Oct 5 2009 slide

College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen

1

gedrag op microschaal gedrag op macroschaal

complexiteit:

↔

Oct 5 2009 slide

College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen

2

gedrag op microschaal gedrag op macroschaal

complexiteit:

Oct 5 2009 slide 3

magnetisch materiaal macro

Oct 5 2009 slide 4

electronen “draaien om hun as”, en hebben een intrinsiek magnetischmoment.

Deze magnetische momenten zijn gelokaliseerd in een (kristallijn)materiaal, en voelen elkaar op atomaire schaal.

Oct 5 2009 slide 5

Als er geen extern veld is, kunnen de individuelespins geen weet hebben van wat er op de macro-schaal gebeurt. Toch zijn er materialen die spontaaneen macroscopische magnetisatie verkrijgen.

Spontane magnetisatie is een collectief effect – iets dat uit zichzelfplaatsvindt wanneer veel spins wisselwerken.

Oct 5 2009 slide 6

Het Ising model codeert deze lokale interacties: we stellenhet materiaal voor als een serie spins op een rooster

Simplificatie: iedere spin is op of neer, en voelt alleen z’n naaste buren.

Oct 5 2009 slide 7

Het Ising model codeert deze lokale interacties: we stellenhet materiaal voor als een serie spins op een rooster

Simplificatie: iedere spin is op of neer, en voelt alleen z’n naaste buren.

Oct 5 2009 slide 8

Op elke roosterpositie

zit een spin

Die spin draagt een energie bij van

J is de koppelingsconstante: meet hoe graag de spins dezelfde kant opwijzen

Oct 5 2009 slide 9

ferromagneetlokaal parallel

antiferromagneetlokaal antiparallel

Oct 5 2009 slide10

Totale energie van het Ising model:

Puur lokaal, alleen afh. van aantalandere buren.

Centrale vraag:

Totale Magnetisatiein evenwicht.

Wat zou dat bepalen?

Oct 5 2009 slide11

Totale energie van het Ising model:

minima van de energie:

alles op of alles neer.

Waarom zou het iets anders doen?

Oct 5 2009 slide12

Evenwicht is (bij T=0) het minimum van de energie. Maar!

Ising bij eindige temperatuur:

De spins fluctueren. Iedere spin kan “spontaan” omklappen,zelfs als dat (tijdelijk) de energie verhoogt.

Energie wil geordende (gemagnetiseerde) toestanden

Entropie wil wanordelijke (M=0) toestanden.

Oct 5 2009 slide13

hoge T lage T

Oct 5 2009 slide14

fenomenologie:

bij lage T worden de spins lokaal – in domeinen – opgelijnd.M is niet ongelijk nul in een wanordelijke configuratie, maarwordt niet nul door geordende domeinen te maken!

Oct 5 2009 slide15

J=1, 1/kT=0.1: <M>=0

J=1, 1/kT=0.43, is <M> not zero?

Oct 5 2009 slide16

Bij verder verlagen van T verkrijgt het systeem eenspontane magnetisatie!

1/kT=0.5 1/kT=10

Oct 5 2009 slide17

<M> stijgt met dalende temperatuur

Oct 5 2009 slide18

We meten de gemiddelde magnetisatie per spin als functie van T

Gemiddelde magnetisatie als functie van T: kritiek punt (voor J=1)bij kT=2.26919… (Onsager). Order-Disorder transitie.

Oct 5 2009 slide19

dicht bij de overgang:

Oct 5 2009 slide20

Dicht bij de faseovergang probeert het systeem lokaalde geordende toestand (M niet nul) uit. Niet willekeurig,maar in geordende

steeds grotere clusters van gelijke spins: de correlatielengte

1/kT=0.43

Oct 5 2009 slide21

Complexiteit = Machtwetgedrag = kritiek gedrag

machtwetten, hebben we eerder gezien, zijn een vingerafdruk van schaalvrije netwerken – waar zit de schaalvrijheid in dit systeem?

ruimtelijke organisatie van de clusters: correlaties spreiden zichvia burennetwerken uit over steeds grotere lengteschalen, en deze netwerken spelen de rol van de netwerken die we eerdergezien hebben. Machtwetschaling van afgeleide grootheden volgtdie van de netwerken.

Oct 5 2009 slide22

Schaalvrijheid?

Scale invariance op de faseovergang. Een precieze overeenkomsttussen effectieve (blok)spins op steeds grotere schalen en individuelespins.

= =

Oct 5 2009 slide23

In natuurkunde: Ising is universeel, ook voor veel ingewikkeldere(meer realistische modellen) vinden we dezelfde machten dichtbij de faseovergang.

Niet alleen schaalinvariantie – ook “modelinvariantie” dicht bijkritieke punten zijn heel veel eigenschappen irrelevant en zienwe zuiver het effect van de belangrijkste interacties.

Van onschatbaar nut voor het analyseren van complexe fenomenen:denk goed na over je model en – hoe simpel ook – het zou wel eensalles kunnen verklaren!

Vraag is dan wel, wat zijn de belangrijke zaken?