Blz. 1

AdeKUS WISKUNDE 1 Aantekeningen-diktaat(MIJEC108)voor de richting Economie van de Faculteit der Maatschappijwetenschappen

Wiskunde 1 Economie – maatschappijwetenschappen ADEKUS: B1 fase – eerste semester - 14 weken. Colleges: Ma 8-12u en do 10-12u , meestal in twee groepen. Aantal studiepunten: 6SP dat is 6x28=168uren, waarvan dan 6x14=84 contacturen met de docent (4+2uren per week) en 168-84=84 zelfstudie-uren voor de student. Zelfstudie dus minimaal 5 uren per week, bestaande uit voorbereidend lezen, herhalen behandelde collegestof en maken oefensommen. De overige uren (84-5*14=14 uren) zijn voor studie in de collegevrije week (week 15) en 3 uren tentamen. De jaarkalender gericht op de vakken wiskunde 1 en wiskunde 2 is te vinden op de moodle-site van wiskunde 1 (via

computer, laptop of telefoon met internetverbinding).Daarop kan je dan zien welke collegedagen uitvallen vanwege

bijvoorbeeld nationale feestdagen, de indeling van de semesters en de tentamenperioden.

Aanvullende informatie, naast dit dictaat m.b.t. wiskunde 1 is ook te vinden op de moodle-site van wiskunde 1.

Inhoudsopgave van het aantekeningendiktaat:

Algemene aanwijzingen en opmerkingen Hoofdonderwerpen Volgorde colleges Alle college-aantekeningen van wiskunde 1 met voorbeeldsommen Enkele oude tentamens (uitgewerkt correctiemodel op de website te vinden)

In dit vak (wiskunde 1) staat de afgeleide-bepaling centraal. Het is daarom van belang om de basiskennis over het bepalen van de afgeleide van een functie goed te beheersen. We hebben het dan over: de regels voor het bepalen van de afgeleide voor verschillende functies, de kettingregel, de produktregel en de quotiëntregel. Met deze kennis als basis gaan we dan kijken naar impliciet differentiëren en logaritmisch differentiëren. Voor functies van meerdere variabelen maken we kennis met de partiële afgeleide en de kettingregel met twee varianten voor samengestelde functies van meerdere variabelen. Het gebruik van allerlei vormen van afgeleide-bepalingvoor verschillende doeleinden en de economische betekenis hiervan, komt tot uiting in de toegepaste economische oefensommen, waarbij het van belang is dat de gebruikte begrippen duidelijk onder woorden gebracht kunnen worden. We bekijken de onderwerpen eerst wiskundig en daarna volgt zonodig een economische toepassing.

Opmerking :

Al deze bladzijden bevatten slechts aantekeningen. Er kunnen altijd onvolkomenheden of foutjes in staan. Je kunt er geen

rechten aan ontlenen. Bij twijfel je boek en/of de docent raadplegen. Alle feedback is van harte welkom.

Deze aantekeningen zijn veelal gebaseerd op de stof uit de wiskundeboeken van B. Kaper (de eerste is verplichte literatuur) en

wel:

en

versie 2017 samengesteld door Ir. C.S.J. Chin Kwie Joe

Blz. 2 Algemene aanwijzingen en opmerkingen

Docenten wiskunde 1 en 2 : dhr. Ir. Ronald R. Assen en mevr. Ir. Carmen S.J. Chin Kwie Joe

Email voor vragen en informatie :carmen.chinkwiejoe@uvs.edu Vragenuurtje: voor en na elk college of op afspraak Website met aantekeningen en oude tentamens: http://wiskunde1en2adek.net63.net Moodle electronische leeromgeving (E.L.O.) van de Adekus (sleutel sites: wiskunde1 en

wiskunde2) 1e semester, 1e ronde : 12 weken (okt – dec) en daarna 2eronde : 2 weken (in januari) Discussieforum en files up – en downloaden via moodle

Een E.L.O. is een ElectronischeLeer Omgeving, dus via de computer en het internet Nodig : boek van Kaper B. Wiskundige methoden en technieken in de economie: analyse –

boek of stencilvorm via NoLimitCopies – Dieterstr.. Aanvulling met dit aantekeningendiktaat (extra uitleg en voorbeeldsommen).

Collegestof : hele boek van Kaper B. exclusief H4 en H5 (doen we in wisk 2)

Naslagwerken (bib) : Hamers H., Kaper B. en Kleppe (2012). Wiskunde voor bedrijfseconomen; Haeussler, E. Jr. and Paul, R. (2011); Introductory Mathemathical Analysis for business, economics and the life and social sciences; Sydsaeter and Hammond.Essential mathematics for economic analysis.

het onderdeel Financiële Wiskunde (financiële rekenkunde wiskundig bekeken) met rekenkundige en meetkundige rijen toegepast in economische sommen is sedert oktober 2012 verhuisd naar wiskunde 2 in het 2e semester

Op de website http://wiskunde 1en2adek.net63.net staan aantekeningen en oude tentamens met hun correctiemodel. Voor ge-update aantekeningen wordt wel geadviseerd gebruik van moodle te maken want de website is slechts een ‘hobby-website’ :-D

Vanaf 2015 maakt de universiteit gebruik van MOODLE als E.L.O. Een E.L.O. is een electronische leeromgeving, waarin docent en student gegevens kunnen uitwisselen via het internet. Dit systeem biedt vele mogelijkheden om sneller en gemakkelijker te kunnen communiceren. Elk student moet zich aanmelden voor alle vakken waaraan hij/zij deelneemt.

Elke student krijgt een moodle account met username en password en een uvs-emailadres. Op moodle kan je online van alle vakken informatie vinden. Elk vak zal het een beetje anders doen. http//moodle.uvs.edu

Vanaf 2017-2018 zijn alle uvs email-adressen verhuisd naar een ander platform en de inbox heeft een grotere inhoud gekregen (1 gb). De mailboxen zijn te bereiken via outlook op het internet met pc en/of telefoon en kan geïntegreerd worden in je emailsoftware en apps. Voor instructies zie moodle of informatie van UCC (het universiteits computer centrum).

Hoofdonderwerpen

Herhaling VWO – stof met enkele nieuwe onderdelen erbij (uit dit stencil):

o nodige formules , regels , eigenschappen met voorbeelden o bepalen afgeleide (differentiëren) met alle regels o functie onderzoek voor tekenen (schetsen) grafieken en maken van tekenoverzichten met

conclusies metaccent op veel voorkomende functies economie

o Economische begrippen herhalen (Break-even afzet TO=TK, bepalen MK=GTK, – , etc.

H1 t\m 3 boek Kaper : functies van 1 variabele ( ( )). Behandeling van functies toegepast in de economie.

Hoofdstuk 1 en Hoofdstuk 3 : o Wat is een functie? (verticale lijntest) o Bepalen domein en bereik van een economische functie o Impliciete en expliciete functies o Inverse functies (horizontale lijntest) o Monotoon stijgend/dalend o Limiet en continuïteit o Eenvoudige continu functies in de economie o Convexiteit/ concaviteit, buigpunten

Hoofdstuk 2 :

o Differentiaalrekening – belang in de economie

o Gemiddelde vraag- of kosten verandering ( )

o De differentiaal ( ) o Marginaliteit en de economische betekenis o De werkelijke verandering vs marginale verandering (rechtlijnige benadering) o Elasticiteit en betekenis

Blz. 3

o Inverse functies met hun afgeleide, bepalen

(rc van de raaklijn aan de inverse)

o Limieten : reeds bekende technieken en introductie van de regel van L’Hopital o Alle differentieer regels :somregel, skalair productregel, produkt– en quotiëntregel,

kettingregel o Hogere orden afgeleiden – buigpunten o Impliciet differentiëren

o Bepalen

(is de rc vd raaklijn) en raaklijn i/e bepaald punt van een kromme (al dan

niet een functie)

o Logaritmisch differentiëren ter bepaling van

H6 t\m 8 boek Kaper : functies van meerdere variabelen zoals ( ( ) en ( ). Behandeling van functies die veel gebruikt worden in de economie.

Hoofdstuk 6 enhoofdstuk 7 : Functies van meerdere variabelen: partieel differentiëren o ( ) schetsen bekijken in de 3e dimensie en ( ) o Lineaire,kwadratische en hogere veelterm veeltermfuncties, Cobb Douglas

produktiefuncties etc. o Partiële differentiatie 1e orde en 2e orde en hogere orden afgeleiden o Bepaling raakvlak aan een kromme (al dan niet een functie) o Kettingregel voor ( ) : algemeen, 1e variant en 2e variant met voorbeelden o Partiële marginaliteit en elasticiteit en hun economische betekenis

o Impliciet differentiëren vs partieel differentiëren bij bepaling

voor ( )en

krommen

Hoofdstuk 8 : Optimalisatie met en zonder restrictie (of nevenvoorwaarde)

o Optimaliseren van functies (zoeken naar max/ min) van de functie ( ) o Bepalen van de stationaire punten van een functie o Bepalen van de aard van de stat. punten (max, min of zadelpunt)mbv de criteriumfunctie o Optimaliseren onder nevenvoorwaarde (oftewel met restrictie) :

- ( )onder voorwaarde ( )

- m.b.v. de substitutiemethode

- m.b.v. de 1e orde voorwaarde voor een extremum (zie boek Kaper 2012)

- m.b.v. de lagrangemethode

o de marginale verandering van het optimum( )ook wel genoemd de schaduwprijsals het gaat om bijvoorbeeldminimalisatie van kostenfuncties onder budgetrestricties

Volgorde colleges wiskunde 1 (nog geen blz nummers genoteerd)

Per collegeblok (1,5 uur twee maal per week)wordt er een hoofdonderwerp behandeld en in het werkcollegeblok (1,5 uur) worden enkele belangrijke oefensommen van de twee vorige collegeblokken behandeld. Sommige onderwerpen kunnen meer dan één collegeblok duren De colleges zijn geïntegreerde hoor-en sommencolleges en op de werkcolleges wordt er geoefend met de reeds behandelde stof.

1. Introduktie Afspraken Boeken, diktaten, moodle, mailadressen Start wiskunde 1 - Functies van één variabele:

Standaard-afgeleiden met voorbeelden

Rekenregels voor afgeleiden met voorbeelden

Machtsrekenregels met voorbeelden

Oefensommen voor thuis (opg I , II ,III en IV bij blz7-8=nieuw)

Oefensommen 1,2,5,6,9 erasmustoets

Doorlezen boek blz

Doorlezen diktaatblz 2. Ontbinden in factoren

Kwadraat afsplitsen Ontbinden derdegraadsfuncties Logaritmen en ln-rekenregels met voorbeeldsommen De afgeleide bepalen op twee manieren Oefensommen bovengenoemde onderwerpen Erasmustoets opgaven 1,2,5,6 en 9 voor thuis Doorlezen boek blzxx tot/met xx, diktaatblz xx

3. Differentiaalrekening – differentiaalquotiënt – rc snijlijn De differentiaal – rechtlijnige benadering van de werkelijke verandering Het ontstaan van de afgeleide met voorbeeldsom Het differentie quotiënt – rc van de raaklijn in een punt Aanwijzingen oefensommen van vorig collegeblok Doorlezen:

4. Start functieonderzoek (ongeveer week 3)

Blz. 4

Welke functies gaan we bekijken Werken met checklist functieonderzoek Lineaire functies Kwadratische functies Derdegraadsfuncties Doorlezen Twee oefenfuncties (zie aantblz 30) zelf oefenen Erasmustoets opg 3 en 8 zelf oefenen

5. Vervolg derdegraadsfuncties: de kostenfunctie 6. De overige soorten functies bekijken

Erasmustoets opg 7 Doorlezen

7. Start H1 Kaper (ongeveer week 5) Economische lineaire functies – van impliciete vergelijkingen naar expliciete functies –domein-bereik (wisk en econ) – inverse vraagfunctie–prijsafzetfunctie, consumptiefunctie–inkomensfunctie, etc. Doorlezen hoofdstuk 1 en oefensommen maken

8. Limiet en continuiteit (paragraaf 1.4 en 2.12) De toepassing van de regel van L’Hopital bij bepaalde limietsommen (paragraaf 2.12) Doorlezen / oefenen

9. Vervolg limieten en voorbeelsommen Doorlezen / oefenen

10. Differentiaalrekening voor ( ) en economische varianten zoals ( ) ( ) ( ) ( ) etc. De differentiaal als lineaire benadering voor de werkelijke verandering

Marginaliteit (benadering bij ) en de werkelijke verandering bij Elasticiteit (benaderde relatieve verandering) en de gemiddelde elasticiteit (werkelijke relatieve verandering) Doorlezen (hoofdstuk 2 en 3) / oefensommen en tentamensommen (opgIIA van de tentamens)

11. Sommen TO, TK en TW Doorlezen / oefenen

12. Impliciet differentieren (paragraaf 2.6)

Berekenen rc ( ) raaklijn aan functies / krommen / inverse functies( ) Hogere orden afgeleiden (paragraaf 2.8) Doorlezen / oefenen(vooral tentamensommen)

13. Logaritmisch differentieren – bepalen dy/dx (paragraaf 2.7) Doorlezen / oefenen (vooral tentamensommen)

14. Start Hoofdstuk 6,7,8 Functies van meerdere variabelen (Ongeveer in week 8) Inleiding Partieeldifferentieren en oefeningen eerste, tweede en derde orde Doorlezen / oefenen

15. Bepalen raakvlak De kettingregel voor samengestelde functie van meerdere variabelen Algemeen, eerste variant en tweede variant met voorbeelden en toepassingen

Bepalen m.b.v. de tweede variant v.d. kettingregel en via impliciet differentiëren Doorlezen / oefenen

16. Homogene functies en economische toepassingen Cobb Douglas productiefuncties Doorlezen / oefenen

17. Differentiaalrekening De differentiaal (verandering benaderen via raakvlak) Partiele marginaliteit en elasticiteit Doorlezen / oefenen

18. Start optimalisatie (ongeveer week 10) Bepalen stationaire punten van een functie De criteriumfunctie Bepalen aard van gevonden stationaire punten Toepassingen Doorlezen / oefenen

19. Optimalisatie onder voorwaarde/restrictie/met nevenvoorwaarde (constraintoptimization) Eerste methode: de substitutiemethode Doorlezen / oefenen

20. Tweede methode: eerste orde criterium voor een gebonden extremum – bepalen stationaire punten Tweede orde criterium voor een gebonden extremum – bepalen aard stationaire punten Doorlezen / oefenen zie agenda

21. Derde methode: de Lagrange methode De Lagrangefunctie

Bepaling stationaire punten en ( )lambda-waarde (schaduwprijs/lagrange multiplicator) De betekenis van de schaduwprijs en toepassingen Doorlezen / oefenen

22. Alle drie methoden gebruikenter vergelijking bij een geschikt voorbeeld. Wanneer kan welke methode wel en niet en welke heeft wanneer de voorkeur Doorlezen / oefenen

23. Herhaling en behandelen tentamensommen

Blz. 5

Standaard afgeleiden

Voorbeelden

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) √

( ) ( ) ( )

( )

√

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Algemeen: ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Rekenregels voor het berekenen v.d. afgeleide :

( ( )) ( ) [skalair prod.]

( ( ) ( )) ( ) ( ) [somregel]

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

[productregel] ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [quotientregel]

( ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Andere notatie :

( )

( )

.

/

Van buiten naar binnen differerentieren

( ( )) . ( ( ))/

( ( )) ( )

[kettingregel] voor in elkaar verpakte functies

( ) ( ) ( )

( ) (√ )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

√

√

( ) ( )

Machten en logaritmen REGELS: ( ) ( )

(

)

√ (rationale

exponent)

( )

( )

(

)

√

( )

Ln is een logaritme (natuurlijke logaritme) REGELS: ( )

( )

, , (irrationeel getal)

,

Noemerx Afgel.Teller Teller x Afgel.Noemer

( )

Je vraagt je zelf :

g tot de macht hoeveel is m?

Antw is a (en a is een exponent)

logaritmen zijn exponenten !

Blz. 6

Voorbeelden: hebben wij als volgt opgelost : En

En .

/

.

/ .

/

Maar bij lukt het niet want Om dit op te lossen voeren we logaritmen in: (2 heet grondgetal en x heet exponent) (wisten we al) ( )

Algemeen : Logaritmen zijn dus exponenten Voorbeelden :

o

o Geen grondgetal betekent :

o

Elk getal is te schrijven als een log : 7= etc...

Natuurlijke Logaritmen (Ln)

Ln is ontstaan uit de bepaling van het oppervlak onder ( )

( )

Het grondgetal is : noemt men .

is een log, daarom gelden de log regels ook voor

Oefensommen

I Differentieer :

1. ( )

2. ( )

3. ( )

4. ( )

5. ( ) ( )(

)

6. ( )

7. ( ) √ 8. ( ) 9. ( ) 10. ( )

II Differentieer(kettingregel) :

1. ( ) . √ /

2. ( ) ( ( )) 3. ( ) ( ) 4. ( ) ( )

5. ( ) .( ) .

//

(Hier prod.regel + ketting regel toepassen)

III Schrijf als macht van 3 :

1. √

2.

3. √

4.

√

5.

√

6.

7. √

Dus ervan maken:

IVLogaritmen / Ln

1. .

/

2.

3. ( )

4. ( ) ( √ )

( ) (m.b.v. ln regels)

Blz. 7

Basis kennis/ herhaling VWO stof Technieken : 1. Ontbinden in factoren bij bepaling nulpunten

a. ( )( )

b. Mbv de abc-formule : , ,

√

Invullen : √ ( )

√

heet de diskriminant D de functie heeft twee nulpunten de functie heeft één nulpunt de functie heeft geen nulpunten

en

c. LET OP ! Dit is FOUT mag alleen als vergelijking

( )

Controle : controle :

Deze fout wordt vaak gemaakt !! Als er geen 0 staat achter het =teken staat dan eerst het getal naar links brengen en daarna pas ontbinden in factoren, zonodig met de abc-formule

Ook fout : ( )

Controle : ( ) ( )

Wel goed is :

( )

( )

Etc…(abc-formule)

Nog een voorbeeld:

( ) fout!!

( )( )

Ook goed is:

( )

d. ( )( ) ook nuttig

( )( )

(of : √ )

2. Kwadraat afsplitsen

Bijv. On top of dal te vinden (kan ook met afgeleide) of de symmetrie-as van een parabool of om de inverse functie te vinden Voorb. ( ) Hiervan de helftnemen ( ) …….. en nog iets Uitwerken om getal te kunnen ‘’bijstellen’’

Dit is er extra bijgekomen, dus weer aftrekken ( ) wordt ( ) ( ) De extreme waarde van ( ) ( ) is ( ) Dus ( ) ( ) is ( ) En de symmetrie-as is De inverse bepalen we in een latere college.

Blz. 8

3. een derdegraadsfunctie ontbinden ter bepaling vd nulpunten

Voorb. De mogelijke delers van 6 zijn : We starten met : stel . Invullen geeft ( ) ( ) ( )

4. Nogmaals machten-,logaritmen- en -voorbeelden

grondtal en is groter dan 0 en ( * +) het argument en

Volgende : stel . Invullen : klopt. Een deler van de functie is dan Staartdeling

Rest 0

Moet rest 0 uitkomen, anders foutje gemaakt.

Rekenregels voor logaritmen :

( )

.

/

,want

(voor de calculator)

Bv.

in de calculator

Toepassing :

Dus : ( )( ) ( )( )( ) Drie nulpunten gevonden Oefensommen: Ontbind in factoren: Kwadraat afsplitsen: ( ) ( ) Bepaal de nulpunten van: ( ) Uitwerking oefensommen: zie pdf moodle file x01

En voor evenzo :

Voorbeelden :

Kan niet als een breuk ( ) geschreven worden e is een irrationaal getal oftewel een reëel getal ( ),maar

Machts-sommetjesvoorbeelden :

- ( )

- ( )

-

- .

/

- .√ / .

/

√

√

Omzet- tingen

Blz. 9

Voorbeelden van een logsom :

a. Bereken :

( √

)

Nodig om te weten:

en

. /

Let op(trucje) : we weten

daarom :

want :

b. maak de zo klein mogelijk :

maak tot èèn :

c. De van een product en/of quotiënt omzetten in optellingen of aftrekkingenmbv de -regels

( ) (( )

( )√ )

We weten : ( )

Ln-regels toepassen:

( ) ( ) .( )(√ )/ ( ) ( ( ) (√

)) √

( ) ( )

( )

De volgende som zullen wij de afgeleide op twee manieren berekenen. We maken gebruik van :

( )

( )

(√ )

(√ )

√ en √ √

5. De afgeleide bepalen op 2 manieren :Kaper blz. 49 som 3b = oefensom IV-4

Gegeven : ( √ )Bereken ( )oftewel

d.w.z. bereken de afgeleide van naar

1e manier : m.b.v. de kettingregel en de produktregel :

( )

√ . √

√ /tussen haakjes is de productregel toegepast

√

√

√ √

( )

2e manier : m.b.v. ln-regels Dit noemt men Logaritmisch differentiëren

( √ ) ( ) (√ )

( ) ( )

( )

( )

Nu de afgeleide : ( )

( )

(De rest van de oefensommen I en II en II en IV staat verderop uitgewerkt)

Andere oefensommen zijn bijvoorbeeld de afgeleide-sommen van de tentamens: zoals de opgaven I-5 van 2013 en 2014 etc.

Oefensom: Differentieer op twee manieren:

( ) (√ )

(tip: en √

) Uit tentamen 13 april 2015 opg I-4

Blz. 10

6. Het volgend onderwerp is : Het begrip differentiaal / differentiaalrekening / het ontstaan van de afgeleide

= rc van de snijlijn k : mate van steilheid van de lijn k(

)

rc = richtings-coëfficiënt= gemiddelde verandering tussen de twee snijpunten Dit noemt men het differentie-quotiënt :

( )

( ) ( )

We gaan het punt B nu over de kromme schuiven richting A ; dan zal naar nul naderen

nadert 0 en de snijlijn wordt raaklijn : ( )

( ) ( )

is per definitie gelijk aan

( )

En ( )heet de afgeleide van ( ) in het punt met en is de rc van de raaklijn aan ( ) in( ) en heten differentialen van y en x daarom spreekt men van differentiaalrekening. ( delta en differentiaal)

noemt men het differentiaal-quotiënt

Schrijfwijzen :

( )

( )

( )

De afgeleide ( )ontstaat dus : - als de snijlijn door de kromme overgaat naar raaklijn aan de kromme , doordat oneindig klein wordt

- als

gaat naar

- als differentiequotiënt gaat naar differentiaalquotiënt - als rc snijlijn gaat naar rc raaklijn

Blz. 11

Een voorbeeldsom over het berekenen van de afgeleide Gegeven: ( )

1. Bereken het differentiequotiënt 2. Bereken de snijlijn door A met en B met (punten van ( ) 3. Bereken het differentiaalquotiënt (de afgeleide) 4. Bereken de raaklijn door A

Ad 1.)

( )

( ) ( )

.

/

[( ) ( ) ] ( )

nu alles uitschrijven

nu buiten haakjes halen ( )

Dit is het differentie-quotiënt

Ad 2.) Punt A : ( ) Het punt A is (2,-1) Punt B : ( ) Het punt Bis (4,3)

A=(2,-1) en de rc =

is hier x-nieuw minus x-oud

(kan ook als volgt:

( )

Snijlijn : met

in

Invullen geeft

De snijlijn is:

Ad 3.)

( ) ( )

Dit is het differentiaal-quotiënt.

Ad 4.) Raaklijn in A : met ( ) Punt invullen : (2,-1) : De raaklijn is: * ( ) is de verzameling van rc’s van de raaklijnen aan ( ) *We hebben laten zien datde afgeleide van is

ALGEMEEN: de afgeleide van ( ) is ( )

Blz. 12 Oefensommen I, II, III en IV uitgewerkt

1. ( )

( )

Of quotientregel :

8.) ( ) met (het zijn getallen)

( )

9.) ( ) => ( ) 10.) ( ) => ( ) want p is een getal

2. ( )

Methode 1 : eerst alles delen door x : ( )

( )

Methode 2 : quotientregel : ( ) ( )

II. 1.) ( ) . √ / kettingregel

toepassen.

( )

√ √

√

2.) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

3.) ( ) ( )

( )

Of : ( )

( )

3. ( )

( )

4.) ( ) betekent ( ) ( ) ( )

Methode 1 met productregel :

( )

Methode 2 met kettingregel :

( ) ( )

produktregel + kettingregel

5.) ( ) ( )

.

/

( ) , ( ) ( )- .

/

( ) .

/

( ) ( )

( )

Voor afgeleide van

wordt de quotiëntregel

toegepast

De teller wordt

4. ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

5. ( ) ( ) .

/ productregel toepassen

( ) .

/ ( )

6. ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

7. ( ) √ dan is ( ) √

√ √

√

√

√ √ √ √ of:

( )

en ( )

√

Dus: ( ) , ( ) ( )-

.

/ ( )

.

/

( )

Wordt

Blz. 13

III. Schrijf als macht van 3

1. √ √ ( )

2.

3. √

√

4.

√

. /

5.

√ (√

)

. /

.

/

6.

( )

7. √

√ ( )

IV. 1.)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2.)

( )

( )

3.) ( ) (want

4.) Reeds opgelostdrieblz terug

Wiskundetoets van de Erasmus school of Economics (aug 2012) - toelatings toets AAC (MAAC : 2-jarige master-opleiding accounting auditing and control)

Opgaven 1, 2, 4, 5, 6 en 9 oefenen (opg 3+7+8 na college functie-onderzoek maken) De antwoorden staan op moodle en de website

Opgave 1 Los de volgende stelsels vergelijkingen op :

a.

b.

Tip : gebruik substitutie of eliminatie Opgave 2 Differentieer de volgende functies naar x en vereenvoudig uw antwoord zo ver mogelijk

a. ( )

b. ( )

( )

c. ( ) ( ) Opgave 3 Gegeven is de functie

( ) ( )

a. bepaal het domein van f b. bepaal de nulpunten van f of laat zien dat f

geen nulpunten heeft

c. laat zien dat ( )

( )

d. voor welke waarden van x is de functie f stijgend?

e. Bepaal de extremen van f of laat zien dat f geen extremen heeft

f. Laat zien dat ( )

( )

g. Bepaal de buigpunten van f of laat zien dat f geen buigpunten heeft

h. Schets de grafiek van f gebaseerd op uw antwoorden op de voorgaande vragen

Opgave 4 a. Los op : b. Bepaal alle waarden van p waarvoor de

vergelijking minstens èèn oplossing heeft

Opgave 5 a. Bepaal de formule van de rechte lijn door het

punt (1,4) die parallel loopt aan de lijn

b. Bepaal de formule van de rechte lijn door het punt (3,-1) die loodrecht staat op de lijn

tip : lijnen loodrecht dan rc’s negatief en omgekeerd

c. Bepaal de formule van de recte lijn door de punten (-4,1) en (3,-1)

Opgave 6 Los de volgende vergelijkingen op

a.

b.

c.

Opgave 7 Beschouw de functies ( ) en ( )

a. Bepaal de nulpunten van ( ) b. Schets de grafieken van f en g in èèn figuur c. Bereken alle vier de snijpunten van f en g

Opgave 8 a. Teken in het (x,y)-vlak het gebied waarvoor geldt :

en √ en b. Dit gebied heeft drie hoekpunten. Bereken de

(x,y)-coördinaten van deze hoekpunten Opgave 9

De grafiek van de functie ( ) ( ) gaat door de punten (0,3)en (4,4) bereken a en b

Blz. 14

Blz -13 plus