Théorie financière Travaux pratiques – Session 6 « Relation risk-return - CAPM» Ex. : Aunt Agatha – CAPM

Titulaire : Professeur Kim Oosterlinck

« Aunt Agatha » « CAPM »

3

Aunt Agatha Rappel théorique 1 – Le risque

• Il n’y a pas uniquement l’espérance de rentabilité qui importe lors de l’évaluation d’un actif, en effet, il faut également tenir compte de la variance de la rentabilité.

• Préféreriez vous 50 avec certitude ou une loterie dont les résultats sont 10000 avec une probabilité de 0.5% et 0 avec une proba 99.5%?

TE R

TV R

4

Aunt Agatha Rappel théorique 2 – La diversification

• Est-ce vraiment la volatilité des actions qui importe?

• Non. Car une partie de du risque d’une action peut-être diversifiée.

• Dans l’exemple, on parvient à obtenir des portefeuilles à la rentabilité plus élevée pour un risque moindre.

5

Aunt Agatha Rappel théorique 3 – La diversification

• En combinant les actions, on obtient des portefeuilles qui présentent un risque minimum pour un return donné : frontière efficiente.

6

Aunt Agatha Rappel théorique 4 – Diversification

7

Aunt Agatha Rappel théorique 5 – Diversification

Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

30.00%

35.00%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

# stocks in portfolio

Po

rtfo

lio

sta

nd

ard

de

via

tio

n

Market risk

Unique risk

8

Aunt Agatha Rappel théorique 6 – Tobin

• En ajoutant un titre sans risque cela donne :

9

Aunt Agatha Rappel théorique 7 – Sharpe & Lintner

10

Aunt Agatha Rappel théorique 8 – Sharpe & Lintner

11

Aunt Agatha Rappel théorique 9 – CML

• Lorsque l’on a la CML, il suffit de choisir la combinaison qui maximise l’utilité :

12

Aunt Agatha Rappel théorique 10 – Le beta

13

Aunt Agatha Rappel théorique 11 – Le beta (A. Farber)

• Sachant que tout le monde détient le portefeuille de marché, quelle rentabilité allez vous exiger pour un titre?

• Sachant que la variance du portefeuille de marché est :

• La volatilité étant égale à:

• On continue à investir dans i tant que:

• A l’équilibre:

nMniMiMMM XXXX ......22112

1 21 2

1 1 1 2 2 2

... ...

... ...

iM nMM MM i n

M M M M

M M M i iM i n nM n

X X X X

X X X X

i F M F

iM i M

E R R E R R

i

iM ii F M F

M

E R R E R R

14

Aunt Agatha Questions 1 & 2

• 1) A) Rentabilité du portefeuille :

B) Volatilité du portefeuille :

• 2) Quel est le meilleur portefeuille?

0.2 0.14 0.8 0.06

7.6%

P S S T TR X R X R

2 2 2 2 2 2

0.2 0.16

3.2%

P A A B B A B AB

P

X X X X

2

2

,

. 7.6% 2 3.2%

7.395%

P P P PU R R a

U Port

2

100% 6% 0

100% 14% 2 16%

8.88%

U TB

U Stock

15

Aunt Agatha Question 2

16

Aunt Agatha Question 3

1P S S S T

P S S

R X R X R

X

S TP T P

S

R RR R

En présence d’un titre sans risque et d’un actif risqué, la rentabilité et

la volatilité du portefeuille sont : Ratio de Sharpe :

Rentabilité supplémentaire

par unité de risque

17

Aunt Agatha Question 4

2

2 2

Variance du port.Rentabilité du port.

,

1

P P P P

S S S T S S

U R R a

X R X R a X

2

2

2

,2

2

14% 6%

2 0.2 0.16

7.81

P P

S T S S

S

S T

S S

dU RR R aX

dX

R Ra

X

a

a

Quelle est l’aversion au risque que devrait avoir Agathe pour que le portefeuille 20% Stock – 80% TB soit celui qui maximise son utilité?

Première étape : plaçons la contrainte dans la fonction d’utilité:

Deuxième étape : maximisons:

18

Aunt Agatha Question 5

• 5) Quel est son portefeuille optimal connaissant son aversion au risque?

Vérification:

2

2

2

8%

2 2 16%

0.78125

S TS

S

R RX

a

2

0.781 14% 0.219 6%

12.25%

0.781 16% 12.5%

, 12.25% 2 12.5%

9.13%

P

P

P P

R

U R

1

0,21875

TB SX X

19

Aunt Agatha Question 6

• Remarque : jusqu’ici, nous considérions que Tante Agathe détenait le portefeuille de marché, il suffisait donc de déterminer où allait-elle se trouver sur la CML. Dans la suite de l’exercice, nous allons essayer de déterminer le nouveau portefeuille de marché.

• 6) A) Rentabilité du portefeuille :

B) Volatilité du portefeuille :

0.25 0.08 0.75 0.14

12.5%

P S S B BR X R X R

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

12.39%

P S S B B S B B S BS

P S S B B S B B S BS

X X X X

X X X X

20

Aunt Agatha Question 7

7) A) 50% bonds et 50% actions

B) 75% bonds et 25% actions

9.5%

6.59%

P

P

R

11%

9.09%

P

P

R

21

Aunt Agatha Question 8

• 8) Comment déterminer le portefeuille qui doit être sélectionné?

On utilise le ratio de Sharpe

Le portefeuille ayant le ratio de Sharpe le plus élevé sera le portefeuille qui permettra d’obtenir la plus haute rentabilité pour un risque donné

1

2

3

12.5% 6%0.5247

12.39%

0.5501

0.531

i T

i

R R

P T PR R

22

Aunt Agatha Question 8

23

Aunt Agatha Question 9

• 9)

On connait maintenant le portefeuille optimal, on peut donc déterminer la frontière des possibilités d’investissement.

Mais quel portefeuille va-t-elle choisir sur sa frontière?

21.51

2

P TP

P

R RX

a

0.51TX

24

Aunt Agatha Question 9

A

B

Riskless rate

Optimal risky portfolio

Optimal asset allocation

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00

Risk ( standard deviation)

Ex

pecte

d r

etu

rn

« Aunt Agatha » « CAPM »

26

CAPM Questions 1 & 2

1) Rentabilité du portefeuille :

2) Variance des rentabilités du portefeuille :

0.2512 6% 0.2325 8% 0.1334 10% 0.3829 12%

9.3%

MR

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

AB

P A A B B B A B A AB

A A B A AB B B B A AB

A A A B AB B B B A AB

X X X X

X X X X X X

X X X X X X

2 cov , cov ,

cov , cov ,

cov ,

cov ,

A A B AB A B

A B

A B

AP

X X X A A X A B

A X A A X B

A X A X B

A P

2

P A AP B BPX X

27

CAPM Question 2

14.37%P

2 0.2512 0.01131 0.2325 0.01697 0.1334 0.02263

0.3829 0.02829

0.02064

P

Ce qui donne :

28

CAPM Questions 3 & 4 : Rappels (A. Farber)

• The measure of risk of an individual asset in a portfolio has to incorporate the impact of diversification.

• The standard deviation is not an correct measure for the risk of an individual security in a portfolio.

• The risk of an individual is its systematic risk or market risk, the risk that can not be eliminated through diversification.

• Remember: the optimal portfolio is the market portfolio.

• The risk of an individual asset is measured by beta.

• The definition of beta is:

22 )(

),(

M

iM

M

Mii

R

RRCov

29

CAPM Questions 3 & 4 : Rappels (A. Farber)

• Several interpretations of beta are possible:

• (1) Beta is the responsiveness coefficient of Ri to the market

• (2) Beta is the relative contribution of stock i to the variance of the market portfolio

• (3) Beta indicates whether the risk of the portfolio will increase or decrease if the weight of i in the portfolio is slightly modified

30

CAPM Questions 3 & 4

3) Calcul des bêtas :

Le bêta du portefeuille est égal à :

4) Vérifier le CAPM cela signifie:

2

iPi

P

1

2

3

4

0.011310.55

0.02064

0.82

1.1

1.37

0.2512 0.55 0.2325 0.82 0.1334 1.1 0.3829 1.37

1

P

i M iR rf R rf i

M

i

R rfR rf

31

CAPM Question 4

• Pour le premier titre cela signifie :

• Pour le deuxième titre cela signifie :

2% 9,3% 2% 0,55

6%

A M AR rf R rf

2% 9,3% 2% 0,82

8%

B M BR rf R rf

32

CAPM Question 4

33

CAPM Question 5

5) Le ratio de Sharpe est égal à :

Ce qui donne pour chacun des titres:

Alors que le ratio de Sharpe du portefeuille est égal à

i

i

R rf

1

2

3

4

0.267

0.24

0.267

0.4

0.508P

34

CAPM Question 5

• Pourquoi les ratios de Sharpe ne sont pas égaux?

35

CAPM Question 6

6) Changement de return et de risque suite à l’ajout d’1% d’une action :

Si l’on ajoute 1 % de A :

Si l’on ajoute 1 % de D :

j M jdR R R dX

2

jM M

j

M

d dX

6% 9.3% 1% 0.00033

0.01131 0.020641% 0.000649

0.1437

dR

d

0.000330.508

0.000649

12% 9.3% 1% 0.00027dR

0.02829 0.020641% 0.000533

0.1437d

36

Rappels (Slides de A. Farber) : Marginal contribution to risk: some math

• Consider portfolio M. What happens if the fraction invested in stock I changes?

• Consider a fraction X invested in stock i

• Take first derivative with respect to X for X = 0

• Risk of portfolio increase if and only if:

• The marginal contribution of stock i to the risk is

22222 )1(2)1( iiMMP XXXX

)(2 2

0

2

MiM

X

P

dX

d

2

MiM iM

37

CAPM Question 7 – 1

Expected Return 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 9.30%

Standard Deviation 14.10% 12.78% 12.68% 13.82% 15.95% 18.72% 21.90% 14.37%

Sharpe 0.28368794 0.39123631 0.47318612 0.5065123 0.5015674 0.48076923 0.456621 0.50800278

Peu importe la rentabilité que souhaite Tante Agathe, il faut sélectionner le

portefeuille optimal. Une fois que l’on connait le portefeuille optimal, on connait

les possibilités d’investissements, il suffit ensuite de choisir le portefeuille qui

donnera un return de 7%.

On détermine donc le portefeuille de marché :

38

CAPM Question 7

• Pour obtenir un return de 7%, il faut combiner le portefeuille de marché et l’actif sans risque pour obtenir une rentabilité de 7%:

La standard deviation de ce portefeuille est :

Ce qui est moins élevé que le portefeuille efficient qui nous était proposé (E(R)=7%, Std. Dev. = 12,78%).

• Pour obtenir du 12 %:

7% 1M M MX R X rf

0.685

0.315

M

rf

X

X

1.3698

0.3698

M

rf

X

X

0.685 0.1437

9.84%

P

39

CAPM Question 8

• 8)

2.017 6% 0.088 8% 0.227 10% 0.878 12%

0

MR

2.017 0.55 0.088 0.82 0.227 1.1 0.878 1.3

0.27

40

CAPM Question 7