1COLOR INF 9789001606657 BW - wiskunde · 2012. 9. 10. · y –12 –8 –4 0 4 b Het...

⁄4 © Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk 1 - Functies


Voorkennis

V-1a

O

10

20

5

–5

15

25

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–10

30A

B

b De grafiek bij tabel A is een rechte lijn, want telkens als x in de tabel met 1 toeneemt

neemt y met 5 toe. c Het startgetal is 10 en het hellingsgetal is 5. d Een formule bij tabel A is y x= +5 10 . e Bij de andere tabel hoort een kwadratisch verband.

V-2a x –4 –2 0 2 4

y –12 –8 –4 0 4

b Het hellingsgetal is 2 en het startgetal is –4. c

O

4

–4

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3

y

–8

–12

–16

y = 2

y = –4 + 2x

x = 3

8

5

d Invullen van x = 15 geeft y = − + × =4 2 15 26 .

Het punt (15, 34) ligt niet op de grafiek. e Zie de tekening hierboven. f Van de formule y = 2 loopt de grafiek evenwijdig aan de x-as.

V-3a 2 8 24q p− = 2 8 24q p= + q p= +4 12 b 4 6 18q p+ = 4 6 18q p= − + q p= − +1 41

212

c 2 8 20p q− = − = − +8 2 20q p q p= −1

412

2 d − − =4 6 30p q − = +6 4 30q p q p= − −2

35

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 4 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄5© Noordhoff Uitgevers bv


V-4a x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y 6 0 –2 0 62 12

−1 12

−1 12 2 1

2

O

2

4

1

–1

3

5

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–3

7

12

–2

6y = x2 – 2

b Zo’n grafiek noem je een dalparabool.

V-5a Van parabool 1 is (0, 0) de top en het is een dalparabool.Van parabool 2 is (0, –2) de top en het is een dalparabool. Van parabool 3 is (0, 2) de top en het is een bergparabool. Van parabool 4 is (0, –1) de top en het is een bergparabool.

b Bij parabool 1 hoort formule A, bij parabool 2 hoort formule B, bij parabool 3 hoort formule D en bij parabool 4 hoort formule C.

V-6a De wortel uit een negatief getal bestaat niet. b

c

R

v

1

0

2

3

4

0 421 3 5 76 8 9 10

5

6

7

8

9

10

v = 3 R

d 15 3= R

R = 5

R = 25

R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

v 0 3 4,24 5,20 6 6,71 7,35 7,94 8,49 9

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 5 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



V-7a

b

O

2

1

3

x–2 –1–4 2 4–3 1 3 6

y

y = x + 3

5–1

4

c De coördinaten van het randpunt zijn (–3, 0). d Invullen van x = 46 geeft y = + = =46 3 49 7 .

Ja, het punt (46, 7) ligt op de grafiek. e Invullen van x = 141 geeft y = + = =141 3 144 12 .

Nee, het punt (141, 11) ligt niet op de grafiek.

1-1 Functies

1a Op de grond is het 20 0 006 0 20− × =, C. b Op 8000 meter hoogte is de temperatuur 20 0 006 8000 28− × = −, C. c 20 0 006 0− × =, h

0 006 20, × =hh ≈ 3333 meter

d

–25

–30

–20

–15

–5

0

5

10

15

20

25

–10

h in m

T in

°C

2000 4000 6000 8000 10 000

T = 20 – 0,006h

e 20 0 006 40− × = −, h0 006 60, × =hh = 10 000Deze vliegtuigen kunnen op een maximale hoogte van 10 000 meter vliegen.

2a Sven heeft de temperatuur voor een hoogte van 1500 meter berekend. b T( ) , ,1200 20 0 006 1200 12 8= − × = c De temperatuur op 1100 meter hoogte is T( ) , ,1100 20 0 006 1100 13 4= − × = C.

De temperatuur op 4550 meter hoogte is T( ) , ,4550 20 0 006 4550 7 3= − × = − C. d 20 0 006 10− × = −, h

0 006 30, × =hh = 5000De temperatuur is –10 C op een hoogte van 5000 meter.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

y - 0 1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 6 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



3a Invullen van a = 10 geeft 2 10 6 10× + =b oftewel 20 6 10+ =b , dus 6 10b = − en b = −1 2

3.

b Invullen van b = 3 geeft 2 6 3 10a + × = oftewel 2 18 10a + = , dus 2 8a = − en a = −4 . c 2 6 10a b+ =

2 6 10a b= − +a b= − +3 5 oftewel a b= −5 3

d 2 6 10a b+ =6 2 10b a= − +b a= − +1

323

1

4a L( )3 3 3 16 25= × + = en L( )10 3 10 16 46= × + = b Als aan de veer een massa van 3 kg hangt, dan heeft de veer een lengte van 25 cm.

Als aan de veer een massa van 10 kg hangt, dan heeft de veer een lengte van 46 cm. c L m m( ) = +3 16

31 3 16= +m3 15m =m = 5Bij een massa van 5 kg heeft de veer een lengte van 31 cm.

d 3 16 17 5m + = ,3 1 5m = ,m = 0 5,Bij een massa van 0,5 kg heeft de veer een lengte van 17,5 cm.

5a f ( )4 4 3 112

= × − = − en g( ) ( )− = − − + =1 1 1 02

b 12

3 2x − =12

5x =x = 10

c 12

3 44x − =12

47x =x = 94

d − + = −x2 1 3− = −x2 4x2 4=x = 2 of x = −2

e Voor alle punten op de horizontale lijn geldt y = 1 dus voor iedere x geldt h x( ) = 1 .

6a f ( )0 3= , g( )4 1= − en h( )− =1 1 b h( )−5 bestaat niet. c Voor de functie f geldt f ( )0 3= en niet f ( )0 4= .

Het goede functievoorschrift is f x x( ) = − +12

2 3 .Bij de functie h gebruikt Marieke een minteken in plaats van een plusteken.Het goede functievoorschrift is h x x( ) = + 2 .

d g x( ) = −1

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 7 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



7a/b

O

4

8

2

–2

6

10

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–4

–6

–8

–10

a = 1

a = –3

c Invullen van x = 0 en y = 0 geeft 0 2 0= × + a , dus a = 0 . d Invullen van x = 4 en y = 26 geeft 26 2 4= × + a oftewel 26 8= + a , dus a = 18 .

1-2 Domein en bereik

8a Als je x = 0 invult, dan krijg je f ( )0 0 5 5= − = − , maar de wortel uit een negatief getal bestaat niet.

b Het kleinste getal dat je kunt invullen is x = 5 . c De kleinste uitkomst die je kunt krijgen is f ( )5 5 5 0 0= − = = . d Het kleinste getal dat je kunt invullen is x = 5 .

De kleinste uitkomst die je kunt krijgen is g( )5 2 5 5 2 0 2= + − = + = .

9a Invullen van x = 0 geeft g( )0 3 2 0 2 3 2 2= + − = + − , maar de wortel uit een negatief getal bestaat niet.

b

x

y

1

2

3

4

O 421 3 5 76 8 9 10

5

6

7

8

9

g (x) = 3 + 2 x –2

c De coördinaten van het randpunt van de grafiek zijn (2, 3). d Het domein van g is x ≥ 2 en het bereik van g is y ≥ 3 .

x 0 1 2 3 4 5 6 7

y kan niet kan niet 3 5 5,83 6,46 7 7,47

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 8 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



10a Alle waarden van x vormen het domein van h. b

c

O

2

–2

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–4

–6

–8

–10

4

h (x) = 1 – x2

d De coördinaten van de top van de grafiek zijn (0, 1). e Het bereik van h is y ≤ 1 .

11a x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y kan niet 0 2,24 2,83 3 2,83 2,24 0 kan niet

b Ja, de tabel klopt met de grafiek. c Het domein van f is − ≤ ≤3 3x en het bereik van f is 0 3≤ ≤y .

12a f ( )7 3 2 7 11= − × = − b 3 2 7− =x

2 4x = −x = −2

c Nee, je mag alle getallen in deze functie invullen. d Nee, je kunt alle getallen als uitkomst krijgen. e g( )7 9 2 7 892= − × = −

9 2 72− =x2 22x =x2 1=x = 1 of x = −1Nee, je mag alle getallen in deze functie invullen. Ja, je kunt geen getallen groter dan 9 als uitkomst krijgen.

13a Getallenlijn 1 hoort bij ongelijkheid C, getallenlijn 2 hoort bij ongelijkheid F en getallenlijn 3 hoort bij ongelijkheid B.

b Interval 1 hoort bij de ongelijkheid x ≤ −1 en bij de intervalnotatie ⟨← −, ]1 .Interval 2 hoort bij de ongelijkheid − ≤ <2 4x en bij de intervalnotatie [ ,− ⟩2 4 .Interval 3 hoort bij de ongelijkheid x > 1 en bij de intervalnotatie ⟨ →⟩1, .

14a Het domein van f is x ≥ 0 . b Het bereik van f is y ≥ −2 . c Het bereik van g zijn alle getallen. d Kenneth bedoelt dat alle getallen het domein van g vormen.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y –8 –3 0 1 0 –3 –8

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 9 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



1-3 Functies en parameters

15a Het functievoorschrift is f x x( ) = +2 3 . b Bij deze lijn hoort de lineaire functie g x x( ) = +1

23 .

c Alle functievoorschriften zijn van de vorm h x ax( ) = + 3 waarbij a een getalletje is.

16a/b

O

2

4

1

–1

3

5

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–4

–5

b = 3

b = 2

b = –1

–2

6

–3

c Invullen van x = 3 en y = 7 geeft 7 3= − + b , dus b = 10 .

17a Bij een hoogte van 10 cm hoort de formule I x= 10 2 . b

200

4

50

100

150

250

300

350

400

200

61 3 5 7 98 10x in cm

l in

cm

3

I = 10x2 I = 5x2

c Bij een hoogte van 5 cm hoort de formule I x= 5 2 . Zie de tekening hierboven. d Bij een hoogte van 2 cm hoort de formule I x= 2 2 . De bijbehorende grafiek is een

parabool die nog minder snel stijgt dan de vorige grafieken.

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 10 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



18a De massa van een houten kubus met een ribbe van 8 cm is 0 8 8 409 63, ,× = gram. b/c

100

2

20

40

60

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

80

3 4 5

m = 2,6 r 3

m = 0,8 r 3

r in cm

m in

gra

mm

en

d Invullen van r = 5 en m = 30 geeft 30 53= ×d oftewel 30 125= d , dus d = 0 24, .De dichtheid van kurk is 0,24.

19a/b

c Invullen van x = 2 en y = −6 geeft − = −6 2 12a( ) oftewel − =6 3a , dus a = −2 .

20a

x

y

1

2

3

4

O 421 3 5 76 8 9 10

5

6

f (x) = 2 + x – 1

b Het domein van f is [ ,1 →⟩ . c Het bereik van de functie f is [ ,2 →⟩ . d Het domein is dan [ ,− →⟩5 . Het bereik is dan [ ,− →⟩10 .

O

10

20

5

–5

15

25

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–20

–30

a = 2

a = –1

–10

30

–15

–25

a = 1

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 11 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



21a De coördinaten van de top van de grafiek van f zijn (0, 1). b De vergelijking x2 1 5+ = heeft twee oplossingen, want de lijn y = 5 snijdt de grafiek

van f in twee punten. c Voor p = 1 heeft de lijn y p= precies één gemeenschappelijk punt met de grafiek

van f, want de lijn y = 1 gaat door de top van de parabool. d Voor p > 1 snijdt de lijn y p= de grafiek van f in twee punten.

1-4 Recht evenredig en omgekeerd evenredig

22a V in cm3 10 15 20 30

m in gram 78 117 156 234

in gram/cm3 7,8 7,8 7,8 7,8mV

In de derde rij komt telkens hetzelfde getal te staan. b Als V twee keer zo groot wordt, dan wordt m ook twee keer zo groot.

23a Ja, tussen de prijs en het gewicht van een stuk kaas is sprake van een recht evenredig verband.

b Nee, de kosten van een mobieltje per maand hangen niet alleen maar af van het aantal minuten dat je belt.

c Nee, als de wandeling bijvoorbeeld honderd keer zo lang wordt, dan wordt de tijd die je erover doet meer dan honderd keer zo lang omdat je tempo dan lager wordt.

24a De variabelen x en y zijn recht evenredig. De evenredigheidsconstante is 2,4. b De variabelen x en y zijn niet recht evenredig. c De variabelen x en y zijn recht evenredig. De evenredigheidsconstante is 2,5.

25a De hoogte is niet recht evenredig met de temperatuur, want 5 3 35 0 151, : ,≈ ; 6 1 45 0 136, : ,≈ ; 6 9 55 0 125, : ,≈ en 7 7 65 0 118, : ,≈ .

b Telkens als de temperatuur met 10 C toeneemt, neemt de hoogte met 0,8 cm toe.Er is dus sprake van een lineair verband met hellingsgetal 0 8 10 0 08, : ,= .Het startgetal is 5 3 35 0 08 2 5, , ,− × = .Een formule die het verband aangeeft is h T= +0 08 2 5, , .

26a Lia doet er 30 15 2: = uur over. b Ze moet dan met een snelheid van 30 km per uur rijden. c

snelheid in km per uur 5 10 15 30

tijd in uren 6 3 2 1

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 12 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



27a De variabelen x en y zijn omgekeerd evenredig.

Een bijbehorende formule is x y× = 120 of yx

= 120 of xy

= 120 .

b De variabelen x en y zijn niet omgekeerd evenredig.Telkens als x met 5 toeneemt neemt y met 3 af, dus het hellingsgetal is − = −3 5 0 6: , . Het startgetal is 12 3 15+ = . Een bijbehorende formule is y x= −15 0 6, .

c De variabelen x en y zijn omgekeerd evenredig.

Een bijbehorende formule is x y× = 14 4, of yx

= 14 4, of xy

= 14 4, .

28a Als de hoogte twee keer zo groot wordt, dan wordt de gemiddelde snelheid twee keer zo klein.

b Ja, de variabelen h en v zijn omgekeerd evenredig.

c Een formule is h v× = 150 of vh

= 150 of hv

= 150 .

d Deze formule is zinvol als v tussen ongeveer 5 km per uur en ongeveer 50 km per uur zit.

1-5 Gebroken functies

29a

200

4

1

2

3

5

6

7

8

9

10

4

61 3 5 7 98 10lengte l in cm

bree

dte

b in

cm

b De lengte en de breedte van deze rechthoek zijn omgekeerd evenredig wantlengte keer breedte moet 12 zijn.

c Omdat l b⋅ = 12 , geldt bl

= 12 .

d b ll

( ) = 12

e b( ) ,100 0 12= ; b( ) ,10 1 2= ; b( )1 12= ; b( , )0 1 120= en b( , )0 01 1200=

f Het domein van de functie b is ⟨ →⟩0, en het bereik van b is ⟨ →⟩0, .

lengte l in cm 1 2 3 4 6 12

breedte b in cm 12 6 4 3 2 1

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 13 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



30a Voor x = 2 is de uitkomst f ( )2 42

2= = .

b Voor x = 12

is de uitkomst f ( )12 1

2

4 8= = en voor x = − 12

is de uitkomst

f ( )− =−

= −12 1

2

4 8 .

c Invullen van x = 0 geeft f ( )0 40

= , maar je kunt niet delen door 0.

d x –4 –2 –1 0 1 2 4

y –1 –2 –4 –8 –16 kan niet 16 8 4 2 1

− 12

− 14

14

12

e Als x twee keer zo groot wordt, dan wordt y twee keer zo klein.Of: Het product van x en y is telkens 4.

f

O

4

–4

x–2 –1–4 2 4–3–5 1

y

–8

–12

–16

12

16

53

8f (x) = 4

x

31a

b Invullen van x = 0 geeft f ( )0 60 3

63

2=−

=−

= − en dat bestaat gewoon.

c Invullen van x = 3 geeft f ( )3 63 3

60

=−

= en dat bestaat niet.

d Als x steeds groter wordt, dan naderen de uitkomsten naar 0.

e Als x steeds kleiner wordt, dan naderen de uitkomsten ook naar 0.

f Eerst oplossen van 63

1000x −

= − geeft x − = −3 0 006, , dus x = 2 994, .

Bijvoorbeeld voor x = 2 995, is de uitkomst kleiner dan –1000.

32a/b

O

2

4

1

–1

3

5

x–2 –1–4 2 4–3–5 1 3 5

y

–4

a = 2

a = –2

a = –2

a = 2–2

–3

–5

De x-as en de y-as zijn de asymptoten. c De grafiek bij een negatief getal is gespiegeld ten opzichte van de x-as of de y-as.

d Invullen van x = 2 en y = 3 geeft 32

= a , dus a = 6 .

x 0 1 2 2,9 3 3,1 6 100

y –2 –3 –6 –60 kan niet 60 2 0,06

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 14 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



33a

b De functie bestaat niet voor x = 2 . c Als x heel dicht bij 2 in de buurt komt, dan worden de uitkomsten heel erg groot of

heel erg klein. d Als x steeds groter wordt, dan naderen de uitkomsten naar 0. e

O

2

4

1

–1

3

5

x–2 –1 2 4–3 1 3

y

–4

–2

–3

–5

5 6 7

f (x) = 4x – 2

f Een formule voor de verticale asymptoot is x = 2 .

34a De waarde x = 2 hoort niet tot het domein. b De coördinaten van het snijpunt met de x-as zijn (4, 0) en de coördinaten van het

snijpunt met de y-as zijn (0, –2). c Een formule van de verticale asymptoot is x = 2 en een formule van de horizontale

asymptoot is y = −1 . d Bij deze grafiek hoort de waarde a = −2 . e

O

2

1

–1

3

x–2 –1–4 2–3–5 1 3

y

–4

–2

–3

–5

4

4–6

f (x) = – 1 + 2x + 1

35a Invullen van t = 0 geeft T( )0 4 600 3

24= ++

= . Op het moment dat het blikje in de

koelkast wordt gezet is de temperatuur van het blikje 24 C.

b 5 4 603

= ++t

603

1t +

=

t + =3 60

t = 57Na 57 minuten is de temperatuur 5 C.

x –2 –1 0 1 2 3 4 5

y –1 –2 –4 kan niet 4 2−1 13

1 13

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 15 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



c Op den duur wordt de temperatuur van de cola 4 C.Dat betekent dat de grafiek van T een horizontale asymptoot heeft.

d

2000

40

2

4

6

10

12

14

16

18

20

22

24

8

6010 30 50 70 9080 100t in minuten

T in

°C

T (t) = 4 + 60t + 3

e De grafiek zou een verticale asymptoot kunnen hebben als de noemer gelijk is aan 0, maar dan moet gelden t + =3 0 oftewel t = −3 en een negatieve tijd kan niet.

1-6 Gemengde opdrachten

36a Op een diepte van 200 meter is de temperatuur 20 0 03 200 26+ × =, graden Celsius. b T d d( ) ,= +20 0 03 c Voor die mijn geldt T d b d( ) ,= + 0 03 met b de buitentemperatuur. Invullen van

d = 400 en T d( ) = 30 geeft 30 0 03 400= + ×b , oftewel 30 12= +b , dus b = 18 .Bij die mijn is de buitentemperatuur 18 graden Celsius.

37a De functie f is een wortelfunctie, g is een kwadratische functie, h is een constante functie, k is een lineaire functie en l is een omgekeerd evenredige functie.

b

–2–3 –1 1O 2

–6

–8

–10

–12

–14

–4

–2

8

2

4

6

3x

y

k (x) = 2x + 1

g (x) = –2x2 + 5

–16

c De coördinaten van dat punt zijn (1, 3).

t 0 7 17 27 37 47 57

T 24 10 7 6 5,5 5,2 5

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 16 28-04-09 16:47

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



d f ( )1 2 1 7 9 3= × + = = , g( )1 2 1 5 2 5 32= − × + = − + = , h( )1 3= , k( )1 2 1 1 3= × + =

en l( )1 31

3= = .

38a f ( ) ( )− = − − = − = −7 25 7 25 49 242 en dat bestaat niet,

f ( ) ( )− = − − = − =5 25 5 25 25 02 , f ( ) ( )− = − − = − = =3 25 3 25 9 16 42 ,

f ( ) ( ) ,− = − − = − = ≈2 25 2 25 4 21 4 482 , f ( )0 25 0 25 0 52= − = − = ,

f ( ) ,2 25 2 25 4 21 4 482= − = − = ≈ , f ( )3 25 3 25 9 16 42= − = − = = ,

f ( )5 25 5 25 25 02= − = − = en f ( )8 25 8 25 64 392= − = − = − en dat bestaat niet b Wat onder het wortelteken staat moet groter dan of gelijk aan 0 zijn.

Oplossen van 25 02− =x geeft x = 5 of x = −5 .Voor waarden van x tussen –5 en 5 is 25 2− x positief en voor waarden van x kleiner dan –5 of groter dan 5 is 25 2− x negatief.Het domein van deze functie is − ≤ ≤5 5x .

c

–4–6 –2–3–5 –1 2O 4

4

5

1

–1

2

3

6

61 3 5x

y

A

B

f (x) = 25 – x2

d Het bereik van f is 0 5≤ ≤y . e De straal van deze cirkel is 5. f Zie de tekening hierboven. g Van punt O naar punt B moet je horizontaal 3 naar rechts en van punt B naar punt A

moet je verticaal 4 omhoog, dus de hoek bij punt B is een rechte hoek. h

Dus OA = =25 5 en dat klopt.

39a

–5 –4 –3 –2 1O 3 5–1 2 4x

6y

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–12

–14

f (x) = 2x – 6

zijde kwadraat

OB = 3

AB = 4

OA = ...

9

16

25

+

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 17 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



b

–10 –8 –6 –4 2O 6 10–2 4 8x

2y

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–10

h (x) = –6 + 2x

c De gekozen waarden zijn a = 3 en b = −12 . d Invullen van x = 1 en y = 1 geeft 1 1= × +a b oftewel a b+ = 1 . Het punt (1, 1) ligt

op de grafiek van f voor alle getallen a en b waarvoor geldt dat a b+ = 1 . e Invullen van x = 1 en y = 1 geeft 1 12= × +a b oftewel a b+ = 1 . Het punt (1, 1) ligt

op de grafiek van g voor alle getallen a en b waarvoor geldt dat a b+ = 1 .Invullen van x = 1 en y = 1 geeft 1

1= +b a oftewel a b+ = 1 . Het punt (1, 1) ligt op

de grafiek van h voor alle getallen a en b waarvoor geldt dat a b+ = 1 .Invullen van x = 1 en y = 1 geeft 1 1= ⋅ × −a b c oftewel a b c⋅ − = 1 . Het punt (1, 1) ligt op de grafiek van i voor alle getallen a en b waarvoor geldt dat a b c⋅ − = 1 .

40a Tussen de weerstand en de oppervlakte van de doorsnede van de draad bestaat een omgekeerd evenredig verband.

b R AA

( ) ,= 0 2

c Invullen van A = 6 geeft R( ) ,6 0 26

130

= = . De weerstand van de draad is 130

Ohm.

41a

15

20

10

5

0

25

35

200 10 30 40 50 60 70 80 90

30

p in

pro

cent

en

h in cm

b p hh

( ) = 320

c 320 5h

=

320 10h

=

h = 64

h = 32

De hoogte boven de grondwaterstand moet tussen de 32 cm en de 64 cm liggen. De wortels van deze planten moeten tussen de 90 64 26− = cm en de 90 32 58− = cm in de grond gestopt worden.

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 18 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



ICT Gebroken functies

I-1a

200

4

1

2

3

5

6

7

8

9

10

4

61 3 5 7 98 10lengte l in cm

bree

dte

b in

cm

b De lengte en de breedte van deze rechthoek zijn omgekeerd evenredig wantlengte keer breedte moet 12 zijn.

c Omdat l b⋅ = 12 , geldt bl

= 12 .

d b ll

( ) = 12

e b( ) ,100 0 12= ; b( ) ,10 1 2= ; b( )1 12= ; b( , )0 1 120= en b( , )0 01 1200= f Het domein van de functie b is ⟨ →⟩0, en het bereik van b is ⟨ →⟩0, .

I-2a Volgens de grafiek is haar gemiddelde snelheid 15 km per uur. b Hij moet dan met een gemiddelde snelheid van 12 km per uur rennen. c Als je 60 km per uur rijdt doe je 0,5 uur over die afstand.

d Je moet de formule y cx

= kiezen, want de tijd en de snelheid zijn omgekeerd evenredig.

e De formule vt

= 30 geeft het verband tussen v en t.

I-3a Als x = 1 dan is y = 4 . Als x = 0 5, dan is y = 8 . b Als y = 0 5, dan is x = 8 . Als y = 0 1, dan is x = 40 .

c Bij de grafiek hoort de formule yx

= 4 .

d Invullen van x = 0 geeft y = 40

, maar je kunt niet delen door 0.

e Voor negatieve waarden van x krijg je net zo’n grafiek, maar met allemaal negatieve uitkomsten.

filengte l in cm 1 2 3 4 6 12

breedte b in cm 12 6 4 3 2 1

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 19 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



I-4a x 0 1 2 2,9 3 3,1 6 100

y –2 –3 –6 –60 kan niet 60 2 0,06

b Invullen van x = 0 geeft f ( )0 60 3

63

2=−

=−

= − en dat bestaat gewoon.

c Invullen van x = 3 geeft f ( )3 63 3

60

=−

= en dat bestaat niet.

d Als x steeds groter wordt, dan naderen de uitkomsten naar 0.

e Als x steeds kleiner wordt, dan naderen de uitkomsten ook naar 0.

f Eerst oplossen van 63

1000x −

= − geeft x − = −3 0 006, , dus x = 2 994, .

Bijvoorbeeld voor x = 2 995, is de uitkomst kleiner dan –1000.

I-5a a = 3 b De grafiek bij een negatief getal is gespiegeld ten opzichte van de x-as of de y-as. c Voor a = 6 gaat de grafiek door het punt (2, 3).

I-6a De formule yx

= 120 hoort bij tabel A.

b De formule yx

= −1000 hoort bij tabel B, de formule y x= −15 0 6, hoort bij tabel C,

de formule yx

= 14 4, hoort bij tabel D, de formule y x= −6 18 hoort bij tabel E en de

formule yx

= −60 hoort bij tabel F.

I-7a a = 4 b De functie f bestaat in dit geval niet voor x = 2 . c Als x heel dicht bij 2 in de buurt komt, dan worden de uitkomsten heel erg groot of

heel erg klein. d Voor a = 6 bestaat de functie niet voor x = 6 en als x heel dicht bij 6 in de buurt

komt, dan worden de uitkomsten heel erg groot of heel erg klein. Voor a = −6 bestaat de functie niet voor x = −6 en als x heel dicht bij –6 in de buurt komt, dan worden de uitkomsten heel erg groot of heel erg klein.

I-8a De waarde x = 2 hoort bij de grafiek op het scherm niet tot het domein. b De coördinaten van het snijpunt met de x-as zijn (4, 0) en de coördinaten van het

snijpunt met de y-as zijn (0, –2). c Een formule van de horizontale asymptoot is y = −1 . d Een formule van de verticale asymptoot is x = −1 en een formule van de horizontale

asymptoot is y = −1 .

I-9a Op het moment dat het blikje in de koelkast wordt gezet is de temperatuur van het blikje 24 C.

b Na 57 minuten is de temperatuur 5 C. c Op den duur wordt de temperatuur van de cola 4 C.

Dat betekent dat de grafiek van T een horizontale asymptoot heeft. d De grafiek zou een verticale asymptoot kunnen hebben als de noemer gelijk is aan 0,

maar dan moet gelden t + =3 0 oftewel t = −3 en een negatieve tijd kan niet.

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 20 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



Test jezelf

T-1a f ( )− = − × − + =2 2 2 1 5 , f ( )1 2 1 1 1= − × + = − , g( , ) , , ,0 5 0 5 2 0 25 2 1 752= − = − = − en g( ) ( )− = − − = − =3 3 2 9 2 72

b

2

–2

–4

–6

4

8

10y

x–3–4–5 –2 –1 O 1 2 3 4 5

6g

f

c − + =2 1 142x− =2 141xx = −70 5,

d x2 2 142− =x2 144=x = 12 of x = −12

e De coördinaten van de snijpunten zijn (–3, 7) en (1, –1). Invullen van x = −3 geeft f ( )− = − × − + =3 2 3 1 7 en g( ) ( )− = − − = − =3 3 2 9 2 72 en dat klopt. Invullen van x = 1

geeft f ( )1 2 1 1 1= − × + = − en g( )1 1 2 1 2 12= − = − = − en dat klopt. f Invullen van x = 10 geeft g( )10 10 2 100 2 982= − = − = .

Nee, de grafiek van g gaat niet door het punt (10, 102).

T-2a x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y –12 –5 0 3 4 3 0 –5 –12

b

–2

–6

–4

–10

–12

–8

4

6y

x–3–4–5 –2 –1 O 1 2 3 4 5

2

f

c Het bereik van f is ⟨←, ]4 .

d

1 –4 –2 –1–3 0 2 3 4 5 6

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 21 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



T-3a Het domein bij deze functie is [ ,− →⟩4 en het bereik bij deze functie is [ ,3 →⟩ . b

2

3

1

–1

4

6

7y

x–3–4–5 –2 –1 O 1 2 3 4 5

5f

c 3 4 6+ + =xx + =4 3

x + =4 9x = 5

d Invullen van x = 21 en y = 10 geeft 10 21 4= + +a oftewel 10 5= +a , dus a = 5 .

T-4a De variabelen x en y zijn recht evenredig.

Een formule bij de tabel is y x= 4 23

.

b De variabelen a en b zijn omgekeerd evenredig.

De formules daarbij zijn a b× = 6 , ab

= 6 en ba

= 6 .

c De variabelen x en y zijn geen van beide.

Een formule bij de tabel is y x= +2 112

.

d De variabelen x en y zijn omgekeerd evenredig.

De formules daarbij zijn x y× = 120 , yx

= 120 en xy

= 120 .

T-5a

b De functie f bestaat niet voor x = 3 . c Als x heel dicht bij 3 in de buurt komt worden de uitkomsten heel erg groot positief

of heel erg groot negatief. d/e

–1

–2

–3

–4

1

3

4y

x–1 O–2–3 1 2 3 4 5 6 7

2f

f De formule bij de verticale asymptoot is x = 3 en de formule bij de horizontale asymptoot is y = 0 .

x –1 0 1 2 3 4 5

y –1 –2 –4 kan niet 4 2 1

2 12

3 12

− 12 − 2

3

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 22 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv



T-6a De functie f is een wortelfunctie, het domein is ⟨←, ]4 en het bereik is ⟨←, ]1 .De functie g is een kwadratische functie, het domein zijn alle getallen en het bereik is ⟨←, ]3 .De functie h is een lineaire functie, het domein zijn alle getallen en het bereik zijn alle getallen. De functie l is een gebroken functie, het domein zijn alle getallen behalve x = 2 en het bereik zijn alle getallen behalve y = 0 .

b

1

–1

–2

–3

2

4

5

y

x–3–4–5 –2 –1 O 1 2 3 4 5

3

7

8

6

f

h

c De coördinaten van dat punt lijken (3, 0) te zijn. Invullen van x = 3 geeft f ( )3 1 4 3 1 1 0= − − = − = en h( )3 6 2 3 0= − × = en dat klopt.

T-7a

–4

–3

–5

–6

–7

–2

O

1

2y

x

f

–5 –4–6–7 –3 –2 –1 1 2 3–1

b Een formule van de verticale asymptoot is x = −3 en een formule van de horizontale asymptoot is y = −3 .

c De waarde is a = 2 . In de grafiek zie je dat de functie niet bestaat voor x = 2 . De functie bestaat niet als de noemer gelijk is aan 0, dus als x a− = 0 .

1COLOR_INF_9789001606657_BW.indd 23 28-04-09 16:48

© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

1COLOR INF 9789001606657 BW - wiskunde · 2012. 9. 10. · y –12 –8 –4 0 4 b Het...

Documents

Transcript of 1COLOR INF 9789001606657 BW - wiskunde · 2012. 9. 10. · y –12 –8 –4 0 4 b Het...