HET GAAT NIET OM DE VERPAKKING, MAAR OM WAT ER IN ZIT!LEERJAAR 3 (HAVO | VWO) WISKUNDE B

InleidingHet verpakken en vervoeren van producten is een belangrijk onderwerp in de commerciële industrie. Fabrikanten proberen er altijd voor te zorgen dat hun product op zo’n manier verpakt wordt dat het er aantrekkelijk uit ziet. Bovendien moet de verpakking ook economisch gezien slim zijn. Verpakkingsmateriaal kost geld, het vervoeren van producten kost geld. De manier waarop je producten verpakt moet dus ook efficiënt zijn.

Fabrikanten hanteren een formule om de efficiëntie van hun verpakking te bepalen.

Allereerst bereken je de inhoud van het product in cm3.

Daarna bereken je de oppervlakte van het verpakkingsmateriaal in cm2.

Je berekent de efficiëntieconstante e met de formule e= 6 ∙inhoud

oppervlakte ∙√ oppervlakteπ

∙100% waarbij

0%≤e ≤100%. Hoe hoger de waarde van e, hoe efficiënter de verpakking is.

Opgave 1 – formulekaart samenstellen Een goede voorbereiding is het halve werk! Maak een overzichtelijke formulekaart waarin je in ieder geval onderstaande formules verwerkt. Je kunt informatie opzoeken in je wiskundeboek, op internet, bij je docent, etc.

Inhoud van een kubus Inhoud van een balk Inhoud van een piramide Inhoud van een cilinder Inhoud van een kegel Inhoud van een bol Inhoud van een prisma

Oppervlakte van een vierkant Oppervlakte van een rechthoek Oppervlakte van een driehoek Oppervlakte van een cirkel Oppervlakte van een cilinder / cilindermantel

Omtrek van een cirkel

Stelling van Pythagoras

Opgave 2 – de efficiëntie van een kubusvormige verpakking

a. Bereken e voor een kubusvormige verpakking van 3x3x3 cm.b. Bereken e voor een kubusvormige verpakking van 5x5x5 cm.c. Wat is e voor een kubusvormige verpakking van 10x10x10 cm?d. Welke conclusie kun je nu trekken?

U-TALENT | Het gaat niet om de verpakking, maar om wat er in zit!

Opgave 3 – de efficiëntie van een cilindervormige verpakkingIn de vorige opgave heb je – als het goed is – gezien dat de efficiëntie van een kubusvormige verpakking altijd hetzelfde is. Het hangt dus niet af van de afmetingen. In deze opgave gaan we kijken naar cilindervormige verpakkingen.

a. Verzamel minstens 3 cilindervormige verpakkingen en noteer de afmetingen. Verzamel bij voorkeur verschillende verhoudingen (hoog/laag, breed/dun)

b. Bereken van iedere verpakking de efficiëntieconstante e. c. Zet de verpakkingen op volgorde van efficiëntie. Wat valt je op?

Opgave 4 – Eureka!Misschien heb je wel eens gehoord van de bekende uitroep Eureka!. Vrij vertaald betekent dit ‘ik heb het gevonden!’. De uitroep is bekend geworden door de Griekse Wiskundige Archimedes (287 BC – 212 BC). Hij had van de koning de opdracht gekregen om o.a. de inhoud van een gouden kroon te bepalen. Dit was een lastige opgave, omdat de kroon een onregelmatige vorm had, dus er bestond geen formule om de inhoud te berekenen.

Op een gegeven moment had Archimedes een briljant idee hoe hij dit probleem op kon lossen. Bekijk dit filmpje om de rest van het verhaal te zien (inclusief het briljante idee).

Leg in eigen woorden uit op welke manier Archimedes de inhoud van de kroon berekend had. Deze methode kun je gebruiken bij opgave 5, dus zorg ervoor dat je hem begrijpt.

Hint: als je het filmpje niet helemaal kunt volgen dan kun je natuurlijk ook gewoon gebruik maken van Google om de methode van Archimedes te achterhalen.

Opgave 5 – de efficiëntie van andere vormen verpakkingenVerzamel minstens 10 andere verpakkingen met verschillende vormen. Probeer hierbij zo veel mogelijk variatie aan te brengen (balk, kegel, prisma, samengestelde figuren…)

a. Bereken de efficiëntieconstante e van alle verpakkingen.

b. Zet de verpakkingen op volgorde van efficiëntie. c. Wat valt je op? Welke verpakkingen zijn het

meest/minst efficiënt? Welke conclusies kun je trekken?

Opgave 6 – de meest efficiënte verpakkingVoor deze opgave ga je op zoek naar de meest efficiënte verpakking die er bestaat. Je bent inmiddels een aantal verschillende vormen tegengekomen. Wat is de hoogste waarde van e die je tot nu toe gevonden hebt?

Voor deze opgave hoef je geen echte verpakkingen te verzamelen, je mag ook zelf iets verzinnen en daarmee de efficiëntieconstante e berekenen. De meest efficiënte verpakking die bestaat heeft een efficiëntieconstante van 100%. Lukt het jou om die verpakking te vinden? Probeer in ieder geval zo dicht mogelijk bij de 100% te komen!

Opgave 7 – eindproduct Verwerk je bevindingen in een overzichtelijk verslag. Denk hierbij aan één à twee A4-tjes.

U-TALENT | Het gaat niet om de verpakking, maar om wat er in zit!

VWO-verdieping De hoofdvraag van dit project was: Met welk ruimtelijk heb je zo veel mogelijk inhoud en zo min mogelijk oppervlakte? Als je deze vraag naar 2D vertaalt dan krijg je de volgende vraag:

Met welk plat figuur heb je zo veel mogelijk oppervlakte en zo min mogelijk omtrek?

Stel je voor dat je op een boerderij woont. Je wilt een stukje van het weiland afzetten m.b.v. een schutting zoals in het plaatje hiernaast. Je hebt genoeg materiaal om een schutting te maken met een lengte van 10 meter. Je wilt dat het stukje weiland dat je hiermee afzet een zo groot mogelijk oppervlakte heeft.

In welke vorm moet je je schutting bouwen? In een vierkant? Een rechthoek? Een driehoek? Een cirkel? Een andere vorm misschien…?

Onderzoek welke vorm hiervoor het meest geschikt is. Leg duidelijk uit hoe je tot jouw antwoord gekomen bent.

U-TALENT | Het gaat niet om de verpakking, maar om wat er in zit!

BEOORDELINGLetter Betekenis Formulekaart Conclusies over de verschillende verpakkingen Opgaven

A+ Uitstijgend boven U-Talent excellentie niveau

Correct en volledig ingevuld Conclusies zijn correct en duidelijk geformuleerd.

Er worden conclusies getrokken die niet noodzakelijk gevraagd worden.

Alles is gemaakt en is correct.

Bij opgave 6 is het gelukt om de meest efficiënte verpakkingsvorm te vinden, waarvoor geldt e = 100%.

A Op U-Talent excellentie niveau

Correct en compleet Conclusies zijn correct en duidelijk geformuleerd. Alles is gemaakt en is correct.

Bij opgave 6 is het gelukt om de meest efficiënte verpakkingsvorm te vinden, waarvoor geldt e = 100%.

B Onder U-Talent excellentie niveau, maar boven regulier niveau

Correct en compleet Conclusies zijn correct en duidelijk geformuleerd. Alles is gemaakt en is correct.

C Op regulier niveau Correct en compleet Er worden correcte conclusies getrokken. Alles is gemaakt en is grotendeels correct.

D Onder regulier niveau

Klopt grotendeels Er worden niet echt duidelijke conclusies getrokken. Alles is gemaakt en is gedeeltelijk correct.

* Naast de bovenstaande beoordeling, wordt ook gekeken naar het proces. Hierbij wordt gelet op creativiteit, originaliteit, zelfstandigheid, hoe je omgaat met problemen en het kunnen uitleggen van keuzes.

U-TALENT | Het gaat niet om de verpakking, maar om wat er in zit!