Een andere dimensie van GeoGebra · twee lijnen parallel zijn of loodrecht op elkaar staan; twee of...

Nationale Wiskunde Dagen 2019 Een andere dimensie van GeoGebra 1 / 36

Een andere dimensie van GeoGebraAndre Heck (Universiteit van Amsterdam), A.J.P.Heck@uva.nl

Nationale Wiskunde Dagen 2019

Overzicht

1 Meetkundige stellingen geautomatiseerd bewijzen en ontdekken

2 Geautomatiseerde bewijsvoering

3 Geautomatiseerde ontdekkingen

Achtergrondmateriaal:

http://staff.fnwi.uva.nl/a.j.p.heck@uva.nl/NWD2019

Overzicht

1 Meetkundige stellingen geautomatiseerd bewijzen en ontdekken

2 Geautomatiseerde bewijsvoering

3 Geautomatiseerde ontdekkingen

Achtergrondmateriaal:

http://staff.fnwi.uva.nl/a.j.p.heck@uva.nl/NWD2019

Meetkundige stellingen

geautomatiseerd bewijzen en ontdekken

Inleidende voorbeelden in GeoGebra

Stelling over een parallellogram

In een parallellogram verdeelt het snijpunt van de diagonalen elkvan deze diagonalen in twee stukken van gelijke lengte.

BewijsDetail(n, p) doet exacte, algebraısche check.

Relatie(n, p) doet numerieke check.

BewijsDetail(n, p) doetexacte, algebraısche check.

BewijsDetail(ZijnEvenwijdig(n, p)) doet exacte, algebraısche check.

Stelling over een driehoek

ABC een driehoek, D midden van AB, E midden van AC .Dan: DE ‖ BC en |DE | = 1

2 · |BC |

BewijsDetails(f, a) doet exacte, algebraısche check

2 · |BC |

Relatie(f, a) doet numerieke check

BewijsDetails(f, a) doet exacte,algebraısche check

2 · |BC |

BewijsDetail(ZijnEvenwijdig(f, a)) doet exacte, algebraısche check

’Ontdekking’ van de stelling over een driehoek

ABC een driehoek, D midden van AB, E punt op AC .Waar plaats je E zodat DE ‖ BC?

VergelijkingMP(ZijnEvenwijdig(f,a), E) bepaalt het punt g

VergelijkingMP(ZijnEvenwijdig(f,a), E)

bepaalt het punt g

VergelijkingMP(ZijnEvenwijdig(f,a), E) bepaalt het punt g

Vervolgaanpak:

• Sleep E over het lijnstuk AC en ’ontdek’ dat g wel eens hetmidden van AC kan wezen;

• Verberg de objecten E , f en g ;

• Construeer het midden F van AC ;

• Construeer het lijnstuk DF ;

• Ga met het Relatie-gereedschap of commando na dat DFen BC evenwijdig zijn.

Vervolgaanpak:

Wat doet het Relatie-gereedschap en commando?

Het Relatie-gereedschap (+commando) geeft informatie overmeetkundige relaties tussen twee of meer objecten

Je bent in staat om numeriek (voor de getekende constructie metnumerieke coordinaten) vast te stellen of

• twee lijnen parallel zijn of loodrecht op elkaar staan;

• twee of meer objecten (punten, lengtes, oppervlaktes) gelijkaan elkaar zijn;

• een punt op een lijn of kegelsnede ligt;

• drie of vier punten op een lijn liggen;

• drie lijnen door een punt gaan of evenwijdig zijn;

• . . .

Het Relatie-gereedschap (+commando) geeft informatie overmeetkundige relaties tussen twee of meer objecten.

• . . .

Wat doet het Bewijs-gereedschap en commando?

Het Bewijs-gereedschap (+Bewijs en BewijsDetailcommando’s) controleert een meetkundige bewering.

Uitvoer is:

• true: als de bewering altijd juist is of onder voorwaarden vanniet-ontaardheid;

• false: als deze bewering in het algemeen onjuist is;

• undefined: als GeoGebra geen beslissing kan nemen.

BewijsDetail is gelijk aan Bewijs, maar geeft ook informatieomtrent de condities van niet-ontaardheid.

Uitvoer is:

Voorbeeld van Bewijs-commando’s in CAS van GGB

Bewijs(h==i) voor E op AC en EF ‖ AB geeft false.

BewijsDetail(k==l) voor middens H en I geeft noodzakelijkevoorwaarden:

punten A, B, C liggen niet op een lijn, en A is niet gelijk aan B.

Bewijs van de stelling van Simson in GeoGebra

’Ontdekking’ van de stelling van Simson in GeoGebra

Geautomatiseerde bewijsvoering

Wat gebeurt er achter de schermen?

Terug naar de stelling over een driehoek:

2 · |BC |

Logboek bij geogebra.exe –loglevel=info

Stappenplan bij intern bewijs:

• Stap over naar meetkunde met coordinaten;

• Vertaal naar algebraısch probleem met veeltermen;

• Los algebraısch probleem op;

• Vertaal de uitkomst terug naar meetkundige beweringen.

Van meetkunde naar algebra

Stel A(x1, x2), B(x3, x4), C (x5, x6), D(x7, x8).

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

werkt beter dan (x3 − x1)2 + (x4 − x2)2 = 0

C = midden(AB): 2x5 − x3 − x1 = 0 en 2x6 − x4 − x2 = 0

A, B, C op een lijn: gelijke hellingen van AB en BC :

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

als veeltermvergelijking: (x4− x2)(x5− x3)− (x6− x4)(x3− x1) = 0

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

C = midden(AB)

: 2x5 − x3 − x1 = 0 en 2x6 − x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

A, B, C op een lijn

: gelijke hellingen van AB en BC :

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD

: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD

: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

A = B: x3 − x1 = 0 en x4 − x2 = 0

x4 − x2x3 − x1

=x6 − x4x5 − x3

AB ⊥ CD: (x3 − x1)(x7 − x5)− (x4 − x2)(x8 − x6) = 0

AB ‖ CD: (x4 − x2)(x7 − x5)− (x3 − x1)(x3 − x1)=0

Voorbeeld: stelling over een driehoek

2 · |BC |.

Kies coordinaten A(u2, u3), B(0, 0), C (u1, 0), D(x1, x2), E (x3, x4).

Vergelijkingen bij de constructie (hypothesen)

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

Vergelijking bij de stelling: u1 · (x4 − x2) = 0

Vraag (het op te lossen algebraısche probleem):

Is de vergelijking bij de stelling te herleiden tot 0 = 0op basis van de vergelijkingen bij de constructie?

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB)

=⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC )

=⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

2 · |BC |.

D = midden(AB) =⇒ 2x1 − u2 = 0

2x2 − u3 = 0

E = midden(AC ) =⇒ 2x3 − u1 − u2 = 0

2x4 − u3 = 0

Voorbeeld: stelling over een parallellogram

Kies coordinaten

Vergelijkingen bij de constructie:

ABCD is een parallellogram =⇒ x1 − u1 − u2 = 0

x2 − u3 = 0

A,E ,D collineair =⇒ x1x4 − x2x3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

Vergelijkingen bij de stelling:

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

d(B,E ) = d(E ,C ) =⇒ 2u1x3 − 2u2x3 − 2u3x4 − u21 + u22 + u23 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

ABCD is een parallellogram

=⇒ x1 − u1 − u2 = 0

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

A,E ,D collineair

=⇒ x1x4 − x2x3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D)

=⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

d(B,E ) = d(E ,C )

=⇒ 2u1x3 − 2u2x3 − 2u3x4 − u21 + u22 + u23 = 0

Kies coordinaten

x2 − u3 = 0

(u2 − u1)x4 − u3(x3 − u1) = 0

d(A,E ) = d(E ,D) =⇒ x21 − 2x1x3 − 2x2x4 + x22 = 0

Is elke vergelijking bij de stelling te herleiden tot 0 = 0op basis van de vergelijkingen bij de constructie?

Herleiding van vergelijkingen bij de constructie leidt totvoorwaarden:

u1 6= 0 en u3 6= 0.

Als je eist dat u1u3 6= 0, dan is de stelling te bewijzen.

Kennelijk kon GeoGrebra dit niet automatisch afleiden en faaltdaardoor het bewijs van de lengte-eigenschappen.

Truc van Rabinowitsch: u1u3 6= 0 kun je in het bewijs inbouwendoor de hulpvariabel y1 te introduceren samen met de vergelijkingu1u3y1 − 1 = 0.

u1 6= 0 en u3 6= 0.

Herleiding van vergelijkingen bij de constructie leidt tot voorwaarden:

u1 6= 0 en u3 6= 0.

Kennelijk kon GeoGebra dit niet automatisch afleiden en faalt daardoor het bewijs van de lengte-eigenschappen.

Herleiding van vergelijkingen bij de constructie leidt tot voorwaarden:

u1 6= 0 en u3 6= 0.

Kennelijk kon GeoGrebra dit niet automatisch afleiden en faalt daardoor het bewijs van de lengte-eigenschappen.

Truc van Rabinowitsch: u1u3 6= 0 kun je in het bewijs inbouwen door de hulpvariabele y1 te introduceren samen met de vergelijking u1u3y1 − 1 = 0.

Algebraısche formulering van meetkundig probleem

Vrije variabelen u1, u2, . . . um gebruikt voor coordinaten van vrij tekiezen punten.

Afhankelijke variabelen x1, x2, . . . xn gebruikt bij geconstrueerdepunten.

Stel veeltermvergelijkingen bij de constructie op (hypothesen):

H1(u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0, . . . ,Hs(u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0

Vertaal meetkundige stelling in veeltermvergelijkingen (hier 1):S(u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0

Het algebrasche probleem: Is S = 0 te herleiden tot 0 = 0op basis van de vergelijkingen H1 = 0, . . . ,Hs = 0?

M.a.w. zijn gemeenschappelijke nulpunten van H1 . . .Hs bevat inde nulpunten van S?

Vrije variabelen u1, u2, . . . um gebruikt voor coordinaten van vrij te kiezen punten.

Afhankelijke variabelen x1, x2, . . . xn gebruikt bij geconstrueerde punten.

H1(u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0, . . . , Hs (u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0

Het algebraïsche probleem: Is S = 0 te herleiden tot 0 = 0op basis van de vergelijkingen H1 = 0, . . . , Hs = 0?

Vrije variabelen u1, u2, . . . um gebruikt voor coordinaten van vrij te kiezen punten.

Afhankelijke variabelen x1, x2, . . . xn gebruikt bij geconstrueerde punten.

H1(u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0, . . . , Hs (u1, . . . , um, x1, . . . xn) = 0

Het algebraïsche probleem: Is S = 0 te herleiden tot 0 = 0op basis van de vergelijkingen H1 = 0, . . . , Hs = 0?

M.a.w. zijn gemeenschappelijke nulpunten van H1 . . . Hs bevat in de nulpunten van S?

Grobner basis

Oplossen van veeltermvergelijkingen doe je met een CAS m.b.v.Grobner basis berekeningen.

De gereduceerde Grobner basis van {f1, f2, f3} t.o.v. lexicografischetermordening met x � y � z is {g1, g2, g3}.

Grobner basis

Uitvinder van Grobner bases en hun berekening

Bruno Buchberger (RISC, Linz)

CAS in Geogebra kan Grobner bases uitrekenen:

Grobner basis bij bewijzen van meetkundige stellingen

Methode 1 in GeoGebra (niet aanbevolen)

De gereduceerde Grobner basis van hypothesen GB(H1,H2, . . .Hs)is gelijk aan de gereduceerde Grobner basis van de hypothesen plusde stelling, GB(H1,H2, . . .Hs ,S).

Methode 2 (ingeval er geen voorwaarden nodig zijn)

De gereduceerde Grobner basis van hypothesen plus de veeltermhorende bij ontkenning van de stelling is gelijk aan {1}.M.a.w. GB(H1,H2, . . .Hs ,S · y − 1) = {1}.

Methode 3 (bij voorwaarden D1 6= 0, . . . ,Dt 6= 0)

GB(H1,H2, . . .Hs ,D1 · y1 − 1, . . . ,Dt · yt − 1,S · y − 1) = {1}.Meestal lexicografische termordening mety � yt � · · · � y1 � xn � · · · � x1 � um � · · · � u1

GB(H1,H2, . . .Hs ,D1 · y1 − 1, . . . ,Dt · yt − 1, S · y − 1) = {1}.Meestal lexicografische termordening mety � yt � · · · � y1 � xn � · · · � x1 � um � · · · � u1

Methode 3 bij stelling over een parallellogram

Methode 3 bij stelling over een vierkant

Neem een vierkant OABC . Dan delen de twee lijnen die Cverbinden met de middens van OA en AB de hoofddiagonaal OBin drie stukken van gelijke lengte.

Methode 1 en 3 bij stelling over een vierkant

Methode 3 bij cirkelstelling van Apollonius

In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek in hoekpunt Aliggen de middens van de zijden van de driehoek en het voetpuntvan de hoogtelijn van A naar BC op een cirkel.

Methode 1 en 3 bij cirkelstelling van Apollonius

Punten: A(0, 0), B(u1, 0), C (0, u2), M1(x1, 0), M2(0, x2), M3(x3, x4), V (x5, x6) en middelpunt M(x7, x8) van de cirkel door M1, M2, M3.

Hypothesen:

middens =⇒ 2x1 − u1 − u2, 2x2 − u2, 2x3 − u1, 2x4 − u2

AV ⊥ BC =⇒ x5u1 − x6u2

B,H,Ccollineair =⇒ x5u2 + x6u1 − u1u2

|MM1|2 = |MM2|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − x27 − (x2 − x8)2

|MM1|2 = |MM3|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − (x3 − x7)2 − (x4 − x8)2

Condities: u1 6= 0, u2 6= 0

Stelling (M op cirkel): (x1 − x7)2 + x28 − (x5 − x7)2 − (x6 − x8)2

Hypothesen:

AV ⊥ BC =⇒ x5u1 − x6u2

|MM1|2 = |MM2|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − x27 − (x2 − x8)2

|MM1|2 = |MM3|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − (x3 − x7)2 − (x4 − x8)2

Hypothesen:

AV ⊥ BC =⇒ x5u1 − x6u2

|MM1|2 = |MM2|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − x27 − (x2 − x8)2

|MM1|2 = |MM3|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − (x3 − x7)2 − (x4 − x8)2

Punten: A(0, 0), B(u1, 0), C (0, u1), D(0, u), M1(x1, 0),M2(0, x2), M3(x3, x4), V (x5, x6) en middelpunt M(x7, x8)van de cirkel door M1,M2,M3.

Hypothesen:

AV ⊥ BC =⇒ x5u1 − x6u2

|MM1|2 = |MM2|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − x27 − (x2 − x8)2

|MM1|2 = |MM3|2 =⇒ (x1 − x7)2 + x28 − (x3 − x7)2 − (x4 − x8)2

Methode 3 bij cirkelstelling van Apolonius

Geautomatiseerde ontdekkingen

Wat gebeurt er achter de schermen

• Stel dat een meetkundige stelling S niet te herleiden is uit dehypothesen H.

• Gepoogd wordt om automatisch een extra hypothese H0 tevinden zodat S wel volgt uit H ∪ {H0}.• Grobner bases worden hiervoor gebruikt.• Aanpak:

• Stel je wilt de meetkundige plaats van vrij punt P(x , y)bepalen;

• Bereken Grobner basis van hypothesen, condities vanniet-ontaardheid, en de stelling t.o.v de lecxicografischeordening met x ≺ y ≺ x1 ≺ · · · xn;

• Zoek in Grobner basis veeltermen met alleen x en y .

Illustratief voorbeeld: stelling van Simson

• Gepoogd wordt om automatisch een extra hypothese H0 tevinden zodat S wel volgt uit H ∪ {H0}.

• Grobner bases worden hiervoor gebruikt.• Aanpak:

• Gepoogd wordt om automatisch een extra hypothese H0 tevinden zodat S wel volgt uit H ∪ {H0}.• Grobner bases worden hiervoor gebruikt.

• Aanpak:• Stel je wilt de meetkundige plaats van vrij punt P(x , y)

bepalen;• Bereken Grobner basis van hypothesen, condities van

niet-ontaardheid, en de stelling t.o.v de lecxicografischeordening met x ≺ y ≺ x1 ≺ · · · xn;

• Stel dat een meetkundige stelling S niet te herleiden is uit de hypothesen H.

• Gepoogd wordt om automatisch een extra hypothese H0 te vinden zodat S wel volgt uit H ∪ {H0}.• Grobner bases worden hiervoor gebruikt.

• Aanpak:

• Stel je wilt de meetkundige plaats van vrij punt P(x , y) bepalen;

• Bereken Grobner basis van hypothesen, condities vanniet-ontaardheid, en de stelling t.o.v de lexicografische ordening met x ≺ y ≺ x1 ≺ · · · xn;

• Aanpak:

Ontdekking van de stelling van Simson

Ontdekking van de stelling van Simson: Specifiek

Ontdekking van de stelling van Simson: Algemeen

Dit is een vergelijking van een cirkel;namelijk de omgeschreven cirkel van de driehoek.

Een andere dimensie van GeoGebra · twee lijnen parallel zijn of loodrecht op elkaar staan; twee of...

Documents

Transcript of Een andere dimensie van GeoGebra · twee lijnen parallel zijn of loodrecht op elkaar staan; twee of...

Haarlem · De uitvoering van dit programma in het eerste jaar heeft via twee componenten plaatsgevonden die onlosmakelijk met elkaar verbonden waren: (1) de uitvoering van de activiteiten

INFOBROCHURE TECHNISCHE INFO Werf Sint-Niklaas, Belsele ... · - Niet voorzien: terrassen, afwerking met teelaarde, beplanting V. Netto oppervlaktes van de lokalen Type 3/4: halfopen

Twee aan twee (15de zondag B)

Veranderen in de verloskunde; uiteindelijk is het allemaal ......studie over groeivertraging in de a-terme periode, die twee bestaande behandelingen met elkaar vergeleek, de eerste

Onderzoek crowdfunding · Groningen, 11 juni 2013 ... door twee innovatieve ondernemers, die kansen zagen om geldschieter en geldlener zonder een bank aan elkaar te koppelen. Dit

WordPress.com...ELLEmtemiav adviseert in pr- en marketingstrategieën ziet dat er nog meer is dan alleen twee zussen die op elkaar liiken. Was hun verlegenheid voorheen de reden …

Praktijkcase WOZ: twee werelden groeien naar elkaar

Perfecte harmonie wordt werkelijkheid. Twee grote merken ...€¦ · 1 Perfecte harmonie wordt werkelijkheid. Twee grote merken, Formica® en Unilin, slaan de handen in elkaar en

Verkenning Cultuurhistorie Laarsenbergboshistorie.nl/pdf/Neefjes2008-LaarsenbergVer... · cultuurhistorie en ecologie tegen elkaar af te wegen. Deze verkenning bestaat uit twee delen.

Toepassingen van integralen. met integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe ging dat ook alweer… als gegeven is: een functie f(x) die beschrijft.

Biomonitoring arseen en de rol van de bedrijfsarts€¦ · • Contact met huid/vervuilde werkkleding/ werkstukken/besmette oppervlaktes • Inslikken van stof via de mond/besmette

Parochie parochie HH. Twaalf ApostelenHH. Twaalf Apostelen ... · Passie - en daar komen de twee betekenissen bij elkaar - betekent naast bevlogenheid, óók de bereidheid om offers

Ring Utrecht robuust CVSpaper 2012 - CVS Congres · doorgaande verkeer en het regionale en lokale bestemmingsverkeer. Er worden twee wegennetten naast elkaar aangelegd, inclusief

Montage- en afdichtingstechniek lijmen en kitten€¦ · Lijmen Wanneer je materialen met elkaar wilt verbinden of bevestigen, zijn er twee mogelijkheden. Enerzijds het mechanisch

Buitengewoon genieten...P3 Bepaal zelf het weer P6 Patio collectie Geschikt voor kleine en grote oppervlaktes P20 Lamellendak collectie Summum van luxe voor levensgenieters P30 Duostore

Het open Huis · 2018. 10. 10. · 2 Waar twee of drie Waar twee of drie in uw naam geloof delen, hoop koesteren, liefde schenken, elkaar de hand toesteken, elkaars zwakte dragen,

Een Tukker woont naast een Marokkaan en hun tuinen grenzen aan elkaar. De twee hebben altijd een goede verstandhouding gehad tot een treurig incident die.

MijnPositieveGezondheidendeZelfredzaamheid-MatrixDe Zelfredzaamheid-Matrix en Mijn Positieve Ge-zondheid zijn twee elkaar aanvullende instrumenten die toegepast worden in de interactie

bart moeyaert...bart moeyaert amsterdam antwerpen em. querido’s uitgeverij b.v. 2004 zitten nu rónde pijpjes van grafiet, en er zijn twee identieke houthelften tegen elkaar geplakt.

Over medische ethiek gesproken...12 Over medische ethiek gesproken Hoofdstuk 2 behandelt twee met elkaar samenhangende vraagstukken rond het levenseinde: ‘voltooid leven’ en stervenshulp