7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
1/50
Vector: Cantidad que est totalmente definida por su magnitud direccin y sentido.
Se representa geomtricamente es un segmento dirigido.
O
P
A
Este segmento dirigido est delimitado por un punto inicial y uno final.
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
2/50
CBAR
Cualquier vector se puede expresar como una combinacin lineal nica de tres vectores
dados no nulos, , y no todos paralelos al mismo plano:
R
CyB,A
donde , y son coeficientes escalares nicos.
A
B
C B
C
R
A
B
C
R
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
3/50
En particular, si los vectores son unitarios, tambin se puede encontrar
cualquier vector en el espacioCyB,A
A
B
C
R
CBAR
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4/50
Sin prdida de generalidad, tres vectores unitario pueden ser perpendiculares.
Y pueden definir tres rectas mutuamente perpendiculares que se corten en un punto.
i jk
x
y
z
Las rectas forman un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional. Cuyos ejes estn
definidos por tres vectores unitarios que forman una base cannica.
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
5/50
Entonces, de manera semejante al caso bidimensional, para tres dimensiones se encuentra
que un vector en tres dimensiones , tiene coordenadas rectangulares (x, y, z)kjir zyx
i jk
x
y
z
zy,x,zyx kjir
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6/50
x
y
z
r=xi+yj+zk=(x,y,z)
rp=xi+yj=(x,y)
x
y
z
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7/50
Ejemplo 1: Trazar el vector:
x
y
z
3
2
5
A=3i+2j+5k
A=3i+2j+5k
Ap=3i+2j
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8/50
x
y
zEjemplo 2: Trazar el vector: B=-5i-4j+3k
-4
-53
Bp=-5i-4j
B=-5i-4j+3k
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9/50
Ejemplo3: Trazar el vector: C=-7i-6j-5k
x
y
z
-7
-6
-5
C
Cp=-5i-4j
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10/50
Ejemplo 4: Trazar el vector: D=-5i+4j-6k
x
y
z
-5
4
-6
D
Dp=-5i+4j
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11/50
x
y
z
r=(x,y,z)
rp=(x,y)
z
y
x
=(rp, )
=(rp, , z)
=(r, , )
Coordenadas polares
Coordenadas
Cilndricas
Coordenadas
Esfricas
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12/50
senr
cosr
p
p
y
x
Relaciones entre las coordenadas rectangulares (x,y,z) y las cilndricas (rp, ,z)
x
y
z
r
rp
z
y
x
x
y
yx
arctan
r 22p
z
senr
cosr
p
p
z
y
x
zz
x
y
yx
arctan
r22
pz
20
Rp
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13/50
senrcosr
p
p
yx
Relaciones entre las coordenadas rectangulares (x,y,z) y las esfricas (r, , )
x
y
z
r
rp
z
y
x
rp
senrrcosr
p
z
cosr
sensenr
cossenr
z
y
x
x
y
yx
arctan
r 22p
z
z
p
22p
rarctan
rr
x
y
z
yx
zyx
arctan
arctan
r22
222
20
0
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14/50
senr
cosr
p
p
y
x
cosr
sensenr
cossenr
z
y
x
x
y
yx
arctan
r 22p
x
y
z
yx
zyx
arctan
arctan
r
22
222
x
y
z
r
rp
z
y
x
rp
20
0
z
senr
cosr
p
p
z
y
x
zz
xy
yx
arctan
r22
p
z,,rz,, p yx
,,rz,, yx
,r, pyx
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15/50
Ejemplo 5: Encuentre las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfricas del vector
A=3i+2j+5k
5
7.33
3
2arctan
6.31323A22
p
z
7.333
2arctan
8.355
13arctan
5
23arctan
2.638523A
22
222
Coordenadas cilndricas
Coordenadas esfricas
5,7.33,6.3A
7.33,8.35,2.6A
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16/50
Ejemplo 6: Encuentre las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfricas del vector
B=-5i-4j+3k
3
7.2185
4arctan
4.64145B22
p
z
7.2185
4arctan
9.643
41arctan
3
45arctan
1.750345B22
222
Coordenadas cilndricas
Coordenadas esfricas
3,7.218,4.6B
7.218,9.64,1.7B
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17/50
Un vector forma ngulos con los ejes del sistema de referencia,
x
y
r
como en tres
dimensiones. tanto en dosngulos directores
x
y
zr
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18/50
x
y
r
rcos
x
rcos y
x
y
1r
r
rrrcoscos
2
2
222
22
2222
yxyx
Cosenos directores (2D)
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19/50
Cosenos directores (3D)
x
y
z
r
x
y
zr
cosx
r
cosy
r
cosz
1r
r
r
rrrcoscoscos
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2222
zyx
zyx
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20/50
Ejemplo 7: Una fuerza de 500 N forma ngulos de 60, 45 y 120 con los ejes x, y y z,respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy y Fz.
Respuesta: Los ngulos proporcionados son los directores, entonces, usando los cosenos
directores, tenemos que
N250N50060cosN500FN500
F60cos21
xx
N2250N50045cosN500FN500
F45cos
22
yy
N250N500120cosN500FN500
F120cos
21
zx
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21/50
Respuesta: La magnitud de la fuerza es
lb70lb4900lb60lb30lb20FFFF 22222z2y
2x
Ejemplo 8: Una fuerza F tiene las componentes Fx=20 lb, Fy=-30 lb y Fz=60 lb. Determinela magnitud F y los ngulos directores , y .
Usando los cosenos directores tenemos que
4.737
2arccos
lb70
lb20cos
4.11573
arccoslb70
lb30
cos
0.317
6arccos
lb70
lb60cos
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22/50
Ejemplo 9 (Ejercicio 2.83): Una fuerza acta en el origen de un sistema coordenado en ladireccin definida por los ngulos x=43.2 y z=83.8. Si la componente y de la fuerza es
de -50 lb, determine a) el ngulo y, b) las componentes restantes y la magnitud de la
fuerza.
?F?Flb50F?F
8.83?2.43
:Datos
zyx
zyx
z2
x2
yz2
y2
x2 coscos1cos1coscoscos
8.83cos2.43cos1cos 22y
Respuesta:
a) Determinar el ngulo y.
5.1328.83cos2.43cos1arccos 22y
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23/50
b) Determinar las componentes restantes y la magnitud de la fuerza.
Primero se calcula la magnitud de la fuerza usando el ngulo y:
lb0.748.83cos2.43cos1
lb50cos
FF
F
Fcos
22y
yyy
Entonces, se calculan las componentes que faltan:
lb9.532.43cos8.83cos2.43cos1
lb50cosFF
F
Fcos
22xx
xx
lb0.88.83cos8.83cos2.43cos1
lb50cosFF
F
Fcos
22zz
zz
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24/50
Ejemplo 10 (Ejercicio 2.79): El ngulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30. Si latensin resultante en el resorte es de 220 N, determine (a) las componentes x, y y zde la
fuerza ejercida por este resorte sobre la placa, (b) los ngulos x , y y z que forma la
fuerza con los ejes coordenados.
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25/50
x
z
y
35 35
30
A
BC
D
30,145,N220F
N190.525630cosN220F
N0964.63145sen30senN220F
N1067.90145cos30senN220F
y
x
z
114.1782220
1967.90arccos
30220
190.5256arccos
73.3342220
0964.63arccos
z
y
x
Del diagrama de cuerpo libre podemos observar que
30
35
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26/50
Ejemplo 11 (Ejercicio 2.73): Para estabilizar un rbol arrancado parcialmente durante unatormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y despus se fijan a
barras de acero clavadas en el suelo. Si la tensin en el cable AB es de 950 lb, determine (a)
las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el rbol, (b) los ngulos x , y y
z que forma la fuerza en A con los ejes coordenados.
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27/50
y
xz 40
40
A
B
C
lb610.648240senTTT
T40sen y
y
50.60950
7837.467arccos
150950
6482.610arccos
07.54950
4829.557arccos
z
y
x
Del diagrama de cuerpo libre podemos observar que
Tp
TTy
lb727.742240cosTTT
T40cos p
p
Tx
Tz
lb557.4829
40cos40cosT40cosTTT
T40cos px
p
x
lb467.7837
40sen40cosT40senTTT
T40sen pz
p
z
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28/50
La direccin de un vector paralelo a una recta dada.
M(x1, y1, z1)
N(x2, y2, z2)
x
y
z
L=LL
La direccin L de un vector L puede encontrarse usando las coordenadas de dos puntos
M(x1, y1, z1) y N(x2, y2, z2), localizados la recta paralela a l.
k
zzj
yyi
xxMN 121212
MN
MNL
2122
122
12 zzyyxxMN
k
L
zzj
L
yyi
L
xxL 121212
LMN
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29/50
Ejemplo 12: Una recta pasa por los puntos M(-1 cm, 3 cm, 2 cm) y N(2 cm, -5 cm, 7 cm),si la magnitud de un vector es 42 N y su direccin es paralela a est recta, de qu vector se
trata?
kcm5jcm8icm3kcm2cm7jcm3cm5icm1cm2MN
cm27cm98cm5cm8cm3MN 222
k14
25j
14
28i
14
23k
cm27
cm5j
cm27
cm8i
cm27
cm3L
k14
25N42j14
28N42i14
23N42k14
25j14
28i14
23N42L
kN215jN224iN29L
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30/50
M(x1, y1, z1)
N(x2, y2, z2)
x
y
zFuerzas definidas en trminos de su magnitud y dos punto sobre su lnea de accin
FL
^
LFF
El vector unitario que define la direccin de L=MN, tambin define la direccin de la fuerza
F, entonces,
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
31/50
Ejemplo 13: El alambre de una torre est anclado en A por medio de un perno. La tensinen el alambre es de 2500 N. Determine (a) las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que
acta sobre el perno y (b) los ngulos x, y y z que definen la direccin de la fuerza.
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
32/50
Respuesta: En este caso conocemos la
magnitud de la fuerza, F=2500 N, pero no su
direccin.
Para conocer la direccin de la fuerza,
calculamos la direccin de su lnea de
accin.
x
y
z
km80jm40im30
j
m40i
m30k
m80
ABABL
m8910m8900
m80m40m30L
2
222
kjiL
89
8
89
4
89
3^
L=AB
Por lo que fijamos un sistema de referencia.
Entonces, ubicamos los extremos de este
vector
jm40im30A
km80B
kji
m8910
km80jm40im30
L
LL
m8910
m80
m8910
m40
m8910
m30
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33/50
kjiL89
8
89
4
89
3^
kjiN2500F89
8
89
4
89
3
N795N
89
7500Fx
N1060N89
10000Fy
N2120N89
20000
Fz
kjiF89
8
89
4
89
3^
5.71arccoscos 893
89
3
1.115arccoscos89
4
89
4
0.32arccoscos89
8
89
8
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34/50
Ejemplo 14 (Ejercicio 2.88): Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircularcon 36 in de radio que est sostenido parcialmente por los cables BD y BE, los cuales se
unen al anillo en el punto B. Si la tensin en el cable BE es de 60 lb, determine las
componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte colocado en E.
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
35/50
xz
y
in48,in45,in36
in48,in45,00,0,in36EBEB
in75
in48in45in36EB222
EBF25
16
,25
15
,25
12
75
48,
75
45,
75
36
in75
in48,in45,in36EB
25
16,
25
15,
25
12FEB
lb4.38,lb0.36,lb8.2825
16,
25
15,
25
12lb60FFF EBEBEB
Mtodo 1: 0,0,in36B
in48,in45,0E
F
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
36/50
in48,in45,in36EB
in75
in48in45in36EB 222
EBF25
16,
25
15,
25
12
75
48,
75
45,
75
36
in75
in48,in45,in36EB
25
16,
25
15,
25
12FEB
lb4.38,lb0.36,lb8.2825
16,
25
15,
25
12lb60FFF EBEBEB
Mtodo 2:
xz
y
F
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
37/50
Operaciones vectoriales:
kzzjyyixxrr 21212121
kzjyixr
kzzjyyixxrr 21212121
21212121 zz;yy;xxrr
kztjytixtrt
kjikji
r
rr
222222222222zyx
z
zyx
y
zyx
x
zyx
zyx
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
38/50
Adicin de fuerzas concurrentes en el espacio. Cuando un conjunto de fuerzas actan enun mismo punto en el espacio se llaman fuerzas concurrentes.
Dado que las fuerzas son vectores, la fuerza resultante se encuentra sumando las fuerzas
concurrentes por alguno de los mtodos estudiados.
n
1i
in4321 FFFFFFF
n
1iziznz4z3z2z1z
n
1i
yiyny4y3y2y1y
n
1i
xixnx4x3x2x1x
FFFFFFF
FFFFFFF
FFFFFFF
x
y
z
2y
2x3
z2y
2x
F
Farctan
F
FFarctanFFFF
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
39/50
Ejemplo 15 (Ejercicio 2.58): Un bloque de peso W est suspendido de una cuerda de 25 inde largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las
constantes de los resortes son kAB=9 lb/in y kAD=3 lb/in, determine (a) la tensin en la
cuerda, (b) el peso del bloque.
y
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40/50
0kkF
lb5.229kF ABABABAB lb5.223kF ADADADAD
in34in16in30 22AD in5.27in5.16in2222
AB
lb455.225.279FAB lb5.345.22343FAD
x
y
Ley de Hooke
y
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
41/50
13.143
in22
in5.16arctanAB
x
07.28
in30
in16arctanAD
1.143,lb45FAB
1.28,lb5.34FAD
y
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
42/50
8.737
24arctan
7
24
in7
in24tan
AC
AC
8.73,FF ACAC
270,WW
270W
x
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
43/50
1.143,lb45FAB
1.28,lb5.34FAD
8.73,FF ACAC
270,WW
0senWsenFsenFsenF
0cosWcosFcosFcosF
WACACADADABAB
WACACADADABAB
0W8.73senF1.28senlb5.341.143senlb45
08.73cosF1.28coslb5.341.143coslb45
AC
AC
lb4.628.73senF1.28senlb5.341.143senlb45W
lb9.198.73cos
1.28coslb5.341.143coslb45F
AC
AC
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44/50
Ejemplo 16 (Ejemplo 2.8): Una seccin de una pared de concreto precolado se sostienetemporalmente por los cable mostrados. Se sabe que la tensin es de 840 lb en el cable AB y
1200 lb en el calbe AC, determine la magnitud y la direccin de la resultante de las fuerzasejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.
z
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
45/50
x y
zRespuesta: En este caso conocemos la
magnitud de las fuerzas, FAB=840 lb
0,ft16,ft11A
ft8,0,0B
ft8,0,ft27C
kft8jft16ift11
0,ft16,ft11ft8,0,0LAB
kft8jft16ift16
0,ft16,ft11ft8,0,ft27LAC
Entonces primero encontramos los vectores
unitarios que fijan su lnea de accin.
y FAC=1200 lb,
pero no su direccin.
Para lo cual fijamos un sistema de referencia
Respecto al cual
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
46/50
kft8jft16ift11LAB
kft8jft161ift16LAC
ft21ft441
ft8ft16ft11L
2
222AB
ft24ft576
ft8ft16ft16L
2
222AC
kji
kjiL
218
2116
2111
ft21
ft8
ft21
ft16
ft21
ft11AB
^
kji
kjiL
31
32
32
ft24
ft8
ft24
fl16
ft24
ft16AC
^
klb320jlb640ilb440
k8j16i11lb40
kjilb840F218
2116
2111
AB
klb400jlb800ilb800
kj2i2lb400
kjilb1200F31
32
32
AC
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47/50
klb320jlb640ilb440FAB
klb400jlb800ilb800FAC
klb720jlb1440ilb360
klb400jlb800ilb800klb320jlb640ilb440
FFF ACAB
lb1650lb2721600lb720lb1440lb360F 2222
6.102
2721600
360arccos
2721600
360cos
8.150
27216001440arccos
27216001440cos
1.64
2721600
720arccos
2721600
720cos
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
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Ejemplo 17 (Ejercicio 2.93): Determine la magnitud y la direccin de la resultante de lasdos fuerzas mostradas en la figura, si P=4 kips y Q=8 kips.
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
49/50
x
y
z 2030
45
15
P
Q
30,20,kips4P
15,45,kips8Q
kips464.515cos45coskips8Q
kips657.545senkips8Q
kips464.115sen45coskips8Q
z
y
x
kips255.320cos30coskips4P
kips000.230senkips4P
kips185.120sen30coskips4P
z
y
x
kips209.2kips464.5kips255.3R
kips657.3kips657.5kips000.2R
kips279.0kips464.1kips185.1R
z
y
x
7/30/2019 Tema 5-Algebra Vectorial 3D
50/50
kips281.4RRRR 2z2y
2x
kips209.2kips464.5kips255.3R
kips657.3kips657.5kips000.2R
kips279.0kips464.1kips185.1R
z
y
x
7.93R
Rarccos xx
3.31R
R
arccos
y
y
1.121R
Rarccos zz
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