8 GEOTECHNIEK - December 2017

100 Jaar Prandtl-Wig: De draagkrachtfactoren

Prof. dr. ir. Stefan van BaarsUniversiteit van Luxemburg

IntroductieBelangrijke jaartallen voor de Grondmechani-ca en Funderingstechniek zijn 1776, het jaar dat Coulomb publiseerde over het bezwijken van de grond en de krachten bij een grondkerende constructie, en 1857, het jaar dat Rankine publi-seerde over de active en passive uiterste span-ningstoestanden. Maar de echte start van de Fun-deringstechniek wordt zo’n honderd jaar geleden gezien, met de publicatie van Prandtl in 1920 aangaande de “Prandtl-wig”, en de start van de Grondmechanica met het boek Erdbaumechanik in 1925 van de Oostenrijker Karl (von) Terzaghi, waarin voor het eerst effectieve grondspanningen worden gedefinieerd. Voor Nederland komt daar ook als triest keerpunt nog de spoorwegramp van Weesp op 21 september 1918 bij. De bedoeling is in dit, en wellicht ook komende artikelen, de ont-wikkelingen omtrent de Prandtl-wig te belichten.

PrandtlLudwig Prandtl is in 1875 in Freising bij Mün-chen geboren. Omdat zijn moeder ernstig ziek was, bracht hij veel tijd door met zijn vader, een ingenieur en hoogleraar. Prandtl ging naar de Technische Hogeschool van München in 1894 en slaagde in 1898 ''sehr gut'' voor zijn eindexamen. Daarna werd hij bij professor Föppl een “Hilfsas-sistent” in het laboratorium voor werktuigbouw. Hij promoveerde op 29 januari 1900 op “Kipp-Er-scheinungen, ein Fall von instabilem elastischem Gleichgewicht”.

Prandtl werd in 1901 hoogleraar vloeistofmecha-nica aan de technische hogeschool in Hannover (nu technische unversiteit), waar hij zich volledig richte op vloeistofmechanica, vooral op aerody-namica en (militaire) vliegtuigen. Hij werd zeer bekend door zijn werk, en werd hoofd van het Instituut voor Technische Natuurkunde aan de Universiteit van Göttingen. Daar werkte hij tot zijn dood op 15 augustus 1953. Tijdens de eerste we-reldoorlog kon hij medewerkers recruteren die anders in de loopgraven hadden moeten vechten.

In 1920 publiseerde Prandtl het artikel Über die Härte plastischer Körper”, in het universiteits-tijdschrift Nachrichten der Gesellschaft der Wis-

senschaften zu Göttingen, Mathematisch-physi-kalischen Klasse. De titel is al opvallend, want “Over de hardheid van een plastisch lichaam” suggereert niet dat er een doorbraak in de Fun-deringstechniek was gevonden. Ook opvallend is dat juist hij, als specialist aerodynamica, dit werk over vaste stof mechanica publiseerde. Het is daarom zeer waarschijnlijk, dat dit het werk is van een medewerker die “onder Prandtl’s lei-ding” dit werk heeft mogen maken, en bij zijn chef mocht inleveren, zoals toen vaker gebeur-de. Deze medewerker was zeer waarschijnlijk een werktuigbouwer die niet bekend was met de analytische oplossingen van de verticale span-ningen onder een strookbelasting van Flamant in 1892. En ook niet van de oplossingen van de ver-tical spanningen onder een ronde fundering van Boussinesq in 1885. Laboratoriumproeven tonen aan dat de analytische oplossingen van Flamant en Boussinesq zeer nauwkeurig zijn (Türedi en Örnek, 2016).

De verklaring voor de titel wordt in de eerste zin van het artikel gegeven: Hertz publiseerde in 1881 de analytische oplossingen voor de elasti-sche, niet-lineaire, kracht-verplaatsingsrelatie tussen twee op elkaar duwende bollen, die voor-al voor kogellagers belangrijk is. In de publicatie van Prandtl probeert men uit te zoeken, wan-neer hierbij plasticiteit ontstaat, om te beginnen

twee-dimensionaal; bij een strookbelasting die duwt op een halfruimte.

De eerste pagina van het artikel bewijst dat de schrijver niet een geotechnisch ingenieur is, maar eerder een werktuigbouwer met een staalbouw achter grond (staal heeft een wrijvingshoek van φ = 0), want hij schrijft: “Na het tegen elkaar druk-ken van beide lichamen zal in dewelke de elas-ticiteitsgrens overschreden is (bedoeld wordt: de plasticiteitsgrens), de grootste schuifspanning een constante waarde C hebben (wij schrijven nu de cohesie met een kleine c), of wat dat zelfde be-tekent, het verschil tussen de grootste en kleinste hoofdspanning zal constant = 2C zijn” (wij weten dat dat alleen juist is bij φ = 0).Ook in zijn figuur van de cirkel van Mohr (zie fi-guur 1, nu wel met φ > 0!) zien we dat:1) deze voor geotechnici in spiegelbeeld naar

links getekend wordt, 2) de cohesie C diagonaal, en niet vertikaal ge-

tekend wordt, en 3) dat de wrijvingshoek nog niet met φ , maar

met δ wordt weergegeven (met k = sin δ )

De Prandt-wigDe schrijver van dit artikel heeft nooit aan de funderingstechnische toepassing gedacht, maar geotechnici vertalen deze oplossing nu als een analytische oplossing voor de draagkracht van de

Figuur 1 - De cirkel van Mohr (Originele tekening van Prandtl)

9 GEOTECHNIEK - December 2017

grond onder een strookbelasting, p, die kinema-tisch bezwijken veroorzaakt in de gewichtsloze oneindige halfruimte eronder. De sterkte van de halfruimte wordt bepaald door de hoek van inter-ne wrijving, φ , en de cohesie, c. De originele te-kening van het bezwijkmechanisme (de Prandtl-wig) staat in figuur 2.

Veel meer uitleg wordt er niet gegeven dan zin-nen als: ”Een nauwere onderzoeking toont aan dat deze oplossing met de in het volgende figuur voorgestelde gebiedsindeling gevonden is”. De lijnen in de linker glijdende grondmoot geven de richtingen weer van de grootste en kleinste hoofspanningen, terwijl de lijnen in de rechter

glijdende grondmoot de glijvlakken weergeven, met een hoek van in vergelijking tot de grootste hoofdspanningsrichting. Dit bezwijkmechnisme is gevalideerd met laboratoriumproeven van Ju-mikis (1956), Selig & McKee (1961), en Muhs & Weiß (1972).Prandtl verdeelde de bezweken grondmoot in drie zones (zie figuur 3):1. Zone 1: Een driehoekvormige zone on-

der de strookbelasting. Aangezien er geen schuifspanning op de grond is, zijn de hoofd-spanningen horizontaal en vertikaal; de groot-ste hoofdspanning is in vertikale richting.

2. Zone 2: Een wig met de vorm van een logarit-mische spiraal, in welke de hoofdspanningen

roteren over een 1⁄2π radialen, of 90 graden, van Zone 1 tot Zone 3. De “pitch” (uitwaaiings-hoek) van het glijvlak met logarithmic spiraal (rθ = r1 ⋅ eθ⋅tanφ) is gelijk aan de wrijvingshoek, φ, zodat een θ1 geleidelijke overang tussen Zone 1 en Zone 3 wordt verkregen. Dit zorgt er ove-rigens ook voor dat de normaalspanningscom-ponent −σ2 ⋅ sinφ en schuifpanningscomponent τ2 ⋅cosφ tegen elkaar wegvallen (want τ2 =σ2 ⋅ tanφ), zie figuur 3. De invloed van de cohesie moet nog wel langs dit glijvlak, met een log-aritmische-spiraalvorm, geïntegreerd worden.

3. Zone 3: Een driehoekige zone naast de strook-belasting. Aangezien er geen schuifspanning op de grond is, zijn de hoofdspanningen hori-zontaal en vertikaal; de grootste hoofspanning is in horizontale richting.

De oplossing van Prandtl is in 1924 uitgebreid door de civiel-ingenieur Hans J. Reissner met een bovenbelasting, q, en is gebaseerd op het-zelfde bezwijkmechanisme. Albert S. Keverling Buisman (1940) en Karl Terzaghi (1943) probeer-de de Prandtl-Reissner vergelijking uit te breiden voor het grondgewicht, γ. Het was Terzaghi (1943) die als eerste het draagvermogen met drie ge-scheiden draagkrachtfactoren schreef voor de cohesie, de bovenbelasting en het grondgewicht. Deze superpositie van drie draagkrachtcompo-nenten lijkt voor de cohesie en bovenbelasting wel correct, omdat die hetzelfde bezwijkmecha-nisme hebben, maar is zeker niet evident voor het grondgewicht, omdat hier een ander bezwijk-mechanisme optreedt. Hierdoor kunnen kleine fouten onstaan.George G. Meyerhof (1953) was de eerste die vergelijkingen voorstelde voor een gekantelde (inclined) belasting, gebaseerd op zijn eigen la-boratorium experimenten. Hij was in 1963 ook de eerste die in de vergelijking voor het (vertikale) draagvermogen pv, de drie draagkrachtfactoren N voor de afzonderlijke draagkrachtcomponen-ten; cohesie c, bovenbelasting q en het grondge-wicht γ, aanvulde met “inclination” factoren i en “shape” factoren s. Deze wijze werd later door Jørgen A. Brinch Hansen (1970) overgenomen en wordt nu algemeen toegepast

SamenvattingIn 1920 publiseerde Prandtl een artikel over het bezwijken van een materi-aal onder een strookbelasting. De bezweken grondmoot is hierbij verdeeld in drie zones, die tezamen de zogenoemde Prandtl-wig vormen. Prandtl heeft nooit aan de funderingstechnische toepassing gedacht, maar geo-technici vertalen deze oplossing nu als een analytische oplossing voor de draagkracht van de grond onder een strookfundering. Deze oplossing is uit-gebreid door Reissner met een bovenbelasting naast de funderingsstrook en door Keverling Buisman en Terzaghi voor het grondgewicht. Terzaghi schreef dit als eerste met drie gescheiden draagkrachtfactoren en Meyer-

hof als eerste met “inclinatie-” en “shape” factoren, voor de drie afzonderlij-ke draagkrachtcomponenten; cohesie, bovenbelasting en het grondgewicht. Deze schrijfwijze werd later door Brinch Hansen overgenomen.In dit artikel zijn een groot aantal numerieke berekeningen gemaakt om het bezwijkmechanisme van de Prandtl-wig en de bijbehorende draagkracht-factoren te controleren. Het blijkt dat het Prandtl-wig bezwijkmechanisme juist is, maar niet in alle gevallen. Ook blijkt dat de analytische oplossingen voor de draagkrachtfactoren die tegenwoordig worden gebruikt, alleen juist zijn voor grond met een onrealistisch hoge dilatantiehoek.

Figuur 2 - Het Prandtl-wig bezwijkmechanisme (Originele tekening van Prandtl).

Figuur 3 - De Prandtl-wig met 3 zones.

10 GEOTECHNIEK - December 2017

pv = icsccNc + iqsqqNq + iγsγ 1/2 γBNγ (1)

De huidige draagkrachtfactorenPrandtl (1920) heeft dus de oplossing voor de co-hesie-draagkrachtfactor gepubliceerd:

Nc = (Kp ⋅ eπtanφ − 1) cotφ, met: Kp = 1+sinφ / 1-sinφ. (2)

De afleiding hiervan wordt in de publicatie van Prandtl helemaal niet gegeven. Er staat eenvou-digweg niet meer dan “...zo volgt na lichte bere-kening:”. De afleiding was dus tot voor kort nog nergens gepubliceerd, maar door een oplossing voor de 3 onafhankelijke zones te maken, en die in elkaar te stoppen, ontstaat een grote ver-gelijking, die met twee A4-tjes rekenen, tot bo-venstaande vergelijking is te herleiden (zie Van Baars, 2016a). (Als iemand overigens die “lichte berekening” weet, ben ik geïnteresseerd).Gerard De Josselin De Jong heeft in 1959 in zijn proefschrift een grafische (stap-voor-stap) me-thode gepubliseerd, die overigens ook uiterst mooi het verloop van het richtingcentrum in de cirkel van Mohr laat zien voor Zone 2.

De oplossing van Reissner (1924) voor de boven-belasting-draagkrachtfactor is gebaseerd op het-zelfde Prandtl-wig-bezwijkmechanisme en volgt zeer eenvoudig uit een factor Kp voor de zones 1 en 3 tezamen, gecombineerd met een momente-nevenwicht voor zone 2, zie figuur 3:

Nq = Kp ⋅ (r3/r1)2 = Kp ⋅ eπtanφ, met: Kp = 1+sinφ / 1−sinφ (3)

Keverling Buisman (1940), Terzaghi (1943), Ca-quot & Kérisel (1953), Meyerhof (1951; 1953; 1963; 1965), Brinch Hansen (1970), Vesic (1973, 1975), en Chen (1975) hebben opeenvolgend, ge-

baseerd op numerieke berekeningen, verschil-lende vergelijkingen voorgesteld voor de grond-gewichtfactor Nγ. Daarom kunnen de volgende verschillende vergelijkingen gevonden worden in de literatuur:

Nγ = (Kp ⋅ eπtanφ − 1)tan (1.4φ ) (Meyerhof, 1963),Nγ = 1.5(Kp ⋅ eπtanφ −1)tanφ (Brinch Hansen, 1970), Nγ = 2(Kp ⋅ eπtanφ +1)tanφ (Vesic, 1973),Nγ = 2(Kp ⋅ eπtanφ −1)tanφ (Chen, 1975). (4)

De vergelijking van Brinch Hansen is, zoals hij schrijft, “gebaseerd op berekeningen, eerst van Lundgren & Mortensen (1953) en later van Od-gaard & N. H. Christensen”. De vergelijking van Vesic is bijna gelijk aan die van Caquot & Kérisel (1953), omdat die zoals hij schrijft, gebaseerd zijn op “de numerieke resulten van een analyse ge-maakt door hen”.

Numerieke controle van de draagkrachtfactorenBij vele berekeningen uit het verleden zijn, om de berekening voor die tijd mogelijk te maken, grove aannames gemaakt. Zo werd vaak de “limit-equi-librium analysis” als benaderingsmethode ge-bruikt (zie bijvoorbeeld Chen, 1975 of zelfs Mi-chalowski, 1997). Ook werd vaak met softening

gerekend (in Plaxis is bijvoorbeeld een standaard “tension cut off”-procedure, die niet aan mag staan). De meest gemaakte fout is dat er met een extreem hoge dilatantiehoek is gerekend (grote volume verandering tijdens bezwijken), door het rekenen met geassocieerde vloei (ψ = φ) (Teunis-sen, 2016).

In de volgende berekeningen zijn die fouten van-uit het verleden vermeden. De berekeningen zijn gemaakt met de software Plaxis 2D voor een (bi-lineair) Mohr-Coulomb (c en φ) constitu-tief grondmodel, zonder hardening, softening, of dilatantie tijdens bezwijken (ψ = 0 ). De mesh is net zo lang verfijnd, dat er geen verschil in de rekenresultaten meer merkbaar was, en deze is soms fijner dan de figuren in dit artikel weerge-ven. Om zeker te zijn dat berekening niet voortij-dig zou stoppen is de Arc-length-control functie uitgezet, is de Overrelaxatiefactor verlaagd naar 1.0, is de Maximum-unloading-steps hoog gezet en de Maximum-load-fraction-per-step klein ge-houden. De overige waarden zijn zoals standaard.

De bovenbelasting-draagkrachtfactorEr is een serie berekeningen gemaakt voor een strookbelasting met breedte B = 2 m. Plaxis pro-duceert “incremental displacement plots” tijdens

Figuur 4 - Bezwijkmechanisme; links: lage wrijvingshoek; rechts: hoge wrijvingshoek.

Figuur 6 - Bovenbelasting-draagkrachtfactor: Reissner versus FEM

Figuur 5 - Genormaliseerde kracht versus verplaatsing voor verschillende wrijvingshoeken

11 GEOTECHNIEK - December 2017

bezwijken, die het bezwijkmechanisme goed aan-geven.

Bij lage wrijvingshoeken is het bezwijkmecha-nisme bijna gelijk aan het Prandtl-wig-bezwijk-mechanisme, zie links in figuur 4, waarop ook de analytische oplossingen (vergelijkingen 2 en 3) gebaseerd zijn. Voor hogere wrijvingshoeken echter, is het bezwijkmechanisme volledig an-ders, zie rechts in figuur 4. Voor een serie van verschillende wrijvingshoeken is steeds voor de genormaliseerde kracht een stationaire maxiale waarde gevonden, zijnde de draagkrachtfactor Nq, zie figuur 5.

De verandering in het bezwijkmechanisme heeft consequenties; de kracht versus verplaatsingsfi-guur is tamelijk glad voor lage wrijvingshoeken, maar wordt zeer ruw voor hoge wrijvingshoeken. Dit is een teken dat andere en gemakkelijkere (relatief lagere kracht) bezwijkmechanismen be-staan, afhankelijk van de herverdeling van inter-ne spanningen, waardoor in de berekening steeds weer andere glijvlakken ontstaan (ruwe grafiek).

Voor de eindige elementen berekeningen (FEM) zijn twee verschillende opties gebruikt: zowel spanningsgestuurde berekeningen als verplaat-singsgestuurde berekeningen. De twee type be-rekeningen geven, zoals verwacht, ongeveer de-zelfde resultaten (zie figuur 6).

Opmerkelijk is dat, de analytische oplossing van Reissner, waarden geeft die te hoog zijn, vooral voor hogere wrijvingsfactoren. Dit moet worden verklaard door het bestaan van andere en ge-makkelijkere bezwijkmechanismen, zoals hier-voor reeds genoemd.

De semi-analytische doorgaande lijn in de figuur beschrijft beter de bovenbelasting-draagkracht-factor en kan, min of meer toevalligerwijs, wor-den beschreven met:

Nq = cos2φ ⋅ Kp ⋅ eπtanφ met: Kp = 1+sinφ / 1-sinφ (5)

Loukidis et al (2008) hadden al eerder gevonden dat not-dilatant (niet-geassocieerde) grond 15% - 30% zwakker is dan geassocieerde grond (ψ = φ), en een ruwer bezwijkpatroon heeft.

Het verschil tussen de analytische resultaten (vergelijking 3) en de numerieke resultaten (ver-gelijking 5), is door Knudsen & Mortensen (2016) verklaard: Hoe hoger de wrijvingshoek, hoe wij-der de logaritmische spiraal van de Prandtl-wig, en hoe meer de spanningen reduceren in deze

wig tijdens bezwijken. Dus de analytische op-lossingen zijn alleen kinematisch toelaatbaar voor geassocieerde grond (ψ = φ). Het probleem bij het rekenen met geassocieerde grond is, dat zo’n hoge dilatantiehoek volkomen onrealistisch is voor grond. Dit betekent ook dat een bereke-ning van de draagkracht van een fundering op staal met de analytische oplossing (die ook in de Eurocode 7 staat), voor hogere wrijvingshoeken, onrealistisch is.

De cohesie-draagkrachtfactorVoor de cohesie-draagkrachtfactor worden iden-tieke resultaten gevonden als voor bovenbelas-ting-draagkrachtfactor (zie figuur 7).

De (semi-analytische) doorgaande lijn in de fi-guur beschrijft beter de cohesie-draagkrachtfac-tor en kan, min of meer toevalligerwijs, worden beschreven met:

Nc =(Nq − 1)cotφ met: Nq =cos2φ⋅Kp ⋅eπtanφ (6)

Het bezwijkmechanisme van niet-cohesieve grond zonder bovenbelastingDe situatie voor de grondgewicht-draagkracht-factor is anders dan de twee andere factoren, omdat er voor niet-cohesieve grond zonder bo-

venbelasting, geen constante of rechthoekige strookbelasting p mogelijk is. Aan de rand van de belasting (of funderingsplaat) is er immers geen sterkte. Daardoor is de spanning aan de randen nul en in het midden maximaal.

Caquot & Kerisel (1966) presenteerden voor deze situatie in hun boek “Traité de Méchanique des sols”, een cirkelvormig bezwijkmechanisme, die duidelijk afwijkt van een Prandtl-wig-vormige bezwijkmechanisme (zie links in figuur 8).

Dit cirkelvormig bezwijkmechanisme wordt be-vestigd door laboratoriumproeven gepubliseerd in het boek “Soil Mechanics” van Lambe & Whit-man (1969) (zie rechts in figuur 8), en ook door eindige elementen berekeningen van bijvoor-beeld Van Baars (2015, 2016b), zie figuur 9.

Dit betekent dat het bezwijkmechanisme voor de grondgewicht-draagkrachtfactor Nγ, niet ge-lijk is aan het bezwijkmechanisme voor zowel de cohesie-draagkrachtfactor Nc en de boven-belasting-draagkrachtfactor Nq. Dit is een groot probleem voor de vergelijking van Meyerhof (vergelijking 1), want door het bestaan van ver-schillende bezwijkmechanismen is het toepas-sen van superpositie voor de drie verschillende

Figuur 7 - Cohesie-draagkrachtfactor: Prandtl versus FEM.

Figuur 9 - Theorie en laboratorium: cirkelvormig bezwijkmechanisme.

12 GEOTECHNIEK - December 2017

draagkrachtcomponenten niet meer automatisch toegestaan. De aanvulling met inclinatie- en shape-factoren, maakt deze superpositie alleen nog maar meer discutabel. Voor meer informatie hierover, zie Van Baars (2016c).

Caquot & Kerisel gingen overigens van een driehoekvormige belasting uit onder een fun-deringsplaat (zie links in figuur 8), maar eindi-ge elementen berekeningen laten zien dat voor een niet-cohesieve grond zonder bovenbelasting een hyperbolische belasting wordt gevonden (zie links in figuur 10). Het effect van geen draagkracht aan de uiteinden en maximaal in het midden, wordt ook zichtbaar bij een afdruk van een platte schoen in het zand. Men zou door het landen en afzetten tijdens het lopen, iets meer zetting verwachten bij respectie-velijk de hak en teen dan bij de bal van de voet, maar voor een schoen op het zand is er door het ontbreken van cohesie en bovenbelasting hele-maal geen draagkracht meer aan de uiteinden, maar alleen nog in het midden. Daardoor zakt en draait iedereen, zowel groot als klein, steeds vol-komen weg met hak en teen (zie rechts in figuur 10).

De grondgewicht-draagkrachtfactorDoor het hyperbolische verloop van het draagver-mogen, kan er alleen een gemiddelde component voor de grondgewicht-draagkrachtfactor worden berekend. Alhoewel het gebruik van een grond-gewicht-draagkrachtfactor een constante draag-kracht suggereert, net als voor de cohesie- of bo-venbelastingcomponenten, is dit dus toch beslist niet het geval.

Figuur 11 toont de resultaten van de grondge-wicht-draagkrachtfactor. Voor dit figuur zijn be-rekeningen gemaakt voor zowel een zeer ruwe plaat (geen horizontale verplaatsing van de grond onder de plaat) als een zeer gladde plaat (vrije verplaatsing).De hoogste waarden worden gevonden bij de ver-plaatsingsgestuurde berekeningen voor de ruwe plaat:

Nγ = 7sinφ ⋅ (eπ tanφ −1) (Dunne lijn). (7)

Het vreemde aan de resultaten is dat een span-ningsgestuurde berekening voor een ruwe plaat, lagere waarden geeft dan een verplaat-singsgestuurde berekening, en op het zelfde moment, tamelijk identieke waarden geeft als een verplaatsingsgestuurde berekening voor een gladde plaat. Desalniettemin, de re-sultaten van de berekeningen bij hogere wrij-

vingshoeken, zijn in alle gevallen lager voor niet-geassocieerde (dilatantieloze) grond, dan de vergelijkingen van Meyerhof (1963), Brinch Hansen (1970), Vesic (1973) en Chen (1975), die alle gebaseerd zijn op oude numeriek bereke-

ningen voor geassocieerde grond. Van Baars (2015) heeft daarom voorgesteld om lagere en veiligere vergelijkingen te gebruiken, zoals bijvoorbeeld (zie de empirische doorgetrokken dikke lijn in de figuur):

Figuur 9 - Plaxis: Cirkelvormig bezwijkmechanisme.

Figuur 10 - Hyperbolische belasting: maximaal in midden, nul aan de randen

Figuur 11 - De grondgewicht-draagkrachtfactor Nγ.

13 GEOTECHNIEK - December 2017

Nγ = 4tanφ ⋅ (eπ tanφ −1) (Dikke lijn). (8)

Zowel de spanningsgestuurde berekening voor een ruwe plaat, als een verplaatsingsgestuurde berekening voor een gladde plaat worden met deze vergelijking beschreven.

ConclusieEen groot aantal numerieke berekeningen zijn gemaakt om het bezwijkmechanisme van de Prandtl-wig en de huidige bijbehorende draag-krachtfactoren te controleren. Het blijkt dat het Prandtl-wig bezwijkmechanisme juist is, maar niet in alle gevallen: Bij hoge wrijvingshoeken, en ook bij niet-cohesieve grond zonder bovenbelas-ting, ontstaan er andere bezwijkmechanismen. Dit betekent dat de veronderstelde superpositie van de drie draagkrachttermen (cohesie, boven-belasting en grondgewicht) niet automatisch cor-rect is.Een andere belangrijke conclusie is dat de hui-dige cohesie-draagkrachtfactor en de bovenbe-lasting-draagkrachtfactor (conclusie voor beide gebaseerd op zowel analytische als numerieke afleidingen voor geassocieerd grondgedrag) en ook de huidige grondgewicht-draagkrachtfactor (conclusie gebaseerd op alleen numerieke bere-keningen voor geassocieerd grondgedrag), alleen juist zijn voor grond met een onrealistisch hoge dilatantiehoek (geassocieerd bezwijken), en te hoog voor reëele grond. Daarom zijn, in dit ar-tikel, nieuwe, lagere en veiligere vergelijkingen voor de draagkrachtfactoren voorgesteld. Aanbe-volen wordt om in een vervolgonderzoek zowel de oude als de nieuwe factorenwaarden te toetsen aan laboratoriumproeven om zo vast te stellen wat veilige factoren zijn om mee te rekenen.

Referencies- Boussinesq, M. J. (1885) Application des po-

tentiels à l’étude de l’équilibre et du mouve-ment des solides élastiques, avec des notes étendues sur divers points de physique ma-thématique et d’analyse, Gauthier-Villard, Paris.

- Brinch Hansen, J. A. (1970) Revised and ex-tended formula for bearing capacity, Bulletin No 28, Danish Geotechnical Institute Copen-hagen, pp. 5-11.

- Caquot, A., and Kerisel, J. (1953) Sur le terme de surface dans le calcul des fondations en milieu pulverulent. Proc. Third International Conference on Soil Mechanics and Founda-tion Engineering, Zurich, Switzerland, 16–27 August 1953, Vol. 1, pp. 336–337.

- Caquot, A., and Kerisel, J. (1966) Traité de Méchanique des sols, Gauthier-Villars, Paris,

pp. 349, 353- Chen, W.F. (1975) Limit analysis and soil plas-

ticity, Elsevier.- De Josselin De Jong, G. (1959) Statics and

kinematics in the failable zone of a granu-lar material, PhD-thesis, Delft University of Technology, pp. 36-37.

- Eurocode 7 (2004) Geotechnical design - Part 1: General rules, EN 1997-1, p. 159

- Flamant, A. (1892) Sur la répartition des pres-sions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, vol. 114, p. 1465.

- Hertz, H. (1881) Ueber die Berührung fester elastischer Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 92, 1956, pp. 156-171

- Jumikis, A.R. (1956) Rupture surfaces in sand under oblique loads, Journal of Soil Mecha-nics and Foundation Design, ASCE, Vol. 82, No. 1, pp. 1-26

- Keverling Buisman, A. S. (1940). Grondme-chanica, Waltman, Delft, the Netherlands, p. 243

- Knudsen, B. S. and Mortensen, N. (2016) Bea-ring capacity comparison of results from FEM and DS/EN 1997-1 DK NA 2013, Northern Geotechnical Meeting 2016, Reykjavik, pp 577-586

- Lambe. T.W. and Whitman, R.V. (1969), Soil Mechanics, John Wiley and Sons Inc., New York.

- Loukidis, D., Chakraborty, T., and Salgado, R., (2008) Bearing capacity of strip footings on purely frictional soil under eccentric and in-clined loads, Can. Geotech. J. 45, pp 768–787

- Lundgren, H. & Mortensen, K. (1953). De-termination by the theory of Plasticity of the bearing capacity of Continuous Footings on Sand, Proc. 3rd Int. Conf. Soil Mech., Volume 1, Zürich, p. 409

- Meyerhof, G. G. (1951) The ultimate bearing capacity of foundations, Géotechnique, 2, pp. 301-332

- Meyerhof, G. G. (1953) The bearing capacity of foundations under eccentric and inclined loads, in Proc. III intl. Conf. on Soil Mechanics Found. Eng., Zürich, Switzerland, 1, pp. 440-445

- Meyerhof, G. G. (1963) Some recent research on the bearing capacity of foundations, Cana-dian Geotech. J. , 1(1), pp. 16-26

- Meyerhof, G. G. (1965) Shallow foundations, Journal of the Soil Mechanics and Foundati-ons Division ASCE, Vol. 91, No. 2, March/April 1965, pp. 21-32

- Michalowski, R. L. (1997) An estimate of the influence of soil weight on bearing capacity using limit analysis. Soils and Foundations,

37(4), pp. 57–64.- Muhs, H. und Weiß, K. (1972) Versuche über

die Standsicheheit flach gegründeter Ein-zelfundamente in nichtbindigem Boden, Mit-teilungen der Deutschen Forschungsgesell-schaft für Bodenmechanik (Degebo) an der Technischen Universität Berlin, Heft 28, p. 122

- Prandtl, L. (1920) “Über die Härte plastischer Körper.” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathema-tisch-Physikalische Klasse, pp. 74–85.

- Selig, E.T. and McKee, K.E. (1961) Static be-havior of small footings, Journal of Soil Me-chanics and Foundation Design, ASCE, Vol.87, No.SM 6

- Reissner, H. (1924) “Zum Erddruckproblem.” Proc., 1st Int. Congress for Applied Mecha-nics, C. B. Biezeno and J. M. Burgers, eds., Delft, the Netherlands, pp. 295–311.

- Terzaghi, K. (1943) Theoretical soil mecha-nics, John Wiley & Sons, Inc, New York

- Teunissen, H. (2016) Wrijving in sterktebere-keningen, Geotechniek 20, No 3, Juli 2016, pp 8-13.

- Türedi, Y. and Örnek, M. (2016) Investigation of stress distributions under circular footings, Proceedings 4th International Conference on New Development in Soil Mechanics and Geotechnical Engineering, Nicosia, TRNC, pp. 231-238.

- Van Baars, S. (2015) The Bearing Capacity of Footings on Cohesionless Soils, The Elec-tronic Journal of Geotechnical Engineering, ISSN 1089-3032, Vol 20

- Van Baars, S. (2016a) One hundred year Prandtl’s Wedge, intermediate report, Univer-sity of Luxembourg.

- Van Baars, S. (2016b) Failure mechanisms and corresponding shape factors of shallow foundations, Proceedings 4th International Conference on New Development in Soil Me-chanics and Geotechnical Engineering, Nico-sia, pp. 551-558

- Van Baars, S. (2016c) The influence of super-position and eccentric loading on the bearing capacity of shallow foundations, Journal of Computations and Materials in Civil Enginee-ring, Volume 1, No. 3, ISSN 2371-2325, Dec. 2016.

- Vesic, A. S. (1973) Analysis of ultimate loads of shallow foundations. Journal of Soil Mecha-nics and Foundation Division, 99(1), pp. 45–76.

- Vesic, A.S. (1975) Bearing capacity of shal-low foundations, H.F. Winterkorn, H.Y. Fang (Eds.), Foundation Engineering Handbook, Van Nostrand Reinhold, New York (1975), pp. 121–147