AEOAAUAC

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥΑ. ΣΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥΓενικά

Όπως είπαμε στην Εισαγωγή, σήμα συνεχούς χρόνου είναι μια συνάρτηση του συνεχούς χρόνου t, δηλ. είναι μια αντιστοίχιση των τιμών του χρόνου t στις τιμές ενός φυσικού μεγέθους. Ένας τρόπος καθορισμού ενός σήματος x(t) είναι να δοθεί η μαθηματική του έκφραση ως συνάρτηση του χρόνου. Τέτοια παραδείγματα είναι τα σήματα x(t)=2t2+3t+1, y(t)=e–2tσυν300t και z(t)=1/(1+t2). Με το σύμβολο e παριστάνεται η βάση των Νεπερείων ή φυσικών λογαρίθμων που έχει τιμή 2,718… . Ένα σήμα μπορεί να έχει άλλη μαθηματική έκφραση, για κάποιο ή κάποια χρονικά διαστήματα, και άλλη, για τα υπόλοιπα χρονικά διαστήματα. Παραδείγματα τέτοιου σήματος είναι το σήμα w(t) που είναι ίσο με e2t, όταν είναι

Ένα σήμα, το οποίο συνίσταται από μια πλήρως και σαφώς ορισμένη μαθηματική έκφραση του χρόνου t, ονομάζεται ντετερμινιστικό ή νομοτελειακό σήμα. Βέβαια, ένα ντετερμινιστικό σήμα δεν είναι καθόλου ρεαλιστικό μοντέλο για ένα σήμα της πράξης. Για ένα σήμα της πράξης, η ύπαρξη και γνώση ενός μαθηματικού τύπου που το παρέχει σημαίνει ότι μπορούμε άμεσα με μαθηματικές πράξεις να βρούμε όλες τις τιμές του, παρελθούσες και μελλοντικές. Όμως, το σήμα της φωνής κάποιου προσώπου που φθάνει στα αυτιά μας δεν μπορεί να παρασταθεί με έναν μαθηματικό τύπο, γιατί τότε θα ξέραμε τι θα μας πει το εν λόγω πρόσωπο και στις μελλοντικές χρονικές στιγμές ή τι μας έχει πει οποιαδήποτε παρελθούσα χρονική στιγμή. Σήματα σαν αυτά της φωνής ή της εικόνας έχουν ενσωματωμένη μέσα τους μια αβεβαιότητα – μη προβλεψιμότητα, αναφορικά με τις τιμές τους. Για τη μαθηματική παράσταση και μελέτη τέτοιων σημάτων χρησιμοποιείται η θεωρία των πιθανοτήτων. Τα σήματα αυτού του είδους ονομάζονται τυχαία ή στοχαστικά σήματα. Παρ’ όλα τα παραπάνω, για να εξοικειωθούμε με το αντικείμενο των σημάτων και των συστημάτων, πολύ συχνά θα μιλάμε για ή θα εννοούμε σήματα τα οποία στο πεδίο του χρόνου θα έχουν συγκεκριμένες μαθηματικές εκφράσεις ως συναρτήσεις του χρόνου t, δηλ. για σήματα που είναι ντετερμινιστικά.

Πολύ συχνά, για ένα σήμα x(t), σχεδιάζουμε τη γραφική του παράσταση στο πεδίο του χρόνου. Προς τούτο, χρησιμοποιούμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων (ορθογωνίων αξόνων), στο οποίο ο οριζόντιος άξονας (άξονας των τετμημένων) είναι ο άξονας των χρόνων t και ο κατακόρυφος άξονας (άξονας των τεταγμένων) είναι ο άξονας των τιμών του σήματος x(t). Για κάθε χρονική στιγμή t, σημειώνουμε στο επίπεδο των αξόνων το σημείο που έχει τετμημένη t και τεταγμένη x(t), δηλ. σημειώνουμε το σημείο (t, x(t)). Αυτά τα σημεία σχηματίζουν μια καμπύλη, η οποία είναι η γραφική παράσταση του σήματος x(t) στο πεδίο του χρόνου t. Αν σε ένα σημείο του άξονα των χρόνων t φέρουμε ευθεία κάθετη σε αυτόν τον άξονα και την προεκτείνουμε μέχρις αυτή να κόψει τη γραφική παράσταση του σήματος, το προσημασμένο μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος, που ορίζεται από τον άξονα των χρόνων και τη γραφική παράσταση του σήματος, είναι ίσο με την τιμή του σήματος x(t) τη χρονική στιγμή t.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση του σήματος x(t)=t2, t σε sec, είναι:

(x(t)=t2)

(+2,25)

(+1)

(t(sec)) (+1,5) (+1) (0) (–1)

Σχ. 1.1 H γραφική παράσταση του σήματος x(t)=t2.

Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν αναφέραμε τις μονάδες που παίρνει το σήμα x(t), γιατί αυτό, προς το παρόν, δεν μας ενδιαφέρει. Βέβαια, σε μια εφαρμογή της πράξης έχει σημασία να γνωρίζουμε και να γράφουμε τις διαστάσεις και τις μονάδες μέτρησης των διαφόρων μεγεθών και σημάτων που εμπλέκονται ή συμμετέχουν στην εφαρμογή. Επίσης, συχνά, δεν αναφέρουμε ούτε τις μονάδες μέτρησης του χρόνου (ειδικά στα σήματα διακριτού χρόνου). Αυτά συμβαίνουν γιατί στα Σήματα και Συστήματα κύρια σημασία έχουν οι μεταβολές ενός σήματος ως προς τον χρόνο και τα χαρακτηριστικά αυτών των μεταβολών και όχι οι μονάδες μέτρησης ή η στάθμη των τιμών των σημάτων αυτών καθ’ εαυτών. Σε μια τέτοια περίπτωση, για το σήμα x(t)=t2 θα λέμε ότι τη χρονική στιγμή t=2 χρονικές μονάδες αυτό το σήμα είναι ίσο με 22=4 μονάδες τιμών ή, απλά, τη χρονική στιγμή 2 το σήμα έχει τιμή 4.

Στοιχειώδεις επεμβάσεις - πράξεις σε ένα σήμα:

α) Πρόσθεση ενός σήματος με μια σταθερά. Από το σήμα x(t) δημιουργούμε το σήμα y(t)=x(t)+a, προσθέτοντας στις τιμές του σήματος x(t) την πραγματική σταθερά a. Η γραφική παράσταση του σήματος y(t) λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) αυξάνοντας τις τεταγμένες όλων των σημείων της κατά a. Έτσι, το σημείο που έχει τετμημένη t και τεταγμένη x(t), δηλ. το σημείο (t, x(t)) πηγαίνει στη θέση (t, x(t)+a). Τα σημεία (t, x(t)+a), για όλες τις τιμές του χρόνου t, σχηματίζουν τη γραφική παράσταση του σήματος y(t). Στο σχήμα 1.2 που ακολουθεί φαίνεται η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=x(t)+2, μαζί με τη γραφική παράσταση του σήματος x(t), όπου x(t) είναι το σήμα t2.

(y(t)=x(t)+2)

(y(t)=t2+2)

(x(t)=t2) (+2)

(t(sec)) (0)

Σχ. 1.2 H γραφική παράσταση του σήματος y(t)=t2+2.

Η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=x(t)+a λαμβάνεται «ανεβάζοντας» κατά a τη γραφική παράσταση του σήματος x(t). Αν η σταθερά a είναι αρνητικός αριθμός, η γραφική παράσταση του x(t) «κατεβαίνει» κατά την απόλυτη τιμή του a.

β) Πολλαπλασιασμός επί μια σταθερά. Από το σήμα x(t) δημιουργούμε το σήμα y(t)=ax(t), πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του σήματος x(t) επί την πραγματική σταθερά a. Η γραφική παράσταση του σήματος y(t) λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t), αν για κάθε σημείο αυτής πολλαπλασιάσουμε την τεταγμένη του x(t) επί a και στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σημειώσουμε το σημείο που έχει τετμημένη t και τεταγμένη ax(t), δηλ. το σημείο (t, ax(t)). Τα σημεία (t, ax(t)), για όλες τις τιμές του χρόνου t, σχηματίζουν τη γραφική παράσταση του σήματος y(t)=ax(t). Στο σχήμα 1.3 που ακολουθεί, φαίνεται η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=2x(t), όπου είναι x(t)=t2, μαζί με τη γραφική παράσταση του σήματος x(t).

(y(t)=2t2)

(y(t)=2t2)

(+2)

(+1) (x(t)=t2)

(t(sec))

(0) (–1) (+1)

Σχ. 1.3 H γραφική παράσταση του σήματος y(t)=2t2.

Η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=αx(t), α>0, λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) με διαστολή της κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων (άξονα των τιμών) με συντελεστή-κλίμακα α. Αν είναι α<0, συμβαίνει διαστολή με κλίμακα και αναστροφή της προκύπτουσας γραφικής παράστασης γύρω από τον άξονα των χρόνων t. Έτσι, για ένα σήμα x(t), το σήμα αx(t) δεν αλλάζει μορφή. Αν από έναν τόπο Α στέλνεται ένα σήμα x(t) και σε έναν άλλον τόπο Β λαμβάνεται το σήμα αx(t), η μετάδοση θεωρείται τέλεια. Στον τόπο προορισμού, ο συντελεστής α μπορεί να αλλάξει με τη χρήση μιας διάταξης ενίσχυσης ή μιας διάταξης απόσβεσης.

γ) Χρονική μετατόπιση. Τώρα θα δούμε και μια άλλη «επέμβαση» σε ένα σήμα, η οποία δεν αλλάζει τη μορφή του. Ας συγκρίνουμε τα σήματα x(t) και y(t)=x(t–t0), με t0>0. Οι τιμές που παίρνει το σήμα x(t) στην περιοχή του 0, δηλ. για t κοντά στο 0, τις παίρνει και το σήμα y(t), αλλά για εκείνες τις τιμές του t που κάνουν το όρισμα t–t0 να βρίσκεται κοντά στο 0. Αυτές οι τιμές του χρόνου t είναι, φυσικά, οι τιμές γύρω από το t0. Έτσι, το σήμα y(t) στην περιοχή του t0 είναι ίδιο με το σήμα x(t) στην περιοχή του 0. Το ίδιο συμβαίνει και για τις άλλες τιμές του t. Η τιμή που έχει το x(t) μια χρονική στιγμή, έστω t*, είναι ίδια με την τιμή που έχει το y(t) τη χρονική στιγμή t*+t0, διότι είναι y(t*+t0)=x[(t*+t0)–t0]=x(t*). Επομένως, η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=x(t–t0) είναι αυτή του σήματος x(t) μετατοπισμένη δεξιά κατά t0.

Αφού ό,τι συμβαίνει στο σήμα x(t) συμβαίνει και στο σήμα y(t), αλλά μετά από χρόνο t0, το σήμα y(t) προκύπτει από το σήμα x(t) με καθυστέρηση κατά χρόνο t0. Έτσι, η επιβολή καθυστέρησης t0 σε ένα σήμα είναι ταυτόσημη με μετακίνηση της γραφικής του παράστασης δεξιά κατά χρόνο ίσο με την καθυστέρηση αυτή, το οποίο είναι ισοδύναμο με το να βάλουμε στη μαθηματική έκφραση του x(t) το t–t0 στη θέση του t. Στο σήμα z(t)=x(t+t0) μιλάμε για χρονική προήγηση του σήματος x(t) κατά t0 και η γραφική του παράσταση μετατοπίζεται αριστερά κατά t0. Αυτά φαίνονται και στο σχήμα 1.4 που ακολουθεί:

(A210y(t)=x(t–2)34) (At10z(t)=x(t+5)–5–4–3–2–1)

(t)

(0x(t)At21)

(α) Σήμα x(t) (β) Το ίδιο σήμα x(t) με καθυστέρηση (γ) Το ίδιο σήμα x(t) με προήγηση

κατά 2 χρονικές μονάδες κατά 5 χρονικές μονάδες

Σχ. 1.4 Χρονική καθυστέρηση και χρονική προήγηση σήματος.

Συμπερασματικά, αν από κάπου (από τον πομπό) στέλνεται σήμα x(t) και κάπου αλλού (στον δέκτη) λαμβάνεται το σήμα ax(t–t0), λέμε ότι η μετάδοση γίνεται τέλεια. Σε πρώτη φάση, δεν μας ενδιαφέρουν οι συγκεκριμένες τιμές των a και t0, ούτε και οι μονάδες-διαστάσεις τους.

δ) Χρονική αναστροφή. Ας εξετάσουμε τα σήματα x(t) και y(t)=x(–t). Όποια τιμή παίρνει το σήμα x(t) μια χρονική στιγμή t, την παίρνει και το σήμα y(t) αλλά την αντίθετη χρονική στιγμή. Τα αντίστοιχα σημεία των γραφικών παραστάσεων των σημάτων x(t) και y(t) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα των τεταγμένων (τον άξονα των τιμών). Έτσι, η γραφική παράσταση του σήματος y(t) είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης του σήματος x(t) ως προς τον άξονα των τεταγμένων. Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=x(–t) λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) με κατοπτρισμό της ως προς τον άξονα των τιμών. Κατοπτρισμός σημαίνει να πάρουμε το συμμετρικό της γραφικής παράστασης του σήματος x(t) ως προς άξονα τον άξονα των τεταγμένων. Είναι σαν να αλλάζουμε φορά στον άξονα των χρόνων t. Ένα παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα 1.5 που ακολουθεί:

(0x(t)At213–1–2–3x(–t))

Σχ. 1.5 Χρονική αναστροφή σήματος.

ε) Συστολή / διαστολή κατά μήκος του άξονα των χρόνων. Είδαμε προηγουμένως τι παθαίνει η γραφική παράσταση ενός σήματος x(t), αν αυτό το πολλαπλασιάσουμε επί μια πραγματική σταθερά a. Δηλ. είδαμε πώς, από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t), προκύπτει η γραφική παράσταση του σήματος ax(t). Τώρα θα δούμε πώς, από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t), θα προκύψει η γραφική παράσταση του σήματος y(t)=x(at), όπου a είναι μία πραγματική σταθερά. Δηλ. είναι σαν να λέμε ότι τώρα τη σταθερά a από «μπροστά» από το x(t), που ήταν στο σήμα ax(t), την περνάμε μέσα στην παρένθεση, «μπροστά» από τη μεταβλητή t, και ψάχνουμε να βρούμε τι σημαίνει η παρουσία της σταθεράς a ως συντελεστή της χρονικής μεταβλητής t.

Ξεκινάμε υποθέτοντας ότι είναι a>1. Τα σήματα x(t) και y(t)=x(at) παίρνουν ίδιες τιμές, μόνο που τις παίρνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Αφού είναι y(t/a)=x[a·(t/a)]=x(t), τη χρονική στιγμή t/a το σήμα y(t) παίρνει τιμή αυτήν που παίρνει το σήμα x(t) τη χρονική στιγμή t. Αυτό συμβαίνει για όλες τις τιμές του t. Για παράδειγμα, με a=2, το σήμα y(t) παίρνει τιμή ίση με x(t) τη χρονική στιγμή t/2, δηλ. στα μισά του χρόνου. Αυτά έχουν ως αποτέλεσμα η γραφική παράσταση του σήματος y(t) να λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) με συστολή της κατά μήκος του άξονα των χρόνων t με συντελεστή a (υπό κλίμακα a). Ένα παράδειγμα δίνεται στο παρακάτω σχήμα 1.6:

(At0x(t)62) (At0x(3t)2/32)

(α) Σήμα x(t) (β) Το σήμα y(t)=x(3t)

Σχ. 1.6 Συστολή σήματος κατά μήκος του άξονα των χρόνων με συντελεστή 3.

Τώρα, ας εξετάσουμε το σήμα z(t)=x(t/a), με a>1. Αυτό το σήμα παίρνει ίδιες τιμές με το σήμα x(t) αλλά σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Αφού είναι z(at)=x[a·(t/a)]=x(t), τις χρονικές στιγμές at το σήμα z(t) παίρνει ως τιμές τις τιμές που παίρνει το σήμα x(t) τις χρονικές στιγμές t. Για παράδειγμα, με a=2, το σήμα z(t) παίρνει τιμή ίση με x(t) τη χρονική στιγμή 2t, δηλ. στo διπλάσιο του χρόνου t. Αυτά έχουν ως αποτέλεσμα η γραφική παράσταση του σήματος z(t) να λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) με διαστολή της κατά μήκος του άξονα των χρόνων t με συντελεστή a (υπό κλίμακα a). Ένα παράδειγμα δίνεται στο παρακάτω σχήμα 1.7:

(At0x(t)2/32) (At0x(t/3)62)

(α) Σήμα x(t) (β) Το σήμα y(t)=x(t/3)

Σχ. 1.7 Διαστολή σήματος κατά μήκος του άξονα των χρόνων με συντελεστή 3.

Αν στο σήμα x(at) είναι 01. Για παράδειγμα, το σήμα x(0.25t) γράφεται και ως x[t/(1/0.25)]=x(t/4), οπότε η γραφική του παράσταση λαμβάνεται από αυτήν του σήματος x(t) με διαστολή της κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 4. Ομοίως, αν στο σήμα x(t/a) είναι 01. Για παράδειγμα, το σήμα x(t/0.25) γράφεται και ως x[t·(1/0.25)]=x(4t), οπότε η γραφική του παράσταση λαμβάνεται από αυτήν του σήματος x(t) με συστολή της κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 4.

Παράδειγμα:

Αν x(t) είναι το πρώτο σήμα που δίνεται στο επόμενο σχήμα, θα σχεδιάσουμε, στο πεδίο του χρόνου, τα εξής σήματα:

y(t)=x(–2t), z(t)=x(2t+1), w(t)=x(–2t+1) και r(t)=x(–0.5t+1).

1) Σήμα y(t): To σήμα x(–2t) γράφεται ως x[–(2t)]. Πρώτα δημιουργούμε το σήμα s(t)=x(–t). Το – μπροστά από το t αναστρέφει το σήμα x(t) ως προς τον άξονα των χρόνων (δημιουργεί το κατοπτρικό του ως προς τον άξονα των τιμών). Τώρα έχουμε: x[–(2t)]=s(2t). Το 2 μπροστά από το t στο s(t) έχει ως αποτέλεσμα τη συστολή του σήματος s(t) κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Δηλ., το σήμα y(t) λαμβάνεται από το σήμα x(t), πρώτα με αναστροφή του γύρω από τον κατακόρυφο άξονα (δημιουργία του σήματος s(t)=x(–t)) και ύστερα με συστολή του κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Η γραφική παράσταση των σημάτων x(t), s(t) και y(t), στο πεδίο του χρόνου, ακολουθεί:

(y(t)=s(2t)–1–3/2–1/2s(t)=x(–t)00x(t)At213–1–2–3tt0AA)

Θα μπορούσαμε να δούμε την «παραγωγή» του σήματος y(t) από το σήμα x(t) και ως εξής: To σήμα x(–2t) γράφεται ως x[2(–t)]. Πρώτα δημιουργούμε το σήμα p(t)=x(2t). Το 2 μπροστά από το t έχει ως αποτέλεσμα τη συστολή του σήματος x(t) κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Έτσι, είναι y(t)=p(–t). Το – μπροστά από το t αναστρέφει το σήμα p(t) ως προς τον άξονα των χρόνων (δημιουργεί το κατοπτρικό του ως προς τον άξονα των τιμών). Έτσι, τώρα, το σήμα y(t) λαμβάνεται από το σήμα x(t) πρώτα με συστολή του κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2 (δημιουργία του σήματος p(t)) και, στη συνέχεια, με αναστροφή του γύρω από τον κατακόρυφο άξονα.

Φυσικά, και οι δύο διαδικασίες που περιγράψαμε καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα.

2) Σήμα z(t): To σήμα z(t)=x(2t+1) γράφεται ως x[2(t+1/2)]. Το +1/2 μετά το t συνεπάγεται χρονική προήγηση του σήματος x(2t) κατά 1/2, άρα μετακίνηση της γραφικής του παράστασης του σήματος x(2t) αριστερά κατά 1/2. Το σήμα x(2t) λαμβάνεται από το σήμα x(t) με συστολή του κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Αυτό το σήμα ας το πούμε s(t), δηλ. s(t)=x(2t). Στη συνέχεια, από το σήμα s(t) παίρνουμε το σήμα z(t) με μετακίνησή του προς τα αριστερά κατά 1/2. Η γραφική παράσταση των σημάτων x(t), s(t) και z(t), στο πεδίο του χρόνου, ακολουθεί:

(AA11/211/2s(t)=x(2t)00x(t)t2133/2tt0z(t)=x(2t+1)A)

Ξανά, θα μπορούσαμε να δούμε την «παραγωγή» του σήματος z(t) από το σήμα x(t) και ως εξής: Θέτουμε p(t)=x(t+1). To +1 στο σήμα x(t+1) μετακινεί τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) αριστερά κατά 1. Είναι z(t)=p(2t). Επομένως, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) λαμβάνεται από αυτήν του σήματος p(t) με συστολή της κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Έτσι, το σήμα z(t) λαμβάνεται από το σήμα x(t) πρώτα με μετατόπισή του αριστερά κατά 1 και, στη συνέχεια, με συστολή του κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Κάντε εσείς τα σχήματα για να τα δείτε.

Βλέπουμε παραπάνω ότι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση του σήματος z(t) είτε πρώτα με συστολή κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2 και μετά με μετακίνηση προς τα αριστερά κατά 1/2, είτε πρώτα με μετακίνηση προς τα αριστερά κατά 1 και ύστερα με συστολή κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2.

3) Σήμα w(t): To σήμα w(t)=x(–2t+1) λαμβάνεται από το σήμα z(t) αν στη θέση του t βάλουμε –t, δηλ. αν το αναστρέψουμε γύρω από τον άξονα των τιμών. Έτσι, παίρνουμε την παρακάτω εικόνα του σήματος w(t):

(–1–1/2t0w(t)=x(–2t+1)A)

Θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε το σήμα w(t) ξεκινώντας από την αρχή με το σήμα x(t), χωρίς να έχουμε υπ’ όψη μας το σήμα z(t), ως εξής: Το σήμα w(t)=x(–2t+1) γράφεται ως w(t)=x{[2(–t)]+1}. Κινούμενοι μέσα στις παρενθέσεις από «έξω προς τα μέσα», πρώτα συναντάμε το +1. Έτσι, από το αρχικό σήμα x(t) προκύπτει το σήμα p(t)=x(t+1) που έχει γραφική παράσταση αυτήν του σήματος x(t) μετατοπισμένη αριστερά κατά 1. Στη συνέχεια, βάζοντας 2t στη θέση του t, παίρνουμε το σήμα q(t)=p(2t)=x(2t+1), του οποίου η γραφική παράσταση βρίσκεται από αυτήν του σήματος p(t) με συστολή της κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2. Τέλος, βάζοντας –t στη θέση του t, παίρνουμε το σήμα q(–t)=x(–2t+1), του οποίου η γραφική παράσταση βρίσκεται από αυτήν του σήματος q(t) με αναστροφή (κατοπτρισμό) γύρω από τον άξονα των τεταγμένων (των τιμών). Έτσι, παίρνουμε τη γραφική παράσταση του σήματος w(t).

H παραπάνω διαδοχή μετατροπών των σημάτων, που από τη γραφική παράσταση του σήματος x(t) δίνει τη γραφική παράσταση του σήματος w(t), δεν είναι μονοσήμαντη. Μπορούμε να βρούμε και άλλη ή άλλες διαδοχές μετατροπών που μας οδηγούν από το σήμα x(t) στο σήμα w(t), ανάλογα με το πώς θα θεωρήσουμε ότι από το t παίρνουμε το –2t+1. Παραπάνω γράψαμε –2t+1=[2(–t)]+1. Μπορούσαμε να γράψουμε και –2t+1=–[2(t–1/2)]. Πηγαίνοντας πάλι από «έξω προς τα μέσα» στην έκφραση –[2(t–1/2)], πρώτα συναντάμε το –, που συνεπάγεται αναστροφή γύρω από τον άξονα των τεταγμένων, μετά συναντάμε το 2, που συνεπάγεται συστολή κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2 και μετά το –1/2, που συνεπάγεται χρονική καθυστέρηση κατά 1/2, άρα μετακίνηση δεξιά κατά 1/2. Ως άσκηση, σχεδιάστε τα σήματα, στα οποία οδηγούν αυτές οι μετατροπές (δηλ. πρώτα η αναστροφή γύρω από τον άξονα των τεταγμένων, μετά η συστολή και μετά η δεξιά μετακίνηση) και δείτε ότι έτσι φθάνουμε στην ίδια με προηγουμένως γραφική παράσταση του σήματος w(t).

4) Σήμα r(t): Μια λύση είναι η εξής: To σήμα r(t)=x(–0.5t+1) το γράφουμε ως r(t)=x{[(–t)/2]+1}. Έτσι, ξεκινάμε με αριστερή μετατόπιση του σήματος x(t) κατά 1 (παίρνουμε το σήμα x{t+1}), συνεχίζουμε με διαστολή του προκύπτοντος σήματος κατά μήκος του άξονα των χρόνων με κλίμακα 2 (παίρνουμε το σήμα x{[t/2]+1}) και τελειώνουμε κάνοντας στο σήμα που προκύπτει αναστροφή γύρω από τον άξονα των τεταγμένων (παίρνουμε το σήμα x{[(–t)/2]+1}=r(t). Σχεδιάστε εσείς το σήμα r(t) στο πεδίο του χρόνου.

στ) Ψαλιδισμός: Υπάρχουν διατάξεις (κυρίως ηλεκτρονικές), οι οποίες δέχονται στην είσοδό τους ένα σήμα x(t) και στην έξοδό τους δίνουν ένα σήμα y(t), το οποίο προκύπτει από το σήμα x(t) ως εξής: Αν, μια χρονική στιγμή t, το σήμα x(t) έχει τιμή τέτοια ώστε να είναι Β≤x(t)≤Α, όπου Α και Β είναι προκαθορισμένες τιμές-στάθμες, τότε είναι y(t)=x(t). Αν είναι x(t)>Α, τότε είναι y(t)=A και, αν είναι x(t)

(βtαt0x(t)tt)

Αρχικό σήμα x(t)

(βα0ΒAy(t)t)

Σχ. 1.8 Το σήμα x(t) ψαλιδισμένο στις στάθμες Α και Β.

ζ) Ανόρθωση: Υπάρχει η απλή ανόρθωση (ημιανόρθωση) και η πλήρης ανόρθωση. Στην απλή ανόρθωση, όσες τιμές του σήματος εισόδου μιας διάταξης, που κάνει απλή ανόρθωση, είναι θετικές, περνάνε άθικτες στην έξοδο της διάταξης και, όσες τιμές είναι αρνητικές, μηδενίζονται («κόβονται»). Είναι σαν οι θετικές τιμές του σήματος εισόδου να πολλαπλασιάζονται επί +1 και οι αρνητικές επί 0 και να δίνουν το ημιανορθωμένο σήμα y(t)..

Μια διάταξη απλής ανόρθωσης ισοδυναμεί με μια διάταξη ψαλιδισμού με στάθμες ψαλιδισμού τις Α=+ και Β=0. Στην πλήρη ανόρθωση, οι θετικές τιμές του σήματος εισόδου της διάταξης πλήρους ανόρθωσης περνάνε άθικτες στην έξοδό της και, για τις αρνητικές τιμές, περνάνε στην έξοδο οι αντίστοιχες θετικές, δηλ. στην έξοδο περνάνε οι απόλυτες τιμές των τιμών του σήματος εισόδου. Είναι σαν οι θετικές τιμές του σήματος εισόδου να πολλαπλασιάζονται επί +1 και οι αρνητικές επί –1. Δηλ., το πλήρως ανορθωμένο σήμα z(t) ισούται με την απόλυτη τιμή του .

Στο παρακάτω σχήμα 1.9 φαίνεται το πριονωτό σήμα x(t) της προηγούμενης παραγράφου και το ίδιο σήμα, αφού αυτό υποστεί απλή και πλήρη ανόρθωση.

(βα0x(t)t)

(α) Αρχικό σήμα x(t)

(βtα0y(t))

(β) Το σήμα x(t) με απλή ανόρθωση (συνεχής γραμμή)

(βtα0z(t))

(γ) Το σήμα x(t) με πλήρη ανόρθωση (συνεχής γραμμή)

Σχ. 1.9 Η απλή (β) και η πλήρης ανόρθωση (γ) του σήματος (α).

η) Παραγώγιση: Αν έχουμε ένα σήμα x(t), από αυτό μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα άλλο σήμα y(t) παραγωγίζοντάς το, δηλ. μπορούμε να δημιουργήσουμε το σήμα Κάθε χρονική στιγμή t, το σήμα y(t) έχει ως τιμή την τιμή της παραγώγου του σήματος x(t) την εν λόγω χρονική στιγμή. Στο Παράρτημα «Παράρτημα Α. Χρήσιμες γνώσεις από τα Μαθηματικά» γίνεται μια αρκετά εκτενής ανασκόπηση του αντικειμένου όλων των Μαθηματικών που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο, μεταξύ των οποίων και των παραγώγων των συναρτήσεων. Σας συνιστούμε, πριν προχωρήσετε παρακάτω, να μελετήσετε το εν λόγω Παράρτημα. Αν το σήμα x(t) είναι ίσο με 3e2t, το σήμα y(t)= είναι ίσο με 3·2e2t=6e2t, αν το σήμα x(t) είναι ίσο με 2ημ(2π5t+π/3), το σήμα y(t) είναι ίσο με 2·2π5συν(2π5t+π/3)=20πσυν(2π5t+π/3) κ.λπ. Για εκθετικά και για ημιτονικά σήματα μιλάμε στη συνέχεια του παρόντος Κεφαλαίου.

Είναι γνωστό από τα Μαθηματικά ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια θέση (δηλ. για μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής) είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης τους συνάρτησης στην εν λόγω θέση. Έτσι, αν έχουμε μόνο τη γραφική παράσταση ενός σήματος και όχι τη μαθηματική του έκφραση συναρτήσει του χρόνου t, μπορούμε χονδρικά να σχεδιάσουμε την παράγωγό του ως συνάρτηση του χρόνου, αν, για κάθε χρονική στιγμή, υπολογίσουμε γραφικά την κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης του σήματος, την εν λόγω χρονική στιγμή. Σας υπενθυμίζουμε ότι, εδώ που η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος t, η κλίση μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας κατά την οποία πρέπει να στραφεί ο θετικός ημιάξονας των χρόνων t, μέχρις αυτός να πέσει πάνω στην ευθεία ή να γίνει παράλληλος με την ευθεία.

Η παράγωγος ενός σταθερού με τον χρόνο σήματος είναι ίση με 0 (μηδενικό σήμα), ενός σήματος της μορφής αt+β (σήματος που μεταβάλλεται γραμμικά με τον χρόνο) είναι ίση με α (σταθερό σήμα), ενός σήματος της μορφής αt2+βt+γ (σήματος που μεταβάλλεται παραβολικά με τον χρόνο) είναι ίση με 2αt+β (σήμα που μεταβάλλεται γραμμικά με τον χρόνο) κ.λπ. Η παράγωγος ενός ημιτονικού σήματος της μορφής αημ(2πft+φ) είναι επίσης ημιτονικό σήμα (είναι το σήμα 2παfσυν(2πft+φ)), η παράγωγος ενός εκθετικού σήματος της μορφής αeβt είναι επίσης εκθετικό σήμα ίδιας μορφής (είναι το σήμα αβeβt) κ.λπ.

Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε δύο σήματα και τα σήματα-παραγώγους αυτών.

(10tx(t)12–2–1) (0y(t)=t2t)

(α) (β)

(2–110tx´(t)1–2–1) (20y´(t)=2tt1)

(γ) (δ)

Σχ. 1.10 Δύο σήματα x(t) και y(t) και οι παράγωγοι αυτών.

Το σήμα x(t), που φαίνεται στο σχήμα 1.10(α), στα διαστήματα t<–2, –12 παίρνει σταθερές τιμές (0, 1 και 0, αντίστοιχα). Επομένως, σε αυτά τα διαστήματα, η παράγωγός του έχει μηδενική τιμή. Στο διάστημα –2

Για το σήμα y(t)=t2, που φαίνεται στο σχήμα 1.10(β), η παράγωγός του είναι ίση με 2t και αυτής η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήμα 1.10(δ). Αυτή είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση ίση με τον συντελεστή 2 του t.

θ) Ολοκλήρωση: Αν έχουμε ένα σήμα x(t), από αυτό μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα άλλο σήμα y(t), ολοκληρώνοντάς το. Εδώ πρέπει να είμαστε προσεκτικοί. Όπως λέμε και στο Παράρτημα Α, αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(t) είναι μια άλλη συνάρτηση F(t), της οποίας η παράγωγος είναι ίση με f(t), δηλ. είναι F´(t)=f(t). Ο σχετικός συμβολισμός είναι F(t)=. Παράγωγο ίση με f(t) έχει και η συνάρτηση F(t)+c, όπου c είναι μια σταθερά, αφού η παράγωγος μιας σταθεράς έχει μηδενική τιμή. Έτσι, σε αντίθεση με την παράγωγο, το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο, αφού, όποια τιμή και να δώσουμε στη σταθερά c, η παράγωγος της συνάρτησης F(t)+c είναι πάντα ίση με f(t). Αν μας δίνεται ή γνωρίζουμε την τιμή A του αόριστου ολοκληρώματος F(t)+c για κάποιο t=t0, δηλ. αν είναι Α=F(t0)+c, έχουμε c=Α–F(t0). Έτσι, τότε, το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(t) είναι ίσο με F(t)+Α–F(t0).

Στα σήματα ορίζουμε το σήμα-ολοκλήρωμα ενός σήματος x(t) λίγο διαφορετικά, μέσω του ορισμένου ολοκληρώματος. Ορισμένο ολοκλήρωμα ενός σήματος x(t) στο διάστημα (α, β) είναι η τιμή του προσημασμένου εμβαδού Ε του επιπέδου χωρίου που δημιουργεί η γραφική παράσταση του σήματος x(t) με τον άξονα των χρόνων t, από τη θέση t=α μέχρι τη θέση t=β. Ο αντίστοιχος συμβολισμός είναι Ε=. Όπως λέμε και στο Παράρτημα Α, αν X(t) είναι (ένα) αόριστο ολοκλήρωμα του σήματος x(t), ισχύει η σχέση X(β)–X(α)=.

Εδώ, αν αλλάξουμε τον συμβολισμό και βάλουμε τ στη θέση του t και t στη θέση του β, θα πάρουμε X(t)–X(α)=, ήτοι X(t)=+Χ(α). Κατ’ αυτόν τον τρόπο, εκφράσαμε το αόριστο ολοκλήρωμα X(t) του σήματος x(t) συναρτήσει του ορισμένου ολοκληρώματος και του Χ(α). Στο Χ(α) μπορούμε να δώσουμε οποιαδήποτε τιμή θέλουμε, μιας και στο X(t) μπορούμε να προσθέσουμε μια τυχαία σταθερά c. Εμείς, ως σήμα-ολοκλήρωμα του σήματος x(t) θα θεωρούμε το σήμα . Ως σημείο α έναρξης της ολοκλήρωσης μπορεί να ληφθεί οποιοδήποτε σημείο του άξονα των χρόνων. Για τα σήματα που τείνουν στο 0, καθώς ο χρόνος t τείνει στο –, κατάλληλο σημείο α είναι το –. Δηλ. το σήμα-ολοκλήρωμα ενός τέτοιου σήματος x(t) είναι το σήμα . Η τιμή του τη χρονική στιγμή t είναι ίση με το εμβαδόν του χωρίου που ορίζει η γραφική παράσταση του σήματος x(τ) με τον άξονα των χρόνων στο διάστημα από τ= –, μέχρι τ=t.

Στο σχήμα που ακολουθεί, δίνουμε δύο σήματα x(t) και y(t) και τα σήματα-ολοκληρώματα αυτών z(t)= και w(t)=.

(10tx(t)12–2–1) (10y(t)t)

(α) (β)

(–2–132.50.5210tz(t)) (10w(t)t1)

(γ) (δ)

Σχ. 1.11 Δύο σήματα x(t) και y(t) και τα ολοκληρώματα αυτών z(t)= και w(t)=.

Το σήμα x(t), που φαίνεται στο σχήμα 1.11(α), είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου t, δηλ., καθώς αυτό μεταβάλλεται με τον χρόνο, δεν εμφανίζει άλματα στις τιμές που παίρνει. Στo διάστημα t≤–2 και στο διάστημα t≥2, παίρνει μηδενική τιμή. Στο διάστημα –2≤t≤–1, μεταβάλλεται γραμμικά με τον χρόνο, επομένως έχει μαθηματική έκφραση της μορφής x(t)=αt+β. Από τις συνθήκες x(–2)=0 και x(–1)=1, δηλ. από τις σχέσεις –2α+β=0 και –α+β=1, προκύπτει ότι είναι α=1 και β=2. Έτσι, στο διάστημα –2≤t≤–1 έχουμε x(t)=t+2. Στο διάστημα –1≤t≤1, έχουμε x(t)=1. Τέλος, στο διάστημα 1≤t≤2, το σήμα x(t) μεταβάλλεται πάλι γραμμικά με τον χρόνο. Έχει εξίσωση της μορφής x(t)=αt+β και, από τις συνθήκες x(1)=1 και x(2)=0, δηλ. τις σχέσεις α+β=1 και 2α+β=0, προκύπτει ότι είναι α=–1 και β=2. Έτσι, στο διάστημα 1≤t≤2, έχουμε x(t)=–t+2. Για τα διαχωριστικά σημεία μεταξύ δύο γειτονικών διαστημάτων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για το x(t) όποια θέλουμε από τις εκφράσεις που αυτό έχει στα δύο γειτονικά διαστήματα.

Αφού το σήμα x(t), στo διάστημα t≤–2, παίρνει μηδενική τιμή, το σήμα z(t)= παίρνει επίσης μηδενική τιμή (δεν υπάρχει εμβαδόν χωρίου ανάμεσα στη γραφική παράσταση του σήματος x(t) και στον άξονα των t, από τον χρόνο – μέχρι τον χρόνο t).

Στο διάστημα (–2, –1), έχουμε x(t)=t+2, οπότε είναι z(t)=+c ==t2/2+2t+c. Γνωρίζουμε ότι είναι z(–2)=0, οπότε έχουμε και (–2)2/2+2(–2)+c=0, ήτοι c=2. Έτσι, στο διάστημα (–2, –1) είναι z(t)=t2/2+2t+2 και η γραφική του παράσταση είναι παραβολή που στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Ξεκινάει από το σημείο (–2, 0) και καταλήγει στο σημείο (–1, 0.5), αφού είναι z(–1)=(–1)2/2+2(–1)+2=0.5.

Στο διάστημα (–1, 1), έχουμε x(t)=1, οπότε είναι z(t)=+c=t+c. Γνωρίζουμε ότι είναι z(–1)=0.5, οπότε έχουμε και –1+c=0.5, ήτοι c=1.5. Έτσι, στο διάστημα (–1, 1), είναι z(t)=t+1.5 και η γραφική του παράσταση είναι ευθεία γραμμή που ξεκινάει από το σημείο (–1, 0.5) και καταλήγει στο σημείο (1, 2.5), αφού είναι z(1)=1+1.5=2.5.

Επίσης, στo διάστημα 1≤t≤2, έχουμε x(t)=–t+2, οπότε είναι z(t)=+c==–t2/2+2t+c. Γνωρίζουμε ότι είναι z(1)=2.5, οπότε έχουμε και –12/2+2·1+c=2.5, ήτοι c=1. Έτσι, στο διάστημα (1, 2), είναι z(t)=–t2/2+2t+1 και η γραφική του παράσταση είναι παραβολή που στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Ξεκινάει από το σημείο (1, 2.5) και καταλήγει στο σημείο (2, 3), αφού είναι z(2)=–22/2+2·2+1=3.

Τέλος, στο διάστημα t≥2, είναι x(t)=0, οπότε το σήμα z(t) είναι σταθερό, με τιμή αυτήν που παίρνει για t=2 και που βρήκαμε ότι είναι ίση με 3. Επομένως, σε αυτό το διάστημα, είναι z(t)=3.

Ύστερα από τα παραπάνω, η γραφική παράσταση του σήματος z(t)= είναι εύκολο να σχεδιαστεί και φαίνεται στο σχήμα 1.11(γ).

Το σήμα y(t) έχει μηδενική τιμή, για t<0, και τιμή 1, για t≥0. Για t<0, είναι w(t)==0, αφού το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση του σήματος y(t) και τον άξονα των χρόνων, από τον χρόνο – μέχρι τον χρόνο t, είναι μηδενικό. Για t≥0, είναι y(t)=1, οπότε έχουμε w(t)=+c=t+c. Γνωρίζουμε ότι είναι w(0)=0, οπότε έχουμε και 0+c=0, ήτοι c=0. Έτσι, στο διάστημα t≥0, είναι w(t)=t και η γραφική του παράσταση είναι ευθεία με κλίση 45ο. Η γραφική παράσταση του σήματος w(t) είναι εύκολο να γίνει και φαίνεται στο σχήμα 1.11(δ).

ι) Πράξεις μεταξύ δύο ή περισσότερων σημάτων:

ι1) Πρόσθεση δύο σημάτων: Το σήμα z(t)=x(t)+y(t) έχει, κάθε χρονική στιγμή t, τιμή ίση με το άθροισμα των τιμών των σημάτων x(t) και y(t). Για να σχηματίσουμε τη γραφική παράσταση του σήματος z(t) στο πεδίο του χρόνου, σε κάθε σημείο του άξονα των χρόνων t σημειώνουμε το σημείο που έχει τεταγμένη ίση με το άθροισμα των τεταγμένων των αντίστοιχων σημείων των σημάτων x(t) και y(t). Δηλ., προσθέτουμε τα προσημασμένα «ύψη» των αντίστοιχων σημείων των γραφικών παραστάσεων των σημάτων x(t) και y(t) και στο σημείο t παίρνουμε «ύψος» ίσο με το προσημασμένο άθροισμά τους. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, προκύπτει ένα σημείο της γραφικής παράστασης του σήματος x(t)+y(t).

Στο παρακάτω σχήμα 1.12, δείχνουμε το άθροισμα δύο σημάτων, οι γραφικές παραστάσεις των οποίων αποτελούνται, για δική μας διευκόλυνση, από ευθύγραμμα τμήματα.

(30,671z(t)=x(t)+y(t)y(t)1–121t40x(t)2t10t034–13–1134)

Σχ. 1.12 Πρόσθεση δύο σημάτων.

Ας εξηγήσουμε πώς προέκυψε η γραφική παράσταση του σήματος z(t)=x(t)+y(t): Για t<–1 και για t>4, και τα δύο σήματα x(t) και y(t) είναι μηδενικά, οπότε είναι και z(t)=0. Για t στο διάστημα (–1, 0), το σήμα y(t) έχει σταθερή τιμή, ίση με 1. Αυτή προστίθεται στο σήμα x(t) και «ανεβάζει» τη γραφική του παράσταση κατά 1. Έτσι, σε αυτό το διάστημα, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) είναι μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα σημεία (–1, 1) και (0, 3).

Για t στο διάστημα (0, 1), το σήμα x(t) έχει σταθερή τιμή, ίση με 2, η οποία προστίθεται στο σήμα y(t) και «ανεβάζει» την τιμή του κατά 2. Έτσι, σε αυτό το διάστημα, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) είναι ευθεία γραμμή, η οποία ξεκινάει από το σημείο (0, 3) και καταλήγει στο σημείο (1, 4).

Για t στο διάστημα (1, 3), κανένα από τα σήματα x(t) και y(t) δεν έχει σταθερή τιμή. Όμως, και των δύο σημάτων οι μαθηματικές εκφράσεις είναι συναρτήσεις πρώτου βαθμού ως προς t, αφού οι γραφικές τους παραστάσεις είναι ευθείες γραμμές. Συνάρτηση πρώτου βαθμού θα είναι και η μαθηματική έκφραση του σήματος-αθροίσματος z(t). Επομένως, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) είναι ευθεία γραμμή που ξεκινάει από το σημείο (1, 4). Για να βρούμε το σημείο, στο οποίο καταλήγει, πρέπει προηγουμένως να βρούμε την τιμή του σήματος x(t) τη χρονική στιγμή t=3, δηλ. να βρούμε το x(3). Αυτό το κάνουμε «γεωμετρικά» αξιοποιώντας την ομοιότητα κάποιων τριγώνων ή, καλύτερα, με το να βρούμε πρώτα τη μαθηματική έκφραση του σήματος x(t) για t μεταξύ 1 και 4. Επειδή η γραφική παράσταση του σήματος x(t) σε αυτό το διάστημα είναι ευθεία γραμμή, η ζητούμενη μαθηματική έκφραση είναι συνάρτηση πρώτου βαθμού ως προς t, ήτοι είναι x(t)=αt+β. Αφού αυτή η ευθεία περνάει από το σημείο (1, 2), είναι 2=α·1+β. Επίσης, αφού αυτή η ευθεία περνάει από το σημείο (4, 0), είναι 0=α·4+β. Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων και βρίσκουμε α=–2/3 και β=8/3. Επομένως, είναι x(t)=(–2/3)t+(8/3), οπότε έχουμε x(3)=(–2/3)3+(8/3)=2/30,67 και z(3)=0,67+0= 0,67. Έτσι, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) περνάει από το σημείο (3, 0.67).

Τέλος, στο διάστημα (3, 4) το σήμα y(t) έχει μηδενική τιμή, οπότε, σε αυτό το διάστημα, είναι z(t)=x(t)+0=x(t). Είναι x(4)=0, οπότε η γραφική παράσταση του σήματος z(t) καταλήγει στο σημείο (4, 0).

Συνδυασμός του πολλαπλασιασμού ενός σήματος επί μια σταθερά και της πρόσθεσης δύο σημάτων είναι η δημιουργία και η γραφική παράσταση του σήματος z(t)=αx(t)+βy(t). To σήμα z(t) ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των σημάτων x(t) και y(t). Μπορούμε να δημιουργήσουμε τον γραμμικό συνδυασμό τριών ή περισσότερων σημάτων, πολλαπλασιάζοντας καθένα από τα σήματα επί μια αντίστοιχη σταθερά και προσθέτοντας τα γινόμενα. Οι σταθερές είναι, γενικά, διαφορετικές μεταξύ τους.

ι2) Πολλαπλασιασμός δύο σημάτων: Το σήμα z(t)=x(t)·y(t) έχει κάθε χρονική στιγμή t τιμή ίση με το γινόμενο των τιμών των σημάτων x(t) και y(t). Εδώ, ή θεωρούμε ότι οι τιμές των σημάτων μας είναι καθαροί αριθμοί ή αγνοούμε το ζήτημα της συνέπειας των μονάδων μέτρησης των σημάτων μεταξύ τους. Για παράδειγμα, αν τα σήματα x(t) και y(t) είναι σήματα τάσης, η διάταξη που τα πολλαπλασιάζει μπορεί να δίνει στην έξοδό της σήμα τάσης. Δηλ., το σήμα z(t) θα είναι σήμα τάσης, ενώ το γινόμενο των σημάτων x(t) και y(t) πρέπει να είναι σήμα τάσης στο τετράγωνο. Για τους παραπάνω λόγους, στο υπόλοιπο του βιβλίου θα αγνοούμε το ζήτημα των διαστάσεων και των μονάδων μέτρησης των σημάτων (εκτός, φυσικά, αν από το πρόβλημά μας επιβάλλεται να μην αγνοηθεί το εν λόγω ζήτημα, οπότε θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί).

Ειδική περίπτωση του πολλαπλασιασμού δύο σημάτων είναι η ύψωση ενός σήματος στο τετράγωνο, οπότε παίρνουμε το σήμα y(t)=x2(t), και, γενικά-επαγωγικά, η ύψωση ενός σήματος σε οποιαδήποτε ακέραιη θετική δύναμη.

Ως παράδειγμα πολλαπλασιασμού δύο σημάτων, δίνουμε στο επόμενο σχήμα τη γραφική παράσταση του γινομένου z(t)=x(t)·y(t) των σημάτων x(t) και y(t) του προηγούμενου παραδείγματος.

(2z(t)=x(t)y(t)y(t)1–121t40x(t)2t10t034–13–113)

Σχ. 1.13 Πολλαπλασιασμός δύο σημάτων.

Εξήγηση του σχήματος:

Για t<–1 και για t>3, ένα ή και τα δύο σήματα είναι μηδενικά, οπότε είναι και z(t)=0. Για t στο διάστημα (–1, 0), το σήμα y(t) έχει σταθερή τιμή, ίση με 1. Επομένως, σε αυτό το διάστημα, είναι z(t)=x(t) και έτσι, σε αυτό το διάστημα, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) είναι ευθεία γραμμή που συνδέει τα σημεία (–1, 0) και (0,2).

Για t στο διάστημα (0, 1), το σήμα x(t) έχει σταθερή τιμή, ίση με 2, η οποία πολλαπλασιάζει το σήμα y(t) και δίνει z(t)=2y(t). Έτσι, σε αυτό το διάστημα, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) είναι ευθεία γραμμή, η οποία ξεκινάει από το σημείο (0, 2) και καταλήγει στο σημείο (1, 4). Επειδή αυτό το τμήμα της γραφικής παράστασης του σήματος z(t) και το αμέσως προηγούμενό του έχουν ίδια κλίση (ίση με 2:1=2), αυτά τα δύο τμήματα συνιστούν ένα ενιαίο ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από το σημείο (–1, 0) και καταλήγει στο σημείο (1, 4).

Για t στο διάστημα (1, 3), κανένα από τα σήματα x(t) και y(t) δεν έχει σταθερή τιμή. Όμως, και των δύο σημάτων οι μαθηματικές εκφράσεις είναι συναρτήσεις πρώτου βαθμού ως προς t, αφού οι γραφικές τους παραστάσεις είναι ευθείες γραμμές. Επομένως, το σήμα-γινόμενο z(t) θα είναι συνάρτηση δευτέρου βαθμού ως προς t, οπότε η γραφική του παράσταση θα είναι παραβολή. Αυτή θα ξεκινάει από το σημείο (1, 4) και θα καταλήγει στο σημείο (3, 0). Μένει να δούμε αν αυτή θα στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Στο διάστημα (1, 3) οι γραφικές παραστάσεις και των δύο σημάτων x(t) και y(t) έχουν αρνητική κλίση, οπότε ο συντελεστής του t στις μαθηματικές τους εκφράσεις είναι αρνητικός. Το θετικό γινόμενο αυτών των δύο συντελεστών είναι ο συντελεστής του t2 στο γινόμενο των x(t) και y(t), ήτοι στο σήμα z(t). Ως εκ τούτου, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) θα στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω.

Ύστερα από τα παραπάνω, η γραφική παράσταση του σήματος z(t) σχεδιάζεται εύκολα και φαίνεται στο παραπάνω σχήμα 1.13.

Αν θέλετε, βρείτε αναλυτικά τις μαθηματικές εκφράσεις των σημάτων x(t) και y(t) στο διάστημα (1, 3) (τη μία την έχουμε ήδη βρει), πολλαπλασιάστε τες και κάνετε τη γραφική παράσταση του γινομένου τους που, όπως είπαμε, θα είναι παραβολή με τα κοίλα προς τα πάνω.

ι3) Διαίρεση δύο σημάτων: Αν και πολύ πιο σπάνια από τον πολλαπλασιασμό δύο σημάτων, μπορεί να προκύψει η ανάγκη δημιουργίας του σήματος-πηλίκου x(t)/y(t) δύο σημάτων. Φυσικά, πρέπει να είναι y(t)≠0. Πιο συχνή είναι η ανάγκη δημιουργίας του αντιστρόφου ενός σήματος, y(t)=1/x(t), με x(t)≠0. Επίσης, αρκετά συχνή είναι η ύψωση ενός σήματος σε μια μη ακέραιη δύναμη, ρητή ή άρρητη, θετική ή αρνητική. Το αντίστοιχο σήμα είναι y(t)=xα(t). Τώρα που ο εκθέτης είναι, εν γένει, πραγματικός αριθμός, το σήμα x(t) πρέπει να έχει θετικές τιμές, για να μπορεί αυτό να υψωθεί στον πραγματικό εκθέτη α. Πολύ συνηθισμένη είναι η περίπτωση a=1/2, δηλ. η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας του (θετικού) σήματος x(t).

ι4) Συνέλιξη δύο σημάτων: Η συνέλιξη δύο σημάτων x(t) και y(t) συμβολίζεται με x(t)y(t) και ορίζεται ως εξής:

x(t)y(t)=

Η μεταβλητή τ είναι μεταβλητή ολοκλήρωσης και δεν εμφανίζεται στο τελικό αποτέλεσμα. Αντίθετα, η μεταβλητή t είναι «παράμετρος» για το ορισμένο ολοκλήρωμα, οπότε το τελικό αποτέλεσμα είναι μια μαθηματική έκφραση του t, άρα μια συνάρτηση του χρόνου t, όπως περιμέναμε. Εύκολα αποδεικνύεται ότι για τη συνέλιξη ισχύει και ο μαθηματικός τύπος x(t)y(t)=. Ας κάνουμε την (εύκολη) απόδειξη:

Στον ορισμό της συνέλιξης των σημάτων x(t) και y(t) που δώσαμε παραπάνω, θέτουμε σ=t–τ τ=t–σ. Για τ=– έχουμε σ=+ και για τ=+ έχουμε σ=–. Επίσης, είναι dτ=d(t–σ)=dt–dσ=0–dσ=–dσ, διότι τώρα το t είναι «παράμετρος» ή «σταθερά». Έτσι, η συνέλιξη των σημάτων x(t) και y(t) γράφεται ως x(t)y(t)= ==. Εδώ μπορούμε να αλλάξουμε συμβολισμό και να γράψουμε τ αντί για σ, οπότε θα πάρουμε x(t)y(t)=. Τελικά, βλέπουμε ότι τη συνέλιξη των σημάτων x(t) και y(t) μπορούμε να τη γράψουμε ως x(t)y(t)= ή ως x(t)y(t)= =.

Αν τα σήματα x(t) και y(t) είναι αιτιοκρατικά, δηλ. αν είναι x(t)=y(t)=0, για t<0, τότε είναι y(τ)=0, για τ<0, και x(t–τ)=0, για τ>t. Επομένως, τώρα, το ολοκλήρωμα της συνέλιξης παίρνει τη μορφή x(t)y(t)==

.

Ο μηχανισμός εύρεσης της συνέλιξης των σημάτων x(t) και y(t) έχει ως εξής: Γράφουμε το σήμα x(t) με μεταβλητή τ και από το σήμα x(τ) δημιουργούμε το σήμα x(–τ) (χρονική αναστροφή, ήτοι λήψη του συμμετρικού της γραφικής παράστασης του σήματος x(τ) ως προς άξονα τον άξονα των τιμών). Στη συνέχεια, στο σήμα x(–τ) επιβάλλουμε χρονική καθυστέρηση κατά t (δημιουργία του σήματος x[–(τ–t)]=x(t–τ) που αντιστοιχεί σε μετακίνηση της γραφικής παράστασης του σήματος x(–τ) δεξιά κατά t). Πολλαπλασιάζουμε αυτό το σήμα επί το σήμα y(τ) και ολοκληρώνουμε το γινόμενο σε όλον τον άξονα των χρόνων. Έτσι παίρνουμε την τιμή της συνέλιξης των δύο σημάτων τη χρονική στιγμή t. Αυτό το κάνουμε για όλες τις τιμές του χρόνου t. Ας κάνουμε δύο παραδείγματα:

Παράδειγμα 1: Θα βρούμε τη συνέλιξη y(t) ενός ορθογωνικού παλμού x(t), που έχει ύψος Α και διαρκεί από τον χρόνο –Τ/2 μέχρι τον χρόνο Τ/2, με τον εαυτό του. Αν είναι Τ=1, δηλ. αν ο ορθογωνικός παλμός διαρκεί από τη χρονική στιγμή –1/2 μέχρι τη χρονική στιγμή 1/2 και έχει ύψος 1, o παλμός ονομάζεται μοναδιαίος ή τυποποιημένος ορθογωνικός παλμός και συμβολίζεται με Π(t). Για το σήμα x(t), που έχει ύψος Α και διάρκεια Τ, έχουμε x(t)=AΠ, μιας και το σήμα x(t) λαμβάνεται από τον παλμό Π(t) με διαστολή του κατά μήκος του άξονα των χρόνων t με κλίμακα Τ και πολλαπλασιασμό επί Α. Επειδή το σήμα x(τ) είναι άρτιο, το σήμα x(–τ) είναι ταυτόσημο με το σήμα x(τ). Έτσι, το σήμα x(t–τ)=x[–(τ–t)], λαμβάνεται από το σήμα x(τ) με μετακίνησή του δεξιά κατά t. Στο επόμενο σχήμα 1.14 δείχνουμε το σήμα x(τ) και το σήμα x(t–τ) για t>0.

(x(τ)0Aτx(t–τ)=x(τ–t)–Τ/2–Τ/2+tΤ/2+tΤ/2t)

Σχ. 1.14 Τα σήματα x(τ) και x(t–τ) για t>0

Τονίζουμε ότι στο σήμα x(t–τ) μεταβλητή είναι το τ, ενώ το t είναι παράμετρος. Το γινόμενο x(t–τ)x(τ) έχει τιμή Α2, για εκείνες τις τιμές του τ για τις οποίες συμβαίνει υπερκάλυψη των παλμών x(τ) και x(t–τ), και τιμή 0, για τις υπόλοιπες, διότι, για τις υπόλοιπες τιμές του χρόνου τ, τουλάχιστον ένας από τους δύο παλμούς x(τ) και x(t–τ) έχει μηδενική τιμή. Μάλιστα, γράφουμε και

y(t)=x(t)x(t)= =, διότι, για τ έξω από το διάστημα (–Τ/2, Τ/2), είναι x(τ)=0. Το y(t)= είναι ίσο με το γινόμενο του Α2 επί το μήκος του διαστήματος υπερκάλυψης των δύο παλμών.

Αν είναι Τ/2+t<–Τ/2 t<–Τ, ο παλμός x(t–τ) βρίσκεται ολόκληρος στα αριστερά του παλμού x(τ), οπότε συμβαίνει μηδενική υπερκάλυψη μεταξύ των δύο παλμών και είναι y(t)=0.

Αν είναι –Τ/2<Τ/2+t<Τ/2 –Τ

Αν είναι –Τ/2<–Τ/2+t<Τ/2 0

Αν είναι Τ/2<–Τ/2+t t>T, ο παλμός x(t–τ) βρίσκεται ολόκληρος στα δεξιά του παλμού x(τ), οπότε συμβαίνει μηδενική υπερκάλυψη μεταξύ των δύο παλμών και έχουμε y(t)=0.

Η γραφική παράσταση του σήματος y(t) δίνεται στο παρακάτω σχήμα 1.15. Το σήμα y(t) είναι ένας αμφίπλευρος τριγωνικός παλμός που εκτείνεται από το σημείο –Τ μέχρι το σημείο Τ και έχει ύψος Α2T. Ώστε, η συνέλιξη ενός ορθογωνικού παλμού με τον εαυτό του δίνει έναν τριγωνικό παλμό που εκτείνεται σε διπλάσιο χρονικό διάστημα από τον ορθογωνικό παλμό.

(t0A2TΤy(t)–Τ)

Σχ. 1.15 To σήμα y(t)=x(t)x(t), όπου είναι x(t)=ΑΠ.

Αν στον παραπάνω τριγωνικό παλμό είναι Τ=1 και Α=1, ο παλμός ονομάζεται μοναδιαίος ή τυποποιημένος τριγωνικός παλμός και συμβολίζεται με Λ(t). Επειδή ο τριγωνικός παλμός y(t) προκύπτει από τον Λ(t) με διαστολή του κατά τον άξονα των χρόνων με παράγοντα-κλίμακα Τ και πολλαπλασιασμό των τιμών του επί Α2, ισχύει η σχέση y(t)=A2Λ.

Παράδειγμα 2: Θα υπολογίσουμε τη συνέλιξη του σήματος x(t), το οποίο είναι ορθογωνικός παλμός ύψους 1 και διάρκειας από t=–1 μέχρι t=1, με το σήμα y(t)=e–tu(t). Θυμόμαστε ότι ο τυποποιημένος ορθογωνικός παλμός συμβολίζεται με Π(t), οπότε το σήμα x(t) είναι ίσο με Π(t/2). Με u(t) συμβολίζουμε τη βηματική συνάρτηση, η οποία έχει τιμή 1, για t≥0, και τιμή 0, για t<0. Περισσότερα για αυτή τη συνάρτηση θα γνωρίσουμε σε επόμενες Ενότητες. Έτσι, για t<0, έχουμε y(t)=0 και, για t≥0, έχουμε y(t)=e–t.

Είναι z(t)=x(t)y(t)==. Αφού το τ είναι μεταβλητή ολοκλήρωσης στο διάστημα [–1, 1], έχουμε –1≤τ≤1 –1≤–τ≤1 t–1≤t–τ≤t+1.

α) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι, αν είναι t+1<0, δηλ. αν είναι t<–1, έχουμε και t–τ<0 u(t–τ)=0 για όλες τις τιμές του τ στο διάστημα ολοκλήρωσης, οπότε είναι z(t)=0.

β) Έστω ότι είναι 0≤t+1<2 –1≤t<1. Για τις τιμές του τ που βρίσκονται στο διάστημα [–1, t], δηλ. για –1≤τ≤t, έχουμε t–τ≥0 u(t–τ)=1 και για τις υπόλοιπες τιμές του τ, δηλ. για τ στο διάστημα [t, 1], ήτοι t<τ≤1, έχουμε t–τ<0 u(t–τ)=0. Έτσι, έχουμε z(t)=+== = .

γ) Αν είναι t≥1, έχουμε t–τ≥0 για όλα τα τ στο διάστημα ολοκλήρωσης [–1, 1]. Άρα, εκεί έχουμε και u(t–τ)=1, οπότε είναι z(t)===.

Η γραφική παράσταση του σήματος z(t)=x(t)y(t) φαίνεται στο σχήμα 1.16(ε).

Στο παρόν παράδειγμα, μας βοήθησε πολύ στον υπολογισμό της συνέλιξης των σημάτων x(t) και y(t) το γεγονός ότι το σήμα y(t) είχε εκθετική μορφή. Στο συνελικτικό ολοκλήρωμα εμφανίστηκε ο όρος e–t, o οποίος βγήκε έξω από το ολοκλήρωμα, πράγμα που βοήθησε πολύ τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος.

Ας δούμε το υπολογισμό του σήματος z(t)=x(t)y(t) και με τον «εποπτικό» μηχανισμό που περιγράψαμε προηγουμένως. Σto επόμενο σχήμα 1.16 σχεδιάζουμε τα σήματα x(τ), y(τ), y(–τ) και y[–(τ–t)]=y(t–τ):

(z(t)=x(t)y(t)1x(τ)01τ–11y(τ)01τy(–τ)01τx(τ)0τ–11ty(t–τ)=e–(t–τ)u(t–τ)(α)(β)(γ)(δ)01– e–2t(ε)–11) Σχ. 1.16 Υπολογισμός της συνέλιξης των σημάτων x(t)=Π(t/2) και y(t)=e–tu(t).

Από το σχήμα 1.16(δ) προκύπτουν τα εξής:

Αν είναι t<–1, οι γραφικές παραστάσεις των σημάτων x(τ) και y(t–τ) δεν εμφανίζουν διάστημα επικάλυψης. Επομένως, είναι z(t)=0.

Αν είναι –1≤t<1, οι γραφικές παραστάσεις των σημάτων x(τ) και y(t–τ) επικαλύπτονται κατά το διάστημα [–1, t). Σε αυτό το διάστημα το γινόμενό τους είναι ίσο με 1·y(t–τ)=e–(t–τ) =e–teτ και το ολοκλήρωμά του είναι ίσο με = = =. Επομένως, είναι z(t)=1–e–t–1.

Αν είναι t≥1, οι γραφικές παραστάσεις των σημάτων x(τ) και y(t–τ) επικαλύπτονται σε ολόκληρο το διάστημα [–1, 1]. Σε αυτό το διάστημα το γινόμενό τους είναι ίσο με 1·y(t–τ)=e–(t–τ)=e–t·eτ και το ολοκλήρωμά του είναι ίσο με ==. Επομένως, είναι z(t)=

=e–t+1–e–t–1.

Ισχύει το εξής γενικότερο αποτέλεσμα: Αν το σήμα x(t) έχει διάρκεια από t=t1 μέχρι t=t2, δηλ. αν, για t έξω από το διάστημα (t1, t2), το σήμα x(t) έχει μηδενική τιμή, και, αν το σήμα y(t) έχει διάρκεια από t=t3 μέχρι t=t4, δηλ. αν, για t έξω από το διάστημα (t3, t4), το σήμα y(t) έχει μηδενική τιμή, τότε η συνέλιξη x(t)y(t) έχει διάρκεια από t=t1+t3 μέχρι t=t2+t4, δηλ., για t έξω από το διάστημα (t1+t3, t2+t4), το σήμα x(t)y(t) έχει μηδενική τιμή. Ας κάνουμε την απόδειξη:

Έχουμε x(t)y(t)==. Αν είναι tt2+t4, για τ στο διάστημα ολοκλήρωσης, έχουμε t–τ>t2+t4–τ>t4 y(t–τ)=0 σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης, οπότε είναι πάλι z(t)=0. Ώστε, για t έξω από το διάστημα (t1+t3, t2+t4) το σήμα x(t)y(t) έχει μηδενική τιμή.

Στο παραπάνω αποτέλεσμα, τα t1 και t3 μπορεί να είναι ίσα και με – και τα t2 και t4 μπορεί να είναι ίσα και με +.

Κλείνουμε, γράφοντας την ιδιότητα της γραμμικότητας της συνέλιξης. Αυτή λέει ότι ισχύει η σχέση f(t)[αg(t)+βh(t)]=α[f(t)g(t)]+β[f(t)h(t)], για όλες τις τιμές των σταθερών α και β και όλα τα σήματα f(t), g(t) και h(t). Με λόγια, η συνέλιξη ενός σήματος με τον γραμμικό συνδυασμό δύο άλλων σημάτων είναι ίση με τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό των συνελίξεων του πρώτου σήματος με τα άλλα δύο σήματα. Χρήσιμες ειδικές περιπτώσεις είναι η β=0, που λέει ότι ισχύει η σχέση f(t)[αg(t)]=α[f(t)g(t)], και η α=β=1, που λέει ότι ισχύει η σχέση f(t)[g(t)+h(t)]=[f(t)g(t)]+[f(t)h(t)] (επιμεριστική ιδιότητα της συνέλιξης ως προς την πρόσθεση). H απόδειξη της ιδιότητας της γραμμικότητας της συνέλιξης είναι εύκολη και αφήνεται ως άσκηση. .

Υπάρχουν και άλλες πράξεις που μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ή περισσότερα σήματα, αλλά ας μην επεκταθούμε εδώ.

Κατηγοριοποιήσεις των σημάτων

Τα σήματα κατατάσσονται σε διάφορες κατηγορίες, ανάλογα με το χρησιμοποιούμενο, κάθε φορά, κριτήριο. Μερικές κατηγοριοποιήσεις των σημάτων είναι:

α) Αιτιοκρατικά και μη αιτιοκρατικά σήματα: Πολύ συχνά, θεωρούμε ότι ο «κόσμος» μας αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0. Έτσι, ένα σήμα θεωρούμε ότι δεν υπάρχει, δηλ. έχει μηδενική τιμή, για αρνητικές τιμές του χρόνου t. Αντίθετα, άλλες φορές, θεωρούμε ότι τα σήματά μας έχουν μη μηδενικές τιμές και για αρνητικές τιμές του χρόνου t. Ένα σήμα που έχει μηδενική τιμή για όλες τις αρνητικές τιμές του χρόνου t ονομάζεται αιτιοκρατικό. Φυσικά, ένα σήμα που έχει μη μηδενικές τιμές για κάποιες ή για όλες τις αρνητικές τιμές του χρόνου t ονομάζεται μη αιτιοκρατικό. Ένα παράδειγμα αιτιοκρατικού και ένα παράδειγμα μη αιτιοκρατικού σήματος φαίνονται στο αμέσως παρακάτω σχήμα 1.17:

(y(t)00x(t)tt)

Σχ. 1.17 Αιτιοκρατικό σήμα x(t) και μη αιτιοκρατικό σήμα y(t)

β) Άρτια και περιττά σήματα: Ένα σήμα x(t) ονομάζεται άρτιο, αν, για όλες τις τιμές του χρόνου t, ισχύει η σχέση x(–t)=x(t), δηλ. αν, για αντίθετες τιμές του χρόνου t, το σήμα x(t) παίρνει ίσες τιμές. Συνέπεια αυτού είναι η γραφική του παράσταση να έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τεταγμένων. Σε χρονικά σημεία που ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων, τα «ύψη» του σήματος είναι ίσα. Αν το αριστερό ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας των τεταγμένων το περιστρέψουμε κατά 180ο γύρω από τον άξονα των τεταγμένων, ο κλάδος της γραφικής παράστασης του άρτιου σήματος, ο οποίος βρίσκεται στο αριστερό ημιεπίπεδο, θα πέσει πάνω και θα ταυτιστεί με τον κλάδο της γραφικής παράστασης του σήματος, ο οποίος βρίσκεται στο δεξιό ημιεπίπεδο.

Ένα σήμα x(t) ονομάζεται περιττό, αν, για όλες τις τιμές του χρόνου t, ισχύει η σχέση x(–t)=–x(t), δηλ. αν, για αντίθετες τιμές του χρόνου t, το σήμα παίρνει αντίθετες τιμές. Η γραφική παράστασή του έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Σε χρονικά σημεία που ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων, τα «ύψη» του σήματος είναι αντίθετα (έχουν ίσα μήκη αλλά αντίθετα πρόσημα). Αν τυχόντος σημείου ενός κλάδου της γραφικής παράστασης του περιττού σήματος πάρουμε το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων (δηλ. αν συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή των αξόνων και επεκτείνουμε άλλο τόσο), αυτό θα πέσει πάνω στον άλλο κλάδο της γραφικής παράστασης. Εναλλακτικά, αν τον ένα κλάδο της γραφικής παράστασης ενός περιττού σήματος τον περιστρέψουμε, πάνω στο επίπεδο των καρτεσιανών συντεταγμένων t και x(t), κατά 180ο γύρω από την αρχή των αξόνων, αυτός ο κλάδος θα πέσει πάνω και θα ταυτιστεί με τον άλλο κλάδο της γραφικής παράστασης. Η εικόνα ενός άρτιου και η εικόνα ενός περιττού σήματος φαίνονται στο επόμενο σχήμα 1.18.

(tx(t)0) (ty(t)0)

(α) Άρτιο σήμα (β) Περιττό σήμα

Σχ. 1.18 Εικόνες ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος.

Η γραφική παράσταση του παραπάνω περιττού σήματος περνάει από την αρχή των αξόνων. Αυτό είναι γενικό, αφού, για οποιοδήποτε περιττό σήμα x(t), έχουμε x(0)=0. Όντως, αφού το σήμα x(t) είναι περιττό, ισχύει η σχέση x(–t)=–x(t) για κάθε τιμή του χρόνου t. Εφαρμόζοντας αυτή τη σχέση για t=0, παίρνουμε x(–0)=–x(0) x(0)=–x(0) 2x(0)=0 x(0)=0.

Ένα σήμα μπορεί να είναι άρτιο ή περιττό, αλλά μπορεί να μην είναι και τίποτα από τα δύο. Αμέσως παρακάτω δείχνουμε ότι οποιοδήποτε σήμα x(t) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος. Δηλ., οποιοδήποτε σήμα x(t) αποτελείται από ένα άρτιο και από ένα περιττό μέρος. Ας δούμε πώς βρίσκουμε το άρτιο και το περιττό μέρος ενός σήματος x(t).

Ορίζουμε το σήμα xe(t)=[x(t)+x(–t)]/2 και το σήμα xο(t)=[x(t)–x(–t)]/2. Για το σήμα xe(t) έχουμε xe(–t)={x(–t)+x[–(–t)]}/2=[x(–t)+x(t)]/2=xe(t). Αφού αυτή η ισότητα ισχύει για όλες τις τιμές του χρόνου t, σήμα xe(t) είναι άρτιο σήμα. Επίσης, για το σήμα xο(t) έχουμε xο(–t)={x(–t)–x[–(–t)]}/2=[x(–t)–x(t)]/2=–[x(t)–x(–t)]/2=–xο(t). Αφού αυτή η ισότητα ισχύει για όλες τις τιμές του χρόνου t, σήμα xο(t) είναι περιττό σήμα. Το άθροισμα των σημάτων xe(t) και xο(t) είναι ίσο με xe(t)+xο(t)= [x(t)+x(–t)]/2+[x(t)–x(–t)]/2=x(t). Επομένως, το τυχόν σήμα x(t) μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος. Ο δείκτης e, για το άρτιο σήμα xe(t), προέρχεται από την αγγλική λέξη even=άρτιος και ο δείκτης ο, για το περιττό σήμα xο(t), προέρχεται από την αγγλική λέξη odd=περιττός.

Στο παρακάτω σχήμα 1.19, για δοσμένο σήμα x(t), δείχνουμε το σήμα x(–t) και τα σήματα xe(t) και xο(t) που δημιουργούνται από τα σήματα x(t) και x(–t).

(1A/2A/2Ax(–t)00x(t)At–111–1tA/2xo(t)00xe(t)At–11–1t–A/2)

Σχ. 1.19 Τα σήματα x(t), x(–t), xe(t) και xo(t).

Ας δούμε πώς προέκυψαν τα σήματα xe(t) και xο(t). Το σήμα x(–t) προέκυψε από το σήμα x(t) με κατοπτρισμό του (συμμετρία) ως προς τον άξονα των τεταγμένων. Για να βρούμε το σήμα xe(t) έπρεπε να υπολογίσουμε το ημιάθροισμα των σημάτων x(t) και x(–t). Προφανώς, για t έξω από το διάστημα (–1, +1) είναι xe(t)=0. Για t στο διάστημα (–1, 0), τόσο το σήμα x(t) όσο και το σήμα x(–t) έχουν ως γραφική παράσταση ευθύγραμμα τμήματα. Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση πρώτου βαθμού, δηλ. μια συνάρτηση της μορφής αt+β, έχει ως γραφική παράσταση ευθεία γραμμή και ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλ. ότι μια ευθεία γραμμή είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πρώτου βαθμού. Έτσι, για t στο χρονικό διάστημα (–1, 0), τόσο το σήμα x(t) όσο και το σήμα x(–t) έχουν τη μορφή αt+β, οπότε το ίδιο ισχύει και για το ημιάθροισμά τους, δηλ. το σήμα xe(t). Επομένως, η γραφική παράσταση του σήματος xe(t) στο χρονικό διάστημα (–1, 0) είναι ευθύγραμμο τμήμα. Για να το προσδιορίσουμε αρκεί να βρούμε τα σημεία-άκρα του.

Για t=–1, το σήμα x(t) έχει τιμή Α και το σήμα x(–t) έχει τιμή 0. Επομένως, το σήμα xe(t) έχει τιμή (Α+0)/2=Α/2. Για t=0, το σήμα x(t) έχει τιμή Α και το σήμα x(–t) έχει επίσης τιμή Α. Επομένως, για t=0, το σήμα xe(t) έχει τιμή (Α+Α)/2=Α. Προσδιορίζουμε τα σημεία (–1, Α/2) και (0, Α) και τα συνδέουμε με ένα ευθύγραμμο τμήμα. Για t=1, το σήμα x(t) έχει τιμή 0 και το σήμα x(–t) έχει τιμή Α. Επομένως, το σήμα xe(t) έχει τιμή (0+Α)/2=Α/2. Προσδιορίζουμε και το σημείο (1, Α/2) και το συνδέουμε με το σημείο (0, Α). Έτσι, έχουμε τελειώσει με τη γραφική παράσταση του σήματος xe(t).

Ας σχεδιάσουμε και το σήμα xo(t). Για t=–1 είναι xo(t)=(Α–0)/2=Α/2, για t=0 είναι xo(t)=(Α–Α)/2=0 (αναμενόμενο, αφού το σήμα xo(t) είναι περιττό) και για t=1 είναι xo(t)=(0–Α)/2=–Α/2. Συνδέοντας με ευθείες γραμμές τα σημεία (–1, Α/2), (0, 0) και (1, –Α/2) προκύπτει η γραφική παράσταση του σήματος xo(t) που φαίνεται στο σχήμα. Εύκολα διαπιστώνουμε / αποδεικνύουμε ότι τα τρία προαναφερθέντα σημεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

γ) Περιοδικά και μη περιοδικά σήματα: Για τα περιοδικά σήματα και για μερικά μη περ�