Algebra Boo Le

1Escuela Politcnica Superior

Tema 5:Tema 5:lgebra de lgebra de BooleBoole

Funciones LFunciones Lgicasgicas

Escuela Politcnica SuperiorIngeniera Informtica

Universidad Autnoma de Madrid


OBJETIVOS

Conocer el lgebra de Boole, sus teoremas y las funciones lgicas

Comprender su aplicacin a los circuitos digitales

Bibliografa Tema 5:- Fundamentos de Sistemas Digitales. T. L. FLOYD.

(Prentice Hall, 2000). Caps. 1, 3 y 4.

lgebra de lgebra de BooleBoole. Funciones L. Funciones Lgicasgicas

TEMA 5: LGEBRA DE BOOLE. FUNCIONES LGICAS

5.1 Variables LgicasVariables y funciones lgicas. Teoremas del lgebra booleana.Funciones lgicas bsicas.

5.2 Funciones LgicasForma cannica de una funcin lgica. Maxterms y Minterms.Simplificacin de funciones.Diagramas de Karnaugh.


Magnitudes AnalMagnitudes Analgicas y Digitalesgicas y Digitales- Los circuitos electrnicos se dividen en dos categoras: digitales y

analgicos.- La electrnica digital utiliza magnitudes digitales que toman valores

discretos.- La electrnica analgica emplea magnitudes analgicas que toman valores

continuos.- En las aplicaciones electrnicas, los datos digitales se pueden procesar de

forma ms fiable que los datos analgicos. Cuando es necesario su almacenamiento, el ruido (fluctuaciones de tensin no deseadas) no afecta a las seales digitales tanto como a las seales analgicas.

Grfica de una funcin analgica (temperatura en funcin del tiempo)

Representacin de los valores muestreados (cuantificacin) de la magnitud analgica temperatura. Cada valor representado por un punto puede digitalizarse, representndolo como un cdigo digital que consta de una serie de 1s y 0s.


- La informacin binaria que manejan los sistemas digitales aparece en forma de seales digitales que representan secuencias de bits.

- Cuando la seal est a nivel ALTO, se representa con 1 binario, mientras que si la seal est a nivel BAJO, lo indica un 0 binario.

- Cada bit dentro de una secuencia ocupa un intervalo de tiempo definido denominado periodo del bit.

- En los sistemas digitales, todas las seales se sincronizan con una seal de temporizacin bsica de reloj.

- El reloj es una seal peridica en la que cada intervalo entre impulsos (el periodo) equivale a la duracin de 1 bit.

SeSeales Digitalesales Digitales

Ejemplo de una seal de reloj sincronizada con la seal A


Variables y Funciones LVariables y Funciones Lgicas gicas Variable Lgica- Representa un suceso o magnitud que toma valores entre dos

posibles.- Los dos valores son excluyentes entre ellos.- Los dos valores se expresan mediante proposiciones.- Las proposiciones se pueden clasificar como verdaderas o como

falsas. Funciones Lgicas- Cuando se combinan proposiciones se forman funciones lgicas o

proposiciones lgicas. - Por ejemplo: si la bombilla no est fundida y el interruptor est

dado, la luz est encendida.- Las dos primeras proposiciones son las condiciones de las que

depende la proposicin la luz est encendida. sta es cierta slo si las dos primeras lo son.

- Por tanto, una funcin lgica calcula el valor de una variable (dependiente) a partir de otra u otras variables (independientes).


Variables y Funciones LVariables y Funciones Lgicas gicas lgebra de Boole

- Hacia 1850, el matemtico y lgico irlands George Boole (1851-1864), desarroll un sistema matemtico para formular proposiciones lgicas con smbolos, de manera que los problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma similar al lgebra tradicional.

- El lgebra de Boole se aplica en el anlisis y el diseo de los sistemas digitales.

- Una variable booleana es cualquier smbolo que en un instante determinado slo puede tomar uno de dos valores: 0 y 1.

- Existen varios tipos de circuitos lgicos que se utilizan para implementar funciones lgicas u operaciones lgicas. Estos circuitos son los elementos bsicos que constituyen los bloques sobre los que se construyen sistemas digitales ms complejos, como por ejemplo una computadora.


Operaciones LOperaciones Lgicasgicas Funciones Lgicas- Las operaciones lgicas pueden representarse a travs de smbolos

grficos y de tablas de verdad.

- Las lneas conectadas a la izquierda de cada smbolo son las entradas (input) y las lneas a la derecha son las salidas (output).

Smbolos de las operaciones lgicas bsicas

A X1 00 1

Tablas de verdad de las operaciones lgicas bsicas

A B X 0 0 00 1 01 0 01 1 1

A B X 0 0 00 1 11 0 11 1 1

NOT AND con dos entradas y una salida

OR con dos entradas y una salida

- El funcionamiento de las puertas, operaciones y funciones lgicas se describe con las tablas de verdad.

- Son representaciones tabulares que especifican la salida de la puerta o funcin lgica para todas las posibles combinaciones de entradas.


Operaciones LOperaciones Lgicasgicas Puertas Lgicas- Puertas Lgicas: circuitos que aceptan valores lgicos a la entrada

y producen valores lgicos a la salida. Un circuito que realiza una operacin lgica determinada (NOT, AND, OR) se llama puerta lgica.

- Lgica Combinatoria: cuando en un circuito lgico el estado de las salidas depende slo del estado de las entradas, es decir combinaciones de diferentes valores lgicos a la entrada de un circuito lgico hacen que aparezcan distintos valores lgicos a la salida. En este curso se tratar la Lgica Combinatoria.

- Lgica Secuencial: si el estado de la salida depende del estado delas entradas y tambin del estado anterior del circuito. Esta lgica no se tratar en este curso.


Puertas LPuertas Lgicasgicas

Puerta Amplificador Puerta NOT o Inversor Puerta AND Puerta OR Puerta NAND Puerta NOR Puerta XOR Puerta XNOR

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Realiza la operacin denominada amplificacin.

Mantiene un nivel lgico de una entrada (A) en la salida (X).

En trminos de bits mantiene:

- Un 1 por un 1.

- Un 0 por un 0.

Se utiliza para retrasar la transmisin de una seal lgica y para distribuir la seal de salida a ms componentes que la seal original.

Smbolo lgico estndar: A X

Puerta AmplificadorPuerta Amplificador


Tabla de verdad:

A X

1 1

0 0

Puerta AmplificadorPuerta Amplificador

Ecuacin Lgica:

X = A


Puerta NOT o InversorPuerta NOT o Inversor

Realiza la operacin denominada inversin o complementacin.

Cambia el nivel lgico al nivel opuesto. En trminos de bits cambia:

Un 1 por un 0. Un 0 por un 1.


Puerta NOT: SPuerta NOT: Smbolo y Funcionamientombolo y Funcionamiento

Smbolo lgico estndar:

Funcionamiento: Cuando la entrada est a nivel BAJO, la salida est a nivel ALTO. Cuando la entrada est a nivel ALTO, la salida est a nivel BAJO.


Puerta NOT: Tabla de Verdad y Puerta NOT: Tabla de Verdad y Diagrama de TiemposDiagrama de Tiempos

Entrada A Salida

0 11 0

Tabla de verdad:

Diagrama de tiempos: Una grfica que representa de forma precisa las relaciones de dos o ms

formas de onda en funcin del tiempo.


Puerta NOT: EcuaciPuerta NOT: Ecuacin Ln Lgicagica

En el lgebra booleana, una variable se designa mediante una letra.

Las variables pueden tomar dos valores: 1 y 0. El complemento de una variable se designa

mediante una barra encima de la letra. Si una variable dada es 1, su complemento es 0,

y viceversa Ecuacin lgica:

X =


Puerta NOT: Ejemplo de AplicaciPuerta NOT: Ejemplo de Aplicacinn

Un circuito que genera el complemento a 1 de un nmero binario de 8 bits: Los bits del nmero binario se aplican a las entradas del

inversor. El complemento a 1 del nmero se presenta en las salidas.


Puerta ANDPuerta AND

La puerta AND es una de las puertas bsicas con la que se construyen todas las funciones lgicas.

Tiene dos o ms entradas y una nica salida. Realiza la operacin que se conoce como

multiplicacin lgica. Smbolo lgico estndar:


Puerta AND: FuncionamientoPuerta AND: Funcionamiento

En una puerta AND de dos entradas: La salida AB es un nivel ALTO si A y B estn a nivel

ALTO. La salida AB es un nivel BAJO si:

A es un nivel BAJO B es un nivel BAJO o si A y B estn a nivel BAJO


Puerta AND: Tabla de VerdadPuerta AND: Tabla de Verdad

Entrada A Entrada B Salida X=AB0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabla de verdad:


Puerta AND: Diagrama de TiemposPuerta AND: Diagrama de Tiempos

Diagrama de tiempos:

A

B X


Puerta AND: EcuaciPuerta AND: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica AND de dos variables se representa:

Colocando un punto entre las dos variables: AB Escribiendo las letras juntas sin el punto: AB

La multiplicacin booleana sigue las mismas reglas bsicas que la multiplicacin binaria:

00 = 001 = 010 = 011 = 1

Ecuacin lgica o expresin booleana:X = AB X = AB


Puerta AND: MPuerta AND: Mltiples Entradasltiples Entradas

Se utilizan nuevas letras para cada variable de entrada.


Puerta AND: Ejemplo de AplicaciPuerta AND: Ejemplo de Aplicacinn

Un sistema de alarma para el cinturn de seguridad: Si el interruptor de puesta en marcha est activado y el

cinturn est desabrochado, durante 30 segundos: Se produce una alarma audible.


Puerta ORPuerta OR

Es otra de las puertas bsicas con las que se construyen todas las funciones lgicas.

Tiene dos o ms entradas y una nica salida. Realiza la operacin que se conoce como suma

lgica. Smbolo lgico estndar:


Puerta OR: FuncionamientoPuerta OR: Funcionamiento

En una puerta OR de dos entradas: La salida es un nivel ALTO si cualquiera de las entradas, A o

B, o ambas, estn a nivel ALTO. La salida es un nivel BAJO si ambas entradas, A y B, estn a

nivel BAJO.


Puerta OR: Tabla de VerdadPuerta OR: Tabla de Verdad

Tabla de verdad:

Entrada A Entrada B Salida X=A+B0 0 00 1 11 0 11 1 1


Puerta OR: Diagrama de TiemposPuerta OR: Diagrama de Tiempos



Puerta OR: EcuaciPuerta OR: Ecuacin Ln Lgicagica

La ecuacin lgica OR de dos variables se representa: Colocando un + entre las dos variables: A+B

La suma booleana es similar a la suma binaria, con la excepcin de que no existe acarreo:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

Ecuacin lgica o expresin booleana:X = A+B


Puerta OR: MPuerta OR: Mltiples Entradasltiples Entradas

Se utilizan nuevas letras para cada variable de entrada.

X = A + B + C + D


Puerta OR: Ejemplo de AplicaciPuerta OR: Ejemplo de Aplicacinn

Sistema de alarma y deteccin de intrusin. Genera una alarma cuando la puerta o las

ventanas estn abiertas.


Puerta NANDPuerta NAND

Es un elemento lgico popular debido a que se puede utilizar como puerta universal: Se pueden combinar para implementar las operaciones de las

puertas AND, OR y del Inversor. El trmino NAND es una contraccin de NOT-

AND e implica: Una funcin AND con la salida complementada (negada).



Puerta NAND: FuncionamientoPuerta NAND: Funcionamiento

En una puerta NAND de dos entradas: La salida es un nivel BAJO, si las entradas A y B estn a

nivel ALTO. La salida es un nivel ALTO, si A o B estn a nivel BAJO o

si ambas, A y B, estn a nivel BAJO. Es la operacin opuesta a la operacin lgica

AND.


Puerta NAND: Tabla de VerdadPuerta NAND: Tabla de Verdad

Tabla de verdad:

Entrada A Entrada B Salida X0 0 10 1 11 0 11 1 0


Puerta NAND: Diagrama de TiemposPuerta NAND: Diagrama de Tiempos



Puerta NAND: Equivalencia con NegativaPuerta NAND: Equivalencia con Negativa--OROR

Se puede usar para realizar la operacin OR que requiere una o ms entradas a nivel BAJO, para generar una salida a nivel ALTO.

Este modo de operacin se denomina Negativa-OR. El trmino negativa significa que las entradas se

definen para que su estado activo o verdadero sea un nivel BAJO.


Puerta NAND: EcuaciPuerta NAND: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica NAND de dos variables se representa:

Las dos variables de entrada, A y B, se multiplican (AND) primero y luego se complementan AB.

La operacin booleana que se obtiene sera:

00 = 0 = 101 = 0 = 110 = 0 = 111 = 1 = 0

Ecuacin lgica:X = AB X = A.B


Puerta NAND: Ejemplo de AplicaciPuerta NAND: Ejemplo de Aplicacinn

Un emisor de luz (LED) permanece encendido mientras el nivel de dos tanques sea superior a un 25%


Puerta NORPuerta NOR

Al igual que la puerta NAND, es un elemento lgico til porque tambin se puede emplear como puerta universal: Se pueden usar combinadas para implementar las operaciones AND, OR

y del Inversor.

El trmino NOR es una contraccin de NOT-OR e implica: Una funcin OR con la salida complementada (negada).



Puerta NOR: FuncionamientoPuerta NOR: Funcionamiento

En una puerta NOR de dos entradas: La salida es un nivel BAJO, si cualquiera de sus entradas A o

B est a nivel ALTO, o si ambas entradas A y B estn a nivel ALTO.

La salida es un nivel ALTO, si A y B estn a nivel BAJO. Es la operacin opuesta a la operacin lgica

OR.


Puerta NOR: Tabla de VerdadPuerta NOR: Tabla de Verdad

Tabla de verdad:



Puerta NOR: Diagrama de TiemposPuerta NOR: Diagrama de Tiempos



Puerta NOR: Equivalencia con NegativaPuerta NOR: Equivalencia con Negativa--ANDAND

Se puede usar para realizar la operacin AND cuyas entradas estn a nivel BAJO y generan una salida a nivel ALTO.

Este modo de operacin se denomina Negativa-AND.


Puerta NOR: EcuaciPuerta NOR: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica NOR de dos variables se representa:

Las dos variables de entrada, A y B, primero se suman (OR) y luego se complementan: A+B.

La operacin booleana que se obtiene sera:

0+0 = 0 = 10+1 = 1 = 01+0 = 1 = 01+1 = 1 = 0

Ecuacin lgica:X = A+B


Puerta NOR: Ejemplo de AplicaciPuerta NOR: Ejemplo de Aplicacinn

Controlar que los trenes de aterrizaje de un avin se encuentran desplegados.

Cuando un tren de aterrizaje se extiende, el sensor correspondiente genera una tensin a nivel BAJO.

Una salida a nivel ALTO enciende el LED verde. Una salida a BAJO nivel enciende el LED rojo.


Puertas XOR y XNORPuertas XOR y XNOR

Las puertas OR-exclusiva (XOR) y NOR-exclusiva (XNOR) se forman mediante la combinacin de otras puertas ya vistas.

Debido a su importancia fundamental en muchas aplicaciones, estas puertas se tratan como elementos lgicos bsicos con su propio smbolo nico.


Puerta XORPuerta XOR

La puerta XOR tiene slo dos entradas. Smbolo lgico estndar:


Puerta XOR: FuncionamientoPuerta XOR: Funcionamiento

La salida es un nivel ALTO si: la entrada A est a nivel BAJO y la entrada B est a nivel

ALTO o si la entrada A est a nivel ALTO y la entrada B est a nivel

BAJO. La salida es un nivel BAJO si tanto A como B

estn ambas a nivel ALTO o BAJO.


Puerta XOR: Tabla de VerdadPuerta XOR: Tabla de Verdad

Tabla de verdad:



Puerta XOR: Diagrama de TiemposPuerta XOR: Diagrama de Tiempos



Puerta XOR: Ejemplo de AplicaciPuerta XOR: Ejemplo de Aplicacinn

Se puede utilizar como sumador de dos bits.


Puerta XOR: EquivalenciaPuerta XOR: Equivalencia

Se puede sustituir por la combinacin de puertas AND, OR y NOT.

Ecuacin lgica equivalente:

A B = AB + AB


Puerta XNORPuerta XNOR

La puerta XNOR, al igual que la XOR, slo tiene dos entradas.



Puerta XNOR: FuncionamientoPuerta XNOR: Funcionamiento

La salida es un nivel BAJO si: la entrada A est a nivel BAJO y la entrada B est a nivel ALTO o si la entrada A est a nivel ALTO y la entrada B est a nivel BAJO.

La salida es un nivel ALTO, si tanto A como B estn ambas a nivel ALTO o BAJO.

Es la operacin opuesta a la operacin lgica XOR.


Puerta XNOR: Tabla de VerdadPuerta XNOR: Tabla de Verdad

Tabla de verdad:



Puerta XNOR: Diagrama de TiemposPuerta XNOR: Diagrama de Tiempos



Puertas LPuertas Lgicas Integradasgicas Integradas

Existen varias tecnologas de circuitos integrados digitales que se usan para implementar las puertas lgicas bsicas.

Las ms extendidas: CMOS TTL

Para aplicaciones ms especializadas: ECL

La funcin de las puertas lgicas bsicas es la misma independientemente de la tecnologa de circuitos integrados que se utilice.


Puertas LPuertas Lgicas Integradas: gicas Integradas: CaracterCaractersticassticas

CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor) se implementa con un tipo de transistor de efecto de campo.

TTL (Transistor-Transistor Logic) se implementa mediante transistores bipolares.

ECL (Emitter-Coupled Logic) tambin se implementa mediante la tecnologa bipolar.


Puertas LPuertas Lgicas Integradas: CMOS y TTLgicas Integradas: CMOS y TTL

CMOS y TTL slo difieren en el tipo de componentes de circuito y los valores de los parmetros, y no en las operaciones lgicas bsicas.

Una puerta AND CMOS realiza la misma operacin lgica que una puerta AND TTL.

La diferencia entre ambas se encuentra en las caractersticas de funcionamiento, tales como: La velocidad de conmutacin (retardo de propagacin). La disipacin de potencia. La inmunidad al ruido.


CMOSCMOS

Es la tecnologa utilizada en los circuitos de gran escala de integracin y microprocesadores.

Es la ms popular en la actualidad. Su mayor ventaja reside en ofrecer mucha

menor disipacin de potencia.


TTLTTL

Es una tecnologa de circuitos integrados muy popular.

Su mayor ventaja reside en las grandes velocidades de conmutacin.

Tambin ofrece una enorme variedad de dispositivos.


Todas las operaciones lgicas bsicas: NOT, AND, OR, NAND, NOR y XOR estn disponibles en las tecnologas de circuitos integrados.

Los tipos de configuraciones de puerta normalmente disponibles en los circuitos integrados se indican mediante los dos o tres dgitos finales de la designacin de la serie. Por ejemplo 74LS04 es un circuito integrado inversor sxtuple Schottky, de baja potencia de la serie bsica TTL.

Algunas configuraciones de puertas lgicas habituales y sus dgitos de identificacin estndar son:- Cudruple NAND de dos entradas: 00 - Cudruple NOR de dos entradas: 02- Inversor sxtuple: 04- Cudruple AND de dos entradas: 08- Triple NAND de tres entradas: 10- Triple AND de tres entradas: 11

Tipos de Puertas LTipos de Puertas Lgicas Integradasgicas Integradas

- Doble NAND de cuatro entradas: 20- Doble AND de cuatro entradas: 21- Triple NOR de tres entradas: 27- NAND de ocho entradas: 30- Cudruple OR de dos entradas: 32- Cudruple XOR de dos entradas: 86- NAND nica de trece entradas: 133


Diagramas de configuracin de los pines para algunas de las configuraciones de puertas integradas ms comunes



Encapsulados tpicos DIP y SOIC con sus dimensiones bsicas y la numeracin de los pines



lgebra de lgebra de BooleBoole

El lgebra de Boole es una forma muy adecuada para expresar y analizar las operaciones de los circuitos lgicos.

Se puede considerar las matemticas de los sistemas digitales.

Operaciones bsicas: Adicin booleana. Multiplicacin booleana.


AdiciAdicin Booleanan Booleana

La suma booleana es equivalente a la operacin OR: Un trmino suma es igual a 1 cuando uno o ms de sus

literales es un 1. Un trmino suma es igual a 0 si y slo si cada uno de sus

literales es 0.


MultiplicaciMultiplicacin Booleanan Booleana

La multiplicacin booleana es equivalente a la operacin AND: Un trmino producto es igual a 1 si y slo si cada uno de sus

literales es un 1. Un trmino producto es igual a 0 si uno o ms de sus literales

es 0.


Leyes BLeyes Bsicas del sicas del lgebra de lgebra de BooleBoole

Leyes bsicas del lgebra de Boole: Leyes conmutativas de la suma y multiplicacin. Leyes asociativas de la suma y multiplicacin. Ley distributiva.

Son las mismas que las del lgebra ordinaria.


Leyes ConmutativasLeyes Conmutativas

El orden en que se aplica a las variables la operacin OR es indiferente:

A+B = B+A

El orden en que se aplica a las variables la operacin AND es indiferente:

AB = BA

Ley conmutativa de la suma para dos variables

Ley conmutativa de la multiplicacin para dos variables


Leyes AsociativasLeyes Asociativas

Al aplicar la operacin OR a ms de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:

A + (B + C) = (A + B) + C

Al aplicar la operacin AND a ms de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:

A(BC) = (AB)C

Ley asociativa de la suma para tres variables

Ley asociativa de la multiplicacin para tres variables


Ley DistributivaLey Distributiva

Aplicar la operacin OR a dos o ms variables y luego aplicar la operacin AND al resultado de la operacin y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operacin AND a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego aplicar la operacin OR a los productos resultantes.

Esta ley tambin expresa el proceso de sacar factor comn, en el que la variable comn se saca como factor de los productos parciales.

A(B + C) = AB + ACLey distributiva para tres variables


Reglas BReglas Bsicas del sicas del lgebra de lgebra de BooleBoole

Muy tiles para la manipulacin y simplificacin de expresiones booleanas.

1. A + 0 = A2. A + 1 = 13. A 0 = 04. A 1 = A

5. A + A = A6. A + A = 17. A A = A8. A A = 0

9. A = A10. A + AB = A11. A + AB = A + B12. (A + B)(A + C) = A + BC

A, B, o C pueden representar una nica variable o una combinacin de variables.


Reglas del Reglas del lgebra de lgebra de BooleBoole: : Demostraciones (I)Demostraciones (I)

1. A + 0 = A

2. A + 1 = 1

3. A 0 = 0

4. A 1 = A

5. A + A = A

X = 0

X = 1

X = 0


Reglas del Reglas del lgebra de lgebra de BooleBoole: : Demostraciones (II)Demostraciones (II)

6. A + A = 1

7. A A = A

8. A A = 0

9. A = A

X=0


Reglas del Reglas del lgebra de lgebra de BooleBoole: : Demostraciones (III)Demostraciones (III)

10. A + AB = A

A + AB = A (1 + B) Sacar factor comn A (ley distributiva)= A 1 Regla 2: (1 + B) = 1= A Regla 4: A 1 = A


Reglas del Reglas del lgebra de lgebra de BooleBoole: : Demostraciones (IV)Demostraciones (IV)

11. A + AB = A + B

A + B = (A + AB) + B Regla 10: A = A + AB= A + (A + ) B Sacar factor comn= A + 1 B Regla 6: A + = 1= A + B Regla 4: A 1 = A

A AA

A


Reglas del Reglas del lgebra de lgebra de BooleBoole: : Demostraciones (V)Demostraciones (V)

12. (A + B)(A + C) = A + BC

(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC Ley distributiva= A + AC + AB + BC Regla 7: AA = A= A + BC Regla 10: A + AB = A

(aplicada 2 veces)


Teoremas de Teoremas de DeMorganDeMorgan

DeMorgan propuso dos teoremas que constituyen una parte muy importante del lgebra de Boole.

Estos teoremas nos demuestran la equivalencia entre: Las puertas NAND y Negativa-OR Las puertas NOR y Negativa-AND


Primer Teorema de Primer Teorema de DeMorganDeMorgan

El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables.

De forma equivalente: El complemento de dos o ms variables a las que se aplica la operacin

AND es equivalente a aplicar la operacin OR a los complementos de cada variable.

Frmula para expresar el teorema para dos variables:XY = X + Y

Puerta equivalente y tabla de verdad:


Segundo Teorema de Segundo Teorema de DeMorganDeMorgan

El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.

De forma equivalente: El complemento de dos o ms variables a las que se aplica la operacin

OR es equivalente a aplicar la operacin AND a los complementos de cada variable.

Frmula para expresar el teorema para dos variables:X + Y = X Y

Puerta equivalente y tabla de verdad:


Teoremas de Teoremas de DeMorganDeMorgan para Mpara Ms de Dos s de Dos VariablesVariables

Los Teoremas de DeMorgan se aplican tambin a expresiones en las que existen ms de dos variables:

XYZ = X + Y + Z

X + Y + Z = XYZ


A + BC + D (E + F)Paso 1. Identificar los trminos a los que se puede aplicar los teoremas de DeMorgan y considerar cada trmino como una nica variable. Definimos:

Paso 2. Dado que

Paso 3. Utilizar la regla 9 (A = A) para eliminar la barra doble sobre el trmino de la izquierda (esta parte no tiene que ver con los teoremas de DeMorgan):

Paso 4. En el trmino de la derecha definimos

Paso 5. Como

Paso 6. Utilizando la regla 9 A = A para eliminar la barra doble del termino E + F

- Solucin:

AplicaciAplicacin de las Leyes y Reglas del n de las Leyes y Reglas del lgebra lgebra de de BooleBoole y de los Teoremas de y de los Teoremas de DeMorganDeMorgan


AnAnlisis lisis BooleanoBooleano de los Circuitos Lde los Circuitos Lgicosgicos

El lgebra de Boole proporciona una manera concisa de expresar el funcionamiento de un circuito lgico formado por una combinacin de puertas lgicas, de tal forma que la salida puede determinarse por la combinacin de los valores de entrada.

Para obtener la expresin booleana de un determinado circuito lgico, la manera de proceder consiste en: Comenzar con las entradas situadas ms a la izquierda. Ir avanzando hasta las lneas de salida, escribiendo la expresin para cada

puerta.


ExpresiExpresin Booleana de un Circuito Ln Booleana de un Circuito Lgicogico

La expresin de la puerta AND situada ms a la izquierda cuyas entradas son C y D es CD.

La salida de la puerta AND situada ms a la izquierda es una de las entradas de la puerta OR y B es su otra entrada. Por tanto, la expresin para la puerta OR es B + CD.

La salida de la puerta OR es una de las entradas de la puerta AND situada ms a la derecha, siendo A su otra entrada. Por lo tanto la expresin de esta puerta AND ser A (B + CD)

A (B + CD)


ElaboraciElaboracin de la Tabla de Verdad de un n de la Tabla de Verdad de un Circuito LCircuito Lgicogico

Una vez determinada la expresin booleana de un circuito dado, puede desarrollarse una tabla de verdad que represente la salida del circuito lgico para todos los valores posibles de las variables de entrada.

Esto requiere que se evale la expresin booleana para todas las posibles combinaciones de valores de las variables de entrada.


EvaluaciEvaluacin de una Expresin de una Expresin (I)n (I)

En el caso de la expresin A(B + CD) hay cuatro variables de entrada (A, B, C y D) y, por tanto, hay 24 = 16 posibles combinaciones de valores.

Para evaluar esta expresin, en primer lugar, utilizando las reglas de la adicin y multiplicacin booleanas, se localizan los valores de las variables que hacen que la expresin sea igual a 1.

En este caso, la expresin es igual a 1 slo si A = 1 y (B + CD) = 1, ya que:

A(B + CD) = 1 1 = 1


EvaluaciEvaluacin de una Expresin de una Expresin (II)n (II)

La expresin B + CD es 1 si: B = 1 B + CD = 1 + 0 = 1 CD = 1 B + CD = 0 + 1 = 1 Ambos son igual a 1 B + CD = 1 + 1 = 1

El trmino CD es 1 slo si: C y D son 1.

Conclusin: A(B + CD) = 1 cuando:

A = 1 y B = 1, independientemente del valor de C y D A = 1 y C = 1 y D = 1, independientemente del valor de B

A(B + CD) = 0 para el resto de combinaciones posibles.


EvaluaciEvaluacin de una Expresin de una Expresin (III)n (III)

Representacin de los resultados en una tabla de verdad.

Tabla de Verdad del Circuito Lgico


SimplificaciSimplificacin Mediante el n Mediante el lgebra de lgebra de BooleBoole

Muchas veces, a la hora de aplicar el lgebra booleana, hay que reducir una expresin a su forma ms simple o cambiarla a una forma ms conveniente para conseguir una implementacin ms eficiente.

Este mtodo de simplificacin utiliza las reglas, leyes y teoremas del lgebra de Boole para manipular y simplificar una expresin.


Simplificar una ExpresiSimplificar una Expresinn

AB + A(B + C) + B(B + C)

Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer trmino de la expresin del siguiente modo:

AB + AB + AC + BB + BC Aplicar la regla 7 (BB = B) al cuarto trmino:

AB + AB + AC + B + BC Aplicar la regla 5 (AB + AB = AB) a los dos primeros trminos:

AB + AC + B + BC Aplicar la regla 10 (B + BC = B) a los dos ltimos trminos:

AB + AC + B Aplicar la regla 10 (AB + B = B) a los trminos primero y tercero:

B + AC


Circuitos LCircuitos Lgicos Original y Simplificadogicos Original y Simplificado

A partir de la simplificacin se obtienen dos redes de puertas equivalentes: Se pasa de cinco a dos puertas necesarias para implementar

la expresin. Para cualquier combinacin de valores de entrada A, B y C

se obtiene siempre la misma salida.


Forma EstForma Estndar de las Expresiones ndar de las Expresiones BooleanasBooleanas

Funcin lgica es una expresin booleana que relaciona variables lgicas directas o complementadas por medio de operaciones AND y OR.

Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, pueden convertirse en cualquiera de las dos formas estndar: Suma de productos o Suma de MinTerms. Producto de sumas o Producto de MaxTerms.

Esto posibilita que la evaluacin, simplificacin e implementacin de las expresiones booleanas sea mucho ms sistemtica y sencilla.


Suma de Productos o Suma de Suma de Productos o Suma de MintermsMinterms (I)(I)

Es la suma de dos o ms productos mediante la adicin booleana.

AB + ABCA + ABC + AC

Una barra no puede extenderse sobre ms de una variable:

Vlido: ABC No vlido: ABC


Suma de Productos o Suma de Suma de Productos o Suma de MintermsMinterms (II)(II)

El dominio de una expresin booleana es el conjunto de variables (o sus complementos) contenido en una expresin: El dominio de AB + ABC es el conjunto de variables A, B, C

La implementacin de una suma de productos simplemente requiere aplicar la operacin OR a las salidas de dos o ms puertas AND:

X = AB + BCD + AC


ConversiConversin de una Expresin de una Expresin General a n General a Formato Suma de ProductosFormato Suma de Productos

Cualquier expresin lgica puede ser transformada a una expresin suma de productos, aplicando el lgebra de Boole.

A(B + CD) = AB + ACD(A + B)(B + C + D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD

(A + B) + C = (A + B)C = (A + B)C = AC + BC


Forma EstForma Estndar de una Suma de ndar de una Suma de ProductosProductos

Es aquella en la que todas las variables del dominio aparecen en cada uno de los trminos de la expresin:

ABCD + ABCD + ABCD

Cualquier suma de productos en forma no estndar puede convertirse al formato estndar utilizando el lgebra de Boole.


ConversiConversin de una Suma de Productos a n de una Suma de Productos a su Forma Estsu Forma Estndar (I)ndar (I)

Cada trmino producto de una suma de productos que no contenga todas las variables del dominio, puede ser transformado a su forma estndar de manera que incluya todas las variables del dominio o sus complementos.

Esta conversin se realiza mediante la regla 6 del lgebra booleana:

A + A = 1


ConversiConversin de una Suma de Productos a n de una Suma de Productos a su Forma Estsu Forma Estndar (II)ndar (II)

Pasos a seguir: Multiplicar cada trmino producto no estndar por un

trmino formado por la suma de la variable que falta y su complemento. Con esto se obtienen dos trminos producto. Como se sabe, se puede multiplicar por 1 cualquier expresin sin que se altere su valor.

Repetir el paso anterior hasta que todos los trminos de la expresin contengan todas las variables (o sus complementos) del domino. Al convertir cada producto a su forma estndar, el nmero de trminos producto se duplica por cada variable que falta.


Ejemplo: Convertir la siguiente expresin booleana al formato suma de productos estndar: A B C + A B + A B C D

Solucin. El dominio de esta suma de productos es A, B, C, D. Considerando cada trmino por separado, se comprueba que al primer trmino, ABC, le falta la variable D o D, por lo que lo multiplicamos por D o D, obteniendo:

En este caso, se obtienen dos productos estndar. En el segundo trmino, A B, faltan las variables C o C y D o D, de manera que multiplicamos primero por C + C:

Los dos trminos que obtenemos carecen de la variable D o D, por lo que multiplicamos por D + D:

En este caso, el resultado son cuatro productos estndar. El tercer trmino ABCD, ya est en formato estndar. La suma de productos estndar que obtenemos es finalmente:

ConversiConversin de una Suma de Productos a n de una Suma de Productos a su Forma Estsu Forma Estndar (III)ndar (III)


RepresentaciRepresentacin Binaria de un Tn Binaria de un Trmino rmino Producto EstProducto Estndarndar

Un trmino producto estndar es igual a 1 slo para una combinacin de los valores de las variables.

Por ejemplo, el trmino ABCD es igual a 1 cuando A=1, B=0, C=1 y D=0.

Una suma de productos es igual a 1 si y slo si uno o ms de los trminos producto que forman la expresin es igual a 1.


Producto de Sumas o Producto de Producto de Sumas o Producto de MaxtermsMaxterms

Es la multiplicacin de dos o ms trminos suma.

(A + B)(A + B + C)A(A + B + C)(B + C + D)

Una barra no puede extenderse sobre ms de una variable:

Vlido: A+B+C No vlido: A+B+C


ImplementaciImplementacin de un Producto de Sumasn de un Producto de Sumas

La implementacin de un producto de sumas requiere simplemente la aplicacin de la operacin AND a las salidas de dos o ms puertas OR.

X = (A + B) (B + C + D) (A + C)


Forma EstForma Estndar del Producto de Sumasndar del Producto de Sumas

Es aquella en la que todas las variables del dominio aparecen en cada uno de los trminos de la expresin:

(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)

Cualquier producto de sumas en forma no estndar puede convertirse al formato estndar utilizando el lgebra de Boole.


ConversiConversin de un Producto de Sumas a su n de un Producto de Sumas a su Forma EstForma Estndar (I)ndar (I)

Cada trmino suma de un producto de sumas que no contenga todas las variables del dominio, puede ser transformado a su forma estndar de manera que incluya todas las variables del dominio o sus complementos.

Esta conversin se realiza mediante la regla 8 del lgebra booleana:

AA = 0


ConversiConversin de un Producto de Sumas a su n de un Producto de Sumas a su Forma EstForma Estndar (II)ndar (II)

Pasos a seguir: Aadir a cada trmino suma no estndar un trmino

consistente en el producto de la variable que falta y su complemento; esto da lugar a la aparicin de dos sumandos en la expresin. Como se sabe, siempre se puede sumar 0 sin que se altere el valor de la expresin.

Aplicar la regla 12: A + BC = (A + B)(A + C) Repetir el primer paso hasta que todos los sumandos

resultantes contengan todas las variables del dominio o sus complementos.


ConversiConversin de un Producto de Sumas a su n de un Producto de Sumas a su Forma EstForma Estndar (III)ndar (III)


RepresentaciRepresentacin Binaria de un Tn Binaria de un Trmino rmino Suma EstSuma Estndarndar

Un trmino suma estndar es igual a 0 slo para una combinacin de los valores de las variables.

Por ejemplo, el trmino A+B+C+D es igual a 0 cuando A=0, B=1, C=0 y D=1.

Un producto de sumas es igual a 0 si y slo si uno o ms trminos suma de la expresin es igual a 0.


Expresiones Expresiones BooleanasBooleanas y Tablas de y Tablas de VerdadVerdad

Todas las expresiones booleanas se pueden convertir fcilmente en tablas de verdad utilizando los valores binarios de cada trmino de la expresin.

La tabla de verdad es una forma muy comn de expresar el funcionamiento lgico de un circuito.

Las tablas de verdad se pueden encontrar en las hojas de especificaciones y en otras documentaciones relativas al funcionamiento de los circuitos y sistemas digitales.

Las expresiones suma de productos y producto de sumas pueden calcularse mediante tablas de verdad.


ConversiConversin de una Suma de Productos a n de una Suma de Productos a Tabla de Verdad (I)Tabla de Verdad (I)

Una suma de productos es igual a 1 si y slo si al menos uno de los productos es igual a 1.

Para una expresin cuyo dominio es n variables, existen 2n combinaciones distintas de estas variables.

Pasos a seguir: Enumerar todas las posibles combinaciones de los valores de las

variables de la expresin. Pasar la suma de productos a su formato estndar, si no lo est ya. Escribir un 1 en la columna de salida para cada valor binario que hace

que la suma de productos estndar sea 1, y un 0 para los restantes valores.


ConversiConversin de una Suma de Productos a n de una Suma de Productos a Tabla de Verdad (II)Tabla de Verdad (II)

Desarrollar la tabla de verdad de la expresin suma de productos estndar: ABC + ABC + ABC

A B C X0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

N01234567

(A . B . C)

(A . B . C )

(A . B . C)

Minterms


ConversiConversin de un Producto de Sumas a n de un Producto de Sumas a Tabla de Verdad (I)Tabla de Verdad (I)

Un producto de sumas es igual a 0 si y slo si al menos uno de los trminos suma es igual a 0.

Para una expresin cuyo dominio es n variables, existen 2n combinaciones distintas de estas variables.

Pasos a seguir: Enumerar todas las posibles combinaciones de los valores de las

variables de la expresin. Pasar el producto de sumas a su formato estndar, si no lo est ya. Escribir un 0 en la columna de salida para cada valor binario que hace

que el producto de sumas estndar sea 0, y un 1 para los restantes valores.


ConversiConversin de un Producto de Sumas a n de un Producto de Sumas a Tabla de Verdad (II)Tabla de Verdad (II)

(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)

A B C X0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Minterms MaxtermsN012345

67

(A . B. C ) (A + B + C)

(A + B + C)(A + B + C)

(A . B. C ) (A + B + C)(A + B + C)

(A . B. C )


ConversiConversin de un Producto de Sumas a n de un Producto de Sumas a Tabla de Verdad (III)Tabla de Verdad (III)

Minterms

F(A, B, C) = (A . B. C) + (A . B. C) + (A . B. C)

= m1 + m4 + m 7 = (1, 4, 7) Maxterms

F(A, B, C) = (A + B+ C) . (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C)

= M0 . M2 . M3 . M5 . M6 = (0, 2, 3, 5, 6)

Las tablas de verdad del ejemplo anterior son las mismas. Esto significa que la suma de productos y el producto de sumas son

equivalentes.


Determinar la ExpresiDeterminar la Expresin de la Suma de Productos n de la Suma de Productos EstEstndar Representada por una Tabla de Verdadndar Representada por una Tabla de Verdad

Se enumeran todos los valores de las variables de entrada para los que la salida es 1.

Cada valor binario se convierte en el correspondiente trmino producto: Se reemplaza cada 1 por la variable. Se reemplaza 0 por la variable complementada.

Por ejemplo, el valor binario 1010 se reemplaza por ABCD


Determinar la ExpresiDeterminar la Expresin del Producto de Sumas n del Producto de Sumas EstEstndar Representada por una Tabla de Verdadndar Representada por una Tabla de Verdad

Se enumeran todos los valores de las variables de entrada para los que la salida es 0.

Cada valor binario se convierte en el correspondiente trmino suma: Se reemplaza cada 1 por la variable complementada. Se reemplaza 0 por la variable.

Por ejemplo, el valor binario 1001 se reemplaza por A+B+C+D


Determinar las Expresiones EstDeterminar las Expresiones Estndar a ndar a Partir de una Tabla de VerdadPartir de una Tabla de Verdad

A B C X0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1

X = ABC + ABC + ABC + ABCX = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)


ConversiConversin de una Suma de Productos Estn de una Suma de Productos Estndar ndar a Producto de Sumas Esta Producto de Sumas Estndar (I)ndar (I)

Los valores binarios de los trminos producto en una suma de productos estndar dada no aparecen en su producto de sumas estndar equivalente.

Asimismo, los valores binarios que no estn representados en una suma de productos saparecen en el producto de sumas equivalentes.


ConversiConversin de una Suma de Productos Estn de una Suma de Productos Estndar ndar a Producto de Sumas Esta Producto de Sumas Estndar (II)ndar (II)

Pasos para convertir una suma de productos estndar a un producto de sumas estndar: Evaluar cada trmino de la expresin suma de productos, es

decir, determinar los valores binarios que representan estos trminos.

Determinar todos los nmeros binarios no incluidos al realizar el clculo del paso anterior.

Escribir los trminos suma equivalentes para cada valor binario del paso anterior y expresarlos en forma de producto de sumas.


ConversiConversin de una Suma de Productos Estn de una Suma de Productos Estndar ndar a Producto de Sumas Esta Producto de Sumas Estndar (III)ndar (III)

Convertir la expresin ABC+ABC+ABC+ABC+ABC a su expresin equivalente como producto de sumas: El resultado de la evaluacin es 000+010+011+101+111 Puesto que son tres las variables que conforman el dominio de la

expresin, existe un total de 23 = 8 posibles combinaciones. La expresin suma de productos o suma de minterms contiene cinco de

estas combinaciones, luego la expresin producto de sumas o producto de maxterms debe contener las otras tres: 001, 100 y 110.

Como estos son los valores binarios que hacen que cada operacin suma sea igual a cero, el producto de sumas equivalente es:

(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)


Mapas de Karnaugh (I)Mapas de Karnaugh (I)

Un mapa de Karnaugh proporciona un mtodo sistemtico de simplificacin de expresiones booleanas.

Aplicado adecuadamente genera las expresiones suma de productos y producto de sumas ms simples posibles.

Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor.


Mapas de Karnaugh (II)Mapas de Karnaugh (II)

El mapa de Karnaugh es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada.

Las celdas se disponen de tal manera que la simplificacin de una determinada expresin consiste en agrupar adecuadamente las celdas.

Los mapas de Karnaugh pueden utilizarse para expresiones de dos,tres, cuatro y cinco variables.

El mtodo de Quine-McClusky puede usarse para un nmero de variables mayor.

Al igual que ocurra con el nmero de filas de una tabla de verdad, el nmero de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al nmero total de combinaciones de las variables de entrada.

Para tres variables, el nmero de celdas necesarias es 23=8. Para cuatro variables, el nmero de celdas es 24=16 celdas.


Mapas de Karnaugh de Tres Variables (I)Mapas de Karnaugh de Tres Variables (I)

Es un conjunto de 8 celdas. Se utilizan A, B y C para denominar las variables,

aunque se podran usar otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte

izquierda y los valores de C en la parte superior. El valor de una determinada celda es:

el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila combinado con el valor de C en la parte superior de la misma columna.


Mapas de Karnaugh de Tres Variables (II)Mapas de Karnaugh de Tres Variables (II)

Representacin de un mapa de Karnaugh de tres variables vaco (matriz de 8 celdas) y con los trminos producto estndar representados para cada celda:

0 1

2 3

6 7

4 5


Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (I)Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (I)

Es un conjunto de 16 celdas. Se utilizan A, B, C y D para denominar las variables,

aunque se podran usar otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte

izquierda y los valores de C y D en la parte superior. El valor de una determinada celda es:

el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila combinado con el valor de C y D en la parte superior de la misma

columna.


Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (II)Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (II)

Representacin de un mapa de Karnaugh de cuatro variables vaco (matriz de 16 celdas) y con los trminos producto estndar representados para cada celda:

ABCD

00 01 11 10

00

01

11

10

A B C D A B C D A B C D A B C D




0 1 3 2

4 5 7 6

12 13 15 14

8 9 11 10


Adyacencia de Celdas (I)Adyacencia de Celdas (I)

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que slo cambia una nica variable entre celdas adyacentes.

Las celdas que difieren en una nica variable son adyacentes.

En el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente a la celda 000, a la 011 y a la 110.

Las celdas cuyos valores difieren en ms de una variable no son adyacentes.

En el mapa de 3 variables, la celda 010 NO es adyacente a la celda 001, a la 111, a la 100 ni a la 101.


Adyacencia de Celdas (II)Adyacencia de Celdas (II)

Fsicamente, cada celda es adyacente a las celdas que estn situadas inmediatas a ella por cualesquiera de sus cuatro lados.

Una celda NO es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus esquinas.

Adems, las celdas de la fila superior son adyacentes a las de la fila inferior y las celdas de la columna izquierda son adyacentes a las celdas situadas en la columna derecha.


Adyacencia de Celdas (III)Adyacencia de Celdas (III)

Adyacencia de celdas en un mapa de Karnaugh de cuatro variables.

Las flechas apuntan a las celdas adyacentes.


MinimizaciMinimizacin de una Suma de Productos n de una Suma de Productos Mediante el Mapa de KarnaughMediante el Mapa de Karnaugh

El mapa de Karnaugh se utiliza para reducir expresiones booleanas a su mnima expresin, as los diseos lgicos de los circuitos que se construyan sean ms econmicos.

Una expresin suma de productos minimizada estformada por el mnimo nmero de trminos producto posibles con el mnimo nmero de variables por trmino.

Generalmente, una expresin suma de productos minimizada se puede implementar mediante un nmero de puertas menor que su expresin estndar, lo cual constituye la finalidad del proceso de simplificacin.


Mapa de Karnaugh de una Suma de Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos EstProductos Estndar (I)ndar (I)

Por cada trmino de la expresin suma de productos se coloca un 1 en el mapa de Karnaugh en la celda correspondiente al valor del producto.

Las celdas que no tienen 1 son aquellas para las que la expresin es 0.


Mapa de Karnaugh de una Suma de Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos EstProductos Estndar (II)ndar (II)

Pasos para completar el mapa de Karnaugh: Paso 1. Determinar el valor binario de cada trmino producto de la suma de productos estndar.

Paso 2. A medida que evaluamos cada trmino, colocamos un 1 en el mapa de Karnaugh, en la celda que tiene el mismo valor que dicho trmino.

Ejemplo de transformacin a mapa de Karnaugh de una suma de productos estndar

ABC 0 1

00

01

11

10

A B C + A B C + A B C + A B C

000 001 110 1001 1

1

1


Mapa de Karnaugh de una Suma de Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos No EstProductos No Estndar (I)ndar (I)

Antes de poder utilizar un mapa de Karnaugh, las expresiones booleanas deben estar en su forma estndar.

Si una expresin no lo est, se pasar al formato estndar.

A un trmino en forma no estndar le faltan una o ms variables en su expresin.

Este trmino se puede desarrollar numricamente para obtener una expresin estndar: Se aaden todas las combinaciones de valores numricos de las variables

que faltan en la expresin.


Mapa de Karnaugh de una Suma de Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos No EstProductos No Estndar (II)ndar (II)

Ejemplo: Transformar la siguiente expresin suma de productos en un mapa de Karnaugh: A + AB + ABC Solucin. Esta suma de productos no est en formato estndar, ya que cada trmino no contiene las tres variables. El primer trmino no posee dos de las tres variables; el segundo carece de una, mientras que el tercero s que es estndar. 1. Desarrollamos los trminos numricamente de la forma:

2. Cada uno de los valores binarios resultantes se traslada al mapa, colocando un 1 en la celda apropiada del mapa de Karnaugh de 3 variables.


SimplificaciSimplificacin de una Suma de Productos n de una Suma de Productos Mediante el Mapa de KarnaughMediante el Mapa de Karnaugh

El proceso que genera una expresin que contiene el menor nmero posible de trminos con el mnimo nmero de variables se denomina minimizacin.

Despus de haber obtenido el mapa de Karnaugh de una suma de productos, se deben seguir tres pasos para obtener la expresin suma de productos mnima: Agrupar los 1s. Determinar el trmino producto correspondiente a cada grupo. Sumar los trminos productos obtenidos.


AgrupaciAgrupacin de 1s (I)n de 1s (I)

La finalidad es maximizar el tamao de los grupos y minimizar el nmero de estos grupos. Reglas:

1. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 16 celdas.2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o ms celdas del

mismo grupo, pero no todas las celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre s.

3. Incluir siempre en cada grupo el mayor nmero posible de 1s de acuerdo con la regla 1.

4. Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes.


AgrupaciAgrupacin de 1s (II)n de 1s (II)C

0 100011110

1111

AB 0 100011110

11

1

1

C

1

1

ABAB CD00 01

00011110

11 101 1

1 1 1 1

1 1

AB CD00 0100011110

11 101

1

1

1

11 1 1

11

1

C0 1

00011110

1111

AB 0 100011110

11

1

1

C

1

1

AB ABCD

00 0100011110

11 101 1

1 1 1 1

1 1

AB CD00 0100011110

11 101

1

1

1

11 1 1

11

1


Determinar el TDeterminar el Trmino Producto rmino Producto Correspondiente a Cada Grupo (I)Correspondiente a Cada Grupo (I)

1. Cada grupo de celdas que contiene 1s da lugar a un trmino producto compuesto por todas las variables que aparecen en el grupo en slo una forma (no complementada o complementada). Las variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A stas se las denomina variables contradictorias.

2. Determinar la operacin producto mnima para cada grupo.


Determinar el TDeterminar el Trmino Producto rmino Producto Correspondiente a Cada Grupo (II)Correspondiente a Cada Grupo (II)

a) Determinar la operacin producto mnima para un mapa de 3 variables.

I. Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trmino producto de tres variables.

II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un trmino producto de dos variables.

III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un trmino de una variable.

IV. Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresin vale 1.


Determinar el TDeterminar el Trmino Producto rmino Producto Correspondiente a Cada Grupo (III)Correspondiente a Cada Grupo (III)

b) Determinar la operacin producto mnima para un mapa de 4 variables.

I. Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trmino producto de cuatro variables.

II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un trmino producto de tres variables.

III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un trmino producto de dos variables.

IV. Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un trmino de una variable.

V. Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresin vale 1.


Sumar los TSumar los Trminos Productos Obtenidos (I)rminos Productos Obtenidos (I)

Cuando se han obtenido todos los trminos mnimos, se suman para obtener la expresin suma de productos mnima.

B + AC + ACD


Sumar los TSumar los Trminos Productos Obtenidos (II)rminos Productos Obtenidos (II) Ejemplo: Determinar los productos para cada uno de los mapas de

Karnaugh y escribir las correspondientes expresiones suma de productos mnima resultante.Solucin. La expresin suma de productos mnima para cada uno de los mapas de Karnaugh es:

(a) AB + BC + A B C (b) B + AC + AC

(c) AB + A C + ABD (d) D + ABC + BC


Sumar los TSumar los Trminos Productos Obtenidos (III)rminos Productos Obtenidos (III) Ejemplo: Mediante un mapa de Karnaugh minimizar la expresin suma

de productos siguiente:

Se indica el trmino producto para cada grupo y la expresin suma de productos mnima resultante es:

D + BCNota: esta expresin mnima es equivalente a la expresin estndar original.

B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D


ObtenciObtencin Directa del Mapa de Karnaugh n Directa del Mapa de Karnaugh a Partir de la Tabla de Verdada Partir de la Tabla de Verdad

Los 1s de la columna de salida de la tabla de verdad se trasladan directamente al mapa de Karnaugh, a las celdas correspondientes a los valores asociados de las combinaciones de variables de entrada.


Condiciones Indiferentes (I)Condiciones Indiferentes (I)

Algunas veces se producen situaciones en las que algunas combinaciones de las variables de entrada no estn permitidas.

Por ejemplo, en el cdigo BCD existan seis combinaciones no vlidas: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y 1111.

Estos pueden considerarse trminos indiferentes con respecto a su efecto en la salida.

Esto significa que a estos trminos se les puede asignar tanto un 1 como un 0 en la salida; realmente no son importantes dado que nunca van a generarse.


Condiciones Indiferentes (II)Condiciones Indiferentes (II)

Para cada trmino indiferente, se escribe una X en la celda. Cuando se agrupan los 1s, las X se pueden considerar tambin como

1s para agrandar los grupos, o como 0s si no obtenemos ninguna ventaja.

Cuanto mayor sea el grupo ms sencillo ser el trmino resultante.


MinimizaciMinimizacin de un Producto de Sumas n de un Producto de Sumas Mediante el Mapa de KarnaughMediante el Mapa de Karnaugh

Este mtodo es similar al de la minimizacin de una expresin suma de productos mediante los mapas de Karnaugh.

En esta ocasin, los 0s representan las operaciones de suma estndar y se colocan en el mapa de Karnaugh en lugar de los 1s.


Mapa de Karnaugh de un Producto de Mapa de Karnaugh de un Producto de Sumas EstSumas Estndarndar

Por cada trmino suma de la expresin producto de sumas se coloca un 0 en el mapa de Karnaugh en la celda correspondiente al valor de la suma.

Las celdas que no tienen 0 son aquellas para las que la expresin es 1.


SimplificaciSimplificacin Mediante el Mapa de Karnaugh n Mediante el Mapa de Karnaugh de Expresiones Producto de Sumas (I)de Expresiones Producto de Sumas (I)

El proceso de minimizacin de un producto de sumas es bsicamente el mismo que para una expresin suma de productos, excepto que ahora hay que agrupar los 0s para generar el mnimo nmero de trminos suma.

Las reglas para agrupar los 0s son las mismas que para agrupar los 1s.


SimplificaciSimplificacin Mediante el Mapa de Karnaugh n Mediante el Mapa de Karnaugh de Expresiones Producto de Sumas (II)de Expresiones Producto de Sumas (II)

(C + D)(A + B + D)(A + B + C)


ConversiConversin entre Suma de Productos y Producto de n entre Suma de Productos y Producto de Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (I)Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (I)

Cuando un producto de sumas se traslada a un mapa de Karnaugh, puede fcilmente pasarse a la suma de productos equivalente.

Tambin, dado un mapa de Karnaugh de una suma de productos, el producto de sumas equivalente puede obtenerse directamente a partir del mapa.

Esto proporciona una excelente manera de comparar ambas formas mnimas de una expresin, para determinar si una de ellas puede implementarse con menos puertas que la otra.


ConversiConversin entre Suma de Productos y Producto de n entre Suma de Productos y Producto de Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (II)Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (II)

Para un producto de sumas, todas las celdas que no contienen 0s contienen 1s, de lo que se deriva su expresin suma de productos.

De igual manera, para una suma de productos, todas las celdas que no contienen 1s contendrn 0s, de los que se obtiene la expresin producto de sumas.


ConversiConversin entre Suma de Productos y Producto de n entre Suma de Productos y Producto de Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (III)Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (III)

Ejemplo: Utilizando un mapa de Karnaugh, convertir el siguiente producto de sumas estndar en: un producto de sumas mnimo, una suma de productos estndar y una suma de productos mnima.

Solucin. En (a) los 0s de la expresin producto de sumas estndar se transforman y agrupan para obtener el producto de sumas mnimo. En (b) se aaden 1s en las celdas que no contienen 0s. De cada celda que contenga un 1, se obtiene un trmino producto estndar. Estos trminos producto forman la expresin suma de productos estndar. En (c) se agrupan los 1s y se obtiene una expresin suma de productos mnima.

(A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)


Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (I)Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (I)

Las funciones booleanas de cinco variables pueden simplificarse mediante un mapa de Karnaugh de 32 celdas.

Para construir un mapa de 5 variables se utilizan dos mapas de 4 variables (con 16 celdas cada uno).


Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (II)Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (II)

Cada mapa contiene 16 celdas con todas las posibles combinaciones de las variables B, C, D y E: Un mapa es para A = 0 Otro es para A = 1


Adyacencia de Celdas (I)Adyacencia de Celdas (I)

La mejor manera de visualizar la adyacencia de celdas entre los dos mapas de 16 celdas consiste en imaginar que el mapa A=0 estcolocado encima del mapa A=1.

Cada celda del mapa A=0 es adyacente con la celda que est justo debajo en el mapa A=1.


Adyacencia de Celdas (II)Adyacencia de Celdas (II)

El trmino del grupo punteado es: DE El trmino del grupo rayado es BCE El trmino del grupo gris oscuro es: ABD El trmino de la celda gris claro junto con la celda gris oscuro es: BCDE

X = DE + BCE + ABD + BCDE

Agrupacin de 1s en celdas adyacentes de un mapa de 5 variables

Determinacin de los trminos producto correspondientes a cada grupo

Suma de productos simplificada


Adyacencia de Celdas (III)Adyacencia de Celdas (III) Ejemplo: Utilizar un mapa de Karnaugh para minimizar la siguiente expresin estndar de la suma de productos de 5 variables:

- Se traslada la suma de productos al mapa de Karnaugh y se realizan las agrupaciones indicando los trminos correspondientes.

- Combinando estos trminos se obtiene la siguiente expresin suma de productos minimizada:

X= ADE + BCD + BCE + ACDE

X=ABCDE + ABCDE + ABCDE+ ABCDE + ABCDE+ ABCDE +

ABCDE + ABCDE + ABCDE+ ABCDE + ABCDE + ABCDE

Tema 5: lgebra de BooleFunciones Lgicaslgebra de Boole. Funciones LgicasMagnitudes Analgicas y DigitalesSeales DigitalesVariables y Funciones Lgicas Variables y Funciones Lgicas Operaciones LgicasOperaciones LgicasPuertas LgicasPuerta NOT o InversorPuerta NOT: Smbolo y FuncionamientoPuerta NOT: Tabla de Verdad y Diagrama de TiemposPuerta NOT: Ecuacin LgicaPuerta NOT: Ejemplo de AplicacinPuerta ANDPuerta AND: FuncionamientoPuerta AND: Tabla de VerdadPuerta AND: Diagrama de TiemposPuerta AND: Ecuacin LgicaPuerta AND: Mltiples EntradasPuerta AND: Ejemplo de AplicacinPuerta ORPuerta OR: FuncionamientoPuerta OR: Tabla de VerdadPuerta OR: Diagrama de TiemposPuerta OR: Ecuacin LgicaPuerta OR: Mltiples EntradasPuerta OR: Ejemplo de AplicacinPuerta NANDPuerta NAND: FuncionamientoPuerta NAND: Tabla de VerdadPuerta NAND: Diagrama de TiemposPuerta NAND: Equivalencia con Negativa-ORPuerta NAND: Ecuacin LgicaPuerta NAND: Ejemplo de AplicacinPuerta NORPuerta NOR: FuncionamientoPuerta NOR: Tabla de VerdadPuerta NOR: Diagrama de TiemposPuerta NOR: Equivalencia con Negativa-ANDPuerta NOR: Ecuacin LgicaPuerta NOR: Ejemplo de AplicacinPuertas XOR y XNORPuerta XORPuerta XOR: FuncionamientoPuerta XOR: Tabla de VerdadPuerta XOR: Diagrama de TiemposPuerta XOR: Ejemplo de AplicacinPuerta XOR: EquivalenciaPuerta XNORPuerta XNOR: FuncionamientoPuerta XNOR: Tabla de VerdadPuerta XNOR: Diagrama de TiemposPuertas Lgicas IntegradasPuertas Lgicas Integradas: CaractersticasPuertas Lgicas Integradas: CMOS y TTLCMOSTTLTipos de Puertas Lgicas IntegradasTipos de Puertas Lgicas IntegradasTipos de Puertas Lgicas Integradaslgebra de BooleAdicin BooleanaMultiplicacin BooleanaLeyes Bsicas del lgebra de BooleLeyes ConmutativasLeyes AsociativasLey DistributivaReglas Bsicas del lgebra de BooleReglas del lgebra de Boole: Demostraciones (I)Reglas del lgebra de Boole: Demostraciones (II)Reglas del lgebra de Boole: Demostraciones (III)Reglas del lgebra de Boole: Demostraciones (IV)Reglas del lgebra de Boole: Demostraciones (V)Teoremas de DeMorganPrimer Teorema de DeMorganSegundo Teorema de DeMorganTeoremas de DeMorgan para Ms de Dos VariablesAplicacin de las Leyes y Reglas del lgebra de Boole y de los Teoremas de DeMorganAnlisis Booleano de los Circuitos LgicosExpresin Booleana de un Circuito LgicoElaboracin de la Tabla de Verdad de un Circuito LgicoEvaluacin de una Expresin (I)Evaluacin de una Expresin (II)Evaluacin de una Expresin (III)Simplificacin Mediante el lgebra de BooleSimplificar una ExpresinCircuitos Lgicos Original y SimplificadoForma Estndar de las Expresiones BooleanasSuma de Productos o Suma de Minterms (I)Suma de Productos o Suma de Minterms (II)Conversin de una Expresin General a Formato Suma de ProductosForma Estndar de una Suma de ProductosConversin de una Suma de Productos a su Forma Estndar (I)Conversin de una Suma de Productos a su Forma Estndar (II)Conversin de una Suma de Productos a su Forma Estndar (III)Representacin Binaria de un Trmino Producto EstndarProducto de Sumas o Producto de MaxtermsImplementacin de un Producto de SumasForma Estndar del Producto de SumasConversin de un Producto de Sumas a su Forma Estndar (I)Conversin de un Producto de Sumas a su Forma Estndar (II)Conversin de un Producto de Sumas a su Forma Estndar (III)Representacin Binaria de un Trmino Suma EstndarExpresiones Booleanas y Tablas de VerdadConversin de una Suma de Productos a Tabla de Verdad (I)Conversin de una Suma de Productos a Tabla de Verdad (II)Conversin de un Producto de Sumas a Tabla de Verdad (I)Conversin de un Producto de Sumas a Tabla de Verdad (II)Conversin de un Producto de Sumas a Tabla de Verdad (III)Determinar la Expresin de la Suma de Productos Estndar Representada por una Tabla de VerdadDeterminar la Expresin del Producto de Sumas Estndar Representada por una Tabla de VerdadDeterminar las Expresiones Estndar a Partir de una Tabla de VerdadConversin de una Suma de Productos Estndar a Producto de Sumas Estndar (I)Conversin de una Suma de Productos Estndar a Producto de Sumas Estndar (II)Conversin de una Suma de Productos Estndar a Producto de Sumas Estndar (III)Mapas de Karnaugh (I)Mapas de Karnaugh (II)Mapas de Karnaugh de Tres Variables (I)Mapas de Karnaugh de Tres Variables (II)Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (I)Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (II)Adyacencia de Celdas (I)Adyacencia de Celdas (II)Adyacencia de Celdas (III)Minimizacin de una Suma de Productos Mediante el Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh de una Suma de Productos Estndar (I)Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos Estndar (II)Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos No Estndar (I)Mapa de Karnaugh de una Suma de Productos No Estndar (II)Simplificacin de una Suma de Productos Mediante el Mapa de KarnaughAgrupacin de 1s (I)Agrupacin de 1s (II)Determinar el Trmino Producto Correspondiente a Cada Grupo (I)Determinar el Trmino Producto Correspondiente a Cada Grupo (II)Determinar el Trmino Producto Correspondiente a Cada Grupo (III)Sumar los Trminos Productos Obtenidos (I)Sumar los Trminos Productos Obtenidos (II)Sumar los Trminos Productos Obtenidos (III)Obtencin Directa del Mapa de Karnaugh a Partir de la Tabla de VerdadCondiciones Indiferentes (I)Condiciones Indiferentes (II)Minimizacin de un Producto de Sumas Mediante el Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh de un Producto de Sumas EstndarSimplificacin Mediante el Mapa de Karnaugh de Expresiones Producto de Sumas (I)Simplificacin Mediante el Mapa de Karnaugh de Expresiones Producto de Sumas (II)Conversin entre Suma de Productos y Producto de Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (I)Conversin entre Suma de Productos y Producto de Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (II)Conversin entre Suma de Productos y Producto de Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (III)Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (I)Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (II)Adyacencia de Celdas (I)Adyacencia de Celdas (II)Adyacencia de Celdas (III)

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