Post on 06-Jul-2020
1Challenge the future
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
College 2
12 september 2016
2Challenge the future
Samenvatting Hoofdstuk 1.1
β’ De som van twee vectoren wordt gegeven door
π + π = π’1 + π£1, π’2 + π£2 .
β’ De scalaire vermenigvuldiging van scalair π met vector π wordt
gegeven door
ππ = π π£1, π£2 = ππ£1, ππ£2 .
β’ Een vector π is een lineaire combinatie van vectoren π1, π2, β¦ , ππals er constanten π1, π2, β¦ , ππ zijn zodat π = π1π1 + π2π2 +β―+
ππππ.
3Challenge the future
Samenvatting Hoofdstuk 1.2
β’ Het inproduct tussen vectoren π en π in βπ wordt gegeven door
π β π = π’1π£1 + π’2π£2 +β―+ π’ππ£π.
β’ De lengte van vector π in βπ wordt gegeven door
π = π β π = π£12 + π£2
2 +β―+ π£π2.
β’ De afstand d(π, π) tussen vectoren π en π in βπ wordt gegeven
door d π, π = π β π .
β’ De hoek π tussen twee niet-nul vectoren π en π in βπ kan worden
berekend doorcos π =
π β π
π π.
4Challenge the future
Programma vandaag
Hoofdstuk 1.2
β’ Orthogonaliteit
β’ Projecties
Hoofdstuk 1.3
β’ Lijnen en vlakken
5Challenge the future
Orthogonaliteit
Definitie
Twee vectoren π en π in βπ zijn orthogonaal als π β π = 0.
De nulvector π is orthogonaal met elke vector π in βπ.
Voorbeeld
Vectoren π = [1,1, β2] en π = [3,1,2] zijn orthogonaal, want
π β π = 3 + 1 β 4 = 0.
6Challenge the future
Stelling van Pythagoras
Stelling
Voor alle vectoren π en π in βπ geldt dat
π + π 2 = π 2 + π 2
dan en slecht dan als π en π orthogonaal zijn.
Bewijs
π + π 2 = π β π + 2 π β π + π β π
= π 2 + 2 π β π + π 2
= π 2 + π 2
7Challenge the future
Projecties
8Challenge the future
Projecties
π = π π,
π =1
βπβπ, π = π cos π = π
π β π
π βπβ
9Challenge the future
Definitie
Als π en π vectoren in βπ zijn en π β π, dan wordt de projectie van
π op π gegeven door
projπ π =π β π
π β ππ.
Projecties
10Challenge the future
β’ Lijnen in β2 en β3
β’ Vlakken in β3
β’ Normaalvorm
β’ Algemene vorm
β’ Parametervoorstelling
β’ Afstand tussen punten, lijnen en vlakken
Hoofdstuk 1.3
11Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Lijnen in β2
12Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Normaalvorm
2π₯ + π¦ =21
β π₯π¦ = π β π = 0
met π de normaalvector.
Normaalvorm
13Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Parametervoorstelling
π₯π¦ =
π‘β2π‘
Parametervoorstelling
14Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Parametervoorstelling
π₯π¦ =
π‘β2π‘
= π‘1β2
= π‘π
met π de richtingsvector.
Parametervoorstelling
15Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 5.
Lijnen in β2
16Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 5.
Het punt π = (1,3) ligt op lijn β.
Normaalvorm
π β π β π = 0 β π β π = π β π
21
β π₯π¦ =
21
β 13
= 2π₯ + π¦ = 5
Normaalvorm
17Challenge the future
Definitie
De normaalvorm van de vergelijking van lijn β in β2 is
π β π β π = 0 of π β π = π β π
met π een punt op β en π β π een normaalvector voor β.
De algemene vorm van de vergelijking van lijn β is
ππ₯ + ππ¦ = π
met π =ππ
een normaalvector voor β.
Normaalvorm
18Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 5.
Het punt π = (1,3) ligt op lijn β.
Parametervoorstelling
π β π = π‘π β π = π + π‘π
π₯π¦ =
13
+ π‘1β2
π₯ = 1 + π‘ en π¦ = 3 β 2π‘ zijn de
parametrische vergelijkingen met π‘
een parameter.
Parametervoorstelling
19Challenge the future
Definitie
De parametervoorstelling van de vergelijking van lijn β in β2 of β3
is
π = π + π‘π
met π een punt op β en π β π een richtingsvector voor β.
De vergelijkingen die corresponderen met de componenten van de
parametervoorstelling heten de parametrische vergelijkingen van β.
Parametervoorstelling
20Challenge the future
Voorbeeld
Vind een parametervoorstelling van de lijn β in β3 door de punten
π = (β1,5,0) en π = 2,1,1 .
β’ Punt π op lijn β: punt π
β’ Richtingsvector π : vector ππ =3β41
Dit geeft π = π + π‘π =β150
+ π‘3β41
.
Parametervoorstelling
21Challenge the future
Vlakken in β3
22Challenge the future
Vlakken in β3
23Challenge the future
Definitie
De normaalvorm van de vergelijking van een vlak π« in β3 is
π β π β π = π of π β π = π β π
met π een punt op π« en π β π een normaalvector voor π«.
De algemene vorm voor de vergelijking van π« is ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = π
met π =πππ
een normaalvector voor π«.
Vlakken in β3
24Challenge the future
Definitie
De normaalvorm van de vergelijking van een vlak π« in β3 is
π β π β π = π of π β π = π β π
met π een punt op π« en π β π een normaalvector voor π«.
Opmerking: parallelle vlakken hebben dezelfde normaalvector(en).
Vlakken in β3
25Challenge the future
Definitie
De parametervoorstelling van de vergelijking een vlak π« in β3 is
π = π + π π + π‘π
met π een punt op π« en π β π en π β π niet parallelle
richtingsvectoren voor π«.
De vergelijkingen die corresponderen met de componenten van de
vectorvorm heten de parametrische vergelijkingen van π«.
Vlakken in β3
Participant LeadersPoints Participant Points Participant
6 13B9C3 5 13BA5D
6 16C32B 5 13BAA1
6 16C348 5 13BAEC
6 18EAEA 5 16C36B
6 18EB91 5 18EA2C
6 1D61C4 5 18EA5B
6 1D624D 5 1D6181
6 62A8D0 5 1D624E
5 13B9BE 5 1D62A9
5 13BA44 4 13B96E