vîi α kh¡ b² cho tr÷îc, t¼m mi·n Wα sao cho P (θ ∈ Wα) = α.

+ Wα : mi·n b¡c bä gi£ thi¸t H.+ α : mùc þ ngh¾a cõa kiºm ành.+ 1− α : ë tin cªy cõa kiºm ành.

• Tø mü cö thº, t½nhu0 = θ(x1, x2, . . . , xn)

u0 : gi¡ trà quan s¡t cõa kiºm ành.

• K¸t luªn:

+ u0 ∈ Wα : b¡c bä gi£ thi¸t H v ch§p nhªn H.+ u0 /∈ Wα : ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.

95

96 Ch÷ìng 5. Kiºm ành gi£ thi¸t thèng k¶

5.1.2. C¡c lo¤i sai l¦m khi kiºm ành

+ Sai l¦m lo¤i 1: b¡c bä gi£ thi¸t H trong khi H óng. X¡c su§t mc sai l¦m lo¤i 1 l P (θ ∈ Wα) = α

+ Sai l¦m lo¤i 2: ch§p nhªn gi£ thi¸t H trong khi H sai.

5.2. KIM ÀNH GI THIT V TRUNG BNH

Gi£ sû LNN X câ trung b¼nh E(X) = m ch÷a bi¸t. Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : m = m0

H : m 6= m0ho°c

H : m = m0

H : m > m0ho°c

H : m = m0

H : m < m0

5.2.1. Tr÷íng hñp 1:Bi¸t V ar(X) = σ2

n ≥ 30 ho°c (n < 30, X câ ph¥n phèi chu©n)


U =(X −m0)

√n

σ

N¸u gi£ thi¸t H óng th¼ U ∼ N (0, 1).

• Mi·n b¡c bä

N¸uH : m = m0

H : m 6= m0th¼ Wα = (−∞,−u1−α

2) ∪ (u1−α

2,+∞)

N¸uH : m = m0

H : m > m0th¼ Wα = (u1−α,+∞)

N¸uH : m = m0

H : m < m0th¼ Wα = (−∞,−u1−α).

• Gi¡ trà quan s¡t

u0 =(x−m0)

√n

σ

• K¸t luªn

N¸u u0 ∈ Wα th¼ b¡c bä gi£ thi¸t H v ch§p nhªn H.

N¸u u0 /∈ Wα th¼ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.

5.2. KIM ÀNH GI THIT V TRUNG BNH 97

V½ dö 5.1. Chi·u d i cõa 1 chi ti¸t m¡y l LNN X câ ph¥n phèi chu©n vîi trung b¼nh l 10cm v ph÷ìng sai l 1 cm2. Sau mët thíi gian ho¤t ëng ng÷íi ta nghi ngíi chi·u d i chi ti¸tcâ xu h÷îng t«ng l¶n. Kiºm tra 16 chi ti¸t m¡y th§y x = 10, 1 cm. Vîi mùc þ ngh¾a α = 1%,h¢y k¸t luªn v· nghi ngíi tr¶n ?

Gi£i:°t E(X) = m l chi·u d i trung b¼nh cõa chi ti¸t m¡y sau 1 thíi gian ho¤t ëng ch÷a

bi¸t.

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành H : m = 10, 1 = m0

H : m > 10, 1

Theo · b i,Bi¸t V ar(X) = σ2 = 1

n = 16 < 30, X câ ph¥n phèi chu©n =⇒ Kiºm ành trung b¼nh ð TH 1


U =(X − 10)

√n

σ


• Mi·n b¡c bäH : m = 10, 1H : m > 10, 1

=⇒ Wα = (u1−α,+∞) = (u0,99; +∞) = (2, 3263; +∞)


u0 =(x−m0)

√n

σ=

(10, 1− 10)√

16

1= 0, 4

• K¸t luªnu0 /∈ Wα =⇒ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.

Vªy i·u nghi ngí tr¶n l sai. (vîi α = 1%)

5.2.2. Tr÷íng hñp 2: Ch÷a bi¸t V ar(X)

n ≥ 30


U =(X −m0)

√n

S ′



• Mi·n b¡c bä

N¸uH : m = m0

H : m 6= m0th¼ Wα = (−∞,−u1−α

2) ∪ (u1−α

2,+∞)

N¸uH : m = m0

H : m > m0th¼ Wα = (u1−α,+∞)

N¸uH : m = m0

H : m < m0th¼ Wα = (−∞,−u1−α).


u0 =(x−m0)

√n

s′

• K¸t luªn

N¸u u0 ∈ Wα th¼ b¡c bä gi£ thi¸t H v ch§p nhªn H. N¸u u0 /∈ Wα th¼ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.

V½ dö 5.2. ÷ñc bi¸t nhàp m¤ch trung b¼nh cõa nam thanh ni¶n l 72 l¦n/phót. Kiºm tra 64nam thanh ni¶n l m vi»c trong h¦m lá th§y nhàp m¤ch trung b¼nh l 74 l¦n/phót v s′ = 9l¦n/phót. H¢y x²t xem l m vi»c trong h¦m lá câ l m t«ng nhàp m¤ch hay khæng vîi mùc þngh¾a α = 0, 01 ?

Gi£i:°t E(X) = m l nhàp m¤ch trung b¼nh cõa nam thanh ni¶n l m vi»c trong h¦m lá ch÷a

bi¸t.

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành H : m = 72 = m0

H : m > 72

Theo · b i, Ch÷a bi¸t V ar(X)

n = 64 ≥ 30=⇒ Kiºm ành trung b¼nh ð TH 2


U =(X − 72)

√n

S ′


• Mi·n b¡c bäH : m = 72H : m > 72

=⇒ Wα = (u1−α,+∞) = (u0,99; +∞) = (2, 3263; +∞)

5.2. KIM ÀNH GI THIT V TRUNG BNH 99


u0 =(x−m0)

√n

s′=

(74− 72)√

64

9= 1, 778

• K¸t luªnu0 /∈ Wα =⇒ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.

Vªy khæng thº cho r¬ng l m vi»c trong h¦m lá l m t«ng nhàp m¤ch cõa nam thanh ni¶n.(vîi α = 1%)

5.2.3. Tr÷íng hñp 3: Ch÷a bi¸t V ar(X)

n < 30, X câ ph¥n phèi chu©n


T =(X −m0)

√n

S ′

N¸u gi£ thi¸t H óng th¼ T ∼ T (n− 1).

• Mi·n b¡c bä

N¸uH : m = m0

H : m 6= m0th¼ Wα = (−∞,−t1−α

2;n−1) ∪ (t1−α

2;n−1,+∞)

N¸uH : m = m0

H : m > m0th¼ Wα = (t1−α;n−1,+∞)

N¸uH : m = m0

H : m < m0th¼ Wα = (−∞,−t1−α;n−1).


u0 =(x−m0)

√n

s′

• K¸t luªn


V½ dö 5.3. Mët vªn ëng vi¶n nâi r¬ng: trung b¼nh 1 l¦n ©y t¤ anh ta ©y ÷ñc 13 m²t.Hu§n luy»n vi¶n kiºm tra anh ta trong 10 l¦n ©y t¤ th¼ th§y r¬ng kho£ng c¡ch trung b¼nhanh ta ©y ÷ñc l 10 m²t vîi ë l»ch ti¶u chu©n i·u ch¿nh l 3,8 m²t. Vîi α = 5%, düa tr¶nk¸t qu£ n y câ thº nâi anh ta nâi c÷íng i»u khæng ?

Gi£i:°t E(X) = m l kho£ng c¡ch trung b¼nh m vªn ëng vi¶n ©y t¤ ÷ñc (ch÷a bi¸t).


• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành H : m = 13 = m0

H : m < 13

Theo · b i, Ch÷a bi¸t V ar(X)

n = 10 < 30=⇒ Kiºm ành trung b¼nh ð TH 3


T =(X − 13)

√n

S ′

N¸u gi£ thi¸t H óng th¼ T ∼ T (n− 1).

• Mi·n b¡c bäH : m = 13H : m < 13

=⇒ Wα = (−∞;−t1−α;n−1) = (−∞;−t0,95;9) = (−∞;−1, 8331)


u0 =(x−m0)

√n

s′=

(10− 13)√

10

3, 8= −2, 497

• K¸t luªnu0 ∈ Wα =⇒ b¡c bä gi£ thi¸t H v ch§p nhªn H.

Vªy vªn ëng vi¶n n y nâi c÷íng i»u. (vîi α = 5%)

5.3. KIM ÀNH GI THIT V T L

Gi£ sû têng thº câ 2 lo¤i ph¦n tû: ph¦n tû câ t½nh ch§t A v khæng câ t½nh ch§t A.°t p l t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A ch÷a bi¸t.

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : p = p0H : p 6= p0

ho°cH : p = p0H : p > p0

ho°cH : p = p0H : p < p0


U =(f − p0)

√n√

p0(1− p0)


5.3. KIM ÀNH GI THIT V T L 101

• Mi·n b¡c bä

N¸uH : p = p0H : p 6= p0

th¼ Wα = (−∞,−u1−α2) ∪ (u1−α

2,+∞)

N¸uH : p = p0H : p > p0

th¼ Wα = (u1−α,+∞)

N¸uH : p = p0H : p < p0

th¼ Wα = (−∞,−u1−α).


u0 =(f − p0)

√n√

p0(1− p0), (q0 = 1− p0)

• K¸t luªn


V½ dö 5.4. Mët b»nh g¥y tû vong 20%. Dòng ph÷ìng ph¡p A i·u trà ng¨u nhi¶n cho cho 40ng÷íi, câ 4 ng÷íi tû vong. Vîi sè li»u n y câ õ k¸t luªn ph÷ìng ph¡p A câ hi»u qu£ ch÷a ?(vîi mùc þ ngh¾a α = 1%).

Gi£i:°t p l t¿ l» tû vong sau khi sû döng ph÷ìng ph¡p i·u trà A ch÷a bi¸t.

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : p = 20% = p0H : p < 20%


U =(f − p0)

√n√

p0(1− p0)


• Mi·n b¡c bäH : p = 20%H : p < 20%

=⇒ Wα = (−∞,−u1−α) = (−∞;−u0,99) = (−∞;−2, 3263)

• Gi¡ trà quan s¡tf = 0, 1

=⇒ u0 =(f − p0)

√n√

p0(1− p0)=

(0, 1− 0, 2)√

40√0, 2 ∗ 0, 8

= −1, 581

• K¸t luªn:u0 /∈ Wα =⇒ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.Vªy khæng thº cho r¬ng ph÷ìng ph¡p i·u trà A câ hi»u qu£.


5.4. KIM ÀNH GI THIT V PH×ÌNG SAI

Gi£ sû LNN X câ ph¥n phèi chu©n vîi ph÷ìng sai V ar(X) = σ2 ch÷a bi¸t

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : σ2 = σ2

0

H : v 6= σ20

ho°cH : σ2 = σ2

0

H : σ2 > σ20

ho°cH : σ2 = σ2

0

H : σ2 < σ20


χ2 =(n− 1)S ′2

σ2


• Mi·n b¡c bä

N¸uH : σ2 = σ2

0

H : σ2 6= σ20

th¼ Wα = (−∞,−χ2n−1;α

2) ∪ (χ2

n−1;1−α2,+∞)

N¸uH : σ2 = σ2

0

H : σ2 > σ20

th¼ Wα = (χ2n−1;1−α,+∞)

N¸uH : σ2 = σ2

0

H : σ2 < σ20

th¼ Wα = (−∞,−χ2α).


χ20 =

(n− 1)s′2

σ20

• K¸t luªn

N¸u χ20 ∈ Wα th¼ b¡c bä gi£ thi¸t H v ch§p nhªn H.

N¸u χ20 /∈ Wα th¼ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.

5.5. KIM ÀNH GI THIT V SÜ BNG NHAU CÕA HAITRUNG BNH

Gi£ sû 2 LNN X, Y câ trung b¼nh E(X), E(Y ) ch÷a bi¸t.

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : E(X) = E(Y )H : E(X) 6= E(Y )

ho°cH : E(X) = E(Y )H : E(X) > E(Y )

ho°cH : E(X) = E(Y )H : E(X) < E(Y )

• Mi·n b¡c bä

5.5. KIM ÀNH GI THIT V SÜ BNG NHAU CÕA HAI TRUNG BNH 103

N¸uH : E(X) = E(Y )H : E(X) 6= E(Y )

th¼ Wα = (−∞,−u1−α2) ∪ (u1−α

2,+∞)

N¸uH : E(X) = E(Y )H : E(X) > E(Y )

th¼ Wα = (u1−α,+∞)

N¸uH : E(X) = E(Y )H : E(X) < E(Y )

th¼ Wα = (−∞,−u1−α).


Bi¸t V ar(X), V ar(Y ) :

u0 =x− y√

V ar(X)m

+ V ar(Y )n

Ch÷a bi¸t V ar(X), V ar(Y ) :

u0 =x− y√s′2xm

+s′2yn

Trong â, m,n t÷ìng ùng l k½ch th÷îc m¨u cõa X, Y .

• K¸t luªn


V½ dö 5.5. Thèng k¶ ghi l¤i trång l÷ñng tr´ sì sinh cõa b² trai v b² g¡i nh÷ sau:

Trång l÷ñng 2, 4− 2, 6 2, 6− 2, 8 2, 8− 3, 0 3, 0− 3, 2 3, 2− 3, 4 3, 4− 3, 6 3, 6− 3, 8(kg)

B² trai 1 2 3 6 16 4 4

B² g¡i 1 2 8 11 15 2 2

Vîi α = 5%, h¢y so s¡nh trång l÷ñng trung b¼nh cõa b² trai v b² g¡i ?Gi£i:°t E(X), E(Y ) l¦n l÷ñt l trång l÷ñng trung b¼nh cõa b² trai v b² g¡i (ch÷a bi¸t).

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : E(X) = E(Y )H : E(X) 6= E(Y )

• Mi·n b¡c bä

Wα = (−∞,−u1−α2) ∪ (u1−α

2,+∞) = (−∞;−u0,975) ∪ (u0,975; +∞)

= (−∞;−1, 96) ∪ (1, 96; +∞)


• Gi¡ trà quan s¡t: Ch÷a bi¸t V ar(X), V ar(Y ) :

u0 =x− y√s′2xm

+s′2yn

=3, 244− 3, 149√

0,07936

+ 0,06441

= 1, 55

• K¸t luªnu0 /∈ Wα th¼ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.Vªy trång l÷ñng trung b¼nh cõa b² trai v b² g¡i l nh÷ nhau (α = 5%).

5.6. KIM ÀNH GI THIT V SÜ BNG NHAU CÕA HAIT L

Gi£ sû têng thº 1 v têng thº 2 câ t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A l¦n l÷ñt l p1 v p2 ch÷a bi¸t.

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : p1 = p2H : p1 6= p2

ho°cH : p1 = p2H : p1 > p2

ho°cH : p1 = p2H : p1 < p2

• Mi·n b¡c bä

N¸uH : p1 = p2H : p1 6= p2

th¼ Wα = (−∞,−u1−α2) ∪ (u1−α

2,+∞)

N¸uH : p1 = p2H : p1 > p2

th¼ Wα = (u1−α,+∞)

N¸uH : p1 = p2H : p1 < p2

th¼ Wα = (−∞,−u1−α).


Bi¸t p0 : t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A chung cõa 2 têng thº.

u0 =f1 − f2√

p0(1− p0)( 1n1

+ 1n2

)

Ch÷a bi¸t p0, thay th¸ p0 bði p∗ : t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A chung cõa 2 m¨u.

u0 =f1 − f2√

p∗(1− p∗)( 1n1

+ 1n2

)

Trong â,


∗ n1, n2 l k½ch th÷îc mü thù 1 v thù 2.∗ f1, f2 l t¿ l» ph¦n tû câ t½nh ch§t A trong mü thù 1 v thù 2.∗ p∗ = n1f1+n2f2

n1+n2

• K¸t luªn


V½ dö 5.6. Gi£ sû 2 læ h ng câ r§t nhi·u s£n ph©m, ng÷íi ta kiºm tra b¬ng c¡ch: tø læ I l§yra 150 s£n ph©m th¼ th§y câ 18 s£n ph©m häng; tø læ II l§y ra 250 s£n ph©m th¼ th§y câ 20s£n ph©m häng. Häi ch§t l÷ñng s£n ph©m ð 2 læ câ nh÷ nhau khæng ? K¸t luªn vîi α = 1%.

Gi£i:Gåi p1 v p2 l¦n l÷ñt l t¿ l» s£n ph©m häng cõa læ I v læ II (ch÷a bi¸t).

• Ta ÷a ra b i to¡n kiºm ành nh÷ sau:H : p1 = p2H : p1 6= p2

• Mi·n b¡c bä

Wα = (−∞,−u1−α2) ∪ (u1−α

2,+∞) = (−∞,−u0,995) ∪ (u0,995,+∞)

= (−∞;−2, 5758) ∪ (2, 5758; +∞)

• Gi¡ trà quan s¡tp∗ =

n1f1 + n2f2n1 + n2

=18 + 20

150 + 250= 0, 095

=⇒ u0 =f1 − f2√

p∗(1− p∗)( 1n1

+ 1n2

)=

18150− 20

250√0, 095 ∗ 0, 905 ∗ ( 1

150+ 1

250)

= 1, 321

• K¸t luªn u0 /∈ Wα =⇒ ch§p nhªn gi£ thi¸t H v b¡c bä H.Vªy ch§t l÷ñng s£n ph©m cõa 2 læ h ng l nh÷ nhau (α = 1%).


1. Bi¸t chi·u cao trung b¼nh cõa ng÷íi VN l lnn X ∼ N(µ; 100). Câ t i li»u cho bi¸tchi·u cao trung b¼nh l µ0 = 160 cm.Ta quan s¡t ngü nhi¶n mët mü 80 ng÷íi, t½nh ÷ñc trung b¼nh l x = 162 cm. Vîimùc þ ngh¾a 5%, câ thº cho r¬ng gi¡ trà cho bi¸t th§p hìn thüc t¸ khæng ?


2. Mët vªn ëng vi¶n nâi r¬ng: trung b¼nh mët l¦n ©y t¤ anh ta ©y ÷ñc 13 m²t. Hu§nluy»n vi¶n kiºm tra anh ta trong trong 10 l¦n ©y t¤ th¼ th§y r¬ng kho£ng c¡ch anh ta©y ÷ñc trung b¼nh l 10 m²t vîi ë l»ch ti¶u chu©n i·u ch¿nh l 3,8 m²t. Vîi =5%,düa tr¶n k¸t qu£ n y câ thº nâi anh ta nâi c÷íng i»u khæng?

3. Mùc quy ành cho méi gâi b¡nh ÷ñc âng gâi tü ëng l 225 g. Kiºm tra ngü nhi¶n81 gâi th§y khèi l÷ñng trung b¼nh l 210g v s'=36g. Vîi sè li»u n y câ thº cho r¬ngkhèi l÷ñng thüc t¸ cõa méi gâi b¡nh th§p hìn mùc quy ành hay khæng? K¸t luªn vîimùc þ ngh¾a α = 0, 01 ?

4. ÷ñc bi¸t nhàp m¤ch trung b¼nh cõa nam thanh ni¶n l 72 l¦n/phót. Kiºm tra 64 thanhni¶n l m vi»c trong h¦m lá th§y nhàp m¤ch trung b¼nh l 74 l¦n/phót v s'=9 l¦n/phót.H¢y x²t xem l m vi»c trong h¦m lá câ l m t«ng nhàp m¤ch hay khæng vîi mùc þ ngh¾aα = 0, 01 ?

5. T¿ l» mc b»nh A ð mët àa ph÷ìng l 5%. Trong mët l¦n kiºm tra sùc khäe ngü nhi¶ncho 300 ng÷íi th§y câ 24 ng÷íi mc b»nh A. Vîi mùc þ ngh¾a =5% câ thº cho r¬ng t¿l» ng÷íi b»nh A câ xu h÷îng t«ng l¶n khæng?

6. Mët b»nh g¥y tû vong 20%. Dòng ph÷ìng ph¡p A i·u trà ngü nhi¶n 40 ng÷íi, câ 4ca tû vong. Vîi sè li»u n y câ õ k¸t luªn ph÷ìng ph¡p A câ hi»u qu£ ch÷a? (vîi mùcþ ngh¾a α = 1%).

7. T¿ l» ph¸ ph©m cõa nh m¡y tr÷îc ¥y l 5%. N«m nay nh m¡y ¡p döng bi»n ph¡pc£i ti¸n kÿ thuªt mîi. º nghi¶n cùu t¡c döng cõa bi»n ph¡p mîi n y ng÷íi ta l§y mëtmü gçm 800 s£n ph©m kiºm tra th¼ th§y câ 24 ph¸ ph©m.

(a) Vîi mùc þ ngh¾a =0,01. B¤n h¢y cho bi¸t k¸t luªn cõa bi»n ph¡p c£i ti¸n tr¶n?(b) N¸u nh m¡y b¡o c¡o t¿ l» ph¸ ph©m sau khi c£i ti¸n kÿ thuªt ¢ gi£m xuèng cán

2% vîi ë tin cªy 95% th¼ câ ch§p nhªn ÷ñc hay khæng?

8. C¥n thû 144 tr¡i c¥y ng÷íi ta thu ÷ñc k¸t qu£ sau:

Khèi l÷ñng (g) Sè tr¡i9, 5− 11, 5 1511, 5− 13, 5 1913, 5− 15, 5 2315, 5− 17, 5 3117, 5− 19, 5 2919, 5− 21, 5 2121, 5− 23, 5 6

(a) ×îc l÷ñng trång l÷ñng trung b¼nh tr¡i c¥y vîi ë tin cªy 95%?(b) N¸u cho r¬ng trång l÷ñng trung b¼nh tr¡i c¥y trong kho£ng (15,639g-16,639g) th¼

ë tin cªy cõa ÷îc l÷ñng n y l bao nhi¶u?(c) Nhúng tr¡i c¥y câ trång l÷ñng tø 19,5 kg trð l¶n l lo¤i tèt. H¢y ÷îc l÷ñng trång

l÷ñng trung b¼nh tr¡i c¥y lo¤i tèt vîi ë tin cªy 99%?


(d) Gåi p l t¿ l» tr¡i c¥y lo¤i tèt. Vîi mùc þ ngh¾a α = 1%, h¢y kiºm ành gi£ thi¸t:

H : p = 20% v H : p 6= 20%.

9. Gi£ sû sùc n°ng cõa ng÷íi n æng X(kg) ∼ N(µ1; 60, 84), sùc n°ng cõa ng÷íi phö núY (kg) ∼ N(µ1; 60, 84). Quan s¡t sùc n°ng cõa mët sè ng÷íi trong d¥n sè ng÷íi ta ghinhªn ÷ñc k¸t qu£ sau:

Sùc n°ng (kg) n æng Phö nú40− 45 3 545− 50 8 950− 55 12 1455− 60 15 1560− 65 14 1265− 70 10 770− 75 6 1

Häi sùc n°ng trung b¼nh cõa ng÷íi n æng câ lîn hìn sùc n°ng trung b¼nh cõa phö nútrong d¥n sè hay khæng? (vîi α = 5%).

10. Trong mët cuëc th«m dá tr÷îc b¦u cû, 40 trong sè 100 cû tri ÷ñc häi cho bi¸t r¬nghå s³ bä phi¸u cho æng A. Mët tu¦n sau, mët cuëc th«m dá d÷ luªn kh¡c l¤i ÷ñc ti¸nh nh cho th§y câ 68 tr¶n têng sè 150 ng÷íi ÷ñc häi õng hë æng A. Vîi mùc þ ngh¾a5% , câ thº cho r¬ng t¿ l» cû tri bä phi¸u cho æng A câ t«ng l¶n khæng ?

11. Gi£ sû hai læ h ng câ r§t nhi·u s£n ph©m, ng÷íi ta kiºm tra b¬ng c¡ch: tû læ I l§y ra150 s£n ph©m th¼ th§y câ 18 s£n ph©m häng, læ II l§y ng¨u nhi¶n 250 s£n ph©m th¼th§y câ 20 s£n ph©m häng. Häi ch§t l÷ñng s£n ph©m ð hai læ câ nh÷ nhau khæng? K¸tluªn vîi α = 1%.

12. Thèng k¶ ghi l¤i trång l÷ñng tr´ sì sinh cõa b² trai v b² g¡i nh÷ sau:

Trång l÷ñng (kg) Trai G¡i2, 4− 2, 6 1 12, 6− 2, 8 2 22, 8− 3, 0 3 83, 0− 3, 2 6 113, 2− 3, 4 16 153, 4− 3, 6 4 23, 6− 3, 8 4 23, 8− 40 1 1

Vîi α = 5%, h¢y so s¡nh trång l÷ñng trung b¼nh cõa b² trai v b² g¡i.

13. Th«m dá 200 ng÷íi câ hót thuèc l¡ th§y câ 28 ng÷íi bà K phêi, 170 ng÷íi khæng hótthuèc l¡ th§y câ 12 ng÷íi bà K phêi. H¢y so s¡nh t¿ l» K phêi khi câ v khæng câ hótthuèc l¡. (cho α = 1%)


14. Gi£ sû trong d¥n sè câ 150 tr´ sì sinh ð th nh phè câ100 ch¡u n°ng hìn 3000g, cántrong sè 200 tr´ sì sinh ð næng thæn câ 98 ch¡u n°ng hìn 3000g. Câ thº k¸t luªn t¿l» tr´ sì sinh câ trång l÷ñng tr¶n 3000g ð th nh phè lîn hìn ð næng thæn hay khæng?(α = 5%).

5.8. C¡c biºu b£ng v 1 sè · thi m¨u

T i li»u tham kh£o

[1] B i gi£ng X¡c su§t thèng k¶ A, Tr¦n V«n Lþ, ¤i håc C¦n thì 2006.

[2] B i gi£ng X¡c su§t thèng k¶ B, Vã V«n T i, ¤i håc C¦n thì 2004.

[3] Mð ¦u v· lþ thuy¸t X¡c su§t v ùng döng, °ng Hòng Thng, NXB GD, 2008.

[4] Thèng k¶ v ùng döng, °ng Hòng Thng, NXB GD, 2009.

[5] Lþ thuy¸t X¡c su§t thèng k¶, L¶ Kh¡nh Luªn - Nguy¹n Thanh Sìn, H Kinh t¸ TpHCM2009.

[6] Lþ thuy¸t X¡c su§t thèng k¶, inh V«n Gng, NXB GD, 2008.

109

245

CÁC BẢNG PHỤ LỤC Phụ lục 1. Bảng giá trị tích phân Laplace

x

dtt

x0

2

2exp

2

1)(

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0000 0389 0793 1179 1554 1915 2257 2580 2881 3159 3413 3643 3849 4032 4192 4332 4452 4554 4641 4713 4772 4821 4861 4893 4918 4938 4953 4962 4974 4981 49865 49903 49931 49952 49966 49977 49984 49989 49993 49995

0040 0438 0832 1217 1591 1950 2291 2611 2910 3186 3438 3665 3869 4049 4207 4345 4463 4564 4649 4719 4778 4826 4864 4896 4920 4940 4955 4966 4975 4982 49869 49906 49934 49953 49967 49978 49985 49990 49993 49995

0080 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 4573 4656 4726 4783 4830 4868 4898 4922 4941 4956 4967 4976 4982

49874 49909 49936 49955 49969 49978 49985 49990 49993 49996

0120 0517 0910 1293 1664 2019 2357 2673 2967 3238 3485 3708 3907 4082 4236 4370 4484 4582 4664 4732 4788 4834 4871 4901 4925 4943 4957 4968 4977 4983

49878 49912 49938 49957 49970 49979 49986 49990 49994 49996

0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2703 2995 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 4793 4838 4875 4904 4927 4945 4959 4969 4977 4984

49882 49915 49940 49958 49971 49980 49986 49991 49994 49996

0199 0396 0987 1368 1736 2088 2422 2734 3023 3289 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 4793 4838 4875 4904 4927 4945 4959 4969 4977 4984 49882 49915 49940 49958 49971 49980 49986 49991 49994 49996

0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 4803 4846 4881 4909 4931 4948 4961 4971 4979 4985 49889 49921 49924 49961 49973 49982 49987 49992 49994 49996

0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 4808 4850 4884 4911 4932 4949 4962 4972 4979 4985 49893 49924 49946 49962 49974 49982 49988 49992 49995 49996

0319 0714 1103 1480 1844 2190 2517 2823 3106 3365 3599 3810 3997 4162 4306 4429 4535 4625 4699 4761 4812 4854 4887 4913 4934 4951 4963 4973 4980 4986 49897 49926 49948 49964 49975 49983 49988 49992 49995 49997

0350 0753 1141 1517 1879 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 5633 4706 4767 4817 4857 4890 4916 4936 4952 4964 4974 4981 4986 49900 49929 49950 49965 49976 49984 49989 49993 49995 49997

246

Phụ lục 2. Bảng phân vị chuẩn tắc z

z

dtt

)2

exp(2

1 2

z

z z

z

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,000

0,025

0,030

0,075

0,100

0,126

0,151

0,176

0,202

0,228

0,253

0,279

0,305

0,332

0,358

0,385

0,412

0,440

0,468

0,496

0,524

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,553

0,583

0,613

0,643

0,674

0,706

0,739

0,772

0,806

0,842

0,878

0,915

0,954

0,994

1,036

1,080

1,126

1,175

1,227

1,282

1,341

0,92

0,93

0,94

0,95

0,955

0,960

0,965

0,966

0,967

0,968

0,969

0,970

0,971

0,972

0,973

0,974

0,975

0,976

0,977

0,978

0,979

1,405

1,476

1,555

1,645

1,695

1,751

1,812

1,825

1,837

1,852

1,866

1,881

1,896

1,911

1,927

1,943

1,960

1,977

1,995

2,014

2,034

0,980

0,981

0,982

0,983

0,984

0,985

0,986

0,987

0,988

0,989

0,990

0,991

0,992

0,993

0,994

0,995

0,996

0,997

0,998

0,999

2,054

2,075

2,097

2,120

2,144

2,170

2,197

2,226

2,257

2,290

2,326

2,366

2,409

2,457

2,512

2,576

2,652

2,748

2,878

3,090

247

Phụ lục 3. Bảng phân vị Khi bình phương bậc tự do n, mức xác suất

n

0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50

100

0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,314 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,343 8,034 8,543 9,260 9,886

10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 20,707 27,991 67,328

0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,930 22,164 29,707 70,065

0,001 0,0151 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 5,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591

10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 24,433 32,307 74,222

0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,322 3,940 4,575 5,226 5,982 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390

10,117 10,851 11,591 12,388 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 26,509 24,754 77,929

3,841 5,911 7,815 9,488

10,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 55,578 67,505 124,34

5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 5,342 71,420 129,56

6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,758 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 63,691 76,154 135,80

7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,995 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 63,672 66,766 79,490 140,16

248

Phụ lục 4. Bảng phân vị Student bậc tự do n, mức xác suất

n

0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 +

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,719 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,861 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

63,675 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576

66,619 22,326 10,213 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,232 3,160 3,090

249

Phụ lục 5.1. Bảng phân phối Fisher với = 0,01

Bậc tự do của mẫu số (m)

Bậc tự do của tử số (n)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40

3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55

5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87

7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81

9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85

11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30

13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94

15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69

17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51

19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37

21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26

23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17

25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09

27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03

29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98

40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63

120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47

6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32

250

Phụ lục 5.1. Bảng phân phối Fisher với = 0,01 (tiếp theo)



11 12 15 20 24 30 40 60 120

1 6083 6107 6157 6209 6234 6260 6286 6313 6340 2 99,41 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49

3 27,13 27,05 26,87 26,69 26,60 26,50 26,41 26,32 26,22 4 14,45 14,37 14,20 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56

5 9,96 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 6 7,79 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97

7 6,54 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 8 5,73 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95

9 5,18 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 10 4,77 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00

11 4,46 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 12 4,22 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45

13 4,02 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 14 3,86 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09

15 3,73 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 16 3,62 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84

17 3,52 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 18 3,43 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66

19 3,36 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 20 3,29 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52

21 3,24 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 22 3,18 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40

23 3,14 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 24 3,09 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31

25 3,06 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 26 3,02 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23

27 2,99 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 28 2,96 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17

29 2,93 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 30 2,91 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11

40 2,73 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 60 2,56 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73

120 2,40 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53

2,25 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32

251

Phụ lục 5.2. Bảng phân phối Fisher với = 0,05



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161,5 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 2 18,51 19,49 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75

13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49

17 4,45 3,69 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41

19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30

23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22

27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19

29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99

120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91

3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83

252

Phụ lục 5.2: Bảng phân phối Fisher với = 0,05 (tiếp theo)


Bậc tự do của tử số (n) 11 12 15 20 24 30 40 60 120

1 243 244 246 248 249 250 251 252 253 2 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 3 8,76 8,74 8,70 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 4 5,94 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5 4,70 4,68 4,62 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 6 4,03 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 7 3,60 3,57 3,51 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 8 3,31 3,28 3,22 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 9 3,10 3,07 3,01 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75

10 2,94 2,91 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 11 2,82 2,79 2,72 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 12 2,72 2,69 2,62 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 13 2,63 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 14 2,57 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 15 2,51 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 16 2,46 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 17 2,41 2,38 2,31 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 18 2,37 2,34 2,27 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 19 2,34 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 20 2,31 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 21 2,28 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 22 2,26 2,23 2,15 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 23 2,24 2,20 2,13 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 24 2,22 2,18 2,11 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 25 2,20 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 26 2,18 2,15 2,07 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 27 2,17 2,13 2,06 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 28 2,15 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 29 2,14 2,10 2,03 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 30 2,13 2,09 2,01 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 40 2,04 2,00 1,92 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 60 1,95 1,92 1,84 1,75 1,70 1,65 1,59 1,53 1,47 120 1,87 1,83 1,75 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35

1,79 1,75 1,67 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22

253

Phụ lục 6.1: Bảng phân vị Hartley với = 0,01

Phụ lục 6.2: Bảng phân vị Hartley với = 0,05

k df

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 199 448 729 1036 1362 1705 2063 2432 2813 3204 3605 3 47,5 85 120 151 184 216 249 281 310 337 361 4 23,2 37 49 59 69 79 89 97 106 113 120 5 14,9 22 28 33 38 42 46 50 54 57 60 6 11,1 15,5 19,1 22 25 27 30 32 34 36 37 7 8,89 12,1 14,5 16,5 18,4 20 22 23 24 26 27 8 7,50 9,9 11,7 13,2 14,5 15,8 16,9 17,9 18,9 19,8 21 9 6,54 8,5 9,9 11,1 12,1 13,1 13,9 14,7 15,3 16,0 16,6 10 5,85 7,4 8,6 9,6 10,4 11,1 11,8 12,4 12,9 13,4 13,9 12 4,91 6,1 6,9 7,6 8,2 8,7 9,1 9,5 9,9 10,2 10,6 15 4,07 4,9 5,5 6,0 6,4 6,7 7,1 7,3 7,5 7,8 8,0 20 3,32 3,8 4,3 4,6 4,9 5,1 5,3 5,5 5,6 5,8 5,9 30 2,63 3,0 3,3 3,4 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 60 15,96 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 2,7 2,7 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

k df

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 39,0 87,5 142 202 266 333 403 475 550 626 704 3 15,4 27,8 39,2 50,7 620 72,9 83,5 93,9 104 114 124 4 9,60 15,5 20,6 25,2 29,5 33,6 37,5 41,1 44,6 48,0 51,4 5 7,15 10,8 13,7 16,3 18,7 20,8 22,9 24,7 26,5 28,2 29,9 6 5,82 8,38 10,4 12,1 13,7 15,0 15,3 17,5 18,6 19,7 20,7 7 4,99 6,94 8,44 9,70 10,8 11,8 12,7 13,5 14,3 15,1 158 8 4,43 6,00 7,18 8,12 9,03 9,78 10,5 11,1 11,7 12,2 12,7 9 4,03 5,34 6,31 7,11 7,80 8,41 8,95 9,45 9,91 10,3 10,7 10 3,72 4,85 5,67 6,34 6,92 7,42 7,87 8,28 8,66 9,01 9,34 12 3,28 4,16 4,79 5,30 5,72 6,09 6,42 6,72 7,00 7,25 7,48 15 2,86 3,54 4,01 4,37 4,68 4,95 5,19 5,40 5,59 5,77 5,93 20 2,46 2,95 3,29 3,54 3,76 3,94 4,10 4,24 4,37 4,49 4,59 30 2,07 2,40 2,61 2,78 2,91 3,02 3,12 3,21 3,29 3,36 3,39 60 167 1,85 1,96 2,04 2,11 2,17 2,22 2,26 2,30 2,33 2,36 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

B i gi£ng X C SU T THÈNG K€¦ · Ch÷ìng 1 ành ngh¾a x¡c su§t & c¡c cæng thùc t½nh...

Documents

Transcript of B i gi£ng X C SU T THÈNG K€¦ · Ch÷ìng 1 ành ngh¾a x¡c su§t & c¡c cæng thùc t½nh...