8 Leereenheid 1 .1 -----Ontbinden en vergelijken

6

0Formuleer de wetmatigheid in de uitkomsten van de volgende sommen, nadat jedeze met behulp van computeralgebra hebt berekend.a (x-l)4= d (x-lr=b (x - 1)5= e (a - 2b)5 =C (x-l)6= f (3p-2q)4=

1.1.2 Ontbinden in factoren

Het omgekeerde van haakjes verdrijven is het ontbinden in factoren, een techniekdie onder andere vaak wordt toegepast bij het oplossen van vergelijkingen en hetvereenvoudigen van breuken. We kunnen de rekenregels 3 tot en met 8 van devorige paragraaf daarbij opnieuw gebruiken, maar nu van rechts naar links gelezen.

In paragraaf 1.1.1 wordt gebruikgemaakt van het 'verdrijven van de haakjes' . Inonderstaande situatie wordt het 'binnen haakjes plaatsen' toegepast.

y

15

I;:

I'

10

5.'--'--"'-""--'--

i --~ "------',. x

20 255 10 15

-5

Fig. 1.2 De baan van een tennisbal

Een tennisbal wordt vanaf 2,2 m hoogte onder een bepaalde hoek met het

horizontale vlak en met een bepaalde beginsnelheid weggeslagen. De baan van dlbal is te beschrijvenvolgensde vergelijkingy = 0,0176 . (- X2 + 20x + 125),zi(fig. 1.2. De afstand die de tennisbal heeft afgelegd op het moment dat deze degrond raakt, is te berekenen door de vergelijking 0,0176 . (- x2 + 20x + 125) =op te lossen. De oplossing verloopt verder als volgt:

(X2 - 20x - 125) = 0(x + 5) . (x - 25) = 0x = - 5 of x = 25

x = - 5 voldoet niet. De tennisbal komt na 25 meter op de grond.

In onderstaande voorbeelden komen regels aan de orde die betrekking hebbhet ontbinden in factoren/ofwel het 'het binnen haakjes plaatsen'. De voorbizijn van dien aard dat de theorie over deze regels eruit af te leiden is.

!Q ~~nhei~!-Ontbind~~~yergelijk~ ' '----

In de volgende voorbeelden met bijbehorende opdrachten worden specialesituaties van ontbinden in factoren aan de orde gesteld. Dit leidt tot een aanvullingvan de theorie die in 'Reflectie' is samengevat.

X4 - 1 =Een tweeterm; probeer deze te schrijven als het verschil van twee kwadraten.

(X2)2 - 12 {rekenregeI12}= (X2 + 1)(x2 - 1) {tweedefactorrekenregel12}= (X2 + l)(x + l)(x - 1)

2 x4+ l6+8x2=

{eerstordenen} x4 + 8x2 + 16 = {herschrijven}(X2? + 2 . 4 . X + 42 ={rekenregel13}(x2 + 4) 2

3 x6 + 2X3 - 3 ={herschrijven} (X3) 2 + 2x3 - 3 = {rekenregel 11: zoeken naar twee getallen met product - 3

en som + 2: het product is negatief, dus het zijn twee getallen waarvan de ene positief en de

andere negatief is: het zijn de getallen + 3 en -I} (X3 + 3) (X3 - 1).

4 3x2 - 5x - 12 =Hier staat een drieterm waar op het eerste gezicht geen enkele rekenregel opvan toepassing is. Uit de aanpak ervan zal blijken dat dit een bijzonder gevis van rekenregelll. De ontbinding zal van de vorm (3x + a)(x + b) moet(

zijn met a . b = -12 en a + 3b = - 5. Na de zoekmethode voor twee geta.!

uit paragraaf 1.1.2 te hebben toegepast, vinden we a = 4 en b = - 3. Dus3x2 - 5x - 12 = (3x + 4) (x - 3); een bijzonder geval van rekenregelll.

Opdracht0 3 Ontbind in factoren.

a L\x4 - 4a2bcd

14t3 + 49 + t6S4- 10s2 + 216c2 + c - 12;probeer (3c + a)(2c + b)

11 a2 + (p+ q)a + pq= (a + p) (a + q)

-.,------'

kwadraat som van p en q product van som grondtal som grondtal

met maal grondtal penq eerste eerste

grondtal a eerste termterm en P term en q

12 a2 - b2 = (a + b) (a - b)

kwadraat kwadraat met som verschil

met met grondtallen grondtallen

grondtala grondtalb

13 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2--------

kwadraat dubbel kwadraat som grondtallen

met product met in het

grondtal a grondtallen grondtal bkwadraat

14') - 2ab + b2 = (a - b)2

a- --------kwadraat dubbel kwadraat verschil grondtallen

met productmet in het kwadraat

grondtal a grondtallen grondtal b

1.1.2""-"'-"""".~---"'~

Rekenregels

Rekenregel

Ontbinden in factoren 11" ""'-. ~ ' ..'.~ ""

Uit voorgaande voorbeelden en opdrachten blijkt de theorie als volgt aangevuld tekunnen worden:

15 x2p - y2q = (Xp)2 - (yqf = (xl' - yq)(xp + yq)

16 x2P::I::2xpyq + y2" = (Xp)2::1::2xPy" + (y,,)2 = (xP::I::y"f

Van voorgaande situaties zijn weer varianten te bedenken door een coëfficiënt teplaatsen vóór n" en/of ylll.

17 ax2 + bx + c = (rx +p)(sx + q), met ren s gegeven; voor pen qgeldtpq = cen (rq + ps) = b

7 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren.a a2-x2 d 4a8+ 16a4+ 16

b a2 - 4x= e b2(x + 3) + b(x + 3)c aS ~ 6a4b2 + 9b4 f x2(a + 3) - 4(a + 3)

8 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren.a ab + ac + bp + cp d 7x2 - 9x + 2 {probeer(7x+p)(x+ q)}b (2x + If- (x + 2f e a3 - 2a2 + 4a - 8C 3x2 + I Ix + 10 f a3 - 2a2 - 4a + 8

{probeer (:Ix + p)(x + q)}

9 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren.

a a8 - bS d 4a6 - 6a3 + 2*; {4a" = (2a')2}

b 4a2 + 2a - 12; {4a2 = (2a)")} 5x2 + 14x ~ 3; {probeer (5x + a)(x + IJ)}

0 14a~+ - + 24a2

e

c x2 - 50x - 600 f

0 Er zijn ontbindingen die te veel tijd vragen als ze handmatig moeten wordenuitgerekend. In paragraaf 1.2.3 wordt een methode behandeld die in bepaaldesituaties soelaas biedt. Het blijft echter een lastige en tijdrovende zaak. Decomputeralgebra biedt in die gevallen uitkomst.

10

0Ontbind de veeltermen van vraagstuk 9 met behulp van computeralgebra en

vergelijk ze met de uitk9msten van vraagstuk 9.

11

0Ontbind de volgende veeltermen met behulp van computeralgebra.a X5 - 5x4 + 10x3 - IOx2+ 5x ~ 1 C 8X3+ 36x2 + 54x + 27

b x3+3,J2x2+6x+2j2 d -180x4-384x3+2761x2+1796x- 9009

1.1.3~........-_.._...._..... 1{ie..rk~t~\Ie~likingen en~~f.()rrTllJlE). 17. -"-~--"'-"-"

Los onderstaande vergelijkingen op.a 2t2 + t = 6 d

ef

y4 - 3y3 - IOy2 = 0(x - 1)2 = X - I(x + 2r = 5x + 16

b x2 = 3p2 {x is de variabele en

piseenconstante}3s2 + s - 2 = 0c

15 Van de vkv 2X2 - 3x + P = 0 is één van de oplossingen gelijk aan 2. Bereken pende andere oplossing.

16 Van twee getallen is de som 24 en het product 128. Bereken deze getallen.

17 Los onderstaande vergelijkingen op.a 3x2 + 10x - 7 = 0

b 6t2 - 2t - ~= 0C 6s2 - 4s - ~= 0

def

-2p2+3p-1 =01* + 4y + b2 = 02X2 - ~ X - ft; = 0

18 Stel de vkv op waarvan a = I en waarvan x = - I en x = 2 de oplossingen zijn.

19 De vkv 2t2 + mt + 2 = 0 heeft twee gelijke oplossingen. Bereken m en dieoplossing.

20 Toon aan dat de vkv S2 - (2k + 3)s + 3k = 0 voor ieder reëel getal k tweeverschillende oplossingen bezit.

0 Het oplossen van hogeremachtsvergelijkingen is een lastige zaak. De computer-algebra biedt in die gevallen uitkomst.

21

0Los de opgaven uit vraagstuk 17 met behulp van computeralgebra op. Vergelijk deuitkomsten met de oorspronkelijke antwoorden uit vraagstuk 17.

22

0Los de volgende vergelijkingen op met behulp van computeralgebra.

a 6m3 - 14m2- 44~m + 70 = 0

b 3p4_Hp2+i2=0

c a6 - 4a4b2 - 12a4 + 48a2b2 + 35a2 - 140b2 = 0 {vergelijkingin a}

d 4t4 - 1O9t2+ 225 = 0

e -6x4 + 24x3 + 34~X2 - 20~x - 12~ = 0

6X3- (3j3 + 4) X2+ (2j3 - 16) x + 8j3 = 0 .f

23

0Los de volgende vergelijkingen op, exact en afgerond op decimale getallen.a 13x2=-8x+21 ç x4-x3-14x2=-x-1b x3+14x2+52x+21=0

1.1,_4

{} 13

strijdig stelsel

identiekafhanlH,lijk

§telsellineaire verÇJelijkinÇJen --.-----.-------- 23

Los x, y en z op uit het volgende stelsel van vergelijkingen.

t

z = - 3x + 2v + 4

- 2x + 3y - 4z = 0

8x - 7y + 2z= 6

Uit de controlevoorbeelden en de bijbehorende vraagstukken blijkt, dat de theorie

over het oplossen van een stelsel vergelijkingen aangevuld moet worden. Hierbij

moet worden opgemerkt dat in het stelsel vergelijkingen zoals hier wordt

opgelost, het aantal vergelijkingen steeds gelijk is aan het aantal onbekenden.

Om een stelsel van meer dan twee vergelijkingen met de eliminatiemethode op te

kunnen lossen, moet het stelsel herleid worden tot een stelsel waarin twee

vergelijkingen zitten met twee onbekenden.

Een strijdig stelsel vergelijkingen is een stelsel met vergelijkingen waarvan één

der vergelijkingen in tegenspraak is met een andere vergelijking; het stelsel heeft

geen oplossingen.

Een stelsel identieke of qfhankelijke vergelijkingen is een stelsel waarvan één der

vergelijkingen een veelvoud is van een andere vergelijking; het stelsel heeft

oneindig veel oplossingen.

Een stelsel vergelijkingen waarbij in één der vergelijkingen de ene variabele al

uitgedrukt is in de andere, wordt het makkelijkst opgelost met de substitutie-methode.

25 Los pen q op uit het volgende stelsel van vergelijkingen met de eliminatie-methode.

f 3p - 4q = 8

1. 4p + 3q = *

26 Los x en y op uit het volgende stelsel van vergelijkingen.

f-2y+3~=21.x=y+~

27 Los a, IJ en c op uit het volgende stelsel van vergelijkingen.

{

a + 17+ c = I

17+ 2c = 2

a + c=3

28 Laat zien dat het volgende stelsel strijdig is.

{

-a- 17+ c= 10

a + 217- 2c = I

2a + Sb - Sc = 6

--------..-----

E

A

Fig. lA

B

lIIIiIIII

1.1 Eindtoets 25~ ---..---..-

1 Bereken met behulp van merkwaardige producten:a (0,2 - x)(0,2 + x) cl (5 + 2p)(5 - 2p)(25 - 4p2)b (4x + 7yf e (4x + 3)(x - 5)c (a - 4)(a + 4)(a2 + 16) f (t~ - 6)2

2 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren:a x2 - 15x + 26 cl 9a7b + 12a6b2 + 4a5b~ (=a5b(...))

b y4 - 64y2 e 2X2 - 3x - 5C 4912-141+ I

3 In fig. lA is een kubus getekend ABCD. EFGH. De lengte van de ribben is 7 m.a Bereken met merkwaardige producten hoeveel groter de inhoud wordt als alle

ribben evenwijdig met AB of AE 5 mm langer worden.b Hoeveel groter wordt de inhoud als alle ribben 5 mm langer worden?

4 Los de volgende vergelijkingen op.a 6x2 + 5x - 6 = 0

b p2 - 24p + 225 = 0c s2-lls+32=O

clef

t 2 - 11t + 30 = 0

)'2 - Ilv + 25 = 0

q2 - II q + 30~= 0

5 Toon aan dat de vkv x2 - (2k + 3)x + 3k = 0 altijd twee verschillendeoplossingen heeft.

6 Van een rechthoek is de omtrek 74 cm. De oppervlakte van de rechthoek is gelijk

aan 300 cm 2. Bereken de lengte en de breedte van deze rechthoek.

7 Los de volgende stelsels vergelijkingen op.

a f 2x - 3y = -I

L 2y - 6x - 10 = 0[

2X - 3-,

.

.

"

+ SZ

.

'' = 19

5y - z = 5

x+ y+ z=7

b

8 Een bedrijf is aan een nieuwe printer toe. Tot nu toe heeft men naar grotetevredenheid de HP 660 gebruikt. Als alternatief wordt deHP noc aangeboden.

Men moet een besluit nemen op grond van de volgende gegevens:

- De printers worden in 3 jaar afgeschreven;- Per jaar worden zo'n 40 kleurafdrukken gemaakt;- Verder gelden de prijzen uit tabel 1.2.

Bij welk aantal zwart-wit-afdrukken is de HP 660 goedkoper dan de HP nOC?

Tabel1.2

Type Prijs (guldertl Zwart-wit-afdruk Kleurafdruk

stuk) (cent/stuk) (cent/stuk)

HP660 510 12 110

HPnoc no 8 90

~

26 Leereenheid 1 .1 Ontbinden en verg_e~iken

9

{

2Y - 4x= 10

2x - y + 5 = 0

Geef aan welk antwoord juist is:a Bovenstaand stelsel is strijdig.b Bovenstaand stelsel is identiek.

e Bovenstaand stelsel heeft slechts als oplossingen x = I en Y = -2.

10 Gegeven de vkv 2X2+ 8x + 11= O.Geefaanwelkantwoordjuist is:a De vkv heeft precies twee verschillende reële oplossingen.b De vkv heeft precies twee dezelfde reële oplossingen.e De vkv heeft geen reële oplossingen.