Post on 29-Jun-2015
Van de Oerknal naar het leven(natuurkundedeel)
Derde collegeMarcel Vonk
6 februari 2014
2/53
Praktische mededelingen
•Filmopdracht: maak groepjes van 4 of 5 studenten. Deadline: 11 februari.•Kies drie onderwerpen.•Geen groep te vinden? Mail Sigrid (S.denElt@uva.nl)•Groep aanmeldenvia formulier, link opblackboard. (Kopje“Filmopdracht” links.)
3/53
Praktische mededelingen
•Vrijdag: practicum groep A en B.•Andere indeling dan werkcolleges!•Indeling op blackboard.•A: 9u practicum, 13u rondleiding•B: andersom•Beide groepen verzamelen: G1.18.•Wees op tijd!!!
4/53
Praktische mededelingen
•Met name demonstratieproeven.•Om die reden: geen “gewoon” practicumverslag, maar een inleveropdracht van 2-4 pagina’s.•Alleen of samen; inleveren uiterlijk 24 februari.•Details in de beschrijving op blackboard.
The story so far…
6/53
The story so far…
22
2
22
/1
/'
'
'/1
'
cu
cxutt
zz
yycu
tuxx
tt
zz
yy
tuxx
'
'
'
'
7/53
The story so far…
Wat verandert er?
•Ruimte en tijd worden één geheel•Punten worden events (t,x,y,z)•Geen gelijktijdigheid meer•Ruimte: lengtecontractie•Tijd: tijdsdilatatie
8/53
Intermezzo: de ladderparadox
9/53
Intermezzo: de ladderparadox
• Vanuit de rennende waarnemer gezien wordt de schuur korter, en past de ladder dus niet.
• Vanuit de stilstaande waarnemer gezien wordt de ladder korter, en past de ladder dus ruim.
Hoe kan dit?
10/53
Intermezzo: de ladderparadox
Dat er geen tegenspraak is, zien we als we het ruimtetijddiagram bekijken.
11/53
The story so far…
Invariante eigentijd:
•(Δτ)2 > 0: tijdachtig•(Δτ)2 = 0: lichtachtig•(Δτ)2 < 0: ruimte-achtig
Ruimte-achtig verbonden events hebben geen causaal verband.
22222 )()()( xtcc
12/53
The story so far…
We kunnen de eigentijd met behulp van een metriek η ook schrijven als
22222 )()()()()( zyxtcc
3
0,
2)(
xxc
1000
0100
0010
0001
13/53
The story so far…
was niet relativistisch, en werd dus
td
ii
d
14/53
The story so far…
Om dezelfde reden voerden we de relativistische impuls in:
Dit blijkt een behouden grootheid te zijn, maar wat berekenen we nu eigenlijk?
d
xdmp
15/53
The story so far…
De ruimtecomponenten zijn bijna de “ouderwetse” impuls. Dat die behouden zijn is dus niet verbazend.
Maar wat is de betekenis van de tijdcomponent?
22 /1 cv
vmp
ii
22
0
/1 cv
cmp
16/53
Vragen?
Relativiteit, impuls en energie
18/53
Relativiteit, impuls en energie
Een Taylor-expansie geeft dat
cp0 is de relativistische energie! We vinden ook de rustenergie:
2422120
cvOvmcmpc
2cmE BORD
19/53
Relativiteit, impuls en energie
De energie-impuls-4-vector is dus
Net als bij de positie-4-vector kunnen we een invariante combinatie maken:
ipcEp ,/
42222 cmcpE BORD
20/53
Relativiteit, impuls en energie
Voor massaloze deeltjes (bijvoorbeeld fotonen) vinden we
Dit resultaat speelt een belangrijke rol in de kosmologie.
42222 cmcpE
cpE ||
Algemene relativiteitstheorie
22/53
Algemene relativiteitstheorie
Ook de zwaartekrachtswet is niet relativistisch:
Het kostte Einstein bijna 10jaar om de relativistischeversie te vinden!
2r
MmGFG
23/53
Algemene relativiteitstheorie
Een belangrijke hint was hetequivalentieprincipe: trage en zware massa zijn hetzelfde!
Gevolg: alle massa’s reageren hetzelfde op de zwaartekracht.
2r
MmGFG amF
24/53
Algemene relativiteitstheorie
De zwaartekrachtsversnelling hangt alleen af van de plaats en het moment, maar niet van het object.
Gevolg: we kunnen zwaartekracht zien als een eigenschap van de ruimte en de tijd!
25/53
Algemene relativiteitstheorie
We kunnen het equivalentieprincipe ook iets anders formuleren.
In vrije val ervaren we geen zwaartekracht.
a
26/53
Algemene relativiteitstheorie
Zwaartekracht kunnen we dus zien als een “pseudo-kracht” die we pas voelen als iets ons tegenhoudt.
a
27/53
Algemene relativiteitstheorie
Hetzelfde gebeurt als de astronaut niet beweegt maar de grond versnelt.
a
28/53
Algemene relativiteitstheorie
Equivalentieprincipe (revisited): in een zwaartekrachtsveld ervaren we hetzelfde als in een versneld systeem zónder zwaartekracht.
29/53
Algemene relativiteitstheorie
Een eerste gevolg kunnen we direct al afleiden: ook (massaloos) licht wordt door de zwaartekracht afgebogen! (Werkcollege 2, opgave 1.)
30/53
Algemene relativiteitstheorie
31/53
Algemene relativiteitstheorie
Einstein zag in dat er naast het equivalentieprincipe nog een tweede ingrediënt nodig is: kromming van de ruimte-tijd.
32/53
Algemene relativiteitstheorie
Als er geen krachten zijn, volgen objecten een “zo recht mogelijke weg” (geodeet) door de gekromde ruimtetijd.
33/53
Algemene relativiteitstheorie
We kunnen de kromming van de ruimte meten, en er zijn zelfs technologische toepassingen!
34/53
Algemene relativiteitstheorie
Wiskundig wordt de kromming weergegeven in de metriek:
De wiskunde kan flink ingewikkeld worden!
1000
0100
0010
0001
****
****
****
****
g
35/53
Algemene relativiteitstheorie
Speciale relativiteit:
Algemene relativiteit:
td
ii
d
2r
MmGFG
T
c
GgRgR
421 8
36/53
Algemene relativiteitstheorie
In de rest van dit college hebben we de wiskundige details gelukkig niet nodig, en volstaat een grof beeld van de algemene relativiteitstheorie.
Kosmologie en de oerknal
38/53
Kosmologie en de oerknal
In de kosmologie kunnen we een aantal vereenvoudigende aannames maken: het heelal is
•Homogeen (op elke plaats hetzelfde)•Isotroop (in elke richting hetzelfde)
39/53
Kosmologie en de oerknal
Let op: iets kan homogeen zijn en niet isotroop, of omgekeerd!
40/53
Kosmologie en de oerknal
De aanname dat het heelal homogeen en isotroop is, heet het cosmologisch principe.
Voor zover we kunnen zien is op schalen tussen de 100 miljoen lichtjaar en 13,8 miljard lichtjaar hieraan voldaan.
41/53
Kosmologie en de oerknal
Er zijn maar drie ruimtelijke heelalvormen die aan dit principe voldoen:
k = 1
k = -1
k = 0
42/53
Kosmologie en de oerknal
Op elk van deze oppervlakken bestaat een invariante afstandsmaat (vergelijk (Δτ)2 in de speciale relativiteit).
Het zou helaas te ver gaan om de precieze metriek gij hier te beschrijven...
jiijk xxg 2
43/53
Kosmologie en de oerknal
Wel belangrijk: we hebben het nu alleen gehad over de ruimtelijke vorm van het heelal. Die kan natuurlijk nog in de tijd van schaal veranderen!
De invariante “afstand” in de ruimte-tijd wordt daarmee
222 )( ktal
222222 )()()( ktatcc
44/53
Kosmologie en de oerknal
Dit is de “kosmologische variant” op de Minkowski-metriek.
Het cruciale ingrediënt isde schaalfactor a(t). (De rest mag je vergeten…)
222222 )()()( ktatcc
De schaalfactor van het heelal
46/53
De schaalfactor van het heelal
We kiezen de basisruimte vast en tijds-onafhankelijk.
Alle dynamica isbevat in a(t).
De coördinaten opde basisruimte hetenmeebewegende coördinaten.
k = 1
k = -1
k = 0
47/53
De schaalfactor van het heelal
In meebewegende coördinaten hebben twee sterrenstelsels een vaste afstand:
Δx
In het fysische, uitdijende heelal hebben ze een veranderlijke afstand r = a(t) Δx.
48/53
De schaalfactor van het heelal
De fysische snelheid waarmee de stelsels uit elkaar bewegen is
H is de Hubble-parameter.
(“Hubble-constante”)
rHtd
rdv
td
ad
aH
1met
BORD
49/53
De schaalfactor van het heelal
Centrale vraag in de kosmologie: hoe verandert a(t) als functie van de tijd?
Het antwoord hangt ervan af waaruit het heelal bestaat!
stof straling
50/53
De schaalfactor van het heelal
Eerst moeten we ons afvragen: wat is het verband tussen a(t) en de energiedichtheid ρ(t)?
stof
3)(
1)(
tat BORD
51/53
De schaalfactor van het heelal
Eerst moeten we ons afvragen: wat is het verband tussen a(t) en de energiedichtheid ρ(t)?
straling
4)(
1)(
tat
52/53
De schaalfactor van het heelal
•Fotonen: E = |p|c.•Forse impuls, dus forse druk.•Druk neemt af als volume toeneemt.•Hierdoor gaat meer energie verloren•Drukdichtheid: P=ρ/3 (3 dimensies)•Werkcollege: daaruit volgt
4)(
1)(
tat
53/53
Van de oerknal naar het leven
Vierde college:Maandag 11:00-13:00
Turingzaal