Random Matrix TheoryRandom Matrix Theory

for Dirac Spectra for Dirac Spectra

2004.12.10 YITP 京都

島根大学 総合理工 西垣 真祐Shimane Univ. S.M. Nishigaki

行列値の確率変数

LGT

€

H =

H11 L L

M O M

M L HNN

dµ(H ) = e−tr H 2

dH

€

Ux, ˆ µ =

U11 L L

M O M

M L UNcNc

x , ˆ µ

dµ(U) = eβ UUU +U +∑ det / D (U) + m( )NF dUx , ˆ µ x , ˆ µ

∏

RMT

LGT

RMT

dynamics

kinema-tics

Kinematics = Global Symmetry Breaking

Part I: ランダム行列理論

準位統計

ランダム行列

準位相関の普遍性　SN 96, Akemann-Damgaard-Magnea-SN 97/98

Part II: Dirac準位統計

カイラル対称性 と Diracスペクトル

カイラル摂動理論 ε領域

カイラルランダム行列　Damgaard-SMN 98-01, Nagao-SMN 00/01

数値実験による検証

Pt I.Pt I. ランダム行列理論ランダム行列理論

準位統計準位統計

準位統計準位統計

重原子核の高励起準位 (中性子線回折)

厳密値は計算不能厳密値は計算不能　　　　　　　　　　　　　　 →　統計的に扱う→　統計的に扱う

1950s

準位間隔s

普遍性普遍性““充分充分””複雑な系では複雑な系では準位統計分布は系の詳細に依存しない準位統計分布は系の詳細に依存しない

重原子核の高励起準位 強磁場下でH原子の準位 水晶塊の弾性モード準位

s

準位間隔の分布準位間隔の分布

€

PWigner (s) = π2 s e

-π4 s2

可積分 := n自由度 → n個の 1自由度　

準位間隔の分布準位間隔の分布

⇨

€

PPoisson (s) = e-s

縦/横＝無理数

準位統計準位統計

CriteriaCriteria

Berry-Tabor 77

定理「自由度2以上の力学系が古典的に完全可積分　　　　　　　　⇒　量子系の準位はPoisson」

Bohigas-Gianonni-Schmidt 86

定理 (?)「力学系が古典的にergodic　　　　　　　　⇒　量子系の準位はWigner」

半古典的証明 Müller-Heusler-Braun-Haake-Altland 04

普遍性の起源

非局在状態非局在状態のオーバーラップのオーバーラップ ⇒⇒ 縮退を避ける縮退を避ける

準位反撥準位反撥Prob(E,E’) ~|E -E’|β

　β=1,2,4 Hの対称性による

この性質を抽象した単純な模型から

普遍的統計量を導く 　　　　　　 ランダム行列模型ランダム行列模型

磁場中のH原子の準位

H : C hermitian

TT反転反転

T = K C

c.c. unitary

T 2 = CC* =±1 ⇒ symm. C = UTUantisymm. C = UTJU

TT対称性対称性

[H, T] = 0H’ : R symmH’ : H selfdual

[H, T]≠0

L・S

S・B

Uで基底変換

Hamiltonianの離散的対称性

CC共役共役

C = K C τ2 ps-real rep K C real rep

T 2 =±1

[iD, C ] = 0 iD’ : R symmiD’ : H selfdualiD : C hermitian[iD, C ]≠0

基底変換

ChiralityChirality

{iD, γ5} = 0 even dim none odd dim 付加的な対称性

Dirac演算子の離散的対称性

ランダム行列理論ランダム行列理論

正規分布する独立乱数の配列正規分布する独立乱数の配列

€

H =

H11 H12 H13 H14 H15 H16 L

H21 H22 H23 H24 H25 H26 L

H 31 H 32 H 33 H 34 H 35 H 36 L

H 41 H 42 H 43 H 44 H 45 H 46 L

H51 H52 H53 H54 H55 H56 L

H61 H62 H63 H64 H65 H66 L

M M M M M M O

€

H =

# # L

# ##

# # # ## #

# #M # O

→

次元による次元による, sparse, sparseな行列な行列

HamiltonianHamiltonianの集団の集団

ランダム行列理論ランダム行列理論

H = H+ = (Hij) ∈∈ R, C, HR, C, H

P(H)dH = exp(-tr H2) ΠdβHij

•最小のエントロピー 　δS[P]=0 S=∫dH {-P(H) ln P(H) + a P(H) tr H + b P(H) tr H2 }　　　　　　　　　　　　　 　 (平均値 　・　 分散　を固定したとき)

•不変性　 P(H) = P(UHU+)　基底の取替えで不変　⇒　固有ベクトルは非局在

•固有値分布　P({λ}) = Πi exp(-tr λi2) Πi>j|λi - λj|β

β = 1, 2, 4 自由度/行列要素

ランダム行列理論ランダム行列理論

RMT以外にも適用可普遍性の起源が明瞭

･ Loop (Schwinger-Dyson)方程式

･ 直交多項式法

･ SUSY(PQ)法

･ Replica法

･ Keldysh法　

ランダム行列理論の技法ランダム行列理論の技法

RMTのみに適用可多種の準位相関関数を計算できる

直交多項式法直交多項式法 (歪直交多項式法　β=1, 4 )β=2

€

Rk (λ1,...,λk ) = ΨN ˆ ρ (λ1)L ˆ ρ (λk )ΨN = det KN (λi ,λ j )[ ]i, j=1

k

P(s) =∂s2 (−1)k

k!dλ1Ldλk−s /2

s /2∫ Rk (λ1,...,λk )

k=0

∞

∑

=∂s2 Det

λ∈[−s /2,s /2]1−KN[ ]

€

P(λ1,...,λN ) = ei∏

−V (λi )det λi

j−1[ ]i. j=1

N 2

= det ψ j−1(λi )[ ]i. j=1

N 2= ΨN ({λ}) 2 ψ j (λ) = e−V (λ ) /2 λj +L( )

free fermions

€

KN (λ,λ ' ) ≡ ψi*(λ)ψi (λ' ) =

i=0

N−1

∑ ψN (λ)ψN−1(λ ' )−ψN−1(λ)ψN (λ ' )λ −λ '

Fermi seaへの射影

N=∞ Wigner半円則N=11, 21, 51

準位密度準位密度

€

λi a xi = ρ (λ)λi∫ dλ, xi+1 − xi =1

局所的準位相関 ： 累積準位密度に変数変換して規格化　unfolding平均準位密度はスペクトルの各所で異なる　⇒

22準位相関準位相関

β=0 相関なしβ=1β=2β=4

~ sβ ~ exp(-cβ s2)

exp(-s)

準位間隔の分布準位間隔の分布

直交多項式法を用いて 各種の準位統計関数が計算可能

幅幅s s がが kk個の準位を個の準位を含む確率　含む確率　Eβ (k ; s)

GUEGUE

GOEGOE

β=2

β=1

ランダム行列の普遍性ランダム行列の普遍性

N有限　→　P (s), ρ(λ), …はランダム系・行列測度の詳細に依存

N=∞　→　微視的相関関数P (s), ρ(λ), …は普遍的

exp(-tr H2) exp(-tr V(H))

exp(-tr (H+A)2)…

AndersonGauss Anderson

P∞(s) , ρ∞(λ)同一の同一の自発的自発的

対称性破れ対称性破れ

Pt II.Pt II. Dirac Dirac準位統計準位統計

main figure: Jac Verbaarschot

“SUSY method in RMT and applications to QCD” hep-th/0410211“RMT and chiral symmetry in QCD” hep-ph/0003017

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトル

€

ψ / D ψ =ψL+Dµσ

µψL +ψR+ Dµσ µψR NF フレーバー

独立に回転不変

強結合領域(NC , NF に依存)では自発的に

€

ψL →ULψL UL ∈ SU(NF )LψR →URψR UR ∈ SU(NF )R

€

ψL →UψL , ψR →UψR U ∈ SU(NF )V に破れる

実際には mq ≠0 　→　カイラル対称性は近似的€

ψ ψ = ψR+ψL + ψL

+ψR ≠ 0

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトルBanks Casher 80カイラル凝縮カイラル凝縮

€

d 4x∫ ψ (x)ψ(x) = tr 1/ D + m

€

= dλ0

a−1

∫ ρ(λ) 2mλ2 +m2

€

m→0 → π ρ (0)

€

=1

iλn +m∑ =2m

λn2 +m2

λn >0∑

€

V→∞ → dλ0

a−1

∫ ρ (λ) 2mλ2 +m2

↓

€

a→0 → π ρ (0) (continuum)

カイラル対称性とカイラル対称性とDiracDiracスペクトルスペクトル

€

Σ ≡ ψ ψ =π ρ (0)V

=π VΔ

≠ 0 Δ =O(V −1) =O(L−d )= 0 Δ =O(L−1) free

カイラル凝縮カイラル凝縮

カイラル対称性が破れるためには　微小Dirac固有値の集積が必要€

Δ : 準位間隔

SU(3), NF=0, staggered V=44 Gockeler et al 99

自発的破れ相

カイラル対称相

臨界点

€

Vπψ ψ

DiracDirac準位密度準位密度

SU(2), NF=0, staggered V=104

Berbenni et al 97DiracDirac準位密度準位密度 ( (微視的微視的))

€

ρs (ζ) =1ΔρζΔ

magnifyby scaling

・ ρ(0) でスケールされた微視的準位密度は結合定数 β に依らない・ゲージ群 SU, SO, Sp に応じて３種類

　微視的準位密度分布は kinematical , 対称性のみによる

SU(3), NF=0, staggered V=44 Damgaard et al 98

DiracDirac準位密度準位密度 ( (微視的微視的))

Partial QuenchingPartial Quenching

€

Z({m f },m | ˜ m ) = [dA] e−SYM [ A ] det( / D + m f )f∏∫ det( / D + m)

det( / D + ˜ m )

€

∂∂m

log Z({m f },m | ˜ m )m= ˜ m

= tr 1m + / D {m f }

m→iλ , ℑm → ρ(λ)

probefermionic &bosonic quarks

微視的準位密度　 ← 　Zgraded with very light “probe quarks”

Dirac準位密度　←→　PQ分配関数

カイラル摂動理論カイラル摂動理論

€

U =URUL+ の座標:

質量項　　　　　　　　がある場合も

€

ψL+MψR + c.c.

€

U→ uRUuL+

M → uLMuR+

⇒　有効理論もカイラル変換で不変：　カイラル Lagrangian

Weinberg 67

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

カイラル変換　　　　　　　　　　　の下で基本理論が不変€

SU(NF )L ×SU(NF )RSU(NF )V

€

ΛQCD−1 << L では NG π粒子のみが Z に寄与

カイラル摂動理論カイラル摂動理論

⇒　有効理論も然り

基本理論は質量Mとθ角を　　　　　　　　　　　　　　の形で含む

€

Z(M,θ) = e iνθ

ν

∑ DAµDψ Dψ e-S[Aµ ,ψ ,ψ ] det( / D + M)∫

= e iνθ

ν

∑ m fν λ j

2 + m f2( )

j∏

f∏ = Z(e iθ / N f M)

€

ZchPT(M ,θ ) = DU exp − fπ2 tr ∂µU∂µU

+ + Σ ℜe tr eiθ /N f MU +L( )SU (N f )∫

ν

有限体積中で非0モード 0モード

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

€

fπ2L−2 Σ m

€

ZchPT　　⇒　　　：0モード積分　　

　　　kinematicな領域

　　　　 　

εε領域領域

Leutwyler Smilga 92€

EC ≡fπ

2

ΣL2 >> m

€

L <<mπ−1

有限体積中で非0モード 0モード

€

LchPT = fπ2 tr ∂µU∂µU

+ − Σ ℜe tr MU +L

€

fπ2L−2 Σ m

€

ZchPT　　⇒　　　：0モード積分　　

　　　

　　　　 　

εε領域領域 PQchPTPQchPT

€

EC ≡fπ

2

ΣL2 >> mλ

λ

Dirac固有値 λ は mq とは無関係な自由パラメータ

€

EC =fπ2

ΣL2

€

λmin =1ΣL4

PQ Ch Lの0モード積分で厳密に扱える

自由場

PQ Ch Lの非0モードを摂動で取入れ

FullQCD

ChLの0モード積分 → 微視的Dirac固有値分布　のためには

• L >> ΛQCD−1 : NG domination

• mq << EC ⇔ L << mπ−1 : 0-mode domination in ChL

• λmin<< EC ⇔ L >> fπ−1 : 0-mode domination in PQChL

カイラルランダム行列カイラルランダム行列

カイラルランダム行列カイラルランダム行列

€

/ D → 独立乱数の配列独立乱数の配列

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −tr H +H + ψ Rfψ L

f( )mf iH +

iH mf

ψL

f

ψRf

f∑

= dH∫ e−tr H +H detmf iH +

iH mf

f∏

N x (N+v) 行列

N ベクトル

€

H ψ L

f , ψLf

ψ Rf , ψR

f NF 種類N+v ベクトル

€

QCDの大域的対称性を共有

　 の要素 ∈ 　 行列要素に反映

カイラル対称性は NF によらず常に破れる　半円則

　　フレーバー群 → ベクトル部分群 Vafa-Witten定理

指数定理　　ν 個の0モード

熱力学極限 N→∞ で LLS = Re tr UM + ν log det U

€

/ D

€

C SUR Sp H SO

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −Hij*Hij + ψ R

f ,iψ Lf ,i( )

mf iH ji*

iHij m f

ψL

f ,i

ψRf ,i

f∑

= dψ dψ∫ exp −(ψ Rf ,iψL

g,i)(ψ Lg, jψR

f , j ) + mf (ψ Rf ,iψL

f ,i) + (ψ Lf ,iψR

f ,i)( )f∑

= dQdψ dψ∫ exp −Qfg* Qfg + (iQfg + Mfg )(ψ L

f ,iψRg,i) + (iQfg

* + Mfg )(ψ Rf ,iψL

f ,i){ } = dQ∫ e-tr Q +Q detN +ν (Q− iM)detN (Q+ − iM)

€

Q∈ GL(n,C)

RMT of type AIII (chGUE)

€

H ∈GL(N ,C)

fj

fi

gj

gi€

Ψ

€

Ψ €

Ψ

€

Ψ

fj

fi

gj

gi€

Ψ

€

Ψ €

Ψ

€

Ψ

fj

fi

gj

gi

€

Ψ

€

Ψ

€

Ψ

€

Ψ€

Hij

€

Qfg

flavored auxil. field

€

dQ fg e− tr Q2

∫

€

= dHij e− tr H 2

∫Gauss averageover disorder

€

Z = dH∫ dψ dψ exp −Hij*Hij + ψ R

f ,iψ Lf ,i( )

mf iH ji*

iHij m f

ψL

f ,i

ψRf ,i

f∑

= dψ dψ∫ exp −(ψ Rf ,iψL

g,i)(ψ Lg, jψR

f , j ) + mf (ψ Rf ,iψL

f ,i) + (ψ Lf ,iψR

f ,i)( )f∑

= dQdψ dψ∫ exp −Qfg* Qfg + (iQfg + Mfg )(ψ L

f ,iψRg,i) + (iQfg

* + Mfg )(ψ Rf ,iψL

f ,i){ } = dQ∫ e-tr Q +Q detN +ν (Q− iM)detN (Q+ − iM)

€

Z = dU∫ (det U)ν eN ℜe tr MU

€

U ∈ U(n)€

Q ∈ GL(n,C) /U(n)( )×U(n)

very massive at large N ⇒　fix by saddle point

€

N→∞

RMT of type AIII (chGUE)

€

H ∈GL(N ,C)

Goldstone mfd

普遍性普遍性

普遍的な微視的相関関数

exp(-tr H2) exp(-tr V(H))

exp(-tr (H+A)2)…

AndersonGauss Anderson

同一の同一の自発的自発的

対称性破れ対称性破れ

N → ∞

固有値分布固有値分布

€

dµ(H ) = dH e−tr H +H Π f det H +H +mf2( )

€

dµ(λ) =Πidλi e

−λi2Πfλi

2 +mf2( ) λiβ (ν+1)−1{ } Π

i> jλi

2 −λ j2 β

=Πidzi e

−zi Πfzi +mf

2( ) ziβ (ν+1)/2−1{ } Πi> jzi − zj

β zi ≥ 0€

EV( / D ) = ±i EV(H +H ) = ±i λ1,...,±i λN ,0,...,0{ }

Jacobian

Laguerre型

cf. Gaussian=Hermite型

β=2

β=1

β=4

準位密度

Damgaard SN 01

€

ζ4

€

ζ1

€

ζ2

€

ζ3

微視的準位密度・微視的準位密度・ 　　第第1~41~4番目の準位の分布番目の準位の分布 NF=0, C hermitian

Damgaard SN 98

微視的準位密度微視的準位密度

最小準位分布最小準位分布

NF = 3C hermitian

quarkmass

Nagao SN 00

微視的準位密度微視的準位密度

NF = 1R symmetric

NF = 2H selfdual

格子実験による格子実験によるDiracDirac準位統計の検証準位統計の検証

QuenchedQuenched

SU(2), NF=0, staggered V=84 Berbenni et al 97

22準位相関関数準位相関関数最小固有値の分布

SU(2), NF=4, staggered V=84

Berbenni et al 98, Akemann Kanzieper 00

Dynamical QuarksDynamical Quarks

微視的準位密度微視的準位密度

質量

€

µ ≡ mq ρ(0) /π

SU(2), NF=4, staggered, V=84

Berbenni et al 98

Dynamical QuarksDynamical Quarks

最小固有値の分布

NF=0, overlap V=44 Edwards et al 99

ν=1

ν=0

SU(2) SU(3) SU(3) adj

最小固有値の分布TopologyTopology

SU(3), NF=0, overlap V=104 Bietenholz et al 03

€

TopologyTopology

€

ψ ψ = (256 MeV)3best fit　→

€

(L =1.23 fm)

最小固有値の累積分布

€

Thousless energyThousless energy

1.23 fm 0.98 fm

一致は悪くなる

β=5.85 に対して Ec ~ 1.2 fm

largephysical

size

smallphysical

size

SU(3), NF=0, overlap V=204

Giusti Luscher et al 03

€

TopologyTopology

固有値の比

€

(L =1.49 fm)

: Damgaard-SN prediction ’00

from chRMT

parameterfree!

Finite DensityFinite Density

€

µ ψ+ψ = µ ψ γ0ψ

€

/ D → / D + µγ0

€

det( / D + µγ0 + m)Boltzmann重み が複素数

⇒　dynamical quarkの数値実験が困難

非エルミート

バリオン数化学ポテンシャル 導入

･phase quenched

･(擬)実表現 fermion迂回策:

Finite DensityFinite Density

カイラルランダム行列で　　　　　　　とした　　　　

€

ZChRMT = dH∫ e−tr H +H detmf iH + + µ

iH + µ mf

f∏

→ ZChPT = dU∫ eN ℜe tr MU−Nµ 2tr [U ,B ][U + ,B ]€

/ D → / D + µγ0

Stephanov 96

複素固有値分布がPQ法で得られた

Splittorff-Verbaarschot 04Osborn 04, Akemann 04

Finite DensityFinite Density

SU(2), NF=2, staggered V=64

Akemann et al 04

€

複素固有値の分布 µ=0.001

Finite DensityFinite Density

SU(2), NF=2, staggered V=64

Akemann et al 04

€

複素固有値の分布 µ=0.2

kinematics

chiralsymmetry

Dirac準位統計　　有限体積から低エネルギー定数Σの厳密測定