Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en ...
35
/k Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan [email protected] 2015-2016
Transcript of Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en ...
/k
Lineaire Algebra en Vectorcalculus2DN60
College 5.aBasis en dimensie
Ruud [email protected]
2015-2016
2/35
/k
Definitie opspansel
Stel S = {v1, . . . , vn} is een deelverzamelingvan de vectorruimte V.
Het opspansel van S is de verzameling van alle vectoren,die een lineaire combinatie van v1, . . . , vn zijn,dus van alle vectoren van de vorm
a1v1 + · · · + anvn
voor zekere getallen a1, . . . , an .
NOTATIE: span(S) of span {v1, . . . , vn}.
3/35
/k
Opspansel is een deelruimte
Stel S = {v1, . . . , vn} is een deelverzameling van de vectorruimte V.Dan is span(S) een deelruimte van V.
Een deelruimte W heet opgespannen of voortgebrachtdoor S = {v1, . . . , vn} indien:
W = span{v1, . . . , vn}.
4/35
/k
Afhankelijk
DEFINITIE: Stel v1, . . . , vn zijn vectoren in de vectorruimte V.
Het stelsel v1, . . . , vn heet afhankelijkals er getallen a1, . . . , an zijndie niet allemaal gelijk aan nul zijnwaarvoor geldt:
a1v1 + · · · + anvn = 0.
Er is dus minstens minstens één i met ai 6= 0.
5/35
/k
Afhankelijk
OPMERKING: Stel v1, . . . , vn zijn vectoren in de vectorruimte V.
Het stelsel v1, . . . , vn is onafhankelijk,
dus niet afhankelijk
als:a1v1 + · · · + anvn = 0 ⇒ a1 = · · · = an = 0.
6/35
/k
Voorbeeld 1, onafhankelijk
Het stelsel−1100
,
−2011
is onafhankelijk. Stel er zijnx1, x2 met
x1
−1100
+ x2
−2011
= 0, dus
−x1 − 2x2
x1x2x2
= 0.
7/35
/k
Voorbeeld 2, afhankelijk
Stel V is de vectorruimte vanalle kolomvectoren met 3 elementen, en
v1 =
12−1
, v2 =
1−21
en v3 =
−32−1
.
Vraag: Is het stelsel v1, v2, v3 afhankelijk?
8/35
/k
Voorbeeld 2, afhankelijk
Stel v1, v2, v3 zijn afhankelijk.Dan zijn er getallen x1, x2, x3waarvoor geldt x1v1 + x2v2 + x3v3 = 0.Dus
x1
12−1
+ x2
1−21
+ x3
−32−1
= 0
00
Ofwel 1 1 −3
2 −2 2−1 1 −1
x1x2x3
= 0
00
9/35
/k
Voorbeeld 2, afhankelijk
De matrix vergelijking in de variabelen x1, x2 en x3: 1 1 −32 −2 2−1 1 −1
x1x2x3
= 0
00
heeft als uitgebreide matrix: 1 1 −3 0
2 −2 2 0−1 1 −1 0
10/35
/k
Voorbeeld 2, afhankelijk
Vegen geeft
1 1 −3 02 −2 2 0−1 1 −1 0
∼ 2 0 −2 0
0 0 0 0−1 1 −1 0
∼ 1 0 −1 0−1 1 −1 00 0 0 0
∼ 1 0 −1 0
0 1 −2 00 0 0 0
Dus x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1 is een oplossing,en het stelsel is afhankelijk.
11/35
/k
Stelling: afhankelijk
Het stelsel v1, . . . , vn is afhankelijkdan en slechts dan alser een j is met vj is een lineaire combinatie van v1, . . . , vj−1.
BEWIJS: 1) Stel er is een j metvj is een lineaire combinatie van v1, . . . , vj−1.Dus er zijn getallen a1, . . . , aj−1 met
vj = a1v1 + · · · + aj−1vj−1.
Dusa1v1 + · · · + aj−1vj−1 − vj + 0vj+1 + · · · + 0vn = 0.
Dus aj = −1 6= 0 en het stelsel is afhankelijk.
12/35
/k
Bewijs stelling
VERVOLG BEWIJS: 2) Omgekeerd, stel v1, . . . , vn is afhankelijk,Dan er zijn getallen a1, . . . , an , niet alle nul met
a1v1 + · · · + anvn = 0.
Stel j is de grootste index met aj 6= 0. Dus
a1v1 + · · · + aj−1vj−1 + ajvj = 0. Dus
a1aj
v1 + · · · +aj−1aj
vj−1 + vj = 0. Dus
vj = −a1aj
v1 − · · · −aj−1aj
vj−1.
13/35
/k
Uitdunnen
STELLING: Stel het stelsel v1, . . . , vn is afhankelijk env1, . . . , vn brengt de deelruimte W voort. Dan is er een j metv1, . . . , vj−1, vj+1, . . . , vn brengt de deelruimte W voort.
BEWIJS: Het stelsel v1, . . . , vn is afhankelijkDus is er een j en er zijn getallen a1, . . . , aj−1 met
vj = a1v1 + · · · + aj−1vj−1.
Stel v in span{v1, . . . , vn} = W .Dan zijn er getallen x1, . . . , xn met
v = x1v1 + · · · + xnvn .
14/35
/k
Uitdunnen
Dus
v = x1v1+· · ·+xj−1vj−1+xj(a1v1 + · · · + aj−1vj−1
)+xj+1vj+1+· · ·+xnvn .
Dus
v = (x1 + xja1)v1 + · · · + (xj−1 + xjaj−1)vj−1 + xj+1vj+1 + · · · + xnvn .
Dusv is een element van span{v1, . . . , vj−1, vj+1, . . . , vn}.
15/35
/k
Voorbeeld uitdunnen
Stel
v1 =
12−1
, v2 =
1−21
en v3 =
−32−1
.
Dan is v1, v2, v3 afhankelijk, want:
v1 + 2v2 + v3 =
12−1
+ 2
1−21
+ −32−1
= 0.
16/35
/k
Voorbeeld uitdunnen
v3 is een lineaire combinatie van v1, v2, want:
−v1 − 2v2 = −
12−1
− 2
1−21
= −32−1
= v3.
17/35
/k
Voorbeeld uitdunnen
Er geldt dus: v1, v2, v3 is afhankelijk, want:
v1 + 2v2 + v3 = 0.
En v3 is een lineaire combinatie van v1, v2, want:
v3 = −v1 − 2v2.
Als W =span{v1, v2, v3}, dan is W =span{v1, v2}.Maar ook W =span{v1, v3} en W =span{v2, v3}.
18/35
/k
Brengt voort en lineair onafhankelijk
Stel v1, . . . , vn zijn vectoren in de vectorruimte V,en W is een deelruimte V. Herinner:
1) v1, . . . , vn brengt de deelruimte W voortals voor elke v in W er getallen a1, . . . , an zijn waarvoor geldt:
v = a1v1 + · · · + anvn .
2) v1, . . . , vn is onafhankelijk als
a1v1 + · · · + anvn = 0 ⇒ a1 = · · · = an = 0.
19/35
/k
Definitie basis
DEFINITIE: Stel v1, . . . , vn zijn vectoren in de vectorruimte V,en W is een deelruimte V.
Dan is v1, . . . , vn een basis van W als:
1) v1, . . . , vn brengt W voort, en2) v1, . . . , vn is onafhankelijk
20/35
/k
Stelling: basis
v1, . . . , vn is een basis voor W ,dan en slechts dan alsvoor elke v in W is er precies één n-tal getallen a1, . . . , anwaarvoor geldt:
v = a1v1 + · · · + anvn .
BEWIJS: Stel v1, . . . , vn is een basis van W , en v is in W .Dan is er een n-tal getallen a1, . . . , an waarvoor geldt:
v = a1v1 + · · · + anvn ,
want v1, . . . , vn brengt W voort.
21/35
/k
Bewijs stelling
Stel er is nog een n-tal getallen b1, . . . ,bn waarvoor geldt:
v = b1v1 + · · · + bnvn .
Dan is a1v1 + · · · + anvn = b1v1 + · · · + bnvn .
Dus (a1 − b1)v1 + · · · + (an − bn)vn = 0.
Dus (a1 − b1) = · · · = (an − bn) = 0, want v1, . . . , vn is onafhankelijk.
Dus a1 = b1, . . . , an = bn .
22/35
/k
Stelling: basis door uitdunnen
Stel S = {v1, . . . , vn} brengt de deelruimte W voort,dan is er een deelverzameling {vi1, . . . , vim } van Sdie een basis van W is.
BEWIJS:Deze deelverzameling wordt verkregen doorhet uitdunnen van {v1, . . . , vn}net zolang tot de verkregen deelverzameling{vi1, . . . , vim } onafhankelijk is.Bij het uitdunnen blijft de deelverzamelingde deelruimte W voortbrengen.De verkregen deelverzameling is een basis.
23/35
/k
Dimensie
STELLING:Stel v1, . . . , vm is een basis van W , enStel w1, . . . , wn is een basis van W .Dan geldt
m = n .
OPMERKING: Een deelruimte heeft vele verschillende bases,maar het aantal elementen in een basis is constant.
DEFINITIE: Het aantal elementen in een basis van een deelruimteheet de dimensie van de deelruimte.
24/35
/k
Voorbeeld Rn
Rn is de vectorruimte vanalle rijtjes (u1, . . . , un) van n reëele getallen,
Stel ei = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)
met een 1 of de i -de positie en verder allemaal nullen.
Dan is e1, e2, ..., en een basis van Rn .
Het wordt de standaard basis van Rn genoemd.
De dimensie van Rn is n .
25/35
/k
Voorbeeld 2× 3 matrices
M23 is de vectorruimte van alle 2× 3 matrices.Dan is [
1 0 00 0 0
],
[0 1 00 0 0
],
[0 0 10 0 0
],[
0 0 01 0 0
],
[0 0 00 1 0
],
[0 0 00 0 1
]een basis van M23.
De dimensie van M23 is 6.
26/35
/k
Voorbeeld matrices
Mmn is de vectorruimte van allem × n matrices.
Stel eij is dem × n matrix met een1 in de i -de rij en de j -de kolomen verder overal nullen.
Dan is de verzameling van alle eij met 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ neen basis vanMmn .
Dus Mmn heeft dimensiemn .
27/35
/k
Voorbeeld matrices
Speciale gevallen van Mmn zijn:
M1n de vectorruimte van rijvectoren met n elementen,deze heeft dimensie n .
Mm1 de vectorruimte van kolomvectoren metm elementen,deze heeft dimensiem .
28/35
/k
Voorbeeld polynomen
Pn is de vectorruimte van alle polynomen van de graad hoogstens n .
Een polynoom p(t) in Pn is van de vorm
p(t) = p0 + p1t + · · · + pn tn
Dus Pn wordt voortgebracht door
1, t , t2, . . . , tn
en ze zijn onafhankelijk.Ze vormen dus een basis van Pn .
Dus Pn heeft dimensie n + 1.
29/35
/k
Stelling
Stel V is een vectorruimte van dimensie n .
1) Als v1, . . . , vn de ruimte V voortbrengen,dan vormen ze een basis van V.
2) Als v1, . . . , vn onafhankelijk zijn,dan vormen ze een basis van V.
3) Als v1, . . . , vm in V enm < n,dan brengen ze V niet voort.
4) Als v1, . . . , vm in V enm > n,dan zijn ze afhankelijk.
30/35
/k
Nogmaals: brengt voort en onafhankelijk
Stel v1, . . . , vn zijn vectoren in de vectorruimte V,en W is een deelruimte V. Herinner:
1) v1, . . . , vn brengt de deelruimte W voortals voor elke v in W er getallen a1, . . . , an zijn waarvoor geldt:
v = a1v1 + · · · + anvn .
2) v1, . . . , vn is onafhankelijk als
a1v1 + · · · + anvn = 0 ⇒ a1 = · · · = an = 0.
31/35
/k
Nogmaals: basis
DEFINITIE: Stel W is een deelruimte V env1, . . . , vn zijn vectoren in de vectorruimte V.
Dan is v1, . . . , vn een basis van W als:
1) v1, . . . , vn brengt W voort, en2) v1, . . . , vn is onafhankelijk
32/35
/k
Basis
STELLING:
1) v1, . . . , vn is een basis voor W
dan en slechts dan als
2) voor elke v in W is er precies één n-tal getallen a1, . . . , anwaarvoor geldt:
v = a1v1 + · · · + anvn .
33/35
/k
Coördinaten
DEFINITIE: Stel S = {v1, . . . , vn} is een basis voor W .Voor elke v in W is er precies één n-tal getallen a1, a2, . . . , anwaarvoor geldt:
v = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn .
De getallen a1, a2, . . . , an heten de coördinaten van vten opzichte van de basis S .
NOTATIE:(v)S = (a1, a2, . . . , an)
of
[v]S =
a1a2...
an
34/35
/k
Voorbeeld 1, coördinaten
S = {1, t} is de standaard basis vande vectorruimte P1 van alle lineaire polynomen.
Nu heeft v = −2+ 5t als coördinaten ten opzichte van S :
(v)S = (−2,5)
of
[v]S =[−25
]
35/35
/k
Voorbeeld 2, coördinaten
Maar T = {1+ t ,1− t} is ook een basis van P1.Want
p0 + p1t = 12(p0 + p1)(1+ t)+ 1
2(p0 − p1)(1− t)
Er geldt bijvoorbeeld
−2+ 5t = 32(1+ t)− 7
2(1− t)
Dus(−2+ 5t)T = (32 ,−
72)
In het algemeen is
(p0 + p1t)T = (12(p0 + p1), 12(p0 − p1))
