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Prctica N 1:

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Ao SecundariaLGEBRA 5to. Ao Secundaria

Prctica N 1:

I)Objetivos Especficos:

(Expresa un polinomio como una multiplicacin indicada de factores primos.

(Identifica un factor primo sobre un determinado campo numrico.

(Comprende que la factorizacin es el proceso contrario a la multiplicacin

II)COMENTARIO PREVIO:

Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemtico estuvo presente siempre, la teora de nmeros los cuales se apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para facilitar la resolucin de las ecuaciones polinmicas surgen los diversos procedimientos de transformacin de polinomios a los cuales se les denomina FACTORIZACIN, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicacin indicada de otros polinomios de menor grado.

Recordemos que en la multiplicacin algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera.

Por medio de la factorizacin podremos restituir los factores de una expresin que se obtuvo de la ejecucin de una multiplicacin, veamos:

De lo expuesto concluimos que la factorizacin es el procedimiento recproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin y/o sustraccin. Con la finalidad de ser ms objetivos observa la siguiente ilustracin:

x (x + y + z) = x2 + xy + xz

En este captulo desarrollamos el tema con algunos conceptos de los nmeros reales, polinomio irreductible, factor primo, as como los criterios para poder factorizar polinomios sobre determinados conjuntos numricos

III.CONTENIDO TERICO

DEFINICION:

Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicacin indicada de polinomios primos, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numrico.

FACTOR PRIMO:

Es la mnima expresin algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritmticas, excepto la adicin y sustraccin.

Ejemplo:

a) Factorizando en el conjunto Q.

(Existen 2 factores primos en Q

b) Factorizando en el conjunto R

f(x) = (x2 + 7) (x2 7)

(Existen 3 factores primos en R

c) Factorizando en C, tendremos:

f(x) = [x2 (i)2 ] (x+) (x )

(Existen 4 factores primos en C

OBSERVACIONES:

Generalmente el conjunto numrico a utilizarse ser el de los racionales, salvo se indique lo contrario.

NMERO DE FACTORES PRIMOS

El nmero de factores primos depende del conjunto numrico en el que se trabaje. En los racionales el nmero de factores primos se calcula contando los factores de la base.

Ejemplos:

a)F(x) = (x + 1) (x2x+1) Tiene 2 factores primos

b)P(x) = (x1)2 (x+2) (x+2) (x5)3

P(x) (( Tiene 3 factores primos

NMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO

Dado el polinomio P, el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa as:

Siendo A, B y C sus factores primos; el nmero de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

Ejemplo:

Sea P(x)= (x1)2 (x+2) (x5)3

N factores = (2+1) (1+1)(3+1)

NMERO DE FACTORES COMPUESTOS:

Los Factores compuestos resultan de la combinacin de los Factores primos:

Ejemplo:

P(x, y) = x2y, tienen los siguientes, factores:

Por lo tanto:

x2y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.

Clculo de manera directa: P(x, y) = x2y

N factores = (2+1)(1+1) = 6

N Fact. compuesto = 6 2 1= 3

FACTORES ALGEBRAICOS

Se denomina as, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos Explicativos:

01. F(x) = (x + 1)2 (x 4)3.

Hallar el nmero de Factores algebraicos

Resolucin:

* Nmero de factores = (2+1) (3+1) = 12

* Nmero de factores Algebraicos = 12 1 = 11

P(x) =

Por lo tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera:

Luego:

N de Fact. totales = (1+1)(1+1) (1+1) (2+1) =

Factores Primos del N 6 : 2; 3

N de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4

Por lo tanto:

NFact. Algebraicos = N Fact totales - N Divisores del nmero 6

Reemplazando:

N Fact Algebraicos = 24 - 4

MTODOS DE LA FACTORIZACION:A)Factor Comn Monomio y/o Polinomio

Se utiliza cuando todos los trminos del polinomio tienen un factor que le es comn. El factor comn puede ser un monomio o un polinomio.

Ejemplo:

Factorizar:

Factorizar:

P(x, y, z) = (x y + z) a + (y x z) b

P(x, y, z) = (x y + z) a (x y + z) b

P (x, y, z) =

B)Mtodo de Agrupacin de Trminos.

Consiste en agrupar los trminos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algn factor comn a todas las agrupaciones realizadas.

Ejemplos explicativos:

1)Factorizar:

F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1

Resolucin:

Agrupando en la forma indicada.

F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1)

F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)]

Del corchete se extrae el factor comn (b + 1):

2) Factorizar:

Resolucin:

(Agrupando convenientemente:

A(x, y)=x6 (x+y)+ x4 y2 (x+y)+ x2 y4 (x+y)

+y6 (x+y)

(Extrayendo Factor comn:

A(x, y)=(x + y) ()

A(x, y)=(x + y) [x4 (x2 + y2)+ y4 (x2 + y2)]

Extrayendo el Factor comn: (x2 + y2) dentro del corchete.

Obsrvese que:

Existen 3 factores primos: (x+y), (x2 + 42) y (x4 + y4)

Presenta 1 Factor Lineal: (x + y)

Presenta 1 Factor cuadrtico: (x2 + y2)

C) Mtodo de las Equivalencias

Consiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos explicativos:

1. Factorizar

N = x6 x4 + 2x2 1

Resolucin

Agrupando los tres ltimos trminos y extrayendo el signo ().

N = x6 ()

N=x6 ...... Diferencia de cuadrados

(

2. Factorizar:

P(a,b,c,d) =

Solucin:

P(a,b,c,d)=

P(a,b,c,d)=Diferencia de

cuadrados .

D)Mtodo del Aspa Simple

Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

El mtodo consiste en descomponer los trminos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el trmino central, siendo los factores las sumas horizontales.

Ejemplo Explicativos:

1. Factorizar: 8x2 22x + 15

Resolucin

8x2 22x + 15

4x 5 = 10x +

2x

3 = 12x

22x

( Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)

2. Factorizar: abx2 + (a2 + b2)x + ab

Resolucin:

abx2 + (a2 + b2)x + ab

ax +b = b2 x +

bx +a = a2 x

x(a2 + b2)

( Los factores son: (ax + b) (bx + a)

E)Mtodo del Aspa Doble

Se emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte. forma general

Pasos:

1 Se trazan 2 aspas simples entre los trminos:

(Ax2 ( Cy2), adms (Cy2 ( F)

2 Si faltaran trminos se completarn con ceros

3 Se traza un aspa simple de comprobacin entre los extremos

5Se forman factores como el mtodo anterior (horizontalmente)

Ejemplos explicativos:

1) Factorizar:

A(x, y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1

Resolucin:

Comprobaciones:

(I) : (3x) y + x (y) = 4xy

(II) : y (1) + y (1) = 2y

(III) : 3x (1) + x (1) = 4x

Finalmente:

( (3x + y + 1) (x + y + 1)

F.MTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL:Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general.

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

Pasos:

1 Se aplica un aspa simple en los trminos extremos: (Ax4 ( E)

2El resultado se resta del trmino central: Cx23Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del trmino central.

4Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.

Ejemplos explicativos

1) Factorizar: A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6

Resolucin:

Se observa que:

(I)(2) (x2 + x2(3) = 5x2. Luego: 9x2 (trmino central) 5x2 = 4x2. se descompone 4x2 en 2 factores: (4x) (x)

(II) x2(4x) + x2(x) = 5x3

(III) 4x(2) + x(3) = 11x

Finalmente:

A(x) = (x2 + 4x + 3) (x2 + x + 2)

G.CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS:Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax ( b).

Cero de un Polinomio: Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numrico cero) a determinado polinomio.

Ejemplo:

Sea: F(x) = x3 + 3x 4

Para x = 1

F(1) = 13 + 3(1) 4 = 0

( 1 ser un cero de F

REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES CEROS DE UN POLINOMIO:

Posibles ceros =

Ejemplos explicativos

1. Factorizar: P(x) = x3 11x2 + 31x 21

Resolucin:

P.C. = ( 1, ( 3, ( 7, ( 21

Para x = 1, se anula, luego tendr un factor (x 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini.

P(x) = (x 1) (x2 10x + 21)

P(x) = (x 1) (x 7) (x 3)

2. Factorizar: Q(x) = x3 x 6

Resolucin:

P.C. = ( 1 , ( 3 , ( 6

Para x = 2, se anula, entonces tendr un factor (x 2). Luego por la Regla de Ruffini

Q (x) = (x 2) (x2 + 2x +3)

PRCTICA DE CLASE

01.Factorizar. M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2 e indicar un factor primo.

a) a + b + 2b) b 2 c) a + b 4

d) a + 2e) b + 2

02.Sealar un factor primo, luego de factorizar:

P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc

a) x + b + db) x + 2dc) x + d + b + c

d) x + ce) x 2c

03.Sealar un factor primo de:

H(x) = (2x2 + x - 1)2 - (x2 - 3x - 5)2

a) 3x2 + 2x 6 b) (x 2)2c) 3x2 2x 6

d) (x + 2)2e) x 2c

04.Factorizar:

P (a; b; c) = a (b c)2 + b(c a)2 + c (a b)2 +

8 abc

a) (a2 + b2 + c2) (a + b + c)

b) (ab + ac + bc) (a + b + c)

c) (a + b ) (b + c) (c + a)

d) (a b) (b c) (c a)

e)(ab + ac + bc) (a b + c)

05.Indicar el factor primo cuadrtico de mayor suma de coeficientes, despus de factorizar:

M ( x) = x4 + 4x2 + 16

a) x2 + x 2 b) x2 +2 x 4 c) x2 + x 8

d) x3 + 8e) x2 + 2x + 4

06.Cuntos divisores primos posee:

T (a; b) = (a2 + b2 6ab)2 4ab (a + b)2 ?

a) 2b) 5c) 4

d) 3e) 6

07.Indicar el nmero de factores irreductibles de:

P(x; y; z)=x4 y2 z7 + x y2 z7 + 3x2 y2 z7 + 3x3 y2 z7

a) 4b) 3 z7c) 2

d) 5e) 1

08.Indicar un factor primo de:

P(x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1]2 - 4(x - y)2

a) x + y + z + 1b) x y + z + 1

c) x y + z d) x y + z + 2

e) z + y z + 2

09.Cul de las siguientes expresiones no es trmino de un factor primo de:

F (x; y) = 1 + 2x2 - (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3)

a) x2b) 2xyc) y2

d) 2x2e) y210.Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.

H (x) = x3 x2 17x + 33

a) 3 b) 6 c) 7

d) 5 e) 8

11.Factorizar:

M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 - 1) ( 1 + z2 + z4)

y dar como respuesta el nmero de factores primos

a) 2b) 4c) 5

d) 3e) 6

12.Sealar el factor primo cuadrtico de mayor suma de coeficientes en:

P (x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10

a) x2 + 3x + 2b) x2 - 2x + 5c) x2 - 4x - 2

d) x2 + 4x + 2e) x2 - 2x + 2

13.Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:

P(x) = (1 + x2) (1 x2)2 + (x x2)2

a) 2b) 4c) 1

d) 5e) 3

14.Factorizar e indicar el factor primo cbico de:

P (x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1

a) x3 + x + 1b) x3 + x2 + 1

c) x3 + x + x2 1d) x3 x + 1

e) x3 x2 + 1

15.Del polinomio

P (a; b) = a4 + 5bc2 a2b a2c2 2b2 2c4

Decir si es verdadero o falso con respecto a las proposiciones siguientes:

I. Tiene 3 factores primos

II. Tiene 2 factores primos cuadrticos

III. La mayor suma de coeficientes de un factor primo es 2 -2c2 ; 0 < c < 1.

a) VVVb) VFFc) FVF

d) FVVe) VVF

16.Factorizar

F(a;b;c)=(a+ b+ c)2+(a+ b- c)2+4c(a+ b)+5(a+ b+ c)+ 2

E indicar el factor primo de mayor trmino independiente.

a) 2a + 2b + 2c + 1b) a + b + c 2

c) 2a + 2b + c 1 d) a + b + c + 2

e) 2a + 2b + 2c 1

17.Factorizar y obtener la suma de factores primos del polinomio.

P (x; y) = (x + 2y)2 2xy (3x 4xy + 6y)

a) x2 + 4y2b) 2x2 + 2xy + 8y2

c) x2 4y2d) 2x + 4y 6xy

e) 2x2 2xy + 8y2

18.Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo de:

P (x; y) = 6x2n 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn 17xn

a) 0b) 2c) 12

d) 1e) 6

19.Con respecto al polinomio:

P(a;b;c) = b3 (a c2) +c3 (b a2) + a3 (c b2)+

abc (abc 1)

Sealar el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes:

I. Un factor primo es a2 b

II. Un factor primo es a2 + b

III. a c2 no es un factor primo

a) VVFb) VFVc) VFF

d) VVVe) FFF

20.Mencionar un factor primo del polinomio:

a)

b)

c)

d)

e)

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Con respecto al polinomio:

a (x 1) b (1 x) + cx c.

Seale verdadero o falso:

I) a + b + c es un factor

II) x + 1 es un factor

III) solo tiene 2 factores primos

a) VVFb) VFVc) FVV

d) FFFe) VVV

02.Al descomponer en dos factores la expresin:

(a 5) (a 6) (a 7) + (a 5) (a 6) (a 5)

El resultado del producto de los valores absolutos de los trminos no literales es:

a) 157b) 165c) 156

d) 175e) 105

03.Factorizar: (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2, e indicar la suma de los trminos independientes de sus factores primos.

a) 3b) 1c) 4

d) 2e) 2

04.Factorizar:

(a b)2 (x y)2 + 2ab(x y)2 + 2xy (a2 + b2)

Indicando la suma de sus factores primos:

a) a2 + b2 + x2 + y2 b) a2 + 2b + 2x2 + y2

c) 2a2 + b2 + x2 + 3y2 d) a2 + b2 + 3x2 + y3

e) a2 + b2 + x3 + 3y205.Factorizar:

a4 a3 7a2 + a + 6, indicando uno de sus factores:

a) a + 3b) a 2 c) a + 1

d) a2 + 1 e) a2 + 2

06.Cul no es un factor de (1 + mx)2 (m + x)2

a) 1 + m b) 1 + x c) 1 x

d) 1 m e) m + x

07.El polinomio: 3x3 21x + 18, al factorizar tiene la forma: a(x b) (x c) (x d), donde b < c < d. Calcular: a b + c d

a) 7b) 7c) 9

d) 5e) 6

08.El nmero de factores primos de:

x3y2 + y3z2 x3z2 y5, es:

a) 5b) 4c) 3

d) 2e) 1

09.Hallar el nmero de factores primos de:

64a7b ab7

a) 3b) 4c) 6

d) 5e) 7

10.Indicar el trmino independiente de uno de los factores primos del trinomio.

P(x, y) ( (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31

a) 2b) 7c) 8

d) 3e) 39

11.Reconocer un factor del polinomio:

6a2 11ab + 4b2 8a + 14b 8

a) 3a + 4b 2b) 3a 2b + 4

c) 2a 2b + 1d) 2a + 4b 1

e) 3a 4b + 2

12.Un factor de: a(a 1) + a3 1 es:

a) 1 2ab) a + 1c) a + 2

d) a - 2e) a

13.Dar la suma de los factores primos de:

P(x) = x4 5x2 + 4

a) x2 + 2b) x2 + 5x c) 4x

d) 3x + 7e) N.a.

14.Luego de factorizar: R(x) = x3 + x2 + x + 1

Se obtiene un factor de la suma (ax2 + b)

Halle Ud. a + b

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

15.Hallar la suma de los factores primos de:

x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc) x + abc

a) x + a + 2b + c b) 2x + 2a + 2b

c) 3x + a + b + c d) 2x + 2 + 2b + 2c

e) x + 3a + 2b + c

16.Si (x + 1) es un factor de x2 + cx 2 y (2x 1) es un factor de dx2 + 5x 4, entonces el valor de d/c es:

a) 1/2b) 4c) 1/2

d) 6e) 6

17.Factorizar en al polinomio:

P(x) = x6 + 4x5 21 x4 20x2 4

a) (x3 + 7x2 2) (x3 3x2 + 2)

b) (x4 + 2) (x3 3x 2)

c) (x3 + 7x 2) (x3 x 2)

d) (x3 + 7x2 + 2) (x4 2)

e) (x3 + 7x2 + 2) (x3 3x2 2)

18.El coeficiente de un trmino lineal de uno de los factores primos de:

P(x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 es:

a) 2b) 2c) 1

d) 1e) 3TAREA DOMICILIARIA

01.Indicar un factor de:

S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5

a) x4 + x3 + x2 + x + 1b) x9 + 1c) x5 + 1

d) x3 + x2 + x + 1e) x4 + 1

02.Si x2 - 5x + 6 es un factor de:

P(x)=x4 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m

a) 1b) 3c) 10

d) 5 e) 3

03.Siendo b + 1 y a 1 cuadrados perfectos, factorizar

M(x)=x6(a+b+1)x4+(ab+2a1)x2 a+bab+1

y seale aqul que no es un factor de M(x).

a)

b)

c)

d) x2 1e) x2 + 1 a

04.Con respecto al polinomio

P(z) = z6 9z4 + 16z3 9z2 +1

Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones:

I. Un factor primo es z2 + 4z + 1

II. Un factor algebraico es (z - 1)3III. Tiene slo 2 factores primos mnicos

a) VVVb) FVFc) VVF

d) VFVe) FFF

05.Indicar aquel polinomio que no es factor de:

Q(x;y) = x3 + 2x2y 4xy2 8y3 x + 2y

a) x 2yb) x + 2y + 1

c) x 1 + 2yd) x + 2y

e) x2 1 + 4y (x + y)

06.Luego de factorizar:

P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2

Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones:

I. Un factor primo es x3 + x + 1

II. Un factor primo es x2 - x + 1

III. La suma de coeficientes de un factor primo mnico es 1.

a) VVVb) VFVc) FFV

d) VFFe) VFF

07.Sealar un factor de:

P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6

a) x 1b) x 2 c) 2x 1

d) 3x2 7x + 2e) 3x + 1

08.Luego de factorizar

S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z x)5

Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

I. Un factor primo es 2x + y 2z

II. La suma de 2 factores primos es 2x + y ( 2z

III. Un factor primo es 3x + y + 5z

a) VVVb) VVFc) VFV

d) VFFe) FVF

09.Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio:

P(x) = x(x ( 1) (x + 2) (x ( 3) + 8

I. Tiene 2 ceros racionales.

II. Tiene 3 factores primos mnicos.

III. Tiene 2 factores cuadrticos.

a) VVVb) VVFc) VFV

d) VFFe) FVF

10.Luego de factorizar:

P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2

Indicar un factor primo cuadrtico.

a) 4x2 + x + 1b) x2 ( 5x + 1

c) 4x2 +x+3d) 2x2 + x + 12

e) 4x2 + 6x + 3

Prctica N 2:

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

(Conoce una nueva operacin matemtica.

(Determina el factorial de un nmero natural.

(Resuelve ejercicios referidos a factoriales haciendo uso de las propiedades estudiadas.

COMENTARIO PREVIO:

El presente mdulo comprende el estudio de una nueva operacin matemtica denominada factorial, el cual se refiere a determinar el resultado del producto de los nmeros naturales consecutivos desde el 1 hasta el nmero indicado. Pero Para que nos va a servir esta nueva operacin matemtica? Pues bien esta operacin se va a utilizar como un apoyo en la potenciacin de polinomios.

CONTENIDO TERICO:

1.Factorial de un nmero

El factorial de un nmero natural n es el producto de todos los nmeros naturales consecutivos desde 1 hasta n.

La simbologa a utilizar ser: n! = n

n! = n= 1 x 2 x 3 x . . . x (n-1) x n

( n ( N n ( 1

2.Propiedades del factorial de un nmero.

1.Los factoriales slo estn definidos para los nmeros naturales. As:

0! ...... (2 .......

3! ...... ((-6)! .......

...... ((2/5)! .......

2.El factorial de un nmero natural puede expresarse en funcin del factorial de otro nmero natural menor.

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

7! = 6! x 7

Luego: n! = (n 1)! . n

De la relacin anterior, se concluye:

Para n = 1 ( 1! = 0! x 1 ( 1! = 0! = 1

Observacin:

S n! =1, cabe dos posibilidades para n:

n = 0 n = 1

Asimismo:7! = 4! x 5 x 6 x 7

Luego se concluye:

n! = (n 3)! . (n 2) . (n 1) . n

3.Si:a! = b! ( a = b

4.En factoriales se debe recordar lo siguiente:

(a ( b)! ( a! ( b!

(a . b)! ( a! . b!

(a/b)! ( a! / b!

3.Cofactorial o semifactorial

Sea n un nmero entero positivo, el cofactorial o semifactorial den se denota por n!! n y se define:

a.Para n par:

8!! = 2 x 4 x 6 x 8

20!! = 2 x 4 x 6 x 8 x x 18 x 20

b.Para n impar:

7!! = 1 x 3 x 5 x 7

19!! = 1 x 3 x 5 x 7 x x 17 x 19

Luego:

1x3x5x...x n si n es impar n!! = n =

2x4x6x...x nsi n es par.4.Relacin entre el cofactorial y el factorial de un nmero.

(Si el nmero es par:

(2n)!! = 2n = 2n n

(Si el nmero es impar:

2n

(2n-1)!! = 2n 1 =

2n n

Observaciones:

( 3! = 6 ( factorial de 3

( 3!! = 3 ( cofactorial de 3

( 3 !!! ( No existe definicin

( (3!)! = 6! =720 ( factorial del factorial de 3

( ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!

( 3 !!! ( (( 3! )!)!

Ejemplo:

Si ;

Calcula: A x B x C

Resolucin:

Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo trminos tendremos:

A = 64/8 = 8

Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16

PRCTICA DE CLASE

01.Calcular x en:

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) N.a.

02.Se define la operacin ( por:

a) 0 b) 3 c) 2

d) 1 e) N.a.

03.Hallar la suma de los valores de x en:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4e) 5

04.Dada la relacin:

a) 11 b) 12 c) 13

d) 10 e) N.a.

05.De las siguientes proposiciones:

I.

; a (( / a es impar

II.

; a ( ( / a es par

III.a!! x (a - 1)!! = a! ; ( a ( (

IV.3!!! = 720!

V.((3!)!)! = 720!

a) VVVVF b) VVVFF c) FFFFV

d) FFVVV e) FFFFF.

06.Calcular n en:

2 + 2(2!) + 3(3!) +.... + (n + 3) (n + 3)! = 60!

a) 60 b) 58 c) 56

d) 54e) 52

07.Calcular el valor de:

a) n! b) (n+1)! c) 1

d)1/n e) n

08.Si:

Encontrar a + b

a) 5 b) 3 c) 7

d) 8 e) 4

09.Siendo n un nmero natural, calcule su valor a partir de la siguiente igualdad:

a) 4b) 3 c) 5

d) 2e) 6

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Hallar el equivalente de:

a) 0,01 b) 0,001 c) 0,005

d) 0,05 e) N.a.

02.Calcula el valor de n en:

a) 0 b) 3 c) 2

d) 1 e) N.a.

03.Para qu valor de n se cumple:

12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4e) 5

04.S:(x +1)! x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es:

a) 24 b) 36 c) 30

d) 54 e) 60

05.Reduce:

a) n! b) (n + 2)! c) n! / 2

d) (n + 2)! / 2 e) N.a.

06.Simplifica:

a) 3/2b) 2/3 c) 2/500

d) 500/3 e) 60

07.Halla x en:

1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! 1

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

08.En qu cifra termina N?

N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

09.Calcula el valor de E:

a) b) c)

d) e) N.a.

10.Halla n en:

a) 39b) 40 c) 41

d) 42e) N.a.tarea domiciliaria

01.Reduce la siguiente expresin:

E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n

a) n! . nn b) (2n) . n! c) 2n . n !

d) 2ne) N.a.

02.Simplifica:

a) 19/12b) 19!/12!c) 19!

d) 12!e) 19! - 12!03.Simplifica:

a) 50! 20! b) 80!40! c) 49! 19!

d) 42! 20!e) F.D.

04.Simplifica:

a) 54!b) 54c) 27!d) 27e) 53

05. Simplifica:

a) xb) x + 4c) x + 6

d) x + 5e) x + 3

06.Reduce:

a) x + 4b) x + 3c) x + 2

d) x + 1e) x

07.Hallar n S: [(n! + 2)! 4] ! = 20!

08.Sabiendo que:

, el valor de x es :

09.Calcula n en:

10.Hallar el equivalente de:

E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!)

Prctica N 3:

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

(Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o nmero combinatorio para su posterior aplicacin en la solucin de problemas.

COMENTARIO PREVIO:

Newton que no es un matemtico puro, sino un fsico que aplicaba la matemtica a los fenmenos de la naturaleza, su contribucin ms importante es su mtodo de fluxiones que fue escrito en 1671, pero publicado en 1736, cuya esencia y notacin, no es sino una forma de tratar los problemas del actual anlisis infinitesimal.

Newton es considerado como una de las brillantes mentes de todos los tiempos, investigador profundo de la filosofa natural, no solo se limita a cuestiones infinitesimales sino a zonas del lgebra en donde uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del binomio (x + y)n para exponente no natural cuya aplicacin se manifiesta en matemtica financiera. En la sesin anterior estudiamos el factorial de un nmero natural, ahora nos asiste estudiar el coeficiente binomial que se ver reforzado con los conocimientos previos de la sesin anterior.

CONTENIDO TERICO:

Coeficiente binomialEsta importante notacin conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si n es un nmero real y r un nmero natural, la notacin coeficiente binomial denotado por . Se lee: coeficiente n, r y est definida por:

Puede comprobarse que el nmero de factores que hay en el numerador de sta relacin, coincide con r.

INCRUSTAR Equation.2

Propiedad:

(

Teorema del coeficiente binomial

El siguiente teorema, permite evaluar de otra manera: Si n es un entero positivo, r es un entero no negativo y 0 ( r ( n, se verifica que:

La expresin propuesta es semejante al clculo del nmero de combinaciones de n objetos tomados de r en r, por lo que a este coeficiente binomial n, r tambin se le llama nmero combinatorio n, r.

Una notacin equivalente a la ya establecida es: , Donde n recibe el nombre de la base y r el de orden.

INCRUSTAR Equation.2

Propiedad de los nmeros combinatorios:

1Los nmeros combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las rdenes coincide con dicha base.

Se verifica que los nmeros combinatorios complementarios son iguales.

Ejemplo:

2 La suma de dos nmeros combinatorios de igual base, cuyas rdenes difieren en una unidad, es igual a otro nmero combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los rdenes:

Ejemplo:

3 La suma de todos los nmeros combinatorios de igual ndice, cuyos rdenes varan desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base:

Ejemplo:

4Degradacin de ndice: Consiste en descomponer un nmero combinatorio en otro que tenga como ndice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir:

prctica de clase

01.Simplificar:

a) 42/13b) 42/15c) 42/11

d) 42/7e) N.a.

02.Sumar:

a) 2 b) 22n c) 2n

d) 22ne) N.a.

03.Halle n + p en la ecuacin:

a) 52b) 62 c) 60

d) 56e) N.a.

04.S: = 10; Hallar: 2n 1

a) 5b) 15c) 13

d) 9e) 7

05.S: = , el valor de x es:

a) 4b) 6c) 2

d) 10e) 8

06.Simplifica:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

07.Resuelve:

a) 16b) 18c) 21

d) 19e) 20

08.

(

Entonces a . b es igual a:

a) 24b) 96c) 216

d) 864e) N.a.

09.Reduce:

a) 1/3b) 1/5c) 3/5

d) 5/3e) 1/15

10.Para qu valor de n se cumple:

4 = 1331

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 14

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Hallar el valor mximo de (m + n) en:

a) 30b) 34 c) 22

d) 35e) N.a.

02.Calcula n en:

a) 20b) 24 c) 22

d) 25e) 9

03.Si x e y son primos entre s. Calcula (x + y) en:

a) 13b) 14 c) 15

d) 25e) 16.

04.Calcular xy, si se cumple:

a) 15b) 18c) 21

d) 20e) a y d

05.Calcula (x + y) si se cumple:

a) 15b) 12c) 13

d) 14e) 16

06.Efectuar:

a) 105b) 1081c) 1010

d) 1201e) 1000

07.Calcula n en:

a) -22/7b) 7 c) 22

d) 3e) N.a.

08.Calcula n y p en la siguiente igualdad:

a) 4; 6b) 6; 4 c) 8; 10

d) 5; 5e) 3; 6

09.Calcula x en:

a) 18b) 19c) 20

d) 22e) 21

10.Un valor equivalente a es:

a)

b) c)

d)

e)

tarea domiciliaria01.S n! = 720 y Halle la suma de (n + k) si k es el menor valor.

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 14

02.Resolver:

a) 1b) 5c) 2

d) 3e) 4

03.Reducir:

04.Reduce: (r ( n 1)

a)

b)

c)

d)

e) N.a.

05.Calcula: n + k de:

(

a) 15b) 8c) 12

d) 9e) 17

06.Halla el valor de n en la siguiente igualdad:

2 = 5

a) 6b) 8c) 10

d) 12e) 5

07.Calcula el valor de x en:

a) 12b) 10c) 8

d) 6e) 5

Prctica N 4:

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

(Desarrolla correctamente la potenciacin de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales.

(Determina el trmino que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia.

(Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton.

COMENTARIO PREVIO:El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 1727), que ha sido el ms grande los matemticos ingleses y uno de los mayores cientficos de la humanidad.

En este mdulo introducimos las combinaciones de n elementos tomados de r en r para denotar los coeficientes de los trminos del desarrollo del binomio.

Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados nmeros combinatorios.

Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Tcume, Lambayeque quin a la edad de 23 aos descubri el mtodo para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemtico peruano Cristbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llam polinomio de Villarreal donde aqu el binomio de Newton viene a ser un caso particular. n ( (+

CONTENIDO TERICO:

1.potenciacin: BINOMIO DE NEWTONLa potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. As tenemos:

(x + a)1 = x + a

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2(x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3(x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 + 4xa3 +a4((Veamos a continuacin el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n ( IN): BINOMIO DE NEWTON

o tambin:

Como; entonces tambin se podra expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales:

FORMAS PRCTICAS DE DEDUCIR el desarrollo del binomio:

Veamos los siguientes ejemplos:

MTODO 1Desarrollar: (x + a)4

Ntese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de x, dividido entre el exponente de a previamente aumentado en 1.

As:El 3er coeficiente:

El 4to coeficiente:

Generalizando:

METODO 2" . TRINGULO DE PASCAL

Si distribuimos en lnea los coeficientes del desarrollo del binomio para sus potencias consecutivas, toma la forma geomtrica de un tringulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus descubridores.

Veamos

(x + a)0(1

(x + a)1(1 1

(x + a)2(1 2 1

(x + a)3(1 3 3 1

(x + a)4(1 4 6 4 1

(x + a)5(1 5 10 10 5 1

(x + a)6(1 6 15 20 15 6 1

(x + a)7(1 7 21 35 35 21 7 1

(

( ( ( (Tambin:

1

11

121

1331

14641

15101051

En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que estn encima de l en la fila anterior.

Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5

1

11

121

1331

14641

15101051

Luego:

(x+y)5 = x5+5x4y+10x3y2+10x2y3 + 5xy4 + y5Adems obsrvese estos detalles del tringulo:

4

6

10

Que en realidad comprueban que:

Es un caso particular de:

Adems: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n.

Observacin:

(Tanto el mtodo (1) como el mtodo (2) son viables o factibles de emplear para potencias con exponentes pequeos, caso contrario habra que emplear la forma general.

(Si los trminos del binomio estn ligados con el signo "(", los trminos del desarrollo estarn ligados en forma alternada con los signos ( , (.

o tambin:

Siendo los de lugar: IMPAR ( positivo

lugar: PAR ( negativo

TRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO

Para: (x ( a)n, se tiene que:

Donde :

(k + 1) ( lugar que ocupa el trmino

(combinacin de n elementos tomados de k en k

n ( exponente del binomio

x ( primer trmino del binomio

a ( segundo trmino del binomio

k ( lugar del trmino buscado menos 1

Ejemplo: Halla el sptimo trmino del desarrollo de:

Resolucin:Tk + 1; entonces k = 6, luego de la frmula se obtiene:

TRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL

Es necesario y suficiente intercambiar simultneamente las bases y aplicar la frmula conocida del trmino general.

Ejemplo:

Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y)40Resolucin:Solamente intercambiamos las bases (y + x)40 y aplicamos la frmula del trmino general.

Observacin:

(La suma de los coeficientes de (x + a)n es:

(La suma de los coeficientes de (x a)n es cero.

(En general la suma de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad.

P(x ; a) = (px ( qa)n ( P(1;1) = (p ( q)n

(Trmino central: Tiene el coeficiente de valor mximo. Denominndose as, al trmino que equidista de los extremos.

Se presentan dos casos:

1.Cuando el exponente es un nmero par de la forma (x + a)2n existe un nico trmino central y su lugar esta dado por:

2.Cuando el exponente es un nmero impar, de la forma (x + a)2n + 1, existen dos trminos equidistantes de los extremos y sus lugares estn dados por:

1er. trmino:

2do. trmino: n + 1 + 1 = n + 2

2.DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO.

En la primera parte del mdulo se estudi el Teorema del binomio cuando el exponente es un nmero entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la frmula para exponente negativo y/o fraccionario.

Su desarrollo admite infinitos trminos pudindosele llamar Serie binomial.Ejemplo:

Hllese los tres primeros trminos de la expansin de:

Resolucin:

De acuerdo con lo expuesto en la teora se deber plantear:

Y segn las propiedades antes vistas, se tendr:

Finalmente efectuando las operaciones indicadas conseguimos:

PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO:

1.El nmero de trminos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binmico de Newton.

2. Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un nmero fraccionario y / o negativo el valor de x debe ser uno y adems x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1.

3. Los trminos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relacin.

4.Para determinar el trmino general en el desarrollo se utiliza la siguiente frmula.

; tambin:

3. FRMULA DE LEIBNITZ

As como se puede hallar el trmino que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un trmino cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada frmula de Leibnitz. Por razones puramente pedaggicas estableceremos las reglas para el desarrollo de (a + b + c + d)m, en donde el trmino que contiene a: a( . b( . c( . d( es:

Donde:

El desarrollo de toda la potencia se expresa as:

Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que: ( + ( + ( + ( pertenecen al conjunto:

{0; 1; 2;...;m}.

Ejemplo: Halla el coeficiente de x6 en el desarrollo de (1 + 2x x2)5.

Resolucin:

El coeficiente estar expresado por:

............. (I)

Donde : ( + 2( = 6 (exponente de x6)

Adems: ( + ( + ( = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son:

( = 0 ; ( = 4 ; ( = 1

( = 1 ; ( = 2 ; ( = 2

( = 2 ; ( = 0 ; ( = 3

Reemplazando en (I):

Importante!

Dado el polinomio

El nmero de trminos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera:

n trminos =

Ejemplo:

El nmero de trminos de (1 + x + y + z)6 es:

PRCTICA DE CLASE01.Dado el binomio (3x5 + 5x3)43 hallar el lugar que ocupa el trmino que tiene x175 como parte variable.

a) 18b) 19

c) 20

d) 21e) 22

02.Para que valores de n los coeficientes del trmino 5, trmino 6, trmino 7 del desarrollo de (1 + x)n forman una progresin aritmtica.

a) 7 y 14b) 7 y 12

c) 7 y 11

d) 6 y 14e) 7 y 13

03.Si el trmino de lugar 12 del desarrollo (x + 1)13 es de la forma Mx2.

Calcular R = A + 23.

a) 103b) 102

c) 101

d) 104e) N.a.

04.Si los coeficientes de tres trminos consecutivos en la expansin de (x + y)n son proporcionales a 3, 12 y 28. Hallar n s n ( 10.

a) 7b) 8

c) 9

d) 10e) 6

05.Al multiplicar los trminos tercero y octavo del desarrollo de (2x2 + y3)24 se obtiene un trmino de la forma Rxnym; Hallar W = 3n + 2m

a) 288b) 188c) 388

d) 287e) 286

06.Determina el nmero de trminos irracionales en el desarrollo de:

a) 14b) 43c) 42

d) 45e) 44

07.En el binomio: ,el coeficiente del trmino 6 es .Halle el nmero de trminos.

a) 20b) 10c) 11

d) 14e) 12

08.El coeficiente de x45 en la expansin:

es ; a ( 20. Halle el coeficiente de x4a 8

a)

b)

c)

d)

e) N.a.

09. Cul de las siguientes expresiones es falsa en relacin con el desarrollo de (x2 3y5)6?

a)El desarrollo consta de 7 trminos.

b)Los trminos son alternadamente positivos y negativos.

c)La suma de los exponentes que afectan a x y en cada trmino es constante.

d)El coeficiente del segundo trmino es 18

e)El coeficiente del cuarto trmino no es 540

10.El quinto trmino de (2x2 + y)20 tiene por coeficiente:

a) 170. 28b) 570. 24c) 570. 216

d) 340 . 25e) 4845. 216

11. El trmino de segundo grado en el desarrollo de: es:

a) -32x2b) 24x2c) -12x2

d) 4x2e) -16x2

12. Halla el coeficiente del trmino independiente de x en el desarrollo de

a) 490b) 492c) 497

d) 493e) 425

13. Hallar n + k si se sabe que el cuarto trmino del desarrollo de (x + 2)n es 80xk

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

14. En el desarrollo de:. Determinar el nmero de trminos irracionales.

a) 9b) 150c) 118

d) 112e) Imposible

15. Al desarrollar la expresin:

Observamos que sta admite un trmino central cuya parte literal es: .Calcula m + n

a) 41b) 42c) 43

d) 44e) 45

PROBLEMAS PROPUESTOS01.Cules son los dos primeros trminos del desarrollo de: ?

a) 1 a2b)10 a20c) 1 10a8

d) 10 a2e) 1+ a202.En el desarrollo de:.El trmino que contiene a x8 es:

a) El 2dob) El 3roc) El 4to

d) El 5toe) El 6to

03.El desarrollo de (ax2 + 3y)n tiene 12 trminos. El trmino que contiene x10 posee coeficiente 1 386; hallar el doble de a.

a) 6b) 3/2c) 2/3

d) 2e) N.a.

04.Por el teorema del binomio. Cuntos trminos de la expansin de: son nmeros naturales?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

05.Si el trmino de lugar n contando a partir del ltimo en la expansin del binomio.

B(x; y) = . Es px18 y6.

Halle m+n+p

a) 82b) 84c) 90

d) 88e) 100

06.Hallar el lugar que ocupa el trmino independiente del desarrollo de:

a) 17b) 18c) 19

d) 20e) 21

07.Hallar el coeficiente que contiene a x2 en el desarrollo de: .

a) 12b) 6c) 4

d) 18e) 1

08.Calcular el coeficiente cuya parte literal es x9 en la expresin:

a) 70b) 70c) 80

d) 80 e) 90

09.El nmero de trminos que se obtiene al desarrollar:es 84.

Calcula n.

a) 6b) 7c) 8

d) 9e) 10

10. Hallar el trmino independiente del desarrollo de . Indicar tambin la posicin que ocupa.

a) 21x220; 21b) 20x220; 20

c) 21x221; 21d) 20x220; 21

e) N.a.

11.La suma de los coeficientes numricos del desarrollo completo de (x2 2xy + y2)7, es:

a) 0b) 7c) 14

d) 128e) 1282

12.Dado el binomio: ; Hallar el lugar del trmino que contiene a: x-10 como parte variable.

a) 21b) 31c) 23

d) 27e) 25

13.Al desarrollar: ( x + y + z + w )8, se obtienen n trminos en el cual uno de ellos toma la forma: ( x2 y2 zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: + n

a) 1805b) 1584c) 1845

d) 1854e) 1580

14.Hallar el trmino que contenga la cuarta potencia de a en el desarrollo de:

a) 1280 a4b) 1380 a4c) 1480 a4

d) 1580 a4e) 1680 a415.En el desarrollo de , el coeficiente de a-1/2 es:

a) 7 b) 7c) 21

d) 21e) 35

16.La suma de los coeficientes numricos de todos los trminos del desarrollo de: (x - 2y)18 es:

a) 0b) 1c) 2

d) 19 e) 19

17.En el desarrollo del binomio , el tercer trmino es: 405xk. Calcula (n + k)

a) 18b) 26c) 32

d) 48e) 59

18.Deduce el exponente de x6 en el desarrollo de:

(x2 2x + 1)5.

a) 420b) 120c) 210

d) 140e) 312

19.A cuanto equivale la suma de todos los elementos situados en el permetro del tringulo de Pascal de 100 filas?

a) 196 + 298b) 196 + 297c) 197 + 299

d) 196 + 299e) 195 + 29520.Se sabe que el cuadrado del t6 del desarrollo de (5x3 + 3y4)26 es de la forma Exayb. Hallar (a+b).

a) 164b) 165c) 254

d) 166e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01.Determinar el valor de n si se sabe que el trmino central del desarrollo de:

es 6

a) 8b) 9c) 10

d) 7e) N.a.

02.Calcular el lugar del trmino que contiene a x2 en el desarrollo de:

a) 6b) 7c) 9

d) 8e) N.a.

03.Indicar el lugar que ocupa el trmino independiente de x en la expansin de:

a) 57b) 63c) 97

d) 112e) 113

04.En la expansin de: (3x3 + x-1)n existe un trmino en la cual su grado es numricamente igual a la posicin que ocupa. Indica dicha posicin si la suma de los coeficientes de todos los trminos del desarrollo es igual a 234

a) 8b) 11c) 10

d) 12e) 9

05.En el desarrollo de: . Determina el nmero de trminos racionales e irracionales.

a) 9 y 12b) 15 y 104c) 17 y 104

d) 20 y 101e) N.a.

06.Al desarrollar la expresin:

, Observamos que sta admite un slo trmino central cuya parte literal es : x60 y600. Calcular: m + n

a) 41b) 42c) 43

d) 44e) 45

Prctica N 5:

OBJETIVOS ESPECFICOS:(Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente mdulo.

(Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de las frmulas de transformacin demostradas en clase.:

COMENTARIO PREVIO:

En el siglo V A. C.., los griegos pitagricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de nmeros distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareci tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.

Las races que no pueden expresarse exactamente mediante nmeros racionales representan nmeros irracionales y reciben el nombre de radicales. Por ejemplo: , son radicales.

CONTENIDO TERICO:1.CONOCIMIENTOS PREVIOS:

1.1.VALOR PRINCIPAL DE UNA RAZ

Ejemplos:

a)

b)

Luego:

c)

1.2.EXPRESIN RADICAL: Las races de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresin algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales. Ejemplo: ; son radicales.

1.3.RADICALES HOMOGNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o ndice, sin importar el radicando.

Ejemplo: ; Son radicales homogneos.

1.4.RADICALES SEMEJANTES:

Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o ndice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresin que lo multiplica.

Ejemplo:

; son radicales semejantes.

1.5.HOMOGENIZACIN DE RADICALES:

Es la operacin que consiste en transformar radicales con diferente ndice (radicales heterogneos), en radicales con igual ndice (radicales homogneos).

Se recomienda tener en cuenta las siguientes; reglas:

(Se halla el M.C.M. de los ndices de los radicales, que ser el ndice comn.

(Se divide el M.C.M. encontrado entre el ndice original de cada radical, y cada cociente se multiplica por el exponente tambin original de la cantidad subradical.

Ejemplo:

, expresarlos como radicales homogneos.

En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.

(60 ( 3 = 20)

(60 ( 4 = 15)

(60 ( 5 = 12)

1.2. SIMPLIFICACIN DE RADICALES:

Se dice que un radical est simplificado al mximo cuando al descomponer en factores primos el radicando, todos los factores primos estn elevados a exponentes menores que el ndice del radical.

Ejemplo:

est simplificado al mximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos:

3302

1653

555

1111

1

en cambio, no est simplificado al mximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos:

3842

1922

962

482

242

122

62

33

1

Para simplificar al mximo procederemos del modo siguiente.

1.3. PRINCIPIO DE LA EXTRACCIN: Consiste en extraer una expresin del radicando; as:

Ejemplos:

a)

b)

c)

1.4. PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIN: Consiste en introducir una expresin en el radicando; as:

Ejemplos:

a)

b)

c)

2. OPERACIONES CON RADICALES

2.1. ADICIN DE RADICALES

a)Para radicales semejantes se procede as:

b)En la adicin de radicales con distinto ndice, la expresin queda indicada.

no son semejantes

Observacin.- En las operaciones de adicin y sustraccin los radicales se simplifican al mximo y a continuacin se efectan las operaciones

2.2. MULTIPLICACIN DE RADICALES

a)

b)

2.3. DIVISIN DE RADICALES

a)

b)

3. DESCOMPOSICIN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

3.1.PRIMER CASO:

De donde:

Siendo:

En resumen la frmula para descomponer una raz doble en races simples es:

Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 - B, debe ser un nmero cuadrado perfecto.

3.2.SEGUNDO CASO:

Donde:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

Resolucin

INCRUSTAR Equation.3 Luego:

Pero:

3.3.TERCER CASO:

Donde:

Siendo: cubo perfecto.

Ejemplo:

Transformar: a radicales simples.

ResolucinClculo de C:

Siendo:

Clculo de x:

La igualdad se cumple cuando:

Clculo de y:

;Luego:

prctica de clase

01. Transforma a radicales simples

A)

G)

B)

H)

C)

I)

D)

J)

E)

K)

F)

02.Calcula el valor de:

03.Simplificar:

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

04.Al descomponer en radicales simples:

Se obtiene una expresin de la forma , dar como resultado el valor de k.

a)

b)

c)

d)

e) Ninguna05.Si se tiene que: . Hallar el equivalente de:

a) a bb) a2 bc) a b2

d) E = 0e) a2 b2

06.Simplificar:

a) 5 b) 7c) 4

d) 6e) N.a.

07.Simplificar:

08. dividirlo entre

09. Efectuar la operacin:

10.Simplificar:

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.Reducir:

a) b) c)

d) e) Ninguno

02.Calcula el valor de:

a) 2b) 1c) 0

d) 2 e) N.a.

03.Simplifica:

a) (3 + 2b) 2 (3c) 3

d) 2 e) 2

04.Reduce:

E =++

a) 2

b)

c) 2

d)

e) 0

05.Reduce:

a) 1b) 0c) 8

d) 12

e) 6

06.Si: la relacin que cumple es:

a) x < yb) x = yc) x/y =c

d) x/y = (3e) x > y

07.Efectuar:

a) 1b) 2c) 4

d) 2 ( 2e) 4 ( 2

08.Calcula (a + b) si se cumple:

a) 42b) 45c) 47

d) 49e) 51

09.S:

Halla el valor de:

a) 1b) 2c)

d) +1e) 3

10.Proporcionar el radical equivalente a:

a)

b)

c)

d)

e)

tarea domiciliaria01.Transformar radicales simples:

a) 10 + 2 b) 10+

c) 10+20d) 5

+10

e) 10

20

02.Calcula:

03.Reduce:

04.Transformar:

05.Reducir:

06.Efectuar las operaciones indicadas:

07.Al transformar:

Como una suma de radicales simples se obtiene x > y > z.

Calcular: x + y +z

08.Al transformar la expresin: se obtiene , el valor de x + y es:

09.Calcular:

10.Sabiendo que los radicales son homogneos, reducir:

Prctica N 6:

OBJETIVOS ESPECFICOS:(Determina correctamente el factor racionalizante de una determinada expresin algebraica.

(Resuelve ejercicios referidos a racionalizacin de fracciones algebraicas con denominador irracional.

COMENTARIO PREVIO:

Muchas veces hemos escuchado hablar acerca de racionalizar una determinada fraccin algebraica, y hemos entendido por racionalizacin al proceso mediante el cual se puede convertir una fraccin cuyo denominador sea una expresin algebraica irracional, en otra fraccin equivalente con denominador racional.

Generalmente se realiza la racionalizacin del denominador de una fraccin, pero en algunos casos tambin se presentan ejercicios en donde se nos pide racionalizar el numerador.CONTENIDO TERICO:

1.RACIONALIZACIN

Racionalizar una fraccin con denominador irracional, consiste en transformarlo a otro equivalente con denominador racional.

Para lograrlo es necesario multiplicar los trminos de la fraccin por otra expresin irracional llamado factor racionalizante

FACTOR RACIONALIZANTE.

Si al multiplicar dos expresiones algebraicas irracionales se obtiene como resultado una expresin algebraica racional, entonces ambos trminos sern denominados factor racionalizante uno del otro.EXPRESIN

IRRACIONALEXPRESIN IRRACIONALEXPRESIN RACIONAL

Factor Racionalizante Producto

2.CASOS DE LA RACIONALIZACIN:

Primer Caso: ; n > m

Factor racionalizante: n > mObservamos que la fraccin presenta en su denominador un monomio.

Ejemplo:

Racionalizar:

Resolucin: F. R.

SEGUNDO Caso:

Factor racionalizante:

Observamos que la fraccin presenta en su denominador un binomio cuyos sumandos son radicales de ndice 2, para racionalizarlos hemos aplicado el criterio de la conjugada.

Ejemplo:

Racionalizar:

Resolucin: F. R.

TERCER Caso: cuando la fraccin presenta en su denominador expresiones cuyos trminos poseen radical de ndice superior a 2; ser necesario tratarlo teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

a) Cuando la fraccin presenta en su denominador expresiones en las cuales sus trminos poseen radicales cuyo ndice es potencia de 2, para racionalizar se aplica el criterio de la conjugada las veces que sea necesario.

Factor racionalizante:

b) Cuando la fraccin presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de tercer orden.

INCRUSTAR Equation.3

Ejemplo: Racionaliza:

Resolucin:

Observacin:

Lo antes expuesto; se puede aplicar cuando el denominador presenta radicales que se estn sumando algebraicamente y que son de cualquier orden impar mayor que 3.

Previamente se tendr en cuenta criterios estudiados en las divisiones notables que originan cocientes notables exactos.

Expresin IRRACIONALFACTOR RACIONALIZANTEP

prctica de clase

01. Despus de racionalizar el denominador de:

. Resulta:

02. Despus de hacer racional el denominador de la fraccin:

. Se obtiene:

03. Al racionalizar el denominador de la siguiente fraccin:

ste se convierte en:

04. Despus de reducir a su mnima expresin:

Resulta.

05. El denominador de las fracciones, una vez racionalizado es:

;

06.S: ;

Hallar: m9 9m3 n3 n9

a) 27b) 72c) 30

d) 20e) 25

07. Calcula (a + b) si se cumple:

a) 42b) 45c) 47

d) 49e) 51

08.Indique el denominador despus de racionalizar:

a) xb) x + 1c) x + 2

d) 1e) 2

09.S: A = ; B =

Entonces:

a) (A + B) ( Nb) (A B) ( N

c) AB > 1d) AB < 1

e) (A + B) ( Z

10. Al efectuar: obtendremos una expresin que adopta la forma: .

Hallar A + B + C.

PROBLEMAS PROPUESTOS

01.Calcula: E =

a) 1b) 5c) 8

d) 10e) 12

02. E = , su valor ser:

a) 13b) 11c) 9

d) 7e) 8

03.Al racionalizar: se obtiene como denominador.

a) 6b) 2

c) 10

d) 12e) N.a.

04.Simplificar:

a)

b)

c)

d)

e)

05.Al racionalizar el denominador de la expresin adjunta, el grado del producto de los trminos del denominador ser:

a) 16384b) 8192c) 4096

d) 2048e) 8

06.Al racionalizar y simplificar:

el denominador de la fraccin resultante es:

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

07.Efectuar:

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

08.La equivalente de:

E = es

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) N.a.

09. Racionalizar: , se obtiene como denominador:

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

10.Al reducir:

Se puede afirmar que:

a) T > 2b) T = 1c) T