A lgebratdemedts/files/algebraI.pdf3.3 Matrices, vrije modulen, basissen . . . . . . . . . . . . . ....

FACULTEIT WETENSCHAPPEN

academiejaar 2019–2020, 1e semester

tweede bachelor wiskunde

Tom De Medts

Vakgroep wiskunde: algebra en meetkunde

lgebra IA

xyzyxxxxyzyxzyxxyzxyzyyxyxyzyxyyxzyxxzyxyx

xzyxyzyxyyzxxyzxyzzzyxyzxzzyyxyzyxyzxyzxyzzxzzyxxyzxyzxxyzxyyyzzzxzxyyyxxzyxzyzyyxzzxyyxzxyyxzxzyxzyyxzyxzxyxyzxyyyyxxzzxzyxyzyxzxyzzxyzyxzzyyxxyxzxyxyxzxyxxyyyxzzzyyzzzxzyxxxxyyzzxyzxyxzxxyyx

Inhoudsopgave

1 Groepen 1

1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Verdere definities en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Groepsmorfismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Cyclische groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Toevoeging en normaaldelers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Quotientgroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Directe producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 Acties van groepen op verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . 341.9 De stellingen van Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.10 Groepen van orde ≤ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Ringen 61

2.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Ringmorfismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3 Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4 Hoofdideaaldomeinen en Euclidische domeinen . . . . . . . . . 752.5 Quotientringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.6 Maximale idealen en priemidealen . . . . . . . . . . . . . . . . 802.7 Unieke factorisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.8 Directe producten en de Chinese reststelling . . . . . . . . . . 96

3 Modulen 99

3.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Deelmodulen, morfismen, quotienten, directe sommen . . . . . 1013.3 Matrices, vrije modulen, basissen . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4 De Smith normaalvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.5 Eindig voortgebrachte modulen over hoofdideaaldomeinen . . 115

iii

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 Inter-national License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/.

iv

Hoofdstuk

1 Groepen

Zowat het eenvoudigste, maar zeker niet onmiddellijk het meest intuıtieve,concept in de abstracte algebra, is een groep. Inderdaad, dergelijke structu-ren duiken constant op in alle takken van de wiskunde. In de cursus “DiscreteWiskunde I” hebben we al kennisgemaakt met abstracte groepen, en in decursus “Discrete Wiskunde II” zijn we dieper ingegaan op permutatiegroe-pen en groepsacties. In dit hoofdstuk van deze cursus gaan we voornamelijkverder met het bestuderen van abstracte groepen.

(Ons gebruik van het woord “abstract” is misschien wat abstract, en slaathierbij voornamelijk op “niet concreet”, d.w.z. dat de groepen niet a priorigegeven worden als automorfismengroepen van andere objecten, en dus nieta priori iets “doen”, zoals dit wel het geval is bij permutatiegroepen.)

We spreken af dat in deze cursus 0 een natuurlijk getal is; we gebruikendan ook de notaties

N := Z≥0 = {0, 1, 2, . . . };N∗ := Z>0 = {1, 2, . . . }.

1.1 Groepen, deelgroepen en voorbeelden

Voor de volledigheid herhalen we de definities, en geven we een groot aantalvoorbeelden. Bij het opbouwen van een abstracte theorie is het immersbelangrijk om steeds een grote verscheidenheid van verschillende voorbeeldenin gedachten te houden.

Definitie 1.1.1. Een groep is een verzameling G met daarop een samenstel-lingswet (ook wel operatie genoemd)

G×G → G : (s, t) $→ s ∗ t ,

met de volgende eigenschappen:

• voor alle x, y, z ∈ G geldt (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (associativiteit);

1

• er is een element e ∈ G zodat voor alle g ∈ G geldt dat e∗g = g = g ∗e(het neutraal element, de identiteit, het eenheidselement of het triviaalelement genoemd);

• voor alle g ∈ G is er een element h ∈ G zodat h ∗ g = g ∗ h = e;we noteren dan h = g−1 en noemen dit het invers element van g (ofkortweg de inverse van g).

We spreken van een abelse groep1 als de samenstellingswet commutatief is,d.w.z. als

• voor alle g, h ∈ G geldt g ∗ h = h ∗ g.

Bij abelse groepen wordt de samenstellingswet vaak (maar zeker niet al-tijd) additief genoteerd; dit wil zeggen dat we de bewerking noteren als g+h,het inverse als −g, en het neutraal element als 0. Heel soms wordt de addi-tieve notatie ook gebruikt voor niet-abelse groepen.

Multiplicatieve notaties, d.w.z. een punt als bewerking of het achter el-kaar schrijven van de elementen, kunnen zowel voor commutatieve als nietcommutatieve samenstellingswetten gebruikt worden. Als er geen verwarringmogelijk is, wordt het neutraal element dan vaak als 1 genoteerd.

Opmerking 1.1.2. Het is belangrijk om zich te realiseren dat het additief ofmultiplicatief noteren van de samenstellingswet slechts een kwestie van no-tatie is; er is dus niet zoiets als een “additieve groep” of een “multiplicatievegroep”. Anderzijds weten we reeds dat er rijkere algebraısche structurenbestaan (velden, ringen, . . . ) waarop meerdere samenstellingswetten gedefi-nieerd zijn.

We herinneren eraan dat het neutraal element van een groep en het inverselement van een element van een groep uniek bepaald zijn; dit verantwoordtwaarom we in de definitie van een groep kunnen spreken over het neutraalelement en het invers van een element.

Lemma 1.1.3. Zij G een groep.

(i) Als f ∈ G met f ∗ g = g = g ∗ f voor alle g ∈ G, dan is f = e.

(ii) Gegeven g ∈ G, en a, b ∈ G met a ∗ g = e = g ∗ b, dan is a = b.

Bewijs. (i) Dit volgt uit f = f ∗ e = e.

1genoemd naar N.H. Abel (5 augustus 1802 – 6 april 1829), die bij zijn onderzoek inverband met het oplossen in radicalen van algebraısche vergelijkingen het belang inzagvan de commutativiteit, nog lang voor het begrip van een groep formeel was ingevoerd.

2

(ii) Dit volgt uit a = a ∗ e = a ∗ (g ∗ b) = (a ∗ g) ∗ b = e ∗ b = b. !

Merk op dat deel (ii) van voorgaand lemma meer aantoont dan enkel deuniciteit van het invers element: het bewijst ook dat een links inverse of eenrechts inverse noodzakelijk een tweezijdig inverse is.

Lemma 1.1.4. Zij G een groep, en zij g ∈ G; dan is (g−1)−1 = g.

Bewijs. Dit volgt uit(

(g−1)−1 ∗ g−1)

∗ g = (g−1)−1 ∗(

g−1 ∗ g)

. !

Lemma 1.1.5. Zij G een groep, en x, y, z ∈ G. Dan gelden de linkse enrechtse schrappingswetten

x ∗ y = x ∗ z =⇒ y = z ;

x ∗ z = y ∗ z =⇒ x = y .

Bewijs. Stel x ∗ y = x ∗ z. Beide leden voor-vermenigvuldigen met x−1 geeftx−1 ∗ (x∗y) = x−1 ∗ (x∗z); uit de associativiteit en de definitie van het inverselement volgt y = z. Analoog voor de rechtse schrappingswet. !

We zullen in het vervolg de samenstellingswet ∗ zelden expliciet noteren,en zullen in plaats daarvan de multiplicatieve notatie gebruiken, als we metwillekeurige groepen werken. In dat geval noteren we het neutraal element eook heel vaak als 1.

Definitie 1.1.6. Beschouw het singelton G = {1}, met de enige mogelijkesamenstellingswet, namelijk 1∗1 = 1. Dan is G een groep met deze operatie;dit wordt de triviale groep genoemd. We noteren deze vaak kortweg alsG = 1.

Een deelgroep van een groep is een deelverzameling van een groep die zelfeen nieuwe groep vormt, in de volgende precieze betekenis.

Definitie 1.1.7. (i) Zij G een groep en H ⊆ G. Dan is H een deelgroepvan G, als de verzameling H samen met dezelfde samenstellingwet enhetzelfde neutraal element als in G, een groep vormt. We noteren ditals H ≤ G.

(ii) Als bovendien H = G, dan gebruiken we de notatie H < G, of ooksoms H ! G of H " G, en we spreken dan van een echte of eigenlijkedeelgroep.

(iii) Als G een groep is met neutraal element e, dan is het singleton {e}steeds een deelgroep van G; we noemen het de triviale deelgroep van G,en we noteren die vaak als 1 ≤ G. Een deelgroep H ≤ G met H = 1noemen we dan een niet-triviale deelgroep van G.

3

Lemma 1.1.8 (Criterium voor deelgroepen). Zij G een groep en H ⊆ G.Dan zijn de volgende uitspraken equivalent.

(a) H is een deelgroep van G;

(b) H bevat e, en is gesloten onder inversen en gesloten onder de samenstel-lingswet van G;

(c) H is niet ledig, en voor alle h1, h2 ∈ H geldt dat h1h−12 ∈ H.

Bewijs. Zie cursus “Discrete Wiskunde I”. !

We geven nu een aantal voorbeelden van groepen en deelgroepen.

Voorbeelden 1.1.9. (1) Beschouw de verzameling Z van de gehele getallen.Dan is Z met de operatie + een abelse groep.

(2) Zij n ∈ Z vast gekozen, en beschouw de verzameling nZ van de gehelegetallen deelbaar door n. Dan is (nZ,+) een abelse groep. Dit is tevenseen deelgroep van de groep (Z,+).

(3) Zij m ∈ N∗ vast gekozen, en beschouw de verzameling Z/mZ van rest-klassen modulo m. Dan is Z/mZ met de operatie + een abelse groep.We zullen later de notatie Z/mZ verklaren; zoals we zullen zien is dit eenquotientgroep (zie Definitie 1.6.1). Het is echter gebruikelijk om Z/mZte noteren2 als Z/m.

(4) Beschouw opnieuw de verzameling Z/m = Z/mZ. We noteren nu

(Z/m)× := {a ∈ Z/m | gcd(a,m) = 1} .

Dan is (Z/m)× met de vermenigvuldiging als operatie een abelse groep.(Merk op dat de verzameling (Z/m)× inderdaad gesloten is onder devermenigvuldiging.)

(5) De verzameling Z met de vermenigvuldiging als operatie is geen groep.Inderdaad, de enige elementen van Z die een inverse hebben voor dezeoperatie zijn 1 en −1. De verzameling {1,−1} met de vermenigvuldigingals operatie vormt dus wel een groep.

(6) Zij V een vectorruimte over een willekeurig veld K. Dan is V met deoperatie + (optelling van vectoren) een abelse groep.

2Men vindt ook soms de notatie Zm terug, maar die notatie is ten zeerste af te raden,omdat Zp (met p priem) in de algebra is voorbehouden voor de zogenaamde p-adischegehelen.

4

(7) Zij K een willekeurig veld, en beschouw de verzameling

GL(n,K) := {A ∈ Mat(n,K) | det(A) = 0}

van inverteerbare n×n-matrices over K. Dan is GL(n,K) met de verme-nigvuldiging als operatie een groep, die niet-abels is zodra n ≥ 2. Dezegroep bevat veel interessante deelgroepen, bijvoorbeeld

SL(n,K) := {A ∈ Mat(n,K) | det(A) = 1}

enO(n,K) := {A ∈ Mat(n,K) | AAt = 1}.

(8) Zij X een willekeurige verzameling, en beschouw de verzameling Sym(X)bestaande uit alle mogelijke permutaties van de verzameling X . Be-schouw de samenstellingswet op Sym(X) gegeven door de samenstellingvan permutaties. Dan vormt Sym(X) met deze operatie een groep, dieniet-abels is zodra |X| ≥ 3.Als X = {1, 2, . . . , n} voor een zekere n ∈ N∗, dan noteren we Sym(X)ook als Sym(n) of als Sn, en we noemen dit de symmetrische groep op nletters.We hebben deze groepen en hun deelgroepen, de zogenaamde permu-tatiegroepen, reeds bestudeerd in de cursus “Discrete Wiskunde II”. Inhet bijzonder hebben we gezien dat elk element van Sn kan geschrevenworden als product van disjuncte cykels, op een unieke manier (op devolgorde van de cykels na). We schrijven een dergelijke cykeldecomposi-tie voor g ∈ Sn als

g = (a1 a2 . . . ak)(b1 b2 . . . bℓ) · · · (z1 z2 . . . zm).

De cykelstructuur van g is de data die de lengtes van deze disjuncte cykelsweergeeft. We noteren de cykelstructuur als

cm11 · cm2

2 · · · cmd

d ,

waarbij er mi cykels zijn van lengte ci, en dus c1m1 + · · · + cdmd = n.Bijvoorbeeld, zij g = (1 3 4)(2 6)(7 9) ∈ S9. Dan heeft g cykelstructuur12 · 22 · 31, want g heeft 2 fixpunten, 2 cykels van lengte 2, en 1 cykel vanlengte 3.

(9) De symmetrische groep Sn bevat een belangrijke deelgroep, namelijk dealternerende groep An, de deelgroep die bestaat uit de even permutaties,i.e. de permutaties die te schrijven zijn als het product van een evenaantal transposities. (Ter herinnering: een transpositie is een cykel van

5

lengte 2.) We hebben deze groepen reeds ingevoerd in de cursus “DiscreteWiskunde I” en er wat meer aandacht aan besteed in de cursus “DiscreteWiskunde II”.

(10) Beschouw de n-dimensionale Euclidische ruimte Rn. Een isometrie vanRn is een bijectie van de puntenverzameling van Rn die de afstand be-waart (zie cursus “Lineaire Algebra en Meetkunde I”). De verzamelingvan alle isometrieen van Rn, met de samenstelling als operatie, vormteen groep, die we noteren als ISO(n) of E(n).

(11) Beschouw een regelmatige n-hoek in het Euclidische vlak R2. De verza-meling van alle isometrieen van R2 die deze n-hoek op zichzelf afbeelden,vormt een groep, die we een diedergroep noemen, en noteren als D2n.Deze groepen zijn dus deelgroepen van ISO(2).

(12) De groep D2n bevat n rotaties (waaronder de triviale rotatie) en n lood-rechte spiegelingen. De verzameling van de rotaties vormt een deelgroepvan D2n, die we een cyclische groep noemen, en noteren als Cn. Ander-zijds vormt de verzameling van de spiegelingen uiteraard geen deelgroepvan D2n.

(13) Beschouw een graaf Γ = (V,E). Dan vormt de verzameling van allepermutaties van V die bogen op bogen en niet-bogen op niet-bogen af-beelden, een groep Aut(Γ), de automorfismengroep van de graaf Γ. Der-gelijke groepen hebben we uitgebreid bestudeerd in de cursus “DiscreteWiskunde II”.

(14) We beschrijven nu de quaternionengroepQ8, een groep met 8 elementen,die we ook reeds hebben ontmoet in de cursus “Discrete Wiskunde II”.Als verzameling schrijven we

Q8 = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k}.

Het neutraal element van de groep is het element 1; de bewerking leggenwe verder volledig vast door de volgende regels.

(−1)2 = 1, i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1,

(−1)i = i(−1) = −i, (−1)j = j(−1) = −j, (−1)k = k(−1) = −k,

ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j.

Merk op dat omwille van de associativiteit de bewerking hierdoor hele-maal vast ligt. De groep Q8 is duidelijkerwijze een niet-abelse groep.

6

Oefeningen

1. Zij G een groep, en x, y ∈ G. Toon aan dat (xy)−1 = y−1x−1.

2. Zij G een verzameling uitgerust met een associatieve samenstellingswet ∗. Veron-derstel verder dat er een e ∈ G bestaat zodat a ∗ e = a voor alle a ∈ G, en dat ervoor elke a ∈ G een element a−1 ∈ G bestaat zodat a ∗ a−1 = e. Toon aan dat Geen groep is.

∗3. Toon aan, door middel van een tegenvoorbeeld, dat voorgaande opgave niet correctis indien we de voorwaarde “a ∗ a−1 = e” zouden vervangen door “a−1 ∗ a = e”.

4. Beschouw de verzameling van alle complexe getallen met norm 1:

S = {z ∈ C | zz = 1} .

Toon aan dat S een groep is met als operatie de vermenigvuldiging in C.

5. Zij G = R \ {0} voorzien van de bewerking

a • b := ab

2

voor alle a, b ∈ G. Is (G, •) een groep?

6. Zij G = R \ {−1} voorzien van de bewerking

a • b := a+ b+ ab


7. Zij G = R voorzien van de bewerking

a • b := |a+ b|


8. Beschouw de verzameling G = {(a, b) ∈ R2 | a = 0}, en stel

(a, b) • (c, d) := (ac, ad+ b)

voor alle (a, b), (c, d) ∈ G. Toon aan dat (G, •) een niet-abelse groep is.

9. Beschouw de volgende zes functies gedefinieerd op R \ {0, 1}:

f1(x) = x, f2(x) =1

x, f3(x) = 1− x,

f4(x) =x

x− 1, f5(x) =

1

1− x, f6(x) = 1− 1

x.

Toon dat de verzameling {f1, . . . , f6} een niet-abelse groep vormt onder de samen-stelling van functies.

10. Stel, voor elke c ∈ R, A(c) := ( c cc c ) ∈ Mat2(R). Toon aan dat de verzameling

G = {A(c) | c ∈ R \ {0}} een groep vormt onder de matrixvermenigvuldiging.Merk echter op dat de elementen van G niet inverteerbaar zijn als matrix! In hetbijzonder is G geen deelgroep van GL2(R).

11. Beschouw de groep G = S3, en de deelverzameling H = {g ∈ G | g2 = 1}. Is H eendeelgroep van G?

7

1.2 Verdere definities en eigenschappen

Lemma 1.2.1. De doorsnede⋂

H∈S H van een collectie S van deelgroepenvan een groep G is opnieuw een deelgroep van G.

Bewijs. Merk op dat het neutraal element 1 in elke H ∈ S ligt, en dus ookin de doorsnede, die bijgevolg niet ledig is. Als h1 en h2 in H liggen voorelke H ∈ S, dan ligt ook h1h

−12 in H voor elke H ∈ S. Uit het criterium van

deelgroepen volgt nu het gestelde. !

Definitie 1.2.2. Zij X ⊆ G. De deelgroep van G voortgebracht door X isper definitie de kleinste deelgroep van G die X bevat:

⟨X⟩ :=⋂

X⊆H≤G

H .

Uit Lemma 1.2.1 weten we dat bovenstaande doorsnede inderdaad een deel-groep van G is.

Als X = {x1, . . . , xn}, dan gebruiken we ook de notatie

⟨x1, . . . , xn⟩ := ⟨{x1, . . . , xn}⟩ .

Als er voor een groep G een eindige deelverzameling X ⊆ G bestaat zodatG = ⟨X⟩, dan noemen we G een eindig voortgebrachte groep.

Opmerking 1.2.3. Het kan soms nuttig zijn om voor een gegeven deelver-zameling X ⊆ G de elementen van ⟨X⟩ expliciet te kunnen beschrijven. Ditkan als volgt:

⟨X⟩ ={

xϵ11 x

ϵ22 · · ·xϵk

k | k ∈ N, xi ∈ X, ϵi ∈ {1,−1}}

.

(Als k = 0 bedoelen we hierbij het neutraal element van de groep G.) Merkop dat de verzameling in het rechterlid inderdaad gesloten is onder de groeps-bewerking en onder het nemen van inversen, het neutraal element bevat, ende verzameling X bevat; het is tevens de kleinst mogelijke groep die hieraanvoldoet, omdat elke deelgroep die X bevat duidelijkerwijze alle elementenvan de vorm xϵ1

1 xϵ22 · · ·xϵk

k moet bevatten.

Definitie 1.2.4. De orde van een groep G is per definitie de kardinaliteitvan G (als een verzameling). We noteren dit als |G| of ook soms als o(G) of#G. Als |G| eindig is, noemen we G een eindige groep.

Ook het belangrijke begrip van nevenklassen van een deelgroep in eengroep kennen we reeds vanuit de cursus “Discrete Wiskunde I”, en herhalenwe hier nogmaals.

8

Definitie 1.2.5. Zij g ∈ G en H ≤ G. De verzameling

gH := {gh | h ∈ H}

noemen we een linkse nevenklasse van H in G. Analoog noemen we

Hg := {hg | h ∈ H}

een rechtse nevenklasse van H in G. We noteren

LG(H) := {linkse nevenklassen van H in G} = {gH | g ∈ G} ;RG(H) := {rechtse nevenklassen van H in G} = {Hg | g ∈ G} .

We noemen een (linkse of rechtse) nevenklasse van H in G triviaal alsze gelijk is aan H zelf. Het volgend lemma zegt ons precies wanneer dit hetgeval is.

Lemma 1.2.6 (Opslorplemma). Zij G een groep, H ≤ G een deelgroep, eng ∈ G. Dan is gH = H als en slechts als g ∈ H (en analoog voor rechtsenevenklassen).

Bewijs. Als gH = H , dan is in het bijzonder g = g · 1 ∈ gH = H . Stelomgekeerd dat g ∈ H . Dan geldt voor elke h ∈ H dat gh ∈ H ; bijgevolgis gH ⊆ H . Analoog is g−1H ⊆ H en dus H ⊆ gH . We besluiten datgH = H . !

Stelling 1.2.7 (Lagrange). (i) Zij G een groep en H ≤ G. Dan vormende linkse (resp. rechtse) nevenklassen van H in G een partitie van G.

(ii) Zij G een eindige groep en H ≤ G. Dan is |H| een deler van |G|.

Bewijs. Zie cursus “Discrete Wiskunde I”. De eerste uitspraak is in essentieeen gevolg van het opslorplemma; de tweede uitspraak volgt onmiddellijk uitde eerste omdat elke nevenklasse vanH inG precies |H| elementen bevat. !

We hebben vroeger reeds het begrip van de index van een deelgroep Hvan een eindige groep G ingevoerd, als [G : H ] = |G|/|H|. Dit begrip kanechter ook zinvol zijn voor oneindige groepen. We bewijzen eerst een lemma.

Lemma 1.2.8. Zij G een groep en H ≤ G. Dan is |RG(H)| = |LG(H)|.

Bewijs. Beschouw de afbeelding α : RG(H) → LG(H) : Hg $→ g−1H . Dezeafbeelding is goed gedefinieerd, want als Hg1 = Hg2, dan is g2g

−11 ∈ H en

bijgevolg g−12 H = g−1

2 · g2g−11 H = g−1

1 H . Op gelijkaardige wijze gaat menna dat α injectief is. Vervolgens is α duidelijkerwijze surjectief, en bijgevolgbijectief. We besluiten dat |RG(H)| = |LG(H)|. !

9

Definitie 1.2.9. Zij G een groep en H ≤ G. De index van H in G definierenwe als

[G : H ] := |RG(H)| = |LG(H)| .Uit de stelling van Lagrange (1.2.7) weten we dat voor een eindige groep Ggeldt dat

[G : H ] = |G|/|H| ,in overeenstemming met de definitie die we reeds kenden. De index is nuechter ook gedefinieerd voor oneindige groepen G, en ook dan kan de index[G : H ] eindig zijn.

Voorbeeld 1.2.10. Zij G = (Z,+), en stel H = nZ ≤ G met n ∈ N∗. Danis |G| = |H| = ∞, maar [G : H ] = n.

Notatie 1.2.11. We zullen de notatie-conventie die we hebben toegepastvoor de nevenklassen gH en Hg algemeen toepassen. Als bijvoorbeeld A enB willekeurige deelverzamelingen zijn van een groep G, dan gebruiken we denotatie

AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} .

Opmerking 1.2.12. Deze notaties stellen ons in staat om gemakkelijk teredeneren met hele verzamelingen ineens, maar de nodige voorzichtigheid isnatuurlijk geboden. Toon bijvoorbeeld zelf aan als oefening dat als A enB deelverzamelingen zijn van G, en g ∈ G, dan is A = gB equivalent metg−1A = B.

Oefeningen

12. Zij G een groep, en A en B twee deelverzamelingen van G. Bewijs de ongelijkheid|AB| ≤ |A| · |B|.

13. Zij G een groep, A en B twee deelverzamelingen van G, en g ∈ G. Toon aan datg(A ∩B) = gA ∩ gB.

14. Beschouw de groep G = GL2(R) en de deelgroep H = SL2(R). Beschouw nu dedeelverzameling S = {A ∈ G | det(A) = 2} van G. Toon aan dat S een nevenklasseis van H in G.

15. Beschouw de drie Pauli spin matrices σx, σy, σz in GL2(C) gegeven door

σx :=

(

0 11 0

)

, σy :=

(

0 −ii 0

)

, σz :=

(

1 00 −1

)

.

Zij nu H = ⟨σx,σy,σz⟩ ≤ GL2(C), de groep voortgebracht door de Pauli spinmatrices. Toon aan dat |H | = 16.

16. Zij G een eindige groep, en zij A ≤ B ≤ G. Toon aan dat [G : A] = [G : B][B : A].

∗17. Zij G een groep, en zij A ≤ B ≤ G. Toon aan dat [G : A] = [G : B][B : A].

10

18. Het omgekeerde van de Stelling van Lagrange is in het algemeen niet geldig: alsG een groep is van orde n, en d | n, dan bezit G niet noodzakelijk een deelgroepvan orde d. Toon dit aan door te bewijzen dat A4, een groep van orde 12, geendeelgroep van orde 6 bezit.

Definitie 1.2.13. Zij G een groep, g ∈ G en n ∈ Z. Dan definieren we

gn :=

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

e als n = 0 ;

gg · · · g︸︷︷︸

n keer

als n > 0 ;

g−1g−1 · · · g−1

︸︷︷︸

|n| keer

als n < 0 .

Lemma 1.2.14. Zij G een groep, g ∈ G, en m,n ∈ Z. Dan geldt

(i) gm+n = gmgn en (gm)n = gmn;

(ii) ⟨g⟩ = {gk | k ∈ Z}.

Bewijs. (i) Dit volgt eenvoudig uit de definitie.

(ii) Dit volgt onmiddellijk uit Opmerking 1.2.3. !

Opmerking 1.2.15. Als we een (abelse) groep additief noteren, zullen weeveneens de exponent-notatie vervangen door een vermenigvuldigings-notatie,en we zullen dus n · g of ng schrijven in plaats van gn.

Definitie 1.2.16. Een groep G = ⟨g⟩ voorgebracht door een element g ∈ Gnoemen we een cyclische groep. Merk op dat een cyclische groep steeds abelsis. Als G cyclisch is, dan noemen we een element g zodat G = ⟨g⟩ eenvoortbrenger of een generator voor G. Deze voortbrenger is geenszins uniekbepaald.

Cyclische groepen kennen we reeds uit de cursus “Discrete Wiskunde I”.In paragraaf 1.4 zullen we nogmaals de belangrijkste eigenschappen van cy-clische groepen herhalen.

Definitie 1.2.17. Zij G een groep en g ∈ G. Het kleinste positieve gehelegetal n ∈ N∗ zodat gn = e noemen we de orde van g, en noteren we als |g| ofals o(g). Als er geen dergelijke n bestaat, dan zeggen we dat de orde van goneindig is: |g| = ∞. Als |g| = 2, dan wordt g een involutie genoemd.

Lemma 1.2.18. Zij G een groep en g ∈ G een element met eindige orde.Zij d ∈ Z; dan is gd = 1 als en slechts als o(g) | d.

11

Bewijs. Stel o(g) = n; we kunnen d op unieke wijze schrijven als d = qn+ rmet 0 ≤ r < n via Euclidische deling. Dan is gd = gqn+r = (gn)q · gr = gr;bijgevolg is gd = 1 als en slechts als gr = 1. Omdat 0 ≤ r < n = o(g), kan gr

enkel maar gelijk zijn aan 1 als r = 0. !

Stelling 1.2.19. Zij G een groep en g ∈ G, en stel |g| = n.

(i) Als n eindig is, dan

gi = gj ⇐⇒ i ≡ j (mod n) ,

en bijgevolg⟨g⟩ = {g0, g1, . . . , gn−1} .

(ii) Als n = ∞, dangi = gj ⇐⇒ i = j ,

en bijgevolg

⟨g⟩ = {. . . , g−k, . . . , g−1, g0, g1, . . . , gk, . . . } .

(iii) In beide gevallen geldt |g| = |⟨g⟩|.

Bewijs. (i) Stel i, j ∈ Z willekeurig, en stel k = i − j. Dan is gi = gj alsen slechts als gk = 1. Uit Lemma 1.2.18 weten we dat dit equivalent ismet n | k, of nog, k ≡ 0 (mod n) of dus i ≡ j (mod n).

(ii) Stel i, j ∈ Z willekeurig. Als i = j dan is uiteraard gi = gj. Omgekeerd,als gi = gj, dan is g|i−j| = 1, maar omdat o(g) = ∞ kan dit enkel alsi = j.

(iii) Dit volgt uit (i) en (ii). !

Gevolg 1.2.20. Zij G een eindige groep en g ∈ G. Dan is |g| een delervan |G|. Bovendien geldt voor elke g ∈ G dat g|G| = 1.

Bewijs. De eerste bewering volgt uit de stelling van Lagrange (1.2.7) en Stel-ling 1.2.19(iii). De tweede bewering volgt nu uit Lemma 1.2.18. !

Opmerking 1.2.21. We zullen dit gevolg vaak ook “de stelling van La-grange” noemen.

Gevolg 1.2.22 (Stelling van Euler). Zij n ∈ N∗. Dan geldt voor elke x ∈ Zdie onderling ondeelbaar is met n, dat

xϕ(n) ≡ 1 (mod n) ,

waarbij ϕ de Euler totient-functie is.

12

Bewijs. De verzameling G = (Z/n)× is een groep met ϕ(n) elementen. Stelg gelijk aan de restklasse van x (mod n), dus g ∈ G. Uit de stelling vanLagrange volgt nu dat gϕ(n) = 1. !

Definitie 1.2.23. Zij G een willekeurige groep. Dan definieren we de expo-nent van G als

exp(G) := lcmg∈G

o(g) .

Een equivalente definitie is dat exp(G) het kleinste natuurlijke getal d is zodatgd = 1 voor alle g ∈ G; als er geen dergelijke d bestaat dan is exp(G) = ∞.

Merk op dat exp(G) kan gelijk zijn aan ∞, zelfs als elk element van Geindige orde heeft. Voor eindige groepen is exp(G) wel steeds eindig:

Lemma 1.2.24. Zij G een eindige groep. Dan is exp(G) een deler van |G|.In het bijzonder is exp(G) eindig.

Bewijs. Uit de stelling van Lagrange weten we dat voor elke g ∈ G geldt datg|G| = 1. Hieruit volgt het gestelde. !

Zoals we hebben gezien is de samenstellingswet in een groep niet steedscommutatief. We willen echter nauwkeuriger kunnen uitdrukken in welkemate de commutativiteit wel of niet geldt; daarom de volgende definities.

Definitie 1.2.25. Zij G een willekeurige groep.

(i) Als g, h ∈ G, dan zeggen we dat g en h (met elkaar) commuteren alsen slechts als gh = hg.

(ii) Zij g, h ∈ G. De commutator van g en h definieren we als

[g, h] := g−1h−1gh .

Merk op dat [h, g] = [g, h]−1, en dat [g, h] = 1 als en slechts als g en hcommuteren. De commutator drukt dus in zekere zin uit in welke mateg en h niet-commuterend zijn.

(iii) De verzameling van alle commutators

S = {[g, h] | g, h ∈ G}

vormt in het algemeen geen deelgroep van G. Daarom definieren we

[G,G] := ⟨[g, h] | g, h ∈ G⟩ ,

en we noemen dit de commutatordeelgroep van G of de afgeleide groepvan G. Ook de notaties G′, G(1) en δ(G) worden hiervoor gebruikt.Merk op dat [G,G] = 1 als en slechts als G abels is.

13

(iv) Als A,B ≤ G twee deelgroepen zijn, dan definieren we algemener

[A,B] := ⟨[a, b] | a ∈ A, b ∈ B⟩ ,

en we noemen dit de commutator van A en B. We zeggen dat tweedeelgroepen A en B (met elkaar) commuteren als [A,B] = 1, of dus alselk element van A commuteert met elk element van B. Merk op datdit niet equivalent is met de uitspraak AB = BA!

(v) Een groep G wordt perfect genoemd als [G,G] = G. Perfecte groepenzijn dus in zekere zin de “minst abelse” groepen.

(vi) Het centrum van G bestaat uit de elementen van G die met alle ele-menten van G commuteren:

Z(G) := {g ∈ G | gh = hg voor alle h ∈ G} .

Het is eenvoudig in te zien dat Z(G) inderdaad een deelgroep is van G;bovendien is Z(G) zelf abels.

Oefeningen

19. Zij G een groep die uitsluitend uit involuties en een neutraal element bestaat. Toonaan dat G abels is.

20. Zij G een eindige groep, en A,B ≤ G deelgroepen met gcd(|A|, |B|) = 1. Bewijsdat A ∩B = 1.

21. Zij g, h ∈ G twee commuterende elementen met gcd(o(g), o(h)) = 1. Bewijs dato(gh) = o(g)o(h). Toon aan met tegenvoorbeelden dat de conclusie niet geldig isals een van beide voorwaarden (nl. het commuteren en het onderling ondeelbaarzijn van de ordes) wordt weggelaten.

22. Bepaal de orde van Sn. Hoeveel involuties bevat S4? Bepaal exp(S5) en exp(S6).

23. Bepaal de orde van D2n. Toon aan dat D2n niet-abels is zodra n ≥ 3.

24. Bepaal het centrum van de groep SL2(R).

25. Beschouw de groep S uit Oefening 4 (p. 7). Zoek een oneindige deelgroep G van S,met de eigenschap dat elk element van G eindige orde heeft, terwijl exp(G) = ∞.

26. Zij g ∈ Sn een element met cykelstructuur cm1

1 · cm2

2 · · · cmd

d . Toon aan dat o(g) =lcm(c1, . . . , cd). (Zie ook de cursus “Discrete Wiskunde II”.)

27. Toon aan dat de groep Sn (n ≥ 2) niet perfect is.

14

1.3 Groepsmorfismen

Net zoals we in de cursus “Lineaire Algebra en Meetkunde I” gezien hebbendat we niet over vectorruimten kunnen denken zonder de bijhorende lineaireafbeeldingen te beschouwen, zo geldt dat we niet over groepen kunnen denkenzonder de bijhorende morfismen. Ook dit begrip kennen we reeds vanuit decursus “Discrete Wiskunde I”, maar we zullen er in deze cursus veel meeraandacht aan besteden.

We zullen morfismen meestal exponentieel noteren.

Definitie 1.3.1. Zij G,H twee groepen, met samenstellingswetten ∗G en ∗H ,respectievelijk. Een afbeelding

θ : G → H

is een morfisme (ook homomorfisme of groepsmorfisme genoemd) als θ degroepsbewerking bewaart, in de zin dat

(g1 ∗G g2)θ = gθ1 ∗H gθ2

voor alle g1, g2 ∈ G.Als θ een morfisme is van G naar H , dan definieren we de kern van θ als

ker(θ) := {g ∈ G | gθ = 1H} ,

en het beeld van θ als

im(θ) := {gθ | g ∈ G} = {h ∈ H | ∃g ∈ G : gθ = h} .

Stelling 1.3.2. Zij G,H twee groepen, en zij θ : G → H een morfisme.

(i) 1θG = 1H ;

(ii) voor alle g ∈ G geldt (g−1)θ = (gθ)−1;

(iii) ker(θ) ≤ G;

(iv) im(θ) ≤ H;

(v) gegeven een deelgroep K ≤ H; dan is het inverse beeld3 van K onder θ,

Kθ−1

:= {g ∈ G | gθ ∈ K} ,

een deelgroep van G;

3Merk op dat θ−1 geen afbeelding is, want het beeldt elementen af op deelverzamelingen.Zie ook Lemma 1.3.3.

15

(vi) θ is injectief als en slechts als ker(θ) = 1.

Bewijs. Het bewijs van uitspraken (i)–(iv) hebben we reeds gezien in de cur-sus “Discrete Wiskunde I”; het is zinvol om deze uitspraken nog eens zelf alsoefening opnieuw te bewijzen.

(v) Zij K ≤ H , en beschouw g1, g2 ∈ Kθ−1. Dan is gθ1 = k1 en gθ2 = k2 voor

zekere k1, k2 ∈ K. Hieruit volgt

(g1g−12 )θ = gθ1(g

θ2)

−1 = k1k−12 ∈ K ,

en bijgevolg g1g−12 ∈ Kθ−1

. Uit het criterium voor deelgroepen volgtdus dat Kθ−1 ≤ G.

(vi) Als θ injectief is, dan is uiteraard ker(θ) = 1. Veronderstel omgekeerddat ker(θ) = 1, en zij g1, g2 ∈ G met gθ1 = gθ2. Dan is

(g1g−12 )θ = gθ1(g

θ2)

−1 = 1H ,

en omdat ker(θ) = 1 implicieert dit dat g1g−12 = 1G, of dus g1 = g2. Dit

toont aan dat θ injectief is. !

Het feit dat een morfisme θ injectief is als en slechts als ker(θ) = 1 kansterk veralgemeend worden, als volgt.

Lemma 1.3.3. Zij G,H twee groepen, en zij θ : G → H een morfisme. Dangeldt voor elke h ∈ im(θ) ≤ H dat

hθ−1

:= {g ∈ G | gθ = h}

een (linkse en rechtse) nevenklasse van ker(θ) is. In het bijzonder geldt datelk element van im(θ) precies |ker(θ)| keer bereikt wordt door θ.

Bewijs. Zij h ∈ im(θ), en schrijf h = gθ. Voor een willekeurige k ∈ G geldtnu dat kθ = h als en slechts als (kg−1)θ = 1H , of nog, als en slechts als kbevat is in de rechtse nevenklasse ker(θ)g. Analoog geldt dit als en slechtsals (g−1k)θ = 1H , of nog, als en slechts als k bevat is in de linkse nevenklasseg ker(θ). We besluiten dat hθ−1

= ker(θ)g = g ker(θ). !

Definitie 1.3.4. Een injectief morfisme wordt ook een monomorfisme ge-noemd; een surjectief morfisme noemen we ook een epimorfisme. Als een mor-fisme θ : G → H een monomorfisme is, noteren we het ook wel als θ : G ↪→ H ;als het een epimorfisme is, noteren we dit als θ : G " H . Als θ : G → H eenepimorfisme is, dan zeggen we dat H een homomorf beeld van G is.

16

Een bijectief morfisme noemen we een isomorfisme. Als θ een isomorfismeis, dan is θ−1 opnieuw een morfisme (ga dit zelf na!), en bijgevolg is θ−1 zelfook een isomorfisme. Als θ : G → H een isomorfisme is, dan zeggen we datde groepen G en H isomorf zijn, en we noteren dit als G ∼= H . We noterenhet isomorfisme θ dan ook wel als θ : G

∼−→ H .Als θ een morfisme is van een groep G naar zichzelf, dan noemen we θ

een endomorfisme; als θ bovendien bijectief is, dan noemen we θ een auto-morfisme.

Opmerking 1.3.5. Als θ : G ↪→ H een monomorfisme is, dan is G ∼= im(θ).

Groepen die isomorf zijn, zijn in zekere zin “gelijk”: ze hebben preciesdezelfde intrinsieke eigenschappen. De nodige voorzichtigheid is geboden:een groep G kan uiteraard isomorfe deelgroepen hebben die toch verschillendzijn.

Voorbeelden 1.3.6. (1) Beschouw de groep G = {1,−1} met de verme-nigvuldiging als operatie, en de groep H = Z/2 met de optelling alsoperatie. Dan zijn G en H isomorfe groepen. Inderdaad, de afbeelding

ϕ : G → H :

{

1 $→ 0 (mod 2)

−1 $→ 1 (mod 2)

is een bijectief morfisme.

(2) Beschouw de groep G = (Z,+) van de gehele getallen en de deelgroepH = (2Z,+) van de even getallen. Dan zijn G en H isomorfe groepen.Inderdaad, de afbeelding

ϕ : G → H : n $→ 2n

is een bijectief morfisme. We zien dus dat G isomorf is met een echtedeelgroep van zichzelf. Merk ook op dat de afbeelding

ψ : G → G : n $→ 2n

een endomorfisme is van G, dat echter geen automorfisme is.

(3) We hebben (Z/8)× ∼= D4. Als we de elementen van D4 noteren alsD4 = {e, a, b, c}, dan wordt een expliciet isomorfisme ϕ van (Z/8)× naarD4 gegeven door

ϕ(1) = e, ϕ(3) = a, ϕ(5) = b, ϕ(7) = c.

17

Opmerking 1.3.7. We zeggen vaak dat een uitspraak geldt op isomorfismena. Zo hebben we bijvoorbeeld reeds gezien in de cursus “Discrete Wis-kunde I” dat er op isomorfisme na slechts twee groepen van orde 4 zijn,namelijk C4 en D4. De betekenis hiervan is duidelijk: elke groep van orde4 is ofwel isomorf met C4, ofwel isomorf met D4. (Zie ook Oefeningen 29en 34.)

Oefeningen

28. Zij G,H twee groepen. Bewijs dat G een deelgroep bezit die isomorf is met H , alsen slechts als er een monomorfisme bestaat van H naar G.

29. Toon aan dat elke groep van orde 2 isomorf is met C2, en dat elke groep van orde 3isomorf is met C3. Toon anderzijds aan dat een groep van orde 4 ofwel isomorf ismet C4, ofwel met D4.

30. Bewijs dat de multiplicatieve groepen (Q×, ·), (R×, ·) en (C×, ·) twee aan twee niet-isomorf zijn.

31. Bewijs dat S3∼= D6.

32. Toon aan dat er een monomorfisme bestaat van D2m naar D2n als en slechts alsm | n.

33. Zij n ≥ 2, en stel

G =

{(

e2kπi/n 00 e−2kπi/n

) ∣∣∣ k ∈ Z

}

∪{(

0 e2kπi/n

e−2kπi/n 0

) ∣∣∣ k ∈ Z

}

.

Toon aan dat G een groep vormt onder de vermenigvuldiging in Mat(2,C), en datG ∼= D2n.

∗34. Toon aan dat elke niet-abelse groep van orde 8 isomorf is met D8 of met Q8.

35. Zij R = (R>0, ·) de groep van de reele getallen > 0 met de vermenigvuldiging alsbewerking. Toon aan dat R ∼= (R,+).

1.4 Cyclische groepen

In deze paragraaf herhalen we kort een aantal belangrijke eigenschappenvan cyclische groepen uit de cursus “Discrete Wiskunde I”. Aangezien eenwillekeurige groep heel veel cyclische deelgroepen bevat (voor elke g ∈ Gis ⟨g⟩ immers een cyclische deelgroep), is het belangrijk om deze goed tebegrijpen.

Stelling 1.4.1. (i) Zij G = ⟨g⟩ een cyclische groep van orde n. Dan isG ∼= Z/n. Een expliciet isomorfisme wordt gegeven door

ϕ : G → Z/n : gk $→ k + nZ .

18

(ii) Zij G = ⟨g⟩ een oneindige cyclische groep. Dan is G ∼= Z. Een explicietisomorfisme wordt gegeven door

ϕ : G → Z : gk $→ k .

Bewijs. Dit hebben we bewezen in de cursus “Discrete Wiskunde I”. Hetbelangrijkste punt in het bewijs is het feit dat ϕ goed gedefinieerd is, d.w.z.onafhankelijk is van de keuze van de schrijfwijze van een willekeurig elementvan G in de vorm gk. !

We gebruiken bijna meestal de notatie Cn (zie Voorbeeld 1.1.9(12)) voor“de” cyclische groep van orde n. “De” oneindige cyclische groep wordtmeestal eenvoudigweg als Z genoteerd, al ziet men ook soms de notatie C∞opduiken.

Opmerking 1.4.2. Het is dus niet zo dat er voor elke mogelijke orde eencyclische groep bestaat. Elke cyclische groep is immers aftelbaar; er bestaatdus bijvoorbeeld geen cyclische groep waarvan de orde gelijk is aan |R|.

We kunnen nu zonder veel moeite de structuur van de cyclische groepenverder analyseren.

Stelling 1.4.3. Zij G = ⟨g⟩ een eindige cyclische groep van orde n.

(i) Voor elke k ∈ Z geldt o(gk) = n/ gcd(k, n).

(ii) Voor elke k ∈ Z geldt ⟨gk⟩ = ⟨ggcd(k,n)⟩.(iii) Elke deelgroep van G is zelf ook cyclisch.

(iv) Voor elke deler d | n is er precies een deelgroep H ≤ G met |H| = d,namelijk de deelgroep H = ⟨gn/d⟩.

(v) Zij k ∈ Z. Dan is gk een generator voor G (i.e. G = ⟨gk⟩) als en slechtsals gcd(k, n) = 1. Er zijn dus ϕ(n) dergelijke generatoren.

(vi) Zij k ∈ N∗. Het aantal elementen van orde k in G is gelijk aan 0 alsk # n, en is gelijk aan ϕ(k) als k | n. In het bijzonder is exp(G) = n.

Bewijs. De eigenschappen (iii)–(vi) werden reeds bewezen in de cursus “Dis-crete Wiskunde I”. Toon zelf als oefening de resterende eigenschappen (i) en(ii) aan. Het bewijs van elk van deze eigenschappen maakt slechts gebruikvan eenvoudige arithmetiek. !

We geven ook een korte analyse van de oneindige cyclische groep.

Stelling 1.4.4. Zij G = ⟨g⟩ een oneindige cyclische groep.

19

(i) Elk niet-triviaal element van G heeft oneindige orde.

(ii) Elke deelgroep van G is zelf ook cyclisch.

(iii) Voor elke k ∈ N∗ is er precies een deelgroep H ≤ G met [G : H ] = k,namelijk de deelgroep H = ⟨gk⟩.

(iv) Zij k ∈ Z. Dan is gk een generator voor G als en slechts als k ∈ {1,−1}.

Bewijs. Het bewijs is analoog aan dat van Stelling 1.4.3, maar eenvoudiger.Werk zelf de details uit. !

Oefeningen

36. Beschouw de deelgroep

G =

{(

1 k0 1

) ∣∣∣ k ∈ Z

}

≤ SL(2,Z) .

Toon aan dat G cyclisch is, en bepaal alle g ∈ G zodat G = ⟨g⟩.

37. Bepaal voor elke n ≥ 1 het aantal involuties in de cyclische groep Cn. Bepaal ookhet aantal involuties in de diedergroep D2n.

1.5 Toevoeging en normaaldelers

Het feit dat ker(θ) een deelgroep is van G waarvan de rechtse nevenklassengelijk zijn aan de linkse nevenklassen, is een bijzondere eigenschap van dezedeelgroep.

Definitie 1.5.1. Zij N ≤ G. Dan wordt N een normaaldeler van G genoemdals

g−1Ng = N

voor alle g ∈ G, of equivalent, als elke rechtse nevenklasse van N ook eenlinkse nevenklasse van N is. We noteren dit als N#G. Als N#G en tegelijkN = G, dan gebruiken we ook de notatie N ▹G, en we noemen N dan eenechte of eigenlijke normaaldeler.

Definitie 1.5.2. Zij g, h ∈ G. Het element g−1hg noemen we de toegevoegdevan h met g, en noteren we als hg. De afbeelding

ιg : G → G : h $→ hg := g−1hg

noemen we toevoeging met g, of ook wel het inwendig automorfisme bepaalddoor g. (Ga zelf na dat een inwendig automorfisme inderdaad een automor-fisme is!)

20

Voor een willekeurige deelverzameling D ⊆ G noteren we ook

Dg := {dg | d ∈ D} .

Zij g, h ∈ G. We zeggen dat g en h toegevoegd zijn aan elkaar, of kortweg datze toegevoegd zijn, als er een k ∈ G bestaat zodat gk = h. De relatie “toe-gevoegd zijn” is een equivalentierelatie (ga dit na!); de equivalentieklassenvan deze relatie noemen we de klassen van toegevoegde elementen of toevoe-gingsklassen van G. Nog anders gesteld, de toevoegingsklasse van g in G isprecies

gG := {gh | h ∈ G} .

Opmerking 1.5.3. We zien dus dat een normaaldeler niets anders is daneen deelgroep die invariant is onder toevoeging, waaronder we verstaan dattoevoeging met elk element van G de deelgroep invariant (i.e. globaal onver-anderd) laat. Een deelgroep N ≤ G is dus een normaaldeler als en slechtsals Ng = N voor alle g ∈ G.

Opmerking 1.5.4. Het feit dat Ng = N voor alle g ∈ G implicieert geens-zins dat ng = n voor alle n ∈ N ! Het zegt enkel dat ng ∈ N voor elke n ∈ Nen elke g ∈ G.

Om praktisch na te gaan of een gegeven deelgroep een normaaldeler is, ishet volgend criterium handig.

Stelling 1.5.5 (Criterium voor normaaldelers). Zij G een groep, en N ≤ G.Als voor alle n ∈ N en alle g ∈ G geldt dat ng ∈ N , dan is N #G.

Bewijs. De veronderstelling zegt precies dat Ng ⊆ N voor alle g ∈ G. Alswe hierin g vervangen door g−1, bekomen we Ng−1 ⊆ N , en beide ledentoevoegen met g geeft N ⊆ Ng. We hebben dus beide inclusies van degelijkheid Ng = N bewezen voor alle g, en dus is N #G. !

Opmerking 1.5.6. Als G een oneindige groep is en H ≤ G, dan kan hetvoorkomen dat voor een individuele g ∈ G wel geldt dat Hg ≤ H , maar tochHg = H . Voorgaand criterium zegt precies dat als Hg ≤ H voor alle g ∈ G,dan H #G en bijgevolg Hg = H voor alle g ∈ G.

Lemma 1.5.7. (i) Als G een abelse groep is, dan werkt toevoeging triviaal(i.e. hg = h voor alle g, h ∈ G); in het bijzonder is elke deelgroep eennormaaldeler.

(ii) Zij G een willekeurige groep en zij g, h ∈ G. Dan zijn gh en hg aanelkaar toegevoegd. In het bijzonder is o(gh) = o(hg).

21

(iii) Zij G een willekeurige groep. De doorsnede van normaaldelers van Gis opnieuw een normaaldeler van G.

Bewijs. Oefening. !

Definitie 1.5.8. Zij G een willekeurige groep. De verzameling van alle auto-morfismen van G vormt zelf ook een groep, met de samenstelling als groeps-operatie. We noteren deze als Aut(G) en noemen dit de automorfismengroepvan G.

De verzameling van alle inwendige automorfismen van G vormt een deel-groep van Aut(G), die we noteren als Inn(G), en de inwendige automorfis-mengroep van G noemen.

Lemma 1.5.9. Inn(G)# Aut(G).

Bewijs. We tonen eerst aan dat wel degelijk Inn(G) ≤ Aut(G). Zij ιg, ιh ∈Inn(G), en beschouw θ = ιgι

−1h . Dan is, voor elke x ∈ G,

xθ = (g−1xg)ι−1h = hg−1xgh−1 = xιgh−1 ,

en bijgevolg is θ = ιgh−1 ∈ Inn(G).We tonen vervolgens aan dat Inn(G) invariant is onder toevoeging met

elementen van Aut(G). Zij dus ιg ∈ Inn(G) en θ ∈ Aut(G) willekeurig;we moeten aantonen dat ιθg = θ−1ιgθ ∈ Inn(G). We beweren dat ιθg = ιgθ .Inderdaad, voor elke x ∈ G hebben we

xιθg = xθ−1ιgθ =(

g−1xθ−1

g)θ

= (gθ)−1xgθ = xιgθ ,

en dus is inderdaad ιθg = ιgθ ∈ Inn(G). !

Het volgend lemma is eenvoudig maar bewijst geregeld zijn nut.

Lemma 1.5.10. Zij G een groep, en H een deelgroep van index 2. Dan isH #G.

Bewijs. Neem g ∈ G \ H willekeurig. De linkse nevenklassen van H in Gvormen een partitie, en dus is G de disjuncte unie van H en gH . Analoogis G de disjuncte unie van H en Hg. Hieruit volgt gH = Hg, en dus iselke rechtse nevenklasse van H ook een linkse nevenklasse van H ; bijgevolgis H #G. !

Definitie 1.5.11. Als G een groep is zonder eigenlijke normaaldelers (d.w.z.de enige normaaldelers van G zijn 1 # G en G # G), dan noemen we Geen enkelvoudige groep. Deze groepen spelen een zeer belangrijke rol in

22

de groepentheorie; ze vormen als het ware de bouwstenen voor willekeurigegroepen4. In de cursus “Algebra II” wordt hier dieper op ingegaan.

Op dit moment hebben we nog maar twee klassen van enkelvoudige groe-pen ontmoet.

Voorbeeld 1.5.12. (1) Zij p een willekeurig priemgetal. Dan is de cycli-sche groep Cp een enkelvoudige groep. (Inderdaad, uit de stelling vanLagrange volgt dat een dergelijke groep geen echte deelgroepen bezit.)Zoals we zo dadelijk zullen zien in Stelling 1.5.13 zijn dit de enige abelseenkelvoudige groepen.

(2) Zij n ≥ 5. Dan is de alternerende groep An een enkelvoudige groep.Het vraagt wel wat werk om dit te bewijzen, en we stellen dit uit tot decursus “Algebra II”.

(3) De alternerende groep A4 is niet enkelvoudig. Ga zelf na dat N ={id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} een normaaldeler is van A4.

We hebben intussen wel al voldoende informatie vergaard om de abelseenkelvoudige groepen volledig te classificeren.

Stelling 1.5.13. Zij G een abelse enkelvoudige groep, G = 1. Dan bestaater een priemgetal p zodat G ∼= Cp.

Bewijs. Uit Lemma 1.5.7(i) weten we dat elke deelgroep een normaaldeler is,en bijgevolg is G een groep zonder echte deelgroepen. Kies een g ∈ G metg = 1 willekeurig. Dan is ⟨g⟩ ≤ G, en bijgevolg moet ⟨g⟩ = G, en dus is Gcyclisch. Als G oneindig is, dan heeft G wel echte deelgroepen; bijgevolg isG eindig, en dus G ∼= Cn voor een zekere n ∈ N∗. Zij p een priemdeler van n;dan geldt wegens Stelling 1.4.3(iv) dat G een deelgroep heeft van orde p. Ditkan enkel als reeds |G| = p en dus G ∼= Cp. !

Tot slot van deze sectie voeren we nog een begrip in dat nauw verwant ismet normaaldelers, maar nog restrictiever is.

Definitie 1.5.14. Zij G een groep en H ≤ G. We noemen H een karakte-ristieke deelgroep van G, als H invariant is onder elk automorfisme van G,dit wil zeggen, als voor elke θ ∈ Aut(G) geldt dat Hθ = H . We noteren ditals H charG of als H #

char G.

Aangezien elk inwendig automorfisme ook een automorfisme is, is elkekarakteristieke deelgroep ook een normaaldeler. Het omgekeerde geldt niet.

We kennen reeds een belangrijke karakteristieke deelgroep:

4Dit geldt in zeer sterke mate voor eindige groepen, maar ook in de theorie van deoneindige groepen spelen enkelvoudige groepen een belangrijke rol.

23

Lemma 1.5.15. Zij G een willekeurige groep. Dan is Z(G) #char G, waarbij

Z(G) het centrum van de groep G is zoals ingevoerd in Definitie 1.2.25(vi).

Bewijs. We weten reeds dat Z(G) ≤ G. Zij nu z ∈ Z(G) en θ ∈ Aut(G).Dan geldt voor een willekeurige g ∈ G dat

zθg = (zgθ−1

)θ = (gθ−1

z)θ = gzθ ,

en dus is zθ ∈ Z(G). !

Oefeningen

38. Zij G een groep. Toon aan dat Inn(G) = 1 als en slechts als G abels is.

39. Zij G een groep. Toon aan dat de afbeelding ι : G → Inn(G) : g $→ ιg een epimor-fisme is, met ker(ι) = Z(G).

40. Zij G een groep en H1, H2!

charG. Toon aan dat H1 ∩H2

!char

G.

41. Zij G een groep. Toon aan dat [G,G] !char

G.

42. Zij G een groep, en K !char

N # G. Toon aan dat K # G. Bewijs ook dat indienbovendien N !

charG, dan ook K !

charG.

Toon anderzijds aan, door middel van een tegenvoorbeeld, dat uit K #N #G nietnoodzakelijk volgt dat K #G.

43. Zij G een groep, H ≤ G, en g ∈ G. Toon aan dat ook Hg ≤ G, en dat bovendienHg ∼= H .

44. Zij G een groep, en A,B ≤ G twee abelse deelgroepen. Veronderstel bovendien datG = ⟨A ∪B⟩. Bewijs dat A ∩B #G.

45. Zij G een groep, en N #G met |N | = 2. Toon aan dat N ≤ Z(G).

46. Zij G een groep met |G| = 4, en H ≤ G met [G : H ] = 2. Onderstel dat Henkelvoudig is. Toon aan dat H de enige deelgroep is van G van index 2, en leiddaaruit af dat H !

charG. Wat als |G| = 4?

1.6 Quotientgroepen

Het begrip van een quotientgroep, dat we al ingevoerd hebben in de cursus“Discrete Wiskunde II”, is uitermate belangrijk, voornamelijk omwille vanhet sterke verband met groepsmorfismen (zie Stelling 1.6.7 en Gevolg 1.6.10verderop). We herhalen de definitie.

24

Definitie 1.6.1. Zij G een groep, en H ≤ G een deelgroep. We definierende quotientverzameling of quotientruimte G/H als

G/H := RG(H) = {Hx | x ∈ G} .

In het algemeen is dit een verzameling zonder bijkomende structuur, maar alsH een normaaldeler is, kunnen we een groepsoperatie ∗ definieren op G/Hdoor

Hx ∗Hy := H(xy)

te stellen voor alle x, y ∈ G, met neutraal element H (de triviale nevenklasse).We noemen de verzameling G/H met deze groepswet de quotientgroep van Gmet betrekking tot H ; in de spreektaal gebruiken we kortweg de bewoordinghet quotient van G met H , G over H , G modulo H , of G uitgedeeld naar H .

We gaan eerst na dat de groepsoperatie ∗ goed gedefinieerd is, m.a.w.onafhankelijk is van de keuze van de representanten x en y van de tweenevenklassen Hx en Hy.

Lemma 1.6.2. Zij G een groep en H # G. Veronderstel dat Hx = Hx′ enHy = Hy′. Dan is H(xy) = H(x′y′).

Bewijs. Aangezien H #G, is gH = Hg voor alle g ∈ G. We hebben dus

H(xy) = (Hx)y = (Hx′)y = (x′H)y = x′(Hy)

= x′(Hy′) = (x′H)y′ = (Hx′)y′ = H(x′y′) . !

Opmerking 1.6.3. Als H geen normaaldeler is, dan zal de operatie ∗ nietgoed gedefinieerd zijn. Inderdaad, in dat geval bestaan er een g ∈ G en eenh ∈ H zodat g−1hg ∈ H . Beschouw dan de nevenklassen Hg−1 en Hg, enmerk op dat Hg = H(hg). Dan is H(g−1 · g) = H , terwijl H(g−1 · hg) = H .De “definitie” Hx ∗Hy = H(xy) hangt in dat geval dus af van de keuze vande representanten, en is dus geen goede definitie.

Opmerking 1.6.4. Als H een normaaldeler is, dan is de bewerking ∗ com-patibel met Notatie 1.2.11 in de zin dat (Hx) ∗ (Hy) = Hx ·Hy, waarbij Hxen Hy als deelverzamelingen van G opgevat worden; om die reden zullen wein het vervolg het symbool ∗ niet meer schrijven.

Met elke quotientgroep kan men op natuurlijke wijze een epimorfismeassocieren, dat we de canonieke surjectie of (canonieke) projectie noemen.

Lemma 1.6.5. Zij G een willekeurige groep, en N#G. Dan is de afbeelding

π : G → G/N : g $→ Ng

een epimorfisme, met kern gelijk aan N .

25

Bewijs. Uit Definitie 1.6.1 en Lemma 1.6.2 volgt onmiddellijk dat π een mor-fisme is. Het is evident dat π surjectief is. De kern ker(π) bestaat precies uitde elementen g ∈ G waarvoor Ng het neutraal element van G/N is, m.a.w.waarvoor Ng = N . Hieruit volgt ker(π) = N . !

We gaan nu even in op de structuur van deelgroepen en normaaldelersvan quotientgroepen. De volgende stelling is een eenvoudig geval van dezogenaamde correspondentiestelling (zie “Algebra II”).

Stelling 1.6.6. Zij G een groep, N # G een normaaldeler van G, en zijH = G/N de corresponderende quotientgroep.

(i) Zij K ≤ H. Dan is er een unieke A ≤ G die N bevat, zodat K = A/N .

(ii) Zij K #H. Dan is er een unieke A#G die N bevat, zodat K = A/N .

In beide gevallen is A = Kπ−1, waarbij π : G → H de canonieke projectie is.

Bewijs. (i) Zij A een willekeurige deelgroep van G die N bevat. Dan isN # A, en A is een unie van nevenklassen van N in G. Maar dan isA/N precies gelijk aan de verzameling van die nevenklassen. Er kandus in elk geval ten hoogste een dergelijke A bestaan.We tonen nu aan dat A = Kπ−1

voldoet. Inderdaad, deze A bevatuiteraard ker(π) = N , en A/N = Aπ =

(

Kπ−1)π= K, waarbij de

allerlaatste gelijkheid geldt omdat π surjectief is.

(ii) Wegens (i) volstaat het om na te gaan dat indien K # H , dan ookA = Kπ−1

#G. Stel dus a ∈ A en g ∈ G willekeurig; dan is aπ ∈ K, endus (ag)π = (aπ)(g

π) ∈ K(gπ) = K, zodat ook ag ∈ A. Via het criteriumvan normaaldelers toont dit aan dat A#G. !

Om de structuur van quotientgroepen goed te begrijpen, is de volgendeisomorfiestelling (en het bijhorend Gevolg 1.6.10) onmisbaar.

Stelling 1.6.7 (Eerste isomorfiestelling). Zij θ : G → H een groepsmorfisme.Dan is

im(θ) ∼= G/ ker(θ) .

Bewijs. Stel K = ker(θ), en beschouw de afbeelding

Θ : G/K → im(θ) : Kg $→ gθ .

De afbeelding Θ is goed gedefinieerd, want alsKg = Kh voor zekere g, h ∈ G,dan is h = kg voor een zekere k ∈ K, maar dan is

hθ = (kg)θ = kθgθ = gθ .

26

We tonen vervolgens aan dat Θ een morfisme is. Inderdaad, zij Kg,Kh ∈G/K willekeurig; dan is

Θ(Kg ·Kh) = Θ(K(gh)) = (gh)θ = gθhθ = Θ(Kg)Θ(Kh) .

Het is evident dat Θ surjectief is. We tonen ten slotte aan dat Θ injectief is,door te bewijzen dat ker(Θ) = 1. Beschouw dus Kg ∈ G/K met Θ(Kg) = 1;dan is gθ = 1, en dus is g ∈ K. Dit impliceert dat Kg = K, hetgeen aantoontdat ker(Θ) = 1. We hebben bewezen dat Θ een isomorfisme is. !

Opmerking 1.6.8. Als θ : G → H een monomorfisme is, dan zegt de eersteisomorfiestelling dat G ∼= im(θ), in overeenstemming met wat we al wisten(zie Opmerking 1.3.5).

Opmerking 1.6.9. We kunnen de eerste isomorfiestelling ook interprete-ren als de uitspraak dat elk morfisme θ : G → H een decompositie heeft ineen projectie (= canonieke surjectie), een isomorfisme, en een inclusie (=canonieke injectie):

G " G/ ker(θ)∼−→ im(θ) ↪→ H.

Een belangrijk gevolg van de eerste isomorfiestelling is het feit dat nor-maaldelers precies kernen van morfismen zijn, terwijl quotientgroepen precieshomomorfe beelden zijn:

Gevolg 1.6.10. Zij G een willekeurige groep. Dan geldt:

N #G ⇐⇒[

N is de kern van een morfismevertrekkend uit G

H is een quotient van G ⇐⇒[

H is het beeld van een morfismevertrekkend uit G

Bewijs. Veronderstel eerst dat θ : G → H een morfisme is. Dan is ker(θ)inderdaad een normaaldeler van G, en uit de eerste isomorfiestelling volgtdat im(θ) een quotientgroep is van G.

Omgekeerd, als N een normaaldeler is van G, dan is N precies de kern vande projectie-afbeelding π : G → G/N ; en als H een quotient is van G, danbestaat er een normaaldeler N #G zodat H = G/N ; de projectie-afbeeldingπ : G → G/N heeft precies H als beeld. !

Een ander interessant gevolg van de eerste isomorfiestelling is de volgendeobservatie.

Gevolg 1.6.11. Zij G en H eindige groepen, en θ : G → H een willekeurigmorfisme. Dan geldt:

27

(i) |ker(θ)| is een deler van |G|;(ii) |im(θ)| is een deler van zowel |G| als |H|;(iii) als gcd(|G|, |H|) = 1, dan is θ triviaal, i.e. gθ = 1 voor alle g ∈ G;

(iv) voor elke g ∈ G is o(gθ) een deler van zowel o(g) als |H|;(v) als g ∈ G met gcd(o(g), |H|) = 1, dan is gθ = 1.

Bewijs. Bewijs dit zelf als oefening. Denk hierbij voor (iv) en (v) aan derestrictie θ|⟨g⟩. !

We tonen nu een gevolg van de eerste isomorfiestelling aan, dat bekendstaat onder de naam “tweede isomorfiestelling”. Eerst geven we een andereeigenschap aan, die ondermeer zegt dat we een deelgroep en een normaalde-ler van een zelfde groep G “aan elkaar kunnen plakken” om er een groteredeelgroep van G van te maken.

Lemma 1.6.12. Zij G een willekeurige groep, en zij H ≤ G en N #G. Danis HN = NH, en HN ≤ G. Ook is H ∩N #H. Als bovendien H #G, danis HN #G.

Bewijs. Aangezien N #G, is hN = Nh voor alle h ∈ H . Bijgevolg is

HN =⋃

h∈H

hN =⋃

h∈H

Nh = NH .

We tonen vervolgens aan met het criterium van deelgroepen dat HN ≤ G.Zij dus g1, g2 ∈ HN willekeurig; dan is g1 = h1n1 en g2 = h2n2 voor zekereh1, h2 ∈ H en n1, n2 ∈ N . Hieruit volgt

g1g−12 = h1n1n

−12 h−1

2 ∈ h1Nh−12 ,

en gebruik makend van het feit dat Nh−12 = h−1

2 N vinden we g1g−12 ∈

h1h−12 N ⊆ HN .We tonen vervolgens aan dat H ∩ N #H . Uiteraard is H ∩ N ≤ H ; we

tonen nu aan dat H ∩N invariant is onder toevoeging met elementen van H .Neem dus h ∈ H willekeurig. Dan is Hh = H , en Nh = N omdat N eennormaaldeler is van G. Hieruit volgt dat (H ∩N)h = Hh ∩Nh = H ∩N .

Ten slotte nemen we aan dat H # G, en tonen we aan dat dan ookHN # G. We weten reeds dat HN ≤ G, dus we gebruiken het criteriumvoor normaaldelers. Zij dus hn ∈ HN en g ∈ G willekeurig; dan is (hn)g =hgng ∈ HgNg = HN . Dit bewijst dat inderdaad HN #G. !

28

Opmerking 1.6.13. Merk op dat HN precies gelijk is aan (Hπ)π−1, waarbij

π de canonieke projectie is van G naar G/N . Dit geeft een alternatief bewijsvoor de uitspraak dat HN ≤ G.

Opmerking 1.6.14. Als A ≤ G en B ≤ G, dan geldt in het algemeen nietdat AB een deelgroep is van G. We hebben met name dat AB ≤ G als enslechts als AB = BA (toon dit zelf aan!), en deze voorwaarde is niet steedsvoldaan; zie Oefening 49.

Stelling 1.6.15 (Tweede isomorfiestelling). Zij G een willekeurige groep, enzij H ≤ G en N #G. Dan is

HN/N ∼= H/(H ∩N) .

Bewijs. Beschouw de afbeelding

ψ : H → G/N : h $→ hN .

Dit is een morfisme omdat N#G. Duidelijkerwijze bestaat im(ψ) precies uitde nevenklassen van N (in G) die bevat zijn in HN , dus im(ψ) = HN/N .Het is evenzeer duidelijk dat ker(ψ) precies bestaat uit de elementen h ∈ Hwaarvoor hN = N , of dus h ∈ N ; bijgevolg is ker(ψ) = H ∩N . Uit de eersteisomorfiestelling volgt nu het gestelde. !

In het geval dat H en N eindig zijn, kunnen we uit de tweede isomor-fiestelling afleiden dat |HN | = |H| |N |/|H ∩ N |. Dit geldt echter ook voortwee willekeurige deelgroepen (waarvan dus niet noodzakelijk een van beideeen normaaldeler is). Merk echter op dat H1H2 niet noodzakelijk een groepis (zie Opmerking 1.6.14).

Stelling 1.6.16. Zij G een willekeurige groep, en H1, H2 twee eindige deel-groepen van G. Dan is

|H1H2| =|H1| · |H2||H1 ∩H2|

.

Bewijs. Beschouw de verzameling

H1 ×H2 := {(h1, h2) | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} .

(We zullen zo dadelijk zien dat deze verzameling ook een natuurlijke groeps-structuur heeft, maar dit is voor dit bewijs niet relevant.) Merk op dat|H1 ×H2| = |H1| · |H2|. Beschouw nu de afbeelding

ϕ : H1 ×H2 → H1H2 : (h1, h2) $→ h1h2 .

29

Per definitie van H1H2 geldt dat ϕ surjectief is. We tonen nu aan dat elkelement precies |H1 ∩H2| keer bereikt wordt; hieruit volgt dan de formule.

Zij dus x = h1h2 ∈ H1H2 willekeurig. Voor elke h ∈ H1 ∩ H2 geldt dat(h1h−1)·(hh2) = x, en dit levert ons dus alvast |H1∩H2| verschillende koppelsin H1×H2 die door ϕ worden afgebeeld op x. Omgekeerd, als ϕ(h3, h4) = x,dan is h1h2 = h3h4 en dus h−1

3 h1 = h4h−12 . Noem dit laatste element h; dan

is h ∈ H1 ∩ H2. Maar dan is h3 = h1h−1 en h4 = hh2, en dus heeft (h3, h4)inderdaad de gekende gedaante. !

Oefeningen

47. Bewijs dat elke quotientgroep van een abelse groep abels is.

48. Bepaal alle deelgroepen, normaaldelers en quotientgroepen van C8 en van D8.

49. Beschouw de groep G = D6. Beschrijf deelgroepen A ≤ G en B ≤ G met |A| = 2en |B| = 2, en toon aan dat AB = BA.

50. Zij G een groep met normaaldeler N # G, en zij π de projectie G → G/N . Zij Heen tweede groep, en zij θ : G → H een morfisme. Toon aan dat er een morfismeψ : G/N → H bestaat zodat θ = πψ, als en slechts als N ≤ ker(θ).

51. Zij G een groep met N1, N2 # G en N # N1, N2. Bewijs dat (N1/N)(N2/N) =(N1N2)/N .

52. Bewijs dat elke quotientgroep van een perfecte groep perfect is.

53. Toon aan dat GL(n,K)/SL(n,K) ∼= (K×, ·).

54. Beschouw de matrixgroepen

G =

{(

a b0 a−1

)

| a, b ∈ R, a > 0

}

, N =

{(

1 b0 1

)

| b ∈ R

}

.

Toon aan dat N #G, en dat G/N ∼= (R>0, ·).

55. Zij S = {q ∈ Q | 0 ≤ q < 1}, en beschouw de bewerking

p • q :=

{

p+ q als 0 ≤ p+ q < 1,

p+ q − 1 als p+ q ≥ 1,

voor alle p, q ∈ S. Toon aan dat (S, •) een abelse groep is. Toon vervolgens aandat (S, •) ∼= Q/Z.

56. Zij G een groep zodat G/Z(G) cyclisch is. Bewijs dat G abels is.

30

1.7 Directe producten

We voeren nu een eenvoudige maar belangrijke constructie in om vanuit eenaantal groepen een nieuwe groep te construeren.

Definitie 1.7.1. Zij G1, . . . , Gn willekeurige groepen. Dan definieren we eennieuwe groep G = G1 × · · ·×Gn, die we het direct product of het cartesischproduct van de groepen G1, . . . , Gn noemen, als volgt:

G = {(g1, . . . , gn) | gi ∈ Gi voor elke i} ,

met de componentsgewijze groepsbewerking, i.e.

(g1, . . . , gn) · (g′1, . . . , g′n) = (g1g′1, . . . , gng

′n) ,

voor alle gi, g′i ∈ Gi. Het is eenvoudig om in te zien dat G met deze samen-stellingswet opnieuw een groep is, met neutraal element (1G1 , . . . , 1Gn).

Definitie 1.7.2. Zij p een priemgetal en n ≥ 1. De groep

Epn := Cp ×Cp × · · ·×Cp (n factoren)

noemen we de elementair abelse groep van orde pn. Wanneer we n nietnader specifieren (maar p wel), dan spreken we van een elementair abelsep-groep. Merk op dat elk niet-triviaal element van Epn orde p heeft, m.a.w.,exp(Epn) = p. Zie ook Oefening 63.

Het direct product wordt gekenmerkt door de aanwezigheid van normaal-delers die triviaal snijden.

Lemma 1.7.3. Zij G1, . . . , Gn willekeurige groepen, en G = G1 × · · ·×Gn.Stel, voor elke i, Hi := 1× · · ·×Gi × · · ·× 1 ≤ G. Dan is Gi

∼= Hi #G voorelke i, en Hi∩Hj = 1 voor alle i = j. Bovendien commuteren Hi en Hj vooralle i = j.

Bewijs. Het is evident dat Gi∼= Hi en dat Hi ∩ Hj = 1 voor i = j. Zij nu

g = (g1, . . . , gn) ∈ G en h = (1, . . . , hi, . . . , 1) ∈ Hi willekeurig; dan is

g−1hg = (g−11 1g1, . . . , g

−1i higi, . . . , g

−1n 1gn)

= (1, . . . , g−1i higi, . . . , 1) ∈ Hi ,

en dus Hi # G. Zij ten slotte i = j, en neem a = (1, . . . , hi, . . . , 1) ∈ Hi enb = (1, . . . , hj , . . . , 1) ∈ Hj willekeurig. Dan is

ab = (1, . . . , hi, . . . , hj , . . . , 1) = ba ,

en dus commuteren Hi en Hj met elkaar. !

31

Interessant is dat dit soort van eigenschappen ook volstaat om directeproducten te herkennen binnen een gegeven groep G. We beginnen met eenlemma dat ook in andere situaties nuttig kan zijn.

Lemma 1.7.4. Zij G een groep, en zij A en B normaaldelers van G metA ∩ B = 1. Dan commuteren A en B met elkaar, i.e. [A,B] = 1.

Bewijs. Zij a ∈ A en b ∈ B willekeurig, en beschouw hun commutator g =[a, b] = a−1b−1ab. Omdat A # G is g = a−1 · ab ∈ A, en omdat B # G isg = (b−1)a · b ∈ B; bijgevolg is g ∈ A ∩ B = 1, dus ab = ba. !

Stelling 1.7.5. Zij G een willekeurige groep, en veronderstel dat G1, . . . , Gn

normaaldelers zijn van G, met de eigenschap dat

Gi ∩Gi+1 · · ·Gn = 1 voor elke i ∈ {1, . . . , n− 1} .

Dan is G1 · · ·Gn #G, en G1 · · ·Gn∼= G1 × · · ·×Gn.

Bewijs. Voor elke i stellen we Hi := Gi · · ·Gn; het feit dat Hi # G volgt uitLemma 1.6.12. Merk op dat de voorwaarden op de normaaldelers implicerendat Gi ∩Gj = 1 voor elke i = j. Uit Lemma 1.7.4 volgt dus dat [Gi, Gj] = 1voor alle i = j.

Beschouw nu de afbeelding

θ : G1 × · · ·×Gn → H1 : (g1, . . . , gn) $→ g1 · · · gn .

Uit het feit dat de deelgroepen Gi twee aan twee commuteren, volgt nu datθ een morfisme is. De surjectiviteit is triviaal (per definitie van H1). Wetonen ten slotte de injectiviteit aan door uit het ongerijmde te bewijzen datker(θ) = 1. Stel dus dat g1 · · · gn = 1 voor zekere gi ∈ Gi, en zij k het kleinstenatuurlijk getal zodat gk = 1. Dan is

g−1k = gk+1 · · · gn ∈ Hk+1 ,

en dus g−1k ∈ Gk ∩Hk+1 = 1. Deze strijdigheid bewijst de injectiviteit. We

besluiten dat θ een isomorfisme is. !

We kunnen dit ook nog herformuleren als volgt.

Gevolg 1.7.6. Zij G een willekeurige groep, en veronderstel dat G1, . . . , Gn

normaaldelers zijn van G. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent.

(a) De afbeelding θ : G1 × · · · × Gn → G : (g1, . . . , gn) $→ g1 · · · gn is eenisomorfisme;

32

(b) elke g ∈ G is op unieke wijze te schrijven als g = g1 · · · gn met gi ∈ Gi

voor elke i;

(c) elke g ∈ G is te schrijven als g = g1 · · · gn met gi ∈ Gi voor elke i, enGi ∩

(∏

j=iGj

)

= 1 voor alle i.

(Merk op dat de notatie∏

j=iGj in (c) hierboven ondubbelzinnig is, omdatelke Gj een normaaldeler is, waardoor GjGk = GkGj voor alle j, k.)

Opmerking 1.7.7. (i) De bewering dat de afbeelding θ : G1× · · ·×Gn →G : (g1, . . . , gn) $→ g1 · · · gn een isomorfisme is, is sterker dan enkel uit-drukken dat G ∼= G1 × · · · × Gn. Bijvoorbeeld, als G = H1 × H2

met H1∼= H2, dan is uiteraard G ∼= H1 × H1, terwijl de afbeelding

θ : H1 ×H1 → G : (h1, h′1) $→ h1h′

1 niet surjectief is.

(ii) Als de uitspraken van Gevolg 1.7.6 voldaan zijn, dan schrijven we ditook wel als G = G1 × · · ·× Gn (met een gelijkheidsteken). We zeggendan ook wel dat G het inwendige direct product is van de deelgroepenG1, . . . , Gn. De constructie in Definitie 1.7.1 wordt dan het uitwendigedirect product genoemd.

Als onmiddellijke toepassing op de voorgaande stelling tonen we aan datelke cyclische groep kan ontbonden worden in cyclische groepen van priem-machtorde.

Stelling 1.7.8. Zij G = Cn een cyclische groep van orde n, en ontbind n inpriemfactoren, n = pα1

1 · · ·pαk

k . Dan is

Cn∼= Cp

α11

× · · ·×Cpαkk

.

Bewijs. Uit Stelling 1.4.3 weten we dat er voor elke i ∈ {1, . . . , k} precieseen deelgroep Gi ≤ G bestaat van orde pαi

i , en dat die opnieuw cyclisch is,m.a.w. Gi

∼= Cpαii. Omdat G abels is, is elke Gi een normaaldeler.

Stel Hi := Gi · · ·Gk ≤ G; dan is Hi een deelgroep, en wegens Stel-ling 1.6.16 is de orde van Hi een deler van |Gi| · · · |Gk|. In elk geval isgcd(|Gi|, |Hi+1|) = 1 voor elke i, en uit de stelling van Lagrange volgt datGi∩Hi+1 = 1 voor elke i. De voorwaarden van Stelling 1.7.5 zijn dus voldaan,en we besluiten dat

H1∼= G1 × · · ·×Gk

∼= Cpα11

× · · ·×Cpαkk

. (1.1)

Het resultaat volgt nu uit het feit dat H1 ≤ G, terwijl het rechterlid van (1.1)een groep is van orde n = |G|, zodat noodzakelijk H1 = G. !

Opmerking 1.7.9. We zullen later (zie Stelling 3.5.3 en Opmerking 3.5.4(i))zien dat elke eindige abelse groep isomorf is met het direct product van cy-clische groepen van priemmachtorde (waarbij hetzelfde priemgetal dan meer-dere keren kan voorkomen).

33

Oefeningen

57. Zij G1, G2 groepen, en N1 #G1, N2 #G2. Toon aan dat N1 ×N2 #G1 ×G2.

58. Bewijs dat, als G1 en G2 abels zijn, dan ook G1 × G2 abels is. Is het omgekeerdeook waar?

59. Beschouw het direct product G = G1×G2 van twee groepen G1, G2. Is de deelgroep1×G2 een karakteristieke deelgroep van G?

60. Bewijs dat D4∼= C2 ×C2. Bewijs dan algemener dat voor elke oneven n geldt dat

D4n∼= D2n ×C2.

61. ZijG een eindige groep met |G| kwadraatvrij, i.e. |G| = p1p2 · · · pk, waarbij p1, . . . , pktwee aan twee verschillende priemgetallen zijn. Veronderstel dat G voor elke i ∈{1, . . . , k} een unieke deelgroep van orde pi bezit. Bewijs dat G cyclisch is.

62. Zij p een priemgetal. Toon aan dat de groepen Cp2 en Cp ×Cp niet isomorf zijn.

63. Zij p een priemgetal. Toon aan dat een eindige abelse groep waarin elk elementorde 1 of p heeft, een elementair abelse p-groep is.

64. Toon aan dat een eindige groep waarin elk element orde 1 of 2 heeft, steeds abelsis, en bijgevolg een elementair abelse 2-groep is.

65. Toon aan dat Epn isomorf is met de additieve groep is van de n-dimensionalevectorruimte Fn

p over het eindig veld Fp. Is deze groep ook isomorf met de additievegroep van het veld Fpn?

66. Zij G een groep en A,B twee deelgroepen van G. We zeggen dat G het centraalproduct is van A en B (notatie: G = A ◦B), als G = AB en [A,B] = 1. Toon aandat in dat geval A en B noodzakelijk normaaldelers zijn van G, en dat bovendienA ∩B ≤ Z(G).

1.8 Acties van groepen op verzamelingen

In de cursus “Discrete Wiskunde II” hebben we zeer veel aandacht besteedaan permutatiegroepen, en algemener aan acties van groepen op verzamelin-gen. We zullen later zien dat dit ook zeer zinvol is in de studie van abstractegroepen, waarbij a priori geen actie gegeven is.

Definitie 1.8.1. Zij G een groep en S een verzameling. Een afbeelding

α : S ×G → S ,

die we zullen noteren met een exponentiele notatie als sg := α(s, g), noemenwe een actie van de groep G op de verzameling S, als voldaan is aan devolgende eigenschappen:

s1 = s voor alle s ∈ S; (A)

34

(sg)h = sgh voor alle s ∈ S en alle g, h ∈ G. (B)

We zeggen dan ook dat de groep G werkt op de verzameling S. Somsnoemt men de verzameling S voorzien van een actie van de groep G eenG-verzameling.

Voorbeelden 1.8.2. (1) De groep Sn werkt op de verzameling {1, . . . , n}.Ook elke deelgroep G ≤ Sn werkt op deze verzameling.

(2) Als Γ = (V,E) een graaf is, dan werkt Aut(Γ) zowel op de toppenverza-meling V als op de bogenverzameling E.

(3) Zij K een veld, en n ∈ N∗. Dan werkt de groep GL(n,K) op de vector-ruimte Kn van rijvectoren (door rechtse vermenigvuldiging).

Het volgend lemma is eenvoudig maar zeer nuttig. Vooral Lemma 1.8.3(ii)is het onthouden waard.

Lemma 1.8.3. Zij G een groep die werkt op een verzameling S.

(i) Zij s, t ∈ S en g ∈ G. Als t = sg, dan is s = tg−1.

s t

g

g−1

(ii) Zij s, t ∈ S en g, h ∈ G. Als sg = t, dan is (sh)(gh) = th; hierbij is gh de

toegevoegde van g met h, terwijl sh en th de actie is van h op s en t,respectievelijk.

s t

sh th

g

gh

h h

(iii) Als H ≤ G, dan werkt ook H op de verzameling S.

Bewijs. (i) Zij s, t ∈ S en g ∈ G met t = sg. Uit (B) volgt dat tg−1

=(sg)g

−1= sgg

−1= se, en uit (A) volgt dan het gestelde.

(ii) Zij s, t ∈ S en g, h ∈ G, met sg = t. Dan is

(sh)(gh) = (sh)(h

−1gh) = shh−1gh = sgh = (sg)h = th .

35

(iii) Men gaat onmiddellijk na dat de eigenschappen (A) en (B) voldaanzijn. !

Met behulp van deze observaties kunnen we de volgende zeer belangrijkerekenregel voor toevoeging in Sn opstellen.

Gevolg 1.8.4. Zij G = Sn, en beschouw een willekeurig element g ∈ G, stel

g = (a1 a2 . . . ak)(b1 b2 . . . bℓ) · · · (z1 z2 . . . zm).

Zij h ∈ G willekeurig; dan is

gh = (ah1 ah2 . . . ahk)(bh1 bh2 . . . bhℓ ) · · · (zh1 zh2 . . . zhm).

In het bijzonder hebben alle elementen van de toevoegingsklasse gG dezelfdecykelstructuur. Sterker nog, de toevoegingsklasse gG bestaat precies uit alleelementen van G die dezelfde cykelstructuur als g hebben.

Bewijs. De eerste uitspraak volgt onmiddellijk uit Lemma 1.8.3(ii). We be-wijzen nu dat twee elementen g, g′ met dezelfde cykelstructuur ook steedstoegevoegd zijn aan elkaar. Stel dus

g = (a1 a2 . . . ak)(b1 b2 . . . bℓ) · · · (z1 z2 . . . zm),

g′ = (a′1 a′2 . . . a′k)(b′1 b′2 . . . b′ℓ) · · · (z′1 z′2 . . . z′m).

Stel dan h gelijk aan de permutatie die elke xi afbeeldt op x′i; dan is, opnieuw

omwille van Lemma 1.8.3(ii), inderdaad gh = g′. !

Zoals we reeds weten vanuit de cursus “Discrete Wiskunde II” kunnen weaan elke actie van G op S een morfisme G → Sym(S) koppelen.

Lemma 1.8.5. (i) Voor elke vaste g ∈ G is de afbeelding

αg : S → S : s $→ sg

een permutatie van S.

(ii) De afbeeldingϕ : G → Sym(S) : g $→ αg

is een morfisme.

Bewijs. Dit hebben we bewezen in de cursus “Discrete Wiskunde II”. !

36

Definitie 1.8.6. Beschouw een actie van een groep G op een verzameling S.Het morfisme ϕ gedefinieerd in Lemma 1.8.5(ii) noemen we de permutatiere-presentatie of de permutatievoorstelling geassocieerd met de actie.

Anders gezegd, een permutatierepresentatie van een groep G is een mor-fisme van G naar Sym(S) voor een zekere verzameling S.

Gevolg 1.8.7. Zij G een groep en S een verzameling. Dan is er een bijectiefverband tussen de acties van G op S enerzijds, en de morfismen van G naarSym(S) anderzijds.

Bewijs. Uit Lemma 1.8.5(ii) weten we reeds dat er voor elke actie van Gop S een corresponderend morfisme van G naar Sym(S) is. Omgekeerd, zijϕ : G → Sym(S) een morfisme. Dan definieert sg := sϕ(g) duidelijkerwijzeeen actie van G op S. Deze twee correspondenties zijn elkaars invers, zodatwe inderdaad een bijectief verband hebben. !

Opmerking 1.8.8. Precies omwille van dit verband tussen acties en permu-tatierepresentaties wordt de terminologie vaak ook verwisseld gebruikt, enspreekt men soms van “de actie gegeven door ϕ : G → Sym(S)” of van “depermutatievoorstelling (G, S)”.

In de cursus “Discrete Wiskunde II” hebben we gezien dat de actie (G, S)aanleiding geeft tot een permutatiegroep precies als de actie getrouw is. Weherhalen dit begrip.

Definitie 1.8.9. Beschouw een actie van een groep G op een verzamelingS. Als geen enkel niet-triviaal element van G triviaal werkt op S (d.w.z.alle elementen van S fixeert), dan noemen we de actie getrouw. (In sommigecontexten spreekt men ook van een effectieve actie.)

Getrouw zijn is een zeer natuurlijk begrip: het zegt in feite dat men elkelement g ∈ G kan herkennen aan zijn actie op de verzameling S:

Lemma 1.8.10. Zij G een groep die werkt op een verzameling S. De vol-gende uitspraken zijn equivalent.

(a) De actie is getrouw.

(b) Voor alle g ∈ G geldt: als voor alle s ∈ S geldt sg = s, dan is g = 1.

(c) Voor alle g, h ∈ G geldt: als voor alle s ∈ S geldt sg = sh, dan is g = h.

(d) De permutatierepresentatie geassocieerd met de actie is een monomor-fisme (i.e. ze is injectief).

37

Bewijs. Uitspraak (b) is precies de definitie van getrouw zijn, dus (a) en (b)zijn equivalent. Trivialerwijze impliceert (c) ook (b) (namelijk via de keuzeh = 1). Veronderstel nu dat (b) geldt, en stel dat g, h ∈ G zodanig zijn datsg = sh voor alle s ∈ S. Dan is sgh

−1= s voor alle s ∈ S, en uit (b) volgt

dan dat gh−1 = 1. Hieruit volgt g = h, en dit bewijst (c). Dus uit (b) volgt(c).

Ten slotte tonen we aan dat (b) en (d) equivalent zijn. Zij ϕ de permuta-tierepresentatie geınduceerd door de actie; merk op dat ϕ injectief is als enslechts als ker(ϕ) = 1. Uit de definitie van ϕ volgt ook nog dat dit equivalentis met de uitspraak “als αg = 1, dan is ook g = 1”. Maar per definitie isαg = 1 als en slechts als sg = s voor alle s ∈ S. We verkrijgen dus preciesuitspraak (b). !

Opmerking 1.8.11. Een vaak gemaakte beginnersfout is om, voor een ge-trouwe actie van G op S, uit een gelijkheid sg = sh voor zekere s ∈ S teconcluderen dat g = h. Vergelijk dit met uitspraak (c) hierboven.

Definitie 1.8.12. Zij G een groep die werkt op een verzameling S. De kernvan de actie definieren we als de kern ker(ϕ) van de geassocieerde permuta-tierepresentatie ϕ : G → Sym(S). In het bijzonder zien we dat de kern vaneen actie steeds een normaaldeler is van G, en dat de kern triviaal is als enslechts als de actie getrouw is.

Als een actie niet getrouw is, kunnen we er op natuurlijke wijze een ge-trouwe actie mee associeren door de kern “uit te delen”:

Lemma 1.8.13. Beschouw een actie van een groep G op een verzameling S,en zij N #G de kern van deze actie. Dan werkt G/N op S via de actie

sNg := sg ,

en deze actie is getrouw.


Als G een groep is die werkt op een verzameling S, dan kunnen we metdeze actie verscheidene interessante deelgroepen van G associeren. Omge-keerd kunnen we met elementen en deelgroepen van G interessante deelver-zamelingen van S associeren.

Definitie 1.8.14. (i) Zij s ∈ S. Dan definieren we de stabilisator van sals

Gs := StabG(s) := {g ∈ G | sg = s} .

38

De stabilisator bestaat dus precies uit alle elementen van de groep Gdie het element s fixeren (i.e. op zichzelf afbeelden). Als we het elements niet nader specifieren, spreken we van een puntstabilisator.

(ii) Zij T ⊆ S een willekeurige deelverzameling. Dan definieren we depuntsgewijze stabilisator van T als

GT :=⋂

s∈T

Gs = {g ∈ G | sg = s voor alle s ∈ T} .

De puntsgewijze stabilisator bestaat dus precies uit alle elementen vande groep G die elk element van T fixeren. Deze deelgroep wordt ooksoms de fixator van T of de isotropiedeelgroep van T genoemd.

(iii) Zij T ⊆ S een willekeurige deelverzameling. Dan definieren we de(globale) stabilisator van T als

G{T} := {g ∈ G | T g = T} .

De stabilisator bestaat dus precies uit alle elementen van de groep Gdie de verzameling T op zichzelf afbeelden (maar dus niet noodzakelijkelk element van T fixeren).

(iv) Zij nu g ∈ G. Dan definieren we de fixpuntverzameling van g als

FixS(g) := {s ∈ S | sg = s} .

De fixpuntverzameling bestaat dus precies uit alle elementen van S diedoor g gefixeerd worden.

(v) Zij H ≤ G. Dan definieren we de fixpuntverzameling van H als

FixS(H) :=⋂

h∈H

FixS(h) = {s ∈ S | sh = s voor alle h ∈ H} .

De fixpuntverzameling bestaat dus precies uit alle elementen van S diedoor elk element van H gefixeerd worden. Merk op dat FixS(g) =FixS(⟨g⟩) voor alle g ∈ G.

(vi) Zij T ⊆ S. We zeggen dat T een G-invariante of G-stabiele deelverza-meling is, als T g ⊆ T voor alle g ∈ G, of equivalent, als T g = T vooralle g ∈ G, of nog anders gezegd, als G{T} = G. (Toon zelf aan datdeze drie uitspraken equivalent zijn.)

Opmerking 1.8.15. De notaties voor puntsgewijze en globale stabilisato-ren worden niet steeds op dezelfde manier gebruikt; zo gebruiken sommigeauteurs de notatie GT waar wij G{T} gebruiken, en G[T ] of G(T ) waar wij GT

gebruiken. De nodige voorzichtigheid is dus steeds geboden bij het nalezenvan literatuur.

39

Een actie van een groep G op een verzameling S die echte G-invariantedeelverzamelingen heeft, kan worden “opgedeeld” in nieuwe acties van de-zelfde groep G op deze invariante deelverzamelingen. De acties die niet ver-der kunnen opgedeeld worden, spelen dus een belangrijke rol. We kennendeze reeds uit de cursus “Discrete Wiskunde II”:

Definitie 1.8.16. Beschouw een actie van een groep G op een verzameling S.

(i) Een baan voor de actie is een deelverzameling van S van de vorm

sG := {sg | g ∈ G} .

(ii) De actie is transitief als er slechts een baan is.

Lemma 1.8.17. Beschouw een actie van een groep G op een verzameling S.

(i) De verzameling van alle banen is een partitie van de verzameling S.

(ii) De actie is transitief als en slechts als er voor elke s, t ∈ S een g ∈ Gbestaat zodat sg = t.

(iii) De banen voor de actie zijn precies de niet-ledige G-invariante deelver-zamelingen van S waarop G transitief werkt. Anders gezegd, de banenzijn de minimale niet-ledige G-invariante deelverzamelingen van S.

(iv) De actie is transitief als en slechts als de enige G-invariante deelverza-melingen van S de gehele verzameling S en de ledige deelverzameling ∅zijn.

Bewijs. Uitspraken (i) en (ii) hebben we bewezen in de cursus “DiscreteWiskunde II”. Bewijs zelf uitspraken (iii) en (iv) als eenvoudige oefening. !

We zien dus dat de transitieve acties precies die acties zijn die niet verderopgedeeld kunnen worden. Bemerk immers dat indien de actie niet transitiefis en B ⊂ S een baan is, we de actie kunnen opdelen in twee “kleinere”acties, met name (G,B) en (G, S \B).

We gaan nu wat nader in op sterkere vormen van transitiviteit.

Definitie 1.8.18. Beschouw een actie van een groep G op een verzame-ling S. We noemen deze actie n-voudig transitief (of kortweg n-transitief)als G transitief werkt op de verzameling van geordende n-tallen van verschil-lende elementen van S. Expliciet eisen we dus dat er voor alle s1, . . . , sn ∈ S(onderling verschillend) en alle t1, . . . , tn ∈ S (onderling verschillend) eenelement g ∈ G bestaat zodat sgi = ti voor elke i ∈ {1, . . . , n}.

Als bovendien geldt dat dit element g uniek is (voor gegeven si, ti), dannoemen we de actie scherp n-voudig transitief. Een scherp 1-voudig transi-tieve actie wordt kortweg scherp transitief (of ook soms regulier) genoemd.

40

Merk op dat een n-voudig transitieve actie ook steeds t-voudig transitiefis voor alle t < n. Anderzijds is een scherp n-voudig transitieve actie in hetalgemeen niet scherp t-voudig transitief voor t = n. (Zie ook Oefening 74.)

Stelling 1.8.19. Beschouw een transitieve actie van een groep G op eenverzameling S, en zij s ∈ S willekeurig. Dan geldt:

(i) De actie van G op S is n-voudig transitief als en slechts als de actievan Gs op S \ {s} een (n− 1)-voudig transitieve actie is.

(ii) De actie van G op S is scherp n-voudig transitief als en slechts als deactie van Gs op S \ {s} een scherp (n− 1)-voudig transitieve actie is.

Bewijs. We bewijzen enkel (i); werk zelf de details van (ii) uit.Veronderstel eerst dat de actie van G op S inderdaad n-transitief is.

Beschouw dan willekeurig twee (n−1)-tallen s1, . . . , sn−1 ∈ S\{s} (onderlingverschillend) en t1, . . . , tn−1 ∈ S \ {s} (onderling verschillend). Stel dansn := s en tn := s. Wegens de gegeven n-transitiviteit bestaat er een g ∈ Gmet sgi = ti voor elke i, dus in het bijzonder sg = s, en dus g ∈ Gs. Webesluiten dat de actie van Gs op S \ {s} een (n− 1)-transitieve actie is.

Veronderstel omgekeerd dat de actie van Gs op S \ {s} een (n − 1)-transitieve actie is. Beschouw willekeurig s1, . . . , sn ∈ S (onderling verschil-lend) en t1, . . . , tn ∈ S (onderling verschillend). Omdat de actie van G op Stransitief ondersteld is, bestaan er g, h ∈ G met sg1 = s en th1 = s, en wegensde gegeven (n−1)-transitiviteit van Gs vinden we een a ∈ Gs met (sgi )

a = thivoor alle i ∈ {2, . . . , n}. De samenstelling gah−1 is het gezochte element datelke si op ti afbeeldt; we besluiten dat de actie van G op S een n-transitieveactie is. !

Voorbeelden 1.8.20. (1) De groep G = Sn werkt scherp n-voudig transi-tief op de verzameling {1, . . . , n}.

(2) De groep G = An werkt scherp (n− 2)-voudig transitief op de verzame-ling {1, . . . , n}. Inderdaad, voor twee gegeven (n− 2)-tallen s1, . . . , sn−2

en t1, . . . , tn−2 bestaan er precies twee elementen g, h ∈ Sn die elke siop ti afbeelden, en precies een van beide zal een even permutatie zijn.(Meer bepaald is h = ga waarbij a de transpositie (tn−1tn) van de tweeoverblijvende elementen is.)

(3) Beschouw de diedergroep G = D2n werkend op de hoekpunten van eenregelmatige n-hoek. Deze actie is transitief maar niet scherp transitief.De deelgroep H = Cn werkt wel scherp transitief op de hoekpunten.

(4) Beschouw een groep G werkend op een graaf Γ. Deze actie is tweevoudigtransitief op de toppen als en slechts als Γ hetzij compleet hetzij cocom-

41

pleet is. (Een graaf wordt cocompleet genoemd als hij geen enkele boogheeft.)

Opmerking 1.8.21. De enige eindige n-voudig transitieve permutatiegroe-pen waarbij n ≥ 6, zijn symmetrische en alternerende groepen. Dit is eenzeer diep resultaat, dat gebruik maakt van de classificatie van de eindigeenkelvoudige groepen. Voor n = 5 is dit niet langer waar, en zijn er preciestwee bijkomende voorbeelden, met name twee van de vijf zogenaamde (en-kelvoudige!) Mathieugroepen, M12 en M24, die werken op verzamelingen vangrootte 12 en 24, respectievelijk. Deze groepen hebben respectieve orde

95040 = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 en 244823040 = 48 · (24 · 23 · 22 · 21 · 20).

De groep M12 werkt dus zelfs scherp 5-voudig transitief; zie ook Oefening 74.

Oefeningen

67. Zij G een groep die werkt op een verzameling S, en zij H ≤ G. Toon aan dat elkebaan onder H bevat is in een baan onder G, en bijgevolg dat de banen onder H eenpartitie vormen van S die “fijner” is dan de partitie van S in de banen onder G.

68. Zij G een groep die werkt op een verzameling S. Zij a ∈ S willekeurig maar vast.Toon aan dat de actie transitief is als en slechts als er voor elke t ∈ S een g ∈ Gbestaat zodat ag = t.

69. Zij G een groep die werkt op een verzameling S, en zij g ∈ G en s ∈ S. Beschouwde puntstabilisator Gs ≤ G. Toon aan dat (Gs)g = Gsg .

70. Zij G een groep die werkt op een verzameling S. Beschouw de puntstabilisatorGs ≤ G voor een zekere s ∈ S. Toon aan dat Gs werkt op S \ {s}. Als G transitiefwerkt op S, volgt hieruit dan dat Gs transitief werkt op S \ {s}? Omgekeerd,veronderstel dat Gs transitief werkt op S \ {s} voor elke s ∈ S. Volgt hieruit datG transitief werkt op S?

71. Zij G een groep die werkt op een verzameling S, en T ⊆ S. Bewijs dat GT #G{T}.

72. Zij G een eindige groep die transitief werkt op een eindige verzameling S, en zijs ∈ S en H ≤ G. Bewijs dat H transitief werkt op S als en slechts als G = GsH .

∗73. Zoek een voorbeeld van een groep G die werkt op een verzameling S, en een deel-verzameling T ⊆ S, zodat er elementen g ∈ G bestaan zodat T g ⊂ T maar T g = T .

74. Beschouw een actie van een groep G op een eindige verzameling S met |S| = k.Veronderstel dat de actie n-voudig transitief is. Toon aan dat |G| ≥ k!/(k−n)!, endat de gelijkheid geldt als en slechts als de actie scherp n-voudig transitief is.

Voorbeelden 1.8.22. We geven nu enkele belangrijke voorbeelden van vaakvoorkomende acties. Merk op dat elk van deze voorbeelden vertrekt van eenabstracte groep die a priori niet werkt op een gegeven verzameling.

42

(1) Zij G een willekeurige groep. Dan werkt G op zichzelf via toevoeging5:

sg := g−1sg

voor alle s ∈ G en alle g ∈ G. Het is niet moeilijk om na te gaan datde voorwaarden (A) en (B) van p. 34 inderdaad vervuld zijn. Deze actieis niet steeds getrouw; de kern van de actie is precies het centrum Z(G)van G.De banen van deze actie zijn juist de klassen van toegevoegde elementen

hG = {hg | g ∈ G} .

De geınduceerde actie van G op een klasse van toegevoegde elementen isdus een transitieve actie.

(2) Zij G een willekeurige groep, en beschouw de machtsverzameling P(G),dit is de verzameling bestaande uit alle deelverzamelingen van G. Danwerkt G op P(G) via toevoeging:

Dg := g−1Dg = {g−1hg | h ∈ D}

voor alle D ∈ P(G) en alle g ∈ G. Het is opnieuw eenvoudig in te ziendat de voorwaarden (A) en (B) van p. 34 vervuld zijn.De banen van deze actie zijn precies de “klassen van toegevoegde deel-verzamelingen”

DG = {Dg | g ∈ G} ;

de corresponderende actie van G op de verzameling DG is dus transi-tief. Voornamelijk het geval waar D een deelgroep is van G wordt vaakgebruikt.

(3) Beschouw opnieuw een willekeurige groep G. Dan werkt G op zichzelfvia rechtse vermenigvuldiging:

sg := sg

voor alle s ∈ G en alle g ∈ G. Opnieuw zijn de voorwaarden (A) en (B)inderdaad vervuld.De banen van deze actie zijn nu de deelverzamelingen van G van de vormsG = sG voor s ∈ G. Maar uiteraard is sG = G voor elke s ∈ G, en dus

5Het is dus geen toeval dat we dezelfde notatie hebben gebruikt voor toevoeging als voorde actie van een groep op een willekeurige verzameling, maar het is uiteraard belangrijkom beide concepten niet met elkaar te verwarren. In het bijzonder dient de terminologie“toevoeging” dus ook enkel en alleen gebruikt te worden voor deze welbepaalde actie.

43

is er maar een baan: G zelf. De actie is dus transitief. Het is eveneensgemakkelijk in te zien dat deze actie getrouw is.De corresponderende permutatierepresentatie ϕ : G → Sym(G) wordt deCayley representatie van G genoemd. Aangezien ϕ een monomorfisme is(want de actie is getrouw), toont dit aan dat elke groep isomorf is meteen deelgroep van een symmetrische groep!

(4) Beschouw nu een groep G en een deelgroep H ≤ G. Dan werkt G op deverzameling6 RG(H):

(Hs)g := Hsg

voor alle Hs ∈ RG(H) en alle g ∈ G. Deze actie is uiteraard goedgedefinieerd, en het is een actie want ze voldoet duidelijk aan de voor-waarden (A) en (B).Opnieuw gaat men na dat deze actie transitief is. Ze is niet steeds ge-trouw; zie Oefening 79. Als H = 1 bekomen we precies het vorige voor-beeld.

De volgende observatie is het vermelden waard.

Lemma 1.8.23. Zij G een willekeurige groep, en H ≤ G een deelgroep vaneindige index n. Dan bestaat er een morfisme ϕ : G → Sn met kerϕ ≤ H.

Bewijs. Beschouw de werking van G op RG(H) zoals in Voorbeeld 1.8.22(4).Aangezien |RG(H)| = n, is de corresponderende permutatierepresentatie eenmorfisme ϕ : G → Sn. Als g ∈ kerϕ, dan fixeert g in het bijzonder de trivialenevenklasse H , dus Hg = H , dus g ∈ H . !

In het geval we een actie hebben van G op zichzelf door toevoeging, gevenwe aan sommige van de algemeen ingevoerde begrippen een bijzondere naam.

Definitie 1.8.24. Zij G een willekeurige groep, en beschouw de actie van Gop zichzelf door toevoeging.

(i) Zij h ∈ G; de stabilisator Gh noemen we nu de centralisator van h, enwe schrijven

CG(h) := {g ∈ G | hg = h} = {g ∈ G | gh = hg} .

We zien dus dat de centralisator van een element h precies bestaat uitalle elementen van G die met h commuteren.

6Soms wordt de verzameling RG(H) de quotientruimte van G met betrekking tot Hgenoemd, en sommige auteurs noteren dit ook als G/H . Zoals we weten, is dit in hetalgemeen geen groep, en we zullen de notatie G/H zelf enkel gebruiken indien H #G.

44

(ii) Zij H ≤ G; de puntsgewijze stabilisator GH noemen we nu de centrali-sator van H , en we schrijven

CG(H) := {g ∈ G | hg = h voor alle h ∈ H}= {g ∈ G | gh = hg voor alle h ∈ H} .

We zien dus dat de centralisator van een deelgroep H precies bestaatuit alle elementen van G die met elk element van H commuteren.

(iii) ZijH ≤ G; de (globale) stabilisatorG{H} noemen we nu de normalisatorvan H , en we schrijven

NG(H) := {g ∈ G | Hg = H}= {g ∈ G | hg ∈ H en hg−1 ∈ H voor alle h ∈ H} .

We zien dus dat de normalisator van een deelgroep H precies bestaatuit alle elementen van G die H invariant laten onder toevoeging.

Opmerking 1.8.25. Zij G een willekeurige groep en H ≤ G. Dan is steedsH # NG(H) ≤ G. Meer nog, NG(H) is de grootste deelgroep van G waarinH een normaaldeler is. (Toon dit zelf aan als oefening.) Dit verklaart denaam “normalisator”.

Opmerking 1.8.26. We gebruiken ook vaak de terminologie centraliserenen normaliseren. We zeggen dat een deelgroep A een deelgroep B centra-liseert als A ≤ CG(B), en we zeggen dat de deelgroep A de deelgroep Bnormaliseert als A ≤ NG(B). (We gebruiken deze uitdrukkingen uiteraardook met elementen in plaats van deelgroepen.)

We beschouwen nu opnieuw algemene acties van groepen op verzamelin-gen. Het volgend verband tussen banen en puntstabilisatoren is zeer belang-rijk, en kennen we ook reeds vanuit de cursus “Discrete Wiskunde II”.

Stelling 1.8.27. Beschouw een actie van een groep G op een verzameling S,en zij s ∈ S willekeurig.

(i) De afbeeldingδ : RG(Gs) → sG : Gsg $→ sg

is een bijectie.

(ii) Als G eindig is, dan geldt de baan-stabilisatorformule

|G| = |Gs| · |sG| .

In het bijzonder is de lengte van elke baan een deler van |G|.

45


Deze stelling is op zich al krachtig, maar wordt nog interessanter wanneerwe ze combineren met de vaststelling dat de banen een partitie van S vormen(zie Lemma 1.8.17(ii)). Immers, veronderstel dat de actie k banen heeft, ennoem die S1, . . . , Sk. Dan geldt

|S| = |S1|+ · · ·+ |Sk| ,

en elk van de termen van het rechterlid is een deler van G wegens de baan-stabilisatorformule.

In het bijzondere geval dat we de actie van G op zichzelf beschouwendoor toevoeging, geven we deze laatste formule een bijzondere naam: deklasseformule.

Stelling 1.8.28. Zij G een willekeurige groep.

(i) Een klasse van toegevoegde elementen xG is triviaal (i.e. xG = {x}) alsen slechts als x ∈ Z(G).

(ii) Als G eindig is, dan geldt de klasseformule

|G| = |Z(G)|+∑

|xG| ,

waarbij de som wordt genomen over de niet-triviale klassen7. Bovendienis elke term van het rechterlid zelf een deler van |G|.

Bewijs. (i) We hebben xG = {x} als en slechts als g−1xg = x voor alleg ∈ G, of nog, als en slechts als x commuteert met elke g ∈ G.

(ii) Beschouw de actie van G op zichzelf door toevoeging. Het feit dat debanen van deze actie een partitie vormen, vertaalt zich nu in het feitdat de klassen van toegevoegde elementen van G een partitie van Gvormen. De overeenkomstige formule wordt

|G| =∑

|xG| ,

waarbij de som wordt genomen over alle klassen. Uit (i) volgt nu datwe dit ook nog kunnen herschrijven als

|G| = |Z(G)|+∑

|xG| ,

7Elke niet-triviale klasse wordt dus juist een keer geteld; we sommeren dus niet overde elementen x ∈ G.

46

waarbij de som nu wordt genomen over de niet-triviale klassen.Enerzijds weten we uit de baan-stabilisatorformule dat de lengte vaneen baan, die in dit geval de grootte van een klasse van toegevoegdeelementen is, een deler is van |G|; anderzijds is Z(G) ≤ G en dus volgtuit de stelling van Lagrange dat ook |Z(G)| een deler is van |G|. !

Oefeningen

75. Zij G een groep en H ≤ G. Toon aan dat CG(H)#NG(H).

76. Zij G een groep en A#B ≤ G. Toon aan dat B ≤ NG(A).

77. Zij G een groep. Bewijs dat de verzameling A = {g ∈ G | |gG| < ∞} een karakte-ristieke deelgroep is van G.

78. Zij G een oneindige enkelvoudige groep, en A een eindige klasse van toegevoegdeelementen in G. Bewijs dat A = {1}.

79. Zij G een groep en H ≤ G.

(i) Definieer coreG(H) als de grootste normaaldeler van G die bevat is in H . Toonaan dat coreG(H) =

⋂

g∈G Hg.

(ii) Beschouw de actie van G op G/H zoals in Voorbeeld 1.8.22(4). Toon aan datde actie van G op G/H getrouw is als en slechts als coreG(H) = 1.

∗80. Zij H een deelgroep van G met de eigenschap dat, voor alle a, b ∈ G, b ∈ H , ereen unieke h ∈ H bestaat waarvoor aba−1 = hbh−1. Bewijs dat H #G. Onderstelnu bovendien dat H eindig is. Bewijs dat voor willekeurige g ∈ G \ H geldt datgG = gH . Bewijs verder dat H in dit geval bestaat uit de verzameling van allecommutators in G, en dus H = G′.

1.9 De stellingen van Sylow

In het algemeen kunnen we niet veel zeggen over de deelgroepen van eenwillekeurige eindige groep. De stelling van Lagrange is de eenvoudigste zeeralgemene uitspraak. De stellingen van Sylow, die we nu zullen bespreken,vormen wellicht het sterkste en meest nuttige resultaat dat relatief elementairis, en toch in sterke mate de mogelijkheden voor de deelgroepen van een groepbeperkt.

Definitie 1.9.1. Zij p een priemgetal.

(i) Een (eindige) p-groep is een eindige groep waarvan de orde een machtvan p is.

(ii) Zij G een willekeurige eindige groep, en zij e ∈ N zodanig dat pe dehoogste macht van p is die |G| deelt. (We laten dus in principe e = 0

47

toe, hoewel dit voor het vervolg niet erg nuttig zal blijken.) Een Sylowp-deelgroep (ook wel p-Sylow deelgroep genoemd) is een deelgroep vanG van orde pe.

(iii) We noteren de verzameling van alle Sylow p-deelgroepen van een eindigegroep G als Sylp(G). Het aantal Sylow p-deelgroepen van G noteren weals np(G) := |Sylp(G)|.

Merk op dat we op dit moment nog niet weten of de groepG wel dergelijkedeelgroepen heeft.

Voor we tot de eigenlijke stellingen van Sylow komen, bewijzen we eersteen lemma over eindige abelse groepen. We zullen later alle eindige abelsegroepen classificeren (zie Stelling 3.5.3), en in feite zal dit lemma daar heeleenvoudig uit volgen; voor de volledigheid geven we hier een rechstreeksbewijs.

Lemma 1.9.2. Zij G een eindige abelse groep, en zij p een priemdeler van|G|. Dan bestaat er een g ∈ G met o(g) = p.

Bewijs. Kies p vast. We bewijzen het lemma per inductie op de orde van G(onder de voorwaarde dat p een deler is van |G|). Als |G| = p, dan heeft elkniet-triviaal element van G orde p.

Zij nu |G| > p, en kies een willekeurige g ∈ G met g = 1. Als p | o(g),dan is go(g)/p een element van G van orde p, en dan is het lemma bewezen.Stel dus p # o(g), en beschouw de deelgroep N = ⟨g⟩ ≤ G. Omdat G abelsis, is N # G; beschouw dus de quotientgroep H = G/N . Omdat p # |N |is |H| nog steeds deelbaar door p, en anderzijds is |H| < |G|. Wegens deinductiehypothese hebben we een h ∈ H met o(h) = p.

We “liften” het element h nu naar G, d.w.z. we nemen een willekeurigelement a ∈ hπ−1

, waarbij π : G → G/N de projectie-afbeelding is. Metandere woorden, h is precies de nevenklasse Na. Omdat aπ = h hebben weo(h) | o(a) (zie Gevolg 1.6.11), en dus is p | o(a). Het element ao(a)/p is hetgezochte element van orde p. !

Zoals we verder zullen zien, geldt voorgaande stelling in feite voor wil-lekeurige eindige groepen, en hoewel we dit resultaat nu al zouden kunnenbewijzen, zal het eenvoudiger zijn om het uit te stellen tot we de stellingenvan Sylow behandeld zullen hebben.

We zullen ook gebruik maken van de volgende eenvoudige maar belang-rijke stelling over p-groepen.

Stelling 1.9.3. Zij G een niet-triviale eindige p-groep. Dan is Z(G) = 1.

48

Bewijs. De klasseformule leert ons dat

|G| = |Z(G)|+∑

|xG| ,

waarbij de som wordt genomen over de niet-triviale klassen; bovendien is elketerm van het rechterlid een deler van |G|. Aangezien |G| een macht van p is,moet dus ook elke term |xG| een macht van p zijn, die echter strikt groteris dan 1 en bijgevolg deelbaar is door p. Dus moet ook de resterende term|Z(G)| deelbaar zijn door p, en in het bijzonder Z(G) = 1. !

We komen nu tot de eigenlijke stellingen van Sylow.

Stelling 1.9.4 (Sylow). Zij G een eindige groep en p een priemgetal. Ver-onderstel dat pe de hoogste macht van p is die |G| deelt.

(i) Sylp(G) = ∅, d.w.z. G heeft minstens een Sylow p-deelgroep;

(ii) het aantal Sylow p-deelgroepen van G voldoet aan

np(G) | |G|/pe en np(G) ≡ 1 (mod p) ;

(iii) elke twee Sylow p-deelgroepen zijn toegevoegd aan elkaar;

(iv) elke p-deelgroep van G is bevat in een Sylow p-deelgroep;

(v) voor een willekeurige Sylow p-deelgroep P ∈ Sylp(G) geldt

np(G) = [G : NG(P )] .

Bewijs. (i) We gebruiken inductie op |G| (waarbij we p vasthouden). Schrijf|G| = pet met p # t. Als e = 0, dan is een Sylow p-deelgroep een trivialedeelgroep, en valt er niks te bewijzen. Stel dus e ≥ 1. Als t = 1, danvalt er opnieuw niks te bewijzen; stel dus t > 1.Als G een echte deelgroep H < G bevat zodat pe | |H|, dan bestaat erper inductie een Sylow p-deelgroep P van H ; maar dan is P ≤ G en|P | = pe, dus is P ook een Sylow p-deelgroep van G.Veronderstel dus dat geen enkele echte deelgroep van G een orde heeftdie deelbaar is door pe; dan geldt voor elke echte deelgroep H < G dat[G : H ] deelbaar is door p. We herschrijven de klasseformule nu, metbehulp van de baan-stabilisatorformule, als

|G| = |Z(G)|+∑

[G : CG(x)] ,

waarbij de som wordt genomen over de niet-triviale klassen van toege-voegde elementen van G. Voor elke niet-triviale klasse xG is CG(x) < G,

49

en dus is wegens voorgaande vaststelling [G : CG(x)] deelbaar door p.Omdat ook |G| deelbaar is door p, besluiten we hieruit dat |Z(G)| deel-baar is door p. Wegens Lemma 1.9.2 bestaat er een element z ∈ Z(G)van orde p. Stel N = ⟨z⟩; dan is |N | = p, en N # G. Beschouw dequotientgroep K = G/N , met bijhorende projectie-afbeelding π. Danis |K| = |G|/p, en dus heeft een Sylow p-deelgroep van K orde pe−1. Wekunnen dus de inductiehypothese toepassen op K, en we halen hieruitdat er een deelgroep Q ≤ K bestaat met |Q| = pe−1. We liften nu Q te-rug naar G (zie Stelling 1.6.6), en we bekomen een deelgroep P = Qπ−1

,met

|P | = |Qπ−1| = |ker(π)| · |Q| = p · pe−1 = pe .

Dus P is een Sylow p-deelgroep van G. (Merk op dat dit nu in feite eencontradictie is, aangezien we ondersteld hebben dat geen enkele echtedeelgroep van G een orde heeft die deelbaar is door pe.)

(ii.b) Beschouw de actie van G op Sylp(G) via toevoeging. Zij X een wille-keurige G-stabiele deelverzameling van Sylp(G). Zij Q ≤ G een wille-keurige deelgroep met als orde een macht van p (dus niet noodzakelijkin X noch in Sylp(G)). Dan werkt Q op de verzameling X via toevoe-ging. De stabilisator van een element P ∈ X onder deze actie is gelijkaan Q∩NG(P ); we zullen hiervoor de notatie NQ(P ) gebruiken8. DoorX op te splitsen in zijn banen onder deze Q-actie krijgen we dan

|X| =∑

P

|PQ| =∑

P

[Q : NQ(P )] , (1.2)

waarbij de som wordt genomen over deze banen (waarbij P dus eenrepresentant van de baan PQ is). Merk op dat elke term [Q : NQ(P )]van het rechterlid een macht van p is.We willen nu de gelijkheid (1.2) modulo p gaan bekijken, en de termen[Q : NQ(P )] die hierin een niet-nul bijdrage leveren, zijn precies diewaarvoor NQ(P ) = Q (en die zijn dus afkomstig van banen PQ = {P}van lengte 1). We moeten dus nagaan wanneer NQ(P ) = Q, met anderewoorden, wanneer P door Q genormaliseerd wordt, of nog, wanneerQ ≤ NG(P ).We willen nu aantonen dat Q ≤ NG(P ) als en slechts als Q ≤ P ; merkop dat de “als”-implicatie triviaal is omdat P ≤ NG(P ). Verondersteldus dat de Sylow p-deelgroep P zodanig is dat Q ≤ NG(P ). Omdat ookP # NG(P ), volgt hieruit dat PQ ≤ NG(P ) ≤ G (zie Lemma 1.6.12).

8Merk op dat dit in feite een veralgemening is van Definitie 1.8.24(iii), die een dergelijkenotatie enkel toeliet voor P ≤ Q, wat hier niet het geval is.

50

Uit Stelling 1.6.16 halen we echter dat |PQ| = |P | · |Q|/|P ∩Q|, hetgeeneen macht van p is. Omdat P een Sylow p-deelgroep is, kan dit enkelals PQ = P , en dus is Q ≤ P .Uit de gelijkheid (1.2) volgt nu dat

|X| ≡ |{P ∈ X | Q ≤ P}| (mod p) . (1.3)

We passen nu de voorgaande formule toe op de keuze X = Sylp(G) enQ ∈ Sylp(G); we weten reeds uit (i) dat een dergelijke Q inderdaadbestaat. Dan krijgen we

|Sylp(G)| ≡ 1 (mod p) ,

wat we moesten bewijzen.

(iii) We kiezen nu X gelijk aan een enkele baan in de werking van G opSylp(G). Neem een R ∈ X ; dan volgt uit de baan-stabilisatorformuledat |X| = [G : NG(R)]. Aangezien R ≤ NG(R) is de index [G : NG(R)]niet deelbaar door p, en dus is |X| ≡ 0 (mod p). Neem nu een Q ∈Sylp(G) willekeurig. Uit de congruentie (1.3) weten we dan dat

|X| ≡ |{P ∈ X | Q ≤ P}| (mod p) ,

en bijgevolg is|{P ∈ X | Q ≤ P}| = 0 . (1.4)

Aangezien zowel Q als de elementen van X Sylow p-deelgroepen zijn, isQ ≤ P als en slechts als Q = P voor alle P ∈ X , en uit (1.4) volgt dusdat Q ∈ X . Aangezien Q ∈ Sylp(G) willekeurig was, besluiten we datX = Sylp(G), en de werking van G op Sylp(G) heeft dus maar een baan(i.e. de werking is transitief). Dus zijn elke twee Sylow p-deelgroepentoevoegd aan elkaar.

(v) Zij P ∈ Sylp(G) willekeurig. Uit (iii) en de baan-stabilisatorformulevolgt nu |G| = |Sylp(G)| · |NG(P )|.

(ii.a) Uit (v) volgt dat np(G) | |G|, maar omdat we uit (ii.b) reeds weten datgcd(np(G), p) = 1, volgt hieruit de sterkere voorwaarde np(G) | |G|/pe.

(iv) Zij Q ≤ G een willekeurige p-deelgroep van G. We passen opnieuw degelijkheid (1.3) toe met X = Sylp(G), en samen met (ii.b) halen wehieruit dat

|{P ∈ Sylp(G) | Q ≤ P}| ≡ |X| ≡ 1 (mod p) ,

zodat{P ∈ Sylp(G) | Q ≤ P} = ∅ ;

dit zegt precies dat Q in minstens een Sylow p-deelgroep bevat is. !

51

Een onmiddellijk gevolg hiervan is dat we Lemma 1.9.2 kunnen uitbreidennaar willekeurige groepen.

Gevolg 1.9.5 (Stelling van Cauchy). Zij G een eindige groep, en p eenpriemdeler van |G|. Dan heeft G een element van orde p.

Bewijs. Uit de stellingen van Sylow weten we dat G een Sylow p-deelgroepP bezit. Neem nu g ∈ P willekeurig met g = 1; dan is o(g) = pk voor eenzekere k ∈ N∗. Maar dan is gp

k−1een element van orde p. !

Een ander zeer nuttig gevolg van de stellingen van Sylow is het volgende.

Gevolg 1.9.6. Zij G een eindige groep en p een priemdeler van |G|, en zijP ∈ Sylp(G). Dan is P #G als en slechts als np(G) = 1.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Stelling 1.9.4(v). !

Dit gevolg kan vaak gebruikt worden om aan te tonen dat een willekeurigegroep met een vooropgegeven orde niet enkelvoudig kan zijn. We geven drievoorbeelden.

Voorbeeld 1.9.7. Beschouw een groep G met |G| = 28 = 22 · 7. Danis n7(G) | 22 en n7(G) ≡ 1 (mod 7); dit kan enkel als n7(G) = 1. UitGevolg 1.9.6 volgt dan dat de unieke Sylow 7-deelgroep een normaaldeler is,en dus is G niet enkelvoudig.

Voor we het volgend voorbeeld geven, vermelden we eerst een nuttiglemma dat we in deze context vaak kunnen gebruiken.

Lemma 1.9.8. Zij G een eindige groep, en p een priemdeler van G metp2 # |G|. Dan zijn er precies np(G) · (p− 1) elementen van orde p in G.

Bewijs. Uit de voorwaarde op p volgt dat de Sylow p-deelgroepen van Gorde p hebben. Als P en Q twee verschillende Sylow p-deelgroepen zijn, dansnijden die bijgevolg triviaal, i.e. P ∩ Q = 1. Dus elk element van orde pvan G zit in precies een Sylow p-deelgroep. Omdat omgekeerd elke Sylowp-deelgroep juist p− 1 elementen van orde p bevat, vinden we np(G) · (p− 1)elementen van orde p in G. !

Voorbeeld 1.9.9. Beschouw een groep G met |G| = 56 = 23 · 7. Dan isn7(G) | 23 en n7(G) ≡ 1 (mod 7); dit kan enkel als n7(G) = 1 of n7(G) = 8.Indien n7(G) = 8, dan volgt uit Lemma 1.9.8 dat er 8 · 6 = 48 elementenvan orde 7 zijn in G. Maar dan zijn er slechts 56 − 48 = 8 elementen meerover. Aangezien G minstens een Sylow 2-deelgroep moet bevatten, en een

52

dergelijke deelgroep 23 = 8 elementen bevat (die allen als orde een macht van2 hebben), volgt hieruit dat er juist een Sylow 2-deelgroep is. Samengevat:er is ofwel juist een Sylow 7-deelgroep, ofwel juist een Sylow 2-deelgroep (ofbeide). Uit Gevolg 1.9.6 volgt dat G niet enkelvoudig kan zijn.

Ons derde voorbeeld gebruikt nog een ander soort redenering. Zoals wehebben gezien werkt G op de verzameling Sylp(G) via toevoeging, en uit destellingen van Sylow weten we dat deze actie transitief is. Als G enkelvoudigis, dan moet deze actie bovendien getrouw zijn, en vaak kan dit om numeriekeredenen niet voldaan zijn.

Voorbeeld 1.9.10. Beschouw een groep G met |G| = 48 = 24 · 3. Dan isn3(G) | 24 en n3(G) ≡ 1 (mod 3); dit kan enkel als n3(G) ∈ {1, 4, 16}. Alsn3(G) = 16, dan kunnen we zoals in het vorige voorbeeld berekenen dat er32 elementen van orde 3 zijn in G; de resterende 16 elementen vormen daneen unieke Sylow 2-deelgroep, dus dan is n2(G) = 1.

We werken nu verder uit het ongerijmde. Veronderstel dus dat G enkel-voudig is; uit de voorgaande beschouwingen zien we dat de enige resterendemogelijkheid het geval n3(G) = 4 is. Omdat de actie van G op Syl3(G) ge-trouw is —de kern van de actie is immers een normaaldeler van G— is decorresponderende permutatierepresentatie ϕ : G → S4 een monomorfisme.Dus moet |im(ϕ)| = |G| een deler zijn van |S4|, en dat geeft ons 48 | (4!).Door deze strijdigheid besluiten we dat G niet enkelvoudig kan zijn.

Opmerking 1.9.11. De mogelijke ordes voor eindige enkelvoudige groepenzijn vrij “dun bezaaid”. Zo heeft de kleinste niet-abelse enkelvoudige groeporde 60, en de tweede kleinste orde 168.

De stellingen van Sylow kunnen ook van pas komen om de structuur teachterhalen van Sylow deelgroepen van een gegeven groep.

Voorbeeld 1.9.12. We willen achterhalen wat de structuur is van een Sylow2-deelgroep van G = S4. We stellen vast dat |G| = 24 = 23 · 3, dus alsP ∈ Syl2(G), dan is |P | = 8.

We kennen echter een groep van orde 8 die getrouw werkt op een ver-zameling van 4 elementen, namelijk de groep H = D8 (in zijn werking opde hoekpunten van een vierkant). Deze werking heeft een corresponderendegetrouwe permutatierepresentatie ϕ : H ↪→ S4, en dus is Q = ϕ(H) eendeelgroep van S4 van orde 8, en dus Q ∈ Syl2(G).

We passen nu de stelling van Sylow toe die ons vertelt dat P en Q toe-gevoegd zijn aan elkaar, en dus in het bijzonder P ∼= Q, want toevoeging iseen automorfisme. We besluiten dat onze willekeurige Sylow 2-deelgroep Pisomorf is met D8.

53

Oefeningen

81. Zij G een eindige groep waarvoor de orde van elk element een macht van een vastpriemgetal p is. Bewijs dat G een p-groep is.

82. Bestaat er een eindige groepG die geen p-groep is, waarvoor de orde van elk elementeen macht van een priemgetal is?

83. Zij G een eindige groep met |G| = p2q, met p, q twee verschillende priemgetallen.Toon aan dat G ofwel een unieke Sylow p-deelgroep bezit, ofwel een unieke Sylowq-deelgroep (of beide); leid hieruit af dat G niet enkelvoudig kan zijn.

84. Zij G een eindige groep, zij N # G, en zij p een priemgetal. Bewijs dat voor elkeP ∈ Sylp(N) geldt dat G = NG(P )N . (Dit is het zogenaamde Frattini argument.)

85. Zij G een enkelvoudige groep met |G| = 168. Tel het aantal elementen van orde 7in G.

86. Bewijs dat er geen enkelvoudige groepen van de orde 40, 200 of 700 zijn.

87. Beschrijf alle Sylow deelgroepen van de groep D2n.

88. Zij G een eindige groep met de eigenschap dat Aut(G) transitief werkt op G \ {1}.Bewijs dat G elementair abels is.

89. Toon aan dat elke groep van orde 84 deelgroepen bezit van index 3, 4 en 6.

90. Zij G een groep met |G| = 280. Toon aan dat G niet enkelvoudig is, en dat het eendeelgroep bezit van de orde 35.

91. Zij p een oneven priemgetal, zij G = S2p, en zij P ∈ Sylp(G). Toon aan datP ∼= Cp ×Cp.

92. Zij G een eindige groep waarin elke Sylow deelgroep een normaaldeler is. Toonaan dat G isomorf is met het directe product van al zijn Sylow deelgroepen. Tooneveneens aan dat er, voor elke deler n van |G|, een deelgroep H ≤ G bestaat met|H | = n.

∗93. Zij G een enkelvoudige groep met |G| = 60. Toon aan dat G isomorf is met A5.

∗94. Zij p > 2 een priemgetal, en zij G een p-groep die slechts een deelgroep van de ordep bezit. Toon aan dat G cyclisch is. Geef een tegenvoorbeeld voor het geval p = 2.

1.10 Groepen van orde ≤ 15

Om de tot dusver opgebouwde theorie uit te proberen, zullen we een classifi-catie trachten te geven van alle groepen van orde kleiner dan of gelijk aan 15.Er is een goede reden om niet verder dan 15 te gaan: er blijken immers, opisomorfisme na, al 14 verschillende groepen van orde 16 te bestaan. (Dit iseen typisch fenomeen voor p-groepen. Zo bestaan er maar liefst 49487365422verschillende groepen van orde 1024 = 210.)

54

De bedoeling is dat je zelf tot deze classificatieresultaten komt, waarbijje geleid wordt door de aangegeven structuur en opgaven die je zal krijgentijdens de les.

Opgave 1. Zij p een priemgetal. Bepaal alle groepen van orde p en p2.

Opgave 2. Zij p een oneven priemgetal. Bepaal alle groepen van orde 2p.Bepaal tevens alle groepen van orde 15.

Opgave 3. Bepaal alle groepen van orde 8.

De voorgaande opgaven geven reeds een classificatie van alle mogelijkegroepen van orde ≤ 15, behalve deze van orde 12.

Opgave 4. Toon aan dat een groep G van orde 12 steeds een element vanorde 6 bevat, behalve als G ∼= A4.

Opgave 5. Bepaal alle groepen van orde 12.

55

Hoofdstuk

2 Ringen

In dit hoofdstuk gaan we dieper in op de structuur van ringen, waarbij weons voornamelijk zullen toeleggen op commutatieve ringen met eenheid. Derol die normaaldelers spelen in de groepentheorie wordt hier overgenomendoor idealen van een ring, en we zullen een aanzienlijk deel van dit hoofdstukbesteden aan de studie hiervan.

Een ander aspect dat de nodige aandacht zal krijgen, is unieke factori-satie. Deze fundamentele eigenschap van de gehele getallen is niet zondermeer geldig in willekeurige ringen, en we zullen dit fenomeen nauwkeurigbestuderen.

2.1 Definitie en voorbeelden

We herhalen eerst de definitie, en geven opnieuw een groot aantal voorbeel-den.

Definitie 2.1.1. Een ring is een verzameling Rmet daarop twee bewerkingen

R× R → R : (s, t) $→ s+ t , (optelling)

R× R → R : (s, t) $→ s · t = st , (vermenigvuldiging)

met een bijzonder element 0 ∈ R en een bijzonder element 1 ∈ R (met nietnoodzakelijk 1 = 0!) met de volgende eigenschappen:

• (R,+) is een abelse groep met neutraal element 0, die we de additievegroep van R noemen;

• de vermenigvuldiging is associatief:

a(bc) = (ab)c voor alle a, b, c ∈ R ;

• de vermenigvuldiging heeft neutraal element 1, i.e.

1 · a = a = a · 1 voor alle a ∈ R ;

61

• de vermenigvuldiging en de optelling hebben de links- en rechtsdistri-butieve eigenschappen:

a(b+ c) = ab+ ac en (a + b)c = ac + bc voor alle a, b, c ∈ R .

Het element 1 ∈ R noemen we de eenheid in R, het eenheidselement van Rof de multiplicatieve identiteit in R. Het element 0 ∈ R heeft geen bijzonderenaam; we verwijzen ernaar als de nul in R.

Opmerking 2.1.2. (i) Sommige auteurs eisen niet dat de vermenigvul-diging een neutraal element 1 ∈ R heeft, en verwijzen dan naar debovenstaande structuren als een ring met eenheid of een ring met 1.In deze cursus zijn ringen altijd met eenheid ondersteld, tenzij expli-ciet anders vermeld. De “ringen zonder eenheid” worden soms rngen1

genoemd.

(ii) De vermenigvuldiging is associatief en heeft een neutraal element, maarde elementen van R zijn niet noodzakelijk inverteerbaar voor deze be-werking. Een dergelijke structuur (R, ·) wordt een monoıde genoemd.

Definitie 2.1.3. (i) Als de vermenigvuldiging commutatief is, d.w.z. als

ab = ba voor alle a, b ∈ R ,

dan noemen we R een commutatieve ring.

(ii) Zij R een ring. Als er voor een gegeven element a ∈ R een elementb ∈ R bestaat zodat ab = 1 = ba, dan noemen we b het invers elementvan a of de inverse van a, en we noteren dit element als b = a−1. Alseen element a ∈ R een inverse heeft, dan noemen we dat element eeneenheid2 in R.De verzameling van alle eenheden in R vormt een groep, die we als R×

noteren, en die we de groep der eenheden in R noemen.

(iii) Als R een ring is zodat R× = R \ {0}, dan noemen we R een lichaam.Soms wordt ook de term delingsring gebruikt, hoewel vele auteurs ditvoorbehouden voor lichamen die eindig-dimensionaal zijn over hun cen-trum.

1Het begrip rng is afkomstig vanuit het Engels: “rings without identity” wordt “ringswithout i” en dus “rng”. Het wordt uitgesproken als het Engelse rung. De term zouafkomstig zijn van Louis Rowen.

2Niet te verwarren met de eenheid in R, hetgeen steeds slaat op het element 1. In hetbijzonder is de eenheid steeds een eenheid.

62

(iv) Een commutatief lichaam noemen we een veld3.

(v) Zij R een willekeurige ring. Een element r ∈ R waarvoor r · s = 0 ofs · r = 0 voor een zeker element s ∈ R \ {0}, noemen we een (linkseresp. rechtse) nuldeler. Een commutatieve ring met 1 zonder nuldelers4

noemen we een integraal domein, integriteitsdomein, integriteitsgebied,of kortweg domein. Soms wordt de term domein ook gebruikt voor wil-lekeurige (niet noodzakelijk commutatieve) ringen met deze eigenschap,en soms eist men niet dat de ring een 1 heeft. Gelukkig blijkt meestalwel uit de context welk van deze conventies de auteur hanteert.

(vi) Zij R een willekeurige ring en zij r ∈ R. We noemen r idempotent alsr2 = r, en we noemen r nilpotent als er een n ∈ N∗ bestaat zodat rn = 0.Merk op dat idempotente en nilpotente elementen altijd nuldelers zijn.Als r idempotent is, dan is ook 1− r idempotent, en r(1− r) = 0.

Voorbeelden 2.1.4. (1) De gehele getallen Z met de gebruikelijke optel-ling en vermenigvuldiging vormen een ring. Het is een commutatievering (met het getal 1 als eenheid). De enige elementen van Z die eeninverse hebben zijn 1 en −1; de groep der eenheden in Z is dus de groep{1,−1} ∼= C2. De ring Z heeft geen nuldelers, het is dus een domein.

(2) De verzameling van de even getallen 2Z vormt een commutatieve ringzonder eenheid. Uiteraard heeft ook deze ring geen nuldelers.

(3) De nulring is de ring die bestaat uit een element. De nulring is een ringmet een eenheidselement, namelijk 1 = 0. Men toont gemakkelijk aandat dit de enige ring is waarvoor 1 = 0. Merk op dat de nulring geenveld is.

(4) Zij m ∈ N∗. De verzameling Z/m van gehele getallen modulo m vormteen commutatieve ring (met als eenheid de restklasse 1 (mod m)); hetis gemakkelijk om na te gaan dat de optelling en de vermenigvuldiginginderdaad goed gedefinieerd zijn. De groep der eenheden van Z/m isprecies de groep (Z/m)× zoals we vroeger gedefinieerd hebben in Voor-beeld 1.1.9(4).Als m een priemgetal is, dan is Z/m een veld; als m geen priemgetalis, dan is Z/m een ring met nuldelers, want als m = ab voor zekere

3Verwarrend genoeg spreekt men in Nederland en vaak ook in Antwerpen over eenlichaam waar wij spreken over een veld, en over een scheef-lichaam waar wij spreken overeen lichaam. Ook in het Engels is de term “field” niet ondubbelzinnig. Vaak gebruikt mende terminologie “commutative field” enerzijds, en “field or skew-field” anderzijds.

4Uiteraard is het element 0 zelf een nuldeler, maar het is zeer gebruikelijk om te sprekenover een ring zonder nuldelers waar we in feite een ring zonder niet-nul nuldelers bedoelen.Sommige auteurs verkiezen ook om het element 0 geen nuldeler te noemen.

63

a, b ∈ N∗ \ {1}, dan vormen de restklassen a (mod m) en b (mod m)twee niet-nul elementen van Z/m waarvan het product 0 is.

(5) We hebben reeds gezien in de cursus “Discrete Wiskunde I” dat eeneindig veld steeds ph elementen heeft voor een zeker priemgetal p en eenzekere h ∈ N∗. Omgekeerd is het zo dat er voor elke priemmacht q = ph

precies een veld (op isomorfisme na) bestaat van orde q; we noteren ditveld als Fq of ook soms als GF(q). In de cursus “Algebra II” zullen wezeer uitgebreid aandacht besteden aan de theorie van de velden, en inhet bijzonder zullen we dit resultaat over eindige velden op een abstracteen elegante manier kunnen bewijzen.

(6) Zij R een commutatieve ring, zij n ∈ N∗, en beschouw de verzamelingMatn(R) van alle (n × n)-matrices over de ring R, met de gebruikelijkeoptelling en vermenigvuldiging. Dan vormt Matn(R) een ring. Als n = 1is deze ring uiteraard isomorf 5 met de ring R zelf. Zodra n ≥ 2, is dering Matn(R) een niet-commutatieve ring met nuldelers. De groep dereenheden in Matn(R) noteren we als GLn(R), en noemen we de algemenelineaire groep van graad n over R. We zullen verderop nog terugkomenop deze ring (zie Definitie 3.3.1 en het vervolg).

(7) Zij (R,+, ·) een commutatieve ring en r ∈ R een idempotent element.Dan is (rR,+, ·) een commutatieve ring met eenheid r.

(8) Zij X een willekeurige verzameling, en beschouw de machtsverzamelingR = P(X) van X , i.e. de verzameling van alle deelverzamelingen van X .Definieer een optelling op R als het symmetrisch verschil, en een verme-nigvuldiging op R als de doorsnede, i.e.

a+ b := a△ b = (a ∪ b) \ (a ∩ b),

a · b := a ∩ b,

voor alle a, b ∈ R. Dan is R een commutatieve ring, met 0R = ∅ en1R = X . Bovendien is elk element van R idempotent; we noemen eendergelijke ring een Booleaanse ring. Ook is elk element van R \ {1} eennuldeler.

(9) Er bestaan ringen met elementen die wel een linkse nuldeler zijn maargeen rechtse nuldeler zijn. Beschouw bijvoorbeeld de ring R met onder-liggende verzameling Z×Z×Z/2, met componentsgewijze optelling, enmet vermenigvuldiging gegeven door

(a, b, s) · (c, d, t) := (ac, bd, at+ sd mod 2)

5We hebben het concept “ringisomorfisme” nog niet formeel ingevoerd, maar het mogeduidelijk zijn wat we bedoelen.

64

voor alle a, b, c, d ∈ Z en s, t ∈ Z/2. (Ga zelf na dit dit inderdaad eenring definieert.) Dan is het element (2, 1, 0) een linkse nuldeler maar geenrechtse nuldeler.

(10) Zij R een commutatieve ring. Een polynoom in x met coefficienten inR is een uitdrukking van de vorm

anxn + · · ·+ a1x+ a0 ,

met alle ai ∈ R. De verzameling van alle polynomen in x met coeffici-enten in R noteren we als R[x]. Het is dikwijls nuttig om een algemeenpolynoom f te noteren als

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · ,

waarbij we dus de coefficientenrij verder aanvullen met nullen; er zijn dusslechts eindig veel van de coefficienten ai verschillend van nul. We defini-eren nu een optelling en vermenigvuldiging op R[x] op de gebruikelijkemanier: stel f(x) = a0+a1x+a2x2+ · · · en g(x) = b0+ b1x+ b2x2+ · · · ,dan stellen we

(f + g)(x) := (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + · · ·

=∑

k

(ak + bk)xk ;

(f · g)(x) := p0 + p1x+ p2x2 + · · · , waarbij

pk = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0 =∑

i+j=k

aibj .

De verzameling R[x] uitgerust met deze twee bewerkingen is zelf opnieuween commutatieve ring. Als R een domein is, dan is ook R[x] een domein.De eenheden in R[x] zijn dan precies de eenheden in R; in het bijzondergeval dat R een veld is, zijn de eenheden dus precies de polynomen vangraad 0.

(11) Zij R een commutatieve ring. Een formele machtreeks in x met coeffici-enten in R is een uitdrukking van de vorm

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · ,

waarbij we nu expliciet toelaten dat er oneindig veel van de coefficientenai verschillend van nul zijn. De verzameling van alle formele macht-reeksen in x met coefficienten in R noteren we als R[[x]]. We definierenopnieuw een optelling en vermenigvuldiging op R[[x]] op de gebruikelijke

65

manier; de verzameling R[[x]] uitgerust met deze twee bewerkingen is danopnieuw een commutatieve ring. Als R een domein is, dan is ook R[[x]]een domein. Er zijn veel meer eenheden in R[[x]] dan in R[x]: een elementf(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · ∈ R[[x]] is een eenheid als en slechts als a0een eenheid is in R.

(12) We kunnen beide voorgaande voorbeelden uitbreiden door ook een ein-dig aantal negatieve machten van x toe te laten. Een Laurent polynoomin x met coefficienten in R is een uitdrukking van de vorm

f(x) =M∑

k=N

akxk

voor zekere N,M ∈ Z, en de verzameling van alle Laurent polynomenvormt opnieuw een ring, die we noteren als R[x, x−1]. Een formele Lau-rent reeks in x met coefficienten in R is een uitdrukking van de vorm

f(x) =∞∑

k=N

akxk

voor zekere N ∈ Z, en de verzameling van alle formele Laurent reeksenvormt opnieuw een ring, die we noteren als R((x)). Indien R een veld is,dan is ook R((x)) een veld.

(13) Polynomen zijn van fundamenteel belang in de ringtheorie, en het isnoodzakelijk om ook polynomen in meerdere variabelen te beschouwen.Mits de juiste notatie is er geen fundamenteel verschil met polynomen ineen variabele.Veronderstel dus dat x1, . . . , xn variabelen zijn. Een monoom is een for-meel product van deze variabelen, van de vorm xα1

1 · · ·xαnn , waarbij de

exponenten αi gehele getallen ≥ 0 zijn. Het n-tupel α := (α1, . . . ,αn)noemen we een multi-index, en we noteren een algemeen monoom als

xα := xα11 · · ·xαn

n .

Het monoom x0 = x01 · · ·x0

n noteren we als 1. Een polynoom in de variabe-len x1, . . . , xn met coefficienten in R is dan een eindige lineaire combinatievan monomen, met coefficienten in R, en kunnen we dus kort noteren als

f(x) = f(x1, . . . , xn) =∑

α

aαxα ,

waarbij α over alle multi-indices loopt, en waarbij slechts eindig veel aα’sverschillend zijn van nul.

66

De optelling en vermenigvuldiging van polynomen in meerdere variabelenwordt gegeven door precies dezelfde formules als bij een variabele, maarwaarbij de sommaties nu lopen over multi-indices:

(f + g)(x) :=∑

α

(aα + bα)xα ;

(f · g)(x) :=∑

γ

(∑

α+β=γ

aαbβ

)

xγ .

De verzameling van alle polynomen over R in de variabelen x1, . . . , xn

noteren we als R[x1, . . . , xn], of ook soms kort als R[x]; uitgerust met bo-venstaande optelling en vermenigvuldiging vormt deze verzameling op-nieuw een commutatieve ring.Op analoge wijze kunnen we ook de ring R[[x1, . . . , xn]] van formele macht-reeksen in meerdere variabelen definieren. (Werk zelf de details uit.)

(14) We geven een voorbeeld van een lichaam dat geen veld is. We vertrekkenvan het veld C der complexe getallen, en we beschouwen de verzameling

H := {(a, b) | a, b ∈ C} ,

uitgerust met de bewerkingen

(a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d) ,

(a, b) · (c, d) := (ac− bd, ad+ bc) ,

waarbij d staat voor de complex toegevoegde van d. Men gaat gemak-kelijk na dat H een ring is, met 0 = (0, 0) en 1 = (1, 0) (doe dit zelf alsoefening). Bovendien is elk niet-nul element (a, b) ∈ H een eenheid; wehebben

(a, b)−1 =

(a

aa + bb,

−b

aa+ bb

)

.

(Merk op dat de noemers aa + bb nooit nul zijn.) Dit bewijst dat H eenlichaam is. Anderzijds is H geen veld, omdat bijvoorbeeld (i, 0) en (0, 1)niet commuteren. We noemen H het lichaam van de reele quaternionen.

We tonen nu enkele elementaire eigenschappen aan voor willekeurige rin-gen. Geen van deze eigenschappen is verrassend, maar toch vraagt het watnauwkeurigheid om ze uit de definierende eigenschappen af te leiden.

Lemma 2.1.5. Zij R een ring.

(i) Het element 1 ∈ R is het unieke element van R dat voldoet aan 1 · r =r = r · 1 voor alle r ∈ R.

67

(ii) Het element 0 ∈ R voldoet aan 0·r = 0 = r·0 voor alle r ∈ R; bovendienis het het unieke element van R dat hieraan voldoet voor alle r ∈ R.

(iii) Zij −1 de additieve inverse van 1. Dan geldt voor elke r ∈ R dat(−1) · r = −r = r · (−1), waarbij −r zoals gewoonlijk de additieveinverse van r is.

(iv) Voor alle x, y ∈ R geldt (−x) · (−y) = xy.

Bewijs. Oefening. !

In willekeurige ringen hebben we geen schrappingswet voor de vermenig-vuldiging. In domeinen geldt dit wel, en we zullen dit later vaak gebruiken:

Lemma 2.1.6. Zij R een domein, en zij a, b, c ∈ R. Als ab = ac en a = 0,dan is b = c.

Bewijs. Uit ab = ac volgt dat a(b − c) = 0. Aangezien a = 0 en R geennuldelers heeft, besluiten we dat b− c = 0 en dus b = c. !

Oefeningen

95. Zij R een commutatieve ring, en zij r ∈ R een nilpotent element. Toon aan dat1 + r een eenheid is in R.

96. Geef een voorbeeld van een geheel getal n zodat Z/n ten minste 4 verschillendeidempotente elementen heeft.

97. Beschouw het lichaam H der reele quaternionen, en beschouw de elementen

1 := (1, 0) , i := (i, 0) , j := (0, 1) , k := (0, i) ,

−1 := (−1, 0) , −i := (−i, 0) , −j := (0,−1) , −k := (0,−i) .

Toon aan dat deze acht elementen, met de vermenigvuldiging in H als groepsbe-werking, precies de quaternionengroep Q8 vormen.

98. Zij n ≥ 1 een geheel getal. Stel a := eiπ/n = cosπ/n + i sinπ/n ∈ H, en definieerde dicyclische groep van orde 4n als de deelgroep

Dic4n := ⟨a, j⟩ ≤ H×.

Toon aan dat Dic4n inderdaad een groep is van orde 4n, die niet-abels is zodran ≥ 2. Toon verder aan dat Dic4 ∼= C4, dat Dic8 ∼= Q8, en dat Dic12 ∼= T,waarbij T de groep is die werd ingevoerd in Definitie ??.

68

2.2 Ringmorfismen

Net zoals groepsmorfismen een belangrijke rol spelen in de groepentheorie,zo spelen ringmorfismen een belangrijke rol in de ringtheorie.

Definitie 2.2.1. Zij R, S twee ringen. Een afbeelding

θ : R → S

is een morfisme (ook homomorfisme of ringmorfisme genoemd) als θ de ring-structuur bewaart, in de zin dat

θ(r + r′) = θ(r) + θ(r′), θ(rr′) = θ(r)θ(r′) en θ(1R) = 1S

voor alle r, r′ ∈ R. We noemen θ een epimorfisme als het surjectief is, eenmonomorfisme als het injectief is, en een isomorfisme als het bijectief is. Deinverse afbeelding van een isomorfisme is ook zelf weer een morfisme (en duseen isomorfisme).

Als θ een morfisme is van R naar S, dan definieren we de kern van θ als

ker(θ) := {r ∈ R | θ(r) = 0} ,

en het beeld van θ als

im(θ) := {θ(r) | r ∈ R} .

Opmerking 2.2.2. (i) In tegenstelling tot de schrijfwijze die we bij groe-pen hebben gebruikt, zullen we ringmorfismen meestal functioneel no-teren (en dus niet exponentieel).

(ii) Merk op dat een ringmorfisme θ : R → S een groepsmorfisme induceerttussen de onderliggende additieve groepen, θ+ : (R,+) → (S,+). In hetbijzonder is steeds θ(0R) = 0S. Merk ook op dat ker(θ) = ker(θ+) enim(θ) = im(θ+) (als verzameling).

(iii) We kunnen ook rngmorfismen definieren, die enkel de bewerkingen +en · bewaren, maar niet noodzakelijk de eenheid bewaren. Ook als deringen R en S zelf een eenheid hebben, kunnen er rngmorfismen bestaandie geen ringmorfismen zijn.Beschouw bijvoorbeeld R = Q en S = Mat2(Q), en stel

θ : R → S : x $→(

x 00 0

)

.

Dan is θ een rngmorfisme, maar θ(1) is niet gelijk aan het eenheidsele-ment van Mat2(Q), dat ( 1 0

0 1 ) is.

69

Voorbeelden 2.2.3. (1) Zij R een willekeurige ring. Dan is er een uniekringmorfisme θ : Z → R. Meer bepaald is

θ(x) :=

⎧

⎪⎨

⎪⎩

0 als x = 0 ;

1R + · · ·+ 1R (x keer) als x > 0 ;

−1R − · · ·− 1R (|x| keer) als x < 0 .

Men gaat eenvoudig na dat dit inderdaad een morfisme is. De uniciteitis ook duidelijk, want Z wordt als ring voortgebracht door het element1 ∈ Z, en dus ligt een ringmorfisme van Z naar een andere ring volledigvast van zodra het beeld van het element 1 ∈ Z vast ligt; maar θ(1) = 1R.

(2) Zij m ∈ N∗, en stel R = Z/m in het vorige voorbeeld. Het corresponde-rend ringmorfisme

θ : Z → Z/m

beeldt elk element x ∈ Z af op zijn restklasse modulo m. We noemen ditmorfisme de restrictie modulo m. Het is gebruikelijk om het beeld vaneen element x ∈ Z onder dit morfisme te noteren als x indien het getalm duidelijk is uit de context.

Een interessante klasse van morfismen zijn de substitutiemorfismen, diegegeven worden door de volgende stelling.

Stelling 2.2.4 (Substitutieprincipe). Zij R, S twee commutatieve ringen meteenheid, en zij θ : R → S een ringmorfisme.

(i) Gegeven is een element s ∈ S. Dan is er een uniek ringmorfismeΦ : R[x] → S, dat samenvalt met θ op de constante polynomen (i.e.op R ⊆ R[x]), en dat x op s afbeeldt.

(ii) Gegeven zijn elementen s1, . . . , sn ∈ S. Dan is er een uniek ringmor-fisme Φ : R[x1, . . . , xn] → S, dat samenvalt met θ op de constante poly-nomen, en dat elke xk op de overeenkomstige sk afbeeldt.

Bewijs. We hoeven enkel (i) te bewijzen; het bewijs van (ii) volgt dan perinductie op n.

Zij dus s ∈ S willekeurig, en definieer de afbeelding

ϕ : R[x] → S :∑

i

rixi $→

∑

i

θ(ri)si .

Merk op dat ϕ(x) = s omdat θ(1) = 1. We gaan na dat ϕ een ringmorfismeis; het is duidelijk dat het de optelling bewaart en de 1 bewaart. Stel nuf, g ∈ R[x] willekeurig, en schrijf f =

∑

i aixi en g =

∑

j bjxj . Dan is

70

ϕ(fg) = ϕ(∑

aibjxi+j

)

=∑

ϕ(

aibjxi+j

)

=∑

θ(aibj)si+j

=∑

θ(ai)θ(bj)si+j =

(∑

i

θ(ai)si)(∑

j

θ(bj)sj)

= ϕ(f)ϕ(g) .

Dit toont aan dat ϕ inderdaad een ringmorfisme is, en het voldoet aan degestelde eigenschappen.

Anderzijds is het duidelijk dat dit het enige morfisme kan zijn dat hieraanvoldoet, omdat de ring R[x] als ring wordt voortgebracht door R ⊂ R[x] enhet element x ∈ R[x]. !

Voorbeelden 2.2.5. (1) Een interessant bijzonder geval is wanneer we ver-trekken van het identiteitsmorfisme θ : R → R : r $→ r. Kies dus eens ∈ R willekeurig; dan is het corresponderend substitutiemorfisme gege-ven door

Φ : R[x] → R : f(x) $→ f(s).

We noemen het in dit geval ook wel een evaluatiemorfisme, en het wordtsoms genoteerd als Φ = evals.

(2) Beschouw nu een willekeurig ringmorfisme ϕ : R → S, en beschouw hetgeınduceerd morfisme θ : R → S[x] met θ = inc◦ϕ, waarbij inc de inclusieis van S in S[x]. Kies nu s = x ∈ S[x]. Dan is het corresponderendsubstitutiemorfisme gegeven door

Φ : R[x] → S[x] : a0 + a1x+ · · ·+ akxk

$→ ϕ(a0) + ϕ(a1)x+ · · ·+ ϕ(ak)xk.

(3) We passen nu voorgaand voorbeeld toe op het morfisme ϕ : Z → Z/muit Voorbeeld 2.2.3(2). Dan is het corresponderend substitutiemorfismegegeven door

Φ : Z[x] → (Z/m)[x] : a0 + a1x+ · · ·+ akxk $→ a0 + a1x+ · · ·+ akx

k.

Als f ∈ Z[x], dan noteren we Φ(f) ook als f , en we noemen dit derestrictie van f modulo m.

Oefeningen

99. Beschouw twee ringen R en S, en zij θ : R → S een rngmorfisme. Toon aan datθ(1R) een idempotent element in S is.

100. (a) Beschouw de afbeelding α : R[x, y] → R die f(x, y) afbeeldt op f(0, 0). Toonaan dat α een morfisme is, en bepaal ker(α).

71

(b) Beschouw de afbeelding β : R[x] → C die f(x) afbeeldt op f(1+√2). Toon aan

dat β een morfisme is, en bepaal ker(β).

101. Zij p een priemgetal en R = (Z/p)[x]. Beschouw de afbeelding ϕ : R → R : f $→ fp.Toon aan dat ϕ een morfisme is. (Dit morfisme wordt het Frobenius-morfisme van Rgenoemd.)

102. Zij R een ring, en zij f(y) ∈ R[y]. Toon aan dat de afbeelding θ : R[x, y] → R[x, y]gedefinieerd door θ(x) = x+ f(y) en θ(y) = y, een automorfisme is van R[x, y].

2.3 Idealen

We zullen vanaf nu enkel werken met commutatieve ringen. Heel wat vande begrippen die we zullen invoeren, kunnen ook gedefinieerd worden voorwillekeurige ringen, maar vaak met bijkomende specificaties (bv. linkszijdige,rechtszijdige en tweezijdige idealen); ook heel wat van de resultaten die wezullen aantonen zijn niet langer geldig voor niet-commutatieve ringen.

Vanaf nu zullen we kortweg spreken van een “ring” wanneer weeen commutatieve ring (met eenheid) bedoelen.

Definitie 2.3.1. Zij R een ring.

(1) Een deelring van R is een additieve deelgroep S van R die tevens geslotenis onder de vermenigvuldiging van R, en die het element 1 ∈ R bevat.

(2) Een ideaal in R is een additieve deelgroep I van R zodanig dat aR ⊆ Ivoor alle a ∈ I. We noteren dit als I #R.

Zoals de notatie al doet uitschijnen, zullen idealen in een ring een ver-gelijkbare rol spelen als normaaldelers in een groep, hoewel het behoorlijkverschillende noties zijn.

Voorbeelden 2.3.2. (1) De ring Z is een deelring van Q, en is ook eendeelring van Z[x].

(2) In elke ring R zijn I = {0} en I = R idealen. Een ideaal I wordtecht of eigenlijk genoemd als I = R. (Sommige auteurs veronderstellenbovendien dat I = {0}, maar dit is niet zo gebruikelijk.) Het ideaalI = {0} noemen we het triviaal ideaal of het nulideaal, en we noterenhet gemakshalve vaak als I = 0.

(3) Zij R = Z, en m ∈ N. Dan is I = mZ een ideaal in R.

72

(4) Zij K een veld, en R = K[x]. Beschouw een vast polynoom f ∈ R,en stel I gelijk aan de verzameling van alle polynomen die deelbaar zijndoor f . Dan is I een ideaal in R.

(5) Zij R = Z[x] en stel I gelijk aan de verzameling van alle polynomenwaarvan de constante term even is. Dan is I een ideaal in R.

Lemma 2.3.3. Zij R een ring en I # R. Als I een eenheid bevat, dan isI = R. In het bijzonder bevat een veld geen echte niet-nul idealen.

Bewijs. Zij u ∈ I een eenheid. Voor een willekeurige r ∈ R hebben we nur = u · (u−1r) ∈ uR ⊆ I. Dus R = I. !

Definitie 2.3.4. Als I en J twee idealen zijn van een ring R, dan definierenwe de som van I en J als

I + J := {x+ y | x ∈ I, y ∈ J} ,

en het product van I en J als

I · J := IJ :={ N∑

i=1

xiyi | xi ∈ I, yi ∈ J,N ∈ N∗}

.

Merk op dat deze definitie verschilt van de definitie van het product vandeelverzamelingen van groepen (zie Notatie 1.2.11).

Lemma 2.3.5. Zij I en J twee idealen in een ring R. Dan is I + J # R,I ∩ J #R, en IJ # R. Bovendien geldt steeds IJ ⊆ I ∩ J .

Bewijs. Het is duidelijk dat zowel I + J , I ∩ J als IJ opnieuw additievedeelgroepen zijn van R. (Voor IJ is het feit dat we sommen van productenvan elementen van I en J nemen, essentieel.)

Beschouw nu een willekeurig element x+ y ∈ I + J , met x ∈ I en y ∈ J .Dan geldt voor elke r ∈ R dat (x+y)r = xr+yr ∈ I+J , en dus is I+J#R.

Vervolgens beschouwen we een willekeurig element a =∑

i xiyi ∈ IJ , metelke xi ∈ I en elke yi ∈ J . Dan geldt voor elke r ∈ R dat

ar =∑

ixi(yir) =

∑

ixiy

′i

met y′i = yir ∈ J , en dus ar ∈ IJ . Bijgevolg is IJ #R.Beschouw ten slotte een willekeurig element x ∈ I∩J ; dan geldt voor elke

r ∈ R dat xr ∈ I omdat I # R en xr ∈ J omdat J # R, en dus xr ∈ I ∩ J ;bijgevolg is I ∩ J # R.

Om de laatste uitspraak te bewijzen, volstaat het om te bewijzen datxy ∈ I ∩ J voor alle x ∈ I en alle y ∈ J . Dit volgt echter onmiddellijk uitxy ∈ xR ⊆ I en xy ∈ yR ⊆ J . !

73

Opmerking 2.3.6. Voorgaand lemma verklaart ook de op het eerste gezichteigenaardige definitie van het product van idealen in een ring. Als I en Jtwee idealen zijn, dan is de verzameling {xy | x ∈ I, y ∈ J} in het algemeengeen ideaal; zie Oefening 110.

Definitie 2.3.7. (i) Zij R een ring, en a1, . . . , ak ∈ R. Het kleinste ideaalin R dat de elementen a1, . . . , ak bevat, noemen we het ideaal voortge-bracht door a1, . . . , ak, en noteren we als I = (a1, . . . , ak), of ook somsals I = ⟨a1, . . . , ak⟩.

(ii) Een ideaal I = (a) voortgebracht door een element a ∈ R noemen weeen hoofdideaal, of meer bepaald het hoofdideaal voortgebracht door a.

Het ideaal voortgebracht door een aantal elementen is gemakkelijk expli-ciet te omschrijven, zoals zal blijken uit het volgend lemma. Dit wil echternog niet zeggen dat het ook gemakkelijk te bepalen is: zo is het (in eenprecieze wiskundige zin) al een heel moeilijk probleem om te bepalen of eenideaal I = (a1, . . . , ak) gelijk is aan de volledige ring R! Dit soort van pro-bleemstellingen maken deel uit van de computeralgebra6, en vallen buiten hetraam van deze cursus.

Lemma 2.3.8. Zij R een ring, en a1, . . . , ak ∈ R. Dan is

(a1, . . . , ak) = a1R + · · ·+ akR = {a1r1 + · · ·+ akrk | r1, . . . , rk ∈ R} .

Bewijs. Stel J = a1R + · · · + akR. Het is duidelijk dat J een additievedeelgroep van (R,+) is die de gegeven elementen a1, . . . , ak bevat. Bovendienis J een ideaal van R, want stel j = a1r1 + · · ·+ akrk en r ∈ R willekeurig,dan is jr = a1(r1r) + · · ·+ ak(rkr) ∈ J .

Zij nu I een willekeurig ideaal van R dat a1, . . . , ak bevat. Per definitiemoet dan aiR ⊆ I voor elke i, en omdat I een additieve deelgroep is volgthieruit dat J ⊆ I. Dus J is het kleinste ideaal van R dat a1, . . . , ak bevat. !

Oefeningen

103. Zij R een ring, en a, a1, . . . , an, b, b1, . . . , bm ∈ R. Toon aan dat (a)(b) = (ab). Toonvervolgens aan dat algemener geldt dat

(a1, . . . , an)(b1, . . . , bm) =(

aibj | i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . ,m})

.

104. Het nilradicaal N van een ring R is de verzameling van nilpotente elementen van R.Bewijs dat N een ideaal is in R. Bepaal het nilradicaal van de ring Z/n.

6Voor polynomenringen spelen zogenaamde Grobner basissen een fundamentele rol indit soort probleemstellingen.

74

105. Beschouw de ring R = Z[x] en de idealen I = (x, 2) en J = (x, 3). Toon aan dat deverzameling {xy | x ∈ I, y ∈ J} geen ideaal is in R.

106. Zij R een ring, en I, J, J ′ idealen in R. Is I(J + J ′) = IJ + IJ ′?

2.4 Hoofdideaaldomeinen en Euclidische do-

meinen

Definitie 2.4.1. Een domein waarin elk ideaal een hoofdideaal is, noemenwe een hoofdideaaldomein, of kortweg een PID (van het Engelse “principalideal domain”).

Een belangrijke klasse van PID’s zijn de zogenaamde Euclidische domei-nen, dit zijn domeinen waarin we beschikken over het delingsalgoritme vanEuclides:

Definitie 2.4.2. Een domein R wordt een Euclidisch domein genoemd, alser een functie

d : R \ {0} → N

bestaat (die we de Euclidische functie vanR noemen), zodat voor alle a, b ∈ Rmet a = 0 er elementen q, r ∈ R bestaan zodat

b = aq + r , en ofwel r = 0 ofwel d(r) < d(a) .

We eisen niet dat q en r uniek bepaald zijn door a en b.

We geven zo dadelijk een aantal voorbeelden van Euclidische domeinen,maar eerst tonen we aan dat dit inderdaad PID’s zijn.

Stelling 2.4.3. Elk Euclidisch domein is een hoofdideaaldomein.

Bewijs. Zij R een Euclidisch domein met Euclidische functie d, en zij I # Reen willekeurig ideaal met I = 0. Kies een element a ∈ I met a = 0 waarvoord(a) minimaal is; we beweren dat I = (a). Zij namelijk b ∈ I willekeurig.Omdat R Euclidisch is, kunnen we b = aq + r schrijven, met ofwel r = 0,ofwel d(r) < d(a); merk op dat r = b − aq ∈ I. Uit de minimaliteit vand(a) volgt dat de laatste mogelijkheid d(r) < d(a) niet kan, dus is r = 0, enbijgevolg b = aq; hieruit volgt b ∈ (a), en dus is I ⊆ (a). Uiteraard is ook(a) ⊆ I omdat a ∈ I, en dus volgt dat I gelijk is aan het hoofdideaal (a). !

We geven nu enkele voorbeelden van Euclidische domeinen.

75

Voorbeelden 2.4.4. (1) De ring Z is een Euclidisch domein, met Euclidi-sche functie

d : Z \ {0} → N : a $→ |a| .

(2) Zij K een willekeurig veld. De polynomenring K[x] is een Euclidischdomein, met Euclidische functie

d : K[x] \ {0} → N : f $→ deg(f) .

(3) We beschouwen de ring van gehelen van Gauss

Z[i] := {a+ bi | a, b ∈ Z} ⊂ C .

(Merk op dat dit een rooster is in het complexe vlak. Als abelse groepis dit precies de deelgroep van (C,+) voortgebracht door de elementen1 en i.)Het veld C der complexe getallen is voorzien van een normafbeelding,gegeven door

N : C → R≥0 : z = a+ bi $→ zz = (a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 .

Merk op dat N multiplicatief is, i.e. voor alle x, y ∈ C geldt N(xy) =N(x)N(y). Stel nu d gelijk aan de restrictie van N tot Z[i], dus

d : Z[i] \ {0} → N : a + bi $→ a2 + b2 . (2.1)

Stelling 2.4.5. De ring Z[i] van gehelen van Gauss is een Euclidisch domein,met Euclidische functie gegeven door (2.1).

Bewijs. Beschouw x = a + bi ∈ Z[i] \ {0}, en y = c + di ∈ Z[i]. Stelz = y/x = s+ ti met s, t ∈ R (waarbij we gewoon de deling in C uitvoeren).Stel nu q = m + ni gelijk aan het element van Z[i] dat het dichtst bij z ligtin het complexe vlak. (Als er meerdere dichtst gelegen punten zijn, kiezenwe er willekeurig een van.) Dan is z− q = (s−m) + (t− n)i, en zowel s−mals t− n zijn reele getallen gelegen tussen −1/2 en 1/2. Hieruit volgt

N(y − xq) = N(x)N(z − q) ≤ N(x)(

(1/2)2 + (1/2)2)

= N(x)/2 < N(x) .

Dit toont aan dat N een Euclidische functie is voor Z[i]. !

Opmerking 2.4.6. Het is interessant om deze situatie te visualiseren in hetcomplexe vlak. We vertrekken van de elementen van Z[i] die een vierkantrooster vormen. Het element x = a + bi definieert een hoofdideaal I = (x),en de elementen van I vormen zelf opnieuw een rooster dat gelijkvormig is

76

met het oorspronkelijke rooster Z[i]. Inderdaad, als we x = reiθ schrijven,dan verkijgen we de elementen van (x) door het oorspronkelijke rooster teroteren over een hoek θ en vervolgens uit te rekken met de factor r = |x|.

Figuur 2.1: Het rooster Z[i] en het ideaal I = (2 + i)

Aangezien het nieuwe rooster nu een vierkant rooster is met zijdelengte |x|,is er voor elk punt in het complexe vlak minstens een punt van dat roosterdat op afstand ≤

√2/2 · |x| ligt. Dat punt is precies het element xq uit het

voorgaand bewijs; we zien nu ook meetkundig dat

N(y − xq) = dist(y, xq)2 ≤ 1/2 · |x|2 = N(x)/2 .

Voorbeeld 2.4.7. (1) Niet elk hoofdideaaldomein is een Euclidisch domein.

Een voorbeeld wordt gegeven door de ring Z[1+

√−192

]

. (Het vergt behoor-lijk wat werk om dit te bewijzen.)

(2) Niet elk domein is een hoofdideaaldomein. Een voorbeeld is Z[x], waarinhet ideaal (2, x) geen hoofdideaal is. Merk op dat ditzelfde ideaal (2, x)wel een hoofdideaal is in de ring Q[x] (het is namelijk gelijk aan Q[x]zelf, omdat 2 inverteerbaar is).Een ander voorbeeld is de polynomenring K[x, y] in twee veranderlijkenover een veld K, waarin het ideaal (x, y) geen hoofdideaal is.Een derde voorbeeld is de ring Z[

√−5], waar het ideaal (2, 1 +

√−5)

geen hoofdideaal is.

(3) Voor sommige domeinen is het erg moeilijk om na te gaan of ze al danniet Euclidisch zijn. Zo werd bijvoorbeeld pas in 2004 bewezen doorM. Harper dat Z[

√14] een Euclidisch domein is.

Het belang van hoofdideaaldomeinen zal nog blijken uit het vervolg. Zozullen we bijvoorbeeld zien dat we in een hoofdideaaldomein steeds uniekefactorisatie van elementen hebben (Stelling 2.7.24).

77

Oefeningen

107. Toon aan dat de ringen Z[

e2πi/3]

en Z[√

−2]

Euclidische domeinen zijn.

108. Zij a, b ∈ Z, en veronderstel dat a | b in Z[i]. Toon aan dat dan a | b in Z.

109. Zij R een PID. Toon aan dat er voor elk paar elementen a, b ∈ R, niet beide nul,een element d bestaat met de volgende eigenschappen:

(i) d = ar + bs voor zekere r, s ∈ R;

(ii) d | a en d | b;

(iii) als e ∈ R zodat e | a en e | b, dan ook e | d.

Een dergelijk element d noemen we een grootste gemene deler van a en b; toon aandat het uniek bepaald is op een eenheid na. (We zullen verderop de grootste gemenedeler invoeren in een grotere klasse ringen; zie Definitie 2.7.21.)

110. Zoek de grootste gemene deler van (11 + 7i, 18− i) in Z[i].

2.5 Quotientringen

Net zoals we uit een groep en een normaaldeler een nieuwe groep kunnenconstrueren, zo kunnen we ook uit een ring en een ideaal een nieuwe ringconstrueren.

Definitie 2.5.1. Zij R een ring en I #R een ideaal. Een nevenklasse van Idefinieren we als een nevenklasse van I gezien als deelgroep van (R,+); hetis dus een deelverzameling van R van de vorm r + I = {r + a | a ∈ I} vooreen zekere r ∈ R.

De quotientring R/I definieren we als de verzameling van alle nevenklas-sen van I, met daarop een optelling en een vermenigvuldiging gegeven door

(r + I) + (s+ I) := (r + s) + I ,

(r + I) · (s+ I) := rs+ I .

Het nul-element van R/I is de triviale nevenklasse 0 + I, en het eenheidsele-ment is 1 + I.

Lemma 2.5.2. Zij R een ring en I#R een ideaal. Dan is R/I zoals hierbovengedefinieerd, een (commutatieve) ring.

Bewijs. Oefening. Vergeet niet aan te tonen dat de bewerkingen goed gede-finieerd zijn. !

78

Net zoals bij groepen hebben we ook hier een natuurlijke projectie-afbeel-ding.

Lemma 2.5.3. Zij R een ring en I #R een ideaal. De afbeelding

π : R → R/I : r $→ r + I

is een surjectief ringmorfisme. De kern van dit morfisme is precies I.

Bewijs. Oefening. !

Ook voor ringen geldt de eerste isomorfiestelling.

Stelling 2.5.4 (Eerste isomorfiestelling). Zij R, S twee ringen, en θ : R → Seen ringmorfisme. Dan is ker(θ)# R, en

im(θ) ∼= R/ ker(θ) .

Bewijs. Het ringmorfisme θ induceert een groepsmorfisme θ+ van (R,+) naar(S,+), en ker(θ+) = ker(θ). We weten dus reeds dat ker(θ) een deelgroepvan R is. De kern ker(θ) is ook een ideaal, want als r ∈ R en a ∈ ker(θ), danis θ(ar) = θ(a)θ(r) = 0, en dus is ook ar ∈ ker(θ). We besluiten reeds datker(θ) # R, en uit de eerste isomorfiestelling voor groepen weten we dat ereen groepsisomorfisme

α : R/ ker(θ) → im(θ) : r + ker(θ) $→ θ(r)

is. We moeten enkel nog aantonen dat α ook een ringmorfisme is. Ditvolgt echter onmiddellijk uit de definitie van α samen met het feit dat θ eenringmorfisme is. !

Opmerking 2.5.5. Net zoals voor groepen kunnen we ook voor ringende eerste isomorfiestelling interpreteren als de uitspraak dat elk morfismeθ : R → S een decompositie heeft in een projectie (= canonieke surjectie),een isomorfisme, en een inclusie (= canonieke injectie):

R " R/ ker(θ)∼−→ im(θ) ↪→ S.

Gevolg 2.5.6. Zij R een ring. Dan geldt:

I #R ⇐⇒[

I is de kern van een ringmorfismevertrekkend uit R

S is een quotient van R ⇐⇒[

S is het beeld van een ringmorfismevertrekkend uit R

79

Bewijs. Volledig analoog aan het bewijs van Gevolg 1.6.10. !

Voorbeeld 2.5.7. Zij R een ring. We beweren dat R[x]/(x) ∼= R. Be-schouw daartoe het evaluatiemorfisme Φ = eval0 : R[x] → R : f(x) $→ f(0);zie Voorbeeld 2.2.5(1). Dit morfisme is uiteraard surjectief, en de kern van ditmorfisme bestaat precies uit de veeltermen f(x) ∈ R[x] waarvoor f(0) = 0,i.e. de veeltermen zonder constante term. Bijgevolg is ker(Φ) = (x), en uitde eerste isomorfiestelling volgt nu dat inderdaad R[x]/(x) ∼= R.

Op analoge wijze volgt dat R[x]/(x+ a) ∼= R voor elke a ∈ R.

Oefeningen

111. Toon aan dat de ring Z[i]/(1 + 3i) isomorf is met de ring Z/10.

112. Bepaal de structuur van de ring Z[x]/(x2 + 3, p), voor de keuzes p = 3 en p = 5.

113. Zij R een ring en I, J twee idealen in R. Zij r ∈ I ∩ J , en beschouw het elementr + IJ ∈ R/IJ . Toon aan dat dit element nilpotent is.

2.6 Maximale idealen en priemidealen

We zullen nu zien hoe we velden kunnen maken door een ring uit te delennaar een maximaal ideaal, en domeinen door een ring uit te delen naar eenpriemideaal. Deze constructies zijn van zeer groot belang in de commutatievealgebra.

Definitie 2.6.1. Zij R een ring en M # R een ideaal. We noemen M eenmaximaal ideaal als M = R, en als voor elk ideaal I # R met M ⊆ I geldtdat I = R of I = M .

Stelling 2.6.2. Zij R een ring en I #R een ideaal. Dan is R/I een veld alsen slechts als I een maximaal ideaal is.

Bewijs. Veronderstel eerst dat I een maximaal ideaal is. Zij a + I een wil-lekeurig niet-nul element van R/I; dan is a ∈ I. Beschouw nu het ideaalaR+ I; omdat I maximaal is moet aR+ I = R. In het bijzonder bestaan ereen r ∈ R en een x ∈ I zodat ar + x = 1, en dus is ar + I = 1 + I, of nog,(a + I)(r + I) = 1 + I. Dit toont aan dat a + I een inverteerbaar elementvan R/I is; bijgevolg is R/I een veld.

Veronderstel nu omgekeerd dat R/I een veld is; uiteraard is dan I = R.Veronderstel dat I niet maximaal is, en beschouw een ideaal J # R metI $ J $ R. Neem a ∈ J \ I willekeurig. Dan is a+ I niet het nulelement vanR/I, en dus is het inverteerbaar, stel met inverse b+I. Uit (a+I)(b+I) = 1+I

80

volgt dan 1 ∈ ab+I, en dus ook 1 ∈ aR+I. Dus is aR+I een ideaal dat eeneenheid bevat, en bijgevolg aR + I = R. Dit is echter strijdig met het feitdat zowel a als I bevat zijn in J . We besluiten dat I een maximaal ideaalmoet zijn. !

Gevolg 2.6.3. Zij R een ring. Dan is (0) een maximaal ideaal als en slechtsals R een veld is.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Stelling 2.6.2 met I = (0). !

Voorbeelden 2.6.4. (1) Beschouw de ring R = Z. Elk ideaal is een hoofd-ideaal, dus van de vorm (m) = mZ voor een zekere m ∈ N. Stelling 2.6.2zegt ons dat Z/m = Z/(m) een veld is als en slechts als (m) een maximaalideaal is. De maximale idealen zijn dus precies de idealen van de vorm(p) met p een priemgetal. Als m = ab voor zekere a, b ∈ N∗ verschillendvan 1, dan is (m) $ (a) $ (1) = Z, en dus is (m) niet maximaal.

(2) Zij K een veld, en beschouw de ring R = K[x]. Dit is opnieuw eenhoofdideaaldomein, dus elk ideaal is van de vorm (f) voor een zekerpolynoom f ∈ K[x]. Stelling 2.6.2 zegt ons dat K[x]/(f) een veld is alsen slechts als (f) een maximaal ideaal is.Veronderstel nu eerst dat f reducibel 7 is, d.w.z. f kan ontbonden wordenals f = gh met deg(g), deg(h) ≥ 1. Dan is (f) $ (g) $ (1) = K[x], endan is (f) niet maximaal, zodat K[x]/(f) geen veld is.Omgekeerd, veronderstel dat (f) niet maximaal is. Omdat K[x] eenPID is, is er een g ∈ K[x] zodat (f) $ (g) $ K[x]. In het bijzonder isf ∈ (g), m.a.w. er is een h ∈ K[x] zodat f = gh. Uit (f) = (g) volgt datdeg(h) = 0, en uit (g) = K[x] volgt dat deg(g) = 0. Dus f is reducibel.We hebben dus aangetoond dat K[x]/(f) een veld is als en slechts als feen irreducibel polynoom is.

Vervolgens richten we ons tot de grotere klasse van de priemidealen.

Definitie 2.6.5. Zij R een ring en P # R een ideaal. We noemen P eenpriemideaal als P = R, en als voor alle a, b ∈ R geldt:

ab ∈ P ⇒ a ∈ P of b ∈ P .

Analoog aan Stelling 2.6.2 hebben we het volgend resultaat voor priem-idealen.

Stelling 2.6.6. Zij R een ring en I #R een ideaal. Dan is R/I een domeinals en slechts als I een priemideaal is.

7Zie ook Definities 2.7.2 en 2.7.8 verderop.

81

Bewijs. Veronderstel eerst dat I een priemideaal is. Onderstel dat x, y ele-menten van R zijn die voldoen aan

(x+ I)(y + I) = 0 + I ,

met andere woorden, xy ∈ I. Omdat I priem is, is ofwel x ∈ I, ofwel y ∈ I.Maar dit zegt precies dat ofwel x + I = I, ofwel y + I = I. Dit toont aandat R/I een domein is.

Veronderstel nu omgekeerd dat R/I een domein is, en veronderstel datx, y ∈ R zodat xy ∈ I. Dan is (x + I)(y + I) = xy + I = I, en omdat R/Ieen domein is moet ofwel x + I = I ofwel y + I = I. Hieruit volgt x ∈ I ofy ∈ I, en dus is I een priemideaal. !

Gevolg 2.6.7. Zij R een ring. Dan is (0) een priemideaal als en slechts alsR een domein is.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Stelling 2.6.6 met I = (0). !

Gevolg 2.6.8. Elk maximaal ideaal is een priemideaal.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Stelling 2.6.2 en Stelling 2.6.6. !

Voor hoofdideaaldomeinen geldt in essentie ook het omgekeerde.

Stelling 2.6.9. Zij R een PID. Dan is elk niet-nul priemideaal in R eenmaximaal ideaal.

Bewijs. Zij I een niet-nul priemideaal, en veronderstel dat het niet maximaalis, zodat er een J #R bestaat met I $ J $ R. Omdat R een PID is, kunnenwe I = (a) en J = (b) schrijven. In het bijzonder is a ∈ (b), en dus bestaater een c ∈ R met a = bc. Omdat bc = a ∈ I en I een priemideaal is, moetofwel b ∈ I ofwel c ∈ I. Echter, b ∈ I zou leiden tot (b) ⊆ I maar dan I = J ,strijdig; dus moet c ∈ I = (a). Schrijf c = ar met r ∈ R; dan volgt uit a = bcdat a = abr. Omdat R een domein is en a = 0, volgt hieruit br = 1 (zieLemma 2.1.6), en dus is b een eenheid. Maar dan is J = (b) = R, strijdig.We besluiten dat I wel maximaal is. !

Opmerking 2.6.10. De vorige stelling geldt niet voor willekeurige ringen ofdomeinen. Beschouw bijvoorbeeld de ring R = Z[x] en het ideaal I = (x).Uit Voorbeeld 2.5.7 weten we dat R/I ∼= Z. Omdat Z een domein is maargeen veld, is het ideaal I # R een (niet-nul) priemideaal dat geen maximaalideaal is.

82

Merk op dat het in een willekeurige ring niet meteen duidelijk is of erwel maximale idealen bestaan. Het zou immers kunnen dat er voor elk echtideaal nog steeds een groter echt ideaal bestaat dat dit eerste ideaal bevat.Om te bewijzen dat deze situatie zich niet kan voordoen, moeten we hetlemma van Zorn aannemen.

Definitie 2.6.11. (i) Een partiele orderelatie “<” op een verzameling S iseen irreflexieve en transitieve relatie, met andere woorden, een relatiedie voldoet aan a < a, en a < b samen met b < c impliceert a < c, vooralle a, b, c ∈ S. In het bijzonder is a < b samen met b < a onmogelijk.We gebruiken de notatie “a ≤ b” om aan te duiden dat a = b of a < b.Een verzameling uitgerust met een partiele orderelatie noemen we ookeen poset8.

(ii) Een partiele orderelatie is totaal indien voor alle a, b ∈ S geldt dat ofwela < b, ofwel b < a, ofwel a = b.

(iii) Een keten in een poset (S,<) is een totaal geordende deelverzamelingvan S.

(iv) Een bovengrens van een deelverzameling T van een poset (S,<) is eenelement b ∈ S (niet noodzakelijk in T ) zodat a ≤ b voor alle a ∈ T .Een maximaal element m ∈ S is een element zodat voor alle a ∈ Sgeldt dat a > m, of anders gezegd, m ≤ a impliceert dat m = a.

Axioma 2.6.12 (Lemma van Zorn). Een niet-ledige poset waarin elke keteneen bovengrens heeft, bezit ten minste een maximaal element.

Opmerking 2.6.13. In het begin van de jaren 1930 bewees Kurt Godel dathet lemma van Zorn (of equivalent, het keuzeaxioma) consistent is met deandere axioma’s van de verzamelingenleer (in de Zermelo–Fraenkel eerste-orde axiomatisering). In 1963 toonde Paul Cohen aan dat het lemma vanZorn onafhankelijk is van de andere axioma’s. In de algebra is het gebruikelijkom het lemma van Zorn aan te nemen, ondermeer omwille van de volgendeStelling 2.6.15.

We zullen het volgend eenvoudig lemma nodig hebben.

Lemma 2.6.14. Zij R een ring. De unie van een stijgende keten9 van idealenI1 ⊆ I2 ⊆ . . . is zelf een ideaal.

8partially ordered set.9Het is gebruikelijk om een stijgende keten te noteren als I1 ⊆ I2 ⊆ . . . , hoewel deze

notatie in feite enkel correct is voor aftelbare ketens. Dit doet echter niks af aan degeldigheid van de gebruikte argumenten.

83

Bewijs. Stel I =⋃

i≥1 Ii. Als u, v ∈ I zijn, dan zitten ze beide in Ik voor eenzekere k ∈ N∗. Maar dan zijn zowel u + v als uR bevat in Ik en dus in I;bijgevolg is I # R. !

Stelling 2.6.15. Zij R een ring, en I # R een echt ideaal. Dan is I bevatin een maximaal ideaal M # R. In het bijzonder heeft elke ring maximaleidealen.

Bewijs. Beschouw de verzameling S van alle echte idealen in R die het ideaalI bevatten. Dan is (S,⊂) een poset. Beschouw een willekeurige keten

I1 ⊆ I2 ⊆ . . .

van elementen van S, en stel J = ∪kIk. Uit Lemma 2.6.14 volgt dat Jopnieuw een ideaal is. Belangrijk is echter dat J nog steeds een echt ideaalis. Inderdaad, indien J = R zou zijn, dan is 1 ∈ J , en dus zou er een k zijnmet 1 ∈ Ik. Maar dan zou Ik = R, en dit is strijdig met Ik ∈ S. We besluitendat J ∈ S, en duidelijkerwijze is J een bovengrens voor de keten (Ik).

We kunnen dus het lemma van Zorn toepassen op de poset S, waardoor Seen maximaal element M heeft. Het element M is dan het gezochte maximaleideaal. !

Oefeningen

114. Zij R een ring die een idempotent element r bevat verschillend van 0 en 1 (i.e.r2 = r). Toon aan dat elk priemideaal in R een idempotent element verschillendvan 0 en 1 bevat.

115. Beschouw de verzameling R bestaande uit rijen a = (a1, a2, a3, . . . ) van reele ge-tallen die uiteindelijk constant worden, i.e. an = an+1 = . . . voor n voldoendegroot. We definieren een optelling en vermenigvuldiging op R door deze bewer-kingen componentsgewijze uit te voeren. Bewijs dat R een ring is, en bepaal demaximale idealen van R.

∗116. Het radicaal van een ideaal I in een ring R wordt gedefinieerd als

rad(I) = {r ∈ R | rn ∈ I voor een zekere n ∈ N∗} .

Toon aan dat rad(I) zelf opnieuw een ideaal is. Toon vervolgens aan dat I = rad(I)als en slechts als I de doorsnede is van priemidealen. Is rad(rad(I)) = rad(I) voorelk ideaal I?

∗117. In oefening 109 (p. 74) hebben we het nilradicaalN van een ring R ingevoerd. Toonaan dat N = rad(0). Toon vervolgens aan dat de volgende uitspraken equivalentzijn:

(a) R heeft een uniek priemideaal;

(b) elk element van R is ofwel nilpotent ofwel een eenheid;

84

(c) R/N is een veld.

2.7 Unieke factorisatie

Zoals we hebben gezien vormen priemidealen in een ring een natuurlijke uit-breiding van de notie van priemgetallen in Z. Maar priemgetallen hebbennog een andere uitermate belangrijke eigenschap: elk geheel getal is, op te-kens en volgorde na, op unieke wijze te factoriseren in priemelementen. Wewillen nagaan in hoeverre we een gelijkaardige uitspraak kunnen doen in eenwillekeurige ring R (nog steeds commutatief en met eenheid).

De fundamentele eigenschap van priemen is precies diegene die we ge-bruikt hebben om priemidealen te definieren: als p een priemgetal is ena, b ∈ Z, dan volgt uit p | ab dat p | a of p | b. Dit leidt als volgt tot deunieke factorisatie in de ring Z.

Stelling 2.7.1 (Fundamentele stelling van de rekenkunde). Elke a ∈ Z,a = 0, kan geschreven worden als een product

a = c · p1 · · ·pk ,

waarbij c = ±1, k ≥ 0, en de pi positieve priemgetallen zijn. Deze uitdruk-king is uniek op de ordening van de factoren pi na.

Bewijs. We bewijzen eerst het bestaan van een factorisatie. Het volstaatdit te bewijzen voor a > 1, en we gebruiken inductie op a. Indien a eenpriemgetal is, is de bewering evident; als a geen priemgetal is, heeft het eenechte deler b < a (per definitie van priemgetal10). We schrijven dan a = bb′,en zowel b als b′ zijn kleiner dan a, zodat we de inductiehypothese kunnentoepassen om een factorisatie van b en b′ te bekomen. Deze beide factorisatiessamenvoegen levert ons een factorisatie van a op.

Vervolgens tonen we aan dat de factorisatie uniek is. Stel dus

±p1 · · · pk = ±q1 · · · qℓ

voor zekere priemgetallen p1, . . . , pk, q1, . . . , qℓ. De tekens van beide ledenmoeten duidelijk gelijk zijn. We passen nu de fundamentele eigenschap toe

10Een priemgetal wordt nog steeds gedefinieerd als een natuurlijk getal p dat precies 2delers in N∗ heeft, namelijk 1 en p. De fundamentele eigenschap waarop we ons gebaseerdhebben om priemidealen te definieren, is voor de priemgetallen een eigenschap, die bewezenwordt vanuit de definitie.

85

met p = p1. Omdat p het linkerlid deelt, moet het ook q1 · · · qℓ delen, enbijgevolg deelt het een zekere qi. Omdat ook qi priem is, moet p1 = qi. Wekunnen dus p1 en qi schrappen, en verder gaan met inductie op min(k, ℓ). !

Zoals reeds werd bestudeerd in de cursus “Discrete Wiskunde I”, is desituatie voor polynomenringen K[x] over een veld K zeer analoog aan desituatie voor Z. De rol van priemgetallen in Z wordt overgenomen doorirreducibele polynomen in K[x].

Definitie 2.7.2. Een polynoom f ∈ K[x] is irreducibel als het niet constantis, en als de enige delers van lagere graad in K[x] constanten zijn. Ditbetekent dus dat de enige manier om f te schrijven als product van tweepolynomen, gegeven wordt door f = cf1, waarbij c ∈ K en f1 een constantveelvoud van f is.

Een polynoom f ∈ K[x] noemen we monisch als de hoogstegraadscoeffici-ent gelijk is aan 1. Voor elke f ∈ K[x] is er een uniek constant veelvoud vanf dat monisch is; we noemen dit de normalisatie of de normaalvorm van f .

Stelling 2.7.3. Zij K een veld en R = K[x] de polynomenring in een vari-abele over K.

(i) Als een irreducibel polynoom p ∈ R een product fg deelt, dan deelt hetten minste een van de factoren f of g.

(ii) Elk niet-nul polynoom f ∈ R kan geschreven worden als een product

f = c · p1 · · · pk ,

waarbij c een niet-nul constante is, k ≥ 0, en elke pi is een monischirreducibel polynoom in R. Deze factorisatie is uniek op de ordeningvan de factoren pi na.

Bewijs. Geheel analoog aan het bewijs van deze eigenschappen voor Z. Zieook de cursus “Discrete Wiskunde I” voor meer details. !

Opmerking 2.7.4. Merk op dat de waarden die c mag aannemen, preciesde eenheden zijn in de overeenkomstige ring (met name Z of K[x]).

We merken ook nog het volgend welbekend feit op.

Lemma 2.7.5. Zij K een veld, R = K[x], en f ∈ R een niet-nul polynoommet deg(f) = n.

(i) Zij α ∈ K. Dan is f(α) = 0 als en slechts als x−α een deler is van f .

(ii) Het polynoom f heeft ten hoogste n wortels in K.

86

Bewijs. Dit hebben we bewezen in de cursus “Discrete Wiskunde I”. !

Opmerking 2.7.6. De assumptie dat K een veld is, is hierbij cruciaal. Stelbijvoorbeeld R = (Z/8)[x], en beschouw het polynoom f = x2 − 1 ∈ R. Danheeft f vier wortels modulo 8, namelijk 1, 3, 5 en 7. Ook de ontbinding infactoren is niet uniek in R, want

x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1) = (x+ 3)(x− 3) .

Opmerking 2.7.7. Als K = C, dan heeft elke veelterm van graad groterdan 1 een wortel α ∈ C en bijgevolg een deler van de vorm x − α. Deirreducibele polynomen in C[x] zijn dus precies de lineaire polynomen, en deirreducibele factorisatie neemt de vorm

f(x) = c · (x− α1) · · · (x− αk)

aan, waarbij de αi precies de wortels van f zijn (herhaald volgens hun mul-tipliciteit).

We willen nu de factorisatie bestuderen in willekeurige domeinen11, en webeginnen met het invoeren van de nodige terminologie.

Definitie 2.7.8. Zij R een domein.

(i) We zeggen dat een element a een element b deelt, of dat a een deler isvan b, of dat b deelbaar is door a, als er een q ∈ R bestaat met b = aq;we noteren dit als a | b. We noemen a een echte deler of een eigenlijkedeler van b als bovendien noch a noch q een eenheid is in R.

(ii) Een niet-nul element a ∈ R noemen we irreducibel als het geen eenheidis en geen echte delers heeft.

(iii) Twee elementen a, b ∈ R worden geassocieerd genoemd als ze elkaardelen, m.a.w. als a | b en b | a. Het is niet moeilijk in te zien dat a en bgeassocieerd zijn als en slechts als ze op een eenheid na gelijk zijn, i.e.als er een eenheid u is zodat b = ua. We noteren dit als a ∼ b.

(iv) Een niet-nul element p ∈ R noemen we priem als het geen eenheid is,en als voor alle a, b ∈ R geldt dat p | ab impliceert dat p | a of p | b.

Deze concepten hebben een natuurlijke interpretatie in termen van dehoofdidealen van R. Immers, een hoofdideaal (a)#R bestaat precies uit alleelementen van R die deelbaar zijn door a.

11Het bestuderen van deelbaarheid in ringen die geen domeinen zijn, is in principemogelijk, maar leidt tot behoorlijk vreemde verschijnselen.

87

Lemma 2.7.9. Zij R een domein, en a, b ∈ R. Dan geldt:

a is een eenheid ⇐⇒ (a) = R ;

a is een deler van b ⇐⇒ (a) ⊇ (b) ;

a en b zijn geassocieerd ⇐⇒ (a) = (b) ;

a is een eigenlijke deler van b ⇐⇒ R % (a) % (b) ;

a is priem ⇐⇒ (a)# R is een priemideaal .

Bewijs. Dit is een eenvoudige oefening. !

Men zou geneigd kunnen zijn te denken dat a ∈ R irreducibel is als enslechts als (a)#R een maximaal ideaal is. Dit is echter in het algemeen nietcorrect. (Zo is bijvoorbeeld in de ring R = Z[x] het element x irreducibel,maar (x) is geen maximaal ideaal.) In plaats daarvan hebben we volgendekarakterisatie.

Lemma 2.7.10. Zij a ∈ R \ {0}, geen eenheid. Dan is a irreducibel als enslechts als (a) maximaal is onder12 de echte hoofdidealen. Anders gezegd, a isreducibel als en slechts als er een b ∈ R is zodat (a) $ (b) $ R.

Bewijs. Veronderstel eerst dat a reducibel is. Dan is a = bc voor zekereb, c ∈ R die beide geen eenheden zijn; in het bijzonder is (b) = R. Dus b iseen echte deler van a, waaruit dan ook (a) $ (b).

Veronderstel omgekeerd dat (a) $ (b) $ R voor een zekere b ∈ R. Omdat(b) = R is b geen eenheid. Anderzijds is a ∈ (b), dus a = bc voor een zekerec ∈ R. Omdat (a) = (b) is a ∼ b en dus is ook c geen eenheid. Bijgevolg is areducibel. !

De factorisatie-eigenschap in Z of in K[x] is in feite tweeledig: enerzijdshebben we het bestaan van de factorisatie, en anderzijds de uniciteit ervan.Zoals we zullen zien is de uniciteit veel problematischer dan de existentie.

Een andere vaststelling is dat in Z en in K[x] de begrippen “priem” en“irreducibel element” samenvallen; dit is niet het geval in een willekeurigdomein. Wanneer we spreken over een factorisatie, is het natuurlijk omeen factorisatie in irreducibele elementen te beschouwen. Zie echter ookStelling 2.7.17 verderop.

Aan de hand van het bewijs van Stelling 2.7.1 kunnen we een algoritmebedenken om te proberen te factoriseren: als een element a ∈ R \ {0} geeneenheid is, en a is zelf niet irreducibel, dan heeft het een echte factor b en

12Hiermee bedoelen we dat (a) een maximaal element is in de poset van de echte hoofd-idealen van R geordend volgens inclusie.

88

dus is a = bb′. Vervolgens proberen we b en b′ te factoriseren, enzovoort. Hetenige probleem dat kan optreden, is het feit dat de factorisatie nooit stopt.De volgende stelling geeft een voldoende voorwaarde (die in iets subtielerezin ook een nodige voorwaarde is) om het bestaan van factorisatie te kunnengaranderen.

Stelling 2.7.11. Zij R een domein, en veronderstel dat de ring R geen on-eindige stijgende keten van hoofdidealen

(a1) $ (a2) $ (a3) $ . . .

bevat. Dan heeft elk niet-nul element a ∈ R \ R× een factorisatie in irredu-cibele elementen van R.

Bewijs. Zij a ∈ R \ R×. Dan kunnen we op recursieve wijze a beginnenfactoriseren zoals beschreven in de vorige paragraaf. Veronderstel dat ditproces niet stopt. Dan bestaan er reducibele elementen a = a1, a2, a3, . . .en niet-eenheden b2, b3, . . . zodat ai = ai+1bi+1 voor alle i ≥ 1. De keten(a1) $ (a2) $ (a3) $ . . . is dan een oneindige stijgende keten van hoofdide-alen, in strijd met het gegeven. Deze contradictie toont aan dat elke a ∈ Rfactoriseerbaar is. !

De voorwaarde op de ketens in Stelling 2.7.11 wordt vaak omschreven alsde stijgende keten voorwaarde (of ACC, van het Engelse “ascending chaincondition”) op hoofdidealen. We omschrijven deze voorwaarde ook als “elkestijgende keten van hoofdidealen stabiliseert13”. Analoog spreekt men ookvan een dalende keten voorwaarde van objecten (of DCC, “descending chaincondition”) als elke dalende keten van dergelijke objecten stabiliseert.

Voorbeeld 2.7.12. (1) Het hoofdideaaldomein Z heeft ACC op (hoofd)idealen,maar geen DCC. Inderdaad, als

(a1) $ (a2) $ (a3) $ . . .

een oneindige stijgende keten zou zijn, dan is ai een echte deler van ai−1,voor alle i, zodat a1 oneindig veel verschillende delers zou hebben, watnatuurlijk niet kan. Anderszijds vinden we wel tal van oneindige dalendeketens van hoofdidealen, bijvoorbeeld

(2) % (4) % (8) % (16) % . . .13Dit gebruik van het woord “stabiliseren” heeft uiteraard niks te maken met hetzelfde

woord in de groepentheorie, maar betekent dat vanaf een zekere N ∈ N∗ alle objecten inde keten gelijk zijn; de keten wordt dus “stabiel”.

89

(2) Een voorbeeld van een ring die geen ACC op hoofdidealen heeft, is dering R = C[x1, x2, . . . ]/I, met I = (x1−x2

2, x2−x23, . . . ). Het element14 x1

heeft hierin een niet-terminerende factorisatie x1 = x22 = x4

3 = x84 = . . . ,

en overeenkomstig hebben we de oneindige stijgende keten (x1) $ (x2) $(x3) $ . . .Het blijkt dat we, in zekere zin, oneindig veel voortbrengers nodig hebbenom een dergelijke ring te construeren, en we zullen deze fenomenen zeldentegenkomen in voorbeelden. De meeste “natuurlijke” ringen zullen dusACC op hoofdidealen hebben, en bijgevolg existentie van factorisatie.

Een belangrijke klasse van ringen zijn deze waarvoor ACC op alle idealengeldt.

Definitie 2.7.13. Een ring R wordt noethers15 genoemd, als elke stijgendeketen van idealen stabiliseert, i.e. als ACC op (alle) idealen geldt.

Ook hier geldt dat niet-noetherse ringen in zekere zin oneindig veel voort-brengers vereisen, zodat de meeste ringen die we zullen ontmoeten, noetherszullen zijn.

Voorbeeld 2.7.14. (1) De ring R = C[x1, x2, . . . ] is niet noethers, zoalsblijkt uit de oneindige stijgende keten van idealen

(x1) $ (x1, x2) $ (x1, x2, x3) $ . . .

(2) De ring R van alle continue functies van R naar R is een niet-noethersering. Merk immers op dat voor elk interval [a, b] ⊂ R de verzamelingIa,b van alle continue functies die nul zijn op het interval [a, b], een ideaalvormt van R.

In het bijzonder volgt uit Stelling 2.7.11 dat we in een noethers domeinsteeds kunnen factoriseren. Heel wat van de ringen die we al ontmoet hebben,zijn noethers. Zoals we zullen zien in het bewijs van Stelling 2.7.24, is elkePID ook noethers, maar de volgende belangrijke stelling geeft ons een groteklasse van noetherse ringen die niet noodzakelijk hoofdideaaldomeinen zijn.

Stelling 2.7.15 (Hilbert’s Basisstelling). Als R een noetherse ring is, danis ook R[x] een noetherse ring.

Zonder bewijs. !

14Als we spreken over “het element x1 ∈ R” bedoelen we in feite het beeld π(x1) vanx1 ∈ C[x1, x2, . . . ] onder de canonieke projectie π : C[x1, x2, . . . ] → R. Dit is een zeercourant “misbruik van notatie” voor quotienten van veeltermringen.

15genoemd naar Emmy Noether.

90

Bovendien zijn quotientringen van noetherse ringen zelf ook opnieuwnoethers16, en in het bijzonder is elke ring die een quotient is van een po-lynomenring over Z of over een veld (in een eindig aantal variabelen) eennoetherse ring.

We richten ons nu tot het uniciteitsaspect van de factorisatie.

Definitie 2.7.16. Zij R een domein. Dan noemen we R een uniek factori-satiedomein, of kortweg UFD, als ACC op hoofdidealen geldt in R, en als deirreducibele factorisatie van een element uniek is, in de volgende betekenis:als p1 · · ·pk = q1 · · · qℓ voor zekere irreducibele elementen p1, . . . , pk, q1, . . . , qℓ,dan is k = ℓ, en na een hernummering van de factoren is pi geassocieerd aanqi voor elke i.

Stelling 2.7.17. Zij R een domein met ACC op hoofdidealen. Dan is R eenUFD als en slechts als elk irreducibel element priem is.

Bewijs. Als elk irreducibel element priem is, dan volgt het bewijs van deuniciteit van de factorisatie op volledig analoge manier als in het bewijs vanStelling 2.7.1, en dan is R een UFD.

Veronderstel nu omgekeerd dat R een UFD is, en zij p een irreducibelelement. Zij a, b ∈ R willekeurige elementen waarvoor p | ab, en schrijf ab =pq. We ontbinden a, b en q in hun irreducibele factoren: stel a = a1 . . . ak,b = b1 . . . bℓ, en q = q1 . . . qm. Dan is pq1 . . . qm = a1 . . . akb1 . . . bℓ, en allefactoren in beide leden zijn irreducibel. Uit het feit dat R een UFD is volgtnu dat p geassocieerd is aan een ai of aan een bi. In het eerste geval geldtp | a, in het tweede geval geldt p | b. !

Opmerking 2.7.18. Uiteraard is in een willekeurig domein R elk priemele-ment irreducibel.

Voorbeeld 2.7.19. Stel R = Z[√−5 ] = {a + b

√−5 | a, b ∈ Z}. Dan is R

een domein, dat geen uniek factorisatiedomein is. De eenheden in R zijn ±1,en het element 6 ∈ R heeft twee essentieel verschillende factorisaties

6 = 2 · 3 =(

1 +√−5

)(

1−√−5

)

.

Het is niet erg moeilijk17 om aan te tonen dat de vier termen 2, 3, 1 +√−5

en 1−√−5 irreducibel zijn in R. Aangezien de eenheden enkel ±1 zijn, is 2

niet geassocieerd aan 1±√−5, zodat we inderdaad zien dat R geen UFD is.

Een voorbeeld van een element dat irreducibel is maar niet priem, is hetelement 2 ∈ R, want 2 |

(

1 +√−5

)(

1−√−5

)

, terwijl 2 # 1±√−5.

16Gebruik hiervoor het feit dat elk ideaal van een quotientring R/I van de vorm J/I is,met I ⊆ J #R.

17Beschouw hiertoe de afbeelding N : R → Z : z $→ zz zoals in Voorbeeld 2.4.4(3).

91

In een UFD is het gemakkelijk om na te gaan of een element a een anderelement b deelt, in termen van hun factorisatie in irreducibele elementen.

Lemma 2.7.20. Zij R een UFD, en a = p1 · · · pk, b = q1 · · · qℓ ∈ R tweeelementen met hun bijhorende irreducibele factorisatie. Dan is a | b als enslechts als ℓ ≥ k en na een hernummering van de factoren pi geassocieerd isaan qi voor elke i = 1, . . . , k.

Bewijs. Oefening. !

Een onmiddellijk gevolg van deze observatie is het bestaan van grootstegemene delers in een UFD.

Definitie 2.7.21. Zij R een domein, en a, b ∈ R, niet beide 0. Een grootstegemene deler van a en b is een element d ∈ R zodat d | a en d | b, en alse ∈ R een element is met e | a en e | b, dan is e | d.

Gevolg 2.7.22. Zij R een UFD, en a, b ∈ R niet beide 0. Dan hebben a en been grootste gemene deler. Bovendien zijn elke twee grootste gemene delersvan a en b geassocieerd aan elkaar.

Bewijs. Oefening. !

We zullen vaak spreken van de grootste gemene deler, hoewel deze dusslechts op een eenheid na bepaald is.

Opmerking 2.7.23. Een domein wordt een GCD-domein genoemd indienelke twee niet-nul elementen een grootste gemene deler hebben. In het bij-zonder zien we dus dat elk UFD een GCD-domein is.

De eigenschap dat de grootste gemene deler van a en b kan geschrevenworden in de vorm ar+bs (die gekend staat als de stelling van Bezout) is in hetalgemeen niet geldig in een UFD. Zo is in Z[x] de grootste gemene deler van 2en x gelijk aan 1, maar 1 kan niet geschreven worden in de vorm 2r+xb. Ditheeft natuurlijk alles te maken met het feit dat Z[x] geen hoofdideaaldomeinis, en dat in het bijzonder het ideaal (2, x) geen hoofdideaal is.

Een domein wordt een Bezout domein genoemd indien de som van elketwee hoofdidealen opnieuw een hoofideaal is. Een Bezout domein is dus eenGCD-domein waarin de stelling van Bezout geldig is.

Merk op dat er Bezout domeinen bestaan die geen UFD zijn. Een voor-beeld hiervan is de ring van gehele complexe functies (functies die holomorfzijn op het hele complexe vlak).

Een belangrijke klasse van domeinen waarin we unieke factorisatie heb-ben, zijn de hoofdideaaldomeinen.

92

Stelling 2.7.24. Elke PID is een UFD. In het bijzonder is elk Euclidischdomein een UFD.

Bewijs. Zij R een PID. We tonen eerst aan dat ACC op hoofdidealen geldt.Stel dus dat (a1) ⊆ (a2) ⊆ . . . een stijgende keten van hoofdidealen is. UitLemma 2.6.14 volgt dat de unie van deze idealen

⋃

i≥1(ai) opnieuw een ideaalI is, en omdat R een PID is moet I = (b) voor een zekere b ∈ R. Maar danis b ∈ (ak) voor een zekere k ∈ N∗, en dus is (b) = (ak). Hieruit volgt echter(am) = (b) voor alle m ≥ k, dus de keten stabiliseert.

Vervolgens gaan we na dat elk irreducibel element priem is; het resultaatvolgt dan uit Stelling 2.7.17. Zij dus p ∈ R irreducibel. Uit Lemma 2.7.10volgt nu dat het ideaal (p) maximaal is onder de hoofdidealen, maar omdatelk ideaal een hoofdideaal is toont dit aan dat (p) een maximaal ideaal is, enbijgevolg een priemideaal. We besluiten dat het element p ∈ R priem is.

De laatste bewering ten slotte volgt uit het feit dat elk Euclidisch domeineen PID is (zie Stelling 2.4.3). !

We kunnen nu ook Voorbeeld 2.6.4(2) veralgemenen voor willekeurigehoofdideaaldomeinen.

Stelling 2.7.25. Zij R een PID, en p ∈ R met p = 0. Dan is R/(p) eenveld als en slechts als p irreducibel is.

Bewijs. Dit volgt nu onmiddellijk door Stelling 2.6.2 te combineren metLemma 2.7.10, opnieuw gebruik makend van het feit dat elk ideaal een hoofd-ideaal is. !

Hoofdideaaldomeinen zijn zeker niet de enige interessante unieke factori-satiedomeinen.

Stelling 2.7.26. Als R een uniek factorisatiedomein is, dan is ook R[x] eenuniek factorisatiedomein.

Zonder bewijs. !

In het bijzonder zien we dat de ringen Z[x], Z[x1, . . . , xn] en F [x1, . . . , xn]met F een veld, unieke factorisatiedomeinen zijn.

Oefeningen

118. Een Gauss priem is een priemelement in de ring Z[i].

(a) Zij p een priemgetal. Bewijs dat ofwel p een Gauss priem is, ofwel het productis van twee complex toegevoegde Gauss priemen p = ππ.

93

(b) Zij π een Gauss priem. Bewijs dat ππ ofwel een geheel priemgetal is, ofwel hetkwadraat is van een geheel priemgetal.

119. Zij R een PID, en beschouw de ring van formele machtreeksen R[[x]] zoals gedefini-eerd in Voorbeeld 2.1.4(11). Toon aan dat de ring R[[x]] een UFD is.

We gaan nog even wat nader in op de ring Z[x].

Definitie 2.7.27. Een polynoom f ∈ Z[x] gegeven door f(x) = a0 + a1x +· · ·+anxn wordt primitief genoemd, als de coefficienten a0, . . . , an geen anderegemeenschappelijke factoren hebben dan de eenheden ±1 in Z, en als dehoogstegraadscoefficient an positief is.

Uit de definitie volgt onmiddellijk dat we elk polynoom f ∈ Q[x] opunieke wijze kunnen schrijven als een product f(x) = c · f0(x) met c ∈ Q enf0 een primitief polynoom in Z[x]; het polynoom f heeft gehele coefficientenals en slechts als c ∈ Z, en in dat geval is |c| de grootste gemene deler van decoefficienten van f .

Stelling 2.7.28 (Lemma van Gauss). Het product van primitieve polynomenin Z[x] is opnieuw een primitief polynoom in Z[x].

Bewijs. Zij f, g ∈ Z[x] primitieve polynomen, en stel h = fg. Verondersteldat h niet primitief is; dan bestaat er een priemgetal p zodat p een deleris van elk van de coefficienten van h. Beschouw nu het restrictiemorfismemodulo p

Θ : Z[x] → (Z/p)[x]

zoals in Voorbeeld 2.2.5(3). Omdat f en g primitief zijn, zijn de polynomenΘ(f) en Θ(g) niet nul. Echter, wegens onze veronderstelling is Θ(h) = 0,en dus Θ(f)Θ(g) = 0. Dit is in strijd met het feit dat (Z/p)[x] een domeinis. !

Het belang van het lemma van Gauss wordt duidelijk door het volgendegevolg, dat een concrete manier geeft om na te gaan wanneer een polynoomover Q[x] irreducibel is.

Gevolg 2.7.29. Zij f ∈ Z[x] een niet-constant polynoom. Als f irreducibel18

is in Z[x], dan is het ook irreducibel in Q[x].

Bewijs. Neem zonder verlies van algemeenheid aan dat de hoogstegraadsco-efficient van f positief is. Aangezien f irreducibel is in Z[x] en niet-constant

18We bedoelen hier irreducibel zoals in Definitie 2.7.8. Merk op dat dit iets sterker isdan irreducibel als veeltermen.

94

is, is het een primitief polynoom. Veronderstel dat f reducibel is in Q[x], stelf = gh met g, h ∈ Q[x]. We schrijven nu g = cg0 en h = dh0 met c, d ∈ Qen g0, h0 primitieve polynomen in Z[x]. Uit het lemma van Gauss volgt datg0h0 opnieuw een primitief polynoom is. Echter, uit f = cd · g0h0 volgt dandat f = f0 = g0h0, zodat f toch reducibel is in Z[x]. Onze veronderstellingis dus vals, en f is irreducibel in Q[x]. !

Het volgend criterium, dat steunt op het voorgaand gevolg, toont aan dater heel wat polynomen over Q bestaan die irreducibel zijn; in het bijzonderzijn er irreducibele polynomen van willekeurige graad.

Stelling 2.7.30 (Criterium van Eisenstein). Zij f ∈ Z[x] gegeven doorf(x) = a0 + a1x + · · · + anxn, en zij p een priemgetal zodat p # an, ter-wijl p | ai voor alle i ∈ {0, . . . , n − 1}, waarbij echter p2 # a0. Dan is firreducibel over Q.

Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid mogen we onderstellen dat f pri-mitief is. (Inderdaad, als de coefficienten van f een gemeenschappelijke delerd hebben, dan is zeker p # d; als we alle coefficienten dan delen door d,blijven alle assumpties bewaard.) Veronderstel nu dat f reducibel is overQ, en dus wegens Gevolg 2.7.29 ook reducibel over Z. Schrijf f = gh, metdeg(g) = r ≥ 1, deg(h) = s ≥ 1 en r + s = n.

Beschouw nu opnieuw het restrictiemorfisme Θ : Z[x] → (Z/p)[x], zoalsin het bewijs van het Lemma van Gauss. Uit het gegeven volgt dat Θ(f) =anxn. Omdat R := (Z/p)[x] een UFD is, volgt hieruit dat Θ(g) = bxr enΘ(h) = cxs voor zekere b, c ∈ (Z/p)×. (Merk op dat de elementen van (Z/p)×

precies de eenheden in R zijn, terwijl x ∈ R een irreducibel element is.) Ditimpliceert echter dat zowel g als h een constante term hebben die deelbaaris door p, maar dan zou de constante term van f = gh deelbaar zijn door p2,in strijd met het gegeven.

We besluiten dat f irreducibel is over Q. !

Voorbeelden 2.7.31. (1) Zij p een priemgetal, en n ≥ 1 een natuurlijkgetal. Dan is het polynoom xn − p irreducibel in Q[x].

(2) Zij p een priemgetal, en beschouw het p-de cyclotomisch polynoom

Φp(x) = xp−1 + xp−2 + · · ·+ x+ 1 =xp − 1

x− 1.

We beweren dat Φp irreducibel is in Q[x]. We kunnen het criterium vanEisenstein niet rechtstreeks toepassen op Φp, maar wel op het polynoomf gegeven door f(x) = Φp(x + 1); het is duidelijk dat Φp irreducibel is

95

als en slechts als f dit is. Het is nu een eenvoudige oefening om na terekenen dat

f(x) =(x+ 1)p − 1

(x+ 1)− 1

= xp−1 +

(p

1

)

xp−2 +

(p

2

)

xp−3 + · · ·+(

p

p− 2

)

x+

(p

p− 1

)

,

en dat dit polynoom voldoet aan de eisen nodig om het criterium vanEisenstein te kunnen toepassen.

Oefeningen

120. Toon aan dat twee polynomen in Z[x] onderling ondeelbaar zijn in Q[x] als en slechtsals het ideaal dat ze voortbrengen in Z[x] een niet-nul geheel getal bevat.

121. Zij f ∈ Z[x] een monisch polynoom, en r ∈ Q een wortel van f . Toon aan datr ∈ Z.

122. Bewijs dat de kern van het morfisme Z[x] → R dat x afbeeldt op 1 +√2 een

hoofdideaal is, en zoek een voortbrenger voor dit ideaal.

123. Zij p een priemgetal, en A = I een (n×n)-matrix over Z zodat Ap = I. Bewijs datn ≥ p− 1.

2.8 Directe producten en de Chinese reststel-

ling

De Chinese reststelling voor de gehele getallen werd voor het eerst beschrevenin de vierde eeuw na Christus, door de Chinese wiskundige Sunzi. De stellingwerd opnieuw in 1247 gepubliceerd door de Chinese wiskundige Qin Jiushao.

We zullen deze beroemde stelling veralgemenen naar willekeurige com-mutatieve ringen met eenheid. We beginnen met de definitie van het directproduct van ringen; dit begrip is geheel analoog aan het direct product vangroepen dat we eerder al hebben ontmoet.

Definitie 2.8.1. Zij R1, . . . , Rn willekeurige ringen. Dan definieren we eennieuwe ring R = R1 × · · · × Rn, die we het direct product of het cartesischproduct van de ringen R1, . . . , Rn noemen, als volgt:

R = {(r1, . . . , rn) | ri ∈ Ri voor elke i} ,

met de componentsgewijze optelling en vermenigvuldiging, i.e.

(r1, . . . , rn) + (r′1, . . . , r′n) = (r1 + r′1, . . . , rn + r′n) ,

96

(r1, . . . , rn) · (r′1, . . . , r′n) = (r1r′1, . . . , rnr

′n) ,

voor alle ri, r′i ∈ Ri. Het is eenvoudig om in te zien dat R met deze be-werkingen opnieuw een ring is, met nul-element (0R1 , . . . , 0Rn) en eenheid(1R1 , . . . , 1Rn).

Opmerking 2.8.2. Het direct product van ten minste twee niet-nul ringen isnooit een domein. Zo geldt bijvoorbeeld in R1×R2 dat (1, 0) · (0, 1) = (0, 0).

Definitie 2.8.3. Zij R een ring. Twee echte idealen I, J # R noemen wecopriem of comaximaal als I + J = R.

Lemma 2.8.4. Zij R een ring.

(i) Als I en J twee idealen zijn van R die copriem zijn, dan is IJ = I ∩J .

(ii) Als I1, . . . , Is idealen zijn van R die paarsgewijze copriem zijn, dan geldtvoor elke i dat de idealen Ii en

∏

j=i Ij copriem zijn, en

I1 · · · Is = I1 ∩ · · · ∩ Is .

Bewijs. (i) De inclusie IJ ⊆ I ∩ J volgt uit Lemma 2.3.5. Omgekeerd, zija ∈ I ∩ J . Omdat I + J = R bestaan er een i ∈ I en een j ∈ J zodat1 = i+ j. Dan is a = ai+ aj; omdat a ∈ J is ai ∈ IJ , en omdat a ∈ Iis aj ∈ IJ . Dus a ∈ IJ .

(ii) Voor s = 1 valt er niks te bewijzen; stel dus s ≥ 2. Beschouw het ideaalJ = I1 · · · Is−1 #R. We tonen aan dat J + Is = R. Voor elke i ≤ s− 1is Ii + Is = R, en dus zijn er ai ∈ Ii en ri ∈ Is zodat 1 = ai + ri. Maardan is

1 = (a1 + r1) · · · (as−1 + rs−1) ∈ a1 · · ·as−1 + Is .

Omdat a1 · · · as−1 ∈ J , toont dit aan dat 1 ∈ J + Is, en bijgevolgJ + Is = R.We tonen nu de gelijkheid I1 · · · Is = I1 ∩ · · ·∩ Is aan per inductie op s,waarbij het geval s = 1 triviaal is; stel dus opnieuw s ≥ 2. Uit (i) volgtnu dat JIs = J ∩Is, en het gestelde volgt nu door de inductiehypothesetoe te passen op de idealen I1, . . . , Is−1. !

Stelling 2.8.5 (Chinese reststelling). Zij R een ring, en beschouw idealenI1, . . . , Is van R die paarsgewijze copriem zijn; stel I = I1 · · · Is. Dan is deafbeelding

ϕ : R/I → R/I1 × · · ·×R/Is : r + I $→ (r + I1, . . . , r + Is)

is een ringisomorfisme.

97

Bewijs. Omdat I ⊆ Ii voor elke i, is de afbeelding ϕ in elk geval goed gede-finieerd. Het is evident dat ϕ dan ook een ringmorfisme is. De injectiviteitis ook duidelijk, want als ϕ(r + I) = 0, dan is r ∈ Ii voor alle i, en dusr ∈

⋂si=1 Ii = I, wegens Lemma 2.8.4(ii).

Om aan te tonen dat ϕ surjectief is, tonen we eerst aan dat voor elke i hetelement ei := (0+ I1, . . . , 1+ Ii, . . . , 0+ Is) bereikt wordt door ϕ. Inderdaad,uit Lemma 2.8.4(ii) volgt dat Ii en

∏

j=i Ij copriem zijn, en dus bestaan erelementen ai ∈ Ii en bi ∈

∏

j=i Ij zodat ai+bi = 1. Het beeld van het elementbi + I = 1− ai + I onder ϕ is precies het element ei.

Zij nu z = (r1 + I1, . . . , rs + Is) ∈ R/I1 × · · ·× R/Is willekeurig. Dan isϕ(r1b1 + · · ·+ rsbs + I) = z, en we besluiten dat ϕ surjectief is. !

Opmerking 2.8.6. Als R = Z, dan zijn twee idealen I = aZ en J = bZcopriem als en slechts als gcd(a, b) = 1. In dat geval vinden we dus deklassieke versie van de Chinese reststelling terug. Zie ook Oefening 129.

Voorbeeld 2.8.7. We beweren dat C[x]/(x2 + 1) ∼= C × C. Merk op dat(x2 + 1) = (x + i)(x − i), en dat de idealen I = (x + i) en J = (x − i)copriem zijn. Uit de Chinese reststelling volgt dan dat C[x]/(x2 + 1) ∼=C[x]/(x+ i)×C[x]/(x− i), en uit Voorbeeld 2.5.7 volgt dat dit op zijn beurtisomorf is met C× C.

Oefeningen

124. Zij R een willekeurig hoofdideaaldomein. Toon aan dat (a) + (b) = (gcd(a, b))voor alle a, b ∈ R \ {0}. In het bijzonder zijn (a) en (b) copriem als en slechts alsgcd(a, b) ∈ R×. (Merk op dat R een UFD is, zodat de grootste gemene deler opeen eenheid na gedefinieerd is door Definitie 2.7.21.)

125. Herinner je dat een element e in een ring S idempotent is als e2 = e; merk op dat ineen product R×R′ van ringen het element e = (1, 0) idempotent is. De bedoelingvan deze oefening is om het omgekeerde hiervan aan te tonen.

(a) Zij e ∈ S idempotent. Toon aan dat e′ = 1− e ook idempotent is.

(b) Zij e ∈ S idempotent. Bewijs dat het hoofdideaal eS een ring is, met eenheids-element e. (Deze ring zal in het algemeen dus geen deelring zijn van S, tenzije = 1.)

(c) Zij e ∈ S een idempotent, en stel e′ = 1− e. Toon aan dat S ∼= (eS)× (e′S) alsringen.

126. Zij F een veld, en R = F [x]. Beschouw een kwadraatvrij polynoom f ∈ F [x], i.e.als g een niet-constant polynoom is met g | f , dan is g2 # f . Zij S ten slotte dequotientring S = R/(f). Bewijs dat S isomorf is met het direct product van eeneindig aantal velden.

98

Hoofdstuk

3 Modulen

Het hoeft geen betoog dat vectorruimten belangrijke algebraısche structurenzijn. Vectorruimten zijn steeds gedefinieerd over een zeker veld K, en wewillen graag dit begrip uitbreiden tot structuren die gedefinieerd zijn overeen ring R. Zo komen we tot het begrip van modulen.

Tegelijk is er ook een analogie met groepsacties. Het is in vele situatieszinvol om R-modulen te interpreteren als verzamelingen “waar de ring R opwerkt”.

Het uiteindelijke doel van dit hoofdstuk is de classificatie van eindig voort-gebrachte modulen over een hoofdideaaldomein. We zullen dit resultaat dantoepassen op de ring Z en op veeltermenringen F [x], en hieruit twee heelverschillende resultaten afleiden.

3.1 Definitie en voorbeelden

Definitie 3.1.1. Zij R een commutatieve ring. Een R-moduul is een abelsegroep (M,+), voorzien van een scalaire vermenigvuldiging

R ×M → M : (r, v) $→ r · v = rv ,

die voldoet aan de volgende axioma’s:

1 · v = v ,

(rs) · v = r · (s · v) ,(r + s) · v = r · v + s · v ,r · (v + w) = r · v + r · w ,

voor alle r, s ∈ R en alle v, w ∈ M .

Als K een veld is, dan is een K-moduul precies hetzelfde als een K-vec-torruimte. Maar terwijl de structuur van een K-vectorruimte op isomorfismena volledig bepaald is door zijn dimensie, kan de structuur van R-modulenheel wat gevarieerder zijn.

99

Voorbeelden 3.1.2. (1) Zij R een ring. Dan is R een R-moduul, met alsoptelling de optelling in R, en als scalaire vermenigvuldiging de verme-nigvuldiging in R.

(2) Zij R een ring, en stel Rn gelijk aan de verzameling van (n×1)-kolomma-trices over R, met de optelling en de scalaire vermenigvuldiging gegevendoor

⎛

⎜⎝

a1...an

⎞

⎟⎠+

⎛

⎜⎝

b1...bn

⎞

⎟⎠ =

⎛

⎜⎝

a1 + b1...

an + bn

⎞

⎟⎠ en r

⎛

⎜⎝

a1...an

⎞

⎟⎠ =

⎛

⎜⎝

ra1...

ran

⎞

⎟⎠ .

Dan is Rn een R-moduul.

De volgende voorbeelden illustreren het feit dat heel wat R-modulen nietvan de vorm Rn zijn, en zich essentieel anders gedragen dan vectorruimten.

Voorbeelden 3.1.3. (1) Zij R een ring, en I # R een ideaal. Dan is I eenR-moduul, met als optelling de optelling in I, en als scalaire vermenig-vuldiging de restrictie van de vermenigvuldiging in R tot I × R.

(2) Zij R = Z, en M een willekeurige abelse groep. We beweren dat M daneen Z-moduul is. Inderaad, we definieren n · v = v + · · ·+ v (n keer) en(−n) · v = −(n · v) voor elke n ∈ N. Het is duidelijk dat alle axioma’svan een Z-moduul dan zijn voldaan. Aangezien omgekeerd elk moduuleen abelse groep is, verkrijgen we:

Abelse groepen en Z-modulen zijn equivalente concepten.

(3) Zij F een veld, en R = F [x] de polynomenring over F in een variabele.We beweren dat de volgende twee concepten equivalent zijn:

(a) een F [x]-moduul;

(b) een F -vectorruimte V samen met een lineaire operator f : V → V .

Inderdaad, als V een F [x]-moduul is, dan is V in het bijzonder ook eenF -moduul, m.a.w. een F -vectorruimte. We kunnen dan een afbeeldingf : V → V definieren door de formule

f(v) := x · v voor alle v ∈ V.

Uit de definitie van modulen volgt nu dat f een lineaire operator is.Omgekeerd, als V een F -vectorruimte is en f ∈ EndF (V ), dan definierenwe een F [x]-moduulstructuur via de scalaire vermenigvuldiging

ϕ(x) · v := ϕ(f)(v) voor alle ϕ(x) ∈ F [x].

Men gaat na dat deze definitie inderdaad van V een F [x]-moduul maakt.

100

Oefeningen

127. Zij G een abelse groep. Bewijs dat, indien G de structuur heeft van een Q-moduul met de groepsbewerking als optelling, dat deze Q-moduulstructuur danuniek bepaald is. Toon vervolgens ook aan dat een eindige abelse groep nooit eenQ-moduulstructuur kan hebben.

128. Bewijs dat de volgende twee concepten equivalent zijn:

(a) een Z[i]-moduul;

(b) een abelse groep M samen met een groepsmorfisme ϕ : M → M met de eigen-schap dat ϕ ◦ ϕ = − id.

129. Zij R een ring en M een R-moduul. De annihilator van M is de verzameling

I = Ann(M) := {r ∈ R | rM = 0} .

Bewijs dat I een ideaal van R is. Bepaal de annihilator van het Z-moduul Z/2 ×Z/3× Z/4, en van het Z-moduul Z.

3.2 Deelmodulen, morfismen, quotienten, di-

recte sommen

Definitie 3.2.1. Zij R een ring en M een R-moduul. Een deelmoduul van Mis een additieve deelgroep N van M die tevens gesloten is onder de scalairevermenigvuldiging. We noteren dit als N ≤ M .

Lemma 3.2.2. De deelmodulen van het R-moduul R zijn precies de idealenvan R.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit de definities. !

De definitie van morfismen tussen modulen is precies dezelfde als bij vec-torruimten.

Definitie 3.2.3. Zij R een ring, en M en N twee R-modulen. Een afbeeldingθ : M → N is een moduulmorfisme of kortweg een morfisme, als de afbeeldingcompatibel is met de optelling en de scalaire vermenigvuldiging, in de zin dat

θ(v + w) = θ(v) + θ(w) en θ(rv) = rθ(v)

voor alle v, w ∈ M en alle r ∈ R. De begrippen epimorfisme, monomorfismeen isomorfisme worden gedefinieerd op de gebruikelijke manier, evenals debegrippen kern en beeld van een morfisme.

101

Lemma 3.2.4. Zij R een ring, M,N twee R-modulen, en θ : M → N eenmorfisme. Dan is ker(θ) ≤ M en im(θ) ≤ N .

Bewijs. Oefening. !

Voorbeeld 3.2.5. Zij R een domein, en beschouw de R-modulen M = Ren N = aR, met a ∈ R \ {0}. Dan is M ∼= N als R-modulen. Inderdaad,de afbeelding θ : M → N : r $→ ar is een moduulisomorfisme. (Merk op datker(θ) = 0 omdat R een domein is.)

Vervolgens zullen we ook het concept van quotientgroepen uitbreiden totmodulen.

Definitie 3.2.6. Zij R een ring, M een R-moduul, en N ≤ M een deel-moduul. In het bijzonder is M een abelse groep en N een deelgroep (endus normaaldeler) van M . Beschouw de quotientgroep M/N ; de elementenvan deze groep zijn de nevenklassen van N in M . Dan kunnen we van dezequotientgroep een R-moduul maken door

r · (v +N) := rv +N (3.1)

te stellen, voor elke r ∈ R en elke v ∈ M . We noemen M/N met dezescalaire vermenigvuldiging het quotientmoduul, of kortweg het quotient vanM met N .

Voorbeeld 3.2.7. Zij R een ring en I # R een ideaal van R. Dan is dequotientring R/I ook een R-moduul, namelijk het quotientmoduul van hetR-moduul R met het deelmoduul I ≤ R (zie Lemma 3.2.2). Deze R-modulenzullen een belangrijke rol spelen voor eindig voortgebrachte modulen overhoofdideaaldomeinen; zie Stelling 3.5.1 verderop.

Net zoals bij de quotientconstructies die we al eerder ontmoet hebben,kunnen we de volgende resultaten afleiden.

Stelling 3.2.8. Zij R een ring.

(i) Zij M een R-moduul, en N ≤ M een deelmoduul. De scalaire verme-nigvuldiging (3.1) is goed gedefinieerd, en M/N is een R-moduul. Deprojectie-afbeelding

π : M → M/N : v $→ v +N

is een epimorfisme van R-modulen, en de kern is precies N ≤ M .

(ii) [Eerste isomorfiestelling] Zij A,B twee R-modulen, en θ : A → B eenmoduulmorfisme. Dan is im(θ) ∼= A/ ker(θ) als R-modulen.

102

(iii) Zij A,B twee R-modulen, en θ : A → B een moduulmorfisme. Danheeft θ een decompositie in een projectie (= canonieke surjectie), eenisomorfisme, en een inclusie (= canonieke injectie):

A " A/ ker(θ)∼−→ im(θ) ↪→ B.

(iv) Zij M een R-moduul.

N ≤ M ⇐⇒[

N is de kern van een moduul-morfisme vertrekkend uit M

S is een quotient van M ⇐⇒[

S is het beeld van een moduul-morfisme vertrekkend uit M

Bewijs. Oefening. !

Ten slotte geven we een eenvoudige maar belangrijke constructie om vaneen collectie R-modulen een nieuw R-moduul te maken.

Definitie 3.2.9. Zij R een ring, en beschouw R-modulen M1, . . . ,Mn. Dandefinieren we een nieuw R-moduul M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn, dat we de directesom van de modulen M1, . . . ,Mn noemen, als volgt:

M = {(m1, . . . , mn) | mi ∈ Mi voor elke i} ,

met de componentsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging, i.e.

(m1, . . . , mn) + (m′1, . . . , m

′n) = (m1 +m′

1, . . . , mn +m′n) ,

r · (m1, . . . , mn) = (rm1, . . . , rmn) ,

voor alle mi, m′i ∈ Mi en r ∈ R. Het is eenvoudig om in te zien dat de directe

som van R-modulen opnieuw een R-moduul is.

De volgende “inwendige” karakterisatie van directe sommen is zeer nuttig.

Lemma 3.2.10. Zij R een ring, M een R-moduul, en M1, . . . ,Mn deelmo-dulen van M . Dan zijn de volgende uitspraken equivalent.

(a) De afbeelding θ : M1⊕ · · ·⊕Mn → M : (a1, . . . , an) $→ a1+ · · ·+an is eenR-moduul-isomorfisme;

(b) elke a ∈ M is op unieke wijze te schrijven als a = a1 + · · · + an metai ∈ Mi voor elke i;

(c) Mi ∩(∑

j=iMj

)

= 0 voor alle i, en elke a ∈ M is te schrijven alsa = a1 + · · ·+ an met ai ∈ Mi voor elke i.

103

Bewijs. Dit is een onmiddellijke toepassing van Gevolg 1.7.6. Merk op datde ring R geen rol speelt; enkel het feit dat M1, . . . ,Mn abelse groepen zijn,is relevant. !

Voorbeeld 3.2.11. In Voorbeeld 3.1.3(3) (p. 100) zagen we dat F [x]-modu-len equivalent zijn met F -vectorruimten voorzien van een lineaire operator.Beschouw dus een paar (V, f) bestaande uit een F -vectorruimte V voorzienvan een lineaire operator f .

Zij nu W ≤ V een F -vectordeelruimte. Dan is W een F [x]-deelmoduulvan V juist dan als x · W ⊆ W , want de ring F [x] is als ring voortge-bracht door F en het element x. Uit Voorbeeld 3.1.3(3) volgt nu dat deF [x]-deelmodulen W precies de F -deelruimten W zijn die f -invariant zijn,i.e. f(W ) ⊆ W .

In het bijzonder zien we dat als het F [x]-moduul V een directe som is vandeelmodulen, dat dan V als vectorruimte de directe som is van f -invariantedeelruimten. Als V eindig-dimensionaal is vinden we in het bijzonder eenbasis voor V zodat de matrix van f een blokmatrix is, waarvan de blokkenprecies overeenkomen met deze deelruimten.

Oefeningen

130. Zij R een ring, beschouwd als een R-moduul. Bepaal alle R-moduulmorfismen vanR naar zichzelf.

131. Zij R een ring en M een R-moduul. Zij E de verzameling van alle endomorfismenvan M , i.e. de morfismen van M naar zichzelf. Bewijs dat E een niet noodzakelijkcommutatieve ring is, met samenstelling van functies als vermenigvuldiging, en metoptelling gedefinieerd op de natuurlijke manier als (ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v) vooralle v ∈ M .

132. Een moduul wordt enkelvoudig of simpel genoemd als het niet het nul-moduul is,en geen eigenlijke deelmodulen heeft.

(i) Bewijs dat elk enkelvoudig moduul isomorf is met R/M voor een zeker maxi-maal ideaal M van R.

(ii) Bewijs het lemma van Schur: als ϕ : M → N een morfisme is tussen tweeenkelvoudige modulen, dan is ofwel ϕ = 0, ofwel is ϕ een isomorfisme.

133. Zij P ≤ N ≤ M drie R-modulen. Beschrijf natuurlijke morfismen die de drie quoti-entmodulen M/P , M/N en N/P met elkaar in verband brengen, en bewijs metbehulp hiervan de derde isomorfiestelling: M/N ∼= (M/P ) / (N/P ).

104

3.3 Matrices, vrije modulen, basissen

Voor we overgaan tot een diepere studie van willekeurige modulen, richtenwe ons eerst tot de modulen van de vorm Rn. Deze vertonen veel gelijke-nissen met vectorruimten, maar zoals we zullen zien zijn er toch belangrijkeverschillen.

We zullen vaak werken met R-matrices, i.e. matrices met waarden in R.Het manipuleren van dergelijke matrices kan op dezelfde manier als voormatrices met waarden in een veld, en we zullen de courante rekenregels hierdan ook niet herhalen. In het bijzonder kunnen we van elke vierkante (n×n)R-matrix A de determinant berekenen als

det(A) =∑

σ∈Sn

sign(σ) a1,1σ · · · an,nσ ,

en deze voldoet aan de klassieke eigenschap

det(AB) = det(A) det(B)

voor alle (n × n)-matrices A en B over R. Als det(A) een eenheid is in R,dan kunnen we de inverse matrix A−1 berekenen door middel van de gekendeformule

A−1 = (detA)−1 · adj(A) .

Omgekeerd is het duidelijk dat als det(A) geen eenheid is, dan de matrix Aniet inverteerbaar kan zijn, omwille van de gelijkheid det(A) det(A−1) = 1.

Definitie 3.3.1. Zij R een ring. De inverteerbare (n × n)-matrices metwaarden in R vormen een groep

GLn(R) := {A ∈ Matn(R) | det(A) ∈ R×} ,

die we de algemene lineaire groep over R noemen.

Merk op dat de voorwaarde det(A) ∈ R× een sterke restrictie is voorringen die weinig eenheden hebben, zoals bijvoorbeeld de ring Z. Toch zijner steeds nog behoorlijk veel matrices die hieraan voldoen. Immers, allematrices van de vorm

I + a · eij =

⎛

⎜⎝

1 a. . .

1

⎞

⎟⎠ , i = j, a ∈ R

105

hebben determinant 1; alle permutatiematrices hebben determinant ±1; ende diagonaalmatrices met waarden in R× hebben een determinant in R×. Degroep voortgebracht door al deze matrices is dus volledig bevat in GLn(R).

We keren nu terug naar de studie van de R-modulen. De conceptenbasis, onafhankelijkheid en voortbrengen kunnen alle vertaald worden naar demoduultheorie, zonder wezenlijke aanpassingen.

Definitie 3.3.2. Zij R een ring, en M een R-moduul.

(i) Een (geordende) verzameling (v1, . . . , vn) van elementen van M is eenvoortbrengende verzameling voor M , of spant M op, als elke v ∈ M eenR-lineaire combinatie is van deze elementen, i.e.

v = r1v1 + · · ·+ rnvn ,

met elke ri ∈ R; we noemen het stel (v1, . . . , vn) een stel voortbrengersvoor M .

(ii) Het moduul M is eindig voortgebracht als het een eindig stel voortbren-gers heeft. Merk op dat een abelse groep eindig voortgebracht is alsgroep als en slechts als hij eindig voortgebracht is als Z-moduul.

(iii) Een stel elementen (v1, . . . , vn) uit M noemen we (lineair) onafhankelijkals geen enkele niet-triviale R-lineaire combinatie nul is, i.e.

als r1v1 + . . . rnvn = 0 (met ri ∈ R), dan ri = 0 voor alle i .

(iv) Een basis is een (geordende) verzameling die tegelijk voortbrengend enonafhankelijk is.

(v) Het moduul Rn heeft een standaardbasis (e1, . . . , en), waarbij ei de ko-lomvector is met een 1 op de i-de rij en een 0 op alle andere rijen.

(vi) Het moduul M wordt vrij genoemd als het een basis heeft.

Niet alle modulen hebben een basis:

Lemma 3.3.3. Zij R een ring, en M een R-moduul. Dan heeft M een basismet juist n elementen als en slechts als M ∼= Rn.

We noemen M in dit geval vrij van rang n.

Bewijs. We hebben reeds opgemerkt dat het moduul Rn een basis heeft,namelijk de standaardbasis.

Veronderstel omgekeerd dat B = (v1, . . . , vn) een basis is voor M . Be-schouw het moduulmorfisme

µ : Rn → M :

⎛

⎜⎝

r1...rn

⎞

⎟⎠ $→ r1v1 + · · ·+ rnvn .

106

Aangezien (v1, . . . , vn) een voortbrengende verzameling is voor M , is µ sur-jectief; en omdat (v1, . . . , vn) een onafhankelijke verzameling is in M , is µinjectief. Bijgevolg is µ bijectief, en dus is M ∼= Rn. !

Opmerking 3.3.4. Het is vreemd dat men voor R-modulen het begrip“rang” gebruikt waar men voor vectorruimten “dimensie” gebruikt, maardit is de gebruikelijke terminologie.

Opmerking 3.3.5. Hoewel de noties die we hebben ingevoerd in Defini-tie 3.3.2 volledig analoog zijn aan de gelijknamige noties in vectorruimten,zijn er toch belangrijke verschillen, zelfs als we ons zouden beperken tot vrijemodulen. Een van de grootste verschillen, met vergaande gevolgen, is het feitdat een onafhankelijke verzameling in een vrij moduul niet steeds uitgebreidkan worden tot een basis. Zo is bijvoorbeeld het singleton {(2, 0)t} ⊂ Z2 nietuitbreidbaar tot een basis voor Z2. (Ga dit zelf na.)

Voorbeeld 3.3.6. In Voorbeeld 3.1.3(3) (p. 100) zagen we dat F [x]-modu-len equivalent zijn met F -vectorruimten voorzien van een lineaire operator.Beschouw nu de F -vectorruimte

Z := {(a0, a1, a2, . . . ) | ai ∈ F , slechts eindig veel ai = 0} ,

voorzien van de shift-operator

T : Z → Z : (a0, a1, a2, . . . ) $→ (0, a0, a1, . . . ) .

We beweren dat (Z, T ) onder voorgaande equivalentie overeenkomt met eenvrij F [x]-moduul van rang 1. Inderdaad, stel M = F [x] als F [x]-moduul, enbeschouw de afbeelding

ρ : M → Z : a0 + a1x+ a2x2 + · · · $→ (a0, a1, a2, . . . )

voor alle ai ∈ F . Het is duidelijk dat ρ alvast een F -vectorruimte-isomorfismeis.

We stellen vast dat

ρ(xϕ(x)) = T (ρ(ϕ(x))) = x · ρ(ϕ(x))

voor elke veelterm ϕ(x) ∈ F [x]. Aangezien F [x] als ring wordt voortgebrachtdoor F en het element x, volgt hieruit dat ρ een F [x]-moduulisomorfisme isvan M naar Z. We besluiten dat Z vrij is van rang 1.

Het rekenen met basissen in vrije R-modulen van eindige rang gebeurtop dezelfde manier als bij vectorruimten, gebruik makend van matrices metwaarden in R. We herhalen de belangrijkste concepten.

107

Definitie 3.3.7. (i) Zij M een vrij R-moduul met basis B = (v1, . . . , vn).De coordinaatvector van een element v ∈ M ten opzichte van een basisBis de unieke kolomvector (r1, . . . , rn)t ∈ Rn zodat v = r1v1 + · · ·+ rnvn.

(ii) Zij M een vrij R-moduul van eindige rang, en B = (v1, . . . , vn) enB′ = (v′1, . . . , v

′n) twee basissen voor M . De transitiematrix of matrix

van basisovergang is de matrix Q = (qij) ∈ GLn(R) gedefinieerd door denieuwe basisvectoren te schrijven in functie van de oude basisvectoren,als

v′j =n

∑

i=1

qijvi

voor elke j ∈ {1, . . . , n}.Opmerking 3.3.8. We hebben in de voorgaande definitie impliciet gebruikgemaakt van het feit dat elke twee basissen dezelfde kardinaliteit hebben.Dit is inderdaad het geval, en kan bewezen worden op gelijkaardige manierals voor vectorruimten, bijvoorbeeld door aan te tonen dat de matrix Q vanbasisovergang inverteerbaar is: de matrix P van de omgekeerde basisovergang(van B′ naar B) voldoet aan PQ = QP = 1. Men kan dan aantonen datdit enkel kan als P en Q vierkante matrices zijn, omdat voor commutatieveringen blijft gelden dat de rijrang en de kolomrang gelijk zijn, en dat de rangvan het product van matrices nooit groter is dan de rang van deze matriceszelf.

Het is heel verrassend dat dit niet langer waar is voor niet-commutatieveringen R. (De definities van modulen en vrije modulen zijn volledig analoogaan het commutatieve geval.) Er bestaan zelfs niet-commutatieve ringen Rzodat de modulen Rn voor n = 1, 2, 3, . . . allemaal isomorf zijn aan elkaar.

Definitie 3.3.9. Zij R een ring, M,N twee vrije R-modulen van eindigerang, en θ : M → N een moduulmorfisme. Als M basis B = (v1, . . . , vn)heeft en N basis C = (w1, . . . , wm), dan definieren we de matrix van θ tenopzichte van de basissen B en C als de matrix A = (aij) zodat

θ(vj) =m∑

i=1

aijwi

voor elke j ∈ {1, . . . , n}.

Als we voor beide vrije modulen een nieuwe basis B′ respectievelijk C′

kiezen, en de matrices van basisovergang voorstellen als Q respectievelijk P ,dan wordt de nieuwe matrix A′ van de afbeelding θ ten opzichte van debasissen B′ en C′ gegeven door

A′ = P−1AQ .

108

Vrije modulen worden gekarakteriseerd door een “universele eigenschap”.

Stelling 3.3.10 (Universele eigenschap van vrije modulen). Zij R een ring,en M een vrij R-moduul met basis B. Beschouw een willekeurig R-moduulN , en een afbeelding α : B → N . Dan is er een uniek moduulmorfismeθ : M → N zodat θ(v) = α(v) voor elke v ∈ B.

Bewijs. Zij Θ de afbeelding van M naar N gedefinieerd door

Θ(r1v1 + · · ·+ rnvn) = r1α(v1) + · · ·+ rnα(vn)

voor alle r1, . . . , rn ∈ R en alle v1, . . . , vn ∈ B (twee aan twee verschillend).Omdat B een basis is, is Θ goed gedefinieerd: elk element van M kan opunieke wijze geschreven worden in de vorm r1v1 + · · ·+ rnvn. Trivialerwijzegeldt Θ(v) = α(v) voor elke v ∈ B. Bovendien is Θ een R-moduulmorfisme,zoals onmiddellijk blijkt door sommen en scalaire veelvouden te beschouwen.

De uniciteit is eveneens gemakkelijk in te zien, want uit de R-lineariteitvan morfismen volgt dat een dergelijke θ moet voldoen aan

θ(r1v1 + · · ·+ rnvn) = r1θ(v1) + · · ·+ rnθ(vn) ,

en dus moet θ = Θ. !

Definitie 3.3.11. (i) Zij θ : A → B een epimorfisme van R-modulen. Eenmorfisme σ : B → A met de eigenschap dat θ ◦ σ = idB noemen we eensectie van het epimorfisme θ. Merk op dat een sectie steeds injectief is.Niet elk epimorfisme heeft een sectie, en als een epimorfisme een sectieheeft, is het niet noodzakelijk uniek.

(ii) Een R-moduul P met de eigenschap dat elk epimorfisme naar P eensectie heeft, noemen we een projectief moduul.

Stelling 3.3.12. Zij R een ring. Dan is elk vrij R-moduul projectief.

Bewijs. Zij F een vrij R-moduul en M een willekeurig R-moduul, en be-schouw een epimorfisme θ : M → F ; we moeten aantonen dat θ een sectieσ : F → M heeft.

Kies daartoe een basis B voor F . Omdat θ een epimorfisme is, bestaater voor elke v ∈ B een av ∈ M zodat θ(av) = v. Zij

α : B → M : v $→ av ;

uit Stelling 3.3.10 weten we dat de afbeelding α op een unieke manier uit-breidt tot een morfisme σ : F → M zodat σ(v) = av. In het bijzonder isθ ◦ σ een endomorfisme van F met (θ ◦ σ)(v) = v voor alle v ∈ B, en dusθ ◦ σ = idF . !

109

Het belang hiervan blijkt uit het feit dat elk epimorfisme θ : A → B tussentwee R-modulen dat een sectie heeft, aanleiding geeft tot een natuurlijkedecompositie van het moduul A.

Stelling 3.3.13. Zij θ : A → B een epimorfisme, en zij σ : B → A een sectievan θ. Dan is A = ker(θ)⊕ im(σ) ∼= ker(θ)⊕ B.

Bewijs. We zullen gebruik maken van Lemma 3.2.10. Stel a ∈ ker(θ)∩im(σ),en schrijf a = σ(b) met b ∈ B. Dan is 0 = θ(a) = θ(σ(b)) = b, en dus isker(θ)∩ im(σ) = 0. Zij anderzijds a ∈ A willekeurig; dan is σ(θ(a)) ∈ im(σ).Anderzijds is

θ(a− σ(θ(a))) = θ(a)− θ(σ(θ(a))) = θ(a)− θ(a) = 0 ,

en dus is a = (a − σ(θ(a))) + σ(θ(a)) ∈ ker(θ) + im(σ). Uit Lemma 3.2.10volgt nu dat A = ker(θ)⊕ im(σ).

Merk ten slotte op dat im(σ) ∼= B omdat σ injectief is. !

Als gevolg hiervan bekomen we de volgende karakterisatie van projectievemodulen.

Stelling 3.3.14. Zij P een R-moduul. Dan is P projectief als en slechts alshet een directe sommand is van een vrij moduul, d.w.z., als en slechts als ereen vrij moduul F bestaat en deelmodulen A en B van F zodat F = A ⊕ Bmet A ∼= P .

Bewijs. Veronderstel eerst dat P projectief is. Beschouw een voortbrengendeverzameling (vi)i∈I (waarbij I een indexverzameling is). Beschouw nu eenvrij R-moduul F met basis1 (ei)i∈I . Wegens Stelling 3.3.10 is er een mo-duulmorfisme θ : F → P zodat θ(ei) = vi voor elke i ∈ I. Omdat (vi)i∈Ivoortbrengend is, is θ een epimorfisme; omdat P projectief is, heeft θ eensectie σ : P → F . Uit Stelling 3.3.13 volgt dan dat F = im(σ) ⊕ ker(θ), enaangezien im(σ) ∼= P volgt het gestelde.

Veronderstel omgekeerd dat F een vrij R-moduul is, en dat F = A⊕B; wezullen bewijzen dat A projectief is. Beschouw dus een willekeurig epimorfismeθ : M → A. Dan is θ ⊕ idB : M ⊕ B → A⊕B een epimorfisme naar een vrij(en dus projectief) moduul, dat bijgevolg een sectie σ : A ⊕ B → M ⊕ Bheeft. Dan is σ(A) ⊆ M , en de restrictie σ|A : A → M is een sectie van θ. !

1Indien |I| = n is dit moduul F precies Rn, maar ook indien I oneindig is, kunnen weeen vrij moduul F maken van rang |I|. De elementen van F zijn dan precies de (formele)R-lineaire combinaties van de “symbolen” ei, en F is op natuurlijke wijze een R-moduul.

110

Tot slot tonen we aan dat deelmodulen van vrije modulen over een PIDopnieuw vrij zijn. We zullen ons voor het bewijs beperken tot vrije modulenvan eindige rang.

Stelling 3.3.15. Zij R een hoofdideaaldomein, en M een vrij R-moduul vanrang n. Zij N ≤ M een deelmoduul van M ; dan is N een vrij R-moduul vanrang ten hoogste n.

Bewijs. We bewijzen dit per inductie op de rang n. Stel eerst n = 1; dan isM ∼= R, en uit Lemma 3.2.2 weten we dat N ≤ M een ideaal is in R. OmdatR een PID is, is N = (a) = aR voor een zekere a ∈ R, en als a = 0 dan isaR ∼= R als R-modulen (zie Voorbeeld 3.2.5).

Zij nu M = Rn, en beschouw het projectiemorfisme

π : Rn → Rn−1 : (r1, . . . , rn) $→ (r2, . . . , rn) .

De inductiehypothese leert ons dat π(N) vrij is met rang ten hoogste n− 1.De restrictie π|N : N → π(N) is dus een epimorfisme naar een vrij moduul,en uit Stellingen 3.3.12 en 3.3.13 volgt dat

N ∼= ker(π|N)⊕ π(N) .

Enerzijds merken we op dat ker(π|N) een deelmoduul is van ker(π) ∼= R,zodat ker(π|N) een vrij moduul van rang 0 of 1 is. Anderzijds weten we reedsdat π(N) een vrij moduul is van rang ten hoogste n− 1. Omdat de directesom van vrije modulen duidelijkerwijze opnieuw vrij is van rang gelijk aande som van de rangen, volgt hieruit dat N een vrij moduul is van rang tenhoogste n. !

Opmerking 3.3.16. De voorwaarde dat onze ring een PID is is noodzakelijk,zoals reeds blijkt uit het rang 1 geval.

Gevolg 3.3.17. Zij R een hoofdideaaldomein. Dan is elk projectief R-moduulook vrij.

Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Stellingen 3.3.14 en 3.3.15. !

Opmerking 3.3.18. We weten nu dat elk vrij moduul projectief is, en datvoor hoofdideaaldomeinen ook elk projectief moduul vrij is. De natuurlijkevraag stelt zich of dit laatste ook geldt voor willekeurige ringen. In hetalgemeen geldt dit niet; zie bijvoorbeeld Oefening 143. Anderzijds geldt ditwel voor een belangrijke klasse van ringen, namelijk voor polynomenringenover een veld, k[x1, . . . , xn]. Dit zeer belangrijke en diepgaande resultaatwerd in 1976 bewezen door Daniel Quillen en Andrei Suslin. Quillen heeft in1978, ondermeer voor dit werk, de prestigieuze Fields medaille gewonnen.

111

Oefeningen

134. Zij R = C[x, y], en zij M het ideaal (x, y) in R. Is M een vrij R-moduul?

135. Zij R een ring zodat elk eindig voortgebracht R-moduul vrij is. Bewijs dat ofwelR = 0, ofwel is R een veld.

136. Zij A de matrix van een morfisme ϕ : Zn → Zm van vrije Z-modulen.

(i) Bewijs dat ϕ injectief is als en slechts als de rang van A gelijk is aan n.

(ii) Bewijs dat ϕ surjectief is als en slechts als de grootste gemene deler van dedeterminanten van alle (m×m)-minoren van A gelijk is aan 1.

137. Zij R een ring, en I # R. Bewijs dat I een vrij R-moduul is als en slechts als heteen hoofdideaal is, voortgebracht door een element α ∈ R dat geen nuldeler is.

138. Zij R en S twee niet-nul ringen, en beschouw de ring R × S. Toon aan dat R × 0en 0× S projectieve (R× S)-modulen zijn die niet vrij zijn.

3.4 De Smith normaalvorm

Zij R een hoofdideaaldomein, M en N twee vrije R-modulen, en θ : M → Neen morfisme. We vragen ons af of we de basissen van M en N zodanigkunnen kiezen dat θ een zeer eenvoudige matrixvoorstelling heeft, en wat deeenvoudigste algemene gedaante is die we kunnen verwachten.

Als R een veld is, dan weten we reeds uit de cursus “Lineaire Algebraen Meetkunde I” dat we onze basissen steeds zodanig kunnen kiezen dat dematrix de gedaante

A =

(

I 00 0

)

heeft. Als R geen veld is, dan is dit resultaat zelfs al verkeerd voor (1×1)-ma-trices: als r ∈ R niet nul en geen eenheid is, dan kunnen we de afbeeldinggegeven door de matrix

(

r)

onmogelijk voorstellen door de matrix(

0)

of(

1)

ten opzichte van nieuwe basissen.We kunnen wel “diagonaliseren”, en meer bepaald op de volgende manier.

Stelling 3.4.1. Zij R een Euclidisch domein, en zij A een (m × n)-matrixover R. Dan bestaan er vierkante inverteerbare R-matrices P en Q (die hetproduct zijn van elementaire matrices) zodat A′ = PAQ een (m× n)-matrixis van de vorm

A′ =

⎛

⎜⎜⎜⎝

d1 0. . .

...dr 0

0 · · · 0 0

⎞

⎟⎟⎟⎠

,

112

waarbij elk diagonaalelement het volgende deelt, i.e. d1 | d2 | · · · | dr.

Bewijs. We zullen de matrix A stap voor stap omzetten in de matrix A′ doormiddel van elementaire rijen kolomoperaties:

(a) twee rijen of twee kolommen verwisselen met elkaar;

(b) een rij of kolom vermenigvuldigen met een eenheid in R;

(c) een veelvoud van een rij bij een andere rij optellen, of een veelvoud vaneen kolom bij een andere kolom optellen.

Het is duidelijk dat elk van deze operaties kan verkregen worden door dematrix A links of rechts te vermenigvuldigen met de gepaste elementairematrix.

De strategie van het bewijs is om een opeenvolging van operaties uit tevoeren om een matrix van de gedaante

⎛

⎜⎜⎜⎝

d1 0 · · · 00... B0

⎞

⎟⎟⎟⎠

(3.2)

te bekomen, waarbij d1 elk van de elementen van B deelt. Het resultaat volgtdan onmiddellijk per inductie.

We veronderstellen A = 0. Om onze strategie uit te werken, gaan we tewerk in drie stappen.

Stap 1. Door rijen en kolommen te permuteren, plaatsen we linksbovenaaneen niet-nul element a ∈ R waarvoor d(a) minimaal is onder alle elementenvan A.

Stap 2. Stel a = a11. Kies een niet-nul element ai1 in de eerste kolom, meti > 1, en voer de Euclidische deling uit door a11:

ai1 = aq + r ,

waarbij r = 0 of d(r) < d(a). We trekken nu q keer de eerste rij af van dei-de rij; dit heeft (ondermeer) als effect dat ai1 verandert in r.

Als r = 0, dan is d(r) < d(a); we keren dan terug naar stap 1. Alsr = 0, dan hebben we een 0 aangemaakt in de eerste kolom. Na eindig veelherhalingen van stappen 1 en 2 bekomen we een matrix waarin ai1 = 0 vooralle i > 1. (Inderdaad, de Euclidische functie d neemt gehele waarden ≥ 0aan, en kan dus niet oneindig vaak kleiner worden.)

Deze procedure herhalen we nu ook voor de eerste rij, en we verkrijgendus een matrix van de gedaante (3.2), waarbij we echter nog niet weten of d1wel elk element van B deelt.

113

Stap 3. Veronderstel dat er een element b in B is dat niet deelbaar is doora = a11. We voeren opnieuw een Euclidische deling uit van b door a, enschrijven b = aq+r met r = 0 en d(r) < d(a). We voegen nu de kolom van Adie b bevat toe aan de eerste kolom, zodat we in die eerste kolom het elementb zien verschijnen. We keren nu terug naar Stap 2, waar de Euclidischedeling ons terug naar Stap 1 zal brengen, om het element a11 opnieuw teveranderen in een element waar de Euclidische functie een kleinere waardeaanneemt (namelijk de rest r van de deling die we daarnet uitvoerden). Naeen eindig aantal stappen zal dit proces eindigen, en verkrijgen we een matrixA van de gedaante (3.2) met de bijkomende eigenschap dat d1 een deler isvan elk element van B. !

Dit resultaat geldt algemener voor hoofdideaaldomeinen, maar het bewijsis beduidend moeilijker en vergt een diepere theoretische voorbereiding. Wevermelden het volledige resultaat voor verdere referentie. Merk ook op datwe een uniciteitsuitspraak toevoegen voor de elementen di, die we ook voorEuclidische domeinen niet hebben aangetoond.

Stelling 3.4.2. Zij R een hoofdideaaldomein, en zij A een (m × n)-matrixover R. Dan bestaan er vierkante inverteerbare R-matrices P en Q zodatA′ = PAQ een (m× n)-matrix is van de vorm

A′ =

⎛

⎜⎜⎜⎝

d1 0. . .

...dr 0

0 · · · 0 0

⎞

⎟⎟⎟⎠

,

waarbij elk diagonaalelement het volgende deelt, i.e. d1 | d2 | · · · | dr. Boven-dien zijn de elementen d1, . . . , dr uniek bepaald op eenheden na. We noemende matrix A′ de Smith normaalvorm van de matrix A.

Zonder bewijs. !

Oefeningen

139. Bepaal alle gehele oplossingen van het stelsel AX = 0, waarbij A =(4 7 22 4 6

)

.

140. Bewijs dat SL(2,Z) wordt voortgebracht door de matrices T =(1 10 1

)

en S =(0 −11 0

)

.

141. Zij ϕ : Zk → Zk een morfisme gegeven door (linkse) vermenigvuldiging met een(k × k)-matrix A.

(i) Bewijs dat im(ϕ) eindige index heeft in Zk als en slechts als A een niet-singuliere matrix is.

(ii) Toon aan dat in dat geval deze index gelijk is aan |det(A)|.

114

3.5 Eindig voortgebrachte modulen over hoofd-

ideaaldomeinen

We zullen nu kunnen komen tot een zeer sterke structuurstelling voor eindigvoortgebrachte modulen over hoofdideaaldomeinen.

Stelling 3.5.1. Zij R een PID, en zij M = 0 een eindig voortgebracht R-mo-duul. Dan zijn er een unieke gehele getallen s, t ≥ 0 en uniek bepaalde echteniet-nul idealen

I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ Is

zodatM ∼= R/I1 ⊕ · · ·⊕ R/Is ⊕Rt .

De idealen Ii noemen we de elementaire delers vanM , en deze uitdrukkingwordt de elementaire delervorm van M genoemd.

Bewijs. Beschouw een eindig stel voortbrengers (v1, . . . , vn) voor M . Zij Feen vrij R-moduul van rang n, met basis B = (e1, . . . , en), en beschouwde afbeelding α : B → M : ei $→ vi. Wegens de universele eigenschap vanvrije modulen (Stelling 3.3.10) is er een uniek morfisme θ : F → M zodatθ(ei) = vi. Omdat de elementen v1, . . . , vn het moduul M voortbrengen, isθ surjectief. Stel N = ker(θ); uit de eerste isomorfiestelling voor modulenvolgt dan dat M ∼= F/N . Bovendien weten we uit Stelling 3.3.15 dat N eenvrij moduul is van rang m ≤ n.

Beschouw de inclusieafbeelding ι : N ↪→ F . Uit Stelling 3.4.2 weten wedat er basissen C = (w1, . . . , wm) voor N enD = (z1, . . . , zn) voor F bestaan,zodanig dat ι(wi) = dizi voor elke i ∈ {1, . . . , m}, waarbij d1 | · · · | dm, en dedi’s zijn uniek bepaald op eenheden na. (Merk op dat ι injectief is, zodat dematrixvoorstelling geen nulkolommen heeft.)

We schrijven nu zowel F als het deelmoduul N (of preciezer, ι(N)) neerdoor middel van hun coordinaten ten opzichte van de basis D, en we verkrij-gen

F = {(r1, . . . , rm, rm+1, . . . , rn)t | ri ∈ R} , en

ι(N) = {(d1r1, . . . , dmrm, 0, . . . , 0)t | ri ∈ R} .

We besluiten dat

M ∼= F/N ∼= R/(d1)⊕ · · ·⊕R/(dm)⊕ R⊕ · · ·⊕ R .

We merken nog op dat als d1 een eenheid is, de term R/(d1) triviaal is en duskan weggelaten worden, zodat we zonder verlies van algemeenheid kunnen

115

stellen dat d1 (en bijgevolg elke di) geen eenheid is, m.a.w. de idealen Ii = (di)zijn echte idealen.

Het bewijs van de uniciteit laten we achterwege. !

Het is interessant om deze structuurstelling nog in een andere vorm teherformuleren. Hiervoor hebben we de Chinese reststelling (Stelling 2.8.5)nodig.

Stelling 3.5.2. Zij R een PID, en zij M = 0 een eindig voortgebracht R-mo-duul. Dan zijn er een unieke s, t ∈ Z≥0, unieke priemelementen pi ∈ R, enunieke αi ∈ N, zodat

M ∼= R/(pα11 )⊕ · · ·⊕ R/(pαs

s )⊕ Rt .

(De priemelementen hoeven niet verschillend te zijn; de uniciteit die we ver-melden is uiteraard op een hernummering na, en de priemelementen zijnslechts op een eenheid na uniek bepaald.)

Bewijs. We tonen aan dat we voor elk echt niet-nul ideaal I de ring R/Inog verder kunnen ontbinden op de aangegeven manier. Stel dus I = (a),en ontbind a in priemfactoren als a = pα1

1 · · · pαk

k , waarbij de priemelementenp1, . . . , pk twee aan twee verschillend zijn. (We maken hier gebruik van hetfeit dat elke PID ook een UFD is, en dat in een UFD elk irreducibel elementook priem is.) Merk op dat er een overeenkomstige ontbinding is van idealen

I = (a) = (pα11 ) · · · (pαk

k )

(zie Oefening 108). Omdat voor elke i = j de idealen (pαii ) en (p

αj

j ) copriemzijn (zie Oefening 129), kunnen we de Chinese reststelling 2.8.5 toepassen,en dus is

R/I = R/(a) ∼= R/(pα11 )⊕ · · ·⊕ R/(pαk

k ) .

Door dit te herhalen voor elk ideaal in de elementaire delervorm van M ,verkrijgen we de gewenste gedaante. (Merk op dat hierin dus wel herhalingvan priemelementen kan optreden.) !

We zullen deze stelling nu toepassen voor R = Z en vervolgens voorR = F [x]. Het is verrassend dat we twee concrete stellingen terugvinden dieogenschijnlijk niks met elkaar te maken hebben, maar dus eigenlijk beide eengevolg zijn van een algemene structuurstelling in de moduultheorie.

116

Classificatie van eindig voortgebrachte abelse groepen

We geven twee verschillende versies, die beide nuttig kunnen zijn.

Stelling 3.5.3 (Grondstelling van de eindig voortgebrachte abelse groepen).Zij G een eindig voortgebrachte abelse groep.

(i) Er bestaan unieke s, t ∈ Z≥0 en unieke d1, . . . , ds ∈ N>1 met d1 | · · · | ds,zodat

G ∼= Cd1 × · · ·×Cds × Zt .

(ii) Er bestaan unieke s, t ∈ Z≥0, unieke priemgetallen p1, . . . , ps (niet nood-zakelijk verschillend), en unieke α1, . . . ,αs ∈ N, zodat

G ∼= Cpα11

× · · ·×Cpαss

× Zt .

Bewijs. De eerste gedaante volgt uit Stelling 3.5.1 en de tweede gedaante uitStelling 3.5.2 door R = Z te stellen, en in gedachten te houden dat abelsegroepen en Z-modulen equivalente begrippen zijn. !

Opmerking 3.5.4. (i) In beide gedaantes is t = 0 als en slechts als G ein-dig is, en in het bijzonder hebben we dus een classificatie (in tweegedaantes) van alle eindige abelse groepen.

(ii) De voorwaarde dat de groep eindig voortgebracht moet zijn, is vancruciaal belang. De groep (Q,+) is een eenvoudig voorbeeld van eenabelse groep die niet eindig voortgebracht is, en een classificatie gevenvan alle abelse groepen is niet haalbaar.

De Jordan normaalvorm voor lineaire operatoren

In Voorbeeld 3.1.3(3) (p. 100) en Voorbeeld 3.2.11 (p. 104) hebben we geziendat F [x]-modulen equivalent zijn met F -vectorruimten V voorzien van een li-neaire operator f , en dat deelmodulen hierbij overeenkomen met f -invariantedeelruimten van V .

Veronderstel nu dat de onderliggende vectorruimte V eindig-dimensionaalis en dat F algebraısch gesloten is.

Definitie 3.5.5. Een veld F wordt algebraısch gesloten genoemd als elkeveelterm f(x) ∈ F [x] van graad ten minste 1 kan geschreven worden als hetproduct van lineaire factoren (i.e. veeltermen van graad 1) in F [x].

Voorbeeld 3.5.6. De zogenaamde grondstelling van de algebra zegt preciesdat het veld C algebraısch gesloten is. Je hebt deze stelling bewezen inde cursus “Complexe Analyse” als gevolg van de stelling van Liouville, en

117

we zullen ook in de cursus “Algebra II” een ander bewijs zien van dezebelangrijke stelling.

Stelling 3.5.7 (Jordan normaalvorm). Zij F een algebraısch gesloten veld,zij V een eindig-dimensionale F -vectorruimte, en zij f ∈ EndF (V ).

(i) Het F [x]-moduul corresponderend met (V, f) kan geschreven worden inde vorm

V ∼= F [x]/(

(x− λ1)α1)

⊕ · · ·⊕ F [x]/(

(x− λs)αs)

voor zekere λ1, . . . ,λs ∈ F (niet noodzakelijk verschillend van elkaar)en zekere α1, . . . ,αs ∈ N∗.

(ii) Beschouw nu een deelmoduul van de vorm W ∼= F [x]/(

(x− λ)α)

. Danis er een basis van W zodat de matrix van de lineaire operator f|Wgegeven is door

A =

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎝

λ1 λ

. . . . . .1 λ

1 λ

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Een dergelijke matrix wordt een Jordan blok genoemd.

(iii) Er bestaat een basis voor V zodat de matrixvoorstelling van f een blok-matrix is bestaande uit Jordan blokken.

Bewijs. Merk op dat F [x] een hoofdideaaldomein is, zodat de priemelemen-ten precies de irreducibele elementen zijn. Aangezien F algebraısch geslotenis, zijn de irreducibele elementen precies de lineaire veeltermen, dus de veel-termen van de vorm x− λ met λ ∈ F (of scalaire veelvouden hiervan, maarscalairen zijn eenheden in F [x]).

(i) Dit volgt nu onmiddellijk uit Stelling 3.5.2 samen met de vorige obser-vaties. Merk op dat V eindig-dimensionaal is over F , zodat er geen vrijdeelmoduul F [x]t kan optreden.

(ii) Stel q = (x− λ)α, en kies w = 1 + (q) ∈ W . De elementen

w1 = w, w2 = (x− λ) · w, . . . , wα = (x− λ)α−1 · w

vormen een basis voor W over F . (Inderdaad, omdat deze elementenals veelterm in x verschillende graad hebben, zijn ze duidelijk lineaironafhankelijk; omdat dimF W = α vormen deze α elementen dan een

118

basis.) Bovendien rekent men eenvoudig na dat x · wi = λwi + wi+1

voor alle i ∈ {1, . . . ,α − 1} en dat x · wα = λwα. Bijgevolg heeftde matrixvoorstelling A van x ten opzichte van deze basis de gezochtegedaante.

(iii) Dit volgt nu onmiddellijk uit (i) en (ii) samen met het feit dat eendirecte som van F [x]-deelmodulen overeenkomt met een ontbinding vande matrix als blokmatrix (zie ook Voorbeeld 3.2.11). !

Opmerking 3.5.8. Ook als F niet algebraısch gesloten is, kan men een ge-lijkaardige methode aanwenden om een lineaire operator zo eenvoudig moge-lijk te schrijven. De resulterende gedaante wordt dan een rationale canoniekevorm genoemd.

Oefeningen

142. Toon aan dat de multiplicatieve groep Q× van de rationale getallen isomorf is methet direct product van een cyclische groep van orde 2 met een vrije abelse groepvan oneindige rang.

143. Bepaal het aantal isomorfieklassen van abelse groepen van orde 1000.

144. Zij A een eindige abelse groep, en ϕ : A → C× een morfisme dat niet triviaal is, i.e.ϕ(A) = {1}. Bewijs dat

∑

a∈A ϕ(a) = 0.

145. Zij F een algebraısch gesloten veld. Kan je een zinvolle voorstelling geven van eenwillekeurige lineaire operator op een F -vectorruimte die niet noodzakelijk eindig-dimensionaal is, gelijkaardig aan de Jordan normaalvorm? Denk hierbij aan Voor-beeld 3.3.6 (p. 107).

119

A lgebratdemedts/files/algebraI.pdf3.3 Matrices, vrije modulen, basissen . . . . . . . . . . . . . ....

Documents

Transcript of A lgebratdemedts/files/algebraI.pdf3.3 Matrices, vrije modulen, basissen . . . . . . . . . . . . . ....