Uitwerkingen Hoofdstuk 17
Wiskunde 2
17.1
a. Je weet: 2π = 360Β° β maak gebruik van deze verhouding!
Gevraagd: hoeveel rad = 30Β° β 30Β° =1
12β 360Β° β πππ ππ πππππβππππππ ππππ‘. πππ:
1
12β 2π
β1
12β 2π =
π
6 Oftewel, als kruistabel:
β360Β°
2π=
30Β°
?β
360
2π
30=
360
2πβ30=
1
? πππβ
ππ βππ
πππ=? πππ
Vereenvoudigen geeft: 2πβ15
180=
2πβ5
60=
2π
12=
π
6
b. Maak steeds gebruik van dezelfde methode, maar dan alleen de dikgedrukte vergelijking uit a
2πβ45Β°
360=? πππ =
2πβ15
120=
2πβ5
40=
2π
8=
π
4
c. 2πβ60Β°
360=? πππ =
2πβ6
36=
2π
6=
π
3
dit is 2x 30Β° (uit a.) en dus ook 2x zoveel radialen (evenredige verhouding (lineair))
d. 2πβ70Β°
360Β°=? πππ =
πβ70Β°
180Β°= πππππ ππππ 10 =
πβ70Β°
10180Β°
10
=πβ7
18
ππ ππππππ ππππππ: ππππππ ππππ π‘ 10Β° β2πβ10
360=
π
18β dan x7 =
7π
18 = zelfde
e. 2πβ15Β°
360=? πππ =
2πβ5Β°
120=
10π
120=
π
12
Ik raad je aan om het aantal radialen van 30Β°, 45Β° en 90Β° uit je hoofd te leren.
17.2
a. 2πβ20Β°
360=? πππ =
40π
360=
20π
180=
20π
180=
10π
90=
π
9
b. 2πβ50Β°
360=? πππ =
100π
360=
10π
36=
5π
18
c. 2πβ80Β°
360=? πππ =
160π
360=
80π
180=
40π
90=
20π
45=
4π
9
d. 2πβ100Β°
360=? πππ =
200π
360=
20π
36=
10π
18=
5π
9
e. 2πβ150Β°
360=? πππ =
300π
360=
100π
120=
10π
12=
5π
6
360Β°
30Β°
2Ο rad ? rad
gevraagde hoek in rad
17.3
a. 2πβ130Β°
360=? πππ =
260π
360=
26π
36=
13π
18
b. 2πβ135Β°
360=? πππ =
270π
360=
27π
36=
3π
4
c. 2πβ200Β°
360=? πππ =
400π
360=
40π
36=
10π
9
d. 2πβ240Β°
360=? πππ =
480π
360=
48π
36=
24π
18=
12π
9=
4π
3
e. 2πβ330Β°
360=? πππ =
660π
360=
66π
36=
22π
12=
11π
6
17.4
a.
360Β°
2π=
?π
6
β360
2πβ
π
6=? =
360π
12π=
180
6= 30Β°
b. 360Β°
2π=
?7
6π
β360
2πβ
7π
6=? =
7β360π
12π=
7β180
6= 7 β 30 = 210Β°
c. 360Β°
2π=
?1
3π
β360
2πβ
1π
3=? =
360π
6π=
360
6= 60Β°
d. 360Β°
2π=
?2
3π
β360
2πβ
2π
3=? =
2β360π
6π=
360
3= 120Β°
e. 360Β°
2π=
?1
4π
β360
2πβ
1π
4=? =
360π
8π=
360
8=
180
4=
90
2= 45Β°
17.5
a. 360Β°
2π=
?5
4π
β360
2πβ
5π
4=? =
5β360π
8π=
5β180
4= 5 β 45 = 225Β°
b. 360Β°
2π=
?5
12π
β360
2πβ
5π
12=? =
5β360π
24π=
5β180
12=
5β90
6= 5 β 15 = 75Β°
c. 360Β°
2π=
?11
24π
β360
2πβ
11π
24=? =
11β180
24=
11β90
12=
11β45
6=
11β15
2=
165
2= 82,5Β°
d. 360Β°
2π=
?15
8π
β360
2πβ
15π
8=? =
15β360π
16π=
15β180
8=
15β90
4=
15β45
2=
675
2= 337,5Β°
360Β°
?Β°
2Ο rad 1/6 Ο gevraagde hoek in rad
e. 360Β°
2π=
?23
12π
β360
2πβ
23π
12=? =
23β360π
24π=
23β180
12=
23β90
6=
23β45
3= 23 β 15 = 345Β°
17.6
a. 360Β°
2π=
?71
72π
β360
2πβ
71π
72=? =
71β360π
144π=
71β180
72=
71β30
12=
71β5
2=
355
2= 177,5Β°
b. 360Β°
2π=
?41
24π
β360
2πβ
41π
24=? =
41β180
24=
41β90
12=
41β30
4=
41β15
2=
615
2= 307,5Β°
c. 360Β°
2π=
?25
18π
β360
2πβ
25π
18=? =
25β180
18=
25β10
1= 250Β°
d. 360Β°
2π=
?13
24π
β360
2πβ
13π
24=? =
13β180
24=
13β90
12=
13β30
4=
13β15
2=
195
2= 97,5Β°
e. 360Β°
2π=
?31
36π
β360
2πβ
31π
36=? =
31β180
36=
31β30
6= 31 β 5 = 155Β°
17.7
CW = clockwise
CCW = counter clockwise
a.
β30Β° ππππ‘ ππ£πππππ πππ‘ πππ ππππππππ πππβπ‘π ππ (πππ‘ ππ ππππ πππ, π£ππππ ππ’ πΆπ (ππππππ€ππ π))
π·ππ‘ ππππ‘ π€πππ ππ£πππππ πππ‘ πππ ππππππππ π£ππ 360Β° β 30Β° (π‘ππππ πππ‘ ππ ππ ππππππ)
360 β 30 = 330Β° CCW (counter clockwise)
b. 445Β° ππππ‘ ππππ ππ ππππ πππ ééπ ππππππ ππ ππ πππβππππ ππππππ: 360Β°
π»πππ βππ‘ ππππ π‘π ππππππ πππ£ππ ππ: 445 β 360 = 85Β° ππ πππ π€ππ‘ ππ ππ£ππππππππ‘
π·ππ‘ ππππ‘ ππππ ππ πππππππ πππ§πππππ βπππ, π€πππ‘ ππ ππ ππππ π‘π 360Β° ππππππ‘ ππ ππππππππ ππππππ’π€
c. β160Β° π€ππππ‘ ππ πππ§πππππ ππππππ πππππππ πππ πππ π.
360 β 160 = 200Β°
πππππ πππ πππ‘ ππ ππ πππβππππ ππππππ ππ πππ πππππ π‘π π£πππππ.
d. 700Β° ππ πππ π€πππ ππππ πππ ééπ ππππππ: βπππ ππππππ βππ‘ ππππ π‘π ππππππ ππππ.
700 β 360 = 340Β°
e. 515Β° β 360Β° = 155Β°
17.8
a. πππππππ πππ ππππππππ πΆπ: β 220Β°
π·ππ‘ ππ πππ πππ ππππππππ πΆπΆπ, π€ππππππ ππ 360Β° β 220Β° =
140Β°. π½π ππππ‘ πππ ππ βππ‘π§πππππ ππ’ππ‘ π’ππ‘.
b. β650Β° ππ ππππ π‘πππ ééπ ππππ ππ ππππππ ππππ, ππππ πππ πΆπ.
π·ππ‘ ππ’π ππ ππ’π π£ππππππππππ: β 650 β (β360) = β290Β°
π·π ππ£ππππππππ£ππ βπππ ππ πππ 360Β° β 290Β° = 70Β°
c. 830Β° ππ ππππ π‘πππ ééπ ππππ ππ ππππππ ππππ, πΆπΆπ: π£ππππππππ πππ‘.
830 β 360 = 470Β° β π‘π€ππππ ππππππ β 470 β 360 = 110Β°
d. πΈπππ π‘π ππππππ: 1000Β° β 360Β° = 640Β° β π‘π€ππππ ππππππ: 640 β 360 =
280Β° π€ππ‘ ππππ π‘ππππ ππ βππ‘π§πππππ ππ’ππ‘ π’ππ‘ ππππ‘.
e. 1550Β°: βπππ ππππ π§ππ£πππ ππππππππ βππβπππππππ (πππππππ )π£ππππ β
β 1550 β 360 = 1190 β 1190 β 360 = 830 β 830 β 360 = 470 β 470 β 360 = 110Β°
17.9
a. β430Β° β β430 β (β360) = β70Β° β
π€ππ‘ ππ βππ‘π§πππππ ππππππππ‘ πππ πππ ππππππ πΆπ, ππππ πππ π£πππππππππ πππ‘ πππ βπππ:
360 β 70 = 290Β°
b. 935Β° β 935 β 360 = 565Β° β 565 β 360 = 205Β°
c. 1200Β° β 1200 β 360 = 840Β° β 840 β 360 = 480Β° β 480 β 360 = 120Β°
d. β240Β° π π‘πππ‘ ππππππ πππ 360 β 240 = 120Β° (π§πππππ ππ’ππ‘ ππ ππ πππβππππ ππππππ)
e. 730 β 360 = 370 β 370 β 360 = 10Β°
17.10
a. Formule voor oppervlakte cirkelsegment: πΌ
2β π2 = π΄
Voor een volledige cirkel (Ξ± = 2) wordt πΌ
2= 1 en blijft er dus π2 = π΄ over.
Als de straal (r) = 3 en middelpuntshoek (Ξ±) = 1 rad, dan:
π΄ =1
2β β 32 =
1
2β
β 9 = 4,5
b. Een halve cirkel heeft een middelpuntshoek van radialen: πΌ = (1
2β 2) =
Een diameter is twee keer de straal: 2 β π = π + π = π· β π =π·
2=
1
2
πΌ
2β π2 = π΄ β π΄ =
2β β (
1
2)
2
=1
2β β
1
4=
1
8
c. Formule voor omtrek cirkel: 2 β β π = πΆ
Formule voor oppervlakte cirkel: π2 = π΄ (volledige cirkel)
Waarbij gegeven is dat π΄ = 1 β π2 = 1 β π2 =1
β π = Β±β
1
Negatieve waarde voor een oppervlak is fysiek niet mogelijk; neem de positieve waarde aan.
Dan is de omtrek: πΆ = 2β1
= 2 β
1
12
= 2 β β1
2 = 21
2 = 2β
17.12
a. sin (2
3) wil zeggen: wat is de waarde van de sinus (de verticale as op de eenheidscirkel) bij
een verdraaiing/hoek van 2
3 CCW.
Bij 0 radialen is de sinus ook nul en de cosinus (de horizontale as) 1. Bij een kwart cirkel (1
2)
, of 90 graden, is de sinus 1 en de cosinus 0.
De waarde van sin (1
3) is in de tabel op de bijbehorende theoriepagina te vinden β
1
2β3
Dit kun je ook aflezen op de y-as (sinus-as) in de eenheidscirkel, bij een hoek van 1
3 of
2
3
M.b.v. symmetrie in y-as is te bepalen dat: sin (2
3) = sin (
1
3) =
1
2β3
Dit is af te lezen van de eenheidscirkel en de beide punten moeten wel gelijk zijn aangezien
de hoekverdraaiing van evenredig in drie stukken op te delen is en daarom op dezelfde
hoogte moeten zitten (symmetrisch in de y-as).
b. cos (3
4) β ππππ cos (
1
4) ππ ππππππ:
1
2β2 (leid dit af uit de positie op de eenheidscirkel)
β cos (2
4) = 0 en is weer een achtste rondje verder β
cos (3
4) βππππ‘ πππ§πππππ πππππ‘π πππ cos (
1
4)
ππππ πππ ππππππ ππππ‘ ππ (πππππππ‘ππ ππ πππππ‘πππ£π ππ ) β β1
2β2
c. Een verdraaiing van 11
6π is bijna de cirkel rond, op
1
6π na. Het staat dus gelijk aan een
verdraaiing van β1
6π. De cosinus is symmetrisch (gespiegeld) over de horizontale as, en heeft
dus dezelfde waarde πΌ =1
6π. Dit is dus
1
2β3
d. tan5
4π = tan (1
1
4π) =
sin(5
4π)
cos(5
4π)
= β―
β sin (5
4π) = sin (β
1
4π) = β1 β sin (
1
4π) = β1 β
1
2β2
β cos (5
4π) = π ππππππππ ππ π₯ β ππ = cos (
3
4π) = β1 β cos (
1
4π) = β1 β
1
2β2
β tan (5
4π) =
β1
2β2
β1
2β2
= 1
e. sin (5
6π) = sin (
1
6π) π£πππ€πππ π π¦ππππ‘πππ π¦ β ππ β sin (
1
6π) =
1
2
17.13
a. sin(3π) = sin(π) π€πππ‘ ππ 2π π£ππππππππππ ππππππ‘ βππ‘ πππππππ£ππππππ π€πππ ππ£ππππππ’π€
β sin(π) = 0 π§ππππ ππ π‘π πππ§ππ π£ππ ππ πππβππππ ππππππ
b. tan(7π) = tan(7π β 2π β 2π β 2π) = tan(π) =sin (π)
cos(π)=
0
β1= 0
c. cos(β5π) = cos(βπ) = cos(π) = β1
d. tan(12π) = tan(2π) = tan(0) =sin (0)
cos (0)=
0
1= 0
e. sin(β5π) = sin(βπ) = sin(π) = 0
spiegelen t.o.v. de y-as spiegelen
t.o.v. de x-as
17.14
a. π ππ (β2
3π) = β1 β sin (
2
3π) β sin (
2
3π) = sin (
1
3π) β β1 β sin (
1
3π) = β1 β
1
2β3
b. tan (7
4π) = tan (β
1
4π) =
sin(β1
4π)
cos(β1
4π)
=β1βsin(
1
4π)
cos(1
4π)
=β1β
1
2β2
1
2β2
= β1
2β2
1
2β2
= β1
c. cos (β7
6π) = cos (
7
6π) π€ππ‘ ππβππ’ππ‘
1
6π ππ π.
πππ π = β1 β π·πππππ πππππ‘ ππ πππ πππ’π π€πππ π‘πππ’π ππππ 0 β ππ’π cos (7
6π) ππ πππ.
β cos (1
6π) =
1
2β3 β ππ’π : cos (
7
6π) = β
1
2β3
d. tan (β5
3π) =
sin(β5
3π)
cos(β5
3π)
=β1βsin(
5
3π)
cos(5
3π)
=β1βsin(β
1
3π)
cos(β1
3π)
=β1ββ1βsin(
1
3π)
cos(1
3π)
=1
2β3
1
2
= β3
e. π ππ (13
4π) = sin (
5
4π) π€πππ‘ ππ ππ 2π =
8
4π π’ππ‘ π‘π βππππ
β sin (5
4π) = sin (β
1
4π) i.v.m. symmetrie t.o.v. y-as
β sin (β1
4π) = β1 β sin (
1
4π) = β
1
2β2
17.15
a. tan (4
3π) =
sin(4
3π)
cos(4
3π)
=sin(β
2
3π)
cos(β2
3π)
=β1βsin(
2
3π)
cos(2
3π)
=β1βsin(
1
3π)
β1βcos(1
3π)
=1
2β3
1
2
= β3
b. sin (β3
4π) = β1 β sin (
3
4π) = β1 β sin (
1
4π) β π π¦ππππ‘πππ π‘. π. π£. ππ π¦ β ππ β β
1
2β2
c. cos (11
3π) β
6
3π = 2π β cos (
5
3π) = cos (β
1
3π) = cos (
1
3π) =
1
2
d. tan (β15
4π) = tan (β3
3
4) β tan (β
3
4) β (βππβππππ‘ π§ππβπ§πππ π€πππ ππ )
β tan (β3
4) β tan (
1
4) = 1
e. cos (β23
6) = cos (β3
5
6) = cos (β1
5
6) β ππ’π πππππ πππ ππππππ πΆπ (2) β
β cos (β15
6 ) = cos (
1
6) =
β3
2
met de klok mee
17.16
De beweging over de eenheidscirkel begint na 2 (een heel rondje) weer opnieuw; dit kun je dus uit
de verdraaiing halen.
a. cos(13) = cos(6 β 2 + ) = cos() = β1
b. tan(17) = tan(8 β 2 + ) = tan() = 0
c. sin(β7) = sin(β3 β 2 β ) = sin(β) = 0
d. tan(11) = tan(5 β 2 + ) = tan()
e. cos(β8) = cos(β4 β 2) = cos(0) = 1
17.17
Vanwege symmetrie: sin(βπ₯) = β sin(π₯) ππ cos(βπ₯) = cos (π₯)
a. sin (23
6) = sin (3
5
6) = sin (1
5
6) = sin (β
1
6) = β1 β sin (
1
6π) = β
1
2
b. tan (β17
4) = tan (β4
1
4) = tan (β
1
4) =
sin(β1
4)
cos(β1
4)
=β sin(
1
4π)
cos(1
4π)
=β
1
2β2
1
2β2
= β1
2β2
1
2β2
= β1
c. sin (β7
3) = sin (β2
1
3) = sin (β
1
3) = β sin (
1
3) = β
1
2β3
d. tan (β25
6) = tan (β4
1
6) = tan (β
1
6) =
β sin(1
6)
cos(1
6)
=β
1
2
β3
2
=β1
β3=
β1β3
β3β3= β
1
3β3
e. sin (23
4) = sin (5
3
4) = sin (1
3
4) = sin (β
1
4) = β sin (
1
4) = β
1
2β2
17.18
Zie bladzijde 143 van het boek, en zie de volgende vergelijking (definitie van de tangens):
tan(πΌ) =sin(πΌ)
cos(πΌ)
Tussen 0 en Β½ Ο radialen loopt de verhouding van sin (0)
cos (0)=
0
1= 0 tot
sin(1
2π)
cos(1
2π)
=1
0+ = β
Van Ξ± > Β½ Ο t/m Ξ± = Ο radialen loopt de verhouding van sin(
1
2π)
cos(1
2π)
=1
0β = ββ tot sin (π)
cos (π)=
0
β1= 0
Met 0- bedoel ik dat de waarde net voor de 0 zit. Het getal is oneindig klein, maar wel negatief.
Van Ξ± > Ο tot 3/2 Ο radialen loopt de verhouding van sin (π)
cos (π)= 0 tot β
sin (3
2π)
cos (3
2π)
=β1
0β =β1
β1β
1
0= β
En van 3/2 Ο tot 2 Ο loopt de waarde van de tangens van sin (
3
2π)
cos (3
2π)
=β1
0= ββ naar
sin (2π)
cos (2π)=
0
1= 0
Daarna eindigt het verloop daar waar het begonnen was: sin (0)
cos (0)=
0
1= 0
Daarmee zijn de grenzen van de tangens: ββ β€ tan (πΌ) β€ β
Plaatje:
17.22
Gebruik de SOS-CAS-TOA-regel
a. sin(πΌ) =1
5β sin(πΌ) =
ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππβ
ππ¦π‘βππππππ β πππππππππππ = β52 β 12 = β24 = β2 β 2 β 6 = 2β6
Dan,
Cos(πΌ) =πππππππππππ
π πβπ’ππ=
2
5β6
tan(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
πππππππππππ=
1
2β6=
β6
2β6β6=
1
2
β6
6=
1
12β6
b. cos(πΌ) =2
7β πππ β cos(πΌ) =
ππππππππππ
π πβπ’ππ De overstaande: β72 β 22 = β45 = 3β5 β
β sin(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππ=
3
7β5
β tan(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
πππππππππππ=
3
2β5
Hier valt te zien dat de tangens verticale
asymptoten heeft op x = -Ο/2 en x = Ο/2:
de tangens zal deze punten nooit bereiken,
maar de waarden vlak hiervoor zijn wel
oneindig groot. Op /4 radialen zijn de
sinus en de cosinus gelijk aan elkaar en
geeft dit dus de waarde 1 voor de tangens.
c. sin(πΌ) =3
8β π ππ β sin(πΌ) =
ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππβ πππππππππππ = β82 β 32 = β55 β
β cos(πΌ) =πππππππππππ
π πβπ’ππ=
1
8β55
β tan(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
πππππππππππ=
3
β55=
3
β55β
β55
β55=
3
55β55
d. cos(πΌ) =2
5β πππ β cos(πΌ) =
πππππππππππ
π πβπ’ππβ ππ¦π‘β β ππ£πππ π‘πππππ = β52 β 22 = β21
β sin(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππ=
1
5β21
β tan(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
πππππππππππ=
1
2β21
e. cos(πΌ) =5
7β cos(πΌ) =
πππππππππππ
π πβπ’ππβ ππ¦π‘βππππππ
ππ£πππ π‘πππππ = β72 β 52 = β24 = β2 β 2 β 2 β 3 = 2β6 β
β sin(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππ=
2
7β6
β tan(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
πππππππππππ=
2
5β6
17.23
a. sin(πΌ) =3
4β sin(πΌ) =
ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππβ ππ¦π‘β. β πππππππππππ = β42 β 32 = β7
β cos(πΌ) =πππππππππππ
π πβπ’ππ=
1
4β7
β tan(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
πππππππππππ=
3
β7=
3
β7β
β7
β7=
3
7β7
b. cos(πΌ) =1
6β overstaande = β62 β 12 = β35
β sin(πΌ) =ππ£πππ π‘πππππ
π πβπ’ππ=
1
6β35
β tan(πΌ) =β35
1= β35
c. sin(πΌ) =1
8β aanliggende = β82 β 12 = β63 = β3 β 3 β 7 = 3β7
β cos(πΌ) =3
8β7
β tan(πΌ) =1
3β7=
1
3β7β
β7
β7=
1
21β7
d. cos(πΌ) =5
8β πverstaande = β82 β 52 = β39
β sin(πΌ) =1
8β39
β tan(πΌ) =1
5β39
e. cos(πΌ) =5
13β overstaande = β132 β 52 = β144 = 12
β sin(πΌ) =12
13
β tan(πΌ) =12
5
17.24
a. sin(πΌ) =6
31β πππππππππππ = β312 β 62 = β961 β 36 = β925 = β5 β 5 β 37 = 5β37
β cos(πΌ) =5
31β37
β tan(πΌ) =6
5β37=
30β37
25β37=
30β37
925=
6
185β37
b. cos(πΌ) =4
23β overstaande = β232 β 42 = β529 β 16 = β513 = β3 β 3 β 57 = 3β57
β sin(πΌ) =β513
23=
β3β3β57
23=
3
23β57
β tan(πΌ) =β513
4=
3
4β57
c. sin(πΌ) =β5
3β aanliggende = β32 β β5
2= β9 β 5 = 2
β cos(πΌ) =2
3
β tan(πΌ) =1
2β5
d. cos(πΌ) =β7
3β overstaande = β32 β β7 = β2
β sin(πΌ) =1
3β2
β tan(πΌ) =β2
β7=
β2
β7
β7
β7=
β2β7
7=
1
7β14
e. cos(πΌ) =β10
4β overstaande = β42 β β10
2= β16 β 10 = β6
β sin(πΌ) =1
4β6
β tan(πΌ) =β6
β10=
β6
β10
β10
β10=
β60
10=
β2β2β3β5
10=
2β15
10=
1
5β15
17.31
a. sin(π₯) = β1
2
Deze waarde van sinus komt voor op dezelfde plek als sin(π₯) =1
2 maar dan gespiegeld in de
x-as (dus nu op de negatieve y-as):
sin (1
6π) =
1
2β πππππ’ππ sin(βπ₯) = β sin(π₯) β sin (β
1
6π) = β
1
2
Maar dit is hetzelfde als: 2π β1
6π =
12
6π β
1
6π =
11
6π
De sinus heeft de waarde Β½ op zowel 1
6π als
5
6π en dus is ook sin (
11
6π) = sin (
7
6π) = β
1
2
Dus alle oplossingen: sin(π₯) = β1
2 wanneer π₯ =
11
6π + 2ππ of π₯ =
7
6π + 2ππ
b. cos(π₯) =1
2
Volgens het tabel op blz. 141: cos(π₯) =1
2 op π₯ =
1
3π, maar ook op π₯ = β
1
3π
Dit want cos(βπ₯) = cos (π₯) wat weer te maken heeft met de symmetrie van de cosinus.
π₯ = β1
3π =
5
3π
Dus, cos(π₯) =1
2 wanneer π₯ =
1
3π + 2ππ en π₯ =
5
3π + 2ππ
c. tan(π₯) = β1
tan(π₯) =sin (π₯)
cos (π₯) en dus moeten de sinus en de cosinus dus gelijk aan elkaar zijn, op het teken
na. Dit gebeurt alleen op sin(π₯) = cos(π₯) =1
2β2 ππ sin(π₯) = cos(π₯) = (β
1
2β2)
Dit kan in het tweede kwadrant van de eenheidscirkel: sinus = + en cosinus = -. Of in het
vierde kwadrant: sinus = - en cosinus = +. Dus,
tan(π₯) = β1 wanneer π₯ =3
4π + 2ππ of π₯ =
7
4π + 2ππ
17.32
a. sin(π₯) =1
2β2
De sinus neemt deze waarde aan op 1
4π volgens de tabel. Dan geldt dit ook op
3
4π. (Zie de
eenheidscirkel). Daarom:
sin(π₯) =β2
2 wanneer π₯ =
1
4π + 2ππ of π₯ =
3
4π + 2ππ
b. cos(π₯) = β1
2β3
De cosinus neemt de waarde 1
2β3 aan op
1
6π radialen. De waarde β
1
2β3 ligt op dezelfde
hoogte, maar in het tweede kwadrant: andere kant van de verticale as. Omdat het op
dezelfde hoogte ligt is de hoek dan 5
6π radialen. Deze waarde wordt ook aangenomen in het
derde kwadrant, hetzelfde punt, maar dan gespiegeld met de x-as. Dit is dus 2
6π verder:
7
6π
Daarom: cos(π₯) = β1
2β3 wanneer π₯ =
5
6π + 2ππ of π₯ =
7
6π + 2ππ
c. tan(π₯) = ββ3
tan(π₯) =sin(π₯)
cos(π₯)β ββ3 π€ππππππ sin(π₯) =
1
2β3 ππ cos(π₯) = β
1
2
ππ: π€ππππππ sin(π₯) = ββ3
2 ππ cos(π₯) =
1
2
Dit is in het tweede kwadrant: sinus positief en cosinus negatief op 2
3π
En dit is in het vierde kwadrant: sinus negatief en cosinus positief op 5
6π
Daarom: tan(π₯) = ββ3 als π₯ =2
3π + 2ππ of π₯ =
5
6π + 2ππ
17.33
a. tan(π₯) =1
3β3
Dit is volgens de tabel op 1
6π radialen. Dit zit in het eerste kwadrant. In het derde kwadrant
nemen de sinus en de cosinus dezelfde waarden aan, maar dan beide negatief. Omdat je dan
(volgens de definitie van de tangens) een negatieve waarde op een negatieve waarde deelt,
wordt dit weer positief en kom je op exact dezelfde waarde uit. Hetzelfde punt, maar dan in
het derde kwadrant zit op 7
6π. Dit omdat het punt dan even ver van de horizontale as
vandaan zit (de cosinus) op de eenheidscirkel, namelijk 1
6π. Maar dan aan de andere kant.
Daarom: tan(π₯) =1
3β3 als π₯ =
1
6π + 2ππ of π₯ =
7
6π + 2ππ
b. cos(π₯) = β1
2β2
De negatieve waarden van de cosinus zitten aan de linker kant van de eenheidscirkel, en dus
in het tweede en derde kwadrant. De cosinus neemt deze waarde aan op dezelfde hoogte als
op +1
2β2. Dit zit dus op
3
4π. Het andere punt voor deze waarde zit een half pi draaiing
verder, namelijk op 5
4π. Daarom: cos(π₯) =
1
2 wanneer π₯ =
1
3π + 2ππ en π₯ =
5
3π + 2ππ
c. cos(π₯) = 0
Op nul radialen is de sinus nul en de cosinus 1.
Op 1
2π radialen is de sinus 1 en de cosinus 0
Op een halve cirkel afstand hiervan (Ο rad) is de cosinus weer nul, maar nu met sinus = -1.
Dus, cos(π₯) = 0 wanneer π₯ =1
2π + 2ππ en π₯ =
3
2π + 2ππ Samengevoegd: π₯ =
1
2π + ππ
17.58
N.B.
Deze vraagstukken moeten worden gemaakt met behulp van een rekenmachine/calculator,
dus ze komen niet op deze manier terug op het tentamen.
Op het tentamen zal bij dit soort opgaven gebruik gemaakt worden van hoeken waarvan we
de sinus en de cosinus kunnen bepalen zonder rekenmachine.
Hierbij toch de uitwerking van deze vraagstukken om een idee te geven hoe je het e.e.a. aanpakt,
omdat de uitwerking van deze vraagstukken namelijk verder hetzelfde is.
Pas goed op met de instellingen van je calculator: er wordt vaak geswitcht tussen hoeken uitgedrukt
in radialen en in graden!
a. Gevraagd: lengte van b en oppervlakte O:
Sinusregel:
Lijnstuk π =π
sin(πΌ)=
π
sin(π½)β
3
sin(43)=
π
sin(82)β π =
3βsin(82)
sin(43)β 4,3560
Lijnlengte BBβ: sin(πΎ) =π΅π΅β²
3β π΅π΅β² = 3 β sin(55) β 2,4575
Lijnlengte CBβ: π2 β π΅π΅β²2 = πΆπ΅β²2β 32 β 2,462 β 2,9607 β πΆπ΅β² = β2,95 β 1, 7207
ππ =1,72 β 2,46
2= 2,1143
ππ =(4,36 β 1,72) β 2,46
2β 3,2381
π = 2,1143 + 3,2381 = 5,3524
Noem de gestreepte lijn D: deel de
driehoek op in twee rechte driehoeken:
CBBβ (X) en ABBβ (Y) waarbij Bβ het punt
tegenover B is.
OX = (CBβ Γ BBβ)/2
OY = (BBβ Γ ABβ)/2
Of met oppervlakteformule...
b. Gevraagd: lengte van a en oppervlakte O:
Lijnstuk a:
π
sin(π½)=
π
sin(πΌ)β
2
sin(43)=
π
sin(113)β π =
2βsin(113)
sin(43)β 2,6994
Lijnstuk c:
π
sin(23)=
2
sin(43)β π =
2βsin(23)
sin(43)β 1,1458
Lijnstuk AAβ:
sin(43) =π΄π΄β²
πβ π΄π΄β² = 1,1458 β sin(43) β 0,7815
Lijnstuk AβB:
βπ2 β π΄π΄β² = β0,71 β 0,8379
Dan, oppervlakte van driehoek ABAβ = 0,8379β0,7815
2= 0,3274
Enzo, oppervlakte van driehoek AAβC = (2,6994β0,8379)β0,7815
2= 0,7156
Gezamelijke oppervlakte (driehoek ABC) = 0,3274 + 0,7156 = 1,043
c. Gevraagd: lengte van c en oppervlakte O:
Lijnstuk c:
π
sin(61)=
4
sin(26)β π =
4βsin(61)
sin(26)= 7,9806
Lijnstuk b:
π
sin(93)=
4
sin(26)β π =
4βsin(93)
sin(26)= 9,1122
Lijnstuk CBβ:
cos(πΎ) =πππππππππππ
π πβπ’ππβ cos(61) =
πΆπ΅β²
4β 4 β cos(61) = πΆπ΅β² = 1,9392
Lijnstuk ABβ:
π΄π΅β² = π΄πΆ β πΆπ΅β² = π β πΆπ΅β² = 9,1122 β 1,9382 = 7,174
Lijnstuk BBβ:
sin(61) =π΅π΅β²
4β π΅π΅β² = 4 β sin(61) = 3,4985
Oppervlakte driehoek ABBβ:
π΄π΅β² β π΅π΅β²
2=
7,27 β 3,50
2= 12,7225
Oppervlakte driehoek BBβC:
π΅β²πΆ β π΅π΅β²
2=
1,94 β 3,50
2= 3,395
Oppervlakte van gehele driehoek ABC:
12,7225 + 3,395 = 16,1175
1
2β π β π β sin(πΌ) =
1
2β 9,1122 β 7,9806 β sin(26) = 15,9394
d. Gevraagd: hoek Ξ³ en oppervlakte O:
Hoek Ξ³:
π
sin(πΌ)=
π
sin(πΎ)β
5
sin(76)=
3
sin(πΎ)β sin(πΎ) =
3βsin(76)
5= 0,5822 β
β πΎ = arcsin(0,5822) = 35,6038 ππππππ
Hoek Ξ²:
180 β 35,6038 β 76 = 68,3962 ππππππ
Oppervlakte:
1
2β π β π β sin(π½) =
1
2β 3 β 5 β sin(68,3962) = 6,9731
e. Gevraagd: hoek Ξ± en oppervlakte O:
Hoek Ξ±:
π
sin(π½)=
π
sin(πΌ)β
4
sin(36)=
2
sin(πΌ)β sin(πΌ) =
2 β sin(36)
4= 0,2939 β
β πΌ = arcsin(0,2939) = 17,0911 ππππππ
f. Gevraagd: hoek Ξ³ en oppervlakte O:
Stel hier je rekenmachine in op rekenen met radialen.
Hoek Ξ±:
π
sin(π½)=
π
sin(πΌ)β
4
sin(1,7)=
3
sin(πΌ)β sin(πΌ) =
3βsin(1,7)
4= 0,7437 β πΌ = arcsin(0,7437) β 0,84 πππ
Hoek Ξ³:
Som van hoeken is altijd 180 = Ο radialen, dan: Ο β 0,8387 β 1,7 β 0,6029 rad
Oppervlakte:
1
2β π β π β sin(πΎ) =
1
2β 3 β 4 β sin(0,6029) = 3,40
g. Gevraagd: hoek Ξ³ en oppervlakte O:
De cosinusregel vraagt enkel één hoek op bij bepaalde zijden, deze kan dan uitgerekend worden:
π2 = π2 + π2 β 2ππ β cos(πΌ)
ofwel,
π2 = π2 + π2 β 2ππ β cos(πΎ) β πΎ = arccos ((62 β 52 β 42)
β2 β 5 β 6) = 85,22 ππππππ
Oppervlakte: 1
2β π β π β sin(πΎ) =
1
2β 4 β 5 β sin(85,22) β 9,9652
h. Gevraagd: hoek Ξ± en oppervlakte O
hoek Ξ±:
cosinusregel: π2 = π2 + π2 β 2ππ β cos(πΌ) β πΌ = arccos ((52β52β62)
β2β5β6) = 53,1301 ππππππ
Of: πΌ = 0,9273 ππππππππ
Dan oppervlakte:
1
2β π β π β sin(πΌ) =
1
2β 5 β 6 β sin(53,1301) = 12
i. Gevraagd: lengte a en oppervlakte O
Stel hier wederom je calculator in op rekenen met radialen.
Om lengte a te bepalen moeten eerst wat voorbereidingen getroffen worden:
Hoek gamma:
π
sin(π½)=
π
sin(πΎ)β
6
sin(0,75)=
5
sin(πΎ)β πΎ = arcsin (
(5 β π ππ(0,75))
6) = 0,6041 πππ
Hoek Ξ±:
π β 0,75 β 0,6041 = 1,7875 πππ
Lengte a:
6
sin(0,75)=
π
sin(1,7875)β π =
6 β sin(1,7875)
sin(0,75)= 8,5965
Oppervlakte: 1
2β 6 β 5 β sin(1,7875) = 14,6492
j. Gevraagd: lengte a en oppervlakte O
Graden...
cosinusregel voor lengte a:
π = βπ2 + π2 β 2ππ β cos (πΌ) = β22 + 32 β 2 β 2 β 3 β cos (71) = 3,0155
Oppervlakte:
1
2β π β π β sin(πΌ) =
1
2β 2 β 3 β sin(71) = 2,8366
k. Gevraagd: lengte c en oppervlakte O
Hoek Ξ²:
6
sin(58)=
5
sin(π½)β π½ = arcsin (
5 β π ππ(58)
6) = 44,9676 ππππππ
Hoek Ξ³:
πΎ = 180 β 44,9676 β 58 = 77,0324 ππππππ
Lengte c:
5
sin(44,9676)=
π
sin(77,0324)β π =
5 β sin(77,0324)
sin(44,9676)= 6,8946
Oppervlakte:
1
2β π β π β sin(πΎ) =
1
2β 5 β 6 β sin(77,0324) = 14,6175
Top Related