KOOS K O R T L A N D 1 , ELWIN SAVELSBERCH1 ,

KEES H O O Y M A N 2 & ROBERT W I E L I N G A 3

1 CENTRUM VOOR DIDACTIEK VAN WISKUNDE EN

NATUURWETENSCHAPPEN, UNIVERSITEIT UTRECHT

2 ST. BONIFATIUSCOLLECE, UTRECHT

3 ST. GRECORIUS COLLEGE, UTRECHT

In NVOX van september 2002 schreven wij onder de titel 'Leren door zelf

modelleren' over het gebruik van computermodellen in de klas. In dat artikel

stond een korte beschrijving van de natuurkundemodule 'Een sportieve bewe-

ging'. In dit artikel gaan we uitvoeriger in op deze module over kracht en

beweging in de sport, en op de ervaringen hiermee in de praktijk.

KRACHT EN BEWEGINGIN DE SPORTEEN NATUURKUNDEMODULE VOOR COMPUTERONDERSTEUNDMODELLEREN

INLEIDING

Bij het onderwerp mechanica is de eenparig versnelde of vertraagdebeweging behandeld en leerlingen weten hoe ze in zo'n geval snel-heden en afgelegde afstanden kunnen voorspellen. In de praktijk, enmet name in de sportieve praktijk, zijn versnellingen en vertragingennatuurlijk zelden constant. De kennis van de leerling zal dan ook alsnel tekortschieten om in dergelijke situaties precieze voorspellin-gen te doen. In de natuurkundemodule Een sportieve beweging ge-bruiken we dit als motief om een computermodel te gaan makenvoor kracht en beweging.Hoewel modelleren als onderwerp alleen in het vwo-programmanatuurkunde voor het NT-profiel wordt genoemd, is deze moduleook geschreven met het oog op NG-leerlingen. We verwachtten datdeze toepassing van computermodellen ook voor hen zinvol enhaalbaar zou zijn, onder andere door het gebruik van de grafischemodelleeromgeving Powersim. Zoals we in ons eerdere artikel al be-toogden, lijkt zo'n grafische modelleeromgeving voor leerlingenlaagdrempeliger en overzichtelijker dan een verzameling wiskundigeprogrammaregels.We hebben deze module vorig jaar voor het eerst in twee klassen uit-geprobeerd. Naar aanleiding van deze ervaringen is de module her-zien en dit jaar opnieuw uitgeprobeerd. In het vervolg van het artikelbeschrijven we de opzet van de herziene module en de ervaringenhiermee in de praktijk.

MODULE

Vraagstelling en motivering. De module opent met een korte lees-tekst over computerondersteund modelleren in het algemeen en vanbewegingen in de sport in het bijzonder, uitlopend op een centralevraagstelling voor de module:• Met welk algemeen computermodel zijn verschillende bewegin-

gen onder invloed van krachten te beschrijven?Deze inleiding met centrale vraagstelling is bedoeld om de leerlin-gen een globaal beeld te geven van waar het in deze module inhou-delijk over zal gaan. In de inleiding worden twee belangrijke voorde-len van computermodellen aangestipt. In de eerste plaats kun je erdingen mee uitrekenen die met een gewone formule niet te bereke-nen zijn, ten tweede kun je er snel de invloed van verschillende fac-toren mee onderzoeken.Daarna volgt een aantal opdrachten waarmee leerlingen hun kennisvan de mechanica (kinematica en dynamica) ophalen en in de voor

het modelleren gewenste vorm brengen. Daarbij gaat het om de vol-gende definities en regels: A5 = v-At, Av = a-At, Fr = m-a en de uit-drukkingen voor zwaartekracht en glij- of rol- en luchtwrijvings-kracht (Fwg = cg-Fn, Fwr = c{Fn en Fwl = 72-cw-A-p-i/2). Daarnaastwordt het weergeven van de drie standaardbewegingen (eenparige,eenparig versnelde en eenparig vertraagde beweging) in een s,£-dia-gram en een f,t-diagram kort herhaald. Met deze kennis van de me-chanica bekijken de leerlingen de twee praktijkproblemen van fi-guur 1 en 2: schaatsen en wielrennen.

Figuur 1 - Het eerste praktijkprobleem gaat overschaatsen. Het ijsstadion van Calgary in Canada iseen zogenaamde 'hooglandbaan'. Door de grotehoogte waarop de baan ligt, is de luchtwrijvings-kracht op een schaatser er relatief klein. Topsprin-ters beweren datje in Calgary na de sprint wel eenvolle ronde kunt doorglijden. Klopt die bewering?

Figuur 2 - Het tweede praktijkprobleem gaat over wielren-nen. Een peloton wielrenners tijdens de afdaling in een berg-etappe... Een helling zo steil dat ze niet hoeven te trappen.Wie gaat er dan in de afdaling sneller naar beneden: eenzware of een lichte wielrenner?

Na de introductie van deze twee praktijkproblemen krijgen leerlin-gen de vraag voorgelegd waarom deze niet met de standaard-mecha-nicakennis op te lossen zijn. De verwachting is dat leerlingen hier desnelheidsafhankelijke luchtwrijvingskracht zullen aanwijzen als oor-zaak van dat 'niet-kunnen-oplossen'. Zo moet een motief ontstaanvoor het ontwerpen, bouwen en testen van computermodellen vanbewegingen onder invloed van een snelheidsafhankelijke (luchtwrij-vings)kracht.Kennisverwerving. In het volgende onderdeel van de module gaande leerlingen dus computermodellen van bewegingen ontwerpen,bouwen en testen, te beginnen met het probleem van de schaatser.Dit probleem wordt in drie stappen aangepakt. De leerlingen startenmet een gegeven eenvoudig model van de uitglijdende schaatserwaarin alleen rekening gehouden wordt met een constante glijwrij-vingskracht, zoals weergegeven in figuur 3. Voordat de leerlingen ditmodel op de computer laten doorrekenen wordt hen gevraagd zelfmet behulp van de standaard-mechanicakennis het v,t-diagram vandeze beweging te tekenen. Vervolgens kunnen ze deze kwantitatieve

voorspelling vergelijken met de uitkomsten van de computerbereke-ning. Overeenstemming tussen hun eigen rekenwerk en het model-resultaat zou enig vertrouwen in het model moeten opleveren alsaanloop naar de volgende stap. Daarin bedenken de leerlingen hoehet model moet worden uitgebreid met de luchtwrijvingskracht,voorspellen kwalitatief het resultaat, breiden het model uit en con-troleren hun voorspelling. In deze opdrachten doen leerlingen auto-matisch ervaring op met het bouwen van de modellen op het beeld-scherm, waarbij ze zo nodig kunnen terugvallen op een basishand-leiding waarin alle benodigde modelleerhandelingen beschrevenzijn. Eenzelfde procedure geldt voor de volgende stap: het uitbrei-den van het model met afstand. Het verwachte resultaat van dezetwee stappen is weergegeven in figuur 4. Met dat model is het eerstepraktijkprobleem op te lossen. Het model heeft wel een beperking:als je het lang genoeg laat doorlopen wordt de snelheid negatief. Re-flectie hierop kan leiden tot een verdere verfijning van het model inde vorm van een snelheidsafhankelijke glijwrijvingskracht: Fw = 0als v = 0.Bij het tweede praktijkprobleem over de afdalende wielrenner is hetde bedoeling dat leerlingen de overeenkomst tussen beide situatieszien en zich op grond daarvan realiseren dat ze hun vorige modelgrotendeels kunnen hergebruiken. Het model moet alleen wel uitge-breid worden met een voorwaartse kracht: de component van dezwaartekracht langs de helling. De al eerder genoemde procedurevan bedenken, voorspellen, bouwen en controleren levert naar ver-wachting het model van figuur 5 op, waarmee het tweede praktijk-probleem is op te lossen.

Figuur 3 - Het gegeven computermodel voor de beweging van een uitglijdendeschaatser onder invloed van alleen de constante glijwrijvingskracht, waarin hetverloop van de snelheid in de tijd wordt weergegeven. De 'basislijn' van ditmodel is de voorraadgrootheid snelheid met de uitstroomgrootheid vertraging.Zo'n uitstroomgrootheid geeft de afname van de voorraadgrootheid per tijdstap.In dit geval dus As = a-At. Hierin is a de vertraging: a = FwJm.

Figuur 4 - Het verwachte computermodel voor de beweging van een uitglij-dende schaatser onder invloed van een constante glijwrijvingskracht en een snel-heidsafhankelijke luchtwrijvingskracht, waarin zowel het verloop van de snel-heid als dat van de afstand in de tijd worden weergegeven. In vergelijking methet vorige model is er nu een tweede 'basislijn: de voorraadgrootheid afstandmet de instroomgrootheid verplaatsing. Zo'n instroomgrootheid geeft de toenamevan de voorraadgrootheid per tijdstap. In dit geval: As = v-At.

Figuur 6 - Het algemeen computermodel voor kracht en beweging vraagt alleennog om het invoeren van de verschillende krachten afhankelijk van de praktijk-

situatie.

Figuur 5 - Het verwachte computermodel voor de beweging van een afdalende wiel-renner onder invloed van zwaartekracht, rol- en luchtwrijvingskracht. In vergelijkingmet het vorige model is de 'basislijn' van een voorraadgrootheid snelheid met een uit-stroomgrootheid vertraging nu uitgebreid met een instroomgrootheid versnelling.

In deze fase van kennisverwerving gaat het dus om het leren ontwer-pen, bouwen en testen van een computermodel van bewegingen,vertrekkend vanuit een gegeven eenvoudig basismodel (figuur 3) enzelfstandig toewerkend naar een voor de twee probleemsituatiescompleet model (figuur 5). Daarbij is het volgende model steedseen uitbreiding van het voorgaande model. Al doende breiden deleerlingen hun modelleerkennis geleidelijk uit: hoe plaats je de ver-schillende grootheden en relaties op het beeldscherm, hoe definieerje deze grootheden en relaties (en waarom zo), hoe maak je het ver-loop van een grootheid zichtbaar in een diagram, hoe verander je delooptijd en de tijdstap in het model enzovoort.Het zelfstandig werken in deze fase wordt tweemaal onderbrokendoor een korte klassikale terugblik op het ontworpen model. Devraag daarbij is steeds in hoeverre we met dit model op weg zijnnaar een algemeen computermodel voor kracht en beweging waar-van in de centrale vraagstelling van de module sprake is, en wat(dus) de volgende stap in die richting zal zijn.

Reflectie en generalisatie. Na het succesvol oplossen van de tweepraktijkproblemen keren de leerlingen in het volgende onderdeel te-rug naar de centrale vraagstelling van de module. Het fietsmodel vanfiguur 5 lijkt vrij algemeen bruikbaar, want het geeft de snelheid ende afstand in de loop van de tijd bij een rechtlijnige beweging onderinvloed van zowel voorwaartse als achterwaartse krachten. De leer-lingen proberen dit in gedachten uit voor een nieuwe probleemsitu-atie zoals een klimmende wielrenner. De verwachting is dat ze zichdan realiseren dat dit model voor dergelijke nieuwe probleemsitu-aties steeds meer of minder ingrijpend moet worden verbouwd, endat ze zich afvragen of dat niet eenvoudiger kan. De bedoeling vandeze opdracht is dan ook het oproepen van een motief voor het ont-werpen van een algemeen model voor kracht en beweging dat een-voudig voor een willekeurige (eendimensionale) bewegingssituatiekan worden ingevuld. De suggestie om te werken met een netto-kracht en de daardoor veroorzaakte versnelling levert naar verwach-ting iets op als het algemene model van figuur 6. De leerlingen bren-gen bovendien zelf onder woorden welke stappen er gezet moetenworden bij het gebruik van dit model in een concrete praktijksitu-atie: krachten identificeren, krachtformules in het model invoeren,en waar nodig de (snelheidsafhankelijke) krachten in het modelkoppelen aan de snelheid. Dit algemene model samen met dezeprocedure vormt een gereedschap voor gebruik in nieuwe praktijksi-tuaties.

Kennistoepassing. En dat gereedschap zetten de leerlingen ten slot-te in bij een aantal keuzeonderwerpen, zoals het verschil in eindtijdop de 5 of 10 km schaatsen op laag- en hooglandbanen, de lan-dingssnelheid bij een parachutesprong, en de mogelijkheid om bijeen vrije val de geluidsbarrière te doorbreken. Maar het algemenemodel is (voor NT-leerlingen) ook bruikbaar voor het modellerenvan trillingen: een beweging onder invloed van onder andere eenplaatsafhankelijke kracht. Dit laatste onderdeel van de modulewordt afgesloten met leerlingpresentaties van het door hen gekozenonderwerp.

DIDACTISCHE STRUCTUUR

In de module is sprake van enkele probleemsituaties die de leerlin-gen niet met hun standaard-mechanicakennis kunnen oplossen,maar wel met een daarop gebaseerd computermodel. Om een derge-lijk computermodel te kunnen ontwerpen, bouwen en testen moe-ten zij in voldoende mate kunnen modelleren. Aan de ene kant zijnde leerlingen dus bezig met probleemoplossen op het gebied van demechanica, en aan de andere kant met het verwerven van modelleer-kennis en -vaardigheid. Door dit leren modelleren breiden zij eigen-lijk hun probleemoplosvaardigheid op mechanicagebied verder uit.Daarbij is in de eerdere beschrijving van de module tweemaal spra-ke van het oproepen van een inhoudelijk motief. De eerste keer be-treft dat het verwerven van modelleerkennis voor het oplossen vanproblematische praktijksituaties rond kracht en beweging - proble-matisch in die zin dat in deze situaties sprake is van een snelheidsaf-hankelijke kracht waardoor de gangbare oplosmethodes voor de be-kende standaardproblemen niet kunnen worden toegepast. Detweede keer gaat het om het verwerven van een algemene vaardig-heid in het modelleren van nieuwe (maar nog wel vergelijkbare)praktijksituaties. We verwachten dat zo'n motief, mits de leerlingenhet ook als zodanig beleven, een belangrijke impuls kan zijn voorzelfgestuurd leren. In de module zijn daarom op beide plaatsen en-kele opdrachten opgenomen die tot doel hebben de leerlingen zelftegen de problemen aan te laten lopen en ze zo de gelegenheid tebieden zelf dit motief te ontwikkelen. In de didactische structuurvan figuur 7 wordt zichtbaar dat deze motieven de schakels vormenin de wisselwerking tussen het hierboven beschreven verder uitbrei-den van de probleemoplosvaardigheid van de leerlingen op mecha-nicagebied en het verwerven van een voldoende mate van model-leerkennis en -vaardigheid.

mechanica-probleemoplosvaardigheid inhoudelijk motief

Een oriëntatie op de bestaandemechanicakennis en enkele praktijk-situaties die met die kennis niet opte lossen zijn, waarbij de suggestiedat dat met een computermodelwel zou kunnen |

leidt tot een behoefte aan modelleer-kennis en -vaardigheid

en die bij toepassing leidt tot hetoplossen van die praktijksituaties

maar die bij toepassing - althans ingedachten - op nieuwe, vergelijk-bare praktijksituaties]

leidt tot een behoefte aan een meeralgemeen bruikbaar computermodelvoor kracht en beweging

voor gebruik in die nieuwe,vergelijkbare praktijksituaties

Figuur 7 - De didactische structuur van de natuurkundemodule voor computerondersteund modelleren over kracht en bewegingin de sport.

ERVARINGEN

De hierboven beschreven tweede versie van de module is uitgepro-beerd met twee groepen leerlingen vwp-5 op verschillende scholen:een NT-groep en een NG/NT-groep, elk van zo'n twintig leerlingen.In beide gevallen waren drie blokuren beschikbaar.Modelleertechniek. In beide groepen blijkt dat leerlingen weinigmoeite hebben met het gebruik van het modelleerprogramma Po-wersim. De beschikbare basishandleiding wordt weinig gebruikt - demeeste leerlingen komen er op hun intuïtie en ervaring met andereprogramma's wel uit.Modelleerkennis en -vaardigheid. In de NT-groep verloopt het ver-werven van modelleerkennis vrij soepel. De leerlingen werken - openkele klassikale momenten na - vrijwel volledig zelfstandig. In deNG/NT-groep ligt het tempo wat lager, is een wat intensiever contro-le van de voortgang van het werk van de leerlingen nodig, en last dedocent wat vaker klassikale momenten in.Er zijn in beide groepen twee momenten waarop de leerlingen echthulp nodig hebben. Het eerste probleem - bekend uit verschillendemodelleerprojecten in buiten- en binnenland, waaronder de eersteversie van onze module - duikt op bij de uitbreiding van hetschaatsmodel met de afstand. Hoewel de leerlingen bij het werkenmet de herziene versie van de module minder geneigd zijn hieriets met 5 = l/2-a-t2 te willen doen, blijft het invoeren van de regelAs = v-At lastig. Dat wordt vooral veroorzaakt doordat het computer-programma bij een instroomgrootheid als As automatisch (en on-zichtbaar) de vermenigvuldiging met At voor zijn rekening neemt,en de afstandstoename dus moet worden gedefinieerd als gelijk aan'snelheid'. Er wordt in de module in dit verband wel duidelijk aan-dacht besteed aan deze manier waarop het model rekent, maar het iste begrijpen dat de leerlingen voor het lezen en verwerken van dieinformatie tijdens het praktisch bezig zijn met modelleren in de klasweinig tijd nemen. Het tweede probleem betreft het toevoegen vaneen voorwaartse kracht bij het wielrenprobleem. Veel leerlingenkoppelen de voorwaartse kracht aan de uitstroomgrootheid vertra-ging, en merken dan dat het model niet het door hen verwachte re-sultaat geeft. Pas bij doorvragen realiseren ze zich dat hier sprake isvan een nieuwe instroomgrootheid versnelling. Deze problemen il-lustreren het didactisch belang van het op goed gekozen momentenklassikaal aandacht besteden aan begripsmatige zaken binnen eenverder zelfsturende opzet van het lesmateriaal - en dat doen de do-centen dan ook. In dit geval gaat het daarbij om het basisidee achter

dit soort modellen: eenvoorraadgrootheid met eeninstroom- en/of uitstroom-grootheid, en wat dat danin de concrete probleemsi-tuatie betekent.De overgang naar het alge-mene computermodel voorkracht en beweging blijktvoor de leerlingen vrij van-zelfsprekend. Dit modelwordt dan ook - zoals ver-wacht - als uitgangspuntgenomen bij het werkenaan de keuzeonderwerpen.In beide groepen staat nakorte tijd een model op hetbeeldscherm dat er al heelaardig op lijkt, maar het in-vullen van de details zoalsde tekens van de krachtenvraagt wat meer denkwerk.Het enige punt waarop hetmodelleren in dit stadiumnogal eens vastloopt is eenabrupte verandering in debewegingssituatie, zoals bijhet openen van de parachu-

modelleerkennis en -vaardigheid

die wordt verworven in de contextvan deze problematische praktijk-situaties

dat ontstaat door reflectie opde eerder ontworpen modellen,samen met de bijbehorendeontwerpregels als gereedschap

NOVEMBER 2OO3 | NVOX 9 | 42 1

te tijdens een val. In dat geval gaat het model bij een te grote tijdstaposcilleren. De leerlingen denken dan ten onrechte dat hun modelfout is. In de afsluiting van de module zijn de onvoorbereide presen-taties van de uitgewerkte keuzeonderwerpen met behulp van de be-amer van een heel redelijk niveau: een toelichting op het geprojec-teerde model op hoofdlijnen en het tonen van de modelresultaten.

CONCLUSIE

Het werken met deze tweede versie van de natuurkundemodule voorcomputerondersteund modelleren kan als een geslaagd experimentworden gezien: de leerlingen zijn redelijk gemotiveerd en goed be-zig, de blokuren zijn voldoende afwisselend, en het materiaal biedtgenoeg sturing om de leerlingen gericht te laten toewerken naar eenalgemeen computermodel voor kracht en beweging - waarbij tege-lijkertijd ook de standaard-mechanicakennis wordt herhaald. En ditmateriaal is nu voor iedereen beschikbaar...

Projectinformatie

Het lesmateriaal van het Project Computerondersteund Modelleren iste vinden op de website van het Centrum voor Didactiek van Wiskundeen Natuurwetenschappen:http://www.cdbeta.uu.nl/modelIn het kader van dit artikel gaat het daarbij om de natuurkundemoduleEen sportieve beweging, de bijbehorende docentenhandleiding en deBasishandleiding Powersim. Zowel de genoemde documenten als debenodigde software (Powersim en computermodellen) zijn vanaf dezewebsite binnen te halen voor eigen gebruik in het onderwijs. Voor toe-gang tot het docentendeel van deze website (en dus de docenten-handleiding) is een wachtwoord nodig.Voor aanvragen van het wachtwoord, en voor vragen over, commen-taren op en ervaringen met dit materiaal: j.kortland@phys.uu.nl