Algebres de von Neumann, groupes

denombrables et theorie ergodique

Colloquium Lorrain de Mathematiques

Metz, 31 mai 2011

Stefaan Vaes∗

∗ Supported by ERC Starting Grant VNALG-200749

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Algebres devon Neumann

Theoriedes groupes

Actions de groupessur des espaces de probabilite

Expose aujourd’hui

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Rappels : operateurs sur un espace de Hilbert

I Espace de Hilbert : `2(N), L2(X , µ), ... Produit scalaire 〈ξ, η〉.I Operateur borne sur un espace de Hilbert. Exemples :

• Operateur sur Cn ↔ matrices n × n.

• Etant donne f ∈ L∞(X ), l’operateur de multiplication sur L2(X ) estdonne par ξ 7→ f ξ.

• Le decalage sur `2(N) est donne par δn 7→ δn+1.Notation : (δn)n∈N est la base orthonormale canonique de `2(N).

I Chaque operateur borne T ∈ B(H) admet un adjoint T ∗ donne par〈T ξ, η〉 = 〈ξ,T ∗η〉.

• Adjoint d’une matrice = transposee conjuguee.

• Operateur auto-adjoint → decomposition spectrale.

I Un operateur U ∈ B(H) est dit unitaire si U∗U = 1 = UU∗.

Une representation unitaire d’un groupe Γ est un homo-morphisme de Γ dans le groupe des unitaires d’un espace de Hilbert.

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Algebres de von Neumann

B(H) admet plusieurs topologies naturelles.

I La topologie normique donnee par la norme operatorielle‖T‖ = sup{‖T ξ‖ | ξ ∈ H, ‖ξ‖ ≤ 1}.

I La topologie faible ou Ti → 0 ssi 〈Tiξ, η〉 → 0 pour tout ξ, η ∈ H.

I Exercice : Definir la suite d’unitaires un sur `2(N) donnee parunδk = δn+k . Demontrer que un → 0 faiblement.

Commutant : le commutant M ′ de M ⊂ B(H) est defini parM ′ = {T ∈ B(H) | ST = TS ∀S ∈ M}.

I M ⊂ M ′′.I M ′ et M ′′ sont faiblement fermes.

Theoreme du bicommutant de von Neumann (1929)

Si M ⊂ B(H) est une ∗-algebre d’operateurs telle que 1 ∈ M, alors M estfaiblement fermee si et seulement si M = M ′′.

Algebres de von Neumann.

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Exemples d’algebres de von Neumann

Deux exemples non-interessants

I B(H), en particulier l’algebre des matrices Mn(C).

I L∞(X , µ), l’algebre des operateurs de multiplication sur L2(X , µ).

L’algebre de von Neumann d’un groupe denombrable Γ

I Definir la representation reguliere de Γ sur l’espace de Hilbert `2Γdonnee par ugδh = δgh.

I Definir LΓ commel’algebre de von Neumann engendree par {ug | g ∈ Γ}= l’adherence faible du span de {ug | g ∈ Γ}.Algebre de von Neumann du groupe Γ.

Il y a plein de problemes ouverts sur les algebres de von Neumann LΓ.

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Actions de groupe

Soit (X , µ) un espace de probabilite et Γ y (X , µ) une action du groupedenombrable Γ

I par transformations bimesurables,

I qui preservent la mesure µ.

Hypotheses tacites durant tout l’expose.

Nous y associerons des algebres de von Neumann L∞(X ) o Γ.

Exemples :

I Actions isometriques sur des varietes riemanniennes compactes.

I SL(n,Z) y Rn/Zn.

I Z y T ou n ∈ Z opere par rotation d’angle nα.

I Equiper [0, 1]Γ de la mesure produit. Definir Γ y [0, 1]Γ par(g · x)h = xg−1h. Decalage de Bernoulli du groupe Γ.

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La construction group-measure space

Rappels

I L∞(X ) comme operateurs de multiplication sur L2(X ).

I LΓ engendree par les unitaires ug sur `2Γ donnes par ugδh = δgh.

Soit Γ y (X , µ) une action qui preserve la mesure de probabilite µ.

I Representer L∞(X ) sur L2(X × Γ) par (F ξ)(x , h) = F (x) ξ(x , h).

I Representer LΓ sur L2(X × Γ) par (ug ξ)(x , h) = ξ(g−1 · x , g−1h).

Observer que F (·)ug = ugF (g ·).

Le span lineaire de {Fug | F ∈ L∞(X ), g ∈ Γ} est une ∗-algebred’operateurs.

L’algebre de von Neumann L∞(X ) o Γ est definie comme sonadherence faible, et appelee construction group-measure spacede Murray-von Neumann (1936).

Probleme central : classifier L∞(X ) o Γ en termes de Γ y (X , µ).

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Liberte et ergodicite

Soit Γ y (X , µ) une action preservant la mesure de probabilite µ.

Deux hypotheses de non-trivialite/simplicite :

I Action libre : presque tout x ∈ X a un stabilisateur trivial, i.e.g · x 6= x si g 6= e.

Condition equivalente : L∞(X ) ⊂ L∞(X ) o Γ est unesous-algebre abelienne maximale, i.e. L∞(X )′ ∩L∞(X )oΓ = L∞(X ).

I Action ergodique : si U ⊂ X et g · U = U pour tout g ∈ Γ, alorsµ(U) = 0 ou µ(X − U) = 0.

Si Γ y (X , µ) est libre et ergodique, alors L∞(X ) o Γ a un centre trivial :c’est un facteur.

Exemples :

I La rotation Z y T par rotation d’angle nα est libre et ergodique ssiα/2π est irrationnel.

I Le decalage Bernoulli Γ y [0, 1]Γ est libre et ergodique ssi Γ est infini.

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Facteurs de type II1

Rappel. LΓ engendree par les ug sur `2Γ donnes par ugδh = δgh.

La forme τ : LΓ→ C : τ(T ) = 〈T δe , δe〉 verifie

I τ(ug ) = 0 si g 6= e et τ(1) = 1,I τ(ST ) = τ(TS) pour tout S ,T ∈ LΓ.

τ est une trace sur LΓ.

LΓ est un facteur (i.e. centre trivial) ssi Γ a des classes deconjugaison infinies (groupe cci).

Definition. Un facteur II1 est un facteur muni d’une trace et 6= Mn(C).

La trace sur L∞(X ) o Γ

Si Γ y (X , µ) est libre, ergodique, preservant la mesure de probabilite µ,alors L∞(X ) o Γ est un facteur II1 avec trace

τ(Fug ) =

{∫X F (x) dµ(x) si g = e,

0 si g 6= e.

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Facteurs moyennables – Theoreme de Connes

Theoreme (Connes, 1976)

Tous les facteurs II1 de la forme

I LΓ pour Γ moyennable et classes de conjugaison infinies ;

I L∞(X ) o Γ pour Γ moyennable et Γ y (X , µ) libre, ergodique etpreservant la probabilite µ ;

sont tous isomorphes.

Transparents suivants : expliquons la notion de moyennabilite.

Philosophie generale :

Le groupe Γ et l’action Γ y X ont tendance a disparaıtre aupassage a LΓ ou L∞(X ) o Γ.

Probleme extremement difficile d’obtenir des infos sur Γ y X apartir de L∞(X ) o Γ.

D’enormes progres depuis 10 ans grace a la theorie dedeformation/rigidite de Sorin Popa.

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Le paradoxe de Banach-Tarski

Theoreme (Banach-Tarski, 1924)

On peut couper la boule solide de rayon 1 en cinq morceaux ; bouger lesmorceaux par isometries affines et obtenir deux boules solides de rayon 1.

I ‘Contradiction’ evidente avec notre notion de poids ou mesure.

I Decoupage en ensembles non-mesurables.

I Est-ce moins etonnant qu’on peut decouper N = {pairs} t {impairs}et trouver des bijections entre N et chaque morceau ?

Von Neumann (1929) : explication conceptuelle du paradoxe,notion de groupe moyennable.

Decomposition paradoxale d’un groupe denombrable Γ : decoupageΓ = Γ1 t · · · t Γn+m tel que

I Γ = g1Γ1 t · · · t gnΓn,I Γ = gn+1Γn+1 t · · · t gn+mΓn+m.

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Groupes libres – groupes moyennables

Observation : si Γ a une decomposition paradoxale et Γ opere librementsur un ensemble Y , alors Y a une decomposition paradoxale.

I Le groupe libre F2 : deux generateurs a, b et pas de relations. Leselements de F2 sont les mots en a, a−1, b, b−1.

I Jeu de mots : trouver une decomposition paradoxale de F2.

I Le groupe des isometries de R3 contient F2 Banach-Tarski.

Definition (von Neumann, 1929)

Un groupe Γ est dit moyennable s’il existe une moyenne m (mesure deprobabilite finiment additive) sur tous les sous-ensembles de Γ telle quem(gU) = m(U) pour tout U ⊂ Γ et g ∈ Γ.

pas de decomposition paradoxale.

I Sont moyennables : tous les groupes abeliens ; stable par sous-groupe,extensions, limites inductives ; tous les groupes resolubles.

I Sont non-moyennables : les groupes libres Fn.12/21

Comment recuperer Γ y X depuis L∞(X ) o Γ ?

Rappel : on ne recupere rien si Γ est moyennable.On devra s’eloigner le plus possible de la moyennabilite.

Notion de propriete (T) de Kazhdan.

Contenance faible des representations de groupes

Soit π : Γ→ U(H) une representation unitaire. On dit que

I π contient la representation triviale s’il existe un vecteur non-nulξ ∈ H tel que π(g)ξ = ξ pour tout g ∈ Γ.

I π contient faiblement la representation triviale s’il existe une suite devecteurs ξn ∈ H telle que ‖ξn‖ = 1 et pour tout g ∈ Γ on alimn ‖π(g)ξn − ξn‖ = 0.

Rappel : la representation reguliere de Γ sur `2(Γ) donnee par ugδh = δgh.

Theoreme : Γ est moyennable ssi la representation reguliere contientfaiblement la representation triviale.

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Propriete (T) de Kazhdan

Definition (Kazhdan, 1967)

Un groupe Γ a la propriete (T) ssi toute representation qui contientfaiblement la triviale, effectivement contient la triviale.

I SL(n,Z) pour n ≥ 3 a la propriete (T).

I Les reseaux dans les groupes de Lie simples de rang ≥ 2 ont lapropriete (T).

I Moyennable + (T) ⇒ groupe fini.

I Propriete (T) passe aux quotients. Les groupes libres n’ont pas (T).

Un groupe avec (T) est finiment engendre : motivation initiale deKazhdan, les reseaux dans ... sont donc finiment engendres.

La propriete (T) est une propriete de rigidite : on ne peut pas bouger Γsans faire des sauts brusques.

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Theoreme de rigidite de Popa

Theoreme (Popa, 2004)

Soit Γ un groupe cci avec la propriete (T) et Γ y (X , µ) une action libre,ergodique, preservant la mesure de probabilite µ.

Soit Λ y (Y , η) = [0, 1]Λ le decalage de Bernoulli d’un groupe cci Λ.

Si L∞(X ) o Γ ∼= L∞(Y ) o Λ, alors Γ ∼= Λ et les actions sont conjuguees.

Les actions Γ y X et Λ y Y sont dites conjuguees s’il existe un isom.∆ : X → Y d’espaces de probabilite et un isom. de groupes δ : Γ→ Λ telsque ∆(g · x) = δ(g) ·∆(x) pour tout g ∈ Γ et presque tout x ∈ X .

Une veritable percee : le theoreme de Popa est le premier ou onrecupere l’action a partir de l’algebre de von Neumann.

Les hypotheses sont asymetriques.Une action Γ y X est dite W∗-superrigide si l’existence d’unisomorphisme L∞(X ) o Γ ∼= L∞(Y ) o Λ pour une quelconqueaction Λ y Y entraıne la conjugaison des actions.

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Rigidite et sous-algebres de Cartan

Comment recuperer Γ y X a partir de L∞(X ) o Γ ?

Supposons que L∞(X ) o Γ = M = L∞(Y ) o Λ.

Partie 1 Demontrer que les sous-algebres L∞(X ) et L∞(Y ) sontunitairement conjuguees, i.e. qu’il existe un unitaire w ∈ M tel quewL∞(X )w∗ = L∞(Y ).

I Ceci implique que les actions Γ y X et Λ y Y sont orbitalementequivalentes : il existe un isomorphisme d’espaces de probabilite∆ : X → Y tel que ∆(Γ · x) = Λ ·∆(x) pour presque tout x ∈ X .

I Theoreme de Singer (1955). Une equivalence orbitale est ‘la memechose’ qu’un isomorphisme π : L∞(X ) o Γ→ L∞(Y ) o Λ qui verifieπ(L∞(X )) = L∞(Y ).

I L∞(X ) ⊂ L∞(X ) o Γ est une sous-algebre de Cartan de M, i.e. unesous-algebre abelienne maximale A ⊂ M telle que le groupe desunitaires u ∈ M verifiant uAu∗ = A engendre M.

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Rigidite orbitale

Soit L∞(X ) o Γ = M = L∞(Y ) o Λ.

Partie 2 Demontrer que Γ y X est orbitalement superrigide : si unequelconque action Λ y Y est orbitalement equivalente a Γ y X , alors lesdeux actions doivent etre conjuguees.

I La conclusion de la partie 1 etait que Γ y X et Λ y Y sontorbitalement equivalentes.

I La partie 2 dit alors que Γ y X et Λ y Y sont conjuguees.

I Premiers thm’s de superrigidite orbitale : Zimmer (’80), Furman (’99).

I Theoreme (Popa, 2005) : le decalage Bernoulli Γ y [0, 1]Γ de‘beaucoup’ de groupes non-moyennables est orbitalement superrigide.

• Les groupes infinis avec (T) ou ayant un sous-groupe infini normal avecla propriete (T) relative.

• Les groupes qui admettent un sous-groupe infini normal ayant uncentralisateur non-moyennable.

• Conjecturellement tous les groupes Γ avec β(2)1 (Γ) = 0.

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Unicite de la sous-algebre de Cartan

Rappel : on appelle A ⊂ M une sous-algebre de Cartan si A est unesous-algebre abelienne maximale telle que le groupe des unitaires u ∈ Mverifiant uAu∗ = A engendre tout M.

L∞(X ) ⊂ L∞(X ) o Γ est un exemple de sous-algebre de Cartanqu’on appelle de type group-measure space.

Theoreme (Ozawa-Popa, 2007)

Soit Fn y (X , µ) une action libre, ergodique et profinie. Alors L∞(X ) o Γa une unique sous-algebre de Cartan a conjugaison unitaire pres.

Action profinie ergodique : Γ y lim←− Γ/Γn ou Γn < Γ est une suitedecroissante de sous-groupes d’indice fini.

Theoreme de Chifan-Sinclair (2011) : on peut remplacer Fn parn’importe quel groupe hyperbolique dans le sens de Gromov.

Conjecture : unicite de Cartan dans L∞(X ) o Fn pour toute action libre

ergodique de Fn, et meme pour tout groupe Γ avec β(2)1 (Γ) 6= 0.

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Unicite de Cartan de type group-measure space

Theoreme (Popa-Vaes, 2009)

Soit Γ = Γ1 ∗ Γ2 le produit libre d’un groupe infini avec (T) et un groupenon-trivial. Alors pour toute action libre ergodique Γ y X , le facteurL∞(X ) o Γ a une unique sous-algebre de Cartan de type group-measurespace.

I Conjecturellement il y a unicite de Cartan tout court.

I Le theoreme est valable pour certains produits amalgames Γ1 ∗Σ Γ2.

Premier thm. de W∗-superrigidite (Popa-Vaes, 2009)

Si Σ < SL(3,Z) designe le sous-groupe des matrices triangulairessuperieures, alors le decalage Bernoulli de SL(3,Z) ∗Σ (Σ× Λ) estW∗-superrigide pour tout groupe non-trivial Λ.

I Beaucoup de resultats recents d’unicite de sous-algebres de Cartan detype group-measure space : Fima-V, Chifan-Peterson, V, Ioana.

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Theoreme de superrigidite de Ioana

Theoreme (Ioana, 2010)

Le decalage de Bernoulli Γ y [0, 1]Γ de tout groupe cci avec la propriete(T) est W∗-superrigide.

Un veritable tour de force !

Resultat final depuis le theoreme de rigidite (asymetrique) dePopa (2004).

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Algebres de von Neumann de groupes

Probleme ouvert : est-ce que LFn∼= LFm ?

Conjecture de Connes : si G est cci avec la propriete (T) et si LG ∼= LΛ,alors G ∼= Λ.

Theoreme (Ioana-Popa-Vaes, 2010)

Il existe des groupes W∗-superrigides G : si LG ∼= LΛ, alors G ∼= Λ.

Plus concretement, prendre un groupe non-moyennable Γ0 et un groupeinfini moyennable S . Definir

I Γ = Γ0 o S ou le produit en couronne Γ0 o S est defini comme Γ(S)0 o S ,

I considerer Γ y I := Γ/S ,

I definir G = (Z/2Z)(I ) o Γ.

Alors, G est un groupe W∗-superrigide.

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