2 | P a g i n a
Inhoudsopgave
1. Inleiding ................................................................................................................................. 3
2. Wat is vage logica? ................................................................................................................ 4
3. De grondlegger ....................................................................................................................... 5
4. Fuzzy Logic vs Probability .................................................................................................... 6
5. Vaagheid als logisch probleem .............................................................................................. 7
5.1 Vaagheid: wat is het? .................................................................................................................... 7
5.2 Benaderingen ................................................................................................................................. 7
5.3 Voorbeeld: de paradox van de kale man ....................................................................................... 8
6. Vage Logica ........................................................................................................................... 9
6.1 Vage Verzamelingen ..................................................................................................................... 9
6.2 Lidmaatschap tot een verzameling .............................................................................................. 10
6.2.1. Lidmaatschapfunctie............................................................................................................ 10
6.2.2. Voorbeeld ............................................................................................................................ 11
6.3 Logische operaties en vage operatoren ........................................................................................ 13
6.4 Fuzzificatie .................................................................................................................................. 15
6.4.1 Singleton Fuzzifier ............................................................................................................... 15
6.4.2 Gaussian Fuzzifier ................................................................................................................ 15
6.4.3 Trapeziumvormige / Driehoekige Fuzzifiers ........................................................................ 16
6.5 Fuzzy Rules & Fuzzy Rule Bases ............................................................................................... 19
6.5.1 Vage Implicatie Relaties....................................................................................................... 20
6.6 Defuzzificatie .............................................................................................................................. 21
7. Voorbeeld: Fuzzy-regeling van de kamertemperatuur ......................................................... 24
7.1 Inleiding....................................................................................................................................... 24
7.2 Definitie van linguïstische begrippen .......................................................................................... 24
7.3 De regelkring en de instelregels .................................................................................................. 26
7.3.1 De regel-matrix ..................................................................................................................... 26
7.4 De werking van de regelaar ......................................................................................................... 27
7.4.1 Fuzzyficatie-stap .................................................................................................................. 27
7.4.2 Berekenen van de uitgangsset .............................................................................................. 28
7.4.3 De defuzzyficatie stap .......................................................................................................... 30
3 | P a g i n a
1. Inleiding
De laatste paar jaren maakte fuzzy logic een heuse sprong vooruit qua bekendheid. In Japan is het
woord „fuzzy‟ een populair reclame-woord geworden, en de projecten worden er meer en meer
opgelost met behulp van de „Fuzzy Logic‟. Japan heeft bijgevolg ook een grote voorsprong op de rest
van de wereld in het onderzoeken en toepassen van deze vage theorie.
Het grootste probleem met deze vage vorm van rekenen, is dat alle mensen vertrouwd zijn met de
controversiële manier van rekenen en dat er weinigen bekend zijn met de vage logica en zijn vage
verzamelingen. De algebra hiervan is bijgevolg ook niet eenduidig vastgelegd, elke auteur moet zijn
verhaal beginnen met een uitleg van de theorie en de gebruikte regenregels.
Het doel van deze paper is de lezer een inzicht te geven in de manier waarop vage logica werkt, samen
met zijn vage verzamelingen en regels. We proberen iedereen uit te leggen wat fuzzy logic betekent,
welke elementen en regels er in verweven zitten. We zullen even praten over de grondlegger, en alles
uitleggen aan de hand van meerdere voorbeelden. Tenslotte bespreken we enkele toepassingen in ons
vakgebied.
4 | P a g i n a
2. Wat is vage logica?
Fuzzy logic is afgeleid van de fuzzy set theory (theorie van de vage verzamelingen), het gaat meer om
redeneren bij benadering in plaats van het klassieke precies uitrekenen door formules. Het kan bezien
worden als de applicatie-zijde van fuzzy set theory, dat gebruikt wordt voor de complexe „real world‟
expert-waarden voor een complex probleem te onderzoeken.
Waarheidsgraden (Degrees of Truth) worden veelal verward met waarschijnlijkheden, maar ze zijn
conceptueel te onderscheiden: fuzzy truth vertegenwoordigt een lidmaatschap van fuzzy sets, en geen
kans op een bepaalde gebeurtenis of toestand. Ter illustratie: Bob is in een huis met 2 aangrenzende
ruimtes, namelijk de keuken en de eetkamer. Bob‟s status binnen de set van “objecten in de keuken” is
ofwel waar of onwaar: ofwel staat hij in de keuken, ofwel staat hij niet in de keuken. Wat als Bob in
de deuropening staat? Dan kan hij beschouwd worden als “gedeeltelijk in de keuken”. We kunnen dit
uitdrukken in een fuzzy set lidmaatschap: wanneer zijn kleine teen in de eetkamer zou staan, dan is hij
99% in de keuken en 1% in de eetkamer. Zolang hij in de deuropening staat kan hij nooit 100% in de
keuken of eetkamer staan.
Fuzzy sets zijn gebaseerd op vage definities van sets, geen willekeur. Fuzzy logic laat het toe zijn
lidmaatschap in deze sets voor te stellen met een getal tussen 0 & 1, zwart-wit of een grijswaarde, met
woorden zoals “slightly”, “quite” en “very”. Bij het voorbeeld van hierboven kan je dus zeggen dat
Bob „slightly‟ in de keuken staat. Je kan dus ook een gedeeltelijke lidmaatschap hebben in een set. Dit
concept werd geïntroduceerd door Lotfi Zadeh aan de universiteit van California, Berkley.
5 | P a g i n a
3. De grondlegger
Lotfi Asker Zadeh werd geboren in Bakoe op 4 februari 1921 als Lofti Aliasggarzadeh. Hij is een
Amerikaans-Azerbeidzjaanse wiskundige en systeemanalist die wereldberoemd is geworden als
grondlegger van deze fuzzy logic. Zijn moeder was een Oekraïnse, en zijn vader kwam van de
Republiek Azerbeidzjan.
Zadeh was student aan de Universiteit van Teheran en studeerde er elektronica. Indien hij wiskunde
zou gekozen hebben, wachtte hem sowieso een job als docent aan een middelbare school. Alles
veranderde voor hem sinds de Tweede Wereldoorlog, waar zijn vader werkte voor het Amerikaanse
leger, en besloot met zijn gezin naar Amerika te gaan wonen.
Lotfi veranderde van naam na de emigratie, en meldde zich aan als student bij het MIT (Massachusetts
Institute of Technology) in 1944 en studeerde er 2 jaar later af in elektronica. Hij kreeg een job als
docent aan de Columbia-universiteit en in 1950 werd hij gepromoveerd tot assistent-hoogleraar. Wanneer hij in 1954 een thesis schreef met als titel „Systeemtheorie‟, bezorgde dit hem al wat faam in
zijn vakgebied. Onder andere door deze thesis werd hij in 1957 benoemd als hoogleraar in Columbia.
Hij kreeg het jaar nadien een uitnodiging voor de Universiteit van Berkley, waaraan hij eerst twijfelde.
In 1959 accepteerde hij de uitnodiging en in 1963 werd hij hoofd van de faculteit. In 1964 schreef hij zijn eerste artikel over fuzzy logic: hij beschreef hoe hij een theorie van vage
verzamelingen had ontwikkeld, en het handelde verder dan enkel de logica alleen. Het werk was
gebouwd op de verzamelingenleer, de filosofie van de vaagheid, de meerwaarde logica en Max Blacks
woordgebruikgrafieken.
Eerst had hij niet zoveel succes met zijn werk, want alles werd kritisch bekeken door zijn collega‟s. De
eerste grote positieve reactie kwam pas in 1967, wanneer Max Black zijn artikel onder ogen had
gekregen. Desondanks zijn steun heeft Lotfi nog jarenlang kritiek ontvangen van collega‟s. Zijn
theorie kreeg uiteindelijk meer en meer „volgelingen‟ uit Amerika, West- en Oost-Europa en Azië. Het
belangrijkste magazine op dit gebied heet Fuzzy Sets and Systems, en zag voor het eerst het daglicht
in 1978. In 1991 ging hij met emeritaat, maar bleef getuige van het opstarten van het Berkeley
Initiative in Soft Computing.
Fuzzy Logic is nog steeds controversieel in sommige kringen, ondanks het toch al wereldwijd
geaccepteerd en succesvol toegepast in een grote waaier aan toepassingen.
6 | P a g i n a
4. Fuzzy Logic vs Probability De beiden zijn zeer nauw gerelateerd, de basisconectiviteiten zoals operators en functies zijn zeer
gelijkaardig gedefinieerd. Het grote verschil zit in de betekenis, want de waarschijnlijkheidstheorie en
fuzzy logic zijn eerder complementair dan competitief. In de waarschijnlijkheid zijn er 2 grote
stromingen: namelijk de frequentisten en de Bayesians.
Frequentisten maken gebruik van de frequentietheorie (kans-rekenen en statistiek), namelijk de
oefeningen met steekproef, relatieve frequentie en absolute frequentie. Ze baseren hun op een
experiment, getest op de steekproef en dus het experiment verschillende malen (aantal elementen in de
steekproef) herhaald. Ze wanneer een gebeurtenis 120 keer voorkomt in een steekproef van 200 is de
waarschijnlijkheid 60%.
Het andere alternatief zijn de Bayesians: voor een Bayesian is het idee van een gebeurtenis die een
waarschijnlijkheid heeft niet van toepassing. Ze zijn eerder geïnteresseerd in het gebeuren van de
gebeurtenis, of het zal gebeuren of niet. Bijvoorbeeld: er is een virus verspreid over het internet, zal
mijn computer geïnfecteerd worden of niet? Er is dus geen waarschijnlijkheid, mijn computer wordt
geïnfecteerd of niet.
In beide gevallen praten we over gebeurtenissen, niet over feiten. Het zijn gebeurtenissen die kunnen
voorkomen, waarvan we niet weten of ze zullen voorkomen, en er is niets vaag over deze
gebeurtenissen.
In fuzzy logic proberen we de essentiële eigenschap van vaagheid vast te leggen. Wanneer ik zeg dat
een persoon 2 meter groot is, is dit een feit. Wanneer ik zeg dat een andere persoon 1,8 meter groot is
(wat nogaltijd een feit is), is dit minder waar dan bij het eerste experiment. Een persoon van 2 meter
kan de eigenschap groot bezitten, en een persoon van 1,8 meter ook. Maar de persoon van 1,8 meter
lijkt al minder groot dan die van 2 meter, dus uit het opzicht van de 1e persoon zou men ook kunnen
veronderstellen dat hij klein is. Ze bezitten beiden de eigenschap groot, maar in verschillende mate.
Fuzzy logic gebruikt grotendeels de zelfde werktuigen als de waarschijnlijkheids-theorie, maar ze
worden gebruikt om een volledig ander idee vast te leggen. Fuzzy logic behandelt vooral de mate
waarin iets waar of onwaar kan zijn, in termen van vaagheid en relatieve waarheden. De
waarschijnlijkheidstheorie is geïnteresseerd in voorspellingen maken over gebeurtenissen, maar zegt
niets over of een gebeurtenis volledig waar of onwaar is.
De waarschijnlijkheidstheorie zet de essentiële eigenschap van de betekenis (gedeeltelijke waarheid)
niet vast, wat het doel is van fuzzy logic. Fuzzy logic zet de essentiële eigenschap van de betekenis
(gedeeltelijke kennis) niet vast, wat het doel is van de waarschijnlijkheidstheorie.
Volgens Lotfi Zadeh zou de waarschijnlijkheidstheorie beter gebaseerd zijn op fuzzy logic, dan op het
klassieke wiskundige stelsel. Zijn mening is dat er zeer veel beperkingen zijn door de klassieke
bivalente logica waarop het gebaseerd is. Niettemin heeft het al een gigantisch success bereikt, maar
Zadeh vind dat het nog uitgebreid moet worden, omdat er nog een pak vragen zijn die niet door de
waarschijnlijkheid opgelost kunnen worden.
Bijvoorbeeld: we hebben de verzameling C, waarvan „u‟ een element van de verzameling kan zijn. Het
is dan enkel waar of onwaar dat „u‟ tot de verzameling behoort, of een instantie van het concept C is.
Er is dus geen gedeeltelijke waarheid mogelijk, en het probleem hiervan is dat het leidt tot
tegenstrijdigheden. Als we A en B kunnen beschouwen als aparte gebeurtenissen enkel en alleen als
P(A,B) = P(A) * P(B). Een gebeurtenis mag niet enkel een bivalent concept zijn, het moet graden van
waarheid bevatten. Wat we zien in de waarschijnlijkheidstheorie is in fundamenteel conflict met de
werkelijkheid, een realiteit waarin bijna niets zwart-wit is, maar alles schaduwen en grijswaarden
heeft. Het is deze realiteit dat fuzzy logic probeert vast te leggen.
7 | P a g i n a
5. Vaagheid als logisch probleem
5.1 Vaagheid: wat is het?
Logica is de wetenschap die zich bezighoudt met het onderzoeken van redeneringen. De meeste
redeneringen (buiten het grootste deel van de wiskunde) die we in het dagelijkse leven gebruiken zijn
allemaal vaag. Dit gaat van simpele begrippen zoals keuken, tot ingewikkelde terminologie zoals
Graphical Processing Unit. Als eerste voorbeeld zullen we de keuken nemen, die we zullen proberen
beschrijven: een kamer in je huis waar je kookt en eventueel eet, waar een vuur is om op te koken,
kasten met pannen, potten, bestek, eventueel een tafel met stoelen, een koelkast, een aanrecht en een
vuilbak. Wanneer we in een huis komen waar geen koelkast in de keuken staat, blijft die kamer wel
een keuken, of er nu een koelkast staat of niet. Hierdoor is het begrip keuken vaag, alsook het begrip
Graphical Processing Unit (= GPU = grafische kaart). Het is een onderdeel van een computer, waarin
het beeld gevormd wordt dat je op je scherm ziet. Het heeft één of meerdere beeldaansluitingen zoals
VGA, HDMI of DVI. Naargelang het model verschillen de aansluitingen in aantal en model. Hierdoor
is de GPU ook vaag. Je kan dus voor bijna geen enkel item uit het dagelijkse leven een volkomen
correcte definitie geven. Een keuken is een keuken omdat we dit weten en herkennen aan
componenten en onderdelen. Je hersens zijn hierop getraind en je gelooft dit als waarheid te zijn.
5.2 Benaderingen
In de loop der jaren hebben we deze vaagheid op 2 manieren benaderd: de eerste benadering was via
“precisificatie”. Dit betekent dat de geldigheid van een uitspraak enkel en alleen kan onderzocht
worden door de uitspraak ondubbelzinnig te maken. Hierna kan ze vertaald worden in één van de vele
kunsttalen die bestaat in de logica, waarin precieze definities van geldigheid bestaan. Wanneer de
redenering vertaald is kan men haar geldigheid bepalen aan de hand van rekenwerk, zolang ze
onvertaald is blijft het onduidelijk wat we ermee bedoelen, en kunnen we ze moeilijk geldig of
ongeldig noemen. Voor sommige redeneringen blijft het natuurlijk vaag of ze juist of onjuist is,
bijvoorbeeld als we het hebben over de mening van Elio Di Rupo betreffende de wet op de
werkloosheidsuitkering: dit is een mening en kan onmogelijk als waar of onwaar beschouwd worden.
De strategie van “precisificatie” is altijd de populairste geweest in de moderne formele logica. Eerst
was daartoe ook alle reden, namelijk de eerste moderne logici zoals Boole hielden zich bezig met de
bestudering van wiskundige redeneringen. In de eerste helft van de 20e eeuw begonnen de
wiskundigen zich te richten op de verheldering van taalgebruik dat niets met wiskunde te maken heeft,
en bijgevolg begon de strategie alsmaar minder en minder goed te werken. In 1937 kwam hierdoor een
nieuwe strategie op: men maakte van de vaagheid een begrip, en maakte hierbij een serie van formele
logische stelsels waarin vage zinnen kunnen opgenomen worden. Max Black was hiervan de
grondlegger, maar het werk werd pas populair wanneer Lotfi Zadeh hier ook dieper op inging.
8 | P a g i n a
5.3 Voorbeeld: de paradox van de kale man
Hierboven is het voorbeeld van vaagheid de keuken: ik kan een keuken binnenstappen, een naargelang
mijn zintuigen mij info geven, kan ik onderscheiden of een kamer een keuken is, een slaapkamer, een
eetkamer, een living, een badkamer, berging of garage is. Dit is in onze hersenen gelinkt met de
functie van de kamer: we zien objecten en onderdelen, en daardoor kunnen we onderscheiden tot
welke categorie een kamer hoort.
In de paradox van de kale man (of de paradox van de zandhoop) wordt dit nog verder uitgediept: men
kan zeggen dat iemand een weelderige haardos heeft. Hier kan je je iets bij voorstellen, maar de grens
tussen weelderig en niet-weelderig kan men niet vastleggen in gelijk welke taal. Je kan er wel in gelijk
welke taal over praten, maar er bestaat nergens een regel dat een weelderige haardos een aantal haren
moet bevatten. Wanneer een persoon een haardos heeft met 1000 haren op, zal hij nog steeds
weelderig zijn met één haartje minder. Wanneer je er honderd zal wegplukken, zal deze al minder
weelderig zijn, maar je weet nog altijd niet of hij nu weelderig is of niet weelderig.
Hetzelfde voorbeeld geldt met een zandhoop. Er staat nergens gedefinieerd dat een hoop zand een
aantal korrels moet bevatten. Bijvoorbeeld voor een kind kan een zandhoop een torentje zijn van 20
centimeter hoog, terwijl een volwassene maar denkt aan een hoop wanneer hij minstens tot een halve
meter reikt. Wanneer je een korrel wegneemt, blijft het een zandhoop. Hetzelfde geldt voor
intelligentie: men kan iemand slim noemen, maar je kan dit niet gaan meten aan de hand van het aantal
hersencellen. Eéntje meer of minder gaat het verschil niet maken. Wij proberen dit te classificeren aan
de hand van het IQ: dit wordt berekend aan de hand van een vaste lijst met vragen. Iemand met een
hoog IQ is slim, en iemand met een laag IQ is minder slim. Je hebt echter nog altijd geen grens waar je
iemand dom kan noemen. Het IQ is de vertaling van het begrip intelligentie in een wiskundige vorm,
en kan proberen een onderscheid te maken tussen mensen en ze te classificeren volgens hun kunnen en
kennen. Echter kan dit ook fout aflopen, want iemand die slim is kan een slechte dag hebben en
zodanig veel fouten maken dat hij als dom wordt beschouwd.
9 | P a g i n a
6. Vage Logica
6.1 Vage Verzamelingen
Vage verzamelingen zijn verzamelingen, waarvan de elementen graden van lidmaatschap kennen.
Lotfi A. Zadeh had vage verzamelingen geïntroduceerd als een soort van uitbreiding op het klassieke
begrip van een verzameling. In de klassieke leer van verzamelingen, wordt het lidmaatschap van de
elementen in binaire termen beoordeeld volgens een bivalentie principe waar een element hoort wel of
niet tot een verzameling. In contrast daarmee staat de vage verzamelingentheorie een geleidelijke
evaluatie toe van het lidmaatschap van elementen in een verzameling; dit wordt beschreven met
behulp van een lidmaatschapfunctie, die wordt gewaardeerd op het reële eenheidsinterval. Vage
verzamelingen veralgemenen de klassieke verzamelingen, aangezien de indicatorfuncties van de
klassieke verzamelingen speciale gevallen zijn van de lidmaatschapfuncties van de vage
verzamelingen, indien deze laatste alleen de waarden 0 of 1 kunnen aannemen.
De theorie van fuzzy logic gaat uit van de theorie van vage verzamelingen. Om een vage verzameling
dus te begrijpen, moet je ook eerst begrijpen wat een gewone verzameling is. Het kenmerk van een
gewone verzameling (in wiskundigentermen) is dat een element er inzit of er niet inzit. Een vage
verzameling is dus een eenvoudige uitbreiding van een gewone verzameling, waarbij een gedeelte in
een verzameling kan zitten.
Een gewone verzameling P kan beschreven worden m.b.v. een karakteristieke functie , die als
volgt is gedefinieerd:
Elk element uit het universum U (dat staat voor het domein) krijgt een lidmaatschapsgraad toegewezen
op het interval [0,1], dat geeft aan hoever het element tot de verzameling behoort. Dit is gedaan
volgens de vage verzameling theorie.
Het element u (uit domein U) heeft een lidmaatschapsgraad „x‟ dat men aanduidt met
. In een vage
verzameling genaamd „P‟ geldt het dus dat ieder element u (uit domein U) een lidmaatschapsgraad
genaamd xp(u) heeft:
Bij het specificeren van P worden de elementen waarvoor geldt: niet genoemd. Een voorbeeld van een vage verzameling is de verzameling A:
Het 'aardige' van deze verzameling is dat ze kan worden omschreven met het begrip 'ongeveer gelijk
aan 5' (zie voorbeeld).
10 | P a g i n a
6.2 Lidmaatschap tot een verzameling
Dit is een vage verzameling met een simpel voorbeeld. We zullen nu gaan verder redeneren aan de
hand van een ander voorbeeld:
Je hebt een linguïstische variabele of grootheid, namelijk leeftijd. De leeftijd kan een vaste waarde
aannemen, bijvoorbeeld een persoon in 21 jaar oud. Ook kan deze een linguïstische waarde aannemen:
een persoon is jong, of een persoon is oud. Aan deze begrippen hangt ook een dynamische range, hier
kan dit [0 - 120] jaar zijn. Niemand is jonger dan 0 jaar, en er zullen er weinigen zijn die ouder worden
dan 120 jaar.
Deze linguïstische waarden zijn vaag en kunnen op een subjectieve manier bekeken worden. Ik kan
zeggen dat mijn vader (met een leeftijd van 45 jaar) een oude man is, maar mijn grootvader
daarentegen kan spreken over mijn vader als een jonge man. Je kan het „jong‟ zijn schrijven in een
functie, namelijk de membership function die hierboven al deels uitgelegd staat. De membership
function van jong wordt geschreven als:
De betekenis in woorden van deze membership function is de volgende:
0,8/20 → een persoon die 20 jaar oud is, is 80% jong
0,6/30 → een persoon die 30 jaar oud is, is 60% jong
0,2/40 → een persoon die 40 jaar oud is, is 20% jong
0/50 → een persoon die 50 jaar oud is, is 0% jong
Mijn vader zal dus bijgevolg tussen 20% en 60% jong zijn.
Mijn grootvader zei gisteren tegen mij: “Je hebt geluk dat je nog zeer jong bent, want op mijn leeftijd
begin je toch al te voelen dat je lichaam aftakelt.” Ik begon me vragen te stellen over het deel “zeer
jong”: ik ben 21 jaar, en ik vind dat ik toch al een leeftijd bereikt hebt dat ik niet meer zeer jong kan
genoemd worden. We controleren dit en leiden de membership function van „zeer jong‟ af van de
membership function van „young‟:
Zo kan je ook andere afgeleide waarden van „young‟ gaan bepalen:
Strikt jong = jong1
Zeer jong = jong2
Min of meer jong = jong1/2
Ongeveer jong = jong1/3
6.2.1. Lidmaatschapfunctie
De lidmaatschap van een waarde tot een set wordt uitgedrukt in en berekend door een functie. De
uitkomst is een getal tussen 0 en 1, die uitdrukt in welke mate een waarde tot een set behoort. Hoe
kleiner het getal, hoe minder het met de set gerelateerd zal worden, en hoe groter het getal, hoe meer
dat het met de set gerelateerd zal worden. Voor deze functie, als voor alle bestaande functies, is er een
grafiek, waaruit men visueel het antwoord kan afleiden. Dit kan natuurlijk ook altijd via ingewikkelde
berekeningen, maar dit laten we voorlopig buiten beschouwing.
11 | P a g i n a
6.2.2. Voorbeeld
We beschouwen een fuzzy set, met de termen LP, MP, S, MN en LN als beschrijving van een getal:
GP = Groot Positief getal
MP = Medium Positief getal
K = Klein getal
MN = Medium Negatief getal
GN = Groot Negatief getal
We kunnen voor elk getal een functie opstellen, zodat het duidelijk wordt waar de grenzen liggen voor
wanneer het getal tot de juiste set behoort. Je kan de volgende functie als voorbeeld beschouwen:
is de mate waarin het getal 2 tot Medium Positieve getallen hoort. Deze waarde kan je
afleiden, indien je de lidmaatschapfunctie van Medium Positief kan raadplegen.
Zoals je hier kan zien loopt de range van MP van 0 tot 10 waarbij 0 en 10 net niet Medium Positief
zijn. Als je de voorbeeldfunctie van hierboven neemt, namelijk , dan zoeken we in welke mate
het getal 2 medium positief is. Dit kunnen we onderzoeken op de grafiek door een verticale hulplijn te
trekken waar 2 op de x-as gesitueerd is. Voor dit punt zoeken we vervolgens de Y-waarde, en dit doen
we door een horizontale lijn te trekken waar de verticale hulplijn de grafiek snijdt. In dit geval komen
we uit op 0.4, dus is het getal voor 40% medium positief, en zo kan je voor elk getal de
lidmaatschapwaarde uitrekenen.
12 | P a g i n a
Je kan natuurlijk ook voor een getal de lidmaatschap tot verschillende sets berekenen. Het is niet
omdat een getal Medium Positief is, dat het ook niet Groot Positief kan zijn en het kan ook evengoed
Klein zijn. We berekenen het resultaat van volgende functie aan de hand van de grafiek: :
Hier zie je dat een Klein getal reikt van -5 tot 5, en het getal 2 bijgevolg voor 60% Klein zal zijn.
De grafiek van de lidmaatschapfunctie van een Groot Positief getal ziet er als volgt uit:
Het getal 2 zal niet behoren tot de sets GP, MN en GN. Hierdoor kunnen we de lidmaatschap van het
getal 2 in alle sets uitdrukken:
13 | P a g i n a
6.3 Logische operaties en vage operatoren
In de vage logica kan je logische operaties uitvoeren, net als in de gewone logica. Vage logica is een
uitbreiding van gewone logica, of gewone logica een “speciaal geval” van vage logica.
De 'EN'-functie, aangeduid met ' ', moet voldoen aan:
Waarbij a, b, c en d, e [0,1].
Analoog zijn er eisen voor de 'OF'-functie, weergegeven met „ ‟:
De „¬‟-functie moet voldoen aan de involutie-eigenschap.
In principe zijn er heel veel mogelijkheden om de logische operaties te definiëren. De volgende regels
worden vaak gebruikt in de praktijk:
Deze rekenregels gelden ook wel voor de gewone, binaire, logica.
(0 1 = 0 ; 1 1 = 1 ; 1 0 = 1 ; „¬‟ ( 1 ) = 0, enz.).
Hieronder wordt de vage verzameling van ‟snel‟ gedefinieerd:
of met u element van de Natuurlijke getallen:
14 | P a g i n a
Een vage verzameling „langzaam‟ wordt gedefinieerd als:
Merk op dat „langzaam‟ niet gelijk is aan „ ¬snel)‟.
Het toepassen van een logische „EN‟-functie wordt gedemonstreerd aan de hand van het volgende
voorbeeld:
„normaal‟ = „snel‟ en „langzaam‟
Grafisch zijn deze verzamelingen weergegeven in de volgende afbeelding.
15 | P a g i n a
6.4 Fuzzificatie
De fuzzificatie van een crisp input-waarde wordt uitgevoerd aan de hand van de regels die vastgelegd
zijn in de lidmaatschapsfunctie. Om de uitkomst van de lidmaatschapsfunctie op een crisp input te
krijgen, maakt men gebruik van fuzzifiers. Er zijn geen vaste procedures voor de fuzzificatie van een
crisp input, want deze hangt altijd af van de lidmaatschapsfunctie en de bijpassende fuzzifier. De
afbakeningen van de sets worden dus vastgelegd in het opstellen van de lidmaatschapsfuncties.
Fuzzificatie is het proces van het wijzigen van een getalwaarde in een vage waarde, wat wordt bereikt
met de verschillende soorten fuzzifiers. Er zijn over het algemeen drie soorten fuzzifiers, die worden
gebruikt voor het fuzzificatieproces:
1. Singleton fuzzifier;
2. Gaussian fuzzifier;
3. Trapezium of driehoekige fuzzifier.
6.4.1 Singleton Fuzzifier
Deze vorm lijkt het meest op de klassieke logica. Deze wordt gebruikt wanneer de
lidmaatschapsfunctie van een bepaalde set een verticale lijn is. De lidmaatschapsfunctie van een set is
waar (en geeft dus een 1 als uitkomst) voor 1 bepaalde waarde. Voor alle andere waarden is de
uitkomst 0, en er bestaat geen waarde waarvoor de uitkomst tussen 0 en 1 ligt. Je kan deze fuzzifier
bijvoorbeeld gebruiken bij de set „is 12‟.
6.4.2 Gaussian Fuzzifier
De gaussian fuzzifier komt voor wanneer de lidmaatschapsfunctie van de vage verzameling de vorm
heeft van een bel. Deze is gelijkaardig aan de driehoekige fuzzifier, enkel dat er veel meer waarden
voor x tot de bepaalde set zullen horen. Een mooi voorbeeld hiervan is de lidmaatschapsfunctie van de
set „ligt dicht bij 12‟. Je kan hier zelf bepalen welke getallen dicht bij 12 liggen, en hoe verder men
weggaat van het getal 12, hoe lager de uitkomst van de membershipfunction zal liggen. Je kan
hiervoor ook een driehoekige fuzzifier gebruiken, en deze zal bijgevolg minder getallen toelaten tot de
set.
16 | P a g i n a
6.4.3 Trapeziumvormige / Driehoekige Fuzzifiers
De trapeziumvormige en driehoekige fuzzifiers komen het meeste voor. Ze kunnen apart voorkomen,
maar ook samen bij de verschillende lidmaatschapsfuncties van 1 bepaalde grootheid. Ze worden
gebruikt wanneer de lidmaatschapsfunctie de vorm heeft van een driehoek of een trapezium. De
fuzzificatie wordt uitgelegd aan de hand van volgend voorbeeld:
We nemen een klas met 10 studenten, en we gaan voor elke leerling apart hun lengte fuzzificeren. We
maken gebruik van volgende lidmaatschapsfuncites voor de lengte:
Hieruit kunnen we de uitkomsten berekenen van de lidmaatschapsfuncties:
Voor de set klein (= Short):
Alle waarden onder 5,2 feet behoren volledig tot de set klein
Alle waarden tussen 5,2 en 5,4 feet behoren voor een deel tot de set klein
Alle waarden boven 5,4 feet behoren niet tot de set klein
Voor de set medium
Alle waarden onder 5,3 feet en boven 5,7 feet behoren niet tot de set medium
Alle waarden tussen 5,3 en 5,7 behoren voor een deel tot de set medium
Hier wordt onderscheid gemaakt tussen waarden op de stijgende zijde van de driehoek, of waarden op
de dalende zijde van de driehoek. Het verschil tussen de 2 zijden zit hem in het berekenen van de
uitkomst van de lidmaatschapsfunctie.
17 | P a g i n a
Voor de set groot (= Tall)
We nemen als voorbeeld een student die 5,4 feet groot is. De resultaten na het berekenen van de
lidmaatschapsfuncties zijn de volgende:
μ s (5,4 ") = 0 μ m (5,4 ") = 0.5 μ t (5.4 ") = 0
Één en dezelfde student is dus niet klein, voor de helft medium en niet groot. Deze waarden zijn
bekomen na het maken van volgende berekeningen:
μ s: 5,4 >= 5,4 de uitkomst is 0
μ m: 5,4 ligt tussen 5,3 en 5,5 de uitkomst is ((5,4 – 5,3) / 0,2) = (0,1 / 0,2) = 0,5
μ t: 5,4 <= 5,6 de uitkomst is 0
We maken de berekeningen voor alle studenten:
Student Student
Naam Hoogte
(Voet) μkorte μmedium μhoog
1 John 5.4 0 0.5 0
2 Cathy 5.8 0 0 1
3 Lisa 6.0 0 0 1
4 Ajay 5.0 1 0 0
5 Ram 5.7 0 0 0.5
6 Edward 5.4 0 0.5 0
7 Peter 5.2 1 0 0
8 Victor 5.0 1 0 0
9 Chris 6.2 0 0 1
10 Sam 5.9 0 0 1
18 | P a g i n a
In het algemeen kunnen de uitkomsten van de diehoekige lidmaatschapsfuncties berekend worden aan
de hand van volgende formules:
Begrippen:
x = crisp input
L = linkersnijpunt met de x-as, laatste waarde voor de driehoek die 0 zal resulteren
R = rechtersnijpunt met de x-as, laatste waarde binnen de driehoek die geen 0 zal resulteren
C = centrale waarde waar de lidmaatschapsfunctie 1 is
Men heeft ook zo‟n formules voor de trapeziumvormige lidmaatschapsfunctie:
Volgende begrippen zijn nog niet gebruikt bij driehoekige lidmaatschapsfuncties:
L = linkersnijpunt met de x-as
U = rechtersnijpunt met de x-as
C = de centrale waarde, namelijk de x-waarde waar de spiegelas van het trapezium zou zijn.
W = de breedte, het aantal waarden waarvoor de uitkomst van de lidmaatschapsfunctie 1 is
19 | P a g i n a
6.5 Fuzzy Rules & Fuzzy Rule Bases
Een rule base is een regel, die zich baseert op een linguïstische waarde, om een actie te laten uitvoeren.
Je kan hier het voorbeeld nemen van de linguïstische waarde „jong‟: je probeert na te gaan hoe „jong‟
dat het publiek in een café is. Elke geteste persoon geef je een drankje, aan de hand van zijn leeftijd.
De rule bases zijn altijd gebaseerd op een IF - THEN - structuur. Er is dus altijd een voorwaarde, IF p,
waarbij p een linguïstische waarde voorstelt. Uit deze voorwaarde volgt een actie, namelijk THEN p.
Deze rule base, , wordt ook geschreven als .
Aan de hand van het voorbeeld hierboven zullen we de rule bases opstellen:
IF leeftijd = zeer jong THEN drank = melk
IF jong THEN cola
IF gemiddeld THEN bier
IF oud THEN whisky
IF zeer oud THEN rum
Je kan dit ook toepassen op andere voorbeelden, namelijk de werking van een CPU-fan in de
computer. De tempratuur wordt gemeten en de actie van de fan volgt uit de tempratuur:
IF zeer koud THEN stop
IF koud THEN draai zeer traag
IF gemiddeld THEN draai traag
IF heet THEN draai snel
IF zeer heet THEN draai zeer snel
Naast acties die volgen uit de linguïstische waarde, kan men hier ook besluiten uit trekken. Je kan
bijvoorbeeld zeggen dat grote mensen sneller kunnen stappen dan kleine mensen. Zoals bij een fan uit
de tempratuur een actie wordt ondernomen, kunnen we hier uit de grootte van de persoon een besluit
trekken: als hij groot is zal hij wel snel kunnen stappen. Dit noteren we als volgt:
Wat zal er dus gebeuren indien we een kleine persoon onderzoeken? Indien hij niet groot is, zal hij
bijgevolg ook niet snel kunnen stappen. We leiden het volgende af uit het vorige statement:
Dit kunnen we berekenen aan de hand van de formule van de relationele matrix:
De waarde b‟ is ongekend en dus gevraagd. De andere 3 waarden zijn bekend, en we moeten een
formule zoeken om b‟ te berekenen. Dit is de formule van de relationele matrix (R): b‟ = a‟ v R
20 | P a g i n a
6.5.1 Vage Implicatie Relaties
Dienes-Rescher implicatie: Als men beschouwt, voor IF p THEN q, dat p waar is, terwijl q onmogelijk onwaar kan zijn, kan men
de relationele matrix berekenen aan de hand van een formule. We leiden dus af uit het voorbeeld dat
“p ^ NOT q” onwaar is (aangezien q nooit false kan zijn). We leiden af via de wet van Morgan:
p ^ NOT q = NOT p v q. De relationele matrix kan gevonden worden via volgende formule:
De maximum-functie gebruiken we omdat er een OR-functie gebruikt wordt. (NOT p OR q)
1 - … gebruiken we, omdat er een NOT gedefinieerd staat. (NOT p OR q)
Aan de hand van deze oplossing kunnen we b’ berekenen:
Mamdani implicatie: Als fuzzy IF-THEN rules lokaal waar zijn, dan is p waar en dan is q waar, of p onwaar en q onwaar.
Het gaat er dus om dat beiden p en q dezelfde uitkomst hebben. Voor p → q mogen we dan zeggen dat
p ^ q ook waar is. Een wijd toegepast voorbeeld is de fan: als de tempratuur koud is, moet de fan traag
draaien, als de tempratuur warm is, moet de fan snel draaien. Dit is vastgelegd per definitie en dus
gezamenlijk waar of onwaar. De fan zal nooit snel draaien als het koud is. De relationele matrix R kan
afgeleid worden uit volgende formule:
We gebruiken de minimum-functie, omdat er een EN-functie gebruikt wordt. (p AND q)
Aan de hand van deze oplossing kunnen we terug b‟ berekenen:
Zadeh implicatie: Dit komt voor wanneer p en q waar zijn ofwel wanneer p onwaar is. Omgezet in een functie geeft dit:
(p ^ q) v (NOT p). We kunnen deze structuur terug omzetten in een formule om de relationele matrix
te berekenen:
We gebruiken max, min en 1-... omdat
21 | P a g i n a
6.6 Defuzzificatie
Na de bewerking van relatie-regels, op basis van de momentele waarden van de verschillende
ingangsvariabelen, volgt één waarheidsgehalte voor elke linguïstische uitgangsvariabele.
Defuzzyficatie houdt de berekening in van één concreet uitgangssignaal. Dit op basis van de
verschillende waarheidsgehaltes.
Figuur 6.6.1: Lidmaatschapsfuncties voor de uitgang van de regelaar
De verwerking van de waarheidsgehaltes voor de uitgangsset in de lidmaatschapskrommen van de
uitgangsvariabelen kan op verschillende manieren. Men heeft het hier over de term inferentie, of
gevolgtrekking. De minimum-inferentie en de product-inferentie methoden zijn de meest gebruikte.
Onder de minimum-inferentie verstaan we de begrenzing van de lidmaatschapskromme op de
minimumwaarde. Figuur 6.6.2.a illustreert dit.
set = 0.8/klein + 0.4/medium + 0/groot
a) b)
Figuur 6.6.2: Voorbeelden van a) minimum-inferentie en b) product-inferentie
De product-inferentie methode daarentegen begrenst deze lidmaatschapskromme op een waarde. Deze
waarde bekomt men door het product uit te voeren van de waarheidsgraad en de oorspronkelijke
lidmaatschapsfunctie. Bovenstaande figuur 6.6.2 toont dit aan. Stel dat de uitgangsset overeenkomstig
de krommes uit figuur 6.6.1 gelijk is aan:
u = 0/NG + /NK + .2/ON + .8/PK + .4/PG.
Door toepassing van de minimum-inferentie regel, komen we aan het uiteindelijke resultaat zoals in
figuur 6.6.3. Deze figuur toont namelijk aan dat een kleine positieve uitgang de hoogste
waarheidsgraad kent. Een logische gevolgtrekking kan bijvoorbeeld zijn dat de uitgang ongeveer
gelijk moet zijn aan 40. Daarentegen kunnen niets doen (ON) en sterk aansturen (PG) ook scoren.
22 | P a g i n a
Figuur 6.6.3: Voorbeeld: bepaling van de uitgang van de regelaar
Uiteraard moet men deze waarden in de berekening van de effectieve uitgang meenemen. Het totaal
gearceerde oppervlak moet bijgevolg maatgevend zijn voor de regelaarsuitgang. De methode die het
meest wordt toegepast is dan ook de zwaartelijn- of de zwaartepuntmethode. De gezochte of
enkelvoudige uitgang is de ligging van deze zwaartelijn, of het zwaartepunt van het totaal gearceerde
oppervlak.
Maar, indien we de zwaartepuntmethode nu toepassen, krijgen we al snel te maken met problemen aan
de boven- en ondergrens van onze uitgangsvariabele. Laten we hiervoor bijvoorbeeld kijken naar de
driehoeksvorm PG, uit bovenstaande figuur. We nemen de lidmaatschapsgraad voor PG gelijk aan
100%. Het zwaartepunt van deze driehoek ligt dan echter niet in 100, maar rond 80. We stelden
nochtans vast dat alle lidmaatschapsgraden gelijk waren aan 0, behalve die van PG. Bekijk figuur
6.6.4 a.
Figuur 6.6.4 : a) maximale uitgang is niet bereikbaar en b) correctie volgens uitgebreide
zwaartelijnmethode
23 | P a g i n a
We stellen met andere woorden vast dat de maximale uitgang (100) nooit bereikt kan worden. Dit
wordt echter gecorrigeerd door de uitgebreide zwaartepuntmethode. Deze spiegelt namelijk de
lidmaatschapskrommes die uiterst links en rechts liggen bij de zwaartelijnberekening. In figuur 6.6.4
.b ziet u nu dat het zwaartepunt wel in 100 ligt.
Defuzzificatie zorgt voor heel wat rekentijd. Men zoekt daarom naar vereenvoudigingen die het
regelresultaat amper beïnvloeden, maar de berekeningen sneller laten verlopen. Bij de zwaartelijn
bepaling moet het oppervlak worden bepaald van de omhullende kromme van alle
lidmaatschapscurves van de uitgangsvariabele. Dit oppervlak kent overlappingen. Deze overlappingen
worden dubbel gerekend door uit te gaan van de afzonderlijke figuren bij de berekening van het totale
oppervlak. De berekening echter is een pak eenvoudiger en wordt de vereenvoudigde zwaartelijn
methode genoemd.
Een derde vereenvoudiging of aanpassing kan voorkomen onder de lidmaatschapsfuncties voor de
linguïstische uitgangsvariabelen te definiëren als singletons. Men bekomt vervolgens de uiteindelijke
uitgang door het gewogen gemiddelde te nemen van de fuzzy-uitgangsset volgens:
Dit is de singletonmethode. We nemen het voorbeeld uit figuur 6.6.3. Indien we de uitgangsbegrippen
gaan herdefinieren als singletons (zoals weergegeven in figuur 6.6.5), krijgen we als uitgangswaarde
of zwaartepunt:
fuzzy set = 0/NG + 0/NK + .4/ON + .8/PK + .2/PG
Figuur 6.6.5: Voorbeeld – Singleton methode
24 | P a g i n a
7. Voorbeeld: Fuzzy-regeling van de
kamertemperatuur
7.1 Inleiding
In dit voorbeeld gaan we de werking beschrijven van een fuzzy regelaar die de kamertemperatuur gaat
regelen. De output van het proces (de te controleren grootheid) is de temperatuur. De input van het
proces of de uitgang van de regelaar is de knopstand van de verwarming.
We beginnen met eerst de menselijke, vage begrippen als “warm”, “goed” of “koud” te geven. Dankzij
deze begrippen kunne we de instelregels gemakkelijk opsommen. Dan gaan we verder met de werking
van de regelaar aan de hand van enkele voorbeelden aan bod. En uiteindelijk geven we een
simulatiemodel met enkele resultaten en een bespreking.
7.2 Definitie van linguïstische begrippen
In figuur 7.1 definieer de begrippen “warm", “goed” en “koud” door aan te geven in welke mate een
gegeven (constante) temperatuur inderdaad “koud”, “goed” of “warm” is. Deze begrippen zijn
absoluut. Dit wil zeggen dat de gewenste temperatuur (die hier 22°C is) vastgelegd zit in de
waarheidsfunctie. Het is eigenlijk beter om te werken met relatieve definities, zoals er aangetoond
wordt in figuur 7.2. Dit laat de instelling van een variabele setwaarde of gewenste waarde toe. Sowieso
starten we de oefening met de absolute definities. Het simulatiemodel op het einde van dit hoofdstuk
gebruikt wel de relatieve definities.
Als uitgangsbegrippen van de fuzzy-regelaar wordt meer verkozen voor singletons. Dit laat een
eenvoudige defuzzificatie toe. Figuur 7.3 definieert de knopstanden “dicht”, “half” en “open”. De
stand van de verwarmingsknop kan constant variëren van 0 tot 5. In stand 0 is de verwarming volledig
toe, in stand 5 volledig open.
Figuur 7.1: Definitie van de constante ingangsbegrippen “koud”, “goed” en “warm”.
25 | P a g i n a
Figuur 7.2: Definitie van de relatieve ingangsbegrippen “te warm”, “goed”en “te koud”.
Figuur 7.3: Definitie van de uitgangsbegrippen “dicht”, “half” en “open” als singletons.
Merk op dat de definities volgens figuren 7.1 tot en met 7.3 niet de enige zijn die mogelijk zijn. Er zijn
nog meerdere mogelijkheden. De keuze van de waarheidsgraden is eerder willekeurig. Er bestaat geen
regel voor een optimale keuze van de waarheidsfuncties. Andere definities dan deze uit figuren 7.1 tot
en met 7.3 kunnen ook goede resultaten opleveren.
26 | P a g i n a
7.3 De regelkring en de instelregels
Figuur 7.4 geeft in grote lijnen de regelkring weer. De regelmatrix volgt uit enkele onwillekeurige
regels. Met betrekking tot een temperatuurregeling kunnen we steeds het volgende stellen: “Indien het
koud is, zet de verwarming dan open.”, of korter “Als koud, dan open”.
Mogelijke regels zijn dan:
R1 : Als koud, dan open.
R2 : Als goed, dan half.
R3 : Als warm, dan dicht.
R4 : Als warm en half open, dan dicht
R5 : Als koud en half open, dan open.
Figuur 7.4: De regelkring
De regels van R1, R2 en R3 spreken voor zich. De regels van R4 en R5 gebruiken twee
ingangswaarden die een verschillende eenheid hebben. De EN-functie komt overeen met de minimum-
operator. De kleinste waarheidsgraad moet hier behouden blijven. Om de oefening eenvoudig te
houden, verwerpen we deze regels. Het is logisch dat de regelaar de temperatuur naar “goed” moet
regelen. De omschrijving van “goed” geeft aan dat dit 22°C is. Anderzijds zegt regel R2 dat “goed”
overeenkomt met de stand “half” dat volgens de omschrijving met de knopstand van 2,5 overeenkomt.
Dit veronderstelt dat de procesgegevens zodanig zijn dat voor de stand 2,5 de temperatuur in de kamer
uiteindelijk naar 22°C gaat. Indien dit niet zo is, dan zijn de regel fout opgedeeld.
7.3.1 De regel-matrix
Uit de eenvoudige keuzes en definities van de begrippen en uit het vermijden van samengestelde
regels bekomen we de bovenstaande matrix van de regelaar.
27 | P a g i n a
7.4 De werking van de regelaar
7.4.1 Fuzzyficatie-stap
Stel dat de temperatuur in een kamer 23°C is. Deze waarde moet eerst in de correcte “termen”
schrijven. We moeten de waarde dus fuzzy maken. Dit kan gebeuren volgens figuur 7.5.
Figuur 7.5: Fuzzificatie
Alle mogelijke (constante) temperaturen stemmen overeen met een waarheidsgraden die horen bij
“warm", “goed” en “koud”.
Voor 23°C is dit : 23 = 0 (koud) + 0,5 (goed) + 0,5 (warm).
Voor 20,5°C is dit: 20,5 = 0,75 (koud) + 0,25 (goed) + 0 (warm)
Dit levert de waarheidsgraden van de ingangsset voor de beschouwde constante temperatuur op. In
figuur 7.5 werden de oppervlakten bij de definities die van toepassing zijn ingekleurd met als hoogte
de waarheidsgraad.
28 | P a g i n a
7.4.2 Berekenen van de uitgangsset
Laten we nu de regels R1, R2 en R3 toepassen op deze ingangsset van waarheidsgraden. Dan kunnen
we zo de bijbehorende uitgangsset (waarheidsgraden bij de mogelijke knopstanden) bekomen.
Als er een temperatuur gelijk aan 23°C is, zijn de regels: “Als goed, dan half” en “Als warm, dan
dicht” van toepassing. Omdat beide regels voor de helft waar zijn, zijn ook de overeenkomstige
uitgangswaarden voor de helft waar. Dit wordt weergegeven in figuren 7.6a en 7.6b.
"Als goed, dan half "
Figuur 7.6a: Waarheidsgraden en toepassing van de regels bij 23°C
"Als warm, dan dicht"
Figuur 7.6b: Waarheidsgraden en toepassing van de regels bij 23°C
29 | P a g i n a
Als er een samengestelde regel is of als er meerdere input-signalen zijn, moeten de regels
gecombineerd worden. Dit kan gebeuren met een EN-functie of een OF-functie. Sowieso zijn er in
beide gevallen meerdere regels van toepassing voor dezelfde uitgangswaarde.
We nemen als voorbeeld de volgende samengestelde regel:
R6: Als warm, maar niet zeer warm, dan half.
Om R6 toe te kunnen passen, moet de curve van de fuzzyficatie “niet zeer warm” worden opgesteld.
Dit gebeurt door de definitie van warm eerst te kwadrateren en daarna te inverteren. Zie figuur 7.7.
De regel R6 vereist twee voorwaarden voor de uitgang “half”. Namelijk de EN-functie “warm”
MAAR/EN “niet zeer warm”.
De minimum toebehoringsgraad van de gegeven temperatuur volgens de definities “warm” en “niet
zeer warm” geldt als toebehoringsgraad voor de knopstand “half”.
Voor 23,5°C is de waarheidsgraad voor “half” = 0,438 (Zie figuur 7.7)
Om de OF-functie te illustreren nemen we terug regel R3 samen met regel R6. Dit doen we omdat
beide regels aangeven wat de waarheidsgraad van de definitie “half” zal worden. Deze twee regels
kunnen we combineren tot een gemeenschappelijke regel dan zegt:
Als warm en niet zeer warm OF als goed, dan half.
"Als warm, maar niet zeer warm dan half"
Figuur 7.7: Voorbeeld van de samengestelde regel
30 | P a g i n a
De OF-functie wordt omgezet in het maximum van de overeenkomstige waarheidsgraden. Figuur 7.8
toont een voorbeeld voor een ingangstemperatuur gelijk aan 23,5°C.
"Als goed, dan half"
"Als warm, maar niet zeer warm dan half"
Figuur 7.8: Toepassing van maximum bij meerdere regels voor 1 uitgang
De totale uitgangsset wordt hier (met R6 inbegrepen): 0,75 (dicht) + 0,438 (half) + 0 (open).
In de volgende paragrafen wordt R6 niet meer meegerekend.
De figuren 7.6a, 7.6b, 7.7 en 7.8 tonen een grafische afleiding van de toebehorende graden voor de
uitgangset. Als het aantal regels net zoals het aantal combinaties toeneemt, wordt deze grafische
procedure onhandig. De manier van werken via een regel-matrix is dan meer toegewezen.
7.4.3 De defuzzyficatie stap
Tenslotte moet de uitgangset tot één welbepaalde uitgangswaarde omgevormd worden. We moeten de
uitgangsset defuzzyfieëren volgens een van de in hoofdstuk 1 aangegeven methodes. Omwille van de
eenvoud verkiezen we de singleton methode boven de zwaartepuntmethode. Bij een temperatuur van
23°C hoort de uitgangsset 0,5 (dicht) + 0,5 (half) + 0 (open). Bij de singleton methode wordt deze set
herleid tot één enkele knopstand volgens de regel van het gewogen gemiddelde:
Voor de gegeven waarden is dit:
Bij 23°C bedraagt de uitgangswaarde 1,25. Reken zelf eens uit wat de knopstand zal worden bij een
gemeten temperatuur gelijk aan 22,5°C?
Antwoord: 1,875.
Top Related