ALGEBRA 5° 4B

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao SecundariaALGEBRA5to Ao Secundaria

Objetivos Aplicar los captulos desarrollados anteriormente.

Diferenciar una desigualdad y una inecuacin.

Buscar la aplicacin del curso a problemas diarios mediante este captulo.

Introduccin

Toda la teora de la investigacin del mximo y del mnimo supone dos incgnitas y la regla siguiente:

Sea a una incgnita cualquiera de la cuestin (con una, dos o tres dimensiones segn el enunciado). Se expresar la cantidad mxima o mnima a por medio de trminos que podrn ser de cualquier grado. Se substituir luego a +e a la incgnita primitiva a y se expresar as la cantidad mxima o mnima y se quitarn los trminos comunes de una y otra parte. Hecho esto se encontrar que en ambas partes todos los trminos estarn afectados con e por una de sus potencias. Se dividirn todos los trminos por e o por una potencia de grado ms alto de modo que en cuando menos uno de los trminos de cualquiera de los miembros e desaparezcan enteramente. Se suprimirn a continuacin todos los trminos donde entre e o alguna de sus potencias y se igualarn los dems, o bien, si en alguno de los miembros no queda nada, se igualarn, lo que es igual, los trminos en ms con los trminos de menos. La resolucin de esta ltima ecuacin dar el valor de a que conducir al mximo o al mnimo retomando su primera expresin.

Consideramos AC =b, sea a uno de los segmentos y b - a el otro segmento; el producto del que se busca el mximo ser ba-a2. Sea ahora a+e el primer segmento de b, el segundo ser b - a - e, y el producto de los segmentos ser ba - a2 + be - 2ae - e2

A esto se le debe adigualar el precedente : ba - a2. Suprimiendo los trminos comunes: be 2ae + e2. Dividiendo todos los trminos: b 2a + e. Suprimir e: b=2a.

Para resolver el problema hay que tomar la mitad de b. Es imposible proporcionar un mtodo ms grande.

DESIGUALDAD

Es aquella comparacin que se establece entre dos nmeros reales, mediante los smbolos de desigualdad: , . Luego si a y b son nmeros reales, entonces: a < b, a > b, a y a b se llaman desigualdades, y se leen:

a < b: a menor que b

a > b: a mayor que b

a b: a menor o igual que b

a b: a mayor o igual que b

DEFINICIONES

Sean a, b R Luego:

1.a es positivo a > 0

2.b es negativo b < 0

3.a > b (a - b) es positivo

4.a 1 pues 2 - 1 = 1 > 0

Sean a,b R, Luego :

1.La expresin simblica a > b tiene el mismo significado que: b < a.

Por ejemplo: 5 > 2 2 < 5

2.La expresin simblica a b significa que a < b a = b, es decir, cuando se verifica cualquiera de las expresiones: a b a = b

4.Si a b b c, escribiremos abreviadamente

a b c

Por ejemplo:

4 x x 9 entonces 4 x 9

LEY DE TRICOTOMA

Para cualquier nmero real a, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a < 0 a = 0 a > 0

Corolario

Para cualesquiera dos elementos a,b R, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a b

Prueba

Sean a y b nmeros reales, entonces (- b) tambin es real, luego por la Ley de Clausura para la adicin (+) en R se tiene que a+ (-b) es real, es decir (a-b) R. Aplicando la Ley de Tricotoma para (a - b) R:

a - b < 0 a - b = 0 a - b > 0

Equivalentemente [por las definiciones (3), (4) y por el principio: la diferencia de dos nmeros es cero si y slo si son iguales]

a b

LA RECTA NUMRICA REAL

Es aquella recta geomtrica donde existe una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los nmeros reales.

Se observa que la representacin de los nmeros irracionales en la recta numrica, determina la completitud, es decir, que a cada nmero real le corresponde uno y slo un punto de la recta y cada punto de la recta es conjunto es continuo, es decir, no existe ningn vaco entre sus elementos.

INTERVALOS

Sea I un subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y slo si es el conjunto de todos los nmeros reales que estn comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales)

Los smbolos + y - se llaman ideales.

Clases de intervalos

Si I es un intervalo, puede ser, acotado o no acotado.

A.Intervalo acotado

1.Abierto

Si a, b R con a b, se llama intervalo abierto y se denota por , al conjunto de los nmeros reales x, tales que:

a < x < b.

Es decir: =

Representacin:

2.Cerrado

Si a b R con a b, se llama intervalo cerrado y se denota por [a;b], al conjunto de todos los nmeros reales x, tales que a x b.

Es decir : [a;b] = {x R / a x b}

Representacin:

3.Semiabiertos

Si a, b R son extremos de un intervalo y uno, cualquiera de ellos, no est en dicho intervalo, ste se llama intervalo semiabierto; es decir: son intervalos semiabiertos donde :

Representacin:

B.Intervalo no acotado

Es aquel intervalo que tiene por lo menos un extremo ideal + - .

Los siguientes intervalos son no acotados.

=

= R Toda la recta numrica

Operaciones con intervalos

Sean A y B intervalos se definen y se denotan :

A B = {x R / x A x B}

A B = {x R / x A x B}

A - B = {x R / x A x B}

CA = AC = A = A {x R / x A}

A = Complemento de A respecto a R

A = R - A

EJERCICIO

Sean los conjuntos (intervalos)

A = {x R / x 5}

B = {x R / - 8 x < 12}

Hallar:

TEOREMA DE DESIGUALDADESSean a, b, c, d nmeros reales, luego:

1.a 0: a bc

5. a R: a2 0

6.(a 0 (a >0 b > 0) (a < 0 b < 0)

9.ab0 b < 0) (a < 0 b > 0)

10.a > 0

11.b < 0

12.Si a y b tienen el mismo signo, entonces :

a 5 +5 es cierto.

Tambin en la inecuacin x + y 2, para x =1 y = 1 la inecuacin se verifica, pues 1+1 2 es cierto, luego (1;1) es una solucin particular.

CONJUNTO SOLUCIN

Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuacin. Si la inecuacin no tiene solucin, entonces decimos que el C.S. es el conjunto vaco.

RESOLVER UNA INECUACIN

Significa hallar su conjunto solucin. La resolucin se realiza slo empleando pasos equivalentes, por ejemplo, si queremos resolver la inecuacin: 2x + 3 > x +5, diremos:

2x+3>x+5 2x + 3 + (-3) > x + 5 + (- 3)

2x > x + 2

2x + (- x) > x + (- x) + 2

x > 2

Grficamente:

Luego : C.S. = {x R / x > 2} =

INECUACIN LINEAL

Forma general:

P(x) = ax + b

0 ; a 0 a; b R

Resolver: ax + b 0; a < 0

ax + b 0 ax + b + (-b) 0 + (- b)

ax - b; a < 0

x

Grficamente:

Luego C.S. =

Resolver:

< 4x + 5, siendo a < 1

CRITERIO DE LOS PUNTOS CRTICOS

Es utilizado para analizar la variacin de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicacin indicada. Ejemplo 1: Sea P(x) = (x - 2)(x - 5)

Las races del polinomio son: 2 5

Ubiquemos estos valores en la recta real.

Las races del polinomio particionan a la recta R en 3 zonas (intervalos)

I.x

x < 2 x - 2 < 0 x - 5 0

II.x

2 < x < 5 0 < x - 2 < 3 - 3< x - 5 5 x - 2> 3 x - 5 > 0, luego: (x - 2)(x - 5) > 0

Grficamente: P(x) = (x - 2)(x - 5)

Ejemplo 2 :

Sea P(x) = (x - 3) (x + 1)(x - 6),

Las races son: -1, 3, 6.

Ubiquemos estos valores en la recta real.

Las races del polinomio particionan a la recta R en 4 zonas (intervalos).

Analicemos las variaciones

Factor Zonax - 3x+1x - 6P(x)x < -1-----1 < x < 3-+-+3 < x < 6++--x > 6++++

Si se tratar de resolver: P(x) > 0, tendramos que: el C.S.=

EMBED Equation.3

Cuando formamos la inecuacin polinomial los valores de las races del polinomio toman el nombre de puntos crticos.

INECUACIONES CUADRTICASSon aquellas inecuaciones de la forma :

Siendo: a, b, c R a 0

Qu sucedera si algn coeficiente no es real?

Sera complejo, pero Ud. sabe que en C no est definido el orden. Bien vamos a comenzar el estudio de esta inecuacin:

Resolucin:

Como (a 0) divide a ambos miembros entre a, teniendo cuidado el posible cambio en el sentido de la inecuacin, entonces tenemos :

Ahora nuestra meta ser tratar de completar cuadrados dentro del parntesis.

Pero recuerde que

es el Discriminante!, el cual denotamos

. Vamos a reemplazar en () y tendremos:

Comenzaremos con el anlisis de los casos posibles que dependen del discriminante.

Caso I

Si ( = 0) reemplazando en (), nos queda :

Cancelo a cuidndose de la variacin del signo.

En este caso tenemos por ejemplo :

A.

0 C.S. = R, pues x R, cumple al ser reemplazada en la inecuacin.

0

Reemplazando en ():

(x - 2)(x - 4)

6x 8 x

(**)

Intersectando (*) y (**)

Teorema

Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R.

i.

ii.

Ejercicio: Resolver :

Resolucin :

Por el teorema anterior en la parte i. Tenemos :

x + 6 > 2x - 3x + 6 < - (2x-3)

9 > xx + 6 < - 2x +3

x < 9

x < - 1

Ejercicio

Resolver :

Resolucin :

Por la parte ii del teorema anterior, se tiene :

PRACTICA DE CLASE

Nivel I:

01.Sean los intervalos:

A = [-6; 5]

A

B = ]-2; 9[

Calcular la suma de los valores enteros de AB.

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 14


C = [-4; 4]

D= ]4; 8 [

Calcular C D

a) [-4; 4]b) ]4; 8 [c) ]-4; 8[

d) [0; 8]e) [-4; 8 [

03.Si la unin de los intervalos:

E = [-4; 5 [

F = ]-2; 5 [

es: [a; b]. Calcular ab

a) -20b) -10c) 2

d) 8e) 25

04.Si: a > b > c > 0 y

M = [-a; 0]

N = ]-c; c]

P = [-b; a]

Calcular: M N P

a) [-c; 0]b) [0; c ]c) [-b; c ]

d) ]-c; 0 [e) [c; b ]


M = [-6; 13 [

N = ]-3; 5 [

Si M N est representado por ]m + 1; n - 2[

Calcular: m + n

a) -3b) -1c) 0

d) 3e) 5

06.Si la interseccin de los intervalos:

M = ]-5; -1 [] 2; 11 [

N = [-3; 4]

es: [a; b[ ]c; d]

Calcular : a + b + c+ d

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5


P = [-15; -9] [-3; 3] [10; 17]

Q = [-12; -1] [1; 13]

Luego se interseca P Q, indique un intervalo de P Q.

a) [-12; -3]b) [-3; 10]c) [3;13]

d) [-3; -1]e) [-9; 10]

Nivel II


A = R

B = [-3; 4 [

C = ]-1; 3 [

Calcular: A B C

a) ]-1; 4[b) [-3; 3]c) ]-1; 3 [

d) ]3; 4ee) [-3 ; -1[


A= ]-11; 7[

C = ]-8; 8 [

B= [-6; 11[

D = [-15; 15]

Calcular (A C) (B D); dar como respuesta la suma de sus valores enteros.

a) 7b) 17c) 27

d) 37e) 47

10.Resolver:

7(3 - 2x) + 2(2x+15) < 2(5x -7) - 3(2x -11)

a) x ]2; + [

b) x ]- ; -2 [

c) x ]0; + [

d) x ]-2; + [

e) x ]- ; 2 [

11.Resolver:

a) x > 5/6b) x < 5/6c) x > 5

d) x > 6e) x < 6/5

12.Luego de resolver la inecuacin:

Indicar el menor valor entero de x

a) 77b) 76

c) 80

d) 79e) 78

13.Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I.Si: -2 < x < 3 0 x2 < 9

II.Si: -3 < x 4 9 < x2 16

III.Si: x R x2 > 0

a) VVVb) VFF

c) VFV

d) FVFe) FFF

14.Si:

< 0; entonces se cumple:

a) a < 0 b > 0b) a > 0 b < 0

c) a > b

d) ab > 0

e) ab < 0

15.Si x es tal que:

Entonces:

a) -1/3 < x 1/2

d) x > 1/2 - 1/3 x < x < 0

e) x < -1/3 x > 1/2

Nivel III:

16.Resolver la inecuacin:

E indicar un valor entero admisible para x

17.Resolver:

(x+5)(x+3) (x+2) (x+ 1) + 3

a) x [-2; + [b) x ]-; -3]

c) x [2; + [d) x ] - ; -2 ]

e) x [3; + [

18.Resolver:

a) x ]2/5; + [b) x ]2/5; 3 [

c) x ]3; + [

d) x ]2; + [

e) x ]5/12; + [

19.La suma de los valores enteros y positivos de x que satisfacen la inecuacin:

; es:

a) 1b) 2

c) 3

d) 6e) 10

20.Si: a > b c R

Son ciertas:

I.a + c2 > b + c2II.

III.a - c bc

a) Slo Ib) slo IIc) I y III

d) II y IVe) Todas

PROBLEMAS PROPUESTOS 01

01.Resolver: x2 - 3x < 4

a) x Rb) x > -1c) x > 4

d) -1 x 4e) -1< x < 4

02.Resolver:

x2 + 2x >8

e indicar un intervalo solucin:

a) ]4; + [b) ]- ; 2 [c) ]2; + [

d) ]1; + [e) ]4; + [

03.Resolver:

(x + 2) (x + 4) 2x + 16

a) x [-6; 2 ]

b) x ]- ; -6 [ [2; +]

c) x [4; 8]

d) x ]- ; -6 [

e) x [3; + [

04.Resolver:

a) [-2; -1[ [3; + [

b) [-2; 3 [

c) ]- ; -2 [

d) ]- ; 2 [ ]-1,3 [

e) ]-2; [ -{-1}

05.Resolver:

a) 2 < x < 3b) -5 < x < 3c) -3 < x < 2

d) 4 < x < 6e) - 1< x < 6

06.Hallar el conjunto solucin de la inecuacin:

a) ] -; -2[ [1; + [

b) ]-2; 1 [

c) ]-; 2 [ ]1; + [

d) ]1; 8 [

e) 07.Resolver:

a) x ] -1/2; 0 [

b) x ]0; 1/2 [

c) x ]-; -1/2 [ ]0; + [

d) x ]-; 1/4[ ]1/2; + [

e) x ]1/4; 1/2 [

08.Determine el mayor valor entero de M que satisface la desigualdad:

7x2 + 28x + 3 > 7M

se verifica para todo x R

a) 3b) -3c) 0

d) -4e) 4

09.El menor nmero entero que satisface la desigualdad:

; x R

a) -2b) -1c) 0

d) 1e) 2

10.Sea el polinomio:

P(x) = x2 - 4x +m - 5

Si P(x) >0; x R; entonces los valores que asume m son:

a) m > -9b) m < -9c) m > 9

d) m < 9e) m < -5

11.Resolver:

a) ]-

; -

[b) ]-

; -

[

c) R

d)

e) R - ]-

; -

[

12.Resolver:

a) 6 < x < 12

b) -6 < x < 12

c) -12 < x < -6d) x < -12 x >6

e) -12 < x < 6

13.Resolver:

a) x > 14b) x > 13c) x > 12

d) x > 15e) x > 5

14.Cuntos valores enteros satisfacen el sistema?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 7

15.Resolver el sistema:

3x2 + 2x > 0

x3 + x2 + x < 0

a) 0 < x < 2/3

b) x > 2/3

c) x < 0

d) x < -2/3

e) 16.Resolver el sistema:

a) x > 1b) x < -1c) x > 1,5

d) x < -1 x > 1,5e) x > 2

17.Luego de resolver:

se obtiene x [a; b [ ]c; + [

el valor de a + b + c

a) -3b) -4c) -5

d) -6e) -7

18.Si:

Entonces x pertenece al intervalo

a) ]4; 11[b) ]-1; 11[c) ]-1; 4 [

d) ]-; -1[ ]4; +[e) ]4; 15 [

19.Dada la inecuacin:

; a < b < 0

entonces uno de sus intervalos solucin es:

a) ]0; + [b) ]a; b [c) ]a; 0 [

d) ]-; b [e) ]b ; 0 [

20.Indique el intervalo solucin de:

a) ]-1; 1[

b) ]-; -1[ ]1; + [

c) ]-1;0 [ ]0; 1[

d) ]-1; 1[ ]1; + [

e) TAREA DOMICILIARIA

01.Sean los siguientes intervalos

A = ]0; + [

B = ]2; 5 [

Determine A B

a) ]0; 2 [b) ]5; + [c) ]0; 5 [}

d) ]2; + [e) ]2; 5 [

02.Si:

P = [-1; 7]

Q = ]3; 10 ]

determine el nmero de valores enteros de

P Q

a) 12b) 13c) 11

d) 14e) 10

03.Relacione correctamente los grficos con su intervalo.

A. A BB. B - AC. A B

a) 1A; 2B; 3C

b) 1C; 2B; 3A

c) 1A; 2C; 3B

d) 1B; 2A; 3C

e) 1C; 2A; 3B

04.Calcular la suma de los valores enteros de MN si:

M= ]-; -2] ]3; +]

N = ]-7; 8]

a) 8b) 9c) 10

d) 11e) 12

05.Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados:

I.Si -a > b c > 0 (a + b) c < 0

II.Si x < 0

>0

III.Si a > b > c > 0 < a - b > - (b - c)

IV.Si n > 2 m < -1 n - m > 3

a) VVFFb) FFFFc) VFVV

d) FFVVe) VFFV

06.Si a > 0 b < 0 entonces se puede afirmar siempre:

I.(a - b) b < 0

II.(a + b) b < 0

III.

a) slo Ib) slo IIc) II y III

d) slo IIIe) I y II

07.Resolver

3(x + 5) -2(6 -x) > 5(1 - x)

a) x < 0,3b) x > 0,3c) x < 0,5

d) x > 0,5e) x > 0,2

08.Si la inecuacin: (x+2) (x+3) > (x+5) es equivalente a:

(n Z+)

Calcular :

a)

b) 2c)

d)

e) 3

09.Resolver el siguiente sistema:

.................... ()

.................... ()

a) ]-; 3]b) [3; +[c) ]-; -23]

d) [-23; 3]e) [-23; +[

10.Resolver:

y determinar el mayor valor entero que lo verifica.

a) -3b) -2c) 3

d) 2e) 1

11.Si el conjunto A es la solucin de la inecuacin:

Determine A (complemento de A)

a) ]-; -

] [-

; + [

b) [-

; -

]

c) [-

; -

]

d) [-11; -3]

e) [-

; -

]

12.Resolver el siguiente sistema:

3x - 4 5x +2 -x + 8

a) 1 x 3b) -3 x 1c) -3 x -1

d) x -3e) x 1

13.Se define la siguiente operacin:

a b =

Calcule el nmero de valores enteros que verifican el sistema:

(3) (x) > (2x) (5) (x - 1) (2x)

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

14.Si:

A = {x Z/ x 7}

B = {x Z/ x - 1 > -4}

Entonces la suma de los elemento de A B.

a) 21b) 22c) 23

d) 24e) 25

15.Resolver:

a) x = 2b) x 2c) [

; 2]

d) [

;3]e) x 1

16.Resolver:

a) [4; + [

b) [4; + [ - {8}

c) R

d) ]-; 4 [

e) 17.Resolver el sistema:

m + 3 > 2n .................(1)

3n < 12 - m ................(2)

en Z+. Indique la suma de todos los valores de n que lo verifican.

a) 16b) 22c) 3

d) 4e) 5

18.Si: m > n Resolver:

n(m+x) +m(n-x) m2 + n2

a) x n - mb) x n + mc) x n - m

d) x n + me) x nm

19.Si x es un nmero entero tal que:

m = 3x + 1 ........... (1)

n = x + 9 ........... (2)

p = 2x +3 ........... (3)

m > n > p ........... (4)

Calcular: m + n + p

a) 40b) 41c) 42

d) 43e) 44

20.Si: -3 < 5x + 1 < 2

entonces el intervalo que le corresponde a:

es:

a) ]5/8; 5/4 [

b) ]-5/8; -5/18 [

c) [5; 8 ]

d) ]5; 8 [

e) ]-5; 5 [

PRACTICA DE FIJACIN

01.Resolver:

y dar como respuesta la suma de los valores enteros del conjunto solucin

a) -15b) -10

c) 0

d) 5e) 15

02.Calcular la suma de los valores enteros que verifican la siguiente desigualdad:

a) 76b) 70

c) 57

d) 50e) 38

03.Indique el conjunto solucin de:

a) x

b) x R - {-1; 1}

c) x ]-1;1[- {0}d) x [-1; 1] - {0}

e) x R - [-1; 1]

04.Resolver la siguiente inecuacin:

Sealando la suma de dos valores enteros del conjunto solucin.

a) 53b) 54

c) 55

d) 56e) 57


Dar como respuesta la semisuma de los extremos finitos de los intervalos solucin.

a) -2b)

c) 4

d) -3e) 1

06.Resolver:

a) R+b) R-

c) R

d) Ze) 07.Luego de resolver la siguiente inecuacin:

Indicar el conjunto solucin

a) ]1; 2[b) ]1; 2]c) [-1; 2]

d) [1; 2[e) ]-1; 3[

08.Resolver:

.Si: a > b > 0

a) ]-a; -b[b) ]-b; a[c) ]-a; a[

d) ]-a; a[- {-b}

e) ]-a; a[-{b}

09.Dada la inecuacin:

con -a > -b > 0 entonces uno de los intervalos solucin es:

a) ]0; + [b) ]a; b [c) ]a; 0 [

d) ]-; b [e) ]b; 0 [

10.Dar como respuesta un intervalo del conjunto solucin de:

a) ]-; -

[

b) ]-

;

[

c) [

; +[

d) [-2

; 2

]

e) ]-2

; 2

[

11.Resolver:

x4 + 3x2 + 2x + 2 > 0

a) Rb)

c) [3; -3]

d) R - {-2; 3}e) [0; - [

12.Resolver:

y dar como respuesta in intervalo del conjunto solucin.

a) ]-; -2 ]b) [-3; -1]c) [-1; 2]

d) [1; +[e) ]-1; 3[

13.Si: S representa al conjunto solucin de la siguiente inecuacin:

marque la alternativa correcta:

a) ]1; 2] S

b) [4; +[ S

c) ]-3; 1] S

d) ]1; 4] = S

e) Ms de una es correcta

Par Ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

Propiedades:

1. (a ; b) (b ; a) ( no conmutativa)

2. Si: (a ; b) = (c ; d) a = c b = d

PRODUCTO CARTESIANO

Dados los conjuntos A y B no vacos; se llama producto cartesiano A x B al conjunto de pares ordenados (a; b) donde a A y b B; es decir:

A x B = {(a; b) /a A b B}

Propiedades:

1. A x B B x A

2. n(A x B) = n (A) n (B)

Relacin:

Definicin: Sean a y b dos conjuntos no vacos se llama relacin de A en B, a todo subconjunto R de A x B es decir:

R es una relacin de a en B R C A x B

En particular si A = b, R se llama una relacin en A ( relacin entre elementos de A).

La definicin anterior de relacin exige la comparacin de elementos por pares, por eso suele llamarse relaciones BINARIAS

Ejemplo:

En el conjunto A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}

Establecemos las siguientes, relaciones:

* a es el doble de b*

* a es igual a b*

Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente.

Sea:

R1 = {(a, b) /a es doble de b}

R1 = {(2,1) (4,2) (6,3) (8,4)}

R2 = {(a1 / b) es igual a b}

R2 = {(1,1) (2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)}

Si R es una relacin entre elementos de A y B al conjunto A se llama conjunto de partida de la relacin y a B conjunto de llegada

Se llama dominio de una relacin R al conjunto de todos los elementos a A tales que existe por lo menos un b B con (a,b)R

Se llama rango de una relacin R al conjunto de todos los elementos b B tales que existe por lo menos un a a con (a,b) R.

Ejemplo: De la relacin:

R1 = {(1,2)(2,b)(2,7)(3,2)(1,-2)}

DR1= {1; 2; 3}

RR1 = {2, b, 7, -2}

DR1 =

RR1 =

FUNCIONES

Definicin: Sean A y b dos conjuntos no vacos (pudiendo ser A = B) llamaremos funcin definida en A los valores en B (funcin de A en B) a toda relacin:

f A x B que tiene la propiedad:

(a, b) f y (a, c) f, entonces b = c

Es decir, una funcin f es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

Notacin: Si f es una funcin de A en B se designa por:

f

f : A B A B

Se lee f es una funcin de A en B

Ejemplos:

f={(a, 2) (b, 1) (c, 1)} Es funcin

Si a b c, luego, so es funcin porque se repite el 1er componente.

Si; a = c b, es funcin

* Toda funcin es una relacin, pero no toda relacin es un funcin.

Ejemplo: Hallar los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados sea una funcin:

A = {(2,5)(-1,-3)(2,2a - b)(-1; b-a)(a + b2, a)}

Resolucin: En una funcin 2 pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

A 5 = 2a - b.......... (1)

(-1,3) y (-1, b - a) A b = -a = -3..... (2)

De (1) y (2) resolviendo a = 2 b = -1

El dominio de una funcin f, se designa por Df y se define como el conjunto siguiente:

Df = {x A/ y tal que (x, y) f}

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados

El rango (o imagen) de una funcin f, se designa por Rf o imf y se define como el conjunto siguiente:

Rf = {y B/ x tal que (x, y) f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados.

Si el par ordenado (a, b) f escribiremos:

b = f(a) y diremos que b es imagen de a por f (o tambin, que b es el valor de f en a).

f = {(a, b) A x b/b = f(a), a Df}

Ejemplo: Sea la funcin:

f = {(2, 3)(3, 4)(7, 3)(-2, 6)(4, 1)}

Hallar: M =f(2) + f(3) +f(7) +f(-2)+f(3)

Resolucin:

Como f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3

f (-2) = 6; f(4) = 1

M = 18

Regla de Correspondencia: Para que se pueda definir bien una funcin es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x Df, su imagen f(x).

Ejemplo:

Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a)f = {(2, 3)(4, 5)(6, 3)(-2, 1)}

Df = { 2, 4, 6, -2 }

b)f(x) =

Df : x - 2 > 0 : x 2 Df = [2, >

c) f(x) =

Df :

0 y x - 3 0

Df = [2, > -{3}

Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones:

a)f = {(2, 3) (4, 6) (5, 7)(7, 6)(-2, 3)}

Rf = {3, 6, 7, 3}

b)Sea f(x) = x2

y =

Df=

U {0} ; Rf=[0, >

*Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las mas conocidas:

Cuando tenemos una funcin donde su dominio no presenta rango, se despeja x en funcin de y;

Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desiguales.

c)Para la funcin definida por:

g(x) = 2x2 + 3x + 2 / x R

Resolucin:

y = 2x2 + 3x+ 22x2 + 3x + (2 - y) = 0

Si x ; luego y tambin

Pero: 0; 9 - 8(2 - y) 0 y 7/8

Rg = {7/8, >

d)Para la funcin definida por:

h(x) = x2 - 4x + 7; x [2, 3]

Resolucin:

y = x2 - 4x + 7

y = (x - 2)2 + 3

Como: 2 x 3 0 x - 2 1

Al cuadrado: 0 (x - 2)2 1

Sumando tres a cada miembro:

3 y 4

Resolucin:

y =

; yx2 + y = x2 x2(y - 1) = -y

x2 =

x =

0;

0

y [0,1> Rf = [0,1>

GRFICA DE UNA FUNCIN

Definicin: Sea f una funcin real, la grfica de f e el conjunto G, de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que x est en el dominio de f e y, es la imagen de x por f, es decir:

G = {(x, y) R2 /y = f(x), x Df}

*Una grfica cualquiera ser funcin; si y slo si al trazar una paralela al eje y corta a la grfica en un slo punto.

Ejemplo:

a)

F(x) es funcin L1, la recta paralela corta a la grfica en solo un punto.

b)

G(x) no es funcin L2, la recta paralela, corta a la grfica en ms de un punto.

FUNCIONES ESPECIALES

1.Funcin Constante:

- Regla de correspondencia f(x) = k

Df = R Rf = k

Significa que f = {.... (0, k) (1, k) (2, k) ....}

f = {(x, k) / f(x) = k}

Grfica:

2.Funcin Identidad:

- Regla de correspondencia

Df = R Rf = R

Significa que F = {...(1, 1)(2, 2) (3, 3) ...}

x = y}

Grfica:

3.Funcin Valor Absoluto:

- Regla de correspondencia f(x) = |x|

Nota:

Df = R; Rf = R+ {0}

Significa que

f = {... (-2, 2) (-1, 1)(0, 0)(1, 1)...}

f(x) = |x|

y = |x| x = 1; y = 1

x = -1; y = 1

Grfica:

4.Funcin Raz Cuadrada:

- Regla de correspondencia: f(x) =

. x0

- Df = R+; Rf = R+

Significa que:

f = {(0, 0)(1, 1)(2,

)(3,

) ...}

Grfica:

5.Funcin Lineal:

Es una funcin con dominio todos los reales y como regla de correspondencia:

f(x) = ax +b, donde a y b son constantes cualesquiera. a 0

Su grfica es un recta: con pendiente a e intercepto b

Grfica:

m = pendiente de la recta

m = tg

Ejemplo:

Calcular la funcin lineal que tenga:

f(1)= 3 y adems f(2) = 2f(3).

Resolucin:

f(x) = mx + b

f(1) = m + b = 3 ................ ()

Adems: 2m + b = 2(3m +b)

2m + b = 6m + 2b

b = - 4m ............. ()

De () y (): m = -1 b = 4

f(x) = -x +4

6.Funcin Cuadrtica:

Definicin: Es una funcin con dominio el conjunto de lo nmeros reales y cuya regla de correspondencia es:

f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ; a 0

Su grfica es una parbola simtrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetra, abierta hacia arriba si a > 0 hacia abajo si a < 0.

Nota Grfica:

Sea la funcin y = ax2 + bx + c

D = Discriminante = b2 - 4ac

a < 0

D > 0

{x1; x2 } races de la ecuacin cuando y = 0

a < 0

D = 0

{x1; x2 } races iguales de la ecuacin cuando y = 0

a > 0 , D < 0

a < 0 , D < 0

En esta funcin cuando y = 0; los valores de x son nmeros complejos.

Otras funciones

Funciones Pares:

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simtricas respecto del eje y ; y se cumple que:

i) Si x Df -x Df

ii) f(x) = f(-x)

Df

Funciones Impares:

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simtricas respecto del origen:

i) Si x Df -x Df

ii) f(x) = -f(-x)

Df

Ejemplo:

Indicar que funciones son pares, impares o ni par ni impar:

I)F(x) = x4 + 1

II)G(x) = x3

III)H(x) = x - |x|

I) F(x) es par porque:

F(-x) = (-x)4 + 1

F(-x) = x4 + 1

F(-x) = F(x)

H(x); Tambin H(-x) H(x)

es:

a) 4b) 2c)

d) 3e) 7

02.Si: G = {(6, 4)(3, 6),(3, |x|), (x, 5)}

Representa una funcin su rango y dominio son:

a) {6, -6, 5} ; {3,6}

b) {3,6,-6} ; {3; -6}

c) {4, 6, 5} ; {3, 6, -6}

d) {4, 6, 5, -6} ; {3, 6, -6}

e) {4; -6; 5} ; {3, -6}

03.A partir de: f = {(5,2)(4,1) (3,8) (7,-6)}

Hallar: f(4) + f(5) - f(7)

a) 3b) -3c) 9

d) 6e) -6

04.Si: g = {(-4, 2) (5, a), (8, b), (3, 1)}

Y adems: g(5) = 10; g(8) = 4.Hallar:

f(-4) + a - b

a) 2b) 6c) 4

d) 3e) 8

05.Sea f = {(x, y) / y = 2x - 1}

Y adems Dom f = x {-5, 2, 3, 4}

Hallar el rango de f

a) {-4, -1, 2, 3}b) {-4, 1, 2, 3}

c) {-11, 5, 3, 7}d) {-9, 5, 3, 7}

e) {-9, -3, 5, 7}

06.Dada; la funcin:

G = {(x, y) N x N/ y = 2x 3 x 10}

Indique uno de sus elementos:

a) (4, -8)b) (12, 6)c) (4,8)

d) (8, 4)e) (3,12)

07.Calcular el Dominio de:

f(x) =

a) x -

b) x

c) x [-2, 2]

d) x

e) x +

08.Hallar el Dominio de:

a) x - {-2}

b) x -{2}

c) x - {2,

, -

}

d) x - [2, +>

e) x {2}

09.Sea:

.

Calcule su Dominio

a) x [2, +>

b) x [-2, -1]

c) x [-2, > - {-1}

d) x [-2; -1>

e) x d) y

a)

c) x [-4; 8>

d) x [-4, >

e) x [-4, 8]

25.Graficar: g(x) =

+ 2

26.Graficar: h(x) = 5 - x2

27.Graficar: f(x) = x |x|

28.Grafique:

29.Del grfico:

Hallar f(-4) + f(4)

a) -2b) 2c) 1

d) 3e) 6

30.Dada la funcin: f(x) = ax2 + 2x +3 ; a 0

Si: f(xo) f(x) x Dom f. Hallar xo

a) a-1b) -a-1c) -1

d) -

e)

/ 3

TAREA DOMICILIARIA N 02

01.Hallar el rango de:

G(x) =

a) [0, 6]b) [0,

]c) [2,

]

d) [

,

]e) [-2,

]

02.Del problema anterior:

Si los radicales estuvieran multiplicndose, Cul sera el Rango?

a) y -b) y +c) y [0,3]

d) y [0,

]e) y [

,

]

03.Sea:

f(x) = {(3,3) (4,4) (5,5) (1,1)}

Su grfica es:

04.De g(x) = 3x +5 , x

Hallar su Rango:

a) b) c) [11, 8]

d) e) [11, 23]

05.De H = {(2, 6), (5, 4) , (6, 3) ,(9, 1)}

Hallar: f(2) + 2f(5) + 3f(6) - f(9)

a) 19b) 17c) 22

d) 24e) 23

06.Hallar el dominio de:

g(x) =

a) x - {6}

b) x {6}

c) x d) x

e) x [5, +> - {6}

07.Obtener de Dominio de:

a) x {2}

b) x - {-2}

c) x - {-1}d) x - {2}

e) x - {1}

08.Calcular el Dominio de:

G(x) =

a) x [-6, +>b) 0

Donde la caracterstica y la mantisa se definen de la siguiente manera:

I) Caracterstica .- Es la parte entera del log x; sta puede ser positiva o negativa y se puede calcular mediante reglas sencillas.

II) Mantisa .- Es la parte decimal del log x, y se calcula mediante tablas.

B)DETERMINACION DE LA CARACTERISTICA

Considerando al logaritmo de x: log x, se distinguen dos casos para determinar su caracterstica, la misma que se calcular teniendo en cuenta las siguientes reglas:

I) Si x > 1 log x > 0

La caracterstica en estos casos es positiva e igual al nmero de cifras de la parte entera de x disminuido en uno ( 1 ).

II) Si 0 < x < 1 log x < 0

La caracterstica en estos casos es negativa e igual al nmero de ceros que suceden a la primera cifra significativa de x incluyendo al cero ubicado a la izquierda de la coma decimal.

Observacin .- la expresin

indica que solo la parte entera es negativa, es decir, no debe confundirse con: - 3,176 091.

Si se desea saber el valor de

, se deber efectuar as: - 3 + 0,176 091 = - 2,823 909

PRCTICA DE CLASE

01.La igualdad:

Se cumple si y slo si:

a) a > 0 ; x R

b) a > 1 ; x R - {0}

c) a 1 ; x > 0 a > 0

d) a R - {1} ; x R - {0}

e) a > 1 ; x > 0

02. Calcule:

a) 5 b) 7 c) 9

d) 11 e) 3

03.Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3 = b

Hallar: Q = Log 72

a) 2b + a b) a - 2b c) 3b - 2a

d) 2b + 3a e) 3 - 2a

04.Hallar el valor de :

P =

a) 2 b) 4 c) 1/4

d) 1/2 e) N.a.

05.Simplificar :

M = log94 . log53 . log725 . log2 49

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

06.Calcular en :

= (log tan 1 ) ( log tan 2 ) ( log tan 3) .......

(log tan 89)

a) log tan 89! b) 1 c) 0

d) -1e) [log tan 89 ]89

07.El valor de x diferente de L que verifica :

log x2 = ( log x )2, es :

a) 10 b) 2 c) 100

d) 0,1 e) 0,01

08.A partir de la igualdad :

Indicar el valor de x.

a) 48 b) 51 c) 55

d) 58 e) 16

09.Halle el mayor valor de x en la igualdad :

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10.Resolver y hallar x en la ecuacin

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11.Determinar x a partir de : 3x = 5

a) x = log5 3 b) x = log35

c) x = 3log 5 d) x = 5log 3

e) x = log 1/35

12.Obetener el valor reducido de :

A = Antilog

a) 10 b)

c) 100

d) 10

e) 1

13.Hallar x en:

a) 10b) 14c) 6

d) 2e) 4

14.Calcular:

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 7

15.Calcular:

a) 2b) 25c) 5

d) 1/5e) 125

16.Calcular:

si se sabe que:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

17.Reducir:

a) b) abc c) a + b + c

d) ab + ac + bce) 2

18.Calcular:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

19.Calcular:

a) 2b) 8c) 4

d) 0,5e) 0,25

20.Sealar la menor raz de la ecuacin:

a) 2/3b) 2/5c) 3/2

d) 5/2e) 5

21.Hallar x en:

a) eb) e2c) e-1

d)

e) e/2


sealar el producto de sus soluciones

a) e4b) e7c) e6

d) e8e) e13

23.Si:

, indicar el valor de b

a)

b)

c)

d) 2e)

24.Resolver:

Loga64 Logxa = 3

a) 2b) 8c) 6

d) 4e) 5

25.Al resolver la ecuacin:

podemos afirmar:

a) Admite como solucin a la unidad

b) Se verifica para x = -9

c) Su C.S. = {-9; 1}

d) Es inconsistente

e) Es indeterminada

26.El valor de :

M =

; es :

a) 198 b) 190 c) 187

d) 202 e) 1181

27.El equivalente de :

Q =

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

28.Sabiendo que :

Obtener el valor de :

a) 0,8355 b) 0,9375 c) 0,5724

d) 0,7218 e) 0,6521

29.Calcular :

+

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 0,5

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

30.Hallar x en :

2 = 3

31.Hallar x en :

= Colog

a) 1/5b) 1/3c) 2/3

d) 2/5e) 3/5

32.Si :

=

(1)

=

(2)

Calcular (x - y) .

a) 10b)

c)

d)

e) N.A.

33.Encontrar el dominio de la funcin F definida por:

F(x) =

a) b) c)

d) e) - {1}

34.En la figura C representa una funcin logartmica y

una funcin lineal. Hallar la suma de las coordenadas en el punto P.

a)

b)

c) 1

d)

e) 2

35.Del siguiente grfico :

Calcule el segmento

a) 2b)

c)

d)

e) 1PROBLEMAS PROPUESTOS 03

01.Calcular :

(

)

a) 1b)

c) 7

d)

e)

02.El valor :

.

es :

a) 100b) 1000c)

100

d) 10e)

10003.Calcular log y si :

y =

EMBED Equation.3

8

a) - 3 log 3b) 2 log 3c) - 2 log 3

d) 3 log 2e) No existe en R

04.De las proposiciones siguientes :

1000 000 = 6

log

EMBED Equation.3 (-1) = 0

Los logaritmos de nmeros reales positivos son siempre positivos.

Es falso que en ningn caso se cumple que :

log x + log y = log(x+y)

Cuntas son falsas?

a) todasb) 3c) 2

d) 1e) Ninguna

05.Siendo : a > 1 b > 1, reducir :

E =

a) ab) bc)

d)

e) ab

06.Siendo a + b > 0, reducir :

L =

a) 2b)

c) 1

d)

e)

07.Siendo : {a; b; c; x; y}

- {1}

reducir :

L =

a)

b)

c) 1

d) xye)

08.El equivalente de :

E =

es :

a) 1b) log 3c) Ln 10

d) Ln 30e) log (3e)

09.Resolver la ecuacin logartmica :

=

y dar el producto de sus soluciones :

a) 100b) 10c) 0,1

d) 0,01e) 1

10.Resolver :

=

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 7

11.Resolver :

= 27 x

Dar la menor de sus soluciones :

a) 3b)

c)

d)

e)

12.Hallar una solucin de la ecuacin :

a)

b) 4c)

d) 16e)

13.Una solucin de la ecuacin :

es :

a)

b)

c) 2

d)

e) Ecuacin Absurda

14.Resolver :

= 1

a) 5b) 7c) 4

d) - 5e) No tiene solucin

15.Hallar el valor de x en la ecuacin :

= 2x log 3

a)

b)

c)

d) 3

e)

16.Resolver : }

= 1

a)

b)

c) 2

d) 4e) 8

17.Resolver :

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

18.Resolver :

a)

b) -

c)

d) -

e) Absurdo

19.Calcular el valor de :

E =

.

+

.

-

.

a)

b) -

c) 3

d) - 3e) 0

20.Sabiendo que : log log log x = 1 + log 2

Calcular :

a)

b)

c)

d)

e)

PRCTICA DOMICILIARIA

01.Hallar:

a) 1/2b) 2

c) 1

d) 4e) N.a.

02.Resolver:

a) 1b) 2

c) 3

d) 4e) 1/2

03.Hallar un valor de x en:

a) 0,04b) 5

c) 0,4

d) 0,2e) 0,02

04.Halle un valor aproximado de x si:

Log2 = 0,3 y Log3 = 0,47

2x = 24

a) 3,5b) 4,5

c) 2,5

d) 5,5e) 6,5

05.El valor de b que satisface la siguiente igualdad:

es:

a) 1/5b)

c)

d) 5e) 25

06.Indicar el valor de n en:

a) 3b) 2

c) 5

d) 4e) 6

07.Sabiendo que: Log3300 = m

Calcule: Log3

a) m + 1b) 2/m

c) 2/(m+1)

d) 2/(m-1)e) m2

08.Calcular el producto de las races de la ecuacin:

a) 105b) 10-2

c) 10-3

d) 10-4e) 10-1

09.Si: Logmnm= 4; Calcular:

a) -3b) 13/12c) 17/6

d) 4/3e) 17/16

10.Hallar el valor de:

a) -1/4b) -1/8

c) -1/2

d) 1/4e) 1/8

11.Resolver: Log2Log3Log2Log3x = 0

a) 1b) 3

c) 243

d) 6 561e) 1 024

12.Resolver:

a) C.S. = {-1}

b) C.S. = {2}

c) C.S. = {2; 3}d) C.S. = {-1;2]

e) C.S. = {-7; 2}

13.Si: F(x+Logx)= x - Logx. Hallar: F(11)

a) 2b) 3

c) 7

d) 9e) 11

14.Considerando a > 1 indique el menor valor de x que cumple:

a) 1/2b) -1/2

c) 1

d) -1e) 4/3

15.Indicar la menor solucin de:

a) 8b) 9

c) 10

d)

+1e)

-1

16.Reducir:

a) Log 6b) Log 15c) Log35

d) 1e) Log53

17.Sean: a; b y c tres nmeros en progresin geomtrica en ese orden

Calcular la razn de la progresin

a)

b)

c)

d)

e)

18.Indicar la suma de valores de y luego de resolver:

a) 2b) 1 024,25c) 1 024

d) 4 096,25e) 256

19.Hallar el valor de m si:

a) 1/5b) 2

c) 1/4

d) 1/25e) N.a.

20.Calcular:

a) 2b) 4

c) 3

d) 5e) 1

AUTOEVALUACIN

01.CEPUNT 96: III SUMAT. AREA A

Al resolver la ecuacin:

Una de sus races es :

a) 4b) 3c) 2

d) 1e) 0

02.UNT - 96: AREA A

La expresin:

Es equivalente a :

a)

b)

c)

d)

e)

03.UNT - 96: AREA A y B

El conjunto solucin de la ecuacin:

es :

a) {-2}b) {-2 ; 2}c) {2}

d) {-2 ; 4}e) {2 ; 4}

04.UNT - 96: AREA B

En la expresin:

; se cumple la siguiente relacin :

1)El valor de N es el doble del valor de a

2)El valor de N es igual que el valor de a

3)El valor de N es el cuadrado del valor de a

4)El valor de N es mayor que el valor de a

5)El valor de N es menor que el valor de a

Son ciertas:

a) 1 y 4b) 2 y 4c) 3 y 4

d) 5e) N.A

05.UNT - 97: AREA B

El valor de x que satisface la ecuacin:

es:

a)

b) -

c)

d) -

e)

06.UNT - 99: AREA B

Al simplificar la expresin:

. Se obtiene:

a) -1b) 0c) 1

d)

e)

07.UNT - 99: AREA A

La suma de las races de la ecuacin:

es :

a) 25b) 20c) 15

d) 10e) 508.UNT - 99: AREA A

El valor de

en la ecuacin:

; es :

a) 1b)

c) 5

d) 25e) 125

09.CEPUNT 1999 - 2000: AREA A

El valor de x en la ecuacin:

Es:

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

10.CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA A

Al efectuar:

Se obtiene:

a) 19b) 4c) 11

d)

e) 7

I.PROGRESIONES ARITMETICAS (P.A.)

DEFINICIN: Se llama progresin aritmtica o por diferencia, a una sucesin de nmeros, en la cual cada trmino siguiente despus del primero, se obtiene sumndoles al anterior una cantidad constante llamada razn o diferencia de la Progresin.

Smbolos:

t1 = 1er trmino

tn = trmino de lugar n o ltimo trmino

r = razn o diferencia

n = nmero de trminos,

S = suma de trminos

NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA

t1, t2 , t3 , ......tn-1 . tn

La razn de una P.A. se obtiene restando de un trmino cualquiera su inmediato anterior.

Si : r > 0, la P.A. es creciente

Ejemplo:

3, 8, 13, 18, i = 8 - 3 = 5 > 0Si: r < 0, la P.A. es decreciente

Ejemplo:

7, 4, 1, - 2,........ r = 4 - 7 = - 3 > 0La progresin se llama limitada cuanto tiene un nmero FINITO de trminos,, llamndose al primer y ltimo trmino extremos.

Ejemplo

:

La progresin es ilimitada cuando tiene infinitos trmino:

Ejemplo:

PROPIEDADES1.En una P.A., un trmino cualquiera es igual al primer trmino ms tantas la razn como trminos le preceden.

Tn = t1 + (n - 1) r

1.1Una progresin aritmtica se compone de 50 trminos. Si el primero es 81 y la razn - 3. Hallar el ltimo trmino.

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1.2. Una P.A. se compone de 15 trminos. La razn es 0,5 y el ltimo es 8. Cunto vale el primero?

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1.3. En una P.A. el primer trmino es -6 y el ltimo es 30. Si la razn es 4. De cuntos trminos se compone la progresin?

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1.4 Una P.A. se compone de 6 trminos el primero de los cuales es 2 y el ltimo es 4. Hallar la razn.

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02.En una P.A., la suma de dos trminos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos.

En efecto, sea la P.A. de razn r:

03. En una P.A. de un nmero impar de trminos, el trmino central es igual a la semisuma de los extremos.

En efecto, sea P.A. de un nmero impar de trminos de razn r.

Si n = impar, entonces:

04.La suma de los trminos de una P.A. LIMITADA, es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por l nmero de trminos.

Ejemplo:

4.1 En una P.A. de 10 trminos la razn es 1,5 y la suma de sus trminos vale 92,5. Hallar el primero y el ltimo trmino.

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4.2 En una P.A., la razn y el nmero de trminos son iguales, la suma de los trminos es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Calcular el ltimo trmino.

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4.3 Calcular el trmino que ocupa el lugar 17 en una P.A. CRECIENTE de 18 trminos, sabiendo que la suma de todos estos trminos vale 549 y que los trminos extremos tienen por producto 280.

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MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES

Son los trminos de una P.A. comprendido entre sus extremos:

Donde:

03.INTERPOLAR MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES

Es formar una P.A., cuyos extremos sean precisamente los nmeros dados:

Ejemplo:

3.1 Interpolar m medios aritmticos o diferenciales entre a1 y an. Se debe formular la P.A.

* Se debe calcular la razn de:

Pero: n = m + z

Luego:

3.2 Interpolar 5 medios diferenciales entre 32 y 80.

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II.PROGRESIONES GEOMETRICAS01. DEFINICION

Se denomina progresin geomtrica o por cociente a una sucesin de nmeros en la cual el primer trmino es distinto de cero y cada una de los trminos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razn de la progresin.

Smbolos

=primer trmino

=trmino de lugar n o ltimo trmino

R = razn

n = nmero de trminos

s = suma de trminos

p = producto de trminos

Notacin de una progresin geomtrica

La razn de una P.G. , se obtiene dividiendo un trmino cualquiera entre su inmediato anterior.

(*) Si: R > 1, la P.G. es CRECIENTE

5, 20, 80,. . . . ., R =

(**) Si: O < R

ALGEBRA 5° 4B

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